CD-0546.pdf

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ESCUELA DE CIENCIAS
CARRERA DE FÍSICA
“MODELOS COSMOLÓGICOS CON CONSTANTE
COSMOLÓGICA DISTINTA DE CERO”
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE FÍSICO
CHRISTIAN LEONARDO VÁSCONEZ VEGA
DIRECTOR: Dr. ERICSON LÓPEZ I., PhD
QUITO, FEBRERO DEL 2007
2
DECLARACIÓN
Yo, Christian Leonardo Vásconez Vega, declaro que el trabajo aquí descrito es de
mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o
calificación personal; y que he consultado las referencias bibliográficas que se
incluyen en este documento.
La Escuela Politécnica Nacional puede hacer uso de los derechos
correspondientes a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad
Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad vigente.
Christian L. Vásconez
3
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Christian Leonardo
Vásconez Vega, bajo mi supervisión.
Dr. Ericson López I., PhD
DIRECTOR DEL PROYECTO
4
ÍNDICE
Índice ...................................................................................................................... 1
Resumen ................................................................................................................ 5
CAPÍTULO 1: MODELOS COSMOLÓGICOS ........................................................ 7
1.1 Modelos Cosmológicos Clásicos .................................................................. 7
1.2 Modelos Cosmológicos Relativistas ........................................................... 10
1.3 La Métrica del Universo .............................................................................. 14
1.4 Ecuaciones de Friedmann .......................................................................... 15
1.5 Universo Vacío ........................................................................................... 21
CAPÍTULO 2: PARÁMETROS COSMOLÓGICOS............................................... 23
2.1 Parámetros Cosmológicos del Modelo Estándar ........................................ 23
2.2 Correcciones a los parámetros cosmológicos, con la inclusión de la
Constante Cosmológica .................................................................................... 24
CAPÍTULO 3: MEDICIÓN DE LOS PARÁMETROS COSMOLÓGICOS .............. 29
3.1 Utilización de Supernovas tipo Ia ................................................................ 29
3.1.1 Descripción del método observacional con SNe Ia .............................. 34
3.2 Supernovas de alto redshift (z) ................................................................... 36
3.3 Otros métodos observacionales ................................................................. 37
3.4 Evaluación de los parámetros cosmológicos corregidos ............................ 40
ANÁLISIS Y CONCLUSIONES ............................................................................ 43
APÉNDICE ........................................................................................................... 46
Referencias Bibliográficas .................................................................................... 53
5
RESUMEN
En el presente trabajo abordaremos el problema de la inclusión de la Constante
Cosmológica en los modelos cosmológicos y sus implicaciones físicas. Basados
en el hecho de que el factor de curvatura, es el parámetro que caracteriza la
geometría del espacio-tiempo, proponemos redefiniciones de los parámetros
cosmológicos que incluyen la influencia del vacío. Se demuestra, que aún cuando
la Constante Cosmológica tiene un pequeño valor, esta no puede ser despreciada
dentro del análisis del cual se obtienen las definiciones conocidas de los
parámetros cosmológicos. Los parámetros cosmológicos obtenidos se evaluarán
usando datos observacionales de supernovas tipo Ia y de clusters galácticos.
El proyecto ésta dividido en tres capítulos, una sección final dedicada a los
análisis y conclusiones, un apéndice y la bibliografía.
En el primer capítulo, denominado “Modelos Cosmológicos”, se describe el estado
actual de los modelos cosmológicos relativistas, resaltando su evolución y
mostrando explícitamente el método mediante el cual se obtienen las ecuaciones
de Friedmann, partiendo de la métrica de Robertson-Walker. Como un caso
particular se analiza el caso de Universo con ausencia de materia.
El capítulo II, denominado “Parámetros Cosmológicos”, incluye las definiciones de
los parámetros cosmológicos, contempladas en el Modelo Estándar. En éste
capítulo se plantea, como contribución, correcciones de dichos parámetros
cosmológicos, con la inclusión de la Constante Cosmológica en sus definiciones.
En el tercer capítulo, denominado “Medición de los Parámetros Cosmológicos”,
describimos los métodos observacionales mediante los cuales se obtienen,
actualmente, los valores de los parámetros cosmológicos, poniendo un particular
énfasis en aquel método que usa la distancia de luminosidad de supernovas tipo
Ia, como medio de obtención de éstos parámetros. La contribución presente en
éste capítulo se demuestra al evaluar los parámetros cosmológicos propuestos en
6
el segundo capítulo, utilizando los resultados obtenidos mediante los métodos
observacionales aquí descritos.
En el apartado “Análisis y Conclusiones”, se presentan las diferentes
contribuciones realizadas en éste trabajo. Se analiza las implicaciones
cosmológicas
de
los
resultados
obtenidos
como
consecuencia
de
las
redefiniciones introducidas de los parámetros cosmológicos.
En el apéndice, denominado “Deducción de la Métrica de Robertson-Walker”, se
deduce progresivamente la métrica de Robertson-Walker con el objetivo de
comprender el significado físico de cada uno de los términos presentes en ella;
con especial interés en el parámetro de curvatura. Nos vimos abocados a realizar
ésta deducción, por cuenta propia, por no existir en la literatura esta información.
7
CAPÍTULO 1
MODELOS COSMOLÓGICOS
La idea con la que iniciamos éste trabajo, no trataba de abordar el problema de la
Constante Cosmológica. De hecho, nuestro objetivo era utilizar cuerpos lejanos
(de alto corrimiento al rojo) para hacer correcciones a las ecuaciones que definen
los observables cosmológicos, desde dos puntos de vista diferentes: uno teórico y
otro observacional. Supusimos, en aquel entonces, que podríamos mejorar los
modelos cosmológicos existentes, al introducir términos de mayor orden de
corrimiento al rojo, z, en dichos modelos. Una vez que hubiéramos hecho esto,
podríamos introducir datos provenientes de cuerpos celestes con un corrimiento al
rojo mayor a uno.
Precisamente, al intentar abordar el primer objetivo, el teórico, nos dimos cuenta
que muchas de las definiciones encontradas en la literatura no estaban
completamente entendidas por la comunidad científica, y por lo tanto muchas
veces sus conclusiones eran contradictorias. Debido a ello, decidimos
embarcarnos en una búsqueda, aún más profunda, del origen de los parámetros
cosmológicos, con el nuevo objetivo de entender el porqué de cada uno de ellos.
1.1 Modelos Cosmológicos Clásicos
La Cosmología es aquella parte de la Astrofísica que se encarga del estudio del
Universo en su conjunto, en el que se incluyen teorías sobre su origen, su
estructura a gran escala, su evolución y su futuro.
8
El problema de la constante cosmológica ha perdurado por casi ya cien años,
debido a las diferentes interpretaciones que se le ha dado a través de este último
siglo. La discusión acerca de este tema comenzó desde su introducción en las
ecuaciones de campo de Einstein, por quien llevan su nombre, tratando de
simular una fuerza invisible que mantenía al Universo a grandes escalas estático
y plano. Dicha introducción se puede entender con mayor facilidad si
consideramos brevemente la historia de los diferentes modelos cosmológicos
desarrollados a través de la historia.
Hace cuatro mil años los Babilonios ya eran hábiles astrónomos capaces de
predecir los movimientos aparentes de la luna, las estrellas, los planetas y el Sol
sobre el cielo, incluso eran capaces de predecir eclipses. Pero fueron los antiguos
griegos los primeros en construir un modelo cosmológico dentro del cual se
pudieran interpretar estos movimientos. En el siglo cuarto antes de Cristo,
desarrollaron la idea según la cual las estrellas estaban fijas en una esfera celeste
que rotaba alrededor de una Tierra esférica cada 24 horas, mientras que los
planetas, el Sol y la Luna se movían en el éter comprendido entre la Tierra y las
estrellas.
Este modelo fue desarrollado durante los siglos siguientes, culminado en el siglo
segundo de nuestra era con el gran sistema de Ptolomeo. El movimiento perfecto
debe ser en círculos, por lo tanto las estrellas y los planetas por ser objetos
celestiales se mueven en círculos. Sin embargo, para poder explicar el
complicado movimiento de los planetas que periódicamente parecían retroceder
en su camino, tuvieron que introducirse los epiciclos de tal manera que los
planetas se movían en círculos sobre círculos sobre una Tierra fija.
A pesar de su complicada estructura, Ptolomeo
desarrolló un modelo que reproducía tan bien el
movimiento aparente de los planetas, que
cuando en el S. XVI Copérnico propuso un
sistema heliocéntrico, no fue capaz de igualar
la precisión del sistema centrado en la Tierra
9
de Ptolomeo. Copérnico construyó un modelo donde la Tierra rotaba y, junto con
los otros planetas, se movía en una órbita circular alrededor del Sol. Sin embargo,
las evidencias de las observaciones de la época favorecían el sistema
Ptolomeico.
Existían otras razones prácticas por las que muchos otros astrónomos de la
época rechazaban la noción copernicana de que la Tierra orbitara el Sol. Tycho
Brahe fue el mayor astrónomo del siglo XVI. Comprendió que si la Tierra se movía
alrededor del Sol, entonces la posición relativa de las estrellas debería cambiar
respecto a cómo se las veía desde distintos puntos de la órbita de la Tierra. Sin
embargo no había evidencia de este desplazamiento, llamado paralaje.
O bien la Tierra estaba fija, o de lo contrario las estrellas debían estar
extraordinariamente lejos.
Sólo con la ayuda del recién inventado telescopio, en
los inicios del siglo XVII, fue capaz Galileo Galilei de
dar la puntilla a la idea de que la Tierra era el centro
del Universo. Descubrió que había lunas que
orbitaban el planeta Júpiter, con lo que el modelo
ptolomeico perdía fuerza en la comunidad científica.
Al mismo tiempo Kepler, el ayudante de Brahe, descubrió la clave para construir
un modelo heliocéntrico. Los planetas se mueven en elipses, no en círculos
perfectos, alrededor del Sol. Posteriormente, Isaac Newton demostró que el
movimiento elíptico podía ser explicado por su ley del inverso del cuadrado para
la fuerza de la fuerza gravitatoria.
Pero la ausencia de cualquier paralaje observable
en la posición aparente de las estrellas mientras la
Tierra orbita al Sol, implicaba que las estrellas
debían estar a una distancia enorme del Sol. El
cosmos parecía ser un vasto mar de estrellas. Con
la ayuda de su telescopio Galileo pudo resolver
10
miles de nuevas estrellas que eran invisibles a simple vista. Newton concluyó que
el Universo debía ser un infinito y eterno mar de estrellas muy parecidas a nuestro
Sol.
No fue sino hasta el siglo XIX que el astrónomo y matemático Bessel, midió
finalmente la distancia de estrellas mediante paralaje. La estrella más cercana
(aparte del Sol) resultó estar a 25 millones de millones de millas de distancia y ya
se conocía que el Sol está a tan solo 93 millones de millas de distancia de la
Tierra.
1.2 Modelos Cosmológicos Relativistas
La mayoría de las estrellas que vemos están en la Vía Láctea, la banda brillante
de estrellas que se extiende a través de nuestro cielo nocturno. Kant y otros,
propusieron que nuestra Vía Láctea era de hecho una isla en el Universo con
forma de lente, o galaxia y que más allá de nuestra propia Vía Láctea debe haber
otras galaxias.
Además de estrellas y planetas, los astrónomos
localizaron borrosos parches de luz en el cielo
nocturno a los que denominaron nebulosas.
Algunos
astrónomos
pensaron
que
podía
tratarse de galaxias lejanas. Fue en 1920
cuando el astrónomo americano Edwin Hubble
estableció que algunas nebulosas eran en
realidad galaxias lejanas de tamaño parecido a
nuestra Vía Láctea.
Hubble también realizó el notable descubrimiento de que esas galaxias parecen
estar alejándose de nosotros, con una velocidad proporcional a la distancia que
nos separa de ellas. Pronto se comprendió que esto tiene una explicación natural
11
en términos de la recién formulada Teoría de la Relatividad General de Albert
Einstein: Nuestro Universo está en expansión.
En realidad, Einstein pudo haber pronosticado que
el Universo se está expandiendo con la primera
propuesta de su teoría en 1915. Dentro de su
teoría se veía con claridad que puesto que la
materia tiende a unirse bajo la gravedad es
imposible tener un universo estático. Sin embargo,
Einstein se dio cuenta de que podía introducir una
constante arbitraria en sus ecuaciones matemáticas que pudiera equilibrar la
fuerza gravitatoria y mantener las galaxias separadas. A esta constante la
denominó como la constante cosmológica. Tras descubrirse que el Universo
realmente se estaba expandiendo, Einstein declaró que introducir la constante
cosmológica fue el error más grande de su vida.
La métrica propuesta por Karl Schwarzchild en 1916, fue una de los primeros
intentos que se hizo para poder modelar un Universo estático e isotrópico,
Universo que hasta ese entonces era el aceptado por la comunidad científica.
Esta métrica tenía la forma:
ds 2 = A(r)dt 2 − B(r)dr 2 − r 2 dθ 2 − r 2 sen 2 (θ )dφ 2
1.1
donde t es el tiempo, r es la coordenada radial, θ y Φ son las coordenadas
angulares y las constantes A(r) y B(r) toman la forma:
ds 2 = e N ( r ) dt 2 − e L ( r ) dr 2 − r 2 dθ 2 − r 2 sen 2 (θ )dφ 2
1
 2MG  2
ds 2 = 1 dr 2 − r 2 dθ 2 − r 2sen 2 (θ )dφ 2
dt −
2MG
r 

1r
1.2
1.3
12
donde M es la masa del cuerpo que deforma el espacio-tiempo y G es la
constante gravitacional.
Fue Willem De Sitter, quien utilizando esta métrica (ecuación 1.3) habría resuelto
las ecuaciones de campo de Einstein para el vacío, las soluciones halladas por
De Sitter reflejaban una importancia, sin duda intrigante para ese entonces, de la
constante cosmológica puesto que ésta actuaba como la causante de la
expansión del universo aún en aquellas condiciones.
El matemático y meteorólogo ruso Friedmann se había percatado en 1917 de que
las ecuaciones de Einstein podrían describir un Universo masivo en expansión.
Esta solución implicaba que el Universo tenía que haber nacido en un momento,
hace alrededor de diez mil millones de años en el pasado y las galaxias aún
continuaban alejándose de nosotros desde aquella explosión inicial. Toda la
materia, en realidad todo el Universo, fue creado en sólo un instante. El
astrónomo británico Fred Hoyle lo llamó en broma el 'Big Bang', nombre que aún
perdura.
Existía un modelo rival, denominado la teoría del Estado Estacionario, defendida
por Bondi, Gold y Hoyle, y desarrollada para explicar la expansión del Universo.
Esta requería la continua creación de materia para producir nuevas galaxias a
medida que se expande el Universo, asegurando que pueda expandirse y
permanecer sin cambio en el tiempo.
Durante muchos años parecía un mero asunto académico si el Universo era
eterno y sin cambio, o había existido durante un periodo de tiempo finito. Un golpe
decisivo y letal para el modelo estacionario acaeció en 1965 cuando Perzias y
Wilson descubrieron una radiación cósmica de fondo de microondas. Fue
interpretada como el débil remanente de la intensa radiación de un Big Bang
caliente, que había sido pronosticado en 1949 por Alpher y Hermann.
Continuando con los trabajos previos de Gamow, y de Alpher y Hermann, durante
los cuarenta, los teóricos calcularon la relativa abundancia de hidrógeno y helio
13
que podría ser producida en un Big Bang caliente y encontraron que estaba en
concordancia con las observaciones. Cuando se calculó la abundancia de otros
elementos ligeros, estos también fueron consistentes con los valores observados.
Desde los setenta casi todos los cosmólogos han aceptado el modelo del Big
Bang caliente y han empezado a hacer preguntas más específicas pero todavía
fundamentales acerca de nuestro Universo. ¿Cómo se formaron a partir de la
expansión primordial las galaxias y cúmulos de galaxias que observamos hoy?
¿Cómo sabemos que ahí fuera no hay agujeros negros o algún tipo de materia
oscura que no emite luz como las estrellas? La Relatividad General nos dice que
la materia curva el espacio-tiempo, por lo tanto ¿Qué forma tiene el Universo?
¿Hay una constante cosmológica?
Sólo estamos empezando a encontrar respuestas a alguna de estas preguntas.
La radiación cósmica de fondo de microondas juega un papel crucial ya que nos
da una imagen del universo tal como era sólo cien mil años después del Big Bang.
Resulta ser tan extraordinariamente uniforme que no fue hasta 1992 cuando el
satélite de la NASA, Explorador Cósmico de Fondo (Cosmic Background Explorer)
encontró la primera anisotropía en esta radiación de fondo. Hay pequeñas
fluctuaciones en la temperatura de la radiación del orden de 1/100 000 que
pudiera ser la semilla a partir de la cual se formaron las galaxias.
Desde principio de los ochenta ha habido una explosión de interés por la física del
universo primigenio. Las nuevas tecnologías y los experimentos realizados por los
satélites como el Telescopio Espacial Hubble nos han facilitado una imagen aun
mejor de nuestro Universo, inspirando teorías para crear modelos aún más
atrevidos basados en las últimas ideas sobre relatividad y física de partículas.
El presente trabajo se enfocará en hacer un estudio de la evolución temporal del
Universo a grandes escalas, las observaciones astronómicas revelan que éste es
homogéneo e isótropo a escalas de 108 años luz, aproximadamente, por lo que se
puede suponer ciertas características que lo modelan a gran escala:
14
•
Densidad uniforme: idealizamos las estrellas y átomos constituyentes como
polvo en el espacio interestelar, con una densidad efectiva ρ y una energía
común para cada punto.
•
Geometría homogénea e isotrópica: suponemos que la curvatura del
espacio es la misma en todas las direcciones.
•
Teoría geométrica de la gravedad: suponemos que el Universo viene
descrito en su totalidad por la teoría General de la Relatividad de Einstein.
1.3 La Métrica del Universo
El desarrollo matemático que desarrollado a continuación, utilizará el sistema
natural de coordenadas; es decir c = ε = 1.
Los científicos Robertson y Walter, alrededor de 1920, propusieron que la métrica
más general para Universo dinámico era
 dr 2
2
2
2
2
2

ds 2 = dt 2 − a 2(t)
r
dθ
r
sen
(θ
)
d
φ
+
+
2
1
−
kr


1.3.1
donde a(t) se denomina factor de escala y k es el parámetro de curvatura. El
factor de escala nos provee la proporción, con la cual dos puntos geométricos
contenidos en una misma superficie, se separan o acercan al evolucionar en el
tiempo. Se lo puede apreciar gráficamente de la siguiente manera:
15
Si tomamos un punto arbitrario de referencia en el espacio, O, desde el cual
medimos la distancia hasta un cuerpo, localizado en el punto A, y dejamos que
transcurra el tiempo, entonces ahora el cuerpo de prueba se localizará en el puno
A’. El factor de escala, correspondiente a este caso será:
a (t ) =
OA
OA'
1.3.2
En 1922 el matemático ruso Alexander Friedmann resolvió las ecuaciones de
campo de Einstein, utilizando la métrica de Robertson-Walker. Desde esta fecha
la solución de Friedmann, que como veremos posteriormente depende de la
densidad del Universo, es la aceptada para la descripción dinámica del Universo,
en el Modelo Estándar.
De esta manera vemos que es muy importante conocer cual es el origen
geométrico de la métrica de Robertson-Walker; para dicho efecto, en el Apéndice,
deduciremos gradualmente como se obtienen los diferentes escenarios
geométricos que describirían al Universo.
1.4 Ecuaciones de Friedmann
Tras la aclaración de que la métrica de Robertson-Walker es la más apropiada
para modelar un Universo, en general curvo y que evoluciona en el tiempo, el
16
siguiente paso será buscar las soluciones de la ecuación de Campo de Einstein
usando dicha métrica.
Además debemos enfatizar que resolveremos éstas ecuaciones de Campo
utilizando la constante cosmológica (Λ), constante introducida por Einstein en sus
ecuaciones de campo para dar un carácter estático a las soluciones provenientes
de éstas. Dicha constante, luego sería calificada por el mismo Einstein como <<el
más grande error de su vida>>, al enterarse por parte de Edwin Hubble en
persona, que el Universo en realidad se encontraba en expansión y las galaxias
se separaban una de otra, aparentemente a velocidad constante.
La ecuación más importante de Einstein es tan simple y elegante como se
presenta a continuación:
Gµν = −8 πGTµν
1.4.1
Donde G µν es el tensor de Einstein, G es la constante gravitatoria y Tµν es el
tensor de energía-impulso, del que hablaremos más adelante.
El tensor de Einstein, de acuerdo a la Relatividad General, viene dado por:
Rµν −
1
g µν R + Λg µν = −8πGTµν
2
1.4.2
donde g µν es el tensor métrico, proveniente de la métrica con la que nos interese
trabajar, los términos R y Rµν son el escalar de curvatura y el tensor de Ricci,
respectivamente, y están definidos en función del tensor del Riemann ( Rα βµν ) de la
siguiente manera:
α
δ
α
δ
α
R α βµν = Γβνα ,µ − Γβµ
,ν + Γβν Γδµ − Γβµ Γδν
1.4.3
Rαβ = Rδαβδ
1.4.4
R
µ
ν
= g
µα
R
αν
1.4.5
17
R = Rµµ = g µνRµν
1.4.6
Expresado esto, lo que resta por hacer es encontrar los elementos de los tensores
involucrados en la ecuación de Campo de Einstein.
En este trabajo consideramos que sería importante calcular todos los términos
involucrados en la Ecuación de Campo de Einstein, para la correcta comprensión
de cada uno de ellos y el entendimiento de su significado físico. Entonces,
partimos de la métrica de Robertson-Walker (ecuación 1.3.1), que como ha sido
demostrado, es la métrica más general propuesta hasta el momento para describir
nuestro Universo [ver Apéndice]. Entonces, en las siguientes líneas, procedemos
con la deducción detallada de las ecuaciones de Friedmann.
El tensor métrico en el modelo de Robertson-Walker es:
g µν
0
1

a2 ( t )
−
0

1 − kr 2
=
0
0
0
0

0
0
− a 2 ( t )r 2
0


0


0

2
2
2
− a ( t )r sen (θ) 
0
1.4.7
Que expreso en su forma contravariante es:
g µν
0
1

1 − kr 2
0 − 2
a (t)

= 0
0


0
0

0
0
−
1
a ( t )r 2
2
0


0



0


1
− 2 2

a ( t )r sen 2 (θ) 
0
1.4.8
Basándonos en el procedimiento estándar, descrito en la Relatividad General,
para la obtención del tensor de Riemann, escribimos los símbolos de Christoffel,
definidos como:
µ
Γαβ
=
1 µν
g (∂ β g αγ + ∂ α g βγ − ∂ γ g αβ )
2
1.4.9
18
Tras el desarrollo de la ecuación 3.9, encontramos que los símbolos de Christoffel
distintos de cero son los siguientes:
 0
Γ11
 0
Γ22
 0
Γ33

Γ1
 11
 1
Γ22
Γ 2
 33
aa&
1 − kr 2
= aa& r 2
=
= aa& r 2 sen 2θ
kr
1 − kr 2
= − r (1 − kr 2 )
=
= − sen θ cos θ
1
Γ33
= − r (1 − kr 2 ) sen 2θ
a&
1
Γ01
= Γ022 = Γ033 =
a
1
Γ122 = Γ133 =
r
θ
cos
Γ232 =
sen θ
1.4.10
Luego, aplicamos la definición del tensor de Riemann Rα βµν (ecuación 1.4.3) y
obtuvimos que los elementos de este tensor, diferentes de cero son:
 0
R 101
 0
R 202
R 0
 303
 1
R 010

1
R 212
 1
R 313
 2
R 121

R 2323
 3
R 232

a&a&
1 − kr 2
= a&a&r 2
=
= a&a&r 2 sen 2 θ
3
= R 2020 = R 030
=−
&a&
a
= r 2 (a& 2 − k )
1.4.11
= r 2 (a& 2 + 2k )sen 2 θ
a& 2
1 − kr 2
= (1 + a& 2r 2 − r − kr 2 ) sen 2 θ
3
= R 131
=
= 1 + a& 2r 2
Al contraer el tensor de Riemann, mediante la definición del tensor de Ricci
(ecuación 1.4.4), obtuvimos:
3a&&

R00 = − a

2a& 2 + aa&& + 2k

R
=
 11
1 − kr2

R22 = r 2 aa&& + 2a& 2 + 2k

2
2 2
2
2
R33 = (aa&&r + 2a& r + 2kr )sen θ
(
)
1.4.12
19
Por último, calculamos el escalar de curvatura (ecuación 1.4.6), de acuerdo a su
definición y el resultado fue:
R=−
3a&& 1 − kr2 2a& 2 + aa&&
1
1
1

− 2
− 2 2 r 2  aa&& + 2a& 2 − k + 2  − 2 2 2 (aa&&r 2 + 2a& 2r 2 + 2kr2 + 1)sen2θ
2
a
a (t) 1 − kr
a (t)r 
r  a (t )r sen (θ )
R=−
6
(a&a& + a& 2 + k )
2
a
1.4.13
De esta manera obtuvimos los términos del tensor de Einstein, correspondientes a
la métrica de Robertson-Walker. De aquí podemos obtener las ecuaciones de
Campo de Einstein en forma general, con constante cosmológica distinta de cero.
 a& 2
k
 2 + 2
a
a
 2 a&& a& 2
 + 2
a a

2
 2 a&& + a&
 a a2

2
 2 a&& a&
+
 a a2

Λ
= −8πGT 00
3
 1 − kr 2
k
+ 2 − Λ = 8πG 
2
a
 a
−

T11

1.4.14
k
 1 
− Λ = 8πG  2 2 T 22
2
a
a r 
k
1


+ 2 − Λ = 8πG  2 2
T33
2
a
 a r sen θ 
+
Vimos que en este punto se vuelve necesario elegir tensor energía-impulso
físicamente adecuado para el modelo que estamos desarrollando. Podemos
resaltar que las observaciones que se han realizado mediante telescopios y
radiotelescopios alrededor del planeta, han develado que nuestro universo a
escala cosmológica es homogéneo e isotrópico. Esta evidencia experimental nos
facultó para tomar como un tensor energía-impulso apropiado, el tensor
correspondiente a un fluido perfecto, dicho tensor tiene la forma
T µν = (ρ + P )uµuν − Pg µν
1.4.15
Como vemos este tensor involucra la densidad media (ρ) del Universo, y la
presión transversal (P) que este ejercería al moverse a razón del cuadrivector
velocidad uµ . Además tomamos la importante consideración de que las fronteras
20
del Universo se mueven a la velocidad de la luz, por lo tanto el cuadrivector
velocidad se reduce a:
uµ = (1,0,0,0)
1.4.16
Lo que a su vez implica que el tensor energía-impulso elegido (ecuación 1.4.15),
toma la siguiente forma:
Tµν
− ρ

 0
=
 0

 0
0
a2P
1 − kr 2
0
0
0
0
a 2r 2 P
0



0


0
2 2
2 
a r Psen θ 
0
1.4.17
Una vez que tuvimos un tensor energía-impulso apropiado, proseguimos con la
determinación término a término de la ecuación de Campo de Einstein. Al tomar
los elementos matriciales fila por fila, obtuvimos que:
 a& 2
 2 +
a
 2a&&
 a +

 2a&& +
a

 2a&& +
 a
k
a2
a& 2
a2
a& 2
a2
a& 2
a2
Λ 8πG
ρ
=
3
3
k
+ 2 − Λ = 8πGP
a
k
+ 2 − Λ = 8πGP
a
k
+ 2 − Λ = 8πGP
a
−
1.4.18
Del sistema de ecuaciones 1.4.18 notamos que, existen únicamente dos
ecuaciones linealmente independientes:
a& 2
k
Λ 8πG
ρ
+ 2 − =
2
3
3
a
a
1.4.19
2a&& a& 2 k
+ + − Λ = 8πGP
a a2 a2
1.4.20
21
Friedmann, al encontrar éstas dos últimas ecuaciones, hizo una consideración
adicional, el supuso que puesto que el Universo se lo toma como lo único que
existe, este no tiene nada sobre el cual producir presión transversal, por lo cual a
estas dos últimas ecuaciones (1.4.19 y 1.4.20) les dio la siguiente forma:
Λ 8πG
a& 2
k
−
=
ρ
+
3
a2 a2 3
2a&& a& 2 k
+ + −Λ =0
a a2 a2
1.4.21
1.4.22
A estas dos ecuaciones (1.4.21 y 1.4.22) se las conoce como ecuaciones de
Friedmann. Para continuar con nuestro desarrollo, utilizaremos las ecuaciones de
Friedmann con las que demostraremos, más adelante,
la importancia de la
Constante Cosmológica en los modelos cosmológicos.
1.5 Universo Vacío
Un Universo vacío es aquel en el que el espacio se encuentra absolutamente libre
de materia; es decir, la densidad de materia es cero.
El tensor energía-impulso correspondiente a este espacio cumple que ρ + P = 0 .
La consideración de que la presión es nula a escalas cosmológicas sigue siendo
válida, por lo tanto ρ = 0 . Una última consideración es inmediata si recordamos
que la curvatura del espacio-tiempo es una manifestación de la materia presente
en él, por lo tanto k = 0.
Usado éstas condiciones en las ecuaciones de campo de Einstein (ecuación
1.4.2), obtendremos las ecuaciones de un Universo vacío.
a& 2 Λ
− =0
a2 3
1.5.1
22
2a&& a& 2
+
+ −Λ = 0
a a2
1.5.2
Si resolvemos la ecuación 1.5.1, obtendremos la relación mediante la cual el
factor de escala evoluciona en el tiempo.
 Λ 
a (t ) ∝ exp 
t
3


1.5.3
Si aplicamos la definición de la constante de Hubble (ecuación 4.1) a la ecuación
1.5.3, obtendríamos que:
H=
Λ
3
1.5.4
De donde se concluye inmediatamente que, la constante de Hubble en un
Universo vacío es invariante en el tiempo. Finalmente podemos reemplazar el
resultado 5.4 en la ecuación 5.3, para apreciar la dependencia existente entre el
factor de escala y la constante de Hubble, para el presente caso.
a (t ) ∝ exp{Ht }
1.5.5
Estos resultados son similares a aquellos obtenidos mediante la métrica de De
Sitter; sin embargo, la facilidad con la que los hemos obtenido radica en la
generalidad de la métrica de Friedmann.
Además se justifica la inclusión de la constante cosmológica en la corrección
propuesta del factor de desaceleración (ecuación 1.4.15), quedaría plenamente
justificada al recordar que, según el modelo de un Universo vacío aquí analizado,
el factor de escala se expande en proporción exponencial a la constante
cosmológica; lo que se interpreta, de acuerdo a la Relatividad General, como si la
constante cosmológica fuera la responsable directa de la expansión acelerada de
un Universo vacío.
23
CAPÍTULO 2
PARÁMETROS COSMOLÓGICOS
Los factores o magnitudes involucradas en los capítulos anteriores muestran las
características relevantes del Universo; no obstante, dichas cantidades no pueden
ser determinadas directamente mediante las observaciones puesto que lo que
podemos ver a través de los telescopios es el corrimiento al rojo, la magnitud
estelar y la intensidad lumínica de los cuerpos celestes.
2.1 Parámetros Cosmológicos del Modelo Estándar
La Constante de Hubble H(t): La ley de Hubble, planteada por Edwin Hubble en
1929, fue deducida a través del desplazamiento en longitud de onda, debido al
efecto Doppler de las galaxias que se alejaban de la Vía Láctea. Hubble descubrió
que la velocidad de una galaxia es proporcional a su distancia. La relación entre la
velocidad de recesión de una galaxia y su distancia, es la constante de Hubble.
Posteriormente fue imperativo expresar, ésta constante, en función de los
parámetros teóricos involucrados en los modelos cosmológicos dinámicos, tal
como lo es el factor de escala. La definición fue inmediata, considerando el
significado del factor de escala:
H( t ) ≡
a& ( t )
a( t )
donde H(t) depende explícitamente del tiempo.
2.1.1
24
Densidad Crítica (ρc): Se conoce como densidad crítica a aquella densidad de
materia a la que el Universo adoptaría una geometría euclidiana. Es decir, si el
Universo tuviera una mayor o menor densidad de materia que la densidad crítica,
la geometría del espacio-tiempo sería cerrada o abierta, correspondientemente.
La densidad crítica se define a través de la constante de Hubble como (Carroll, S.
M., 1992):
ρc =
3 H 2 (t )
8πG
ρ = ρ c ⇒ k = 0 ⇒ Espacio plano
ρ > ρ c ⇒ k > 0 ⇒ Espacio cerrado
ρ < ρ c ⇒ k < 0 ⇒ Espacio abierto
Parámetro de desaceleración q(t):
2.1.2
2.1.3
Éste parámetro, cosmológico muy
importante, que puede ser determinado observacionalmente, nos indica en que
porcentaje la velocidad de expansión del Universo se disminuye. Si la tasa de
expansión del Universo se encuentra en aumento, lo cual se ha evidenciado con
las últimas observaciones, el parámetro de desaceleración, será negativo. Su
definición, evidentemente, contendrá la aceleración del factor de escala, como se
indica en la siguiente expresión (Carroll, S. M., 1992):
q(t ) = −
a&&a
a& 2
2.1.4
2.2 Correcciones a los parámetros cosmológicos, con la inclusión de la
Constante Cosmológica
De acuerdo a la definición dada de la densidad crítica (ecuación 2.1.3), las
propiedades geométricas del Universo vienen caracterizadas exclusivamente por
el valor que tome el parámetro de curvatura k.
25
Aplicando ésta última idea, quisimos expresar explícitamente la forma que tendría
la densidad crítica. Para lo cual igualamos a cero el parámetro de curvatura en la
primera ecuación de Friedmann (ecuación 1.4.20),
puesto que en ella se
considera la densidad del Universo.
Si k = 0, entonces ρ = ρc.
a& 2 Λ 8πG
− =
ρc
3
a2 3
2.2.1
Reemplazamos en la ecuación 1.4.19, la definición de la constante de Hubble
(ecuación 2.1.1), obtuvimos:
H 2 (t ) −
Λ 8πG
=
ρc
3
3
2.2.2
De donde, despejando la densidad crítica, logramos una definición sumamente
valiosa:
ρ c (Λ ) =
3 H 2 (t ) − Λ
8πG
2.2.3
Hemos colocado, explícitamente, la dependencia que tiene la densidad crítica
respecto a la constante cosmológica, ésta notación la mantendremos en todo el
trabajo para diferenciarla de la definición clásica (ecuación 2.1.2).
Comparando las ecuaciones 2.1.2 y 2.2.3, podemos observar que nuestra
corrección se podría expresar así:
ρ c (Λ ) = ρ c −
Λ
8πG
2.2.4
De ésta última relación, nosotros evidenciamos que se pueden distinguir
claramente tres opciones para el valor de la densidad crítica, estas son:
> 0 ⇒

Si Λ = 0 ⇒
< 0 ⇒

ρc (Λ) < ρc
ρ c (Λ ) = ρ c
ρ c (Λ ) > ρ c
2.2.5
26
Actualmente se conoce que una contribución importante de la energía en el
Universo, proviene de la energía del vacío, representada por Einstein como Λ,
donde se asume, que la constante cosmológica es positiva. Al inspeccionar la
relación 2.2.5, observamos que la densidad crítica redefinida será menor a
aquella que se conoce en la literatura (ecuación 2.1.2) y, como veremos más
adelante, ésta idea repercute directamente en la geometría del Universo.
Justamente, para apreciar la influencia geométrica de la Constante Cosmológica,
manipulamos un poco la primera ecuación de Friedmann (ecuación 1.4.21), de la
siguiente manera:
a& 2 k Λ
− = 8πGρ
+
a2 a2 3
k Λ
H 2 (t ) + 2 − = 8πGρ
a
3
8πG 
3 H 2 (t ) − Λ  2
 ρ −
 a
k=
3 
8πG

2.2.6
El término de la derecha de la ecuación 2.2.6 puede ser expresado a través de
nuestra propuesta de densidad crítica (ecuación 2.2.3), así:
k=
8πG
(ρ − ρ c (Λ ) )a 2
3
2.2.7
La forma que obtuvimos para k (ecuación 2.2.7), corrobora que de acuerdo a la
densidad media de materia en el Universo, se cumpliría lo siguiente:
ρ = ρ c (Λ ) ⇒ k = 0 ⇒ Espacio plano
ρ > ρ c (Λ ) ⇒ k > 0 ⇒ Espacio cerrado
ρ < ρ c (Λ) ⇒ k < 0 ⇒ Espacio abierto
2.2.8
Ésta última relación se encuentra en perfecta concordancia con la definición de
densidad crítica, correspondiente a un espacio plano.
27
Por otro lado, se vió en el capítulo anterior, que la segunda ecuación de
Friedmann (ecuación 1.4.20) incluye la derivada de segundo orden del factor de
escala; aprovechando ésta propiedad y descartando la hipótesis tomada por
Friedmann (P = 0), con la pretensión de obtener mayor generalidad, unimos las
ecuaciones 1.4.19 y 1.4.20, con lo que conseguimos que:
ρ + 3P =
3 
Λ 1
 a&& − a 
8πG 
3 a
2.2.9
Luego operamos el lado derecho de ésta ecuación (ecuación 2.2.9), para
expresarla en función de la constante de Hubble:
3  a&&a Λ a 2  a& 2


ρ + 3P =
−
8πG  a& 2 3 a& 2  a 2
3  a&&a
Λ  2
ρ + 3P =
 2 −
H
8πG  a&
3H 2 
2.2.10
Tomamos el lado derecho de la ecuación 2.2.10, y planteamos una nueva
definición del parámetro de desaceleración, Q , esta propuesta relaciona, no solo
el valor del factor de escala con su razón de cambio y su aceleración, sino
también la constante cosmológica, y la constante de expansión de Hubble, así:
Q (t ) = −
a&&a
Λ
+
a& 2 3H 2
2.2.11
Al reemplazar esta propuesta del parámetro de desaceleración, en la ecuación
2.2.10, ésta relacióntomará la siguiente forma:
ρ + 3P = −
3
Q(t ) H (t ) 2
8πG
2.2.12
Si comparamos la ecuación 2.2.11 con la definición conocida de parámetro de
desaceleración (ecuación 2.1.4), veremos que la relación existente entre ellas es:
28
Q(t ) = q(t ) −
Λ
3H 2 (t )
2.2.13
En este punto podemos resumir brevemente las diferencias y relaciones entre las
definiciones clásicas y aquellas propuestas en el presente trabajo.
Densidad
Crítica
Parámetro de
desaceleración
Definiciones
Propuestas
Relación
Clásicas
planteadas
Entre ellas
ρc =
3 H 2 (t )
8πG
q (t ) = −
a&&a
a& 2
ρc (Λ) =
3 H 2 (t ) − Λ
8πG
Q (t ) = −
a&&a
Λ
+
a& 2 3H 2
ρ c (Λ ) = ρ c −
Q(t ) = q (t ) −
Λ
8πG
Λ
3H 2 (t )
Igualmente, podemos resaltar que estas propuestas mantienen inalterada la forma
de las relaciones de densidad y parámetro de curvatura.
Definiciones
Clásicas
Densidad
Parámetro de
Curvatura
ρ (t ) = −
k=
3
q(t ) H (t ) 2
8πG
8πG
(ρ − ρ c )a 2
3
Redefiniciones
ρ (t ) = −
k=
3
Q(t ) H (t ) 2
8πG
8πG
(ρ − ρ c (Λ ) )a 2
3
29
CAPÍTULO 3
MEDICIÓN DE LOS PARÁMETROS COSMOLÓGICOS
Hasta el momento se ha visto como el procedimiento adecuado para modelizar
tanto el Universo como su evolución espacio-temporal. Sin embargo, para
confirmar la validez de nuestros modelos se vuelve imperativo obtener datos
reales que puedan ser introducidos en nuestros resultados. En este punto la
ayuda de los investigadores que se encuentran obteniendo datos a través de sus
telescopios y radiotelescopios es invalorable. Las magnitudes que pueden ser
directamente obtenidas al rastrear el Universo son por ejemplo, las líneas de
emisión de las galaxias, la longitud de onda emisora, la intensidad lumínica de un
cuerpo, su espectro, etc.
3.1 Utilización de Supernovas tipo Ia
Tomando en consideración estas limitaciones es evidente que se necesita elegir
aquellas fuentes que reduzcan al mínimo el número de variables desconocidas,
es decir, cualquier objeto astronómico del que se pueda identificar su brillo
intrínseco sin importar la contribución de la población de objetos aledaños, a
dichos objetos se los conoce como “standard candle”. Puesto que la luz de estos
objetos atraviesa un universo en expansión la información de dicha expansión
vendrá directamente expresada mediante el corrimiento al rojo expresado como
z=
∆λ
λ
3.1.1
La determinación de este parámetro sería obtenida mediante la comparación
entre el brillo intrínseco entre de dicho cuerpo versus el brillo aparente de un
30
standard candle, de la misma especie mas cercano a nosotros. Si colectamos los
valores de corrimiento a rojo y brillo de varios cuerpos, obtendremos valiosa
información de la expansión del Universo.
Durante este último siglo varios objetos fueron propuestos para ser usados como
standard candle. Los primeros en ser utilizados fueron galaxias enteras, sin
embargo estas pueden tener variadas formas y tamaños lo que influencia
directamente en la dificultad que se halló para comparar el brillo entre dos
galaxias aún similares. Posteriormente se propuso la utilización de la galaxia más
brillante de su cluster de galaxias, pero se evidenció una evolución muy notoria
del cluster al que pertenecía la galaxia con lo que el brillo de dicha galaxia se veía
afectado.
Sin embargo alrededor de 1940 se descubrió una nueva subclasificación de
supernovas, estas no presentaban una línea de hidrógeno en su espectro por lo
que en primera instancia fueron denominadas tipo I, aunque posteriormente se
subclasificaron a su vez en tipo Ia si presentaban una línea de absorción de silicio
a 6150Ǻ, o en tipo Ib si no presentaban esta línea en su espectro. Este evento
causo gran expectativa en la comunidad científica puesto que las supernovas tipo
Ia no solo contaban con una característica única sino que las gráficas diseñadas
alrededor de su correspondiente máximo de luminosidad eran sorprendentemente
uniformes y debido a que brillaban tan intensamente (mas que todo una galaxia)
durante su pico de luminosidad, podían ser vistas a grandes distancias.
Entonces las dificultades en el pasado fueron desechadas rápidamente debido a
la naturaleza única de las supernovas tipo Ia por tener una curva de luminosidad
propia de este tipo de explosiones. Así pues, en 1992 los investigadores D.
Branch y Gustav Tammann trabajando en la Universidad de Oklahoma revisaron
toda la literatura que existía al respecto de las SNe Ia concluyeron que la máxima
dispersión intrínseca en las bandas B y V debía ser menor a 0,25mag, lo que
convierte a estos cuerpos como los mejor standard candles que existen hasta el
momento.
31
Una vez que se encontraron cuerpos celestes lo suficientemente confiables como
standard
candles,
cosmológicos.
el
siguiente
Sin embargo,
paso
existían
sería
algunas
determinar
los
parámetros
dificultades con
la parte
observacional, puesto que estas fuentes eran sumamente raras, por ejemplo se
conoce que una galaxia típica tendrá tan solo un par de explosiones tipo Ia por
milenio, siendo además aún más complicado saber cual es la galaxia huésped en
la que se producirá dicha explosión, con lo que se tendría mucha suerte si se
verían estas explosiones unas pocas noches por semestre y, posteriormente que
se haya encontrado dicha explosión, sería imperativo medirla repetidamente por
varias semanas antes que el pico de luminosidad haya pasado para la calibración
de la curva de luminosidad, sin tomar en cuenta aquellos problemas intrínsecos
de los instrumentos. Así pues uno de los primeros equipos en embarcarse en esta
misión tan complicada fue aquel liderado por Hans NΦrgaard-Nielsen, en la
década de los ochenta éste grupo encontró tan solo una supernova tipo Ia en dos
años de búsqueda, y la encontró tan solo después que habían pasado ya varias
semanas de su pico de luminosidad.
A pesar de estas adversidades,
diferentes grupos alrededor del
mundo
concentraron
sus
esfuerzos en solucionar la amplia
gamma
de
problemas
aparecían
al
supernovas.
Así
Supernova
(SCP)
observar
pues
Cosmology
liderado
que
por
el
Project
Carl
Pennynpacker y Karl Perlmutter se dio a conocer en 1988 al construir un
telescopio de 4 metros de diámetro en el Anglo-Australian Observatory dentro del
grupo Muller en la Universidad de California, Berkeley; dicho grupo de
investigación se dedicó a sondear el firmamento en busca de explosiones tipo Ia.
Fueron tan positivos los resultados obtenidos por este grupo, evidentemente
después de resolver varios de los problemas mencionados, que en la actualidad
cuenta con la colaboración del Hubble Space Telescope.
32
Tan solo un par de años después de la conformación del SCP, el grupo de
cooperación internacional que se convirtió en su rival fue el High-Z Supernova
Search Team (HZSST), que se estableció primeramente en el Australia’s Mount
Stromlo Observatory y estuvo dirigido por Brian Schmidt. El HZS descubrió un
método propio para poder observar varias supernovas y logró caracterizar varias
de ellas como explosiones tipo Ia.
Aunque en 1997 el grupo SCP (foto), presentó los primeros resultados de valores
aproximados de parámetros cosmológicos mediante la utilización de las primeras
supernovas de alto corrimiento al rojo caracterizadas como tipo Ia, sus ajustes
tenían todavía barras de error demasiado grandes para poder ser despreciadas.
Posteriormente al siguiente año, ambos grupos presentaron resultados más
confiables obtenidos a través de la inclusión de una mayor cantidad de
supernovas para sus ajustes. Las gráficas presentadas por
los dos grupos
(Perlmutter et. al 1999; Riess et al. 1998) se presentaron de la siguiente manera:
33
Donde la magnitud aparente de las fuentes se encuentran en el eje vertical, y el
correspondiente corrimiento al rojo en el eje horizontal. En estas muestras las
barras de error son bastante pequeñas; sin embargo, la diferencia entre un
Universo con energía del vacío y sin ella era demasiado ambigua para aquel
entonces.
En la actualidad los trabajos, principalmente del SCP y del HZSST, han mostrado
que sus datos se ajustan con mucha facilidad a un Universo plano, acelerado y
compuesto principalmente por algo que han llamado <<materia oscura>>, siendo
posiblemente esta materia, aquella que representa la constante cosmológica.
Las implicaciones de estos resultados en el entendimiento de la Física
fundamental son profundas; por lo tanto, es extremadamente importante
verificarlo por diferentes métodos. Esto ha llevado a que se presenten varias
propuestas acerca de varias técnicas observacionales. Por ejemplo,
se ha
sugerido que la combinación del tamaño angular del tamaño de las fluctuaciones
superficiales de las últimas mediciones de la radiación cósmica de fondo (cosmic
microwave background (CMB)) con las aquellas de la masa de los clusters a
grandes escalas proveería fuerte evidencia de la componente de energía oscura
del Universo. Otra camino, propuesto recientemente, ha sido usar el efecto
integral Sachs-Wolfe, el cual depende de diversos procesos físicos puestos a
prueba con varias épocas cósmicas y comparando luego estos resultados con
aquellos en los que la materia oscura actualmente correspondería a un setenta
por ciento de los constituyentes del Universo.
A pesar de todas estas propuestas, las SNe Ia todavía proveen la más directa
evidencia de la energía oscura, y cualquier mejoramiento en el entendimiento ya
sea de la física de los procesos en estas explosiones o de la manera con la que
interpretamos los datos provistos por ellas serían bienvenidos por la comunidad
científica.
34
3.1.1 Descripción del método observacional con SN Ia
La distancia estimada a la cual se encuentra una SN Ia se deriva de su curva de
luminosidad, a través de la distancia de luminosidad DL
1/ 2
 L 
DL = 

 4πF 
3.1.1.1
donde L y F son, respectivamente la luminosidad intrínseca y el flujo observado
de las supernovas. Además se conoce que en las universos de FriedmannRobertson-Walker, la distancia de luminosidad a un corrimiento al rojo
determinado, z, se encuentra en función de los parámetros cosmológicos
mediante la ecuación deducida en Carroll et al. 1992.
{
[
z +1 −1/ 2
1/ 2
2
DL ( z; ΩM ; ΩΛ ) =
Ωk sinn Ωk ∫ dz (1+ z ) (1+ zΩM ) − z(2 + z)ΩΛ
H0
0
donde
z
ρM
ρc
ρΛ
ΩΛ ≡
ρc
ΩM ≡
−1/ 2
]

3.1.1.2

3.1.1.3
3.1.1.4
y la relación entre ellas es
> 1 ⇒ Ω k = 1 − Ω M − Ω Λ

Ω M + Ω Λ < 1 ⇒ Ω k = 1 − Ω M − Ω Λ
= 1 ⇒
Ωk = 1

⇒ sinn ( x ) = sinh( x )
⇒ sinn ( x ) = sin( x )
⇒ sinn ( x ) = x
3.1.1.5
La magnitud aparente m, de un cuerpo a un determinado corrimiento al rojo (Oke
& Sandage 1968), se expresa como:
m = M + 5 log[DL ( z; Ω M ; Ω Λ )] + K + 25
3.1.1.6
35
donde m es la magnitud aparente de la fuente, M es la magnitud absoluta de la
fuente y el parámetro K de corrección es introducido por la diferente relación en
potencias de z entre DL con ΩM y ΩΛ (Oke & Sandage 1968; Kim, Goobar, &
Perlmutter 1996; Schmidt et al. 1998).
Para la previa utilización de estas herramientas matemáticas, se debe presumir
que si se separan los efectos de la densidad de materia y la densidad de energía
del vacío en la determinación de la relación entre el corrimiento al rojo y la
distancia de la fuente, se podrían utilizar una amplia gamma de supernovas de
alto corrimiento al rojo para el mejoramiento y ajuste de los parámetros
cosmológicos; simplemente porque la densidad de materia decrece con el tiempo
en un universo en expansión, mientras que la densidad de energía del vacío
permanece constante. La influencia relativa entre la densidad de materia y la de
energía del vacío vendría dada únicamente como una función del corrimiento al
rojo de la fuente.
Con esto en consideración,
el
análisis
supernovas
de
se
las
puede
resumir en los siguientes
tres
pasos:
Primero,
la
imagen final de la galaxia
huésped sola, es sustraída
de muchas imágenes que
contienen la misma curva
de
luminosidad
supernova.
Los
de
una
puntos
resultantes de fotometría en
las bandas R e I, son luego
ajustadas con la corrección
K
y el desplazamiento
temporal correspondiente al
corrimiento al rojo, (1 + z).
36
Estos ajustes nos muestran la magnitud aparente en el máximo de la curva de
luminosidad y el mejor ajuste del “stretch factor”, el cual nos indica la escala de
tiempo (y por ende la luminosidad intrínseca) de cada supernova. Finalmente,
todas las magnitudes de supernovas son dibujadas en un diagrama de Hubble en
función del corrimiento al rojo de su galaxia huésped (cuando es factible; sino se
considera el corrimiento de la supernova). Las magnitudes versus los corrimientos
al rojo, pueden entonces ser comparados con varios escenarios cosmológicos
alternativos.
A través de éste método y paralelamente con las mediciones de luz visible, rayos
X, masa y cantidad de movimiento de clusters de galaxias, a finales de la década
de los 90, se determinó que la densidad actual de materia en el Universo es ΩM ≈
0,2-0,3; lo que implica que ΩΛ debía oscilar entre 0,7 y 0,8 para un Universo
plano.
3.2 Supernovas de alto redshift (z)
Trabajos más recientes presentados por el SCP, y el
HZSST, usando supernovas de mayor corrimiento al
rojo (e. g.: Riess A, et al. 2006 (tabla)), han
confirmado las proporciones anteriormente expuestas
para la densidad de materia en un Universo plano. De
esta manera, es fácil ser inducido a pensar, como
ocurrió
con
supernovas
nosotros,
tipo
Ia,
que
más
tomando
alejadas
datos
aún,
de
estas
observaciones proporcionarían información adicional
de un Universo a mayor escala, que permitirían
precisar mejor los parámetros cosmológicos. Las dos
maneras como se puede abordar esta idea de
mejoramiento son: (1) matemáticamente se han
realizan correcciones a los parámetros cosmológicos
37
ingresando órdenes de magnitud de z, mayores o iguales a tercer grado.
Procediendo de esta manera se verifica que órdenes superiores en z no dan
mayores contribuciones a los resultados teóricos; es decir, la ecuación 3.1.1.2
lamentablemente no se ve afectada por z altamente cosmológicos. (2)
observacionalmente se han alcanzado a observar, por ejemplo, supernovas tan
lejanas como con z = 7, pero al introducir los datos obtenidos de ellas no se han
hecho mayores cambios en los valores obtenidos por el SCP y el HZSST (e.g.:
Perlmutter, 2003 & Riess et al., 2004). Debido a esto, las modificaciones hechas a
la relación entre la distancia de luminosidad y los parámetros cosmológicos
(ecuación 3.1.1.2), incluyendo valores de z de mayor potencia, han sido
mayoritariamente rechazadas debido a su mínima contribución.
3.3 Otros métodos observacionales
En Carroll et al. 1992, se sugieren siete métodos diferentes para la determinación
de la constante cosmológica, estos son:
1. Utilización de objetos de alto corrimiento al rojo
2. Medición de las edades de clusters globulares y cronometría nuclear
cósmica.
3. Conteo de galaxias como función del corrimiento al rojo o de la magnitud
aparente.
4. Pruebas dinámicas (clustering y formación de estructuras)
5. Estadística basada en las líneas de absorción de quasares
6. Conteo y estadísticas de lentes gravitacionales
7. Astrofísica de objetos distantes
Y aun cuando no se ha incluido en esta lista, las mediciones de la Radiación
Cósmica de Fondo (Cosmic Microwave Background (CMB)) han jugado un papel
importante en la determinación de los parámetros cosmológicos. Poco después
38
del descubrimiento de la radiación de fondo, en 1967 Sachs y Wolf sugerían que
los primeros agrupamientos de materia, las que terminarían por formar las
grandes estructuras galácticas que vemos en la actualidad, podrían haber
producido fluctuaciones de la intensidad de la radiación de fondo en regiones
diferentes del cielo. Esto sería debido básicamente a que los fotones que nos han
llegado desde regiones de mayor densidad de materia tienen que escalar la
barrera mayor de potencial gravitatorio y perder energía.
En 1989, la NASA envió al espacio el satélite COBE (Cosmic Background
Explorer), para medir la radiación cósmica de fondo proveniente del Universo
temprano. El satélite contaba con tres instrumentos: el DIRBE (el Diffuse Infrared
Experiment) para registrar la radiación infrarroja de fondo, el DMR (Differential
Microwave Radiometers) para mapear la radiación de microondas precisamente, y
el FIRAS (Far-Infrared Absolute Spectrophotometer) para comparar de la
radiación cósmica de fondo con aquella producida por un cuerpo negro muy
preciso.
Luego, en el 2001 la NASA envió una segunda misión destinada a medir las
anisotropías de la CMB, debido a la baja calidad de las imágenes obtenidas por el
COBE. En febrero del 2003 el equipo del WMAP presentó los primeros resultados
obtenidos con la utilización de éste satélite. El equipo publicó 13 papers ese año,
describiendo el proceso de datos, calibración, etc.
39
Medidas combinadas de todos los experimentos de CMB, realizados para extraer
la mejor representación disponible del espectro de potencias del fondo cósmico
de microondas, se pueden visualizar mediante la siguiente gráfica (Figura extraída
de Lineweaver 2003).
En el eje horizontal está representada el modo de oscilación l (abajo) y la escala
angular correspondiente en grados (arriba). En el eje vertical se representa la
potencia en las fluctuaciones de temperatura (proporcional al cuadrado de las
variaciones de temperatura relativas a la media.. La línea continua representa un
modelo con ΩM = 0.213, Ωb = 0.0436, H0 = 72 km/s/Mpc.
Finalmente, éste porcentaje de energía debido a la materia ha sido comprobado
midiendo la radiación en rayos X de grandes clusters, a partir de la suposición de
que la densidad media del Universo es igual a la masa de un gran cluster de
galaxias dividido para el equivalente volumen comoving en el campo en el que
esa masa se encuentra (Buote et. al, 2006).
De esta manera tenemos claro que en la actualidad se conoce que la energía
correspondiente al vacío (representada por la constante cosmológica), es la
predominante en el Universo.
40
3.4 Evaluación de los parámetros cosmológicos corregidos
En el presente capítulo vamos a dar valores numéricos a los parámetros
cosmológicos propuestos en este trabajo.
Haciendo uso de los más recientes artículos publicados por el SCP, CNOC
Cluster Survey y el HZSST, en los que se presentan los últimos ajustes a los
parámetros cosmológicos, asumiremos los siguientes valores para:
Ω M = 0,27
3.4.1
H 0 ≡ H (t = t 0 ) = 72km / s / Mpc = 2,33 × 10 −18 s −1
3.4.2
ρ M = 2,11×10 −29 kg / m 3
3.4.3
Si utilizamos la definición planteada en este trabajo de densidad crítica (ecuación
2.2.3), junto a la de densidad de energía, obtendremos las siguientes relaciones:
ΩM =
8πGρ M
3H (t ) 2 − Λ
3.4.4
ΩΛ =
8πGρ Λ
3H (t ) 2 − Λ
3.4.5
Debido a que era de nuestro interés, la obtención inmediata del valor numérico de
la constante cosmológica, lo hicimos mediante la ecuación 3.4.4, despejando Λ de
ésta ecuación y considerando que la densidad de materia tiene el valor
presentado en 3.4.1, la constante cosmológica en función de la constante de
Hubble, la densidad de materia en el Universo y su porcentaje correspondiente de
energía, Λ tendría la forma:
Λ = 3H 0 −
2
8πGρ M
ΩM
3.4.6
Al reemplazar en ésta última relación los datos presentados en la ecuaciones
3.4.1, 3.4.2 y 3.4.3, obtuvimos que:
41
( )
Λ = 1,6156 × 10 −35 s −2 = 15329 ,47 km 2 / s 2 / Mpc 2
3.4.7
Este resultado nos mostró algo sobresaliente, aunque el valor de la constante
cosmológica es de la misma magnitud que el determinado en la literatura
mediante las definiciones clásicas, la diferencia radica en que su valor es
comparable al cuadrado de la constante de Hubble evaluada en el presente. De
esta manera las correcciones propuestas para la densidad crítica, las densidades
de energía y el parámetro de desaceleración no podrían ser pasadas por alto,
como vamos a ver a continuación.
Lo siguiente que hicimos fue reemplazar el valor de la constante cosmológica en
la definición, propuesta por nosotros, de densidad crítica (ecuación 2.2.3).
ρ c (Λ ) =
3( 2,33 × 10 −18 s −1 ) 2 − 1,6156 × 10 −35 s −2
8π (6,67 × 10 −11 m 3 kg −1 s − 2 )
ρ c (Λ ) = 7,7967 × 10 − 29
kg
m3
3.4.8
Este valor difiere del valor clásico de densidad crítica, el que oscila alrededor de
5x10-27kg/m3. Analizando éste resultado y poniéndolo en función de las relaciones
2.2.7 y 2.2.8, hemos deducido que estaríamos en presencia de un Universo
geométricamente cerrado. Especificando que dicha afirmación se basa en los
datos actualmente conocidos de densidad media de materia a grandes escalas.
La evidencia de que hay más energía del vacío, aportando a la energía total del
Universo, junto al hecho de que la Constante Cosmológica representa un tipo de
fuerza repulsiva e invariable en el tiempo, en la actualidad, el espacio-tiempo
debería encontrarse en un estado de expansión acelerado. Es decir, el parámetro
de desaceleración tiene que ser menor que cero.
Λ 
 a&&a
Q0 ≡ Q (t = t 0 ) =  − 2 +
 <0
3H 2  t =t0
 a&
3.4.9
42
Este razonamiento nos ayudó a utilizar los valores que se tienen calculados para
la definición clásica del parámetro de desaceleración (ecuación 2.2.11). Dichos
valores se obtienen modificando la ecuación 3.1.1.2, mediante la suposición semiempírica de que:
q 0 ≡ q (t = t 0 ) ≈
H 0 DL ( z ) ≈ z +
1
ΩM − ΩΛ
2
1
(1 − q0 ) z 2 + O ( z 3 ),
2
3.4.10
3.4.11
de donde.
q0 ≈ −0,595.
3.4.12
Entonces, usando para Q0 el valor de -0,595, de la ecuación 3.4.9, podemos
deducir el valor que tendría el parámetro de desaceleración no corregido.
Q0 = −0,595
q0 = Q0 −
q 0 = −0,595 −
3.4.13
Λ
2
3H 0
3.4.14
( )
s )
1,6156 × 10 −35 s −2
(
3 2,33 × 10 −18
q0 = −1,587
−1 2
3.4.15
Observamos que éste valor calculado es más pequeño que el valor observacional
de -0,595; sin embargo, esto no implica que el Universo se encuentre
desacelerándose a una tasa mayor de la que conocemos, de hecho el valor
aproximado a -1/2 es puramente observacional depende de las técnicas
utilizados. El valor de qo es diferente, debido a la corrección que se introduce
mediante la Constante Cosmológica, al factor de desaceleración (ecuación
2.2.11).
43
ANÁLISIS Y CONCLUSIONES
1. Aunque el objetivo con el que se inició la investigación para desarrollar
ésta Tesis fue descartado, por lo indicado en la sección 6.1. Descubrimos,
que las últimas investigaciones llevadas por los grupos SCP y HZSST,
muestran que las observaciones de supernovas con z altamente
cosmológicas no contribuyen a la mejor precisión en la determinación de
los parámetros cosmológicos.
2. Centrándonos en nuestro trabajo, logramos entender con claridad que el
parámetro de curvatura es el factor adecuado, para diferenciar los
diferentes tipos de geometrías que puede adoptar el Universo a grandes
escalas.
3. El estudio de la teoría relativista mostró la existencia de simplificaciones a
priori y de incongruencias. El presente trabajo, entonces se enfocó en
resolver estas inconsistencias.
4. La definición propuesta en este trabajo, de densidad crítica, esta
relacionada de tal manera con la constante cosmológica, que ésta no
puede ser despreciada, aún por su pequeñez. Y al contrario, se convierte
en una corrección importante que debe ser tomada en cuenta, para
redefinir el valor clásico de la densidad crítica.
3 H 2 (t ) − Λ
ρ c (t ) ≡
8πG
5. Estamos proponiendo, además, que el valor positivo de la constante
cosmológica, implica no solo un valor menor para la densidad crítica, sino
también una curvatura diferente de cero (k > 0). Este resultado se obtiene
directamente al analizar las relaciones 4.7 y 4.11., concluyendo, en
dependencia de la precisión de la determinación observacional de ρM, que
el Universo sería actualmente cerrado.
44
6. Al proseguir con el mismo punto de vista, sin eliminar a la constante
cosmológica
de
nuestro
análisis
matemático,
pudimos
plantear
correcciones para otros parámetros cosmológicos, lo que nos facilitó el
dar valores y tendencias a nuestras propuestas.
Densidad
Crítica
Parámetro de
desaceleración
Definiciones
Definiciones
Relación
Clásicas
Propuestas
entre ellas
3 H 2 (t )
ρc =
8πG
3 H 2 (t ) − Λ
ρ c (Λ) =
8πG
q (t ) = −
a&&a
a& 2
Q (t ) = −
ρ c (Λ) = ρ c −
a&&a
Λ
+
2
a&
3H 2
Q=q−
Λ
8πG
Λ
3H 2
7. Hemos introducido nuestras correcciones en parámetros fundamentales
para el entendimiento del Universo a grandes escalas, sin haber alterado
significativamente la simplicidad de dichas expresiones.
ρ (t ) = −
3
Q(t ) H 2 (t )
8πG
ΩM =
8πGρ Mi
3H (t ) 2 − Λ
8. Las correcciones numéricas que hemos realizado en este trabajo, han sido
desarrolladas usando los valores actualmente conocidos de densidad
media de materia a grandes escalas (ρM = 2x10-29kg/m3; e.g. Buote et al.,
2006) De acuerdo como evolucionan las técnicas de medición de este
parámetro, es evidente que en
el futuro será precisado y entonces
obtendremos diferentes ajustes de la constante cosmológica aquí
presentada, y subsecuentemente a los demás parámetros relacionados
con ésta, y así podremos tener una mejor propuesta de la historia
evolutiva del Universo.
45
9. La Densidad Crítica tiene un valor menor al que se encuentra
normalmente en la literatura. Esto se debe a la proximidad numérica de la
Constante Cosmológica con el cuadrado de la Constante de Hubble.
ρ c (Λ )
Densidad crítica
Valor Clásico
5x10-27kg/m3
Valor Corregido
7.7967x10-29kg/m3
10. Finalmente, se recomienda que las correcciones aquí propuesta deben ser
consideradas en los diferentes modelos cosmológicos que a su vez se
propongan, y en especial el valor obtenido para la densidad crítica.
46
APÉNDICE
Deducción de la Métrica de Robertson-Walker
En éste apartado plantearemos los tres diferentes escenarios geométricos que
puede adoptar el Universo, para inducir de ellos la métrica de Robertson-Walker.
(1) Geometría Abierta
Nosotros asumimos, para este primer caso una hiperhipérbola, es decir una
hipérbola tridimensional que se curva en una dimensión adicional de Minkowsky,
así:
x 2 + y 2 − z 2 − w 2 = a 2 (t )
(1-1)
La parte espacial de la métrica correspondiente, tendrá la forma
dσ 2 = dx 2 + dy 2 − dz 2 − dw 2
El cambio de variables a coordenadas polares para este caso es
(1-2)
47
x = r.senh θ. cos ϕ
(1-3)
y = r.senh θ.senϕ
(1-4)
z = r. cosh θ
(1-5)
Diferenciando este cambio de variables tenemos
dx = dr.senhθ. cos ϕ + r.dθ. cosh θ. cos ϕ − r.dϕ.senhθ.senϕ
(1-6)
dy = dr.senhθ.senϕ + r.dθ. cosh θ.senϕ + r.dϕ.senhθ. cos ϕ
(1-7)
dz = dr. cosh θ − r.dθ.senhθ
(1-8)
El término dw puede ser obtenido diferenciando la ecuación de la hiperhipérbola
dw =
(− a
xdx + ydy − zdz
2
(t ) − x − y + z
2
2
)
(1-9)
2 1/ 2
Reemplazamos los términos dx, dy, dz y dw en la métrica espacial
dσ 2 = dx 2 + dy 2 − dz 2 −
( xdx + ydy + zdz )2
a (t) − x − y + z
2
2
2
dσ 2 = − dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 senh 2 (θ)dϕ 2 −
dσ 2 =
(1-10)
2
r 2 dr 2
− a2 ( t ) − r 2
a2 ( t )
dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 senh 2 (θ)dϕ2
a2 ( t ) + r 2
 dr 2

r2
r2
2
dσ 2 = a 2 ( t )  2
+
d
θ
+
senh 2 (θ)dϕ 2 
2
2
2
a (t)
a (t)
 a ( t) + r

(1-11)
(1-12)
(1-13)
En este punto, podemos expresar la definición de factor de escala de la siguiente
manera:
r' ≡
r
a( t )
(1-14)
48
Con lo cual nuestro intervalo espacial tendrá la siguiente forma:
 dr '2

d σ = a (t ) 
+ r '2 dθ 2 + r '2 senh 2 (θ ) dϕ 2 
2
1 + r '

2
2
(1-15)
Finalmente obtuvimos para éste primer caso, la métrica espacio-temporal podrá
ser escrita de la siguiente manera
ds 2 = dt 2 − dσ 2
 dr ' 2

+ r '2 dθ 2 + r '2 senh 2 (θ ) dϕ 2 
ds 2 = dt 2 − a 2 (t ) 
2
1 + r '

(1-16)
(2) Geometría Cerrada
Ahora asumiremos una hiperesfera, es decir una esfera tridimensional que se
curva en una dimensión adicional euclidiano
x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a (t ) 2
(2-1)
En este caso la métrica espacial que escribe dicha superficie será
dσ 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 + dw 2
(2.2)
49
A continuación necesitamos ubicarnos sobre la superficie mediante la
transformación correspondiente para este caso
x = r.senθ. cos ϕ
y = r.senθ.senϕ
z = r. cos θ
(2-3)
(2-4)
(2-5)
Siendo sus respectivas derivadas
dx = dr.senθ. cos ϕ + r.dθ. cos θ. cos ϕ − r.dϕ.senθ.senϕ
dy = dr.senθ.senϕ + r.dθ. cos θ.senϕ + r.dϕ.senθ. cos ϕ
dz = dr. cos θ − r.dθ.senθ
(2-6)
(2-7)
(2-8)
Adicionalmente el término dw, puede ser determinado al diferenciar la ecuación
que representa la hipersuperficie
dw =
− ( xdx + ydy + zdz )
(a ( t )
2
− x2 − y2 − z2
)
(2-9)
1/ 2
Reemplazando los términos dx, dy, dz y dw en la métrica de este caso tendremos
dσ 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 −
( xdx + ydy + zdz )2
a 2 (t ) − x 2 − y 2 − z 2
dσ 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sen 2 (θ ) dϕ 2 −
dσ 2 =
r 2 dr 2
a 2 (t ) − r 2
a 2 (t )
dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sen 2 (θ ) dϕ 2
2
2
a (t ) − r
 dr 2

r2
r2
2
dσ 2 = a 2 (t )  2
+
d
θ
+
sen 2 (θ ) dϕ 2 
2
2
2
a (t )
a (t )
 a (t ) − r

(2-10)
(2-11)
(2-12)
(2-13)
Así mismo hicimos uso del cambio de variable (1-14).
 dr ' 2

d σ 2 = a (t ) 2 
+ r ' 2 dθ 2 + r ' 2 sen 2 (θ ) dϕ 2 
2
1 − r '

(2-14)
50
Tras este análisis, hemos deducido que para este caso la métrica espaciotemporal tiene la forma
ds 2 = dt 2 − dσ 2
 dr ' 2

ds 2 = dt 2 − a (t ) 2 
+ r ' 2 dθ 2 + r ' 2 sen 2 (θ ) dϕ 2 
2
1 − r '

(2-15)
(3) Geometría Plana
Como hemos visto en los anteriores casos, el término w es necesario únicamente
para doblar el espacio tridimensional en una dimensión extra, teniendo de esta
manera un espacio curvo con un factor de escala a(t) (ecuación (1-14)), el mismo
que depende explícitamente del tiempo.
Para un espacio de geometría plana esta dimensión extra no es necesaria, por lo
que consideramos una esfera tridimensional:
x 2 + y 2 + z 2 = a2 ( t )
Cuyo intervalo espacial tendrá la forma
(3-1)
51
dσ2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
(3-2)
La transformación a coordenadas esféricas simplemente viene dado por:
x = r.senθ. cos ϕ
y = r.senθ.senϕ
z = r. cos θ
(3-3)
(3-4)
(3-5)
Cuyas diferenciales son:
dx = dr.senθ. cos ϕ + r.dθ. cos θ. cos ϕ − r.dϕ.senθ.senϕ
dy = dr.senθ.senϕ + r.dθ. cos θ.senϕ + r.dϕ.senθ. cos ϕ
dz = dr. cos θ − r.dθ.senθ
(3-6)
(3-7)
(3-8)
Reemplazando estos diferenciales en la ecuación (3-2), vemos que tan solo se
ha producido un cambio de variables a coordenadas esféricas.
dσ 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sen 2 (θ )dϕ 2
(3-9)
ds 2 = dt 2 − dσ 2
(
ds 2 = dt 2 − a 2 (t) dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sen 2 (θ ) dφ 2
)
(3-10)
Con esta última expresión, terminamos el análisis de los tres diferentes
escenarios que supusimos generalizaban cualquier tipo de geometría curva.
Basados en las demostraciones que hemos realizado hasta este momento
(ecuaciones (1-16), (2-15) y (3-10)), podemos estar seguros que la métrica que
contiene a las tres diferentes geometrías espacio-temporales es la de Robertson y
Walker (ecuación 1.3.1).
52
Es imperativo recalcar que, la forma del Universo, al margen de su
comportamiento dinámico, será caracterizada por el parámetro de curvatura (k).
Explícitamente este parámetro podrá tener tres valores:
 1 universo cerrado

k =  0 universo plano
− 1 universo abierto

53
Referencias Bibliográficas
1. Buote, D. A., et al. 2006, astro-ph/0610135 v1
2. Carlberg, R., et al. 1995, astro-ph/9509034v1
3. Carroll, S. M., Press, W. H., & Turner, E. L. 1992, ARA&A, 30, 499
4. Carroll, S. M., 1997, “Lecture Notes on General Relativity”, University of
California
5. Conley, A., et al. 2006, astro-ph/0602411 v2
6. Freedman, W. L., et al. 1998, astro-ph/9801080 v1
7. Goobar, A., & Perlmutter, S., astro-ph/9505022 v1
8. Hook, I. M., et al. 2005, astro-ph/0509041 v1
9. Islam, J. N., 1991, “An Introduction to Mathematical Cosmology”,
Cambridge University Press
10. Kim, A., Goobar, A., & Perlmutter, S. 1996, PASP, 108, 190
11. Oke, J. B., & Sandage, A. 1968, ApJ, 154, 21
12. Perlmutter, S. et al. (Supernova Cosmology Group), 1999, ApJ, 517, 565
13. Perlmutter, S., 2003, Phys. Today, April, 53
14. Perlmutter, S., 2003, astro-ph/0303428 v1
15. Riess, A. G., et al. (High-Z Supernova Search) 1998, AJ, 116, 1009
16. Riess, A. G., et al. 2004, astro-ph/0402512 v2
17. Riess, A. G. & Livio, M., 2006, astro-ph/0601319 v1
18. Riess, A. G. et al. 2006, astro-ph/0611572v2
19. Schmidt, B. P., et al. 1998, ApJ, in press
20. Smoot, G. F., et al. 1992, ApJ, 396, L1
21. Spergel, D. N., et al. 2003, ApJ Sup S, 148, 175