ALGUNOS ASPECTOS A CONSIDERAR EN LA MODELACI N DE LA SOLIDIFICACI N DE UNA ALEACI N Fe 0.8 % wt C.

CONGRESO CONAMET/SAM 2004
ALGUNOS ASPECTOS A CONSIDERAR EN LA MODELACIÓN DE LA
SOLIDIFICACIÓN DE UNA ALEACIÓN Fe – 0.8 % wt C.
Nelson O. Moraga, Arnoldo A. Badillo y Leopoldo A. Jauriat
Departamento de Ingeniería Mecánica
Universidad de Santiago de Chile
Av. Lib. Bdo. O´Higgins 3363, Santiago – Chile
Fono/ Fax (56-2) 6825498; email: [email protected]
RESUMEN
El presente trabajo caracteriza la mecánica de fluidos, la transferencia de calor y la transferencia de masa durante
la solidificación de una aleación binaria Fe – 0.8 % wt C. La transformación de fase líquida a sólida ocurre en el
interior de un molde que tiene paredes infinitamente delgadas, geometría rectangular y está aislado térmicamente
en todas sus caras, excepto en el lado izquierdo. Se utiliza dos modelos; uno clásico de solidificación y el de
“ecuaciones promediadas”, en el cual las ecuaciones de conservación macroscópicas para cada fase, se obtienen
promediando las ecuaciones microscópicas sobre un volumen de control finito. Se evalúan tres metodologías
alternativas para el cálculo de la fracción de sólido, considerando el modelo de ecuaciones promediadas en todos
los casos, los cuales son la regla de la palanca, el procedimiento de Schneider y la fracción de cambio de fase.
Las ecuaciones diferenciales de momento lineal, energía y transferencia de masa se resuelven con el algoritmo
SIMPLER y el método de volúmenes finitos. El sistema de ecuaciones lineales asociado al modelo discreto se
resuelve con la técnica de barrido línea a línea y el método directo TDMA. Los resultados de distribución de
temperatura y velocidades, fracción de líquido y los patrones de macrosegregación, muestran diferencias entre
ellos, lo que ratifica la importancia del cálculo de la fracción de sólido.
1. INTRODUCCIÓN
El estudio de los procesos de solidificación de metales
y aleaciones representa uno de los problemas más
difíciles de resolver en el ámbito de las ciencias de la
ingeniería tanto desde un punto de vista teórico y
conceptual, como tecnológico. La compleja naturaleza
de los fenómenos físicos involucrados, Fisher [1],
impide obtener de forma sencilla soluciones
adecuadas, debiéndose hacer uso de sofisticados
modelos matemáticos, Alexiades y Solomon [2], los
cuales por lo general, comprenden sistemas de
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y no
lineales. El objetivo de este trabajo es modelar la
solidificación de una aleación binaria de Fe-0.8 % wt
C, considerando la transferencia de especies tanto en
el líquido como en la zona pastosa. Para esto, se han
implementado varios modelos matemáticos, que se
construyan a partir de la combinación de las
ecuaciones de modelos matemáticos generados
anteriormente. Uno de estos modelos, fue desarrollado
por Beckermann y Viskanta [3], el cual se basa
principalmente en el promedio de las variables en
estudio sobre un volumen de control. Adicionalmente
se evalúan distintos procedimientos para calcular la
fracción de sólido, tales como la fracción de cambio
de fase, Celentano et al. [4], regla de la palanca y el
procedimiento de Schneider. Es evidente que mediante
el correcto planteamiento de las leyes que gobiernan el
proceso de solidificación, métodos numéricos y una
metodología de simulación computacional eficiente,
es posible mejorar la comprensión de este fenómeno.
2. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
Se estudia la solidificación de una aleación binaria de
Fe – 0.8 % wt C, en un molde de paredes
infinitamente delgadas y de geometría rectangular. El
molde está aislado térmicamente en todas sus caras,
excepto en el lado izquierdo, donde la transferencia de
calor es por convección al medio exterior. En la figura
1 se presentan el coeficiente convectivo, la
temperatura ambiente, las dimensiones del molde y el
perfil de concentraciones entre los brazos dendríticos
secundarios, tanto en el sólido como en el líquido ínter
- dendrítico.
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Donde las componentes del tensor de permeabilidad
utilizadas son
2 3
⎧
−5 d1 ε l
−4
−6
(
)
×
+
×
+
4
.
53
10
4
.
02
10
0
.
1
ε
(6)
l
⎪
1− εl
K ξξ = ⎨
[
]
[
2
⎪
2
⎩0.07425d1 − ln (1 − ε l ) − 1.487 + 2(1 − ε l ) − 0.5(1 − ε l )
Kηη
]
1.09
⎧⎡
⎛ d ⎞ ⎤ d 3ε 3
⎪⎪⎢1.73 ×10 −3 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎥ 1 0.l749
(7)
= ⎨⎢⎣
⎝ d 2 ⎠ ⎥⎦ 1 − ε l
⎪
⎪⎩0.03979d12 − ln(1 − ε l ) − 1.476 + 2(1 − ε l ) − 1.774(1 − ε l )2 + 4.076(1 − ε l )3
[
El cálculo de la fracción de sólido se basa en el
procedimiento desarrollado por Schneider y
Beckermann [5], que a continuación se describe
Figura 1. Esquema de la situación física
Las condición inicial considera velocidad nula y una
distribución uniforme de temperatura y concentración
de 1813 K y 0.8 % C de peso respectivamente. Las
condiciones de borde para la velocidad son de no
deslizamiento y derivada normal nula para la
concentración. La temperatura ambiente en el lado
izquierdo es de 293.15 K y el coeficiente convectivo
tiene un valor de 150 (W/m2K).
El modelo matemático
ecuaciones promediadas
Continuidad
∂
(ε l ρl ) + ∇ ⋅ ε l ρl v l
∂t
(
incluye
l
)
las
∂
= − (ε s ρ s )
∂t
(1)
εl ρl
[C
+ εl ρl vl ⋅ ∇ Cl = ∇⋅ εl ρl Dl∇ Cl
l
∂t
l
l
(
l
− Cs
s
]
l
l
)− ε ρ
s s
∂t
∂
(εs ρs )
∂t
s
+
ε s ρs
∂ Cs
∂t
γ=
ρl ⎡ 0
C
⎢ s
s
Δt ⎣
P
= Csl − Cs
s
]⎡⎢ ∂∂t (ε ρ ) + S
s
⎣
s
ρ s Ds ⎤
s
(3)
⎥
ls ⎦
T
NB
+
Δt
ρl
l
l
(f
l
P
ρl
Δt
)
(11)
VolP
(12)
l
s
− 2 C s ⎤Vol P (13)
⎥⎦
s
)Vol
(14)
P
(15)
Vol P
ρl ⎛ 0
⎜ f s Cs
(9)
(10)
+ 1 Vol P
Δt ∂T
− hs
Δt ⎝
0
s
ρ l ∂ hl
− Cl0
(h
Δt
C
CCL = ∑ a NB
C NB +
Energía
+ Cl
P
s
0 l
P
⎞Vol
⎟ P
⎠
(16)
Por su parte la fracción de cambio de fase líquida se
determina mediante la relación
n
l
l
l
d hl ∂T
dh
d h ∂T
l
+
+εl ρl l vl ⋅∇T =∇⋅{(εlkl +εsks )∇T}−εsρs l
dT ∂t
dT
dT ∂t
l
s ∂
(εsρs )
hl − hs
(4)
∂t
εl ρl
[
APT = ∑ a
(2)
[
s
ρl
C
APC = ∑ a NB
+
β =2
Conservación de especies en el sólido
⎞
⎟⎟
⎠
CCT = ∑ a TNBTNB + Sˆ CVol P
α=
∂ Cs
(8)
CCT + α f s
dT ⎛ CCL + γ f s
⎜
= Tf +
APT
dC ⎜⎝ APC − β f s
siguientes
Conservación de especies en el líquido
∂ Cl
dT
C
dC
TL = T f +
⎛ T − Tsólido ⎞
⎟ , n = 1,2,3...
f cf = f l = ⎜
⎜T
⎟
⎝ líquido − Tsólido ⎠
(17)
]
Momentum lineal
(
)
∂ vl
l
l
l
ε l ρl
+ ε l ρl vl ⋅ ∇ vl = −ε l ∇p + ∇ ⋅ ε l ρlυl ∇ vl +
∂t
l t
l
l
l ∂ ε s ρs
∇ ⋅ ⎧⎨ε l ρlυl ∇ vl + ρlυl vl ∇ε l + ∇ε l vl ⎫⎬ + vl
−
⎩
⎭
∂t
l
[
−1
ε l2 ρlυl K(2) vl
]
l
[
+ ε ρ g [β (T − T
l
l
T
ref
)+ β ( C
l
]
l
− Cref
)]
(5)
3. MÉTODO DE SOLUCIÓN
El método empleado para la discretización de las
ecuaciones diferenciales parciales fue el de
Volúmenes Finitos en coordenadas cartesianas. Se
utilizó el algoritmo SIMPLER (Semi Implicit Method
for Pressure Linked Equatión Revised) para acoplar
las ecuaciones de conservación de momentum y masa.
El sistema de ecuaciones lineales asociado al modelo
discreto, se resuelve en forma iterativa para cada
]
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variable dependiente, mediante la técnica de barrido
línea a línea. Adicionalmente se introducen
parámetros de sub-relajación sucesiva junto con gauss
seidel para mejorar el rendimiento del método
conjunto Línea a Línea y TDMA y disminuir las
inestabilidades numéricas, producto
de las no
linealidades presentes en el modelo matemático. El
esquema usado para el avance temporal fue el
esquema Implícito. El paso de tiempo utilizado es de
0.1 (seg) con una malla de 40 × 80 volúmenes de
control, Badillo [6].
3,5
3
2,5
250 s
2
600 s
1,5
1750 s
1
0,5
0
0
0,05
0,1
0,15
4. RESULTADOS
Para el programa, se realizó una simulación sin
considerar convección. En este caso las isotermas
fueron totalmente verticales y la fracción de sólido
está entre la ecuación de Scheil y la regla la palanca
(ver figura 2 y 3).
Figura 4: Perfiles de concentración de la mezcla, en
diferentes tiempos, en la línea central de la cavidad,
considerando modelo de ecuaciones promediadas y
procedimiento de Schneider para el cálculo de la
fracción de sólido.
La figura 5, muestra las diferencias entre los
resultados obtenidos con los dos modelos de
solidificación, el clásico y el de ecuaciones
promediadas. Las isotermas se ven fuertemente
afectadas por el modelo empleado, básicamente por la
diferencia en el tratamiento de la mecánica de fluidos
en la zona pastosa y la forma de calcular la fracción de
sólido.
Figura 2: Fracción de sólido en función de la
temperatura
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 5: Isotermas considerando flujo (a) y (c)
generados con el modelo clásico de solidificación.
(b) y (d) generados con el modelo de ecuaciones
promediadas. (a) y (b) 250 (s) y (c) y (d) 1000 (s).
(a)
(b)
(c)
Figura 3: Cálculos sin considerar flujo, (a)
Concentración del líquido, (b) fracción de
líquido, (c) temperatura. Tiempo 250 (seg.)
La figura 4, muestra diferentes perfiles para la
concentración normalizada de la mezcla, se aprecia el
efecto de la convección de soluto, generando un
aumento significativo de soluto al final del proceso en
el centro del molde. Esto es bastante común, ya que
los lugares de mayor concentración de soluto se sitúan
justamente en el centro del molde, estas zonas ricas en
soluto se conocen como freckles.
La figura 6, muestra la fracción de líquido para cada
modelo y distintos instantes de tiempo. El modelo
clásico predice un campo térmico mas afectado por la
convección natural que el otro modelo. Se puede ver
claramente como la convección natural genera
isotermas casi horizontales en la zona pastosa para el
modelo clásico (figura 6 c) y unas isotermas verticales
para el modelo de ecuaciones promediadas. La
diferencia en el campo térmico no se debe a la
diferencia en la forma de obtener las ecuaciones que
constituyen los modelos en estudio (ecuaciones
promediadas y no promediadas), sino más bien a la
forma de modelar la fluido dinámica en la zona
bifásica. El modelo matemático desarrollado por
Beckermann y Viskanta [3], considera una
permeabilidad anisotrópica y variable con la fracción
de sólido, que fue medida experimentalmente para la
aleación en estudio. El modelo clásico, solo considera
el aumento de la viscosidad del fluido en función de la
fracción de líquido, vale decir que la viscosidad
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aparente del fluido es infinita cuando la aleación ya ha
solidificado.
1900
1800
1700
Temperatura K
1600
1500
1400
Schneider
1300
Fracción de
cambio de
fase
1200
1100
1000
0
(a)
(b)
(d)
(c)
Figura 6: Fracción de sólido considerando flujo
(a) y (c) generados con el modelo clásico de
solidificación. (b) y (d) generados con el modelo
de ecuaciones promediadas. (a) y (b) 250 (s) y (c)
y (d) 1000 (s).
Las figuras 7, 8 y 9, muestran las curvas de
enfriamiento para los puntos de control dentro de la
aleación (ver figura 1). Aquí se ve la marcada
diferencia entre un modelo y otro. Observando
detalladamente las figuras, se ve que las curvas están
superpuestas hasta que comienza el cambio de fase,
separándose después para dar paso a resultados muy
distintos. Esto demuestra que la diferencia en los
cálculos está dada principalmente por la modelación
de la mecánica de fluidos en la zona pastosa y el
cálculo de la fracción de sólido, ya que antes del
cambio de fase, no hay diferencias apreciables.
500
1000
Tiempo (s)
1500
2000
Figura 9: Curva de enfriamiento para el punto 3.
En la figura 10, se muestran los campos de
velocidades en conjunto con las líneas que delimitan
la zona pastosa. Se puede ver una diferencia
importante en los patrones de flujo, debido a la
diferencia de simular la mecánica de fluidos en la zona
pastosa. En el modelo clásico, se considera un
aumento de la viscosidad en función de la fracción de
líquido μ = μ / f L . En el modelo de ecuaciones
promediadas se considera una permeabilidad
anisotrópica medida experimentalmente, Badillo [6].
1900
1800
Temperatura K
1700
1600
(a)
1500
1400
Schneider
1300
1200
Fracción de
cambio de
fase
1100
1000
0
500
1000
1500
2000
Tiempo (s)
Figura 7: Curva de enfriamiento para el punto 1.
1900
1800
1700
Temperatura K
1600
1500
1400
Schneider
1300
Fracción de
cambio de
fase
1200
(b)
(c)
(d)
Figura 10: Líneas de corriente generadas con el
modelo clásico (a) y ecuaciones promediadas (b),
para un tiempo de 250 (s). Campo de velocidades y
fracción de líquido generados con el modelo clásico
de solidificación (c) y ecuaciones promediadas (d).
(c y d) 250 s.
Se analizaron tres metodologías para el cálculo de la
fracción líquida, considerando el modelo de
ecuaciones promediadas en todos los casos. Se
implementó la regla de palanca, el procedimiento de
Schneider y la fracción de cambio de fase. Los
resultados se presentan en las figuras 11 y 12. Existen
grandes diferencias, lo que ratifica la importancia del
cálculo de la fracción de sólido. Observando la figura
12, se ve que la posición de la interfase sólido – zona
pastosa es muy similar, pero considerando el
procedimiento de Schneider, la forma de la interfase
es muy diferente.
1100
1000
0
500
1000
1500
2000
Tiempo (s)
Figura 8: Curva de enfriamiento para el punto 2.
Analizando
complejidad
difícil decir
apropiado y
los resultados, queda en evidencia la
de predecir estos procesos térmicos. Es
aún cual de estos métodos es el más
se requieren investigaciones adicionales
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en esta área. El objetivo de este estudio, fue realizar
una comparación entre los modelos existentes para
cuantificar cuanto difieren unos de otros.
condiciones de borde, son comunes para todos los
modelos. Los espaciamientos dendríticos primarios y
secundarios en conjunto con la fracción de sólido,
permiten estimar la permeabilidad de la zona pastosa a
través de relaciones constitutivas.
De la comparación de los modelos matemáticos, se
concluye que el modelo de ecuaciones promediadas y
el cálculo de fracción de sólido, a través del
acoplamiento de energía y especies, permite predecir
con mayor precisión los resultados.
(a)
(c)
(b)
La anisotropía de la permeabilidad en la zona pastosa,
afecta fuertemente la distribución final de soluto,
obteniéndose los mejores resultados
para la
concentración con un modelo anisotrópico.
6. AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen el apoyo recibido
CONICYT en el proyecto FONDECYT 1030209.
(f)
(e)
(d)
Figura 11: Patrones de macrosegregación. (a) y
(d) Schneider, (b) y (e) regla de la palanca, (c) y
(f) fracción de cambio de fase. (a) y (b) y (c) 250
(s) , (d), (e) y (f) 750 (s).
de
7. REFERENCIAS
[1]
W. Kurz y D. J. Fisher, “Fundamentals de
Solidification”, Third Edition, Trans tech
Publications 1992.
[2] V. Alexiades and D. Solomon, “Mathematical
modeling of melting and freezing processes”,
Copyright 1993 By Hemisphere Publishing
Corporation
[3] C. Beckermann and R. Viskanta, Mathematical
modeling of transport phenomena during
solidification of Alloys, Appl. Mechanics
Review, 46, 1993, pp. 1-27.
(a)
(b)
(c)
Figura 12: Temperatura; (a) Schneider, (b) regla
de la palanca, (c) fracción de cambio de fase. (a),
(b) y (c), tiempo 750 (s).
5. CONCLUSIONES
Se logra predecir la temperatura, velocidad, presión y
concentración de especies durante la solidificación de
una aleación binaria de Fe con 0.8 % wt C. En este
sentido se destacan los siguientes aportes: uso del
modelo de ecuaciones promediadas, influencia de
anisotropía de la zona pastosa sobre la concentración
final del soluto y comparación de modelos
matemáticos.
Para el uso del modelo de ecuaciones promediadas, se
requiere conocer los espaciamientos dendríticos
primario y secundario. Los otros parámetros y
[4] D. Celentano, M. Cruchaga, N. Moraga, y J.
Fuentes, Modeling natural convection with
solidification in mould cavities, Numerical Heat
Transfer, 39, 2001, pp.631-654.
[5] M. C. Schneider, y
C. Beckermann,
Metallurginal transactions A, 26, 1995, pp.
2373 – 2388.
[6] A. Badillo, Mecánica de fluidos, Transferencia
de Materia y Transferencia de Calor en Procesos
Tridimensionales de Solidificación de Metales y
Aleaciones, Tesis de Doctorado en Ciencias
de la Ingeniería, mención Ciencia e Ingeniería
de Materiales, Universidad de Santiago de
Chile, 2003.