En los ejercicios 3 a 6, utilice los métodos gráficos para determinar

Investigación de Operaciones
En los ejercicios 3 a 6, utilice los métodos gráficos para determinar los valores de x y y que
satisfacen las condiciones dadas. (Puede ser necesario resolver un sistema de ecuaciones para
encontrar los vértices).
3.- Encuentre X ≥ 0 y Y ≥ 0, de modo que
2X + 3Y ≤ 6
4X + Y ≤ 6,
y se maximice 5X + 2Y.
Para X = 0 y Y = 0, Z = 0.
Para X = 0 y Y = 2, Z = 4.
Para X = 1.5 y Y = 0, Z = 7.5.
Para X = 1.2 y Y = 1.2, Z = 8.4. (Máximo)
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4.- Encuentre X ≥ 0 y Y ≥ 0, de modo que
X + Y ≤ 10
5X + 2Y ≥ 20
2Y ≥ X
y se maximice X + 3Y.
Para X = 0 y Y = 10, Z = 30.
Para X = 3.3 y Y = 1.6, Z = 8.1 (Mínimo)
Para X = 6.6 y Y = 3.3, Z = 16.5.
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5.- Encuentre X ≥ 2 y Y ≥ 5, de modo que
3X - Y ≥ 12
X + Y ≤ 15
y se maximice 2X + Y.
Para X = 5.6 y Y = 5, Z = 16.2.
Para X = 10 y Y = 5, Z = 25. (Máximo)
Para X = 6.7 y Y = 8.2, Z = 21.6.
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6.- Encuentre X ≥ 10 y Y ≥ 20, de modo que
2X + 3Y ≤ 100
5X + 4Y ≤ 200
y se maximice X + 3Y.
Para X = 10 y Y = 26.6, Z = 89.8 (Máximo)
Para X = 10 y Y = 20, Z = 70.
Para X = 20 y Y = 20, Z = 80.
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Resuelva cada uno de los problemas de programación lineal siguientes.
7.- Gwen, quien está a dieta, necesita dos complementos alimenticios, I y II. Puede
obtenerlos de dos productos diferentes, A y B. El producto A proporciona 3 g por
porción del complemento I y 2 g por porción del complemento II. El producto B
proporciona 2 g por porción del complemento I y 4 g por porción del complemento II.
Su dietista, el doctor Shoemake, ha recomendado que incluya al menos 15 g de cada
complemento en su dieta diaria. Si el producto A cuesta 25 centavos por porción y el
producto B cuesta 40 centavos por porción, ¿cómo puede satisfacer sus necesidades
de manera más económica?
Variables
X = Producto A
Y = Producto B
Complementos (grs.)
I
3
2
II
2
4
Restricciones
3X + 2Y ≥ 15
2X + 4Y ≥ 15
X≥0
Y≥0
Función Objetivo
Maximizar Z = 0.25X + 0.4Y (Costo)
a) Para X = 0 y Y = 7.5, Z = 3
b) Para X = 3.75 y Y = 1.87, Z = 1.68.
c) Para X = 7.5 y Y = 0, Z = 1.88.
Respuesta
Comprando 4 productos tipo A y 8 productos tipo B, obteniendo un gasto de $1.64.
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8.- Un fabricante de refrigeradores debe enviar por lo menos 100 refrigerados a dos
almacenes de la Costa Oeste. Cada almacén requiere un máximo de 100
refrigeradores. El almacén A tiene 25 refrigeradores, en tanto que al almacén B tiene
20 disponible. Cuesta $12 enviar un refrigerador al almacén A y $10 enviar uno al
almacén B. ¿Cuántos refrigeradores deben enviarse a cada almacén para minibar el
costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
Variables
X = Refrigerados enviados a almacén A
Y = Refrigerados enviados a almacén B
Restricciones
25 + X ≤ 100
20 + Y ≤ 100
X≥0
Y≥0
X ≤ 75
Y ≤ 80
Función Objetivo
Minimizar Z = 12X + 10Y (Costo).
a) Para X = 20 y Y = 80, Z = 1040.
b) Para X = 75 y Y = 80, Z = 1700.
c) Para X = 75 y Y = 25, Z = 1150.
Respuesta
a) Enviando 20 refrigeradoras al almacén A y 80 refrigeradoras al almacén B.
b) El costo mínimo sería de $1040.
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9.- Una máquina de taller fabrica dos tipos de tornillos. Cada uno se fabrica en
cualquiera de tres grupos de máquinas, pero el tiempo requerido difiere en cada
grupo, como se muestra en la siguiente tabla:
Tornillos Tipo 1
Tornillos Tipo 2
Grupo de máquinas
I
II
II
1 min 1 min
1 min
1 min 4 min
5 min
Los programas de producción se preparan cada día. En un día se tienen disponibles
240, 720 y 160 minutos, respectivamente, en estas máquinas. Los tornillos de tipo 1
se venden a 10 centavos y los tornillos de tipo 2 a 12 centavos. ¿Cuántos tornillos de
cada tipo deben producirse por día para maximizar los ingresos? ¿Cuál es el ingreso
máximo?
Variables
Restricciones
X = Tornillos Tipo 1
Y = Tornillos Tipo 2
X + Y ≤ 240
X + 4Y ≤ 720
X + 5Y ≤ 160
X≥0
Y≥0
Función Objetivo
Maximizar Z = 0.1X + 0.12Y (Ganancia).
a) Para X = 0 y Y = 0, Z = 0.
b) Para X = 0 y Y = 32, Z = 3.84.
c) Para X = 160 y Y = 0, Z = 16.
Respuesta
a) Se deben producir 160 tornillos de tipo 1 y ninguno de tipo 2.
b) El ingreso máximo sería de $16.
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10.- Karin Wagner toma vitaminas. Debe tener al menos 16 unidades de vitamina A,
al menos 5 de vitamina B1 y al menos 20 unidades de vitamina C. Puede elegir entre
píldoras rojas que cuestan 10 centavos cada una y que contienen 8 unidades de A, 1
de B1 y 2 de C; y píldoras azules que cuestan 20 centavos cada una y contienen 2
unidades de A, 1 de B1 y 7 de C. ¿Cuántas de cada una de tomar para minimizar su
costo y cubrir sus necesidades diarias?
Variables
X = Píldoras rojas
Y = Píldoras azules
Vitaminas
A
8
2
B1
1
1
C
2
7
Restricciones
8X + 2Y ≥ 16
X+ Y≥5
2X + 7Y ≥ 20
X≥0
Y≥0
Función Objetivo
Minimizar Z = 0.1X + 0.2Y (Costo).
a) Para X = 3 y Y = 2, Z = 0.70.
b) Para X = 1 y Y = 4, Z = 0.9.
c) Para X = 1.4 y Y = 2.4, Z = 0.62.
Respuesta
a) Se deben comprar 2 píldoras rojas y 3 azules (redondeando, pues no se puede comprar 1.4
de pastilla o 2.4 de pastilla).
b) El gasto mínimo sería de 80 centavos (redondeando).
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11.- Una pastelería elabora pastelillos y galletas. Cada lote de pastelillos requiere
dos horas en el horno y tres horas en decoración. Cada lote de galletas necesita una
y media horas en el horno y dos tercios de hora en decoración. El horno está
disponible por no más de 15 horas diarias, mientras que el departamento de
decoración puede emplearse por no más de 13 horas. ¿Cuántos lotes de pastelillos y
cuánto de galletas debe hacer la pastelería para maximizar las ganancias, si las
galletas producen una ganancia &20 por lote y los pastelillos producen una ganancia
de $30 por lote?
Departamentos (hras.)
Horno
Decoración
1.5
2/3
2
3
Variables
X = Lote de galletas
Y = Lote de pastelillos
Restricciones
2X + 3/2Y ≤ 15
3X + 2/3Y ≤ 13
X≥0
Y≥0
Función Objetivo
Maximizar Z = 20X + 30Y (Ganancia).
a) Para X = 0 y Y = 0, Z = 0.
b) Para X = 0 y Y = 10, Z = 300.
c) Para X = 3 y Y = 6, Z = 240.
d) Para X = 4.3 y Y = 0, Z = 86.6.
Respuesta
a) Se deben producir 10 lotes de pastelillos y ninguno de galletas.
b) La ganancia máxima sería $300.
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12.- Un proceso de manufactura requiere que el petróleo de las refinerías produzca
al menos 2 galones de gasolina por cada galón de combustible. Para satisfacer la
demanda de invierno de aceite de combustible, se deben producir diariamente 3
millones de galones. La demanda de gasolina no es mayor de 6.4 millones de galones
por día. Si el precio de gasolina es de $1.9 el galón y el precio de aceite de
combustible es de $1.5 por galón, ¿cuánto de cada uno debe producirse para
maximizar los ingresos?
Variables
X = Galón de gasolina
Y = Galón de aceite de combustible
Restricciones
Y ≤ 2X
Y≤3
X ≤ 6.4
Función Objetivo
Maximizar Z = 1.9X + 1.5Y (Ganancia).
a) Para X = 0 y Y = 0, Z = 0.
b) Para X = 1.5 y Y = 3, Z = 7.35.
c) Para X = 3 y Y = 6.4, Z = 17.40.
d) Para X = 6.4 y Y = 0, Z = 12.16.
Respuesta
a) Se deben producir 3 galones de gasolina y 6.4 galones de aceite de combustible.
b) La ganancia máxima sería $17.40.
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13.- Las víctimas de un terremoto en China necesitan suministros médicos y botellas
de agua. Cada paquete médico mide 1 pie cúbico y pesa 10 libras. Cada recipiente de
agua también mide 1 pie cúbico pero pesa 20 libras. El aeroplano sólo puede llevar
80000 libras con un volumen total de 6000 pies cúbicos. Cada paquete médico
ayudará a 4 personas, mientras que cada recipiente de agua servirá para 10 persona.
¿Cuántos de cada uno debe enviarse para maximizar el número de personas
auxiliadas?
Variables
X = Suministros médicos
Y = Botellas de agua
Capacidad
Volumen
Peso
1
10
1
20
Restricciones
X+
Y ≤ 1000
10X + 20Y ≤ 80000
X≥0
Y≥0
Función Objetivo
Maximizar Z = 4X + 10Y (Número de Personas a auxiliar).
a) Para X = 0 y Y = 0, Z = 0.
b) Para X = 0 y Y = 4000, Z = 40000.
c) Para X = 4000 y Y = 2000, Z = 36000.
d) Para X = 6000 y Y = 0, Z = 24000.
Respuesta
a) Se deben enviar 4000 botellas de agua y ningún botiquín médico.
b) El número de personas auxiliadas sería 40000.
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14.- Si cada paquete médico ayudara a 6 personas en lugar de 4, ¿cambiarían los
resultados del ejercicio 13?
Maximizar Z = 6X + 10Y
a) Para X = 0 y Y = 0, Z = 0.
b) Para X = 0 y Y = 4000, Z = 40000.
c) Para X = 4000 y Y = 0, Z = 44000.
d) Para X = 6000 y Y = 0, Z = 36000.
Respuesta
a) Se deben enviar 4000 botiquines médico y ninguna botella de agua.
b) El número de personas auxiliadas sería 44000.