2) Un envío de 8 microcomputadoras similares para un distribuidor

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PRACTICA 2
VARIABLES ALEATORIAS
1) Señale las variables aleatorias discretas:
a) X: altura del Riachuelo
b) Y: número de embragues defectuosos en una partida de 120 embragues
c) Z: estimación de la probabilidad de defectuoso para un embrague tomado al azar
d) P: puntaje que obtendrá el ganador de un certamen de ajedrez clasificado entre 10
competidores
e) Q: peso de un ladrillo común
f) R: grupo sanguíneo del mejor alumno del curso
g) T: cantidad de cheques rechazados por una agencia bancaria en una fecha dada
2)Un envío de 8 microcomputadoras similares para un distribuidor contiene 3 defectuosas. Si
una escuela hace una compra aleatoria de 2 de esas computadoras, encuentre la distribución
de probabilidad para el nº de defectuosas.
Rta:
x
0
1
2
P(x)
10/28
15/28
3/28
3)Encuentre la distribución acumulada de las v.a. expresada en el ejercicio 2.
Rta:
X
0
1
2
F(x)
10/28
25/28
1
4)Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen al cabo de
varios años. Considerando que la distribución acumulada de T, o sea el nº de años al
vencimiento para un bono elegido al azar es:
F(t)=
0
¼
½
¾
1
si
si
si
si
si
Encuentre: a) P(T=5)
b) P(T>3)
c) P(1.4<T<6)
Rta:a)1/4
b)1/2
t<1
1<= t<3
3<= t<5
5<= t<7
t>= 7
c)1/2
5)Una v.a. tiene la siguiente función de probabilidad: p(x) = (1/2)x
a) Comprobar que p(x) es una función de probabilidad
b) Hallar la probabilidad de que x sea par
c) Hallar la probabilidad de que x valga 2 dado que x es par
Rta: Sí b)1/3 c)3/4
x=1,2,3,4,....n
6)Determinar el valor de C de manera que cada una de las siguientes funciones sean funciones
de prob. de la v.a.d x.
a) f(x) = C (x2 + 4)
con x = 0, 1, 2, 3
b) f(x) = C 2
3
con x = 0, 1, 2
x 3-x
Rta:a)c=1/30
;b)c=1/10
7)Un capataz de una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres trabajando para él. Desea elegir
dos trabajadores para una labor especial y decide seleccionarlos al azar para no introducir
algún sesgo en su selección. Sea Y el número de mujeres en su selección.
a) Encuentre la función de probabilidad para Y
b) Halle E(Y) y V(Y)
1
2
Rta:
a)
Y
P(Y)
0
1/5
1
3/5
2
1/5
b) E(Y) = 1; V(Y) = 2/5
8)El gerente de producción en una fábrica ha construido la siguiente función de probabilidad
para la demanda diaria ( nº de veces utilizada) de una herramienta en particular.
y
0
1
2
f(y)
0.1
0.5
0.4
Le cuesta a la fábrica $10 cada vez que se utiliza la herramienta. Encuentre la media y la
varianza del costo diario para el uso de la herramienta.
Rta:E(y) = 13; V(y) = 41
9): Un fabricante de radios desea adquirir 100 resistencias de cierta marca. Antes de adquirir el
lote, elige tres resistencias y las prueba. Sea X = número de resistencias defectuosas entre las
que prueba. Si se sabe que en el lote hay 4 resistencias defectuosas.
a)Halle la función de probabilidad de x. Determinar su media.
b)Se decide rechazar el lote si entre las tres elegidas hay más de una defectuosa. ¿Cuál es la
probabilidad de rechazar el lote?
Rta:a)
X
0
1
2
3
P(X)
0.883611
0.112801
0.003562
0.000026
E(X) = 0.12
b) 0.003588
10)De una caja que contiene 12 elementos de los cuales 3 son defectuosos, se eligen 3
elementos. Sea X = número de defectuosos en la muestra.
a)Hallar la distribución de X.
b)Calcule E(x)
Rta:a)
x
0
1
2
3
P(x)
84/220
108/220
27/220
1/220
b)0,75
11)Sea x una v.a.c con f(x) = e-x
0
con x>0
con x<0
a) Comprobar que f(x) es una función de densidad de probabilidad
b) Hallar la función de distribución acumulada F(x)
c) Calcular P (1<=X<=2)
d) Calcular P (1 <=X<= 2/X>=1)
Rta:a)Sí
b)1- e-x c) e--1 - e—2 d) 1- e—1=0.632
12) La proporción de personas que responden a cierta solicitud de pedido por correo es una
v.a.c. x que tiene la función de densidad:
2 (x + 2)/5
si 0<x<1
f(x) =
0
en otro caso
a) Pruebe la condición de cierre
b) Calcular F(x) y dibujarla
c)Encuentre la prob. de que más de ¼ pero menos que ½ de las personas a las que se les
envió la solicitud, respondan a ésta.
d)Si X1, X2, X3 son 3 observaciones independientes de X , ¿cuál es la prob. de que exactamente
uno de estos valores sea mayor que 0.5?
Rta:c)0.2375 d)0,334
2
3
13)El tiempo de espera en horas entre dos conductores sucesivos que rebasan la velocidad
máxima y son identificados por una unidad de radar, es una v.a.c. x con distribución cumulada:
F(x)=
0
si x 0
1-e-8x
si x>0
Encuentre la prob. de esperar menos de 12 minutos entre dos infractores sucesivos,
a) Utilizando la distribución acumulada de x
b) Utilizando la función de densidad de prob. de X.
Rta:0.7951
14 Una v.a. x tiene una función de densidad de prob. dada por:
x
si 0<=X< 1
f(x) = 2-x
si 1<=X<=2
0
en otro caso
a)Si se definen los sucesos A: 0.5 <=X<=1.5 y B: X>=1 . ¿Son A y B independientes?
b)Calcule E(x) y V(x)
Rta a)Sí
15) Una v.a.d. x tiene la siguiente función de prob:
x 1 3 5
-------------------------P(x) 0.4 0.1 0.5
a) Hallar E(X).
b)Calcule V(x).
16) Un avión de bombardeo en vuelo directo sobre un ferrocarril lleva tres bombas. Si una
bomba cae a menos de 40 pies de la vía, ésta quedará destruída. La densidad de impactos de
la bomba está dada por la función:
f(x) =
(100 + x) / 10000
(100 - x) / 10000
0
si -100<x<0
si 0<x<100
caso contrario
X= desviación vertical respecto al centro del blanco (o sea la vía)
a) Si se lanzan 3 bombas, ¿cuál es la probabilidad de destruir la vía?
b)Se supone que el avión puede transportar 8 bombas más pequeñas, pero que cualquiera de
éstas debe caer a menos de 15 pies de la vía para destruirla. ¿Deberían emplearse las bombas
pesadas o las livianas para esta misión?
Rtaa)1-0.363 =0.9533
b)0.92466
17)La cantidad de reactivo, medido en cientos de mililitros, en un proceso químico, es una
variable aleatoria X con la siguiente función de densidad
1-x/2 si x  (0,2)
f(x) =
0
en otro caso
a)
b)
c)
d)
Grafique la función f
Halle la función de probabilidad acumulada
Halle la cantidad de reactivo para el cual la probabilidad de superar dicha cantidad es 0.75
¿Cuál es la probabilidad de que en tres observaciones independientes de un procesos
químico exactamente una de ellas tenga una cantidad de reactivo superior a 130 mililitros?
Rta:
b)
0
si
x <0
3
4
F(X) =
x – x2/4 si
1
si
0x2
x>2
c) 26.8 ml.
d) 0.283
18) Sea X una v.a. con función de densidad dada por:
f(x) =
c
c+x
0
si -1<x 0
si 0<x 1
e.o.c.
a) Determinar el valor de la constante c para que f sea una función de densidad
b) Calcular P(0<= X<= 0.5)
c)Sean X1, X2, X3 3 observaciones independientes de X , ¿cuál es la prob. de que exactamente
uno de estos valores sea mayor que 0.2?
d)Calcule E(X) y V(X)
Rta: a)c=1/4
; b)1/4 c)0,2088
d) E(x)=1/3; V(x)=11/36
19) Si x es tal que f(x) = 1
0
Hallar E(x) y V(x).
si 0<x<1
en otro caso
20) Sea x una v.a. con función de densidad:
f(x) = x2/3
si -1<x<2
0
en otro caso
Calcular la esperanza matemática de x.
21)El tiempo entre dos pausas en una terminal de edición en pantalla (esto es, el tiempo
necesario para que la terminal procese un comando de edición y haga las correcciones en la
pantalla) es una v.a. donde x tiene la función de densidad:
f(x) = 1.75
0.5<=x<2.25
0
en otro caso
a) Calcule la media y la varianza de x.
b) Qué probabilidad hay de que la terminal procese un comande de edición y haga las
correcciones apropiadas en pantalla en menos de un segundo.
Rta:a)E(x)=1.375
V(x)=0.252
b)0.2857
22) Considere que x es una v.a.c con distribución de probabilidad:
f(x) = x/12
0
si 1<x<5
en otro caso
a) Obtenga la función de probabilidad y la función acumulada de x
b) Calcule E(x) y V(x)
Rta. a)
0
x<1
F(x)= x2 - 1
1<=x<5
1
x>=5
b)E(x)=3,444... ;V(x)=1,13
23) Si x es tal que: f(x) = 2x
0
D(X)=1,065
si 0<x<1
en otro caso
4
5
Sean X1, X2, 2 observaciones independientes de X, ¿cuál es la prob. de que ambas sean
mayores que 0.2?
Rta:
0
si x<0
F(x) = x2
0<=x<=1
1
x>1
P(ambas >0,2)=0,916
24) X es el nº de imperfecciones por cada 10 metros de tela sintética en rollos continuos de
ancho uniforme.
x
0
1
2
3
4
-----------------------------------------------------------------------P(x)
0.41
0.37
0.16
0.05
0.01
Encuentre el nº promedio de imperfecciones por cada 10 metros de tela, la variancia y el desvío
standard.
Rta: E(x)=0.88 V(x)=0.8456
D(x)=0.919
25) A un trabajador de un establecimiento de lavado de automóviles se le paga según el nº de
autos que entran al servicio. Suponga que las probabilidades son: 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6 y 1/6
respectivamente, de que el trabajador reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 entre las 16.00 y las
17.00 hs, en cualquier día de la semana. Determine la ganancia esperada y la variancia.
Rta: a)12,666 b)8.55
26) Si la ganancia de un comerciante de autos, en unidades de 1000 dólares, se puede
considerar como una v.a. x que tiene una función de densidad:
f(x) = 2(1-x)
con 0<x<1
0
en otro caso
a)Determinar la ganancia promedio por automóvil.
b)Calcule la variancia.
Rta:a)333,33 b)V(x)=1/18(en miles al cuadrado)
D(x)=0,2357miles de dólares ó
D(x)=235,7U$
27) Una gasolinera tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10000 galones de
gasolina por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una v.a. Y (expresada
en diez miles de galones), con una función de densidad de probabilidad dada por:
f(y) =
y
2-y
0
si 0<y<1
si 1 y<2
caso contrario
a) Graficar f(y)
b) Obtener F(y) y construir su gráfica
c) Calcular la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8000 y 12000 galones en un mes
d) Si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 10000 galones en un mes en particular,
encuentre la probabilidad de que haya bombeado más de 15000 galones durante el mes.
Rta:c)0.36
d)1/4
28) Una venta en particular involucra tres artículos seleccionados al azar de un gran lote que
contiene 10% de defectuosos. Sea Y el número de defectuosos entre los 4 artículos vendidos.
El comprador regresará los artículos defectuosos para ser reparados, y el costo de reparación
está dado por C=3Y2 + Y + 2. Encuentre el costo esperado de reparación.
Rta:3.38
29)La proporción del tiempo Y, que un autómata industrial trabaja durante una semana de 40
horas, es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad.
f(y) =
2y,
0,
0 y 1
en cualquier otro punto
5
6
a) Encuentre E(Y) y V(Y)
b) La ganancia semanal, X, para este autómata, está dada por X=200Y-60, determine E(X) y
V(X)
c)Obtenga un intervalo en el cual tendría que caer la ganancia durante por lo menos 75/100 de
las semanas en las cuales se usa el autómata.
Rta:a)2/3
1/18
b)73,33...
2222,22
c)(-20.95;140)
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