DEPARTAMENTO DE E S T R U C T U R A S DE ESCUELA T É C N I C A SUPERIOR EDIFICACIÓN DE A R Q U I T E C T U R A DE MADRID TESIS DOCTORAL ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y DESPLEGABLES, ESTUDIO DE LA OBRA DEL ARQUITECTO EMILIO PÉREZ PINERO, por L I N A PUERTAS DEL RIO Arquitecta Director: RICARDO AROCA HERNANDEZ-ROS Doctor Arquitecto T u t o r : VALENTÍN QUINTAS RIPOLL Doctor Arquitecto M a d r i d , Noviembre de 1989 TESIS DOCTORAL ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y DESPLEGABLES. ESTUDIO DE LA OBRA DEL ARQUITECTO EMILIO PÉREZ PINERO. por Lina P u e r t a s d e l Río D i r e c t o r : RICARDO AROCA HERNANDEZ-ROS T u t o r : VALENTÍN QUINTAS RIPOLL TRIBUNAL CALIFICADOR Presidente: Vocales: Acuerda Madrid, otorgar de la calificación de 19 de: RESUMEN La presente tesis estudia las realizaciones del arquitecto Emilio Pérez Pinero, todas dentro de las estructuras espaciales de barras desmontables y desplegables, elabora la documentación que hace transmisible su investigación y generaliza el estudio del comportamiento en la parcelade las desplegables. La obra de este arquitecto forma un conjunto original, atractivo y sin continuadores, y por otra parte, no abundan las" investigaciones sobre este tipo de estructuras ( mucho menos las reali zaciones), en las que hay que resolver tanto su definición como su movi lidad y comportamiento estructural. El contenido de la parte correspondiente a las estructuras desmontables se limita a las cúpulas reticuladas de una capa, con el sistema de reti culado y montaje ideado por Pinero, por considerar que se debe documentar su aportación pero no incidir mas en un campo de investigación que cuenta con abundantes estudios. Se aporta la solución matemática y un programa de ordenador para la definición geométrica completa del reticu lado empleado. Las estructuras desplegables se caracterizan por el empleo de barras dis puestas en "x" en el espesor de la estructura, con generación de superficies tanto planas como curvas. En ambos casos se analiza la movilidad en fase de mecanismo, tanto a las soluciones de Pinero como a las comple III mentarlas que se exponen. Se estudian las relaciones geométricas que de_ ben de cumplirse para que sea posible el movimiento de las barras, rela±ciones particularmente complejas en las desplegables según superficies esféricas, y que determinan su definición geométrica. En la fase de estructura, además de analizar lo realizado por Pinero, do_ cumentando y definiendo sus componentes, se proponen varias estructuras posibles para cada mecanismo, y se desarrolla en detalle el tipo de los emparrillados de canto constante, donde se incluye un estudio comparativo de nueve variantes distintas. Se muestra el amplio campo de uso posible para estas estructuras. IV ABSTRACT The • present doctoral dissertation studies the work of de spanish architect Emilio Pérez Pinero, all of it within de field of spatial demountable and deployable structures. This contribution compiles the necessary documentation for research in this field and, besides, generalizes the theoretical background for the analysis of this type of structures. Pérez Pinero's con tributions are original and attractive, but, so far, he has not any foliowers ; on the other hand research in this field is scarce (much less actual realizations). In the part corresponding to demountable structures the research is limited to reticulated domes of only one layer, following Pérez Pinero's sys~ tem, trying to give a comprenhensive documentation of it. The mathematical solution is given and so is a computer program for the complete definition of the geometry of the structure. One characteristic of deployable structures is the use of struts placed formix "X" in the thickness of the structure, making possible the generation of plañe as well as curved surfaces. In both cases, the operation in the phase of mechanism is studied, both fot Pinero's solution and for the other schemes presented. The geometrical relationships that must be maintained in order to guarantee strut's movements, are studied; these relaV tionships are particularly complex in the case of spherical surfaces, and, in this last casey determine completely its geometrical definition. In regard of the structure behaviour, besides analysing Pinero's works, a variety of solutions are proposed for each mechanism. Particularly, the configuration for doüble layer grids of constant thickness is developed with great detall, and a cornparative study of nine different solutions of this special case is included. A wide range of the possible appications of this structural type is shown. VI AGRADECIMIENTOS Deseo expresar mi agradecimiento a la viuda de Pérez Pinero, Dña. Consuelo Belda, quien puso a mi disposición toda la documentación que obra en su po_ der, asi como a Emilio Pérez Belda por el seguimiento de dicha documenta— ción y el aporte de la biografía de su padre. ""• También agradezco al Arquitecto Félix Candela, testigo de excepción en algunas etapas del trabajo de Pérez Pinero, su información y sus juicios de valor, expresados con su talante animado y sincero. Agradezco al Catedrático José Luis de Miguel la documentación técnica que me ha prestado y sus sugerencias, y a José Ignacio Gozález, Ingeniero de Caminos, el haberme permitido usar sus medios informáticos. Por último, agradezco el continua!:ánimo que me han dedicado mis compañeros, Profesores del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.M., a Ricardo Aroca, la atenta lectura de mis borradores y sus comentarios, y a Valentín Quintas, la atención y el entusiasmo qué me ha mostrado durante el desarrollo de esta tesis. Vil Í N D I C E INTRODUCCIÓN GENERAL PRELIMINARES - DOCUMENTACIÓN EXISTENTE - BIOGRAFÍA - Capítulo I: CATALOGO DE REALIZACIONES-1.1 - Teatro ambulante para 500 espectadores 1.2 - Cúpula rebajada desplegable 1.3 - Cúpula reticular transportable y desplegable desde un helicóptero í.4 - Teatro ambulante desplegable 1.5 - Pabellón transportable para exposiciones 1.6 - Estructura reticular plana 1.7 - Diversos estudios de cúpulas 1.8 - Teatro desmontable para "Festivales de España " 1.9 - Cúpula reticular de directriz esférica:sa_ la de proyección "Cinerama" 1.10- Cúpula reticular desplegable para grandes luces 1.11- Cubierta para las excavaciones del Museo Paleocristiano de Tarragona 1.12- Cúpula reticular poliédrica para el Museo "Dalí" de Figueras 1.13- Vidriera hipercubica desplegable 1.14- Módulo desplegable automático 1.15- Tienda de campaña 1.16- Cubrición del velódromo Anoeta de San Sebastián PARTE 15 - ESTRUCTURAS - INTRODUCCIÓN VIII DESMONTABLES Capítulo II¡RETICULACIÓN DE LA ESPERA A PARTIR DE UN ICOSAEDRO 2.1 - Icosaedro:lados, vértices 2.2.1 - Coordenadas de los vértices 2.2 - Triángulo esférico 2.3 - Procedimiento de reticulado 2.4 - Coordenadas cartesianas de los nudos del trian guio plano 2.5 - Coordenadas cartesianas de los nudos del trian guio esférico 2.6 - Coordenadas de los nudos como intersección de meridianos 2.7 - Longitudes de las cuerdas (barras), ángulos 2.8 - Agrupaciones de barras para el montaje; macro piezas - Capítulo 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 - III: OBRAS REALIZADAS Teatro desmontable para "Festivales ds España" Cúpula de proyección "Cinerama" Museo "Dalí" en Figueras Museo Paleocristiano de ^Tarragona Cálculo de las cúpulas reticuladas Estudio de acciones y solicitaciones 3.6.1 - Acciones 3.6.2 - Solicitaciones 3.6.3 - Esfuerzos en las barras 3.7 - Otro sistema de reticulado: Velódromo Anoeta - CONCLUSIONES A LA PARTE 1.a PARTE 2a -ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPER FICÍE PLANA - INTRODUCCIÓN Capítulo IV: MOVILIDAD 4.1 - Mecanismos 4.1.1 - Movilidad en el plano 4.1.2 - Movilidad en el espacio 4.2 - Criterio para el diseño de mecanismos IX °^ 87 87 88 ° *• 97 101 107 * 07 113 1 2 J ^ -* 5 ^ '* J-56 i7 l 17v 1"? 6 3 78 l8^ -96 2 0 0 203 2 ^9 ^14 2 1 r> 4.3 - Unidad móvil básica de los mecanismos de Emilio Pérez Pinero 4.4 - Ejemplos - Capítulo V; TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE 5.1 - Descripción general 5.2 - Descripción de los elementos 5.2.1 - Cubierta 5.2.2 - Soportes 5.3 - Mecanismo 5.3.1 - Variantes sobre el mecanismo 5.4 - Montaj e 5.5 - Estruc tura 5.5.1 - Viga componente tipo 5.5.2 - Comparaciones con otras vigas trianguladas 5.5.3 - Comportamiento del emparrillado 5.5.4 - Características del material y de la sección 5.6 ~ Proceso de cálculo del autor 2 17 221 2 23 225 225 2 28 "229 231 233 234 235 - Capítulo VI:PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES 6.1 - Descripción general 6.2 - Descripción de los elementos 6.2.1 - Cubrición 6.2.2 - Malla estructural 6.2.3 - Soportes 6.2.4 - Cerramientos 6.2.5 - Cargas y pesos 6.3 - Montaje 6.4 - Mecanismo 6.4.1 - Variantes del mecanismo 6.5 - Algunas estructuras posibles 6.5.1 - A¡Estructura del proyecto¡mecanismo base y algunos cordones y montantes 6.5.2 - BrMecanismo base y cordones ambas caras 6.5.3 - C:Mecanismo base y cordones a 45° en am bas caras 23 9 241 24 9 251 2 58 2 59 2 60 266 266 267 269 27T 2 74 277 279 282 28 5 6.5.4 - DrMecanismo base, cordones cara superior a 4 5 2 , cordones cara inferior 288 6.5.5 - E:Mecanismo simplif ¿sido y cordones en ambas caras 2 91 6.5.6 - F:Mecanismo simplificado,cordones cara superior a 4 5 ° , cordones cara, inferior 294 6.5.7 - Mecanismos base y montantes en los nudos de contorno 297 6.6.8 - G:Mecanismo simplificado y montantes de contorno 6.5.9 - H.-Mecanismo simplificado, cordones a 45° •y cordones contorno ambas caras, y m o n — tan tes 6.5.10- I .-Mecanismo de proyecto y montantes de contorno 6.6 - Resumen de las estructuras posibles 301 3 06 309 317 - Capitulo V I I : VIDRIERA DESPLEGABLE 7.1 - Descripción general 320 7.2 - Descripción de los elementos 7.2.1 - Cubrición 7.2.2 - Malla estructural 7.2.3 - Soporte 7.3 - Montaje 7.4 - Mecanismo 3 22 3 26 3 28 3 29 3 30 7.5 - Otro mecanismo posible 7.6 - Estructura 3 30 332 - Apéndice a la Parte 2§ : MALLA DE DOBLES TETRAEDROS, DES_ PLEGABLE SEGÚN UNA SUPERFICIE _ PLANA a.l - Mecanismo a.2 - Variante del mecanismo a.3 - Estructuras - CONCLUSIONES A LA PARTE 2a / XI 3 37 341 3 42 344 PARTE 3§ - ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS - Capítulo VIII:ESTPUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFI CIÉ ESFÉRICA 8.1 - Tipos básicos 8.2 - Planteamiento de la compatibilidad geométrica 8.3 - Condiciones de compatibilidad para mecanismos triangulados de un grado de libertad 8.3.1 - Compatibilidad en el estado de desplega do final 8.3.2 - Compatibilidad en los estados interme— dios 8.3.3 - Estructura procedente de este mecanismo 8.4 - Condiciones de compatibilidad geométrica para el mecanismo de Emilio Pérez Pinero 8.4.1 - Compatibilidad en el estado de desplega_ do final 8.4.2 - Compatibilidad en los estados interme— dios - Capítulo 9.1 9.2 9.3 9.4 - IX:TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES Descripción general Descripción de los elementos Mecanismo Estructura - Capítulo X:CUPULA DESPLEGABLE PARA GRANDES LUCES 10.1 - Descipción general 10.2 - Descripción de los elementos 10.3 - Mecanismo 10.4 - Estructura 10.5 - Variante de mecanismo debida a Emilio Pérez Pinero: módulo desplegable automático 10.6 - Otras variantes de mecanismo y estructura 3 54 3 57 3 59 3 59 361 36 3 3 64 364 37 3 3 74 375 3 78 380 381 3 84 398 ,401 — 405 4 08 - Capítulo XI: ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE CILINDRICA 11.1 - Mecanismo generado a partir de una cuadrícula 4 09 XII / 11.1.1 - Condiciones geométricas en el estado desplegado 11.1.2 - Compatibilidad en los estados interine dios 11.2 - Mecanismo generado a partir de una retícula de triángulos rectángulos 11.2.1 - Compatibilidad en el estado desplegado 11.2.2 ~ Compatibilidad en los estados intermedios 11.3 - Mecanismo cuyos nudos forman una retícula de triángulos isósceles 11.3.1 - Compatibilidad geométrica en el estado desplegado 11.3.2 - Compatibilidad en los estados interme_ dios 11.3.3 - Variante de mecanismo cuyos nudos forman una retícula de triángulos escalenos 11.4 - Mecanismo de dobles pirámides 4 10 412 413 413 4 15 4 15 415 418 419 420 - CONCLUSIONES A LA PARTE 3§ 423 - BIBLIOGRAFÍA 430 - ANEXO 438 INTRODUCCIÓN GENERAL .básicamente el objeto de esta tesis es el estudio, documentación, valoración y generalización de soluciones,.de los -.trabajos realizados durante diez años de actividad profesio nal (1962-72) por el arquitecto Emilio Pérez Pinero, gastados en un tema casi monográfico: las estructuras espaciales de barras. Dentro de- ellas, el 90% se adjetivan además de dos formas: desmontables y desplegables. Los años 60 son la frontera del cá:lculo sin/con ordenador para la élite investigadora. Sobre el estado concreto del tema puede servir de resumen ei contenido del volumen SPACE STRÜCTURES, que recoge todas las ponencias presentadas al -V Primer Congreso Mundial sobre Estructuras Espaciales, celebrado en 1966, en Surrey (Inglaterra). Generalizando, para el cálculo de cúpulas y bóvedas, se emplean modelos de asimilación a las continuas, completamente resueltas en muchos estados de carga y forma; para emparrillados y placas haüílan los desplazamientos más relevantes (descensos verticales) por el método de las diferencias finitas. Respecto al campo del diseño, durante los años 50 y 60 hubo 1 una verdadera fiebre en patentar soluciones correspondientes a disposiciones geométricas, sistemas constructivos y diseño de componentes (sobre todo piezas de nudo) cada vez más complejos de ejecución pero de uso más racional y versátil. Como exponentes de este campo de las estructuras en esos años se puede citar a, Stephane du Chateau, R. Bucminster Fuller, F. Lededer, Y. Tsuboi, R. Le Ricolais, F. Matsushita y el gran animador Z.S. Makowski. En España, Florencio del Pozo como enseñante y proyectista fue el introductor de este campo de las estructuras. Pablo Bueno remató sus estudios de ingeniería con una investigación sobre mallas planas; después junto con José Calavera proyectó y construyó varias de estas placas. También Ignacio Alvarez Castelao y Francisco Rius fueron pioneros en dar so luciones de estructuras espaciales en sus proyectos. A prin cipios de los años 70 aparece-. Las"- mallas espaciales en ar quitectura, de Juan Margarit y Carlos Buxadé, y Félix Candela desde México y USA, siempre ejerció influencia sobre los estudiosos españoles. Todos estos iniciadores están ligados al mundo académico y contrastan o aprenden de él sus soluciones. Emilio Pérez Pinero no parte de investigar modelos teóricos 2 tanto hablando de diseño como de cáculo. De principio los fabrica, en parte porque no dispone de bagaje aportado por otros en que apoyarse, ya que su diseño es completamente nuevo. También se puede decir que no le es una tarea difícil: construye sus diseños aprovechando que tiene tanto ha»bilidad manual como visión espacial. Desarrolló su trabajo en solitario, protegiendo sus hallazgos mediante patentes intentando comercializar sus estructuras, dedicaiüo por ente ro a su vida profesional.a esto. De sus realizaciones, la información que se suele plasmar en planos, no es abundante ni precisa. Existen sin embargo maquetas y modelos a escala o trozos de ellos. Para poder k hacer transmisibles sus realizaciones es necesario dibujarlas y definirlas en gran parte pues, aunque se pudienran. ma nejar las maquetas y modelos, es la mejor forma de hacerlo con^exactitud y rigor. En este trabajo, por la particularidad de ser un estudio de la obra de una persona, exije que se reúna toda la información sobre ella. Se inicia ordenando trabajos y documenta— ción existente; esta consiste básicamente en la producida o controlada por el propio autor, pues dado el poco tiempo transcurrido, no hay otros estudios sobre sus trabajos; solo existen referencias bibliográficas y comentarios en los 3 estudios de investigadores de estructuras desplegables. Por la naturaleza de las estructuras, emparrillados y cúpulas, y de su carácter móvil, es necesario acometer estudios complementarios matemáticos y geométricos para poder dar su definición exacta y comprender su funcionamiento. Si en la Parte lton se presenta el objeto y la información de partida, en la 1 a se agrupan las estructuras fijas y des montables, casi todas definidas desde el mismo procedimienrto matemático no particularizado por ningún autor. Como este campo está lo suficientemente estudiado desde los años 50 hasta ahora, con abundante información escrita, aqui solo se considera necesario documentar lo realizado por Pinero, deslindando y valorando su aportación. Las partes 23. y 32 se dedican cuya directriz final es plana se con un estudio común sobré también un capitulo dentro de a las estructuras desplegables (2§) o curva (3a), iniciándola movilidad y dedicándose la 3a a los condicionamientos geométricos para la movilidad en las estructuras curvas. El campo de los diseños desplegables está poco explorado por lo que no solo se van a documentar las realizaciones de Pi— 4 ñero. Se intentará generalizar en términos de diseño empleando el sistema que admite la posibilidad de plegado ideado por éste, y se propondrán otros diseños estructura les. Las estructuras espaciales de barras son de difícil representación en dos dimensiones. Se ha hecho un gran esfuerzo porque ésta sea de lectura sencilla tanto en los dibujos que acompañan las explicaciones como los planos que se van intercalando y se espera que ayuden a la compresión de lo que se expone. 5 PRELIMINARES DOCUMENTACIÓN EXISTENTE BIOGRAFÍA Emilio Pérez Pinero nace en Valencia (España) el 27 de Agosto de - - 1.935. A los tres meses de edad, sus padres se transladan a Calasparra, peque ño pueblo de la Provincia de Murcia, de donde era originaria toda su familia. Allí transcurre su 'infancia y primera juventud, durante los años 40. Cuando acaba .la primera enseñanza, se encargan de su educación, por un lado su padre, ingeniero militar republicano, que le imparte disciplinas de ciencias y por otro' D. Ricardo López, maestro amigo de su padre que después de finalizar la guerra, sé dedica a impartir clases particulares. Cursa el Bachillerato Superior, en un pueblo cercano que dispone de equipamiento docente adecuado. En junio de 1.952 obtiene el titulo de Bachiller con nota de Sobresaliente y'en el Examen de Estado en la Universidad de Murcia obtiene premio Extraordinario. El dilema de que carrera seguir se resuelve del siguiente modo: 7 Dado que siempre se había sentido atraído por el dibujo y la pintura — (existen varios cuadros pintados en su adolescencia), se plantea la pq sibilidad de ingresar en Bellas Artes- Para desviar esta decisión, interviene su padre, preocupado por el futuro incierto que se le puede — presentar como pintor. Le propone que intente ingresar en la Escuela Superior de Arquitectura, argumentando que, esta profesión le puede ofrecer un porvenir más desahogado, además de ser una profesión artística. Aceptando la proposición de su padre, se translada a Madrid, donde empieza a preparar el examen de ingreso en la Escuela. En 1,957, ingresa en la Escuela obteniendo Matricula de Honor en las asignaturas de Análisis matemático de la Facultad de Ciencias de Madrid. Acaba la c a r r e — ra en cinco años. Siendo estudiante de cuarto curso en 1.961, se le presenta la opor- tunidad de desarrollar un tema sobre las estructuras para cubrir grandes espacios. En este año, coincidiendo con su Congreso de Londres, 1-a Unión Interna_ cional de Arquitectos, convoca un concurso internacional para estudian tes de Arquitectura, al que se presentan alumnos de Facultades y Escue las de 54 paises. El tema del concurso, es proyectar un teatro ambulan te para 500 espectadores. 8 La Escuela Superior de Arquitectura de Madrid propone el proyecto como ejercicio de curso a los alumnos de cuarto,y se seleccionan dos propuestas: Una, realizada por Ricardo Urgoiti, resuelve el problema con una cúpula formada por tubos de plástico que se transportan enrollados. Una vez extendidos y unidos entre si, se inflan con aire comprimido, quedando la cúpula montada. La otra, realizada por Emilio Pérez Pinero, consistía en una estructura reticular estérea plegable que se transportaba y desplegaba hasta su total instalación desde un camión. La inclinación del sue- lo para conseguir una visión adecuada también se lograba mediante grupos de estructuras reticulares estéreas desplegables. Tras la selección llevada a cabo en la Escuela, los dos estudiantes son presentados a D. Carlos De Miguel, entonces director de la revista "Arquitectura". Los dos proyectos se publican en el n° 30 Sel mes de Junio de 1961 de la citada revista, a la vez que D. Carlos De Miguel se ofrece para organizarles el viaje y acompañarles al congreso de Londres. Cuenta Carlos De Miguel, que desde un principio se quedo atónito por lo fantástico que era el proyecto de Pérez Pinero. Es curioso señalar que, según De Miguel la timidez de Emilio era tal, que su proyecto tuvo que explicárselo Urgoiti. Una vez en Londes, y siempre según palabras de Carlos De Miguel el Proyecto de Pérez Pinero causaba sensación, cada vez que se exhibía. 9 Finalmente, el jurado concede el primer premio al proyecto ele Emilio Pérez Pinero y asimismo, en la resolución final del Congreso, se considera a la estructura desplegable diseñada por Emilio para su teatro como una aportación técnica de primer orden. No debemos olvi- dar que la labor investigadora en estructuras espaciales de barras, estaba en esos años en auge, mas cerca de sus inicios que de su apogeo. Años más tarde, el arquitecto Félix Candela, que formaba par- te del jurado junto Buckmister Fuller y Ove Arup entre otros, dice que entre los muchos proyectos qae se presentaron, el de Emilio Pérez Pinero era realmente extraordinario, concediéndole el premio sin discusión alguna. Tras este éxito en el Congreso de la O.I.A. en Londres, Emilio tiene ofertas para vender su invento, o bien desarrollarlo en varios paises, como Estados Unidos y Brasil, pero deciSe continuar por su cuenta. Compagina entonces sus estudios de 52 y ultimo año de carrera, con el desarrollo y perfecionamiento de la estructura que haJDia diseñado. Y se encuentra entonces con el problema, según reconocería tiempo después, de que, en realidad, sabia menos de lo que se podía pensar, teniendo por tanto, que empezar a estudiar y a ponerse ai día en cuanto a conocimientos sobre estructuras- se refiere, ya que, según él, los conocimientos que sobre el tema se impartían en la escuela, pronto se le quedaron cortos. En este tiempo hasta que acabo la carrera su diseño de estructura es presentado en varios certámenes internacionales. En el mes de 10 - octubre siguiente al Congreso de Londres, se presenta en la Bienal de Arte-Arquitectura y Teatro de Sao Paulo (Brasil), donde se le concede -la Medalla de Oro. En febrero de 1962, y aún sin acabar la carrera, se realiza una exposición de sus maquetas en Munich, acompañada de comferen_ cias en la Facultad de Arquitectura y el Instituto Español de esta ciudad alemana. En abril, junto con otros españoles, se presenta a la Exposición Internacional de Patentes de Bruselas, obtiene una medalla de oro y la felicitación especial del jurado. La prensa diaria y la especializada recogen estos hechos. Es objeto de varios homenajes tanto a nivel nacional como local, con la participa— ción de las autoridades políticas del momento. En julio de 1962, termina la carrera de Arquitectura con sobresaliente y "Premio Anibal Alvarez" como alumno más destacado de su promoción. Estos hechos son recordados muy especialmente por sus compañeros como sucesos extraordinarios dentro de la vida escolar. Terminados los estudios decide dedicarse en exclusiva al estudio de las estructuras desplegables. A la dificultad de unos estudios insuficientes en el tema de estructuras, se une la inexistencia en aquellos momentos de unos modelos de cálculos afinados o de unas hipótesis especificas de funcionamiento estructural aplicables a sus diseños. Recurre a la cons- 11 trucción de modelos reducidos a escala; como le cuesta un dinero del que no dispone, tiene que fabricarse él mismo las maquetas y modelos, como lo había hecho con el proyecto del teatro ambulante. De esta forma sólo tiene que pag.ar los materiales que necesita, aunque a la vez tiene el inconveniente de necesitar mucho tiempo para obtener soluciones válidas. Paralelamente, no pierde oportunidad de monstrar sus trabajos. En el mes de agosto de 1962, participa en una exposición de estructuras que se celebra en Tokio. En Calasparra continua desarrollando sus estructuras en un casi completo aislamiento. Empieza a preocuparse un poco más por la teoría general y ver en"la forma" la variable fundamental a tener en cuenta a la hora de diseñar una estructura para cubrir un espacio de grandes luces; dedica más atención a las formas esféricas. Durante, este mismo año 1963, realiza varias exposiciones de maquetas y modelos, entre las que cabe citar las llevadas a cabo en el entonces Ministerio de la Vivienda, Sala Biosca y Ateneo de Madrid. A principio de 1964 desarrolla y pone a punto un tipo plano de estruc— tura reticular desplegable, con la cual proyecta y construye su primera obra real. Se trata de un pabellón transportable para exposiciones, que debía albergar una exposición de carácter oficial donde el Gobierno que 12 ría mostar los logros conseguidos en los 25 años transcurridos desde la Guerra Civil. Se instala por primera vez, en la explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid y es inagurado el 1964, por el Gobierno, que le es concedida la Encomienda y Gran Cruz de Isabel la Católica. En el mes de octubre se estrena en un cine de Madrid, un corto de 30 minutos sobre el diseño y desarrollo de las estructuras desplegables. Durante 1965, construye varios modelos desplegables a escala y empieza, a la vez, a profundizar en el estudio de las cúpulas geodésicas no desplegables. Como se verá, en este tipo de estructura poliédricas consigue diseñar una división del poliedro esférico en base a un número; pequeño de módulos poligonales distintos, consiguiebdc, por tanto simplificar el montaje, desmontaje y transporte de la estructura. Si hay algo para lo-que Pérez Pinero no encuentra casi nunca problemas, como él mismo afirma, es para dar a conocer sus avances. Sus nuevos diseños, nada más realizarse, son reflejados en revistas especializadas tanto nacionales como extranjeras, acompañadas de algún pequeño comentario. Son estas publicaciones unas de las principales fuen tes para conocer sus diseños dada la casi inexistencia de documentación gráfica previa a la construcción. 13 En el año 1966 es nombrado miembro del Comité Organizador de la Conferencia Internacional de Estructuras Espaciales que se celebró en Ingla___ térra. Con este motivo conoce y se relacciona con diversos estudiosos de pres tigio mundial en el campo de las estructuras. A éste Congreso el español José Calavera presentó una ponencia sobre placas realizadas con es_ tructuras espaciales ds barras. Durante este año, el entonces Ministerio de Información y Turismo le encarga la construcción de un teatro transportable para Festivales de España. En esta ocasión construye la estructura en Caiasparra. {El encargo anterior se construyó entero en C.A.S.A.).Para ello tiene que am pliar el pequeño taller de que dispone, donde ha ido construyendo sus modelos y maquetas a escala. Este encarga supone tener que adiestrar a una serie de artesanos locales en una ejecución de obra a la que no están acostumbrados, por la precisión tegran que requiere la fabricación de las distintas piezas que in- la estructura. A la vez que continua con estudios teóricos sobre modelos, construye una cúpula desmontable para albergar las instalaciones necesarias para proyectar películas por el sistema 14 Cinerama, entonces en auge, capaz para 1.200 espectadores. La mejora más sensible respecto al Teatro para Festivales de España, radica en<(que también diseña expresamente la - SÍCtlCü© ÍP12GB32 LFIISSLM) grúa de montaje; con lo cual la instalación y desmontaje ganan en rapiMI. PRIMER ENCUENTRO CON* EMILIO TUVO LUGAR EN LONDRES. DURANTE EL CONGRESO DE LA UNION INTERNACIONAL DE ARQUITECTOS, EN JULIO DF 1961. ME TOCO ESTAR. JUNTO CON BUCKY FULLER v OVE ARUP. EN EL JURADO PARA EL CONCURSO DE PROYECTOS DE ESTUDIANTES QUE SIEMPRE SE LLEVA A CABO EN ESOS CONGRESOS. ESE ANO, EL TEMA ERA UN TEATRO DESMONTABLE Y. ENTRE LOS MUCHOS PROYECTOS PRESENTADOS. HABÍA UNO REALMENTE EXTRAORDINARIO. AL QUE, NATURALMENTE, CONCEDIMOS EL PREMIO SIN MAYOR DISCUSIÓN. SU AUTOR ERA EMILIO PÉREZ PINERO, ENTONCES ESTUDIANTE DE LA ESCUELA DE MADRID. SEME PRESENTO ATRAVES DE VIEJOS AMIGOS, A QUIENES, POR AZARES DE LA VIDA, NO HABÍA VISTO EN CERCA DE 25 ANOS. CON SU INTENSO ENTUSIASMO NOS DEMOSTR.O EN LA SOLEADA" PLAZA.EL FUNCIONAMIENTO DE UN MODELO.POR EL FA3R1CADO.PE LA CÚPULA PLEGABLE QUE LE HIZO GANAR EL CONCURSO. RÉCUEPJX) QUE BUCKY FULLER. QUE ESTABA A MI LADO DURANTE LA PRESENTACIÓN, ME DIJO EN UN APARTE, NO SIN CIERTO REMUSGUILLO DE CELOS: "YO TENCO UNA P VTENTE SEMEJANTE. DESDE HACE VARIOS AÑOS". A PESAR DE ESTA AFIRMACIÓN. PUDE COMPROBAR CON ORGULLO - Y A QUE DESDE ENTONCES EMPECE A CONSIDERAR LOS TRIUNFOS DE EMILIO COMO S! FUERAN MÍOS O, MEJOR DICHO, NUESTROS- QUE LA PATENTE DE FULLI.ER, TAL COMO APARECÍA EN UNO DE SUS LIBROS QUE ME MANDO AL HOTEL ANOTADO DE SU PROPIA MANO TENIA MUY POCO QUE VER CON LA SOLUCIÓN DE LA ARTICULACIÓN O NUDO DE BARRAS QUE EMILIO HABÍA DISEÑADO. ESTA ARTICULACIÓN, DESPUÉS PERFECCIONADA EN SUCESIVAS EXPERIENCIAS. ERA EL VERDADERO TOQUE GENIAL DE LA SORPRENDENTE ESTRUCTURA. PERDÍ CONTACTO PERSONAL CON EMILIO DURANTE VARIOS AÑOS. AUNQUE SABOREE SUS ÉXITOS F.N ARTÍCULOS Y REPORTAJES DE LA REVISTA DEL COLEGIO DE MADRID Y NO DEJE DE APROVECHAR. M!S INFLUENCIAS Y AMISTADES PARA HACER QUE SE PUBLICARAN SUS PROYECTOS EN REVISTAS DE OTROS PAÍSES. COMO EL -'PROGRESSIVE ARCHITECTURE". DE F..U.. Y "ARCHITECTURAL DESIGN", DE LONDRES, PERO NO VOLVÍ A ENCONTRÁRMELE HASTA 1968 EN QUE DECIDIÓ VENIR- A MÉXICO' A VISITARME. COMO NO SE TOMO "LA MOLESTIA DE ANUNCIARME SU VIAJE, LLEGO A MÉXICO AL DÍA SIGUIENTE DEL QUE YO SALÍ PARA UNA GIRA DE CONFERENCIAS POR E.U.. VENEZUELA Y COLOMBIA. QUE UTILICE COMO PRETEXTO PARA QUITARME DE EN MEDIO POR UNA TEMPORADA Y ALIVIAR UN« SITUACIÓN INCOMODA Y. HASTA CIERTO PUNTO, PELIGROSA EN QUE MI FORZADA INTERVENCIÓN COMO PROFESOR DE LA ESCUELA Y MI INVETERADA PROPENSIÓN A METERME EN LÍOS ME HASIA COLOCADO CON MOTIVO DE LA REBELIÓN ESTUDIANTIL ORGANIZADA POR EL GOBIERNO. MEXICANO EN AQUELLAS FHCHAS. • ES UNA MUESTRA DEL CARÁCTER DE EMILIO Y DE SU INDOMABLE TENACIDAD. QUE ESPERO PACIENTEMENTE DURANTE TRES SEMANAS. HASTA MI RECRESO. EL PROPOSITO DE SU VIAJE ERA PEDIRME AYUDA PARA COLOCAR SUS PATENTES EN F..U. UNAS PATENTES QUE QUIEN SABE CUANTO DINERO Y ESFUERZOS LE HABÍAN COSTADO CONSEGUIR. ME OFRECIÓ GENEROSAMENTE LA MITAD DE LO QUE PUDIÉRAMOS OBTENER POR LA VENTA O EXPLOTACIÓN DE SUS INVENTOS E JNIUAMuS NUESTRA PEREGRINACIÓN POR I.AS • COVACHUELAS DE WASHINGTON. VISITAMOS IOS DEPARTAMENTOS DE CONSTRUCCIÓN DML EJERCITO. LA MARINA, LA FUERZA AEREA Y LA NASA. EN TODOS ELLOS SE MOSTRARON INTERÉS ADISiSMOS POR LAS POSIBILIDADES DEL SÜTfcMA CONSTRUCTIVO Y SU INDUDABLE UTILIDAD PARA RESOLVER NECESIDADES URG ENTESAD £ LAS FUERZAS ARMADAS AMERICANAS. P"RO. AL MISMO TIEMPO. COMPROBAMOS CON DCSCfiNSUi-LO I.AS ESCASAS OPORTUNIDADES QUE ESTE MUN1X1 OFRIXR - l Y l R A ^ E t / i dez y sencillez. Para dar la idea de la celeridad con que podían realizarse estas maniobras, puede decirse que durante el año 1957, además de proyectarse y - construirse la Sala, se exhibió en Barcelona, San Sebastián y Sevilla, permaneciendo instalada alrededor de 70 días en cada una de estas ciudades . Habiendo realizado ya tres obras reales, Emilio empieza a darse cuenta de que no logrará poner en práctica la mayoría de las ideas y diseños nuevos que realiza. El mismo va dejando anticuados sus propios sistemas. Pero los a dejado anticuados de una forma teórica, ya que la mayoría de nuevos sistemas no pasan de ser un modelo de estudio. Posiblemente, todo lo anterior le hace dejar un poco aparte la investigación teórica, ocupándose más del campo de realizaciones prácticas. En 1963, coincidiendo con los preparativos de la Olimpiada, Pérez Pinero viaja a México con la intención de entrevistarse con Félix Candela, ai que no ha visto desde 1961, cuando formaba parte del jurado que le otorgó el premio en el Congreso de Londres. Emilio le ofrece el intentar colocar en Estados Unidos algunas de sus - 0' 15 patentes de estructuras. Juntos van a aquel país e inician una serie de gestiones, en entidades oficiales y privadas, que al final no dan ningún resultado práctico. DESARROLLO DEL ESFUERZO INDIVIDUAL. TRATAR. DE VENDER TALENTO. INGENIO Y HABILIDAD A UNA GRAN CORPORACIÓN, COMO EL EJERCITO AMERICANO, CALECE TOTALMENTE DE SENTIDO. PARA UNA CORPORACIÓN. LAS PERSONAS FÍSICAS NO EXISTEN Y SOLO PUEDE PONERSE DE ACUERDO Y HACER NEGOCIOS CON OTRA CORPORACIÓN. ANTES DE EMPEZAR A HABLAR EN SERIO, NECESITABAN TENER VARIOS MODELOS A ESCALA NATURAL. RESULTADOS DE ENSAYOS DE CARGA EN UN LABORATORIO OFICIALMENTE "RECONOCIDO POR ELLOS Y PRUEBAS FEHACIENTES DE NUESTRA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN. COMO ESTA SE REDUCÍA A LO QUE PUDIERAN DAR DE SI LOS ARTESANOS DE CALÁSPARRA, CUANDO LA AUTORIDAD QUE EMILIO HABÍA LOGIIADO TENER EN EL PUEBLO, A PESAR DE SUS POCOS AÍ50S. CONSEGUÍA QUE OLVIDARAS POR UNA TEMPORADA SUS RENCILLAS Y ENEMISTADES PERSONALES Y SE PUSIERAN A TRABAJAR PARA EL. DECIDIMOS ENTRAR EN CONTACTO CON FABRICANTES AMERICANOS. HABLAMOS CON ALCOA, U.S. STEEL Y ALCUNAS DE SUS SUBSIDIARIAS, LO CUAL SIRVIÓ ÚNICAMENTE PARA CONFIRMARNOS OTROS PRINCIPIOS QUE RIGEN LA OPERACIÓN DE LAS CORPORACIONES. A PESAR DE LA CREENCIA POPULAR, UNA CORPORACIÓN BIEN ORGANIZADA NO TIENE ÍNTERES ALGUNO EN INTRODUCIR 0 DESARROLLAR MODIFICACIONES TÉCNICAS, AUNQUE ESTAS TIENDAN A MEJORAR SU PRODUCTO. SI LO HACE, ES FORZADA POR LAS CIRCUNSTANCIAS Y RESPALDADA, GENERALMENTE, FOR SUBSIDIOS GUBERNAMENTALES 0 CONTRATOS PARA INVESTIGACIÓN PROVINENTES DE OTRAS CORPORACIONES ESTATALES EN CARACTERÍSTICA Y LUCRATIVA SIMBIOSIS. SI COMPRA PATENTES ES PARA ENCERRARLAS EN CAJAS FUERTES Y EVITAR QUE OTROS LAS APROVECHEN O LAS EXPLOTEN. SUS EMPLEADOS NO DEBEN TENER INICIATIVA ALGUNA Y LIMITARSE A CUMPLIR CON SU FUNCIÓN, DE ACUERDÓ CON LAS NORMAS ESTABLECIDAS, PUESTO QUE CUALQUIER CAMBIO DE ESTAS INTERFIERE NECESARIAMENTE CON LA FLUIDEZ DE LA LINEA DE PRODUCCIÓN Y SU EFICACIA CUANTITATIVA. EN OTRAS PALABRAS. LA CANTIDAD ES MAS . DESEABLE QUE LA CALIDAD Y LOS MEDIOS SE VUELVEN MAS IMPORTANTES QUE LOS FINES. No obstante, de este viaje, surge, entre Candela y Pérez Pinero, una re lación, que si bien al principio solo es profesional pronto se convierte en una profunda amistad, como se desprende de posteriores declarado nes, tanto de Emilio como de Félix Candela. Antes de regresar Emilio de México, deciden asociarse y abrir un estudio en Madrid y tras su vuelta a España, inicia las gestiones necesareas. Candela queda encargado de seguir intentando introducir en Estados Unidos alguno de los sistemas estructurales plegables diseñados por Emilio. Se presentaron varias oportunidades, entre ellas, la posible colocación de un invernadero en la Luna, y la posibilidad de construir unas naves .EN ESTAS CIRCUNSTANCIAS, LAS CONTESTACIONES QUE RECIBIMOS FUERON MUY SEMEJANTES. TENDRÍAN QUE HACER, PREVIAMENTE, UNA INVESTIGACIÓN DE MERCADO Y, POR SUPUESTO. REUNIR JUNTA DE DIRECTORES PARA QUE LA EVENTUAL DECISIÓN Y RESPONSABILIDAD RESULTARA DEBIDAMENTE DILUIDA. NI QUE DECIR TIENE QUE NUESTROS POBRES ESFUERZOS NO DIERON MAYORES RESULTADOS. para la Marina Americana en el continente Antartico. Después de todas las gestiones llevadas a cabo, y por motivos ajenos a los dos socios,- PARA MAYOR ESCARNIO, UNA CARTA QUE ME DIRIGIÓ ÉL DEPARTAMENTO DE MARINA AMERICANO, INTERESÁNDOSE POR CONSTRUIR UNA DE LAS CÚPULAS DE EMILIO EN EL CONTINENTE, ANTARTICO, FUE INTERCEPTADA EN MÉXICO POR ALGUNA DE LAS AGENCIAS LLAMADAS "DE INTELIGENCIA" Y LLEGO A MIS MANOS CON TRES SEMANAS DE F.ETRASO. CUANDO, POR FIN. PUDIMOS CONTESTARLA. YA ERA TARDE, SEGÚN NOS DIJERON, PUESTO QUE ALGUIEN MAS AFORTUNADO LES HABÍA RESUELTO EL PROELEMA. ninguna de las posibilidades se llevo a cabo. UN ARO MAS TARDE SE VOLVIÓ A PRESENTAR OTRA MAGNIFICA OPORTUNIDAD. EN UNA ESTANCIA MÍA EN HOUSTON COMO PROFESOR VISITANTE Y AL COMENTAR CON OTRO PROFESOR LAS REALIZACIONES DE EMILIO. DIJO AQUEL CONOCER A ALGUIEN EN LA ESTACIÓN QUE LA NASA TIENE EN LAS AFUERAS DE LA CIUDAD. LLAMAMOS POR TELEFONO Y AL COMENZAR A DESCRIBIR EL FUNCIONAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS. LA PERSONA QUE ESTABA AL OTRO EXTREMO DE LA LINEA ME INTERRUMPIÓ CON GRAN EXCITACIÓN PIDIENDO QUE ME PRESENTARA DE INMEDIATO EN SUS OFICINAS, ALLÍ ME FUI, ACOMPAÑADO DE MI ESPOSA DOROTHY, SIENDO RECIBIDOS POR VARIOS CIENTÍFICOS ALLÍ EMPLEADOS. ENTRE ELLOS, UN BIÓLOGO Y UN BOTÁNICO ESTABAN EXTRAORDINARIAMENTE INTERESADOS POR CONTINUAR EN LA LUNA UN EXPERIMENTO INICIADO EN TIERRA. PARA ELLO NECESITABAN CONSTRUIR UN INVERNADERO EN NUESTRO con varias empresas de construcción. El motivo era poder concurrir a El trabajo de Emilio en España estaba encaminado a iniciar contactos ~ - concursos y subastas de obras apoyadas por una entidad que fuera de rea lízarle físicamente la obra. En 1971, coincidiendo con una estancia en Madrid de Félix Candela se 16 - presentan junto con la empresa CALTECNICA S.A., a un concurso internacional en Camerún, donde obtienen el segundo premio. SATÉLITE, PUES ACABABAN DE DESCUBRIR. QUE EL POLVO LUNAR, FOR ALGUNA RAZÓN TODAVÍA DESCONOCIDA, HACIA CRECER CON UNA RAPIDEZ CUATRO O CINCO VECES MAYOR DE LO NORMAL A LAS PORCIONES DE UN CULTIVO VEGETAL CON LAS QUE ENTRABA EN CONTACTO. LA IDEA "DE AQUELLOS JÓVENES CIENTÍFICOS -CUYA VIABILIDAD NO ESTOY CAPACITADO PARA J U Z G A R - CONSISTÍA EN EDIFICAR EN LA SUPERFICIE LUNAR UN RECINTO CERRADO PARA INICIAR EN SU INTERIOR EL CICLO ORGÁNICO DE LA VIDA VEGETAL. TRATANDO DE CREAR. A LARGO FLA20, UNA INCIPIENTE ATMOSFERA. LAS CÚPULAS DESFLEGABLES SE ADAPTA3AN PERFECTAMENTE A LAS CARACTERÍSTICAS DEL PROBLEMA. CONCENTRADAS EN UN COMPACTO HAZ, PODRIAN ACOMODARSE EN LA NARIZ DEL MODULO LUNAR Y ABRIRSE CON UN MÍNIMO DE ESFUERZO O, INCLUSO, AUTOMÁTICAMENTE CON LA AYUDA DE MUELLES, SISTEMA YA INICIADO POR EMILIO EN ALGUNOS PROTOTIPOS. NOS ENSEÑARON CON TODO DETALLE LOS LABORATORIOS DE LA NASA, INCLUYENDO EL De CARTOGRAFÍA, DONDE NOS DIERON MAPAS, QUE ENVIÉ DE INMEDIATO A MADRID, PARA QUE PUDIÉRAMOS ELEGIR CRÁTERES DEL TAMAÑO ADECUADO •( c L ENTUSIASMO DE TODOS IBA CRECIENDO. EL ÚNICO PEQUEÑO PROBLEMA ES QUE HABÍA QUE ENTUSIASMAR Y CONVENCER TAMBIÉN A LOS JEFES. UN DIBUJANTE DE LA NASA QUEDO ENCARGADO DE HACER UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA CON FOTOS Y DIBUJOS. PARA MOSTRARLOS A AQUELLOS EN UNA PRÓXIMA JUNTA, UNO DE LOS ARGUMENTOS QUE SE UTILIZARON FUE EL DE LAS VENTAJAS PUBLICITARIAS DE UNA COOPERACIÓN INTERNACIONAL EN UN PROYECTO DE ESE TIFO. PERO NOS ROGARON, POR SUPUESTO, QUE NO DIVULGÁRAMOS EL ASUNTO HASTA QUE ESTE HUBIERA SIDO APROBADO EN PRINCIPIO POR LAS AUTORIDADES. HAERIA SIDO ESTUPENDO QUE LA PRIMERA ESTRUCTURA ERIGIDA EN L>. LUNA SE HUBIERA CONSTRUIDO EN CALASPARRA. PERO TOPAMOS DE NUEVO CON LA IMPENETRABLE BARRERA DE "LA ORGANIZACIÓN. LA PRESENTACIÓN A LAS ALTAS JERARQUÍAS NO DIO RESULTADO POSITIVO Y EL ENTUSIASMO SE FUE APAGANDO, A JUZGAR POR LA CORRESPONDENCIA POSTERIOR. ' . PUEDO IMAGINARME LA DESILUSIÓN DE EMILIO ANTE ESTE NUEVO FRACASO. Y NO PUEDO EVITAR UN CIERTO SENTIMIENTO DE CULPABILIDAD. PUES MIS ESCASAS HABILIDADES COMO VENDEDOR Y HOMBRE DE NEGOCIOS TUVIERON INDUDABLEMENTE MUCHO QUE VER CON LA FALTA DE ÉXITOS. ME HE REFERIDO CON CIEF.TO DETALLE A ESTAS ANDANZAS AMERICANAS DE LA VIDA DE EMILIO. PORQUE QUIZA FUERON FOCO CONOCIDAS EN ESPAÑA, PERO QUISIERA DEDICAR ALGÚN ESPACIO A SU PERSONALIDAD. DF.SDE EL PUNTO DE VISTA DE MIS RELACIONES CON EL. A PARTIR. DE SU VISITA A MÉXICO. ESTAS SE VOLVIERON MUY SEMEJANTES A LAS DE PADRE E HIJO, PERO, ENTIÉNDASE BIEN. UN H!!0 YA CRECIDO Y MADURO QUE NO SOLO NO ACEPTA LOS CONSEJOS DEL PADRE. SINO QUE DICE A ESTE LO QUE HA DE HACERSE. PORQUE EMILIO- ERA UNA-, PERSONA EXTRAORDINARIAMENTE DESARROLLADA PARA SU EDAD. CONSECUENCIA. SIN DUDA, DE QUE LA VIDA NUNCA LE FUE FÁCIL. PARAFRASEANDO . LO QUE EN OTRA OCASIÓN DIJE DE FREÍ OTTO, EN EL PROLOGO A UNO DE SUS LIBROS. REPETIRÉ: "Y ELLO NOS LLEVA A PENSAR QUE LAS- DI FICULTADES DE TODO ORDEN PUEDEN SER UNA DE "LAS CONDICIONES QUE ESTIMULAN EL GENIO CREATIVO. Y QUE LA SOCIEDAD, CON INHUMANA PERO EFICIENTE CRUELDAD, DEBIERA, QUIZAS. COLOCAR A SUS EJEMPLARES MAS EXCELSOS EN UN MEDIO ADVERSO Y HOSTIL, PARA QUE SU ANltfO*'íE¿., TEMPLE EN LA DESESPERADA LUCHA". Y BIEN QUE LO HIZO EN ESTE CASO, PUES" EMiLIO-*\ COMENZÓ A SUFRIR DESDE PEQUEÑO Y NO DEJO DE LUCHAR DESESPERADAMENTE HASTÍ EL WHNAI. _ MÍilBliÜ^ También por estas fechas, Emilio construye una estructura para cubrir las excavaciones de un Cementerio Paleocristiano en Tarragona. Se trata de una serie de casquetes de esfera, cortados por planos verticales y triangulados, colocados sobre soportes de acero. Es también, a principios de 1971, cuando aparece Salvados Dalí en la vi da profesional del arquitecto. El pintor encarga a Pérez Pinero, que di señe dos estructuras distintas entré.sí. Por una parte, Dalí quiere una cúpula que cubra lo que fué escenario de un teatro de Figueras, que ahora quiere convertir en museo. Esta obra no llegó Pérez Pinero a verla acabada. A consecuencia de su muerte, que le sobrevino con la cúpula a medio prefabricar en Calasparra la estructura tuvo que acabarse y montarse, en Figueras, bajo la diré cción técnica de José María Pérez Pinero, hermano de Emilio, que desde el principio había colaborado con el. Por otro lado había que diseñar y construir una vidriera para cerrar la boca del escenario del antiguo teatro, ya que la s;ala de butacas pensaba dejarse como patío descubierto. Pérez Pinero no quería construir una vidriera tradicional, plana y adap tó la idea, que había tenido tiempo atrás, de construir antenas desplegabies para satélites. Emilio diseña una maqueta que entusiasma i.al pin- 7 tor hasta tal punto, que cuando Pérez Pinero la lleva para mostrársela, Dali la monta en un camión y la pasea por toda la ciudad. EMILIO APECHUGO VALIENTEMENTE CON TEMPRANAS RESPONSABILIDADES DE JEFE DE FAMILIA QUE LE CAYERON ENCIMA. LA RELACIÓN QUE DE ESTA AGOBIAN TE SITUACIÓN RECIBÍ DE SUS LABIOS ME HIZO RECORDAR CIERTAS PARTES DE LA BIOGRAFÍA DE MIGUEL ANGEL.1GUALMENTE ASEDIADO POR INAGOTABLES OBLIGACIONES FAM1L!ARE3.T£NG0 ENTENDIDO QUETA.U BIEN PASO DIFICULTADES DURANTE SUS ESTUDIOS. ESPECIALMENTE EN SL¡ LUCHA FINAL POR GANARSE EL DERECHO DE LLEVAR A LONDRES EL PROVECTO ESTUDIANTIL QUE LE VALIÓ SU PRIMER PREMIO Y, RECONOCIMIENTO INTERNACIONAL. DE TODOS ES CONOCIDA SU TENAZ AGONÍA Y PERSEVERANCIA POR LLEVAR A CABAL REALIDAD, YA UNA VEZ GRADUADO, ALGUNOS DE SUS GENIALES PROYECTOS. Y NO ES DE EXTRAÑAR QUE ASI OCURRIERA, PUES EN UNA SOCIEDAD QUE SE OBSTINA EN ENCASILLARNOS COMO ESPECIALISTAS EN UNA DETERMINADA ACTIVIDAD, LA SUYA NO ENCAJARA EN NINGUNA DE LAS CLASIFICACIONES ESTABLECIDAS. A CABALLO ENTRE LAS PROFESIONES DE ARQUITECTO E INGENIERO, DEAMBULABA EN ALTANERA SOt EDAD POR TIERRA DE NADIE, JUZGADO COMO EXTRAVAGANTE "RARA AV¡S" POR LAS HUESTES DE -ADOCENADOS PROFESIONALES EN AMBAS MARGENES. Fundamentalmente, el diseño consiste en una serie de cristales, que, — colocados sobre una de las estructuras plegables, eran capaces de plegarse solidariamente con la estructura. En la idea original, los crista les eran paneles solares. La vidriera no llegó a realizarse. Con la muerte del arquitecto, todo quedó en la maqueta, que actualmente se encuentra expuesta en el Teatro Museo Dalí de Figueras. YA HE RELATADO PARTE DE LA OBSTINADA EATALLA, QUE SU MUERTE DEJO INACABADA. CONTRA EL BLOQUE MACIZO DE LA OP.GANIZACON CORPORATIVA AMERICANA. EN 51' ULTIMA CARTA. DE SOLO KA-CE UNAS SEMANAS, CON EXTRAÑA PRESCIENCIA QUE NOS LLENO DE ALARMA, DABA YA MUESTRAS DE DESALIENTO ANTE LOS IMPLACABLES GOLPES DEL DESTINO. EL ULTIMO DE" ESTOS TUVO LUGAR CON MOTIVO DE LA MAQUETA QU£ CONSTRUYO l'ARA EL MUSEO DE DALÍ EN FIGUERAS. EN ELLA SE MOSTRABA UNA NUEVA INVENCIÓN D E . S U FÉRTIL INCSNIO, YA QUE EL PAQUETE DE LA CÚPULA PLEGADA ¡NCORl'ORAEA, NO SOLO LA Ar^MADURA DE BARRAS, SINO TAMBIÉN LAS PLACAS RÍGIDAS DE CUBIERTA. LA PRESENTACIÓN QUE DE ELLA HIZO, CON DALÍ. EN PARÍS DEBIÓ SER UN ÉXITO, PUES ME LLAMO POR TELEFONO A CHICAGO, ROGÁNDOME QUE HABLARA CON DAL! PARA COMPROBAR QUE ESTE SE HABÍA TRAÍDO LA MAQUETA A NUEVA YORK, COMO AMBOS HABÍAN PLANEADO. NO FUE AS!, POR DIFICULTADES DE TRANSPORTE Y EMPAQUE, V SE MALOGRO, UNA VEZ MAS, LA OPORTUNIDAD DE DAR UN GRAN GOLPE PUBLICITARIO EMILIO ESTADA LISTO PARA VENIR A NUEVA YORK DE INMEDIATO Y NO HUBIERA SIDO DIFÍCIL CONSEGUIRLE UNA ENTREVISTA EN TELEVISIÓN, QUE NOS HUBIERA ABIERTO EL CAMINO PARA NUEVAS GESTIONES CON FABRICANTES Y COMPAÑÍAS CONSTRUCTORAS. Otro de los proyectos, que ilusionaron a Pérez Pinero, se le presenta a principios de 1972. En colaboración con la empresa de construcción encar gada de la cimentación, se presenta al concurso de cubrición del Veló dromo Anoeta de San Sebastián. En un momento dado, y por motivos ajenos al arquitecto, la empresa se *= SU NUEVO DESCUBRIMIENTO VENIA COMO ANILLO AL DEDO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS RELACIONADOS CON LOS SATÉLITES ARTIFICIALES O ESTACIONES ESPACIALES DE QUE SE VIENE HABLANDO HACE TIEMPO. UNA DE SUS ESTRUCTURAS RÍGIDAS PLEGABLES, DEBIDAMENTE INSTRUMENTADA, HUBIERA PEPJ.ÍITIDO COLOCAR EN ÓRBITA, EN" UN DOS POR TRES Y SIN INTERVENCIÓN HUMANA, UNA PLANTA TRANSFORMADORA DE ENERC1A SOLAR, COMO EL MISMO ME HIZO NOTAR. retira y el anteproyecto de Pérez Pinero no puede entrar en concurso. En abril de 1972, la Unión Internacional de Arquitectos, que en Septiem bre de ese año celebra su Congreso en Bulgaria, le concede el premio PERO NO LE FUE DADO VER REALIZADO ESTE SUEÑO. SUV1DA FUE TRUNCADA EN FLOR, CUANDO YA ESTABA TOCANDO LA ANSI.ADA META. SU TEMPRANA DESAPARICIÓN. COMO LA DE M O Z A R T / Y TANTOS OTROS. NOS ESCALOFRÍA IMAGINANDO UNA MISTERIOSA CONJURA DE FUERZAS CÓSMICAS. EMPEÑADAS EN EVITAR QUE LOS MEJORES DE ENTRE NOSOTROS TRANSCIENDAN A UN NIVEL SUPERIOR Y REALICEN EN SI MISMOS LA ANHELADA ASPIRACIÓN METAFÍSICA. " Auguste Perret", a la labor que venía realizando en el campo de las estructuras. 18 PERO NO HACE FALTA RECURRIR. A IMAGINARIAS CONJURAS. LA VIDA ENTERA DE EMILIOES UNA ESCARAMUZA VIBRANTE DE LA FORMIDABLE LUCHA ENTRE LA CRECIENTE TENDENCIA A LA UNIFICACIÓN Y EL CONFORMISMO, POR UN LADO, Y EL MENGUANTE PENSAMIENTO INDIVIDUAL, POR EL OTRO. ESTA LUCHA VA ADQUIRIENDO CARACTERES TRÁGICOS PARA LOS QUE AUN CONSERVAMOS UNA LUMBRECITA DE FE EN EL HOMBRE COMO ENTE INDIVIDUAL. Y VEMOS DESAPARECER O DOBLEGARSE A MUCHOS DE NUESTROS COMPAÑEROS, INCAPACES DE RESISTIR POR MAS TIEMPO LA TREMENDA TENSIÓN. Comenta el propio Pérez Pinero en una entrevista, publicada en el número 163 de la revista de arquitectura que: "esta distinción hace que, a nivel internacional, deje de considerarse como un individuo más o menos exótico, que trabaja en estructuras, para pasar a ser ofi- EN OTROS TIEMPOS, SE DECÍA QUE LOS DIOSES TIENEN ENVIDIA DE LOS MORTALES PRIVILEGIADOS Y SE LAS ARREGLAN PARA .ACABAR CON LAS FRÁGILES VIDAS DE ESTOS, ANTES DE QUE SU NATURAL EVOLUCIÓN LES CONVIERTA EN COMPETIDORES DE LOS MITOLÓGICOS SERES SOBREHUMANOS. PERO LOS TIEMPOS HAN CAMBIADO. NUESTROS DIOSES YA NO SE LLAMAN APOLO Y VENUS. JÚPITER O MINERVA, SINO TECNOLOGÍA, MECANIZACIÓN. PRODUCCIÓN, PROCRESO, CONSUNCIÓN -TERMINEMOS CON TODO CUANTO A N T E S - ; Y ES POR ESO QUE, EN LUGAR DE USAR FLECHAS Y LANZAS, ASESINARON A EMILIO USANDO UNA DE SUS ARMAS MAS MORTÍFERAS: EL AUTOMÓVIL QUE, A VECES VIOLENTAMENTE Y SIEMPRE POCO A POCO. VA ACABANDO CON NOSOTROS Y NUESTRAS CIUDADES. EL TAMBIÉN CAYO EN EL EMBRUJO DE LA ILUSIÓN DE PODER QUE AQUEL PROPORCIONA .Y QUE TAN BIEN UTILIZAN SUS MERCADERES. cialmente, una autoridad mundial en el tema". El diploma del Premio, que le iba a ser entregado oficialmente en el Congreso de Septiembre, no pudo ya recogerlo personalmente; tienen que recogerlo su viuda y su hijo mayor, porgue Emilio Pérez Pinero, muere en accidente de carretera el 8 de Julio de 1972, a los 37 años de edad, DICE ORTEGA QUE "EN CADA ÉPOCA, UNOS HOMBRES PRIVILEGIADOS. COMO CIMAS DE MONTES, LOGRAN DAR A LO HUMANO-UN NIVEL MAS DE INTENSIDAD". EMILIO PERTENECÍA A ESTA CASTA DE HOMBRES SELECTOS, QUE LO SON, SIMPLEMENTE, PORQUE SE EXIGEN A SI MISMOS MAS QUE LOS DEMÁS. MAS DE LO QUE ELLOS MISMOS CREEN QUE PUEDEN, Y ACUMULAN SOBRE SI DIFICULTADES Y DEBERES. PERO LA CONTIENDA POR LOGRAR SUS TEMARIOS PROPÓSITOS ES SIEMPRE DESIGUAL. ELLOS OPERAN AISLADOS, EN LO ALTO, PREOCUPADOS TAN SOLO POR SUS ARRISCADAS QUIMERAS, MIENTRAS LAS LABORIOSAS CHUSMAS DE LA MEDIOCRIDAD. COMO HORDAS DE ROEDORES. SOCAVAN LA BASE DE SUS ATALAYAS PARA OBLIGARLOS A CAER EN EL SÓRDIDO NIVEL COMÚN. CONVERTIDOS EN FÁCIL PRESA DE SU MONTONERA ENVIDIA. UNOS POCOS, COMO PICASSO, LOGRAN ELUDIR LA TRAICIONERA TRAMPA, BRINCANDO GALANAMENTE DE CIMA EN CIMA Y PROVOCANDO LA IMPOTENTE RABIA DE SUS PERSEGUIDORES, PERO LOS MAS SUCUMBEN DESANGRADOS EN LA DISPAR FRIEGA. cuando regresaba de Figueras de entrevistarse con Dalí, Termina así una trayectoria profesional que prometía ser interesante. NO LLOREMOS POR ELLOS. SIN EMBARGO, BIENAVENTURADAS VICTIMAS DE SU EXCELSA PASIÓN. EMILIO ENCONTRÓ MUERTE Y TRIUNFO AL MISMO TIEMPO. GLORIOSO TRANSITO DE LOS ELEGIDOS, A LOS QUE SE DISPENSA DEL. FINAL IGNOMINIOSO QUE ESPERA A LOS QUE QUEDAMOS ARRASTRÁNDONOS POR ESTA DULCE CLOACA DE QUE HABLO EL CÍNICO AL ABANDONARNOS. Y EN LA QUE NO HAY LUGAR PARA LOS GENIOS. DESCANSE EN PAZ, QUIEN NO TUVO UN MOMENTO DE REPOSO EN SU CORTA, PERO FECUNDA Y EJEMPLAR VIDA. Vi*--- FÉLIX CANDELA 13 19 CAPITULO I : CATALOGO DE REALIZACIONES. DOCUMENTACIÓN ENCONTRADA 1.1 - TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES PROMOTOR: La Unión Internacional de Arquitectos. Esta entidad convocó un concurso entre estudiantes de Arquitectura de todo el mundo con motivo del Congreso de Londres, en 1961. El tema fué el indicado arriba como denoión. io Pérez Pinero, concursó siendo estudiante de.4° curso de la Escue Madrid. Su solución fue el primer premio del concurso. FECHA DE EJECUCIÓN: Durante el curso 1960-61. NIVEL DE REALIZACIÓN: Consistió en planos, definidos a nivel de anteproyecto, y maqueta de la estructura con torre'de montaje. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Si: La solución de Pérez Pinero consistía en una distribución en arcos de - 20 Below: drawings showing Ihe problom ofthe mobile : íhe adaplalion thcatre of Ihc syslcm lo circulo concéntricos, disponiendo el programa de necesidades mínimas necesario para el uso pedido. ; -'ú¿- - ^MMW^^^^^^ii^it^U Lo novedoso y espectacular residió en el diseño de la cubrición de sus espacios; era una cúpula de barras metálicas en forma de malla espacial •x?¿ de doble capa, que para dar la mayor facilidad al condicionamiento de "ambulante", tenía la particularidad de transportarse empaquetada entera, y desplegarse fácilmente desde el camión de traslado. Se cubría con una lona que se fijaba a los nudos de la malla. La cúpula es un casquete esférico definido por 6 arcos de meridiano igua_ les tres a tres. Probablemente no se planteó el apoyó de la cúpula seriamente, es decir, no abordó todos los problemas que tiene un proyecto real. Al menos en la maqueta que se conserva no está específicamente referenciado. Se pre ocupa más de definir el sistema reticular y su funcionamiento. La característica fundamental de la cúpula es que se pliega y se desplie ga, y plegada mantiene todas sus barras, unas son de sección circular -H hueca y otras son cables. Las huecas se colocan formando "x" en el "espesor" de la cúpula y los cables, en las superficies exteriores y entre cada nudo de estas superficies. Los cables de las superficies esterior e interior son de longitud fija y posibilitan el giro de las barras tubulares desde que están juntas hasta su abertura máxima. Forman en cada cara retículas triangulares. Los cables que unen nudos de ambas superficies, se fijan después de íesplegado e impiden el movimiento anterior en sentido contrario. La curvatura se consigue, colocando el nudo del "espesor" a distancia - 22 distinta de cada extremo • de las barras tubulares. Si se colocan - en el centro, desplegada, sería una superficie plana. SE ESTUDIA EN DETALLE EN LOS CAPÍTULOS VIII Y IX DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: / La familia Pérez Pinero, conserva la maqueta de la estructura descrita e : incluso la torre desde la que se despliega. Tratándose de un concurso, por lo menos existió documentación gráfica, con definición a nivel de anteproyecto pero no se conserva: solamente aparecen reproducidos dos planos de ella en la revista "Architectural Desing". Inmediatamente formalizó la patente N° 266801 , en cuya descripción queda encuadrado este caso. También se encuentra el detalle de nudo con su_ jección de cables. PUBLICACIONES; - "Dos proyectos de la E.T.S. de Arquitectura de Madrid al VI Congreso de la U.I.A.^en Londres". Revista Arquitectéctura n° 30 de Junio 1961 pag. 27 a 35. - "Proyect for a mobile Theatre" Emilio Pérez Pinero. Revista Arquitectual Design n° 12 diciembre 1961 pag. 570. - The Architects"Journal, Agosto 1961. - The student Architect n2 1. 22 1962. 1.2. --CÚPULA REBAJADA DESPLEGABLE PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero. FECHA DE EJECUCIÓN; Hacia el año 1962. NIVEL DE REALIZACIÓN: Es un modelo de ensayo a una escala bastante apreciable. Fundamentalmente se construye como ensayo de nudos y movimientos. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Fué el primer intento de ejecutar mas seriamente lo definido o pensa- do en el proyecto de teatro ambulamte comentado anteriormente. Se mantiene en cada nudo la concurrencia de tres barras según tres d i — recciones del espacio y de una a otra superficie de la cúpula, y cables en ambas superficies de manera que las barras giran hasta un cierto lí* mite de desplegado consiguiendo la curvatura de la manera ya explicada. La variación que introduce está en la forma de fijar la posición de des 23 plegado, es decir, dejar inmóvil cada nudo girado: para ello sustituye el cable que se iba montando entre nudos correspondientes a ambas superficies, por una presa de fijación que se mueve sobre un vastago roscado hasta que tres dientes del extremo se encajan en los huecos entre cada dos barras. En esta misma pieza se colocan ranuras de paso para los tres cables de las superficies que pasan por cada nudo, y el tornillo que luego las fi ja. En la patente n 2 266801 se encuentra un dibujo del nudo. Es un modelo de estudio en forma de casquete esférico de unos 8 ra. de diámetro máximo y de 1,0 m. de altura. Las barras tubulares tienen una longitud entre ejes de nudos exteriores de 1,46 m. El eje del nudo central está a o,715 del extremo, es decir,hay una diferencia de longitud entre los dos segmentos de 3 cms. Este modelo está realizado a una escala bastante importante, suficiente para advertir el correcto o incorrecto funcionamiento de los componentes <»:£.,7. ^-.'V-''• i^v.-v-V" "*' í los sistemas de fijación para eliminar todo movimiento y el diseño de barras que pensó para la cúpula del proyecto del teatro. Los esfuerzos de las barras de las caras, en una cúpula de doble capa son tracciones o compresiones procedentes de solicitaciones de momentos y normales, por lo que los cables con que se diseñan no son el tipo de barra adecuado. Después de construir este modelo abandonó esta vía de investigación que en maquetas a escala mucho mas pequeña y con hilos continuos sí parece que funcionaba. DOCUMENTACIÓN EXIXTENTE: Se conserva esta maqueta - modelo, incompleta, con una circunferencia máxima del casquete menor que la original. Custodia familiar. PUBLICACIONES: *• "Cúpulas desplegables" Revista Arquitectura n° 112 25 abril 1968 pag. 15. 1,3. - CÚPULA RETICULAR TRANSPORTABLE Y DESPLEGABLE DESDE UN HELICÓPTERO. PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero. FECHA DE EJECUCIÓN: Hacia los años 1962-1963. NIVEL DE REALIZACIÓN: Modelo de ensayo de entramado, nudos y movimientos. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: •i *Pérez Pinero, ensaya una nueva disposición de barras. Ahora no hay ninguna barra en las superficies exterior e interior. Las que hay son todas de sección circular hueca, y colocadas en el "esp pesor", consiguiendo canto constante. Modifica estas barras, dándoles la mitad más de la longitud que tenían en módulos anteriores y creando otro nuevo nudo interior: antes había 3 nudos: uno en cada extremo y otro interior; y ahora hay otro más, apro 26 ximadamente estos dos últimos a parecida distancia de los extremos ( sal_ vo lo necesario para la consecución de la curvatura). Sigue colocandotres barras por nudo, en tres direcciones del espacio. Pero los arcos — que ahora quedan son muy especiales pues tienen un canto fijo H medida en la vertical entre cada dos barras inclinadas; estas varían de posición desde el nudo superior al inferior con una altura de 3/2 H. Cada nudo correspondiente a los extremos, estaba unido por un montante telescopio, es decir, una barra hueca, de altura 3/2 H con una barra in terior maciza que se desliza por ella en el movimiento de plegado-des-plegado hasta que en la estructura empaquetada, alcanzan entre los dos, la longitud de la inclinada 3/2 H. Si los cuatro enlaces de giro de cada barra inclinada, dividen a esta en tres partes iguales, al desplegarse queda una estructura reticularplana. Tiene las limitaciones de ser un modelo, y solo se estudian cualidades como la comodidad y facilidad de movimiento, que se puede efectuar el paso del mecanismo a estructura con seguridad, es decir, que el resulta do sea una estructura resistente. No se plantea ni luces, ni tipos de apoyos, ni la resistencia de piezas especiales que forman el nudo para luces y esfuerzos reales. El tipo de mecanismo se refleja en la siguiente 1:4. 27 frr? DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: 'tíPff-M%i'i' ~ Modelo, propiedad de la familia Pérez Pinero, que usó como variante - de estructuras transportables y desplégatele sobre ruedas. - Tres fotografías en la documentación que presentó el Consejo de Cole- - "Cúpula desplegables" Revista arquitectura n° 112 Abril 1968 pag. 15 | - "Estructuras reticulares". Revista L"Architecture d"Aujourdñui, n°141 diciembre 1968 "Sobre la investigación arquitectónica". "Metodo";Libro editado por la 116 promoción de la ETSAM, pag. 126, Madrid 1968. / 1.4.- TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE PROMOTOR: Desconocido, pero a juzgar por la documentación existente, no fue de motu propio; tuvo que existir alguna razón para llegar Pérez Pinero a definirlo tan detalladamente, como figura en el proyecto Plasma en planos construibles modelos anteriores. lo que ensaya en los dos Quizas la única razón para elaborarl.o ele esta forma, es que después tuviera que responder a una financión estatal para investigación, que le seria concedida', después de tan clamororsos éxitos. FECHA DE EJECUCIÓN: La fecha que figura en la pequeña memoria es 1.10.1963 NIVEL DE REALIZACIÓN: Proyecto de ejecución completo a nivel de defición de planos. Es el ünico de toda su obra que se ha encontrado de su mano, con contenido coherente. 29 Este proyecto no está realizado. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Es una cubierta plegable plana formada por vigas trianguladas planéts de canto constante se encuentran empaquetadas en el pie gado, apoyada en soporte de celosia. SE ESTUDIA EN DETALLE EN EL CAPITULO V. DOCUEMNTACION EXISTENTE: Los dieciseis planos DIN-A 1 que se muestran reducidos a medio DIN-A4 en las páginas que siguen. PUBLICACIONES: -"Teatros desmontables"Revista: INformes de la construcción n° 231- Junio 1971, pag. 37 y 38. 30 JEAJRO AMBULANTE DESfíE&SBLE Arqütiecio Enuto Ftret P™n Sm-re cal. 26001 y 213.206 SERVICIOS YRAS/PZ LES DE PLATAFORMA •lafejggesr IEAIHO AMBULANTE DEZPíECABLE Emilio fVirr fVtno St'imo Kl 266501 i 2B2.2X mam i PiAVJS CJ 1/50 ALZADO LA'EHAi AI2I0 ALZADO PSlSC/íMÍ A 1220 s ^ 3 / a X I 8 ¡3 = J3 -S ¿^ c- i - — 5 4 — i H 1 1 SilL II, 3 , ^ > _ _ - — / ^ \L v~ \ —- - - - — 1 — ¿ _ —- _ - •_—, —T í- H- —í: > í - - _ ._ _ _ 1 _ __ _ _ _ - , — —,- (->- — — ._i« „ _ -i>- (h- — i ,— — t ,—,— i i — —i 1 ' 1 ,—— i ,—,— i - < •— j_l i—, — ( , _ - - « » - —í: — — 1 • — ___—~~ —Í! 1 z \ , y / ~L¡ > \ \--p- I /ií— _ — < >-—• _ — —— _ _ . - . 11 — _ t V - < 1 _. - 1 /íl - - - - - ._ 11 1 ——— — — — —— _ — — < V /' _ L £ -t- tlt Sis í í .3;' ííi s oi t i tt PIIUM!1 SiliJI'F tiltil "vi \\ íflPTípJtp p j M'rlT'ITTTrrlTn'' H r hl i . , . , r—ífc»^. F I A ^ »», g«g.aaaagsm- M?¿^^j!ftyg^^M * s«ron 0-h-a-a,'ti TEATRO WEUIANTE D£SPL£GABLE 'AnjuHKIn Setrtno ooí Í Í Í W / Hcntes I P U M J CJIOIOS SECCIOJ í/50 2B3.206 C-II O/O/CC B-tl-15 Vrfríss _... s* t "i- -Si ' i-¡ !_..*., -,H '_r_..;~.*n_. —. =^i——a i • * " • ' — - ' ,.<*„». ,-.»J.IW. --'i 7.V ~^—\ ^ -?. ! H H W 444-1)•<? TEAJPO AMdUlANIW OESPLEOIBU AnjuTKIO Emla Ftrrr Pifno S f f l w » oa: ?66S0l f i e o i o i ¡ PUlt*} gmtim 1/50 ton=SWo CALCU.QS SeCCJÜV y H32CÍ ;•• B-í. G t i E l I t i ' H¡ U Í Í L u f T " ¡flíIEI ¡' ! , ' • }n --1 1 < II! i i i j ! ! . : , ! í : . Ilip i i í i i í i r * " iCj-íiiiir ¡ ! ..!_. - •l íüülií ¡ : i éi ; i TTi ! i i : * T ; % QUE ii ii lü i Mi Ü Si EiiirritiE! - -, • ._ ' BARRAS I J 5 o-ti-io UfíL "ARA BARRAS o-ti-ia NUOQ OETAILES 0-fl'JO CASQwia SHJ-MOUSM üíHO BAPOA S&ZIOH >ov*o -^ i • H ^EEI K ¿ EEIED13— <" —~~ JSI lEA'fíO AMBUiANlE ¡)£5PLEGA8L£ Aiountria £mna Ptrtr So» //I j i | ] Pitera 16$»0> r f93 205 PUAUS 3AWÜ VEfTKAL V CfHJCETAS CRUCETA APOYO O-fí-20 0-JJ-JO ÍU8CS f » m O AMBVIANTE DESñEMBLE Arquitecto Emib Pértr Wl«o Ssgnw pal. 2(SAa y 2S120S PÍANOS rítaos ROTULA DSSMOH. D-W3 TABLE : TACO ELÁSTICO 0-1120 UNION DESLIZANTECH330 TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE Arqulrde Emto « n i ftñrn 5 o * ™ KS. ÍS6.0OI t 2S3.1Ce «rc/rn 1 PIANOS fl-tt !/¡0 SECCIÓN B-ton O-u-IO SECCIÓN SVO» D-K-20 CAPITEL AfOTO D*-JO fó~a *& ? O. (£ rf -^ v&> jrfgEn o-a-tos (W-3S) 0-lS-íO = (D-H17/ D-K-27! D-IS!0=(O-K-32l 3 p ¡ a r S > < >¿< >*^j '<' ' ^"V. >>< ^7>?< >f<: fE4W0 AH8VLAME DESPLEGABLE EnvíB /fcw MWo D-IS-30 zfO-MS y D-H-1S) Ssmna oaí 1SSÍO r 1S3X6 0-15; DEL CAPITEL APO- D-/5-W APOTO SQPCfITE XHS30 D-IS-iO X~r5.r PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES. PROMOTOR: El Ministerio de Información y Turismo, con motivo de la exposi^ ción conmemorativa de los "25años de la paz" desde la guerra c_i vil. PECHA DE EJECUCIÓN: En el año 1964. NIVEL DE REALIZACIÓN: Proyecto de ejecución y obra terminada. La Administracción convocó el concurso para la cubrición de la Exposición en Enero de 1964, y en Mayo estaba montada en la explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid. Z9 CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Los pabellones se montan de diversas formas con módulos casi ig^a les colocados en dientes desierra en dos sentidos. No se sabe con que fin se adopta esta solución, si porque se montaba un minimo de luz interior pues los cerramientos de contorno sean casi todos opacos o sí es que se evacúan mejor rce-- jor pequeñas superficies de agua de lluvia o simplemente porque al usar en los módulos interiores un solo soporte por módulos el espacio será diáfano. La cubierta de cada modulo es una e s tructura plana asimilable a unas cuantas cerchas. SE ESTUDIA EN DETALLE EN EL CAPITULO VI.. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: Localizada: -Maqueta de dos módulos a escala aproximada 1:10, desmontable y en poder temporal de la autora de esta Tesis Doctoral, por amable colaboración de Construcciones Aeronáuticas, S.A. Esta maqueta es una versión exacta, incluso piezas de unión, de la real. Fué realizada por los alumnos de la Escuela Oficiales de CASñ. -Documental sobre estructuras desplegables: tiene filmación de montaje de la exposición, con explicaciones de Pérez Pinero. Su familia conserva una copia de esta filmación. -22 fotografias y pequeña descripción en la documentación p r e — sentada ai premio "Auguste Perret". Propiedad de la familia Pérez Pinero. -Resultados de la realización de ensayos de carga y viento en CASA, contiene tres fotografías del proceso, plano de u b i c a — ción en la explanada de los Nuevos Ministerios, E 1:1000 con exposición del número de módulos y número de soportes,.y plano de situación de los valores de las cargas de ensayo. -20 DIM-A3 con esquenas en alzado de las cotas e inclinaciones de los módulos. -11 planos con esquenas de montaje de los diversos módulos. Todos ellos propiedad del Servicio de Actos Públicos del Ministerio de Cultura. No Localizada: -Toda la documentación del proyecto de ejecución redactado, se dibujó por el servicio de delineación de CASA, que fue minucioso y extenso, según expresan operarios realizadores de la obra. Debe conservarse en CASA, pero difícilmente localizable. 41 -Algunos módulos almacenados probablemente en la XII Brigada rAcorazada, Zapadores, en Madrid. PUBLICACIONES: - "Pabellón desmontable y extensible, estructura tubular de alu minio". Revista.-Arquitectura n8 110 Febrero 1968, pag. 54 y 55. -"Notas sobre las- estructuras" Emilio Pérez Pinero. Rev. arquitectura Pag. 22 a 25 Mayo 1964.. -"Pabellón transportable de exposiciones". Revista:Arquitectura n° 112 Abril 1968 pag. 5. -"Gtructures reticuleés". Revista:L"Architecture d"Aujourd"hui n° 141 Diciembre 1968 pag. 76 a SI. -"Space estructuras". Rev.: The Architect Building News n2 15, octubre 1966. 42 ?*- *¿t • 1,6.- ESTRUCTURA RETICULAR PLANA * -i PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero. FECHA DE EJECUCIÓN: Entre los años 1964 y 1966. "^ í¿&§ <n * NIVEL DE REALIZACIÓN: Modelo de ensayo, consistente en una malla espacial de caras pía ñas. Es un modelo distinto, que aparece en la tres primeras hojas de 'Va la documentación para el "ñuguste Perret". CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: En estas fotos que se conservan se observa la secuencia de movimientos y montaje final de la estructura horizontal. 43 El paquete plegable es del mismo tipo que el de los módulos del Pabellón anterior, pero sin embargo, puede ser un modelo pos terior a él por el némero ra superior y disposición de las barras;en la ca- une nudos de ella, pero de un mismo nudo no par- ten barras en las dos direcciones ortogonales, con este tipo de estructuras es usual. Aquí la disposición es de tal forma que si a los nudos de una fila los unen barras en una dirección, visto desde cualquier lado del cuadrado. Hay que decir que los nudos que enlazan no son el corte de una cuadricula trazada paralela al contorno, sino de dos. Estas barras se montan cuando la malla esta desplegada. F-n la cara inferior no hay barras complementarias en e? piano de la cara ; hay igual número de nudos que en la supe- rior, pero hay que pensar que se montarían. No se puede precisar si ios montantes triangulan el espesor, caso de ser así, se mantiene cuando la malla esta plegada. Tiene que ser telescópico y al menos estar compuestos de dos barras de igus1 longitud. Las barras inclinadas dispuestas formando "X" unen nudos de am-.-r bas caras'; tienen tres por barra, dos de los extremos y uno central, equidistando de ambos extremos. 44 DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: La maqueta que aparece en la fotografía no se conserva, solo existen las 4 fotos de la docuemntacion presentada en la U.I.A. PUBLICACIONES: -"Teatros desmontables". Revista;Informes de la Contracción n2 231 JUnio 1971 pag. 34. 45 1,7.- DIVERSOS ESTUDIOS DE CÚPULAS PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero. FECHA DE EJECUCIÓN: Hacia el año 1.965 -•-:• /-A - NIVEL DE REALIZACIÓN: Son modelos de ensayo de cúpulas esféricas reticuladas, formadas por una sola capa de barras de acero. Para ser modelos tienen unas dimensiones generosas. Cada una de ellas se ha vuelto a reciclar para otros usos: una plaza pública, y parte del techo de una sala de baile. Ambos modelos son el punto de partida de una serie de otros pos teriores que se estudian extensamente. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Los dos modelos no llegan a ser media esfera. La retícula es triangular realizada con barras de acero de sección hueca, cuadrada, en un caso, y con perfil laminado en T en el otro. •• Y¿?r&'<*FZil= 46 En arabos modelos el proceso de subdivisión de la esfera se realiza a partir de un icosaedro inscrito en ella. Cada lado del triángulo esférico que tiene de proyección un triángulo del ico saedro, se subdivide en un numero par de partes. No efectúa el montaje barra a barra, triángulo a triangulo, sino que lo agrupa en exágonos. Las uniones entre exágonos eran atornilladas en el mismo plano de la superficie esférica, soldando cada tres barras de exágono a una pieza en forma de medio cilindro hueco. Dos medios cilin dros de estos se atornillaban por sus lados planos formando la unión un cilindro completo. Era una unión incómoda de manejar y más adelante se verá el nuevo diseño. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: Se conservan parte de estos dos modelos. Uno como soporte de enredadera en una plaza publica de Calasparra (Murcia) y otro como cubierta de una sala de baile apoyada en otra superficie curva reticulada. PUBLICACIONES: - "Cúpula reticulares". Revista: Arquitectura n2 112 Abril 1.968 pag. 6 y 10 47 1,8.- TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA PROMOTOR: Antiguo Ministerio de Información y Turismo. Es un teatro de 1.800 butacas, para representar los festivales de verano sub. vencionados por este Ministerio. FECHA DE EJECUCIÓN: Durante el verano de 1.966 NIVEL DE REALIZACIÓN: Obra terminada, propiedad de la Administración del Estado. Fue realizada por el propio Peres Pinero como técnico y contratista, en el taller que creo en Calasparra (Murcia) CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Es un teatro portátil con escenario y patio de butacas montado sobre una estructura reticular desmontable. la a la ultima hay dos metros de desnivel. 48 De la primera fi- La cubierta esta formada por dos casquetes de esfera que se cortan en un circulo paralelo. Son dos trozos iguales de icosaedro esférico triangulado, concretamente comprenden cinco caras{tria.n gulos) de los veinte, los que forman la pirámide pentagonal supe_ ricr. No obstante al borde de apoyo lo forman dos circuios paralelos que se cortan en una cuerda, borde no coinciden con una li_ nea continua de la geometría del icosaedro. La condición de transportabilidad afecta a las butacas y a la - plataforma, las butacas se fabrican en filas enteras de doce unidades plegables. SE ESTUDIA CON DETALLE EN LOS CAPÍTULOS II Y III DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: Existe la levantada en planes por un aparejador del servicio de Actos Públicos, actualmente del Ministerio de Cultura, que consta de: -Planta de replanteo E 1:100. -Planta y sección para colocación de escena y butacas, solución A.E 1:200. -Planta y sección para colocación de escena y butacas. Solución B.E 1:2 -Esquina y montaje de los módulos. Referente a los ocupantes. 49 -Distrioución de lonas. De su mano eKisten un par de croquis DIN-A3 con estudios de vis_i bilidad. La Administracción no conserva este teatro. En 1987 era propiedad del Ayuntamiento de L'Hospitalet de Llobregat. PUBLICACIONES: -"Cúpulas reticulares desmontables". Revista:Arquitectura n2 112 Abril 1968 pag. 6, 1 y 12. -"Teatro desmontables" Revista¡Informes de la Construcción nO 231, Junio 1971 pag. 40 y 41. -Documentación para el premio "Augusto Perret" que consta de ocho fotografías. -MARGARIT, J./ BUXADE, C . "Las mallas especiales de la arquitectura" pag. 60 y 61. Gustavo Gili. Barcelona 1972. __"Space Structuras" Revista: the Architect & Building News n2 15 octubre 1966. 50 1.9.- CÚPULA RETICULAR DE DIRECTRIZ ESFÉRICA: SALA DE PROYECCIÓN "CINERAMA". PROMOTOR: Es el mismo Emilio Pérez Pinero. La conservaba de su propiedad, alquilando el uso, transporte y montaje para proyección de pelí cúlas por medios especiales. FECHA DE EJECUCIÓN: Durante el año 1967. NIVEL DE REALIZACIÓN: Es una obra terminada. Se construye en el taller que montó en Calasparra. Es la cuarta estructura que ejecuta,contando los dos modelos de ensayo de que hablamos en (1,7) . Para el uso de la sala de cine, tenia una capacidad de 1.200 sillas. Actualmente se usa como cubrición de una pista de circo; la pro- 51 piedad actual es del "Circo de los Muchachos" que tienen su sede en Amposta (Orense) . CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: La parte fundamental es la cubierta en forma de media esfera. La definición geométrica comprende medio isosaedro esférico trian guiado de la misma forma que en el Teatro Desmontable anterior. Como en él, se cubre con unas simples lomas cortadas adecuadamente . SE:: ESTUDIA CON DETALLE EN: LOS CAPÍTULOS II Y III. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: -Existen planos con definición a nivel de anteproyectos, en el Colegio de Arquitectos de Murcia. 1- Planta con el patio de butacas y pantalla, secciones según un meridiano de la clave con estudio de visibilidad y colocación de pantalla, E 1 :100. 2- Planta cubierta. Alzado de acceso, E 1:94 Aparece la cúpula con retícula triangular pero no procedente de la subdivisión de las caras del icosaedro, que es como fue ejecu tado. Simplemente se secciona por planos en tres direcciones de manera que en todas las intersecciones (nudos) hay seis vértices 52 de triángulos. Esto nos dice como pensó la descomposición de la superficie esférica, pero per la complejidad de definición y ejecución no la ll¡s vó a cabo. -Documentación premio "Auguste Perret". Contiene seis fotografías del montaje y una de la maqueta, más los dos planos antes descritos. -Cinco planos para corte y confección de la lona de cubricción de posesión de su familia. PUBLICACIONES: -Cúpula reticular de directriz esférica". Revista:Arquitectura n° 112, Abril 1968 pag. 8, 9 y 13. - "Teatros desmontables" Revista:Informes de la Construcción n9 231, Junio 1971, pag- 38 r 40. - "Método". Publicación de la 116 promoción de la ETSAM. Pag. 124 125 y 127. 53 1.10.- CÚPULA RETICULAR DESFLEGABLE PARA GRANDES LUCES PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero FECHA DE EJECUCIÓN: El año probable fue 1.966, pues lo presento en la "Conferencia Internacional sobre Estructuras tridimensionales, celebrada en Londres en Septiembre de 1.966. NIVEL DE REALIZACIÓN: Es un modelo de estudio para el ensayo de soluciones,, fundamentalmente del movimiento de nudos, diseño de plegado y embalaje de los diversos trozos que la componen. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Es un modelo en forma de cúpula de unos. 2.CLm, de diámetro, hecho para comprobar sus características con vista a la construcción de una cúpula de 60 metros. El modelo esta formado por siete partes, seis de borde y uno central, ejecutados por separado, formando paquetes plegados distintos. nudos comunes para formar la cúpula. 54 Se montan uniendo sus Se pensó con estas par- tes porgue caso de ser de 60 metros de diámetro en un solo paqu& te de barras resultarla inmanejable. La forma exterior es la misma que la desarrollada para el Concurso de la u.I.A en 1961. En este modelo nos situamos casi al final de la evolución en cuan to a los modelos desplegables se refiere. Desde la forma Inicial curva de barras tubulares y cables, llega a esta, con la misma intención: desplegable y sin tener que a ñ a — dir barras una vez desplegada, aunque haya que seguir fijando los nudos uno a uno, para hacerlos estructura. Entre medias ha diseñado mallas planas, siempre con las barras in cunadas conteniendo tres (o cuatro) ejes de giro, pero con la - idea, fija en la cúpula del concurso de 1961 , las planas eran un tema menor. SE ESTUDIA EN DETALLE EN LOS CAPÍTULOS VIII Y X DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: No existen planos de ejecución. La familia Pérez Pinero conserva tres de las siete partes que componen el módulo. Existen nueve fotografías en la docuemntación "Augusto Perret" y es el modelo más generosamente reproducido en las revistas especializadas . 55 PUBLICACIONES: - "A survey of recent three dimensional structures" Z.S. MAKOWSKI. Revista: Architectual Desing n° Enero 1966, pag. 29 y 39. Cúpula reticular desplegable para grandes luces". Revista: Arquitectura n° 112, Abril 1968 pag. 16, 17 y 18. -"Estructuras reticulares". Revista: L'Architecture d~Aujourd'hui n9 141, Diciembre 1968 pag. 80 y 81. -"Cúpula desplegable integral". Revista: Nueva Forma Junio 1970, pag. 58 y 59. -"Cúpula reticular parabólica de grandes luces" Revista: Hogar y Arquitectura nE 89 Julio 1970, pag. 84 y 89. -"Método" Publicación de la 116 Promoción de la ETSAM, pag. 120, a 127. -MARGARIT J./ BUXADE C. Las mallas espaciales en Arquitectura pag. 61. Ed. Gustavo Gili. Barcelona 1972. - "Space structures" Revista:the Architec & Building Neus n° 15 Octubre 1966. - "Conference des structures Spatiales a Lenches" L'Architecture d"Aujourd~húi n.2 128. - "'Space structures,pag.4'& short review of therir development" Z.S. MAKOWSKI 56 1.11.- CUBIERTA PARA EXCAVACIONES EN EL MUSEO PALEO: CRISTIANO DE TARRAGONA. PROMOTOR: La Dirección General de Bellas Artes del Ministerio de Cultura. FECHA DE EJECUCIÓN: Entre los años 1970 a 1972 NIVEL DE REALIZACIÓN: Es una obra acabada. Según las fuentes consultadas no parece probable que existiera proyecto, aunque generalmente es una documentación que la Administración pide para aprobar el gasto. Hay reproducciones de planos en publicaciones a nivel de anteproyecto. Probablemente no desarrollo toda la, documentación usual, porque Emilio Pérez Pinero actuó de técnico y contratista. La obra es simplemente un techo para proteger de la lluvia unas importantes excavaciones. Solo consta de material de cubierta (fibrocemento) apoyado sobre casquetes esféricos reticulados de una sola capa, que cubren plantas rectangulares de 15 x 11 metros 57 En el suelo solo se implantan las zapatas de la poca cantidad de pilares- El agua tiene caida libre excepto cuando se unen por más de un lado, que se colocan los imprescindibles elementos para su recogidas. SE ESTUDIA DETALLADAMENTE EN EL CAPITULO íII. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: En la revista Arquitectura aparece reproducido un plano paro ai igual que las otras obras, no se encuentran en el archivo familiar. La única documentación son las cuatro fotografías efectuadas durante la construcción, que incluye la documentación "Augusto Perret", además de la obra ejecutada. PUBLICACIONES: - "Cubierta en el Museo Paleocristiano de Tarragona" Revista Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972 pag. 20 y 21. 58 1 . 1 2 , - CÚPULA RETICULAR POLIÉDRICA F-12 PARA EL MUSEO DALÍ EN FIGUERAS. PROMOTOR: Salvador Dalí con cargo a la Dirección General de Arquitectura del antiguo Ministerio de la Vivienda. Dalí quiso tener una cúpula como la que habla visto a Fuller en EE.UU. y se lo expresó al Director General de Arquitecturalabor de Pérez Pinero. Este conocía la Dalí quedo encantado cuando el propio Fuller ahoga por Emilio, al que conoció en el Congreso de la U-I.A. en 1961. Lo imagen que Dalí quiso lograr, cúpula luciese como un gigantesco diamente tallado que" la en el per- fil de la ciudad de Figueras. FECHA DE EJECUCIÓN: Entre los años 1970-1972- Murió antes de verla completamente terminada. Actuaba también en este caso como dirección técni- ca y contratista. NIVEL DE REALIZACIÓN: Obra acabada. Es una parte especifica de una obra más amplia: la correspondiente a la adaptación del Teatro Municipal de Figueras, semidestruido, para Museo Dalí. 59 También los arquitec- tos fueron distintos: mientras que de la obra general se encargaban los mismos que acondicionaron el palacio que alberga el Museo Picasso en Barcelona, la cubrición del escenario del teatro con una cúpula, lo realiza Pérez Pinero. Se ha convertido en un elemento característico de Figueras. SE ESTUDIA DETALLADAMENTE EN LDS.CAF2MJL0S.il Y III. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: - La obra ejecutada, en Figueras (Gerona). - Memoria descriptiva, presupuesto y nueve planos. Se encuentra en el archivo del Departamento de Supervisión de Proyectos de la Dirección General de Arquitectura y Vivienda del MOPU y co rresponden a la documentación entregada para aprobación del proyecto y el gasto. También existe, memoria, plano y presu- puesto de mejoras introducidas. El contenido de la documentación gráfica es el siguiente : 1.- Plano y alzado de la cúpula y el casquete con los muros de apoyo. 2.- Modelos de reticulado E. 1:66,66 Planta general de la estructura de la cúpula E 1:20. (No se corresponde con el objeto real) 3.- Planta de la determinación de la lamina superior sobre la triangulación de la esfera E 1:20. (No se corresponde con la realidad) 4.- Determinación de los nudos de la estructura sobre la triari gulación de la esfera. 60 5.- Planta de cubierta de la hoja superior y detalle de cubier_ ta (No corresponde con el objeto real). 6.- 7,- y 8.- Planos en que se desarrolla una hipótesis de cá_l culo, explicada en uno de ellos, nudo a nudo. Pero no co- rresponden a la cúpula de Figueras sino a otra similar, como lo explica en la Memoria del proyecto. 9.- Plano con modificaciones y mejoras; contiene detalles de apoyo y anclaje de la cúpula y casquete a los muros de car ga del teatro. PUBLICACIONES : - "Cúpula para el Museo Dali" Revista: Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972. pag. 22. - "Emilio Pérez Pinero 1939-1972" por Carlos de Miguel Revista: L'Architecture d'ñujourd'hui n2 164, Octubre-Noviembre 1972, pag. V / 61 1 , 1 3 . - VIDRIERA HIPERCUBICA DESPLEGABLE PROMOTOR: El pintor Salvador Dalí. El modelo de funcionamiento lo estudio Emilio Pérez Pinero, hacia 1965. La decisión de efectuar una vidriera la debieron tomar conjuntamente arquitecto y pintor. FECHA DE EJECUCIÓN: Año 1971. NIVEL DE REALIZACIÓN: Anteproyecto y maqueta, a 1/3 de la escala real. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Esto se pensó para cerrar la embocadura de la escena en el teatro de Figueras, una estructura portante de vidrieras pintada por Dalí. La vidriera se plegaba, quedando un cubo, y de des- plegaba hasta tapar la embocadura en forma de arco de medio punto, de 18 metros de altura por 10 de ancho. La estructura portante se ha - visto ya en la cubrición del Pa bellón transportable para exposiciones de 1964. Las diferencias son : solo la constituyen las barras tubulares inclinadas que unen nudos de cada cara. en las caras paralelas. 62 No hay ninguna barra Sobre los nudos de una cara, se mon- tan soportes análogos para recibir las vidrieras. Desplegada define un plano vertical. Este se realiza de forma automática, tirando de cuatro puntos situados aproximadamente al centro de los ejes de simetría, materializados por una cruz. Es accionado por un motor y lleva incorporados dos relojes para delimitar los tiempos, en posición plegada y desplegada. SE ESTUDIA CON DETALLE EN EL CAPITULO VII DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: - Maqueta a escala 1:3 expuesta y funcionando en el Museo Dalí, en Figueras. - Croquis de los mecanismos a mano alzada.(Ver anexo). PUBLICACIONES: - "Vidriera hipercübica desplegable". Revista: Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972 pag. 23 y 24 - "Emilio Pérez Pinero 1.936-1.972! Revista-. L 'Architecture d 'Aujourd'hui , n2 162 , Octubre-Noviembre 1972, pag. V. 63 1 . 1 4 . - MODULO DESPLEGABLE AUTOMÁTICO PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero. FECHA DE EJECUCIÓN: Hacia el año 1.970. NIVEL DE REALIZACIÓN: Es un modelo de estudio que realizó para intentar llegar al automatismo total, es decir, además de no tener que añadir ninguna barra a la estructura desplegada, conseguir que se desplegara sola'. Los usos que le preveía eran muy especiales: antenas de satélites espaciales y colocación de invernaderos en la luna. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: La motivación para realizar este modelo de investigación es la que narra con detalle Félix Candela, referente a sus conversaciones con un biólogo y un botánico que estudiaban la posibilidad de colocar una invernadero en la luna (ver Biográfia) . La disposición de las barras es la misma que empleó en la (1.10). 64 Cúpula reticular para grandes luces": nudos en dos superficies curvas media con barras en la superficie exterior y sin barras en las superficies interior. Para que pueda desplegarse solo, la diferencia con 10/0 está en la colocación de dispositivos que contienen un muelle alrededor de una barra vertical con tope. Se disponen en cada tres nudos de la malla exagonal situada en la superficie exterior. Con este modelo se cierra la investigación sobre estructuras espaciales desplegables. No llegó a poder ejecutar ninguna obra real y perdimos el diseño de los nudos resultante del cambio de escala. -SE VUELVE SOBRE EL EN EL CAPITULÓ X. DOCEMENTACION EXISTENTE: -El contenido de la documentación "Auguste Perret", consis— tente en tres fotografías. -El modelo en posesión de su familia. 65 1,15.- TIENDA DE CAMPAÑA PROMOTOR: Emilio Pérez Pinero. FECHA DE EJECUCIÓN: Año 1971. NIVEL DE REALIZACIÓN. Es un modelo de tienda de campaña desplegable, a escala no ma yor de 1/3. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: El modelo consiste en el armazón metálico de una tienda de - campaña plegable, con un desplegado automático. Tiene el inte rior diáfano. Los seis soportes son los vértices de un exágono. 66 El mecanismo utilizado para que su despliegue sea automático es el definido en el módulo comentado anteriormente, colocado en el centro del exágono. Los nudos se fijaran una vez desple gado, impidiendo todo movimiento. También se colocan barras uniendo los nudos de apoyo, es decir, se matrializaba el exáe* gono del piso. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: El modelo en posesión de la familia. 67 1.16.- CUBRICIÓN DEL VELÓDROMO ANOETA EN SAN SEBASTIAN PROMOTOR: Fue un concurso de proyecto y construcción/ promovido por el Excmo. Ayuntamiento de San Sebastián. FECHA DE EJECUCIÓN: Año 1972. NIVEL DE REALIZACIÓN: Maquetas, planos de definición1general y memoria descriptiva correspondiente a la documentación presentada al concurso. No se llegó a realizar. El concurso fue fallado poco antes — de ocurrir el accidente que le costaría la vida a Pérez Piñe ro, y probablemente antes de la noticia sobre la concesión del premio "Auguste Perret". Con estos dos sucesos, hubo las suficientes presiones para que se estudiara el anteproyecto realizado por Pérez Pinero. Se encarga de ello a la empresa a la que estaba ligada la solución ganadora y al arquitecto 68 Félix Candela. Las razones que cuenta este último, por lo que no llegaron a ejecutarlo, son: que el sistema de desagüe de las cubiertas parciales no tenía el funcionamiento deseable, y la solución estructural era por lo menos tan competitiva co mo ia que se adjudicó en primer lugar. CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES: Se plantea una solución con la superficie mínima de alzado, ~ casi todo es cubierta y con la intención expresa de no copiar otra realizada. La estructura consiste en una vieja aspiración, reticular la esfera sin ayuda de poliedros. Su forma de casquete de esfera de 30 a 40 metros de diámetro y 9 metros de altura máxima, (incluidos los soportes). Se realiza en acero, pero no explica como sería la sección de las barras, ni su longitud, ni el tipo de nudos, ni su forma de unión. El casquete se corta donde interesa y los bordes contienen terminaciones de nudo y de barras de magnitudes variables, in distintamente. Recoge todos estos finales con una viga de bor de, que tampoco aparece comentada. Describe con más detalle el número de puntos de apoyo, entre soportes y apoyos directos (el terreno está en desnivel): Cada dos soportes llegan a un punto de cimentación, realizándoos se esta con pilotaje. Propone dos tipos de forma y material de cubrición: una, montando una estructura auxiliar sobre los exágonos y triángulos que forman los arcos, de forma que quedan pirámides de base exágonal y tetraedros; coloca encima material de cubrición convencional , En el diseño de la otra toma un exágono y dos triángulos: queda un paralelogramo para el que se diseña un paraboloide, quedando paños verticales, por lo que conseguía iluminar todo el casquete en su interior. EL RETICULADO COMENTADO APARECE AL FINAL DEL CAPITULO III. Su diseño es semejante a la cubrición de la piscina de Dracy de Stephne du Cháteau. DOCUMENTACIÓN EXISTENTE: Ninguna. La información más abundante se encuentra en la p u blicación reseñada en lo que sigue, donde se reproduce m e m o ria, dos planos y fotografías de las maquetas de estructura y aspesto general. PUBLICACIONES: - "Anteproyecto de cubrición de velódromo Auseta de San Sebas 70 tián". Revista: Arquitectura n° 162-163. Julio-Agosto 1972 pag. 16 a 19. 71 DOCUMENTACIÓN EXISTENTE ESCRITA POR EMILIO PÉREZ PINERO: - Patente n2 266.801 de 1961 sobre "Estructura reticular estérea plegable". Ver anexo. - Patente n° 283.206 de 1962, sobre "Mejora introducidas en el objeto de ""la patente anterior, 266.801". Ver anexo. - Patente n° 311.901 de 1965, sobre "Sisteraa de montaje de una estruc tura resistente esférica triangulada". Ver anexo. - Patente n° 397.963 de 1971, sobre "Sistema de pianos articulados cubriendo una estructura reticular estérea desplegable".Ver anexo. - "Material, estructura, forma". Revista: Hogar y Arquitectura n2 40 pag. 25 a 30. 1962 - "Notas sobre las estructuras" Revista: Arquitectura, Mayo 1964, pag. 22 y 23. - "Estructuras reticuladas" Revista: Arquitectura n2 112. 1968 - "Cubiertas de grandes espacios" Revista: Hogar y arquitectura n° 101 pag. 82 a 85. ?2 1972. EN RESUMEN, la documentación existente es muy desigual y a veces casi simbólica. La documentación escrita más extensa corresponde al contenido de las tres patentes de estructuras y de la patente de c u b r i — ción plegable. La documentación gráfica coherente corresponde a un solo proyecto. La fuente documental más abundante y de fa_ cil consulta la constituyen las fotografías de revistas acompa_ nadas de textos de pie de foto, pero es la información menos rigurosa. Hay un total de cinco obras realizadas, cuatro cúpulas esféricas y una estructura plana plegable. De ellas dos son fijas, pero las demás, (y muchos modelos), al contrario que en c u a l — quier otra construcción, su uso no solo no es pemanente, sino muy esporádico o nulo por no conocer sus dueños . la informa ción necesaria de montaje. No hay documentación gráfica ni escrita intrisecamente, solo su realidad, afortunadamente poco compleja en el sentido de es_ tar hecha por pocos componentes distintos y todos a la vista. Todo lo que dejó, excepto el "Pabellón..." construido en CASA, sallo casi físicamente de sus manos: maquetas, obras completas y algunas herramientas necesarias. Pudo ser en parte obligado, por mantener el secreto bajo patente y la dificultad en el entendimiento de planos del personal auxiliar con que fácilmente podia contar. Realmente estas obras fue_ 7Z iÍQrr posibles porque prácticamente solo requirió un oficio de la construcción. En lo que sigue se estudian los trabajos de mayor interés, dando información más completa de esas obras, analizando el funcionamiento de sus componentes y aportando variantesy otras veces soluciones que completan el grupo de tipos bajo los mismos patrones de diseño. 74 MADRID. 28 Septiembre 1961. Pag. 9 COMO DOCUMENTACIÓN COMPLEMENTARIA SE ADJUNTA UN Í N D I C E DE DIARIOS, EN LOS QUE SE RECOGEN ENTREVISTAS Y REFERENCIAS DE EMILIO PÉREZ PIÑERO, . ENTRE 1961 Y 1967. Revista TIEMPO NUEVO. n° 91 Septiembre 1961 TÉCNICA E INVENCIÓN. n° 87 LA VERDAD de Murcia. 16 Diciembre 1961 MADRID. 21 Diciembre 1961. Pag. 15 PUEBLO. 21 Diciembre-1961. Pag. 15 - HOJA DEL LUNES de Murcia 17 Julio 1961. Pag. 6 LA VERDAD de Murcia. 31 Diciembre 1961. Pag.11 - YA. 17 Julio 1961. Pag. 31 EL ALCÁZAR. 1 Mayo 1962 '- NOTICIERO UNIVERSAL, 17 Julio 1961. Pag. 10 MADRID. 17 Abril 1962. Pag. 9 - MADRID. 17 Julio 1961. Pag. 22 PUEBLO. 4 Abril 1962. Pag. 15 - LA VANGUARDIA ESPAÑOLA. 18 Julio 1961. Pag. 9 ABC. 23 Marzo 1962. Pag. 57 - ABC. 18 Julio 1961. Pag. 70 ARRIBA. 23 Marzo 1962. Pag. 8 - YA. 23 Julio 1961. YA. 22 Marzo 1962. Pag. 6 - YA. 24 Julio 1961 MADRID. 22 Marzo 1962. Pag. 2 - LA VERDAD de Murcia. 26 Julio 1961. Pag. 8 LA VOZ DE CASTILLA. 16 Marzo 1962 - ARRIBA. 30 Julio 1961. Suplemento dominical PUEBLO. 15 Marzo 1962. Pag. 16 - MADRID. 31 Julio 1961 ABC. 1 Febrero 1962. Pag. 46 - ÍNDICE DE ARTES Y LETRAS. Agosto. 1961. Publicación mensual ARRIBA. 14 Marzo 1964. Pag. 15 - LA VERDAD de Murcia. 9 de Agosto 1961. Pag. 15 YA. 15 Marzo 1964. - DIARIO JAÉN. 10 Agosto 1961 PUEBLO. 17 Marzo 1964 75 - YA. 20 Marzo 1964. Pag. 17 ABC. 1 Agosto 1966 - YA 1 Mayo 1964. Pag. 1§ a 11 YA. 1 Agosto. 1966 - ARRIBA. 2 Mayo 1964 MADRID. 1 Agosto 1966 - INFORMACIONES. 2 Mayo 1964 LA NOCHE. 1 Agosto 1966 - YA. 2 Mayo 1964 PUEBLO. 1 Agosto 1966 - YA. 2 Mayo 1964- HOJA DEL LUNES de La Coruña. 1 Agosto 1966 - ABC. 2 Mayo 1964 LA VERDAD de Murcia. 28 Junio 1966 - EL DIARIO VASCO. 6 Agosto 1964 LA VOZ DE ESPAÑA. 28 Julio 1967 - LA VOZ DE ESPAÑA. 19 Agosto 1964 EL DIARIO VASCO. 28 Julio 1967 - UNIDAD. 19 Agosto 1964 LA VOZ DE ESPAÑA. 30 Julio 1967 - EL DIARIO VASCO. 19 Agosto 1964 EL DIARIO VASCO. 30 Julio 1967 - EL IDEAL GALLEGO. 7 Agosto 1966 - EL ALCÁZAR. 21 Abril 1965 - ABC. 10 Diciembre 1966 - YA. 10 Diciembre 1966 - ARRIBA. 10 Diciembre 1966 - EL ALCÁZAR. 8 Diciembre 1966 - LA NOCHE DE GALICIA. 4 Agosto 1966 - LA VOZ DE GALICIA. 2 Agosto 1966 - EL IDEAL GALLEGO. 2 Agosto 1966 PARTE 1A: CÚPULAS TRIANGULADAS DESMONTABLES Y FIJAS INTRODUCCIÓN En esta parte se va a analizar el grupo de estructuras que realizó Emilio Pérez Pinero, definidas co mo fijas o fácilmente desmontables y que provienen de la manipulación de un poliedro regular: el icosa edro. En este estudio se razona cual es el proceso seguido para su total definición, y se emplea pasa dar todos los datos necesarios como si fueran a ser construidas; se documentará gráficamente cada una de ellas. / Para empezar vamos a transcribir las definiciones — del propio proyectista, dadas a través de sus escri tos más extensos: las definiciones de las patentes. La patente nQ 311.901 de Emilio Pérez Pinero, corresponde al reticulado y montaje de estructuras es fericas trianguladas de barras. Nos acerca al modelo de división elegido en los siguientes párrafos: En la segunda página: "Las dimensiones y formas de los elementos de la estructura 78 / se obtienen mediante la proyección de las caras de un poliedro, que puede ser por ejemplo, un icosaedro, o también un poliedro resultante de trucar los vértices de un poliedro regular, sobre una superficie esférica base, de forma que ésta queda dividida mediante arcos de círculo mayor, para obtener un poliedro esférico. Las caras de dicho poliedro esférico se cortan mediante' haces de planos, preferentemente tres o cuatro haces de planos, que de acuerdo con unas condiciones matemáticas apropiadas determinan una triangulación tal que los círculos de arco mayor - que marcan la disposición y direcciones de las barras hace que estas varíen lo menos posible, es decir, que exista el me ñor número de variantes posible, en dirección y forma, con el fin de reducir al mínimo el costo de fabricación y que las ba_ rras resultantes trabajen mecánicamente dentro de unos coeficientes muy semejantes". En la p á g i n a sexta: "Para obtener la disposición de las barras componentes de la estructura se corta dicha superficie esférica por tres haces de planos, de manera que dividan cada arco lateral de cada triángulo esférico en un número de partes que sea múltiplo de dos o de tres, o de dos y tres simultáneamente, en el caso que nos ocupa este número de seis y doce. 79 Los ángulos entre planos de cada haz han de ser tales que el número de barras distintas sea el mínimo así como la forma de las divisiones triangulares...." En la página 7: "Las condiciones de semejanza de las barras y formas antes citadas se obtienen, en términos generales, haciendo que los arcos en que quedan divididos los lados de los triángulos esféricos equiláteros, subtienden ángulos distintos, que disminuyen a medida que las divisiones se acercan a los vértices. En particular 4 Q 28' 3"80 5° 3r52"76 En caso de doce divisiones son de: ; 4 Q 51* 25"14 ;5 o 41* 34"85 ; 5® 13* 14"65 ; 5 o 52* 51"80 siendo también iguales dos a dos, simétricamente las seis res tantes." Desde principios de siglo se está procediendo a resolver estructuras reticuladas según superficies (1) "An history of the developement of domes and a review of crecent achievements world-wide" Z.S.Makowski Ar.alysis, design and construcción of braced domes, pgs: 1 a 85 Granada Publishing. London 1984 esféricas con barras de acero, a partir de distintos tipos de reticulado. Baste recordar que las pa tentes de las cúpulas tipo Schwedler y "lamella" son de la primera década del siglo-' . En la biblio 80 grafía citada se puede ver, qunque resumibles en unas pocas familias, la gran variedad de procedi— mientos con reticulados no siempre triangulados. La idea de reticular una esfera a partir de pólicedros regulares inscritos en ella, o más concreta— mente empleado el poliedro que de entrada da más subdivisiones, el icosaedro, fue un recurso emplea_ do en la linea de investigación principal en la op_ tica alemana Cari Zeiss: Estaban desarrollando el proyectormóvil y necesitaban una superficie esferal ca para monstrar a una audiencia numerosa el movimiento de los astros en la bóveda celeste, es d e — cir, el primer planetario. Para el. tamaño del espa ció disponían en el centro de la esfera, 32 proyec tos que iluminaban 32 campos fijos de estrellas. Conseguían 32 áreas iguales tomando los vértices de un icosaedro (T2 pentágonos y 20 exágonos de ca sa igual área). Para hacerlos construibles, triangulaban cada polí_ gono y a su vez cada triángulo. Los ópticos c o n s — truyeron media esfera de barras de acero con las uniones que se muestran (y una precisión de 2 milé 81 simas) en la azotea de la fábrica de Jena en 1922. Del resto de la obra {cálculo y construcción) se encargaron Franz Dischinguer y Ulrich Finsterwalder El esqueleto de los ópticos sirvió de cimbra al en cofrado de madera sobre el que proyectaron h o r m i — gón, pues sobre la azotea se .colocó una solución de poco peso. La estructura resistente era la lámi na de hormigón. Con los años 50 aparece el icosaedro de la mano de R.B. Fuller. La patente es de 29 de Junio de 1954, y se aporta una reticulación de las caras del icosaedro con lí neas "paralelas" a las alturas del triángulo. La adjetivación de "geodésica" le corresponde. No usó Fuller solamente este proceso de reticulado. En la cúpula "Radon" y en la cara exterior del pabellón USA en la EXPO de Montreal de 1967, emplea un reti culado del triangulo con líneas "paralelas" a las caras, semejante a la de Zeiss y a las que emplea Pérez Pinero. Puede no ser muy erróneo pensar de los ópticos pu82 June 29, 1954 TtlKl D M . l í . 1931 R. a. F U L L E R 2,682,235 dieron tomar las ideas de los astrónomos, empeñados en situar los cuerpos celestes. • S>**t*-¿b*<t 1 De cualquier forma, corresponde al icosaedro el es tudio mas detallado y más interesante, por ser cía ramente muy repetitivo, por la poca dispersión de los valores de las longitudes de. barras, aunque en cúpulas grandes la triangulación fuera compleja. Fuller defendía por esto una más uniforme distribu ción de tensiones: Aunque paralelamente (o algo posteriores) se realizaron otros estudios de reticulados de esos mismos criterios, como por ejemplo los realizados con arcos de meridiano continuos en tres direcciones, o variaciones trianguladas del tipo "lamella", la correspondientes al icosaedro esférico alcanzó gran difusión y popularidad, en gran parte por el esfuerzo de Fuller en su consoli dación, y se fueron aportando diversos tipos de re ticulado del triángulo equilátero base del icosaedro . %/. I'-'i f w , ATTOXNCT La patente que estamos comentando de Emilio Pérez Pinero es de 15 de Abril de 1965, (probablemente no conocía los estudios alemanes, y el icosaedro - Váyina l de la patente americana de H. B. Fuller. 83 de Jena fué un hecho aislado entre los posterioresplanetarios), pero bien podria conocer estudios de Fuller y con toda seguridad muchas de las re alizaciones a pesar de estar bajo patente, la difi cuitad de estar en otro idioma y la escasa c a n t i — dad de "interesados" en el país como para que fuera fácil y frecuente el intercambio de información. 84 CAPITULO I I : RETICULACIÓN DE LA ESFERA A PARTIR DE UN ICOSAEDRO 2.1 - ICOSAEDRO: LADO. VÉRTICES Primero vamos a hallar todos los parámetros sinificativos para poder definir mejor el problema: ángulo que abarca la cuerda-la do del icosaedro, valor del lado en función del radio, coorde- nadas de los vértices y algunos otros. Lamamos h a la altura de las pirámides con base pentagonal re- gular (que contienen 5 triángulos equiláteros cada una), y h , a la altura de la corona entre ambas (que contiene 10 triángulos equiláteros). Dando una sección a la esfera por un plano que contiene al eje OZ con el vértice A, y otro vértice del icosaedro, es decir, conteniendo una arista de la pirámide, tenemos: c = Rcosa ; h = 2Rcosa T h P T = R - Rcosa ; h = R(l - cosa) P f-y — = Rsen— , —„•—„••• ; L = R /2(l-cosa) Si determinamos el valor de a, tenemos los anteriores datos solo h-1 , MERIDIANO en función del radio R de la esfera. También podremos conocer las coordenadas de los 20 vértices, que son puntos de la esfera 85 circunscrita. Para determinar a, partimos de una de las pirámides: tienen todas las aristas de la misma longitud L, y la base íes un pentágc) no regular inscrito en un paralelo de radio r. ' ex r = Leos™ r = L 1 2 senct/5 y también L 1 2 sen 36 Igualando ambas expresiones L eos ~ = ^ ^ r o = 1/ 2 x 0,59 = 0,85 2 ¿ sen Jo a = 2 a r c c o s 0,85 = 63,434948° = 63,43° También de l a misma f i g u r a , tenemos t g3 a = t g 63,43? = —^7- = 2 ^ • .h / 2 c ; r = h c es decir, cualquier sección proyectada de la corona, está en la proporción de 2 a 1. ü h_ = R(l - eos = ftll C U S 63,43 O J i l J ) = R(l - ¿- ) p h = 2R - 2h = 4r c p v5 t, = 2 R sert = 2R sen 31,7° = 1,051 R 2,3r ~ COORDENADAS DE LOS VÉRTICES A=l 0 0 R BH2 R •sen63,43°sen54°/ -R sen63,43°cos54°, R cos63,43° CH3 R sen63,43°sen54°/ R sen63,43°cos54?, R cos63,43° 4 -R sen63,43°senl8°, R sen63,43°cosl8°, R 00363,43° 5 -R sen63,43° 6 -R sen63,43°senl8°, -R sen63,43°cosl8°, 7 -R sen63,43° S - R sen63,43°senl8°, R sen63,43°cosl8°, -R cos63,43° 9 -R sen63,43°sen54°, R sen63,43°cos54°, -R cos63,43° 0 .0. R 00363,43° R cos63,43° -R cos63,43° 10 -R sen63,43°sen54?, ~R sen63,43°cos54°, -R cos63,43° 11 R sen63,43°senl8°/ -R sen63,43°cosl8°, -R cos63,43° 12 0 0 -R 2.2 - TRIANGULO ESFÉRICO El triángulo plano, cara del icosaedro, se proyecta en la esfera, con tres arcos de meridianos iguales, que abarca el ángulo a=63,43 El triángulo esférico proyección es equilátero de lados Ra y ángulos 360°/5 = 72? Para calcular su altur,- H = Ra, / conocemos dos lados y los ángulos del triángulo rectángulo esférico del que for_ ma parte. Por las formulas de Bessel, tenemos: sena, = sena :sen27r/5 = sen63,43°sen72° = O, 8506 87 23 - PROCEDIMIENTO DEiRETICULADO Solamente nos basta con coger un veinteavo de la superficie de la esfera, la parte correspondiente a la superficie de una cara- La patente de Emilio Pérez Pinero,:-de élló, únicamente nos da los ángulos de subdivisión de a, que para un número de partes (frecuencia) de 12, son los que se muestran en la figura.Sumados todos dan una diferencia con a, de 0 o 13' 42". Vamos a describir el proceso de reticulado a seguir, con el que salen estos mismos valores, para los ángulos de división en partes de cada lado del triángulo esférico. 12- Se dividen los lados del triángulo equilátero plano, en un número de partes iguales (por ejem pío, 12). 22- Por cada punto de subdivisión, se trazan rectas paralelas a los otros dos lados. 32- Del reticulado plano así obtenido, se traslada cada punto a la esfera, haciendo pasar un radio. 42- Se halla la longitud de las cuerdas (barras) como distancia entre ¡dos puntos en el espacio. Al trasladar los puntos 1 a n de cada lado L del triángulo plano, se transforma en una división de arcos desiguales en el lado Ra del triángulo esférico. Existe eje de simetría en el punto medio del arco, punto a donde llega la altura del triángulo esférico. Asi con cada lado. Al coger la primera recta paralela al lado L, ocurre lo mismo, siendo el eje de simetría el punto donde esta recta corta a la altura del triángulo (punto medio otra vez de ese arco), y lo mismo con las rectas paralelas a cada lado. Y así sucesivamente. Por consiguiente las tres alturas son ejes de simetría de las mismas características, y los espacios que delimitan con los me dios lados correspondientes, son seis triángulos rectángulos iguales, en los que las condiciones de traslado de cada punto del plano a la esfera, se repiten. Por consiguiente, con trasladar los nudos contenidos en 1/6 de la superficie {queda 1/6 de 1/20), y unirlos, tenemos las barras distintas que lo componen. Con una frecuencia de 12, los puntos que tenemos que trasladar son los que figuran como intersección de lineas continuas en la figura. La retícula procedente de la división del triángulo plano del icosaedro, nos da triángulos equiláteros de lado 1 - L/12, todos iguales. 89 TRIANGULO EQUILÁTERO DEL ICOSAEDRO: RETÍCULA 1(1.13.13 79 80 81 82 83 84 (i.j.k) 90 85 86 87 88 89 .-l^i^j^kslS 90 91 2.5 - COORDENADAS CARTESIANAS DE CADA NUDO DEL PLANO Tomamos el triángulo A B C , del que conocemos las coordenadas de sus tres vértices: AE1 { B=2 0 0 1 )R ( 0,7236 -0,5257 0,4473 )R C E 3 ( 0,7236 0,5257 0,4473 )R Tenemos que dividir los lados AB, BC y AC en doce partes iguales. Las coordenadas de cualquier punto de la división son: VYA ::. x -x ( X + A n i , Y„ + ' A VZB i , Z, A n i ) n con las rectas en las posición y pendiente de la figura (caso de AB y A C ) . Para la recta AB, con 12 divisiones iguales, tenemos las siguien coordenadas cartesianas de los puntos:(para la esfera de R = L) 1 13 13 X y z 0 0 1 2 13 12 0,06030057 0,04381093 0,95393446 3 13 11 0,12060113 0,08762185 0,90786893 4 13 10 0,18090170 0,13143278 0,8618034 5 13 9 0,24120227 0,17524370 0,81573786 6 13 8 0,30150283 0,21905463 0,76967233 7.13.7 0,36130340 0,26286555 0,72360680 8.13.6 0,42210397 0,30667648 0,67754126 9.13.5 0,48240453 0,35048741 0,63147573 ANTES DE CONTINUAR con los nudos interiores, vamos a comprobar que ángulos a', abarcan estos doce trozos de recta. Si tenemos tres puntos: 0, 1 y 2, el ángulo enfrentado al segmera to T2 es: aa' + bb' + ce' eos y = / 2 . 2—2~/—,2 , ,2 ^1 /a +b +c / a ' +b +c ' donde a = 1 (x1,y1,z1) XJ-XQ; b = etc. Y^YQJ Con nuestra notación particular, y siendo o(0,0,0), tenemos fL ( x .i - 0 ) cosa,= O (0,0,0) .£ii. (x.i+l , - 0 ) 1J + Jyr.iy+ . 1, + zi. z . i+l, + y .2 + z .z Á vx. n—~2 , + y. „ + z . , i i i+l í+l í+l 2 (x2,y2,z2) por lo que aplicado', a las coordenadas que acabamos de hallar, nos quedan los siguientes ángulos,que comparamos con los dados V * V = V * V * eos 6 en la patente: 92 eos a.i a. i i a 0,9969 1 °s a 3 % S a a 7 a8 4° 28' 3"80 0,9964 4,856984014 ~ 4 51*25"14 4 o 51'25'14 0,9958 5,220727893 E 5° 13*14"62 5° 13'14"65 0,9953 5,531314713 = 5° 31'52"73 5° 31'52"76 0,9949 5,759674114 = 5° 45'34"83 5° 41'34"85 o 5,881048549 = 5 o 52 51"77 0,9947 5,881048549 = 5 o 52'51"77 0,9949 5,759674114 E 5° 45'34"82 0,9947 * 4,467724754 = 4° 28' 3"89 PATENTE , * 5° 52'51"80 12 2 a. = (a 1 +a„+c¿-+a.+a r +c0 2 = 63,434948° i i 1 2 3 4 5 6 Salvo error por parte de Pérez Pinero del valor de ángulo entre la 55 y 65 división ( y entre la 75 y 85), o al menos en la trans cripción que se encuentra repetidamente en la patente n° 311901, se puede decir que lo expuesto es el procedimiento de reticulación que usó para determinar los ángulos de los haces de planos que menciona. Como los haces de planos cortan en meridianos a la esfera, mas adelante comprobaremos si todos los puntos (nudos) están contenidos dos por 93 en arcos de meridiano, es decir, están determina- corte de tres meridianos. A Para hallar las COORDENADAS DE LOS NUDOS INTERIORES DEL TRIANGULO PLANO, nos basta con hallar las coordenadas de las divisiones de longitud 1 en las rectas paralelas al lado BC, paralelo a OY, y por consiguiente con las mismas coordenadas X,Z, a lo lar_ 1 go de cada linea i, pues cualquiera de las tres direcciones de rectas paralelas, contiene todos los nudos.Cada fila i contiene i divisiones de longitud 1. le la fila i ^ |Y A B | I" X. E: Í 3 F 7 EE F í I^I D H , ifi¿, con líián: + ' i 'i Fíí^OIO \YAC:\ 3 ' i ' . a 9 10 11 / 12 13 14 15 16 17 ia 94 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 13 12 13 11 12 13 10 11 12 13 9 10 13 13 12 13 12 11 13 12 1 1 1 1 12 13 8 9 10 10 9 13 12 11 1 1 10 13 12 0 l£j£i J. U N I D A D PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VÉRTICES: 1 1 2 3 4 5 6 7 con , Z 3 (i , j ,k,X,Y,Z) 0 6.030058E-02 -4.381093E--02 6.030058E-02 4.3B1093E- -02 . 1206012 -8.762184E--02 0 . 1206012 . 1206012 B.762184E--02 . 1B09017 .-.1314328 -4.381093E--02 . 1B09017 4.331093E- -02 . 1809017 . 1809017 . 1314328 -. 1752437 .,2412023 .2412023 -8.7621S4E--02 0 .2412023 ' .£412023 8.762184E--02 .1752437 .2412023 -.2190546 .3015029 -. 1314328' .3015029 -4.381093E -oa 0 .3015029 i .9539345 .9539345 .9078689 .9078689 .9078689 .8613034 .8618034 .8618034 .8618034 .8157379 .8157379 .8157379 .8157379 .8157379 .7696723 .7696723 .7696723 to ^ o^o-t>£>i>i>i>í>mui£Jiuiuiu!t^Ln(j:ui-c--c-^ sio,uií,ünj^o-ocDs!o,íJij>ti)ru>-0'OCD'j 4>^^^4>^4>totoLdtücorjWü]COüjrururururururürururu*-' ^ u i 4 > w r u ^ o ^ c o ^ r j - u ] 4 > u J r u > j o ^ f i i - - o i > ü i - f > L u n j < — o -o o o o o o o o o o cu ru >- o 10 LO - -0-0-0-0-00-a-OOCDCO(l)tDCOIIICD03-^]-ON3-s]s]-J-JI>£>l> o ru •-• o o >-* ru tu cu ru >~* o LO o^ro u ru •- o o >- ru co cu ru •- o o <- ru tu .10 ru ^ o >-*rou o Dioooooooooooí-4>-P4>-p-j>f'í-í-,fCDtDCDcocDcooJtoa)n]rüi\)n)n]raf\)n)[MM>a,a-o,o,ooo uüJuuüuuuiouiüiiiraraiviiirara^raruniroiijnirüranjniraniruniiuiiJiíiiiJranjHHK.MPMPHHM uooooooooooO'J^-o^<ivi-J^<i--i-ft^í--t>í-j>í-j>i-fi-'i-H«i-i-|]]üj[Da)[oniiDUiu)Ui ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo O U 1 U 1 U 1 L / 1 U 1 U 1 U 1 U 1 Ü 1 U 1 U 1 U 1 U I U 1 U 1 U 1 U 1 U 5 U 1 Ü\:U\ J>4>J>J>J>4>4>4>4>J>^4>^4>4>4>4>U}COLOLOU!ti3COrUrurU u c o c o i i i í B c o c o c o c Q c o t o m r u r u r y f u r u F u r u r u ru:ru o t > i > o - i > i > i > t > o - ' - ' ' - ' ' - ' - ' > - ' - * i - - ' - * u i u i u i u i u i u i u j - o o ~ o I ¡ I CÜOC0 •j? J> Ü) ru >-* • 1 ! I • *-njLúj>tOüjrci^' I ! ] 1-I • * > • ! > • ' • . | • . • C D O C Ú . • ••- ru LU y LO ni •-• • i i i i i i i • -C--ECOO >- ru tu tu ru •- • • >- ru cu ru i- . -o -u o o- ui ru rurüffl i-- -F O m LO ui j> -o om i o ru ocjiruot><ii-tocD*--oi>ruuiO"njrucoj>r>oj>i-t-'4>oi>cDrunj <--f>D-eOvJLÍlLUOOCOLIIx]Cí--P'i-^ ru O CO ^ -f H. i-4>OCDO~Os]U!UOOtOUlsl4]|iio.íM CDwm-oo--i>a)o^iruj>o-uiíjiD o -o -si m Ü) m rDLoui^-ocao-p-ru-o-oriií-Oto^JuiQjiD -P-0r>4>Uil>CDüJL0CDOtJlí>-0-Cru ru -P u- -J J> 4 > - o r > - r > r u ü J u i r > c o a ) w c o i > m i J j í - o-.^j j> rn m m m m mm m m o o i i i i I I ru ru o o o o o o ru ru ru ru ru ru CDOJUlO-OsJ ^moraüio•ot-i-corunj N I N I O U 1 H J - O O I - [ Ü I O [ J O J K 0 1 O U I O . S ¡ N i ! i co • • • • J> . i - f u n j »-» • | o u i n j o c o - P o - o - o j m ^ -> o o,j> o ru ui orurucD-i>i-ruoo-P' '^-i ot>n)í-conjrx) »- ü) UJ <¡ •-* cu o j> iU! U) O -c- ru -o r> co cu m i o ru ^aüiuiui^uiuiuiüiuiuiUJauírjuiLnuiuiuiiji^o^^^^o^^a^Ch^^c^ <JtowajfJUíiJa¡Lúu)íduimccracocDmCDro03o3towuLuwLucutuu^^ rüWOJ^J[Jü!ül|JÜ^JUUÍ4^J>4>^^^P^4^4^4^4^J^J>f'í4>4^^JlUllJllJL^UlUlUI[^[^l^O~í>I^C^D•C^(^ g ^ ^ J > X - J > J > 4 > r ' Í ^ J M - H ^ M M M M M ^ ) J g N ¡ g g N 5 N j ^ s ) s ; í rü^vjsjvjNjsiviNivj^^LocucjJLOULdLoujWQjffi^cococomairiiODuu í . _ p . í l í 4 > í , j > 0 0 o 0 0 0 0 g s ] N J 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 96 l 1E 12 12 12 1E 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 ó 7 8 9 10 1 1 12 13 1E 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 13 1E 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .6633063 .7236069 .7E36069 .7E36069 -.7236069 .7236069 .7236069 .7236069 .7E36069 .7236069 .7236069 .7236069 .7236069 .7236069 -.3942983 -.3066765 -.2190546 -. 13143E8 -4.381093E-02 4.3S1093E-02 . 1314328 .2190546 .3066765 .3942983 .¿•819202 -.5257311 -.¿•381092 -.3504874 --26E8Ó56 -.1752437 -8.762184E--02 0 8.76Ei84E~0£ . 175E437 .E6E8656 .3504874 .4381092 .5E57311 .493E79E .493E79E .4932792 .4932792 .4932792 .4932792 .4932792 .4932792 .4932792 .4932792 .4932792 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 .4472136 ..4^72136 .4472136 .4472136 2.5 - COORDENADAS DE LOS NUDOS DEL TRIANGULO ESFÉRICO Los.; puntos 0,A,C, determinan un plano, que al cortarse con la esfera da el arco de meridiano AC. Con los extremos de los radios contenidos en este plano, trazados desde O a las divisiones 1,2, 3, n, tenemos determinados los nudos del lado AC del trián- gulo esférico. Del mismo modo, la recta BC pasa a ser el arco BC, y sus divisiones iguales se llevan a través del radio correspondiente hasta la superficie de la esfera. Para la recta i - i , tenemos trasladados sus puntos extremos; en el arco de meridiano que pasa por ellos, intersección del plano O iaTai,_ con la esfera,están el resto de los nudos, siempre abarcando arcos desiguales, con las simetrías oportunas. Para hallar las coordenadas de todos los nudos, nos basta con hallar la intersección de una recta que pase por dos puntos (el origen de coordenadas y los puntos hallados antes) y la esfera. x-x Q recta esfera que siendo 9? v-y 0 z-z Q x x r o" Vy(T V z 0 2 2 2 2 x +y +z - R x =0, y n =0 y z = 0 , nos queda: R X / Y = z = E S F E R A 2 l+(y1/x1) 2 +(z / x ) 1 x. x. D E R A D I O U N I D A D PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS EN CARTESIANAS Y P O L A R E S , ( X , Y , Z , F I , T E T A ) 79 80 81 82 83 84 85 36 87 88 09 90 91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 6.302041E-02 6.302041E-02 ,1310845 . 131683 ,1310845 .2031828 .2051797 .2051797 .2031828 .2777183 .2820579 .2835503 .2820579 .2777183 .3525724 .3602172 .3642309 .3642309 .3602172 .3525724 .4253255 .4370771 .4446135 98 1 0 -4.578701E-•02 .9969614 4.578701E--02 .9969614 .9867859 -9.523842E-•02 ' .9912919 0 9.523842E--02 .9867859 -.1476209 .9679488 .9774621 -4.969059E--02 4.969059E--02 .9774621 ,1476209 .9679488 -.2017741 .9392337 .9539102 -.1024635 .9589573 0 .1024635 .9539102 .9392337 .2017741 -.2561588 .9000419 -.1570278 .9195574 -5.292584E -02 .9298036 5.292584E -02 .9298036 . 1570278 .9195574 .2561588 .9000419 -.309017 .8506509 -.2117034 .8741541 -. 1076769 .8892269 0 4 . 467692 4.467692 9.324707 7.56686 9.324707 14.54543 12.18746 12.18746 14.54543 20.07675 17.46315 16.47223 17.46315 20.07675 25.S3643 23.13854 21.59579 21.59579 23.13854 25.33643 31 .71747 29.05499 27.22375 O 324 35.99999 324 0 35.99999' 3E4 346.3862 13.61382 35.99999 324 340.0354 0 19.96463 35.99999 324 336.4464 351.7323 8.267699 23.55361 35.99999 324 334.1562 346.3862 25 26 27 £3 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4a 79 • 80 81 82 83 84 85 86 87 8B 89 90 91 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5E 53 54 / 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 .4472137 .4446135 .4370771 .4253255 .4936014 .5099233 .5217493 .5279794 .5279794 .5217493 .5099233 .4936014 .5554366 .5763475 .592818 .603405 .6070621 .603405 .592318 .5763475 .5554 3 6 6 .6095483 .6346303 .6556156 .6708205 .6788306 .6789306 .6708205 .6556156 .6346303 .6095483 .6554223 .6839324 .7088757 .7284618 .7410225 .745356 .7410225 .7284618 .7088757 .6839324 .6554223 .6932246 .7242566 .7523256 .7756591 .7924778 .801308 99 0 . 1076769 .2117034 .309017 -.3586223 -.2646292 -.1624598 -5.479992E-02 5.4799922-02 .1624598 .2646292 .3586223 -.4035482 -.3140557 -.2153537 -. 1 0 9 5 9 9 8 0 .1095998 .2153537 .3140557 .4035482 -.4428627 -.3586223 -.2646292 -.1624598 -5.479991E-02 5.479991E-02 . 1624598 .2646292 .3586223 .4428627 -.4761921 -.3975247 -.309017 -.2117033 -. 1 0 7 6 7 6 8 0 . 1076768 .2117033 .309017 .3975247 .4761921 -.5036571 -.4305299 -.3478341 -.2561588 -.1570278 . -5.292584E-02 .8944272 .8892269 .8741541 .8506509 .7923055 .8185046 .B374871 ..8474873 .8474873 .8374871 .8185046 .7923055 .7270758 .7544486 .7760088 .7898673 .7946545 .7898673 .7760088 .7544486 .7270759 .6575132 .6845689 .7072055 .7236068 .7322473 .7322473 .7236068 .7072055 .6845689 .6575132 .5862275 .6117276 .6340377 .6515559 .6627906 .6666666 .6627906 .6515559 .6340377 .6117276 .5862275 .5155284 .538606 .5594799 .5768323 .5393397 .5959065 26. 56506 27. 22375 29. 05499 31 .7 1 7 4 7 3 7 ..59852 35. 06463 3 3 .. 1243 32. 06058 3 2 ..06058 3 3 ..1243 3 5 ,.06463 3 7 ..59852 43,.3582 41 . .02579 3 9 ,. 10341 3 7 ..82689 3 7 ..37737 3 7 .,82689 3 9 ,. 10341 41 . .02279 4 3 ,.3582 4 8 ..88951 46,.79829 4 4 ,.99201 4 3 .64693 4 2 ,.92488 4 2 .92488 43..64693 4 4 .99201 46,.79B29 48.-8B951 5 4 ,. 11025 5 2 .29548 5 0 .65136 49 .34099 48..48696 ' 4 8 .18969 4 8 .48696 4 9 .34099 5 0 .65136 52 .28548 5 4 .11025 5 8 .96723 5 7 .41121 5 5 .98017 54..77196 5 3 .88984 5 3 .42273 0 13.61382 25.B4377 35.99999 324 332.5726 342.7047 354.0744 5.925613 17.2953 27.42746 35.99999 324 331.4137 340.0354 349.7053 0 10.29472 19.96463 28.58627 35.99999 324 330.5297 338.0193 346.3362 355.3847 4.615304 13.61382 21.98071 29.47029 35.99999 324 329.8334 336.4464 343.7952 351.7323 0 8.267698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999 324 329.2709 335.1868 341 .7244 348.7922 356.2211 73 74 75 76 77 7S 79 80 ai 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 79 80 81 82 83 84 85 86 87 89 90 .801308 .7924778 .7756591 .7583256 .7242566 .6938246 .7236069 .7562448 .7865068 .812731 .8331547 .8461736 .8506508 .8461736 .8331547 .812731 .7865068 .7562448 .7836069 91 100 5.8925848-02 . 1570878" .2561588 .3478341 .4305299 .5036571 -.5857311 -.45787 -.3809537 -.2952418 -.2017741 -. 1024635 0 .1024635 .2017741 .295241B .3809537 .45787 .5257311 .5959065 .5893397 .5768323 .5594799 .538606 ,5155284 .4472136 .467385 .4860879 .5082954 .5149179 .522964 .525731 .522964 .5149179 .5022954 .4860879 .467385 .4472136 5 3 ,.42273 5 3 ..88984 5 4 ,.77196 5 5 ..98017 5 7 ,.41121 5 8 ..96723 63..43495 6 2 .. 13533 60..91623 59..84803 5 9 .00804 5 8 ..46872 5 8 .88254 5 8 ..46872 59 .00804 59..84803 6 0 .91623 6 2 ,. 13533 63..43495 3.778858 11 .80786 18.27563 24.81383 30.7291 35.99999 324 32S.B071 334.1562 340.0354 346.3868 " 353.0957 0 6.904354 13.61382 19.96463 25.84377 31 . 1929 35.99999 2.6" - COORDENADAS DE LOS NUDOS COMO INTERSECCIÓN DE MERIDIANOS Retomando lo que se dejó dicho en la hoja n°79:Emilio Pérez Pinero según la patente n° 311.901, busca tres haces de planos en tres direcciones cuyas intersecciones con las esfera son meridianos que al cortarse definen los nudos del reticulado. Según se ha ido definiendo el procedimiento de traslado de puntos del plano a la esfera, parece que resulta obvio que los nudos del reticulado están en el punto de intersección de meridianos en tres direcciones. No obstante, para comprobarlo, vamos a hallar las de uno,de la siguiente manera: - definimos cada uno de los tres meridianos como Ínter sección de un plano que pasa por el centro de la esfera, con ella. - Definimos cada plano con las coordenadas de tres de sus puntos, en el que uno de ellos es el 0( 0,0,0) y los otros dos, de los lados del triángulo del icosaedro, con la división conocida x~x 0 x V o X 2"X0 y-y y y o r o y 2~y0 z-z 0 z 2 r o Z = 0 2"Z0 es una ecuacuion en x,y,z sin ternimo independiente. 101 - Para tres meridianos tenemos el siguiente sistema de ecuaciones plano ax+by+cz=0 plano a'x+b'y+c'z=0 plano a"x+b"y+c"z=0 2 2 2 2 esfera x +y +z =R - Cada dos planos definen una recta, que al cortarse con la esfera nos da un punto - Para que dá un solo punto, los tres planos se tienen que cortar en la misma recta, es decir, la solución i del sistema de tres ecuaciones (homogéneo) X = Z Y= = D D tiene que tener una solución distinta de x=y=z=0. Como el numerador es siempre igual a cero por ser un sistema homogéneo, tiene que ser |D¡=0 para que exis- tan infinitas soluciones:todos los puntos de la recta de la que hablábamos. Vamos a comprobar esto para el nudo 9.9.9; vamos a ver si nos da las mismas coordenadas que con el procedimiento anterior, y después intentaremos averiguar el proceso que pudo seguir Emilio Pérez Pinero. Las coordenadas de los puntos con los que vamos a determinar los 1 02 tres planos son: O: (0,0,0) 5.13.9:(0,2412 , 0,1752437 , 0,81573786}R 5.9.13:(0,2412 ,-0,1752437 , 0,81573786)R 9.13.5:(0,4824 , 0,3504874 , 0,63147573)R 9.5.13:(0,4824 ,-0,3504874 , 0,63147573)R 13.9.5:(0,7236 , 0,1752437 , 0,4472136)R 13.5.9:(0,7236 ,-0,1752437 , 0,4472136)R La ecuación de los tres planos, cuya traza sobre el triángulo equilátero son las rectas de la figura,y que pasan por el origen de coordenadas, son: X Y Z 0,2412 0,1752437 0,81573786 0,7236 -0,1752437 0,4472136 0,22132x + 0,4824y - 0,1691z = 0 -0,22132x +0,4824y + 0,1691z = 0 y 0,2213243x + 0 - 0,1691z = 0 La intersección de estos tres planos tiene que ser una sola recta, que al cortarse con la esfera, de las coordenaeas del nudo.El determinante de los coeficientes tiene que ser cero D = 0,2213 0,4824 -0,1691 -0,2213 0,4824 0,1691 0,2213 0 es efectivamente = 0 -0,1691 Para hallar las coordenadas del nudo, tomamos dos de los tres pía 103 nos y la ecuación de la esfera: Con 0,2213x + 0f4824y - 0,1691z = 0 0,2213x - 0,1691z = 0 2 2 2 2 x + y + z = R nos da: x = ^'2213 z = 0,764121z = 0,607157 R 0,1691 - 0,2213 ° ' 1 6 9 í ^21^z = 0 0,4824 R Z = /0,764121 = 0,794582 R +0 + 1 iguales que las del mismo punto en el listado de ordenador. SIGUIENDO LA DESCRIPCIÓN DE LA PATENTE, nos podemos imaginar el proceso que pudo seguir, de la siguiente manera: Todos los meridianos que se emplean en el reticulado forman parte de tres familias de planos que pasan por el 0(0,0,0); se ge- neran a partir del plano que contiene cada lado del triángulo, girando n veces un ángulo Y., empleando i = n/2 valores distintos (siendo n la frecuencia de división). Bajo n ángulos y. se ven n divisiones de las cuerdas que forman la poligonal de la altura CH, y también la altura recta del triángulo del icosaedro, por trozos de longitud 1/3/2 todos iguales. Recordamos que desde los ángulos dados en la patente, que llamábamos a,, se ve la cuerda del arco Ra., barra del reticulado, y la recta de longitud 1 = L/n en el 104 triángulo del icosaedro. Los tres haces de planos que determinamos girando y., tienen sus versores en los planos OCH > OAH y OBH respectivamente, que contienen las tres alturas del triángulo. El versor del plano OAB está contenido en el plano XY, y es V {sen 36 , eos 36 , 0} .A.D Para determinar las componentes del resto de los versores de ese haz, se van girando los ángulos Y dentro del plano OCH desde el origen de coordenadas, y determinando sus componentes x,y,z. El plano i se expresa como producto escalar igualado a cero, de su versor con -¥• una recta OP |O(0,0,0), P(x>y,z)} contenida en él: _J. 1 V 1 AB X OP = 0. Para el haz de planos OAC, los versores tienen las mismas componentes x,z; la componente y por ser los planos OCH es del mismo valor y signo opuesto , y OBH simétricos. Para el haz de planos OBC, como contiene el eje OY, sus versores están en el plano (-x) (+z) : V BC {eos {y.+yn+•-)r 0,seníy+Y~+•- - 0 1 <£ 1 Z y su ecuación : X = tgüy. Z-¡ x i Con cada tres planos, uno de.cada haz, y la esfera, podemos despejar las coordenadas de un solo nudo. Para que esto pase, el deter minante que forman los coeficientes de las icognitas x,y,z, del sistema, tiene que ser igual a cero. Este determinante está forma_ do por las componentes de los versores, es decir, seno, coseno, y tangente 10$ del y. correspondiente; por consiguiente queda una reía ción de valores trigonométricos igualada a cero que se cumple para determinados y,. Hay que empezar pues decidiendo en concreto los y.. Después pasar a determinar los a,, único dato dado en la patente. Este camino es con mucho, mas tortuoso que el descrito aquí, antes, y se llega a que hay que decidir los y.. A pesar de que es el procedimiento que describe, no tiene que ser el procedimiento que uti lizó, sino una manera de explicarlo para hacer más fácilmente comprensible lo que estaba patentando, y de paso dejar claro que cumplía con las razones de diseño a que se había llegado en esos años, que reticulando con meridianos, se empleaban menores longitudes totales de barras para igual superficie, por ser líneas geodésicas. / 106 23 - LONGITUD DE LAS BARRAS, ÁNGULOS Coniciendo las coordenadas de 2 puntos, (x ,y ,z ') y (x ,y ,z ) , la longitud de la recta que los une es: _ d =/ (x2-x ) _ + (y2-yp _ + íz 2 ) 2~ i ^ Hablamos quedado en que las barras diferentes son las contenidas en 1/6 de lr/20 de esfera. Como se va a> ver la variación de longi^ tud es poca. De las longitudes medias a las extremas hay una variación de un 12%.En comparación con otros reticulados, la red de triángulos es casi uniforme, y comparando los esfuerzos a que puedan estar sometidas las barras, resultarán diferentes pero no desproporcionados, de unas a otras zonas de esfera. Para n=12 él número de barras es 42, que con dos iguales por simetría, hacen 41 longitudes diferentes. Mirando los valores que se dan para una esfera de radio unidad, si contamos con 7 cifras decimales tenemos 36 barras de distinta longitud, si con 4 o 5 decimales, tenemos 30 y si con 3, 19 barras. Para una esfera de radio R=20 m., la barra más larga nos daría unas longitudes de: 2.195,3 mm. con 7 cifras decimales 2.195,2 mm. " 5 2.194,- mm. " 4 2.180,- mm. " 3 es decir, que para este caso (n=12 y R=20m.) hay precisión de 1 mm. tomando los factores por los que hay que multiplicar el ra 10? 1.13.13 dio con cuatro cifras decimales. NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS / Conocidas las longitudes de los lados, se hallan los ángulos de ,2.13.12 los triángulos por las fórmulas de Briggs. Si los lados son a,b Y c, el ángulo opuesto a "a" es: 3 =2arc tg /jS=^US=Sl s i e n d o p e l s e m i p e r i m e t r o d e l t r i á n g u l o . P o r r o t a c i ó n en l a n o t a c i ó n se t i e n e n l o s o t r o s d o s . t , S F E R « R JP2NGUL°S BARRA 1 - 2 2 - 3 3 ~1 2 - 3 3 - 5 5 - 2 7.13.7 3 - 5 5 - 6 ó - 3 5 - 8 8 - 9 7 - 5 5 - 6 6 - 9 9 - 5 i.9.9 ^9.10.8 108 RADIO UNIDftD TRIANGULO n n .12.7 DE D E L D S TRI i ÁNGULOS DE BARRAS LONGITUD 7.795675E-02 .09157^ ÁNGULO OPUESTO' 7.795675E-02 5^.0316^ 71 . 9 3 6 7 ^ 5<+.0316£* • 09157Í+ B.272333E-02 8.272333E-02 67.21^35 56.392B¿* 56.3928íf 8.272333E-02 7.53^68^-02 .08<+7¿*¿t9 • 5^.3028 69.39673 56.300^ 8.97896¿tE-02 9.938118E-02 B.97B964E-02 56.39B65 67,20271 56.39B65 9.53<^684E-02 8.7¿+7368E-02 8.97896¿tE-02 65.06388 56.29ít65 58.6^1^? 1.13.13 9 - 10 10 - ó 8.74736BE-02 9.B41156E-02 9. 108747E-02 54.81655 66.8544B 58.32899 B - 9 9 -- 13 13 - B 9.93B118E-0E 9.462309E-02 9.462309E-02 63.35565 5B.3EE1B 5B.3E218 9 -• 13 13 - 14 14 - 9 9.468309E-0E .1025986 9.617658E-02 56.74EE9 65.05E46 58.E0525 9 -- 10 10 - 14 14 - 9 9.B4Í156E-02 9. 196499E-02 9.61765BE-02 63.03025 56.39407 60.57569 10 - 14 14 - 15 15 - 10 9.19Ó499E-02 . 100483 9.650E19E-OE 55.6173E 64.38555 59.99714 13 - IB IB - 19 19 - 13 .100799 . 1058517 .100799 58.32752 63.34495 58.32752 13 - 14 14 - 19 19 - 13 .10259B6 9.893183E-02 .100799 61 .81073 5B. 19992 59.98936 14 - 19 19 - EO 2 0 - 14 9.893183E-02 .10468E .1013EE5 57.37447 63.01984 59.6057 14 - 15 15 - EO EO - 14 .100483 9.5B929EE-0E ,1013EE5 61 . 18878 56.73967 6E.07155 15 - 20 EO - 21 El - 15 9.589292E-02 . 10132E5 . 1004B3 56.73967 6E.07153 61 . 18881 18 - 19 19 - 25 E 5 - 18 .1058517 . 1045886 .1045886 60.80062 59.59969 59.59969 19 - E5 E 5 - 26 2 6 - 19 . 10458B6 .1078337 .1053826 5B.7371E 61 .80171 59.46118 él - NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS .2.13.12 ,3.13.11 4.13.10 5.13.9 7.13.7 9.9.9 ^9.10.8 109 9 1.13.13 NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS .2.13.12 ,3.13.11 4.13.10 19-20 20 - 26 56-19 .104682 .1023631 .1053826 60.49528 58.32451 61.18021 20 - 26 86 - 27 27 - 20 .1023631 .1053826 .104682 58.32451 61 . 1802 60.49529 20-21 21-27 27 - 20 .1013225 9.893183E-02 .104682 59.60569 57.37447 63.01984 21 - 27 27 - 28 28-21 9.B93183E-02 .100799 .1025986 58.19992 59.98935 61 .81074 28 - 32 32 - 33 33 - 28 .3780352 ,1095998 .2741791 158.0016 6.234537 15.76392 25 - 32 32 - 33 33 - 25 .1083027 .1095998 . 1083027 59.60302 60.79397 59.60302 25 - 26 26 - 33 33 - 25 .1078337 . 1071822 . 1083027 60.05335 59.45785 60.48879 26 - 33 33 - 34 34 - 26 .1071822 . 1083027 .1078337 59.45785 60.48879 60.05335 26 - 27 27 - 34 34 - 26 .1053826 .1045886 .1078337 59.46118 58.73712 61 .80171 27 - 34 34 - 35 35 - 27 .1045886. .. .1045886 .1058517 59.59969 59.59967 60.80064 27 - 28 28 - 35 35 - 27 .100799 . 100799 . 1058517 58.32751 58.32753 63.34497 32 - 33 33-41 41 - 32 . 1095998 .1097653 . 1097653 59.90031 60.04986 60.04986 7.13.7 .12.7 '9.9.9 ""-^9.10.8 110 / I 3 3 - ¿ti 41 - 4 2 - 33 .1097653 . 1097653 .1095998 33 34 42 - 34 4E 33 .10830E7 .10B3027 .109599B 42 111 60.04986 60.049B4 59.90032 59.60301 59.60302 60.79397 I S F E FíCA D E R A D I O UfM I TRIANGULO D A D 1 2 3 ONGITtJE E S D E B A R R A S . ÁNGULOS, C E N T R A L Y D E B A R R A C O N LONGITUD BñRR A ALFAI 1 - 3 7.795675E-02 4.467725 2 - 3 .091574 5.248639 3 - 5 8 . 2 7 2 3 3 3 E - -02 4.74105 3 - 6 .0847449 4.85698 5 - 6 9 . 5 3 4 6 8 4 E - -02 5.465043 5 - 9 8 . 9 7 8 9 6 4 E - -02 5. 146297 6 - 9 S . 7 4 7 3 6 Q E - •02 5.013472 ó - 10 9. 10B747E--02 5.220733 a- 9 9 - 10 9 - 13 9 - 14 10 - 14 10 - 15 13 - 14 14 - 15 13 - 19 14 - 19 14 - 2 0 15 - 2 0 15 - 21 ia - 19 19 - 2 0 2 0 - 21 19 - 2 5 19 ~ 2 6 EO - 26 20 - 27 21 - 2 7 21 - 2 2 25 - 26 26 - 27 27 - 28 28 - 33 2 5 "- 3 3 26 - 33 26 - 3 4 27 - 34 27 - 35 28 - 35 2B ~ 36 32 - 33 33 - 3 4 34 - 35 35 - 36 3 3 - 41 33 - 42 34 - 42 34 - 43 35 - 43 112 9 . 9 3 2 1 I B E - -02 9 . 8 4 1 1 5 6 E - -02 9 . 4 6 2 3 0 9 E - -02 9 . 6 1 7 6 5 8 E -02 9. 1 9 6 4 9 9 E -02 9 . 6 5 0 2 1 9 E - -02 .1025986 . 1004Q3 . 100799 9 . 8 9 3 1 B 3 E -02 _. 1 0 1 3 2 2 5 9 . 5 8 9 2 9 2 E - -02 . 10O483 .1058517 .1046B2 .1013S25 .1045886 .1053826 .1023631 . 104682 9 . B 9 3 1 8 3 E -02 . 1025986 .1078337 .1053826 .100799 .2741791 .1083027 . 1071822 ' .1078337 . 1045886 .1058517 .100799 .1025986 .1095998 .1083027 .1045986 9 . 8 9 3 L 8 2 E -02 .1097653 . 1095?9B . 10B3027 .1078337 .1053827 5.696469 5.640845 5.423528 5.512638 5.271065 5.531316 5.881048 5.759675 5.777807 5.67069 5.807837 5.496367 5.759676 6.067689 6.000579 5.807836 5.995219 6.040778 5.867536 6.000579 5.67069 5.881049 6.181414 6.040778 5.777807 15.75893 6.208326 6. 1 4 4 0 3 2 6.181414 5.995219 6.067691 5.777808 5.881049 6.282755 6.208326 5.995218 5.67069 6.292249 6.282755 6.208326 6. 1 8 1 4 1 4 6.040779 RADIO DELTA 87.76614 87.37568 87.62947 87.57151 87.26748 87.42635 87.49326 S7.3B963 87.15176 8 7 . 17958 87.28B24 87.24363 07.36447 87.23434 87.05948 87.12016 87.1111 87.16466 87.09609 87.251B2 87.12016 86.96616 86.99971 87.09609 87.00239 86.97961 87.06623 86.99971 87.16466 B7.05948 86.90929 86.97961 B7 . 1 1 1 1 8 2 . 12054 86.89584 86.92798 86.90929 87.00239 86.96616 87.1111 87.05948 86.85862 86.89584 87.00239 87.16466 86.85388 86.85862 86.89584 86.70929 86.97961 2 . 8 . - AGRUPACIÓN DE'BARRAS PARA'EL-MONTAJE: f'AOROPIEZAS Emilio Pérez Pinero se planteó una prefabricación en taller de ma~ cropiezas compuestas de una docena de barras con uniones soldadas en taller. Con 12 barras (o 10 en los vértices del icosaedro) se construye una pirámide de muy poca altura, de base exagonal (pen tagonal). Los datos necesarios para prefabricar estas pirámides son la Ion gitud de las barras y los tres ángulos de cada triángulo. Los pun tos de la base generalmente no están en el mismo plano. Solo los podemos colocar en dos casos: en los "vértices" del icosaedro, las pirámides de base pentagonal regular solo tienen dos longitudes distintas de barras, y en la pirámide que tiene el baricentro del triángulo esférico como vértice, que por simetrías, le ocurre lo mismo. Vamos a comprobar cuanto les falta al resto de los nudos. Con tres puntos de la base no adyacentes, se determina un plano. Para la pirámide elegida: x - 3.6423 y - 0,52 z - 9,298 0,7277 1,5877 -0,557 1,6375 0,0187 -0,823 = 1,2963 x + 0,3132 y + 2,5863 z - 28,932 = 0 es el plano en que se encuentran los puntos 6.11.10, 7.12.8 y 8.10.9 113 para una esfera de radio R = 10 metros.Ahora se halla la distancia entre este plano y cada uno de los otros tres puntos restantes. Con el nudo 7.10.10: d = 1/2963x4,47 + 0 + 2,5863^8.944 - 28,932 2 .2963 /T7-— 2 + 0,3132 = Q QQg2 ^ 2 + 2,5863' 9,2 M . , es decir, un milavo del radio, la centésima parte de una barra. Con el nudo 6.12.9, d = 0.0026 m. =2,6 mm., es decir, R/4*10 ,v a/400. Asi que al ejecutar la pirámide exagonal con los puntos de la base en un plano, la variación de la longitud de las aristas es menos apreciable que los errores de manipulación (medición, corte y soldadura). Para montar el reticulado completo se unen las pirámides mediante tornillos ordinarios colocados en chapas dispuestas en la dirección del radio. Para que la unión resulte conveniente necesitamos conocer el ángulo 5 que forman el radio con cada una de las barras que van al vértice de la pirámide; será el dato más fiable para colocar las chapas de unión. ai.d/2 sen -r~ 2 = R 6. = i 114 180 -a± 0 ; a,i = 2 are sen d/2 R El montaje :J-J la cúpulas a veces es el mayor inconveniente. En las estructuras que se resuelven por medio de familias planas en jerarquías de trabajo (correas-vigas-rvigas mas grandes o arcos-soportes) cualquier error en su lugar de colocación o en su tamaño solo compete al elemento mismo, sin afectar a los otros, y se percibe y subsana con facilidad porque es "unidireccional". En las cúpulas ( en general en todas las estructuras espaciales) sus barras colaboran en el trabajo con el mismo rango, todas importan lo mismo. Para lograr un buen montaje, las barras tienen que tener medidas muy exactas y una colocación en su sitio perfecta, pues un error en un elemento "descoloca" a los siguientes y es muy dificil averiguar de qué forma y en qué grado afecta a cada uno. El procedimiento que más 3 errores daría sería colocar cada vez una barra en su sitio definitivo soldándola a tope en el nudo. En las cúpulas que estamos estudiando, los errores se cometen o eliminan en el ángulo final de las uniones atornilladas y en los triángulos que no se replantean y que son los adicionales que van apareciendo al montar las pirámides, en número de 6 rodeando a cada una. [87,76614^] ( 108*) (108*) [87,766l4fl (108*) [87,766143 2.12.13 (108°) [87,766143 9,157 2.13.12 (108 a ) [87,766i4fj ALTURA DE 1.13-13 SOBRE EL PLANO DE LA BASE: 0,304 cm. 00.00.00 NUMERACIÓN DE NUDOS 00,000 LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M. PIRÁMIDE N 2 : 1 (000,0000°) ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA DASE Ico.oooo11! ÁNGULO <5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE 116 [87, 2675o] (112,5599a) (123,2976°) ¡87,4932f| 3.12.12 (112,5605°) [87,26753 4.12.11 (123,2974°) [87,4932f¡ * 00.00.00 NUMERACIÓN DE NUDOS * 00,000 LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M. * (000,0000°) ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE * ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE |oo,oooo°| ALTURA DE 3 . 1 3 . 1 1 : 9,841 0,373 4.13.10 (109,5688°) [87,3896°] cm. PIRÁMIDE N2: 2 11? [87,2882*3 1123,2785a) [87,28825 (123,2785°) 9,938 4.11.12 4.12.1! 5.10.12 (116,6702°) ¡87,0595°] 5.12.10 (¡16,6702*) [87,0595°] 10,558 6.10.11 (120,048') [87, II! | ° ] 00.00.00 :NUMERACIÓN DE NUDOS 00,000 :LONGITUD EN CM. PARA UflA ESFERA DE R = 1 M. ALTURA DE 5 . 1 1 . 1 1 : 0 , 6.11.10 (120,048°) [87,1111°] 4 9 3 cm PIRÁMIDE N9: 3 (000,0000°) ¡ÁNGULO ENTEE LAS DOS BARRAS DE LA DASE ¡00,0000°! :ANGULO 6 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA I3EL VÉRTICE 118 \ [87,1202^ (116,6732°) [87,23433 (128,6786°) \ 4.13.10 (122,2751°) [87,2518^] 5.12.10 (116,678°) [87,1202^ 10,132 6.12.9 (¡2£,275¡°} [87,2518°] * 00.00.00 NUMERACIÓN DE NUDOS * 00,000 LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M. * (000,0000°) c * |oo,oooo ¡ ALTURA DE 5 . 1 3 . 9 : 0,462 6.13.8 (113,4181°) [87,12023 cm. PIRÁMIDE N9: ¡i ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL V É R T I C E 219 [86,97963 (120,0364°) • 6.11.10 10,46*8 [87,0662°] ( 122,2564°) 6.12.9 7.12.8 (120,0364°) [86,9796°] 7.10.10 (118,8314°) ¡86,9093°] 10,830 8.10.9 (120,0071") [86,9280f] * 00.00-00 ¿NUMERACIÓN DE NUDOS * 00,000 :LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M. 8.11.8 (118,8314°) Q86,9093f¡ ALTURA DE 7 . 1 1 . 9 : 0 , 5 6 2 era. PIRÁMIDE N2: 5 * (-000,0000°) :ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE * j00,0000°¡ :ÁNGULO 6 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE 120 \ P T p l [87,0 595t) / • (119,9038°) \ 6.13.8 [87,1111*] (120,0477°) 9,893 7.12.8 (120,048°) [87,1 Hit] (120,0477°) [87,111!°] 8.13.6 (119,9037°) [87,05953 8.12.7 (120,048°) [87,fll¡ e ] 00.00.00 -NUMERACIÓN DE NUDOS 00,000 ¡LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R - 1 M. ALTURA DE 7 . 1 3 . 7 : cm. PIRÁMIDE N°: 6 (000,0000°) :ANGUL0 ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE ¡00,0000°I 0,514 :ANGUL0 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE i SI [86,853SfI (¡20°) ¡86,8536^] (120°) 8.9.10 10,960 8.10.9 9.8.10 (120 o ) [8 6,8536f] 9.10.8 ÍI20°) §5,8536^ 10,960 10.8.9 (120°) [86,8536f] 00.00.00 ¡NUMERACIÓN DE NUDOS 00,000 ¡LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE 11=1 M. ALTURA DE 9 . 9 . 9 : 10.9.8 (I20°J [86,8536f] 0 , 6 0 2 cm PIRÁMIDE N2: 7 (000,COCO5)¡ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE |_00,0000°[ :ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA SARRA DEL VÉRTICE 122 CAPITULO I I I . OBRAS REALIZADAS. 3,1 - TEATRO DESMONTABLE PARA "FESTIVALES DE ESPAÑA" Consta de dos casquetes de esfera simétricas que solo acogen la pirámide de base pentagonal superior del icosaedro. Este teatro es la primera obra real con la que se enfrenta so_ lo, después de tener construidos dos modelos en los que ensaya la prefabricación y los nudos {ver número 1.7 del capitulo 1®, para llegar a acomodar las condiciones de facilidad de montaje, transportabilidad y poco peso. En el proyecto de esta primera cúpula, utiliza todos los conceptos razonables en el proceso de diseño: la sección del tubo redondo que consume menos material para un gran porcentaje de piezas de compresión, la geometría, es decir, el casquete de esfera que opone poca resistencia al viento, un tamaño de piezas razonablemente grandes con longitudes de barras entre 1,5 y 2,0 ,etros y unas uniones muy simples de ejecutar. No parece que llegue a lograr simplificarse las cosas en el montaje de la plataforma inclinada en que se apoyan las butacas. Aunque simplifica éstas, conserva la idea butacas-teatro 123 -TESft-TFiO D E S M O N T A B L E P A K A c:orvi R A D i a OE: P A R A I ^ _ ¿+ F E S T I V A L E S M E T R H S PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LGS PUNTOS : EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,2,FI,TETA> 1 a 3 4 3 éi 7 B 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 ía 19 20 El 22 23 24 25 26 27 2B 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 ¿ti '.2 43 44 45 46 47 49 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 0 1.033535 1 .033535 2.149785 2.159602 2.149785 3.33219B 3.364947 3.364947 3.332198 4.55458 4.62575 4.650225 4.68575 4.55458 5.7821B7 5.907562 5.973387 5.973387 5.907562 5.7B2187 6.97533B 7. 168064 7.291661 7.334304 7.291661 7. 168064 6.975338 0.095063 8.36274 1 8.556683 8.658BÓI 8.658861 B.5566S8 8.362741 8.095063 9. 1 0 9 1 5 9 9.452099 9.722216 9.B95841 9.955818 9.89584 1 9.722216 9.452099 9.109159 9.996592 10.40794 10.7521 1 1 .00145 11.13282 1 1 .13282 11.00145 10.7521 10.40794 9.996592 10.74893 1 1 .21649 11.62556 1 1 .94677 12.15277 12.22384 0 -.7509068 .7509068 -1.56191 0 1.56 191 -2.420983 -.8149256 .B149256 2.420983 -3.309095 -1 . 6 8 0 4 0 2 0 1.6BO402 3.309095 -4.201004 -2.575256 -.8679838 .8679838 2.575256 4.201004 -5.067879 -3.471935 -1.7659 0 1.7659 3.471935 5.067879 -5.BB140Ó -4.339919 -2.664341 -.89871B6 .8987186 2.664341 4.339919 5.881406 -6.6Í819 -5.150513 -3.531801 -1.797437 0 1.797437 3.53180 1 5.150513 6.61819 -7.262948 -5.881406 -4.339918 -2.664341 -.8987185 .8987185 2.664341 4.339918 5.881406 7.26294B -7.809551 -6.519405 -5.067878 -3.471935 -1.7659 0 16,,4 16 . 3 5 0 1 7 16.. 3 5 0 1 7 16 . 1 8 3 2 9 16.. 2 5 7 1 9 16 . 1 8 3 2 9 15.. 8 7 4 3 6 16.. 0 3 0 3 B 16.. 0 3 0 3 8 15 . 8 7 4 3 6 15.. 4 0 3 4 3 15.. 6 4 4 1 3 15.. 7 2 6 9 15.. 6 4 4 1 3 15.. 4 0 3 4 3 14.. 7 6 0 6 9 15.. 0 8 0 7 4 15.. 2 4 8 7 8 15,. 2 4 8 7 8 15.. 0 8 0 7 4 14., 7 6 0 6 9 13.. 9 5 0 6 7 14.. 3 3 6 1 3 14.. 5 8 3 3 2 14,.66861 14.. 5 8 3 3 2 14.. 3 3 6 1 3 13.. 9 5 0 6 7 12..99381 13.. 4 2 3 4 7 13,. 7 3 4 7 9 13.. 8 9 8 7 9 13 . 8 9 8 7 9 13 . 7 3 4 7 9 13.. 4 2 3 4 7 12 . 9 9 3 8 1 1 1 ..9 2 4 0 4 12 . 3 7 2 9 6 12.. 7 2 6 5 5 15 . 9 5 3 8 2 13 . 0 3 2 3 3 12 . 9 5 3 8 2 12.. 7 2 6 5 5 12 . 3 7 2 9 6 1 1 ..9 2 4 0 4 10 . 7 8 3 2 2 1 1 ..2 2 6 9 3 1 1 ..5 9 8 1 7 11 . 8 6 7 1 5 12 . 0 0 B B 5 12.. 0 0 8 8 5 11 . 8 6 7 1 5 11 . ,59817 11 . ,22693 10,, 7 8 3 2 2 9.614131 10.. 0 3 2 3 3 10.. 3 9 B 2 2 10.. 6 6 5 5 2 10.. 8 6 9 7 6 ÍO..93333 0 4.467717 4.467717 9.:3 2 4 7 1 4 7.566859 9.:3 2 4 7 14 14 . 5¡t544 12 . 1 8 7 4 7 12 . 1 8 7 4 7 14 . 5 4 5 4 4 20 .07676 17 . 4 6 3 1 5 16 . 4 7 2 2 2 17 . 4 6 3 1 5 2 0 .. 0 7 6 7 6 25 .83643 23 . 13B53 21 . 5 9 5 7 9 21 . 5 9 5 7 9 23 .13B53 2 5 .. 8 3 6 4 3 31 . 7 1 7 4 7 2 9 .. 0 5 4 9 8 27 .22375 2 6 .. 5 6 5 0 6 27 .22375 2 9 .. 0 5 4 9 8 31 . 7 1 7 4 7 3 7 .. 5 9 8 5 2 35 .06463 '33.. 1 2 4 3 32 .06059 3 2 .06059 33 . 1243 35 .06463 37 .59852 43 .3582 . 41 . 0 2 2 7 9 39 .10341 37 .02689 37 .37737 37 .82689 3 9 .10341 41 . 0 2 2 7 9 43 .3532 48 .88952 46 .79829 4 4 .99201 4 3 .. 6 4 6 9 4 42 .92489 4 2 .. 9 2 4 8 9 4 3 .. 6 4 6 9 4 4 4 ..99201 4 6 .. 7 9 8 2 9 4 8 .. 8 8 9 5 2 5 4 .. 1 1 0 2 5 5 2 .. 2 8 5 4 3 5 0 .. 6 5 1 3 6 4 9 .. 3 4 0 9 9 4B.. 4 8 6 9 6 4 8 .. 1 8 9 6 9 ÜEE 1,2,3 0 324 35.99999 324 0 35.99999 324 346.3862 13.61382 35.99999 324 340.0354 0 19.96463 35.99999 324 336.4464 351.7323 B.26769B 23.55361 35.99999 324 334.1562 346.3B62 0 13.61382 25.84377 35.99999 324 332.5726 342.7047 354.0744 5.925613 17.2953 27.42746 35.99999 324 331.4137 340.0354 349.7053 0 10.29472 19.96463. •2B.58627 35.99999 324 330.5297 338.0193 346.3862 355.3B47 4.615304 13.613B2 21 .98071 29.47029 35.99999 324 329.8334 336.4464 34 3.7952 351.7323 0 E S 61 62 63 64 65 66 67 6B 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7B 79 SO 81 82 83 B4 SS S6 87 8B 89 90 91 12 . 2 2 3 8 4 12 . 1 5 2 7 7 11 . 9 4 6 7 7 1 1. 6 2 5 5 6 11 . 2 1 6 4 9 10 . 7 4 8 9 3 11 . 3 6 B B B 11 . B 7 7 S 1 ia.. 3 3 B 1 4 12 .72081 12 . 9 9 6 6 4 13 . 1 4 1 4 5 13 . 1 4 1 4 5 12 . 9 9 6 6 4 12 .720B1 12 . 3 3 8 1 4 1 1.87781 . 11 . 3 6 S B B 1 1. 8.6 7 1 5 12 . 4 0 2 4 2 12..89871 13 . 3 2 8 7 9 13.. 6 6 3 7 4 13 . 8 7 7 2 5 13 . 9 5 0 6 7 13 . B 7 7 2 5 13.. 6 6 3 7 4 13 . 3 2 8 7 9 12..89071 12 .í'0242 11 .E16715 . 0 1 .7659 3.. 4 7 1 9 3 5 5 .067878 6.. 5 1 9 4 0 5 7 .809551 - B .. 2 5 9 9 7 6 - 7 .. 0 6 0 6 9 - 5 .. 7 0 4 4 7 9 - 4 .. 2 0 1 0 0 4 - 2 .. 5 7 5 2 5 6 -.8679838 .8679838 2.. 5 7 5 2 5 6 4.. 2 0 1 0 0 4 5.. 7 0 4 4 7 9 7,. 0 6 0 6 9 8 .259976 - 8 .. 6 2 1 9 8 9 -7 .509067 - 6 .. 2 4 7 6 4 - 4 .. 8 4 1 9 6 5 - 3 .. 3 0 9 0 9 5 -1 . 6 8 0 4 0 1 0 1 ..6 8 0 4 0 1 3.. 3 0 9 0 9 5 4.. 8 4 1 9 6 5 6.. 2 4 7 6 4 7.. 5 0 9 0 6 7 .621989 a. TRIANGULO Li 10.93333 10.86976 10.68552 10.39822 10.03233 9.. 6 1 4 1 3 1 8.. 4 5 4 6 6 5 8.. 8 3 3 1 3 8 9.. 1 7 5 4 6 9 9.. 4 6 0 0 4 9 9..665171 9.. 7 7 2 8 6 6 9., 7 7 2 8 6 6 9., 6 6 5 1 7 1 9., 4 6 0 0 4 9 9.. 1 7 5 4 6 9 8.. 8 3 3 1 3 8 8.. 4 5 4 6 6 5 7 .. 3 3 4 3 0 3 7., 6 6 5 1 1 4 7 ,.971841 8.. 2 3 7 6 4 3 8., 4 4 4 6 5 2 .576609 ' 8., 6 2 1 9 8 9 .576609 B., 4 4 4 6 5 2 8.. 2 3 7 6 4 3 7 ..971841 7.. 6 6 5 1 1 4 7 .. 3 3 4 3 0 3 4 8 .. 1 B 9 6 9 4 B .. 4 8 6 9 6 4 9 .. 3 4 0 9 9 5 0 .. 6 5 1 3 6 5 2 ., 2 8 5 4 8 5 4 .. 1 1 0 2 5 5 8 ,, 9 6 7 2 3 5 7 ..41121 5 5 ., 9 8 0 1 7 5 4 .. 7 7 1 9 6 5 3 .. 8 8 9 B 4 5 3 .. 4 2 2 7 2 5 3 ., 4 2 2 7 2 5 3 .. 8 8 9 B 4 5 4 .. 7 7 1 9 6 5 5 .. 9 8 0 1 7 5 7 ..41121 5 8 .. 9 6 7 2 3 6 3 ., 4 3 4 9 5 6 2 ., 1 3 5 3 3 6 0 ., 9 1 6 2 3 5 9 .. 8 4 8 0 3 5 9 ., 0 0 8 0 4 5 8 .. 4 6 8 7 3 5 3 .. 2 8 2 5 4 5 8 .. 4 6 8 7 3 5 9 .. 0 0 8 0 4 5 9 .. 8 4 8 0 3 6 0 .. 9 1 6 2 3 6 2 .. 1 3 5 3 3 .63.. 4 3 4 9 5 a. a. 1 2 3 iS V ÁNGULOS DE LOS T R I Á N G U L O S D E B A R R A S BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO 1 - 2 2 - 3 3 - 1 1 .27S491 1 .501814 1.278491 5 4 .. 0 3 1 6 4 71 .. 9 3 6 7 4 5 4 ., 0 3 1 6 4 2 - 3 3 - 5 5 - 2 1.501814 1 .356663 1 .356663 6 7 .. 2 1 4 3 2 5 6 ,. 3 9 2 B 4 5 6 .. 3 9 2 8 4 3 - 5 5 - 6 6 - 3 1.356663 1.563683 1.385816 5 4 .. 3 0 2 3 6 9 .. 3 9 6 7 7 5 6 .. 3 0 0 4 4 1.47255 1.629B51 1.47255 5 6 .. 3 9 8 6 5 6 7 .. 2 0 2 7 5 6 .. 3 9 8 6 5 6 - 9 9 - 10 10 •- 6 . 1.4345Ó8 1.61395 1.493835 5 4 .. 8 1 6 5 5 6 6 ..854 4 8 5 B .. 3 2 8 9 9 8 - 9 9 - 13 13 •- a 1.629B51 1.551819 1 .551819 6 3 .. 3 5 5 6 5 5 B .. 3 2 2 1 8 5 8 .. 3 2 2 1 8 9 - 13 13 •- 14 14 •- 9 1.551B19 1.682617 1 .577296 5 6 .. 7 4 2 2 9 6 5 .. 0 5 2 4 6 5 8 .. 2 0 5 2 6 9 - 10 10 •- 14 14 •- 9 1.61395 1 .508226 1.577296 6 3 .. 0 3 0 2 5 5 6 .. 3 9 4 0 B 6 0 .. 5 7 5 6 9 10 -14 -1S -- 1.506226 1.64792 1.5B2636 5 5 ,. 6 1 7 3 3 6 4 .. 3 B 5 5 5 5 9 ,. 9 9 7 1 3 5 - a a 9 9 - 5 14 15 10 0 B.£67698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999 324 329.2709 335.1868 341 . 7 2 4 4 348.7922 356.221I 3.77885B 11.207B6 IB.27563 24.81323 30.7291 35.99999 324 328.8071 334.1562 340.0354 346.3862 353.0957 0 6.904354 13.61382 19.96463 25.B4 377 31 . 1 9 2 9 35.99999 13 - 18 18 - 19 19 - 13 1 .653104 1.735968 I.653104 58.32755 63.34496 58.35755 13 - 14 14 - 19 19 - 13 1.682617 1.625482 1.653104 61 .81073 58.19992 59.9B936 14 - 19 19 - 20 20 - 14 1.6224B2 1.716785 1.6616B9 57.37447 63.01984 59.6057 14 - 15 15-20 20 - 14 1.64792 1.572644 1.6616B9 61.18878 56.73966 62.07156 15 - 20 20-21 21 - 15 1.572644 1.661689 1.647921 56.73966 62.07155 61 . 1BBB IB - 19 19-25 25 - 18 1.73596B 1.715253 í.715553 60.80062 59.59969 59.59969 19 - 35 25 - 26 36 - 19 1.715253 1.768473 1.728275 58.73712 61 .80171 59.461 IB 19 - E0 50 - 56 26 - 19 1.716785 1.678754 1.728275 60.49528 58.32451 61.18021 20 ~ 26 36 - 57 27 - 20 1.678754 1.758575 i.716785 58.35451 61.1802 60.49528 50-81 51 - 27 27 - 20 1.661689 1.6224B2 1.716785 59.6057 57.37447 63.01984 51 - 27 27 - 2B 2B - 21 1.622482 1.653104 1.682617 58.19992 59.98935 61 . B1074' 25 - 32 32 - 33 33 - 55 1.776165 1.797437 1.776165 59.60302 60.79397 59.60302 25 - 26 26 - 33 33 - 25 1.768473 • 1.757788 1.776165 60.05335 59'. 457,85 60.4888 26 - 33 33 - 34 34 - 86 1.7577B8 1.776:64 1.768473 59.45785 60.48879 60.05337 26 - 27 27 - 34 34 - 26 1.728275 1.715253 1.768473 59.46118 58.73712 61.80171 27 - 34 34 - 35 35 - 27 1.715253 1 .715252 1.73596B 59.59969 59.59967 60.80064 27 - 28 28 - 35 35 - 27 1.653104 1.653104 1.735968 58.32751 58.35755 63.34497 35 - 33 33 - 4i 41 - 35 1.797437 1.B0015 1 .80015 59.90031 60.049B6 60.04986 33 - 41 41 - 42 42 - 33 1.80015 1 .B0015 1.797437 60.04986 60.04985 59.90031 33 - 34 34 - 45 42 - 33 1.776164 1.776165 1.797437 59.60301 59.60308 60.79397 12? ACCESO PLANTA. TEATRO DESMONTABLE 9 l 2 3 4 5 6 I 1 I I I I I 7 8 L_J 91p I I m. PARA FESTIVALES DE ESPAÑA. 15,50 ACCESO ACCESO ACCESO ALZADO. TEATRO 1 2 3 PARA 4 ^ 6 7 FESTIVALES 8 9 10 J m. DE ESPAÑA. ALZADO INCLUYENDO EL PARALELO DE INTERSECCIÓN DE LOS DOS CASQUETES. TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA. O i 1 i 2 i 3 i 4 i ^ I e ¡ 7 i 8 ) 9 i, 10 I m. i DEL TRIANGULO TIPO DESPIECE * rí^"" y^^Ttt--J \ tf / jfi \ / \ -%• UNION SOLDADA -^- UNION ATORNILLADA 7\ / V / \ / \ / ¡y A /x/ ^ ^V \r ^ DE PERFIL: O H UEC0 M / Jr TIPO \ /\ 5 / \ / /v \^/Y \_/ ^o \ / J i- \ V >•* / """^^^T^*, * \ \ 's/^/ V"/\ \/ y • \ £K / - * > P\^7 \ ^ / fs _s¿. .. \ < N.V/ \ / ^ \ / '' \ * UNION ATORNILLADA ENTRE PIRÁMIDES. CÚPULAS PARA CINERAMA Y FESTIVALES DE ESPAÑA. ff?//??swtf/////s//////m •>}»j»»?»»»jjjtjj»»»i DOS TORNILLOS ORDINARIOS POR CADA UNION. Seaun dibujo de E.P.Pinero 133 134 3,2.- CÚPULA PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA Emplea todos los datos de la anterior geometría, tipos de b a — rras, uniones y cubricción. Únicamente diseña un espacio d i s — tinto: único, evolvente como la pantalla para los tres proyectores de Cinerama y con una esclusa cortavientos de entrada. No pudo explotar el teatro anterior como contratista de montajes de espectáculos para la Administracción, y esta cúpula corresponde a este intento de obtener ingresos de esta forma. La cantidad de esfera usada podría estar decidida en función de la superficie del círculo capaz de obtener un número determinado de espectadores (1.200 aquí, contra 1.800 de los dos casquetes anteriores) adecuado para que fuera viable la explotación y fuera el montaje más sencillo al tratarse solamente de un casquete. A los actuales propietarios (un circo) les conviene la pendien te casi vertical de la media esfera para levantar las gradas en círculos concéntricos: quedando próximos a los espectadores la planta del redondel y el espacio superior de trapecistas y equilibristas, desarropándose todo en un espacio más concentra do 135 que en lase-arpas ordinarias. C;LJF»UI_,Í^ CAO I O F'Í-^FÍ*^ J3E 1 "7 P R O Y E C C I Ó N T>I=. C; I IVJC£FÍ*=>M« PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SDN LOS PUNTOS : EN CARTESIANAS Y POLARES,<X,Y,Z,FI,TETA) 1 a 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 18 13 t ¿* 15 !& 17 18 19 80 21 22 23 24 25 26 27 29 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4S 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 0 I .071347 1.071347 8.828436 2.23B612 2.228436 3.454107 3.488055 3.488055 3.454107 4.72121I 4.794985 4.820355 4 . 794985 4.721211 5.993731 6. 1 2 3 6 9 2 6. 1 9 1 9 2 6 6. 1 9 1 9 2 6 6. 1 2 3 6 9 2 5.993731 7.230534 7.4 3 0 3 1 7.558429 7.602632 7.559429 7.43031 7.230534 8.391223 8.66B696 8.869737 8.975649 8.975649 8.969737 8.668696 B.391223 9.442421 9.797907 10.O7791 10.25788 10.32006 1 0.25788 10.0779 1 9.797907 9.442421 10.36232 10.78872 11.14547 1 1 .40395 11 . 5 4 0 1 S 1 1 .54012 1 1 .40395 11.14547 10.73372 10.36232 11 . 1 4 2 1 8 1 1 .62685 12.05089 12.3B3S5 12.59738 CTOM' r i E T R D S 0 -.778379 .77B379 -1 . 6 1 9 0 5 3 O 1 .6 1 9 0 5 3 -2.509555 -.84474 .84474 2.509555 -3.43016 -1 . 7 4 1 8 8 0 1.74 188 3.43016 -4.354699 -c.669473 -.8997392 .8997392 2.669473 4.354699 -5.2532B9 -3.598957 -1 . B 3 0 5 0 7 0 1 .B30507 3.598957 5.253289 -6.096579 -4.498697 -2.761817 -.9315985 .93159S5 2.761817 4.498697 6.096579 -6.860319 -5.338946 -3.661013 -1.863197 0 1.863197 3.661013 5.338946 6.B60319 -7.528666 -6.096579 -4.49B696 -2.761817 -.9315984 .9315984 S.761817 4.498696 6.096579 7.528666 -8.095266 -6.75792 -5.2532B9 -3.593957 -1.830506 17 16. 9 4 B 3 4 16..94834 16..77536 16.. 8 5 1 9 6 16..77536 16.. 4 5 5 1 3 16..61696 16.. 6 1 6 8 6 16..45513 15.. 9 6 6 9 7 16..21647 16.. 3 0 2 2 B 16..21647 15.. 9 6 6 9 7 15..30071 15.. 6 3 2 4 8 15.. 8 0 6 6 6 15.. 8 0 6 6 6 15,.6324B 15..30071 14.. 4 6 1 0 7 14.. 8 6 0 6 2 15.. 1 1 6 6 6 15.. 8 0 5 2 6 15.. 1 1 6 8 6 14.. 8 6 0 6 2 14.. 4 6 1 0 7 13 . 4 6 9 1 9 13.. 9 1 4 5 B 14 . 2 3 7 2 B 14., 4 0 7 2 8 14.. 4 0 7 2 8 14.. 2 3 7 2 8 13.. 9 1 4 5 9 13.. 4 6 9 1 9 12 . 3 6 0 2 9 12.. 8 2 5 6 3 13 . 1 9 2 1 5 13 . 4 2 7 7 4 13 . 5 0 9 1 3 13.. 4 2 7 7 4 13 . 1 9 2 1 5 12.. 8 2 5 6 3 12 . 3 6 0 8 9 1 1..1 7 7 7 2 11 . 6 3 7 6 7 12.. 0 2 2 4 9 ia .30131 12.. 4 4 8 2 la . 4 4 8 2 12..30131 12.. 0 2 2 4 9 1 i..6 3 7 6 7 11.. 1 7 7 7 2 9.965867 10.. 3 9 9 3 7 10.. 7 7 8 6 4 1 1. 0 7 6 4 5 11 . 2 6 7 4 4 0 4.46773 4.46773 9.324716 7.566837 9.324716 14.54543 12.1B748 12.1B748 14.54543 20.07676 17.46314 16.47222 17.46314 20.07676 25.83643 2 3 . 13354 21 . 5 9 5 7 B 21.5957B 23.13354 85.83643 31 . 7 1 7 4 7 89.054 99 27.22375 26.56506 27.22375 29.05499 31 . 7 1 7 4 7 37.59B52 35.06463 3 3 . 12431 32.06059 32.06059 33.12431 35.06463 37.59B52 43.3582 41 . 0 2 2 7 9 39.10342 37.B2689 37.37737 37.82689 39.10342 41 . 0 2 2 7 9 43.3582 48.88958 46.79889 44.99201 43.64694 42.92439 42.92439 43.64694 44.99201 46.79829 48.88952 5 4 . 1 1025 52.28548 50.65136 49.34099 48.48696 1. , 2 , 3 0 324 35.99999 324 0 35.99999 324 346.3B62 13.61382 35.99999 324 340.0354 0 19.96463 35.99999 324 336.4464 351.7323 8.867698 23.55361 35.99999 324 334.1562 346.3B62 0 13.61388 25.84377 35.99999 324 332.5726 348.7047 354.0744 5.925613 17.2953 27.42746 35.99999 384 331 . 4 1 3 7 •340.0354 349.7053 0 10.29472 19.96463 28.58627 35.99999 324 330.5297 33B.0193 346.3862 355.3847 4.615304 13.613B2 SI.9B071 29.47089 35.99999 324 389.8334 336.4464 343.7952 351.7323 FÍ 61 62 63 64 65 66 67 6B 69 70 71 ?a 73 74 75 76 77 7B 79 B0 SI 82 B3 84 83 B6 B7 8S 89 90 91 12.67105 13.59738 12.383B5 12.05099 11.62605 1 1 . 142X8 11 .7B4B2 13.31236 12.78954 13.1B621 13.47212 13.62224 13.65224 13.47212 13.1B621 12.7B954 12.31236 1 1 .73482 12.30132 12.B5616 13.37062 13.81643 14.16363 14.38495 14.46106 1^.36495 14.16363 13.81643 13.37062 I2.B3616 12.30132 0 1.830506 3.598957 5.253209 6.75792 8.095266 -8.562169 -7.319008 -5.913 IB -4.354699 -2.669473 -.8997392 .3997392 2.669473 4.354699 5.91318 7.319008 8.562169 -8.737429 -7.783789 -6.476213 -5.01911 -3.4301S9 -1.741879 0 1.74 1879 3.430159 5.0191 1 6.476213 7.7837B9 B.937429 11.33333 11.26744 11.07645 10.77864 10.39937 9.965867 B.763982 9.156301 9.51 U S B 9.B06149 10.01B7S 10.13041 10.13041 10.01878 9.806149 9.511158 9.156301 8.763982 7.602632 7 . 94554,4 8.263494 B.539021 8.753604 8.890388 8.93742S 8.890388 8.753604 8.539021 8.263494 7.945544 7.602632 4B.18969 48.48696 49.34099 50.65136 52.28548 54.11025 58.96723 57.4 1121 55.98017 54.77196 53.88984 53.42273 53.42273 53.839B4 54.77196 55.9B017 57.4 1121 58.96723 63.43495 62.13533 60.91623 ' 59.84803 59.00804 58.46873 58.2e254 58.46873 .59.00804 59.S4803 60.91623 62.13533 63.43495 TRIANGULO 1 LADOS Y ANGULGS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO 1 - 2 2 - 3 3 - 1 1.325265 1 .356758 1.325265 54.03163 71 .93674 54.03163 2 - 3 3 - 5 5 - 2 1.556758 1 .406297 1 .406297 67.21433 56.39284 56.39584' 3 - 5 5 - 6 6 - 3 1 .«06297 1.620B96 1 .440663 54.302B 69.39678 56.30044 5 - 8 a - 9 9 - 5 1 .526424 1 .68948 1.526424 56.39865 67.2027 56.39865 5 - 6 6 - 9 9 - 5 1.620896 1.4B7053 1 .526424 65.06388 56.29465 58.64147 6 - 9 9 - 10 10 •- 6 1.487053 1 .672997 1 .54B4B7 54.81655 66.85448 58.32899 8 - 9 9 - 13 13 -- 8 1.68948 1.608592 1.608592 63.35565 5B. 32218 58.32218 9 - 13 13 •- 14 14 •- 9 1.608592 1.744176 I .635002 56.74229 65.05246 58.20526 9 - 10 10 •- 14 14 -- 9 1 .672997 1.563405 1.635002 63.03025 56.39408 60.57567 0 B.367698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999 324 329.2709 335.1868 341.7244 34B.7922 356.2211 3.778858 11.20786 18.27563 24.81323 30.7291 35.99999 324 328.B071 334.1562 340.0354 346.3862 353.0957 0 6.904354 13.61382 19.96463 25.84377 31 . 1929 35.99999 10 - 14 14 - 15 15 - 10 1.563405 1.70B21 1.640537 55.61732 64.38555 59.99713 13 - ia IB - 19 19 - 13 1.713584 1.799479 1.713584 5B.32752 63.34496 5B.32752 13 - 14 14 - 19 19 - 13 1.744176 1.681B41 1.713584 61.B1073 58.19992 59.98936 14 - 19 19 - SO 20 - 1* 1.681841 1.779594 1.722482 57.37447 63.01984 59.6057 14 - 15 15 - 20 20 - 14 1.70621 1.63018 1.722482 61.18879 56.73967 62.07155 15 - 20 20 - 21 21 - 15 1 .63018 1.722482 1.70821 56.73967 62.07154 61 .1888 18 - 19 19-25 25 - 18 1.799479 1.778006 1.778006 60.80063 59.59969 59.59969 19 - 25 25 - 26 26 - 19 I.77B006 1.833173 1.791505 58.73712 61.B0171 59.46119 19 - 20 20 - 26 26 - 19 1.779594 1.740172 1.791505 60.49527 58.32451 61.18023 SO - 26 26 - 27 27 - 20 1.740172 1.791505 1.779594 58.32451 61.1802 60.49529 20 - 21 21 - 27 27 - 20 1.722482 1.6B1B41 1.779594 59.6057 57.37446 63.01984. 21-27 27 - 28' 2S - 21 1.681B41 1.713584 1.744177 58.19991 59.9B935 61 .81075 25 - 32 32 ~ 33 33 - 25 1.841146 1.863197 1.B41146 59.60302 60.79397 59.60302 25 - 26 26 - 33 33 - 25 1.833173 1 -.822098 1.B41 146 60.05335 59.45786 60.48879 26 - 33 33 - 34 34 - 26 1.822098 1.841146 1.833173 59.45735 60.4BB79 60.05335 26 - 27 27 - 34 34 - 26 1.791505 1.77B006 1.B33173 59.46118 58.73712 61 .80171 27 - 34 34 - 35 35 - 27 1.778006 1.778006 1.799479 59.59969 59.59969 60.80064 27 - 28 2B - 35 35 - 27 1.713584 1.7135B4 1.799479 58.32751 58.32752 63.34497 32 - 33 33 - 41 <:l - 32 1.863197 1 .86601 1 .36601 59.9003 60.04986 60.04986 33' - 41 41 - 42 42 - 33 1 .86601 \ .36601 1.863197 60.04986 60.049B5 59.90031 33 - 34 34 - 42 4E -- 33 1 .(34 1 146 59.60301 59.60301 60.79397 1 .341146 1.863197 PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES 50N LDS PUNTOS EN CARTESIANAS Y POLARES.i X,Y,Z.FI,TETA) 22 23 04 25 36 av 28 29 30 31 3a 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 2 43 44 45 4 6 47 4 8 49 50 51 52 53 54 5:-; 56 57 58 57 60 61 63 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 16.16776 16.4)1463 i 6.«0116 1 7 16.90;16 ¡ó.61466 16.16796 15.79988 16.32233 16.70088 16.9003 16.9003 Í6.700B8 16.32233 ¡5.79988 15.27316 15.85335 16.3064 16.59761 16.6982 16.59761 16.3064 15.35335 15.27816 1 '< . 6 3 1 3 3 15.33391 15-737 65 16.10263 16.£9491 16.2949 1 16.10263 15.73-'65 15.£3391 ¡4.63183 13.8966Ü 1 4.501 17 15.03003 1 5 . 4 4531 13.71162 15.80351 15.71163 15.44531 15.03003 14.50117 13.89668 13.10908 13.6959 14.32669 14.66794 14.98598 15.15296 15.15396 -3". 2 5 3 2 8 9 -3.598957 -I . 8 3 0 5 0 7 0 1 .830507 3.598957 5.253289 -6.096579 -4 .498696 -2.761817 -.9315984 .93¡5984 2.761817 4.490696 6.096579 -6.860318 -5.338?'t6 - 3 . 6 6 1013 -1.863197 0 1.863197 3.661013 5.338946 6.860318 -7.52B66S -6.09657Q -4 - 4 9 R 6 9 6 -8.761817 -.93)5985 .9315905 2.761817 4.493696 6.096578 7.523665 -8.095366 -6.75792 -5.253233 -3.593957 -1.330507 0 1.830507 3.598957 5.253288 6.75792 8.095266 -8,562169 -7,319008 -5.V13179 -4.354699 -2.669473 -.8997391 .B997391 1.957718E-16 2.0UB09E-16 2.046498E-16 2.05S467E-16 2.04649SE-16 2.011309E-16 1-95771SE-16 1 .¿181732 1.530728 1.566228 1.58493 1.58493 1.566229 1.530728 1.481732 2.917868 3.02772 3.114 244 3.169861 3.189072 3.169B61 3.1¡4244 3.02772 8.91786B 4.26951 1 4.445194 4.592184 4.693684 4.754791 4.754791 4.698684 4.592184 4.445194 4.269511 5.503996 5.74 8 6 3 5.958286 6.128913 6.228488 6.264912 6.2284B8 6.122912 5.958286 5.74863 5.508996 6.621288 6.91769 7.1BS737 7.408657 7.569299 7.65364 7.63364 90 90 90 90 90 90 90 34.99972 84.83393 -.84.71378 84.65048 84.65048 84.71378 84.83393 84.99973 80.11636 "'9.74083 79.4'<4 3 4 79.2536 79.18763 79.2536 79.^4434' 79.74083 80.11686 75.^5456 7 4 . 8 4 199 74.3281 73.95495 73.75809 73.75309 73.95^95 74.3281 7 4 . 3 4 199 75.45456 71.09146 70.23551 69.4B288 63.88929 6B.50737 68.37533 68.50737 68.88929 69.43238 70.23551 71.09146 67.0774 65.9BB31 64.99526 6 4 . 16353 63.56QÍ(B 63.24258 63.2¡i258 7 . 2 , 3 342 347.7778 353.8136 0 6.131413 12.22219 18 333.9003 344.591 350.61 356.8449 3.155133 9.389998 IS.^0906 21.09973 335.SI 86 341.383 3 4 7 . 3 4 61 353.595 0 6.405036 12.65337 • 18.61203 24.18141 332.7724 338.1883 34 4 . 0 4 7 1 350.2677 356.7279 3.272103 9.7323 15.95288 21.81119 27.22764 329.7778 335.0133 340.7345 346.8834 353.3546 O 6.645371 13.11661 19.26551 24.98674 30.22219 326.3495 331.8802 337.4303 343.4646 349.8998 356.6019 3.398068 74 75 76 7 7 ve 79 80 81 82 B3 84 85 Sé. B7 88 89 90 91 14., 9 8 5 9 8 14.. 6 6 7 9 4 Ib. , 2 2 6 6 9 13.. 6 9 5 9 13.. 1 0 9 0 8 IB.. 3 0 1 3 2 ie,. 8 5 6 1 6 13 . 3 7 0 6 5 13.. 8 1 6 4 3 14 . 1 6 3 6 3 Ib. . 3 8 4 9 5 Ib . 4 6 1 0 6 ib. . 3 8 4 9 5 Ib . 1 6 3 6 3 . 13 . 8 1 6 4 3 13 . 3 7 0 6 2 1S.. 8 5 6 1 6 15 . 3 0 1 3 2 PUNTOS DEL ICOSAE EN CARTESIANAS Y 1 5 3 b 5 6 7 a 9 10 11 12 13 Ib 1S 16 17 1S 19 SO £1 £2 23 3b £5 26 27 28 140 12.. 3 0 1 3 2 13.. 1 0 9 0 8 12.. 1 9 4 0 4 13.. 8 9 6 6 8 13.. 0 0 4 1 3 1 1..9 9 3 3 7 1'*,. 6 3 1 8 3 13.. 7 8 2 5 9 12,. 7 8 9 5 3 11 . 6 8 1 6 7 15., 2 7 8 1 6 ib. . 4 9 3 0 4 13.. 5 4 0 4 6 12 . 4 4 5 3 4 1 l..2 4 5 7 6 15 . 7 9 9 8 8 15 . 0 9 6 4 2 1*4 . 2 0 6 9 2 13..14921 11 . 9 5 8 2 6 10.. 6 8 0 6 2 16 . 1 6 7 9 6 15.. 5 5 6 9 7 14 . 7 4 9 2 7 13.. 7 5 3 2 9 12 . 5 9 7 3 8 1 l..3 2 6 1 4 9.992349 2.669473 4.354699 5.913179 7.319008 B.562169 •8.937429 •7.783789 -6.476213 •5.0191 1 -3.430159 •1 . 7 4 1 8 7 9 0 1.74 1 9 7 9 3.430139 5.01911 6.476213 7.783789 8.937429 7.569299 7.408657 7. 1 B 5 7 S 7 6.91769 6.621288 7.602632 7. 945544 S.263494 8.539021 8.753604 8.890383 B.937423 8.890383 8.753604 B.539021 8.263494 7.945544 7.602632 6 3 .. 5 6 0 4 8 6 4 .. 1 6 3 5 8 6 4 .. 9 9 5 2 6 6 5 ..9BB31 6 7 ..0774 63 .43495 6 2 .. 1 3 5 3 3 6 0 .. 9 1 6 2 3 5 9 .. 8 4 8 0 3 5 9 .OO804 5 8 .. 4 6 9 7 3 5B .28254 5 9 .. 4 6 9 7 3 59 .00804 5 9 .84803 60 .91623 62 . 13533 63 .43495 10.10023 16.53539 22.56972 28.1197B 33.15049 324 32B.8071 334.1562 340.0354 34 6.3862 353.0957 0 6.904354 13.61382 19.96463 25.84377 31 . 1 9 2 9 35.99999 ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : .ARES, (X,Y,Z,FI.,TETA) 3,7,8 8.937429 8.562169 9.821612 8.095266 9.44B053 10.71495 7.52B665 8.969478 10.3363 11.58921 6.B6031B 8.37673 9.B37717 1 1 . 19515 12.41043 ó.096579 7.668537 9.20979 1 10.6656 1 1 .98784 13.14263 5.2532B9 6.S54244 B.453341 9.992349 11.41516 12.67748 13.75329 3 5 ,, 9 9 9 9 9 3 3 .. 1 5 0 4 9 3 B ..8495 3 0 ,, 2 2 2 1 9 3 5 ,. 9 9 9 9 9 41 . .777B1 2 7 ..22764 ' 3 3 ..0554 1 3 B .. 9 4 4 5 9 4 4 .. 7 7 2 3 5 2 4 ,, 18141 3 0 .. 0 2 7 1 8 36 41 . 9 7 2 B 3 4 7 .. 8 1 8 5 9 21 . 0 9 9 7 3 2 6 .. 9 2 9 2 4 3 2 .. 9 5 3 7 6 3 9 .. 0 4 6 2 3 4 5 .. 0 7 0 7 7 5 0 .. 9 0 0 2 8 IB 2 3 ..77781 2 9 .. B 1 B 5 9 36 4 2 ,. 1 B 1 4 1 4 8 ..2222 54 7.602632 6.621290 6.621288 5.508996 5.534152 5.503996 4.269511 4.311473 4.311473 4.269511 2.91786B 2.963463 2.979143 2.963463 2.917868 1.481732 1.513B6 1.530728 1.53072B 1.51396 1 .481732 -1 . 9 5 7 7 1 B E --16 - 2 . 0 1 1 9 0 9 E - -16 - 2 . 0 4 6 4 9 8 E - -16 - 2 . 0 5 B 4 6 7 E - -16 - 2 . 0 4 6 4 9 8 E - -16 - 2 . 0 1 1 8 0 9 E - -16 - 1 . 9 5 7 7 1 8 E - -16 6 3 ., 4 3 4 9 5 6 7 ..0774 6 7 ,,0774 71 ,, 0 9 1 4 6 ?1 ,00181 • 71 ,. 0 9 1 4 6 7 5 .. 4 5 4 5 6 7 5 ..30B41 7 5 ..3084 1 7 5 ,, 4 5 4 5 6 8 0 ., 1 1 6 B 6 7 9 .. 9 6 0 8 3 7 9 ., 9 0 7 1 6 7 9 .. 9 6 0 0 3 BO.. 1 1 6 9 6 84 .99972 B 4 ..89101 94 .83393 B 4 .. B 3 3 9 3 8 4 ..89101 8 4 .. 9 9 9 7 2 90 90 90 90 90 90 90 PLANTA. CÚPULA DESMONTABLE PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA. O í j i 2 i 3 i 4 i 5 6 I 7 i 8 I 9 I 1 10 I m. ALZADO. CÚPULA DESMONTABLE ° I 1 E i 3 i 5 4 I I 6 1 7 I B 1 9 I I P 1 I m. PARA PROYECCIONES DE CINERAMA. - & - - " "*""•• -* 4 -'^> S B ( . i 143 2 43 3 , 3 - MUSEO DALrÉN'FIGUERAS (GERONA) Corresponde a la cubrición del escenario del teatro municipal. Como se puede ver en los planos la planta tropezoidad recubre con un casquete procedente de una esfera de R= 17 m. For el centro de gravedad del trapecio y con el mismo eje a la clave, se levanta en el casquete una cúpula de 14 m. de diámetro y 10 de altura. Pone un volumen regular transparente encima de una planta irregular. Esta planta irregular aunque no es de luces muy grande^ fué acertado cubrirla con una superficie curva de apoyo continuo en los muros, en lugar de plana. El efecto espacial queda a medio camio entre el de una grandísima linterna en un trozo de cúpula, y el de una cúpula pequeña de volumen muy definido que es ayudada a bajar hasta los bordes de apoyo por otras superficies curvas. El casquete deja ver al interior su reticulado. Apoya sobre él una cubrición de rasilla, hormigón e impermeabilizante. La cúpula de tres cuartos de esfera está cubierta con metacrilato transparente (opal en los pentágonos que marcan los vértices del icosaedro), apoyado en perfiles en te (-A-) que acumulan agua, simplemente sellados con silicona. 144 C: U F* U U . &i F» í^ F 2 C-í» EE U. MUSEO arví R A D I O r>^ -y M E T R O S O ¿* L - J EE M í - XC3LJEZFÍA3 PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYGS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,Z„FI,TETA) 1 5 3 4 5 6 7 0 .4411429 .4411429 .9175912 .9217813 .9175913 1 .422279 1 .436259 9 1.436258 10 1 .422279 l 1 1.944028 12 1.9744 05 13 1-984B52 1 ** 1 .974405 15 1 .944028 16 2.468007 17 2.52152 IB 2 . 5 4 9 6 16 19 2.549616 80 2.52152 SI 2.468007 22 5.977579 83 3.05954 84 3.112295 25 3.130496 26 3. 1 12295 27 3.05954 28 2.977S79 29 3.45521 30 3.569463 31 3.658845 32 3.695856 33 3.695856 34 3.652245 35 3.5694 63 36 3.45521 37 3.888056 3B 4.034433 39 4.149736 ¿•0 4.223835 41 4.249435 42 4.223835 U3 4. 149726 44 4.034433 45 ' 3.888056 46 4.866838 47 4,442412 48 4.5B9309 Í.9 4.695743 50 4.751814 51 4.7518 1 4 52 4.695743 53 4.589309 54 4.442412 55 4.266838 56 4.587957 57 4.787526 58 4.96213 59 5.099232 60 5.187157 e 0 -.320509 .320509 -.666669 0 .666669 -1.033346 -.3478341 .3478341 1 .033346 - 1 . 4 1 2 4 19 -.7172446 0 .7178446 1.418419 -i.793112 -1 . 0 9 9 1 9 5 -.3704809 .3704809 1.099195 1.793112 -2.163119 -1 . 4 8 1 9 2 4 -.753733 0 .753738 1.481924 8.163119 -2.510356 -1 . 8 5 2 4 0 4 -1.137819 -.3B35994 .3835994 1 .i 3 7 2 1 9 1.852404 2.51Ü356 -2.82f-.83B -2.19839 -1.507476 -.7671987 0 .7671987 1 .507^76 8. 19839 2.B84S38 -3.100039 -8.510356 -1.852404 -1.137819 -.3835994 .3835994 1 . 137219 1 .B52404 2.510356 3.100039 -3.333345 -2.788673 -2.163119 -1 . 4 B 1 9 2 3 -.7537378 7 6.97873 6.97873 6.9O7501 6.939044 6.907501 6.775642 6.848235 6.842235 • 6.775642 6.574636 6.677371 6.718708 6.677371 6.574636 6.300293 6.436902 6.508625 6.508625 6.436902 6.300293 5.954556 6.119078 6.824588 6.26099 6.224588 6.119078 5.954556 5.546138 5.729532 5.868409 5.938412 5.9324 12 5.862409 5.729532 5.546138 5.089531 5.28114 5.438061 5.589071 5.568598 5.529071 5.432061 5.2B114 5.089531 4.608592 4.79 1 9 8 2 4.950439 5.065848 5 . 185731 5. 125731 5.065248 4.950439 4.791982 4.602598 4.103593 4.282093 4.438264 4.560892 4.639534 0 4.467723 4.467723 9.324783 7.56683 9.324723 14.54544 12.18745 18.18745 14.54544 20.07675 17.46317 16.47888 17.46317 20.07675 25.83643 23.13B54 81 . 5 9 5 7 9 81.59579 23.13854 25.83643 31.71747 89.05499 27.28375 86.56506 27.22375 2 9 . 0 5 4 99 31 . 7 1 7 4 7 37.59852 35.06463 33.1243 32.06058 38.06058 33.1243 35.06463 37.59858 43.3588 41.02279 39.10343 37.8869 37.37737 37.8869 39.10343 41.02879 43.3588 48.88958 46.7983 44.998 43.64693 48.98488 42.92488 43.64693 44.992 46.7983 48.88958 5 4 . 11085 52.28548 50.65136 49.34099 43.48696 1,8,3 0 324 35.99999 324 0 35.99999 384 346.3868 13.61382 35.99999 324 340.0354 0 19.96463 35.99999 324 336.4464 351.7383 8.267698 23.55361 35.99999 324 334.1568 346.3862 0 13.61388 25.B4377 35.99999 324 338.5786 348.7047 354.0744 5.985613 17.8953 87.42746 35.99999 324 331.4137 340.0354 349.7053 0 10.29472 .19.96463 ' 28.5B687 35.99999 324 330.S297 338.0193 346.3868 355.3847 4.615304 13.61382 21 ,98071 29.47029 35.99999 324 329.8334 336.4464 343.7958 351.7383 CZ 61 62 63 64 65 66 67 6B 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7a 79 80 81 as 83 BÍ» 85 86 B7 58 89 90 91 5.817492 5. 187157 5.099232 '1.96513 A.787586 4.587957 4.B52578 5.069797 5.266379 5.439614 5.547344 5.609156 5.609156 5.547344 5.489614 5.86Ó279 5.069797 4. 8 5 2 5 7 8 5.065848 5.293714 5.505547 5.ÓB9117 5.8320B3 5.983216 5.954556 5.923816 5.3320B3 5.689117 5.50554 7 5.293714 5.0658'tS 0 .7537378 1 .431983 8 . 1631 19 E.7S2673 3.333345 -3.525599 -3.013709 -8.434B39 -1 . 7 9 3 1 1 1 -1 . 0 9 9 1 9 5 -.3704808 .370480B 1.099195 1.793111 2.434839 3.013709 3.585599 -3.6B0117 -3.205089 -2.666676 -8.066698 -1 . 4 1 8 4 1 9 -.7172445 0 .7172445 1 .412419 2.066692 2.666676 3.8050S9 3.680117 4.666667 4,639534 4.560B92 4.438864 4.8B3093 4.103593 3.608699 3.770842 3.916359 4.037B26 4. 185378 4.171345 4.171345 4.18537B 4.037886 3.916359 3.770348 3.608699 3. 130495 3.871695 3.402615 3.516067 3.604425 3.660748 3.680117 3.660748 3.604425 3.516067 3.402615 3.271695 3.130495 4B.18969 48.48696 49.34099 50.65136 58.29548 5 4 . 11085 58.96723 57.41121 55.98017 54.77196 53.88984 53.48273 53.42573 53.88984 54.77196 55.98017 57.41121 58.96723 63.43495 6 2 . 13533 60.91683 59.84803 59.00804 58.46S72 58.2B254 58.46872 59.00E104 59.84803 60.91623 62.13533 63.43495 TRIANGULO 1 LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO 1 - 2 8 - 3 3 - 1 .5456978 .6410181 .5456972 54.03163 71 .93674 54.03163 3 2 - 5 5 - 3 a .6410181 .5790633 .5790633 67.21432 56.39884 56.39884 3 - 5 5 - 6 6 - 3 .5790633 -667427B .5932143 54.30281 69.39678 56.30044 5 - 8 8 - 9 9 - 5. •62B5875 .6956683 .6885275 56.39865 67.2087 56.39865 5 - 6 6 - 9 9 - 5 .6674278 -612315B .62B5875 65.06388 56.39465 58.64149 6 - 9 9 - 10 10 - a .6123158 .6888B1 .6376123 54.81655 66.85448 53.33897 B - 9 9 - 13 13 - a .6956683 .6683616 .6623616 63.35565 58.32818 58.32218 9 - 13 13 - 14 14 - 9 .6623616 .7181902 .673236 56.74229 ¿5.05246 58.20526 9 - 10 10 - 14 14 - 9 .688881 .643755 ,673236 63.03025 56.39407 60.57569 0 8.267698 16.20476 23.55361 30.16661 35.99999 3¡24 329.2709 33S.186B 341.7244 348.7922 356.5211 3.778B58 11 . 8 0 7 8 6 18.87563 84.81383 30.7291 35.99999 324 328.8071 334.1562 340.0354 346.3868 3S3.0957 O 6.904 354 13.61382 19.96463 25.84 377 31.1989 35.99999 10 - 14 14 - 15 15 - 10 .643755 .7033807 .6755153 55.61732 64.38555 59.99713 13 * IB 18 - 19 19 - 13 .7055933 .740961B .7055933 58.32752 63.34497 58.32752 13 - 14 14 - 19 19 - 13 .71B1902 .692522S .7055933 61.81074 58.19992 59.98935 14 - 19 19 - 50 20 - i 4 .692522B .7327739 .709257** 57.37447 63.01984 59.6057 14 - 15 15 - 20 20 - ti» .7033307 .6712505 .7092574 61.1BBB 56.73967 62.07154 15 - ao 30 - 21 31 - 15 .6712505 .7092574 .7033B08 56.73967 62.07153 61.1888 ia - 19 19-25 35 - IB .74096 IB .7321201 .7321201 60.80062 59.59969 59.59969 19 - 25 25 - 26 26 - 19 .7321201 .754B359 .7376785 58.73712 61.8017 59.46118 19-20 20 - 26 26 - 19 .7327739 .7165415 .73767B5 60.4952B 58.32451 61. 18022 20 - 26 26 - 27 27 - 20 .7165415 .7376785 .732774 5B.32451 61 . 1S02 60.49529 20-21 21 - 27 27 - 20 .7092574 .6925228 .732774 59.6057 57.374 47 63.019B4' 21-27 27 - ae 2B - £l .6925228 .7055933 .71 SI 903 58.1999S 59.9B935 61 .81075 25 - 32 32 - 33 33 - 25 .7531191 ,767198a .75B1191 59.60302 60.79397 59.60302 25 - 26 26 - 33 33 - 25 .7548359 .7502756 .7581191 60.05334 59.45736 60.4BBB 26 - 33 33 - 3'* 34 - 26 .7502756 .75B119 .754836 59.45787 60.4BB79 60-05335 26 - 27 27 - 34 24 - 26 .7376785 .73212 .754336 59.46117 5B.73712 61-80171 27 - 34 34 - 35 35 - 27 .73212 .73212 .7409618 59.59969 59.59969 60.80063 27 - 2B 28 - 35 35 - 27 .7055933 .7055934 .7409618 58.32751 58.32753 63.34496 32 33 -41 33 A1 32 .76719B8 .768357 .763357 59.90031 60.04986 60.04986 33 41 42 41 42 33 .768357 .7683568 .7671988 60.04986 60.04984 59.90032 33 34 42 34 42 33 .758119 .758119 .7671988 59.60301 59.60301 60.79398 FUN rilS D E L IC0SAEDRL1 E S F É R I C O C U Y O S V É R T I C E S S O N L O S t.N L'.ARI E S l A N ñ S Y P0LñF)E5 , < X , Y , Z , F I , T E T A > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 ia 13 14 15 16 17 IB 19 30 21 23 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 aa 39 40 "ti 42 43 44 45 46 47 43 49 SO 51 52 53 26099 43925 43925 5 8 8 6 17 618702 588617 696381 76219b 762195 6963B1 749923 855403 891675 855403 74992B 738879 88499B 6.961715 6.961715 6.084998 6.730B79 6.657396 6 . 84 1 338 6.959302 7 6.959302 6.84 1338 6.657396 6.505833 6.720961 6.876B32 6.95894 7 6.95B947 6.876832 6.720961 6.505333 6.293 0 0 5 527B4 8 71439S 334 309 875729 B34309 714398 6.527B4B 6.291005 024072 278786 48O808 630495 709669 709669 6.630495 6.430208 O -.320509 .320509 -.666669 O .666669 -1 . 0 3 3 3 4 6 -.347334 1 .347B341 1 .033346 -1 . 4 1 2 4 19 -.7172446 O .7172446 1 .412419 -1.793111 -1 . 0 9 9 1 9 5 -.3704808 .3704808 1 .099195 1 .793111 -2.163119 -1.481923 -.753738 O .753733 1 .481923 2. 163119 -2.510356 -1 . B 5 2 4 0 4 -1 . 1 3 7 2 1 9 -.3B35994 .3835994 1 . 137219 1.852404 2.510356 -2.324837 -2.19B39 -1.507476 -.7671988 O .7671988 1.5074 7 6 2. 19B39 2.824337 -3.100039 -2.510356 -1 . 8 5 2 4 0 4 - 1 . 137219 -.3335994 .3335994 1.137219 1.352404 •3. 1 3 0 4 9 5 •2.7264 12 •2.72Ó412 •2.26841 •2.27876B •2.26841 •1.758034 1.775312 •1 . 7 7 5 3 1 2 •1 . 7 5 B 0 3 4 •1 . 2 0 1 4 7 5 1 .220249 1.226706 1.22024 9 •1 . 2 0 1 4 7 5 -.6101247 -.623354 -.6302998 •.6302998 -.623354 -.6101247 9.7B859E-17 1.005905E-16 1 .023249E-16 1 .029233b"-16 1-023249E-16 1.005905E-16 9.788592-17 .6101247 .6302997 .6449175 -65261B4 -65261B4 .6449175 .6302997 .6101847 1 .201475 1 .246708 1 .282336 1 .305237 1 .313147 1 .305837 1.2B2336 1 .24670B 1.201475 1.753034 1 .S30374 1.890899 1.934752 1.957855 1.957855 1 .934758 1.890899 PUNTOS 116.5651 1 12.9226 112.9226 •108.9086 108.9982 10B.9086 104.5454 104.6916 104.6916 104.5454 99.38315 100.0392 100.0928 100-0392 99.8B315 95.00023 95.10899 95.16607 95.16607 95.10399 95.00028 10 90 90 90 90 9 O 90 -84.99972 34 . B 3 3 9 3 84.71378 34.65048 84.65048 84.71378 84.83393 84.99972 80.11686 79.740B3 79.4 4434 79.8536 79.1B768 79.2536 79.444 34 79.74083 BO.116B6 7 5 . 4 54 5 6 7 4 .¡"54 199 74.3281 73.95495 73.75809 73.75809 73.95495 74.3281 2 , 3 357.!505 2.B49504 354.2222 O 5.777807 351.2277 357.0554 2.9445BS B.772353 343.1B14 354.0272 O 5.972324 I 1.81859 345.0997 350.9292 356.9538 3.04 6 8 3 9.070762 14.90027 342 34 7.7778 353.B186 O 6.131413 12.22219 18 338.9003 344.591 350.61 356.B449 3. 1 5 5 1 3 3 9.389998 15.40906 21 . 0 9 9 7 3 335.81B6 34 1 .388 347.3461 353.595 O .6.405036' 12.65387 1B.61203 24.18141 332.7724 338.I 8 8 8 344.0471 350.2677 356.7279 3.272103 9.7323 15.952B8 b4 ;is 56 57 ba 5'? 60 61 6a 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 79 79 80 01 aa 83 Bit 85 86 B7 89 89 90 91 ó. 2 7 2 7 8 6 6.024872 5.''r.'2162 5.9710f>8 6. 1 8 8 8 3 6 b . 359832 6.4 6 9 4 9 3 3.510356 3. 1 0 0 0 3 9 -•3.333345 -2.7Í'(2673 -2.163119 -1 .4ÍÍ1923 -.75373B 1.830374 1 .75B034 £.2684 1 2.367083 2 . 4 5 3 4 12 2.521199 2.564671 ' 7Í "BÍ.199 ^•¡:'ó456 ^-l."M46 7 °^3532 6 ^-V82SB 6 0 ' -3B929 6 8 • ¿0737 ai -Bl 1-19 27.82764 329.777B 335.0133 340.7345 346.BB34 353.3546 6.507327 6.469493 6.359832 6. 1 8 8 8 3 6 5.97106B 5.722162 5.397B55 5.639489 5.B5805 6.039739 6. 1 7 0 6 9 9 6.239455 6.239455 6. 1 7 0 6 9 9 6.039739 5.85805 5.639489 5.397855 5.065243 5.293714 5.5055475.689117 5.832083 5.933216 • 5.954556 5,923216 5.H32083 5.6B9117 5.505547 5.293714 5.065248 0 .753738 1 .'«81933 a. 1631 19 2.7B2673 3.333345 -3.525599 -3.013709 -2.434B39 -1.793111 -1.099195 -.3704B0B .3704803 1 .099195 !.793111 2.434839 3.013709 3.525599 -3.680117 -3.2050B9 -2.666676 -2-066692 -1 . 4 1 2 4 1 9 -.7172445 0 .7172445 l .412419 2.06669E 5.666676 3.205089 3.6B0117 a.57967 2.564671 2.531199 3.453412 2.3670B3 2.2684 1 2.726413 2.848461 2.95B854 3.05O624 3. 11677 3.151499 3. 151499 3.11677 3.050624 2.958854 2.84B461 2.726413 3.1304 95 3.271695 3.402615 3.516067 3.604425 3.66074B 3.680117 3.660748 3.604425 3.516067 3.402615 3.S71695 3.130495 68.37538 6B.50737 68.88929 69.482B8 70.23552 71.09146 67.0774 65.9BB31 64.99526 6 4 . 16358' 63.5604B 63.2425B 63.24258 63.5604B 6 4 . 16358 64.99526 65.98B31 67.0774 63.43495 62.13533 60.91623 59.84803 59.00804 58.46872 58.28254 5B.46B72 59.00B04 59.84B03 60.91623 62.13533 63.43495 0 6.645371 13.11661 19.26551 24.93674 30.22219 3a6.B495 331.BBOa 337.4303 343.4646 349.899B 356.6019 3.398068 lO.10023 16.53539 22.56972 ai3. 1 1 9 7 8 33.15049 324 328.8071 334.1562 340.0354 346.3862 353.0957 0 6.9043S4 13.61382 19.96463 25.84377 31 . 1 9 2 9 35.99999 " PUNTOS DtL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : EN CARTESIANAS Y POLARES, CX,Y,2 , FI,TETA) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ÍO l l ia 13 14 15 16 17 IB 19 ao ai 2a 53 24 85 a6 27 28 5.065248 5.397855 5.021074 5.72216B 5.35464 3 4.938445 6.024872 5.675183 5.266279 4.8101 6.291005 5.967724 5.575483 5.124552 4.630600 6.505B33 6.216172 5.849909 5.4 1 4 3 8 a 4.92399 4.397904 6.657396 6.4058ia 6.07323 5.663119 5.167157 4.663706 4.114497 3.690117 3.525599 4.044194 3.333345 3.890375 4.412039 3.100039 3.693314 4.256122 4.77202B 2.824837 3.449242 4.050825 4.609768 5. 1 10179 a.510356 3. 157633 3.792267 4.391718 4.936168 5.411672 2. 163119 2.B22336 3.4B0788 4. 1 14496 4.700362 5.220139 5.663119 3.130495 2 . 7 2 6 4 13 2.726413 2.2684 1 2.a7876B a.26841 1-758034 1.775312 1.775312 1.75B034 1.201475 1 .22025 1 .226706 1 .220249 1 .201475 .6101247 .623354 .6302998 .6302998 .623354 .6101247 - 9 . 7 B 8 3 9 E - 17 -1 . 0 0 5 9 0 5 E - 1 6 - 1 . 0 2 3 a 4 9 E -16 -1 . 0 a 9 2 3 3 E -16 - 1 . 0 B 3 2 4 9 E -16 ~ 1 . 0 0 5 9 0 5 E -16 - 9 . 7 8 B 5 9 E - 17 63.43495 67.0774 67.0774 71 . 0 9 Í 4 6 7 1 .00181 71.09146 75.45456 75.30B41 75.3084 1 75.45457 BO.11686 79.960B3 79.90716 79.960B3 80.11685 B4.99972 8 4 . B 9 101 84.83393 84.83393 84.69101 84 .99972 90 90 90 90 90 90 90 3 , 7 , B 35.99999 33.15049 38.8495 30.22219 35.99999 4 1.77781 27.22764 33.05541 38.94459 44.77235 2 4 . 18141 30.02Í18 36 4 1 .97283 47.B1859 21.09973 26.92924 32.95376 39.04623 4 5.O7077 50.9002B 18 23.77781 29.81B59 36 42.16141 4B.2222 54 30 31 32 33 34 35 36 37 3B 39 40 41 42 43 ¿tí. «•5 46 47 ' 48 49 50 51 53 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 "64 65 66 67 6B 69 70 71 7S 73 74 75 76 77 73 79 80 SI 82 S3 84 85 86 37 aa S9 90 91 150 .738879 .526188 231915 855381 4 04 4 32 895034 348556 7B7779 749928 6.57332H 6.318134 5.980019 5.56253.= 5.078123 4.545989 3.98B959 3.429132 696331 55034 1 331415 038624 653711 5.303768 4.695743 4. 1 5 3 7 8 8 3, 5 9 9 5 4 3,. 0 5 3 0 6 6 6.. 5 8 8 6 1 7 6.. 4 6 6 3 0 9 6.. 3 7 3 3 2 2 6.. 0 1 6 2 6 5 5 .. 6 7 6 9 6 6 5 .. 2 6 4 5 3 8 4 .. 7 9 0 8 9 4 4 ..274 159 3 .. 7 3 5 4 3 4 3 .. 1 9 5 0 8 1 2 .. 6 7 0 0 3 4 6.. 4 3 9 8 5 6.. 3 3 3 8 5 6 6.. 1 7 0 4 2 5 5 .. 9 4 0 2 1 6 5 638391 5 .2655RB 4 S3O062 4 346109 3 8332B7 3 3O8099 2 791029 2 29466. 6 26099 6 16661 6 031514 5 817364 5.548454 5.313568 317336 370396 883055 38782 886648 398799 1 .934752 .79311 1 .451855 .128071 .780028 .4 0 0 7 0 5 .96213 .449109 .354953 .412419 .058438 .72705 .39642B .04 1 4 5 2 4.637783 5. 16619S 0.615507 .983102 .033346 .65613 .310344 .977278 .633506 .254 184 4.817337 5.307598 5.717972 6.049315 .666669 1.258476 1.887706 2.539314 3.192886 .824911 .41246 .937117 .3B7707 .760936 6.060135 .320509 .876666 1.47344 9 2.099412 3.73777B 3.367734 3.967185 4.516313 5.000728 5.413101 5.752951 6.025049 O .5185946 1 .078693 1.67199 2.285342 2.901316 3.5 4.061843 4.570683 5.015969 5.393466 5.704 54 5.954556 .6101247 .6303998 .6449176 .6526184 .6536183 .6449175 .6302998 .6101246 .201475 .246708 .282336 .305237 .313147 .305237 .282336 .246703 .201475 .758034 .330374 .890899 .934752 -1.957855 -1.957355 -1 . 9 3 4 7 5 2 -1 . 8 9 0 8 9 9 -1 . 3 3 0 3 7 4 -1 . 7 5 8 0 3 4 -3.2634 1 -2.367083 -2.453412 -2.521199 -2.564673 -3.57967 -3.564672 -2.521199 -2.453412 -2.367083 -2.26841 -2.726412 -2.S4B461 -2.958854 -3.050624 -3.11677 .151499 - 3 .. 1 5 1 4 9 9 - 3 .. 1 1 6 7 7 - 3 .. 0 5 0 6 3 4 --33.. 9 5 B B 5 4 -S.84S461 -2.726413 - 3 . 130495 -3.271695 -3.402615 -3.516067 -3.604426 -3.660749 -3.680117 -3.660749 -3.604425 -3.516067 -3.403615 -3.271695 -3.130495 95.00023 95.16607 95.28633 95.34952 95.34952 95.28622 95.16607 95.00058 99.38315 100.2592 100.5557 100.7464 100.8123 100.7464 100.5557 100.5592 99.8B314 104.5454 1 0 5 . 158 105.6719 106.0451 106.2419 106.2419 106.0451 105.6719 K ' S . 158 104.5454 108.9086 109.7645 110.5171 111.1107 U1.4926 1 1 1 .6246 1 1 1.4926 111.1107 110.5171 109.7645 IOS.9086 112.9226 114.0117 115.0048 115.8364 116.4395 116.7574 116.7574 116.4395 115.B364 115.0043 114.0117 112.9226 116.5651 117.8647 119.0838 120. 152 120.992 121 5 3 1 3 121 7 1 7 5 121 5 3 1 3 120.992 120.152 1 19.083B 1 17.R647 1 16.5651 14.90037 20.59094 26.61 32.844 37 39.15514 45.39001 51.40906 57.09973 11.81859 17.38797 23.34612 29.59496 36 42.40504 4B.65338 54.61204 60.1B142 8.772353 1 4 . 1BB81 20.04711 26.2677 32.7279 39.2721 45.73231 51 . 9 5 3 3 9 57.3112 63.22765 5.777307 11 . 0 1 3 2 5 16.73448 22.88339 39.35463 36 42.64538 49.11663 55.26552 60.98675 • 66.2222 2.349504 7.880316 13.43028 19.46461 25.39977 32.60193 39.39B07 46.10024 52.53541 58.56973 64.1198 69.15051 O 4.B07103 10.15623 16.03537 22.33618 29.09565 36 42.90436 49.61383 55.96464 ' 6 1 . B 4 37B 67.1929 72 PLANTA DEL RETICULADO INTERIOR, CUBIERTO. CÚPULA MUSEO DALÍ EN RGUERAS O 1 li i..ni..t 2 I i 3 I , 4 I m. ALZADO DEL MURO POSTERIOR CÚPULA PARA EL MUSEO DAL! EN FIGUERAS. O 1 li i ii l u í il i 2 [_ CÚPULA MUSEO DALÍ EN FIGUE'RAS CUBIERTA. CAPA EXTERIOR DE RETICULADO PARA LIMPIEZA Y MANTENIMIENTO. LU.JJU.JJ.jJL. JZ54 [ R O 24 O C T U I I E 1 NOVIEMBRE 3,¿f - MUSEO PALEOCRISTIANO EN TARRAGONA 156 M L J S E O P A L E O C R X S T X A N O O X O D E X '>* M E T R O S OEZ TV-^FiFÍ^ t ^ O N f t PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : EN CARTESIANAS Y P0LARE5,(X,Y,2,FI,TETA) 1 2 3 4 5 6 7 B 9 10 1 1 1? 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 ¿9 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4 S 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 - I d . 4 6 i06 -13.85388 -13.853(38 -13.0984 2 -13.15B23 -13.09S42 -12.18164 -1 2 . 3 0 1 3 6 -12.30136 - 1 2 . IB I 6 4 -11.10023 -1 1 . 2 7 3 6 8 -1 1 . 3 3 3 3 3 -1 I .2736B - 1 1 . 10023 -9.E364473 -10-07836 -10.19066 -10.19066 -10.07R36 -9.864473 -B.5 -8.734852 -8.885466 -8.937429 -8.B85466 -8.734852 -9.5 -7.046052 -7.279044 -7.447858 -7.536791 -7.53679 1 -7.447858 -7.279044 -7.046O58 - 5 . 5 5 0 115 -5.759065 -5.933644 -6.029433 -6.065975 -6.029433 -5.923644 -5.759065 -5.550115 -4.060546 -4.227631 -4 . 3 6 7 4 5 6 -4.468714 -4.522075 -4.522075 -4.468714 -4.367426 -4.227631 -4.060546 -S.619633 -S.733636 -S.B33333 -3.911618 0 -.7783791 .7733791 -1 . 6 1 9 0 5 4 -3.0306E-17 i .619054 -2.509555 -.8447401 .8447401 2.509555 -3.43016 -1 .74 188 -6.525727E-17 1 .74 189 3.43016 -4.3547 -2.669474 -.8997393 .3997393 2.669474 4.3547 -5.253589 -3.598957 -1 . 8 3 0 5 0 7 -6.B61555E-17 1 .830507 3.598957 5.253289 -6.09658 -4.498697 -2.761818 -.9315987 .9315987 "2.761818 4.498697 6.09658 -6.86035 -5.333948 -3.661014 -1.863197 6.9B5571E-17 1.B63197 3.661014 5.33B94S 6.86032 -7.528667 -6.09658 -4.493697 -2.761818 -.93159BB .9315988 2.761818 4.498697 6.09658 7.528667 -B.095268 -6.757921 -5.253289 -3.598958 8.937429 9.B31614 9.821614 10.71495 10.7638B 10.71495 11 . 5 8 9 2 1 11.70312 11.70312 11 . 5 8 9 2 1 12.41044 12.604 36 12.67105 1S.60436 12.41044 13. 14263 13.4376 13.57732 13.57723 13.4276 13.14363 13.75329 14. 13329 14.37699 14.46106 14.37699 14. 13329 13.75329 14.31917 14.63936 15.03003 15.2095 15.2095 15.03003 14.68936 14.21917 14.53039 15.07743 15.5083 15.78526 15.88093 15.78526 15.5033 15.07743 14.53039 14.69119 15.39571 15.8015 16.16796 16.36102 16.36102 16.16796 15.8015 15.39571 14.69119 14.71747 15.35766 15.91776 16.35757 58.28253 54.70B13 54.70812 50.92339 50.71567 50.92839 47.02194 46.49496 46.49496 47.02194 43.11146 42.14636 41 . 8 1 0 3 2 42.14636 43.11146 39.36727 37.82767 36.99768 36.99769 37.82767 39.36737 36 33.76029 32.25245 31 . 7 1 7 4 8 32.25245 33.76029 36 33.23583 '30.22219 27.85664 26.53309 26.53309 27.85664 30.22219 33.23582 31 . 2 7 0 2 2 27.51281 2 4 . 18141 21.79091 30.90516 21.79091 2 4 . 1814 1 27.51381 31 . 2 7 0 2 2 30.20991 25.87506 2 1 .64304 18 15.75B91 15.75B91 18 31 . 6 4 3 0 4 35.87506 30.30991 30.03343 35.39245 20.55445 15.ROÍ 7 2 G O M 1,2,3 270 183.3158 176.7842 187.0464 180 172.9536 191 . 6 4 0 7 183.9284 176.0716 168.3593 197.172 188.7832 180 171.2168 162.B28 203.B192 194.8354 185.0456 174.9544 165.1646 156.1808 21 1 . 7 1 7 5 302.3928 191.6407 180 168.3593 157.6072 14B.3825 220.8679 211.7175 200.345B 187.0464 172.9536 159.6542 148.2825 139.1321 231.0266 • 222.8321 211.7175 197.172 180 162.82S. - 148.2825 137.1679 128.9735 24}.66 235.2609 225.8483 21 1 . 7 1 7 5 191.6407 168.3593 14B.2B25 134.1518 124.7391 118.34 252.0681 247.9763 : 341.66 231.OP66 R « 60 ¿1 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 B0 £31 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 -2.961822 -2.979143 -E.'. 9 6 1 8 2 2 -2.911618 -2.333333 -2.733636 -5-619683 -1 . 2 5 9 4 4 4 -1.315883 -1.366818 -1 .¿.0921 -1 . 4 3 9 7 6 6 -l . 4 5 5 B 0 9 -1 .'.55809 -1 .4 3 9 7 6 6 -1 .40921 - 1. 3668 1 8 -1.315883 -1 . 2 5 9 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.B30507 6.861556E-17 1.830507 3.598958 5.253289 ó.757981 8.095268 -8.562169 -7.31901 -5.913191 -4.3547 -2.669474 -.B997393 .8997393 2.669474 4.3547 5.913181 7.31901 8.562169 -8.937429 -7.783791 -6.476214 -5.0191l1 -3. « 0 1 6 -i.74 isa -1 .95771SE-16 1 .74188 3.43016 5.019111 6.476214 7.733791 8.937429 16.63962 16.73693 16.6396S ' 16.35757 15.91776 15.35766 14.71747 14.63226 15.28727 15.87974 16.37225 16.72725 16.91364 16.91364 16.72725 16.37225 15.87974 15.28727 14.63226 14.46106 15.11333 15.7181 16.24218 16.65035 16.91052 17 16.91052 16.65035 16.24218 15.7181 15.11333 14.46106 11 .81857 10.09283 11.81857 15.80172 20.55445 £5.39245 30.03343 30.60235 25.94017 20.9164 1 15.61892 10.27722 5.777853 5.777B53 10.27722 15.61892 20.9 1641 25.94017 30.60235 31 .71748 27.24975. 22.39277 17.17204 11.64074 5.881082 0 5.881082 11.64074 17.17204 22.39277 27.24975 31.71748 211.7175 180 148.2BS5128.9735 118.34 1 12.0237 107.9319 261.6322 259.80B2 256.9B4B 252.0681 E41.66 211.7175 148.2B25 118.34 107.9319 103.0152 100.1919 98.36785 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 7 , 2 , 3 EN CARTESIANAS Y POLARES,<X,Y,Z,FI,TETA) 1 2 .3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 14.46106 13.S5388 13.85388 13.09B42 13. 15B23 13.09342 12.1B164 1E.30136 1S.30136 12.18164 11.10023 11.2736B 11.33333 11.27368 11 . 1 0 0 2 3 9.864473 10.07836 10.19066 10.19066 10.07836 9.864473 8.5 B.734B52 8.885466 B.937429 8.885466 8.734852 8.5 7.046052 7.279044 7.447853 7.53679 1 7.536791 0 -.7783791 .77B3791 -1.619054 -3.0306E-17 1 .619054 -2.509555 -.8447401 .9447401 2.509555 -3.43016 -1 . 7 4 1 S B -6.525727E-17 1.74183 3.43016 -4.3547 -2.669474 -.8997393 .8997393 2.669474 4.3547 -5.253289 -3.598957 -1.B30507 -6.861555E-17 1.830507 3.598957 5.253289 -6.0965B -4.498697 -2.761818 -.9315987 .9315987 B.937489 9.821614 '9.821614 10.71495 10.7638B 10.71495 11.58921 11.70318 1 1.70312 11.58921 12.41044 12.60436. 12.67105 12.60436 12.41044 13.14263 13.4276 13.57722 13.57722 13.4276 13.14263 13.75329 14.13329 14.37699 14.46106 14.37699 14.13329 13.75329 14.21917 14.68936 15.03003 15.2095 15.2095 5 8 .. 2 8 2 5 3 5 4 ..70812 5 4 .. 7 0 8 1 2 5 0 .. 9 2 8 3 9 5 0 .. 7 1 5 6 7 5 0 .. 9 2 8 3 9 4 7 .. 0 2 1 9 4 4 6 .. 4 9 4 9 6 4 6 .. 4 9 4 9 6 4 7 .. 0 2 1 9 4 4 3 . 1 1 146 4 2 .. 1 4 6 3 6 41 . B 1 0 3 2 4 2 .. 1 4 6 3 6 4 3 . 1 1 146 3 9 .. 3 6 7 2 7 37 .82767 36 . 9 9 7 6 B 36 .9976B 3 7 .. 8 2 7 6 7 39 .36727 36 3 3 .76029 3 2 .. 2 5 2 4 5 31 . 7 1 7 4 8 3 2 .. 2 5 2 4 5 33 .76029 36 33 .23582 3 0 .. 2 2 2 1 9 2 7 .. 8 5 6 6 4 2 6 .. 5 3 3 0 9 2 6 .. 5 3 3 0 9 270 356.7842 3.215778 352.9536 360 7.046407 348.3593 356.0717 3.92836 11.64073 342.B28 351.2168 360 8.783232 17.17204 336.1B08 . 345.1647 354.9544 5.045594 14.B3536 23.8192 328.2625 337.6073 348.3593 360 1 1 .64073 22.39277 31 . 7 1 7 4 8 319.1321 32B.2825 339.6542 352.9536 7.046407 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4S 49 50 51 52 53 54 55 56 57 53 59 60 61 65 63 64 65 66 67 63 69 70 71 72 73 74 75 76 77 7B 79 80 81 B2 B3 84 85 86 87 88 89 90 91 7.447858 7.279044 7.046052 5.550115 5.759065 5.923644 6.089433 6.065975 6.029433 5.923644 5.759065 5.550115 4.060546 4.227631 4.367426 4.468714 4.522075 4.522075 4.468714 4.367426 4.227631 4.060546 2.619683 2.733636 2.833333" 2.911618 2.961832 2.979143 £.961833 S. 911618 2.B33333 £.733636 £.619683 1 .259444 1.315823 1 -366B18 1.40981 1.439766 1.455809 1.455809 i.439766 1.40921 1.366818 1.315823 1.259444 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0 2.761818 4.498697 6.09658 -6.86033 -5.338948 -3.661014 -1.863197 6.985571E-17 1 .863197 3.661014 5.338948 6.86032 -7.558667 -6.09658 -4.498697 -5.761818 -.9315988 .931598B 2.76181B 4.498697 6.09658 7.528667 -8.095268 -6.757921 -5.253289 " -3.593958 -1.830507 6.861556E-17 1.830507 3.59895B 5.253289 6.757921 8.095263 -8.S62169 -7.31901 -5.9131B1 -4.3547 -2.669474 -.9997393 .8997393 2.669474 4.3547 5.913181 7.31901 8.562169 -8.937429 -7.7B3791 -6.476214 -5.019111 -3.43016 -1.74188 -1.95771SE-16 1.74188 3.43016 5.01911l 6.476214 7.7B3791 8.937429 15.03003 14.68936 14.21917 14.53039 15.07743 15.5083 15.78536 15.88093 15.78536 15.5083 15.07743 14.5303? 14.6911? 15.29571 15.8015 16.16796 16.36102 16.3610216.16796 15.8015 15.29571 14.69119 14.71747 15.35766 15.91776 16.35757 16.63962 5 6.73693 16.63962 16.35757 15.91776 15.35766 14.71747 14.63226 15.28737 15.87974 16.37225 16.72725 16.91364 16.91364 16.72735 16.37225 15.87974 15.2B727 14.63326 14.46106 15.11333 15.7181 16.24218 16.65035 16.91052 17 16.91052 16.65035 16.24218 15.7181 15.11333 14.46106 27.85664 30.22219 33.23582 31.27022 27.51281 24.1B141 21 .79091 30.90516 El .79091 24.18141 27.51281 31.27022 30.20991 55.87506 21.64304 18 15.75B91 15.75B91 18 21 .64304 25.87506 30.20991 30.03343 25.39245 20.55445 15.B0172 11.81857 10.09283 11 -81B57 15.B0173 20.55445 25.39345 30.03343 30.60335 25.94017 20.91641 15.61892 10.27722 5.777853 5.777853 10.27722 15.61892 20.91641 25.94017 30.60235 31.7174B 27.24975 22.39277 17.17204 11.64074 5.881082 0 5.881082 11 .64074 17.17204 22.39277 27.24975 31 .71748 TRIANGULO 7 2 3 LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS BARRA LONGITUD ÁNGULO OPUESTO 85 - 72 72 - 73 73 - 35 1.713584 1 .799479 1.7135B4 58.32752 63.34497 58.32752 B5 - 86 B6 - 73 73 - 85 1.744177 1.681B41 1 .713584 61.81075 58.19993 59.98933 43 - 34 34 - 35 35 - 43 1.833173 1.778006 1 -79150F5 61 .80171 53.73712 59.Í.A1 ifl 30.34581 31 .71748 40.B6793 308.9735 317.1679 328.2825 342.B2B 6.59B176E-16 17.17204 31.71748 42.83209 51.03656 29B.34 304.7391 314.1517 328.2835 348.3593 1 1 .64073 31.71748 45.B4835 55.2609 61.66004 2B7.9319 292.023B 298.34 30B.9735 328.2825 1.319635E-15 31.71748 51.03656 61.66004 67.97626 72.06807 378.3679 2B0.191B 283.0152 287.9319 298.34 32B.3835 31.71748 61.66004 73.06807 76.9848 79.80815 81.63215 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 / B6 - Q7 87 - 74 74 - 86 1.708211 1 .63018 1.7224B2 61.18881 56.73965 62.07154 B7 - 74 74 - 75 75 - B7 1 .63018 1 .722432 1.70821 56.73967 62.07155 61 .1BBB 87 - 88 BB - 75 75 - 87 1.640537 1 .563405 1.70821 59.99713 55.61732 64.38555 B8 - 75 75 - 76 76 - BB 1 .563405 1 .635002 1.672997 56.39406 60.57568 63.03026 BB - 89 89 - 76 76 - 89 1.548487 1 .487053 1.672997 5B.32B9B 54.81653 66.B545 75 - 73 73 - 61 61 - 78 1.7994-79 1.77B006 1 .778006 60.80063 59.59969 59.59969 73 - 61 61 - 62 62 - 73 1 .77B006 1 .833174 1.791505 58.7371 61.80172 59.46118 73 - 74 74 - 62 62 - 73 1 .779594 1.740172 1.791505 60.49529 58.3245 61.18021 74 - 6S 62 - 63 63 - 74 1.740178 l". 791505 1.779594 58.3245 61.19023 60.49528 74 - 75 75 - 63 63 - 74 1.7224B2 1.681841 1.779594 59.6057 S7.37446 63.01984 75 - 63 63 - 64 64 - 75 1 .681841 1 .713584 1.744176 58.19992 59.98936 61 .81074 75 - 76 76 - 64 64 - 75 1.635002 1.608592 1 .744-176 5B.80526 56.74228 65.05246 76 - 64 64 - 65 65 - 76 1 .608592 1.608592 1 .6B94B 58.32217 58.32218 63.35566 61 - 50 50-51 51 - 61 1.841147 1.863198 1.841147 59.60301 60.79398 59.60301 61-62 62 - 5 1 ' '51-61 1.833174 1.822098 1.841147 60.05337 59.45785 60.48879 62 - 51 51-52 52 - 62 1.B22098 1.841147 1.833173 59.457S5 60.48879 60.05335 62 - 63 63 - 52 52 - 62 1 .791505 1.778006 1 .B33173 59.46119 58.7371 61 .80171 63 - sa 1.77B006 1.778006 I .799479 1.681841 1.779594 1.722482 59.59969 59.5997 60.80062 57.37446 63.01984 59.6057 52 53 86 73 74 - 53 ~-63 - 73 - 74 - B6 63 - 64 64 ~ 53 53 - 63 1.713584 1..7135B4 1.799479 SB.32753 5B.32751 63.34497 64 - 53 53 - 54 54 - 64 1.713554 1.681841 1.744176 59.98935 58.19992 61 .B1074 64 ~ 65 65 - 54 54 - 64 1.608595 1.635002 1.744176 56.74229 5B.20525 65.05246 50 - 51 51 - 41 41-50 1.B6319B 1.86601 1.B6601 59.90032 60.04985 60.04985 51 - 41 41-42 43 ~ 51 1.B6601 1.86601 1.863197 60.049B5 60.04985 59.90032 51-52 52 - 42 43 - 51 1.841147 1.041146 1.863197 59.60303 59.60301 60.7939B 52 - 42 42 - 43 43 - 52 1.B41146 1.B2209B 1.B33173 60.48879 59.45787 60.05334 52 - 53 53 - 43 43 - 52 1.77S006 1.791505 1.833173 58.73712 59.46118 61 .60171 53 - 43 43 - 44 44 - 53- 1.791505 1.740172 1.779594 61.1802 58.32453 60.49528 53 - 44 44 - 54 54 - 53 1.779594 1.7SS482 1.681841 63.01984 59.6057 57.37446 54 - 44 44 - 45 45 - 54 1.732482 1.63018 1.70B21 62.07155 56.73967 61 . 1BB79 41 - 35 32 - 33 33-41 1.86601 1.863197 1.96601 60.04985 59.90032 60.04985 41 - 42 42 - 33 33-41 1 .B6601 1 .863197 1 .B6Ó01 60.04986 59.90032 60.04984 42 - 33 33 - 34 34 - 42 1.B63197 1 .B41147 1.841147 60.79397 59.60301 59.60301 42 - 43 43 - 34 34 - 45 1.B2209B 1.B33173 1.841147 59.457B7 60.05335 60.48879 43 - 34 34 - 35 35 - 43 1.833173 1 .778006 I.791505 61.80171 59.7371S 59.4611B 43 - 44 44 - 35 35 - 43 1.740172 1.779594 1.791505 5B.32451 60.49528 61.1B021 44 - 35 35 - 36 36 - 44 1.779594 1.6B i 841 1.722482 63.019B4 57.37446 59.6057 44 - 45 45 - 36 36 - 44 1 .63018 1 .70B21 1 .722482 56.73967 61 .18879 62.07155 32 ~ 33 33 - 23 25 - 32 I .863197 1 .841146 1 .841146 60.79398 59.60301 59.60301 33 - 25 25 - 26 26 - 33 1 .841146 1 .833173 1 .322098 60.4BB79 60.05337 59.457B5 33 - 34 34 - 26 26 - 33 1 .841147 1 .833173 1 .822098 60.48879 60.05336 59.457B5 34 - 26 26 - 27 27 - 34 1 .833173 1 .791505 1 .778006 61 .80171 59.46118 58.7371 34 - 35 35 - 27 27 - 34 1 .77B006 1 .799479 i.778006 59.599760.80062 59.59969 35 - 27 27 - 28 29 - 35 1 .799479 1 .713584 1 .713584 63.34496 5B.38752 58.32752 35 - 36 36 - 28 28 - 35 1.681841 1 .744176 1.713584 5B.19992 61.81074 59.98935 162 11,62 11,85 11.85 11.82 11,81 11,31 11,84 11,80 11,80 CRIPTA i i CRIPTA i l 1 ''üísrar 11 II ll «l u I ¡i 1 a'ü¡¿¡ii_ rr-i__ ' i r =i t =' i rJ ii I , I ll 15,37 - - n •l ( •fef^ B i i ,__ 15,60 ir' ^ • -T T-3- D -vi 19,61 I I I f- — 1 » ll I I ~ !L. JU n -Ji Snir i i u„ ,J S3 Oí ±—n MUSEO i -X" •4-LB ,nr J mt n ti r J 15,65 I Ü-JÜ EXCAVACIONES ARQUEOLÓGICAS :\ 1 ii, 1 * \r 11 •i 11 ,5© c - r —-.P n •« ii 1 L i' 'N_ cz=; i_=:í \ III 1 u -. J n i T T •JARDINES - -u—3 ll i ' ' 6,40 6,45 r i r 1 l! 11,80 ,.1.1,80.. MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA PLANTA GENERAL O 5 10 I i i t i i i r i i I 15 20 m. UNIONES PERIMETRALES UF. 50.50 RESTO DE BARRAS UF. 40.40 UNION ATORNILLADA UNION SOLDADA DESPIECE PLANTA DE UN MODULO MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA 0 1 ' j " " i 1111 2 i 3 | L _ J m. , .-/>*:« /.—-X- -X—..\ ^ - ; \ ^ 12,18 I ' f LIMITE TEÓRICO LIMITE REAL v\:.v-L^i\ VV>;K \ s \ / VI5.60/ -* ;A—--v--—>c / > / .' •* / >x ¿v .'' f MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA. PORCIÓN DE RETICULADO DE ESFERA QUE OCUPA CADA MODULO. ALTURA DE SOPORTES SEGÚN LOS VARIABLE, PERFIL DEL TERRENO. MÍNIMO MUSEO PALEOCRISTIANO DE 2,60 m. TARRAGONA ALZADOS DEL MODULO BASE 0 1 2 I ' '•• • " " I i 3 I i I m . 2,02 +• 1,54 1¿2 "f- 1,40 MUSEO 1,64 1,55 + bfi—+ 1,51 A57. 1,57 •+ ^ 1,51 +" 1,64 1,51 1,55 + 1,47 1,54 1,52 + 1,40 f PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA CERCHAS 0 DE 1 2 1 "111 n r i I i -& BORDES 3 i i i m. á! - 18 cm. UNION ATORNILLADA ENTRE PIRÁMIDES. MUSEO PALEOCRISTIANO DE TARRAGONA. ÜF. 5 0 . 5 0 169 :><^— m i?o Tr^*Si „J" . r•. i* v e * . > -s * w L - * „-\ t 170 5-CALCULO DE LAS CÚPULAS TRIANGULADAS Del proceso de cálculo que utilizó Emilio Pérez Pinero para éstas cúpulas, solo quedan descripciones someras en los dos artículos (!) Revista "Hogar y Arquitectura" n° 101/1972 que escribió^y en la memoria de proyecto de cúpula para el Museo Dalí en Figueras. Revista "Arquitectura" n° 112/1968 (2) . Ver Capítulo V: "Estructuras espaciales articuladas" Estructuras I: A.G. de Arangoá Publicaciones de la Delegación de alumnos de la ETSAM. Básicamente el proceso consiste en lo siguiente >: halla la acción exterior en cada nudo (peso propio, viento, etc.) incluida la hi0.'' pótesis de las que serían las reacciones en los nudos de apoyo.De alguna forma, hace una hipótesis de acciones en.las uniones atorn_i liadas entre macropiezas.Empezanzo por los nudos inferiores (de las reacciones) reparte las fuerzas entre las barras que van al } rkido, y así sigue ascendiendo por todos los nudos diferentes hajs t a l a clave, en que si la hipótesis es correcta tiene que haber equilibrio, es decir, cumplirse que la suma de fuerzas sea nula. La herramienta concreta de cálculo que utiliza es el mátodo grá fico de suma de fuerzas, que como es espacial, proyecta en vertical y horizontal, en diédrico.Con este método de análisis no se pueden tener mas de tres incógnitas en el equilibrio de cada nudo ( solo sé dispone de tres ecuaciones:ZX.=0, ZY.=0, ZZ.=o). í i i Siendo l a b a s e de apoyo generalmente un p l a n o h o r i z o n t a l , l a s l í n e a de contorno e s un c i r c u l o parale]©.Para un r e t i c u l a d o a p a r t i r d e l i c o s a e d r o , l o s nudos no quedan en e l c i r c u l o de c o r t e . 171 Materializando el paralelo lo que queda son nudos con cuatro barras de muy diferente longitud. No se sabe muy bien como empieza pero sí como acaba: en la prime ra vuelta no hay equilibrio de fuerzas en la clave. Resuelve el cálculo cómo un proceso iterativo hasta equilibrio, en el que el primer tanteo le sirve para predimensionar. Esto se comprende pa_ ra el casó del peso propio pues con los tipos de cubrición que usa, el peso de la estructura puede ser mas del 50% del peso total permanente. La normativa vigente en los años en que se desarrollaron estos proyectos era la Norma MV-101:"Acciones en la edificación", en la que para la sobrecarga de nieve, es obligatorio considerar co 2 mo mínimo 40 kg/m , y que la condición de desmontables de estas estructuras no es suficiente argumento para no considerarla.De la acción de viento hay unos planos de su mano en los que nos muestra el tipo de hipótesis: analiza una zona de casquete comprendida entre 80 de un ¡total de 360 , y 60 a partir del suelo, de un total de 90.La acción es de l,2w -0.4w , donde w tiene el 2 valor máximo dado en la Norma MV 101: 150 kg/m .De este valor de w toma el correspondiente a la componente en la dirección del ra_ dio ( proyecta la acción dos veces, primero en la dirección del radio del paralelo y después en la de la esfera), no considerando las dos componentes que quedarían en el plano tangente en cada nudo. 172 De la combinación de acciones, coeficientes de seguridad, etc. solo se puede saber a lo que obligaba la normativa en los años 60, y que era a muy poco: el dato más fiable es la tensión de cálculo 2 del acer que se empleaba: 1200 kg/cm . La respuesta en el diseño de secciones es la siguiente: en las dos primeras, de los años 1965 a 67, emplea tubos redondos de a ce ro. Estas dos cúpulas primeras son una semiesfera y dos casquetes con un arco desde la clave de 30- .En las dos hay un muy alto po£ centaje de barras trabajando a.compresión y el consumo de material 2 es muy bajo: 6 kg/m.En las otras dos posteriores (1970-72) , emplea secciones en T sobre las que coloca un cerramiento transparente, y seccines en C para cubrir con placa ondulada de fibrocemento. Pérez Pinero consideraba sus propios modelos de cálculo poco fia bles. En sus escritos expresa que verifica la flabilidad del com portamiento último de la estructura con ensayos de modelos a esca la, e incluso monta la estructura completa en taller y ensaya su comportamiento al menos con toda la carga gravitatoria. El modelo de cálculo descrito básicamente es el que se usaba para el cálculo de todas las estructuras trianguladas de acero, 1) planas o espaciales: sumar vectores fuerza y equilibrar. Sin em"Schalen und Rippenkuppeln" Handbuck für Eisenbetonbau Franz Dischinger bargo en 1960 ya estaba a punto toda la teoría de cálculo de lá1) Félix Candela habla realizado casi minas delgadas de hormigón, todas sus delgadas superficies empleando el modelo de membrana,y 173 el continuo lo discretiza en barras para la cubierta del Pala- cio de los Deportes de Méjico, en 1968, en la que emplea paraboloides en grupos de cuatro formando una retícula de 11 x 11 m. sobre dos familias ortogonales de arcos reticulados. Florencio del Pozo había publicado su "Cubiertas laminares cilindricas fo£ madas por una malla triangular de perfiles de acero" a través del Instituto E. Torro ja» Tarobién en los años 60, partiendo de estos estudios de del Pozo, José Calavera aplica la teoría de placas de hormigón para las mallas de tetraedros. Constituyen las referencias mas cercanas o a las que pudo tener acceso. •0E VA A ANALIZAR de que magnitud son los esfuerzos a que están sometidas las distintas cúpulas aplicando la teoría de la membra_ na y discretizando los valores continuos para la reticulación ob_ tenida, para los casos más desfavorables,excepto para las c ú p u — las del Museo Paleocristiano, en que por su tipo de apoyo (cer— chas y soportes) y la poca cantidad de barras se realiza el análisis mediante cálculo matricial. 174 PORCIÓN DE ESFERA ACUPADA EN CADA PROYECTO C ú p u l a p a r a e l Museo D a l í en F i g u e r a s Teatro desmontable para "Festivales de España" R = 7 , - mr = 6 , 3 ni. h = 1 0 , - mct = 1 1 5 ° = í> 0 S 6 É 360 R = 1 7 , - m. a- = 2 1 , 7 ° = <¡> — \ A ' — O S O S 360' Museo P a l e o c r i s t i a n o de Tarragona f.üpula para proyección de cinerama R = 1T,9 ra. / 36 cf / ! / t / \a / \ \ Y •• \ ~h \ I \ / 175 2 - 51,3 o . 2 * 2// :^. "• i r- Á •v ^\ \ /y t \ \ -A" i i -V' / ,6-ESTUDIO DE ACCIONES Y SOLICITACIONES 6.1-ACCIONES; Las correspondientes al peso propio en cada una de las realizacig_ nes es la siguiente: - Cúpula para proyección de cinerama y Teatro desmontable para Festivales de España: Estas son las dos primeras realizadas con idén_ tico criterio. El dato que se usa está recogido de la memoria del primero de ellos. 2 11.436 kg de tubo redondo/ 27rrh m = 11.436/1.869 = 2 = 6 kg/m -Cúpula para el Museo Dalí en Figueras:Datos según memoria de proyecto : 2 Área media de exágonos = 1,663 m Peso de perfiles empleados = 20 kg 2 El peso propio será = 1 1 kg/m ,. Cubriciones para el Museo Paleocristinao de Tarragona:A partir de toma de datos en el sitio: 2 Área media de exágonos =73 a 8 m Peso de perfiles empleados = 56 kg 2 El peso propio será = 8 kg/m 176 El peso de las cubriciones correspondientes es: - "Cinerama" y Teatro: lona = 1.815 kg/2 rh = 1 kg/m 2 - Museo Dalí: metacrilato moldeado = 3 , 5 kg/m 2 -Museo de Tarragona: placa ondulada de fibrocemento = 13,4 kg/m De las sobrecargas, la única a considerar sería la de nieve.Nos atenemos a la Norma MV 1962 en la que se da un valor mínimo de 2 40 kg/m . Para el valor de la acción de viento, tomamos el dado en la misma norma; según condiciones de altura y exposición, el 2 valor de w =100 kg/m 17? 3-6 .2-SOLICITACIONES Las acciones que se van a considerar son las evaluadas anteriormente. Por tanto no se consideran acciones sísmicas (•?! mayor grado- sísmico es el VI) ni de gradiente de temperatura (la mayor cúpula tiene un diámetro de 34 metros y se monta simplemente apo_ yada sobre el suelo) ., tampoco se tienen en cuenta el terreno o posibles asientos diferenciales. El procedimiento de cálculo consiste en hallar los esfuerzos cor. mo si se tratase de membranas continuas y luego discretizar los esfuerzos por barras. Este procedimiento da unas solicitaciones muy próximas a las reales y se puede abordar sin tener un predi^ seño de secciones. No vamos a realizar otro cálculo posterior exacto (salvo en un caso ) p U es este modelo nos da muy bien aco- tado el orden de magnitud y por otra parte se sabe muy bien como trabajah estas estructuras reticulares de una sola capa' con apo_ yo a lo largo de un paralelo. A partir de las ecuaciones de equilibrio de una membrana, por to dos conocidas, particualrizando para las de revolución con doble curvatura, tenemos: Equilibrio según meridianos: 1 9 _ pr 3é 178 ,M ^ 1 9N N (^ r) + _ _.^ = _ T r 39 ^ _¿ é r Equilibrio según paralelos: 1 8 (N — lT «e r) + i5 V N^6 p + r ~3e~ = ~ e ~T^ o s * Equilibrio según el radio de curvatura: N sen$ r N + —*- = p Las componentes P,, P y p PP p de acciones exteriores, para cada casode los que vamos a analizar es la siguiente: - peso propio P = Pcos^; P, = Psen<í> ; P = 0 p cp tí ~ nieve: P = Pcosé ; P, = Pcosctseni ; P. = 0 P q> y - viento: P = wsenécosO ; P, = P„ = 0 por conside Y p $ 6 rar que las componentes de w en el plano tangente de la membrana no dan solicitación,aunque esta for ma de acción se discute si está cerca de la real. Las ecuaciones particularizadas para el caso de la esfera, con p = R constante» r=Rsentf> y apoyo en un círculo paralelo. P R para peso propio N, = - 1+COSÍ 1 N^ = P R( - COS( 0 p 1+coscp para la sobrecarga de nieve P R n 2 p R n N8 = - ——— cos2ií> N, = - N,„ = 0 17-9 •> • s ja j, para la acción de viento ,, ~ w R N, = (2+cosé) (l~cosé)cosé 3 T * cos 3 (1 + c o s <b ) sen<í> N g = --wR s e n c | i c o s 9 - N N = <t>6 r _ wR 3 (2ico5A|(l-cQ5^sene ( I+COS<[J) sentfi 3 - 6 ' . 3 - E S F U E R Z O S EÑ LAS BARRAS \ S >. i, \ <. J * i ^ "1 Considerando que las barras superior e inferior forman parte de circuios paralelos, el paso de esfuerzos unitarios, dados para una superficie continua, N^, N^ , N^g, a esfuerzos en barras vie_ ne dado por las siguientes expresiones, que se obtienen acumulan do y equilibrando los esfuerzos unitarios en los nudos. N N a = * 2sen6 ^ * 2senS = N s * 2tg6 2cosB N N N b c *' 2cosB 6 tgS El reticulado que se usa tiene los nudos be y ac con distinta "latitud" ( | ) , por lo que si quisiéramos obtener los esfuerzos 180 con mas precisión en puntos críticos o mas desfavorables, se pueden obtener las componentes del tensor rección N, N para la di be ab a partir de la de uno de ellos. La mayores dife rencias están alrededor de los 2,5 181 "EATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA CÚPULA: ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 16.4 METROS PESO PROPIO: 7 KG/ME Y DE NIEVE: 40 KG/M2 ESFUERZOS EN MERIDIANOS,NFI P.PROPIO NIEVE Fí -57.4 -328 0 -57.50942 -328 5 -57.83935 -328 10 -58.39438 -323 15 -59.18463 -328 EO -60.22113 -328 25 -323 -61.52113 30 -63.10632 -328 35 -328 -65.00403 40 . -328 -67.24823 45 -69.88122 -328 50 -72,95483 -328 55 -32a -76.53333 60 -80.69628 -388 65 E S F U E R Z O S EN P A R A L E L O S , N T E T A 0 -57.4 -328 5 -56.85373 -323.0 3 69 10 -55.. 21 6 5 7 -308.2192 15 -52.49341 -284.0563 20 -48.69209 -251.8626 25 -43.82301 -210.8343 30 -37.89859 -164 35 -30.93233 -1 12. 1826 40 -22.93786 -56.95654 45 -13.92756 5.343799E-05 50 -3.910793 56.95664 55 7.108257 - 112.1827 60 .19.13334 164 65 32.1797 210.3344 182 TOTAL -385.4 -385.5094 -385.8394 -386.3949 -337.1846 -388.2211 -389.5211 -391.1063 -393.004 -395.2483 -397.8812 -400.9548 -404.5333 -408.6963 -385.4 -379.8707 -363.4358 -336.5498 -299.9546 -254.6573 -801.8936 -143.1149 -79.8944 -13.92751 53.04585 1 19.2909 183.1334 243.0141 La combinación de fuerzas debidas a la carga permanente, más des_ favorable corresponde a la pirámide de la clave/ en que existen esfuerzos de compresión en ios dos sentidos. La barra más soiic_i tada es la 2-3, con 619 kg sin mayorar. Precisaría una sección 2 de unos o,9 cm por lo que el perfil empleado ( 0 40.2) cumple muy sobradamente. 183 D E S M O N T A B L E PARA P R O Y E C C I Ó N DE C I N E R A M A CÚPULA: E S F U E R Z O S EN E S F E R A DE R A D I O : 17 M E 1 R O S PESO P R O P I O : 7 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M £ E S F U E R Z O S Ei'M M E R I D I A N O S , N F"I FI P.PROPIO -59.5 0 -59.61342 5 -59,95543 10 15 -60.53128 -61 .34992 20 -62.42434 £5 -63.77191 30 - 6 5 . 4 151 35 40 -67.38823 -69.70859 ¿+5 '-75. ¿i3785 50 -75.62391 55 -79.33334 60 -83.64858 65 70 -88.67229 75 -94.53305 SO -101.3933 85 -109.46 184 NIEVE -340 -340 -340 -340 -3^0 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340 -340' -340 -340 TOTAL -399. 5 -399. 6134 -399. 9555 -400. 5313 -401 . 3499 -402. 4244 -403. 7719 - 4 0 5 . 4151 -407 . 3 8 2 2 -409. 7086 -412. 4379 -415. 6239 -419. 3334 -423. 6486 -428. 6723 - 4 3 4 . 5331 -441 . 3 9 3 3 - 4 4 9 . 46 CÚPULA: DESMONTABLE PARA P R O Y E C C I Ó N DE C I N E R A M A E S F U E R Z O S E N E S F E R A DE R A D I O : 1 7 METROS PESO P R O P I O : 7 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M 2 ESFUERZOS 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 . 85 90 EN P A R A L E L O S , N T E T A -59.5 -58.93375 -57.23669 -54.4139 -50.47351 -45.42629 -39.23512 -32.064 ' -23.77705 -14.43711 -4.053871 7.368315 19.83334 33.35701 47.97191 63.7336 80.72915 , 99.08844 119.0001 -340 -334.8346 -319.4955 -294.4487 -260.4551 -213.5478 -170 -116.2863 -59.04032 5.539304E-05 59.04042 116.2869 170 218.5478 260.4552 294.4487 319.4956 334.8347 340 -399.5 -393.7684 -376.7322 -348.8626 -310.9286 -263.9741 -209.2851 -148.3508 -82.81736 54.9S655 123.6552 189.8334 251.9048 308.4271 353.1823 400.2247 433.9231 459.0001 Los másliaos e s f u e r z o s de compresión e s t á n en l a b a r r a 2-3 como en e l c a s o a n t e r i o r . En l o s nudos de l a b a s e e x i s t e n unos esfuer zos de t r a c c i ó n e n t r e 200 y 300 kg, y de compresión e n t r e 300 y 400 kg, en l a s b a r r a s mas h o r i z o n t a l e s y mas v e r t i c a l e s , t i v a m e n t e . Por l o t a n t o s i r v e e l p e r f i l te. 0 40.2 de A37 sobradamen El b o r d e de apoyo, d i r e c t a m e n t e sobre e l s u e l o , e s t á m a t e r i a l i z a d o p o r un a n i l l o de t u b o . 185 respe£ CÚPULA: M U S E O DALÍ EN FI G Ü E R A S E S F U E R Z O S EN ESFERA DE R A D I O : 7 M E T R O S P E S O P R O P I O : 14.5 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M 2 E S F U E R Z O S EN FI O 5 " 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 186 MERIDIANOS,NFI P.PROPIO -50.75 -50.84674 -51.13846 -51.65962 -52.32788 -53.24429 -54.39369 -55.79523 -57.47308 -59.45733 -61.73523 -64.50275 -67.66666 -71.34732 -75.63226 -80.63113 -86.4B249 -93.3629 -101.5 -111.1909 -122.8291 -136.9436 -154.2601 -175.7937 NIEVE -140 -140 -140 -140 -140 ~140 -140 -140 -140 -140 -140 -140 -140 -140 -140 -140 -L 4 0 -140 -140 -140 -140 -140 -140 -140 TOTAL -190.75 -190.8467 -191.1385 -191.6296 -192.3279 -193.2443 -194.3937 -195.7952 -197.4731 -199.4573 -201.7352 -204.5028 -207.6667 -211.3473 -215.6323 -220-6311 -226.4825 -233.3629 -241.5 -251.191 -262.B291 -276.9436 -294.2601 -315.7937 CÚPULA: MUSEO DALÍ EN FTGUERAS ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS PESO PROPIO: 14.5 KG/M2 Y DE NIEVE: 40 KG/M2 S F U E R 2 0 S EN 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 35 90 95 100 105 110 1 15 18? PARALELOS,NTETA -140 -50.75 -137.8731 -50.26702 -131.557 -48.81953 -121.2436 - 4 6 . 4 1 1 8 6 .. -43.05094 -107.2462 -89.99026 -38.74595 -70 -33.5079 -47.88281 -27.34871 -24.31072 -20.28042 2.28089E-05 -12.31401 24.31076 -3.457713 47.88285 6.28474 70.00001 16.91667 89.9902628.45157 40.91722 107.2463 54.36101 121.2436 68.85722 131.557 137.8731 84.51661 140 101 .5 120.0373 137.8731 131.557 140.4544 121.2436 163.2133 183.9751 107.2462 89.99019 218.6895 -190.75 -188.1401 -180.3765 -167.6554 -150.2971 -128.7362 -103.5079 -75.23152 -44.59114 -12.31398 20.85305 54.16759 86.91668 118.4418 148.1635 175.6046 200.4142 222.3897 241 .5 257.9104 272.0113 284.4573 296.2213 308.6797 CÚPULA: FIGUERAS ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS PRESIÓN DE VIENTO 100 KG/M2 TO PARA EL ÁNGULO FI= 90 GRADOS NTO PARA E L ÁNGULO. FI = 30 GRADOS TETA O 10 20 30 40 SO 60 70 ÍJO 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 rETrt o 10 20 30 4G 50 60 70 80 r> t .• ÍJ 100 11 o 120 ¡ 30 140 ¡ '3 0 ir. o 1 /'O 130 NFII -83.16 -81.90 -78.15 -72.02 -63.71 -53.46 -41.53 -28.44 -14.44 0.00 14.44 28.44 41.58 53.46 63.71 72.02 78.15 31.90 33.16 NFITETA 0.00 -16.67 -32.84 -48.01 -61.72 -73.56 -83.16 -90.24 -94.57 -96.03 -94.5 7 -90.24 -83.16 -73.56 -61.72 -43.01 -32.84 -16.67 0.00 NTETA -266.84 -262.78 -250.75 -231.09 -204.41 -171.52 -133.42 -91.2 6 -46.34 0.00 46.34 91.26 133.42 171.52 .204.41 231.09 250.75 262.78 266.84 TETA NFITETA NFI O 10 20 30 40 50 6.0 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 "0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 0.00 -81.04 -159.61 -233.33 -299.97 -357.49 -404.15 -438.52 -459.58 -466.67 -459.58 -438.52 -404.15 -357.49 -299.97 -233.33 -159.61 -81.04 0.00 NTETA -700.00 -689.37 -657.78 -606.22 -536.23 -44S.95 -350.00 -239.41 -121.55 0.00 121.55 239.41 350.00 449.95 536.23 606,22 657.79 639.37 700.00 ENTO PARA EL ÁNGULO FI= 60 GRADOS ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI= 115 GRADOS FI TETA NFITETA -112.25 -110.56 -105.49 -97.22 -86.00 72.16 -56.13 -38.40 -19.49 0.0 0 1 9 . •] '•) 38 . 40 56. 13 72.16 86.00 9 7.22 10 5.49 110.56 112.25 0.00 -38.99 -76.79 -112.26 -144.32 -172.00 -194.44 -210.98 -221.11 -224.53 -221.11 -210.98 -194.44 -172.00 -144..32 -112.26 -76. 79 -38.99 0.00 NTETA -493.96 -436.45 -464.17 •-427.70 -373.39 -317.51 -246.98 -168.94 -85.77 0.00 85.7/ 16 8.94 2 4 6.93 317. 5L 378.39 4 2 7,73 464.17 4 86.45 4 93.96 O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 NFI 422.87 416.45 397.37 366.22 323.94 271.82 211.44 .14 4.63 73.43 -0.00 -73.43 -144.63 -211.44 -271.82 -323.94 -366.22 -397.37 -416.45 -422.87 NFITETA NTETA 0.00 -173.75 -342.23 -500.30 -643.18 -766.51 -866.55 -940.26 -985.41 -1000.61 -985.41 -940.26 -866.55 -766.51 -643.18 -50.0.30 -342.23 -173.75 -1057.29 -1041.23 -993.53 -915.64 -809.93 -679.61 -528.65 -361.61 -183.60 0.00 183.60 361.61 528.65 679.61 809.93 915.64 993.53 1041.23 1057.29 0.00 Las barras son de pequeña longitud ( entre 0,5 y 0,7 m.) formando una tupida retícula que, con el modelo de cálculo de asimilación, acumula fuerzas pequeñas en los nudos: el perfil empleado (T 30.35) es suficiente para soportar las solicitaciones mas desfavorables de la combinación de cargas permanente, nieve y viento. Por otra parte, aunque el diseño de la sección no es el óptimo para conseguir un radio de giro grande, en la penalización por pandeo queda compensado por la escasa longitud de l&£¿b.arras. 189 CÚPULA : MUSEO PALEO CRISTIANO DE TARRAGONA ESFERA DE RADIO : 17 m. PESO PROPIO : 55 kg/nudo; NIEVE: 110 kg/nudo; VIENTO: 140 kg/m Para analizar las solicitaciones en las barras de esta cúpula se ha empleado el modelo de cálculo matricial, en vez de la a^imilacbnLa membrana por la porción de esfera analizada y el tipo de apoyos: en lugar de ser un casquete apoyado en un paralelo, los nudos están apoyados en cerchas y estas en pilares. Los movimientos que se han supuesto a los apoyos son-, desplazamientos en el sentido del cordón de la cercha e indesplazabilidad en las otras dos direcciones, vertical y normal al plano de la cercha. Esta, aunque es una estructura plana, recibe es- fuerzos normales a su plano. El apoyo de las barras se materializa probablemente con soldadura en todo el contorno, sobre el perfil LD-cordon superior, en que un ala recibe la barra y la otra oculta al exterior su cabeza: se impide cualquier desplazamiento y se resisten las acciones inclinadas que vienen de las barras, que como se ve en las plantas-resumen que siguen, son muy pequeñas. Las máximas solicitaciones se encuentran en las barras que confluyen cerca de los soportes. Solo funciona como membrana la parte central con exágonos concéntricos comprimidos y algunas radiales traccionadas. 190 Para la barra comprimida más larga, si el perfil empleado es UF 40.40.2, soporta a compresión 1.280 kg, y si es un UF 40. 40.3, soporta a compresión 1.870 kg, por lo que resisten los esfuerzos sobradamente. 191 COMPONENTES DE FUEHZA EN NU005 -f«— -—Fy— e.oo -165.03 -165.30 -165.30 -185.08 -155.00 -165.33 -155.03 -165.83 -165.03 -165.33 -165.30 -165.30 -185.00 -165.80 -165.00 -155.00 -185.08 -165.00 -165.03 -155.00 -1E5.0B -1E5.00 -155.00 -185.00 -165.03 •165-03 -165,03 -165-08 -165.03 -155.08 -165.BB -165-03 -165.03 -165.08 -165.30 -IS5.33, -155.00 -165.00 -165.08 -165.00 -165.00 -165.00 -165.08 DESPLAZAMIENTOS DE LOS NuaOS da xxxii-í> ir, rY¥Y>cnsY mz(+-iz I 2 3 4 5 6 7 7.93434 3.53592 2-12623 1.67775 1.67760 2.12643 3.53618 7.93443 -18.26639 -1.59326 .09953 3.00080 .09354 -1.5Q32T -18.26537 0.00003 -I.S4E38 -.61831 -.19763 -.19765 -.E1840 - ! .54669 3.30030 0.38080 8.08008 8.08830 0.38003 3.08380 0.03003 0.00000 0.83003 -35.06857 -9.46778 -3.92467 -3.75162 -3.52434 -9.45800 -35.06836 0.83808 -3.63475 -6.4=697 -4.55315 -4.55333 -5.45755 -9.S963S 3.33003 -3.I439S -5.54383 -5.1BZ16 -3.75474 -5.18280 -5.54453 -3.14431 8.30033 -4.12552 -5.30342 -4.77020 -4.77062 -5.30113 -4.12817 0.33883 -4.73278 -4.72183 -4.57520 -3.74313 -4.57665 -4.72194 -4.73373 s s 10 n 12 13 (4 15 16 17 ISIS 20 21 22 23 24 25 26 27 25 29 3fl 31 32 33 34 35 35 37 33 39 43 11 42 43 44 45 B.ooaoa -.31938 -.45164 -.23967 a.ooooe -.29975 -.45175 -.31395 0.00003 -.33033 -.33531 -.16987 -.15993 -.30592 --33B9S B.BBOOO -.33023 -.32557 -.21539 a.sesea -.2t520 -.33033 -.33032 a.oaoao 3.33330 3.03030 3.30030 3.33330 0.30093 3.03030 8.54635 1.35232 .37135 .03033 -.37191 -I.BE199 -8.S4E1S -2.22033 .38934 .2265! .30838 -.33029 -.22847 -.98523 2.22055 -.53292 .IB42S .03733 .33005 -.03724 -.13421 .=3306 -1.44158 -.13333 .03346 -.33155 .33173 -.03342 .13339 1.44184 3.83003 3.00303 3.33383 3.03303 3.33030 3.08083 0.00000 3S 3S 37 61 52 63 B4 65 66 67 53 63 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 83 81 62 ESFUERZOS EN LAS 3ARRAS BARRA 1 2 3 4 5 E 7 ti 9 10 11 12 13 14 Ib 16 17 13 iy 2.0 21 •¿¿ 23 24 25 4 R 5 5 fi 6 G 7 7 7 8 9 3 9 13 ? 9 3 3 10 4 10 1 1 5 II 1? 6 1? 13 7 13 14 B 14 15 15 10 18 17 11 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 15 13 19 23 14 20 21 15 21 22 22 23 17 24 18 24 25 13 25 26 20 26 27 21 27 28 22 28 29 22 23 24 24 24 25 25 25 2G 25 26 27 27 27 28 28 28 23 29 23 30 38 30 30 25 31 32 26 32 33 27 33 34 28 34 35 29 35 35 33 35 37 37 38 1.73 1.63 1.87 " 1.84 1.96 1.87 1.87 I.B7 1.82 1.B5 1.84 1.74 1.83 1.79 1.78 1.72 1.68 1-74 1.7B 1-71 1.80 1.84 I 1.78 1.83 1.86 1.82 1.64 1.84 1.84 1.32 1.78 1.83 1.78 1.5B 1.33 1.71 I .74 1.71 1.61 I .74 1.79 1.BB 1.78 1.83 1.74 1.79 1.93 1.73 1.78 1.79 1.79 1.74 1.71 1.73 1.68 1.74 1.61 1.413 .836 2.43B .926 .442 2.486 1.513 1.519 2.007 .442 .926 87.879.335 I-.410 81.983 169.493 13.033 .518 .572 6.112 .395 .163 .483 .992 .025 .592 .041 .169 .041 .932 .573 .992 .483 13.033 .388 S. 114 .518 .453 1.741 I .434 .171 .713 1.674 1.784 .E3I 2.87Z 1.784 1.554 1.554 .171 2.B72 .691 .45* 1.674 .712 1.493 1.741 - i t q d=r 1 i ? ?. ? 3 3 3 4 4 11 1Z 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 16 !6 17 17 17 SB IB 18 19 19 19 28 20 20 21 21 21 3.3 3.3 3.3 '3.3 3-3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3-3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 1.S8 1.72 1.76 1.73 1.73 1.84 1.83 1.84 1.86 1.86 1.87 1.84 I.B7 1.86 1.78 1.84 1.33 1.58 1.79 1.76 1.72 1.74 1.72 1.78 1.82 Sollclt tensión TIPO 22.774 183.750 5.831 155.549 11.802 .795 11.721 1.433 0.300 2.329 .868 .795 .668 2.823 5.831 - 1.493 11.721 22.774 11.833 155.543 183.748 87.683 165.488 81.932 2.087 -8.931 55.682 -I.5IS 50.155 3.57E -.241 3.552 .452 -3.830 .857 .230 -.241 .283 .857 -1.515 .452 3.552 -5.931 3.577 50.156 55.681 26.571 51.350 24.646 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 '3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 84 85 96 67 88 69 98 31 92 93 94 95 96 97 98 93 108 131 102 103 104 105 106 137 109 31 32 32 32 33 33 33 34 34 34 35 35 35 36 35 36 37 37 37 38 39 43 41 42 43 39 33 39 43 34 48 41 35 41 42 36 42 43 37 43 44 38 44 45 45 40 41 42 43 44 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 1.67 1.72 1.56 I .71 1.78 1.63 1.72 1.80 1.68 1.71 1.78 1.71 1.68 1.72 1.72 I .53 1.64 1.71 1.56 1,67.. I.E4 1.71 1.74 1.74 1.71 I.B4 -.729 .281 .134 -.729 -.460 -.460 .608 .134 .28! 26.569 .311 .427 24.343 51.361 3.953 -.157 .173 1.852 .117 -.351 .146 -.381 -.088 -.301 -.813 -.051 -.313 -.381 .174 -.301 .146 3.353 .117 1.853 -.157 .137 .527 -.453 -.052 .216 -.SB7 .541 .289 -.873 .541 .471 .471 -.352 -.873 .209 .137 -.587 .216 -.453 .528 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .957 -.179 -.031 -.302 -.109 -298 -.536 .333 .584 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .593 -.179 -.596 .298 .689 -.302 -.031 .969 .229 .274 .539 .548 .274 -229 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ii? 3.151 .531 .835 .93B .351 .933 I .967 . .133 1.926 3.238 .3EI 3.237 1.925 .591 1.967 .983 2.273 .997 .005 3.133 .755 .985 I.78B 1.782 .935 .755 ¿\/4 TRACCIÓN COMPRESIÓN ^V SOLICITACIONES DEBIDAS A LA ACCIÓN GRAVITATORIA 1 COMPONENTES DE FUERZft EH NUD09 Fx ido e e e 3 1 8 5 50 B0 0 0B 0 03 11 12 0 0B a 03 13 11 15 0 0 33 00 11 00 0 00 0 33 8 00 0 08 18 19 s 20 21 C B 0 8 25 25 27 l 2 3 4 5 E 7 a a 10 ii i2 13 U 15 16 17 13 13 20 21 22 23 24 25 26 27 25 zs 30 31 37 33 34 35 35 3? 36 39 »a 4! 42 13 41 45 KííXXÍ +> JX -1.21159 -.63495 -.53818 -.61610 -.34879 -1.33338 -2.48125 -S.SS997 1.51932 .13427 -.18584 0.80330 .07869 1.18038 7.29020 a.aeaaa .13492 -.05342 -.06378 .20140 .56972 1.18796 e.eaaoa -.02235 -.12381 -.13343 B.BBBOB .36561 .49744 .29465 e.eaaea -.17301 -.24539 -.16779 .27651 .49809 .14485 0.00B0O -.11877 -.25356 -.25911 0.00000 .4Z146 .51373 .41562 YYYY>CBSV 8.00008 0.20830 O.OBBOB e.aeaae 0.O803B o.00000 0.00000 0.00000 -1.38718 -.25326 -.12535 -.11419 -.B65S7 .66302 5.95243 .17006 -.30075 -.21509 -.2311B -.23336 -.01719 .55123 -1.72685 -.12172 -.18251 -.23213 -.26550 -.28417 -.B9263 -.57267 -.12975 -.09846 -.18804 -.19249 -.19599 -.09239 -.19463 -t.35213 0.00080 0.B00B0 B.000B0 0.00000 0.000B0 0.00008 0.08030 a.eaaaB a.aseas O.B000B 0.60880 0.00030 0.00000 0.30003 Q.0B00B 5.350B9 1.49682 .82709 1.63419 2.51930 S.E2940 24.74B28 0.B0000 1.45278 1.11157 1.29021 2.56823 4.41105 6.66250 0.00000 .37535 .51214 .90391 I.676SI 3.49595 4.M39S 2.31979 o.saaao -.14523 -.BI571 .E499Q 3.33749 4.24772 3.63989 B.B00BB -.88553 -.75023 -.54525 1.97379 1.45789 1.75320 4.35303 50.08 59.00 0.00 O.0O 0.80 50.30 50.80 4 3 . BB 17.00 0.08 8.03 8.03 0.00 37.00 37.00 36.00 35.80 0.00 0.00 00 03 00 00 29 • 03 15 0 0 28 83 30 31 32 13 03 a 00 8 00 33 0 BB 31 B 00 7 BB 29 ZZZZl+'IZ es.«a 23 08 37 BB 53 0 0 22 23 24 Nudo 33 00 8 B0 23 00 3 7 B0 15 16 17 8.00 3.03 0.00 8.03 52.OB 03 5 5 7 10 DESPLAZAHIENTQS DE LÜS NUDOS fy___ 0.30 1 2 35 36 ffl.OB 25.00 21.08 23.03 23.38 3.03 3.03 B.0B B.OB 12.00 12.03 12.0B 11.60 0.00 3.03 0.03 0.00 0.00 3.03 . B.OB 22 0 0 36 0 0 49 00 fl 0 0 0 00 37 39 33 40 4! e 30 0 0B i i 03 29 0 0 11 30 42 43 41 45 FJ l«t d=r a=cc 18 IB 3.3 28 11 12 3.3 29 11 3.3 J3 31 11 IS 13 12 13 3.3 3.3 3.3 12 19 31 20 14 35 35 37 13 13 14 20 21 3.3 3.3 3.3 16 3.3 33 U 14 21 22 3.3 3.3 16 22 23 17 3.3 3.3 3.3 39 10 11 42 43 41 45 46 47 52 1 Z 3.3 i vse 1 9 3.3 2 2 3 9 3.3; 2 3 10 4 13 1.72 1.78 1.78 1.79 1.84 1.83 1 .64 1.86 1.35 1.87 1.81 1.37 1.86 1.78 1 . B4 1.53 1.59 1.79 1.79 1.72 1.71 1.72 1.78 1.92 1.79 1.010 1.529 .118 .950/' .170 -.047 -.862 .165 .002 -.301 .435 .261 .372 .235 1.271 .259 1.453 S.8B5 1.990 3.539 9-620 .535 1.032 .722 .093 -.135 S 6 7 8 9 13 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 3 1 1 1 • 5 5 5 5 6 6 7 11 5 11 12 5 12 13 7 13 11 7 8 11 20 Z1 7 8 15 15 22 23 24 9 5 9 25 26 10 IB 13 16 17 11 17 3.3 3.3 3.3 313 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3" 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3 3 • 3.3 21 25 . 3.3 19 25 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 19 20 26 27 53 51 55 20 29 21 27 3.3 3.3 2B 28 3.5 55 57 21 21 21 22 28 23 3.3 3.3 3.3 22 22 22 23 29 30 38 3.3 3.3 3.3 3.3 23 24 3.3 25 3.3 21 24 31 32 3.3 25 3.3 3.3 67 25 25 32 3.3 68 25 69 70 71 28 33 27 3.3 3.3 33 3.3 72 27 27 31 28 3.3 3.3 73 71 3.332 _ 5.B17 .393 3.134 .531 .155 .204 .547 ;B0S 1.BB3 1.135 .983 .238 .775 1.194 .855 4.812 19.42B 6.568 77.676 97.745 2.283 3.40' 2.384 .307 .453 21 18 26 26 26 27 31 35 75 75 77 28 28 29 35 28 78 29 29 36 30 81 82 63 1 2 3 1 18 19 13 65 56 TIPO 17 18 ¡S 51 nnilón 17 17 50 51 58 59 50 61 62 53 Sollott 15 1S 16 48 49 79 80 luce 3 3.3 12 13 32 33 e.B0 0.0B 0.30 3.00 125.30 121.00 121.30 117.00 a.80 0.00 0.00 131.00 138.00 128.00 124.30 8.00 0.00 0.00 0.00 135.B0 133.08 130.00 128.00 0.00 0.80 B.B0 136.00 137.80 133.00 131.00 0.00 8.00 0.00 0.80 133.00 13B.80 135.00 131.80 0.88 B.B0 0.00 110.80 133.00 137.00 134.00 ESFUER20S EN LAS BftRRAS RA 27 81 85 66 29 30 38 36 37 37 33 31 31 32 39 32 32 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3-3 3.3 87 32 33 33 40 3 83 33 34 3.3 3 3 3 3 3 3 J 89 90 3i 33 33 34 3.3 3.3 92 33 31 34 40 41 35 41 42 51 35 3.3 3.3 9S 95 37 35 35 36 38 39 183 35 3 3 " 3 ; 3 3 3 3 3 101 . 3 182 133 3 ' 184 3 3 3 105 106 137 3 3 108 189 35 37 37 37 39 39 40 11 12 43 41 36 42 43 37 43 44 33 44 45 45 40 11 42 43 44 45 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 3.3 • ' 1.83 1.67 1.84 1.85 1.87 1.37 1,87 1.82 1.86 1.84 1.74 1.83 1.79 1.78 1.72 1-68 1.74 1.78 1.71 1.60 1.84 1.78 1.83 1.86 1.82 1.84 1.84 1.84 1.82 1.78 1.33 1.79 1.58 1.88 1.71 1.74 1.71' 1.51 1.74 1.79 1.63 1.78 1.83 1.71 1.79 1.83 1.78 1.73 1.73 1.75 1.74 1.71 1.78 1.69 1.74 1.51 1.64 1.57 1.72 1.55 1.71 1.78 1.63 1.72 1.SB 1.68 1.71 1.78 1.71 1 .63 1.72 1.72 1.63 1.64 1.71 1.56 1.67 1.64 1.71 1.74 1.71 1.71 1.61 .238 1.079 .316 .275 1.254 .235 1.174 3.032 .085 .421 48.361 I.36S .787 43.572 82.848 • .320 .408 .105 .251 .410 .121 .255 .132 .085 .034 .080 .773 .598 .633 1.313 1 .041 - U 5 E.5BS 2.109 2.511 2.118 • ,0B4 .397 ,427 ,057 .288 .437 -.483 .203 .585 .304 ,30S .377 .336 1.698 .332 ,874 1.173 .090 1.273 .972 .046 .491 .051 .305 .450 .891 .301 .S82 .655 .272 .788 .551 2.799 1.178 .697 1,362 .533 2.111 ,726 .575 2.715 .179 1.331 5-603 4.438 1.613 1.817 .072 .327 -.095 -.081 ,388 .089 .359 .937 .002 .128 U.049 .411 -.239 13-325 25.103 .097 .123 .032 -.375 . 121 ,03S -.051 ,058 ,025 .029 -.321 -238 .131 .192 .399 .315 -.044 1.971 -639 .770 .642 -.001 -.117 -129 -.020 -.087 ,133 -.122 -.061 ,177 -.092 -.033 -.114 -182 .575 -.101 .204 ,355 -.027 .385 .234 -.BU .143 -.819 -.053 .137 -.027 -.092 .152 .198 -.082 .233 .167 .348 -.357 .211 .413 -.162 -540 .220 .174 .823 .145 .484 1.638 -1.360 -.550 -.317 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ! ¿\/* T T- T A LA ACCIÓN DEL VIENTO v'v SOLICITACIONES DEBIDAS 3.7.- OTRO SISTEMA DE RETICULADO: VELÓDROMO ANOETA En estíe anteproyecto para el concurso de cubrición del velódromo Anoeta, de 1972, dejó croquizado y comentado otro sistema de descomposición de la superficie esférica, también usado en estos años y reseñado en la introducción. El método para ejecutar el reticulado del casquete es el translado hasta la superficie esférica de la retícula triangular equilátera trazada dentro del circulo paralelo correspondiente a la base del casquete, en la que el centro corresponde con el nudo de la clave y este es el centro del único exágono regular existente. No se puede saber como pretendió realizar el traslado pero los procedimientos más usuales consisten en llevar cada nudo a t r a — vés de una recta que se corta con la superficie esférica, bien desde dentro de la esfera (en ese caso las líneas serían poligonales de arcos de meridianos) o desde el punto opuesto a la clave (proyección estereográfica). Existe otra posibilidad, por cada linea del reticulado levantar un plano normal al de la base que se corta en la superficie esférica en arco de paralelo. Los primeros comentados, dan retículas de triángulos escalenos con longitudes de lados y ángulos más ho- 196 mogéneos que este último. En todos los casos, el aspecto es de - triángulos homogéneos si la pendiente de la esfera con relación al plano de la base es pequeña. En este anteproyecto, la relación diámetro/altura a la clave es de 4: resulta casi obligado al usar este sistema de reticulado en vez del icosaedro esférico. En el n2?:.í:6'2-163(-Í972^<3f5 la Revista Arquitectura puede suponerse sin mucho error que figura transcrita la memoria del anteproyecto presentado al concurso. En un punto se dice que " se conservan exágonos y triángulos de la geometría básica.....sin puntos singulares, ni quiebros o discontinuidades que inquieten la apetecible tranquilidad del con junto". En el artículo escrito por Pérez Pinero, que aparece en el n2112 de la Revista de Arquitectura (1968), comenta este sistema con la proporción límite razonable perfectamente acotada para que resulte de una apariencia uniforme. No tuvo oportunidad de hacer ningún proyecto hasta 1972, que se presentó este concurso. La cubrición era ingeniosa, con la iluminación natural repartida uniformemente en todo el casquete, a base de piezas de cubierta*que,comprendiendo un exágono y dos triángulos traza en forma de paraboloide, en el que los cerramientos verticales son los elemeii 19? tos transparentes. Con este diseño el edificio tenía un aspecto muy singular. Dalí lo comparo con una bandada de gaviotas a punto de levantar el vuelo. No pudo llegar a definir el proyecto de eje_ cución porque en verano de ese año sufrió un accidente mortal. Hubo un intento por parte de la propiedad de que se realizara como diseño, pero, según Félix Candela, a la primera dificultad - (la recogida de aguas de los paraboloides era compleja) se abando nó, materializándose la forma esférica por varias familias de grandes arcos reticulados, resolviendo la iluminación mediante placas onduladas de plástico transparente. 198 ./ ^ '¿¿¿•y • •• . „ ^ - r "T •• * - * • * • • - .-.:• - r*fe-v, • : u / - • - - • • •--••'-• - t a J . * — o - -• ..! " • . . - ^ ~ • CONCLUSIONES A LA PARTE I* Emilio Pérez Pinero usa en todas sus cúpulas, fijas o desmontables, el mismo procedimiento de triangulado: elección del icosaedro, tipo de subdivisiones, "frecuen cia" de división y casi hasta radio de la esfera cir cunscrita: solo hizo una vez los tediosos cálculos a ma no (la precisión de la regla de cálculo es muy remota) dando una respuesta formal muy variada. La única solución diferente, aunque no concretada, c o — rresponde a la cubrición del velódromo Anoeta es que de entrada no quiso incluir un pentágono regular en la cía ve. Esta parcela de la edificación de soluciones tan singulares, es de poca demanda: Pinero aprovechó todas las oportunidades que se le brindaron. Su comprensión de la excelencia de la forma para el traslado de cargas en vanos de gran luz a bajo coste, -. está fuera de toda duda. Respecto a la elección de ba-— rías y reacciones, en las primeras que realiza se decide por las idóneas; ensayadas y usadas las estructu— ras construidas con ellas, proyecta después con barras 200 de sección abierta para cúpulas de luces más modestas,sin extremar la medida del mínimo coste de material. En 1962 ¿Ice:"Hay cuatro o cinco procedimientos, que yo conozca, para llegar a la triangulación de un geoide" y las conoce bien. No puede decir lo mismo de los m o d e — los de cálculo. Sabe que Fuller las define como láminas reticuladas, pero no conoce o no se interesa por el modelo de cálculo por asimilación a las membranas de revo lución, de ejecución manual relativamente simple. Interesado como estaba en la problemática de la t r a n s — portabilidad de la estructura, su aportación más intere sante consistió en la resolución de una forma de desmon tabilidad deliberada. Aunque en algunas patentes e x i s — tentes sobre nudos se pueda percibir esta posibilidad, no es el criterio principal del diseñador del nudo, como ocurre en este caso, en que está perfectamente ordenado el proceso, el tamaño de las partes, la facilidad del montaje, la sencillez de la unión y la comodidad — del replanteo. (1) "Material, estructura y forma" Rev: Arquitectura no 40 pag. 30. 201 PARTE 2A: ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE PLANA INTRODUCCIÓN En las dos partes siguientes se trata mayoritariamente de la definición de las estructuras plegables de Pérez Pinero , planas y curvas, y del estudio de sus mecanismos correspondientes . A las estructuras desplegables se les pide que cuando estén completamente desplegadas deben funcionar de forma es tructural, soportar las cargas aplicadas sin d e f o r m a d o — nes inaceptables, como las estructuras no plegables, y que tengan capacidad para poder ser plegadas con la mínima de sorganización del paquete de componentes. También los con dicionanates adicionales de transporte, plegado-desplegado y almacenaje deben ser fácilmente ejecutables. ANTECEDENTES El concepto de plegable puede ser tan amplio que se p u e — den incluir en él las soluciones que emplean tejidos como parte del material resistente y se tendrían que incluir algunos tipos de tiendas de campaña, aunque participen — también del concepto de lo desmontable. 203 Como antecedente estructural cuyas componentes plegables están formadas por barras, como las de las estructuras que se van a estudiar, el documento más antiguo que la autora ha podido encontrar y consultar, corresponde a la patente inglesa numero 7 755, fechada en Marzo de 1914, ~ poco antes del inicio de la Primera Gerra Mundial. Su ti tulo: "Improvements in Supports for Tents,Marquees, Temporary Bridges and other Portable Structures". En su descripción comtiene el piano que se adjunta. Corresponde a la definición de una tienda compuesta por arcos planos plegables de barras en "x", probablemente de madera r e — forzada con pletinas metálicas en los puntos de enlace. La estructura total participa también de"lo desmontable". Los arcos, que son la componente plegable, (ver figuras 1 y 2 del plano) se despliegan hasta que varias barras quedan en prolongación recta. Después se triangulan todos los cuadriláteros que definen con pequeñas barras metálicas (n,o,p,q), y se añade el cable"s". Los planos sucesivos que contiene estos arcos, se arriostran debidamente. F$px3s ja^npajvua -¡znnGuQ sifljo-uíhpjipiuiÍAi v si Suyt ru([r¡i¡jl Las dos barras formando una "x", con un pasador central que permite el giro, es un elemento muy común empleado en pequeños objetos plegables: mesas, sillas, "flexos" para alumbrado, tijeras, — Es el elemento que emplea Pinero. El antecedente de diseño que le pudo servir de 204 inspiración pudo ser cualquiera de ellos, u otro utensilio más elaborado e igualmente comün, los cierres de se^ guridad llamados de ballesta y tijerilla: un conjunto — plano compuesto por barras verticales (ballestas) unidas por varias filas de "x". (tijerillas) a distintas alturas, con el fin de que la transmisión de la fuerza de plegado sea homogénea en todos los puntos de la vertical (las ba llestas son fácilmente deformables) y el movimiento sea uniforme. Definidas muy someramente, las estructuras de Pinero están compuestas de cadenas de "x" formando cuadriláteros, superpuestas y ordenadas de distintas formas, y de algunas barras más. Con los adecuados diseños que dio a los "pasadores" de las "x" se verá que fué una elección afor tunada. 205 ESTUDIOS POSTERIORES Algunos de los trabjos de Pinero alcanzaron cierta difusión con soporte gráfico no solo en revistas especializadas españolas, porgue se dio la circunstancia de aportar la novedad de su diseño a los congresistas de 1961 (ver 1.1 del Cap.I), y de aportar la brillante solución perfeccionada, al Primer Congreso de Estructuras Espacia les que se celebró en Surrey (Gran Bretaña) en 1966 (ver 1.10 del Cap,I} Las patentes que se dan el la Bibliografía son diseños plegables; de ellos el más popular es una tienda de campaña diseñada y comercializada por T. Zeigler con forma de icosaedro esférico resuelto con barras en "x". Es a partir de 1985 cuando aparecen artículos y ponencias a congresos sobre estos tipos estructurales, debidos a las investigaciones de R.C,Clark, F.Escrig, O^McNulty. El trabajo más extenso de los encontrados sobre estructu ras desplegables, corresponde a S. Calatrava (1981) que estudia las condiciones geométricas y de movilidad de di_ senos efectuados básicamente con barras comprendidas entre dos nudos (las barras en "x" abarcan tres), como los diseños standard no plegables, pasando de mecanismo a es 206 tructura en cada caso con adición dé^un determinado número de barras o mediante coacciones de enlaces entre ellas. La NASA ha desarrollado algunas estructuras plegables muy particulares y variadas Las realizaciones de Pinero que se van a estudiar, c o m — prenden tres estructuras desplegables según una superficie plana y dos desplegables según una superficie esférica. En cada caso se analiza en primer lugar la movilidad del mecanismo.base que contienen. Estos mecanismos base están compuestos siempre por "x" enlazadas formando cuadriláte ros, y se puede definir -como el compuesto por la totalidad de los nudos de la estructura enlazados por la suficiente cantidad de barras para que conserve la cualidad de no desorganizar el paquete de componentes durante el movimiento , y que desplegado, marca el replanteo de los nu dos . Las barras que se necesitan para tener estructura, se pue den añadir en cantidades variables a p.artir de un mínimo que coarta todo movimiento. Dependiendo de la cantidad y de su disposición se generan diseños diversos de estructuras . 20? Pinero dio_„ una solución concreta para cada realización, que se analiza y documenta. Donde sea adecuado e interesante se estudiarán otras de estas soluciones posibles. También se estudiarán algunos mecanismos más, generalmen te las variantes posibles empleando las barras en "x", con el fin dé intentar abarcar las posibilidades de diseño de este tipo. Unas veces se comentarán al hilo del estudio de las obras de Pinero seleccionadas y otras en apar tados especiales. 208 CAPITULO IV: MOVILIDAD 4,1,- MECANISMOS Para que una estructura de barras sea plegable, tiene que conver— tirse en un mecanismo bien porque se le quiten barras y/o porque se le den libertad de movimiento a las uniones: la cuestión está en que la plegabilidad supone una modificación de la forma de la estructura y está en contradición con la estabilidad. Para analizarlas adecuadamente se verán, por una parte, como for— mas estables que soportan cargas, y por otra como mecanismos, analizando el número y clase de movimientos que tienen y las condicio nes de compatibilidad geométrica de los miembros (nudos y barras) para que sea posible el movimiento (reciproco y total). Entendiendo por grados de libertad el número de movimientos diferentes que se puede realizar (giros y desplazamientos) entre piezas, la diferencia entre los estados de mecanismos y estructura es su número. Al manejar estructuras la postura que se adopta generalmente es la 209 a e desechar inmediatamente lo que se tiene si es un mecanismo. Se busca estabilidad de forma y capacidad portante, y lo único que de común interesa con los mecanismos es usar comprobaciones para s a — ber en que caso estamos, (mecanismos, estructura isostática o es-— tructura hiperstática) comprobándolo con formulaciones de recuento de nudos y barras muy particularizadas a nuestros problemas. Así, para estructuras articuladas planas usamos la comprobación: b = 2 n-3 en que: b = número de barras n = número de nudos siendo esta condición necesaria pero no suficiente. Hay que añadir que el diseño de nuestra estructura tiene que ser triangulado para obtener una forma estable. Y para estructuras articuladas espaciales: b = 3n-6 Se va a entrar en el campo de los mecanismos de manera más general para poder desmenuzar el paso de mecanismo a estructura en cada unos de los proyectos con más matices, y proponer en algún caso so luciones alternativas. 21 0 4 . 1 . 1 . - MOVILIDAD EN EL PLANO «H- *4-* 1 enlace de un grado de libertad (e) Los m o v i m i e n t o s de una b a r r a en e l p l a n o son t r e s : un g i r o y d o s desplazamientos tres; - "u" y " v " . Su número de g r a d o s de l i b e r t a d e s de - s i tienen "b" b a r r a s : 3 enlaces de un grado de libertad(e)cada uno G = 3b Si se toma una de ellas como referencia, es decir, como "fija": <—> f 1 e n l a c e de de l i b e r t a d G = 3 (b-1) un g r a d o (u) Si se las une con "e" enlaces, las podemos coaccionar 1, 2 ó 3 movimientos por enlace, por lo que por este hecho disminuyen los gra_ dos de libertad, quedando: 1 e n l a c e de de l i b e r t a d dos grados (8,u) G . 3 (b-1) - í C l {1) o lo que es lo mismo, como entre libertades "I" y coacciones "c" suman tres (1 + c = 3), puede escribirse lo que se denomina criterio general de movilidad. G = 3 (b-1) (1) K.H K u n t : K i n e m a t i c G e o m e t r i c Of Mechanisms Ed: C l a r e n d o n P r e s s . O x f o r d , 1978. 211 3e + fl = 3 (b-e-1) + h í i 2X¿ con: b = n° de barras. e = n° enlaces (1 o varios por nudo) c.= n° de coacciones de cada enlace r 1.= n° de libertades (mov. posibles) en cada enlace En el caso particular de las estructuras "articuladas" planas - trianguladas, es decir, ejecutadas adosando triángulos, para que sean isostáticas sería G = 0. Quedan diseños de nudos "articulados" (equivalentes a una articula. ción cilindrica) con 1 movimiento (8)y dos coacciones (u,v) de los siguientes tipos: - a los que llegan 2 barras (extremos del adosado de triángulos): Tienen una enlace con 1 movimiento (giro) y dos coacciones (desplazamientos). - a los dos que llegan 3 barras (los siguientes de los anteriores) : tienen dos enlaces de 1 movimiento y 2 coacciones cada uno. ~ a los que llegan 4 barras : 3 enlaces. Generalmente no pueden ser mas, porque sería hiperestática, salvo en algunos diseños cojijo las vigas en K, (en que hay cuatro nudos de 3 barras, que se compensan con 2 de 5 barras en simetría). El criterio general de movilidad seria: 212 e G = 3 (b~l) -J2 = 3 (b~l)- 3 enlaces (n-4) 2 coacciones - 2 enlaces (2 nudos) 2 coacciones - 1 enlace ( 2 nudos) 2 coacciones = 3(b-l) - 6n +24 -8 -4 = b -3n + 3 = 0 b = 2n-3 con b - n? de barras n - nS de nudos e - n° de enlaces Es la expresión simplificada que se usa comunmente y yas'e advirtió antes que el recuento de barras no es suficiente. Importa su dispo^ sición paxa no tener mecanismos parciales por una parte e hiperestatismo por otra. Usando la expresión en función de las coacciones c., cuando G>0, hay sobreabundancia de barras, es hiperestática, (internamente). El valor de G son las barras que sobran para tener un diseño con isostatismo interno. Cuando G<0 es un mecanismo. El valor negativo de la G son las ba-rras que faltan para ser estructura.» (Sería a la inversa usando la expresión en función de las libertades 1.). Si la estructura tiene que soportar cualquier tipo de acción (M, - 213 Fx, Fy) a los apoyos se necesitan 3 coacciones para que no tenga ningún movimiento Esquemas. nombres y símbolos de pires cinemáticos consecuencia alguna de ellas y entonces se cum- ple : b = 2n. ia l a> í¿4¿¿ mmh -J>" 4.1.2 MOVILIDAD EN EL ESPACIO PurUcremlueiíwi R ¡fc F j r prismático P Par helicoidal 11 Cunlatfo rvnt.ipumual ?v En el espacio una barra tiene 6 posibles movimientos, 3 giros y 3 desplazamientos. Par cilindrico C" Contacto telrapunlual Pur esférico ranurudo K, Con b barras, G = 6b. Usando una fija como referencia, G=6 (b-1) . «P ^ O Par esférico E 'W/ Pur plano P, W Par cilindrico ranuradoC, Uniéndolas con "e" enlaces en "n" nudos ( n í e} el criterio g e n e — ral de movilidad en el espacio nos queda: Contado iripnmuii! G = 6 (b-1) - ¿ c 1 x ^ ^ o bien coco entre libertades "1." y coacciones "c " se suma 6, i Par esfera cilindro £ , Par plano cilindro P, m Par esfera plano £ Contado bipumual i ' e G = 6 (b-e-i) + I i 1 l i con J^ 1. = C.^6 i i En el caso particular de estructuras "articuladas" espaciales los Par esfera esfera £ , nudos "articulados" es como si tubieran tres movimientos y 3 Del libro "Síntesis de mecanismos " Justo Nieto Ed. AC 214 coacciones (u,- v, w) es decir equivalentes a rótulas esféricas. Si partimos del número mínimo de triángulos unidos en el espacio que forma un cuerpo rígido (tetraedro) se cumple que b= 3n -6. Para fijar un nudo en el espacio se requieren 3 barras (una, fija tres desplazamientos y un giro) dos, fijan además otro giro, y tres, lo inmovilizan). Si lo unimos al tetraedro se cumple: b + 3 = (n-1) - 6 = b"- 6 y así sucesivamente, de forma que en general podemos expresar: i b." = 3 ¿i n. - 6 i . x i Si queremos fijarlo, para transmitir a los apoyos F ,F ,F ,M ,M. ? X Y Z X i M necesitamos seis coacciones, es decir, inmovilizarla en los í apoyos. Con ello queda b = 3n. ¿j,2,~ CRITERIOS PARA EL DISEÑO DE MECANISMOS Para diseñar mecanismos que se van a transformar en estructuras de 215 barras articuladas, interesa llegar a diseños con un solo grado de libertad: son más controlables desde el punto de vista del funcionamiento, ya que solo hay un movimiento posible, obligado para todas las barras ( es decir que, se mueven a la vez); también desde el punto de vista de su transformación en estructura, con un solo grado de libertad no hace falta controlar la existencia de mecanis_ mos parciales. Si los elementos móviles son solo rotulas de giro, se puede lograr utilizando una variante de diseño respecto a las estructuras "arti culadas", y es la de que las barras abarquen más de dos nudos: esto permite conseguir mecanismos de un grado de libertad con un número adecuado de ellas. Si el diseño de estructura es totalmente triangulado tiene que incluir enlaces deslizantes para que pueda ser un mecanismo plegable (al menos una por. cada dos triángulos en el plano). En el primer caso se pasa a estructura añadiendo barras mediante articulaciones de giro, y en el segundo coaccionando los nudos deslizantes. Si el mecanismo espacial se consigue por superposición de mecanismos planos, para controlar la clase de movimiento, basta el análisis en el plano. Para barras en cualquier dirección que abarquen solo los enlaces - 216 entre dos nudos, ver el análisis de movilidad espacial en el traba_ jo de Santiago Calatr3va; "Zur Falbarkeit Von Fachwerken". Biblioteca de la U.Politécnica de Zurich 4.3,- UNIDAD MÓVIL BÁSICA DE LOS MECANISMOS DE EMILIO PÉREZ PINERO La retícula más simple que cambia de forma durante el movimiento , lo que se llama el sistema cinemático más pequeño, es un cuadrilátero resultante de encadenar dos barras en"x'l En algunos casos estos cuadriláteros están partidos en dos triángu los por la diagonal vertical. Todos los mecanismos base está compuesto por estas unidades, que desplegados, en caso de definir una superficie curva tiene forma de cuadrilátero de lados desiguales, o iguales dos a dos si siguen una directriz de curvatura constante. El estudio de las con- diciones geométricas que dan las longitudes de estos lados para que sea posible el movimiento, se hará en la parte siguiente. En el caso de definir una superficie plana, la compatibilidad geométrica que debe cumplirse para que sea posible el movimiento, es muy sencilla: basta que los cuadriláteros sean rombos. Por consiguiente el sistema cinemático más pequeño 217 es un rombo cuyos lados están materializados por barras enlazadas mediante articulaciones en que el movimiento es un giro reciproco en su plano. En el caso de tener materializada .¡la diagonal vertical por una barra , para continuar siendo un mecanismo, ésta está enlazada a las articulaciones de giro con la misma capacidad de movimiento y tiene por tener la posibilidad de variar su longitud. La consecuencia del movimiento para esta unidad básica es la varia ción de longitud entre dos vértices opuestos, es decir la longitud de las diagonales. Esta variación se puede expresar en función del ángulo entre los dos elementos (barras) contiguos. d = 2 a sen 6/2 d = 2 a eos 9/2 al moverse las áreas del rombo varian en función de: A = d -¡3 ? / ? = 2 a^ sen 6/2 eos 9/2 = a sen 6 Se va a analizar que clase de movilidad tienen el rombo materialis zado por cuatro barras unidan con 4 articulaciones, prescindiendo en principio de la barra que materializa la diagonal. 218 Es un mecanismo plano del que contando la cantidad de movimientos que puede hacer, se puede analizar cuantos grados de libertad tiene, porque se?án las coacciones que se tengan que ejercer para p a — sarlo de mecanismo a estructura. Un eleraneto de un mecanismo (barra) situado en el plano tiene tres grados de libertad (dos desplazamientos y un giro), o de coacciónj o de otra forma. libertades + coacciones = 3 I + c = 3 Aportando coacciones, enlazando los elementos. Con muchos elementos formando un mecanismo, los grados de libertad global (o movilidad) se expresan por: e G = 3 (b-e-1) + Z 1. 1 i como vimos antes, en el que: G = grados de libertad del mecanismo (o movilidad). b = n? de barras (elementos). e = n° de enlaces entre barras (1 o varias por nudos). 1.= grados de libertad que se permiten en el enlace i 219 ~ (en el plano 0 < 1 > 3) ; si 1 = 0 no se pueden mover; si 1 = 3, son barras sueltas. En este caso: n = 4 (a, b, c, d,) e = 4 (1, 2, 3, 4,) y una libertad 1.= 4 x G = 3 (4-4-1) Como cuatro enlaces con dos coacciones era fácil suponer + 4 = 1 queda inmóvil añadiendo una barra- n = 5 e = 6 1.= todos los giros = 6 G = 3 (5-6-1) + 6 = 0 Se le añade en forma de diagonal vertical*si se pone un dispositivo de desplazamiento, conserva el grado de libertad. l.= 6 + 9 , + 6 , + 6 + 9-, + 6 n+ $ = 7 x ae be be ce de ad e G = 3 (5-6-1) * 220 + 7 = 1 Una característica muy especifica de diseño consiste en que las barras que forman ios rombos abarquen más de dos articulaciones (nudoS. En ios nudos interiores enlazan a la articulación que permite el giro sin perder continuidad, pasando hacia el enlace si guíente. Si el rombo varia sus diagonales, el movimiento obliga al resto de los enlaces (nudos) que tenga la"x',' cambiando los rombos adyacentes, y así sucesivamente. Si en el rombo de partida se" materializa una diagonal (se triangula) ,se inmoviliza . La inmovi- lidad también se "propaga" a los enlaces adyacentes de la "x", y así sucesivamente. EJEMPLOS Sobre la base de que interesa tener mecanismos con pocos grados de libertad para controlar bien el movimiento, y que lo más interesan te es tener uno solo, así el movimiento es único, obligado para todas las barras, se proponen tres ejemplos, en los que se consigue este propósito disponiendo un determinado número de nudos con enla ees de giro. EJEMPLO 1 2 b = 10 e = 13 G = 3(10-1) - I 2 = 27-26 - 1 1 221 Sd le añadimos una barra a través de dos enlaces: e = 15 15 G = 3 (11-1) - £ 2 = 3 0 - 3 0 = 0 EJEMPLO 22 b = 11 e = .? e G = 3(11-1) - 2 2 = 30 - 2:e = 1 ; £ = 15 1 Añadiendo una barra-a través de dos enlaces: e = 17 17 G = 3 (12-1) = 1 2 = 33-34 =*-! 1 EJEMPLO 39 b = 12: G = e =? 3(12-1) - 1 2 = 1 33-2e = 1 e = £¿i = 1 6 2 Añadiendo una barra: e = 18 18 G = 3 (13-1) - 1 2 = 36-36 = 0 1 EJEMPLO 49 ,Si las barras solo son comprendidas entre cruce y cruce- ('de un nudo a contiguo) da que hay que añadir tantas barras como para que quede tri guiado: 222 b * 25 10 de XX 2 de « 6 de yx 1x10- 2x2 3x6 3(25-1) - t 2 - Z2J$% 72 • 20- 8 - 36 = 72 --64 = 8 grados de libertad. Se necesitan ocho barras 22S CAPÍTULO V: TEATRO AMBULANTE BESPLEGLABLE 5.1,- DESCRIPCIÓN GENERAL: Es el único trabajo de Emilio Pérez Pinero en el que se encuentra toda la información definida en planos:(ver número 1.4 del CatalogOjpag.29). Los módulos de estudio de que partid" puede ser los del número 1:3 pag. 26 También el sistema está documentado en la pa- tente n5 283206 de Diciembre de 1962. El teatro es un espacio de planta rectangular de 34 x 22m. c o n t é — niendo un escenario y un patio de butacas, levantado del suelo con las pendientes apropiadas mediante una estructura que suponemos al menos desmontable. Lo que parece mejor definido es la estructura de cubrición; una ma lia de espesor constante, con apoyos puntuales de borde cada c u a — tro metros,además de-4 soportes. Los soportes de borde son de sección triangular constante. Lo más llamativo de los 4 sopor— tes interiores es un capitel en que se apoya la malla en 13 puntos y una articulación inmediatamente anterior a la plataforma de apoyo sobre el suelo. 224 En la documentación existente aparece colocada esta malla de cu bierta con inclinación de un 11% en un solo sentido. Asimismo en la pequeña memoria, después de referirse a temperaturas extremas soportables, aparece descrita la cubrición como de tela en una o ^> 1A ambas caras. No están especificados los arriostramientos necesarios para estabi_ lidad y viento, ni de la cubrición ni de la estructura completa. El material empleado en la malla es el aluminio y quiza lo sea para la totalidad de la envolvente. 5,2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS 5.2.1 CUBIERTA c > v 2A. £ a característica más llamativa (o inusual) es la de ser plegable. Se dice en la memoria de proyecto que siendo capaz de cubrir una superficie de 34x22m.r plegada ocupa 8m . Está compuesta soiamente por dos tipos de barras, diagonales y mon tantes, y por piezas especiales materializando los nudos. Las diagonales son las barras más largas, de 3,45 metros, forman ->- parte cada una de 4 nudos situados en el mismo plano. Su sección trapezoidal está diseñada para permitir el movimiento de plegado 225 desplegado hasta una situación tope, en que existe una superficie de contacto cuadrada entre cada dos .barras. Para unirse a los cuatro nudos tiene 4 perforaciones, dos extremas y dos centrales, separando tres distancias iguales; los cuatro con ejes paralelos y coplanarios. Estas diagonales van de cara supe rior de la malla a cara inferior. Durante el movimiento, pasan de la posición vertical de plegado a una inclinada a 602 de la vertic a l . Su eje no se corta en el punto que simbolizaría el nudo. Los MONTANTES son verticales y unen solamente dos nudos entre cara exterior e interior. Son de sección circular hueca, y telescópicas compuesto por un total de tres tramos. Durante el movimiento se conservan en posición vertical y pasan de una longitud de 2,3 metros plegados a 1,15 metros con la malla des_ plegada en su posición definitiva. El eje de estas barras se corta con el punto que simbolizaría el nudo. Los NUDOS son piezas especiales a las que se unen 5 barras: 4 diagonales y 1 montante. Los nudos son verdaderas articulaciones. A las estructuras trianguladas de acero habituales, las llamamos articuladas (planas o espaciales) para diferenciarlas claramente de los reticulados de nudos rígidos; operamos con ellas "como si - 226 los nudos fuesen articulaciones". En este caso los nudos son articulacio nes que permiten el movimiento de plegado-desplegado, permitiendo el giro a las barras diagonales, ningún otro más, y por tanto con el movimien to descrito por cada barra contenido en el plano. El movimiento que es posible en los montantes es el desplazamiento solamente, y no depende del nudo; el dispositivo que lo hace posible está en la propia barra ver tical. Los APOYOS se efectúan mediante piezas d£.jiudo diseñadas como una variación del tipo, e igual que el resto están incorporadas en todo momento en la malla, permitiendo el movimiento como se aprecia en el plano D-12fen las piezas D-12-20 los cuatro brazos de la cruceta tipo aparecen ensartados en el ala vertical de perfiles LD, dejando las roscas libres de tal forma que pueden montar las diagonales con su movimiento de giros libres, y asimismo en la rosca del eje, la barra telescópica vertical. Los angulares están colocados sobre una placa horizontal que lleva los agujeros para atornillar el capitel del soporte. La última fase de ejecución del apoyo es el atornillado de los angulares en- la placa - horizontal. Como se ve, hay que distinguir dos estados muy diferentes: uno de "mecanismo" en el que tienen que existir unas condiciones geométricas de compatibilidad en las barras y un diseño de nudos apropiado para que el movimiento sea posible; y'otro " de estructura" en el que tiene que ser capaz de resistir ios correspondientes acciones mediante esfuerzos én las barras. 227 5.2.2,- SOPORTES Como apoyo de la malla de cubierta se diseñaron dos tipos de soportes. Uno de ellos comprende cuatro grandes soportes en los que se distingue "basa", "fuste" y "capitel". La "basa" es una plata forma metálica rigidizada, unida al "fuste" por una rótula esférica. Este es de sección variable, cuadrada,formada por cuatro angulares empresillados. También el enlace al capitel está constituido por una rótula esférica.El capitel propiamente dicho está formado por dos piezas de celosía de canto variable, dispuestas en cruz dentro de un cuadrado formado por perfiles laminados. Contiene trece puntos de apoyo de la malla de cubier^ ta. Se crea un segundo capitel mediante cuatro barras enlazadas al fuste a una altura situada entre el tercio superior y su mitad; forman las aristas de una pirámide invertida y acodalan y fijan el piano inclinado del capitel (que es el de cubierta), a partir partir de una determinada orientación de la rótula de enlace, (tres libertades de girol El otro tipo comprende 26 soportes de sección triangular constante formados por angulares empresillados. Recogen la carga en la cuarta parte de los nudos de contorno, y son de altura variable, acompañando la inclinación de la cubierta. 228 5.3,- MECANISMO La retícula mas simple que cambia de forma durante el movimiento es un rombo con la diagonal vertical. Las barras que forman los lados pertenecen a otros dos rombos más situados en el mismo plano, La diagonal vertical del rombo, que contiene un enlace que permite el deslizamiento, hace posible el grado de libertad del m e c a — nismo. La movilidad correspondiente a un grado de libertad se transmite a los rombos adyacentes 1, 2, 3 y 4 por los enlaces de las barras en "x" que abarcan cuatro nudos. La unidad básica espacial de movimiento comprende ocho barras com ponentes de dos rombos y una sola diagonal vertical común a los dos, contenidos en dos planos perpendiculares, o de otra forma, cuatro triángulos (equiláteros) correspondientes a dos rombos: cada vez que se desplaza el enlace deslizante de la barra vertical, hace variar el ángulo 0 de la misma forma en los dos planos perpendiculares, y al mismo tiempo; el movimiento es el mismo en las dos direcciones y tiene como consecuencia la variación del períme tro, los cuatro lados a la vez, aumentando o disminuyendo el área 229 rectangular en planta. Descompuesto el movimiento según dos planos ortogonales,basta con usar el criterio de movilidad en el — plano. Se hace notar que el mecanismo lleva empaquetadas todas las barras que lo hacen estructura, y el paso de mecanismo a estructura se realiza ejecutando coacciones 6 en los enlaces deslizantes en tre las barras verticales y los nudos. Por las características del tipo estructural (reticulado. de barras) los giros de las articulaciones de los nudos no se coaccionan, es decir,- en la situación final queda verdaderamente articulado . 230 5.3.1,, VARIACIONES SOBRE EL MECANISMO Se ha hecho el estudio de movilidad a partir de la unidad elemental. Una característica muy especifica del diseño de las vigas de la malla es que las barras inclinadas son enteras, es decir, cada barra tiene un tramo extremo que es cordón superior, el otro, infe rior y el central propiamente diagonal. Tiene otras dos caracteris ticas más: que las barras forman dos familias paralelas y que la longitud de los tramos entre articulaciones es igual ( o si se suprimen parte de estas, un número entero de veces). Si en una de estas barras cortamos todo movimiento en un nudo, lo estará para los demás enlaces que haya sobre ella: por lo que se puede escojer una variante de mecanismos en lo que se supriman todos los montantes que triangulan los rombos. Para una viga de celo_ sxa en el sentido de la luz corta quedan las. 24 barras en "x" diagonales . Para conseguir un mecanismo de un grado de libertad no necesita - tantos enlaces como puntos de cruce; necesita alguno más que los minimos de extremo de cada barra. e e G = 1 = 3(b-l) - Y, C.= 3(24-1) - £ 2 ; e = 34. 1 1 1 231 Se nacesita un mínimo de 34 enlaces entre barras que permitan el giro en el plano. Una forma de situarlos se muestra en la figura: por ser las barras "pasantes" los enalces son simples,conteniendo uno por nudo; las barras quedan divididas en tramos de longi— 33. . tudes a y 2a; siendo un mecanismo deun grado de libertad, todas las barras se mueven a la vez y se conservan paralelas durante el movimiento porque existe un único valor de giro; para coaccionar el movimiento basta con añadir una sola barra mediante dor enlaces a dos nudos. Si las barras, en vez de ser "pasantes" sobre ambos nudos,compren den la distancis entre nudos contiguos, como se considera en el cálculo de las no plegables, en la viga de celosía elegida resultan 64 barras y 44 nudos que contienen uno, dos o tres enlaces con una libertas de giro y dos coacciones de desplazamiento. Su número de grados de libertad es tanto como el número de recuadros: 23 2 19 G = 3(64-1) - Z 2 - l 2x2 - S 3x2 = 21 1 1 1 Para tener estructura es preciso añadir la 21 barras que conpletan su triangulación. Por otra parte totalmente triangulada, la pieza estructural hace trabajar a las secciones de sus barras con esfuerzos normales de tracción o cmpresión. Sin embargo, aprobechando que las barras son "enteras" se podría / 232 prescindir de un número de ellas, (de triangular la estructuraj. Las solicitaciones de la sección de barra serán de normal, flector y cortante: para generar las tensiones que equilibren en una sección de viga a los esfuerzos M, T, solo se puede contar con secciones de las barras que cortamos y algunas veces la sección equivalente es la de ese número de barras colocadas en horizontal. Para cargas muy pequeñas puede ser suficiente. 5.4.- MONTAJE Prescidiendo de la subestructura de escenario y patio de butacas, el proceso de montaje de la envolvente se desarrolla en las si guientes etapas: colocación de cuatro grandes soportes, desplegado de la malla, nivelación de los nudos inferiores en un plano h o r i — zontal, coacción de los movimientos de desplazamientos de montan-tes, colocación de las lonas de cubricción, izado, materialización de los apoyos en cada capitel de los cuatro soportes, colocación de soportes perimetrales (uno cada cuatro nudos de borde), cerramien tos laterales. Emilio Pérez Pinero posiblemente pensó que quedaría montado con la máxima rapidez y suficiente seguridad, empleando solamente cuatro 233 "postes" de apoyo, en lugar de plantear un apoyo continuo perimetral(caso habitual para emparrillados y placas) , o al menos uno por nudo. Bara el tipo de estructura y las luces de vanos, los desplazamientos y giros debidos al peso propio no son apreciables. Utilizando pocos puntos de amarre para el izado, las deformaciones acumuladas serían apreciables y se manifestaría un desfase entre el nudo de malla y el apoyó del soporte. Para evitarlo, se concentran los suficientes apoyos en pequeñas zonas, se izaría tirando de esas 4 fu turas zonas de apoyo, y se colocaría en su posición fácilmente jun_ tando nudos con apoyos apenas desfasados en plano; después se van colocando soportes más livianos debajo de los nudos de borde decididos. 5.5 ESTRUCTURA Desplegado y coaccionado, el tipo estructural es un emparrillado con retículas en planta de 1,00 x 1,00 m. en el que los componentes son vigas de barras huecas de aluminio formando retículas de triángulos equiláteros, contenidos todos en dos familias de planos perpendiculares. 234 La malla , tal cual está definida en planos, solo contiene un eje 2 de simetría (longitudinal). Para cubrir una superficie de 748 m lo hace con un total de 1.530 diagonales en "x", más 770 montantes telescópicos unidos todos ellos por 1.540 nudos colocados en c u a — tro cotas de altura diferente. 5.5.1,- VIGA COMPONENTE TIPO Sabiendo que se trata de un emparrillado (sin rigidez a torsión) y por tanto con un traslado de cargas hasta los apoyos en las dos direcciones ortogonales de las vigas, se va a analizar primero el comportamiento de tipo de pieza lineal de que está formado.Está— representado el equilibrio en cuatro secciones pertenecientes a un recuadro^de la viga de celosia, solicitada a mosnento^ (M )y cortan te (Tv) , función de las cargas de los nudos superiores; se tienen ~ tres nudos (i-1 , i i+1) solicitados a momentos crecientes. En las secciones 1 y 2, el equilibrio a momento se produce por el par N ~ sn y NxTT, " e n que NT, > J-íi N ~ sh; el ajuste a la gráfica poliao' ' nal de momentos, desde el nudo i-1 al nudo i, se verifica con N dh y parte de N , entre los que va variando la distancia a lo largo de i-1 a i. 1) En la página siguiente En las secciones 3 y 4, el equilibrio de momentos se produce con N 235 y N > N ; para aáécuarsaa La poligonal de momentos, ahora a 0 3 A!> :i234¡ ¡ v •NS' 7 i-' MÍ-I JW-E— »-•_ Mi •Tg Ns*.0. -2" I&- o. * > _ Muí -r— u IN heos- SH h 0 Nlizp.2_Mn.Tg-S- ,ltl IsH NM = I-l Nsv Nsv Ni „i T MÍ-I-MI_ ¿' M N-*=-ír--írNpfTM-^M-Tg-i___M ND= AM DH" hx NDV=TÍ-^T¡J ^>UD=- .o. Ct AM heos _ 2 M -Tg N«= _ Mi Ni,r h ,o, Ni Y l Nl.r M l . T v—K ..i _ Mi NIH NÍH i _ Mi Ni = Niv N M¡ _ Mi NIH-IT w1 - M i Tn a la componente horizontal de la diagonal N cambia de sentido dh ' for — mado par con parte de N , sh El equilibrio al esfuerzo .cortante se produce por la suma de los componentes verticales N + N, - N en las secciones 1 y 2, y . Iv dv sv N + N - N . Por último epara que exista equilibrio en los nusv dv Iv^ dos, hay que incluir la componente del esfuerzo de montantes. Para esta posición de plegado í o; = 60°) , los cordones aumentan su esfuerzo en un 15% con respecto a los diseños de cordones horizontales. Como consecuencia del diseño de cordones inclinados/ el esfuerzo de las diagonales en función del cortante, disminuye en un 50%, trabajando la mitad de las piezas a compresión. El valor máximo se encuentra en la diagonal del apoyo (mayor T, mayor M ) . El diseño es pésimo desde el punto de vista de las solicitaciones de montantes; ellos solos colaboran al equilibrio del nudo donde no hay dia gonales. Su solicitación está en función directa del momento, por lo que para el caso del diseño de Pinero, que el canto efectivo es un metro, los valores son parejos a los dos de los cordones, con sus máximos valores en el centro o los í?.povos oon!:.in'Jos ; la uiitud trabajaba a compresión, y ademas es el mecanismo más delicado de la viga. 237 4. A) B) O £ o o & a & fl o 0 o 5.5.2.- COMPARACIONES CON OTRAS VIGAS TRIANGULADAS La viga de celosía de. la figura A corresponde al diseño de Emilio Pérez Pinero para este proyecto y se muestra en el estado final de desplegado, compuesta por triángulos equiláteros adosados: tiene un canto constante de 1,15 m al ser sus cordones paralelos. Se puede comprobar fácilmente que ia triangulada de cordones horizontales de la figura B,- realizada adosando triángulos rectángulos tiene menores solicitaciones en cordones y montantes, y mayor en diagonales. En la celosía B, se dan también sencillas condiciones de compatibilidad geométrica entre longitudes de barras para que el plegado sea posible; este se hace casi de la misma forma: en ca da triángulo se varia la longitud del montante por medio de un enlace entre barras y nudos con libertad de deslizamiento. El movi-miento cesa cuando cordón y montante Ú-ñ cada triángulo i g u a - lan la longitud de la diagonal. Durante el plegado, en A los montantes aumentan de longitud de 1 a 21, y en B disminuyen de 1 a 0,71.para la misma disposición de nudos y canto en ambas. Siendo B más eficaz estructuralrnente que A, la ventaja de esta es que las barras en diagonal pueden ser enteras desde los nudos infe 239 a las superiores. Y esta hace que el movimiento (en el plano) de plegado sea muy ordenado (G = 1) mientras que en B las barras solo comprenden la Ion gitud entre cada nudo y otro contiguo. El movimiento de B, que tam bien está contenido en el plano, tiene un grado de libertad por ca da dos triángulos. Por último, el diseño más eficaz estructuralmente y con menores longitudes totales de barras empleadas, está representado en la ce losía C. Está viga tiene posibilidad de plegado^ pero no es un moví miento sencillo y el mecanismo no se conserva en el plano durante el movimiento. Se pasa de estructura a mecanismo, desdoblando los nudos necesa rios para deshacer los triángulospreando "cadenas" de cuadriláte- ros, cada una con un grado de libertad independiente: en la figura se .crean las "cadenas" 4-5-9-10 y 4-5-10-11. (1)- Sobre las condiciones de plegado ver: "Zur Faltbarkeit Fachwerken" Tesis doctoral de Santiago Calatrava Biblioteca de la V. T. de Zurinch. 240 1-2-6-7 , 1-2-7-8 , 2-3-8-9 , 3-4-8-9 , (1) 5-57 3.- COMPORTAMIENTO DEL EMPARRILLADO Suponiéndole una carga q/m 2 = 1 (correspondiendo a 1 por nudo) se efectúa su análisis por cálculo matricial, obteniendo esfuerzos de flexión y cortante en las vigas componentes, para tres hipóte— sís de apoyo: sin contar con la fase de izado, durante el montaje, el emparrillado se apoya en los capiteles de cuatro grandes soportes con toda su carga permanente; en esta- situación se configura un recuadro de 18x20m y dos voladizos laterales de 3 y 7m de luz. La segunda situación se mantiene durante el uso y resulta de añadirla a la anterior apoyos en el perímetro { un soporte en cada H uno de cada cuatro nudos'de borde). La tercera hipotesís/que no es situación de apoyo de esta cubierta, se contemplan solamente los apoyos de contorno, con el fin de apreciar de un vistazo las diferencias entre las situaciones proyectadas por el autor y una solución de apoyo habitual. Secciones y luces de barras están especificadas en la documenta - ción de este proyecto. Sin embargo ninguno de estos análisis es del autor, ni en hipóte— sís de apoyo ni en modelo de cálculo. Se comentará la que empleó. Efectuando la equivalencia para una situación real probable,con 2 una carga debida al peso propio de lOKg/m = lOKg/nudo (en proyec- 241 REACCIONES «o o o o o o o o o o o ó o o a DEFORMACIONES EN m . PARA 1 T / n u d o EN c m . PARA 10 K g / n u d o APOYOS EN ETAPA DE MONTAJE CORTANTES TÍO 0 5 10 0 .OS .1 M (mi) MOMENTOS 20 .2 50 poro 1 .5 10 K g / n u d ú " T / nudo APOYOS EN ETAPA DE MONTAJE REACCIONES DEFORMACIONES EN m. PARA EN cm.PARA APOYOS EN 1 T/nudo lOKg/nudo ETAPA DE USO CORTANTES > —JH A ! i i ^umiiuu^. jrm Tít) MOMENTOS 0 S 10 20 50 pora 1 0 .C6.1 .2 .5 10 Kg/nutfo M ím-t) a—-^r " T/nudo APOYOS EN ETAPA DE USO REACCIONES "W ' a t i ts-i N- * > i ¡^ ^ f> N r N' it* ^ " * v ¿fe 6 • -- "k ~3fev i i fes 3oS" 366 1 1 1 \ 1 ¿L I \ 1 \ \ \ \ \ , \ \ \ A\V\ w \ \ \ \ \ \ / \ / \ \ / > / ú JL \\ / [/ 1 l / / /i 'i m ! J / A //A 6C0 L 1 soo / yy/A {/ 4O0 ^ "1 i1 700 \ r / / / i ^.•^¿¿y/ 300 200 «£ / i X*< 1 / \ \V^ '11 / 1 \/ \ ¡ l y 900 \ N • i i k 100 - A i _ — j i. i k i k 1 L _ ^ - i 1 10 i i ™—1_ ¿k ¿k DEFORMACIONES EN m. PARA 1 T/nudo EN cm. PARA 10 Kg/nudo APOYO EN EL CONTORNO CORTANTES T( t ! MOMENTOS 0 5 10 20 50 paro 1 T/nudo 0 .05 .1 .2 .5 " 10 Kg/fiucto M (m-t) APOYO EN EL CONTORNO to se considera un total de 60Kg/m de nieve) ; se tienen los siguien_ tes valores máximos: -Reacciones: El reparto más singular corresponde al apoyo de contorno, con 0,5t (3t. con nieve). En las otras dos situaciones se concentran en las esquinas internas de los grandes capiteles, con valores alrededor de las 2t. (12t. por nieve), siendo muy pequeños los de contorno. -Cortantes: En la situación real resultan de una concentración desproporcionada en las vigas del emparrillado que van a 4 ó 6 apoyos. Debido a la poca cuantía de la carga real, esos valores serían aceptables del orden de 0,5t. (3t. con nieve), (0,2parael apoyo de contorno) -Momentos: Los valores máximos de las tres diversas situaciones, no son muy diferentes, del orden de 0,6 y 0,7 mt. (3,6 a 4,2 con nieve) en centro de vano (M~) ,- pero el "volumen" de solicitaciones de momento está muy concentrado en pocos metros cuadrados de emparrilla^ do en las situaciones reales de apoyo, en comparación con la tercera que se analiza en que la situación casi se invierte: en los primeros casos tendrá sentido colocar unas pocas barras de secci— nes mayores en esas zonas, mientras que en la última no. 248 -Deformaciones: Considerando una longitud de recuadro de 20x20mts, el valor de des_ censo máximo admisible dei.L/¿50 sería de 8,8 eras. En las situaciones analizadas, es en está cuestión donde se a p r e — cian diferencias mas grandes. El caso más favorable corresponde al apoyo en contorno con 9,6 cms en el centro del rectángulo, para los 10 Kg. de peso propio (con nieve seria inadmisible). Los valores máximos para las situaciones reales son (para lOKG/nudo,! 2,4 cms eñ borde de voladizo mayor en montaje, y de 1,7 cms en uso,y!4,4 y 10,2 respectivamente para nieve. Is claramente muy deformar:le cen las secciones de barras y canto que dio el autor. Se puede apreciar en los planos que las vigas del emparrillado que forman el recuadro de apoyos de capiteles, aparecen con curvatura en contraflecha y un cordón inferior que puede ser un cable; tensándolo se sometería a momentos negativos a toda la viga, acortando los descensos. 5.5.4.- CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL Y DE LA SECCIÓN De los datos reflejados en la documentación que se posee del autor se obtienen los siguientes valores: -Material: aluminio 249 Características: p = 2,75 grs/cm 2 ot¿ü= 1 .576 kg/cm o,= 2.750 kg/cm 2 E = 740.000 kg/cm' G = 270.000 kg/cm' e = ' 2 , 1 %o e - S e c c i o n e s de b a r r a s : Diagonales 2 cmz A Montantes 1,13 cm I . 2.,.887 c.m4 1 ,-T 1,17 I Y 4 4 cm 1 17 -, cm 4 4 1,1/ cm 3 AA 4 1 ,02 cm *x 1 ,44 cm *y 2,00 cm 1,02 cm 4 2,132 3,83 1,417 3,83 X LO y W X w, • P/ml 250 2 ,22 cm 3 . 1,7 cm 3 0,55 kg/ml 0,78 cm 3 0,78 cm 3 1,2 kg pleg. Se deducen unas solicitaciones máximas para las secciones,(con - un coeficiente de seguridad = 1,5). de: - Cordón traccionado = diagonal traccionada: 2.100 Kg. - Cordón comprimido = diagonal comprimida 986 Kg. - Montante comprimido : 318 Kg. (solo la barra telescópica más exterior) . - Montante traccionado : 1.186 Kg. Estos valores de momentos y cortantes corresponden a cargas m á x i — mas por nudo de;25y 18 Kg. respectivamente, es decir, poco mas que su propio peso y alguna sobrecarga.. 5,6.- PROCESO DE CALCULO DEL AUTOR El desarrollo del cálculo de la malla de cubierta se encuentra i sección d-c-brC-d secaon d-b-o-b-d plasmado en cuatro planos (ver 1.4: capitulo I)) empleándose modelos aproximados estimativos y las siguientes hipótesis: - Como una placa (o emparrillado) de 22 x 34, apoyada en el períme tro, con un reparto de la carga del nudo del 85% para las vigas de la dirección corta y el 15% en las de dirección larga, efectuando el cálculo de una viga del primer tipo por Cremona. Las máximas so licitaciones de compresión que obtiene, son de 2910 Kg: (montante centrai) y 2965 Kg (centro cordón superior) y en tracción 2870 Kg (montantes centrales siguientes) y 2935 Kg (centro cordón inferior - Como una placa (o emparrillado) apoyado en cuatro puntos, cuatro 251 grandes soportes que definen un recuadro de 22 x22 m. Efectúa el cálculo por el método de Marcus, como placa con cargasdiversas según la división de la figura. No se considera la otra dirección con los voladizos de 3 y 7 m. co mo merecedores de análisis, Las máximas solicitaciones que obtiene son; en compresión 1430 Kg (cordón superior central) y 1939 Kg ;' (montante central) y en atracción 1420 Kg (central cordón superior y 1939 Kg (en cortantes centrales). Valores no aceptables para sus barras fabricadas en aluminio standard. Le merecen diseño y análisis aparte las vigas que unen las cabezas de los soportes,(12 en total) que considera con el 100% de la - carga de nudos. Añade al diseño de la viga-tipo un cordún inferior que podría ser un cable; aparecen reflejado con contraflecha de me dio metro (para una luz de 22m). Efectúa el análisis de la nueva viga triangulada con hiperestatismo interno, mediante el teorema de Menabrea, dando al cordón una fuerza de 1 y calculando el trabajo de los esfuerzos normales. Las solicitaciones finales de todas las barras que aparecen reflejadas son debidas solamente a la carga vertical de los nudos. No existe el análisis de ninguna otra hipótesis de carga, por lo que no se sabe si su intención era disminuir la flecha máxima del empa rrillado (pretensado de cordones inferior) dando momentos negati-- 252 vos a estas vigas que unen los soportes. Las máximas solicitacio— nes que da ahora corresponden en compresión, 1.370 Kg (diagonal central)y 1.080 Kg (central cordón superior), y en tracción 2.400 Kg para el tramo central de cable, 1.030 y 1.000 (para los montantes a los nudos superiores en el tercio central de viga). Con m a — yor carga en los nudos, hay una disminución apreciable de las solí citaciones-/ pasando a ser máxima la del cable. Según los modelos de cálculo, solo se generan momentos positivos en las vigas, pasando desapercibido (o no dando importancia) el cambio de comportamiento que generan las cuatro plataformas de apo_ yo, de 4 x 4 m. , como se ha visto^-muy importante: es donde se e n — cuentran las máximas solicitaciones, y tiene efcto favorable en cuanto a las deformaciones alcanzadas, que harían innecesario l e — vantar la malla curvándola en contraflecha, (el diseño de la base de apoyo crea las condiciones sin añadir fuerzas suplementarias). SOPORTES Los soportes de contorno reciben su carga en el eje. En los c u a — tro grandes soportes,con las hipótesis de cálculo y funcionamiento del autor .solo existen acciones gravitatorias centradas en su eje, por lo que el diseño del apoyo'podía ser" una rótula.El resto'i dé.¡ las barras que forman el capitel solo sirven'.,para- estabilizar. 253 Los apoyos de la malla en el capitel, como se ha comentado en la descripción de los elementos, pueden soportar acciones verticales en los dos sentidos, y acciones horizontales. En el análisis que se ha efectuado para acciones gravitatorias, vista la distribución de las reacciones en los apoyos, se tiene que su resultante no pasa por el eje del soporte. Para el equili_ brio es necesaria la colaboración de las barras de extremos ar- ticulados que forman el capitel "exterior". Por la rótula---.de la base pasa solamente la carga vertical. Puede decirse que todo el montaje tiene estabilidad a desplazamientos horizontales solamente por el diseño de la unión, que ad mite acciones horizontales soportables en última instancia por los vastagos de tornillos a cortante, y las barras articuladas del capitel _exterior" que tienen los cuatro grandes soportes. Parece que entre los soportes de celosía del contorno no se dis ponen arriostramientos. 254 EN RESUMEN, para este proyecto Emilio Pérez Pinero de sarrolló un mecanismo plegable que lleva en todo momen to incorporadas las barras que lo hacen estructura. Las barras del mecanismo base dispuestas en "x" dobles, de finen rombos como unidades móviles elementales. Al estar contenida en dos familias de planos paralelos que se cortan ortogonalmente, todas las unidades de una d_i^. rección tienen común la recta de corte vertical, materializada por una barra telescópica, por esta razón el movimiento que se genera en ambas direcciones es el mismo, siendo su resultado inmediato la variación de longitud de esa barra, y el último, el acercamiento de todos los nudos enlazados por las "x" dobles, variando el perímetro del mecanismo: se van generando recuadros semejantes cada vez menores. Si varía el giro de cualquier unidad elemental, el mecanismo se mueve todo él; si se coacciona el giro de cualquier unidad elemental, por ejemplo triangulándola, se coacciona el movimiento de todo el mecanismo. Como lleva todas las barras i n — corporadas, en cualquier posición de desplegado existe el emparrillado de canto constante. Por la disposición y tipo ce apoyos se aprecia la venta ja de la continuidad de la estructura para disminuir es fuerzos en las barras, interesante pensando en la posi_ 255 bilidad de montar una estructura manejando varios paquetes plegables pequeños, apoyados sobre una cuadricu la se soportes: se forma la superficie plana única res tituyecdo enlaces de giro entre los bordes de Iso trozos . En cuanto al rendimiento estructural, se han presentado otros modelos que superan a éste de Pinero, pero los aventaja en la facilidad de manejo por la cualidad que da el movimiento único de mantener el conjunyo ordenado, dando, en cada instante del movimiento, emparrilla dos semejantes al de desplegado final, en el sentido de que sus recuadros y el canto son proporcionales, todo dependiendo del ángulo de giro e, igual en todas — las unidades elementales. Este diseño de Pérez Pinero es una curiosa solución de emparrillado con vigas de canto apreciable en la que no hay barras en las caras superior e inferior, y cuya altura de plegado corresponde a la longitud de las barras en "x" dobles del mecanismo base. Para valorar este proyecto hay que contemplar la fecha de ejecución:1962. Es el año de la titulación académica de su autor. Puede pensarse que habiéndosele premia 256 do por un diseño plegable siendo estudiante, servio obligado a dar respuesta abordando el problema entero, dando las definiciones de piezas y uniones como para que fuera posible su construcción. Pinero no hace después nada tan complicado. Depura sus diseños tanto en cuanto al diseño de piezas movibles como al tamaño y numero de barras, y mantiene básicamente el diseño de nudo y el concepto de movimiento, empleando siempre las barras en "x" para los mecanismos base. 257 CAPITULO VI: PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES 6.1,-DESCRIPCIÓN GENERAL Este proyecto, cuyo uso fue albergar una exposición gubernamental sobre la España de 1939 a 1964, (ver número 1.5 del Capitulo I ) , debía reunir las siguientes condiciones: t> - Albergar una exposición itinerante y de una gran extensión 2 (6.000 m ) conformando una muestra unitaria, en un solo edificio -Adaptarse a las características físicas de los distintos lugares de su instalación. -Ser fácilmente montable, desmontable, transportable. -Tiempo escaso para la propia ejecución real del proyecto. La solución consistió en la cubrición de todo el espacio a base de módulos de 12,6 m. y 9,5 m., apoyadosVrelativamente pocos soportes 2 2 (uno por cada 65 m a 85 m según la disposición en planta de los módulos). La mayoría de los elementos que integran cada módulo son de aleación de aluminio y algunas barras puntuales y las piezas de nudo.de acero. 258 P l a n t a del montaje en el recin to f e r i a l de Barcelona +• 4 *• Dadas las características especiales de la inusual solución estruc + * tural, empleando piezas no existentes en el mercado y de un mate- 4 * 4 4 + + •*- + + + * + * * + 4 4 r t + 4 4 4 •r *• + + T * * 4 + * 4 + + rial tan específico/ así como el corto plazo de ejecución disponi- T + ble, la construcción fue encargada a Construcciones Aeronáuticas - *i : * : pleto; el plazo total, entre la convocatoria de concurso por la - T * (C.A.S.A) que empleó veintinueve días en realizarlo, a tiempo com- íl T4 :| -V Administración y la inaguración de la exposición, fue de cuatro me ses. El primer montaje se realizó en la explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid. Planta del montaje en les Nuevos Ministerios, Madrid 4 1 * * + 4 4 •» 4 T 4 T~ •r * * * T + 4 * 4 * * •*• t * * * » * 4 — i — 4- 6.2.- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS r 4 * + : » t 4 6.2.1 .- CUBRICIÓN: 4 T 4 * ir + + + * 4 + * 4 4 4 * + + De chapa de aluminio en piezas de p,50 x 0,90 m. solapándose cada una a la siguiente, con un total de catorce por cada módulo tipo. El diseño de sección es el usual para cubiertas ligeras de chapa con apoyo en correas, en que hay una dirección clara de transmisión de cargas y la rigidez adecuada en la sección normal a esa ¿irección. Las líneas de apoyo donde entregaría la carga distan 1,80 m. en los tramos centrales y 0,90 m. en los bordes, sobre las barras de la cara superior ce la malla. Se dispone la placa de borde a borde siguiendo la dirección del lado mayor del módu lo. Como se verá más adelante, la chapa plegada de cubierta forma un plano con inclinación respecto al suelo según las componentes 259 ortogonales . de -los bordes . e n las caras i n f e - riores de algunos módulos se colocan piezas especiales de la misma chapa para hacer canalones. Se colocan solo los imprescindibles:en la parte inferior de los "dientes de sierra" que forman los m ó d u — los, y en algunos bordes; en el resto, el agua tiene caida libre. En las agrupaciones más compactas de módulos, los canalones que pueden vertir sobre sus adyacentes o al exterior, la evacuación se realiza mediante tubería colgada por el interior de la malla de ba_ rras. 6.2.2.- MALLA ESTRUCTURAL En este proyecto, no existe familia intermedia a flexión entre la chapa y la estructura de cubierta principal, dadas la distancia en tre lineas de nudos. La carga va a algo más de la mitad de los nudos de la cara superior. El elemento base de montaje (no de trabajo) es el MBQ&NISMQ PLEQA§&? J^er planos adjuntos) formado por las barras de aleación de aluminio de sección circular (<£ 20 mm. ,) que ocupan el alma de la malla. Están unidas a articulaciones que permiten su giro en un solo plano: cada barra está unida a tres nudos, dividiéndolas en dos - tramos de igual longitud. Los grupos de barras colocados en un pla_ no (viga), se agrupan sobre dos direcciones ortogonales formando - 260 NUDO CARAS SUPERIOR E NFERIOR NUDOS INTERMEDIOS MECANISMO BASE: VISTA EN PLANTA CON TODAS SUS BARRAS cuadrícula de 0,87 m x 0,87 m. por lo que tanto a los nudos de las caras como a los intermedios están unidas cuatro barras (dos en ca_ da dirección). Quedan los nudos de las caras dispuestos al tresbolillo formando dos cuadrículas de 1,73 m. en que cada una va uniendo los centros de los cuadrados de la otra, o de otra forma, podemos ver una sola cuadrícula de 0,87 m. trazando las diagonales de los recuadros. A esta base en la que están colocados todos los nudos (replanteo), y en la posición de desplegada, se le añaden barras {cordones, morí tantes y diagonales) configurando el módulo de estructura de cu bierta, según cuatro variantes diferentes, representados en los pianos de las paginas siguientes. El mecanismo plegado ocupa un vo lumen de 1,4 x 1,0 x 1.80 m. (a x b x h ) , y desplegado 12,60 x 9,5 x 1,0 m. De las barras que se añaden, los gQRDONES de la cara superior son perfiles de acero de sección en U (60,30); los de la cara infe rior tirantes de aluminio los cuales llevan incorporados un dispositivo para el tensado; además se colocan perfiles en U en los bordes inferiores de módulos que van a estar en contacto, es decir, que van a ser línea de apoyo sobre otros módulos. Los elementos de S.ESIQS'EEa'MIBNTQ de la estructura de cubierta son 262 - * - NUDOS DE FLANOS E INFERIOR i. MUDOS EN MONTANTE SUPERIOR PLANO VERTICAL U.~ 0 HUECO CAPITEL MEDIO PERFIL TT.- TIRANTE TB.- TUBO CARA CARA SUPERIOR •A\ xix / X. i X x / -4 \L/ •« -e -# \ K •""•• • p—_-.*.——.» — >-y\!/T\.¡ ]\LX 1 u c f_- c XiX \j/l\ XuíiX \ Xu> \ *SEraZS x¡\í/ \ | T B XT\ / ! 1 / \ j X \ / K ^v í \ j . / \LX* xxf XT\ /; \S x ¡ X Nx> jXl y4»l K X TT 7 ! 1 \ i y T» \. >. i xT\ 0 30 Í T X| I/3 x¡x \l/ i/j 1 XX i X x/Kx^^N^ V ! -/iN/fí'X'/'X! ¡N/N. l/ : ^ s i X ' ^si ' NJ. TT \ x i S\ V^\ !N ! \ "N/" u CARA MODULO TIPO B INFERIOR Ü / f^\^ \/^\x¿^^ /iX/ TT f i\1XT\ Xr XX X ! X X i XX ! / i ! _X < X i Xi ' i/" TT xx X 7K] ]\+ í^TT \VTX i\l I\L/¡ JC TT c SUPERIOR \ XTB M 6 HUECO \ i X\ i X X'X •7» u O MACIZO / ! 1\ 1 *& 0 ,TB02OV 1X6 S 30 O EN U- . CARA INFERIOR MODULO TIPO [ A ] NUOOS OE PLANOS E INFERIOR 1 SUPERIOR MONTANTE VERTICAL 0 HUECO U.— TT.- NUDOS EN PLANO CARA MEDIO CAPITEL TB- SUPERIOR PERFIL EN TIRANTE TUBO U 0 MACIZO t> HUECO CARA SUPERIOR ,TSS A\y ^ \ | u / \X i k \ ! / \ / \ A\ ci 1 .u i ( \ 1 iu 1 u ! f v C TB 030 u u í\ ^ / TB03O / ' TB0 3O \ ! 1 TT 1 1 - /t\ TT | TT TB u TB TT TT •TS03O \ U" / CARA CARA INFERIOR MODULO TIPO C ^ MODULO TIPO D INFERDR / ' •^s^l^-íssgwfyKiSteK!^^-^s- ** de des tipos: MONTANTES verticales en los extremos de las cerchas y en los nudos de los apoyos, y DIAGONALES para arriostrar la dis-^ torsión angular de los recuadros del plano horizontal; el módulo que se monta en primer lugar está excepcionalmente arriostrado. Los montantes son tubos de acero de § 30 rom. y los diagonales t u — bos de aluminio de § 30 mm. y <j) 20 mm. La pieza de NUDO está incorporada en todo momento a la malla base; los cuatro vastagos (tres en los bordes) en los que se ensartan - las barras del mecanismo, terminan en rosca con el fin de incorporar arandelas y tuerca para evitar desplazamientos en las barras y permitir un solo movimiento de giro: son verdaderas articulaciones planas; el eje de las barras no se corta en el punto que simboliza^ ría el ñudo. Para poder añadir más barras, la pieza dispone de los agujeros roscados centrales superior e inferior. En el caso de añadir cordones y otras barras de"las caras, se apota tornillo;! en el caso de montantes, llevan estos incorporados vastagos de roscas opuestas en sus extremos. La longitud de los tornillos está muy determinada y no se descolocan de sus nudos en los montajes sucesivos. Siempre hay un dado macizo central. Los esfuerzos más desfavorables corresponden a la sección de unión de cada vastago al dado central El material empleado en su ejecución fue' acero. Los APO¥OS son de dos tipos: uno sobre soportes, a través de un 265 - ."capitel" en forma de pirámide muy rígida; recoge cinco nudos de la cara inferior de la malla, atornillándose en vertical a la cara inferior de la pieza de nudo; el otro tipo, juntando dos perfiles en u de borde superior de un módulo e inferior de otro que apoya, a lo largo de toda una linea (o dos) de borde. 6.2.3.- SOPORTES El diseño de éstos es consecuencia de la evolución de los proyec— taclos para el teatro visto anteriormente. Se mantiene el "capitel" en pirámide que en este caso recoge las cargas de cinco nudos; se une ai "fuste" {de altura variable) mediante una rótula, lo que permite tener el fuste aplomado y el capitel con la inclinación del plano de la malla. Se apoya el "fuste" mediante "rótula", a :~ una base que se atornilla al suelo. Para dar estabilidad se disponen cuatro tirantes desde las cuatro esquinas del capitel al fuste: llevan incorporados vastagos roscados en los dos extremos, con los montantes, y se tensan girándolos sobre su eje. Todas las piezas son de aluminio: en fuste y tirantes de sección circular y en las barras del capitel, quizas macizas. 6.2.4.- CERRAMIENTOS En su día, los cerramientosse ejecutan3n.de¡paneles de madera y lona 26% La sujección de arabos materiales se realiza mediante pilares tubu^ lares de aluminio de <i> 80 mm. , colocados en el perímetro desde cada nudo de cada inferior al suelo. Para estabilizarlos aparece a un tercio de la altura una brida de la que salen dos tubos de aluminio hacia los nudos inferiores adyecentes de la fila siguiente. La unión entre pie derecho y los nudos se hace a través del 4? vastago de la pieza de nudo. La unión entre los tubos inclinados y los nudos de la fila inte rior se hace atornillando al agujero central de la pieza de nudo. Con esto queda suficientemente arriostrado. En los lugares en que no se colocan todos estos apoyos suplementarios, se arriostra mediante cables en cruz de San Andrés. 6.2.5.- CARGAS Y PESOS: Según una pequeña memoria elaborada por C.A.S.A se conocen los siguientes datos: 2 El peso del mecanismo de aluminio es de 420 Kg.; 3,5 Kg/m . 2 El peso total del módulo cubierto es de 1500 Kg., 12,5 Kg/m . El esfuerzo por soporte es de 6500 Kg. para ün peso de nieve de 50 2 Kg/m . más una succión de viento de 2000 Kg (para viento a 110 :— Km/h), con el perímetro cerrado. 26? f« %) f"%) 0.8% o.s% 3,852 (4,600) (3,300) 2 f 75Z {4,1001 .(3,00) ¡2,60 12,60 3,e52 2,752 r++ f- r-t-T 4--M- !•+ + 1,80 9,50 MODULO D MODULO C 9,50 r4--} 4-4^l_fJ 1.4. J¡ > L4_i -rf— JT 4,952 5,90 r4^ !- + + 4.S52 (5,100! (4,00) MODULO B MODULO A 5,50 4-4--1-4-- 10,30 l,S0 12,60 ¥°+- 0,90 6.3 - MONTAJE Como se ha dicho, hay cuatro variantes diferentes de módulos, A,B, C y D. El módulo A es el primero en colocarse en el orden del montaje, y está apoyado sobre cuatro soportes. Los módulos B y C se apoyan sobre dos laterales de A y sobre dos soportes. Los laterales de la planta que se quiere cubrir crecerán en los módulos B y C que sea necesario; la superficie interior se cubre con módulos D, a_ poyados en un solo soporte y en los bordes de módulos B y C (o D ) . La esquina opuesta a A en la diagonal de la planta, se cierra con un módulo D. El montaje de cada módulo a partir del mecanismo plegado, requiere el orden siguiente: Se despliega el mecanismo mediante cuatro carritos de ruedas locas. Desplegado hasta que sus barras recorren 602 desde la vertical,se nivelan en un mismo plano horizontal todos los nudos de la cara in ferior. Se quitan los carritos. Se procede a colocar los cordones inferiores longitudinales y transversales, y los capiteles del so porte, es decir, se fijan los nudos de la cara inferior: se ponen las tuercas sin atornillar a fondo. A continuación se procede a montar los cordones y arriostramientos diagonales de cara superior; los perfiles en U se transportan en 269 dos mitades que previamente hay que unir, mediante tornillos. Se fijan los tornillos a los nudos. Seguidamente se colocan los m o n — tantes verticales de vigas de borde y capiteles, primero a la rosca inferior a fondo y luego a la superior desenrroscando las prime ras, dejando iguales longitudes en ambos extremos. Con todas las barras montadas se procede a reglar y alinear los - cordones inferiores por medio de tensores incorporados a cada b a — rra, hasta que en cordón superior correspondiente tenga, algo de ~contraflecha. Se aprietan definitivamente tornillos y tuercas y se rectifican los de montantes. Finalmente se montan las chapas de cu_ bierta y los canalones para acabar el montaje sobre suelo. Se efectúa el replanteo de recuadros de módulo y ejes de soportes. Se eleva y traslada el módulo hasta su recuadro. Se tendrán coloca dos los soportes del caso (fuste y tirantes). Se apoya el capitel en la rótula final del fuste y se roscan los extremos superiores, de ios tirantes a los vértices del capitel, cuidando de que cada dos definan un plano que pase por el eje del fuste, (para evitar » torsiones). .La inclinación se habrá conseguido porque cada fuste tiene su correspondiente altura. Se aploma éste, rectificando longitudes con los espárragos roscados de los tirantes. El capitel queda inclinado a partir de su rótula de apoyo, siguiendo la pen- 2 70 diente de gufeierta. Si el apoyo se efectúa en un borde del módulo anterior, se hacen coincidir los perfiles U, sujetándose a lo largo por bridas. Por último se montan soportes de contorno y cerramiento como se ha comentado. El montaje es un poco más laborioso que para el Teatro anterior, debido al procedimiento usado para pasar de mecanismo a estructura pero responde al mismo criterio. Mas adelante se verán sus v e n t a — jas en el aspecto de los diseños de estructura posibles. 6,4.- MECANISMO Las barras en !'x" del mecanismo base abarcan tres nudos. Partiendo de como son realmente las barras y nudos, la unidad mé— vil más simple; es plana y está compuesta por cuatro barras y cuatro articulaciones; en cada enlace el único movimiento es un giro (9) y las coacciones son los dos desplazamientos: la cadena es un mecanismo con un grado de libertad. Siendo iguales las cuatro longitudes entre enlaces el movimiento se hace posible. La unión de varias unidades en el plano, sigue siendo un mecanismo de un grado de libertad, es decir, solo hay un movimiento posible 271 «OOm •y*r~ NUDO CARA SUPERIOR -VI NUDO CARA INFERIOR ^ r NUDO MECANISMO BASE INTERMEDIO conjunto, debido a que las barras forman parte de tres enlaces dis tintos, y propagan la forma de movimiento iniciado en una. A las piezas de varias cadenas en el plano, se le cruzan en ortog£ nal más del mismo tipo, enlazando en todos los nudos existentes: siempre se cruzan o terminan cuatro barras por nudo. Se conserva +un solo grado de libertad por lo que hay mn movimiento obligado pa_ ra todas las barras. Para pasar de mecanismo a estructura bastaría con añadir una barra. Si ahora se considera el caso en que la longitud de las barras sea la comprendida entre dos articulaciones adyacentes, es decir, cada barra abarque solo.dos nudos, se tiene un mecanismo con 9 grados de libertad. Para llegar a un diseño con un grado de libertad es preciso añadir ocho barras, que se pueden disponer por ejmplo, definiendo una viga de celosía en "x", como la de la figura, en que todas las ba*rras pertenecen a algún triángulo. Para pasar a estructura todavía se necesita una barra más. Estas vigas se usan en edificación sin añadir la barra que falta. Si los nudos fuesen rótulas verdaderas, se movería sin llegar a plegarse, (no cumple condiciones geométri-^ cas) pero por ser usual ejecutar el nudo soldando las barras, se *consigue que no haya movimiento debido a la rigidez de la unión -- 2 73 que en la practica las convierte en barras enteras con varios - nudos. Esta consideración solo sirve para no considerarlo mecanismo; en el cáculo como estructura se supone que los nudos son articulaciones con libertad de giro en el plano. 6.4.1.- VARIANTES DEL MECANISMO Independientemente de que ae puedan elegir otras variantes, se des_ cribre aquí un mecanismo que permite lograr cantos equivalentes a los da emparrillado o cerchas standard. Se emplea la idea que Pine_ ro usa en 3.a estructura documentada en 1:10 Capitulo I : Cúpula desplegable : en ella aparece un reticulado exagonal en la cara exterior que acompaña al movimiento de plegado. En este caso, y empleando el mecanismo base de este proyecto, se añaden barras contenidas en el plano horizontal de cada cara (supe_ rior e inferior) ', cada una de estas barras solo se enlazan en dos nudos. Para que estas barras de las caras puedan acompañar el movimiento, la idea fundamental consiste en desdoblar uno de cada dos nudos de enlace, en dos subnudos: en una parte se quedan las barras del mecanismo base que se tenia, y en la otra las nuevas que se añaden. 274 "En el mecanismo base de este proyecto. Pabellón..., se puede trazar una única cuadricula en las caras, de 1 f. 224 m. de lado, que comprende todos ios nudos, resultando sus líneas a 45° respecto al recuadro. Ya se ha visto que el mecanismo base tiene un grado de libertad, i Se añaden las barras de las caras (cordones) con la condición de acompañar al movimiento de G=i por lo que, tiene que ser posible variar la longitud de las diagonales AB, AC, AD... Una manera de lograrlo es que esas barras se inclinen con respecto al plano hori_ zontal, variando la longitud de su proyección en él. Se consigue desdoblando un nudo de cada dos consecutivos en la línea diagonal (una fila si y una no en el recuadro) dn esta forma las barras en las caras quedan con un extremo enlazado al mecanismo base y el otro se desplaza en la vertical junto con el de las otras barras que van al nudo. Se entiende fácilmente que el movimiento sigue siendo único, obligado también para las nuevas barras, no obstante vamos a comprobar los grados de libertad del añadido. Sustituyendo el mecanismo base por uno ficticio que tenga los mismos efectos sobre B, C, D y E al variar el ángulo. Lo estudiamos para la unidad básica componente, creando un punto H a distancia adecuada, en función de la longitud de las diagonales del mecanismo base. 275 G = 3(b-e-l)+>l íi tenemos: b = 8 barras e = 10 enlaces (4 nudos de 1 y 2 nudos de 2 enlaces) i^.= 1*. giro G = 3(8-10-1)+ *£ 1 = 9+10 = 1 También se entiende fácilmente que la compatibilidad geométrica pa_ ra que el movimiento sea posible está conseguida. En los estados desplegados, las barras (de igual longitud) a, b, c y d están en el piano horizontal con la longitud adecuada según el ángulo de desplegado, formando las líneas diagonales; en los estados interme_ dios son posibles las pirámides de base cuadrada; en el estado pie gado quedan según líneas verticales. OTRA VARIACIÓN DEL MECANISMO BASE DEL PABELLÓN....consiste en SU— primir una de cada dos filas de barras diagonales en cada sentido. De esta forma los nudos de las caras quedan con cuatro barras enla zadas y los intermedios solo con dos que se cruzan en un mismo pía no. Los nudos de las caras quedan alineados en una única cuadricula según paralelas al recuadro. A este mecanismo base simplificado también se le pueden añadir ba- 2 76 rras en las caras (cordones). tínicamente se pueden disponer m a t e — rializando la cuadricula: las barras, enlazadas solamente a dos nudos ^materializan- el coste en el plano horizontal de la cara y en el vertical que contiene la "x" del mecanismo base simplificado. En cada plano de las dos direcciones ortogonales se forma una viga de celosía en "x". 6.5,- ALGUNAS ESTRUCTURAS POSIBLES Seguidamente se analizan nueve posibles tipos, definidos a partir del mecanismo base de Pinero y del mecanismo simplificado que se ^~ comentá en 6.4 "Variantes del mecanismo" {pág ant. ) ambos p l e g a — bles de barras en "x" que enlazan tres nudos con libertad de giro en el plano, en todos los enlaces. De entre los nueve, se analiza en primer lugar el diseñado por Pinero para este "Pabellón "módulo tipo B. Se toma su definición geométrica (longitudes de barjas_.de 1 mecanismo base= 2 m. canto=;l m\ pero no sus datos de material, ni secciones de barras. Se simplifi ca esta cuestión y lo definido se mantiene para los otro ocho móde los. Se elige ún recuadro de 8,66 x 6,39 m. barras de acero 0 60,3 y carga q/m 277 = 1. Para estructuras que no tienen que pasar por la fase de mecanismo por necesidades de uso (prácticamente todas), las formas de diseño tipificada corresponde a cordones horizontales continuos unidos me diante alma discontinua. Para soportar acciones normales a su d i rectriz, este diseño dispone de un canto y una inercia considera— ble, y una disposición tai de las barras para el equilibrio que so lo son relevantes las soJicitacbnes normales de tracción o compresión Si para soportar esas acciones, lo hacemos con una estructura pro viniente de un mecanismo al que se ha coaccionado solo lo necesario , (se puede lograr añadiendo una sola barra) se tendrá en muchas seccio nes de pieza estructural solo en canto de las secciones de sus barras y una disposición tal que para el equilibrio serán necesarias otras solicitaciones (en número o en valor) de sección ademas de los esfuerzos normales, La consecuencia es que las primeras consumen mucho menos material NOTA: y son ios diseños empleados para cubrir los objetivos usuales. Aunque se pueden.trazar varios ejes de simetría se aprecia una ligera variación en los valores de ~ Dentro de las segundas, en el abanico de posibilidades que va de las solicitaciones dadas entre las partes simetrí añadir las pocas barras de coacción necesaria hasta esos diseños cas. Esto es debido a que en las estructuras plegables tipificados, se podrá encontrar diseños eficaces según sean las - por la forma de enlace de barras a nudos,los ejes variables; uso, condicionantes de plegado-desplegado, montaje, - de todos los complementos no están contenidos en cuantía de las cargas y número de apoyos, aunque siempre con mu- un ünico plano y en realidad no se mantiene una simetría rigurosa porque las barras no están en- cho menos rendimiento estructural que los primeros. lazadas en orden simétrico,súiD siempre del mismo _ lado del nudo en ambas partes simétricas. 278 6.5.1.-A •- ESTRUCTURA DEL PROYECTO: MECANISMO BASE Y ALGUNOS CORDONES Y MONTANTES La estructura definida por Emilio Pérez Pinero, que se ha ido describien do en este capítulo, consiste básicamente en una serie de cerchas planas dispuestas según la luz mayor del recuadro en que los apoyos extremos son de descenso nulo, si es sobre soportes, y muy pequeño si es sobre la cercha triangulada de borde dispuesta en la luz menor. Estas cerchas están muy próximas: tomó los nudos de las filas pares de la cuadricula para colocar los cordones, de tal suerte que la chapa plegada apoya directamente en ellos. En la dirección perpendicular, las barras en "x" empiezan en los nudos superiores de cada cercha y terminan en los inferiores de la siguiente. Con está disposición se puede decir que no trabajan: aunque como acompañan en la deformación de las cerchas, entran en carga (poca), su misión realmente consiste en arriostrar el plano de la cercha (por cuanto en el mecanismo se mantienen los planos verticales en todo momento) agrupar las barras de espesor de todas las cerchas y ayudar a que se desplieguen con un único movimiento. De los cuatro proyectados, se ha .elegido analizar el apoyado sobre dos soportes y una cercha de borde en el lado corto. Los capiteles de los so 2 79 portes hacen nulos los descensos de una banda de 1,732 x 6,93, es decir, es como si las luces entre apoyos fuesen 6,93 x 6,93 m. con la posibilidad de soportar momentos negativos en las cerchas que poseen un apoyo nulo interior ©m los capiteles. A pesar de que el traslado de cargas es unidireccional, tanto deformacio nes (3,15) como tensiones máximas (cordones: 6,2 y -9,2 ; diagonales¡8,6 y -6,4; • montantes: 9,8) son valores razonables, aunque superiores al resto de los casos que se van a ver seguidamente. Esto se consigue añadiendo al mecanismo base 114 m. de barras en c o r d o — nes, y 14 m. en montantes. Se Codifican aproximadamente la mitad de los nudos de las caras para recibir las nuevas barras. 280 ~ -1.7 _ y - „ ^ - 1.5 - _ ...^-— , —+— ^ HJ —+— í _„HJ—- (-4.- -f —+— '-2.4 ' 5.0 — - 4t - — i —ÍH- - - 4 — -j-—4 — i + •—+— . — -- ^ — — & .iS-31 ' i i i_LT - —+ -~|—+ L=JL_ -4 i h i h--^ — _ _ _ ^ _ _ - --+—-i_ _ _ _ ^ _ _ _ , _ _ _ . $ _ _Lü_¿ DIAGONALES ABATIDAS Q ^ ^ „„,, CARA SUPERIOR COMPRESIÓN 1+) TRACCIÓN l - í .19 -4- -2.2 -0.4 -t .-4.5 • 1-1.2, - * - «• — -i 1-3? . L _ . J.. ..„4 --~+-~j---f—-4.5 ; 2.5 i + --i ! -2.Z 1.2 CARA INFERIOR DIAGONALES ABATIDAS -0.2 6.5.2.-B --MECANISMO BASE Y CORDONES EN AMBAS CARAS Al mecanismo base de barras en "x" con los nudos dispuestos en tresbolillo, se le añaden barras en ambas caras (cordones) formando dos retícu— las de 1,732 m. de recuadro y empleando todos los nudos disponibles. La forma posible de ejecutarlo pasa por un diseño diferente de terminal exterior de enlace de los nudos de las caras, para que las barras que se añaden se crucen una sobre otra y de esta forma no crear nuevos nudos La estructura resultante es un emparrillado de vigas en celosía parale- las a los lados del recuadro, en que se puede considerar que todas las directrices de barras están contenidas en un plano; se llaman comunmente celosías de "x". Los apoyos se sitúan en los nudos inferiores del contono- • • Este tipo de estructura traslada mas carga por las vigas de luz corta. El tipo de solicitación normal se mantiene como en las cerchas biapoyadas de este tipo: en las "x" del espesor (diagonales) corresponden solicitaciones de compresión a las barras que se inclinan hacía el apoyo y de tra cción las que se inclinan hacía el nudo central inferior. En el emparrillado se conserva este carácter para la dirección que traslada la carga del nudo en mayor proporción, es decirdesdeiun determinado nudo se observa en el tramo más cercano al apoyo. 282 No se ha dispuesto ningún montante entre los nudos superior e inferior del contorno; las vigas de borde son iguales a sus paralelas interiores, y sus nudos intermedios (el cruce de las "x") hacen de apoyo para las vi gas pares perpendiculares, por lo que el tipo y cuantía de solicitacio— nes de barras de contorno responden a estas características de diseño: tracciones ' en los cordones y compresiones en el espesor.Asimismo, la ausencia. de montantes en el contorno, hace que sean desiguales en valor absoluto las soluciones de los cordones en cada tramo. Las mayores solicitaciones, así como la deformación máxima son del orden de la mitad que el diseño A, de Pinero. Para pasar de mecanismo base a estructura se han añadido 308,4 m. de barras. Se modifica el diseño de todos los nudos de las caras. 283 -0.38 - 1.39 0.4! „ -1.751 _ 0.91 2.31 e4 O o Q ESFUERZOS MÁXIMOS CARA SUPERIOR COMPRESIÓN (+) TRACCIÓN ( - ) -2.5 -1.39 -E.51 -1.64 PJ -I.T5 m o -1.68 s7 01 O ID -2.92 -2.16 ? PJ 8 - • ^ -2.22^2 ' -1.63 W O ir -2.24 ', - 2 94 ' ^o 0P W . 3 T ) i 1 1 1 ( 1 1i -~ — — • < 4 • CARA i INFERIOR DIAGONALES ABATIDAS 6.5.3.-C --MECANISMO BASE Y CORDONES A 45° EN AMBAS CARAS Sé añaden barras (cordones) en ambas caras al mecanismo base, material!* zando una sola cuadricula de 1,224 m. de ' lado nudos de cada cara. Se vio en la página . Se utilizan todos los de este capítulo que se pue- de transformar en un mecanismo plegable de un grado de libertad incluyen. do estas barras añadidas. La estructura que se tiene corresponde a un emparrillado de viga de celo_ sía dispuestas en diagonal respecto al recuadro a cubrir, resultando luces de diversos valores. Las barras componentes de cada celosía no están contenidas en un. plano. Las direcciones ortogonales de vigas comparten las barras del espesor, que son las "x" del mecanismo base: en cada r e — cuadro común a las dos direcciones se comparten cuatro medias "x". Las máximas solicitaciones son menores que en el caso anterior, y aparecen solicitaciones con estos máximos valores en mayor número de barras. Las diferencias de luz de las vigas en este caso, hace que las de luz corta de las esquinas, más rígidas, hagan variar la curvatura de las de luz mayor recogiendo parte de su carga. La gráfica de momentos de la de luz larga no tiene porque corresponder a una biápoyada. Dependiendo de la diferencia de luces puede sufrir una redistribución de momentos con parte negativa en los extremos y la correspondiente disminución de los - 285 Valores máximos de solicitación y deformación. Se aprecia en este caso elcam bio de signo de las solicitaciones de los tramos de cordones situados - en las esquinas del recuadro de ambas caras. Las barras delespesor tam bien tienen menos esfuerzos y en conjunto se trasslada la carga a los apoyos de forma homogénea. Para pasar de mecanismo base a estructura se han empleado 196 m. de cordones y 18 m. en montantes de contorno. Se redisenan todos los nudos de las caras. 286 0 73 \ tf/ c r , $/ \ * ^s Y1 *}V^Vn"'" - VY /1 / 1 / 1 i"T \ I .— /i / 1 ' \ \ i l l \ i DIAGONALES ABATIDAS Q ESFÜERZ0S MÁXIMOS CARA SUPERIOR COMPRESIÓN ( + ) TRACCIÓN (-) -0,73 CARA INFERIOR DIAGONALES ABATIDAS 6.5.4.-D.-MECANISMO BASE, .CORDONES SUPERIORES A 45° Y CORDONES IN_ FERIORES Sobre el mecanismo base en este caso se mantiene la cara superior como en C, materializando una cuadrícula en diagonal.. En la cara inferior se materializa una cuadricula de 1,732 m. de lado, parale la al recuadro, empleando la mitad aproximadamente de los nudos - disponibles. Esta estructura también se convierte en un meccanismo plegable con todas sus barras, separando en dos partes la cantidad adecuada de nudos en cada barra, según la idea expuestas en las páginas Se puede reconocer como vigas ; celosías diagonales respecto al - recuadro. Vistas así,en el plano que contiene los apoyos solo están ios cordones superiores. Diagonales y cordones inferiores son compartido por las vigas de la dirección ortogonal. También se puede reconocer como vigaSj celosías paralelas respe£ to al recuadro. En este caso, en el plano que contiene los apoyos se encuentran también cordones inferiores y diagonales. Los cordones superiores son compartidos por la dirección ortogonal. Reconocidas de este modo, las filas pares de "x" del mecanismo base acom pañaian.'las deformaciones de este emparrillado descrito. 288 Como la primera forma, conlnces dssLcpaLes. de las vigas componentes, se aprecia en ios extremos de las largas momentos que traccionan la cara superior y comprimen la inferior, en mucha menor importancia que en el caso C, anterior. Las solicitaciones máximas en la cara superior, mayores que en C, (la rigidez global es bastante menor) se acerca a los del tipo B con la ventaja de la menor longitud de las barras (pandeo). En la cara inferior se acercan al tipo siguiente 2, menos complejo. Las máximas solicitaciones de diagonales "x" y el máximo descenso vertical tienen valores intermedios entre ambos casos. En esta estructura se han añadido 182 m. de barras en cordones y 18 ID. de montantes de contorno al mecanismo base. Se añade la com ponente de nudo a unas tres cuartas partes de los nudos de las caras. 289 DIAGONALES ABATIDAS CARA SUPERIOR O _=3°7 r-_: .¿96 •3.Q2 1 ESFUERZOS MÁXIMOS COMPSE30N f+) TRACCIÓN ( - ) „ ose -3jS0 1 I !-4,64 , I I •-T- i -543 •-T; -2,es •-?•• -i8^ O ......iC-iT r "-• f •-r T' CARA INFERIOR DIAGONALES ABATIDAS 6.5.5.-E -~ MECANISMO SIMPLIFICADO Y CORDONES EN AMBAS CARAS Se prescinde de la "x" del mecanismo base contenidas en una de cada dos filas paralelas al recuadro en ambas direcciones ortogonales. Se deshace la organización de nudos al tresbolillo. Los que puedan forman una so_ la cuadricula de 1,712 m. de lado, paralela al recuadro. La estructura resultante es un emparrillado de vigas en "x" con sus b a — rras contenidas en un plano, y colocadas en paralelo a los bordes del re cuadro. Se conservan las mismas distancias entre líneas de apoyo para la c u b r í — ción dada en el proyecto de Pinero, pero prescindiendo de la mitad de las barras (160 m.) y nudos, resultan los nudos intermedios (de alma) ex traordinariamente mas simples: al cruzarse dos barras en un mismo plano basta un pasador para mantener la libertad de giro. También se puede considerar que las barras de las caras forman parte de un único;mecanismo plegable, mediante el desdoblamiento alternativo de uno de cada dos nudos, como se vio en las1*Variaciones de mecanismo'.'. Las diagonales mantienen el tipo de solicitación peculiar de las cerchas biapoyadas: comprimidas las inclinadas hacia el apoyo, y traccionadas las inclinadas hacia el centro. Cabe observar que las vigas de los b o r — 291 bordes tienen la singularidad del apoyo continuo y la ausencia de montan tes. Asimismo en el resto de las vigas, por no poseser los montantes de extremo, las solicitaciones de cordones en cada tramo son desiguales en valor absoluto. Las máximas solicitaciones son algo menores en tracción y equiparables en compresión que para las cerchas de A (proyecto de Pinero), y alrede— dor del doble que en los casos anteriores. Para pasar de mecanismo a estructura se han empleado 169 m. de barras; descontando la simplificación del mecanismo, es como si solo se añaden 9 m. 292 -1,63 -0,76 -o,eo 1,0* 0,62 -1,29 -0,94 ESFUERZOS 1,04 3,27 MÁXIMOS -0,60 0,62 4,40 4,67 4,15 -1,29 0,82 4,40 -0,60 O -0,76 76 3,62 4,13 0,62 ABATIDAS -1,63 g) 4,40 -(¿9 DIAGONALES :,76 3,27 0,82 T -2.02 4,40 3,27 3, £7 3,62 1,76 1,04 -1,63 -O- 0,62 1,76 -2,70 -1,29 1,04 -1,63 ^ -0,60 Tc\76 *" CARA SUPERIOR DIAGONALES ABATIDAS COMPRESIÓN 1+) TRACCIÓN ( - ) -1,36 -1.26 -2,63 -3,11 -2,49 -E,3B ' -3,83 -2,49 ^ ' —^& -4,36 -3JI -2,38 -3,32 -5,10 -3,63 -4,50 -2,72 -2,49 -5,45 -4,36 -1,26 -MO © -4,50 -2,63 -3,11 8 s -1,36 -3,83 * -6,25 -3,83 ' -4,50 s -5,10 -1,36 * -5,45 -vz -1,26 ' -4,50 -5,10 -2,38 ' ' -2,38 -2,49 -3,11 -2,63 CARA " -1,28 -1,36 INFERIOR * 6.5.6.- F--MECANISMO SIMPLIFICADO, CORDONES SUPERIORES A 45°, COR__ DONES INFERIORES Al mecanismo simplificado usado en E, se le cambia la disposición de los cordones de la cara superior, sustituyendo la1retícula paralela al recuadro por la otra a 45° de 1,732/ 2 m. de lado, empleando la mitad de los nudos existentes. El resto, mecanismo base, cordones, cara inferior y montantes de contorno^queda igual. Como todos los anteriores puede ser plegable con todas sus barras. Si se reconocen cdmo vigas de estructura, celosías ortogonales a 45' del recuadro, no se contienen en un plano ni diagonales del espesor ni cordones interiores. También se pueden reconocer como vigas componentes, celosías ortogonales paralelas al recuadro, y en este caso no se contiene en un plano los cordones superiores: todo esto co mo lo descrito para el caso D. Con respecto a E los resultados mejoran globalmente pues bajan los valores de compresión, aunque, las barras solicitadas son más largas y el máximo descenso vertical pertenece de igual valor. 294 en este caso se añaden al mecanismo simplificado, 134 m. de barras en cordones y 9 m. en montantes de contorno. Quitando los 160 m. de simplificar el mecanismo base diseñado por Pinero, resultan 17 m. menos de barras. 295 DIAGONALES ABATIDAS O ESFUERZOS MÁXIMOS CARA SUPERIOR COMPRESIÓN (+) TRACCIÓN ( - ) 0.13 0.3Í -3.44 0. -5.63 -5.63 -5.44 0.- -4.41 -T.3T -4.72 -T.57 - 5.43 0^ -4.T2 -4.48 -4.48 0.- otT 0.03 -4.43 -B.34 -6.44 <?•* „ „ -4.72 -8.34) -6.44 -5.43 -0.11 0- -6.44 -3.69 -3.69 0.- 0.53 -6.44 0.- 0.3? 0.47 -4.72 W? CARA 4 -0.11 INFERIOR DIAGONALES ABATIDAS 6.5.7.- MECANISMOS BASE Y MONTANTES EN NUDOS DE CONTORNO Los mecanismo base que se están usando, de Pinero y simplificado, se inmovilizan y constituyen una estructura añadiendo una sola barra. Usando estas barras en "x" se puede definir alguna otra configura— ción que forme mecanismos de un grado de libertad; añadiéndoles una barra, se puede tener la tentación de considerar las estructuras re_ sultantes dentro del mismo campo de las que acaban de ver. Sobre es_ te tipo de estructuras mínimamente coaccionado, se puede consultar los trabajos de Escrig (1984) y Escrig y Pérez Valcárcel (1986) ex= puestos en la Bibliografía. No obstante también aqui se va a estudiar un caso para cada mecanimo base: pasando de mecanismo a estructura añadiendo solo el pequeño lííjmepode montantes de contorno. Hay que decir de entrada que resultan peco eficaces, consumen mucho material y son muy cieformables. La estructura sigue siendo emparriM v llado de vigas: cada viga tiene inercia variable, desde un valor 2 (A barra h / 2 + I b a r r a ) máximo hasta 21^^^ mínimo. Ante las solí citaciones Mv, Tv como viga de celosía del emparrillado, con cargas puntuales en los nudos superiores, se genera el equilibrio en la se cción de viga con solicitaciones Nb, Tb, Mb, en la sección de las barras; las secciones más desfavorables corresponden a los nudos in 297 termedios, en que la sección resistente de viga es la suma de las secciones de las dos barras en "x". En el esquema se puede apreciar que las proyecciones normales a las barras se suman y las cortantes se restan; las dos solicitaciones son constantes entre dos nudos. Los cortantes generan momentos flectores de variación lineal que aumentan ai decrecer el canto y se ajustan a la gráfica de momentos de viga Mv. Con cada barra en "x"f que abarca tres nudos, se comporta como de dos tramos en los que la sección del nudo intermedio es un empotramiento, y las de los extremos articulaciones en el plano de la viga (en el que se ha diseñado sea posible la libertad de giro). En cualquier estructura triangulada de barras que traslada cargas normales a su directriz (con inercia constante-A - - ) , los deseen— sos verticales máximos son consecuencia de todos los alargamientos y acortamientos longitudinales de sus barras. En estas estructuras no totalmente trianguladas, ademas de los movimientos debidos a los normales de cada barra, hay descensos perpendiculares al eje de barra debido a las solicitaciones Mb en cada una. La rigidez K^ de cada barra articulada en sus extremos ante un descenso resultante de una ley de momentos flectores lineal (similar a la de una carga puntual en el nudo intermedio) es la expresión: 298 3 EIL 1 2 Para los tipos de barras usuales (tubcé) esta rigidez es muy pequeña comparada con la rigidez ante esfuerzos normales K = E A / L , por no compara la rigidez a flexión de la sección de la viga de celosía en caso de tener cordones. Por la pequeña rigidez K de barra y por la cantidad de puntos de - estructura en los que se confía a secciones sometidas a M, N, T en cada viga componente del emparrillado, se producen flechas apreciables. Antes de deformarse cada pareja de nudos de cada cara, está en la misma vertical. Después de la deformación aparecen bastante lejos de ella, habiendo arrastrado fuera de sus planos a la familia de vi gas colocadas en la dirección ortogonal de una manera no uniforme, por el corrimiento de nudos comunes. Se producen así desplazamien— tos horizontales en los nudos ante lo que las barras tienen una rigidez similar a K anterior; se generan momentos fleoáores de varia- ción lineal según el eje de la sección no co.ntenido en el plano de viga. Estos momentos son máximos en el nudo central de las barras en "x", y no son nulos en los extremos; dado que las piezas de nudo 299 solo permiten un giro, en el plano de viga (es una condición de diseño que permite lograr rápidamente G=l) ejercen coacción en los ex_ tremos de barras a los movimientos no contenidas en el plano de viga, apareciendo momentos de signo contrario al del nudo central, co mo de"empotramiento": Esto pasa en una medida en que todas las soli_ citaciones son casi lo mismo de relevantes/ tienen rango parecido. Para el cálculo automático de cada uno de los casos se ha deficido cada "x", como cuatro barras comprendidas entre nudo de cara y nudo intermedio, articuladas en un extremo y empotradas en el enlace del centro solamente en el plano de viga. Se han definido también las piezas de nudo como pequeñas barras biarticuladas enlazadas a la "x" para definir de esta forma exactamente el tipo de movimiento permitido. ZOO 6.5.3.- G •- MECANISMO SIMPLIFICADO Y MONTANTES EN EL CONTORNO En la figura que representa los esfuerzos normales de este emparrillado de vigas de inercia variable paralelas ai recuadro, se puede reconocer el cordón comprimido superior y el traccionado inferior, formados por medias barras diagonales; la última diagonal inclinada hacia el apoyo se mantiene comprimida y su compañera de cruce t r a — ccionada como en los casos anteriores. Respecto a los esfuerzos de flexión en el plano de cada viga, donde es posible la libertad de giro, las solicitaciones de momento M co rao se ve en el plano de gráficas correspondientes, son nulas en los extremos de las barras: se dijo que cada viga arrastra en su defor^ ¡nación a carga norria 1 a su directriz, a los nudos de las vigas que las cruzan, alabeando el plano en que están contenidas. Estos des-plazamientos producen las solicitaciones en los planos que no hay libertad de giro en el enlace; se acodala la barra contra el nudo apareciendo momentos ¿lectores M de variación lineal y torsores M 2 y x constantes. Los esfuerzos cortantes son en ambos casos (T y T ) y z los procedentes de variación de las solicitaciones de momento. Los mayores esfuerzos en valor absoluto son los normales de compre^ sión (5,3) en las diagonales: centrales, y (4,9) en los montantes de 301 borde. Son los valores ligeramente menores que en E. El momento ad_i cional que debe soportar la barra por la casi ausencia de canto, Mz es máximo (2,3) en las diagonales centrales de la luz corta. El cor tante que genera este momento, Ty, tiene un valor máximo (2,3) en las mismas barras. Los valores de My son máximos en las barras que tienen desplazamiento fuera del plano "de viga" y corresponden a las barras de las cuatro esquinas (1,25) siendo también altos los cortantes Tz que acompañan las existencias de estos momentos (2,3) . Los momentos torsores también son máximos en las barras de las esquinas (0,8) por los mismos motivos. Para pasar de mecanismo a estructura se añaden 18 m. de longitudes de barras, pero por la simplificación del mecanismo base de proyecto, retiramos 160 m. 302 -^/. <Y &> 167 138 o' & ^23 •b> »1 '•9 W? ^£,05 ~£.s '. -3.(6 o»' V*» BARRA COMPRIMIDA BARRA TRACCIONADA O MAXtMAS SOLICITACIONES NORMALES 1 My My Mi t \ t Mz í\ ^ Escala de solicitaciones fr™l 1 I1" i i l i i t I O ,5 1 2 3 4 5 MOMENTOS Escola de solicitaciones K" i" | i i i 1 'i 1~~r O ,5 1 Z 3 4 CORTANTES 5 6.5.9.- H •- MECANISMO SIMPLIFICADO; CONDONES A 45° , CORDONES CONTORNO AMBAS CARAS Y MONTANTES Si se imagina la estructura organizada según vigas en diagonal r e s pecto al recuadro, coexisten dos tipos: con cordones y diagonales {1= constante) y solo de diagonales {I variable). Además las barras diagonales (la "x") las comparten con las vigas de la dirección ortogonal en cada tramo. Aunque la carga se recoge en los nudos de la cara superior a los que van cordones, y podría pensarse que funcionan solo las vigas con cordones, con las diagonales compartidas todas ellas tienen so_ licitaciones M, N, T cerno en G, y sus valores son aproximadamente la mitad que en G. La ventaja de haber añadido cordones se aprecia en la flecha máxima, de valor la quinta parte que en G, las solicitaciones normales de cordones son equiparables a los de F. Esto es así, añadiendo 160 m. de barras respecto a G y 26 respecto a F. 306 ste tipo no tiene campo de aplicación. •0.61 DIAGONALES ABATIDAS O ESFUERZOS MAXINDS COMPSESÍCN TRACCIÓN CARA INFERIOR CARA SUPERIOR (+] (-) DIAGONALES ABATIDAS M, T, 6.5.10.-II .- MECANISMO BASE Y MONTANTES DE CONTORNO Una característica del mecanismo base de Pinero es que en todos los nudos se cruzan cuatro barras; las "vigas" de inercia variable s e — gún las dos direcciones ortogonales se cruzan en los puntos de iner_ cia máxima y en los de inercia mínima. Como puede versé en las gráficas adjuntas, en esta estructura las solicitaciones máximas a tracción y compresión son del orden de 23: cuatro veces mayores que en el emparrillado anterior, en que tenien do este la mitad de las vigas corresponde doble carga por nudo. Los momentos flectores Mz (0,6), cortante Ty (0,6) y torsores (0,2), son aproximadamente cuatro veces menores que el anterior, así como el máximo descenso vertical. Los flectores My (0,6) y cortantes Tz (0,9) alrededor de la mitad. Tan sorprendente como el valor de los esfuerzos normales es el díagrama de reacciones en los apoyos: tracciones en los lados cortos y compresiones en los largos. Veamos como puede ser el modelo de comportamiento que la hace tan poco eficaz para ser utilizada: organizada según vigas paralelas al recuadro, contenidas en planos ortogonales, las de luz corta presen 309 tan la situación inversa. Si aislarnos un recuadro entre cuatro n u — dos es como si los momentos "de viga" en su plano tienen sentidos opuestos para cada dirección {los valores nunca son iguales). La estructura se puede organizar también según vigas ortogonales en las direcciones a 45° respecto al recuadro, pues ya se vio que los nudos pueden formar una única cuadricula; en este caso las barras-de las vigas no estarían contenidas en un plano: los nudos superior e inferior están en el plano vertical que contiene la directriz; los nudos intermedios, en el plano horizontal que contiene la direc triz, Estas vigas conservan la inercia variable a torsión, siendo Io=Ix=A en la sección de viga dada por los nudos de las caras, e — Io=Iy=ij5 en la sección de viga por los nudos intermedios. Si nos imaginamos un elipse de Lame de momentos (o un circulo de — Mohr), en una dirección a 45° de las anteriores tendremos momentos torsores importantes y flectores secundarios. El hecho de tener rigidez a torsión, aunque no sea en todas las direcciones, hace que el comportamiento se parezca al de una placa más que al de un emparrillado. Si lo apoyamos en cuatro puntos, se deforma como un paraboloide (su circulo de Mohr será casi igual sustituyendo momentos por fuerza (en la dirección de las asíntotas de la hipérbola solo hay esfuerzo co-rtártte'í; •• 310 - Si en vez de apoyarla en todo el contorno se le apoya solamente en los bordes de mayor longitud, las reacciones de las esquinas son de tracción; el resto, compresión. Las solicitaciones son alrededor de un 20% menores y el descenso máximo un 20% mayor. El modelo de comportamiento se diferencia pocG del apoyado en todo el contorno; siguen transladando carga las vigas en diagonal, mediante momentos torsores "de viga" a pesar de tener solo la dirección corta de las vigas del recuadro biapoyadas; habría que dotarlas de mucha inercia a flexión (colocando algunos cordones paralelos a un lado del recua dro, por ejemplo) para que abandonara este comportamiento. Si el re cuadro es un cuadrado en vez de un rectángulo, es decir, si las — "vigas" son de la misma lúzalos ejes de simetría dividen en partes iguales^ no se observa este comportamiento. Manejando valores pequeños de carga {poco más que su peso propio) se puede sufrir el "espejismo" de que sirva, tal cual se está definiendo el tipo I íaunque la'c^ormada como un paraboloide debería ser muy llamativa hasta para su peso propio, pues Pérez Pinero coloco en este mecanismo, además de los montantes usados aqui, unos c u a n — tos cordones según una dirección, como el modelo que se analizó en A, cambiando con ello notablemente los valores de inercia en determinadas secciones, donde ya se vio que funcionaba aproximadamente como unas cuantas cerchas. 311 —COMPRESIÓN —TRACCIÓN O ESFUERZOS MÁXIMOS NORMALES O ,5 / u 1 2. 3 CORTANTES 4 5 C: B: . ^ i.5 5 2 74 ' 5 3.4 r-i i.^ * 28 S* 3A ^--i — 3.88 ffU5-.5.X»5 B ,__ — 3-88 1.5 5 — —w • — , -2.01 34 S /„ ja—* \ \ / ; 4.08 [ 1 K9 /, i 4 3 4l— \ -2.01 -3 -7 /lU 2.7 4r 1 5 51. ¿i A ~Á A n E; - , „ _ , 5.2 9 5.2 9 o o c *3l. 1. 5. I 2.2 7// 4.2 f . . 5.4 1 \ 2.2 7 V. k 15 \ A i • * A A 5.8 5.4 4 I: 7.47 12 2 3.7 7 4.42 12.2 7.83 7.83f' s -1.1 -: i Jo-W.96 -2.1 3 5 1 T i -2.1 JT -1.1 ¿ A —A~ 3.19 ^;T4"~4.21 3.42 ~™ . T —,.y A A ' A A 2.01 RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS POSIBLES . ,COMP. TRAC . N COMP. DEFINICIÓN N De pmilio Pérez Pinero ' 'CORD . N TRAC. M COMP. 1l 'THAG. MONT. \ \\ M 1l TY T z W MAX. %ul Sb + í % b , Sb + .Ib cord mont mee. z A 6.3 -9.2 8.6 -6.3 B 3.82 -4 .23 3.51. C 2.72 -3.73 l 3.55 l F 14 100 - 300 43,8 196 18 167 2.39 76 182 18 156 3.7 117 169 - 160 -7 3.8 120 134 18 160 -6 2.3 299 _ _ 18 160 1.14 0.97 57.1 - 160 18 160 0.6 0.9 89.3 - - 18 _ 9.8 3.15 -2.16 - 1 .67 2.88 -2.16 3.1 1.38 -7.93 4,16 -3.30 2.08 6.65 -7.80 5.20 -2.03 _ '5.7 -8.34 6.57 -5.7 4.57 _ 5.3 -4.37 4.89 0.8 1.22 2.33 2.33 5.93 -5.27 5,19 0r25 0.57 1.14 23 22.8 2.7 0.2 0.6 0.6 100 114 Mee. base Pinero + cora. ambas caras Mee. base Piñero+cord.45° ambas caras + mont. 53 384.4 Mee. base pjfi-. +cord. sup. 45 C +cord. inf. + mont. Mee. simplif. + cord. ambas caras Mee. simplif.+cord.sup.43D + cor. inf. + mont. Mee. simp. + mont. G Mee. simp. + cord. 45° ambas caras + mont. Mee. base Pinero + mont. Y I 6.46 _ -8.37 _ 6.6.-RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS POSIBLES En este cuadro se han agrupado las máximas solicitado nes en cada diseño realizado para el recuadro de 8,65x— 6,92 m. / los descensos ai se leen en cm. si la cargaes 2 2 q=1t/m ; más cercano a la situación real q-100Kg/m .se debe leer ¿o en mm, El diseño más rigido corresponde al tipo D, que traslada sus cargas a los apoyos casi como una placa. Los distintos valores de solicitaciones y deformaciones lo hacen útil para los casos de grandes luces, como recuadro aislado apoyado en el contorno. Comparado con B, su inmedia to y próximo seguidor, este consume un 100% más de mate rial en las caras para prácticamente el mismo campo de aplicación. El tipo D, ahorra material respecto a B y C, pero salvo por la poca luz de pandeo de ios cordones comprimidos y la menor flecha, las soluciones E y F pueden cubrir casi todo su campo, donde las deformaciones no sean determi— nantes. 317 E y F se muestran eficaces para poca carga y luces no -muy grandes; también para, grandes luces pero continuidad en los apoyos, es decir, un único recuadro con voladizos o varios recuadros apoyados en lineas continuas con el cambio de curvatura dentro del recuadro, se consigue redistribución de esfuerzos máximos, mayor número de ba rras solicitadas a los mayores valores absolutos y menor deformación. El campo de aplicación de G y H se reduce a soportarse a si-mismos si la luz no es muy grande {sombrillas y entoldados de poca entidad y duración). Entre las dos, G es de manejo menos aparatoso. Si para algo más puede usarse será en base a la de repetición de pequeños módulos apoyados en continuidad; más adelante se verá que existen algunas desplegables según superficies curvas de tan pocas barras como esta y más eficaces. El tipo I es absolu tamente inadecuado en cualquier caso. El diseño del proyecto (A) es conservador para las luces y cargas para la que se proyectó. Para usarlo con g r a n — des luces se puede pensar en la continuidad, con apoyos intermedios, como se ha dicho en los anteriores, asi como que cualquier diseño se puede emplear sobre apoyos 318 puntuales, máxime empleando capiteles como el de este proyecto, que incluye tantos nudos de descenso nulo. Un estudio de estos modelos sobre apoyos puntuales daría rasgos particulares pero pocas veces determinantes para escoger el tipo, según el problema. Aunque no se ha hecho hincapié en ello, los recuadros de los emparrillados deben de ser arriostrados frente a la distorsión angular en el plano horizontal, aunque no se les someta a acciones horizontales. En los casos usuales con nudos que llevan las barras soldadas o atornilladas, se confia esta indeformabilidad a la rigidez de las unió nes recurso no procedente en estos casos en que los enla es de giro no se les coacciona el movimiento en el estado final de la estructura. Los valores dados en el recuadro correspondiente a los descensos, son los conseguidos mediante el cálculo exacto . El tipo de nudo diseñado por Pinero es posible que ayude al aumento de dsistorsiones y flechas totales de las estructuras. Para afirmarlo con toda seguridad, solo es posible verificarlo con ensayos y comparar con los re sultados obtenidos del cálculo exacto. 319 CAPITULO V I I VIDRIERA DESPLEGABLE 7.1.- DESCRIPCIÓN GENERAL Se trata de una estructura plana que se despliega según un plano vertical juntamente con sus paneles de cubrición en todo momento incorporados/ y que en la posición de desplegado cubren una de las caras con sus juntas a tope (aunque el diseño admite que puedan ser también solapadas). En el ca so del proyecto que nos ocupa los paneles son de vidrio y el uso previstOj 'la separación de dos espacios en el Museo de Dalí. Se cubre una pared según un recuadro de 7x7 m. según la maqueta y la idea del conservador del museo (ver número 1.13 en el capítulo I ) , distinta a lo contenido en la documentación que recoge la Revista Arquitectura n2 162-163 El mecanismo base es el mismo ¿(el proyecto anterior; el mecanismo para el .• movimiento de los vidrios que lleva incorporado constituye lo nuevo de este proyecto así como su disposición en vertical. La patente que des-; cribe este mecanismo no estructural lleva el n? 397963, y fecha de 1971: solo describe los componentes a utilizar y las uniones, sin tratar problé mas de escala ni dar planos acotados. Emilio Pérez Pinero tenía idea de ofrecerlo a la NASA como soporte para los paneles solares de los satélites espaciales. 320 ALZADO Soporte Estructura 7.2,-DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS Y DEL MOVIMIENTO 7.2.1 .-CUBRICIÓN . En este proyecto en particular, la cubrición esta compuesta por 36 PANELES DE PLÁSTICO transparente de 1,0x1,0 m. y 4 mra. de espesor. Los bordes superiores e inferiores de estos paneles son libres, y ios derechos e izquierdos llevan dos bisagras cada uno. Los paneles con la estructura desplegada forman un plano vertical con las j u n — tas a tope. Mirando en la posición de^desplegado, por columnas vor•cicales alternadas aparecen bisagras a brazo de sujección, estos en posición- vertical en ese momento. Durante el movimiento de plegado, cada dos panels adyacentes unidos por sus bisagras forman un diedro saliendo hacia afuera del plano que forman, recorriendo de la posición 180° a la 0 o . Al mismo tiempo el borde unido al brazo de sujección va siendo girado desde su posición vertical a la horizontal por el movimiento estos brazos su jetos a los nudos de la estructura, en un movimiento simultáneo. Du rante el movimiento los paneles describen planos en zig~zag y en la posición de plegado cuelgan hacía el suelo como banderolas, solapan dose uno dentro de otros, formando cuatro columnas. 322 PIEZA DE NUDO ¡3TP1EZA DE NUDO HORQUILLA CON PASADOR VISTA EN PLANTA A MEDIO MOVIMIENTO Los BRAZOS ARTICULADOS de sujección de paneles constan de tres pie tinas colocadas en tres planos paralelos:los paneles van unidos a las dos exteriores que forman con la intermedia una "x"; cada pletina tiene tres articulaciones de las que solo comparten la cen tral; de las de extremo, una está enlazada al nudo de estructura y la otra es libre. Están encadenadas de la siguiente forma: en cada nudo de la estructura se articulan dos pletinas de paneles correspondientes a un tramo y una intermedia del tramo anterior,y en cada borde libre se articulan dos pletinas de paneles correspondientes al tramo y una intermedia del tramo siguiente y así sucesivamente. De otra forma, cada pletina con panel se une a una intermedia distinta pero correlativa en cada una de sus tres articulaciones. Los paneles se sujetan a las pletinas a través de chapas plegadas en Z, en que la plegadura intermedia tiene longitud variable para permitir acoplar unos paneles dentro de otros en el estado de plegado; de sus extremos, uno se suelda al brazo y en el otro se ator_ nillan las bisagras. Para la unión de brazos a estructura se emplean los nudos de c u a — tro columnas alternas. La pieza de unión es una horquilla que se a_ tornilla al nudo y que alberga lastres pletinas de los brazos, suj_e to todo por un pasador. Los nudos de las columnas que quedan, van e_ quipados con una pieza circular que sirve de tope al panel en el pla_ no desplegado, a fin de evitar que se descoloquen de ese plano d e s plazándose hacia dentro de la estructura. 324 scrcriE PLETIHASE-J Z z¡ttt 3|£ -¡^fc^-p^ JIL Jttt JWL. PANELES 1ttl JftL ilt jfflL JtíL üt Jft JfL ( W Jttt » Jtt J!EA.lflS_ 1fli• - i r^-J Ufe A s í=s ¡ l-Jlt-, A sai Lt^¿' I LFTIÍiAS I i SOFCrTE VISTA LATERAL PLEGADO VISTA DE FRENTE PLEGADO 7.2.2.-MALLA ESTRUCTURAL La estructura de sujeción del cerramiento vertical se compone de ME CANISMO PLEGABLE de barras en diagonal entre caras paralelas; su -forma y disposición es la del mecanismo base que Pinero utilizó en el Pabellón para Exposiciones, de cuatro barras por nudo y nudos al trebolillo. La disposición.que se eligió aquí para colocar el emparrillado orto gonal es con la'viga a 45° del recuadro a cubrir; tiene la ventaja que los nudos de las caras-definen una única cuadrícula paralela a los lados del recuadro, de 1,0x1,0 m. La longitud de estas barras es de 1,69 m. su sección es circular hueca de 0 = 25 mm. y e= 2,5 mm. A esté- mecanismo se le añaden MONTANTES entre los dos nudos opuestos de las caras. Constan de dos barras: una de ellas maciza de Ion gitud 0,792 m. y sección circular 0 8 mm., y la otra hueca de longi tud 0,790 m. y sección circular 0 14 mm. e= 3mm. Cada una de estas barras esta roscada por un solo extremo al nudo de la cara corres— pondiente y colocadas una dentro de otra. Durante el movimiento des lizan entre sí no llegando a separarse en la fase de plegado. 326 Resumiendo,, la estructura se compone de barras en diagonal unidas a tres nudos mediante articulaciones del giro, y barras normales a — las caras que contienen lo que hemos ¡.llamado articulación deslizar^ te: ambas están en todo momento en la malla. El diseño básico de las piezas del NUDO es el visto también en el proyecto anterior: el dado macizo y los cuatro brazos roscados con los ejes coplanarios que reciben las barras del mecanismo. Este diseño es el de todos los nudos colocados en el gspeso'r de la malla. Para fabricar la pieza de nudo se mecanizan tres diferentes; el da do atravesado por dos cilindros huecos, un cilindro grande con dos brazos roscados que se acoplan el el hueco del nado y un cilindro pequeño con dos brazos roscados que se acopla en el hueco que atraviesa al" dadoty1 al cilindro grande; queda libre el movimiento de deslizamiento de esté último hasta que se coloquen las barras con sus tuercas. La variación de diseño a partir de este modelo básico obedece a la especialización que se le asigne al nudo; asi,en los de la cara interna que reciben montantes se ha prolongado la longitud del dado pasado a 40x40x85 mm. hasta albergar el vaciado de la barra roscada montante, vaciado que no alcanza a los cilindros de los brazos que atraviesan el dado central. En la cara externa los nudos de la m a — 32? lia tienen distintos los acabados: los cuatro nudos que roscan el soporte (se añade tubo de 0 30 cm. ; e= 2 mm.a un dado de 40x40x10^ los 28'inudos que reciben los brazos de sujección de cristales (vacia do 0 10 para rosca de tornillo), y los 21 nudos intermedios que ^ K l« \ $• contienen al elemento de tope de cristales (vaciado 0 5 con rosca). Se preveen cuatro apoyos dispuestos simétricamente sobre un soporte en forma de cruz. En la pieza de nudo se encuentra la rosca y en la cruz,el vastago y la tuerca. 7.2.3,- SOPORTE El elemento de soporte de la vidriera está constituido por una cruz f-saí o X Lu. Je. ^ V vertical formada por perfiles metálicos de sección en cajón, anclado y atirantado a una base prismática. Esta alberga un motor encargado de dotar de movimiento automático a la vidriera. La transmisión del movimiento es déla siguiente formarlos cuatro nudos de apoyo se ator nillan a cuatro cojinetes a bolas dentro de los que gira un tornillo sinfín accionado por el motor; solo el tornillodel brazo inferior de la cruz está accionado por el motor; el movimiento se transmite a los otros tres a través de una caja de engranajes situada en el cruce de la cruz; al giro de los tornillos los cuatro cojinetes se desplazan ~ tnr^Olr^ ^ ¿k ¿^C U* ¿*—¿-V f-iucL^'^ (Dibujo para Salvador- Dalí: ver Anexo) por los brazos, entre dos topes extremos. 328 La velocidad de deslizamiento de los cuatro nudos necesariamente tiene que ser la misma así como la distancia a los topes en todo momen- to, pues el mecanismo base es de un grado de libertad, con un solo mo vimiento obligado; serviría lo mismo desplazar un solo nudo. En el anexo figuran copias de trece hojas manuscritas por Emilio Pérez Pinero con la descripción de este soporte. 7.3.-MONTAJE En los proyectos anteriores el condicionante traslado-montaje-des— montaje de estructura no obligaba a que todas las barras estuvie— ran siempre enlazadas en el paquete. En este caso no se traslada, solo se pliega y despliega por lo que esta circunstancia es un dato de partida en el diseño, convirtiéndose en prioritario el paso sin intervención manual, de mecanismo a estructura y viceversa por tanto el montaje se ejecuta una sola vez. 329 7.4.-MECANISMO En el mecanismo base, formado por barras que enlazan en tres nudos cada una mediante articulaciones de giro, la cadena cinemática más pequeña está formada por cuatro barras. Esta disposición ya la conocemos de los trabajos anteriores y sabemos que forman un emparrillado de un solo grado de libertad al que bastaría con añadir una barra para inmovilizarlo. En este proyecto,, con todas sus barras desde el principio, todas — las cadenas de cuatro barras están trianguladas; se añade una barra que contiene una articulación deslizante. Al moverse, acompaña la variación de longitud de la diagonal de la cadena desde su longitud de barra hasta el doble entre los dos estados extremos. 7.5.-OTRO MECANISMO POSIBLE Dotar a este emparrillado de canto e inercia grandes es un poco difícil. Pinero en su solución de esta pared con paneles incluidos, no dispone barras en las caras que forman parte del mecanismo ni la añade al estado desplegado. Ciertamente para el uso que se pretende de apertura y cierre indiscriminados, no es apropiado complicar el 330 Proceso de montaje o el paso a estructura. Por otra parte, añadir barras a las caras exteriores, como se ha hecho con el mismo „ e o a nismo en el capítulo anterior, desplegando en horizontal, tampoco facilita el uso ya que el plegado va aumentando la altura del pague te de barras y se puede calificar de poco compacto. Una soluci6n que miminiza esto, damdo canto y rigidez se puede componer usando la viga de celosía triangulada vista en 5.5.2 "Compara oiones con otras vigas trianguladas" pag. .puede £ormar parte de un emparrillado manteniendo comunes determinados montantes en - los cruces de vigas ortogonales, (dependiendo de replanteo y e n l a ces de las partes elegidas). Puede emplearse porque el estado de Plegado tiene una altura del pacuete lfl= 1^ « ^ con gran partg _ de los montantes (l-a> iffl sobresaliendo como barras aisladas en la cara que no soporta paneles. Su desventaja más sobresaliente respecto al diseño de Pinero es que no se transforma en un mecanismo de un grado de libertad. Cada viga triangulada es isostatica (G=0). si se quiere plegar hay que incluir una libertad en cada dos triángulos adyecentes para podemos d e s h a cer: además de la libertad de giro en los nudos es preciso incluir una libertad de desplazamiento. Si se añade al enlace montante-nu do, se pliega con una cierta"limpieza". Los grados de libertad que resultan, son tantos como deslizamientos, es decir tantos como mon* 337 tantes (no es necesario demostrarlo empleando la expresión del Criterio General de Movilidad). Parece una tarea imposible plegarla como si solo tuviese un único movimiento. Seria necesario tirar de mas puntos que los cuatro que figuran en el proyecto (que para el otro mecanismo son excesivos) para obtener un.movimiento poco desordenado. 7Bj-ESTRUCTURA Es un emparrillado apoyado en cuatro puntos. Las vigas componentes están dispuestas en diagonal respecto al recuadro. Tienen altura variable desde 0,8 m. hasta la correspondiente de las barras componentes, y por consiguiente inercia variable. La situación de los apoyos hace que el 20% de la superficie del emparrillado esté "entre pilares" y el 80% "en voladizo". Se ha realizado el análisis para dos hipótesis de carga: I, paralela, y II normal al plano del emparrillado, equivalentes a las direcciones de 2 peso propio y viento. La cuantía, q/m - 1. En la primera hipótesis el traslado de lacarga se hace casi por lineas horizontales. Las solicitaciones más desfavorables se encuentran en las "x" cercanas a los apoyos contenidos en el eje de simetría vertical; es como si recogiesen la carga de las partes en doble voladizo. Las reaccio nes se representan en la figura. 332 La segunda hipótesis, trasladando cargas normales ai-plano del emparrilla_ do, es la de peor respuesta dada la rigidez de la estructura. Las vigas que "diagonalizan" el recuadro, las más largas, son las que recogen gran parte de la carga. Las cuatro situadas en recuadro a 459 que une los apo_ yos, por su menor longitud y deformación, hacen de apoyo a -stas más lar_ gas recogiendo su carga, y siendo las mas solicitadas a esfuerzos normales. Los máximos flectores debidos a la carga, se encuentran en el centro de las vigas más largas. Momentos torsores y otros flectores procedentes de. las coacciones al movimiento se encuentran alrededor de los apoyos. En ambas hipótesis de carga, los montantes, con su unión definida como apoyo a tope, no son solicitados. 333 Cora Supvtor CORTANTES MOMENTOS K HIPÓTESIS DE CARGA PARALELA AL PLANO DEL EMPARRILLADO NORMALES Cara Coro Superior Superior — COMPRE SI OH NORMALES MOMENTOS «• CORTANTES Coro Inferior HIPÓTESIS DE CARGA NORMAL AL PLANO DEL EMPARRILLADO TRACCIOW 7.7j- EN RESUMEN Este proyecto es un sistema magnífico de empaquetar un pía no, no acompañado de una estructura dotada de la rigidez necesaria para soportar grandes esfuerzos debidos a grandes luces sin deformación excesiva, y válido fuera de la gravedad de la Tierra, donde la NASA lo pudo haber utilizado de haber aceptado el ofrecimiento de Piáaero. 336 APÉNDICE A LA PARTE 2A MALLA DE DOBLES TETRAEDROS, DESPLEGABLE SEGÚN UNA SUPER FICIE PLANA A-l.-MECANISMO Hasta aquí se han estudiado mecanismos base de "x" y sus emparri— liados de vigas de celosía que dan una retícula de cuadrados, por haberse empleado en su generación dos direcciones ortogonales de planos verticales: las unidades componentes osan prismas de base cuadrada con formas diversas de situar las barras-aristas de las bases. Ahora nos parece oportuno comentar otro MECANISMO (Y ESTRUCTURA) posible configurado con las "vigas" en "x", aunque no esxista ningún proyecto ni modelo de Pérez Pinero realizado; solo un comentario al definir el contenido de su primera patente (de 1961), de la que nos ocuparemos en la parte siguiente. - El MECANISMO BASE se ejecuta con cadenas de "x" contenidad en el plano, dispuestas según tres direcciones, sin que coincidan en la misma vertical los nudos de las caras superior e inferior. Los pía 337 nos que las contienen quedan inclinados, enlazadas de tal forma - que a los nudos de las caras van .tres barras y en los nudos del - espesor se cruzan tres barras. La unidad básica es una doble pirámi_ de de base triangular (puede ser un doble tetraedro) de la cual por ahora solo se han materializado con barras las aristas al vértice común, Cada "viga" en "x" plana, aunque esté inclinada, tiene un grado de libertad y se le coacciona todo movimiento añadiendo una barra. El tipo de nudo empleado es el mismo que se ha visto antes, con tres vastagos en vez de cuatro: se dispone de forma que el plano que con. tiene los vastagos sea paralelo al que forma el mecanismo desplega_ do, siendo los agujeros de las barras para el enlace los mismos — (perpendiculares a la directriz de la barra) que los de los mecanismos vistos hasta ahora: la barra enlaza nudos desplazados de la ver tical y puede girar hasta colocarlos en vertical. Se tienen "x" planas en tres direcciones que se cruzan en el nudo intermedio: una barra coacciona el movimiento en una dirección y MECANISMO BASE DE BARRAS EN X , DE TRES GRADOS DE dos nudos comunes de las otras dos; otra barra mas, coacciona el rao vimiento de esa dirección y los nudos comunes a las otras; pero t o — LIBERTAD davía existe un giro que aceca las dos anteriores; hay que colocar O • • ^ NUDOS CARA SUPERIOR NUDOS CARA INFERIOR una tercera barra para inmovilizar: el mecanismo base tiene TRES NUDOS INTERMEDIOS DE CRUCE GRADOS DE LIBERTAD. 238 Visto de^otra forma, desde las unidades básicas, las dobles pirámides: si se materializa una arista de una base, esta barra inmoviliza dos nudos (y los dos opuestos); otra barra más, crea otro triángulo con el vértice común e inmoviliza otro nudo (y el opuesto); pe ro todavía existe la posibilidad de que ios planos de estos dos triángulos creados giren y se plieguen en uno solo, por lo que es necesario añadir una barra más. Por tanto necesitamos inmovilizar cada uno de los tres planos, que solo tienen en común un nudo. Fijos los seis nudos, las barras en "x" que abarcan tres nudos, extienden la inmovilidad al resto, A este mecanismo base con tres grados de libertad, se le pueden añadir barras en las caras (cordones) al estilo dela'Cúpula para — grandes luces" en que hay una retícula exagonal en la cara supe rior. Se pueden añadir hasta su total triangulación y ver como se puede convertir en plegable: totalmente triangulada hay barras en_ tré cada nudo y todo sus adyacentes (seis) ; están materializadas fe todas las aristas de las bases de las dobles pirámides.Para que se pueda plegar hay que deshacer todos los triángulos. Para ello en cada barra de la cara se desenlaza un extremo y se mantiene enlaza_ do el otro. Por ejemplo se puede hacer que "a" quede fijo en 1 y libre en 2; "b" fijo en 1 y libre en 3 y "c" fijo en 3 y libre en 2. Se tiene que desdoblar los nudos 2 y 3: el 2 en dos partes tales que en una quedan las barras del mecanismo base y en la otra las "a" y "c" de esta pirámide (más cuatro de las adyacentes); el 339 nudo 3 se desdobla en dos partes tales que en una quedan las tres barras del mecanismo base y otras dos más de las pirámides adyacen tes f el nudo 1 queda con todas sus barras (seis + tres) enlazadas. Lo mismo para la otra cara con la otra pirámide. Durante el movimiento de plegado los nudos desdoblados se despla— zan en vertical mientras se achican los triángulos equiláteros de la retícula de nudos base: las longitudes de los lados equiláte ? ros ahora sen proyección de las barras que se inclinan para plegar_ se. Las condiciones geométricas para que sea posible el movimiento son^ que las barras en "x" sean iguales con el enlace intermedio a la mitad de la barra, y que las de las caras sean iguales para que ¡~M formen una retícula de triángulos equiláteros ) que mientras se va plegando, desde los vértices 2 sean posibles las pirámides de base exágonal, y desde los vértices 3 las de base triangular, hasta que las barras de las cara--se junten en vertical. El mecanismo base de diagonales en "x" mantienen sus nudos en planos componiendo retícu las semejantes de exágonos regulares divisibles en seis triángulos equiláteros: alrededor de cada nudo están los 36Q°correspondientes a 6 por 60°. Hay que hacer notar que este mecanismo se pliega bien cuando se aplican tres fuerzas en tres direcciones a 120?; esto hace que el movimiento total parezca comoúnico obligado. 340 A-2,-VARIANTE DE MECANISMO Si se sigue manteniendo las cadenas de "x" en los planos vertica— les perpendiculares al de desplegado, existe otra posibilidad: podemos organizar estas "vigas" planas en "x" de un grado de l i b e r — tad, según tres direcciones de manera que los nudos de las caras estén en la misma vertical. Las unidades básicas son prismas de ba se triangular equilátera. Interceptan planos verticales en tres direcciones; el corte en una recta. Si la materializamos con una barra corta al movimiento de las tres direcciones al mismo tiempo. El mecanismo base tiene UN GRADO DE LIBERTAD. Los nudos de las caras describen una reticula triangular equilátera. Cada nudo recoge a seis barras del mecanismo y en el espesor solo hay nudos de cruce de dos barras. Se simplifican sotablemente estos pero se complican los de las caras, y lo podemos complicar :^ más aun cruzando planos con "x" por los nudos de cruce del espesor como se hacia en los mecanismos de retícula cuadrada y quedaría di vidido cada triángulo equilátero en cuatro. También podemos materializar las aristas de las bases de los prismas hasta completar las retículas de triángulos equiláteros en las caras, llegando seis nuevas barras a cada nudo de cara. Kl proceso 341 de desenlazado de las barras para el plegado, así como las c o n d i — clones geométricas para que sea posible son exactamente igual que antes. El paso de mecanismo a estructura se realiza siempre igual, atorni liando las partes de nudos divididos en las caras. Solo existen en la estructura enlaces con libertad de giro que no es preciso c o a — ccionar. A-3.-ESTRUCTURAS Como se ha hecho en el capitulo VII con los emparrillados en retícula de cuadrados, a los mecanismos de este apéndice se le pueden añadir barras en las caras superior e inferior, en la medida que se quiera, desde las tres (o una) necesarias para cortar todo movimiento hasta la total triangulación de ambas caras En a- primer caso los tipos de esfuerzo de las barras serán N, M, T y en otros solo normales. El tipo de estructura que da la total triangulación es asimilable a una placa. 342 ESTRUCTURA ESTRUCTURA ESTRUCTURA MECANISMO BARRAS EN COMPUESTA BASE ( ) COMPUESTA Y AMBAS CARAS SEGÚN UNA RED TRIANGULAR MECANISMO BASE { BARRAS EN AMBAS CARAS ( - SEGÚN UNA RED Y EXÁGONOS DE 3 COMPUESTA OE DE DE Y } TRIÁNGULOS MECANISMO BASE ( > Y BARRAS EN AMBAS CARAS ( .) UNA RED EXAGONAL SEGÚN CONCLUSIONES A LAS ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPER FICÍES PLANAS DE LOS MECANISMOS BASE Los mecanismo analizados en los Capítulos V, VI y VII son todos de UN GRADO DE LIBERTAD, esto e s , tienen un único movimiento obligado para todas las barras: que el mecanismo esté diseñado con G = 1 es la condición más deseable porque el paquete de componentes se conserva compacto y completamente ordenado durante el movimiento; al ser éste único, va disponiendo en cada instante los nudos ordenados en cuadrículas semejantes a la final: el paquete-mecanismo tridimensional se "expande" mate1) rializando todos sus volúmenes semejantes. 1) Todas las estructuras trianguladas de barras usuales se pueden plegar si, disponiendo del diseño de nudo adecuado, se deshacen todos los — triángulos, generalmente de dos en dos, y se van plegando conforme se deshacen. En su transformación en mecanismo, se incluyen como mínimo tantos grados de libertad como la mitad de los triángulos existentes Esto se ha logrado fácilmente en el plano, usando barras en "x" que enlazan al menos tres nudos, "propagan" su libertad de-movimiento los cuales ( o su coacción-a él ) a los nudos de enlace con las "x" adyacentes, y en 344 el espacio, por usar de estas cadenas de "x" contenidas en planos ortogonales, / en que las rectas de corte contienen dos nudos de extremo de las "x" Una sola barra que una dos de estos nudos materializando la recta de corte, inmoviliza todo el mecanismo. En el mecanismo analizado en el apéndice, se tienen TRES GRA DOS DE LIBERTAD, porque en el espacio los planos que contienen las cadenas de "x" se cortan en un solo punto. Para que el movimiento parezca único y mantenga ordenado el paquete de componentes se debe desplegar tirando de tres direcciones a 1202. Las condiciones geométricas para que sea posible el movimien to de principio a fin se cumplen disponiendo el nudo o nudos centrales de las "x" a distancias iguales, es decir, dividien do las barras en "x" en tramos iguales entre nudos, para que al unirse, los cuadriláteros que definan sean rombos. Todos los enlaces a los nudos son verdaderas articulaciones de giro. DE LOS MECANISMOS COMPLEJOS Se puede mantener el único grado de libertad añadiendo barras 345 al mecanismo base: Si se añaden barras en las caras, en la medida que se deseen hasta completar cuatro enlaces por nudo, estas deben comprender la longitud entre dos nudos contiguos, es decir, formar parte de solo dos nudos. En la fase de meca nismo se mantendrán enlazadas a un nudo y desenlazadas del otro. Cada barra formará parte de un triangulo cuando el . otro enlace se verifique. Si se añaden barras en el espesor (haya o no en las caras) se materializan diagonales verticales de los rombos: cada ba rra añadida forma parte de dos triángulos. Durante la fase de mecanismo se deshacen estos triángulos, Poniéndolos y qui_ tándolos cada vez- o diseñando las" barras telescópicas para que se mantengan la compatibilidad geométrica durante el movimiento Tanto con barras en las caras como telescópicas en el e s p e — sor, el mecanismo completo que se hará estructura, puede lie var empaquetadas todas sus barras. Los enlaces a los nudos de las nuevas barras de las caras son también articulaciones de giro. Los de las barras del espesor son fijos (atornilladas); las telescópicas incluyen una libertad de deslizamiento. 346 DE LOS NUDOS Solo se ha estudiado el tipo de nudo diseñado por Pinero. Bá sicamente es un prisma de que salen.normales a sus caras laterales t los ejes de giro que posibilitan la libertad de giro de los enlaces de las barras del mecanismo. Sus. venta jas principaLes son inclaro funcionamiento y la facilidad de monta je de las barras en esvástica. En este caso el prisma es de bases cuadradas porque enlazan cuatro barras del mecanismo base, pero pueden ser exagonales u .octogonales si se disponen mecanismos que contengan seis u ocho barras .. Los enlaces de las barras que se añaden en las caras deben contener su eje de giro en las aristas de las "bases; del ' prisma. Pinero,para sus desplegables planas, no ejecutó ninguno: atornillaba en la-dirección del eje vertical. Su principal desventaja de barras ño plegables e j es de las barras se tagos que materializan flexión y cortante. El 347 frente a las estructuras trianguladas ', es que no se consigue que los corten en un solo punto. Todos los vá_s los ejes de giro serán sometidos a equilibrio se verifica en el macizo del prisma, Esta caractrlstica se puede obviar en parte enlazando todas las barras igual que las que se añaden en las caras, forman do anillos a distintos niveles,pero no se puede suprimir esta penalizacion. Es necesario para que sea posible la movilidad. DEL PASO DE MECANISMO A ESTRUCTURA: MONTAJE En el mecanismo base, en cada momento que se quiera parar el desplegado, los nudos están "replanteados". Se pueden añadir barras por líneas, nivelar y otornillar. Así coexis— tirana nudos con con articulación de giro, verdaderos y fa_l sos. Con el mecanismo completo, con todas las barras que lo harán estructura, solo esposible la situación final de desple gado; en ella solo hay que enlazar un extremo de cada barra de las caras. Se puede coaccionar la libertad de desliza miento de las barras telescópicas si las hay, bien mediante rosca o simplemente por tope que impida el avance pero no el retroceso. En el mecanismo que contiene todas las b a r — ras están tan determinadas las posiciones finales por las longitudes de las que se añaden al mecanismo base, que no es 348 preciso nivelar. Obviamente no es preciso coaccionar las libertades de giro de los enlaces articulados. Dada esta sencillez, para luces muy grandes, se puede transportar el mecanismo completo en partes manejables, pues su ensamblaje solo consiste en restituir enlaces de giro entre barrasy nudos . DE LAS ESTRUCTURAS Las estructuras posibles que se analizan en los capitulos V, VI, VII, son todos los emparrillados, salvo la solución de Pinero al "Pabellón " que es más acertado considerarlo una serie de cerchas. Estos emparrillados están compuestos casi siempre por vigas de celosxa planas de inercia constante o variable en los que siempre coinciden en la misma vertical un nudo de cada cara. La solución del Capitulo V no emplea., barras en las caras pero no por ello deja de ser un emparrillado compuesto por vigas de celosía de canto constante. En el resumen de la página 314 se puede ver que algunos dise ños se acercan al comportamiento como placas, y los que r e — sultán de coaccionar mínimamente dos mecanismo base no tie- 349 nen un campo de aplicación interesante. En el mecanismo estudiado en el Apéndice, se pueden conseguir placas con las caras completamente trianguladas. Muchas de las soluciones planteadas se pueden emplear para w grandes luces, en el mismo campo de uso que los no desplegables, pues se consiguen valores de inercia similares en las vigas de celosía componentes. Contra la ventaja de la plegabilidad y lo que eso conlleva de isustituible, hay que decir que muchos diseños de emparri liados no plegables emplean menos longitudes totales de b a — rras, aunque, para las mismas carga y luz, están sometidos a mayores esfuerzos (están"concentrados" en menos barras)-Pero con ser ésto interesante, la mayor ventaja sobre las plegables (de un gra do de libertad) en que tienen un significativo menos número de piezas de nudo, para cuadriculas similares. 350 DE EMILIO PÉREZ PINERO Las aportaciones de Pinero reflejadas en esta parte, son los dos mecanismos base, de "x" dobles y montantes, (capitulo V) y' de "x" sencillas (capitulos Vi y VII) montados partiendo de la acertada elección de la unidad elemental de movimiento. Es interesante que sea una solución espacial con un único mo vimiento. La autora no ha encontrado ninguna anterior a éstos, Tiene las ventajas de su manejo fácil y, como se ha intentado mostrar, abundantes posibilidades. También es interesante su diseño de nudo, y muy ingeniosos los tipos de soportes e m pleados en las soluciones concretas para no complicar el mon ta'j e. Las soluciones estructurales no lo son tanto. No obstante en los años 60 no estaba completamente decantada la diferencia conceptual entre emparrillados y placas, y se han necesitado veinte años para llegar a denominar por completo soluciones de estructuras espaciales de caras planas no plegables con verdadera depuración del mínimo de barras, como los llamadas de diagonales sobre cuadrados, a partir de los emparri liados en pirámide cuadrada, o la'S de tetraedros enlazados - 351 casi en retícula de panal a partir de la placa de tetraedros El tiempo empleado por Pinero en la definición de sus m e c a — nismos es comparativamente menor, aunque no pudiera dar una explicación teórica adecuada a sus soluciones. 352 PARTE 3£ ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS CAPITULO VIII: ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE ESFÉRICA 8,1,- TIPOS BÁSICOS Los cuatro tipos básicos que se pueden configurar utilizando las barras en "x" de la forma descrita en los mecanismos desplegables según una s u — perficie plana , tienen las siguientes particularidades en la superficie esférica: - La retícula de cuadrados,trasladada 'a dos superficies esféricas concéntricas bien por planos perpendiculares al plano H de reticulado, bien a través de rectas desde un solo punto (polo), da por resultado que los arcos de corte {paralelos o meridianos) se aproximan con cuerdas a,b,c,d,desiguales, transformándose en cuadriláteros todos distintos, salvo simetrías. Las unidades básicas 'son o prismas o troncos de pirámide de base tcuadrandular. En cualquier caso las "x" están en el plano de paralelo o meridiano que trasladó la retícula, encontrándose el punto de cruce P satisfaciendo la curvatura adecuada. En este tipo, a cada rmdo^de las caras superior e inferior, llegan cuatro barras, y los puntos de cruce son de dos barras. 354 Las parejas de nudos en ambas caras están contenidas en la misma recta, normal o a la curvatura caso de que el polo sea el centro de la esfera. - La retícula plana de triángulos rectángulos que resulta de diagonali-r. zar el cuadrado, se convierte en retícula de escalenos distintos, con la dificultad añadida de que las "x" cuya proyección es la diagonal del cua drado hipotenusa del triángulo, no tienen n sus cuatro extremos en el mis- mo plano•es preciso posibilitar la recta de corte con otros dos nudos. En este tipo a cada nudo de las caras, llegan seis barras (excepto en ios dos nuevos * necesarios) y en el interior se cruzan dos.. - Una retícula de triángulos equiláteros en el plano, se puede trasladar a la esfera según un gran número y variedad de procedimientos. Uno de ellos es el estudiado en la Parte II para las cúpulas desmontables de Pérez Pinero ;trasladar cada vértice del triangulado en el plano a través de una proyección radical desde el centro, es el procedimiento mas usual, y es lo mismo trasladar una línea entera, con sus divisiones iguales,dando el i corte con la esfera del plano que forman dicha recta y el centro^ las intersecciones son arcos de meridiano aproximados mediante cuerdas desiguales. Las unidades básicas son troncos de pirámide de base escalena y son todas distintas, salvo simetrías. Las caras latera-les de estos troncos de pirámides, en que se disponen las barras en "x", son siempre planas,- el punto de cruce P de cada una estará satisfaciendo la curvatura del arco de meridiano de corte. A cada nudo de las caras llegan seis b a — 35 5 rras y en el interior se cruzan dos barras. Las párelas de nudos de cada cara están situadas sobre la misma recta de traslado, la normal a la curvatura si el polo elecrido es el centro de la esfera. Todas las disposiciones eme se loerran con "x" simples (crue en los nudos del interior se corten dos barras) dan mecanismos de un arado de libertad Su caracteriística común es la de sustituir cada barra de la poligonal de cuerdas""' -±oe aproxima un meridiano esa . en el plano, es decii , q"e barra no deja de ser la proyección de la "x", y su sección la suma de las dos en la "x". - Por último, el tipo desarrollado por Emilio Pérez Pinero para la esfera contienen dos retículas trianguladas distintas para cada cara, y también los nudos inferiores de cruce forman retícula triangular en una superfi— cié esférica intermedia. Se puede definir como resultante del traslado de una retícula equilátera en el plano TI hasta una superficie esférica; los puntos dados se toman como de cruce P, interiores; por ellos se cruzan tres barras en el espacio que forman "x" dos a dos; sus extremos se r e ú nen de tres en tres en nudos superiores e inferiores fuera del plano que contiene la poligonal P., dando lugar a las dos retículas distintas de las caras. Resultan unidades componentes en forma de doble pirámide con el vértice P-^ común. Como su homologa, desplegable según una superficie plana, se consigue un mecanismo base de tres grados de libertad. 356 Cronológicamente el mecanismo de Pérez Pinero es el primero (1961) que fué diseñado. Los otros tres tipos son el resumen de mecanismos desarro-llados después por diversos autores, atendiendo 6.1 criterio de utiliza—ción de barras en "x". 8.2,- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA La compatibij-idad geométrica que se le pide al mecanismo, desde el estado de plegado hasta el desplegado final, tiene que cumplir los siguien— tes requisitos: EN'EL ESTADO DE PLEGADO: Las barras en "x" tienen que sumar la misma longitud, al menos desde el punto de cruce de una hasta la contigua, i n d e — pendientemente de donde se situé ese punto interior. EN EL ESTADO DE DESPLEGADO FINAL: A los nudos de las caras y a los de - cruce se .les pide que estén en superficies esféricas. Las distancias entre ellos, AB, BC, .... cuerdas de arcos de meridiano de amplitud a if -» forman un reticalacio de triángulos escalenos,usando cualquier tipo de traslado de la retícula equilátera a las esferas. Los ángulos a j son fun ción del ángulo de. apertura del casquete de esfera en su estado de des--_ plegado. Por otra parte las cuerdas AB, BC,. .. son proyección de los bra 35? zos de las "x" desde el punte de cruce P, esté como esté orientado r e s — pecto al centro de las esferas el plano que contiene a cada una. EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS: El ángulo de apertura del casquete es variable de 02 a a, así como el radio, de R a » que corresponde al cilin— dro del casquete plegado. A los distintos estados intermedios les corresponde R y a distinto. Si se plegara disminuyendo el radio de curvatura (como un "globo"), el angu lo a se mantendría constante. De este modo en las distintas esferas se mantiene una sola razó¿..de semejanza; los triángulos escalenos de las dis_ tintas esferas tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, • -consiguiendo que la variación de las longitudes de los lados acompañen a la variación de la proyección de las "x" al variar el ángulo de desplega^ do 3, igual para todas. Pero la forma usual y fácilmente realizable, consiste en plegarlo aumentando el radio de curvatura (como un "acordeón"). Las relaciones que ligan las longitudes dé los triángulos escalenos de las esferas, dependen de las dos variables R y a; no hay una razón de semejanza: los escalenos de las distintas posiciones nada tienen que ver entre sí, ni en sus la-idos ni en sus ángulos. 1 a, ~2R. sen a./2 a =2R 2 sen ot^/2 a n = 2R n sen r c£ /.2 358 8.3,-CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA MECANISMOS TRIANGULA DOS DE UN GRADO DE LIBERTAD .8.3.1.-COMPATIBILIDAD EN EL ESTADO DE DESPLEGADO FINAL Se efectúa el planteamiento para el raecanismo descrito en tercer lugar en el apartado 8.1. En cada unidad componente, en principio, los puntos A,B ,C ,K\B\<Z\ son puntos situados en esferas concéntricas (espesor h, constante). Las barras en "x" corresponden a la diagonalización de los ~ trapecios isósceles ABA1 B' , A C A ' C y BCB'C , todos distintos y situados cada uno en un plano que pasa por el centro 0 de las esferas. Los puntos de cruce P están situados en el eje de simetría. Su proye cción en el plano IPde la retícula equilátera corresponde al centro de los lados. Uniendo estas proyecciones se divide cada equilátero en c u a — tro, pero por sí solos no forman retícula en el plano n Diagonalizando cada trapecio se tienen las siguientes relaciones: i a __ R sen g^/2 a- :cos£ eos a a a V a' = (R-h) senaa/2 a eos S eos 3 i = b 359 _i eos & ;. tí 1 b costx c cosa c 1 = C c cosa c Por otra parte, las condiciones que se tienen que cumplir en el estado de plegado, en que A,P,í! están en la vertical lo mismo que B,P,B' y C,P,C 1 a + 1 , = 1 + 1 , b - a' :• b 1 +1.-1 + 1, b b e c 1 + 1 .= 1 + 1, c c a a SEGÚN ESTO: 1 + 1 ,.= 1, + 1. , = 1 a a b b c + 1 c Sisustituimos por su valor en función de R y a. se comprueba que es una relación imposible: , D ,„ ,,isen a a /2 - (2 R~h) * R+ÍR h, - fei-3 a 5e C " %/2 S ° ^b = (2*~h) s e n COSa V 2 c/2 a Además, con un grado de libertad (G=l) es incuestionable que en cada IDO mentó el valor de 8 único para todas las "x". Consecuencia de esto es que los puntos A,B ,C,Á,B',Cl, no están 360 sobre las superficies. Para poder dar la dimensión de las barras de las "x" que sea compatible hay que partir de la retícula incompleta de los puntos P en el plano íír, transladarlos a una superficie esférica definida por R y a, la,cadena de "x" que se pueden trazarestan contenidos en planos en tres direcciones., y por último dar el ángulo j3 de desplegado de las "x". Se llega a los siguientes valores, dadas para cada mitad de "x": R sen a/2 eos (3+ot./2) i Donde ahora a. es el ángulo comprendido entre dos radios de OP.y OP. • Se puede consultar el estudio, que desde otro punto de vista, realiza R.C,Clark{"The kinematics of a novel deployable space structure system" Third International-.:Sonference on Space Structures. Pag.^820, Ed: Elsevier. 1.984) sobre la tienda de campaña en forma de icosa_e dro esférico de T.R. Zeigler, ( Patente n° 4.026.313 USA,de 31 de Mayo de 1.977) resuelta según' este modelo de mecanismo. 8.3.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS Aceptando que los nudos A,B.. no están en superficies esféricas ( y no hay eje de simetría en las caras laterales de la unidad básica) , los lados de las bases 2a , 2 b. ...en función de los datos de la "x", valen: 361 2 2 2 2 + m' = 21 m eos (180-2g) * 1 + m - 21 m cos2S a a a a a a a a 2 2 2 (2 b ) = l + m - 21 m^cos 23 (2a) 2 =1 ( 2 c ) 2 = l 2 + m2 - 2 1 m eos 28 c e donde 1 y in, se mantienen c o n s t a n t e s , y e l á n g u l o de d e s p l e g a d o 6 v a r i a en función de R y a. según l a s eos (a /2+3 )= i ' relaciones: ^ir-1. i , ,„ ., Rsena . -/2 eos (a./2 +3) i+l ¿ — No dan valores concordantes. Los triángulos escalenos que se generan en cada-instante del movimiento proyectando la "x" según la tangente a la esfera en cada P., las 1 . 1 , i i i+l' en función del 6 de cada instante, todo ello datos de cada "x", no son los mismos que se generan trasladando la retícula equilátera del plano fl a las superficies esféricas de R y "x" variables en cada instante. Clark se pronuncia sobre ello diciendo que la suma de ángulos alrededor de cada nudo de las caras en que se juntan seis barras, no es 3602, sino variable con S. La incompatibilidad geométrica para los estados intermedios de movimiento, aparece bien clara y manifiesta en los detalles que Zeigler incluye en su patente referentes al nudo de cruce P, para que el movimiento siga siendo posible. 362 n- ^OTE MECANISMO n U.S. Patent M.**." Slwd 1 llf 77 a; FIG.t •í i 4 4,026,313 M ~; * a ñe campaña » L a estructura i. ^ ^ segura " £ Ligler resulta ^ ^ a z f e , lD na y * » l a S ^ a ' - f desplegada se tiene la 363 „x.. partiendo de que en los 8,4.-CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA EL MECANISMO DE EMILIO PÉREZ PINERO 8.4.1.-COMPATIBILIDAD EN EL ESTADO DESPLEGADO FINAL Se trata del mecanismo en que se cruzan o acaban tres barras en "x" según ~ que el nudo sea del interioro de las superficies, resultando compuesto de unidades en forma de doble pirámide con el vértice común. Se vio en el apartado 8.1, en último lugar. Si se empieza por adecuarse a la curvatura de las dos esfereas concéntricas mediante triángulos ABC, A'B'C', --. Se trasladen sendas retículas planas de triángulos equiláteros situados en un único plano TI En general, en los - lados de los triángulos resultantes en las esferas se tiene que a^B^c a V b ' ^ c ' ,. abarcando por consiguiente estas cuerdas ángulos c¿. desiguales. También se:.'tiene-que las rectas en "x" del espesor tienen longitudes dife-^^ rentes (Añ1'^ BB' ¿ CC7 ; gtíe no se cruzan es un único punto P: para un c a s — quete de esfera de 10 m. de radio exterior, 1 m. de espesor y amplitud de apertura 1202, si se determinan los valores de una unidad componente cercana a la clave, las diferencias de longitud de las "x" están alrededor de 7,5 eras, y, hallando P como cruce de dos de ellas, la tercera dista alrededor de 4 cms.; alejándose hacia los bordes en que las pendientes entre el plano TI y la esfera aumenta, las distancias a P de la tercera barra son ere cientes. Por consuguiente para adecuarse a la curvatura de la esfera según 364 es^te procedimiento, es necesario doblar una de las tres barras del manojo " "x" para que concurrar en P. Con a,b, y c distintos en cada unidad componen te, el ángulo de desplegado es distinto, manteniéndose en cada dirección, situación en principio posible por tener el mecanismo base tres grados de libertad. El paquete plegado resultante no es completamente compacto. La única forma conveniente de abordarlo consiste en trasladar una sola retí cula equilátera desde el plano JI a una sola esfera; los vértices de los =*triángulos escalenos resultantes se toman como puntos de cruce P d^ los i grupos de tres barras en "x'feneste mecanismo, los puntos de cruce P. , for—* man una retícula triangular completa, cada recta del plano II se transforma en una poligonal contenida en el plano determinado por la recta y el centro de la esfera. Los grupos de tres barras disponen sus extremos desplazados por delante y detrás de este plano. Por otra parte, cada dos barras en "x" forman (son) un plano. Si recorremos la diagonal"pinchando" en P las "x" i se va envolviendo con una superficie alabeada compuesta de trozos de planos ABAlB, BCB'C que se cortan en las líneas AÁ7 ,~BB', las cuales no pa- san por el centro de la esfera. Idealmente esos puntos A, A' estarán en dos esferas concéntricas superior e inferior a la que contiene los puntos p i sin pertenecer cada pareja al mismo radio. Entre la poligonal y la "x" quedan definidos triángulos AP P yos planos se cortan en la recta F P A'"P P 9 cu- También triángulos AP. A', AP0A* C U - - yos planos se cortan en la recta AA7' en los que podemos fijar el ángulo de 365 desplegado o de apertura de las "x". En el mecanismo existen en estas condiciones tres direcciones. Si se estu'dia un conjunto de tres unidades básicas con un nudo superior común, como se muestra en la figura, incluye un cuadrilátero móvil en cada dirección: A P ^ ' P 2 , A P 2 C P3. Y AP 1 B I P3- La compatibilidad geométrica en el estado de Dlegado recmiere: l+l1 = m + m' 4 m+m"' = n+n'' l+l'5- n+n' Para buscar la compatibilidad geométrica en el estado final de desplegado se parte de que: ~ Cada dos barras que forman "x" están en un plano el cual se corta con los adyacentes en la recta que pasa por los nudos extremos comunes situados en las caras. - El mecanismo base de tres grados de libertad, se compone de "x" en tres direcciones y cada una puede tener un ángulo de desplegado distinto: - Dentro de una dirección el .-ángulo 3 es el mismo puesto que la "cadena" ~ 366 tiene un grado de libertad; al variar los extremos AB'" . . .de una "x" se va rían los de las adyacentes manteniendo la recta común de corte, y así sucesivamente . Por pertenecer los puntos P. a una esfera de radio R, las distancias entre ellos, en función de R y a, son: (figura página anterior). a = 2Rsena /2 b = 2Rsena /2 c = 2Rsenct /2 Si por los puntos P. trazamos la tangente a la esfera de radio R, entre cada dos adyacentes se cortan en puntos T. ParticulariEando en una dirección de las tres, T pertenece al plano P.,OP„ y se halla sobre la recta que divié de en dos partes iguales al segmento P..P.., =a. Por otra parte. Las rectas P.T y P„T lo son del plano de cada "x" y dividen el ángulo de desplegado en dos iguales 6.„ (son las rectas sobre las que va girando el plano que contiene la "x" durante el movimiento, dando las d i s — tintas esferas hasta situarse juntas en vertical}. Desde P 367 a P hay cuatro triángulos: - P^AT y P AT tiene común el lado AT e iguales el ángulo & y los lados - P7f = P T - P B' T y P B' T igualmente B'T, B y P T = PTT Siendo los triángulos iguales dos a dos, se tiene: I = m II = m ' En las otras direcciones: 1 = n Por consiguiente: 1 = m = n Las aristas de la pirámide que tiene por vértices A, P , P , P ñí" ; y también. - n", con vértice en C'- l1' = n* con vértice en B1. Se ha deducido por ahora, que los falsos cuadriláteros (no son planos) que forman los brazos de las "x", tienen las lados iguales dos a dos, que en ca. da pirámide, que forman los puntos P. y los nudos de la cara superior, las aristas a cada uno de estos nudos son iguales; que de estas tres barras 1, 368 cada una corresponde a una unidad componente de mecanismo (doble pirámide) distinta. Todavía quedan por definir V , m', n'para determinar las longitudes de cada barra "x" del mecanismo base, y por conseguiente la situación del punto P en cada una. Si se repite el razonamiento con una pirámide de base a, b, c y vértice en un punto situado en la cara inferior: - por el romboide P, P_ B' se tiene ll = m' - por el romboide P P B' se tiene l1 = n* - por el romboide P^, P„ B'se tiene nl = m 1 por consiguiente: 1' = nH^ n < dependiendo este valor de a ,. ( R y E.., datos de partida, y donde cada una 1 de las tres aristas l pertenece a una unidad componente (doble pirámide) del mecanismo. En este mecanismo, a cada triángulo escaleno P.P P del reticulado le co rresponde un nudo superior o inferior: sobre cada triángulo hay que encon— trar la pirámide que tiene por base el escaleno y por caras laterales los isósceles de lados iguales al vértice ;(superior e inferior) . La traza de las barras en "x" en el plano n 369 r corresponde a las líneas que TRAZA DE LAS BARRAS EN EL PLANO Vk unen el baricentro de cada equilátero con los contiguos. Forman una red triangular equilátera cuyo lado es igual a los dos tercios de la altura de los equiláteros primeros. Trasladados esos puntos a la esfera de radio R, se puede conocer los ángulos y , y' que abarcan los radios desde los puntos P.próximos. Si por P„ trazamos la recta tangente a la esfera, contenida en el plano AOA'P (el cual traslada cada recta AA)ytambién trazamos la normal al radio {que traslada cada barimetro A , ñ M l o s ángulos que forman normal y tangente son los mismos ángulos centrales y, y' . Los puntos A y A' se en cuentran desplazados de P„ distancias 1 y 1 ' respectivamente y formando el ángulo 3 de desplegado con la tangente a la esfera. En el plano A O A' P„, se tiene: - En el triángulo rectángulo AQP, QP AP = R sen y - 1 = —— ¿ 2 eos (y +6) En el triángulo rectángulo A' Q' ?, Q'P = R senT' 1 2 370 o-1 p eos ( 3- y) Con lo que se Duede determinar la lonaitud de la b a r r a n la situación del punto de cruce P, conociendo los ángulos y ( R y 3 son datos). Partiendo de los triángulos equiláteros iguales en un plano ^ f en coordenadas si s e opera cartesianas {es el camino más rápido: ver el desarrollo del Capitulo II) el primer resultado que se obtiene en la esfera son las coorde nadas de los puntos P. , seguidas de las longitudes de los lados de los triángulos esféricos (escalenos) P.""P. y sus ángulos (es decir, la retícula triangular de una capa). En este caso no se ha hecho nada más que empezar el problema: los puntos Q no están en la superficie de la esfera (entre ellos, o no mide R) y tampoco se tiene el valor de los ángulos y . . . . , los triángulos OQ;P. . (Este problema deducibles conociendo dos datos de no se presenta en el mecanismo estudia_ do en el apartado anterior 8.3). En este mecanismo cada triángulo esférico de vértices P., es la base de la pirámide cuyas caras laterales tienen por vértice común un nudo superior o inferior del mecanismo. No hay ninguna excepción. Se ha demostrado que las aristas a estos vértices comunes son de la misma longitud en cada pirámide. Sus proyecciones en los triángulos de base son tres segmentos iguales {en cada pirámide) por lo que triángulo esférico escaleno. 371 los puntos Q son los circuncentros de cada En un triángulo escaleno de lados a, b, c y ángulos A, B,,G conocidos, la distancia del circuncentro a los vértices: + C - A 2 a/2 b/2 = = c/2 QA = QB = QC ="' f — -B^ = eos ' c' .donde « A + C -- B eos' á. = — eos . c= A y y = are. sen (^—) Cada radio R que desde = are. sen pasa por los baricentros Z + B - C (—^—) A de los equiláteros ;*- iguales de II es normal a los tres segmentos QP, 0P„ , y QF , en cada triángu lo esférico, es decir, es normal al plano que constituye el triángulo y pasa por su circuncentro. El tramo desde el vértice (superior o inferior) a la báseles la altura de las pirámides de las que se esta hablando. Cada barra AA1 de la "x" se compone de dos tramos AP, = 1 y A'P. =1 sitúa— dos cada uno en una pirámide diferente, por lo que son todas de diferentes longitudes salvo simetrías. Piénsese que en cada instante del movimiento esas pirámides van a tener las aristas al vértice, materializadas por barras de longitudes fijas 1, i y ángulos (y+3) (y-'B) variables, igualnente serán de longitud variable las - .^aristas de la base, afortunadamente no materializadas por barras en este me canismo. 3 72 8.4.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS Cuando se pliega, aumentando el radio de curvatura, siendo otra esfera, cam foian los triángulos escalenos P.P„....(en trazo fino) y los triángulos que forman la retícula de baricentros (trazo fuerte y discontinuo). Ni los triángulos en trazo fino ni los lados en trazo discontinuo están materializados por barras en el mecanismo: Solo cada "trípode" que concurre en cada nudo superior o inferior, enlazado con los adyacentes, por lo que se puede ajustar a la superficie esférica- que sea. Visto desde las unidades componentes, dobles pirámides con el vértice común: están enlazadas unas a otras por articulaciones. En cada pirámide están materializadas por barras solo las aristas de las caras laterales al vértice común. Con el ángulo de desplegado variable, se puede comformar cualquier pirámide cambiando el triángulo de sus bases. También las articulaciones de enlace entre unas y otras pueden adecuarlas a cualquier posi ción girando lo que sea necesario: los falsos .cuadriláteros (no están en un plano) que definen entre unas y otras tienen un grado de libertad. Esta con seguida la compatibilidad en todo momento. 3 73 CAPITULO IX: TEATRO AMBULANTE PARA 5 0 0 ESPECTADORES 9.1,- DESCRIPCIÓN GENERAL Se trata del anteproyecto con maqueta presentado en el apartado 1:1 del Capitulo I(Pag. 2 0 ) , correspondiente a la documentación para el concurso entre estudiantes de Arquitectura, organizado por la U.I.A. Un jurado de profesio_ nales mundialmente famosos (R.B. Fuller, Ove Arup, F. Candela... JconcedióV . .el primer premio a Emilio Pérez Pinero. Este trabajo se corresponde con la descripción de la patente n2 266.801 del añol961, primera de Pinero (ver anexo) El diseño de la cubierta es el trabajo innovador. Se trata de un casquete de esfera de doble capa, espesor constante, totalmente triangulado y desple gable, apoyado en seis puntos. En el único paquete lleva todas las barras y la cubrición. Eligió la forma idónea de presentarlo para la comprensión inme_ diata de la organización espacial de las barras: una maqueta consistente en un paquete de barras y cables que se desplegaba sola. 374 9.2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS El MECANISMO BASE de unidades componentes en forma de dobles pirámides, está ordenado de forma que sus vértices comunes dan una proyección en el plano correspondiente a un exágono irregular reticulado de triángulos equilá- teros, e inscrito en la circunferencia del paralelo de apoyos. Dadas las pendientes desiguales entre dos grupos de tres lados, la retícula corresponde a un trozo de triángulo (de icosaedro u otro) delque se le han suprimido la 'aona de los vértices. Las barras en "x" del espesor son las únicas de sección circular. Uniendo los nudos de las caras superior e inferior se disponen cables en retícula triangular (materializan las bases de las dobles pirámides). Por último en el espesor, se materializa con otro cable la línea de quiebro entre los pla_ nos de cada "x", uniendo los nudos de ambas caras: resulta totalmente trian guiada, tanto en las caras como en el espesor. La organización aparente inmediata se puede describir como de arcos dispues_ tos en tres direcciones, en que los cordones y montantes se han materializa do por cables y las diagonales por barras tubulares. No están contenidos en un plano: se van alabeando en cada recuadro entre dos montantes. La línea que contiene a estos no pasa por el centro de la esfera. La descripción de la pieza de NUDO más precisa, figura en la patente citada La realización de mayor tamaño y más estudiada corresponde al modelo en el 375 que figura en el apartado 1:2 Capítulo I. El concepto de diseño es el mismo que en los nudos descritos para las d e s — plegables planas. Cronológicamente este es su primer diseño. En esta cúpula necesitas dos variantes del mismo: para los enlaces de cruce de barras y pa ra los terminales en las caras. En los dos dispones tres vastagos para enla_ ce a rosca y tuerca, dispuestos en un mismo plano, separados ángulos i g u a les de 120°. El enlace permite libertad de un solo giro en un plano perpendicular al vastago. En los nudos de las caras necesita dispones orificios para el paso de cables, que hace pasar por entre dos cilindros; la bajada de un manguito bloquea el movimiento. Los cables que triangulan el espesor, no tienen tan claramente definidos sus enlaces. / 7 ^sffisaBS^^»^^ M^r 5 3 5 5 5 locfc ^ M IWMWmraíí^lWMMBHÍ-in^*^^ O NUDO CARA SUP£R¡OR • NUDO CARA ¡NFERiOR MECANISMO BASE O NUDO CARA SUPERIOR • NUDO CARA INFERIOR MECANISMO BASE 9.3,- MECANISMO Se trata del mecanismo base de barras én "x" en que se cruzan en grupos de tres en el espesor y acaban en número de tres en cada nudo de las caras. En el estudio previo realizado sobre este mecanismo al comienzo de esta parte, se muestra su definición y su perfecta compatibilidad y plegabilidad durante el movimiento. Los cables que se añaden a ese mecanismo base, no entorpe_ cen en absoluto ninguna de sus cualidades. Solo definen el triangulado en el estado de desplegado final: el'mecanismo no deja por ello de adaptarse a las sucesivas retículas trianguladas ce las sucesivas superficies esféricas Los cables del espesor acompañan el movimiento como apéndices sueltos. A pesar de ser un mecanismo con tres grados de libertad, el movimiento debe ser ordenado, incluso como si fuera único obligado, probablemente porque al abrirse se inicie de forma equivalente a tirar con tres fuerzas iguales y equidistantes. Refuerzan esta suposición recuerdos de testigos y el asombro y unanimidad de juicio del jurado de la U.I.A. En contra se puede argumen-.tar que se trata de los enlaces, las barras y el peso de una maqueta, no de la cúpula real. 3 78 CABLES EN LAS CARAS SUPERIOR E INFERIOR 9.4,- ESTRUCTURA El paso de mecanismo a estructura se realiza deteniéndose el movimiento al alcanzar los cables de las caras longitudes de la triangulación, para el ángulo de desplegado, y fijar las longitudes de los cables que triangulan el espesor, los cuales evitan el movimiento de retroceso. La estructura resultante no se puede definir como lámina reticulada de d o — ble capa porgue las barras de las caras estarían sometidas a esfuerzos de compresión en un cierto porcentaje, lo que en esta no es posible soportar. Sustituyendo cada "x" por su proyección, tangente a la superficie esférica que contiene los puntos de cruce P., el modelo estructural corresponde a una superficie esférica aproximada por sus tangentes a una triangulación da da, en vez de por cuerdas. La aproximación en este caso no da una retícula triangularla una exagonal con tres valores de los ángulos muy desiguales de los otros tres (casi es un triángulo). Se puede decir que no es estructu ra. 380 CAPITULO X: CÚPULA DESPLEGABLE PARA GRANDES LUCES 10.lj- DESCRIPCIÓN GENERAL El estudio de este apartado corresponde al modelo documentado en el apartado 1:10 del Capitulo I (pag.- 54 ) . Es un casquete de esfera delimitado por seis arcos de meridiano iguales tres a tres. Más exactamente es un lado del icosaedro esférico al que se le han suprimido los vértices. Lo mismo que en la realización anterior, todas las barras a usar van empaquetadas. Cronológicamente es la última de las despleqables (hacia 1966) pero con importantes innovaciones conceptuales que la hacen interesante, como es el he cho de que lleve barras tubulares en una de las caras consiguiendo acompa— ñar el movimiento de pleqado. La reconstrucción de lo que fué, esta hecha a través de fotografías, pues y compuesta por siete partes a ensamblar, solo se conservan tres. Alguna de ellas se usó para la fabricación del modelo documentado en 1:4 del Capítulo Modulo desplegable automático. 381 / • . , - II -**c¿ ..V .- .. i-r.V***:. , —:~A- • ' * I •' • ' I . . . ^^J^^^^^^^^^^^S^^-^^^^ " RETÍCULA EQUILÁTERA PROYECCIÓN DE LOS PUNTOS DE CRUCE P¡ SOBRE UNA CARA DE ICOSAEDRO / x / \ A' j y_ ¿—>.¿.—>, y \ . ; — v - — > A A /\ 7\/\/\- L V / \ / \ ' /\ % / /\ / \ / \ / __V_ '\ / V V y V ^ / x / ' \ V / \ ^£ / \ ií / \ _^ ' Y_ i ^ \« \ 10.2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS El MECANISMO BASE, compuesto por dobles pirámides triangulares, se ordena de forma que en el plano de los apoyos, los vértices comunes, punto de cruce de las barras en "x", forma una retícula equilátera contenida en un triángulo de icosaedro- Si atendemos a la información contenida en la revis ta "Hogar y Arquitectura" n° 89, el detalle de la solución corresponde al de una cúpula real, aunque la realización es un modelo de ensayo. Las barras en "X" son tubos de sección circular; los extremos y el punto in terror correspondientes a los enlaces a los nudos, se ha manipulado dotándo_ les de la forma y los elementos adecuados al tipo de enlace a realizar. Debido a que el casquete de esfera que abarca la cúpula es menor que una vein_ teava parte de superficie esférica, el canto de una pequeña porción del radio y la diferencia de curvaturas a salvar entre ambas caras es pequeña. Esto hace que la situación del nudo de cruce P esté casi en el centro y, co mo se puede apreciar, las diferencias de longitud en que se divide a la barra son casi inexistentes, asi como la diferencia de longitud entre unas y otras, consecuencia ésta de la poca pendiente de la superficie esférica res_ pecto "al plano de "la cara del icosaedro En la cúpula, estas barras en "x" no tienen el eje recto. Se debe a la forma de ejecución de los enlaces a los nudos. 384 PARTES COMPONENTES DEL MODELO En el interior la pieza de nudo lleva incorporado el eje de giro, y la b a — rra se ensarta en él quedando tangente a la pieza; los ejes de barras no se cortan en el punto que simboliza el nudo. En ambos extremos, en los enlaces a los nudos de las caras, se pretende lo contrario, que los ejes de barras se corten en un punto, y se logra parcialmente: al menos se cortan en un punto cada grupo de tres barras que concurren; en la cara inferior se tienei dos grupos en la superior tres, siempre en la dirección del radio. Con las barras acometiendo normalmente al nudo, los ejes de giro son piezas sueltas que se incorporan a los terminales.iguales, de barra y nudo. Las barras en "x" están combadas una excentricidad igual a medio nudo interior. Las barras que materializan la DIAGONAL VERTICAL del falso cuadrilátero en el espesor, son telescópicas de dos componentes;.Alcanzan su longitud menor en el estado desplegado: son las barras que sirven de tope al movimiento de desplegado, fijando con su determinada longitud el ángulo de las "x". También son las barras';que impiden el movimiento de retroceso mediante la - coacción de su libertad de deslizamiento. La pieza telescópica interior es una fina barra maciza, roscada en su extremo visible a la pieza especial de enlace a los nudos de la cara inferior, pieza a la que incorpora el eje de giro. La barra exterior hueca de sección circular, está enlazada a los nudos de la cara superior con el mismo tipo de enlace y de piezas de extrento que para las barras en "x". En el otro extremo lleva incorporada solidaria e inmóvil, la pieza que incluye el dispositivo de coacción de la libertad de desplazamiento, confiada a la presión que se consigue por atornillado. 387 La GARA. EXTERIOR está reticulada por una -RED DE EXÁGONOS irregulares, de barras huecas de sección circular. Rigidizando esta retícula se disponen triángulos en todo el contorno; más exactamente, arcos de bor_ de formados adosando pirámides de base cuadrangular diagonalizada por dos barras. Aunque la ordenación general corresponde a la triangula— ción de un icosaedro esférico, las longitudes exactas de las barras no se puede hallar por este procedimiento, esto es, multiplicando los valores para la misma retícula de la esfera unidad por el radio del -» caso; ya se ha visto al estudiar la compatibilidad general en caso de desplegables según una superficie esférica, que los extremos de las barras en "x" no están en una superficie esférica concéntrica con la de- los puntos de cruce P., aunque sí próximos. El procedimiento es el siguiente: partiendo de las coordenadas de los puntos P., y de las longitudes 1, 1'... que determina la compatibili— dad, podemos obtener las coordenadas de los nudos de las caras, y la distancia entre cada dos de ellos será la longitud de las barras. Para situaciones en que la pendiente entre el plano y la esfera no es grande y para casquetes que son una parte pequeña de esfera, los r a — dios hasta los puntos de cruce y hasta la cara exterior no son de muy diferente longitud, y entre emplear el procedimiento correcto O el de_ rivado del estudio del icosaedro esférico puede dar igual, teniendo además en cuenta que las piezas de nudo ocupan lugar : posiblemente - 388 DE EXÁGONOS DE LA CARA EXTERIOR BARRAS DEL MECANIS MO BASE hay que pensar en un replanteo de barras a la vez que se fabrica la cúpula para que todo quede adecuado. Al contener el paquete todas las barras necesarias, el trabajo de replanteo se realiza una sola vez. El procedimiento de comprobar el replanteo y ajustar longitudes lo re quieren también la construcción de cúpulas, no desmontables ni desple gables. Los extremos de estas barras de la superficie superior, acoplan t a m — bien diseños terminales específicos para el enlace. Como en el estado de plegado tienen que dar la misma longitud, casi todas contienen el dispositivo telescópico y la pieza especial de coacción al desliza miento como la vista antes. Los NUDOS necesarios son de dos tipos: Los de cruce ¡ están diseñados a partir del mismo concepto visto has- ta ahora: una pieza única formada por un nícleo macizo triangular y tres vastagos situados a 1202 unos de otros, a los que se enlazan las barras, haciendo éstos de ejes de libertad al giro en un plano. Se acaban en rosca pues precisan arandela y tuerca para completar el enlace de cada barra. En apariencia el diseño de los nudos en las caras es más complejo. Esa apariencia la da la superposición de niveles de enlace; se trata 390 de que los ejes de barra se corten en un solo punto, pero no es posible físicamente con ese diseño. Se reúnen en cada nudo de las caras seis barras del espesor y tres más en los de la cara superior. Pérez Pinero eligió disponer niveles de enlace de tres barras cada uno agru padas según su procedencia; sitúa en el más interior las tres telescó picas del espesor, en medio tres en "x", y en el exterior las contení das en las caras, si hay. Los ejes de las barras se cortan en dos o tres puntos, en lo que podemos denominar eje de nudo, un segmento en dirección del radio de la esfera. Todo el nudo lo componen piezas de los siguientes tres tipos: - Lo que se ha denominado el eje, pequeña barra maciza completamente roscada, con dos topes (tuercas) en sus extremos. - Los ejes de giro de las barras, simples tornillos con tuerca y aran déla. - Pletinas con dos agujeros: son piezas procedentes de los eslabones que componen las cadenas de motocicleta, doblados hasta formar un ángulo aproximado a 120°. Los terminales de barra llevan soldada me dia pieza. Entre cada dos de estas piezas se acopla el terminal de barra separado por arandelas, y se acopla el eje de giro a través de los agujeros iguales. 391 NUDO INTERIOR DE CRUCE: TRES BARRAS EN "X" NUDO DE CARA INFERIOR NUDO DE CARA SUPERIOR BARRAS DE LA CARA:A,B Y C BARRAS DEL ESPESOR: - "X": 1,2 Y 3 - TELESCOP.^^5 Y 6 (DESDOBLADO) IOR <N 3" BARRAS )E LA CA !A S U P E - * * . ÍIOR :M*¿ - 5S¡^ ff -i *^ ESLABO CADENA MOTOCI - - . ** ** é&*v > ^ \ 'M BARRAS DEL ESPESOR: "X" Y TELESCÓPICAS ^ OR f ,RR^ LA SUI «f RIOR ESLABONES CADENA DI MOTOCICL! " - 4 1 yí*TT >»«*cí-: -e» \<« Jé- IM^ ^ S ; i" • \ íBfcí BARKAb L)EL ESPESOR: "X" Y TELESCÓPICAS Este diseño, que no es una verdadera pieza de nudo, está determinado por la imposibilidad de fabricar piezas. Pérez Pinero aprovecha material disponible en ferretería de un cierto espesor. Esto puede dar - idea del tamañg y consistencia crue puede tener el modelo: se puede dar la cifra de 9 m. de luz máxima. Como se ve en la documentación gráfica, se emplean tantas piezas como barras van al nudo. Z9? - ÍGO,- MECANISMO El mecanismo base es el de barras "x", responsable de los tres grados de libertad, estudiado en el apartado dedicado a la compatibilidad ge_ neral en desplegables según una superficie esférica, e igual al del proyecto anterior. Cada barra que se añade al mecanismo base, lleva incorporado el dispositivo que posibilita su grado de libertad adicional de deslizamiento necesario para variar su longitud en el tiempo del movimiento, aspecto demandado para que sea posible la compatibilidad geométrica en todo momento: se ajustan las barras añadidas a la triangulación de esca_ leños de barras y. espesor. En esta cúpula se añaden barras al mecanismo base, en el espesor y en la cara superior. Los del espesor constituyen la diagonal de los falsos cuadriláteros : mas exactamente, se materializa la linea de quiebro délos planos que contienen las "x". En la cara superior se crea una red de exágonos irregulares enlazando en parte de los nudos, tres barras por cada uno. Esto equivale a que en la unidad componente (doble pirámide) materialice con una barra uno de las aristas "de la base mayor. Durante el movimiento, las primeras se alargan hasta medir igual que 398 las barras en "x", en el estado de plegado. En las segundas, es necesario desenlazarlas de un extremo y mantenerlas enlazadas en el otro para poder seguir el movimiento, desplazándose el extremo libre hacia arriba, durante el plegado. Se desenlazan las barras de la mitad de los nudos empleados, agrupando las barras de tres en tres y mantenien dolas enlazadas en el subnudo. Este proceso se ha empleado para c o m — pletar con barras en las caras las estructuras desplegables según - una superficie plana, precisamente en base a la idea de Pérez Pinero para esta cúpula. Las barras en las caras pueden seguir el movimiento porque las proyecciones en la superficie componen la retícula variable con R y a en las sucesivas esferas, hasta el plegado. Para pasar de mecanismo a estructura, las barras añadidas en el espesor, en este caso no son relevantes, pero sí necesarias para fijar el ángulo de desplegado y para el movimiento. En las barras de las caras se reúnen las partes de los nudos separadas durante la fase de mecanismo. Para coartar todo movimiento bastaría con restituir un so lo nudo fijando las tres barras que porta (una en cada dirección), pe ro la estructura resultante no es la más interesante que se puede con seguir. Sfl.0 • MECANISMO BASE — BARRAS EN EL ESFESOR O NUDO CARA • NUDO CARA INFERIOR SUPERIOR 10-4," ESTRUCTURA La retícula exagonal superior que da Emilio Pérez Pinero, conveniente mente riqidizada en el contorno, traslada cargas de los nudos. En cada nudo la fuerza actuante se puede descomponer en tres direcciones, puede haber eauilibrio. Por tanto se puede calcular como si fuese retículada de una capa, sirviendo el mecanismo base para transporte, co locación y replanteo de las barras y nudos de las estructuras. Emilio Pérez Pinero es cuidadoso al proyectar esta cúpula, en que em 0 paqueta todas las barras y escoje la retícula superior minima para que de una estructura aceptable. Puede pensarse que su modelo de comportamiento para ella es el de cúpula reticulada de una sola capa/ re_ cogiendo las solicitaciones de los bordes curvos por arcos de sección triangular. 401 BARRAS DE CARA SUPERIOR BARRAS DEL MECANISMO BASE —- BARRAS TELESCÓPICAS EN O NUDO CARA SUPERIOR • NUDO CARA INFERIOR EL ESPESOR *\ /! \ / i / i / / // / / A A \ / A \ / ! \ , i a « • / / .'' ^' a \ \ \ / \ / \ V N Vv . . \ \ \ \ a a a \ \ V \_ \ \ \ Va \ \ • ¡ . -.. : * 9 * ^ # * v 9 ^ "9. 9 ^- * 9 * 9 i\ ! a a 9 v ,• • • *•* v \ - * • ' • • • V\ \ \ i-fe: / f "'a >. a ¡ • ¡ • ' • * * " 9 9 a / * — * \ / \ ' \ i // A ' \ i a // /j / \ i a / / / \ ; / / /# ' \ \¿ " i ¡ . // fd \ ! 1 / / i / \ 1 1; w \/w V ir/ u / / / * 9 0 9 / / '9/ / \ \ i / / / \ A 9 a 9 9 a ,a ,*-' a ' -*\ / \ ~\ /\ \ ~ ~ 9 a • ~ /\ ^-9" * T i - y a • a *v a • a a • • ^ \ N a \ Ib—f A / ^ y Xs ^ -/\ / v / \ / \ yv ^ x \ ^. \ BARRAS DE CARA INFERIOR 10,5.- VARIANTE DE MECANISMO DEBIDA A EMILIO PÉREZ PINERO: MODULO DESPLEGABLE AUTOMÁTICO La partición de la cúpula anterior en siete trozos se supone por razo nés de tamaño de paquete en una solución real, no por problemas de - movilidad, pues puede imaginarse hasta que punto ese movimiento es de forma ordenada y sin coacciones al estudiar este módulo desplegable automático, ejecutado con parte de las barras de la "Cúpula....". Consta de la mismas barras por unidad componente. La variante consiste en incorporar al paquete la fuerza de desplegado. La forma consis_ te en almacenarla en muelles. Se colocan en los . nudos s'upJerio— res que es necesario desdoblar, en la parte que lleva las barras de la cara. El dispositivo es como el empleado en los paraguas plegables automáticos, está en tensión cuando el mecanismo está plegado. El movimiento se produce inmediatamente de desatar el paquete, recuperando el muelle su longitud, empujando a las barras de las caras, y estas a través de su extremo enlazado en el mecanismo base, a todo el conjunto. El hecho de lograr que se desplieguen solas, es una constante de Piñe ro en todos sus diseños desde el primero que desplegaba desde una •;grúa, hasta este último que se comenta. 405 10.6,- OTRAS VARIANTES DE MECANISMO Y ESTRUCTURA Completando la cara superior con dos retículas de exágonos irregula— res semejantes a la dispuesta por Pinero, esto es, materializando con barras todas las aristas de la base mayor en las unidades componentes resulta una cúpula de una capa completamente triangulada. Manteniendo los mismos bordes, hay que mantener también los arocs que transladan las fuerzas de la capa a los apoyes puntuales. Utilizada esta varian»te para mayores luces, se logra tener esfuerzos normales en las - barras de menor valor y mas homogéneos. Para pasar de estructura a me canismo hay que desdoblar un tercio de los nudos de las caras en un subnudo que se lleve las seis barras de la cara que concurren, otro tercio restante no se manipula. De esta forma se consigue desenlazar un extremo de todas las barras y mantener enlazado el otro, seleccionando los nudos según el esquema de la figura. Por el mismo procedimiento se puede triangular la cara inferior. El paquete plegado resulta aparatoso aunque se trocee la cúpula en paque tes menores. La ventaja es que se consigue una lámina de doble capa. Recuérdese que se empleaba este mismo procedimiento en estructuras planas para obtener la placa de dobles tetraedros. 408 CAPITULO; X I : ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE CILINDRICA Al igual que se ha hecho en los capitulos anteriores, se puede trasladar a la superficie cilindrica retículas trazadas en el plano II, de cuadrados,triángulos rectángulos y equiláteros, bien a través de pla« nos ortogonales a'lt o desde un polo, dando en ambos casos arcos desiguales entre nudos, en las genera triase curvas. Se puede proceder mejor, dividiendo directamente las generatrices" (rectas y curvas) en partes iguales: es fácilmente realizable porque las superficies cilindricas son un plano curvado, sea cual sea la curvatura elegida. Para todo lo que sigue se ha elegido como curvatura la de la circunferencia. 11.1.-MECANISMO GENERADO A PARTIR DE UNA CUADRICULA Si se curva un plano H dividido en cuadrados y a partir de cada punto/ /nudo que se supone P. se sustituyen las rectas por "x", se tienen cadenas de "x" rectas y curvas según la generatriz de que proceden, ambas direcciones contenidas en sucesivas familias de planos. Las unidades básicas componentes son prismas en que los puntos ABBA1 y CDC1 D 1 son vértices de las barras (trapecios isósceles) y ACÁ' C*y BCB l D 1 las de las caras laterales (rectángulos). 409 El mecanismo que se tiene de cadenas de "x" en dos direcciones ortogonales se inmoviliza añadiendo una barra: tiene UN GRADO DE LIBERTAD. En cada nudo de las caras se reúnen cuatro barras; en cada nudo del es pesor dos. 11 .1.'Í-CONDIC IONES GEOMÉTRICAS EN EL ESTADO DESPLEGADO .Se parte de "x" de la misma longitud L , altura del paquete plegado .En los trapecios isósceles de la dirección curvada tenemos: a= Rsen a/2 = 1 eos b= Rsen o//^ ^ 1 eos \ + h =L Por i>apedistancia a los extremos del nudo intermedio es: 1 = a/cos| Rsen a/2 eos S ±2= b/cosB= %sen a/2 eos 3 Rsen a /2 eos S Fijado R , h y la amplitud a del trapecio que se diagonaliza , el valor del ángulo de desplegado: rsen a /2 = Rseria /2 eos p= h 410 ^ 2 También: _ cos2 S= lj + lj " h /21 1 l 2 La otra dirección se ha dicho que es plana, (generatrices rectas del cilindro). Usando barras de longitud L para las "x" en la dirección de las generatrices rectas, se tienen que cumplir las siguientes relaciones; el punto de cruce es el central de las barras, pues se materiali^ zan las diagonales de un rectángulo; el ángulo de desplegado 3 es el mismo en cada instante en todas las "x" de los dos familias de planos pues G=l; la longitud (distancia) del recuadro que contiene la "x" será: 2c = L 2 - (R-r) 2 = Leos S = — ^ ^ r tg 6 Nos queda a> c> b, para que el ángulo de desplegado en todo momento sea el mismo, como corresponde a un movimiento único (las barras giran en P, o en P_ a la misma velocidad); 11.1.2.- COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS Las unidades básicas componentes, los prismas cuyas bases son trape—cios isósceles,, son todas exactamente iguales (misma longitud de a r i s — tas,mismos ángulos) en toda la superficie cilindrica, por la forma de división elegida: 412 primero se retícula un plano y luego se curva En cada instante del movimiento, cuando se recoge, se disminuye la cur vatura y las "x" tienen distinto ángulo de plegado 8. La longitud de las aristas del prisma unidad, son solo función de la variable 6/ igual en las cuatro caras laterales, por lo que en los sucesivos i n s — tantes, los prismas que se generan son semejantes con una razón de semejanza que depende solo de 3 , y los ángulos, en las caras alrededor de cada nudo siempre son los mismos: son posibles todos los prismas inter_ medios, todos iguales en cada instante, por lo que existe compatibilidad geométrica siempre. 11. Z.-MECANISMO GENERADO A PARTIR DE UNA RETÍCULA DE TRIAN GULOS RECTÁNGULOS 11.2.1.-COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA EN EL ESTADO DESPLEGADO Si al mecanismo de recuadros ortogonales, se le cruzan "vigas" en "x" diagonalizando los recuadros, se tiene una reticula de triángulos rectángulos -Hay que materializar con diagonales el recuadro ADA'D', pero no es posible porque los cuatro puntos no están en el mismo plano.Cada tres de ellos determinan un plano, por ejemplo AA'D y DD'A 1 , que se cortan, en .la zecta A'D... Pues bien, para enlazar los cuatro puntos hay dos soluciones: 15, materializando el ángulo de quiebro:tres partes de la "x" están en un plano de los dos, y desde el punto de cruce se quiebra la direc ción de la parte restante hasta alcanzar el punto de cara 413 que queda, un ángulo y: 25 posibilitando la recta de corte de dos planos que convengan. Estos planos se pueden elegir conteniendo dos p u n tos de los anteriores, por ejem. con AA' y una "x" se tiene un plano y con DD' y otra "x" otro plano. Enlazamos ahora los extremos libres de las dos "x", EE* y la linea que une esos puntos es la de corte de los dos planos.. En una unidad elemental, determinando las coordenadas de AA'DDlBCD*C* y hallando las longitudes de barras entre ellas se compatibiliza geomé tricamente el mecanismo. En el segundo caso, usando las mismas barras de longitud L se determinan E y E' como contenidos en circunferencias de radio L desde A' y D*y A y D, o lo que es lo mismo E es equidistante de A1 y D'y está contenido en los dos planos, y E1 equidista la longitud L de A y D y está contenido en los dos planos. De A a D pasando por la proyección de E no es posible trazar una linea recta, no queda realmente triangulado, por lo que para algunos tipos de acciones es necesario arriostrar los nuevos nudos EE1, por ejemplo repitiendo según ia otra diagonal (entre B y C y B*y C1)" las mismas "x" En cada nudo de las caras se reúnen ocho barras y en cada nudo de espe sor , dos . 414 11.2.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS Por los mismos razonamientos que el caso anterior, son posibles todos los prismas-unidades con las cuatro "x" a E y E'^entro. Existe compatibilidad geométrica en todo momento. 11,3,-MECANISMO CUYOS NUDOS FORMAN UNA RETÍCULA DE TRIANGU LOS ISÓSCELES 11.3.1.-COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA EN EL ESTADO DESPLEGADO Uniendo nudos de las caras situados en el mismo radio de curvatura se pueden disponer las "x" en tres direcciones según una reticula de triángulos isósceles o equiláteros. La unidad básica del mecanismo, de UN GRADO DE LIBERTAD, es el medio prisma de base triangular que se señala en la figura, todas exactamente iguales. En cada nudo de las c a — ras se reúnen seis barras y en cada nudo del espesor, dos. Entre los nudos ABA'B* se disponen las "x" como se ha visto, con su pun to de cruce a distancias 1, y 1„. Entre los nudos ACA'c'y BCB'C'teñe— mos que disponer sendas "x" de las otras direcciones, pero esos grupos de cuatro nudos no están contenidos en planos;por serlas aristas 2a> 2b sus ángulos opuestos resultan C *C* por lo que -se tiene una superficie alabeada. De las dos posibles opciones que presen- 415 tamos en el mecanismo anterior, elegimos unir los cuatro puntos doblan do una barra un ángulo y. Parece una solución menos complicada pues se dobla la directriz quedando los enlaces de giro perpendiculares igualmente. El incomveniente es que el paquete plegado queda menos compacto También se puede suprimir un tramo de "x", aumentando los grados de li bertad. Al fijar R, h y el ángulo a, las relaciones geométricas para que resul te compatible son: Rsen q/2 eos 1. = 1 eos B 1 b _ 2 L = 7 _ L_i cosg eos 20 = 1 L a _ 1 (a+b) 2 1^ _ + (hcosct/2 ) -,2 + h ~h 21 1 X eos 6 _ aesen ot/2 eos $ 2 ^2 2 Para que se cumpla la compatibilidad en el estado de plegado hay que utilizar barras de longitud L en las otras dos direcciones. Se tiene que cumplir: 416 2 2d = L eos. e = / b „2 + f ; 2c = / a 2 + f 2 Suponiendo aue -AC1, es recta y CP está en el mismo plano que la anterior, / el tramo P2r» quiebra hacia adentro de la unidad elemental. Partimos de que ATT = L. Por estar en el plano hx2c y haber girado el ángulo f3, CP se encuentra con AC en el punto medio, y mide L/2. Las coordenadas de P en función de las de A y C son: X A~ p V 2 X P c' y C A Y = P z X = A' ' zc 2 y el ángulo de quiebro de la barra: cos y = 2 — 2 —2 PA'' + PA + Tffi- 2 41? PA"1" PA 11.3.2.- COMPATIBILIDAD DE ESTADOS INTERMEDIOS De entrada, por el hecho de quebrar uno de los tramos de las "x" se — está forzando la compatibilidad en el estado final, por obligar a los nudos o extremos de las "x" a que estén dentro de superficies cilindr_i cas concéntricas. Las ventajas que esto proporciona son que las unidades componentes son todas iguales, que la única variable 3 configura unidades semejantes en los estados intermedios por lo que los ángulos en la cara superior e inferior alrededor de cada nudo no varían. A = B = are. cos (-*-—) = are. cos (=-*— 5 2c L cos B C = 2 ave. sen (— )= constante. ) = costante = 180° - 2A 2c Lo mismo para la cara inferior. Alrededor de cada nudo: 4A + 2C = 4A + 2 (18:0° - 2A) = 360° 418 .11.3.3,~ VARIANTE DE MECANISMO CUYOS NUDOS FORMAN UNA RETÍCULA DE TRIÁNGULOS ESCALENOS Se puede utilizar un procedimiento de reticulado crue después no ha _ ga necesario quebrar la barra de "x": es el empleado en la esfera para este tipo de mecanismo. Consiste en trasladar una retícula de equiláte ros del plano I a la superficie cilindrica desde un punto tomado como > polo. Por la particularidad de ser una superficie de traslación, basta que se haga para una "rebanada" de triángulos, es decir, el polo se pue_ de elegir como centro de una curvatura en un plano y lo obtenido se - traslada a lo largo de las generatrices rectas. En la "rebanada" se obtiene una retícula de escalenos distintos, salvo simetrías. Colocando puntos de cruce P. en esta retícula y desdoblando las líneas por "x", se puede diseñar un mecanismo de un grado de liber— tad del mismo tipo: seis barras por cada nudo de cara y dos barras por cada nudo de cruce interior. Se puede definir geométricamente una s o l u — ción compatible en el estado de desplegado final, pero al igual que suce día en la esfera, en los estados intermedios no es geométricamente com- patible porque las longitudes de la retícula en cada instante dependen de R y el ángulo central variable a , y por otra, fijadas las longitu— i des de las "x" dependen de ellas y del ángulo de desplegado B, y no dan los mismos valores, los mismos triángulos escalenos. 419 11 A.-MECANISMO DE DOBLES PIRÁMIDES Este mecanismo de tres grados de libertad, compuesto por.unidades en fc-r ma de doble pirámides enlazadas unas con otras mediante las articulaciones de los nudos de las bases, es sin lugar a dudas el mecanismo más adaptable. Se han visto los casos en que se adapta al plano y a la esfera. Se puede decir que se adapta a cualquier superficie, manteniendo la compatibilidad geométrica durante todo el movimiento de desplegado, pues su punto de partida siempre consiste en triangular cualquier superficie y situar en los vértices el punto P. de cruce, o vértice común de las pi_ rámides. Después hay que encontrar las relaciones adecuadas que nos f i — jen las longitudes de las barras en "x", utilizando la compatibilidad en j el estado de desplegado y en el plegado. Los nudos extremos de cada "x" / están sobre el radio de curvatura que para por el circuncentro de cada triángulo y es normal a la superficie definida por él. Para las superficies cilindricas, compuestas de generatrices rectas y cu alquier curva, se puede simplificar el proceso de entrada, dividiendo la generatriz curva en arcos iguales y trazando sobre la superficie triángjj los isósceles (incluso equiláteros) separando las generatrices curvas la distancia que se desee. Los vértices de estos isósceles son los puntos P.. Los nudos extremos de las "x" estarán equidistantes de su punto de cruce P sobre el radio de curvatura que pasa por el circuncentro del 420 isóceles. Todas las unidades componentes son iguales. Para una superficie cilindrica generada por arcos de circunferencia, dados R, a, la separación entre generatrices c, y el ángulo de desplegado , se tiene: a= 2R sen a/2 b= / c 2 + a / 4 P.Q = d 1* c = d + e d= 2c + a/2c 2 e ,2 2,. - d - a /4 1 = d/cos 1''= d/cos 1 = 1» ._d_.._ eos S 2c + a 2 / .2c eos 3 2c 2 + 2R 2 sen 2 a/2 c eos Da que los puntos de cruce están situados en el centro de las barras en "x". Resultan en cada unidad componente, pirámides iguales cuya base es un triángulo isósceles (o equilátero). 421 /Durante el movimiento, la longitud varia con Br al igual que a y b sin dejar el triángulo de ser isósceles. Durante el movimiento varían los la dos pero no los ángulos; su suma se mantiene en 360° alrededor de cada nudo. Las distancias entre los nudos de la cara exterior resultan mayo*-:-: res que entre los nudos de la inferior. Resulta sencillo por la elección del reticulado de P.: para tener una superficie cilindrica, siempre se podra trazar la retícula de P. en un plano, a distancias iguales y c u r varlo. Curvando el mecanismo plano descrito en "Apéndice a la Parte 35" se consigue este. Se puede trasladar la triangulación por planos verticales desde el plano o también desde un polo, pero no hace mas que complicar el problema, dan do unidades componentes distintas. 422 CONCLUSIONES A LAS ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS DE LOS MECANISMOS BASE EN LA ESFERA Se puede elegir cualquier procedimiento de los existentes pa ra trasladar la retícula elegida en el plano {de cuadrados, triángulos rectángulos o equiláteros.) hasta la superficie es_ ferica (állx serán cuadriláteros o escalenos), como se hace pa ra cualquier casquete reticulado de una capa, pero los p u n — tos de cruce de la retícula obtenidos, siempre se debe consi derar que son los puntos de cruce de las barras en "x". Solo ellos estarán en una superficie esférica, en cualquier caso. Las longitudes de las barras en "x" se determinan atendiendo al cumplimiemto de la relaciones geométricas existentes en los estados de plegado y desplegado final. Los extremos de las barras no están contenidos en esferas concéntricas con la de puntos de cruce. Cuando las parejas de nudos de las caras (superior e infe rior), extremos de una mitad de "x" están sobre la recta que 42Z es paralela o convergente a la que trasladan los puntos de cruce, (según el procedimiento de reticulado) los mecanismos resultantes tienen UN GRADO de libertad, y las cadenas de "x" están contenidas en planos (salvo los que resultan de las hi_ potenusas de los rectángulos). El punto de cruce, lo es de dos barras (o 4 si se "maciza".mas la retícula). En el caso de usar retxcula plana de cuadrados, el mecanismo puede ser compatible en las esferas intermedias porque exis_ te la libertad de distorsión angular de los cuadriláteros. En caso de usar retxcula de triángulos rectángulos, se re quieren cuatro "x" por cada unidad siendo dos para el lado mayor, pues las dos parejas de nudos que provienen de los ex tremos de los catetos, no están en un plano: se debe posibilitar la recta de corte de dos planos, situando una "x" en cada uno- Puede ser compatible en los estados intermedios de desplegado, puesto que en realidad cuatro "x" son cuatro barras proyección, dos de las cuales están "casi" en linea rec ta, y es suficiente la libertad de distorsión por tener en realidad' cuadriláteros en la esfera, en vez de escalenos. En caso de usar retxcula de equiláteros y tener un mecanismo de un grado de libertad (con las parejas de nudos de las ca- 424 ras en rectas de la familia del haz de traslado), no hay compatibilidad posible en las posiciones intermedias del movimiento: por cada unidad, las tres "x" contenidas cada una en un plano, son en realidad tres rectas proyección sobre el plano de puntos de cruce P.; éstas definen un trian guio que es distinto desde las variables de la esfera y des_ de el ángulo de apertura. Usando la retícula plana de equiláteros, el mecanismo resul. ta de TRES GRADOS DE LIBERTAD, si en los puntos de cruce se cruzan tres barras en vez de dos. En el mismo punto de cruce se pueden observar las tres direcciones de cadenas de "x",que en este caso no están contenidas en planos; son alabeadas. En cada nudo, sea délas caras o de cruce, concurren — tres barras. Cada nudo de cada cara se encuentra, él solo, en la recta normal a la porción de esfera reticulada que re presenta el triángulo escaleno de P. . Existe compatibilidad geométrica en todas las posiciones intermedias dedesplegado porque las pirámides componentes tienen materializadas con barras solamente las aristas al vértice, y no las de la base (triangular), o por expresarlo como en la anterior, si imaginamos que de cada "x" hay una barra proyección en el plano del punto de cruce, para tres puntos P. hay seis segmentos de rectas ( recuérdese que van alabeadas) las cuales e_s tan dos a dos "casi" en prolongación recta, definiendo un exágono irregular y poseen tres distorsiones angulares posibles. 425 EN EL CILINDRO La mejor forma de abordar el reticulado y la definición de las barras en "x", es suponer que una superficie cilindrica es una superficie plana curvada (con cualquier curvatura) -~"\ Fe esta forma es fácil conseguir unidades componentes exacta mente iguales en casi todos los casos. Los nudos de las caras están comprendidos en superficies concéntricas. Durante el movimiento, al igual que en las planas se generan todas las unidades semejantes hasta acabar en lineas rectas. Únicamente no sirve para las triangulaos de un grado de liber tad, en que es necesario quebrar una barra para conseguir la compatibilidad geométrica. Si no;son tan imcopatibles como en la esfera. EN CUALQUIER SUPERFICIE Para obtener un mecanismo con la forma de una superficie cual quiera de geométrica complicada, la solución más universal es la dada por . Pinero. jConocieñdo^las ^coordeHááasr.dellos pun tos P de cruce, cualquiera que satisfagan la ecuación de la superficie, se. obtienen los extremos de las "x" sobre las -; rectas normales a los triángulos definidos por su.P.: se ha- 426 H a n como el corte de la recta que pasa porcada P inclinada un ángulo igual al de desplegado fijado 3 más o menos el que for ma el radio de curvatura en P y la normal al triangulo desde el centro de curvatura. DE LAS ESTRUCTURAS Para trasladar cualquier tipo de carga, la forma curva constituye una ventaja indudable en cuanto a que en general se tienen menos solicitaciones, deformaciones y gastos de material, no estándose en la obligación de conseguir canto. Por tanto, ahora si que basta solamente coaccionar los mecanis— mos lo necesario para tener una estructura aceptable, es decir , basta añadir 1 ó 3 barras y arriostrar convenientemente aquellos mecanismos en que sus nudos formen cuadriláteros. Con esto se tienen estructuras equivalentes a los retícula— dos de una capa. No obstante, no es difícil ni resultan de manejo aparatoso, si se añaden barras en la cara superior, incluso hasta su to tal triangulación. Obviamente se pueden realizar plegables de doble capa. El procedimiento de paso a estructura y el montaje en nada se diferencian de las desplegables según una 427 superficie plana. También sirven los mismos tipos de nudos. Respecto a ñudos, existen pocas soluciones comparado con las existentes para las no plegables, en que se lleva empleado tanto tiempo y trabajo como la abundancia de patentes hace suponer. SOBRE EMILIO PÉREZ PINERO Casi basta decir que, de entrada y sin ningún tiempo de dedi^ cación profesional que le hubiera permitido tener recopilada información (estudiante) y que hace suponer un trabajo con medios y observaciones propios, elige la "x" y define el mecanismo más adaptable a las superficies curvas, de tres grados de libertad. Para los congresistas de la UIA fue una cosa nueva. La autora no ha encontrado otros anteriores (ni — análisis posteriores). Se dice en la introducción general, que tenia tanta visión espacial como capacidad manual: las dos cúpulas. (1961 y 1966) que se estudian en esta parte bcorroboran ampliamente, tanto por la visión de conjunto como por el diseño de componentes. Posiblemente no llegó a intuir el análisis de grados de libertad de sus mecanismos, pero, quitando las dos últimas rea 428 lizaciones, intento añadirles pocas barras para tener estruc turas conocidas que supiera analizar minimamente. 429 BIBLIOGRAFÍA - GENERAL - INFORMES, PONENCIAS Y ARTÍCULOS - PATENTES BIBLIOGRAFÍA BELLUZZI, o. Ciencia de la construcción Ed. Aguilar. Madrid 1957 GENERAL GHEIRGUIU,A.; DRAGOMIR,V. La représentation des structures constructives Ed. Eyrolles. París 1972 CALATRAVA, S. GONZÁLEZ,J.E. Zur Faltbarkeit von Fachwerken Membranas esféricas con formas no axisimétricas Tesis Doctoral Tesis Doctoral Biblioteca Univ. Politécnica de Zurich. 1981 Biblioteca E.T.S.A.M. 1986 DAVIES, R.M. HUNT, K.H. Space Structures Kinematic Geometry of Blackwell Scientific Pub. Londres 1967 Claredon Press.Oxford 1978 FLUGE, W. KENNER, H. Stresses in Shells Geodesic Math an how to ese it Springer-Verlag. Berlín 1973 Berkeley University Press. 1976 FULLEE, R.B. LIVESLEY, R.K. Synergetics, Exploration in the Geometry of thinking Métodos matriciales para el cálculo de estructuras MacMillan Pub. N.Y. 1975 Ed. Blume GARCÍA DE ARANGOA, A. MAKOWSKI, Z.S. Estructuras espaciales articuladas.Estructuras II Estructuras espaciales de acero Biblioteca E.T.S.A.M. 1970 Ed. Gustavo Gili. 1972 431 Mechanisms MAKOWSKI, Z.S. POZO, F. del Analysis, Design and Construction of Double-layer Grids Cubiertas laminares cilindricas formadas por una Applied Scientific Pub. Londres 1981 malla triangular de perfiles metálicos I.T.C.C. n2 176 MAKOWSKI, Z.S. Analysis, Design and Construction of Braced Domes PUGH, A. Granada Pub. Londres 1984 An introduction to Tensegrity Berkeley University Press. 1976 MARGARIT, J.;BUXADE,C. Las mallas espaciales en arquitectura PUGH, A. Ed. Gustavo Gili. 1972 Polyedra - A visual aproach Berkeley University Press. 1976 NIETO, J. Síntesis de mecanismos SHELTER Ed. AC. 1978 Shelter Pub. 1973 NOOSHIN, H. " TIEN T. LAN ; YUAN ZHILIAN Third International Conference on Space Structures Space Structures for Sport Buildings Elsevier, Applied Science Pub. Londres 1984 Science Press,Pekín/ Elsevier AppL Scien. Londres 1987 DOMEBOOK, 2 TIMOSHENKO,S. ;WOINOWSKY-KRIEGER, S. Pacific Domes Pub. 1971 Teoria deplacas y láminas Ed. Urmo 432 TORROJA, E. Razón y ser de lso tipos estructurales Ed. Artes Gráficos. 1960 TORROJA, E. Cálculo elemental de vigas trianguladas I.T.C.C. TORROJA,E. Introducción al estudio de las estructuras laminares I.T.C.C. 433 INFORMES, PONENCIAS Y ARTÍCULOS AERO-MECHANICAL Eng. Lab. U.S.ARMY. Research and De_ ESCRIG, F. velopment Comand. "Expandable space frame structures" "Expandable Shelter" Txird Internacional Conference on Space Structu Massachusetts USA. 1978 res,pag. 823. Elsevier,Londres 1984 BRINK,N.O. ESCRIG, F.;PÉREZ-VALCARCEL,J,B. "Research on an expandable airlock utiüzing the elas_ "Introducción a la geometría de las estructuras tic recovery principie" espaciales desplegables de barras" NASA Contractor Report CR - 351. 1965 Rev.:Bolet£n Académico,E .T.S.A.La Coruña n2 3.1986 BUSH, H.G.;MIKULAS,M.M.;WALLSOM,R.E. FAIRCHILD, H. Synchronously Deployable Truss Structure "Positive deployable solar array development pro NASA N84-16250/2. Patent Aplication 6-556. 1983 gram " NASA Contractor Report.HQ-Hás^5.-.tL3988.. 1964 CLARKE, R.C. "The kinematics of a novel deployable space structu GIEBLER,M.M.;PALMER,W.B. re system". "Study of advanced suflower precison deployable Third International Conference on Space Structures antenna" pag. 820. Elsevier. Londres 1984 NASA Contractor Report, CR - 162631 Washington D.C. 1979 ESCRIG, F. "Estructuras espaciales de barras desplegables" HARRIS Corporation Rev.: Informes de la Construcción n2 365.1984 "Large deployable antenna development program" 434 NASA Contractor Report CR - 2894 McHALLE,J. Melbourne 1977 "Les structures de Buckminster Fuller" Rev.: L'Architecture d'Aujourd'hui n9 99, pg. 50 a 55 HARRY, L.;MORGAN Jr. "Aerodinamic and deployement characteristics of McNULTY,0. multistage canopy and suspension-line reefing sys_ "Foldable space structures" tems for a twin-keel all-flexible parawing" The First International Conference on Lighweight NASA Technical Note, Masa TND - 6306. Structures in Architecture Washington D.C. 1971 Sidney 1986 JACQUEMIN,G.G.; BLÜCK, R.M.;GROTBEE; g:h:; JOHNSON,R. MALL0Y,G.D. "Development of a Aseembly and Joint Concepts for E- "Ground Test Article for Deployable Space Structu- rectable Space Structures" re Systems" NASA Contractor Report 3131. 1980 ; NASA Contractor Report ÑAS 8 - 34657. N84 - 34457/1. /XAD. 1984 KENNER,P.M.;CHURCHILL,T.T.;HOLT,R. "Geometric Aerodinamic and Kinematic characteris- NASA tics of two twin parawings during deployement " "Deployable NASA Contractor Report CR - 1788. 1971 NASA case N2 MFS - 22636. 1975 LE RICOLAIS, R. NASA "Formes e t s t r u c t u r e " "Deployable Geodesia Tuss: An efficiently packaged Rev. ¡ L ' A r c h i t e c t u r e d'Aujourdr'hüi n9 180,pag. 90 a 100 structure can be deployed or retracted easily" flexible tunnel" NASA Technical NOTE 85 - 1305 /XAD. 1985 435 NASA TSUBOI,Y. "Synchronously Deployable Truss: Double-layered "Analysis, Design and Realization of Space Fra- Truss Structure is compactly packaged and synchro mes a state-of-the-Art Report" nously deployed" Rev.: I.A.S.S. n° 84/85. 1984 NASA Technical Note NTN 85 - 1306 /XAD. 1985 WEEKS,G.E. ONTEGA-PEREZ,M.A. "Dynamic analysis of a deployable space structure" "Foldable Boom Systems Study" Rev.:J.Spacer Rokets V 23 n2 1, pg.102 a 107 INTA. ESRO Contract n° 1130/70. Univ. Alabama 1986 Madrid 1973 WRIGHT, D.T. SIRCOVICH SAAR,0. "A Continuun Analysis for Double Layer Space Fra_ "Self-erecting two-layer steel prefabricated arch" me Shells" Third International Conference on Space Structures Pub. IABSE Vol 26. 1966, pg. 593 a 610 pg. 823. Elsevier, Londres 1984 WRIGHT, D.T. SUGO ,J. "Membrane Forces and Buckling in Reticulated Shells" "Hardwall expandable shelter" Journal of the Structural División, ASCE Vol 91, Civil and environemental Engineering Development n° ST 1, pag. 173 a 201. Feb. 1965 Office. Washington 1977 TRENT,K.L.;WHITESIDE,T.M.;ROBERTUS,J. "Pield Experiment on a Prebabricated Expandable Foam/Wood Structure" Report CERL - IR- C - 50: Construction Engineering Research Lab. (Army). 1976 436 PATENTES (ESTRUCTURAS DESPLEGABLES) AUTOR ST. BARBE SLADEN, G. NUMERO PAÍS AÑO 7755 Reino Unido 1914 655970 Reino Unido • 1951 BRONER 2697845 USA 1954 FULLER, R.B. 2914074 USA 1957 HILKOR,W.R.;FUJIOKA,R.S. 3206897 USA 1965 KELLY, V.M. 3888056 USA 1975 GILLIS, R.E. 3986519 USA 1976 LINDBERGH, CH. 3940892 USA 1976 McALLISTER 3973370 USA 1976 ZEIGLER,T.R. 4026313 USA 1977 ESCRIG,F. 43? 532117 España 1984 A N E X O - Programa de ordenador en BASIC escrito en un IBM-AT, desarro liado para un reticulado de la superficie esférica 439 - Entradas de datos para cálculo de emparrillados con el progra_ ma STAAD-III, versión 7, nivel 8 445 - Hojas manuscritas de Emilio Pérez Pinero, para Salvador Dalí 467 - Primeras páginas y dibujos contenidos en las patentes de Em_i lio Pérez Pinero 474 ^ O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O C D O O O O O O C D O O O O O O O C D O a O O — 1 ""O O »—Í >—( J—i — i < >—t >—< *—( >—« »—<Í~H>—(i—ii—t )—4 t—t »—> u T > ; x i r " o o o o c ^ o o o o o o o o o o o x 5 > - - * c o o o o o o o o o o o o o o o o o o o -IÍ—I^: W W W K i ^ ^ ^ W W W W m f W H i W H i R t—( i—t t—> »—i i—<>—(>—i •—t y-< •—tí—<>—<>—<t~-<i~-ti—<•—ii—1>—<i—i W CT Í 1 D n O A 3 73 ^-<3>i—ti—i w Z 13 Z X) o o n o o o o o o o o o o o r } o o o o o o * ^ o o o o ! 3 o o o o o o o o o o o o o 2 : ^ : ^ : c o c / ) c f : N j 4 i . ¡ ! ~n C H C Z > W W f * 5 ^ W W ^ W ^ S : W K ' ^ K > W W W I ^ ^ ^ X 1 ^ 7 3 ^ 7 3 W H ? 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S/N e INTRO" 650 ÍN PUT;P1$ 660 IF P l $ = " S " GOTO 670 ELSE 720 670 LP RINT "COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DEL ICOSAEDRO INSCRITO' 1 680 LP RINT 690 FO R 1=1 TO 12 700 LP RINT I TAB(6) IC0£(I,1) T A B ( 2 7 ) I C 0 £ ( I , 2 ) TAB(48) IC0£(I,3) 710 NE XT 720 DI M M C 9 1 , 3 ) 730 FO R D = l TO 13 740 FO R E = l TO D 750 FO R 1=1 TO 91 760 IF H(I,1)=0 THEN H(I,1)=D ELSE NEXT I 770 NE XT E,D 780 FO R D-13 TO 1 STEP -1 790 FO R E = 13 TO D STEP -1 800 FO R 1=1 TO 91 810 IF M ( I , 3 ) * 0 THEN M(I,3)=E ELSE NEXT I 820 NE XT E,D 830 FO R 1 = 1 TO 91 / 840 M( I , 2 ) = 2 7 - M ( I I 1 ) - M ( I , 3 ) 850 NE XT I 860 PR INT 870 PR INT C H R $ ( 7 ) C5 880 IN PUT "PRIMER VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";Al. 890 1 =1 900 II -Al 910 GO SUB 1660 920 IN PUT "SEGUNDO VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";A2 930 1 =79 940 II = A2 950 GO SUB 1660 960 IN PUT "TERCER VÉRTICE DEL T R I A N G U L O DEL ICOSAEDRO";A3 970 91 980 II = A3 990 GO SUB 1660 1000 F OR J=l TO 3 1010 D £ = ( I £ ( 7 9 , J ) - I £ ( 1 , J ) ) / 1 2 1020 I = 1 1030 F OR A = l TO 11 1040 I = I + A 1050 B = I~A 1060 I £ ( I , J) = I£(B, J)+D£ 1070 N EXT A,J 1080 F OR 3 = 1 TO 3 1090 D £=(I£(91,J)-U(1,J))/12 1100 I -1 1110 F OR A = 2 TO 12 1120 I = I+A 1130 B -I-A 1140 I £(I,J)=I£(B,J)+D£ 1150 N EXT A,J 1160 I -3 1170 F OR A = 3 TO 13 1180 B = 1+1 1190 I = Í+A 1200 C = I-B 1210 F OR J=l TO 3 1220 O £ = ( ! £ ( ! , J ) - I £ ( B , J ) ) / C F=B+ 1 FOR G F TO E H = G~1 I£(G,J) * I £ C H J)+D£ NEXT 6, J,A FOR 1=1 TO 91 IF IÍ(I ,1)*0 G OTO 1360 I £ d , 4 ) *R/SQR( l+(I£(I,2)/I£(I,l))*2+(I£(I,3)/I£(Itl))*2) IF I£(I ,1)<0 T HEN I£(I,4)=-I£(I,4) I¿(I,5) =I£(I,2 )*I£(I,4)/I£(I,1) I£(I ,6) -I£CI,3 )*I£(I,4)/I£(I,1) GOTO 14 60 I£d,4) = 0 IF I£(I ,2)=0 G OTO 1420 I£(I,5) =R/SQR( l + (I£(It3)/I£(I,2))'"2) IF I£CI ,2)<0 T HEN I£(I,5)*-I£(I,5) I£CI,6) *I£(I,3 )*I£(I,5)/I£(I,2) GOTO 14 60 I£(I,5) = 0 I £ d , 6 ) r-R IF 1£(I ,3)<0 T HEN I£(I,6)=-I£(I,6) I£(I,6) ~R NEXT • FOR 1=1 TO 91 A£--SQR( R A 2-I£( I,6)~2) IF I£(l ,6)=0 T HEN I£(I,7)=90 ELSE 1510 GOTO 15 40 B£=A£/I £(1,6) U C I . 7 ) =ATN(B£ ) I£(I,7) = H d , 7 )*180/PI£ IF I£(I ,6)<0 T HEN I£(I,7)=90-I£(I,7) "^1 ÍF I£(í ,4)=0 T HEN I £ d , 8 ) = 9 0 ELSE 1590 IF I£(I ,5)=0 T HEN I £ d , 8 ) = 0 IF I£(I ,5)<0 T HEN I£(l,8)»270 80 GOTO 16 40 C£-I£ÍI ,5)/I£< 1,4) I £ d , 8 ) *ATN(C£ ) I£(I,8) -I£(I,8 )*180/PI£ IF I£(I ,4)<0 T HEN I£(I,8)=180+I£(I Í 8) IF I£(I ,4)>Q A ND I£(I,5)<0 THEN I£(I , 8)-360 + I£(I , 8 ) NEXT GOTO 17 00 FOR J=l TO 3 I£(I,J) =ICO£(I 1,3) NEXT RETURN LPRINT LPRINT FOR 1=1 TO 91 FOR J=l TO 8 I d , J ) =I£(I,J) NEXT J, I CLS PRINT C HR$ í 7) PRINT T AB(25) "TRIANGULO",A1;A2;A3 PRINT PRINT PRINT T AB(20) "ELEGIR PASO SIGUIENTE; 1etra e INTRO" PRINT PRINT T AB(5) "1 IMPRESIÓN DE i,j,k,X,Y,Z DE LOS 91 PUNTOS DEL TRIANGUL PLANO" IMPRESIÓN DE X » Y , Z , FI , TETA , DE LOS 91 PUNTOS DEL TRIANG 1840 PRINT T AB(5) "2 O ESFÉRICO" CALCULAR LONGITUD DE BARRA Y ÁNGULOS CON EXTREMOS DEL 1850 PRINT T ABC5) "3 DIO " l££Jl_fiRLN£..t A_B15X_" Ü . - TAI m i A P i nq . ANÍ;iu a5L_HFI xP_I_A_M_GIIÍ_Q DF_FT.N T nn pnp TPF<Í P TOS 187 1.88 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 CALCULAR LA DISTANCIA EN FI Y TETA ENTRE DOS PUNTOS" PR I NT TABC5) "5 PASAR A OTRO TRIANGULO DEL ICOSAEDRO" PR INT TAB(5) "6 PR INT TAB(5) "7 FINALIZAR" ÍN PUT ;P2 PR INT IF P2 = GOTO 2010 IF P2 = GOTO 2090 IF P2 = GOTO 2190 IF P2 = GOTO 2410 IF P2GOTO 2810 IF P2GOTO 870 IF P2GOTO 2990 PR INT ERROR EN TECLEADO OPCIÓN" GO TO 1 760 PR INT "PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VERTICES : "Al","A2","A3"(i, Y, Z) " LP RINT "PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VERTÍ CES : "Al","A2","A3"(i k,X » Y , Z ) 2030 LPRIN T 2040 FOR I -1 TO 91 2050 PRINT TAB(l) I TABC7) M(I,1) TAB(ll) M(I,2) TAB(15) M(I,3) TABÍ25) 1(1,1) T AB(4 0) 1(1 ,2) TABÍ55) 1(1,3) 2060 LPRIN T TAB(l) I TABC7Í M(I,1) TAB(ll) H(I,2) TAB(15) Mil,3) TAB(25) 1(1,1) TABÍ 40) Ií 1,2) TAB(55) 1(1,3) 2070 NEXT 2080 GOTO 1760 2090 LPRIN T 2100 LPRIN T 2110 PRINT "PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS "Al"," A2", "A3 " EN CARTESIANAS Y POLARES , (X,Y , Z , FI,TETA)" 2120 LPRIN T "PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS "Al", "A2" ,"A3 " EN CARTESIANAS Y POLARES , (X , Y,Z , Fí,TETA)" "SU 2130 LPRIN T 2140 FOR I -1 TO 91 2150 PRINT TAB(l) I TAB(6) 1(1,4) TAB(21) 1(1,5) TAB(36) 1(1,6) TAB(51) 1(1,7) T ABC6 6) ICI ,8) 2160 LPRIN T TAB(l) I TAB(6) 1(1,4) TAB(21) 1(1,5) TAB(36) 1(1,6) TAB(51) 1(1,7) TAB( 66) I( 1,8) 2170 NEXT 2180 GOTO 1760 2190 CLS 2200 PRINT TA8Í25) "TRIANGULO",A1;A 2;A 3 2210 LPRIN T 222Ü LPRIN T TABÍ25) "TRIANGULO",A1;A2;A3 2230 PRINT "LONGITUDES DE BARRAS, ÁNGULOS CENTRAL Y DE BARRA CON RADIO" 2240 LPRIN T "LONGITUDES DE BARRAS, ÁNGULOS CENTRAL Y DE BARRA CON RADIO" 2250 PRINT TA8Í5) "BARRA" TAB(20) "LONGITUD" TAB(40) "ALFAi" TAB(60) "DELTA" 2260 LPRIN T TAB(5) "BARRA" TA8C2Q) "LONGITUD" TAB(40) "ALFAI" TAB(60) "DELTA" 2270 1NFUT "PRIMER PUNTO DE BARRA;NUMERO 1 A 91";N1 2280 INPUT "SEGUNDO PUNTO DE BARRA;NUMERO 1 A 91";N2 2290 D12£ = S0R((I£(N1,4)-'I£(N2,4))A2 + (I£(N1,5)-I£(N2,5))"2+(I£(N1 I 6)-I£(N2,6))"2) 2300 2310 2320 2330 2340 2350 2360 2370 2380 2390 2400 2410 2420 2430 D£-D12£/2 S12£^SQR(R~2~D£~2) ALFAI05£=ATN(D£/S12£) ALFAI=ALFAI05£*360/PI£ DELTA=(180-ALFAI)/2 D12=D12£ PRINT TABÍ5) Nl"~"N2 TAB(20) D12 TAB(40) ALFAI TABÍ60) DELTA LPRINT TAB(5) Nl"-"N2 TAB(20) 012 TAB(40) ALFAI TAB(60) DELTA PRINT INPUT "¿OTRA BARRA2S/N e INTR0";P3$ IF P3$-"S" GOTO 2270 ELSE 1760 CLS PRINT TAB(25) "TRIÁNGULO",Al,A2,A3 I PPTNT 2440 2450 2460 2470 2480 2490 2500 2510 2520 2530 LPRINT TA8Í25) " TRI ÁNGULO",Al;A2;A3 PRINT "LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS" LPRINT "LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS" PRINT TAB(5) "BARRA" TABC25) "LONGITUD" TAB(45) "ÁNGULO OPUESTO" LPRINT TAS(5) "BARRA" TAB(25) "LONGITUD" TAB(45) "ÁNGULO OPUESTO" LPRINÍ INPUT "PRIMER PUNTO DEL TRIÁNGULO"; TI INPUT "SEGUNDO PUNTO DEL TRIÁNGULO"; T2 INPUT "TERCER PUNTO DEL TRIÁNGULO"; T3 L12£=SQR((If(Tl,4)-I£(T2,4))*2+(I£(Tl,5)-I£(T2,5)) A 2+(t£(Tl,6)-I£(T2,6)) 2540 L23£ = SQR((I£(T2,4)-I£(T3,4)) A 2+(I£(T2,5)-I£(T3,5))' S 2+(I£(T2,C)-I£(T3,6)) 2550 2560 2570 2580 2590 2600 2610 2620 2630 2640 2650 2660 2670 2680 2690 2700 2710 2720 2730 2740 2750 2760 2770 2780 2790 2800 2810 2820 2830 2840 2850 2860 2870 2880 2890 2900 2910 2920 2930 2940 2950 2960 2970 2980 2990 L13£-SQRCCI£CT1,4)-I£CT3,4))"2+(I£(T1 S 5)-I£CT3 ) 5)J A 2^ÍI£ÍT1 ) 6)~I£(T3,6)) P£=(L1 2S+L23 £+L13£)/2 Pl£-P£ -L23£ P2£=P£ -L13£ P3£-P£ -L12£ TGl£-5 QR(P2£ *P3£/P £/Pl£ TG2£=S QR(P1£ *P3£/P £/P2£ TG3£-S QR(P1£ *P2£/P £/P3£ A U - A T N(TG1£ ) A2£=AT N(TG2£ ) A3£=AT N(TG3£ ) AA1-A1 £*360/ PI£ AA2-A2 £*360/ Pl£ AA3^A3 £*360/ PI£ l. i. ¿ ™ L 12£ L13-L1 3£ L23-L2 3£ PRINT TABÍ5) TI"-" T2 TA B(25 ) L12 TAB (45) AA3 PRINT TAB(5) T 9fí - ,v T3 TA B(25 ) L23 TAB (45) AA1 PRINT TAB(5) T3"- n TI TA BC25 ) L13 TAB(45) AA2 LPRINT TAB(5 Tl"- "T2 T AB(2 5) L12 TAB(45) AA3 T2"-- ,TT3 T AB(2 5) L23 TAB (45) AA1 LPRINT TABC5 T3"~ "TI T AB(2 5) L13 TAB(45) AA2 LPRINT TAB(5 PRINT INPUT "¿OTRO TRIANGULO?S/N e INTRG";P4$ IF P4$ = "S" GOTO 2490 ELSE 1760 CLS PRINT TABC25) "TRIANGULO", Al,A2,A3 LPRINT LPRINT TABÍ25) "TRIANGULO", A1;A2;A3 PRINT "DISTANCIA EN FI Y TE TA ENTRE DOS PUNTOS" LPRINT "DISTANCIA EN FI Y T ETA ENTRE DOS PUNTOS" PRINT TABC5) "PUNTOS" TABC2 5) "FI" TABC45) "TETA" LPRINT TAB(5) "PUNTOS" TA5( 25) "FI" TAB(45) "TETA PRINT INPUT "PRIMER PUNT0";F1 INPUT "SEGUNDO PUNT0"jF2 FI=I£( F1,7)~I£(F2,7) TETA-I £(F1,8)-I(F2,8) PRINT TABC5) F1"-"F2 TAB(25 ) FI TAB(45) TETA LPRINT TAB(5) F1"-"F2 TAB(2 5) FI TAB(45) TETA PRINT INPUT "¿OTRA DISTANCIA?S/N e INTR0";P4$ IF P4$ ="S" GOTO 2890 ELSE 1 760 END ^J1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 "230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 -100 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 61Ü 620 EM " E S F U E R Z O S D E V I E N T O E N M E M B R A N A S E S F É R I C A S ( s e g ú n F l ü g e ) " RINT " F L U V I E N T . I C O " NPUT " C U P U L A " ; C $ RINT " C Ú P U L A : " , C $ PRIN T PRIN T PRIN T PRIN T " C Ú P U L A : " ; C $ NPUT " R A D I O D E LA E S F E R A (EN M E T R O S ) "; R INPU T " P R E S I Ó N D E V I E N T O ( E N K G . / M 2 ) "; Q PRÍN T " E S F U E R Z O S EN E S F E R A D E R A D I O ¡ " R " M E T R O S " LPRI NT " E S F U E R Z O S EN E S F E R A D E R A D 1 0 : " R " M E T R O S " PRIN T PRIN T " P R E S I Ó N D E V I E N T 0 " Q " K G / M 2 " LPRI NT " P R E S I Ó N DE VI E N T G " Q " K G / M 2 " LPRI NT LPRI NT LPRI NT PI-3 .141593 FI-3 O GOSü B 290 FI^6 O GÜSU B 290 FI*9 O GOSU B 290 FI-1 15 GOSU B 290 END RFI = F P P I / 1 8 0 PRÍN T "ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI = "FI',GRADOS" LPRI NT "ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI ^"FI"GRADOS" LPRI NT PRIN T "TETA'V'NFI'V'NFITETA'V'NTETA" LPRI NT "TETA","NFI","NFITETA","NTETA" LPRI NT / QR = Q *R Q R * - QR A ^ C O S(RFI)+2 8 = 1 - COS(RFI) C = l + COS(RFI) FOR TETADO TO 180 STEP 10 R T E T A^TETA*PI/180 NFI = QR*A*B*C0S(RFI)*C0S(RTETA)/3/C/SIN(RFI) N F I T ETA=QR*A*B*SIN(RTETA)/3/C/SIN(RFI) N T E T A-QR*SINCRFI)*COS(RTETA)~NFI P R I N T TETA , P R I N T USING "£££££.££";NFI , PRIN T , P R I N T USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I T E T A , PRIN T , P R I N T USING " £ £ £ £ £ . £ £ " : N T E T A L P R I NT TETA , L P R I NT USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I , L P R I NT , L P R I NT USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I T E T A , L P R I NT , L P R I NT USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N T E T A NEXT L P R I NT L P R I NT L P R I NT R E T U RN MI •su Mi o vo ui —i y» IJ> t» --J ¡^ Ln !'..' ^- •i_' 1-J í'3 r-j - r l so vj. '-O - 1 ^ r-i 1-- uc a» n» C 3 r* -.o i-i-i c¿> —3 ^ 8 LO ro ^3 kJ-l '-.' - - ^J -J "_fl -J c t . « O s j ^ <-n O Í * u y tí J 5 Í - J - J 1—> t-.' <0 ir* 1 — tn -*;• s» ^> n i o »• Ci3 T í 3 " St- C"? 1 r»i w • „ . C^3 ws m V 3 f t * C O 1—• 0 Fn ro :»• ¿ * t-? i~i 1^1 <J 9< 3 1 I—» « l~» r o ,-n <=> CJ% "EJ V-» T^ "O ZO e o :*2 cr> •—• T 3 •— o --3 o --3 T I <-> j i it> i ¡O ) N I - ' 0 ^ 1 ) s ] cr\ - d -3 o 5» O J o 1-3 o CD > b o •~3 O C5 o 0 ( . i ^í i_-i w w c i> -a c» W M w w d l~- C^ O- Oí M C3 1—• CO -J CO 03 o o vj t-J w O --J en ro ro >J C-J w Ln cr- >~* o LO ro t-* A i O = -3 ) es -x. SO =3 e•-3r co o N H en i-3 — Et» 3 » era s e Ln l_n n •*» h> S o H O I -• Cr. t <=> rae »—1 * a >-3 í"> Ti- 0 ^ r*i a t-3 w en > r i tr) <-> r*i 1 ot- en o ce *o CO cr» ro C^ *J '-a C " (*> c ? c o t O t ? * r o <=> r o o - o o s* II CP. CP> s* (^1 O cr> C7* CO -o cr. co co en 01 445 C O C " O ^ C O C " C n O O O so co - i B B O C o «•3 ro í—4 T í r*i C 1 »—< * s »—« *-^ 1—1 1 co *- =f" ISÍ 1 l-O en ^ Í"S •O er» «s •—• •4 -* |_. -a 11 (~i 3 5 0 0^ to 3 C en 0 W 3 1—H C ^ ro sts 1-1 en os » (O ro • >3 •i wi 3 3 *-* os 1 r»í 9 E se *> 1 TO 51 TO i ro ro i—» E2 Os ( O ro era w CT» e z c o co "O r o o OÍ ,tk o-> t-o [ > o p o t o t - * i — • c a c s ' - o « 3 w a ^ o o » CT«CnC3WiOLr'OUS^Otntoro-^iro^lPo--JOaK><» .b. OS o s trt •»] ss co er* t o <r> o o» en co o o 5 Q 9 ' - o - - J w i ~ * c r I—' I—• - s j >—» A O N ) » e n t*1 *-9 SE BE Csl i ro fO ->J 1 Os Os Os O" Os r o »-> >** \ o r-* •*•• o U3 o »*• l/i m ic » Cn * u ) >t> en tn * t/i CD t" í \ tri (B h' i r o - - J (_• t - > t s j O» lO o w- w * O * I—• o > o» « J o * »-* io »—• •—' •—• i—• t-- ro o» M lo y& Ni to *• m t o U 1 CO Os t*a to ro N O-* u u X! m ae X ae ae 15 3 E CNI TI Es» 445 M H I—•• O <=>«£> t© ro * J A u u r o i o n B S N i M M O o ' ^ (J c o r o r o r o r o r o i — i—••"•!-• W f O N l ^ W W M l O I B C O N l l O l O q S C D ^ N l H f N t N l i v M U N i M U i i b C f t N C n ^ M ONosososoNrocorffcOtno Nn s> »-* t o t o c - í t o r o r o r o r o t - ' i — ' » — »— i - ' i - ' i - ' i - ' K - » — ln bl h ' t £ > N j t n í o c > O O N l ^ J •o ro vo B a t o t < 3 C o c o e * > r o r o i o r o f O H - * k ~ ' í — » W M M ! - • C> M O rO- OO C o • - . t - . 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PERFORH ANALISYS " CHECKING LOAD DATA. ** PERFORMISG BANDHITH REDUCTION. ** BANDVIDTH STATISTICS ** ORIGINAL BAND8IDTH = 315 REDUCED BANDWIDTH = 48 ** PROCESSING HEHBER INFORMATION ** PROCESSING SUPPORT CONDITION. ** PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR. ** PROCESSING ELEHENT STIFFNESS MATRIX. ** PROCESSING GLOBAL STIFFNESS HATR1X, ** PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATION. «STAAD-III WARHING*** IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT 321 **STAAD-III VARHING*** IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT 321 "STAAD-III «ARNING*** IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT ** CALCULATING JOINT DISPLACEHENTS. ** CALCULATING ELEHENT FORCES. 321 130. PRINT REAC U> v» Ja 4» s ^ SÍ í-3 s¡ HI a •!•:• m '•í CO r o J=- t o O- Ni JJ ro ro ro 4=. 4> (j co •-•i X I •— rr-, --o m ••tí. r n -n ~u —' m >—. m -—• x» O X» -H Oí en r o •••o r o rn rri ~o TJ << m XJ ro rO r* x ci- 3? m m •£> " o * o ~o IT¡ m 'Ul o- i-.i en ro ¡o ro t o •*»• O Í ro —* r o i-* — •— o ••JÍ OÍ —J ~n en -t^ J=- —• — —• co r o - - i o - en .+=• "io •* •eo i 4a co o - ev- O í o - • í - co Ni 4a • Oí Oí ~ * •'C' ,->•, • Oí lí- o- * • * Oí Q- o - ._n 4» t, - co .-$". O'-. o o - a - o1 * * " - "en e- n o Oí ro to 4 a » * en .en * OOí en en en en eo C O o O 1 •z> Ja Ji. o- *» en en to en co ^ i i Oí k > * • o- •-J y£i • OÍ co r o O' » O- " OÍ --¿ '5- e i -4 o- en j> 'io r-> i—• •• •ZZ' * •""" * - •o •T7?. • • • o . 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SO. 81. 32. 83. 84. 35. 36. 87. 88. 39. 90. 91. 92. 93. 94. 95, 96. 97. 93. 99. 100. 101. 102, 103. 104. 105. 57 3 4 58 1 3 REPEAT 2 16 15 59 9 10 60 1 3 RFPEAT 2 16 15 63 9 11 64 í 3 RFPEAT 2 16 15 61 U 12 62 í 3 REPEAT 2 16 15 65 10 12 66 1 3 RFPEAT 2 16 15 99 I 16 100 í 15 REPEAT 2 5 3 124 2 17 125 i 15 RFPEAT 2 5 3 102 10 25 103 1 15 RFPEAT 1 5 3 127 II 26 12S i 15 REPEAT 1 5 3 112 1 4 113 1 3 REPEAT 2 4 15 137 2 5 133 1 3 REPEAT 2 4 15 i 14 10 13 REPEAT 2 4.15 139 11 14 REPEAT 2 4 15 101 31 46 126 32 47 ' 106 34 48 131 35 49 111 37 50 136 38 51 125 13 52 140 14 53 119 28 144 29 123 43 148 44 SUPP 2 54 55 50 51 5 17 32 8 39 7 15 22 23 30 37 40 TO 44 46 TO 49 45 50 51 PÍEMB PRÜP 1 TO 40 51 TO 41 TO 50 91 TO 137 TO 146 147 148 CONS E 7.E6 ALL LOAD 1 JO1N LOAD 10 13 19 25 23 34 4 16 22 31 37 40 i 7 PERFORH ANALYSIS 106. PRINT REAC 38 52 53 54 55 FIXED FIXED FIXED FIXED FIXED FIXED BÜT FX FZ BÜT FX BUT FY FZ BUT FX FY BUT FY FZ BÜT FY 90 99 TO 108 112 TO 121 124 TO 133 PRIS 98 109 TO 111 122 123 134 TO 136 PRIS PRIS PRIS FY -1.5 43 FY -0.75 FY -0.375 -- AX AX AX AX .000537 . 001)268 .000537 .000268 i****************!**!*******»******************** S T A A D - III REVISIÓN 7.06ÍVERSI0N 7,LEV£L 8) PROPR1ETA8Y PROGRAH OF RESEARCH ENGINEERS,INC. DATE-11-11-88 TIKE= 16:50:47 t4»****tt**«*****>*A*********t*t***>l!k***A***Ait*it 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 4;-. 4.\ •V , 4-.. 4t, 47. 46. 49. 50. STAAD TRUSS CELOSÍA 3 (JNIT HE «T OUTPUT ÜIDTH 80 INPUT KODESIGH JOIK COÜR 1 ,0 .5 0. 31 3.464 2 .0 - . 5 0. 32 3.464 3 .0 .0 .866 33 3.464 4 .0 .5 1.732 34 3.464 5 .0 - . 5 1.732 35 3.464 6 .0 .0 2.598 36 3.464 7 .0 .5 3.464 37 3.464 8 .0 - . 5 3.464 38 3.464 9 .866 ,0 0. 39 4.330 10 .866 -5 .866 40 4.330 11 .866 - . 5 .866 41 4.330 12 .866 .0 1.732 42 4.330 13 .866 .5 2.598 43 4.330 14 .866 - . 5 ; \ 5 9 8 44 4.330 15 .866 .0 3.464 45 4.330 KEMB IBCI 1 1 9 3 1 15 REPEAT 2 20 3 6 2 9 8 1 15 REPEAT 2 20 3 4 9 17 S 1 15 REPEAT 2 20 3 9 9 16 10 1 15 REPEAT 2 20 3 11 3 10 13 1 15 REPEAT 1 20 3 16 3 I I 18 1 15 REPEAT 1 20 3 14 11 18 15 1 15 REPEAT 1 20 3 19 10 18 20 1 15 REPEAT 1 20 3 51 1 3 52 1 3 REPEAT 2 16 15 55 2 3 56 1 3 REPEAT 2 16 15 53 3 5 54 1 3 REPEAT 2 16 15 57 3 4 58 1 3 REPEAT 2 16 15 59 9 10 60 1 3 REPEAT 2 16 15 63 9 11 64 1 3 REPEAT 2 16 15 61 11 12 62 1 3 .5 -.5 .0 .5 -.5 .0 .5 -.5 .0 .5 -.5 .0 .5 -.5 .0 0. 15 0. 15 .866 15 1.732 15 1.732 15 2.598 15 3,464 15 3.464 15 0. 15 .866 15 .866 15 1.732 15 2.598 15 2.598 15 3.464 15 C J t~- j ^ -o ro ro r.i »~* t o -o t£> O O O LO >—• Wí r-1 «¿> f-O Un O - j c? t—• CT- • S f— ,** OJ *o» Í3C »r« J k OJ fj"> • - - f— (-> i—' P 1 U ' O - > 0 U Í C O M e * J >: * * 3£ • Ü W W l - ' 0 CW t-6 • - * "O •~a*-9>-3 o u-1 coi—• PO rffc ro (—• o * K) tn to •-* >C> C >C> " O CO W W > J ro o o ro tO v£> - t » l£i H* W ro co to rf* «5 1— (_n t-* to o *< •-n •~c • - C O o <o - j 1^1 - j tr> »—» t n DI D5 W 3» X S» »•• x W V» . .O .O .0O O O O <~> <7> *T> O ro CT"> IJI CO r o U"i cr» t o t» m T I k-4 X TJ e= •-3 c= t-d X T I x TI x m x rn ü t*i 0 X tn X »—< ro a •-a t - 3 TI •-5 TJ es »-j X TJ T I K m ^1^ W n N LO ro ro >—• to »—* ro >-•* co to .*» to >—* to t—• >e* r«j 1—• — : M s J C O U i b l O i l > V i O N ! 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I3ATE= 12-19-88 ÍJHF= ]J:23¡55 * * * * # •* t. 2. 3. 4. 5. * * »P ?TAAÜ TRUSS CELOSÍA HNIT ME M T OUTPUT WIDTH SO INPUT NÜDESI6N JOIW COOR t. 31 3.464 .5 0. 15 t .0 .5 0. 7, 2 .0 -.5 0. 32 3.464 -.5 • 0. 15 .0 .866 33 3.464 .0 .866 15 8. 3 .0 y. 4 .0 .5 1.732 34 3.464 .5 1.732 15 10. 5 .0 -.5 1.732 35 3.464 -.5 • 1.732 15 .0 2.593 6 .0 36 3.464 .0 2.598 15 11. .5 3.464 37 3.464 .5 3.464 15 12. 7 .0 - 3.464 15 13. 8 .0 -.5 3.464 38 3.464 -.5 14. 9 .866 .0 0. 39 4.330 .0 0. 15 15. 30 .866 .5 .866 40 4.330 .5 .866 15 16. 11 .866 -.5 .866 41 4.330 -.5 • .866 15 17. 12 .366 .0 1.732 42 4.330 .0 1.732 15 18. 13 .866 .5 2.598 43 4.330 .5 2.598 15 19, 14 .866-.5 2.598 44 4.330 -.5 2.593 15 20. 15 .866 .0 3.464 45 4.330 .0 3.464 15 21. 46 4.33 -.5 0.00 48 4.33 -.50 3.464 22. KEMB INCI 23. 1 1 9 3 í 35 24. REPEAT 2 20 3 25. 6 2 9 8 1 15 26. REPEAT 2 20 3 27. 4 9 17 5!. 1 15 28. REPEAT 2 20 3 29. 9 9 16 10 1 15 30. REPEAT 2 20 3 51. 11 3 30 13 1 35 ~*o REPEAT 1 20 3 ,$$, 36 3 11 18 1 15 34. REPEAT 1 20 3 35. 14 11 18 35 í 35 36. REPEAT 1 20 ' 3 37. 19 30 38 20 3 15 38. REPEAT 1 20 3 39. 53 1 3 52 ' 1 3 40. REPEAT 2 16 15 41. 55 2 3 56 : 1 3 42. REPEAT 2 16 15 43. 53 3 5 54 1 3 44, REPEAT 2 16 15 ' i 3 45. 57 3 4 53 4fc. REPEAT 2 16 15 47. 59 9 10 60 3 3 ¿8, SFPEAT 2 16 15 LQ ^1 4?. 63 ^ 11 6* 1 3 •so. REPEAT 2 16 15 53. 63 11 12 62 1 3 52. REPEAT 2 16 15 53, 65 10 12 66 1 3 5*. REPEAT 2 16 15 55. 99 I JO 56. 100 16 25 57. 101 31 40 58. 102 10 16 59, 103 25 33 60. 104 4 10 63. 305 19 25 62. 106 34 40 63. 107 30 19 64. 108 25 34 65. 109 4 33 66. 110 19 28 67. 111 34 43 63. 1Í2 13 19 69. 3 33 28 34 70. 114 7 13 75. 3 35 22 28 72. 116 37 43 73. 317 13 22 74. U S 28 37 75, 119 2 17 76. 120 17 32 77. 321 32 46 78. 122 2 5 79. 123 37 20 80, 124 32 35 85. 325 5 20 82. 126 20 35 83. 127 35 47 84. 128 5 8 85. 129 20 23 86. 130 35 38 97, 133 8 23 38. 132 23 38 89, 133 38 48 90. 134 1 2 91. 135 36 37 92. 136 31 32 93, 137 4 5 94. 138 7 8 95. SUPP 96. 2 17 5 32 97. 8 98. 39 99. 7 35 22 23 30 37 38 100. 40 T0 44 46 47 101. 102. 103. 104. 105, 106. 107. 108. 109. 110, 111. 112. 113. 11*. • " • - - FIXETJ BUT FX FZ FIXEB BUT FX FIXEB BUT FY FZ FIXEB BUT FX FY FIXEB BUT FY FZ FIXEB BUT FY 45 48 MEMB PROP 1 TQ 40 51 TO 90 99 TO 130 43 T0 50 91 TO 98 131 TO 133 134 TO 137 138 CONS E 7.E6 ALL LOAD 1 JOIN LOAD 10 13 19 25 28 34 FY -1.5 4 16 22 31 37 40 43 FY -0,75 í 7 FY -O.375 PPRFQRH ANALYSIS PRIS AX PRIS AX PRIS AX PRIS AX .000537 .000268 .000537 .000268 4444444444444*#44444444t4fttt#4*4*444444444444444444 4 4 4 S T A A D - III REVISIÓN 7.03ÍVERSI0N 7,LEVEL 8) PROPRIETARY PROGRAM OF RESEARCH ENGINEERS,INC. 4 4 DATE= TIME= 4 4 11-16-87 19:01:07 4 4 4 4 4 4 4 4 444444444Íh444***44444**í444»44*4#44444444****444*» 1. 2. 3. 4. 5. 6. STAAD SPACE CELOSÍA 1 UNIT ME MT OUTPUT WIDTH 80 INPUT NODESIGN JOIN COOR 1 0.000 0.5 0.000 7. 8. 9. 10. 11. REPEAT 4 0.0. 1.732 31 0.000 -0.5 0.000 REPEAT 4 0.0. 1.732 610.866 0.0 0.000 REPEAT 4 0.0. 1.732 12. 13. 14. 15. 16. 86 0.866 0.0 tíTPEAT 4 0. 0. ; ; : 0.000 0.0 K-'-iAT 3 0. 0. i;'; 0,010 0.0 0.010 11 13 71 16 19 76 27. 28, 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 36 71 44 0.866 0.866 15 20 40 41 76 50 45 46 81 56 50 51 31 86 55 1 56 37 91 60 61 43 96 65 66 49 101 70 71 55 106 75 76 86 2 80 1 81 91 8 85 86 96 14 90 91 101 20 95 96 106 26 100 101 1 111106 1 REPEAT 3 6 i i 125 111 37 130 1 1 1 1 1 42. REPEAT 3 6 ír 43. 44. 45. 46. 47. 36 8.660 -0.5 0.000 65 7.794 0.0 0.000 90 7.794 0.0 0.010 116 8.660 0.0 0.866 140 8.670 0.0 0.866 1.732 23. 21 ^25 81 25 24. 26 61 32 30 I 1 25. 31 66 38 35 26. 0.5 0.000 1.732 17. F£P£AT 3 0.0. 1.732 18. MEMB INCI 19. 1 í 61 5 1 1 20. 6 7 66 10 21. 22. 6 8.660 149 31 135 154 í 1 REPEAT 3 6 ¿i 173 135 7 178 1 1 REPEAT 3 6 é 197 1 2 201 1 1 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. "" • " " " " ' " • — — REPEAT 4 5 6 222 31 32 226 i i REPEAT 4 5 6 247 1 7 252 1 1 REPEAT 3 6 6 271 31 37 276 í 1 REPEAT 3 6 6 295 61 86 299 1 1 REPEAT 4 5 5 320 111 135 325 1 1 REPEAT 3 6 6 SUPP 31 FIXED BUT MX MZ 32 TO 37 42 43 48 49 54 TO 60 FIXED BUT MX MY MZ FX FZ MEHB RELÉ 1 TO 25 ST MZ 26 TO 50 EN MZ 51 TO 75 ST HZ 76 TO 100 EN MZ 101 TO 124 ST MZ 125 TO 148 EN HZ 149 TO 172 ST MZ 173 TO 196 EN HZ 197 TO 294 ST MZ 197 TO 294 EN MZ 295 TO 343 EN MX HEMB OFFS 51 TO 75 ST . 0 0 . .01 76 TO 100 EN . 0 0 . .01 149 TO 172 ST .01 0 . .0 173 TO 196 EN . 0 1 0 . .0 HEMB PROP í TO 343 PRIS AX .000537 IX .000000438 IY .000000219 IZ .000000219 CONS E 7.E6 ALL LOAD 1 J01N LOAD 1 6 25 30 FY-1. 2 TO 5 7 12 13 18 19 24 26 TO 29 FY - 2 . 8 TO 11 14 TO 17 20 TO 23 FY - 4 . PERFORM ANALYSIS #* CHECKING LOAD DATA. ** PERFORMING BANDWITH REDUCTION. ** BANDWIDTH STATISTICS ** ORIGINAL BflNBWIDTH = 128 REDUCED BANDOTH = 30 ** PROCESSING MEMBER INFORMATION ** PROCESSING SUPPORT CONDITION. s* PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR. •>Í m «* ** ** PROCESSING ELEMENT STIFFNESS MATRIX. PROCESSING GLOBAL STIFFNESS MATRIX. PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATION. CALCULATING JOINT DISPLÁCEMEOS. CALCULATING ELEMENT FORCES. •MI nntktT rVAr' te -te -te -O o en -í* -te <o •-j .te 03 rO •—• •—• -O 00 >» —1 te oi_n to o-en —-• te CÚO- eo en te 43. en « CO CO -te co -te te \ o —* -te te * ra ro r o t-o r o ' o >» —J o- en -^ (O •& u rn x -J O- -Jl te OJ NJi xt XI en rn ro m — -o •> -D m m * * * * * w en o—1 O X" Tt XI w i-O x> m "XI m - 1 07 • c —1 rn m m .33 *c CO 11 11 x> 3? rn 0 3 > 'ir —i 2 : O t—•• X " _-J »«*. m 1 > r o1 C7> •z -< • 3 l 1 T» en .—* X ! co r~~a .--• • » Si 2E 1 rn e_" r—* <S *—* CO m O m N.J CO X I ^ 3 X I co zx. *; *« * -3: >*t #* * **: *# 0 X X X X T3 0 0 0 0 0 T| z ** ** * 2 o o o r p TO TO X z O en -n -n -n -n X TI m « 455 t i * * * * * * * * 5tfKÉHB" W G P 52. 1 TO 185 PRIS AX .000537 IX .000000438 IY .000000219 17 .000000219 53. COKS 54. E 7.E6 fll.L 55. LOAD 1 56. J01N LOAD 57. 34 60 FY 1.5 53. 32 34 37 48 49 56 53 FY 3.0 59, 39 41 44 46 5Í 53 FY 6.0 60. PERFORM ANALYSIS LO * * * » * * * í S T A A D - III REVISIÓN 7.08ÍVERSI0N 7TLEVEL 8) PROPRIETARY PROGRAM OF RESEARCH ENGINEERS,INC. DATE= 11-17-87 TIME= 13¡10:44 * * * * * * « 4 i************************************************* 1. STAAD SPACE CELOSÍA 2 / 2. UNIT ME-MT 3. OUTPUT WIDTH 80 4. INPUT NODESIGN 5. JÜIN COOR 6. 1 0.000 0.5 0.000 6 8.660 0.5 7. REPEAT 4 0. 0. 1.732 8. 31 0.000 -0.5 0.000 36 8.660 -0.5 9. REPEñT 4 0. 0. 1.732 10. 61 0.866 0.0 0.000 65 7.794 0.0 11. REPEAT 4 0. 0. 1.732 12. 86 0.866 0.0 [0,010.. 90 7.794 0.0 13. REPEAT 4 0. 0. 1.732 14. 111 0.000 0.0 0.866 116 8.660 0.0 15. REPEAT 3 0. 0. 1.732 __,16. 135 O.^ÍO) 0.0 0.866 140 8.670^)0.0 17. REPEATTO. 0. 1.732 18. MEÍ1B INC I 19. 1 1 61 5 1 1 20. 6 7 66 10 21. 11 13 71 15 22. 16 19 76 20 23. 21 25 81 25 24. 26 61 32 30 1 1 25. 31 66 38 35 26. 36 71 44 40 27. 41 76 50 45 28. 46 81 56 50 29. 51 31 86. 55 1 i 30. 56 37 91 60 31. 61 43 96 65 32. 66 49 101 70 33. 71 55 106 75 34. 76 86 2 80 1 i 35. 81 91 8 85 36. 86 96 14 90 37. 91 101 20 95 38. 96 106 26 100 39. 101 1 111 106 1 1 40. REPEAT 3 6 6 41. 125 111 37 130 1 1 42. REPEAT 3 6 6 43. 149 31 135 154 1 1 44. REPEAT 3 6 6 45. 173 135 7 178 1 1 46. REPEAT 3 6 6 47. 197 1 31 202 1 1 4fi W l ?5 SS 70P, 1 1 0.000 0.000 0.000 0.010 0.866 0.866 Jr^. \ ' " t 49. 209 7 37 211 1 6 50. 212 12 42 214 1 6 51. 215 61 86 2Í9 1 1 52. REPEAT 4 5 5 53. 240 111 135 245 1 1 54. REPEAT 3 6 6 55. SUPP 1[ 56. 31 FIXED BUT MX MZ 57. 32 T0 37 42 43 48 49 54 TO 60 FIXED BUT HX MY MZ FX FZ 58. MEMB RELÉ 59. 1 TO 25 ST MZ 60. 26 TO 50 EN MZ 61. 51 TO 75 ST MZ 62. 76 TO 100 EN MZ 63. 10Í TO 124 ST MZ 64. 125 TO 148 EN MZ 65. 149 TO 172 ST MZ 66. 173 TO 196 EN MZ 67. 215 TO 263 EN MX 68. MEMB OFFS >C X -t 69. 51 TO 75 ST .0 0. .01 70. 76 TO 100 EN .0 0. .01 71. 149 TO 172 ST .01 0. .0 72. 173 TO 196 EN .01 0. .0 73. MEMB PROP 74. 1 TO 263 PRIS AX .000537 IX .000000438 IV .000000219 IZ .000000219 75. CONS 76. E 7.E6 ALL 77. LOAD 1,1... ¡ i ','• 78. JOIN LOAD 79. 1 6 25 30 FY -1. 80. 2 TO 5 7 12 13 18 19 24 26 TO 29 FY -2. 81. 8 TO 11 14 TQ 17 20 TO 23 FY -4. 82. PERFORM ANALYSIS h » CHECIÜNG LOAD DATA. « PERFORMING BANDWITH REDUCTION. « BANDUIDTH STATI8TICS ** ORIGINAL BANDWIDTH = 128 REDUCEB BANDUIDTH = 16 *» PROCESSING MEMBER INFORMATION #* PROCESSING SUPPORT CONDITION. ** PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR. ## PROCESSING ELEMENT STIFFNESS MATRIX. ** PROCESSING GLOBAL STIFFNESS MATRIX. #* PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATIQN. ** CALCULATING JOINT DISPLACEMENTS. ** CALCULATING ELEMENT FORCES. 83. PRINT REAC ************************************************* * * * * * S T A A D - III REVISIÓN 7.08ÍVERSI0H 7.LEVEL 8) PROPRIETARY PROGRAH OF RESEARCH ENGINEERS,INC. DATE= 01-09-89 TIME= 11:28:26 ********* ******** ************1******************* 1. STAAD SPACE CELOSÍA 2 2. UNIT ME HT 3. OUTPUT HIDTH 80 4. INPUT NODESIGN 5. JOIH CQOR 6, 1 0.000 0.5 0.000 6 7. REPEAT 4 0.0. 1.732 8. 31 0.000 -0.5 0.000 36 9. REPEAT 4 0.0. 1.732 10. 61 0.866 0.0 0.000 65 11. REPEAT 4 0.0. 1.732 12. 86 0.866 0.0 0.010 90 13. REPEAT 4 0.0. 1.732 14. 111 0.000 0.0 0.866 116 15. REPEAT 3 0.0. 1.732 16. 135 0.010 0.0 0.866 140 17. REPEAT 3 0.0. 1.732 18. HEHB I8CI 19. 1 1 61 5 1 1 20. 6 7 66 10 21. 11 13 71 15 22. 16 19 76 20 23. 21 25 81 25 24. 26 61 32 30 1 1 25. 31 66 38 35 26. 36 71 44 40 27. 41 76 50 45 28. 46 81 56 50 29. 51 31 86 55 1 1 30. 56 37 91 60 31. 61 43 96 65 32. 66 49 101 70 33. 71 55 106 75 34. 76 86 2 80 1 1 35. 81 91 8 85 36. 86 96 14 90 37. 91 101 20 95 38. 96 106 26 100 39. 101 1 111 106 1 1 40. REPEAT 3 6 É 41. 125 111 37 130 1 1 42. REPEAT 3 6 É 43. 149 31 135 154 1 1 44. REPEAT 3 6 í 45. 173 135 7 178 1 1 46. REPEAT 3 6 6 47. 197 • 1 31 202 1 1 48. 203 25 55 208 1 1 49. 209 7 37 211 1 6 50. 212 12 42 214 1 6 8.660 0.5 0.000 8.660 -0.5 0.000 7.794 0.0 0.000 7.794 0.0 0.010 8.660 0.0 0.866 8.670 0.0 0.866 ^ -""-.—. •-•> f •-* Jj Li-J i * > £ j v r > j c e , í j * e 3 t _ n a L n (^ u U (O •J5 l_n 0, • .o .^ '.O n i - j U l •-ÍJ ."-':j'. 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FY - 6 . / 3 lO O) >J ^ U1 A w O w PO C* I-* C^ Co >—* C7* n w o ft" f o s a "O W QO "O m -o iM« rn 3» 1-3 W to W rn a» O t-3 co M i O O m a- 1-3 e s rn Sí.-3 N J PO Pl >í* • o rn s» o i~3 í— >o ic •=• »Eh c o A Oí PO w P 1 -O *o tn o* *-a PÜ H M W O a» O «5 M "O tn »» 1-3 H> W M « es CT^ 1 3 • tn aO 1-3 co co Os CTv >C 3 3 —1 0 > pc¡ PO M cr. t n t n CO na en O ío »-« na co t u rn m tn i-3 o t-a O c o CO CO c o O en Oo o cr- >-3 O >*» CD U 1 i|l> U M H» •—i o Se es •o H T) CS. £-1 i~a O =B O O « PO O »—• _ . o c o i-3 —•* s a es se tn »~a » S» o ca O Í — ' -•O CO C 5 t—' O >—* O I—' O •>J o «q W CT- W f O CF" t*0 -O H o Co isa O »-* Co en -J co OT 1—* O t—* C 3 ^o co N) -^ co N) » c0< t-* C3 »-•* O l—' Cf- c o cr- co M «-3 tac tn a: t-a en na a* n rn cx> pn tn II o •I »• ro cr> o i . * ífí •<-> • c» (n U3 o* exo 4^ cr» O* en CT. OS. 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M E U R I C E k¿> Eaa. RUÉ DE BIVOU H O T E L M EURI CE 2 2 S . R U E EJE FUVOU 75-PARIS-1"-"' 75-PARIS-1"-" IELEPMONE • 0 J 3 . 3 3 . - 0 TCLESB.: MEUOISOftl. TCLEX S 3 6 7 3 _A- +UA;1 UT¿ Wyl*^* ^ M ü^-wC^c^ O 1 -^~t-EAVXM/•Cío'íY 469 ^tí 4 ^ Q HOTEL MEURICE E a a . R U E D I RIVOLI 4W$° i ^ 5 ^ / HOTEL MEURICE 2 2 B . R U E OE HIVOLI 75-PARIS-1"-" 7S-PARIS-1*-" ,4-.:.tt-/*^ \\onj>&//. 470 f m • • ', *3 ~r..i'..:. :;_r W '^3 a HOTEL MEURICE SZB. RUÉ OE BIVOLt 7S-PAR1S-1"-" /- V 471 f/v/ HOTEL M EUR1CE 2 E S . R U É DE mv«u 75-FAR1S-1V jíV^TrRROPTOTe./ 72 *a- 5 HOTEL MEURICE 2 3 B . R U E DE R I V O U 75-PARIS-1"-" TELEPHOME D73.3H - O ' C L C O R . : HCUBISOTEL TELE* 33 6 7 3 1Vo , ^$v&~*- ¿>JÍI.^\V^V/ * Lr~ 4 73 rT;vr : ;tn¡ K AIÍMT.- 26t ' •:;.]/ U. \ * :¿ \J \> y PArEKíflíl D;ü Iíí\'T£i:oibÍf" ' '% * H \ *¿bbh u Í U I O H I A o 4*6/ D E S C R I P T I V A S o "b r e : . '"' " ESSKOCJTJIÍA RETICULAR ES2EKE* PLKUABL^. » S o l i c i t a n t e : Don E m i l i o PEREÜ PIÍÍISRO, de n a c i o n a l i d a d españ o l a , d o m i c i l i a d o en Madrid, c a l l e P é r e z C a l dos n2 4 . Inventor: El solicitante• Corresponde l a presente descripción, ce aouriae con su enunciado, a una estructura reticular eñtárea <iuc prv-.:í:ta la ij.::ooi':óir.v.= v.-r.iC-;-?.r.ío'tict. '~Ü ••::•.." ].I-- ..-•;,? ••. Cualquiera de X~s estructuras -asTírciíS COJV-"V~"! das o sinplenente proyect&day hasta el ruci/iento actual ÍOÍ; 475 n-uuo FZíiEZ 2¡fOJA$- Hoja 2 PHiena ." fsf Ffg.S 26'6 80 í Fig. W U jí.'-ri -E&CM& YMUABLE Fig. 8 Madrid, £M¡U0 PFRH PtÑW fifi. <-.*:*..,:,-- ¿-U-.J.,*-. ' JJ. . •. * ' r- ¡r.> / r o. r/C . "^ _y' , .~~2 ^—y-'i _ , ^ - - . - . - • » •• • t MEMORIA í) E a C R I ? !? I Y A Ü o b r e .2 "SIi OBJETO DB T,Á I>Áf,:El^ PHiKOlrAl. " ^íEJOIÍAÜ^ Iii"ÍCK01)ÜOIj)Áá m N^ 2 6 6 , 8 0 1 , POR: "BoSñUC'JítlRA l£T10l)Í>AR B32SKEA PLBGABI^ .... „ ,: . / S o l i c i t a n t e : Don E m i l i o PiiBHZ PIZAÍKO, de n a c i o n a l i d a d espa- ñ o l a , d o m i c i l i a d o en C.vLASPAKlU ( ¿ u r c i é . ) . Inventor: El .* *• solicitante. _ . . - . . • . . * . • . ._ ¡* ** • .",•"•." » • " , . * • . » . , . _ . . . . . t . „• . EL s o l i c i t a n t e es t i ' c u l a r de l a i - a t a n t e de Invon-c i ó n n s 2 6 6 . 8 0 1 , q.ue r e c a y ó s o b r o : "ESíKuCTU.^- rüiXIOoL^; ..: A . AAAA-A:1A% y i a prsssr.Vi ^...o.;A,:. : ^ : v A : . ^ • J . : . - . - iv:^!0i'í.ii:: ~ue c o m p l e t a n satiSj'&ctoria/úJDii'ce cioucxla invoxo.ienj cuyas mejoras h a b r á n do c o n s t i t u i r un -'AI; AA CA:;AAU:J.C„A- ,'.> i. .;-->! U;V.J ; • { , . - , : ; .-:, ¡'i ¡N'LIK'J • ' 2Hojas- Hoia 1 ^ ¿ g M M » , fcfUttiLJ*-T^,P^„ snUMH'W-«fcíwütfj ' • ' ^«Tfl'íl.PT-JpIV.* I;**CS*K«^M*S< ..'-" í ^TTlrí) >V :-:";. I ^ . £ -'•--• ÍÜÍSvV:: v-í ó {. <**- 4f * Í / j K S ' i i w y*,-* Madrid, EMILIO B Rq. 1 Escala variable P. P. / ?ER.E2 PlÜttto T "0 EN! i LÍO PÉREZ 2 Hoif^^HoJT^ PINERO 9.Í3-2 ^•:'/ Macünd, EMILIO ?. P. Escala variable 4 7P PERE2 PINERA y•"-:;•-.--y • »» \ **• t-r o W> :-í ce O ¡i- t-í K3 :.D l_J ©.' h >;:o a iL J t--i J 10 O »*; tr r-* ^n \J1 Ir! <. r.i" f- t~d r—s. ' - , ¡s o» h-i i--! - • ' 3O H- \-'* O 1-; I-' — » • V C1 fci [V ^h • f.'.i o ;> c-3l -- V g > i-,.t L--* •;n • hB b el o -.* M ¡> H te •* S3 Sr-.««.•.¿a t' K co K3 te ^~ + O O M f..3 o l 4-3 >Í (0 t-„ ¡! y !í | j! oí~i Lv d H ¡r- h:' .•:•;' t-; 'f nv-' P^ <b i! O O !-, * ' • <z:~.J: K i-' Í.A • w u¡ i. •• tf> !3 " V:! W P<• O HO" fc^ J r * í ' Í.' !... f¿ • ' > CH f~; • • r » * i . • > i-y' [••:• • b' • ¡-J C^ !"• I. f ^ p ír-í - i !. -¡jr:^ »' Ti ; O l-J. o » 1 —b cí i"' '*-; .\ t '-"•i ) í. J . <3^ Ü7 4fi£7 rjy-Tpg-rawaaa^aaíTa^ar p^/grppgT"» a "ÍÍ-.^CÍI» •^^r*jv?^vr*.ai>tfJ*«*J> tg^^aejfTarrt i ,T.-rt*t^*sí ^ I S ^ T P * _r.-^ 3 - * ^ i t f f qríMjbs • • ir» •>•. *\ 1- C-1 T*3 rr O ! -, tr\ '- ' „ n •! I. I f-4 • • , r T > J i f.-í '."' V > fe ü •.jíwr-snf-*» *• * •'- •? . .-»"> 'Ti •^^i4>»*-V7* w r u i n -TifT ?*jjB*r%^i>.jp*Jw—^jMWBj | i«j.H'fi^-r * i g * ^ ^ ^ T P I T J I • J J W H * I I * ' . I / J ' , J 4SJ i*jnr^-j^^ - wm.'tH.imLMai.m M'iK J n.¿^Hwcaui!T.a.mjiaaa'-«j^ w w K i m CTOi^*ja^ry-_-».'w-.igiB.J^tw. .*-sa*>.T-.=«í-j4. -V W au tí W \ S \ i V\^ —-í! í¡ •4 rs> \\ /.MI N3 elL ^A\W V •S-V>?' ~~^. / / ¡?'\ ¡i •-ay é\vú '* A. K I. ^ IN3 í f r-3 <3 *¿/j << - • • • • - . / ¿/ « a ^ r - a r r e * ^ . : •au« , ™ . - „ x i r » wc ^ W ' i ' j W V » - - ; : .'íT~t!.-„~¿ 452 f í T * ! «r»r^=-Ht- ~ 4 J-üW-StíT^^'t^C-iK g,^rjc,"^l^gr*jtJ***rnrrni^^*Ti *>WT3m>&>h^i> * » * *• «iM»m.TW» na- m« T U » II t i f » v^ \ . # os ^ LO f.,_ - l7í Cv: r . (-«'.'JJ&.íiu 1 7\\0.t;:ror Íí<v¿< Ó ü ^.•--••-."A\\\ ,m/ "^0- „ I ) \ / , v VíV>- A i5 *>3St ^¿h \ANA\ Fifl.1 f , ' "i ÍMIIJO PÍ5&EZ p j f t r t o p.p. fí!ANCÍ.SCO "GARCÍA C A F N I •sr/O" Fig.lZ | ESCALA V ^ Í A ^ L E «JUí^J'-fflj-.v.' -.- : ggji-jujtm V! urs .•o O*1 K'i C3 "TI -r.t 5l ts e> £- Ü •"•\ c v _. t%j ! ? T» >T V CI Ci o • - ' • ;' "Zt in 1 -ra -4 ' . ti • •' Y) V.' W t" O ^: . c=> -- -V 'J-l) to o * ^TJ-TH> W ^ m j , ! , 1 * «TSH r ^ i ü & i S f f V i c v IU !t Ji¿fjít^, 'jn 4S£ ffsywrgys* fi.mj.ijn<g". -.-te^rj?iF-" . : t- : • : * - • - • • • * • • • • • • • • • • • B I • 0 . u . n 2 2 2 . 4 8 5 . - KCÜT*- lí/Keí: » * •• *• v^:- , '•-?"•• •: > M • i PATENAS 3)3 11-ÍVEITCiIOK 707Vi'Al **¿ / L: ¿' %J J U1-MADRID-16 Tel- (91) 4582200 S E C C I Ó N TECCNMCü, CLASiFCAClON L f\ C •CLASE V— -J>U i «a s;-.,~ UECL/S* H- ¡r±i IX. MEMORIA D E S C R I P T I V A S o b r e: "SISSETÍA SE PIANOS ARTICULADOS CUBRIENDO UíIA ESTRO TURA RETICULAR E3TEREA DESPLEGAELE'1* Solicitante: D. Enilio Peres Pinero, domiciliado en callo Constitución nS 16,- CALASPARRA • (Tercia) • Inventor: 21 Solicitante, Arquitecto do nacionalidad española. EMILIO PERE2 Hoja PIN T£RO • * L - . / ' > ^ > * A W I .fcp**. •» única a V - J H M 4 MBHEiDPAJfiHIa^ 7 f í . =•? .^. P}; ; V' í «? J ij! ;J tó (¡ 0/' ^ .M¿mik: .GSÍ r5 «¡Í± * ( ^h$ A A 4 ^^r^S2^ZZ2^Sn2Z2KS5tSSSSS3SSSSSSSSSIZ2ZZZZZ2 7 >—4 A B ^ B Madrid, EMILIO P. R scala v a n o b\<z 1' <^ ; .• ., PER.E2 -• / | PINERO .. ,. JfHrH \-