Realizado por: Grupo4:-Ricardo Bermejo, Francisco Caballero, Ezequiel
Martí y Juan Pedro Tortosa
Trabajo1
ERRORES PARA METODOS NUMÉRICOS
Apartado a:
Cuando hacemos medidas podemos llegar a cometer un cierto error. Este error puede ser
vital para la obtención de ciertos resultados. Dado este hecho, calculamos el error que
hemos cometido.
Con esto vamos a definir conceptos que nos ayudaran a comprender los distintos tipos
de errores:
Precisión:
Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad dependiendo
del error de la medida o de la máquina que estemos utilizando.
Dígitos Significativos:
Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra, leyendo de izquierda a derecha;
empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan
las celdas que guardan la mantisa.
Ahora pasaremos a definir los distintos tipos de errores:
1) Error absoluto
2) Error relativo
3) Error de redondeo y aritmético de la computadora
4) Error por redondeo
5) Error por truncamiento
1 Error absoluto
Si x* es una aproximación de x, y si x es el valor real, entonces:
Error Absoluto = |x-x*|
o sea el valor absoluto de x menos x*.
Debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es
negativo. Así pues, una colección de errores siempre se incrementan juntos, sin
reducirse.
Ejemplo1:
x=0.3x10-3
x*=0.31x10-3
error absoluto=|0.0003-0.00031|=0.00001
2 Error relativo
El Error relativo se define como: Error relativo = |x-x*|/|x| con la condición de x
0.
Generalmente el denominador es una de tres elecciones; la magnitud del valor exacto o
real, la magnitud del valor calculado o aproximado o el promedio de estas dos
cantidades. La mayoría de las veces se usa como el valor real, por lo que se usará esta
opción.
Ejemplo:
x=0.3x10-3
x*=0.31x10-3
Aquí usaremos el resultado del ejemplo 1
error relativo = 0.00001/0.0003=0.0333
3 Error de redondeo y aritmético de computadora
El error de redondeo se origina porque una máquina muestra un número finito de
dígitos; por lo tanto, los cálculos se realizan con representaciones aproximadas de los
números verdaderos. Dicho de otra manera, el error de redondeo se debe a la discreción
del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su
longitud de caracteres finitos. Cada número se reemplaza por el número de máquina
más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están
representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
Ejemplo en la IBM 370:
1 dígito binario (bit) indica el signo.
7 dígitos binarios (7 bits) indican el exponente en base 16.
24 dígitos binarios (24 bits) indican la mantisa.
El exponente de 7 bits da un rango de 0 a 127.
Sin embargo, debido a los exponentes usados, el rango es de -64 a 63, o sea que, se resta
automáticamente 64 del exponente listado.
127-64=63
0-64=-64
4 Error de redondeo
Es el que resulta de reemplazar un número por su forma de punto flotante. Cualquier
número real positivo puede ser normalizado para que adquiera la forma:
Y =X1X2……..XkXk+1Xk+2……*10ª
1<=X1<=92
1<=Xi<=9 con i=2,3,4,….k
La forma de punto flotante fl(y), se obtiene terminando (recortando) la mantisa de y
en k dígitos decimales.
Existen dos métodos de terminar:
a) Cortando los dígitos xk+1xK+2·..
fl(y)=0.x1x2··xk*10n
b) Redondeando el número
Si xk+1>= 5 se agrega uno a xk para obtener fl(y)
Si xk+1< 5 se cortan todos excepto los primeros k dígitos.
Ejemplo 1
Utilizar k=5
METODO DE REDONDEO
como el sexto dígito de la expansión decimal de es un 9:
fl( )=(0.314159+0.00001)*101
fl( )=0.31416*101
=3.1416
5 Error de truncamiento
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de
pasos se detiene en un número finito de pasos.
Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para
aproximar la suma de una serie infinita. Note que el error de truncamiento, a diferencia
del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee.
Que es el polinomio de Taylor de grado n para la función f alrededor de xo.
Que es el residuo o error de truncamiento asociado con Pn.
f(x)=Pn(x)+Rn(x)
En el caso específico de que xo=0 el polinomio de Taylor se conoce como el polinomio
de Maclaurin y la serie de Taylor se conoce como la serie de Maclaurin.
.
Ejemplo 2:
Sea f(x)=x3
a) Encontrar el polinomio de Taylor de segundo grado para xo=0 y el error de
truncamiento para cuando x=0.5.
Solución:
Nota: (x) en el nº que no conozco y que tiene que escribir si hay x
R2(x)=6/6
R2=6/6x3
R2=x3
Con X =0,5x3
R2(x)=(0,5) 3
R2(x)=0,125 R2 es el residuo o error
F(x)=P2(x)+R2(x)
F(x)=x*x*x*=0+ 0,125
x3 =0,125
|x3 -0|<=0,125
0,125 es el Error de truncamiento
Estos 5 errores que acabamos de describir, son errores de los que podemos
predecir un resultado, pero a veces podemos cometer errores de los cuales nunca no nos
damos cuenta que hayan sucedido:
Errores Inherentes o Heredados:
Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a
dos causas: sistemáticos o accidentales.
Errores Sistemáticos:
Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.
Errores Accidentales:
Debidos a la apreciación del observador y otras causas.
Apartado b:
El Error Relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial
cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un
sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de
redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. A demás
como una medida de precisión de el error absoluto puede ser más engañoso debido a
que el valor exacto y el de aproximación pueden variar de alguna manera diríamos que
el error significativo es más significativo.
Bibliografía:
-”Errores experimentales. Criterios para su determinación y control” Colombo de
Cudmani,L., U.N.T.1997
-“Breve diccionario Sirvent” Sirvent M.T., UBA, Marzo de 1997
-“Metodos Numéricos”, Rey Cabezas, J.M.,Infante del Rio,J.A.,
Paginas web:
mailweb.udlap.mx/~ccastane/Analisis_Numerico_html/
Unidad6_html/Sub6_4/Sub6-4.html
. luda.azc.uam.mx/curso2/tema5/integ02.html
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