PRUEBA 3. NIVEL MEDIO Y SOLUCIONES 15 (164

OLIMPIADAS DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
EULER
INSANJOSE
INSTITUCION
SEPTIEMBRE 23 GRADO:
ETAPA 3
NOTA :
8-9
: ----------------------------------------------------------
Pregunta No. 1
Se dice que existió un rey que tenía la costumbre de dar la libertad a uno
de sus prisioneros el día de su cumpleaños. Para ello sometía a varios prisioneros
a una prueba, y el primero que la superaba quedaba libre.
En cierta ocasión, propuso una prueba de razonamiento lógico a tres condenados,
con la promesa de que daría la libertad al primero que diera la respuesta
correcta.
El rey pasó a los tres condenados, A, B y C, a una habitación oscura en
la que había tres sombreros blancos y dos negros. Les puso a cada uno un
sombrero y les sacó a la luz, donde cada uno podía ver el sombrero de los demás,
pero no el suyo. A continuación preguntó al prisionero A si sabía el color
de su sombrero. El prisionero contestó que no podía saberlo. Luego hizo la
misma pregunta al condenado B. Después de mirar los sombreros de sus
compañeros y reflexionar un poco, contestó que no sabía. Finalmente, formuló la
pregunta al prisionero C, que era ciego, el cual contestó: No me hace falta ver,
mi sombrero es blanco.
Comprobado por todos su acierto, el rey le dejó en libertad.
¿Cómo pudo llegar C a la conclusión?
Pregunta No. 2
CITYVILLE utiliza como moneda, únicamente, billetes de 7 y 17 dólares.
a) ¿Puedes comprar un libro de 5 dólares y que te devuelvan el cambio
exacto?
b) ¿Y una revista de 11 dólares?
c) ¿Y unos terrenos de 98.769.876 dólares?
Pregunta No. 3
El primer dígito de un número de seis cifras es el 1. Si se mueve el 1 al
otro extremo, el nuevo número es tres veces mayor que el primero. ¿Cuál es el
número original?
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SEPTIEMBRE 23 GRADO:
ETAPA 1
NOTA :
8-9
Pregunta No. 1
Se dice que existió un rey que tenía la costumbre de dar la libertad a uno de sus
prisioneros el día de su cumpleaños. Para ello sometía a varios prisioneros a una
prueba, y el primero que la superaba quedaba libre.
En cierta ocasión, propuso una prueba de razonamiento lógico a tres condenados,
con la promesa de que daría la libertad al primero que diera la respuesta correcta.
El rey pasó a los tres condenados, A, B y C, a una habitación oscura en la que
había tres sombreros blancos y dos negros. Les puso a cada uno un sombrero y
les sacó a la luz, donde cada uno podía ver el sombrero de los demás, pero no el
suyo. A continuación preguntó al prisionero A si sabía el color de su sombrero. El
prisionero contestó que no podía saberlo. Luego hizo la misma pregunta al
condenado B. Después de mirar los sombreros de sus compañeros y reflexionar
un poco, contestó que no sabía. Finalmente, formuló la pregunta al prisionero C,
que era ciego, el cual contestó: No me hace falta ver, mi sombrero es blanco.
Comprobado por todos su acierto, el rey le dejó en libertad.
¿Cómo pudo llegar C a la conclusión?
Solución
B y C no pueden llevarlo ambos negro, pues A sabría que el suyo es blanco.
Luego B y C llevan ambos sombrero blanco o uno negro y otro blanco.
Por la misma razón A y C no pueden llevarlo ambos negros, pues B sabría
que el suyo es blanco.
El caso (1) no puede darse, pues A no puede saber el color de su sombrero,
pero B sí, pues si B lo tuviese negro, A sabría su color (B sabe que que A no
puede adivinar su color), luego B sabría que el suyo es blanco.
En los cuatro casos restantes C tiene el sombrero blanco, luego C puede
acertar siempre.
Por tanto, C lo lleva siempre blanco.
Pregunta No. 2
Pottsylvania utiliza como moneda, únicamente, billetes de 7 y 17 dólares.
a) ¿Puedes comprar un libro de 5 dólares y que te devuelvan el cambio
exacto?
b) ¿Y una revista de 11 dólares?
c) ¿Y unos terrenos de 98.769.876 dólares?
Solución
a) entrego 4 billetes de 17 $, en total 68 $, pago los 5 que cuesta el libro y me
devuelven 63 $ en 9 billetes de 7 $.
b) Procediendo de forma análoga, entrego 6 billetes de 17 $, que son 102,
me cobran los 11 $ que cuesta la revista y me devuelven 91 $ en 13 billetes de
7 $.
c) Pagamos con 5.809.996 billetes de 17 $, que son 98.769.932 $, y nos
devuelven 56 $ en 8 billetes de 7 $.
Pregunta No. 3
El primer dígito de un número de seis cifras es el 1. Si se mueve el 1 al
otro extremo, el nuevo número es tres veces mayor que el primero. ¿Cuál es el
número original?
Solución
142.857
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ETAPA 3
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8-9
INSTITUCION : ----------------------------------------.
Pregunta No.4
La alcaldesa de un pueblo ha encargado la construcción de un estanque
en forma de rombo para colocarlo en el centro de la plaza circular. Sabiendo que
AB = 9 dam y BC = 3 dam, la arquitecta supo enseguida lo que medía el lado
del estanque. ¿Podrías averiguarlo tú?
El concejal de jardines quiere saber cuánta superficie queda libre en la
plaza, después de construir el estanque, para plantar césped. ¿Podrías ayudarle
también?
Pregunta No 5
Dos sandías de igual calidad tienen un perímetro máximo de 60 cm y 50
cm, respectivamente. La primera sandía cuesta vez y media más que la segunda.
¿Qué sandía es más conveniente comprar?
Pregunta No 6
En una balanza de dos platillos comprobamos que tres cubos de un
rompecabezas infantil y una pelota se equilibran con doce canicas. En una
segunda pesada vemos que la pelota sola se equilibra con un cubo y ocho
canicas.
¿Cuántas canicas habrá que poner en un platillo para equilibrar la balanza, con la
pelota colocada en el otro platillo?
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ETAPA 3
NOTA :
8-9
Pregunta No.4
La alcaldesa de un pueblo ha encargado la construcción de un estanque
en forma de rombo para colocarlo en el centro de la plaza circular. Sabiendo que
AB = 9 dam y BC = 3 dam, la arquitecta supo enseguida lo que medía el lado
del estanque. ¿Podrías averiguarlo tú?
El concejal de jardines quiere saber cuánta superficie queda libre en la
plaza, después de construir el estanque, para plantar césped. ¿Podrías ayudarle
también?
Solución
15 dam
144 - 216
Pregunta No. 5
Dos sandías de igual calidad tienen un perímetro máximo de 60 cm y 50 cm,
respectivamente. La primera sandía cuesta vez y media más que la segunda.
¿Qué sandía es más conveniente comprar?
Solución
La sandía pequeña
Pregunta No. 6
En una balanza de dos platillos comprobamos que tres cubos de un
rompecabezas infantil y una pelota se equilibran con doce canicas. En una
segunda pesada vemos que la pelota sola se equilibra con un cubo y ocho
canicas.
¿Cuántas canicas habrá que poner en un platillo para equilibrar la balanza, con la
pelota colocada en el otro platillo?
Solución
9 canicas
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NOTA :
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Pregunta No. 7
Disponemos de un recinto en forma de hexágono regular de 30 m de lado,
en cuyos vértices existen piscinas con forma de sector circular de 10 m de radio.
Si unos paracaidistas caen aleatoriamente dentro del recinto, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) no caigan en el agua?
b) se mojen al caer en alguna de dichas piscinas?
c) caigan con un pie en cada piscina?
Pregunta No.8
Un matrimonio tiene hijos de tres edades diferentes. El mayor es todavía
menor de edad y sus años son múltiplos de seis. El más pequeño será el primero
en celebrar su cumpleaños y cumplirá la mitad de los que tiene el mayor.
La suma de las edades de los tres hijos es 28.
¿Cuántos hijos tienen y de qué edades?
Pregunta No.9
Este es un castillo de cartas de tres pisos. Se aprecia que se necesitan 15
cartas.
a) ¿Cuántas cartas necesitaríamos para tener un castillo similar, pero de
10 pisos de altura?
b) El record mundial está en 61 pisos. ¿Cuántas cartas necesitaríamos
para batir este record mediante un castillo de 62 pisos?
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ETAPA 3
NOTA :
8-9
Pregunta No. 7
Disponemos de un recinto en forma de hexágono regular de 30 m de lado,
en cuyos vértices existen piscinas con forma de sector circular de 10 m de radio.
Si unos paracaidistas caen aleatoriamente dentro del recinto, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) no caigan en el agua?
b) se mojen al caer en alguna de dichas piscinas?
c) caigan con un pie en cada piscina?
Solución
a)
b) Probabilidad de caer en alguna de las piscinas: 1 - 0,73 = 0,27
c) Probabilidad de caer con un pie en cada piscina: es 0, es un caso imposible,
ya que la mínima distancia entre dos piscinas es 10 m.
Pregunta No.8
Un matrimonio tiene hijos de tres edades diferentes. El mayor es todavía
menor de edad y sus años son múltiplos de seis. El más pequeño será el primero
en celebrar su cumpleaños y cumplirá la mitad de los que tiene el mayor.
La suma de las edades de los tres hijos es 28.
¿Cuántos hijos tienen y de qué edades?
Solución
a) Tres hijos, el mayor tiene 12 años, el menor 5 y el mediano 11.
Pregunta No.9
Este es un castillo de cartas de tres pisos. Se aprecia que se necesitan 15
cartas.
a) ¿Cuántas cartas necesitaríamos para tener un castillo similar, pero de
10 pisos de altura?
b) El record mundial está en 61 pisos. ¿Cuántas cartas necesitaríamos
para batir este record mediante un castillo de 62 pisos?
Solución
a) 155 cartas
b) 5.797 cartas
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Pregunta No. 10
En un billar de 160 cm de ancho, está colocada una bola en la parte inferior
derecha, a 60 cm de cada uno de los bordes. Esta bola es lanzada sin
efecto hacia la parte superior izquierda con el taco en un ángulo de 45° con el
lado mayor del billar. Después de haber tocado cinco bandas, la bola vuelve a
su punto de partida. ¿Cuánto puede medir el largo del billar?
Pregunta No. 11
En una carrera, exactamente el 20 % de los corredores que llegaron a la
meta tardaron menos de 45 minutos; y exactamente el 25 % tardaron más de
una hora. 49 corredores se declararon satisfechos con el tiempo que habían hecho
y el total de los corredores que inició la carrera era 73. ¿Cuántos se retiraron
sin concluir la carrera?
PREGUNTA 12
En una reunión hay 9 personas. La primera da la mano a una persona;
la segunda da la mano a 2 personas; la tercera da la mano a 3 personas,..., la
octava da la mano a 8 personas. ¿Cuántas veces da la mano la novena persona?
Si en la reunión hubiera 100 personas y la primera da la mano a una
persona, la segunda da la mano a 2 personas, la tercera da la mano a 3
personas,..., la 99ª da la mano a 99 personas, ¿a cuántas personas da la mano la
persona número 100? ¿Puedes generalizar el problema a cualquier número de
personas?
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Pregunta No 10
En un billar de 160 cm de ancho, está colocada una bola en la parte inferior
derecha, a 60 cm de cada uno de los bordes. Esta bola es lanzada sin
efecto hacia la parte superior izquierda con el taco en un ángulo de 45° con el
lado mayor del billar. Después de haber tocado cinco bandas, la bola vuelve a
su punto de partida. ¿Cuánto puede medir el largo del billar?
Solución
260 cm.
Pregunta No. 11
En una carrera, exactamente el 20 % de los corredores que llegaron a la
meta tardaron menos de 45 minutos; y exactamente el 25 % tardaron más de
una hora. 49 corredores se declararon satisfechos con el tiempo que habían hecho
y el total de los corredores que inició la carrera era 73. ¿Cuántos se retiraron
sin concluir la carrera?
Solución
13 corredores
Pregunta No. 12
Cinco atletas participan en la fase final del pentatlón moderno. En cada
una de las cinco pruebas, el ganador consigue 5 puntos, el segundo 4, el tercero
3, etc. Nunca hay igualdad, ni en las pruebas individuales ni en la clasificación
final. El atleta alemán gana rotundamente con 24 puntos, seguido del belga, el
canadiense (muy regular, al haber quedado en la misma posición en 4 de las 5
pruebas), el danés y el español, este último pese a haber ganado en natación y
haber sido tercero en tiro. ¿Qué lugar ocupó el atleta danés en natación?
Solución
4° lugar
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Pregunta No 13
El señor McGregor, un comerciante londinense, telefoneó a Scotland Yard
para decir que su tienda había sido robada. Se capturaron tres sospechosos, A,
B, C, para su interrogatorio. El inspector Sherlock Holmes estableció sin
ninguna duda los siguientes hechos:
a) Cada uno de los tres hombres A, B, C, había estado en la tienda el día
del robo, y nadie más había estado en ella ese día.
b) Si A es culpable, entonces tenía un cómplice y sólo uno.
c) Si B es inocente, también lo es C.
d) Si dos, y sólo dos, son culpables, entonces A es uno de ellos.
e) Si C es inocente, también lo es B.
¿A quién inculpó el inspector Sherlock Holmes?
PREGUNTA 14
He vendido manzanas en cuatro casas. En cada una vendí la mitad de las que
llevaba más media, y conste que jamás partí manzanas. Ya no me queda ninguna.
¿Cuántas manzanas había en la cesta?
Pregunta No. 15
Al numerar las páginas de un libro usamos las cifras del 0 al 9.
a) ¿Cuántas cifras se utilizan en total para paginar un libro de 358 páginas?
b) ¿Cuántas páginas tendrá un libro, si al paginarlo se han empleado
678 cifras?
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8-9
PREGUNTA 13.
Solución
A los tres.
PREGUNTA 14.
He vendido manzanas en cuatro casas. En cada una vendí la mitad de las que
llevaba más media, y conste que jamás partí manzanas. Ya no me queda ninguna.
¿Cuántas manzanas había en la cesta?
Solución
15 manzanas.
Pregunta No. 15
Al numerar las páginas de un libro usamos las cifras del 0 al 9.
a) ¿Cuántas cifras se utilizan en total para paginar un libro de 358 páginas?
b) ¿Cuántas páginas tendrá un libro, si al paginarlo se han empleado
678 cifras?
Solución
966 cifras.
262 páginas.