T655.pdf

ÍNDICE
CERTIFICACIÓN
DEDICATORIA
Página
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
CAPITULO II
GENERALIDADES
Respuesta de Frecuenci a
Objetivas del Análisis
Métodos c!e Anal i sis
DESCRIPCIÓN DE LAS GRÁFICAS DE BODE
Respuesta de Frecuencia de Laza Abierto
!- 4
La Forma de Bode y la Ganancia de Bode
4
2.5
Representaciones de Bode de Funciones Simples
4
2- 6
Respuesta de Frecuenci a de Lazo Cerrado
2-7
Estudio de la Real i mentación de Estados
14
ANÁLISIS DE BODE
2»S
Trabajo en Régimen Transitorio
2.9
Frecuencia de Resonancia
2.10 Ancho de Banda
2.11 Trabajo en Régimen Permanente
2.12 Error en un Sistema con Realimentacián de
Estado
24
Error de Posici ón
Error de Veloci dad
26
Error de Aceleración
28
Empleo de los Coeficientes de Error
Permanente
2*13 Estabilidad relativa
Margen de Fase
Margen de Bananci a
56
Máximo de Resonancia
37
Sensibi1 i dad
57
CAPITULO III
3.1
Planteamiento Generales
3-2
Descripción de Subrutinas Varia ib les
y Di agra-
mas de Flujo
3-2.1
Ingreso de Datos
4O
3-2» 2
Cambio de Datos
41
3» 2. 3
Vi su. a I i z ación de Datos
3.2.4
Subrutina para la Evaluación de la Funcio
de Transferencia
42
Sub r u t i na p ar a es va 1 uar 1 a Fum cío de Lazo A
bi erto
3.2.5
48
Subrutina para evaluar 1 a Fuii cían de Trans•f erenci a con Real i mentad i án <tie Estadas
3.2.6
Análisis de Respuesta de Frecuencia
3.2.7
Estabilidad del Sistema
3.2.S
Margen de Ganancia y Fase
3.2-9
Max i mo de Resonancia
60
10 Velocidad de Respuesta
62
11 Frecuencia de Resonancia
62
12 Ancho de Banda
62
13 Exactitud
66
14 Grá-f i cas
70
15 Grá-f i cas de Bode
70
16 Grá-f ico de Sananci a vs.. Margan de Ganancia
y Fase
17 Grá-f i co Comparativo
Subrutina de Sensibilidad
74
77
SO
CAPITULO IV
EJEMPLOS Y REBULTADOS
CAPITULO V
CONCLUSIONES
97
Anexo A
Listado de Programa
100
Anexo B
Modo de Empleo del Program
114
BIBLIOGRAFÍA
CERTIFICACIÓN
Yo,
ING. MftRCO BflRRflGflN, habí en aío sido escogido como
Proresor Director- de Tesis del Sr. NELSON PUGUSTO OQUENDO PÉREZ
PNDR, y luego que he cumplido con I a misión de d irig ir y asesorar
la misma.
DECLPRO QUE:
El d o c u ni e n t o e n rn e n c i 6 n q u e esenta
pr
y que 1 leva el Tit ulo
de "PNñLISI POR DIfiGRflMft DE BODE DE SISTEMfíS REfiLLIMENTfiDOS POR
VfiRIfiBLEB DE ESTfiDO",
Re?_tne las condiciones y se ha somet ido a 1 as normas
establecí Idas por la Escuela Politiecnica Nacional, para ser*
fíPROBfiDfl.
En consecuencia, considero que el mencionado est Lidiante,,
se encuentra PPTQ para presentarse y ser receptadas las demás
pruebas, previas a la obtención del Titulo y Grado de INGENIERO
EN ELECTRONICñ Y CONTROL.
!
A
A
D E D I C O
D I O S ,
Y
D O
y
G R A C I A S
POR haberme concedido el
de existlir y el Don de
MI
M A D R E ,
PORQUE si el amor de Dios, se parece a
algo en este Mundo, es sin duda el
amor
de mi Madre que
desde
el
nacimiento
y
diariamente
me
despierta
I
J
con ilusión a la vida, mediante la
contemplación
de
sus virtudes
y
ejemplo ,
con su
sin
ostentación,
de todas las horas, tan
noble y desinteresado, que no exige en
su abnegación sublime, ni siquiera la
correspondencia.
M I
P A D R E ,
LA causa de mi ser al engendrarme, la
guia más fecunda de mis acciones. la
mano
generosa
y franca
siempre
dispuesta a la ayuda, la presencia de
una sabiduría, de la que sólo puedo
captar- un mero alienta, la amistad
más preciada y honesta;
en fin,
simplemente, todo lo exelso que creo,
en la elocuencia de mi silencio.
MIS
M A E S T R O S , Q U E ejercitando m i s facultades, m e
abrieron un nuevo horizonte, un nuevo
camino,
con meta y destino promisoprovocando la alegría en la
rios,
acción creadora y el conocimiento
Que
con
honestidad y
sapiencia
moldearon mi ser y me concedieron el
tesorero más codiciado de la educación, les diga can Horacio:
"El vaso
conservará por mucho tiempo el
aroma
de la primera substancia que contuvo"
y que L ds. lo
A
MIS
A M I G O S ,
A
T O D O S ,
Sandra Vega, Paulina Vela, Natalia Vela,
fíaggi Jara, Salomé Oquendo, Laura Oquendo,
David Solt,
Juan Parzmiño.
QUIENES
han hecho sentir, que siendo ellos, como
en
verdad,
cada uno son, mis
mejores
amigos,
tengo realmente mucho más de lo
que merezco.
QUIENES me ayudaran y me seguirán ayudando a n^ER INGENIERO", mi mayor annelo.
INTRODUCCIÓN
lectrónica
Presentar una tesis de ele
tecnológico
en un periodo de
avance
sofisticado COTTIO el que vivimos, es grave responsabi-
lídad generacional,
que sólo pued e acometerse con optimismo, con
fe, pero también con profunda humildad y absoluta honestidad.
Asi
comprendido
MAESTROS
el reto,
de la Politécnica,
titulándose
"Análisis
Realimentados
por
presento a consideración de
artífices de mi f orínación,
Diagrama
por Variables de Estado",
de
Bode
de
mis
lo
que
Sistemas
no deja de ser sino
un
ensayo, .que entregado a los estudiantes que atrás nuestro vienen,
y
sólo constituirá un mito en la búsqueda de la verdad
en la aplicación práctica.
Esta tesis, es un complemento de la tesis "Realimentación de
Estados" presentada por el Sr. Ing. Juan
1*983,
en
la
Carlos Guerra en el año
cual se recomienda se haga el análisis
de
estos
sistemas realimentados por variables de estado.
Se
ha escogido el análisis en el dominio de la
por medio de los Diagramas de Bode,
que
permite
representar
indicando
frecuencia,
ya que es un método práctico
gráficamente
una
función
al dis ñador el efecto que tienen
polos y ceros individuales en un gran rango de
de
los
Se
ha
diseñado
para
el
objeto,
implementado en un sistema IBM P. C.
un
programa
digital,
que lo llamo Anrees,
porque
está aplicado al Análisis de Realxmentación de Estado.
Es decir
que
cálculos
se ha creado este programa dxgital que realiza los
de los parámetros que se desea sean analizados,
integrando, como
una
tiene
subrutina
para
el programa de los gráficos que
conseguir
Symphóny,
visualizar los datos con una alta
versatilidad en el cambio de escalas.
El diseño del programa ANREES,
en
el capitulo IV,
Bode,
que
manifestándose aqui sobre los
diagramas
graficándose
lo diagramas de Bode para las
en diferentes de factores que pueden encontrarse
función
de
tienen magnitud y ángulo de fase expresados -en escala
logarítmica,
clases
está sustentado teóricamente
de
Del
cuatro
en
análisis en el dominio
de
una
la
de los diagramas de Bode se definen los parámetros que
determinan el trabajo en régimen
Para analizar el trabajo en régimen permanente se
el margen de fase,
asi
como
necesarios
margen de ganancia,
el error de posición,
en
la
determina
el máximo de resonancia.
de velocidad y de
determinacon de
la
estabilidad
absoluta.
Se
demuestran las ventajas que imparte la presencia
realimentación
como es el aumente de la exactitud,
de sensibilidad de la razón de la entrada;
sistema
completamente
estable,
etc.
de
la reducción
a la salida dejar
Usado
como
la
método
al
la
•real irnent aci on
entrada
de
los es|t ados de sistemas
todos
y una sola salida,
de
una
sola
que se anal izan en este trapajo,
se
logran situar los polos de la fun ion de transferencia, segün las
espeei ficaeiones deseadas.
La t es i s- muest r a la forma co•no se d et er rn i na la f uncí 6n
equivalente al ut i 1 izar la real irn entacifrn de cada uno de los
estados a través de arnpl i f icadore , cuyos coeficientes sumados,
hacen 1 a red ucci 6n a una fuñe i on de real irnent ación equivalente.
Con
ejemplos de aplicación jara sistemas real irnent ad os
variables
de estado,
i mpl ementad os:
uti 1 izando los
programas
por
cornput aci ona les
PNREES corno principal y Syrnphony corno subprograrna
de gráficos, la tesis demuestra q _ie se pueden di seriar sistemas de
control
con
sensi bi1 idad
buenas características de
y
estabilidad,
velocidad,
exact itud que pe •%rniten un mejor control
de
los
las
que
investigación.
En
sistemas.
La
podernos
cada
tesis
pretende
demostrar las herramientas de
disponer para realizar trabajos
p unt o
t rat ad o,
individuales
o
entrelazados,
nos
la
parciales,
t es i
los
de
perrn i t e
mismos
obt ener
que
dan la síntesis de un proceso
resu 11 ados
asociados
armónico,
o
que
permite demostrar y probar su concordancia.
La tesis recoge el sistema e>íistente,
mejorarle;
por
para cornp 1 ernentarley
parece que llena una necesidad sent ida y ya sugerida,
1o q ue asp i ro a q ue el est ud ante y el disecador de sistemas
de
control,
control
encuentre el progra na que el área de
Ingeniero
de
necesitaba con un método que resuma lo intrincado que es
anal isis diseño e i rnpl ernent ación.
EL fiU "OR
GENERALIDADES
2.1
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La
respuesta
respuesta de frecuencia de un sistema se define como
del
sistema
en el estado estacionario
a
una
presenta e 1 método de
respuesta
la
señal
sinusoide de entrada.
Las
ventajas
que
la
de
frecuencia son:
Fácil disponibilidad c e señales de prueba
sinusoidales
para
diversos
rangos
de
frecuencia y amplitude s.
Se puede obtener la función de transí"erenque describe el comportamiento, sinu-
cia
soide
en
estacionario
el estado
sistema,
reemplazando
en
de
un
la función. de
ma T(s) a s por jw.
transferencia del siistema
El diseño de un sisten a en el dominio cíe
la frecuencia proporcd ona al diseñador un
control
medida
del
de
ancho
la
de
banda
respuesta del
y
alguna
sistema
a
ruidos y perturbaciones indeseables.
La
la
principal desventaja de este método para el análisis
correlación
características
directa pero no tan sólido que existe entre
de
la
respue: ta
de
frecuencia
es
las
las
correspondientes características de la respuesta transitoria; pero
en la práctica la característica de la respuesta de frecuencia se
ajusta
usando diversos criterios de diseño que
normalmente
dan
como resultado una respuesta trans: toria satisfactoria.
2.2
OBJETIVOS DEL ANÁLISIS
Los
control
principales
por
objetivos
realimentacion,
del
son
análisis
la
de
sistemas
determinación
de
de
las
siguientes características del sis :ema :
a ) El grado de estabilidad del sistema,
b) La calidad del trabajo ejecutado en
estado estacionario.
transitorios.
c) La
respuesta
a
MÉTODOS DE ANÁLISIS
El procedimiento general para analizar el sistema tíe control
es el siguiente:
'l.- Se determina las ecuaciones o función de transferencia
cada componente del sistema.
para
2.- Se escoje un modelo para representar al sistema (diagrama
bloque o gráfico del flujo de señales).
3.- Se realiza el modelo del sistema conectando
los componentes C bloques o nodos y ramas).
en
apropiadamente
4.- ir» determina las características del sistema.
DESCRIPCIÓN DE LAS GRÁFICAS DE BODE
2.3
RESPUESTA DE FRECUENCIA DE LA ZQ ABIERTO
Las
magnitud
las
representaciones de Bode consisten en dos gráficas:
de GH.(jw) y el ángulo de fase de GH(jw),
funciones
descritas en el si 3tema mostrado e-n
2
siendo G y
la
fIg
LaH
2-0
RCs)
g-/i
Fig 2-0 Sistema con realimentación
ambas
se
representan
Generalmente
frecuencia
se
y
usan
para
considerablemente
como
funciones
de
la
frecuencia
escalas logaritimicas para el
1GH(jw)1,
ya que estas
escalas
eje
de
w.
la
simplifican
su construcción manejo e interpretación dentro
de un amplio intervalo de frecuencias
La
magnitud
'IP< jv) I de cualquier función de
P(jv) para cualquier valor de w,
se representa sobre una
escala
logarítmica en decibeles (dB), donde
dB - 20 log
IP(Jw)I
(2. 1)
Puesto que el decibel es una unidad logarítmica, la magnitud
en dB de una función de respuesta de frecuencia,
compuesta de un
producto de términos, es igual a la suma de las magnitudes en dB.
de los términos individuales,
logarítmica
Luego , cuando se emplea una escala
la representación de la magnitud de una
función
respuesta
de
frecuencia
términos,
se
puede obtener sumando las representaciones de
expresada como un producto
de
de
varios
magnitudes individuales en dB para cada término del producto.
las
Es
conveniente además, usar la l'lamada forma de Bode de una función
de
respuesta
Bode.
de frecuencia para construir
representaciones
de
2.4
LA FORMA DE BODE Y LA GANANCIA DE BODE
La forma de Bode para la función
K ( 3 w + zl) C 3 w-fr:z2 ) . * . ( j v*-zm )
( j w) ( j Y/ -*- p 1 ) ( j w + p2 > . . . ( j w •*• p n )
donde n es un entero no negativo,
se obtiene factorizando todos
los zi y pi y ordenando en la forma
CK
(2. 2)
Definiéndose
por tanto la ganancia de bode como
el
coeficiente
del numerador en (2.2):
K
KB =
2.5
REPRESENTACIONES
Las
cuatro
. 3)
DE BODE DE F JNCIONES SIMPLES
clases
diferentes
de
factores
que
pueden
encontrarse en una función de tran ¡ferencia son:
1) Ganancia constante KB.
2) Polos o ceros en el origen (jw)"¡l
3) Polos o ceros en el e j e real ( j a w •*• 1 VI
4) Polos o ceros conjugados complej
jos
( C i + 2 "5/wn
) j w -»-
Cjw/w.)a)
1)
fase
La
de
constante KB tiene una magnitud
0
negativa.
grados
Por
simplemente
si KB es positiva y -180
tanto,
lineas
IKBI ,
un ángulo
grados
si
KB
las representaciones de Bode para KB
rectas horizontales como se muestra
en
de
es
son
las
figuras 2-1 a) y b).
¿^
20 logio
.a
•a
KB|
UJ
a
H
.
N
V
a)
KB >0
UJ
en
N
V
0°
u.
UJ
o
o
KB<0
| -180°
^
7
b)
Fig. 2-1 Repreaentaciones de Bode para Kb a) Magnitud en dB
b) Ángulo de fase
2)
La
función de respuesta de frecuencia para un
polo
de
orden ri en el origen ea
(2. 4)
n
Las representaciones de Bode para esta función son
como se muestran en las figuras 2- 3 a ) y b).
lineas rectas
Mientras que para un cero de orden n en el origen
n
C jv)
(2. 5)
Siendo sus representaciones de Bode las reflexiones acerca de las
lineas
de 0 dB y 0 grados de las figuras que se muestran en
las
figuras 2-3 a) y b) como se muestran en las figuras 2-4 a) y b > .
60
20tog.,
20
1=1
-2.0
1=2
-40
-60
ai
0.5
1.00
2.00
5.00
10
i/aaq
360C
arg(jw)
270°
1=2
'180°
1=3
90°
0.1
0.2
0.5
FRECUENCIA
fig.
2-4
LO
2.0
5.0
w, rod/aeg
Representación de Bode para un cero de orden
a) Magnitud de dB y b) ángulo de fase
7
3) Considérese la función de transferencia de polo Himple
p > 0
(2.6)
cuyas representaciones de Bode se dan en las figuras 2-5 a) y b).
que la escala logaritimica de
Obsérvese
normalizada en términos de p.
asintóticas
frecuencia
Para determinar las aproximaciones
estas represen taciones de Bode se observa
para
w/p « 1, o v « p.
20
log I
= 20 log 1 = 0 dB
1+jw/p
-I O
-20
FRECUENCIA
Fig 2-5
está
NORMALIZADA
w/p
Representación de Bode para un polo simple
a) Magnitud en dB
que
CURVA
-20°
z
urgí-
AS1NT011CA
U jw/p
-40°
-60°
-80°
i.o
0.1
FRECUENCIA
2.0
NORMALIZADA
5.0
w/p
b)
£±g. 2-5
Representación de Bode para un polo simple, a) Magnitud
de dB y b) Ángulo de fase
y para w/p » 1 o w » p.
1
20 log
I
!= 20 log
1+jw/p
I
I =
-20
log
(w/p)
jw/p
Por consiguiente la representació
ion de Bode para la magnitud
tiende asintóticamente hacia una linea recta horizontal en 0 dB a
medida que w/p tiende a cero y a - 20 log (w/p) cuando w/p tiende
a
infinito (fig.
frecuencia
dB/décadá
es
2-5 a)
una
linea
Obsérvese que esta asíntota de
recta
con
pendiente
igual
o -B dB/octava cuando se representa sobre
una
alta
a
- 20
escala
logarítmica de frecuencia como se muestra en la figura 2-5 a) Las
dos
asíntotas
rad/seg.
Para
se
interceptan en la frecuencia de
w
=p
determinar la asíntota del ángulo de fase se
ve
que para v/p « 1, o w « p.
- 1
arg
•- = - tan
1-*-jw/p
(w/p) = 0
corte
y para w/p » l r o w » p.
1
arg
- tan
(v/p) = -90
1+jw/p
Luego
la
representación
de Bode para el
ángulo
de
fase
tiende asintáticamente a 0 grados a medida que w/p tiende a cero,,
y
a 90 grados cuando w/p tiende a infinito como se muestra en la-
figura
2-5
negativa
de
b).
Una
asíntota
n linea
recta
con
pendiente
se puede usar para unir la asíntota de 0 grados
-90 grados dibujando una
y
la
linea desde la asíntota de 0 grados
en w = p/5 hasta la de- -90 grados
w = 5p.
Obsérvese que esta
es tangente a las curvas en w = p
Los
errores
asintóticas
se
introducidos
muestran
en
por
estas
aproximaciones
la habla 2-1 para
la
función
de
transferencia de polo único a varias frecuencias.
Tabla 2-1.
Errores asint éticos par a
p/5
w
Error de Magnitud
(d3)
Error del ángulo de fase
Las
representaciones
p/2-"
-0, 17
-0, 9S
-11, 3
-0, 8
de
Bode
y
™
:.' p
_o
0
sus
1
*~
1+ j w/p
2p
-0r 9S
0frS
t
5p
-0, 17
llr 3
aproximaciones
Las
representaciones
de
Bode
sus
y
aproximaciones
asintóticas para la función de respuesta de cero único
(2. 7)
se
muestra
función
puede
en la figura 2-6 á) .y b)
Para el caso en
de transferencia dada tenga términos como
realizar
una
construcción
asintótica
frecuencia de corte sigue estando en w = a,
lineas rectas.
horizontal
la
(1-t-j w/a )->-n
similar-.
s
La
y las asíntotas
son
La asíntota de baja frecuencia es una linea recta
en 0 dB f
mientras que la asíntota de alta frecuencia
tiene una pendiente de -20ndB/década o 20ndB/década.
resultante
que
de
las
expresiones
correspondiente a (l+jw/a)+n.
asintóticas
es
El
n
error
veces
el
El ángulo de fase es n veces el cí
<l+Jwa)+n f en cada punto de frecuencia.
4)
Las
representaciones
de
Bode
y
sus
aproximaciones
asintóticas para la función de respuesta de frecuencia de segunda
orden con polos complejos.
1
(2. S)
J2 t v/wn
se
muestran
en
w / w 11)
las figuras 2-7 a) y b) .
si
se
puede
expresar este factor cuadrático como un producto de dos de primerorden como polos reales.
Si 0 <-f < 1,
el producto de dos factores complejos.
amortiguamiento
es
determina la amplitud
un
este factor cuadrática e
Obsérvese que la razón de
parámetro en estas
gráficas,
3_a
cual
del pico de resonancia que se produce y que
era de esperar de la ecuación
(2.
11
La asíntota de la magnitud que se muestra en la figura 2-7 a)
tiene
una frecuencia de corte en v = wn y una pendiente de
frecuencia que está en -180 grados en el lugar de -90 y el
alta
punto
tangencial o inflexión está en -90 grados.
Las
representaciones de Bode para un par de ceros complejos
son las inversiones de los polos complejos alrededor
de
las lineas de 0 dB y 0 grados.
Zo
20 tog
2
1* jw/z
10
US
O
Ql
0.2
0.5
FRECUENCIA
2.0
1.0
NORMALIZADA
5.0
10
w/x
a)
Fig 2-6 Representación de Bode para Cero Único
12
a) Magnitud en dB
Frecuencia normalizapa
b)
T i g . 2-7
orden
Representaci ón de Bode par 1 a -funci ón de segunda
i
tud
en
dB
b)
Angula
de
-fase
can palas complejas a)
13
2.6
RESPUESTA DE FRECUENCIA DE LAZO CERRADO
Aunque
respuesta
las
no
hay
un
directo
para
representar
la
de frecuencia de lazo cerrado CCjw)/RCjw) a partir
representaciones
puede
método
aproximar
de
de Bode de lazo abierto
la
siguiente
GH(jw),
manera.
La
de
esto
se
respuesta
de
frecuencia de lazo cerrado está dada por
C( jw>
G< jw)
RC jw>
1-t-GHCjv)
C(jw)
G( jw>
1
Rtjv)
GH< jv>
HCjw)
Si I G H C j w ) 1 » 1
Si IGH(jw)! « 1
CCjw)
= G < j w)
La
respuesta
sistemas
bajas
de
frecuencia de lazo abierto de
la
mayor i a
se caracteriza por una alta ganancia en las frecuencias
y unlganancia decreciente para las .frecuencias más
debido
de
al exceso
de las polos en
comparación
con
los
altas,
ceros.
Luego,, la respuesta de frecuencia de lazo cerrado para un sistema
de
realimentación de unidad (H=l) se aproxima por medio de
magnitud
de
1
(0
dB) y ángulo de fase de 0
grados
frecuencias _ que están por debajo de la frecuencia del
ganancia wl.
para
cruce
una
las
de
Para frecuencias por encima de wl, . la respuesta de
14
frecuencia
cié
latzo cerrado se puede aproximar por medio
de
la
magnitud y ángulo de fase de GC jw).
2.7
En
H
el
ESTUDIO DE LA REALIMEHTACION DE E5TÁDDS
trabajo presentado por el Sr. . Juan
Realimantación de Estados"f
tema,
por
alguno.s
lo
Carlos
Guerra,
se hace un estudio detallado de este
que en este trabajo complementario,.
se
de los aspectos importantes que son de interés
mostrará
para
el
desarrollo del análisis de estos sistemas.
Las
ventajas que imparte la presencia de la
realimentación
en general a un sistema son:
1.- Aumento
en
la
exactitud
es
decir,
la
habilidad
para
reproducir la entrada fielmente.
2.- Reducción de sensibilidad de lavraxón de salida a la
entrada
\s variaciones producidas en las características del sistema.
3. - Reduce
los
efectos
producidos
por
la no
linealidad
y
distorsión.
El
sistema
realimentado
por
variables
de
estado
proporciona todas estas ventajas antes mencionadas é mas de dejar*
al sistema completamente estable.
Usando como método la realimentación de todos los estados de
sistemas
de una sola entrada y una sola salida, . que son los que
se analizarán en el presente*trabajof
de
la
función
deseadas.
de
traníerencia,
se logra situar los
según
las
.polos
especificaciones
En
la
figura
2-8
a)
ee tiene
un
diagrama
de
bloques
representando un sistema de laso abierto de control, el cual será
tomado
como
ejemplo
para mostrar los efectos
que
produce
la
realimentación de estados.
2
S +l
En
la
5
1
S+5
S
^
Kg
U(s>-
-Y(s)
figura 2-8 b) se observa claramente dos
etapas
del
que
sistema,
el
proceso o planta en si y la etapa controladora
consiste
en
una - re alimentación de cada uno de
los
través
de amplificadores cuyas ganancias son
mismas
que se denominan coeficientes de realimentación y
amplificador
Kl,
estados
K2,
K3,
de
adicional de ganancia Kg que contribuirá a dar
características
deseadas
del sistema.
La suma de
estas
a
las
un
las
tres
cantidades de realimentación es:
K1.X1
K2. X2
K3.X3
=
K . X (2.9)
siendo K_ el vector de realimentación.
Usando
puede
técnicas de manipulación de diagramas de bloquee
elmplif icar
indica
consigue
en
la
la figura 2-8 b) pasando a la
figura 2-8 c) y con una
posterior
el diagrama de la figura 2-8 d) ,
forma
se
que
se
reducción
se
en la cual se observa
que
la realimentación de variables de estado es equivalente a
insertar una función de realimentación Heq. como en un sistema
convencional, y añadir una ganancia Kg a la función de
transferencia G(s) del proceso o planta del sistema.
De
manera
que se ha conseguido hacer lo que
se
conoce
reducción a un Heq (figura 2-8 e).
De la (figura 2-8 d) se obtiene:
k3 S£ + 5( K3 + K2 ) S + 5 Kl
Heq(s) =
(2. 10)
2
10 Kg
Gis) =
(2.11)
S (S+l) (S+5)
Por tanto la función de
del sistema será:
YCs)
Kg.Gis)
(2.12)
R(s)
U(a)
O
1
+
Kg.G(e).Heqís)
2
X3
5
X2
1
Xl=Y(s)
^^ Kg
S-t-1
S+5
'1
K3
figura 2. 8 b)
17
S
1
K2
Kl
co
T
K KCs)
Heqís)=
'
' YCs)
T
K X(s)
=
(2.1S)
cXCs)
Cuando se utiliza la relación Xj (s) = sj-1X1(s) de variables
de fase, la ecuación (2.16) se convierte en
knS"-1
ii e c[ \ /
TJ i—. r~, ( t-t \
—
•*• k n - l S " - e + . . .
.
.___--_„
SM
—
•*-
CV7-1S" -
l
—
-f- el
•*- k2 -*- kl
—
/
k.
+ c©
Asi según las ecuaciones (2-13) y (2-17)
kgíknS"- 1
G
f {—
+ kn-lS»~ e
+ ... + k2S
-*-
kl)
\j
Sn + a n - l S " - r
Llevando
las
ecuaciones
+ alS -»- a©
(2-13)
y (2-18)
en
la
(2-12) r
resulta
YCs)
R(s)
kg(Sw
+ S" - l
+ ,.. 4- c0)
S" -í-(an-l-t-kgkn)S" - A • • * - . . . + (a0 •*• Kgkl)
Un análisis de las ecuaciones <2~13Í;
(2-17), (2-18), (2-19)
conducen a las siguientes conclusiones:
a.- El numerador de Heq(s) es un polinomio de grado n-lf
s, es decirP
loa
en
tiene n-1 ceros. Pueden seleccionarse los valores de
coeficientes de este polinomio,.
una vez que Be haya
sacado
£actor
común
kq,
para
lograr el
comportamiento
deseado
del
sistema.
b.- El
numerador
de
denominador de Heq (s) .
bucle
abierto
tiene
los
Gís) a excepción de Kg
es
igual
ai
Por tanto la función de transí erencia en
Gís)Heq(s) tiene los mismos n polos
n-1 ceros de Heq í sK
que
Gís)
La función G C s)H(s) tiene
y
n-1
ceros, que se determinan en el. proceso de diseño.
c. -
La
ecuación (2.17) implica que cuando K = c se
tendrá
realimentación unitaria (Heq = 1) .
d.- Según
la
la ecuación (2-19) se observa que el resultada de
realimentación de estados a través o por medio
de
elementos
constantes,, es el de cambiar las posiciones de los polos en bucle
cerrado, dejando los ceros del sistema, si los hay, iguales a los
de
G C s) *
polos
Puede
ser deseable además especificar que uno o
en bucle cerrado se anulen con uno o más ceros
rná
indeseados
de CCs)/R(s),
e. - El
diagrama del lugar de raices,.
(2-18) para Kn>0,
0
=
revela
-180 'grados,
que
que
existe
una
basado en la ecuación
única
n-1 ramas terminan
asintota con
en
los
n-1
ce
arbitrarios que pueden situarse en cualquier lugar del plano s, y
que
una
rama
estabilidad
Kg
si
real '.'negativo
en
s~- »o .
del sistema se asegura para los valores elevados
todos
izquierdo.
termina en el eje
los ceros de Heq(s) se sitúan en
Para
el
Kn<0 existe una sintota única con
semiplano
de
s
= 0 grados,
asi el sitema resulta inestable para valores grandes de Kg.
21
L
ANÁLISIS DE BODE
2.8
TRABAJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO
El
estado
-transitorio del sistema o el funcionamiento
respecto al tiempo es una respuesta de interés para los
con
sistemas
de control.
Aunque
da
una
la respuesta de frecuencia de un sistema de
imagen
correlación
cualitativa
entre
de
frecuencia
la
y
respuesta
respuestas
control
transitoria,
transitorias,
la
es
indirecta,, excepto en el caso de sistemas de segundo orden en los
cuales
se
puede
predecir exactamente el
determinado
éste
rapidez
alcanzar
en
relación
por la rapidez: de la
trabajo
transitorio,
respuesta,
el estado estacionario,
en
esto
es
la
rasión
de
la
existente con la frecuencia de resonancia wr y el ancho
de banda.
2.9
FRECUENCIA DE RESONANCIA
Como
se
determinó en 2,5 4) el sistema con una función
de
transferencia con polos o ceros conjugados complejos, producen un
pico de resonancia (Mp) ,
ocurre
puede
denominándole a:' la frecuencia a la
este pico corno frecuencia de resonancia C wr)r
determinar
ecuación
haciéndola
(2.8)
igual
tomando
respecto
a
cero.
la
derivada de
de la frecuencia
De tal forma que
resonancia se representa por la relación ;
22
la
la cual se
magnitud
normalizada
la
que
de
la
w/wn
y
frecuencia
de
wr = wn
U
1-2 1-
la cual está ilustrada en la figura 2-9
(2. 20)
.
El valor de la frecuencia de resonancia wr es una medida
la rapidez de la respuesta transitoria.
de wr,
de
Cuanto mayor es el valor
más rápido es el tiempo de respuesta.
En otras palabras,
el tiempo de crecimiento varia inversamente con wr.
2.10
ANCHO DE BANDA
Con referencia
rango
de
cerrado
a la figura 2-9 se denomina ancho de banda al
frecuencia
no
cae
0
< w < wc en el que el
valor
por debajo de -3 decibelios del
del
valor
lazo
máximo.
Llamándose a wc la frecuencia de corte.
Un
ancho
crecimiento
generales,
breve,
se
proporcional
de
banda
elevado corresponde ' a
es decir,
respuesta
rápida»
un
tiempo de?
En
términos
puede decir que el ancho de banda es directamente
a la rapidez de respuesta.
Para que el sistema siga con exactitud entradas arbitrarias^
es necesario
embargo,
que el sistema tenga un elevado ancho de banda.
Sin
desde el punto de vista del ruido, el ancho de banda no
deberia ser muy grande.
Cabe
añadir
que
un sistema con
ancho
de
requiere componentes de características elaboradas.
banda
elevado
(El costo de
los componentes generalmente se incrementa con el ancho de banda)
23
WAB
figura 2-9
2.11
TRABAJO EN RÉGIMEN PERMANENTE
Para
sistema
un
es
sistema de control es necesario determinar
o no estable.
frecuentemente
es
Además,
necesario
si el sistema
investigar
es
la
si
el
estable,
estabilidad
relativa, punto que lo trataremos más adelante.
Un
sistema
estable
se
define como aquel
que
tiene
una
respuesta limitada; es decir, se dice que el sistema es estable
si
estando
sujeto a una entrada
o
perturbación
limitada,
su
respuesta es de magnitud limitada.
2.12
ERROR EN UN SISTEMA CON REALIMENTACION DE ESTADO
De las ventajas de realimentación mencionadas en la
2.7,
a pesar de su costo y mayor complejidad, es el mejoramiento
esperado
aqui
sección
en la reducción del sistema en estado estacionario,
la importancia de analizar el error en régimen
24
de
permanente.
En
los
desarrollos que siguen se emplea
variables
determinan
de
fase
los
(forma canónica } en
valores
nesesarios
de
la
representación
la
que
los
de
se
coeficientes
de
realimentación.
ERROR DE POSICIÓN
Despejando
representación
Y(s)
de
la
ecuación
con variables de fase,
(2.19),
basada
en
la
y aplicando el teorema del
valor final, se obtiene para una entrada en escalón
Kg co Ro
Y(t)ss =
(2.21)
ao-t-KgKl
El error del sistema se define por
e(t) = r(t) - y(t)
Para
un error nulo en régimen permanente,
(2.22)
e(t)ss =
0,
salida debe ser igual a la entrada:
Kg co Ro
y(t)ss = r(t) = Ro =
(2.23)
ao + KgKl
en la que co T 0.
Esto requiere que Kg co = ao + KgKl, o sea
ao
Kl = co -
(2.24)
Kg
25
la
Asi,puede
entrada
en
lograrse un error nulo en régimen permanente
escalón
con realiroentación de variables
de
con
estado
aunque Gis) sea del tipo 0. En una planta polar í sin ceros) Co= 1
y
para
un Tipo 1 o mayor ao =0,
En este caso se
requiere
que
Kl-1.Por tanto se determina el coeficiente Kl con los parámetros
de
la
planta,
una vez especificado un error
permanente para una entrada en escalón.
13) la ecuación característica
nulo
en
régimen,
Según la ecuación < 2.
del sistema es;
S" + (an-l-<-kgkn)Sn- l +. . . + C a2 + kgk3 ) S2 +(al+kgk2)S+ (a0+Kgkl) =0
(2-2
Nótese que el término constante del polinomio es positivo, asi se
satisface
ecuación
el
requisito
(2.25)
de
que todos los
sean positivos para que
coeficientes
exista
una
de
la
respuesta
.estable.
ERROR DE VELOCIDAD
Para
realizar
el análisis con entradas rampa o
debe determinarse primero la función error E(s).
parabólica
Despejando
Y(s)
de la ecuación (2.19) y llevando a E(s) = RCs) - Y(s) resulta
)Sn- i •*•. . . -kg('SM -í-cw-lS**.- l +. * .
E(s)= R ( s ) - ¡--------------------------S" -*• (an-1-Hkgkn ) Sn - 1 -»•*..•*• Ca2 + kgk3)Sa -*- ( al-*-kgk2 ) S-*- ( a0-*-Kgki
(2, 26)
llevando
la ecuación (2.24),
requisito para tener un error nulo
en régimen permanente con una entrada en escalón,
26
a la
ecuación
(2.26)
se
produce la anulación de los términos
constantes
del
numerador.
(an~i+kgkn>Sn
-kg C SH -t-cw-lS"
ECs)= R(s)
(2. 27)
Para una entrada en rampa R(s) = R1/S£
al + kgK2 - Kgcl
•
Kgco
e ( t ) ss = lim
Ri
(2.28)
Para obtener e(t)ss =0 es necesario que
al •*- KgK2 - Kgcl
Esto se logra cuando:
al
(2.29)
K2 = el
En una planta sin ceros co = 1 y ci = 0;
este
caso
la
primera
potencia
asi K2 = al /
de
s
en
la
Kg.
En
ecuación
característica, (2-25), tiene un coeficiente nulo y el sistema es
inestable.
régimen
Por
tanto,
permanente
no
para
puede conseguirse un error
una
27
entrada
en
rampa
nulo
con
en
una
realimentación
de variables de estado en un sistema
con
planta
polar.
Si al + kgk2 > 0,
en
la
f
para mantener un coeficiente positivo de s
ecuación (2-25 ) r ©1 sistema puede ser estable pero con
error finito.
un
El error en una planta polar ('sin ceros) es
e(t)ss -
al
k2 f ---- Rl
" (2.30)
Supongamos que el valor de k2 dado por la ecuación (2.29)
está especificado para lograr un error nulo en régimen permanente
para una entrada en rampa, siendo el sistema cero-polar en la que
el > 0.
Llevando la ecuación (2. 29) a la ecuación (2. 25) result
un coeficiente positivo Kgci para la primera potencia de s.
Asi,
un sistema estable con realimentación de variables de estado
con
un error nulo en régimen permanente tanto con una entrada en
escalón como en rampa, sólo puede lograrse cuando la ra^ón de
mando tiene al menos un cero*
Nótese que esto ocurre aunque Gis)
sea del Tipo 0 ó 1.
ERROR DE ACELERACIÓN
Entrada Parabólica r(t) = R2u-3(t>
Para
la
= ' ( R2t2 ) u-1 ( t ) , R ( s ) = R2/s3
este tipo de entrada conviene considerar separadamente
planta polar de las plantas cero-polares-
polar solamente, satisfecha la ecuación
se reduce a
28
Para
una
( 2. 24 ) , la ecuación
planta
( 2. 28
(2. 31)
Sn +(an~l+kgkn)Sn - * +. . . •*• < al+kgk2) S
R(s)
-kg(SH
. . . -*-c2Sa
E(s)
S3 S" •*- (an-l+kgkn)Sn " l +. . . + ( a2+kgk3 ) Se + (ai*kgk2
Como e(t)ss = lim sE(s)
=c°
se .llega a la conclusión de que una
planta sólo polar no puede seguir a una entrada parabólica.
ocurre incluso si no se satisface la ecuación (2.24).
la condición
Esto
Impuesta
de que e(t)ss = 0 tanto para la entrada en escalón
como en rampa en un sistema estable con ceros y polos, se llevan
las ecuaciones
Sn
(2,24) y (2.29) a la ecuación (2.27), resultando
+ (an~l+kgkn)S" -l -*-...+ (al-*-kgk2)S
R(s)
-kg(SN
E(s)
S3
a2-*-kgk3 ) S£
(2.32)
Nótese que se es la potencia menor en el numerador.
Aplicando el
teorema del valor final a ésta resulta
a2 -i- KgK3 - Kgc2
e(t)ss - lim sE(s) =
•-' R2
(2.33)
Kgco
La
condición
para que e(t)ss ~ ( es que/a2 t. KgK3 - Kgc2
0.
Asi
a2
K3 = c2 -
Con este valor de K3f el término en s2 de la ecuación (2.24) sólo
Con este valor de K3, el término en s2 de la ecuación
tiene positivo el coeficiente Kgc2 cuando v ^ 2cero—polar
con
un
Asi, un sistema
con tíos o más ceros se puede lograr que
error
nulo
en
régimen
permanente
(2. 24 > sólo
con
sea
estable
una
entrada
parabólica.
En un sistema que tenga sólo un cero (w = 1) los valores
=0
c2
y K3 = -a2/Kg producen un coeficiente cero para el término en
se de la ecuación característica (2.25), dando lugar a un sistema
inestable.
Por
tanto,
no
puede
lograrse
un
error
nulo
régimenpermanente con entrada parabólica en un sistema con
y
ceros
polos con realimentación de variables de estado y con sólo
cero.
un
en
un
Si K3 Y -a2/Kg y a2 * KgK3 > 0 se satisfagan para mantener
coeficiente positivo en la ecuación (2.25) existirá un
error
finito.
El sistema puede ser estable pero con un error
R2<a2+KgK3)
e(t)ss =
(2.35)
Kgc©
J;,
La \abla 2-10 resume los requisitos para lograr un error nulo en
un
régimen permanente en un sistema estable
por variables de estado.
'•''
con
realimentación
Tabla 2-2. • Condiciones necesarias par un error nulo permanente"
Número
de ceros
requeridos
Sistema
Entrada
Escalón
G. „ (s)
Rampa
Parábola
(Tipo)
i
Planta
a0
Kl=l- --
v = 0
*
*.
i
w = 1
Planta
ceropolar
i
;
Kg
polar
2
Ir
a0
al
Kl = c0 - --
K2 = cl - --
Kg
Kg
v £ 2
a2
K3=c2 - -Kg
3
* Para una representación con variables de fase.
& Existe error permanente.
* No puede seguir esta entrada.
EMPLEO DE LOS COEFICIENTES DE ERROR PERMANENTE
En
el
manipulado
con
el
fin
diagrama- de
ejemplo
representado por la figura 2-8
los bloques representativos de las
de dar un bloque
la
equivalente
figura 2-8 e).
b)
se
han
realimentaciones
Heq.
único,
Se puede obtener
de
en
el
un
modo
similar un bloque de Geq(equivalente) como indica la figura
2-10.
Las funciones de transferencia globales para las figuras 12-4d
12-5 son,, respectivamente.
Y(s)
G(s)
M(s)=-
(2.39)
RCs)
l+G(s)Heq(s)
31
y
Y(s>
Gis)
=
M(s)=
(2. 40)
R(s)
i+Geq(s)
Despejando Geq(s) de la ecuación (2.40) resulta
M(s)
Geq(s)=
(2. 41)
l-M(s)
Empleando la expresión de la ra:zón de mando M i s ) de la
ecuación
(2.19) en la ecuación í2.41) resulta
-kg(SM
s .* — —
Sn + Can-i + kgkn)Sri - J •*-...-*• <a2 + kgk3)Sa -f- ( al-*-kgk2
t~l
que
\ _
„
_
_
es
_
„
_
:
.
:
una
,
,
función
„ _ . _ ,
,
—.
.
.
_~
de transferencia del tipo
0
y
tiene
un
coeficiente de error a entrada rampa
kgc0
a0*kgkl-kgk0
Satisfaciendo
la -condición kl=c0 - a0 / kg para tener e(t)ss = 0
con una entrada en escalón,la ecuación (2.43) se reduce a
kgíS"+cv-lS M - L +
:
h
Como
ésta
es
una
™ _ _
__.„„
_ „ „ _
+ C an-i-'-kgkn ) Sn - J
función-de
transferencia
coeficiente de errar al escalón es kp infinito,
de error a la rampa
del
tipo
1,
el
y el coeficiente
kgc0
Kv =
al+kgk2-kgcl
Cumpliendo
IBS
condiciones
para que e (t) ss ~ 0
para
las
entradas en escalón y en rampa, dadas par las ecuaciones (2.24) y
(2.29), la ecuación (2.44) se reduce a
kg(Sw
Geq(s >
í
•*• . . . + (a2+kgk3)S2 (2.45)
Como ésta es una ±uneion de transferencia del tipo 2,
error en régimen permanente
siga
a
una
para entrada en rampa.
entrada parabólica con un
error
existe
un
De aqui que se
permanente.
Los
coeficientes de error son;
kgc0
Kv -
Kp =00
a2*kgk3-kgc2
En
el caso de que \f mayor o igual que 2r : y se cumplan
condiciones
. para
que
e(t)ss
=
0
para .las
tres
las
entradas
ñormali%adas dadas por las ecuaciones (2.24), (2.29) y (2. 34)P la
ecuación (2.45) se reduce a
kgíS"
Geq(s)=
" f (an-H-kgkn)S»- l - < - . . . + ( a3-*-kgk4 ) S3 -kg(Sw +. t . -<(2.4S)
33
Esta
es
error
una función de transferencia del tipo 3
nulo
en régimen permanente para una
entrada
Los coeficientes de error son Kp - Kv = Ka = -=o . .
se
tiene
un
parabólica.
Estos resultados
reúnen en la tabla 2-3.
Tal
como
se
especificaciones
Y(s)/R(s >.
indica
en
las
tablas
2-3
y
2-2,
del tipo de entrada que el sistema
seguir, determinan
para
que
el
número
de
debe
las
poder
ceros que deben incluirse
en
El número de ceros determina la facultad del sistema
seguir una entrada particular sin error permanente,
y
ser
además estable,
í
Con
lograrse
una
realimentación
cualquier
dependencia
del
tipo
por
variables
de sistema
de
deseado
tipo representado por
G(s).
estado
puede
para
Geq í s),
El
requisito
con
o
condición para tener un sistema del tipo m, para m > 0, es que
ai-1 •*• kgki - kgci-1 - 0
Asi,
un
transformarse
sistema
cuya
efectivamente
para todo
planta
en
i = I, 2f 3, . . . r m
no es
uno
reali ient ación por variables de estado.
del
sea del tipo m es necesario,
tipo
tipo •m
m,
puede
mediante
la
Esto se logra sin añadir
integradores puros, en cascada con la planta.
sistema
del
Pax~a hacer que
un
como indica la tabla 12-2,
que la rascón de mando tenga un mínimo de rn-1' ceros.
Tabla 2-3 Coeficientes de error permanente"1
Sistema con
re alimentación
por variables
de estado
Numero de
ceros
requeridos
Kp
Kv
Ka
kgc0
al+kgk2-kgcl
c¿>
kgc0
Planta
w
- 1
0-2
w
2
0¿>
ion con variables de fase.
Para una
Las cosntantes de error, Kp, Kv y Ka de un sistema de
control, describen la capacidad del sistema para reducir o
eliminar el error en estado estacionario.
Por tanto se utilizan
como medidas numéricas del funcionamiento en el estado
estacionario.
Se deben determinar las constantes de error para
un sistema dado y determinar métodos que las incrementen,
manteniendo la respuesta transitoria aceptable.
2.13
ESTABILIDAD RELATIVA
2.14
MARGEN DE FASE
El
margen de fase (MF) representa
la cantidad de retardo de
fase adicional necesaria a la frecuencia
de
ganancia
inestabilidad.
para
La
que
el
sistema
frecuencia
quede
al
borde
de cruce de ganancia es
frecuencia para la cual el valor absoluto
35
de cruce o de transición
de
la
aquella
I G H C j w J I de la función
de -transferencia de lazo abierto, es la unidad.
grados
más el ángulo de fase de la función de
El margen es 180
transferencia
de
• Para que un sistema de fase mínima sea estable el margen
de
lazo abierto.
fase
debe ser positivo.
fase
tanto
para
Las figuras 2-29 muestran el margen de
sistema estable como
para
uno
inestable
en
diagramas de Bode.
MARGEN DE GANANCIA
El
margen
frecuencia
a
Definiéndose
como
de ganancia es la reciproca de
la
cual
el
ángulo
de
fase
I
GHCjw);
es
-180
grados.
wl
la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función
de
de
lazo
abierto es igual a -180
de
la
fase
transferencia
la frecuencia de cruce o de transición
a
grados, . da
el
margen de ganancia:.
1
M. G =
(2. 47)
GHjvl)i
El margen de fase expresado en decibeles
es
mayor
que la unidad y negativo si es
es positivo si M. G
menor que
la
unidad.
Por tanto un margen de ganancia positivo significa que el sistema
es estable y si es negativo es inestable.
Para un sistema de fase mínima,
como
los de ganancia,
tanto los márgenes de
han de ser positivos para que el
fase
sistema
sea estable.
Para
lograr un funcionamiento satisfactorio,
el margen
de
fase debe estar entre 30 y 60 grados y el margen de ganancia debe
ser superior a los seis decibeles.
En
la figura 2-29
b) se muestra el margen de ganancia
36
para
un sistema estable y uno inestable.
MÁXIMO DE RESONANCIA
El
valor- del máximo de resonancia Mp,
es indicativo de
la
estabilidad relativa. Generalmente se obtiene una buena respuesta
transitoria
que
si el valor de Mp estáen el rango de 0 dB <Mp
corresponden a una relación de amortiguamiento
0,4 < J < 0,7.
respuesta
Para valores
transitoria
<3dB,
efectiva
de
mayores de.Mp mayores que 1,5 en la
a una entrada escalón
puede
presentarse
diversos sobreimpulsos. En general un valor elevado del máximo de
r-esonancia
Mp,
corresponde
r-espuesta escalón
a
un sobreimpulso
elevado
en
la
transitoria.
SENSIBILIDAD
Las
características del comportamiento de la mayoría de los
componentes quedan afectadas por su ambiente y por envejecimiento
asi
cualquier cambio en las características de
produce
cantidad
parámetro
los
componentes
un cambio en la función transferencia y por tanto en
controloda.
El
efecto producido por el cambio en
puede expresarse con una función
xuncío de sensibilidad
sensibilidad.
M
S_ es una medida de la sensibilidad
r-espuesta del sistema a una variación de un parámetro y
la
un
Esta
de la
estádada
por consiguiente
en
donde Mo y po representan los valores nominales de M y dé
Cuando M es una función de más de un parámetro,
p2, . . . , pk,.
las
fórmulas
correspondientes
contiene derivadas
37
p.
por ejemplo, pl,
de la
sensibilida
Aplicando la ecuación oe la sensibilidad a cada uno de los
casos, en los que M < s) = C<s), y P = G C s ) P = H(s), resulta la
Tabla 6.5.
Para un aumento de la función variable, un valor
positivo de J.a función sensibilidad significa que la salida
aumenta sobre su respuesta nominal.
De un modo similar,
un valor
negativo de la función sensibilidad significa que la salida
disminuye de su valor nominal.
Hay que tener en cuenta que los
resultados presentados en la abla se basan'en un análisis
funcional, es decir, las "variaciones" consideradas son G C s ) y
H(s) .
Sea el caso siguiente cuando rít) es sinusoidal.
Entonces
la entrada puede ser representada por el fasor R(jw) y la salida
por el fasor CCjv).
El sistema esta ahora representado por la
espectrales G(Jw) y H(jw).Cuando los
funciones
parámetros varíen dentro de G(jv) y HCjw), la magnitud de la
función sensibilidad puede dibujarse en función de la frecuencia
y no tiene los limites de 0 a 1 sino que varia desde 0 a
cualquier gran magnitud,
Tabla 6.5 Funciones de sensibilidad
m
Caso
Parámetro del
sistema variable
1
G( jw)
S
b
dCc/dCc
dG/G
2
H( jw>
dCc/dCc
dH/H
38
1
1 + GH
GH
1 f GH
CAPITULO III
3.1
PLANTEAMIENTOS GENERALES
c
Se ha creado el programa principal llamado ANREES ( ANális'i
de REalimentación de Estados) que contiene todas las subrutiñas
que se necesitan para realizar los cálculos de los parámetros de
análisis, exc epto la subrutina de los gráficos, que ha sido
tomado del programa de aplicación "SYHPHONY"f
y utilizada por el
programa pr:i_r cipal cuando se lo requiere.
Por
la
estructurada
especificas,
implementación
y
con
del
subrutiñas
programa
principal
encargadas
en
forma
de
problemas
se facilita la comprensión de la lógica
utilizada.
Subrutiñas que al ser integradas cumplen con el objetivo final de
análisis.
A continuación se tiene la distribución del "Menú Principal"
que
permiten
dispone
visualizar
el
las
análisis de
diferentes
alternativas
un sistema realimentado
que
por
variables de estado en el dominio de la frecuencia real.
***
MENÚ PRINCIPAL
***
1. Ingreso de Datos
2. "Cambio dé Datos
3. Vi su a libación d.e . Da tos Actuales
4. Análisis de Respuesta de Frecuencia
5. Gráficos
6. Salir Temporalmente al sistema
7. Salir al Sistema
.8* Imprimir resultados
39
se
sus
diferentes "submenus" o ramificaciones que tienen
tos puntos se mencionan más adelante cuando
se
cada
habla
particularmente de cada uno de ellos.
3.2
DESCRIPCIÓN DE SUBRUTINAS VARIABLES Y DIAGRAMAS DE FLUJO
3.2.1 INGRESO DE DATOS
subrutina
Esta
demanda
los
datos
necesarios
para
los
cálculos de análisis y de los gráficos correspondientes.
Los datos generales necesarios para todos los cálculos son t
La
ganancia
(Kg)
de la función de
transferencia
directa
G(jw) almacer lado en C KG ) .
Los
coeficientes
del
numerador
de
la
función
de
transferencia directa que se almacenan en forma descendente en el
vector
CC> de dimensión,,
(N%) los del denominador en el
vector
(A) de dimensión C D%}.
El numerador de la función equivalente Heq (3 w) ,.
grado
C NH%)t
del numerador de la función de realimentación
siendo
el
equivalente
'sin ser necesario especificar el grado y coeficientes del
denominador.
Los coe 'icientes del numerador se encuentran definidos en él
vector KE de dimensión (NHX)-
El
vector-
de realimentación tendrá el mismo grado ' que
el
numerador de la función de realimentación y sus coeficientes,
se
encuentran definidos en el vector K de dimensión (NHX^).
Se pide además en este programa la introducción del rango de
frecuencia,
sugiriéndose
mayor i a
de
dentro
un
del
cual se realicen
rango de 0. 1 rad/seg.
isit.emas
todos
los
cálculos,.
a 20 rad/seg que
de control reales este
rango
es
en
la
bastante
apropiado para los propósitos pertinentes.
El programa está diseñado con la utilización de leyendas que
permiten una fácil comprensión por parte del usuario.
3.2.2 CAMBIO DE DATOS
Esta subrutina permite cambiar el valor previo de los cuatro
parámetros
menú
posibles a ser variados,
que son los mostrados en el
de cambia de datos cuya presentación en pantalla está
por:
MENÚ DE DATOS
1.E1 VECTOR de realimentación
2. GANANCIA de Función Di'recta
3.Función DIRECTA
4.RANGO de Frecuencia
5.RETORNO a Henú Principal
41
dado
En
de
caso
querer cambiar .Los datos
sin
antes
haberlos
ingresado, de un mensaje que indica que no es posible cambiar los
daros sin haberlos ingresado previamente a través de la subrutina
dilngreso de datos.
u opción de i
3.2.3
VISUALIZACION DE DATOS
a los requerimientos del programa,
Debido
el
operador
esté
al tanto de los datos con
es necesario que
el
que
se
están
realizando los cálculos, por lo cual se ha creado la subrutina de
visual iz:aciór de datos que permite cumplir con este objetivo.
3.2.4
SUBRUTIKÁ
PARA
LA
EVALUACIÓN
DE
LA
FUNCIÓN
DE
TRANSFERENCIA
Uno
de
los
cálculos
subrutinas
diferentes
es
más
la
frecuentemente
evaluación
usados
de. la
por
la
función
de
función de transferencia significa evaluar
los
transferencia
la
Evaluar
polinomios numerador y denominador, aplicando el método de Horner
y
de esta forma a numerador y denominador a
reducir
complejo
Ca jb),
un
pax^a luego pasar a la forma- polar (r
número
)
para
realizar la división de sus módulos y la resta de sus ángulos.
Obteniéndose
asi
el
módulo
y
transferencia
42
la
fase
de
la
función
de
VARIABLES
Y
DIAGRAMA
DE
FLUJO
PARA
EVALUAR
NUMERADOR
Y
DENOMINADOR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
RE .- Vector de dimensión dos,
del
que
contiene la parte real tanto
numerador RE (0) como del denominador RE(1) al
evaluar
una función de transferencia.
IM .~ Vector áe dimensión dos,
que contiene la parte imaginaria
del numerador IM ( 0 ) y del denominador 111C 1 ) .
AUX% .- Varia ble temporal.
NH% * - Variable que almacena el grado del polinomio numerador
C .- Vector q ue contiene los coeficientes del polinomio numerador
de dimen sión N /..
DX .-
Variatle en donde se almacena el grado de polinomio
del
denominador.
A
» - Vector de dimensión D% ,
que contiene los coeficientes del
polinoimíe denominador.
*,. "
W .- Frecuencia a la cual se evalúa la función.
F - - Indicadcr de evaluación del numerador
43
(F = 0) y del denomina-
dor
(F = :
RP .- Variable que almacena el valor de la parte real,
R, I
. - Variables que mantienen el valor actualizado de la . parte
CR) y de la parte imaginaria
(I
***
EVALUACIÓN DEL POLINOMIO NUMERADOR Y DENOMINADOR
***
ERASE Cl,A1
CALCULO DEL MODULO
Y FASE
VARIABLES
Y DIAGRAMA DE FLUJO PARA CALCULAR EL MODULO Y LA
FASE
DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A CIERTA FRECUENCIA W.
MOD
.- Vector
de dos elementos que contiene los módulos
tanto
del numerador MQD C 0), como del denominador MQD <1).
FASE
.- Vector
de
dimensión
dos que
almacena
la
fase
numerador FASE (0) y denominador FASE (1) de la
del
función
evaluada.
MODULO . - Mód Jilo
de la función de transferencia evaluada a
la
frecuencia V,'.
FASE ,- Fase de la función de transferencia a la frecuencia W.
46
***
CALCULO DEL MODULO Y FASE DE 'UNA FUNCIÓN
***
DJ.M MDDUU)sFASE U )
MODU (X) = < RE C X ) -"-2-1-1 !v! < X >A2) •-. 5
ATNÍ1MCX) /RE(X) )*!BO/3.. 141593
FASE(X)-FASE
FASET=FASE(O)-FASE(1)
MODULO»MODU(O)/MODUC1
47
SUBRUriNÁ PARA EVALUAR LA FUNCIÓN DE LAZO ABIERTO
desarrollo teórico se ha realizado tomando el
En base
numerador de la función de realimentación equivalente el cual
pasa a -ser el numerador de la función de lazo abierto y el
denominador de la función de lazo abierto. De esta forma
conformada
la
función
de
lazo
abierto,
se procede a
realizar su evaluación
VARIABLES Y D IACRAMA DEL FLUJO DE LA SUBRUTINA DE EVALUACIÓN DE
LAZO ABIERTO
N1X . - Variable auxiliar a ser utilizada en la evaluación del
polinomio.
. -
N2% .- Variatie auxiliar a ser utilizada en la evaluación del
polincmio.
Cl .-
Vector auxiliar que contiene los coeficientes del
numers dar de la función de realimentación equivalente.
Al . -
Vector? auxiliar que contiene los coeficientes
•,• «'.«..' ,.
.denominador de la función directa.
48
del
<^ "¿O. 01 Q-A \*-
7.HN DI 0--X
***.
30
a cnn
***
3.2.5
SUBRUTINA
PARA EVALUAR LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
CON
REALIMENTACION DE ESTADOS
La lógica seguida para evaluar la función de lazo cerrado es
la siguiente:
Siendo:
r el módulo de función directa G(jv)
H la fase de la función directa G(3w)
R el módulo la función de lazo abierto
6 la fase de la función de lazo abierto
Se procede de la siguiente manera:
CALCULO de r y K
I
CALCULO de r y H de la función
de lazo abierto
\L
RE (0)
IM (0)
r * eos (H)
r
sin < X)
RE (1) = 1 -»- R * eos (K)
IM (1) = R * sin (54)
Cálculo del nuevo módulo y fase
de la función de lazo cerrado
50
***
3UBRUTINA PARA EL CALCULO DE LA FUNCIÓN CLIN
REALIMENTACIÓN DE ESTADOS-
DIM Ct(Ntt) j Al (Dtt)
TQ
Al(X)---ACX)
MN^MODULO
FBN«FASET
RE<0)=MN*<0)CFBN)
IM<0)~MN*SIN(FBN)
RE C 1 ) «l+MODULO-H-COS í FABET )
IM C 1 ) =MODULO*S-IN < FASET)
GOSUB modulo y fase de la función
de lazo cerrado
["RETLIRN
51
***
3.2.8
MARGEN DE GANANCIA Y FASE
Para
encontrar el margen de fase y ganancia de una
£unción
de transferencia de lazo abierto utilizaremos el método iterativo
que se describe a continuación:
Dada
esta
una frecuencia inicial W0r
corresponde . a
ganancia,
hemos
incrementamos
la
MODULO<-PRES
resuelto
nuestro
variable WO en .el
calculamos su función.
en el
caso
problema.
valor
del
Si
INCW.
Si
margen
no
es
de
asi,
Buscamos
la
función en el nuevo punto, si es el valor deseada se terminan los
cálculos,
de
lo
contrario
incrementamos la variable
conseguir
un cambio de signo en. la función anterior
W
hasta
disminuimos
INCW y repetimos el ciclo.
En el parámetro PRES se deja la 'opción de ingresar su
valor
a criterio del operador, recomendándose 0.5 eseojido con criterio
práctico,
ya que en estos cálculos más que exactitud se requiere
situarlos dentro de un determinado rango.
In
el
caso
del
cálculo del margen de
realizar una serie, de chequeos.
ganancia
hay
que
Si el grado del denominador
es
igual o menor al grado del numerador más dos> 'entonces el margen
de
ganancias es infinito.
De no ser asi se podria dar el
caso
que" para cualquier valor de la, frecuencia,
siempre se tenga una
fase
margen
constante;
indefinido.
se
habló
entonces de un
de
ganancia
Para el resto de posibilidades se puede realizar los
cálculos respectivos.
53
VARIABLES Y DIAGRAMA DE FLUJO PARA
EL CÁLCULO DEL MARGEN DE GANANCIA
WO .- Variable que contiene la. frecuencia inicial.
WF .- Variable que almacena la frecuencia final.
INCW - - Variable con el incremento de frecuencia.
DX
.- Grado del denominador de la función
de transferencia
de
laso abierto.
NHX. . - Grado del numerador de la función de transferencia de la-z.es
abierto.
MG - - Margen de ganancia.
Cl . - Vector
de
coeficientes
dimensión
del
CN%)
cuyos
elementos
polinomio numerador de
la
son
los
función
de
transferencia de lazo abierto*
Al .- Vector de dimensión (DX) que almacena los coeficientes del
denominador de la función de lazo abierto.
MG$ .- Margen de ganancia cuando esta es indefinida o infinita
MF
,. - Margen de fase
MF$ .- Margen de fase cuando esta es indefinida.
ITER.- Contador del número de iteraciones.
FASE1
Y
FASE2 .- Variable de referencia para comprar si
alcanzado al valor 180°.
54
se
ha
PRES.- Variable que indica el valor de precisión.
En
la subrutina de cálculo de margen de fase,
se
utilizan
los mismos parámetros y variables anteriormente descritas para el
cálculo de margen de ganancia,
que
excepto las variables MOD1 y MQD2
representan las referencias para comparar si se ha alcanzado
al valor de cero decibeles.
55
•sr
O
3>
03
o
m
rn
TÍ
73
Q
12
rn
r
n
c
i
a
BQSUB
EVALUACIÓN DEL PULIMOMIO
no
ME=-20XLOB(MODULO)/LOS(10)
no
MARBEM DE BANANOIA = MB
SOSUB
EVALUACIÓN -DEL POLINOMIO
57
***
SUBRUTINA PARA EL CALCULO DEL MARGEN DE FASE
W=WF
NCW«(WF-WO>/2
SDSUB
EVALUACIÓN DEL POLINOMIO
si
MF$=" INDEFINIDO"
GQSUB
EVALUACIÓN DEL POLINOMIO
MODULO >'l
BOSUB
EVALUACIÓN DEL POLINOMIO
*IOD1=20*LQB (MODULO) /LOG (10)
W=W-t-I\CW
ITER=ITER-H
INCW=-.(WF-"WO) / 2
.GOSUB
EVALUACIÓN DEL POLINOMIO
#*#
Jt
MODS«SO*Lat3 í MODULO ) /LDG (10 )
MARGEN DE FASE « M!
59
3.2.9
MÁXIMO DE RESONANCIA
Dado
el valor con el cual se incrementa la
hasta alcanzar a WF f
establecido,
frecuencia
WO
es decir • cubrir todo el rango de frecuencia
se calcula la máxima magnitud de la función de la 2:0
cerrado a la cual se le denomina máximo de resonancia, asi como a
la
frecuencia
correspondiente a este
máximo,
se
le
denomina
frecuencia de resonancia.
VARIABLES
Y
DIAGRAMA
DE FLUJO PARA EL CÁLCULO
DEL
MÁXIMO
DE
RESONANCIA Y LA FRECUENCIA DE RESONANCIA
INCW - - Factor de multiplicación de frecuencia ( incremento )
MÁXR . - Máximo de resonancia.
PART . - Húmero de puntos, para dividir el rango de frecuencia.
MAX
REF
Variable temporal.
.- Variable de referencia para la existencia del máximo
resonancia.
de
*** .SUBRUTINA PARA EL CALCULO DEL MÁXIMO DE RESONANCIA
GOBUB
CALCULO DE LA FUNCIÓN
REF=20*LC)e (MODULO) /LOG (10)
MAXR=REF
TQ WF STEP :CiMC
SOSUB
CALCULO DE LA FUNCIÓN
MAX«20#LOB(MODULO)/LOG(10)
MAXR=MAX
MÁXIMO DE RESONANCIA = MAXR
MAXR^-INDEFINIDO
61
***
3.2.10
VELOCIDAD DE RESPUESTA
Para
el
cálculo de las especificaciones
respuesta,
se
han
cálculo
de
resonancia,
ancho
desarrollado
de
banda
y
de
dos subrutinas,
otra
para
la
velocidad
una
para
de
el
frecuencia
de
siendo estas las opciones del menú de velocidad cuya
presentación en pantalla es:
**»
^
VELOCIDAD DE RESPUESTA
**#
1. Frecuencia de Resonancia
2. Ancho de Banda
3. Todo lo anterior
4. Regreso al Menú de Análisis
3.2.11
FRECUENCIA DE RESONANCIA
El
cálculo de la frecuencia de resonancia se realiza
al máximo de resonancia,
máximu de resonancia,
Junto
ya que como se indicó anteriormente
el
se define justamente a dicha frecuencia en
la función de transferencia de lazo cerrado.
3.2.12
ANCHO DE BANDA
Existirá
solamente
un
cuando
seleccionado,
sea
ancho de banda de la respuesta de
la
función, dentro
del
mayor que -3 decibelios.
62
S3
rango
de
frecuencia,
frecuencia
En el diagrama
de
***
SUBRUTINA PARA EL CALCULO DEL ANCHO DE BANDA (AB)
BOBL1B
CALCULO DE LA FUNCIÓN
•«20*LOS(MODULO)/LOB<10)
-SOSUB
CALCULO DE LA .FUNCIÓN
MAXR>--3 AND REF<
'"INDEFINIDO1
I
i
. BOSUB
CALCULO DE LA FUNCIÓN
CA1=20*LOG(MODULO)/LOS(10)
***
BOSUB
CALCULO DE LA FUNCIÓN
CA2=20*-LOB (MODULO)/LOS(10)
MA6=20*LOB(MODULO)/LOS(10)
W«WAB+4*INCW
JL
BOSUB
CALCULO DE. LA FUNCIÓN
20*LOB(MODULO)/LOBC10)>MAB
3.2.13
EXACTITUD
En
error
base
al análisis realizado en el capitulo
segundo
del
para los sistemas realimentados por variables de estado se
r
han
creado
tres
subrutinas
que
consideraciones hechas en el desarrollo
toman
en
cuenta
teórico siendo su menú de
presentación en pantalla:
***
EXACTITUD DE RESPUESTA
***
1. Error de Posición
2. Error de Velocidad
3. Error de Aceleración
4. Todo lo anterior
5. Regreso al Menú de Análisis
DESCRIPCIÓN
DE VARIABLES Y DIAGRAMAS
DE FLUJO PARA EL CALCULO. DE ERROR
EP.-
Variable de error de posición
EV.™
Variable de error de velocidad
EV$. - Variable de error de velocidad cuando este es infinito
EA. -
las
Variable de error de aceleración
EA$.- Variable de error de .aceleración cuando este es infinito
***
:
8UBRLJTINA DEL CALCULO DE ERRORES ***
***
ERROR DE POSICIÓN
***
KCL)<>C(0)-AÍÜ)/KS
EP=--1»KS*C (O) / CA (O) -4<(3*K C 1 ) )
ERROR DE PDSICION=EF
67
INFINITO"
1 BISTEMA
INES!ABLE'
( A ( 1 ) #K(3*!< ( E ) -KB*C ( 1 ) ) /KÍ3*C < O )
ERROR DE VELOCIDAD-EV
KU)=C(Q)-ACO)
6
Efl$~"INFINITO"
SISTEMA ES INESTABLE.
S9
3.2.14
GRÁFICOS
Para
realisar
versatilidad
se
ha
los
gráficas con
en el cambio de escalas,,
incorporado
una
alta
resolución
y
presentación e impresión^
como una subrutina
del
programa
principal
AMREES al programa de aplicación SYMPHQNY.
Por
medio de archivos de datos que proporciona el
principal al programa GRAF r
serie
de
(Symphony
intrucciones
Command
px~o grama
creando en•SYMPHQNY, con Macros (una
propias
Language),
del SYMPHQNY)
se
logra
crear
y
comandos
las
SCL
diferentes
opciones de gráficos, mostrados en pantalla mediante el siguiente
menú :
***
GRÁFICOS DE BODE
***
1. Gráficos de Bode
2. Ganancia
vs.
Margen de Ganancia y Fase
3. Gráfico Comparativo
4. Imprimir Gráficos
5. Regreso al Menú de Análisis
A continuación describiremos cada una de estas subrutinas de
gráficos.
3.2.15
GRÁFICOS DE BODE
Esta
sufarutina'calcula la magnitud y fase de la función
de
cerrado y de lazio abierto,
DIAG. DAT., de
creando un
tal forma que sea interpretado
programa GRAF.
archivo
denominado
adecuadamente por ei
para obtener los gráficos de magnitud y fase par-a
f
la:zo cerrado y laz:o abierto.
VARIABLES Y DIAGRAMAS DE FLUJO PARA LOS GRÁFICOS DE BODE
VW.-
Variable
que
almacena
el
valor
del
logaritmo
de la
frecuencia
VMA.-
Vector
que
almacena el valor- de la magnitud en dB de
la
función de lazo abierto
VFA,-
Vector
que
almacena el valor de la fase de la función de
larzo abierto
VMC.-
Vector
que almacena el valor de la magnitud
en dB
de la
función de laso cerrado
VFC*-
Vector
que
almacena
el
valor de la fase en
función de la2:0 cerrado
P. -
Contador del número de datos
PART.- Húmero total de datos
71
dB
de
la
*** GRÁFICOS DE BODE ***
PART=WF-/INC;Wl
DIM VW(PART)V VMA(PART) , VFA (PftRT) , VMC (PART) , VFC (PART)
< N-WQ TO WF STEP IMCVJ >
SOSUB
FUNCIÓN DE LAZO ABIERTO
VMA (P) =20*L.GG (NODULO) /LOB CÍO)
VFA<P)=FASET-36G
GOSUB
FUNCIÓN CON REALIMENTACIÓN DE ESTADO
VHC (P) =20*LOC3 (MODULO) /LOG í 10)
VW(P)=LOBí W)/LOS(10)
VFC<P)=FASET-3AO
ABRA ARCHIVO "B:ACOP« DAT"
ABRA ARCHIVO " b 2 DIAG„DAT
TQ
GUARDE VW < X ) 5 VMA < X 5 5 VFA ( X) r, VMC ( X) ; VFC ( X )
ERASE VW,VMA,VFA,VMC,VFC
BDSUB "SYMPHONY
73
3.2*16
GRÁFICO DE GANANCIA vs. MARGEN DE GANANCIA Y FASE
Esta subrutina calcula el margen de ganancia y el de fase
para diferentes valores de ganancia de la función directa,.
dando
la opción de variar el rango y el incremento de ganancia.
Esta
salida
infinita
ESTABILI.DAT
programa
subrutina
GRAF
o
para
interrumpe
indefinida
que
y
su ejecución si
crea
un
sea interpretado
archivo
existe
denominado
adecuadamente
y obtener asi en un mismo gráfico
el
una
por
el
margen
de
ganancia y el margen de fase en función de la ganancia (KC5) .
1WM.-
Bandera que indica la salida infinita o indefinida.
BP. -
Bandera de paso.
KÜ<-
Variable que almacena el valor inicial de la ganancia
de
la función directa.
KF,-
Variable que almacena el valor final d© la ganancia de la
función directa.
KP. - '
Variable que almacena el valor
incremento de la ganancia
de la función directa.
MG C P ) , - Vector que almacena el margen de ganancia.
MF < P ) . - Vector que almacena el margen de fase.
*** GRÁFICO DE GANANCIA vs'« MARGEN DE GANANCIA Y FASE***
INGRESO DE KO,KF\KF
DIM MG(KF/KO) , MF <KF/KQ)
i •• f~i
t .-• f%
KG=KQ
-i-1~\ .•• r—
IO K.r
r*» "i" r™ i~*i
STEP
BOSUB
CALCULO DEL MARGEN DE GANANCIA
CALCULO DEL MARGEN DE FASE
ABRA ARCHIVO "BsACOR.DAT"
GUARDE ACOP
I ABRA ARCHIVO " B 3 ESTABILI.. DAT "
GUARDE KO,MG(X)
V :::: p
T f\
C5 T JT p
~- "I
\
GUARDE KF , 1V!F < X )
ERASE MF , HS
BP-0
SOBÜB "SYMPHDNY
I W
.1
wi 1 i~l
i
/
3.2.17
GRÁFICO COMPARATIVO
Esta subrutina calcula los valores de la magnitud
cerrado
el
y de la sensibilidad de dos diferentes sistemas en
rango
cambiar
datos,
de
de frecuencia especificada.
los
paramentaros
es decir,
Dando la
todo
posibilidad
mencionados en el menú
la ganancia,
la:zo
de .cambio
el vector de realimentación,
y el rango de frecuencia,
para
de •
cada
de
la •
función
directa
sistema.
Creando
un archivo de datos denominado CGHB.DAT de tal forma que
sea interpretado adecuadamente por el programa GRAF par-a
obtener
dos gráficos, uno de sensibilidad con los dos diferentes sistemas
y
otro de magnitud de la respuesta de frecuencia en lazo cerrado
con los dos diferentes sistemas.
Para
necesita
realizar
el
gráfico de
sensibilidad,
la
subrutina
que se le especifique si la planta es variable o si
la
función de realimentación es variable.
VARIABLES Y DIAGRAMAS DE FLUJO PARA LOS GRÁFICOS COMPARATIVOS
VSE.-
Vector
que almacena el valor de la sensibilidad
para
el
primer sistema.
VSE1.- Vector
que
almacena el valor de la sensibilidad para
el
segundo sistema.
VMC, VMC1.- Vectores que almacenan el valor del módulo
cerrado
para
el
primer sistema y
de
segundo
lazo
sistema
respectivamente.
VFC A VFC1, - Vectores
cerrado
que almacenan el valor de la fsse de
para
el primer sistema y
respectivamente.
77
segundo
lazo
sistema
**# DIAGRAMAS DE COMPARACIÓN
***
PARTa WF/INCW
DIM VMC
CPART) , VFC
<PART>, VW
<PART).,VMC1
(PART), VFC1
QOSUB
VISUAL12ACIÓN DE DATOS
DESEA CAMBIAR DATOS
BOSUB
CAMBIO DE DATOS
TQ WF 5TEP INCW
CALCULO DE LA FUNCIÓN CON REALIMENTACIÓN "DE ESTADO
VMC(P)»20*LOG(MODULO)/LOG <10)
VW C P) =LOG C W) /'.. OG (10)
VFC
<P)« FASET--360
30SUB SENSIBILIDAD
GOSUB
CAMBIO DE"DATOS
78
(PART)
TQ WF STEP
GOSUB
CALCULO DE FUNCIÓN CON REALIMENTACIÓN DE ESTADO
VMC1íP)=2G*LQG(MODULO)/LOS(10)
. . VW<P)=LQG<W5/LOG<10)
VFCI<P)« FASET-36Q
GOBUB SENSIBILIDAD
ABRA ARCHIVO"B:ACOP.DAT"
GUARDE ACOR
ABRA ARCHIVO "BíCOMB.DAT"
GUARDE V W < X ) ,VMCí X) -VFC<X)
X=P TO 1 STEP -1
GUARDE V W C X ) „VMC1 (X) ,VFC1C X)
J
X
ERASE VW,VMC,VFC,VMC1,VFC i
GOSUB "SYMPHONY1
79
SUBRUTINA DE SENSIBILIDAD
subrutina
Esta
realimentado,
parámetros
cunción
suhrutina
calcula
pudiendo
de
la
sensibilidad
de
un
sistema
escocerse el cálculo en caso de ser
la planta los que varien o los parámetros
equivalente
de realimentación.
de
Si la llamada de
proviene del menú de análisis,
para la frecuencia
se realiza el
la
esta
cálculo
a la cual la función de la^o cerrado es
(-3dB), presentándose
los
0.707
en pantalla el resultado correspondiente
de
sensibilidad.
VARIABLES Y DIAGRAMA DE FLUJO
PARA LA SUBRUTINA DE SENSIBILIDAD
VA.-
Variable
que almacena el valor indicativo del cálculo
que
SUBRUTINA GRAF
Esta
subrutina
comandos SCL,
denominada GRAF ha sido creada con macros
lenguage propio del Symphony.
Esta subrutina
y
es
autoejecutada al ser cargado el Symphony y; toma los datos creados
por el programa principal para elaborar los gráficos.
Esta
la
cual
realizar
hacer
subrutina
determina la procedencia de la subrutina
provienen los datos en el programa principal
el
gráfico correspondiente,
dando la
cambios en las escalas de manera que se
detalladamente
una
parte
del rango total.
para
posibilidad
pueda
Dando
de
asi
de
visualizar
también
la
posibilidad de cuadricular los gráficos, es decir colocar lineas.
horizontales o ambas a la vés.
DIAGRAMA DE BLOQUES
Determinar
Procedencia
Escojer set
correspondiente
a subrutina del
programa principal
Gráficos
correspondientes
Escojer
Cambio de
Escalas y Presentación
Regresar a visualizar
cambios hechos en
el gráíico o veo
Caso contrario regresar
al menú de grázfics
81
#**
SUBRUTINA PARA CALCULO DE SENSIBILIDAD
GOSUB
CALCULO DEL ANCHO DE BANDA
GOSUB
CALCULO DE LA FUNCIÓN DE LAZO ABIERTO
RE(0)=MODULO*COS(FASET*3M141593/180)
IM(0)=MODULD*SIN(FASET*3.141593/180)
RE(1)=1+REÍO)
IMC1)=IMCO)
QOSUB
CALCULO DEL MODULO Y FASE
BOSUB
CALCULO DEL MODULO Y FASE
Sensibilidad^ MODULO
en si b i 1 i dad—indef i ni da a la -frecuencia de
*#*
CAPITULO IV
EJEMPLOS Y RESULTADOS
En este capitulo se pretende mostrar la utilidad que
el programa implementado restringuiéndose
brinda
el análisis por la gran
variedad de situaciones que pueden presentarse.
Es
necesario
dichos
programas,
vector
de
como punto de partida para la utilización
el disponer de la función de transferencia
realimentación
de estados,
función equivalente de realimentación
controlable.
y del
numerador
de
de
y
la
siempre que el sistema sea
Siendo estos datos los dados por el programa creado
en la tesis .de "Realimentación de Estados".
EJEMPLO 1
Realimentación por variables de estado con una plan polar:
Ha
sido
diseñado
un
sistema
empleando
el
método
de
realimentación por variables de estado, para lograr que la planta
mostrada
Mp=1.043,
en
un
la
figura 3-1,
tenga un sobre
tiempo de estabilización
tiro
no
mayor
de ts=5.65 segundos y
error nulo en régimen permanente para una entrada en escalón.
a
un
PLANTA
'U(s)
RCs)
'
2
•n.g
• \n
S-i-1
K3 (S-t-5) S
5
o
UCs)
RCs)
10 Kg
Xl=Y(s)
S (S+l) CS+5)
K
k3 S t- 5C K3
-*- K2
) S -*- 5 Kl
figura 3-1
Un análisis del sistema con realimentaci'ón unitaria mostrada
83-a
en
las íiguras 3-2
y 3-3,
revelan los siguientes
hechos:
valores grandes de ganancia el sistema con realimentacio
es inestable.
Con
unitaria
Todo variación de ganancia cambia apreciablemente
la respuesta del sistema,
cambios de ganancia.
es decir tiene alta sencibilidad a los
Siendo las características del sistema:
84
ESTABILIDAD
MARGEN DE GANACIA
= -10.44 dB
MARGEN DE FASE
= -22. 83 gradas
MÁXIMO DE RESONANCIA =
S. 8dB
VELOCIDAD
FRECUENCIA DE RESONANCIA
= 3.59 rad, seg.
ANCHO DE BANDA
= 5.28
rad. seg.
EXACTITUD
ERROR DE
POSICIÓN
ERROR DE VELOCIDAD
= -C.. ' - . .. .
= infinito
ERROR DE ACELERACIÓN = infinito
SENSIBILIDAD
SENSIBILIDAD
= 1, 2 <2>
MAGNITUD DE LA FUNCIÓN
LAZOAflERTO
30
20
10 -
-TO -
-20 -30
-40
-50 H60
-1
-as
-02
02
as
FRECUENCIA WRAD/SEGt
FASE DE LA FUNCIÓN DE
LAZOABCRTO
-KM
-vn
-T20
-K»
-MO
-IÍ50
-MK)
-170
-U»
-tt»
-2OO
-2D
-2210
-2210
-2SSO
-2CO
1
-O8
-02
O2
1
O
FRECUENCIA W RADXSEGt
Fig-
3-2
14
MAGNITUD DE LA FUNCIÓN
LAZO CERRADO
-10 -
-20 -
-30
O
-40 -
-50 -
-60
FRECUENCIA W RAD/SQ3
K-10YK-100
Fig. 3-3
ESTABILIDAD
70
60
50 40 30 -
20
10
DE FASE
O
MARGEM DE GANAMOA
-10
-20
-30
20
F i g 40-
60
GAMAMClAKGt
37
80
100
Mientras
que
el análisis de íecuencia del sistema
realimeniíado
cuyos datos de realimentación son:
kg = 100
Heq - .954 S + 1.377
S + 1
kl = 1
k2 = -3.393
k3 = 4.77
y cuya respuesta de frecuencia mostrada en las figuras
3-3,
3-4
realimentación por variables de estado
es
y 3-5 revelan los siguientes hechast
El
sistema con
conpletamente
notándose
que
estable
(ver
ifig 3-5), para todo valor
de
para todo aumento de ganancia desde el
Kg>0,
valor
de
Kg = 10 produce cambios pequeños, es decir que para valores de gran
ganancia,
Kg>10,
la
respuesta del sistema queda
inalterada por las variaciones de Kg,
tes
de realimentación permanezcan
comprobado
por
las
mostradas a continuación.
83
siempre que los
fijos.
características
esencialmente
del
coeficien-
Siendo esto
sistema
también
obtenidas
y
MAGNITUD DE LA FUNCIÓN
LAZOAHERTO
ü
u
-OB
-02
O2
OB
FRECUENCIA W RAD/SEO)
FASE DE LA FUNOON DE
LAZOAOERTO
-3Q
-40 -
-60
-60
-70 -
-«O
-90
-1
-oo
-02
FRECtEMOA W RAD/SEGÍ
La insensibilidad de la respuesta a variaciones de Kg del
sistema re4alimentado por variables de estado se puede notar en
la figura 3-5 frente al sistema con realimentación unitaria, que
tiene una alta sensibilidad, ver figura 3-7.
Tanto
estado
el
sistema
con realimentación unitaria como
puede seguir a una entrada escalón sin error
el
d
permanente
Lo mismo ocurre para una entrada de rampa con un error £i j o.
Debido
a
que
Gis)
no
contiene
un
cero,
el
sistema
co
realimentación con variables de estado no puede producir un erro
fijo
para una entrada en rampa como vemos en las
caracterstica
obtenidas del sistema.
Generalmente en el diseño de la realimentación por variable
de estado, al seleccionar los polos y ceros, que tendrá el siste
ma,
jos
se suele elegir un par de polos dominantes conjugados comple
y los demos polos se sitúan muy a la izquierda de los
En
dominantes.
par
"este ejemplo existe un polo a la izquierda
complejo dominante lo que hace que se reduzca el
resonancia
polo
máximo
d
que presenta en la-magnitud de la respuesta de
frecuencia el sistema con realimentación
unitaria, ver figura 3-
notándose esta reducción en la magnitud de respuesta de
frecuencia de la^o cerrado con realimentación de estado en la
figura 3-9
03 -
0.5 -
0.4 •1
de
1
1
-0,6
1
:
-0.2
t
0.2
i
as
FRECUENQA W fRAD/SEG)
í'ig. 3-7
9%
i
i
i
i
i.
20
10 -
-10 -
-20 -
-30 -
-40
i
\a
-02
0.2
0.5
FRECUENCIA W (RAD/SEGl
FASE DE LA FUNCIÓN DE
LAZO CERRADO
<
8
-1
-as
2
0.2
0.6
FRECUENCIA W flRAD/SEGl
*ig. '3-8
94
MAGNITUD DE LA FUNCIÓN
LAZO CERRADO
-10 -
-20
tf)
-30 -
o
-40
-50
-60
-08
-05
FRECUENCIA W RAD/SEES
FASE DE LA FUNCIÓN DE
LAZO ASERTO
-90
-ÜO
-T»
-T20
-130
-140
-160
-180
-tro
-rao
-200
-210
-220
-230
-240
-2SO
-260
-OL8
OB
FRECUENCIA W IRAD/SEQi
Fi£rSff;C) • 3-9
—' x
14
Cabe indicar que todas las gráficas aquí mostradas han sida
elavaradas par el programa i rnpl ementada, pudiendo obtenerse por
tanto, las gráf icos de respuesta de -frecuencia en magnitud y -fase
tanto para el sistema en lazo abierto coma para el de lazo
cerrada, además de las gráficos de sensibi1 idad y comparativos-
Siendo por tranto una herramienta útil para el análisis de
los sistemas real intentados por variables de estado en el dominio
de la -frecuencia-
96
CONCLUSIONES Y RESUMEN
La
tesis
"
realimentados
Análisis
por
por diagrama
variables
de
de estado"
Bode
de
sistemas
contiene
un
programa
analítico aplicable a variables de estado que utiliza un programa
digital
implementado
en un sistema IBM P-C.
denominado
ANREES
(Análisis de Realimentación de Estados).
Los
sistemas realimentados son analizados
además,
con
el
apoyo de diagramas de BODE que reciben procesamientos mediante el
programa- computacional SYMPHONY.
Básicamente
se ha escogido el -análisi en el dominio
de
la
frecuencia, en el que los diagramas de Bode permiten graficar una
función de transferencia,
tienen
los
polos
frecuencias.
Con
y
indicando el diseñador,
ceros individuales en
un
el efecto que
gran
aquella aplicación se definen las
que determinan el trabajo en régimen transitorio
rango
de
parámetros
y el trabajo
en
se ha diseñado una herramienta útil y siendo
la
régimen permanente.
Por
tanto
realimentación
por variables de estado una nueva forma de
hacer
control, se esta tendiendo a perder los conocimientos del control
clásico como son el margen de ganancia,
resonancia,
Por
realizado
ancho de banda,
lo
que
margen de fase, máximo de
etc.
es de importancia
el
presente
trabajo
ya que entrelaza la forma clásica y la nueva forma
97
aqui
de
hacer control.
Cuando
reafirmarlas
utilización
se
tiende
mediante
a
la
perder
los
comprobación,
conocimientos
el
clasicos,
análisis
de herramientas como la computación es
y
sencillamente
situarse en lo que la época demanda.
RECOMENDACIONES
En la presente tesis se ha hecho el análisis por diagramas
de Bode de sistemas univariables realimentados por variables de
estado por la cual se recomienda se lo haga para sistemas
multivariables .
También se realiza el análisis de sensibilidad para dos
casos:
1.- Cuando la planta es variable
2.- Cuando la función de realimentación es variable,es
recomendable.
Por tanto hacer un análisis poormenorisado de la
sensibilidad
cuando vari'a cada uno de los parámetros de
r e a'l imentación.
98
la
10 NV-0
£0 KEY OFFrCLS:LOCflTE 5,£4:PRINT "*•-**
MENÚ PRINCIPAL
**•*"
30 PRINT:PRINT
40 LOCflTE B,£7:PRINT "1. Ingreso de Datos"
50 LOCflTE 10,£7:PRINT "£-Cambio de Datos"
60 LOCflTE 1£,£7:PRINT "3. Visual izaciorí ae Datos flct nales"
70 LOCflTE 14,£7:PRINT "4. finalisis de Respuesta de Frecuencia"
80 LGCñTE 16,£7:PRINT "5. Gráficos"
90 LOCflTE IB, £7:PRINT "S. Salir Temporalmete al sistema"
7.Sal ir al Sistema"
Í00 LOCflTE a®,£7:PRIN
110 LOCfiTE £3, 1
120 INPUT "Introducir Elección (1-7) " :ESCOJfl/130 IF ESCOJfl'/«-i THEN NV-NV+1
140 IF- ESCOJfl'/ <1 OR ESCOJfl"/>7 THEN GOTO 150 ELSE GOTO 18®
150 PRINi "Si rvase Introd uc i r una E1ece i on ent re 1 y 7.
Pu1sar cu a1qu ier tecla p a ra cont i nu ar"
160 IF INKEY*«"" THEN 160
170 GOTO £0
180
190
£00
£10
££0
OÑ ESCOJA-/ BOSUB £00,670, 1560,9£0,4770, 6£B0S G310
GOTO £0
CLSrKEY OFF:CD=0
IF NV>-£ THEN ERfiSE C,P,K,KE
PRINT:LOCPTE 5,1
£30
£40
£50
£60
£70
£80
£90
PRINT "GflNfiNCIfl de Función Directa"
INPUT "KB - ", KG
IF KG=0 THEN PRINT "Lfi GfiNflNCIfl DEBE SER MPYOR QUE CERO":GOTO
IF CD=1 THEN RETURN
PRINT
PRINT "NUMERADOR de la FUNCIÓN DIRECTP "
INPUT "GRPDO = ", N'/-
DIM CÍN-/O
510 INPUT "COEFICIENTE del NUMERADOR de la Función
Directa en Forma DESCENDENTE = ",C(N-/.')
3£0 IF C(0) <0 THEN PRINT "LOS COEFICIENTES DEL NUMERADOR
500
DEBEN SER TODOS POSITIVOS":INPUT "Ingrese valor
POSITIVO de este coeficiente = ",C(I)
530 FOR IMM-/.-1 TO 0 STEP -1
540 INPUT "El SIGUIENTE Coeficiente = ",C(I)
550 IF C(I) <0 THEN PRINT "LOS COEFICIENTES DEL NUMERADOR
560
370
3B0
390
400
410
4£0
430
440
450
460
470
DEBEN SER TODOS POSITIVOS":INPUT "Ingrese valor
POSITIVO de este coeficiente = ",0(1)
NEXT I
PRINT
PRINT "DENOMINflDOR de la FUNCIÓN DIRECTfl "
INPUT "GRfiDO = ", D/IF N-/->D/. THEN PRINT "EL GRftDO DEL DENDMINPDOR DEBE
SER MflYOR QUE EL GRñDO DEL NUMERPDOR":BOTO 380
DIM ñ(D-/-)
INPUT "COEFICIENTE del DENOMINADOR de la función
Directa en forma DESCENDENTE = ",P(D'/.)
FOR I=D-/--1 TO 0 STEP -1
INPUT "El SIGUIENTE Coeficiente = ",fl(I)
NEXT I
IF 'CD=1 THEN RETURN
PRINTrPRINT "NUMERflDOR de la Función EQUIVALENTE de
100
Real imentación"
430 INPUT "GRADO =' " , NH"/
490 IF D/-<NH-/- THEN PRINT "EL GRPDG DEL NUMERADOR DE LP
FUNCIÓN EQUIVALENTE DE REALIMENTACION DEBE SER MENOR
PL GRPDO DEL DENOMINADOR DE LP FUNCIÓN DIRECTR ":GOTO
480
500 D1M K(NH'/--f-l> , KECD*)
KECNH-/-)
INPUT "COEFICIENTE en forma DESCENDENTE =
FOR
I=NH-/-i
TO
0
STEP
-1
5£0
KECI)
530 INPUT "El SIGUIENTE COEFICIENTE
540 NEXT I
550 PRINT:PRINT "VECTOR de REPLIMENTPCIQN"
560 INPUT "COEFICIENTE DEL VECTOR en forma DESCENDENTE " KCNH-/-+1)
570 FOR I-NH"/- TG 1 STEP
KCI)
580 INPUT "El SIGUIENTE coeficiente =
590 NEXT I
£00 IF CD=Í THEN RETURN
610
PRINT
6£0
PRINT "RPNGO de FRECUENCIA"
630
£40
650
660
670
INPUT "Frecuencia de INICIO
INPUT "Frecuncia FINAL
WF
IF CD=1 THEN RETURN
,-WO
RETURN
CLS:LOCPTE 1£, 1:IF NV=0 THEN PRINT "NO es posible
CñMBIfiR DATOS sin haberlos INGRESPDO PREVIAMENTE.
Pulse cualquier tecla para cont inuar" ELSE GOTO 700
680 IF INKEY*=IIN THEN 630
690 BOTO EO
.700
LOCñTE 5, S4-.PRINT "***
CñMBIO DE DfiTQS
***"
PRINT :PRINT
LOCPTE 8, 25: P R I N T " i . El VECTOR de real irnent ación"
LOCfiTE 10,E5:PRINT "S. GftNfllvICIfl de Función Directa"
LOCPTE 12,25:PRINT " 3 , F u n c i ó n D I R E C T A "
LOCPTE 14,£5:PRINT " 4 . R P N B O de Frecuencia"
LOCPTE 16,S5:PRINT "5. RETORNO a Menú P r i n c i p a l "
LOCPTE £1, 1
INPUT
Introducir Eleccion (1-5)
; ESCJ-/.
IF ESCJ-/. <1 OR ESCJ"/->5 THEN 730
800 IF ESCJ'/=5 THEN RETURN
810 ON ESCJ/. BOSUB 360,880,840,900
820 IF BR-1 THEN RETURN
830 BOTO 670
840 CLSrLOCPTE 5,Í:ERPSE C,P:CD=i:GQ3UB £70
850 RETURN
860 CLS:LOCPTE 5,i:ERASE K,KE:CD=1:GOSUB 470
370 RETURN
380 CLS:CD=1:GOSUB
890 RETURN
900 CLS:LOCPTE 5,5:
GGSUB 610
910 RETURN
9£0 CLS:LP=1:LOCPTE 5,£4;PRINT
ANÁLISIS DE RESPUESTA
DE FRECUENCIA
930 LOCPTE 3, £7:PRINT "1 Estabi1idad del Sistema"
940 LOCPTE 10,£7:PRINT
?. Velocidad de Respuesta"
710
720
730
740
750
760
770
780
790
950 LÓCATE 12,27:PRINT "3. Exactitud de Respuesta"
960 LÓCATE 14,27:PRINT "4. Gráficas de Bode"
970 LÓCATE 16,27:PRINT "5. Sensisibilidad"
980 LÓCATE 18,27:PRINT "6. Volver a Menú Principal"
990 LÓCATE 23,1:INPUT "Introducir Elección (1-6> _" ;ESCX
1000 IF ESCX<1 OR ESCX>6 THEN 1010 ELSE GOTO 1040
1010 PRINT n Sirvase Introducir una elección entre 1 y 6.
Pulse cualquier tecla para continuar"
1020 IF INKEYS="" THEN 1020
1030 GOTO 920
1040 IF ESCX=6 THEN 20
1050 QN ESCX GOSUB 1070,1240,1400,4880,5170
1060 GOTO 920
1070 CLS-.LOCATE 5,24:PRINT "**•*
ESTABILIDAD DEL
SISTEMA
***"
1080 LÓCATE 8,27:PRINT "1. Margen de Ganancia"
1090 LÓCATE 10,27:PRINT "2. Margen de Fase"
1100 LÓCATE 12,27:PRINT "3. Máximo de Resonancia"
1110 LÓCATE 14,27:PRINT "4. Todo lo anterior"
1120 LÓCATE 16,27:PRINT "5. Regreso al Menú de Análisis1
1130 LÓCATE 20,1:INPUT "Introducir Elección ( 1-5 >_" ; ES'/.
1140 IF ESX<1 OR ES%>5 THEN 1150 ELSE GOTO 1180
1150 PRINT "Sirvase Introducir uan elección entre 1 y 5.
Pulse cualquier tecla para continuar"
1160 IF INKEYS="" THEN 1160
1170 GOTO 1070
1180 IF ESX = 5 THEN 920
1190 T=0
1200 IF ESX = 4 OR TODQ=1 THEN ESX=1:T=1
1210 ON ESX GOSUB 2660,3130,3490
1220 IF T=l AND ES%<3 THEN ESX=ES%+1:GOTO 1210
1230 GOTO 1070
1240 CLS:LOCATE 5,24:PRINT "***
VELOCIDAD DE RESPUESTA
1250 T=0
1260 LÓCATE 8,27:PRINT "1. Frecuencia de Resonancia"
1270 LÓCATE 10,27;PRINT "2. Ancho de Banda"
1280 LÓCATE 12,27:PRINT "3. Todo lo anterior"
1290 LÓCATE 14,27:PRINT M4. Regreso al Menú de Análisis"
1300 LÓCATE 20rl:INPUT "Introducir Elección (1-4)_";EX
1310 IF EX<1 OR EX>4 THEN 1320 ELSE GOTO 1350
1320 PRINT "Sirvase Introducir uan elección entre 1 y 4.
Pulse cualquier tecla para continuar"
1330 IF INKEY£í=n" THEN 1330
1340 GOTO 1240
1350 IF EX = 4 THEN 920
1360 IF EX=3 QR TODO=1 THEN EX=1:T=1
1370 ON EX GOSUB 3490,3690
1380 IF T = l AND EX<2 THEN EX = E7. + 1 : GOTO 1370
1390 GOTO 1240
EXACTITUD DE RESPUESTA
1400 CLSrLOCATE 5,24:PRINT "***
1410 LÓCATE 8,27:PRINT "1. Error de Posición"
1420 LÓCATE 10,27:PRINT "2. Error de Velocidad"
1430 LÓCATE 12,27;PRINT "3. Error de Aceleración"
1440 LÓCATE 14,27:PRINT "4. Todo lo anterior"
1450 LÓCATE 16,27:PRINT "5. Regreso al Menú de Análisis"
102
1460 LÓCATE 20,1:INPUT "Introducir Elección Cl-5)_ n ;SEX
1470 IF SEX<1 QR SEX>5 THEN 1480 ELSE GOTO 1510
1480 PRINT "Sirvase Introducir uan elección entre 1 y 5.
Pulse cualquier tecla para continuar"
1490 IF INKEYS= n n THEN 1490
1500 GOTO 1400
1510 IF SEX=5 THEN 920
1520 T=0:IF SEX=4 THEN SEX=1:T=1
1530 ON SEX GOSUB 4200,4300,4550
1540 IF T=l AND SEXO THEN SEX=SEX+1:GOTO 1530
1550 GOTO 1400
1560 CLS:LOCATE 12, 1:IF NV = 0 THEN PRINT "NO es posible
VISUALISÁR LOS DATOS sin haberlos INGRESADO PREVIAMENTE.
Pulse cualquier tecla para continuar" ELSE 1590
1570 IF INKEYS= n " THEN 1570
1580 GOTO 20
1590 '****
VISUALIZACION DE DATOS ACTUALES
**-**
1600 CLS
1610 PRINT TABC24) "FUNCIÓN DIRECTA G í j W > "
1620 PRINT
1630 PRINT "GANANCIA KG = "KG
1640 PRINT:PRINT TAB(8)"NUMERADOR "rLOCATE 5,48:PRINT
"DENOMINADOR "
1650 PRINT
1660 FOR X=NX TO 0 STEP -1
1670 PRINT TABC8) "S A "X f1 = " ;C(X)
1680 NEXT
1690 PQ=CSRLIN-NX-2
1700 FOR X=D% TO 0 STEP -1
1710 IF P0=24 THEN 1730
1720 PO=PO+1:LÓCATE PQ,48
1730 PRINT T Á B C 4 8 ) " S A r t X " = " ? Á Í X )
1740 NEXT
1750 PRINT "Puse cualquier tecla para continuar"
1760 IF INKEYS= nn THEN 1760
1770 PRINT ;PRINT TAB(16)"FUNCIÓN DE REALIMENTÁCION DE
ESTADOS H(JW)"
1780 PRINT:PRINT TAB(8)"NUMERADOR ","
DENOMINADOR "
1790 PRINT
1800 FOR X-NHX TO 0 STEP -1
1810 PRINT TABÍ8)"S A "X"=";K£(X)
1820 NEXT
1830 PO=CSRLIN-NHX-2
1840 FOR X=NX TO 0 STEP -1
1850 IF P0=23 THEN 1870
1860 PO=POfl:LOCÁTE PQ,48
1870 PRINT TAB(48>"S A "X"=";C(X)
1880 NEXT
1890 PRIHT:PRINT:PRINT:PRINT:PRINT "Pulse cualquier tecla
para continuar"
1900 IF INKEYS="" THEN 1900
1910 PRINT:PRINT "VECTOR DE REALIMENTÁCION DE ESTADOS"
1920 FOR X=NHX+1 TO 1 STEP -1
1930 PRINT TAB(S)"K"X"=";K(X)
1940 NEXT
103
2460 ÁUX/. =
2470 GOTO 2330
2480 ERASE Cl, Al
2490 '***
CALCULO DEL MODULO Y FASE DE UNA
2500 FOR X=0 TO 1
2510
2520
2530
2540
2550
2560
2570
2580
2590
2600
2610
2620
2630
2640
2650
2660
2670
FUNCIÓN
MODU(X) = (RE(X) A 2-t-IM(X) A 2) A .5
IF RE(X)=0 AND IM(X)=0 THEN FASE(X)=0:GQTO 2580
IF RE(X)=0 AND IM(X)<0 THEN FASECX)=-90:GOTO 2580
IF RE(X)=0 AND'IM(X)>0 THEN FASE(X)=90:GOTO 2580
FASE= ÁTN(IMÍX)/RE(X))*180/3.141593
IF RE(X»0 THEN FASE ( X ) =FASE : GQTO 2580
FÁSE(X)=FASE-*-180
IF FASE(X)>0 THEN 2600
FÁSECX)=FASE(X)+360
NEXT X
FASET=FASE(0)-FASE(1)
IF FASET>0 THEN 2640
FÁSET=FÁSET+360
MODULO=MODU(0)/MQDU(1)
RETURN
REM **-*
CALCULO DEL MARGEN DE GANANCIA
*-**
W=WO:CLS:INPUT "INGRESE VALOR DE PRESICION ÍSe
recomienda 0.5) n ,PRES
2680 INCW=< WF-WQ)/2-:CLS:PRINT "ESPERE POR FAVOR . ..."
2690 ITER=0
2700 IF DX>NH7. -t-2 THEN 2750
2710 MG$="INFINITO":CLS:LOCATE 12A23:PRINT "EL MARGEN DE
GANANCIA ES "MGSiPRINT :PRINT TABí23)"(Pulse
Cualquier Tecla para Continuar)"
2720 IF INKEY$=ntI THEN 2720
2730 INM=1
2740 RETURN
2750 'FQR X = DX. TO 1 STEP-1
2760 IF X<NHX-t-l THEN 2790
2770 IF A(X><>0 THEN 2850
2780 GQTO 2800
2790 IF CCX)<>0 AND A(X)<>0 THEN 2850
2800 NEXT X
2810 MG$="INDEFINIDO":CLS:LOCATE 12,23:PRINT "EL MARGEN
DE GANANCIA ES "MGS:PRINT :PRINT TAB ( 23 ) (l ( Pulse
Cualquier Tecla para Continuar)"
2820 IF INKEYS= n " THEN 2820
2830 INM=1
2840 RETURN
2850 W=WF
2860 GOSUB 2210
2870 IF FASET<=1S0 THEN 2920
2880 MG$=MINDEFINIDO":CLS:LQCATE 12,23:PRINT "EL MARGEN
DE GANANCIA ES "MGS:PRINT tPRINT TAB(23)"(Pulse
Cualquier Tecla para Continuar)"
2890 IF INKEY^=n" THEN 2890
2900 INM=1
2910 RETURN
2920 W=WQ
2930 GOSUB 2210
105
2940
2950
2960
2832
2970
2980
2990
3000
3010
3020
3030
3040
3050
3060
3070
3080
3090
3100
3110
3120
3130
3140
3150
3160
3170
3180
3190
.3200
3210
3220
3230
3240
3250
3260
3270
3280
3290
3300
3310
3320
3330
3340
3350
3360
3370
3380
3390
FASE1=FASET
IF ABS<FASE1-180)>=PRES THEN 3000
MG = -20-*LOG(MQDULO)/LQG( 10)
IF BP=1 THEN RETURN
CLStLOCATE 12,23;PRINT "EL MARGEN DE GANANCIA ES H M G :
PRTNT :PRINT TAB(23)"(Pulse Cualquier Tecla para
Continuar)"
IF INKEY3= n n THEN 2980
RETURN
W=W+INCW
ITER=ITER+1
IF ITER >= 60 THEN CLSrLOCATE 5,IrINPUT "Se han
realizado 60 iteraciones.
Ingrese un nuevo valor cíe
presicion n ,PRES:GOTQ 2680
GQSUB 2210
FÁSE2=FASET
IF ABS<FASE2-180)>=PRES THEN 3110
MG = -20*-LQG(MQDULO)/LOG<10)
IF BP=1 THEN RETURN
CLSrLOCATE 12, 23:PRINT n EL MARGEN DE GANANCIA ES "MG:
PRINT :PRINT TAB(23)n(Pulse Cualquier Tecla para Continuar)
IF INKEY$= n " THEN 3090
RETURN
IF (FASE1-1S0:) *(FÁSE2-180)>0 THEN 3000
W=W-INCW:INCW=!NCW/2:GQTO 2930~
RE11 ***
SUBRUTINA PARA EL CALCULO DEL MARGEN DE FASE
***
ITER=0:CLS:INPUT "INGRESE VALOR DE PRESICION (Se
recomienda 0.5) ",PRESW=WF:CLS:PRINT "ESPERE POR FAVOR . ..."
INCW=<WF-WOJ/2
GQSUB 2210
IF MODULO<1 THEN 3230
CLS:LOCATE 12,24:MF£="INDEFINIDO":PRINT "EL MARGEN
DE FASE ES "MF$:PRINT TÁB(20)"(Presione cualquier
tecla para continuar)"
IF INKEYS= nn THEN 3200
INM=1
RETURN
W=WO
GQSUB 2210
IF MQDULQ>1 THEN 3280
GOTO 3190
GQSUB 2210
MQD1=20*LOG(MODULO)/LQGÍ10)
IF ABS (MQD1)<E1 THEN 3440
W=W+INCW
ITER=ITER-t-l
IF ITER<60 THEN 3370
INPUT "Han Habido 60 iteraciones.
Ponga un nuevo
valor de la presicion ",PRES
W=WO
INCW=<WF-WO)/2
GOTO 3140
GOSUB 2210
MOD2=20*LOG(MODULO)/LOGC10)
IF ÁBSCMOD2XPRES THEN 3440
106
3850 RETURN
3860 w=wo
3870 INCW=(WF-WG>/2
3880 GOSUB 2050
3890 CAÍ =20 *LOG< MODULO) /LOG (10)
3900 IF ABS(CA1 + 3X = PRES THEN 4030
3910
3920 ITER=ITER+1
3930 IF ITER<60 THEN 3960
3940 INPUT "Se han realizado 60
3950
3960
3970
3980
3990
4000
4010
4020
4030
4040
4050
4060
4070
4080
4090
4100
4110
Ingrese un nuevo valor de
GOTO 3710
GOSUB 2050
CA2=20*LQG C MODULO ) /LQG ( 10 )
IF ÁBS(CÁ2 + 3X = PRES THEN 4030
IF
", PRES
(CAÍ -*-3)*<CA2 + 3)>0 'THEN 3910
W=W-INCW
INCW=INCW/2
GOTO 3880
IND = IND-t-l
IF INDol THEN 4170
WAG=20*-LQG( MODULO >/LOG( 10)
W=WABf4*INCW .
GOSUB 2050
- ,
IF 20*LOG(MQDULO) /LOG ( 10) >MÁG THEN 4140
IF BP=1 THEN RETURN
CLS:LOCÁTE 12, 24 : AB=WAB-WO : PRINT "EL ANCHO DE BANDA ES
"ÁB:PRINT TÁBÍ23)n (Presione cualquier tecla para continuar)"
4120 IF INKEYS="" THEN 4120
4130 RETURN
4140
4150
4160
4170
4180
4190
4200
4210
4220
4230
wo=w
GOTO 3870
IF BP=1 THEN RETURN
CLSrLOCATE 12, 24 : AB=W-WAB : PRINT "EL ANCHO DE BANDA ES "AB:
PRINT TAB ( 23 )"( Presione cualquier atecla para continuar)"
IF INKEY£= n n THEN 4180
RETURN
'**** SUBRUTINA DEL CALCULO DE ERRORES
****
'**** ERROR DE POSICIÓN
***-*
IF K(1X>(C(0)-Á(0) )/KG THEN 4260
EP=0:CLS:LOCATE 12,23:PRINT "EL ERROR DE POSICIÓN ES "EPtPRI
-.PRINT TÁBÍ23)n (Pulse Cualquier Tecla para Continuar)"
4240 IF INK£YS= M H THEN 4240
4250 RETURN
4260 EP=1-KG*C(0)/ (Á(0)+KG*K(1) )
4270 CLS:LOCATE 12, 23:PRINT "EL ERROR DE POSICIÓN
ES
"EP:PRINT
rPRINT TAB < 23 ) " (Pulse Cualquier Tecla para Continuar)"
4280 IF INKEYS=" M THEN 4280
4290 RETURN
4300 '****. ERROR DE VELOCIDAD
****
4310 IF K(1)=C(0)-ÁC0)/KG THEN 4350
4320 EVS= " INFINITO " :CLS: LÓCATE 12, 23:PRINT
"EL ERROR DE VELOCIDAD
ES "EVSrPRINT :PRINT TAB ( 23 )"( Pulse Cualquier Tecla para Con
4330 IF INKEYS= Mri
THEN 4330
108
GOTO 4700
GRÁFICOS
*-**-*"
CLS:LÓCATE 5,24:PRINT «**-**
Gráficos
de
Bode"
LÓCATE 8,27:PRINT "1.
LÓCATE 10,27:PRINT "2. Ganancia vs. Margen de Ganancia y Fase
LÓCATE 12,27:PRINT "3. Gráfico Comparativo"
LÓCATE 14, 27-.PRINT "4. Imprimir"
LÓCATE 16,27:PRINT "5. Regreso al menú de Análisis"
LÓCATE 20,1:1NPUT "Introducir Elección <l-5)_" ; SECX
IF SECX<1 OR SECX>5 THEN 4*830
IF SECX=5 THEN 920
ON SECX GOSUB 4880,5380,5770,5150
GOTO 4770
CLSiINPUT "INGRESE EL INCREMENTO DE FRECUENCIA (se recomienda 0.2) ";INCW
4890 PART=WF/INCW+1:CLS:PRINT "ESPERE POR FAVOR...."
4900 DIM V W C P A R T ) , V M A C P A R T ) , V F A C P A R T ) , V M C Í P Á R T ) , V F C ( P A R T )
4910 P = 0
4920 FOR W = W O TO WF STEP INCW
4930
4940 GOSUB 2210
4950 IF Í10DULO = 0 THEN VÍ1C C P ) =0 : GOTO 4970
4960 VMA(P)=20*LOG(MODULO)/LOG C10)
4970 VFA CP)=FASET-360
4980 GOSUB 2050
4990 IF MODULO=0 THEN VMÁ(P)=0:VFCP)=0:GOTO 5020
5000 VMC(P)=20*LOG(MODULO)/LOG(10)
5010 VFC(P)=FASET-360
5020 VW(P)=LOGÍW)/LOG(10)
5030 NEXT
5040 ACOP=1
5050 OPEN "O", 1, "B:ACOP.DAT"
5060 PRINT* 1,ACOP
5070 GLOSE* 1
5080 OPEN "O",2,"b:DIAG.DAT"
5090 FOR X = l TO P
5100 PRINT# 2,VW(X);VMA(X);VFA(X);VMC(X);VFC(X)
5110 NEXT X
5120 CLOSE #2:ERASE VW,VMA,VFA,VMC,VFC
5130 SHELL "SYMPHONY
5140 RETURN
5150 SHELL "ACCESS
5160 RETURN
5170 '***
SUBRUTINA PARA CALCULO DE SENSIBILIDAD
***•
5180 CLSrINPUT "Escoja: (1) Planta Variable;(2) Función de
Realimentacion Variable ",VA
5190 IF VA<1 OR VA>2 THEN 5180
5200 BP=1:INM=0:GOSUB 3700
5210 BP=0:IF INM^l THEN 5350
5220 CLSrPRINT -"POR FAVOR ESPERE ...."
5230 W = WAB
5240 IF VA=1 THEN 5300
5250 GOSUB 2210
5260 RE.(0)=MODULO*COS(FASET*-3. 141593/180) : IM ( 0 ) =MODULO*-SIN ( FASE
*3.141593/180)
5270 RE(l)=lfRE(0>:IM(1)=IM(0)
4760
4770
4780
4790
4800
4810
4820
4830
4840
4850
4860
4870
4880
110
5280
5285
5290
5300
5310
5315
5320
5330
5340
5350
5360
5370
5330
5390
5400
5410
5420
5430
5440
5450
5460
5470
5480
5490
5500
5510
5520
5530
5540
5550
5560
5570
5580
5590
5600
5610
5620
5630
5640
5650
5660
5S70
5680
5690
5700
5710
5720
5730
5740
5750
5760
5770
GOSUB 2490
IF BR = 1 THEN RETURN
GOTO 5320
RE(0)=1:IM(0>=0
GOSUB 2490
IF BR=1 THEN RETURN
CLS-.LOCATE 12, 27:PRINT "Sensibilidad=" MODULO:PRINT TABÍ23)
"(Presione cualquier tecla para continuar)
IF INKEY$= n " THEN 5330
RETURN
CLSiLQCATE 12,27:PRINT "Sensibilidad=indefinida a la frecuec
de -3dB":PRINT TABÍ23) "(Presione cualquier tecla para conti
IFINKEYS="n THEN 5360
RETURN
'* + *•
SUBRUTINA PARA EL CALCULO DE DATOS DEL GRÁFICO DE
GANANCIA vs. MARGEN DE GANANCIA Y FASE*-**"
CLS:PRES=.5
W=WO
ITER=0
INtt = 0
BP=1
P=0
PRINT "Ingrese la Variación de Ganancia;"
INPUT "D£SDE=. n, KO
INPUT "HASTA= n , KF
INPUT "EN PASOS DE= ", KP
DIM MG(KF/KO + 1 ) , MFÍKF/KO-M)
FOR KG=KO TO KF STEP KP
P=P+1
GOSUB 2680
IF INM=1 THEN 5760
MG(P)=MG
ITER=0
GQSUB 3150
IF INM=1 THEN 5760
Í1F(P)=MF
NEXT
ACOP=2
OPEN "Q n ,1,"B:ACOP.DAT"
PRINT* 1,ACOP
CLOSE* 1
OPEN "0°,2,"B:ESTABILI.DAT"
FOR X=l TO P
PRINT* 2, KO, Í1G ( X )
KO=KO+KP
NEXT
FOR X=P TO 1 STEP -1
PRINT* 2,KF,MFCX)
KF=KF-KP
NEXT
GLOSE #2:ERASE MF, MG
BP=0
SHELL "SYñPHONY
RETURN
'***
SUBRUTINA DE CALCULO DE DIAGRAMAS DE COMPARACIÓN
***
111
5780 CLS:BR=1:BP=1: J.NPUT "Ingrese el incremento de xrecuencia
(se recomienda . 2) " , INCW
5790 P=0:INPUT "Escoja: (1) Planta variable; (2) Función de
Realimentacion variable ",YA
5800 IF VA<1 OR
VA>2 THEN 5790
5810 PART= WF/INCW+1
5820 DIM VÍ1C (PART), VFC
VFC1
(PART) , V W
. -
(PART),VMC1 (PART),
ÍPART),VSE(PART),VSE1(PART)
5830
5840
5850
5860
5870
5880
5890
5900
5910
5920
5930
5940
5950
5960
5970
5980
5990
6000
6005
6010
6020
6030
6040
6050
6060
6065
6070
6080
6090
6100
6110
6120
6130
6140
6150
6160
6170
6180
6190
6200
CLS: PRINT"Con los siguientes datos se
PRINT
GOSUB 1610
CLS:INPUT "DESEA CAMBIAR DATOS (S/N) n ,
PRINT "ESPERE POR FAVOR...."
IF YS = "N" QR.Y$="n n THEN 5910
GOSUB 700
CLS: PRINT "ESPERE POR FAVOR...."
FOR W = W O TO WF STEP INCW
P=P + 1
"' :
GOSUB 2050
!"•"/.
IF MODULQ=0 THEN•VMA(P)-0:VF(P)=0:GOTO
VMC(P)=20~LOG(MODULO)/LQG(10)
VFC (P)= FÁSET-360
VW(P)=LOG<W)/LQG(10>
GOSUB 5220
VSE(P)=MODULO
NEXT
CLS:PRINT "Escoja el Segundo Sistema"
CLS:GOSUB 700
CLS: PRINT
"ESPERE POR FAVOR...."
P=0
FOR W=WO TO WF STEP INCW
P=P-fl
GOSUB 2050
IF MQDULO=0 THEN VMA(P)=0:VF(P)=0:GOTO
VMC1(P)=20*LQG(MODULO)/LQG(10)
VFC1(P)= FASET-360
VW(P)=LOG(W)/LOG(10)
GQSUB 5220
VSE1(P)=MQDULO
NEXT
ACOP=3
OPEN "O", 1, "B:ACDP.DAT"
PRINT# 1, ACQP
GLOSE* 1
OPEN "O", 3, "B:COMB.DAT"
FOR X=l TO P
PRINT* 3, VW(X), VMC(X),VFC(X), VSE(X)
NEXT
realizaran los cálculo
6210
FOR X = P TO' 1 STEP -1
6220
6230
6240
6250
6260
6270
PRINT* 3, VW(X), VMC1 (X), VFC1 (X), VSEKX)
NEXT
GLOSE * 3:ERASE VW, VMC, VFC, VMC1, VFC1, VSE, VSE1
BR=0
SHELL "SYMPHONY"
RETURN
YS
5970
6090
6280
6290
6300
6310
CLS:PRINT "( Ponga EXIT para regresar a AHREES )"
SHELL
RETURN
SYSTEM
IDENTIFICACIÓN.-
ANálisis de REalimentaciQ de Estados (ANREES),
Implementado para
la -facultad de Ingeniería Eléctrica, área de ControlDescripción del Problema a Resolverse.—
Análisis de Estabilidad,
Velocidad,
Exactitud, Sencibi1idad, de
Sistemas Realimentador por Variables de Estado.
Descripción del Método de Solución.-
Análisis
en el dominio de la respuesta de -frecuencia con diagra-
mas de Bode.
MODO DE EMPLEO.
A coriti nuaci ón se descri ben 1 os pasos a seguí rses
1.-"
Ingrese disco con el sistema operativo para luego prender el
computador„
2. -
Tipe£ir el comando BÁSICA .
3. --
Presionar tecla
4.-
Presi onar la tecla CF23
CF3'J fi NT\EE S
5-- Escojer la opción 1 (uno)
114
6- •••
Incresar los datas
7.- El usuario puede seleccianar cualqui era des 1 as opci ones
MODO DE UTILIZACIÓN DE BRAFICDS
1„—
Disponer de disco para datos „
2."
Disponer del programa SYMPHONY.
3.—
Seguir instrucciones dadas por el programa principal.
4.™
Presionar tecla C P U »
5- -
Pres ione tecla CI 3.
6. -
Seguí r instrucci anes dadas para escojer el o los grá-f icos
7.-
Presione RETURN para acabar la selección-
8«-
Revice que la impresora este 1ista a imprimir„
9»-
Presione tecla L A 3 *
1O.~ Presione tecla CG!3 „
i í.- Si desea recresar al programa principal presione 1 a tecla
CE3, por dos ocaciones, caso contrario regrese al paso 5-
11!
•?
i?
:?
'v-
<r O;~i J i^ í-J ivi.-T Ijn
•-*
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_ CD Q_ <I LJ ¡U =• í/i "T t1
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B X B L I O B R P F I f t
W I B E R S DONPLD.
E s p a c i o de estado y_ s i s t e m a s 1 i n e a l e s .
Schaurn,
CHEIM-CHI-TSONS.
Me Braw H i l l
Inc.,
Serie
1973.
I n t r o d u c t i o n to. 1 inear systerns t h e o r y .
Holt,
Rinchart, Winston, N-Y., 1970.
RfiVEN
FRfiNCIS.
ftutornat
ic control eng i n e e r i r m ,
Me Braw
Hill
1978.
DVP2ZO,
J;
HOUPIS,
C.
L i n e a r control systerns. final i sis
Design.
SHINNERS.
and
Me Braw Hill, N. Y. , 1975.
Modern control systerns (theory and appl icat ions) .
Pddison — Wesley. 197£.
GUPTP,
HASDORFF. Fundamentáis
of
autornat ic
control, John
Wiley &sons Inc., 197©.
HPLE. Int roduct ion t o control systerns- fínal ysis and De si on.
Prent ice Hal1 Inc. 1973.
LfiYTON- M u11 i yar i a b1 e control theory.
1976.
Peter Peregrinas Ltd.,
ZPlDEH,
DES DE R. Linear
systerns
theory.
The
State
Soace
fípproach, Me Graw Hill, 13&3.
GGPtTP K. Ingeniería de control, moderna, Prentice Hall, 19S0.