1. derive

DERIVE
5
FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
5.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Para introducir una función pulsa el icono
y escribe su expresión.
Para representarla, resalta la función colocando el cursor sobre ella. A continuación se
pulsa el icono
para abrir la ventana de gráficos 2D. Una vez abierta es necesario
volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2D-plot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono se redibuja la función activa en un nuevo
color.
Una función se introduce directamente en la forma y = f(x). Por ejemplo, y=sinx (si se
omite “y=” se asume por defecto). También podemos tratar varias funciones simultáneamente incluyéndolas entre corchetes. Los iconos de la barra de herramientas de la
ventana de gráficos 2D permiten centrar la gráfica y hacer zoom.
Dibujar la función activa
Borrar la última función
Centrar la imagen en la posición del cursor-cruz
Ver mayor intervalo en los ejes = reducir la
imagen
Ver mayor intervalo del eje OY = reducir la
imagen en vertical
Volver a la pantalla de álgebra o de expresiones
Centrar la imagen en el origen de coordenadas
En la parte inferior izquierda aparecen las coordenadas de la posición del cursor.
Practica
1. Introduce la expresión SIN x y represéntala. Haz algún zoom si es preciso. Sitúa el
cursor en los puntos de corte con el eje OX y en los de máxima “altura”. Anota sus
coordenadas. ¿En qué intervalos es negativa? Elimina la gráfica antes de representar
las siguientes.
2. Introduce y representa la expresión entre corchetes [SIN x , 2SIN x, 3SIN x]. Analiza el efecto de los coeficientes.
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
1
3. Elimina las gráficas anteriores, regresa a la pantalla de “álgebra” (introducción de
expresiones) y repite la práctica con:
[SIN(x),SIN(2x),SIN(3x)]
y a continuación con [SIN(x),SIN(x+),SIN(-x)].
4. Después de eliminar las gráficas anteriores introduce y representa [SINx,COSx,
TANx]. Haz un zoom en el eje vertical y comprueba los valores máximos que alcanza cada una de las funciones.
5. Introduce y representa la función sin^2(x) + cos^2(x). ¿Puedes interpretar el resultado?
6. Introduce y representa sucesivamente las funciones tan x y (sin x)/(cos x). ¿Puedes interpretar el resultado?
7. Comprueba cómo interpreta DERIVE las expresiones sin^2x, sin x^2, sin^2x^2,
(sin x)^2, sin(x^2). Tenlo en cuenta.
8. Introduce y representa sucesivamente las funciones xsinx, (sinx)/x, |sinx| y
sin(1/x). ¿Puedes explicar por qué se obtienen esas gráficas?
5.2 COMPROBACIÓN GRÁFICA DE LA EXPRESIÓN DE sen(a+b)
Para comprobar la expresión sen (a+b) = sen a cos b + cos a sen b vamos a representar
sucesivamente las funciones correspondientes a cada uno de los miembros de la expresión y observar cómo sus gráficas se superponen.
Como representamos en el plano XY y solo podemos utilizar una variable independiente, x, fijamos un valor para b.
Introduce b:=30º, por ejemplo, y, a continuación, introduce y representa las funciones:
sin(x+b)
sin x cos b + cos x sin b
Cambia el valor de b y repite la práctica. Basta que introduzcas, por ejemplo, b:=45º
(no olvides º, para que DERIVE no interprete radianes y usa := en vez de = porque se
trata de una asignación, no de una ecuación).
Una vez cambiado b, sitúa el cursor sobre las funciones anteriores para resaltarlas y
vuelve a representarlas sin tener que repetir su introducción. Quizás debas eliminar previamente las gráficas anteriores y hacer algún zoom horizontal.
Prueba con otros valores de b (incluido alguno negativo).
Si quieres evitar que las gráficas se superpongan, prueba a representar sin(x+b) +1. La
gráfica se desplazará una unidad hacia arriba.
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
2
Para comprobar la expresión de cos(a+b) representa las gráficas de cos(x+b) y de
cos x cos b - sin x sin b.
También puedes introducir entre corchetes
[cos(x+b) , cos x cos b - sin x sin b, cos(x+b) + 1]
y tras pulsar
para “simplificar” la expresión, representarlas simultáneamente. Eso
facilita el “redibujado” tras cualquier cambio en el valor de b.
Practica:
9. Representa simultáneamente [sin (2x) , 2 sin x cos x , sin (2x) +1].
10. Realiza una práctica análoga para comprobar la expresión de sen (a/2).
11. Comprueba gráficamente que cos 2x = 2 (cos x)2 –1.
12. Comprueba gráficamente que tan x = sin 2x /(1+ cos x).
13. Comprueba la expresión de TAN(a+b) que aparece en la página 132 del libro. (En
DERIVE la tangente se escribe TAN).
14. Comprueba gráficamente la expresión del ejercicio 9 de la página 133 del libro y el
ejercicio 15 de la página 134.
15. Comprueba las expresiones de los ejercicios 25, 28, 29 y 30 de las páginas 143 y
144 del libro.
16. Comprueba las expresiones de sumas y diferencias de senos y cosenos (V.1, V.2,
V.3 y V.4) de la página 135 del libro.
5.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS
TRIGONOMÉTRICOS
Introduce la ecuación sin x = 0.5. A continuación, pulsa el icono Resolver,
especifica x como variable a despejar.
y
Pulsa Simplificar para terminar. Observa que si a las soluciones obtenidas les sumas un
múltiplo de 2 obtendrás nuevas soluciones.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
sin x = 0,5
cos x = 0,5
cos (2x) + sin x = 4 (sin x)2
cos (2x) – 4 sin x = 3 cos (2x) = sin x
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
sin x = cos x
3
(sin x)2 – (cos x)2 = 1 / 2
2 sin x +1 = 0
sin x = 2 (interprétalo)
(Si no consigues resolverlo sustituye cos 2x y sin 2x por sus expresiones equivalentes
y resuelve entonces).
Practica:
17. Resuelve las ecuaciones trigonométricas que aparecen en las páginas 136 y 137 del
libro.
18. Resuelve las ecuaciones de los ejercicios 6 y 7 de las páginas 140 y 141 del libro.
19. Resuelve los ejercicios 20, 26, 32, 33, 34 y 45 de las páginas 143, 144 y 145 del
libro.
En DERIVE la herramienta Resolver significa en realidad Despejar.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
x+y = /2
sin x + cos y = 1
Para ello, introduce la primera ecuación y resuélvela especificando la variable y. A continuación, introduce la segunda ecuación sustituyendo y por el resultado obtenido. Por
último, resuelve esta última ecuación en la variable x.
20. Resuelve el ejercicio 8 de la página 141 del libro y compara las soluciones.
21. Resuelve el ejercicio 36 de la página 144 del libro.
5.4 FAMILIA DE FUNCIONES sen nx. FUNCIÓN DE ONDAS
f(x)= A sen  t + )
Introduce la expresión VECTOR (sin (nx), n, 1,3 ) y confirma con Sí. A continuación
simplifica.
Obtendrás (entre corchetes) tres funciones sin x, sin 2x y sin 3x. Se ha sustituido n
por 1, 2 y 3.
Resalta el resultado anterior y represéntalo. Obtendrás la gráfica de las tres funciones
simultáneamente. ¿Qué gráfica corresponde a cada una? Haz algún zoom si es preciso.
Elimina las gráficas y regresa a la pantalla de datos.
Repite la práctica con las siguientes familias de funciones:
VECTOR(sin(nx), n, 1, 5)
VECTOR(cos(nx), n, 1, 5)
VECTOR(n+sin x, n, 1, 5)
VECTOR(sin (x+n), n, 1, 5)
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
4
VECTOR(sin x+cos(nx), n, 1, 5)
VECTOR(n sin(nx), n, 1, 5)
VECTOR((sin x)/n, n, 1, 5)
VECTOR(n sin x, n, 1, 5)
La función RANDOM(n) genera en DERIVE un número entero al azar entre 0 y n.
Introduce la siguiente expresión y pulsa Sí:
RANDOM(5)SIN((RANDOM(5) x)+RANDOM(5))
A continuación simplifícala, represéntala y trata de analizar el efecto de cada uno de los
cinco números generados al azar.
Regresa a la ventana de expresiones. Vuelve a situar el cursor sobre la expresión de
RANDOM y repite la práctica. Hazlo varias veces.
5.5 CONVERSIÓN GRADOSRADIANES
La función DERIVE SIN(x) precisa que x se proporcione en radianes. Sin embargo,
podemos incluir grados con las siguientes expresiones:
SIN (x deg)
SIN(30º)
SIN(x/180)
(No olvides los paréntesis).
Practica:
22. Halla el seno de 30º con las siguientes expresiones:
SIN(/6)
SIN(30deg)
SIN(30/180).
23. Introduce, simplifica y aproxima las siguientes expresiones:
30º
30deg
pi
pi
pideg
Los últimos valores obtenidos, ¿son grados o radianes?
24. Define las siguientes funciones para convertir grados en radianes y viceversa:
GR(x):= x/180
RG(x):=180x/
Utilízalas para pasar a radianes 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, 135º, 150º, 180º y 270º y
para pasar a grados /4, 3/4, 5/6, /2 y 4/3 radianes.
25. Introduce y representa la expresión sin (xº). ¿Qué unidades aparecen en el eje OX?
A continuación, sin eliminar la gráfica anterior, representa la función sin x. Haz un
zoom si es preciso y trata de explicar la relación entre las dos gráficas. ¿Qué significan para cada gráfica las unidades del eje OX?
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
5
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
6
HOJA DE CÁLCULO
5
FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
5.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CON HOJA DE CÁLCULO
Vamos a elaborar una hoja de cálculo que obtenga y represente el seno, el coseno y la
tangente para 90 ángulos.
Para ello, rellena las siguientes celdas:
A
B
C
D
1
ÁNGULO INICIAL
-180
2
ÁNGULO FINAL
180
4
ÁNGULO
SENO
COSENO
TANGENTE
5
=B1
=SENO(A5*PI()/180)
=COS(A5*PI()/180)
=B5/C5
6
=A5+($B$2-$B$1)/90
E
3
7
Los valores de B1 y B2 señalan los ángulos inicial y final. Podemos introducir los valores que deseemos.
La columna A presenta los ángulos en grados. A5 contiene el ángulo inicial. A partir de
A6 cada ángulo es el anterior más el incremento (la diferencia entre los ángulos final e
inicial dividida entre 90). Para extender la fórmula selecciona el rango A6:A95 y “rellena hacia abajo” con CTRL+J o con la opción correspondiente del menú Editar.
Las columnas B, C y D obtienen el seno, el coseno y la tangente de cada valor de la
columna A (convertidos previamente de radianes a grados). Para extender las fórmulas
selecciona el rango B5:D95 y “rellena hacia abajo”.
Para mejorar la legibilidad puedes fijar 4 cifras decimales (menú Formato/Celda).
Para completar la hoja inserta un gráfico seleccionando el rango A4:C95 y eligiendo la
opción Insertar/gráfico. Selecciona el tipo Dispersión XY.
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
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Para la tangente debes realizar un gráfico separado, porque la escala en el eje OY debe
ser distinta de la del seno y el coseno, que solo toman valores entre –1 y 1.
Unidad 5. Funciones y Fórmulas Trigonométricas
8