FORMA CÁNONICA DE JORDAN DE UNA MATRIZ

Matemáticas I – Matrices de Jordan
FORMA CÁNONICA DE JORDAN DE UNA MATRIZ
Comenzaremos esta lección intentando diagonalizar por semejanza una matriz A que no es
diagonalizable y veremos como obtener una matriz J semejante a A lo más parecida posible a
una matriz diagonal.
Ejemplo: Consideremos la siguiente matriz 33
3 1
 0


A   2  1  1
  2  1  1



Autovalores de A: el polinomio característico de A es

Autoespacio asociado a 1  2 : V1 1   Ker A  1 I 

Autoespacio asociado a 2  2 : V1 2   Ker A  2 I 

Segundo autoespacio asociado a 2  2 : V2 2   Ker A  2 I 
det A  t  I   t 3  2t 2  4t  8
entonces los autovalores son 1  2 con multiplicidad m(1 )  1 y 2  2 con multiplicidad
m(2 )  2 .

 

V1 2  x  ( x, y, z)  R 3 : ( A  2I ) x  0  ( x, y, z)  R 3 : 2x  3 y  z  0, 2x  y  3z  0
Como d (1 )  dimV1 2  1  m(1 ) , basta encontrar un vector en este autoespacio para tener
una base, por ejemplo u1  1,1,1 . Así, V1 2  L1,1,1.

 

V1  2  x  ( x, y, z)  R 3 : ( A  2I ) x  0  ( x, y, z)  R 3 : 2x  3 y  z  0, 2x  y  z  0
Así d (2 )  dimV1  2  1  m(2 ) , luego la matriz A no es diagonalizable.
2

 

V2  2  x  ( x, y, z)  R 3 : ( A  2I ) 2 x  0  ( x, y, z)  R 3 : x  y  0
Obsérvese que V1 2   Ker A  2 I   V2 2   Ker A  2 I  y
2
que dimV2 (2)  2  m(2) . Entonces vamos a buscar una base de este segundo espacio que
contenga un vector del primero, como sigue:
► Elegimos un vector cualquiera u3 V2 (2)  V1 (2) , por ejemplo u3  (0,0,1) .
► Sea ahora u 2  ( A  2I )u3 , luego u 2  (1,1,1)
Entonces, u 2 ,u3  es una base de V2  2 , y además u 2 V1  2 .
 Matriz asociada en la base
B’= u1 , u 2 , u 3 : sea f la aplicación lineal asociada a la matriz A.
Por el modo en que hemos elegido los vectores u1 , u 2 , u 3  tenemos que:
f (u1 )  2  u1 ,
f (u 2 )  2  u 2 ,
f (u3 )  u 2  2  u3
Luego la matriz asociada a f en la base B’ es:
0 
2 0


J  0  2 1 
 0 0  2


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Matemáticas I – Matrices de Jordan
A la matriz J la llamamos forma canónica de Jordan de A y a la matriz
1 0
1


P   1  1 0
  1 1 1


formada por los vectores de B’ la llamaremos matriz del cambio de base.
Ejercicio: Comprobar que A y J son efectivamente semejantes vía P; es decir, J  P 1 AP .
Obsérvese que la matriz J se diferencia de una matriz diagonal en que contiene algún 1 en la
línea por encima de la diagonal. Pasemos ahora a describir formalmente las matrices de este tipo
conocidas conmo matrices de Jordan.
Matrices de Jordan:
 Caja elemental de Jordan de orden k correspondiente al autovalor  ℂ): J k   es una
matriz k  k que contiene el valor  en todas las posiciones de la diagonal y el valor 1 en
todas las posiciones encima de la diagonal; es decir, inductivamente estas matrices se
construyen como sigue:


 1 0 0


 1 0


 1 
 0  1 0
; J 3 ( )   0  1 ; J 4 ( )  
J 1 ( )   ; J 2 ( )  
;
0 0  1
0 
0 0 




0 0 0 


Matriz de Jordan: una matriz de Jordan es cualquier matriz cuadrada formada por
yuxtaposición de cajas elementales de Jordan a lo largo de la diagonal y el resto ceros; es
decir, es cualquier matriz cuadrada formada por ceros en todas las posiciones, excepto en la
diagonal donde puede contener otros valores y las posiciones encima de la diagonal que
pueden ser ceros o unos.
Ejemplos: Las siguientes son matrices de Jordan:
0 
2 0


0  2 1 
 0 0  2



 1 0 0


 0  1 0
 0 0 2


 2 1 0


 0 2 1 ç
 0 0 2


Teorema de clasificación de Jordan: Toda matriz cuadrada (real o compleja) es semejante a
una matriz de Jordan (compleja), y ésta es única salvo permutación de las cajas elementales
de Jordan que la componen.
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