Elementos de Probabilidad y Estadística Problema Semanal 7 Prisioneros, de nuevo.

Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 7
Prisioneros, de nuevo.
Problema:
Tres prisioneros, Anastasio, Bonifacio y Calixto están en reclusión solitaria. Al día
siguiente dos de ellos van a ser ejecutados y el guardia sabe quiénes son. La probabilidad
de que Anastasio se salve es 1/3. Anastasio le dice al guardia: ‘Al menos uno de mis
compañeros va a ser ejecutado. Si me dices el nombre de uno de ellos, no me estás dando
ninguna información valiosa, porque yo no puedo comunicarme con ellos’. Esto convence
al guardia, que le dice que Calixto va a ser ejecutado. Pero ahora Anastasio piensa que sus
probabilidades de sobrevivir han cambiado a 1/2, porque el otro condenado tiene que
escogerse entre Bonifacio y él. ¿Tiene razón?
Solución:
No tiene razón, veamos por qué.
Usemos la notación AB, AC, BC para indicar el par de prisioneros que serán ejecutados y
suponemos que estos tres eventos tienen la misma probabilidad. Por otro lado la notación
GB, GC indica que la respuesta del guardia es Bonifacio o Calixto. Para los dos primeros
pares de prisioneros el guardia tiene una sola respuesta posible, GB y GC respectivamente,
ya que el otro prisionero es A. Para el par BC, sin embargo, el guardia tiene dos respuestas
posibles y supondremos que escoge una al azar:
P(GB|BC) = P(GC|BC) = ½.
Para ver la probabilidad de que A sea uno de los prisioneros que va a ser ejecutado luego de
la información del guardia tenemos que calcular P(AC|GC), para lo cual usamos el teorema
de Bayes:
P (GC | AC ) P ( AC )
11/ 3
2
P ( AC | GC ) 


P (GC | AC ) P ( AC )  P (GC | BC ) P ( BC ) 1  1 / 3  1 / 2  1 / 3 3
que es la misma probabilidad inicial, de modo que la información no cambia nada.
Comentarios:
Hay diversas versiones de este problema. Una de ellas se puede encontrar en el libro de F.
Mosteller Fifty challenging problems in probability with solutions, Dover Pub., 1987.
Entregado: lunes 23 de marzo de 2009.
Discutido: miércoles 25 de marzo de 2009.