CONGRESO CONAMET/SAM 2004 TRANSPORTE 3D DE FLUIDOS, CALOR Y MATERIA POR DIFUSIÓN Y CONVECCIÓN NATURAL EN CAVIDAD CON MATERIAL POROSO NO DARCIANO. Nelson Moraga B., Marcelo Figueroa C. y Claudio Valencia Ch. Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica, Alameda 3363, Santiago, Chile, [email protected] RESUMEN Se presenta un estudio de la convección natural tridimensional en régimen transiente, con difusión simultánea de calor y materia en un material poroso, saturado con aire, ubicado en el interior de una cavidad cúbica. Las ecuaciones gobernantes del problema: continuidad, momento lineal, transporte de energía y de masa, se resuelven mediante el método de volúmenes finitos. Las condiciones de borde del problema corresponden a flujo de calor horizontal a través de las paredes horizontales y un flujo de materia en la dirección vertical. Los resultados permiten describir el movimiento del fluido en el medio poroso mediante la evolución temporal de las líneas de la trayectoria del fluido; la transferencia de calor a través de las líneas de isotemperatura y el número de Nusselt y la transferencia de masa con las líneas de isoconcentración y el número de Sherwood. En particular se estudian los efectos de los parámetros que gobiernan el problema como la razón de flotación (N =0, 1 y 4) para un número de Rayleigh modificado (Ra*= 200), un número de Darcy (10-2) y un número de Lewis (Le = 10). Las simulaciones numéricas determinan la existencia de tres soluciones distintas para distintos valores de la razón de flotación N, una convectiva para bajos valores de N, otra difusiva para altos valores de N y una solución de transición para un rango de valores de N que depende de los demás parámetros. Finalmente, se analiza la influencia de la razón de flotación en la duración del periodo transiente y se describe la evolución transiente de la transferencia de calor, la transferencia de masa y la mecánica de fluidos en materiales porosos. Palabras claves: Tridimensional, convección natural doble, transiente. 1. INTRODUCCIÓN La convección natural con doble difusión juega un papel importante en la caracterización de numerosos fenómenos físicos. Algunos ejemplos específicos ocurren en la ciencia ambiental comos el problema de polución; en procesos de transformación de vapor químico, acumuladores de energía, paneles solares, aplicaciones en problemas de secado, contaminación en suelo, migración de humedad en fibras aislantes, instalaciones de almacenamiento de granos, procesos alimenticios, técnicas de extracción de petróleo, solidificación de aleaciones en moldes de arena, lixiviación., etc. donde la diferencia de concentración y temperatura son combinadas y afectan directamente el proceso de convección natural. En este último tiempo un número considerable de autores ha estudiado el problema de convección natural con doble difusión. Sin embargo, gran parte de estos estudios se refieren a una cavidad bidimensional que consta de dos paredes adiabáticas con concentraciones impuestas y las dos paredes restantes impermeables con temperatura impuesta. Bennacer y Beji [1], Bennacer et al. [2], Kamakura y Ozoe [3]. Recientes estudios tridimensionales de convección natural no incluyen la transferencia de masa, Tric et al.. En este trabajo se estudia numéricamente la convección natural con difusión doble, tridimensional en régimen transiente, en una cavidad rectangular con medio poroso, bajo condiciones de flujo de calor y materia. Aún cuando el interés en este fenómeno es creciente, no se tiene conocimiento, hasta la fecha, de estudios que incluyan un desarrollo similar al planteado en este trabajo. De esta manera los motivos principales de este estudio son: • Describir la evolución temporal de las líneas de isotemperatura, líneas de isoconcentración y líneas de trayectoria del fluido para el problema estudiado cuando: Pr =0.71, Le =10, ε =1, A =2 y N = 0, 1 y 4, Da =10-2, Ra* =200. • Determinar la duración del periodo transiente. CONGRESO CONAMET/SAM 2004 1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA 4. MODELO MATEMÁTICO ADIMENSIONAL TRANSIENTE Se estudia el problema de convección natural con difusión doble de calor y materia en una cavidad rectangular tridimensional. Las condiciones de borde del problema corresponden a flujo de calor impuesto en las paredes verticales y las demás paredes adiabáticas, por su parte el flujo de masa es conocido sobre las paredes horizontales y las demás paredes son impermeables. Los cambios de densidad que se producen en la convección natural se originan tanto por gradientes de temperatura como por los gradientes de concentración. La adimensionalización del problema se realiza empleando las escalas siguientes. x H wH W= ν X= Donde : ΔT = z H T - T0 θ= ΔT Z= 2q '0' H K ΔC = uH ν C - C0 φ= ΔC U= 2J '0' H D τ= V= vH ν (1) tν H2 De esta manera el modelo en forma adimensional queda expresado como: Ecuación de Continuidad • 2. SITUACIÓN FÍSICA y H pH 3 P= ρν 2 Y= (2) ∂U ∂V ∂W + + =0 ∂X ∂Y ∂Z La figura 1 ilustra la situación física del problema. En • Ecuación de Momento Lineal en X ρ el interior de una cavidad se encuentra un fluido en un V ⎞ ⎡∂2U ∂2U ∂2U⎤ 2 ⎛ 1 ∂U ⎡ ∂U ∂U ∂U ⎤ 2 ∂P medio poroso que llena completamente su interior. La ε ∂τ + ⎢⎣U ∂X + V ∂Y + W ∂Z ⎥⎦ = −ε ∂X + ε⎢⎣ ∂X 2 + ∂Y 2 + ∂Z 2 ⎥⎦ − ε ⎜⎜ Da + C Da ⎟⎟U ⎠ ⎝ transferencia de calor se origina por un flujo de calor (3) ’’ q0 que está impuesto en las paredes verticales mientras • Ecuación de Momento Lineal en Y las paredes horizontales son adiabáticas. La ρ ⎛ 1 V ⎞ ⎡∂ V ∂ V ∂ V⎤ ∂V ⎡ ∂V ∂V ∂V ⎤ ∂P ⎟ V + ε ⋅ Gr ⋅ (θ + Nφ ) ε + + U +W V = −ε + ε⎢ + + +C ⎥ − ε ⎜⎜ transferencia de masa se origina por un flujo de masa ⎟ ∂τ ⎢⎣ ∂X ∂Y ∂Z ⎥⎦ ∂Y Da Da ∂Y ∂Z ⎥⎦ ⎢⎣ ∂X ⎝ ⎠ ’’ j0 impuesto en las paredes horizontales mientras las (4) paredes verticales son impermeables. Las condiciones • Ecuación de Momento Lineal en Z ρ iniciales son de fluido en reposo con gradientes de ⎛ 1 V ⎞ ⎡∂ W ∂ W ∂ W ⎤ ∂P ∂W ⎡ ∂W ∂W ∂W ⎤ ⎟W = −ε + ε⎢ + + ε + ⎢U +V +W +C ⎥ − ε ⎜⎜ temperatura y concentraciones nulos. ⎥ Da ∂Z ⎣ ∂X ∂τ ⎣ ∂X ∂Y ∂Z ⎦ ∂Y ∂Z ⎦ Da ⎟ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j0 2 2 2 2 ⎠ ⎝ (5) ’’ • Adiabático q0 ’’ g • H Impermeable H j0 y z ’’ L x Figura 1: Situación física. 3. SUPOSICIONES • Problema tridimensional. • Régimen transiente. • Fluido Newtoniano. • Fluido incompresible. • No se considera la disipación de energía viscosa Ec << 1 • Se desprecia la radiación. • Propiedades constantes excepto la densidad que varía linealmente con la concentración y con la temperatura (aproximación de Oberbeck –Boussinesq). (6) Ecuación de masa ∂ϕ ⎡ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎤ 1 ⎡ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ ⎤ + + + U +V +W ⎥= ⎢ ⎥ ∂τ ⎢⎣ ∂X ∂Y ∂Z ⎦ Sc ⎣ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎦ ’’ Adiabático Ecuación de la Energía ∂θ ⎡ ∂θ ∂θ ∂θ ⎤ 1 ⎡ ∂ 2 θ ∂ 2 θ ∂ 2 θ ⎤ + ⎢U +V +W ⎥= + + ⎢ ⎥ ∂τ ⎣ ∂X ∂Y ∂Z ⎦ Pr ⎣ ∂X 2 ∂Y 2 ∂Z 2 ⎦ Impermeable q0 2 2 • Condiciones iniciales: En τ = 0, U = V = W = 0, θ = ϕ = 0 (7) (8) • Las condiciones de borde adimensionales son: Considerando la adimensionalización, A = L/H. Para x = 0 en 0 ≤ y ≤ 1; U = V = W = 0 − ∂θ = 0.5 ∂X (9) ∂φ =0 ∂X Para x = A en 0 ≤ y ≤ 1; U = V = W = 0 − ∂θ = 0.5 ∂X (10) ∂φ =0 ∂X Para y = 0 en 0 < x < A; U=V=W=0 ∂θ =0 ∂Y ∂φ − = 0.5 ∂Y (11) ∂θ =0 ∂Y − ∂φ = 0.5 ∂Y (12) ∂ϕ =0 ∂Z (13) Para y = 1 en 0 < x <A; U = V = W = 0 Para z = 0 y z = 1 ∀ x, y; U = V = W = 0 ∂θ =0 ∂Z CONGRESO CONAMET/SAM 2004 5. IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL 5.1 Coeficientes de difusión y términos fuente La tabla 1 presenta los términos de difusión y términos fuentes utilizados en la implementación computacional del modelo adimensional transiente anteriormente presentado. Tabla 1: Coeficientes de difusión y términos fuentes del modelo matemático adimensional tridimensional transiente. φ Γ Sc ε εU ant Δτ V ε εVant + Gr ⋅ ε 2 (θ + Nϕ) Δτ W ε εWant Δτ θ 1 Pr 1 Sc θ ant Δτ ϕ ant Δτ U ϕ Sp ⎛ 1 ε − − ε2⎜ +C ⎜ Da Δτ ⎝ ⎛ 1 ε − − ε2⎜ +C ⎜ Da Δτ ⎝ ⎛ 1 ε − − ε2⎜ +C ⎜ Da Δτ ⎝ 1 − Δτ 1 − Δτ ρ V ⎞⎟ Da ⎟ ⎠ ρ V ⎞⎟ Da ⎟ ⎠ ρ V ⎞⎟ Da ⎟ ⎠ Para determinar la convergencia de los resultados se utilizó la siguiente condición donde el superíndice “p” implica la iteración anterior, “i,j,k” indican la posición del nodo. φi , j,k − φiP, j,k ≤ 10 −5 Se estudia la convección natural con doble difusión de calor y materia, tridimensional en un material poroso durante el régimen transiente. El problema está definido por los siguientes números adimensionales: Pr =0.71, Le =10, Da =10-2, Ra* =200, ε =1 y A =2. La tabla 3 resume los resultados obtenidos en el desarrollo de este problema. Tabla 3: Número de Nusselt, número de Sherwood y función de corriente, convección natural con difusión doble, tridimensional transiente, malla no uniforme de 100x50x20; (Pr =0.71, Le =10, Da =10-2, Ra* =200, ε =1 y A =2). N Tpo. CPU (hrs) 0 70 1 88 4 92 τ Nu Sh Ψ1 Ψ2 Ψ3 15 2.013 8.562 2.018 3.435 2.018 25 1.841 8.224 1.931 3.315 1.931 85 1.002 2.159 0.0418 0.0654 0.0418 Las figuras 2 a 10 muestran la evolución temporal de las líneas de trayectoria del fluido, líneas de isotemperatura y líneas de isoconcentración para los tres valores de razón de flotación utilizados. (14) Para determinar la convergencia temporal de los resultados se utilizó la siguiente condición donde el superíndice “a” implica tiempo anterior, “i,j,k” indican la posición del nodo. φi , j,k − φia, j,k ≤ 10 −5 6. PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 (15) Para φ = U, V, θ, ϕ, Nu, Sh y para todos los nodos. 5.2 Selección del paso de tiempo para el problema transiente permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 2: Líneas de trayectoria del fluido, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =0, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). El paso de tiempo se determinó resolviendo el problema de convección natural en un medio poroso (caso en que N=0) y estudiando su evolución transiente para distintos pasos de tiempo. Tabla 2: Pasos de tiempo a utilizar en el desarrollo del problema de convección natural con doble difusión transiente tridimensional. Δτ 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 5 Intervalo de tiempo 0 – 0.001 0.001 – 0.05 0.05 – 0.1 0.1 - 1 1 – 10 Mayor que 10 τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 3: Líneas de isotemperatura, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =0, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). CONGRESO CONAMET/SAM 2004 τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 4: Líneas de isoconcentración, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =0, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 5: Líneas de trayectoria del fluido, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =1, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2 ). τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 6: Líneas de isotemperatura, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =1, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2 ) τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 8: Líneas de trayectoria del fluido, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =4, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 9: Líneas de isotemperatura, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =4, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 10: Líneas de isoconcentración, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =4, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). Las tablas 4 a 6 presentan la evolución temporal del número de Nusselt, número de Sherwood y de la función de corriente, esta última para tres planos dentro del dominio físico. τ=2*10-4 τ=8*10-4 τ=5*10-2 permanente τ=0.1 τ=0.9 Figura 7: Líneas de isoconcentración, convección natural tridimensional doble difusión en medio poroso (N =1, Le = 10, Pr = 0.71, Ra* = 200, Da = 10-2). Tabla 4: Variación temporal del número de Nusselt, número de Sherwood y función de corriente (N =0) (Pr =0.71, Le =10, Da =10-2, Ra* =200, ε =1 y A =2). τ 2*10-4 8*10-4 5*10-2 0.1 0.5 0.9 3 Perm. Nu 79.353 38.126 3.436 2.920 1.996 2.013 2.013 2.013 Sh 105.5737 90.99626 10.80976 9.163767 8.518083 8.626104 8.591045 8.561824 Ψ1 1.06E-04 6.25E-04 8.86E-01 1.137532 2.042632 2.018844 2.017667 2.017596 Ψ2 1.07E-04 6.28E-04 1.420236 1.862083 3.474062 3.437753 3.43549 3.435338 Ψ3 1.05E-04 6.25E-04 8.86E-01 1.137527 2.04265 2.018865 2.017688 2.017617 CONGRESO CONAMET/SAM 2004 Tabla 5: Variación temporal del número de Nusselt, número de Sherwood y función de corriente (N =1) (Pr =0.71, Le =10, Da =10-2, Ra* =200, ε =1 y A =2). τ 2*10-4 8*10-4 5*10-2 0.1 0.5 0.9 3 Perm. Nu 55.264 38.126 3.436 2.837 1.817 1.834 1.841 1.840 Sh 105.574 90.996 10.810 8.5 8.26 8.441 8.223 8.223 Ψ1 1.06*10-4 6.25*10-4 8.86*10-1 1.1375 1.8628 1.9372 1.9314 1.9308 Ψ2 1.07E-04 6.28E-04 1.420236 1.862083 3.193113 3.330286 3.315937 3.314976 Ψ3 1.05E-04 6.25E-04 8.86E-01 1.137527 1.862794 1.937184 1.931347 1.930825 Tabla 6: Variación temporal del número de Nusselt, número de Sherwood y función de corriente (N =4) (Pr =0.71, Le =10, Da =10-2, Ra* =200, ε =1 y A =2). τ 2*10-4 8*10-4 5*10-2 0.1 0.5 0.9 3 Perm. Nu 55.633 38.126 3.434 2.789 1.371 1.133 1.009 1.002 Sh 105.574 90.996 10.801 8.763 4.738 3.831 2.353 2.159 Ψ1 1.06E-04 6.25E-04 8.57E-01 1.02E-04 1.138352 5.58E-01 2.73E-01 4.17E-02 Ψ2 1.07E-04 6.28E-04 1.373334 1.03E-04 1.94017 9.56E-01 4.68E-01 6.54E-02 Ψ3 1.05E-04 6.25E-04 8.57E-01 1.02E-04 1.138372 5.58E-01 2.73E-01 4.17E-02 7. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS Los parámetros controlados que definen el flujo, la transferencia de calor y la transferencia de masa en la convección natural tridimensional transiente con difusión doble en un medio poroso tridimensional régimen transiente son: la razón de flotación N, el número de Rayleigh modificado Ra*, el número de Darcy Da, el número de Prandtl Pr y el número de Lewis Le. El estudio particular del caso tridimensional transiente se efectúa para Pr =0.71, Le =10, Da = 10-2, Ra* =200, ε =1, A =2 y para tres valores distintos de razón de flotación (N = 0, 1 y 4). Se utiliza una malla variable de 100x50x20 nodos. Razón de flotación. Se estudia la convección natural con doble difusión de calor y materia, en medio poroso, tridimensional en régimen transiente cuando la razón de flotación N toma los valores 0, 1 y 4. Cuando la razón de flotación es pequeña (específicamente los casos en que N =0 y 1) el flujo es dominado térmicamente y la convección es el mecanismo de transferencia de calor y masa predominante en el problema. Por otra parte cuando N>>1 (específicamente el caso en que N =4) el flujo es suprimido y la difusión domina la transferencia de calor y masa. Mecánica de fluidos, transferencia de masa y transferencia de calor. En el régimen transiente, debido a la lentitud con que ocurre la transferencia de masa ocurre que el número de Sherwood es la variable con convergencia más lenta. Por otra parte cuando N aumenta y se tiene la solución difusiva, la variable de convergencia más lenta es la función de corriente, producto del escaso flujo existente en la cavidad. Cuando se utilizan bajos valores en la razón de flotación (N=0 y 1), la función de corriente, el número de Nusselt y el número de Sherwood, alcanzan rápidamente un valor cercano al obtenido en el estado permanente, sin embargo el estricto criterio utilizado para definir este estado retarda la obtención del mismo y el estado permanente se alcanza cuando τ=15, τ=25 y τ=85 respectivamente para N = 0, 1 y 4. En el inicio del proceso transiente el problema tiene el mismo comportamiento para todo valor de N, hasta aproximadamente un tiempo adimensional igual a τ =0.05. Este comportamiento similar para los tres valores de N se debe a que en el inicio del proceso la concentración o la estratificación de la concentración no se ha desarrollado en todo el dominio, entonces el flujo es dominado por la fuerzas de flotación térmicas independientemente cual sea el valor de N. Pasado ese tiempo el comportamiento se puede agrupar en dos categorías, uno para bajos valores de N ( N =0 y 1) y otra para valores altos de N (N =4). Cuando N es pequeño (N igual a 0 y 1) entonces el problema es definido como convectivo, o dominado por las fuerzas de flotación térmicas y como en el inicio del proceso tiene este mismo comportamiento, la solución permanente es alcanzada rápidamente. Por otra parte cuando N es alto (N=4) para llegar a la solución permanente el flujo debe cambiar desde un estado en que domina la convección (estado inicial válido para cualquier valor de N) a uno en que la difusión es el mecanismo más importante, lo que genera un aumento en el tiempo necesario para alcanzar la solución estacionaria. El efecto de la tercera dimensión en el problema es evidente cuando Da=10-2, para bajos valores en la razón de flotación (N=0 y 1). Este efecto se puede apreciar claramente en las curvaturas que se producen en las líneas de isotemperatura y líneas de isoconcentración. Esta curvatura es producto de la velocidad nula del flujo en las paredes y puesto que para este alto valor en el número de Darcy se tiene un alto valor de permeabilidad, la transferencia de calor y masa están más directamente asociados al movimiento del fluido. En esta situación no hay efecto de otros parámetros adimensionales como el número de Grashof o el número de Rayleigh. Es por esto que aún cuanto se tenga mayor permeabilidad en el medio poroso para razones de flotación altas (N=4 en este caso) no se observa el efecto de la tercera dimensión, ya que para altas razones de flotación los flujos de fluido en el problema son pequeños y entonces la difusión gobierna el problema, luego las velocidades nulas en las paredes no son de relevancia en la solución difusiva. Las tablas 7 y 8 muestran la variación en la transferencia de calor, transferencia de masa y el movimiento del fluido al variar el valor del número de Darcy de 10-2 a 10-5. CONGRESO CONAMET/SAM 2004 Tabla 7: Comparación, número de Nusselt, número de Sherwood y función de corriente; de convección natural con difusión doble, tridimensional, régimen permanente, malla variable de 100x50x20 cuando: Da = 10-2 y 10-5; N = 0, 1 y 4, Pr =0.71, Le =10, Ra* =200, ε =1 y A =2. N 0 0 1 1 4 4 0 2.013 8.576 2.017 3.434 2.017 1 1.840 8.229 1.931 3.315 1.931 4 1.005 2.143 0.0416 0.0651 0.0416 El estudio realizado ha permitido describir satisfactoriamente las líneas de trayectoria del fluido, líneas de isoconcentración y líneas de corriente para el régimen transiente de la convección natural con doble difusión de calor y materia en un medio poroso cuando: Da = 10-2, N = 0, 1 y 4, Pr = 0.71, Le = 10, Ra* = 200, ε =1 y A =2. La incorporación de la tercera dimensión es de importancia dependiendo de la permeabilidad del medio poroso (Da=10-2 en este estudio) y no necesariamente de la magnitud de la convección natural o de los parámetros que determinan la misma, de esta manera para mayor permeabilidad se hace necesario el estudio tridimensional. Se determina que la evolución temporal de las líneas de trayectoria del fluido, líneas de isotemperatura y líneas de isoconcentración puede ser dividida en dos etapas. Una primera etapa donde el problema es dominado por la convección para cualquier valor de razón de flotación N y una segunda etapa en que el problema es convectivo cuando N es pequeño (N=0 y 1 en este estudio) o difusivo para N alto (N= 4 en este estudio). El estado permanente en el régimen transiente se alcanza para τ = 15 cuando N=0, τ=25 cuando N=1 y τ=85 cuando N=4. 0 2.013 8.562 2.017 3.435 2.017 9. AGRADECIMIENTOS 1 1.840 8.223 1.931 3.315 1.931 4 1.002 2.159 0.0417 0.0654 0.0417 Los autores agradecen el apoyo recibido de CONICYT en el proyecto FONDECYT 1030209. Da 10-5 10-2 10-5 10-2 10-5 10-2 Nu 3.0485 2.0131 2.6854 1.8400 1.0036 1.0053 Sh 16.6036 8.5763 15.7754 8.2285 2.1490 2.1431 ψ1 3.571 2.017 3.468 1.931 0.048 0.042 ψ2 3.571 3.434 3.468 3.315 0.048 0.065 ψ3 3.571 2.017 3.468 1.931 0.048 0.041 Tabla 8: Números de Nusselt, números de Sherwood y función de corriente, convección natural con difusión doble, tridimensional permanente, malla no uniforme de 100x50x20 en régimen permanente y estado permanente del régimen transiente; N = 0, 1 y 4 (Pr =0.71, Le =10, Da =10-2, Ra* =200, ε =1 y A =2). Permanente N Transiente 8. CONCLUSIONES Nu Sh ψ1 ψ2 ψ3 De las tablas anteriores es evidente observar que la 10. REFERENCIAS transferencia de calor (definida por el número de Nusselt), la transferencia de masa (expresada por el [1] R. Bennacer and H. Beji: Multiple natural número de Sherwood) y la mecánica de fluidos (líneas convection solution in porous media under cross de trayectoria y funciones de corriente) aumentan temperature and concentration gradients, significativamente al disminuir el número de Darcy (de Numerical Heat Transfer. Part A, 39: 553 – 567; -2 -5 10 a 10 en este trabajo). La razón de este aumento es 2001. que aún cuando se ha disminuido la permeabilidad del [2] R. Bennacer, A. Mohamad and D. Akrour: medio poroso se ha aumentado la magnitud de la Transient natural in an enclosure with horizontal convección natural de acuerdo a la definición del temperature and vertical solutal gradients, Int. J. número de Grashof: Ra*/(Pr*Da). Therm. Sci. 40: 899 – 910; 2001. [3] K. Kamakura and H. Ozoe: Double diffusive Así, de acuerdo a la definición anterior, al bajar el valor natural convection in a rectangle with horizontal del número de Darcy en tres órdenes de magnitud, el temperature and concentration gradients. Thermal número de Grashof aumenta en tres órdenes de Engineering Conference 1:.171 –178; 1995. magnitud. Además como se mencionó antes, al [4] E. Tric, G. Laubrosse, M. Betrouni: A first aumentar el valor del número de Darcy se acentúa el incursion into the 3D structure of natural efecto de la tercera dimensión; así, de las funciones de convection of air in a differentially heated cubic corriente presentadas en las tablas 7 y 8 es claro que cavity, from accurate numerical solutions, cuando Da = 10-2 el flujo de fluido diminuye en las International Journal of Heat and Mass Transfer, proximidades a las paredes, produciendo la curvatura 43: 4043-4056, 2000. de las líneas de isotemperatura y líneas de [5]M. Figueroa: Estudio numérico de convección isoconcentración. natural 3D transiente con difusión de calor y materia en un medio poroso saturado en cavidad cuadrada., Tesis de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Mecánica, Universidad de Santiago de Chile (2003).