LOGICA - Centro Local Aragua - Universidad Nacional Abierta

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADEMICO
AREA DE ESTUDIOS GENERALES
GUÍA DE APOYO: LÓGICA
Código: 107
U.C: 3
Carreras y Semestres:
I Semestre: INGENIERÍA INDUSTRIAL (280)
I Semestre: INGENIERÍA DE SISTEMAS (236)
I Semestre: EDUCACIÓN INTEGRAL (440)
I Semestre: MATEMÁTICA (126)
II Semestre: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS (612)
II Semestre: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS:
Mención: Riesgos y Seguros (613)
II Semestre: CONTADURÍA PÚBLICA (610)
Prelaciones: Ninguna
Requisito: Ninguno
Autor: Edgar Redondo
Centro Local Aragua
Maracay, Abril 2009
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LÓGICA
A la Lógica iniciada por Aristóteles y que tiene vigencia durante la época de la
edad media se le conoce, comúnmente, con el nombre de Lógica No-Matemática.
Con el nombré de Lógica del Algebra se hace referencia a la Lógica iniciada por
Leibnitz y desarrollada por Boole. Finalmente se da el nombre de Lógica
Matemática a la Lógica Contemporánea, que arranca de finales del siglo XIX y
perdura en nuestros días.
 Lógica: Estudio de los razonamientos e inferencias consideradas desde el
punto de vista de su validez. La validez de un razonamiento viene dado por
la forma de este.
Forma es todo lo que tratamos de dilucidar.
Veamos un ejemplo:
Todo hombre es mortal
Juan es hombre
Luego Juan es mortal
Aquí hay términos (Juan, Hombre, Mortal) la validez del razonamiento no
depende de los términos. Estos son el contenido, los podemos variar sin
variar la forma, ya que son las variables (individuales o conceptuales pero
variables al fin).
Veamos otros ejemplos:
Luis es estudioso.
El Edificio es grande.
La tierra es redonda.
Todos ellos se pueden condesar en:
“S” es “P”
Y otros ejemplos más:
"Si Enrique viene, entonces iremos al cine".
"Si Pedro se porta bien, entonces le compraran una bicicleta".
Estas dos proposiciones son gramaticalmente distintas y sin embargo,
lógicamente, no se diferencian, tienen la misma forma, la misma estructura. Todo
razonamiento tiene una determinada estructura lógica independiente del
contenido. Esa estructura que puede ser común a varios razonamientos nos
permite buscar una fórmula de expresión común a todos ellos. El poner el
simbolismo al servicio de la lógica ha hecho posible la realización del "Calculo
Lógico".
Ahora bien, una cosa es la validez y otra cosa es la verdad, la Lógica garantiza el
primer aspecto, un razonamiento válido garantiza que si las premisas son
verdaderas, la conclusión no puede ser falsa (no admite contraejemplo). La verdad
depende del contenido pero no de la validez, ésta depende de la forma. El objeto
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fundamental de todo razonamiento es alcanzar la verdad y la Lógica Formal se
mueve en función de este objetivo, poniendo de manifiesto las reglas del
razonamiento.
El problema principal de la verdad es que ésta es creación humana, el mundo no es ni
verdadero ni falso, el mundo ES…Verdad y falsedad son atributos del lenguaje no de las cosas.
El razonamiento Es una determinada actividad mental en virtud del cual partiendo
de unos conocimientos dados inferimos nuevos conocimientos. Hay un
razonamiento cuando existe un enunciado que tiene justificación, apoyo y/o
fundamento en otros enunciados que suministran una base para sostenerlo.
El razonamiento es un utensilio al que constantemente se recurre en todas las
facetas de la vida. Razonamos siempre que sacamos alguna consecuencia de
algún principio, siempre que contestemos un ¿por qué?
En todo razonamiento existen varios elementos que conviene diferenciar: existe
un conocimiento inicial condensado en las premisas; existen unas reglas de
razonamiento o leyes de inferencia; y por último, se da una conclusión que
constituye el nuevo conocimiento resultante. Nada se ha inventado, el nuevo
conocimiento o conclusión estaba, aunque latente, en las premisas iniciales. A
través de la Lógica conocemos las leyes del razonar correctamente, ya que a ella
le interesa la forma como se relacionan entre sí las partes de un discurso,
entendiéndose por tal cualquier tipo de exposición oral o escrita (Ideográfica). De
esta manera estamos mejor preparados para descubrir y rebatir las ideas erróneas
que aparecen en discusiones, debates, artículos, etc. en efecto, disponer de
formas válidas nos permite elaborar razonamientos, tanto para demostrar, como
refutar enunciados.
Falacia es un razonamiento incorrecto pero persuasivo, engañoso, cuya
incorrección resulta difícil de percibir. Pueden ser Formales o No Formales.
En las Falacias Formales el error constitutivo de la falacia se produce por la
aparente semejanza de forma entre la falacia y un razonamiento válido.
En las Falacias No Formales lo que lleva al error son otras circunstancias, estas
suelen dividirse en Falacias de Ambigüedad y Falacias de Relevancias o
Atinencia.
Las Falacias de Ambigüedad se originan porque una misma expresión toma
diferentes sentidos en el curso de un mismo razonamiento.
Las Falacias de Relevancias o Atinencia se caracterizan por la falta de vínculo
lógico, requerido para que las premisas justifiquen la conclusión, queda encubierta
por la presencia de algún tipo de conexión psicológica entre aquellas y ésta.
Denominamos Entimema, o razonamiento de expresión incompleta, a un
razonamiento donde alguno de los enunciados que lo componen –sea una
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premisa o la conclusión- se encuentra sobrentendido. Convertir los entimemas en
razonamientos de expresión completa es una operación preliminar para su estudio
lógico.
Expresarse por medio del Lenguaje es lo mismo que pensar. El pensamiento está íntimamente
vinculado con el lenguaje y este a la Lógica.
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El Lenguaje es la expresión por medio de Signos. Puede tener una
función expresiva cuando se usa para manifestar sentimientos, una
función directiva cuando se quiere modificar una conducta y una función
informativa cuando se enuncia o describe un hecho, estas últimas son las
que interesan en la Lógica para asegurar la validez de los razonamientos.
Se puede distinguir entre Lenguaje Natural (Resultado de un proceso de
evolución histórico-cultural y para varios propósitos) y Lenguaje Artificial
(Fruto de una construcción deliberada y con propósitos específicos)
Un Lenguaje es un sistema de signos cuyo propósito es comunicarnos
con los demás, dichos signos son convencionales y apuntan a algo distinto
de ellos mismos. Al hablar y estudiar los signos hablamos de un proceso
llamado Semiótica, (Del griego: Semiotiké, la observación de los signos).
y en lingüística se refiere al estudio lógico de la significación, representado
fundamentalmente, por tres ramas: Pragmática, semántica y Sintaxis.
El proceso Semiótico consta de tres (3) elementos: Un vehículo señal
(Signo), un Designatum, que es la clase de cosas a las que el Signo se
refiere, y un Intérprete del Signo.
La lengua comprende tres dimensiones de acuerdo a la relación entre
Signo, Designatum e Intérprete, ellas son:
Semántica: (Del griego Semantikós, significativo). Ciencia que estudia el
significado de las palabras. Este estudio debe comprender todos los
aspectos de la significación: relaciones entre significados, variaciones y
ambigüedades, campo significativo de la palabra, relaciones entre
significado y referentes, etc. Dimensión Semántica: (Relación entre el
Signo y su Designata).
Sintaxis: (Del griego Syntaxis, coordinación). Parte de la gramática que
estudia las relaciones de las palabras dentro de la oración o del
enunciado. Dimensión Sintáctica: (Relación entre Signos).
Pragmática: (Relación entre Signo e Intérprete).Esta y la Semántica no
existe por separado.
Además, son Disciplinas Semióticas, la Fonología (estudio de los
sonidos), la Lexicología Diacrónica (estudio de la evolución de las
palabras), la Dialectología (estudio de las variedades de una lengua en
relación con las distintas regiones), Lenguaje de Gestos, etc.
Idea o Concepto: Es la mera interpretación intelectual de algo que puede ser
una cosa, una cualidad.
Términos: Es la palabra o palabras con que expresamos una idea o
concepto.
Juicio: Es aquel acto del entendimiento por el cual atribuimos un concepto a
otro concepto, o lo excluimos de el mediante una aserción afirmativa o
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negativa.
Proposición: Es la expresión verbal o escrita de un juicio, son utilizadas
cuando el lenguaje tiene una función informativa. Es una expresión que tiene
un determinado significado y que, en razón de un criterio definido, puede ser
calificado cono VERDADERA o FALSA, es decir tiene un Valor Veritativo.
De acuerdo a la naturaleza de la relación entre sujeto y predicado las
PROPOSICIONES pueden ser: Categóricas, Hipotéticas o Disyuntivas; son
Categóricas cuando el predicado se afirma o se niega del sujeto de una
manera terminante,
Las Proposiciones Categóricas pueden ser:
A Universales Afirmativas Ejm. Todos los aviones tienen alas,
E Universales Negativas Ejm. Ningún avión es menos pesado que el aire.
I Particular Afirmativa
Ejm. Algunos aviones tienen dos turbinas.
0 Particular Negativa
Ejm. Algunos aviones no lanzan bombas.
La Lógica mientras se ocupa de los nexos que hay entre las Proposiciones
es de carácter Sintáctico. La Sintaxis determina cuando una expresión está
bien construida. La Lógica es, ante todo, una “sintaxis lógica”, es decir, una
teoría de combinaciones correctas de un sistema de símbolos a partir de
ciertas reglas de combinación o sintaxis.
El problema de la verdad de las Proposiciones cae en el campo de la
Semántica. La Semántica estudia el significado y la interpretación del
Lenguaje.
Discurso: (Tzvetan) Manifestación concreta de la lengua que se produce
en un contexto particular interviniendo elementos lingüísticos y las
circunstancias de su producción: interlocutores, tiempo y lugar, así como
sus relaciones. (no son frases sino enunciados).
El razonamiento inductivo es el proceso por el cual concluimos que lo
que es verdadero acerca de ciertos individuos de una clase, es verdadero
acerca de la clase entera. Una generalización obtenida por inducción es
susceptible de ser destruida por un Contraejemplo.
Nunca podremos demostrar que las instancias de las cuales aun no
hemos tenido experiencia serán semejantes a aquellas de las cuales si
hemos tenido experiencia.
En el razonamiento deductivo se pasa de un grado mayor de
generalización a uno inferior. La conclusión no admite grados de
probabilidad, es verdadera o falsa. En otros términos son aquellos donde
si las premisas son verdaderas, la conclusión también debe,
necesariamente, ser verdadera.
El razonamiento válido es un instrumento infalible, nos garantiza la
verdad de la conclusión siempre que tengamos el cuidado de alimentarlo
con premisas verdaderas. Por el contrario si las premisas son falsas puede
ocurrir cualquier cosa,
Por ejemplo:
Todo A es B
Todo B es C…….. Luego, Todo A es C
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Veamos como de una premisa falsa puedo obtener verdades:
Todos los Mamíferos son Aves. (F)
Todas las Aves son Vertebrados.
Luego, todos Mamíferos son Vertebrados. (V)
O, por el contrario, de premisas falsas puedo obtener falsedades:
Todos los Caraqueños son Colombianos. (F)
Todos los Colombianos son Europeos.
(F)
Luego, todo los Caraqueños son Europeos. (F)
El interés de la Lógica por el lenguaje se incrementó por la aparición de las
Paradojas Semánticas que llevan en sí una contradicción.
El estudio de las Paradojas permitió descubrir que hay distintos niveles de
Lenguaje.
Por ejemplo, si quiero explicar lo que significa una frase en Latín, el
Lenguaje que es objeto de mi explicación, al cual me refiero, se le llama
Lenguaje Objeto y al Lenguaje con el cual explico al Lenguaje Objeto lo
llamamos Metalenguaje.
El Metalenguaje es de un Nivel Superior, es un Lenguaje de otro Lenguaje,
Signo de otro Signo.
Cuando el Lenguaje Objeto y el Metalenguaje son idénticos (caso de los
Naturales con fonética que reproduce el sonido de los signos o palabras
habladas), entonces tenemos un Lenguaje Semánticamente Cerrado y,
según Tarski, Contradictorio.
“Esta Proposición es Falsa” Es una Paradoja Semántica por ser al mismo
tiempo Lenguaje Objeto y Metalenguaje.
Para evitar esto debemos considerar al Español como una cadena de
Lenguajes. Por ejemplo en Español 1 (Lenguaje Objeto) podemos hablar
de gatos y perros y muchas cosas más, pero no de Español 1. Para hablar
de Español 1 necesitamos Español 2 (Metalenguaje).
.
SILOGISMO CATEGORICO:
Podemos considerar el silogismo como la expresión verbal o escrita de un
razonamiento que tenga la siguiente estructura:
Intervienen tres términos (en diversos lugares) en las tres proposiciones del
silogismo.
P Término Mayor: Predicado de la conclusión, incluido en la premisa mayor.
S Término Menor: Sujeto de la conclusión, incluido en la premisa menor.
M Término Medio: Está en las dos premisas pero no en la conclusión.
FIGURA:
Es la disposición que resulta del lugar que ocupa el término medio en las precisas.
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2
3
4
M
P
P
M
M
P
P
M
S
M
S
M
M
S
M
S
S
P
S
P
S
P
S
P
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MODO:
Está caracterizado por la clase de proposiciones que entran en su composición (AE-I-O. Tres de estas letras nos servirán para identificar el modo correspondiente
del silogismo.
No todos los resultados pueden considerarse como válidos, porque algunos se
oponen a algunas de las leyes del silogismo. Solo 19 de ellos son legítimos.
LEYES DEL SILIGISMO:
1.- El silogismo debe constar solo de tres términos: Medio, Mayor y Menor.
2.- Ningún término debe tener significación más Universal en la conclusión que
en las premisas
3.- El término Medio se ha de tomar universalmente por lo menos en una de las
premisas.
1.- El término Medio no debe entrar en la conclusión,
5.- De dos premisas afirmativas no se puede inferir una conclusión negativa.
6.- De dos premisas negativas no puede sacarse conclusión.
7.- La conclusión sigue siempre la peor parte. (Si una de las dos premisas es
negativa, la conclusión es negativa, lo mismo si es particular).
8.- De dos premisas particulares no se infiere conclusión.
En la primera figura solo son válidos cuatro modos, ellos son:
AAA, EAE, AII, EIO.
En la segunda figura:
EIE, AEE, EIO, AOO.
En la tercera figura:
AAI, EAO, IAI, OAO, AII, EIO.
En la cuarta figura:
AAI, EAO, IAI, AEE, EIO.
La primera figura ha sido considerada como perfecta. Los modos válidos de las
demás figuras pueden convertirse en modos de la primera, a dicho proceso se le
llama REDUCCION. Por ejemplo el AEE de la segunda figura se reduce al EAE de
la primera, veamos un ejemplo:
Todos los cetáceos son mamíferos (A)
Ningún pez es mamífero (E)
Luego, NINGÚN PEZ ES CETACEO (E)
Ningún mamífero es pez (E)
Todos los cetáceos son mamíferos (A)
Luego, NINGÚN PEZ ES CETACEO (E)
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LÓGICA MATEMÁTICA
El uso de símbolos ha sido privilegio de la lógica contemporánea, y fue a través de
este que se fundaron las bases para realizar un verdadero cálculo lógico, es decir,
aquí se descubre la analogía entre la lógica y la matemática, en ambas ciencias,
el razonamiento queda reducido a una manipulación de signos, a un cálculo,
entendiéndose por tal, la realización mecánica de ciertas operaciones en base a
determinados elementos y a determinadas reglas.
SIMBOLISMO PROPOSICIONAL.
Cualquiera de las consonantes del vocabulario (p,q,r) es apta para
simbolizar y representar cualquier proposición. Dicha consonante recibe el
nombre de letra proposicional, por ejemplo "p" podría simbolizar la
proposición:
"Samuel se ríe".
SIMBOLISMO Y LEYES DE LOS CONECTIVOS PROPOSICIONALES.
Se conocen con el nombre de "CONECTIVOS" aquellos elementos que
sirven para entrelazar entre si las proposiciones atómicas, dando así
paso a la formación de proposiciones compuestas o moleculares. Por
ejemplo:
María es bonita (atómica).
María es bonita y Pedro es alto (compuesta).
Luego, proposición atómica es aquella que carece de conectivos o de
términos de enlace. Las compuestas serán todo lo contrario. Los
enunciados compuestos son Extensionales cuando su valor veritativo
queda determinado con sólo fijar el valor veritativo de los enunciados que lo
componentes.
1) CONECTIVO DE NEGACIÓN.
A la negación se le llama conectivo singular, porque por lo general actúa sobre
una única proposición, negándola.
La negación se puede representar por una pequeña raya horizontal, colocada
encima de la proposición negada o a la izquierda de la misma. Se lee "no P".
La tabla de verdad correspondiente al conectivo NO es la siguiente:
P
V
F
~P
F
V
No hay otras posibilidades.
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2) CONECTIVO DE CONJUNCIÓN.
Este conectivo une entre si, dos o más proposiciones atómicas o simples.
El símbolo que utilizaremos para simbolizar este conectivo es
ˆ. Se lee "y".
"P' y 'Q" son dos proposiciones, su conjunción se escribirá “p ˆ q" y se leerá "p” y
"q".
La tabla de la verdad de este conectivo es:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
PˆQ
V
F
F
F
Conforme a la precedente tabla de verdad, la conjunción de dos preposiciones es
verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas. En todos los demás
casos, la conjunción es falsa.
3) CONECTIVO DE DISYUNCIÓN INCLUSIVA.
Nos referimos en este caso a la “o” Se simboliza “v”. Así la proposición “p v q” se
leerá “p ó q”. Su tabla es:
P Q PvQ
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Únicamente serán falsas cuando todas las proposiciones que entran en su
composición son falsas.
4) CONECTIVO DE DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
Nos referimos en este caso a la “oo” Se simboliza “v”. Así la proposición “p v q” se
leerá “p óo q”. Su tabla es:
P Q PvQ
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Serán falsas cuando las proposiciones que entran en su composición son ambas
verdades o ambas falsas.
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5) INCOMPATIBILIDAD.
Su tabla es:
P Q P Q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
Será falsa cuando las proposiciones que entran en su composición son ambas
verdaderas.
6) NEGACIÓN CONJUNTA.
Su tabla es:
P Q P Q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Será verdad cuando las proposiciones que entran en su composición son ambas
falsas.
7) CONECTIVO DE IMPLICACIÓN.
La proposición compuesta formada por el uso de este conectivo se llama
implicativa o condicional y el símbolo utilizado para representar este conectivo es
 insertado entre las dos proposiciones que entran en la implicación y se lee “Si
……. Entonces”
En la proposición indicativa “p  q” “p” seria antecedente y “q” el consecuente. Se
leería “si p entonces q”.
La tabla de la verdad seria:
P Q P Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Luego una proposición condicional es falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso, en todos los demás casos, la implicación es verdadera.
8) CONECTIVO DE EQUIVALENCIA.
Se llama bicondicional o equivalencias las proposiciones compuestas que se
forman con el uso de este conectivo que se simboliza por medio del signo “ “
y se lee “si y solo si”.
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La proposición p q se leerá “p si y solo si q”
Se llama bicondicionales por estar formadas por dos condicionales.
La representación simbólica de esta equivalencia sería:
(p q)  [(p q) ˆ (q  p)]
La tabla de la verdad de este conectivo es:
P
Q
P Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
La bicondicional es verdadera en el caso de que las dos proposiciones que la
componen sean las dos verdaderas o las dos falsas. En los demás casos, la
bicondicional será falsa.
En la lógica resulta necesario el uso de paréntesis ya que, solamente así,
podemos interpretar correctamente determinadas proposiciones compuestas, por
estar forzadas por varios conectivos y desconocer cuál es el de mayor jerarquía.
Generalmente, este conectivo principal queda siempre flotando, mientras los
demás quedan encerrados en los paréntesis correspondientes a su grupo (o bien
llaves y corchetes).
PROPOSICIÓN TAUTOLÓGICA:
Es aquella que es verdadera, independientemente de los valores de verdad de las
atómicas que entran en su composición, luego en la columna final de la tabla
figura únicamente el valor de verdad "V".
PROPOSICIÓN CONTRADICTORIA:
Es aquella que es falsa (F) siempre, independientemente de los valores de verdad
de las atómicas que entran en su composición.
PROPOSICIONES CONTINGENTES:
También llamadas indeterminadas, presentan en la columna final de la tabla
indistintamente distribuidos los valores de verdad (V o F).
Un razonamiento es válido para la Lógica Proposicional si y sólo si el
condicional cuyo antecedente es la conjunción de sus premisas y cuyo
consecuente es la conclusión, resulta ser una Tautología.
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INFERENCIA LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica es una ciencia eminentemente deductiva. Inferencia es un sinónimo de
deducción. En la lógica proposicional llamamos premisas al conjunto de
proposiciones de las cuales partimos cuando razonamos. Llamamos conclusión a
la proposición en la cual desembocamos al finalizar el razonamiento. Y a todo ese
proceso que tiene que verificarse entre esos dos puntos, de partida y de llegada,
lo llamamos proceso de deducción o proceso de inferencia. Este proceso de
inferencia debe estar sometido a unos criterios y reglas que garanticen la
legitimidad y validez de dicho proceso. Expondremos algunos principios lógicos,
leyes y reglas útiles y necesarias para inferir. Estas leyes y reglas de inferencia se
pueden reducir a tautologías básicas. Una sencilla tabla de verdad nos descubriría
el carácter tautológico de los principios, leyes y reglas de inferencia.
PRINCIPIOS LÓGICOS:
1) IDENTIDAD
PP
P P
2) NO CONTRADICCIÓN
~ ( P ˆ ~ P)
3) TERCER EXCLUIDO
Pv~P
4) DOBLE NEGACIÓN
P  ~ ~ P
5) SIMPLIFICACIÓN
(PˆQ)P
(PˆQ)Q
6) CONMUTACIÓN
(P ˆ Q )  ( Q ˆ P )
( P v Q )   (Q v P )
( P  Q )  ( Q  P )
7) ADICIÓN
P(PvQ)
P  ( P v Q)
8) ADJUNCCIÓN
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P, Q ( P ˆ Q )
9) DISTRIBUCIÓN
( P ˆ ( Q v R)   ( P ˆ Q ) v ( P ˆ R )
( P v ( Q ˆ R )  ( P v Q ) ˆ ( P v R )
( P  ( Q ˆ R )  ( P  Q ) ˆ ( P  R)
( P  ( Q v R )  (P  Q ) v ( P  R )
10) SILOGISMO HIPOTETICO
[( P  Q ) ˆ ( Q  R )]  ( P  R )
11) SILOGISMO DISYUNTIVO
[(PR)ˆ(QS)ˆ(PvQ)](RvS)
12) EXPORTACIÓN
[ ( P ˆ Q )  R ]  [ P  ( Q  R ) ]
13) TRANSPOSICIÓN
( P  Q )  ( ~ Q  ~ P )
14) BICONDICIONAL
[ ( P  Q)] [ ( P  Q ) ˆ ( Q  P )]
15) CONDICIONAL – CONJUCIÓN
( P  Q )  ~ ( P ˆ ~ Q )
16) CONDICIONAL – DISYUNTIVA
(PQ)(~PvQ)
17) LEYES DE MORGAN
~ ( P ˆ Q )  ( ~ P v ~ Q )
~(PvQ)(~Pˆ~Q)
18) PONENDO PONENS
[(PQ)ˆP]Q
19) TOLLENDO TOLLENS
[(PQ)ˆ~Q]~P
20) TOLLENDO PONENS
[(PvQ)ˆ~P]Q
[(PvQ)ˆ~Q]P