Sec IV - Cap v-ap.pdf

Apéndice 2
Apéndice 2.
El Hamiltoniano relacionado al problema de agentes heterogéneos se define como:
ℑ=e
−ρ t
1− β
∞


 c1−σ − 1 
 ∞
 

β

 + θ K  AK  µ h N (h) dh   − c N (h) dh − λK  +
∫
 ∫
 
 1−σ 
 h =0
  h =0




ψ
α


  h
∞
 

∞








+ θ H (1 − µ ) δ ∫ h N (h) dh + δ ∫ h N (h) dh
− λ  ∫ h N (h) dh 

 h=h
 
  h =0
 h=0




 


(A2.1)
Las condiciones de primer orden, de acuerdo a las variables definidas oportunamente en
el cuerpo del trabajo, vendrán dadas por:
CPO 1: ℑ c = 0
(A2.2)
CPO2: ℑ K = −θ&K
(A2.3)
CPO 3: ℑµ = 0
(A2.4)
CPO 4: ℑ h = −θ&H
(A2.5)
Donde ℑi representa la derivada de primer orden respecto de i = {c, K , µ , h} , y θ& j la
tasa de variación del precio sombra de la restricción j = {K , H }
Considerando la condición (A2.2):
ℑ c = e − ρ t c −σ − θ K = 0
Aplicando logaritmo natural y diferenciando respecto del tiempo:
ρ +σ
θ&
c&
=− K
c
θK
(A2.6)
 ∞

De (A2.3), y recordando que  µ ∫ h N (h) dh  = N e :
 h=0

[
( )
ℑK = θ K β A K β −1 N e
β A K β −1 (N e )
1− β
−λ =
1− β
−λ
− θ&K
θK
]
= −θ&K
(A2.7)
168
Apéndice 2
Reemplazando (A2.6) en (A2.7), y llamando k e a
K
, se obtiene la senda de
Ne
crecimiento del consumo per cápita, que es la ecuación (v.21) escrita anteriormente:
(
)
c&
= β A(k e ) β −1 − λ − ρ σ −1
c
(A2.8)
La ecuación (v.22) se obtiene, simplemente, dividiendo (v.18) por K. Para hallar (v.23),
tomando logaritmo natural y derivando respecto del tiempo la expresión del capital por
unidad de trabajo efectivo:
  K
d ln e
N
k& e = 
dt



K& N e − N& e K
=
(N )
e 2
K&
N& e K
e
&
k = e − e e
N
N N
(A2.9)
Ahora, dividiendo (v.18) por N e :
( )
K&
= A ke
e
N
β
−
cN
K
−λ e
e
N
N
Reemplazando (A2.9):
( )
k& e = A k e
β
−
cN
K
N& e K
−
λ
−
Ne
Ne Ne Ne
Recordando que, en el estado estacionario,
( )
k& e
= A ke
e
k
β −1
−
N& e H&
=
y dividiendo por k e :
Ne H
c 
H& 
−  λ + 
K 
H 
(A2.10)
Que es exactamente (v.23).
Ahora, considerando la condición de primer orden respecto de µ:
−β
 ∞
 ∞

ℑ µ = θ K (1 − β ) A K  µ ∫ h N (h) dh  ∫ h N (h) dh +
 h =0
 h=0
α
ψ
  ∞

∞ ψ
 
 
− θ H δ ∫ h N (h) dh  + δ  ∫ δ h N (h) dh   = 0


 h= h

  h = h


 
β
169
Apéndice 2
{
θ K A (1 − β ) (k
)
e β
α
ψ
  ∞

∞ ψ
 
 
H − θ H δ ∫ h N (h) dh  + δ  ∫ δ h N (h) dh   = 0


 h=h

  h = h


 
}
Dividiendo la expresión anterior por θ h y haciendo uso de la restricción (v.19):
{
}
θK
β
1
A (1 − β ) (k e ) H = ( H& + Hλ )
θH
1− µ
{
θK
β
H&
= ( + λ ) (1 − µ ) A (1 − β ) (k e )
θH
H
}
−1
(A2.11)
En el estado estacionario, las tasas de crecimiento balanceado serán constantes.
Despejando los parámetros y las relaciones constantes de la ecuación anterior, y
tomando logaritmos y diferenciando, una vez más, respecto del tiempo:
 K& H& 
θ&K θ&H
k& e
−
= − β e = − β  − 
θK θH
k
K H 
(A2.12)
Ahora, tomando la condición de primer orden respecto de h:
−β
∞


 ∞
β


(
)
ℑ h = θ K  A 1 − β K  µ ∫ h N (h) dh  ∫ [µ N (h) + µ h N ' (h)] dh  +


 h =0
 h =0
α −1
h

 h
  h


+ θ H (1 − µ ) δ α  ∫ h N (h) dh   ∫ N (h) dh + ∫ h N ' (h) dh  +

 

h =0

 h =0
  h=0

ψ −1
∞

+ (1 − µ ) δ ψ  ∫ h N (h) dh 
 h=h



{
( )
ℑ h = θ K A (1 − β ) k e
β

∞
∞
∞

 N (h) dh + h N ' (h) dh  − λ [ N (h) + h N ' (h)]dh 
∫
∫
 h∫= h

h=h
h=0



}
µ Φ + θ H { (1 − µ ) Ω − λ Φ} = −θ&H
Llamando {Ω, Φ} a:
170
Apéndice 2
 h

Ω = δ α  ∫ h N ( h ) dh 


 h=0

α −1
 ∞

+ δ ψ  ∫ h N ( h ) dh 
 h=h



h
 h

 N ( h ) dh + h N ' ( h ) dh  +
∫
 ∫

h=0
 h=0

ψ −1
∞
 ∞

 N ( h ) dh + h N ' ( h ) dh 
∫
 h∫= h

h=h


∞


Φ = 1 + ∫ h N ' (h)dh 
 h=0

(A2.13)
(A2.14)
Dividiendo ambos miembros por θ H y reemplazando θ K de (A2.11), despejando
términos, se obtiene:
θ&

µ
µ 
H&
Φ
− λΦ1 −
 + (1 − µ )Ω = − H
H 1− µ
θH
 1− µ 
(A2.15)
Introduciendo (A2.6), (A2.8) y (A2.15) en (A2.12):
−1
H& 
c
µ 

= (1 − µ ) Ω − β − (Φ − 1)λ   β − Φ
−λ
H 
K
1 − µ 

(A2.16)
Caso particular: Distribución Gamma.
Suponiendo que h ~ Gamma (a, b ) = Gamma(2, 1) , la función de densidad se
h a −1e − h b
define como N (h) = a
= e −1 h . Puede demostrarse luego, integrando sobre el
b Γ( a )
espacio de habilidades, en primer lugar, y derivando según la CPO 4, que (A2.13) y
(A2.14) adoptan la forma:
{
}
{
}
Ω = δ 2 − e − h [2 + h(2 + h )] + δ e − h [2 + h(2 + h )]
α
ψ
(A2.17)
∞
Φ = 1 + ∫ h N ′(h) dh = 0
(A2.18)
0
Y la ecuación de transición del capital humano se define según (A2.16) como:
H& (1 − u )
c 
1
=
Ω − − 1 − λ
H
K  β
β
(A2.19)
171
Apéndice 2
Para el análisis de la senda de crecimiento balanceado, y siendo que sobre dicha senda
las tasas de acumulación deben cumplir
c& K& H&
= = , se vuelve sobre la ecuación
c K H
(A2.12). Reemplazando se obtiene:
 K& H& 
θ&K θ&H
−
= − β  − 
θK θH
K H 
[(− β ) A(k e ) β −1 + λ ] + (1 − µ ) Ω = 0
c&
− σ − ρ + (1 − µ ) Ω = 0
c
c& K& H&
= =
= [(1 − µ ) Ω − ρ ]σ −1
c K H
(A2.20)
172