Lina Puertas del Rio

DEPARTAMENTO
DE E S T R U C T U R A S DE
ESCUELA T É C N I C A
SUPERIOR
EDIFICACIÓN
DE A R Q U I T E C T U R A
DE
MADRID
TESIS DOCTORAL
ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y DESPLEGABLES,
ESTUDIO DE LA OBRA DEL ARQUITECTO EMILIO PÉREZ PINERO,
por
L I N A PUERTAS DEL RIO
Arquitecta
Director:
RICARDO AROCA HERNANDEZ-ROS
Doctor
Arquitecto
T u t o r : VALENTÍN QUINTAS RIPOLL
Doctor
Arquitecto
M a d r i d , Noviembre de 1989
TESIS
DOCTORAL
ESTRUCTURAS ESPACIALES DESMONTABLES Y DESPLEGABLES.
ESTUDIO DE LA OBRA DEL ARQUITECTO EMILIO PÉREZ PINERO.
por
Lina P u e r t a s d e l Río
D i r e c t o r : RICARDO AROCA HERNANDEZ-ROS
T u t o r : VALENTÍN QUINTAS RIPOLL
TRIBUNAL
CALIFICADOR
Presidente:
Vocales:
Acuerda
Madrid,
otorgar
de
la
calificación
de
19
de:
RESUMEN
La presente tesis estudia las realizaciones del arquitecto Emilio Pérez
Pinero, todas dentro de las estructuras espaciales de barras desmontables y desplegables, elabora la documentación que hace transmisible su
investigación y generaliza el estudio del comportamiento en la parcelade las desplegables. La obra de este arquitecto forma un conjunto original, atractivo y sin continuadores, y por otra parte, no abundan las"
investigaciones sobre este tipo de estructuras ( mucho menos las reali
zaciones), en las que hay que resolver tanto su definición como su movi
lidad y comportamiento estructural.
El contenido de la parte correspondiente a las estructuras desmontables
se limita a las cúpulas reticuladas de una capa, con el sistema de reti
culado y montaje ideado por Pinero, por considerar que se debe documentar su aportación pero no incidir mas en un campo de investigación que
cuenta con abundantes estudios. Se aporta la solución matemática y un programa de ordenador para la definición geométrica completa del reticu
lado empleado.
Las estructuras desplegables se caracterizan por el empleo de barras dis
puestas en "x" en el espesor de la estructura, con generación de superficies tanto planas como curvas. En ambos casos se analiza la movilidad
en fase de mecanismo, tanto a las soluciones de Pinero como a las comple
III
mentarlas que se exponen. Se estudian las relaciones
geométricas que de_
ben de cumplirse para que sea posible el movimiento de las barras, rela±ciones
particularmente complejas en las desplegables según superficies
esféricas, y que determinan su definición geométrica.
En la fase de estructura, además de analizar lo realizado por Pinero, do_
cumentando y definiendo sus componentes, se proponen varias estructuras
posibles para cada mecanismo, y se desarrolla en detalle el tipo de los
emparrillados de canto constante, donde se incluye un estudio comparativo de nueve variantes distintas. Se muestra el amplio campo de uso posible para estas estructuras.
IV
ABSTRACT
The • present doctoral dissertation studies the work of de spanish architect
Emilio
Pérez Pinero, all of it within de field of spatial demountable and
deployable structures. This contribution compiles the necessary documentation for research in this field and, besides, generalizes the theoretical
background for the analysis of this type of structures. Pérez Pinero's con
tributions are original and attractive, but, so far, he has not any foliowers ; on the other hand research in this field is scarce (much less actual
realizations).
In the part corresponding to demountable structures the research is limited to reticulated domes of only one layer, following Pérez Pinero's sys~
tem, trying to give a comprenhensive documentation of it. The mathematical
solution is given and so is a computer program for the complete definition
of the geometry of the structure.
One characteristic of deployable structures is the use of struts placed formix "X" in the thickness of the structure, making possible the generation of plañe as well as curved surfaces. In both cases, the operation in
the phase of mechanism is studied, both fot Pinero's solution and for the
other schemes presented. The geometrical relationships that must be maintained in order to guarantee strut's movements, are studied; these relaV
tionships are
particularly complex in the case of spherical surfaces,
and, in this last casey determine completely its geometrical definition.
In regard of the structure behaviour, besides analysing Pinero's works,
a variety of solutions are proposed for each mechanism. Particularly, the
configuration for doüble layer grids of constant thickness is developed
with great detall, and a cornparative study of nine different solutions of
this special case is included. A wide range of the possible appications of
this structural type is shown.
VI
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi agradecimiento a la viuda de Pérez Pinero, Dña. Consuelo
Belda, quien puso a mi disposición toda la documentación que obra en su po_
der, asi como a Emilio Pérez Belda por el seguimiento de dicha documenta—
ción y el aporte de la biografía de su padre.
""•
También agradezco al Arquitecto Félix Candela, testigo de excepción en
algunas etapas del trabajo de Pérez Pinero, su información y sus juicios
de valor, expresados con su talante animado y sincero.
Agradezco al Catedrático José Luis de Miguel la documentación técnica que
me ha prestado y sus sugerencias, y a José Ignacio Gozález, Ingeniero de
Caminos, el haberme permitido usar sus medios informáticos.
Por último, agradezco el continua!:ánimo que me han dedicado mis compañeros, Profesores del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.M., a Ricardo Aroca, la atenta lectura de mis borradores y sus comentarios, y a
Valentín Quintas, la atención y el entusiasmo qué me ha mostrado durante
el desarrollo de esta tesis.
Vil
Í N D I C E
INTRODUCCIÓN GENERAL
PRELIMINARES - DOCUMENTACIÓN EXISTENTE
- BIOGRAFÍA
- Capítulo I: CATALOGO DE REALIZACIONES-1.1 - Teatro ambulante para 500 espectadores
1.2 - Cúpula rebajada desplegable
1.3 - Cúpula reticular transportable y desplegable desde un helicóptero
í.4 - Teatro ambulante desplegable
1.5 - Pabellón transportable para exposiciones
1.6 - Estructura reticular plana
1.7 - Diversos estudios de cúpulas
1.8 - Teatro desmontable para "Festivales de España "
1.9 - Cúpula reticular de directriz esférica:sa_
la de proyección "Cinerama"
1.10- Cúpula reticular desplegable para grandes
luces
1.11- Cubierta para las excavaciones del Museo
Paleocristiano de Tarragona
1.12- Cúpula reticular poliédrica para el Museo
"Dalí" de Figueras
1.13- Vidriera hipercubica desplegable
1.14- Módulo desplegable automático
1.15- Tienda de campaña
1.16- Cubrición del velódromo Anoeta de San Sebastián
PARTE 15 - ESTRUCTURAS
- INTRODUCCIÓN
VIII
DESMONTABLES
Capítulo II¡RETICULACIÓN DE LA ESPERA A PARTIR DE UN
ICOSAEDRO
2.1 - Icosaedro:lados, vértices
2.2.1 - Coordenadas de los vértices
2.2 - Triángulo esférico
2.3 - Procedimiento de reticulado
2.4 - Coordenadas cartesianas de los nudos del trian
guio plano
2.5 - Coordenadas cartesianas de los nudos del trian
guio esférico
2.6 - Coordenadas de los nudos como intersección de
meridianos
2.7 - Longitudes de las cuerdas (barras), ángulos
2.8 - Agrupaciones de barras para el montaje; macro
piezas
- Capítulo
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 -
III: OBRAS REALIZADAS
Teatro desmontable para "Festivales ds España"
Cúpula de proyección "Cinerama"
Museo "Dalí" en Figueras
Museo Paleocristiano de ^Tarragona
Cálculo de las cúpulas reticuladas
Estudio de acciones y solicitaciones
3.6.1 - Acciones
3.6.2 - Solicitaciones
3.6.3 - Esfuerzos en las barras
3.7 - Otro sistema de reticulado: Velódromo Anoeta
- CONCLUSIONES A LA PARTE 1.a
PARTE
2a -ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPER
FICÍE PLANA
- INTRODUCCIÓN
Capítulo IV: MOVILIDAD
4.1 - Mecanismos
4.1.1 - Movilidad en el plano
4.1.2 - Movilidad en el espacio
4.2 - Criterio para el diseño de mecanismos
IX
°^
87
87
88
° *•
97
101
107
*
07
113
1 2
J
^ -* 5
^ '* J-56
i7
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17v
1"? 6
3 78
l8^
-96
2 0 0
203
2
^9
^14
2 1 r>
4.3 - Unidad móvil básica de los mecanismos de Emilio
Pérez Pinero
4.4 - Ejemplos
- Capítulo V; TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE
5.1 - Descripción general
5.2 - Descripción de los elementos
5.2.1 - Cubierta
5.2.2 - Soportes
5.3 - Mecanismo
5.3.1 - Variantes sobre el mecanismo
5.4 - Montaj e
5.5 - Estruc tura
5.5.1 - Viga componente tipo
5.5.2 - Comparaciones con otras vigas trianguladas
5.5.3 - Comportamiento del emparrillado
5.5.4 - Características del material y de la
sección
5.6 ~ Proceso de cálculo del autor
2 17
221
2 23
225
225
2 28
"229
231
233
234
235
- Capítulo VI:PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES
6.1 - Descripción general
6.2 - Descripción de los elementos
6.2.1 - Cubrición
6.2.2 - Malla estructural
6.2.3 - Soportes
6.2.4 - Cerramientos
6.2.5 - Cargas y pesos
6.3 - Montaje
6.4 - Mecanismo
6.4.1 - Variantes del mecanismo
6.5 - Algunas estructuras posibles
6.5.1 - A¡Estructura del proyecto¡mecanismo base
y algunos cordones y montantes
6.5.2 - BrMecanismo base y cordones ambas caras
6.5.3 - C:Mecanismo base y cordones a 45° en am
bas caras
23 9
241
24 9
251
2 58
2 59
2 60
266
266
267
269
27T
2 74
277
279
282
28 5
6.5.4 - DrMecanismo base, cordones cara superior
a 4 5 2 , cordones cara inferior
288
6.5.5 - E:Mecanismo simplif ¿sido y cordones en
ambas caras
2 91
6.5.6 - F:Mecanismo simplificado,cordones cara
superior a 4 5 ° , cordones cara, inferior
294
6.5.7 - Mecanismos base y montantes en los nudos
de contorno
297
6.6.8 - G:Mecanismo simplificado y montantes de
contorno
6.5.9 - H.-Mecanismo simplificado, cordones a 45°
•y cordones contorno ambas caras, y m o n —
tan tes
6.5.10- I .-Mecanismo de proyecto y montantes de contorno
6.6 - Resumen de las estructuras posibles
301
3 06
309
317
- Capitulo V I I : VIDRIERA DESPLEGABLE
7.1 - Descripción general
320
7.2 - Descripción de los elementos
7.2.1 - Cubrición
7.2.2 - Malla estructural
7.2.3 - Soporte
7.3 - Montaje
7.4 - Mecanismo
3 22
3 26
3 28
3 29
3 30
7.5 - Otro mecanismo posible
7.6 - Estructura
3 30
332
- Apéndice a la Parte 2§ : MALLA DE DOBLES TETRAEDROS, DES_
PLEGABLE SEGÚN UNA SUPERFICIE _
PLANA
a.l - Mecanismo
a.2 - Variante del mecanismo
a.3 - Estructuras
- CONCLUSIONES A LA PARTE 2a
/
XI
3 37
341
3 42
344
PARTE
3§ - ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS
- Capítulo VIII:ESTPUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFI
CIÉ ESFÉRICA
8.1 - Tipos básicos
8.2 - Planteamiento de la compatibilidad geométrica
8.3 - Condiciones de compatibilidad para mecanismos
triangulados de un grado de libertad
8.3.1 - Compatibilidad en el estado de desplega
do final
8.3.2 - Compatibilidad en los estados interme—
dios
8.3.3 - Estructura procedente de este mecanismo
8.4 - Condiciones de compatibilidad geométrica para el mecanismo de Emilio Pérez Pinero
8.4.1 - Compatibilidad en el estado de desplega_
do final
8.4.2 - Compatibilidad en los estados interme—
dios
- Capítulo
9.1 9.2 9.3 9.4 -
IX:TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES
Descripción general
Descripción de los elementos
Mecanismo
Estructura
- Capítulo X:CUPULA DESPLEGABLE PARA GRANDES LUCES
10.1 - Descipción general
10.2 - Descripción de los elementos
10.3 - Mecanismo
10.4 - Estructura
10.5 - Variante de mecanismo debida a Emilio Pérez
Pinero: módulo desplegable automático
10.6 - Otras variantes de mecanismo y estructura
3 54
3 57
3 59
3 59
361
36 3
3 64
364
37 3
3 74
375
3 78
380
381
3 84
398
,401
—
405
4 08
- Capítulo XI: ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE
CILINDRICA
11.1 - Mecanismo generado a partir de una cuadrícula
4 09
XII
/
11.1.1 - Condiciones geométricas en el estado
desplegado
11.1.2 - Compatibilidad en los estados interine
dios
11.2 - Mecanismo generado a partir de una retícula de
triángulos rectángulos
11.2.1 - Compatibilidad en el estado desplegado
11.2.2 ~ Compatibilidad en los estados intermedios
11.3 - Mecanismo cuyos nudos forman una retícula de
triángulos isósceles
11.3.1 - Compatibilidad geométrica en el estado desplegado
11.3.2 - Compatibilidad en los estados interme_
dios
11.3.3 - Variante de mecanismo cuyos nudos forman una retícula de triángulos escalenos
11.4 - Mecanismo de dobles pirámides
4 10
412
413
413
4 15
4 15
415
418
419
420
- CONCLUSIONES A LA PARTE 3§
423
- BIBLIOGRAFÍA
430
- ANEXO
438
INTRODUCCIÓN GENERAL
.básicamente el objeto de esta tesis es el estudio, documentación, valoración y generalización de soluciones,.de los -.trabajos realizados durante diez años de actividad profesio
nal (1962-72) por el arquitecto Emilio Pérez Pinero, gastados en un tema casi monográfico: las estructuras espaciales
de barras. Dentro de- ellas, el 90% se adjetivan además de dos formas: desmontables y desplegables.
Los años 60 son la frontera del cá:lculo sin/con ordenador para la élite investigadora. Sobre el estado concreto del tema puede servir de resumen ei contenido del volumen SPACE
STRÜCTURES, que recoge todas las ponencias presentadas al -V
Primer Congreso Mundial sobre Estructuras Espaciales, celebrado en 1966, en Surrey (Inglaterra). Generalizando, para
el cálculo de cúpulas y bóvedas, se emplean modelos de asimilación a las continuas, completamente resueltas en muchos
estados de carga y forma; para emparrillados y placas haüílan
los desplazamientos más relevantes (descensos verticales) por el método de las diferencias finitas.
Respecto al campo del diseño, durante los años 50 y 60 hubo
1
una verdadera fiebre en patentar soluciones correspondientes
a disposiciones geométricas, sistemas constructivos y diseño de componentes (sobre todo piezas de nudo) cada vez más
complejos de ejecución pero de uso más racional y versátil.
Como exponentes de este campo de las estructuras en esos años se puede citar a, Stephane du Chateau, R. Bucminster Fuller, F. Lededer, Y. Tsuboi, R. Le Ricolais, F. Matsushita
y el gran animador Z.S. Makowski.
En España, Florencio del Pozo como enseñante y proyectista
fue el introductor de este campo de las estructuras. Pablo
Bueno remató sus estudios de ingeniería con una investigación sobre mallas planas; después junto con José Calavera proyectó y construyó varias de estas placas. También Ignacio
Alvarez Castelao y Francisco Rius fueron pioneros en dar so
luciones de estructuras espaciales en sus proyectos. A prin
cipios de los años 70 aparece-. Las"- mallas espaciales en ar
quitectura, de Juan Margarit y Carlos Buxadé, y Félix Candela desde México y USA, siempre ejerció influencia sobre
los estudiosos españoles. Todos estos iniciadores están ligados al mundo académico y contrastan o aprenden de él sus soluciones.
Emilio Pérez Pinero no parte de investigar modelos teóricos
2
tanto hablando de diseño como de cáculo. De principio los
fabrica, en parte porque no dispone de bagaje aportado por
otros en que apoyarse, ya que su diseño es completamente nuevo. También se puede decir que no le es una tarea difícil: construye sus diseños aprovechando que tiene tanto ha»bilidad manual como visión espacial. Desarrolló su trabajo
en solitario, protegiendo sus hallazgos mediante patentes intentando comercializar sus estructuras, dedicaiüo por ente
ro a su vida profesional.a esto.
De sus realizaciones, la información que se suele plasmar en planos, no es abundante ni precisa. Existen sin embargo
maquetas y modelos a escala o trozos de ellos. Para poder k
hacer transmisibles sus realizaciones es necesario dibujarlas y definirlas en gran parte pues, aunque se pudienran. ma
nejar las maquetas y modelos, es la mejor forma de hacerlo
con^exactitud y rigor.
En este trabajo, por la particularidad de ser un estudio de
la obra de una persona, exije que se reúna toda la información sobre ella. Se inicia ordenando trabajos y documenta—
ción existente; esta consiste básicamente en la producida o controlada por el propio autor, pues dado el poco tiempo
transcurrido, no hay otros estudios sobre sus trabajos; solo existen referencias bibliográficas y comentarios en los
3
estudios de investigadores de estructuras desplegables.
Por la naturaleza de las estructuras, emparrillados y cúpulas, y de su carácter móvil, es necesario acometer
estudios complementarios matemáticos y geométricos para
poder dar su definición exacta y comprender su funcionamiento.
Si en la Parte lton se presenta el objeto y la información
de partida, en la 1 a se agrupan las estructuras fijas y des
montables, casi todas definidas desde el mismo procedimienrto matemático no particularizado por ningún autor. Como este campo está lo suficientemente estudiado desde los años
50 hasta ahora, con abundante información escrita, aqui solo se considera necesario documentar lo realizado por Pinero, deslindando y valorando su aportación.
Las partes 23. y 32 se dedican
cuya directriz final es plana
se con un estudio común sobré
también un capitulo dentro de
a las estructuras desplegables
(2§) o curva (3a), iniciándola movilidad y dedicándose
la 3a a los condicionamientos
geométricos para la movilidad en las estructuras curvas.
El campo de los diseños desplegables está poco explorado por
lo que no solo se van a documentar las realizaciones de Pi—
4
ñero. Se intentará generalizar en términos de diseño empleando el sistema que admite la posibilidad de plegado ideado por éste, y se propondrán otros diseños estructura
les.
Las estructuras espaciales de barras son de difícil representación en dos dimensiones. Se ha hecho un gran esfuerzo
porque ésta sea de lectura sencilla tanto en los dibujos que acompañan las explicaciones como los planos que se van
intercalando y se espera que ayuden a la compresión de lo que se expone.
5
PRELIMINARES
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE
BIOGRAFÍA
Emilio Pérez Pinero nace en Valencia (España) el 27 de Agosto de
- -
1.935.
A los tres meses de edad, sus padres se transladan a Calasparra, peque
ño pueblo de la Provincia de Murcia, de donde era originaria toda su familia. Allí transcurre su 'infancia y primera juventud, durante los años 40.
Cuando acaba .la primera enseñanza, se encargan de su educación, por un
lado su padre, ingeniero militar republicano, que le imparte disciplinas de ciencias y por otro' D. Ricardo López, maestro amigo de su padre
que después de finalizar la guerra, sé dedica a impartir clases particulares.
Cursa el Bachillerato Superior, en un pueblo cercano que dispone de equipamiento docente adecuado.
En junio de 1.952 obtiene el titulo de Bachiller con nota de Sobresaliente y'en el Examen de Estado en la Universidad de Murcia obtiene
premio Extraordinario.
El dilema de que carrera seguir se resuelve del siguiente modo:
7
Dado que siempre se había sentido atraído por el dibujo y la pintura
—
(existen varios cuadros pintados en su adolescencia), se plantea la pq
sibilidad de ingresar en Bellas Artes- Para desviar esta decisión, interviene su padre, preocupado por el futuro incierto que se le puede
—
presentar como pintor. Le propone que intente ingresar en la Escuela Superior de Arquitectura, argumentando que, esta profesión le puede
ofrecer un porvenir más desahogado, además de ser una profesión artística.
Aceptando la proposición de su padre, se translada a Madrid, donde empieza a preparar el examen de ingreso en la Escuela. En 1,957, ingresa
en la Escuela obteniendo Matricula de Honor en las asignaturas de Análisis matemático de la Facultad de Ciencias de Madrid. Acaba la c a r r e —
ra en cinco años.
Siendo estudiante de cuarto curso en
1.961,
se le presenta la opor-
tunidad de desarrollar un tema sobre las estructuras para cubrir grandes espacios.
En este año, coincidiendo con su Congreso de Londres, 1-a Unión Interna_
cional de Arquitectos, convoca un concurso internacional para estudian
tes de Arquitectura, al que se presentan alumnos de Facultades y Escue
las de 54 paises. El tema del concurso, es proyectar un teatro ambulan
te para 500 espectadores.
8
La Escuela Superior de Arquitectura de Madrid propone el proyecto
como ejercicio de curso a los alumnos de cuarto,y se seleccionan
dos propuestas:
Una, realizada por Ricardo Urgoiti, resuelve el
problema con una cúpula formada por tubos de plástico que se transportan enrollados.
Una vez extendidos y unidos entre si, se inflan
con aire comprimido, quedando la cúpula montada.
La otra, realizada por Emilio Pérez Pinero, consistía en una estructura reticular estérea plegable que se transportaba y desplegaba
hasta su total instalación desde un camión.
La inclinación del sue-
lo para conseguir una visión adecuada también se lograba mediante
grupos de estructuras reticulares estéreas desplegables.
Tras la selección llevada a cabo en la Escuela, los dos estudiantes
son presentados a D. Carlos De Miguel, entonces director de la revista "Arquitectura".
Los dos proyectos se publican en el n° 30
Sel mes de Junio de 1961 de la citada revista, a la vez que D. Carlos De Miguel se ofrece para organizarles el viaje y acompañarles
al congreso de Londres.
Cuenta Carlos De Miguel, que desde un principio se quedo atónito
por lo fantástico que era el proyecto de Pérez Pinero.
Es curioso
señalar que, según De Miguel la timidez de Emilio era tal, que su
proyecto tuvo que explicárselo Urgoiti.
Una vez en Londes, y siempre según palabras de Carlos De Miguel el
Proyecto de Pérez Pinero causaba sensación, cada vez que se exhibía.
9
Finalmente, el jurado concede el primer premio al proyecto ele Emilio
Pérez Pinero y asimismo, en la resolución final del Congreso, se considera a la estructura desplegable diseñada por Emilio para su teatro como una aportación técnica de primer orden.
No debemos olvi-
dar que la labor investigadora en estructuras espaciales de barras,
estaba en esos años en auge, mas cerca de sus inicios que de su apogeo.
Años más tarde, el arquitecto Félix Candela, que formaba par-
te del jurado junto Buckmister Fuller y Ove Arup entre otros, dice
que entre los muchos proyectos qae se presentaron, el de Emilio Pérez Pinero era realmente extraordinario, concediéndole el premio sin
discusión alguna.
Tras este éxito en el Congreso de la O.I.A. en Londres, Emilio tiene
ofertas para vender su invento, o bien desarrollarlo en varios paises, como Estados Unidos y Brasil, pero deciSe continuar por su cuenta.
Compagina entonces sus estudios de 52 y ultimo año de carrera,
con el desarrollo y perfecionamiento de la estructura que haJDia diseñado.
Y se encuentra entonces con el problema, según reconocería
tiempo después, de que, en realidad, sabia menos de lo que se podía
pensar, teniendo por tanto, que empezar a estudiar y a ponerse ai
día en cuanto a conocimientos sobre estructuras- se refiere, ya que,
según él, los conocimientos que sobre el tema se impartían en la
escuela, pronto se le quedaron cortos.
En este tiempo hasta que acabo la carrera su diseño
de estructura
es presentado en varios certámenes internacionales.
En el mes de
10
-
octubre siguiente al Congreso de Londres, se presenta en la Bienal de Arte-Arquitectura y Teatro de Sao Paulo (Brasil), donde se le concede -la Medalla de Oro. En febrero de 1962, y aún sin acabar la carrera, se
realiza una exposición de sus maquetas en Munich, acompañada de comferen_
cias en la Facultad de Arquitectura y el Instituto Español de esta ciudad alemana.
En abril, junto con otros españoles, se presenta a la Exposición Internacional de Patentes de Bruselas, obtiene una medalla de oro y la felicitación especial del jurado.
La prensa diaria y la especializada recogen estos hechos. Es objeto de
varios homenajes tanto a nivel nacional como local, con la participa—
ción de las autoridades políticas del momento.
En julio de 1962, termina la carrera de Arquitectura con sobresaliente
y "Premio Anibal Alvarez" como alumno más destacado de su promoción.
Estos hechos son recordados muy especialmente por sus compañeros como
sucesos extraordinarios dentro de la vida escolar.
Terminados los estudios decide dedicarse en exclusiva al estudio de las
estructuras desplegables. A la dificultad de unos estudios insuficientes
en el tema de estructuras, se une la inexistencia en aquellos momentos
de unos modelos de cálculos afinados o de unas hipótesis especificas de
funcionamiento estructural aplicables a sus diseños. Recurre a la cons-
11
trucción de modelos reducidos a escala; como le cuesta un dinero del que
no dispone, tiene que fabricarse él mismo las maquetas y modelos, como
lo había hecho con el proyecto del teatro ambulante. De esta forma sólo
tiene que pag.ar los materiales que necesita, aunque a la vez tiene el inconveniente de necesitar mucho tiempo para obtener soluciones válidas.
Paralelamente, no pierde oportunidad de monstrar sus trabajos. En el
mes de agosto de 1962, participa en una exposición de estructuras que se celebra en Tokio.
En Calasparra continua desarrollando sus estructuras en un casi completo aislamiento. Empieza a preocuparse un poco más por la teoría general
y ver en"la forma" la variable fundamental a tener en cuenta a la hora
de diseñar una estructura para cubrir un espacio de grandes luces; dedica más atención a las formas esféricas.
Durante, este mismo año 1963, realiza varias exposiciones de maquetas y
modelos, entre las que cabe citar las llevadas a cabo en el entonces Ministerio de la Vivienda, Sala Biosca y Ateneo de Madrid.
A principio de 1964 desarrolla y pone a punto un tipo plano de estruc—
tura reticular desplegable, con la cual proyecta y construye su primera
obra real. Se trata de un pabellón transportable para exposiciones, que
debía albergar una exposición de carácter oficial donde el Gobierno que
12
ría mostar los logros conseguidos en los 25 años transcurridos desde
la Guerra Civil. Se instala por primera vez, en la explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid y es inagurado el 1964, por el Gobierno,
que le es concedida la Encomienda y Gran Cruz de Isabel la Católica.
En el mes de octubre se estrena en un cine de Madrid, un corto de 30 minutos sobre el diseño y desarrollo de las estructuras desplegables.
Durante 1965, construye varios modelos desplegables a escala y empieza, a la vez, a profundizar en el estudio de las cúpulas geodésicas no desplegables.
Como se verá, en este tipo de estructura poliédricas consigue diseñar
una división del poliedro esférico en base a un número; pequeño de módulos poligonales distintos, consiguiebdc, por tanto simplificar el
montaje, desmontaje y transporte de la estructura.
Si hay algo para lo-que Pérez Pinero no encuentra casi nunca problemas,
como él mismo afirma, es para dar a conocer sus avances.
Sus nuevos diseños, nada más realizarse, son reflejados en revistas especializadas tanto nacionales como extranjeras, acompañadas de algún pequeño comentario. Son estas publicaciones unas de las principales fuen
tes para conocer sus diseños dada la casi inexistencia de documentación
gráfica previa a la construcción.
13
En el año 1966 es nombrado miembro del Comité Organizador de la Conferencia Internacional de Estructuras Espaciales que se celebró en Ingla___
térra.
Con este motivo conoce y se relacciona
con diversos estudiosos de pres
tigio mundial en el campo de las estructuras. A éste Congreso el español José Calavera presentó una ponencia sobre placas realizadas con es_
tructuras espaciales ds barras.
Durante este año, el entonces Ministerio de Información y Turismo le encarga la construcción
de un teatro transportable para Festivales de
España. En esta ocasión construye la estructura en Caiasparra. {El encargo anterior se construyó entero en C.A.S.A.).Para ello tiene que am
pliar el pequeño taller de que dispone, donde ha ido construyendo sus
modelos y maquetas a escala.
Este encarga supone tener que adiestrar a una serie de artesanos locales en una ejecución de obra a la que no están acostumbrados, por la
precisión
tegran
que requiere la fabricación de las distintas piezas que in-
la estructura.
A la vez que continua con estudios teóricos sobre modelos,
construye
una cúpula desmontable para albergar las instalaciones necesarias para
proyectar películas por el sistema
14
Cinerama, entonces en auge, capaz
para 1.200 espectadores. La mejora más sensible respecto al Teatro para Festivales de España, radica en<(que también diseña expresamente la -
SÍCtlCü© ÍP12GB32 LFIISSLM)
grúa de montaje; con lo cual la instalación y desmontaje ganan en rapiMI. PRIMER ENCUENTRO CON* EMILIO TUVO LUGAR EN LONDRES. DURANTE EL CONGRESO DE
LA UNION INTERNACIONAL DE ARQUITECTOS, EN JULIO DF 1961. ME TOCO ESTAR. JUNTO
CON BUCKY FULLER v OVE ARUP. EN EL JURADO PARA EL CONCURSO DE PROYECTOS DE
ESTUDIANTES QUE SIEMPRE SE LLEVA A CABO EN ESOS CONGRESOS. ESE ANO, EL TEMA ERA
UN TEATRO DESMONTABLE Y. ENTRE LOS MUCHOS PROYECTOS PRESENTADOS. HABÍA UNO
REALMENTE EXTRAORDINARIO. AL QUE, NATURALMENTE, CONCEDIMOS EL PREMIO SIN
MAYOR DISCUSIÓN. SU AUTOR ERA EMILIO PÉREZ PINERO, ENTONCES ESTUDIANTE DE LA
ESCUELA DE MADRID.
SEME PRESENTO ATRAVES DE VIEJOS AMIGOS, A QUIENES, POR AZARES DE LA VIDA, NO HABÍA
VISTO EN CERCA DE 25 ANOS. CON SU INTENSO ENTUSIASMO NOS DEMOSTR.O EN LA SOLEADA"
PLAZA.EL FUNCIONAMIENTO DE UN MODELO.POR EL FA3R1CADO.PE LA CÚPULA PLEGABLE QUE
LE HIZO GANAR EL CONCURSO. RÉCUEPJX) QUE BUCKY FULLER. QUE ESTABA A MI LADO
DURANTE LA PRESENTACIÓN, ME DIJO EN UN APARTE, NO SIN CIERTO REMUSGUILLO DE
CELOS: "YO TENCO UNA P VTENTE SEMEJANTE. DESDE HACE VARIOS AÑOS".
A PESAR DE ESTA AFIRMACIÓN. PUDE COMPROBAR CON ORGULLO - Y A QUE DESDE
ENTONCES EMPECE A CONSIDERAR LOS TRIUNFOS DE EMILIO COMO S! FUERAN MÍOS O,
MEJOR DICHO, NUESTROS- QUE LA PATENTE DE FULLI.ER, TAL COMO APARECÍA EN UNO DE
SUS LIBROS QUE ME MANDO AL HOTEL ANOTADO DE SU PROPIA MANO TENIA MUY POCO
QUE VER CON LA SOLUCIÓN DE LA ARTICULACIÓN O NUDO DE BARRAS QUE EMILIO HABÍA
DISEÑADO. ESTA ARTICULACIÓN, DESPUÉS PERFECCIONADA EN SUCESIVAS EXPERIENCIAS.
ERA EL VERDADERO TOQUE GENIAL DE LA SORPRENDENTE ESTRUCTURA.
PERDÍ CONTACTO PERSONAL CON EMILIO DURANTE VARIOS AÑOS. AUNQUE SABOREE SUS
ÉXITOS F.N ARTÍCULOS Y REPORTAJES DE LA REVISTA DEL COLEGIO DE MADRID Y NO DEJE
DE APROVECHAR. M!S INFLUENCIAS Y AMISTADES PARA HACER QUE SE PUBLICARAN SUS
PROYECTOS EN REVISTAS DE OTROS PAÍSES. COMO EL -'PROGRESSIVE ARCHITECTURE". DE
F..U.. Y "ARCHITECTURAL DESIGN", DE LONDRES, PERO NO VOLVÍ A ENCONTRÁRMELE
HASTA 1968 EN QUE DECIDIÓ VENIR- A MÉXICO' A VISITARME. COMO NO SE TOMO "LA
MOLESTIA DE ANUNCIARME SU VIAJE, LLEGO A MÉXICO AL DÍA SIGUIENTE DEL QUE YO
SALÍ PARA UNA GIRA DE CONFERENCIAS POR E.U.. VENEZUELA Y COLOMBIA. QUE UTILICE
COMO PRETEXTO PARA QUITARME DE EN MEDIO POR UNA TEMPORADA Y ALIVIAR UN«
SITUACIÓN INCOMODA Y. HASTA CIERTO PUNTO, PELIGROSA EN QUE MI FORZADA
INTERVENCIÓN COMO PROFESOR DE LA ESCUELA Y MI INVETERADA PROPENSIÓN A
METERME EN LÍOS ME HASIA COLOCADO CON MOTIVO DE LA REBELIÓN ESTUDIANTIL
ORGANIZADA POR EL GOBIERNO. MEXICANO EN AQUELLAS FHCHAS.
• ES UNA MUESTRA DEL CARÁCTER DE EMILIO Y DE SU INDOMABLE TENACIDAD. QUE ESPERO
PACIENTEMENTE DURANTE TRES SEMANAS. HASTA MI RECRESO.
EL PROPOSITO DE SU VIAJE ERA PEDIRME AYUDA PARA COLOCAR SUS PATENTES EN F..U.
UNAS PATENTES QUE QUIEN SABE CUANTO DINERO Y ESFUERZOS LE HABÍAN COSTADO
CONSEGUIR. ME OFRECIÓ GENEROSAMENTE LA MITAD DE LO QUE PUDIÉRAMOS OBTENER
POR LA VENTA O EXPLOTACIÓN DE SUS INVENTOS E JNIUAMuS NUESTRA PEREGRINACIÓN
POR I.AS • COVACHUELAS DE WASHINGTON. VISITAMOS IOS
DEPARTAMENTOS DE
CONSTRUCCIÓN DML EJERCITO. LA MARINA, LA FUERZA AEREA Y LA NASA. EN TODOS
ELLOS SE MOSTRARON INTERÉS ADISiSMOS POR LAS POSIBILIDADES DEL SÜTfcMA
CONSTRUCTIVO Y SU INDUDABLE UTILIDAD PARA RESOLVER NECESIDADES URG ENTESAD £
LAS FUERZAS ARMADAS AMERICANAS. P"RO. AL MISMO TIEMPO. COMPROBAMOS CON
DCSCfiNSUi-LO I.AS ESCASAS OPORTUNIDADES QUE ESTE MUN1X1 OFRIXR - l Y l R A ^ E t / i
dez y sencillez.
Para dar la idea de la celeridad con que podían realizarse estas maniobras, puede decirse que durante el año 1957, además de proyectarse y
-
construirse la Sala, se exhibió en Barcelona, San Sebastián y Sevilla,
permaneciendo instalada alrededor de 70 días en cada una de estas ciudades .
Habiendo realizado ya tres obras reales, Emilio empieza a darse cuenta
de que no logrará poner en práctica la mayoría de las ideas y diseños nuevos que realiza. El mismo va dejando anticuados sus propios sistemas.
Pero los a dejado anticuados de una forma teórica, ya que la mayoría de
nuevos sistemas no pasan de ser un modelo de estudio.
Posiblemente, todo lo anterior le hace dejar un poco aparte la investigación teórica, ocupándose más del campo de realizaciones prácticas.
En 1963, coincidiendo con los preparativos de la Olimpiada, Pérez Pinero viaja a México con la intención de entrevistarse con Félix Candela,
ai que no ha visto desde 1961, cuando formaba parte del jurado que le
otorgó el premio en el Congreso de Londres.
Emilio le ofrece el intentar colocar en Estados Unidos algunas de sus -
0'
15
patentes de estructuras. Juntos van a aquel país e inician una serie de
gestiones, en entidades oficiales y privadas, que al final no dan ningún
resultado práctico.
DESARROLLO DEL ESFUERZO INDIVIDUAL. TRATAR. DE VENDER TALENTO. INGENIO Y
HABILIDAD A UNA GRAN CORPORACIÓN, COMO EL EJERCITO AMERICANO, CALECE
TOTALMENTE DE SENTIDO. PARA UNA CORPORACIÓN. LAS PERSONAS FÍSICAS NO EXISTEN Y
SOLO PUEDE PONERSE DE ACUERDO Y HACER NEGOCIOS CON OTRA CORPORACIÓN. ANTES DE
EMPEZAR A HABLAR EN SERIO, NECESITABAN TENER VARIOS MODELOS A ESCALA
NATURAL. RESULTADOS DE ENSAYOS DE CARGA EN UN LABORATORIO OFICIALMENTE
"RECONOCIDO POR ELLOS Y PRUEBAS FEHACIENTES DE NUESTRA CAPACIDAD DE
PRODUCCIÓN. COMO ESTA SE REDUCÍA A LO QUE PUDIERAN DAR DE SI LOS ARTESANOS DE
CALÁSPARRA, CUANDO LA AUTORIDAD QUE EMILIO HABÍA LOGIIADO TENER EN EL PUEBLO,
A PESAR DE SUS POCOS AÍ50S. CONSEGUÍA QUE OLVIDARAS POR UNA TEMPORADA SUS
RENCILLAS Y ENEMISTADES PERSONALES Y SE PUSIERAN A TRABAJAR PARA EL. DECIDIMOS
ENTRAR EN CONTACTO CON FABRICANTES AMERICANOS. HABLAMOS CON ALCOA, U.S. STEEL
Y ALCUNAS DE SUS SUBSIDIARIAS, LO CUAL SIRVIÓ ÚNICAMENTE PARA CONFIRMARNOS
OTROS PRINCIPIOS QUE RIGEN LA OPERACIÓN DE LAS CORPORACIONES.
A PESAR DE LA CREENCIA POPULAR, UNA CORPORACIÓN BIEN ORGANIZADA NO TIENE
ÍNTERES ALGUNO EN INTRODUCIR 0 DESARROLLAR MODIFICACIONES TÉCNICAS, AUNQUE
ESTAS TIENDAN A MEJORAR SU PRODUCTO. SI LO HACE, ES FORZADA POR LAS
CIRCUNSTANCIAS Y RESPALDADA, GENERALMENTE, FOR SUBSIDIOS GUBERNAMENTALES 0
CONTRATOS PARA INVESTIGACIÓN PROVINENTES DE OTRAS CORPORACIONES ESTATALES
EN CARACTERÍSTICA Y LUCRATIVA SIMBIOSIS. SI COMPRA PATENTES ES PARA
ENCERRARLAS EN CAJAS FUERTES Y EVITAR QUE OTROS LAS APROVECHEN O LAS
EXPLOTEN. SUS EMPLEADOS NO DEBEN TENER INICIATIVA ALGUNA Y LIMITARSE A CUMPLIR
CON SU FUNCIÓN, DE ACUERDÓ CON LAS NORMAS ESTABLECIDAS, PUESTO QUE CUALQUIER
CAMBIO DE ESTAS INTERFIERE NECESARIAMENTE CON LA FLUIDEZ DE LA LINEA DE
PRODUCCIÓN Y SU EFICACIA CUANTITATIVA. EN OTRAS PALABRAS. LA CANTIDAD ES MAS
. DESEABLE QUE LA CALIDAD Y LOS MEDIOS SE VUELVEN MAS IMPORTANTES QUE LOS FINES.
No obstante, de este viaje, surge, entre Candela y Pérez Pinero, una re
lación, que si bien al principio solo es profesional pronto se convierte en una profunda amistad, como se desprende de posteriores declarado
nes, tanto de Emilio como de Félix Candela.
Antes de regresar Emilio de México, deciden asociarse y abrir un estudio
en Madrid y tras su vuelta a España, inicia las gestiones necesareas.
Candela queda encargado de seguir intentando introducir en Estados Unidos alguno de los sistemas estructurales plegables diseñados por Emilio.
Se presentaron varias oportunidades, entre ellas, la posible colocación
de un invernadero en la Luna, y la posibilidad de construir unas naves
.EN ESTAS CIRCUNSTANCIAS, LAS CONTESTACIONES QUE RECIBIMOS FUERON MUY
SEMEJANTES. TENDRÍAN QUE HACER, PREVIAMENTE, UNA INVESTIGACIÓN DE MERCADO Y,
POR SUPUESTO. REUNIR JUNTA DE DIRECTORES PARA QUE LA EVENTUAL DECISIÓN Y
RESPONSABILIDAD RESULTARA DEBIDAMENTE DILUIDA. NI QUE DECIR TIENE QUE
NUESTROS POBRES ESFUERZOS NO DIERON MAYORES RESULTADOS.
para la Marina Americana en el continente Antartico. Después de todas las gestiones llevadas a cabo, y por motivos ajenos a los dos socios,-
PARA MAYOR ESCARNIO, UNA CARTA QUE ME DIRIGIÓ ÉL DEPARTAMENTO DE MARINA
AMERICANO, INTERESÁNDOSE POR CONSTRUIR UNA DE LAS CÚPULAS DE EMILIO EN EL
CONTINENTE, ANTARTICO, FUE INTERCEPTADA EN MÉXICO POR ALGUNA DE LAS AGENCIAS
LLAMADAS "DE INTELIGENCIA" Y LLEGO A MIS MANOS CON TRES SEMANAS DE F.ETRASO.
CUANDO, POR FIN. PUDIMOS CONTESTARLA. YA ERA TARDE, SEGÚN NOS DIJERON, PUESTO
QUE ALGUIEN MAS AFORTUNADO LES HABÍA RESUELTO EL PROELEMA.
ninguna de las posibilidades se llevo a cabo.
UN ARO MAS TARDE SE VOLVIÓ A PRESENTAR OTRA MAGNIFICA OPORTUNIDAD. EN UNA
ESTANCIA MÍA EN HOUSTON COMO PROFESOR VISITANTE Y AL COMENTAR CON OTRO
PROFESOR LAS REALIZACIONES DE EMILIO. DIJO AQUEL CONOCER A ALGUIEN EN LA
ESTACIÓN QUE LA NASA TIENE EN LAS AFUERAS DE LA CIUDAD. LLAMAMOS POR TELEFONO
Y AL COMENZAR A DESCRIBIR EL FUNCIONAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS. LA PERSONA
QUE ESTABA AL OTRO EXTREMO DE LA LINEA ME INTERRUMPIÓ CON GRAN EXCITACIÓN
PIDIENDO QUE ME PRESENTARA DE INMEDIATO EN SUS OFICINAS, ALLÍ ME FUI,
ACOMPAÑADO DE MI ESPOSA DOROTHY, SIENDO RECIBIDOS POR VARIOS CIENTÍFICOS ALLÍ
EMPLEADOS.
ENTRE
ELLOS, UN
BIÓLOGO
Y UN
BOTÁNICO
ESTABAN
EXTRAORDINARIAMENTE INTERESADOS POR CONTINUAR EN LA LUNA UN EXPERIMENTO
INICIADO EN TIERRA. PARA ELLO NECESITABAN CONSTRUIR UN INVERNADERO EN NUESTRO
con varias empresas de construcción. El motivo era poder concurrir a
El trabajo de Emilio en España estaba encaminado a iniciar contactos ~
-
concursos y subastas de obras apoyadas por una entidad que fuera de rea
lízarle físicamente la obra.
En 1971, coincidiendo con una estancia en Madrid de Félix Candela se
16
-
presentan junto con la empresa CALTECNICA S.A., a un concurso internacional en Camerún, donde obtienen el segundo premio.
SATÉLITE, PUES ACABABAN DE DESCUBRIR. QUE EL POLVO LUNAR, FOR ALGUNA RAZÓN
TODAVÍA DESCONOCIDA, HACIA CRECER CON UNA RAPIDEZ CUATRO O CINCO VECES MAYOR
DE LO NORMAL A LAS PORCIONES DE UN CULTIVO VEGETAL CON LAS QUE ENTRABA EN CONTACTO. LA IDEA "DE AQUELLOS JÓVENES CIENTÍFICOS -CUYA VIABILIDAD NO ESTOY
CAPACITADO PARA J U Z G A R - CONSISTÍA EN EDIFICAR EN LA SUPERFICIE LUNAR UN
RECINTO CERRADO PARA INICIAR EN SU INTERIOR EL CICLO ORGÁNICO DE LA VIDA
VEGETAL. TRATANDO DE CREAR. A LARGO FLA20, UNA INCIPIENTE ATMOSFERA. LAS
CÚPULAS DESFLEGABLES SE ADAPTA3AN PERFECTAMENTE A LAS CARACTERÍSTICAS DEL
PROBLEMA. CONCENTRADAS EN UN COMPACTO HAZ, PODRIAN ACOMODARSE EN LA NARIZ
DEL MODULO LUNAR Y ABRIRSE CON UN MÍNIMO DE ESFUERZO O, INCLUSO, AUTOMÁTICAMENTE CON LA AYUDA DE MUELLES, SISTEMA YA INICIADO POR EMILIO EN ALGUNOS
PROTOTIPOS.
NOS ENSEÑARON CON TODO DETALLE LOS LABORATORIOS DE LA NASA, INCLUYENDO EL De
CARTOGRAFÍA, DONDE NOS DIERON MAPAS, QUE ENVIÉ DE INMEDIATO A MADRID, PARA
QUE PUDIÉRAMOS ELEGIR CRÁTERES DEL TAMAÑO ADECUADO •( c L ENTUSIASMO DE TODOS
IBA CRECIENDO. EL ÚNICO PEQUEÑO PROBLEMA ES QUE HABÍA QUE ENTUSIASMAR Y
CONVENCER TAMBIÉN A LOS JEFES. UN DIBUJANTE DE LA NASA QUEDO ENCARGADO DE
HACER UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA CON FOTOS Y DIBUJOS. PARA MOSTRARLOS A
AQUELLOS EN UNA PRÓXIMA JUNTA, UNO DE LOS ARGUMENTOS QUE SE UTILIZARON FUE
EL DE LAS VENTAJAS PUBLICITARIAS DE UNA COOPERACIÓN INTERNACIONAL EN UN
PROYECTO DE ESE TIFO. PERO NOS ROGARON, POR SUPUESTO, QUE NO DIVULGÁRAMOS EL
ASUNTO HASTA QUE ESTE HUBIERA SIDO APROBADO EN PRINCIPIO POR LAS AUTORIDADES.
HAERIA SIDO ESTUPENDO QUE LA PRIMERA ESTRUCTURA ERIGIDA EN L>. LUNA SE HUBIERA
CONSTRUIDO EN CALASPARRA. PERO TOPAMOS DE NUEVO CON LA IMPENETRABLE BARRERA
DE "LA ORGANIZACIÓN. LA PRESENTACIÓN A LAS ALTAS JERARQUÍAS NO DIO RESULTADO
POSITIVO Y EL ENTUSIASMO SE FUE APAGANDO, A JUZGAR POR LA CORRESPONDENCIA
POSTERIOR.
'
. PUEDO IMAGINARME LA DESILUSIÓN DE EMILIO ANTE ESTE NUEVO FRACASO. Y NO PUEDO
EVITAR UN CIERTO SENTIMIENTO DE CULPABILIDAD. PUES MIS ESCASAS HABILIDADES COMO
VENDEDOR Y HOMBRE DE NEGOCIOS TUVIERON INDUDABLEMENTE MUCHO QUE VER CON LA
FALTA DE ÉXITOS.
ME HE REFERIDO CON CIEF.TO DETALLE A ESTAS ANDANZAS AMERICANAS DE LA VIDA DE
EMILIO. PORQUE QUIZA FUERON FOCO CONOCIDAS EN ESPAÑA, PERO QUISIERA DEDICAR
ALGÚN ESPACIO A SU PERSONALIDAD. DF.SDE EL PUNTO DE VISTA DE MIS RELACIONES CON
EL. A PARTIR. DE SU VISITA A MÉXICO. ESTAS SE VOLVIERON MUY SEMEJANTES A LAS DE
PADRE E HIJO, PERO, ENTIÉNDASE BIEN. UN H!!0 YA CRECIDO Y MADURO QUE NO SOLO NO
ACEPTA LOS CONSEJOS DEL PADRE. SINO QUE DICE A ESTE LO QUE HA DE HACERSE.
PORQUE EMILIO- ERA UNA-, PERSONA EXTRAORDINARIAMENTE DESARROLLADA PARA SU
EDAD. CONSECUENCIA. SIN DUDA, DE QUE LA VIDA NUNCA LE FUE FÁCIL. PARAFRASEANDO
. LO QUE EN OTRA OCASIÓN DIJE DE FREÍ OTTO, EN EL PROLOGO A UNO DE SUS LIBROS.
REPETIRÉ: "Y ELLO NOS LLEVA A PENSAR QUE LAS- DI FICULTADES DE TODO ORDEN
PUEDEN SER UNA DE "LAS CONDICIONES QUE ESTIMULAN EL GENIO CREATIVO. Y QUE LA
SOCIEDAD, CON INHUMANA PERO EFICIENTE CRUELDAD, DEBIERA, QUIZAS. COLOCAR A SUS
EJEMPLARES MAS EXCELSOS EN UN MEDIO ADVERSO Y HOSTIL, PARA QUE SU ANltfO*'íE¿.,
TEMPLE EN LA DESESPERADA LUCHA". Y BIEN QUE LO HIZO EN ESTE CASO, PUES" EMiLIO-*\
COMENZÓ A SUFRIR DESDE PEQUEÑO Y NO DEJO DE LUCHAR DESESPERADAMENTE HASTÍ EL WHNAI.
_ MÍilBliÜ^
También por estas fechas, Emilio construye una estructura para cubrir las excavaciones de un Cementerio Paleocristiano en Tarragona. Se trata
de una serie de casquetes de esfera, cortados por planos verticales y triangulados, colocados sobre soportes de acero.
Es también, a principios de 1971, cuando aparece Salvados Dalí en la vi
da profesional del arquitecto. El pintor encarga a Pérez Pinero, que di
señe dos estructuras distintas entré.sí.
Por una parte, Dalí quiere una cúpula que cubra lo que fué escenario de
un teatro de Figueras, que ahora quiere convertir en museo.
Esta obra no llegó Pérez Pinero a verla acabada. A consecuencia de su muerte, que le sobrevino con la cúpula a medio prefabricar en Calasparra
la estructura tuvo que acabarse y montarse, en Figueras, bajo la diré
cción técnica de José María Pérez Pinero, hermano de Emilio, que desde
el principio había colaborado con el.
Por otro lado había que diseñar y construir una vidriera para cerrar la
boca del escenario del antiguo teatro, ya que la s;ala de butacas pensaba dejarse como patío descubierto.
Pérez Pinero no quería construir una vidriera tradicional, plana y adap
tó la idea, que había tenido tiempo atrás, de construir antenas desplegabies para satélites. Emilio diseña una maqueta que entusiasma i.al pin-
7
tor hasta tal punto, que cuando Pérez Pinero la lleva para mostrársela, Dali la monta en un camión y la pasea por toda la ciudad.
EMILIO APECHUGO VALIENTEMENTE CON TEMPRANAS RESPONSABILIDADES DE JEFE DE FAMILIA QUE LE CAYERON ENCIMA. LA RELACIÓN QUE DE ESTA AGOBIAN TE SITUACIÓN RECIBÍ DE
SUS LABIOS ME HIZO RECORDAR CIERTAS PARTES DE LA BIOGRAFÍA DE MIGUEL ANGEL.1GUALMENTE ASEDIADO POR INAGOTABLES OBLIGACIONES FAM1L!ARE3.T£NG0 ENTENDIDO QUETA.U
BIEN PASO DIFICULTADES DURANTE SUS ESTUDIOS. ESPECIALMENTE EN SL¡ LUCHA FINAL POR
GANARSE EL DERECHO DE LLEVAR A LONDRES EL PROVECTO ESTUDIANTIL QUE LE VALIÓ
SU PRIMER PREMIO Y, RECONOCIMIENTO INTERNACIONAL. DE TODOS ES CONOCIDA SU
TENAZ AGONÍA Y PERSEVERANCIA POR LLEVAR A CABAL REALIDAD, YA UNA VEZ
GRADUADO, ALGUNOS DE SUS GENIALES PROYECTOS.
Y NO ES DE EXTRAÑAR QUE ASI OCURRIERA, PUES EN UNA SOCIEDAD QUE SE OBSTINA EN
ENCASILLARNOS COMO ESPECIALISTAS EN UNA DETERMINADA ACTIVIDAD, LA SUYA NO
ENCAJARA EN NINGUNA DE LAS CLASIFICACIONES ESTABLECIDAS. A CABALLO ENTRE LAS
PROFESIONES DE ARQUITECTO E INGENIERO, DEAMBULABA EN ALTANERA SOt EDAD POR
TIERRA DE NADIE, JUZGADO COMO EXTRAVAGANTE "RARA AV¡S" POR LAS HUESTES DE
-ADOCENADOS PROFESIONALES EN AMBAS MARGENES.
Fundamentalmente, el diseño consiste en una serie de cristales, que,
—
colocados sobre una de las estructuras plegables, eran capaces de plegarse solidariamente con la estructura. En la idea original, los crista
les eran paneles solares.
La vidriera no llegó a realizarse. Con la muerte del arquitecto, todo quedó en la maqueta, que actualmente se encuentra expuesta en el Teatro
Museo Dalí de Figueras.
YA HE RELATADO PARTE DE LA OBSTINADA EATALLA, QUE SU MUERTE DEJO INACABADA.
CONTRA EL BLOQUE MACIZO DE LA OP.GANIZACON CORPORATIVA AMERICANA. EN 51'
ULTIMA CARTA. DE SOLO KA-CE UNAS SEMANAS, CON EXTRAÑA PRESCIENCIA QUE NOS
LLENO DE ALARMA, DABA YA MUESTRAS DE DESALIENTO ANTE LOS IMPLACABLES GOLPES
DEL DESTINO. EL ULTIMO DE" ESTOS TUVO LUGAR CON MOTIVO DE LA MAQUETA QU£
CONSTRUYO l'ARA EL MUSEO DE DALÍ EN FIGUERAS. EN ELLA SE MOSTRABA UNA NUEVA
INVENCIÓN D E . S U FÉRTIL INCSNIO, YA QUE EL PAQUETE DE LA CÚPULA PLEGADA
¡NCORl'ORAEA, NO SOLO LA Ar^MADURA DE BARRAS, SINO TAMBIÉN LAS PLACAS RÍGIDAS
DE CUBIERTA. LA PRESENTACIÓN QUE DE ELLA HIZO, CON DALÍ. EN PARÍS DEBIÓ SER UN
ÉXITO, PUES ME LLAMO POR TELEFONO A CHICAGO, ROGÁNDOME QUE HABLARA CON DAL!
PARA COMPROBAR QUE ESTE SE HABÍA TRAÍDO LA MAQUETA A NUEVA YORK, COMO AMBOS
HABÍAN PLANEADO. NO FUE AS!, POR DIFICULTADES DE TRANSPORTE Y EMPAQUE, V SE
MALOGRO, UNA VEZ MAS, LA OPORTUNIDAD DE DAR UN GRAN GOLPE PUBLICITARIO
EMILIO ESTADA LISTO PARA VENIR A NUEVA YORK DE INMEDIATO Y NO HUBIERA SIDO
DIFÍCIL CONSEGUIRLE UNA ENTREVISTA EN TELEVISIÓN, QUE NOS HUBIERA ABIERTO EL
CAMINO PARA NUEVAS GESTIONES CON FABRICANTES Y COMPAÑÍAS CONSTRUCTORAS.
Otro de los proyectos, que ilusionaron a Pérez Pinero, se le presenta a
principios de 1972. En colaboración con la empresa de construcción encar
gada de la cimentación, se presenta al concurso de cubrición del Veló
dromo Anoeta de San Sebastián.
En un momento dado, y por motivos ajenos al arquitecto, la empresa se *=
SU NUEVO DESCUBRIMIENTO VENIA COMO ANILLO AL DEDO PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS
RELACIONADOS CON LOS SATÉLITES ARTIFICIALES O ESTACIONES ESPACIALES DE QUE SE
VIENE HABLANDO HACE TIEMPO. UNA DE SUS ESTRUCTURAS RÍGIDAS PLEGABLES,
DEBIDAMENTE INSTRUMENTADA, HUBIERA PEPJ.ÍITIDO COLOCAR EN ÓRBITA, EN" UN DOS
POR TRES Y SIN INTERVENCIÓN HUMANA, UNA PLANTA TRANSFORMADORA DE ENERC1A
SOLAR, COMO EL MISMO ME HIZO NOTAR.
retira y el anteproyecto de Pérez Pinero no puede entrar en concurso.
En abril de 1972, la Unión Internacional de Arquitectos, que en Septiem
bre de ese año celebra su Congreso en Bulgaria, le concede el premio
PERO NO LE FUE DADO VER REALIZADO ESTE SUEÑO. SUV1DA FUE TRUNCADA EN FLOR,
CUANDO YA ESTABA TOCANDO LA ANSI.ADA META. SU TEMPRANA DESAPARICIÓN. COMO LA
DE M O Z A R T / Y TANTOS OTROS. NOS ESCALOFRÍA IMAGINANDO UNA MISTERIOSA CONJURA DE FUERZAS CÓSMICAS. EMPEÑADAS EN EVITAR QUE LOS MEJORES DE ENTRE
NOSOTROS TRANSCIENDAN A UN NIVEL SUPERIOR Y REALICEN EN SI MISMOS LA ANHELADA
ASPIRACIÓN METAFÍSICA.
" Auguste Perret", a la labor que venía realizando en el campo de las estructuras.
18
PERO NO HACE FALTA RECURRIR. A IMAGINARIAS CONJURAS. LA VIDA ENTERA DE EMILIOES UNA ESCARAMUZA VIBRANTE DE LA FORMIDABLE LUCHA ENTRE LA CRECIENTE
TENDENCIA A LA UNIFICACIÓN Y EL CONFORMISMO, POR UN LADO, Y EL MENGUANTE
PENSAMIENTO INDIVIDUAL, POR EL OTRO. ESTA LUCHA VA ADQUIRIENDO CARACTERES
TRÁGICOS PARA LOS QUE AUN CONSERVAMOS UNA LUMBRECITA DE FE EN EL HOMBRE
COMO ENTE INDIVIDUAL. Y VEMOS DESAPARECER O DOBLEGARSE A MUCHOS DE NUESTROS
COMPAÑEROS, INCAPACES DE RESISTIR POR MAS TIEMPO LA TREMENDA TENSIÓN.
Comenta el propio Pérez Pinero en una entrevista, publicada en el número 163 de la revista de arquitectura que: "esta distinción hace
que, a nivel internacional, deje de considerarse como un individuo más o menos exótico, que trabaja en estructuras, para pasar a ser ofi-
EN OTROS TIEMPOS, SE DECÍA QUE LOS DIOSES TIENEN ENVIDIA DE LOS MORTALES
PRIVILEGIADOS Y SE LAS ARREGLAN PARA .ACABAR CON LAS FRÁGILES VIDAS DE ESTOS,
ANTES DE QUE SU NATURAL EVOLUCIÓN LES CONVIERTA EN COMPETIDORES DE LOS
MITOLÓGICOS SERES SOBREHUMANOS.
PERO LOS TIEMPOS HAN CAMBIADO. NUESTROS DIOSES YA NO SE LLAMAN APOLO Y VENUS.
JÚPITER O MINERVA, SINO TECNOLOGÍA, MECANIZACIÓN. PRODUCCIÓN, PROCRESO,
CONSUNCIÓN -TERMINEMOS CON TODO CUANTO A N T E S - ; Y ES POR ESO QUE, EN LUGAR DE
USAR FLECHAS Y LANZAS, ASESINARON A EMILIO USANDO UNA DE SUS ARMAS MAS
MORTÍFERAS: EL AUTOMÓVIL QUE, A VECES VIOLENTAMENTE Y SIEMPRE POCO A POCO. VA
ACABANDO CON NOSOTROS Y NUESTRAS CIUDADES. EL TAMBIÉN CAYO EN EL EMBRUJO DE
LA ILUSIÓN DE PODER QUE AQUEL PROPORCIONA .Y QUE TAN BIEN UTILIZAN SUS
MERCADERES.
cialmente, una autoridad mundial en el tema".
El diploma del Premio, que le iba a ser entregado oficialmente en el Congreso de Septiembre, no pudo ya recogerlo personalmente; tienen que
recogerlo su viuda y su hijo mayor, porgue Emilio Pérez Pinero, muere
en accidente de carretera el 8 de Julio de 1972, a los 37 años de edad,
DICE ORTEGA QUE "EN CADA ÉPOCA, UNOS HOMBRES PRIVILEGIADOS. COMO CIMAS DE
MONTES, LOGRAN DAR A LO HUMANO-UN NIVEL MAS DE INTENSIDAD". EMILIO PERTENECÍA
A ESTA CASTA DE HOMBRES SELECTOS, QUE LO SON, SIMPLEMENTE, PORQUE SE EXIGEN A SI
MISMOS MAS QUE LOS DEMÁS. MAS DE LO QUE ELLOS MISMOS CREEN QUE PUEDEN, Y
ACUMULAN SOBRE SI DIFICULTADES Y DEBERES. PERO LA CONTIENDA POR LOGRAR SUS
TEMARIOS PROPÓSITOS ES SIEMPRE DESIGUAL. ELLOS OPERAN AISLADOS, EN LO ALTO,
PREOCUPADOS TAN SOLO POR SUS ARRISCADAS QUIMERAS, MIENTRAS LAS LABORIOSAS
CHUSMAS DE LA MEDIOCRIDAD. COMO HORDAS DE ROEDORES. SOCAVAN LA BASE DE SUS
ATALAYAS PARA OBLIGARLOS A CAER EN EL SÓRDIDO NIVEL COMÚN. CONVERTIDOS EN
FÁCIL PRESA DE SU MONTONERA ENVIDIA. UNOS POCOS, COMO PICASSO, LOGRAN ELUDIR
LA TRAICIONERA TRAMPA, BRINCANDO GALANAMENTE DE CIMA EN CIMA Y PROVOCANDO
LA IMPOTENTE RABIA DE SUS PERSEGUIDORES, PERO LOS MAS SUCUMBEN DESANGRADOS
EN LA DISPAR FRIEGA.
cuando regresaba de Figueras de entrevistarse con Dalí, Termina así una
trayectoria profesional que prometía ser interesante.
NO LLOREMOS POR ELLOS. SIN EMBARGO, BIENAVENTURADAS VICTIMAS DE SU EXCELSA
PASIÓN. EMILIO ENCONTRÓ MUERTE Y TRIUNFO AL MISMO TIEMPO. GLORIOSO TRANSITO DE
LOS ELEGIDOS, A LOS QUE SE DISPENSA DEL. FINAL IGNOMINIOSO QUE ESPERA A LOS QUE
QUEDAMOS ARRASTRÁNDONOS POR ESTA DULCE CLOACA DE QUE HABLO EL CÍNICO AL
ABANDONARNOS. Y EN LA QUE NO HAY LUGAR PARA LOS GENIOS.
DESCANSE EN PAZ, QUIEN NO TUVO UN MOMENTO DE REPOSO EN SU CORTA, PERO FECUNDA
Y EJEMPLAR VIDA.
Vi*---
FÉLIX CANDELA
13
19
CAPITULO I :
CATALOGO DE REALIZACIONES. DOCUMENTACIÓN ENCONTRADA
1.1 - TEATRO AMBULANTE PARA 500 ESPECTADORES
PROMOTOR:
La Unión Internacional de Arquitectos. Esta entidad convocó un concurso entre estudiantes de Arquitectura de todo el mundo con motivo del Congreso de Londres, en 1961. El tema fué el indicado arriba como denoión.
io Pérez Pinero, concursó siendo estudiante de.4° curso de la Escue
Madrid. Su solución fue el primer premio del concurso.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Durante el curso 1960-61.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Consistió en planos, definidos a nivel de anteproyecto, y maqueta de la
estructura con torre'de montaje.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Si:
La solución de Pérez Pinero consistía en una distribución en arcos de -
20
Below: drawings showing
Ihe problom ofthe mobile
:
íhe adaplalion
thcatre
of Ihc syslcm
lo
circulo concéntricos, disponiendo el programa de necesidades mínimas necesario para el uso pedido.
;
-'ú¿- - ^MMW^^^^^^ii^it^U
Lo novedoso y espectacular residió en el diseño de la cubrición de sus
espacios; era una cúpula de barras metálicas en forma de malla espacial
•x?¿
de doble capa, que para dar la mayor facilidad al condicionamiento de "ambulante", tenía la particularidad de transportarse empaquetada entera, y desplegarse fácilmente desde el camión de traslado. Se cubría con
una lona que se fijaba a los nudos de la malla.
La cúpula es un casquete esférico definido por 6 arcos de meridiano igua_
les tres a tres.
Probablemente no se planteó el apoyó de la cúpula seriamente, es decir,
no abordó todos los problemas que tiene un proyecto real. Al menos en la maqueta que se conserva no está específicamente referenciado. Se pre
ocupa más de definir el sistema reticular y su funcionamiento.
La característica fundamental de la cúpula es que se pliega y se desplie
ga, y plegada mantiene todas sus barras, unas son de sección circular -H
hueca y otras son cables. Las huecas se colocan formando "x" en el "espesor" de la cúpula y los cables, en las superficies exteriores y entre
cada nudo de estas superficies.
Los cables de las superficies esterior e interior son de longitud fija
y posibilitan el giro de las barras tubulares desde que están juntas hasta su abertura máxima. Forman en cada cara retículas triangulares.
Los cables que unen nudos de ambas superficies, se fijan después de íesplegado e impiden el movimiento anterior en sentido contrario.
La curvatura se consigue, colocando el nudo del "espesor" a distancia -
22
distinta de cada extremo •
de las barras tubulares. Si se colocan -
en el centro, desplegada, sería una superficie plana.
SE ESTUDIA EN DETALLE EN LOS CAPÍTULOS VIII Y IX
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
/ La familia Pérez Pinero, conserva la maqueta de la estructura descrita
e : incluso la torre desde la que se despliega.
Tratándose de un concurso, por lo menos existió documentación gráfica,
con definición a nivel de anteproyecto pero no se conserva: solamente aparecen reproducidos dos planos de ella en la revista "Architectural Desing".
Inmediatamente formalizó la patente N° 266801 , en cuya descripción queda encuadrado este caso. También se encuentra el detalle de nudo con su_
jección de cables.
PUBLICACIONES;
- "Dos proyectos de la E.T.S. de Arquitectura de Madrid al VI Congreso
de la U.I.A.^en Londres".
Revista Arquitectéctura n° 30 de Junio 1961 pag. 27 a 35.
- "Proyect for a mobile Theatre" Emilio Pérez Pinero.
Revista Arquitectual Design n° 12 diciembre 1961 pag. 570.
- The Architects"Journal,
Agosto 1961.
- The student Architect n2 1.
22
1962.
1.2.
--CÚPULA REBAJADA DESPLEGABLE
PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero.
FECHA DE EJECUCIÓN;
Hacia el año 1962.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Es un modelo de ensayo a una escala bastante apreciable. Fundamentalmente se construye como ensayo de nudos y movimientos.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Fué el primer intento de ejecutar mas seriamente
lo definido o pensa-
do en el proyecto de teatro ambulamte comentado anteriormente.
Se mantiene en cada nudo la concurrencia de tres barras según tres d i —
recciones del espacio y
de una a otra superficie de la cúpula, y cables
en ambas superficies de manera que las barras giran hasta un cierto lí*
mite de desplegado consiguiendo la curvatura de la manera ya explicada.
La variación que introduce está en la forma de fijar la posición de des
23
plegado, es decir, dejar inmóvil cada nudo girado: para ello sustituye el cable que se iba montando entre nudos correspondientes a ambas superficies, por una presa de fijación que se mueve sobre un vastago roscado hasta que tres dientes del extremo se encajan en los huecos entre cada dos barras.
En esta misma pieza se colocan ranuras de paso para los tres cables de
las superficies que pasan por cada nudo, y el tornillo que luego las fi
ja. En la patente n 2 266801 se encuentra un dibujo del nudo.
Es un modelo de estudio en forma de casquete esférico de unos 8 ra. de diámetro máximo y de 1,0 m. de altura.
Las barras tubulares tienen una longitud entre ejes de nudos exteriores
de 1,46 m. El eje del nudo central está a o,715 del extremo, es decir,hay una diferencia de longitud entre los dos segmentos de 3 cms.
Este modelo está realizado a una escala bastante importante, suficiente
para advertir el correcto o incorrecto funcionamiento de los componentes
<»:£.,7. ^-.'V-''• i^v.-v-V" "*' í
los sistemas de fijación para eliminar todo movimiento y el diseño de barras que pensó para la cúpula del proyecto del teatro.
Los esfuerzos de las barras de las caras, en una cúpula de doble capa son tracciones o compresiones procedentes de solicitaciones de momentos
y normales, por lo que los cables con que se diseñan no son el tipo de
barra adecuado.
Después de construir este modelo abandonó esta vía de investigación que
en maquetas a escala mucho mas pequeña y con hilos continuos sí parece
que funcionaba.
DOCUMENTACIÓN EXIXTENTE:
Se conserva esta maqueta - modelo, incompleta, con una circunferencia
máxima del casquete menor que la original. Custodia familiar.
PUBLICACIONES:
*•
"Cúpulas desplegables"
Revista Arquitectura n° 112
25
abril 1968 pag. 15.
1,3. - CÚPULA RETICULAR TRANSPORTABLE Y DESPLEGABLE
DESDE UN HELICÓPTERO.
PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Hacia los años 1962-1963.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Modelo de ensayo de entramado, nudos y movimientos.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
•i
*Pérez Pinero, ensaya una nueva disposición de barras. Ahora no hay ninguna barra en las superficies exterior e interior.
Las que hay son todas de sección circular hueca, y colocadas en el "esp
pesor", consiguiendo canto constante.
Modifica estas barras, dándoles la mitad más de la longitud que tenían
en módulos anteriores y creando otro nuevo nudo interior: antes había 3 nudos: uno en cada extremo y otro interior; y ahora hay otro más, apro
26
ximadamente estos dos últimos a parecida distancia de los extremos ( sal_
vo lo necesario para la consecución de la curvatura). Sigue colocandotres barras por nudo, en tres direcciones del espacio. Pero los arcos
—
que ahora quedan son muy especiales pues tienen un canto fijo H medida
en la vertical entre cada dos barras inclinadas; estas varían de posición desde el nudo superior al inferior con una altura de 3/2 H.
Cada nudo correspondiente a los extremos, estaba unido por un montante
telescopio, es decir, una barra hueca, de altura 3/2 H con una barra in
terior maciza que se desliza por ella en el movimiento de plegado-des-plegado hasta que en la estructura empaquetada, alcanzan entre los dos,
la longitud de la inclinada 3/2 H.
Si los cuatro enlaces de giro de cada barra inclinada, dividen a esta en tres partes iguales, al desplegarse queda una estructura reticularplana.
Tiene las limitaciones de ser un modelo, y solo se estudian cualidades
como la comodidad y facilidad de movimiento, que se puede efectuar el
paso del mecanismo a estructura con seguridad, es decir, que el resulta
do sea una estructura resistente. No se plantea ni luces, ni tipos de apoyos, ni la resistencia de piezas especiales que forman el nudo para
luces y esfuerzos reales.
El tipo de mecanismo se refleja en la siguiente 1:4.
27
frr?
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
'tíPff-M%i'i'
~ Modelo,
propiedad de la familia Pérez Pinero, que usó como variante -
de estructuras transportables y desplégatele sobre ruedas.
- Tres fotografías en la documentación que presentó el Consejo de Cole-
- "Cúpula desplegables"
Revista arquitectura n° 112 Abril 1968 pag. 15
|
- "Estructuras reticulares".
Revista L"Architecture d"Aujourdñui, n°141 diciembre 1968
"Sobre la investigación arquitectónica".
"Metodo";Libro editado por la 116 promoción de la ETSAM, pag. 126,
Madrid 1968.
/
1.4.- TEATRO AMBULANTE DESPLEGABLE
PROMOTOR:
Desconocido, pero a juzgar por la documentación existente, no
fue de motu propio; tuvo que existir alguna razón para llegar
Pérez Pinero a definirlo tan detalladamente, como figura en el
proyecto Plasma en planos construibles
modelos anteriores.
lo que ensaya en los dos
Quizas la única razón para elaborarl.o ele
esta forma, es que después tuviera que responder a una financión estatal para investigación, que le seria concedida', después
de tan clamororsos éxitos.
FECHA DE EJECUCIÓN:
La fecha que figura en la pequeña memoria es 1.10.1963
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Proyecto de ejecución completo a nivel de defición de planos.
Es el ünico de toda su obra que se ha encontrado de su mano,
con contenido coherente.
29
Este proyecto no está realizado.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Es una cubierta plegable plana
formada por vigas
trianguladas
planéts de canto constante se encuentran empaquetadas en el pie
gado, apoyada en soporte de celosia. SE ESTUDIA EN DETALLE EN
EL CAPITULO V.
DOCUEMNTACION EXISTENTE:
Los dieciseis planos DIN-A 1 que se muestran reducidos a medio
DIN-A4 en las páginas que siguen.
PUBLICACIONES:
-"Teatros desmontables"Revista: INformes de la construcción n° 231- Junio 1971, pag.
37 y 38.
30
JEAJRO AMBULANTE
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0-15;
DEL CAPITEL APO- D-/5-W
APOTO SQPCfITE
XHS30
D-IS-iO
X~r5.r PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES.
PROMOTOR:
El Ministerio de Información y Turismo, con motivo de la exposi^
ción conmemorativa de los "25años de la paz" desde la guerra c_i
vil.
PECHA DE EJECUCIÓN:
En el año 1964.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Proyecto de ejecución y obra terminada.
La Administracción convocó el concurso para la cubrición de la Exposición en Enero de 1964, y en Mayo estaba montada en la
explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid.
Z9
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Los pabellones se montan de diversas formas con módulos casi ig^a
les colocados en dientes desierra en dos sentidos.
No se sabe con que fin se adopta esta solución, si porque se montaba un minimo de luz interior pues los cerramientos de contorno sean
casi todos opacos o sí es que se evacúan mejor rce--
jor pequeñas superficies de agua de lluvia o simplemente porque
al usar en los módulos interiores un solo soporte por módulos el espacio será diáfano. La cubierta de cada modulo es una e s tructura plana asimilable a unas cuantas cerchas. SE ESTUDIA EN
DETALLE EN EL CAPITULO VI..
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
Localizada:
-Maqueta de dos módulos a escala aproximada 1:10, desmontable y
en poder temporal de la autora de esta Tesis Doctoral, por amable colaboración de Construcciones Aeronáuticas, S.A. Esta maqueta es una versión exacta, incluso piezas de unión, de la real. Fué realizada por los alumnos de la Escuela Oficiales de
CASñ.
-Documental sobre estructuras desplegables: tiene filmación de
montaje de la exposición, con explicaciones de Pérez Pinero.
Su familia conserva una copia de esta filmación.
-22 fotografias y pequeña descripción en la documentación p r e —
sentada ai premio "Auguste Perret". Propiedad de la familia
Pérez Pinero.
-Resultados de la realización de ensayos de carga y viento en
CASA, contiene tres fotografías del proceso, plano de u b i c a —
ción en la explanada de los Nuevos Ministerios, E 1:1000 con
exposición del número de módulos y número de soportes,.y plano
de situación de los valores de las cargas de ensayo.
-20 DIM-A3 con esquenas en alzado de las cotas e inclinaciones
de los módulos.
-11 planos con esquenas de montaje de los diversos módulos.
Todos ellos propiedad del Servicio de Actos Públicos del Ministerio de Cultura.
No Localizada:
-Toda la documentación del proyecto de ejecución redactado, se
dibujó por el servicio de delineación de CASA, que fue minucioso y extenso, según expresan operarios realizadores de la obra.
Debe conservarse en CASA, pero difícilmente localizable.
41
-Algunos módulos almacenados probablemente en la XII Brigada rAcorazada, Zapadores, en Madrid.
PUBLICACIONES:
- "Pabellón desmontable y extensible, estructura tubular de alu
minio".
Revista.-Arquitectura n8 110 Febrero 1968, pag. 54 y 55.
-"Notas sobre las- estructuras" Emilio Pérez Pinero.
Rev. arquitectura Pag. 22 a 25 Mayo 1964..
-"Pabellón transportable de exposiciones".
Revista:Arquitectura n° 112 Abril 1968 pag. 5.
-"Gtructures reticuleés".
Revista:L"Architecture d"Aujourd"hui n° 141 Diciembre 1968
pag. 76 a SI.
-"Space estructuras".
Rev.: The Architect Building News n2 15, octubre 1966.
42
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1,6.- ESTRUCTURA RETICULAR PLANA
*
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PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Entre los años 1964 y 1966.
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<n *
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Modelo de ensayo, consistente en una malla espacial de caras pía
ñas.
Es un modelo distinto, que aparece en la tres primeras hojas de
'Va
la documentación para el "ñuguste Perret".
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
En estas fotos que se conservan se observa la secuencia de movimientos y montaje final de la estructura horizontal.
43
El paquete plegable es del mismo tipo que el de los módulos del Pabellón
anterior, pero sin embargo, puede ser un modelo pos
terior a él por el némero
ra superior
y disposición de las barras;en la ca-
une nudos de ella, pero de un mismo nudo no par-
ten barras en las dos direcciones ortogonales, con este tipo de
estructuras es usual. Aquí la disposición es de tal forma que si
a los nudos de una fila los unen barras en una dirección, visto
desde cualquier lado del cuadrado. Hay que decir que los nudos que enlazan no son el corte de una cuadricula trazada paralela al contorno, sino de dos.
Estas barras se montan cuando la malla esta desplegada.
F-n la cara inferior no hay barras complementarias en e? piano de
la
cara
; hay igual número de nudos que en la supe-
rior, pero hay que pensar que se montarían.
No se puede precisar si ios montantes triangulan el espesor, caso de ser así, se mantiene cuando la malla esta plegada. Tiene
que ser telescópico y al menos estar compuestos de dos barras de
igus1 longitud.
Las barras inclinadas dispuestas formando "X" unen nudos de am-.-r
bas caras'; tienen tres por barra, dos de los extremos y uno central, equidistando de ambos extremos.
44
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
La maqueta que aparece en la fotografía no se conserva, solo
existen las 4 fotos de la docuemntacion presentada
en la U.I.A.
PUBLICACIONES:
-"Teatros desmontables".
Revista;Informes de la Contracción n2 231 JUnio 1971 pag. 34.
45
1,7.- DIVERSOS ESTUDIOS DE CÚPULAS
PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Hacia el año 1.965
-•-:•
/-A
-
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Son modelos de ensayo de cúpulas esféricas reticuladas, formadas
por una sola capa de barras de acero.
Para ser modelos tienen unas dimensiones generosas.
Cada una
de ellas se ha vuelto a reciclar para otros usos: una plaza pública, y parte del techo de una sala de baile.
Ambos modelos son el punto de partida de una serie de otros pos
teriores que se estudian extensamente.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Los dos modelos no llegan a ser media esfera.
La retícula es
triangular realizada con barras de acero de sección hueca, cuadrada, en un caso, y con perfil laminado en T en el otro.
••
Y¿?r&'<*FZil=
46
En arabos modelos el proceso de subdivisión de la esfera se realiza a partir de un icosaedro inscrito en ella.
Cada lado del
triángulo esférico que tiene de proyección un triángulo del ico
saedro, se subdivide en un numero par de partes.
No efectúa el montaje barra a barra, triángulo a triangulo, sino que lo agrupa en exágonos.
Las uniones entre exágonos eran atornilladas en el mismo plano
de la superficie esférica, soldando cada tres barras de exágono
a una pieza en forma de medio cilindro hueco.
Dos medios cilin
dros de estos se atornillaban por sus lados planos formando la
unión un cilindro completo.
Era una unión incómoda de manejar
y más adelante se verá el nuevo diseño.
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
Se conservan parte de estos dos modelos.
Uno como soporte de
enredadera en una plaza publica de Calasparra (Murcia) y otro
como cubierta de una sala de baile apoyada en otra superficie
curva reticulada.
PUBLICACIONES:
- "Cúpula reticulares".
Revista: Arquitectura n2 112 Abril 1.968 pag. 6 y 10
47
1,8.- TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA
PROMOTOR:
Antiguo Ministerio de Información y Turismo.
Es un teatro de
1.800 butacas, para representar los festivales de verano sub.
vencionados por este Ministerio.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Durante el verano de 1.966
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Obra terminada, propiedad de la Administración del Estado.
Fue
realizada por el propio Peres Pinero como técnico y contratista,
en el taller que creo en Calasparra (Murcia)
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Es un teatro portátil con escenario y patio de butacas montado
sobre una estructura reticular desmontable.
la a la ultima hay dos metros de desnivel.
48
De la primera fi-
La cubierta esta formada por dos casquetes de esfera que se cortan en un circulo paralelo. Son dos trozos iguales de icosaedro
esférico triangulado, concretamente comprenden cinco caras{tria.n
gulos) de los veinte, los que forman la pirámide pentagonal supe_
ricr. No obstante al borde de apoyo lo forman dos circuios paralelos que se cortan en una cuerda, borde no coinciden con una li_
nea continua de la geometría del icosaedro.
La condición de transportabilidad afecta a las butacas y a la
-
plataforma, las butacas se fabrican en filas enteras de doce unidades plegables. SE ESTUDIA CON DETALLE EN LOS CAPÍTULOS II Y III
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
Existe la levantada en planes por un aparejador del servicio de Actos Públicos, actualmente del Ministerio de Cultura, que consta de:
-Planta de replanteo
E 1:100.
-Planta y sección para colocación de escena y butacas, solución
A.E 1:200.
-Planta y sección para colocación de escena y butacas. Solución
B.E 1:2
-Esquina y montaje de los módulos. Referente a los ocupantes.
49
-Distrioución de lonas.
De su mano eKisten un par de croquis DIN-A3 con estudios de vis_i
bilidad.
La Administracción no conserva este teatro. En 1987 era propiedad del Ayuntamiento de L'Hospitalet de Llobregat.
PUBLICACIONES:
-"Cúpulas reticulares desmontables".
Revista:Arquitectura n2 112 Abril 1968 pag. 6, 1 y 12.
-"Teatro desmontables"
Revista¡Informes de la Construcción nO 231, Junio 1971 pag. 40 y
41.
-Documentación para el premio "Augusto Perret" que consta de
ocho fotografías.
-MARGARIT, J./ BUXADE, C .
"Las mallas especiales de la arquitectura" pag. 60 y 61. Gustavo
Gili. Barcelona 1972.
__"Space Structuras"
Revista: the Architect & Building News n2 15 octubre 1966.
50
1.9.- CÚPULA RETICULAR DE DIRECTRIZ ESFÉRICA: SALA
DE PROYECCIÓN "CINERAMA".
PROMOTOR:
Es el mismo Emilio Pérez Pinero. La conservaba de su propiedad,
alquilando el uso, transporte y montaje para proyección de pelí
cúlas por medios especiales.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Durante el año 1967.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Es una obra terminada. Se construye en el taller que montó en Calasparra. Es la cuarta estructura que ejecuta,contando los dos
modelos de ensayo de que hablamos en (1,7) .
Para el uso de la sala de cine, tenia una capacidad de 1.200 sillas.
Actualmente se usa como cubrición de una pista de circo; la pro-
51
piedad actual es del "Circo de los Muchachos" que tienen su sede
en Amposta (Orense) .
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
La parte fundamental es la cubierta en forma de media esfera. La
definición geométrica comprende
medio isosaedro esférico trian
guiado de la misma forma que en el Teatro Desmontable anterior.
Como en él, se cubre con unas simples lomas cortadas adecuadamente . SE:: ESTUDIA CON DETALLE EN: LOS CAPÍTULOS II Y III.
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
-Existen planos con definición a nivel de anteproyectos, en el Colegio de Arquitectos de Murcia.
1- Planta con el patio de butacas y pantalla, secciones según un
meridiano de la clave con estudio de visibilidad y colocación de
pantalla, E 1 :100.
2- Planta cubierta. Alzado de acceso, E 1:94
Aparece la cúpula con retícula triangular pero no procedente de
la subdivisión de las caras del icosaedro, que es como fue ejecu
tado. Simplemente se secciona por planos en tres direcciones de
manera que en todas las intersecciones (nudos) hay seis vértices
52
de triángulos.
Esto nos dice como pensó la descomposición de la superficie esférica, pero per la complejidad de definición y ejecución no la ll¡s
vó a cabo.
-Documentación premio "Auguste Perret". Contiene seis fotografías
del montaje y una de la maqueta, más los dos planos antes descritos.
-Cinco planos para corte y confección de la lona de cubricción de posesión de su familia.
PUBLICACIONES:
-Cúpula reticular de directriz esférica".
Revista:Arquitectura n° 112, Abril 1968 pag. 8, 9 y 13.
- "Teatros desmontables"
Revista:Informes de la Construcción n9 231, Junio 1971, pag- 38 r
40.
- "Método". Publicación de la 116 promoción de la ETSAM. Pag. 124
125 y 127.
53
1.10.- CÚPULA RETICULAR DESFLEGABLE PARA GRANDES
LUCES
PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero
FECHA DE EJECUCIÓN:
El año probable fue 1.966, pues lo presento en la "Conferencia
Internacional sobre Estructuras tridimensionales, celebrada en
Londres en Septiembre de 1.966.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Es un modelo de estudio para el ensayo de soluciones,, fundamentalmente del movimiento de nudos, diseño de plegado y embalaje
de los diversos trozos que la componen.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Es un modelo en forma de cúpula de unos. 2.CLm, de diámetro, hecho
para comprobar sus características con vista a la construcción
de una cúpula de 60 metros.
El modelo esta formado por siete
partes, seis de borde y uno central, ejecutados por separado,
formando paquetes plegados distintos.
nudos comunes para formar la cúpula.
54
Se montan uniendo sus
Se pensó con estas par-
tes porgue caso de ser
de 60 metros de diámetro en un solo paqu&
te de barras resultarla inmanejable.
La forma exterior es la misma que la desarrollada para el Concurso de la u.I.A en 1961.
En este modelo nos situamos casi al final de la evolución en cuan
to a los modelos desplegables se refiere.
Desde la forma Inicial curva de barras tubulares y cables, llega
a esta, con la misma intención: desplegable y sin tener que a ñ a —
dir barras una vez desplegada, aunque haya que seguir fijando los
nudos uno a uno, para hacerlos estructura.
Entre medias ha diseñado mallas planas, siempre con las barras in
cunadas conteniendo tres (o cuatro) ejes de giro, pero con la
-
idea, fija en la cúpula del concurso de 1961 , las planas eran un tema menor.
SE ESTUDIA EN DETALLE EN LOS CAPÍTULOS VIII Y X
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
No existen planos de ejecución. La familia Pérez Pinero conserva
tres de las siete partes que componen el módulo.
Existen nueve fotografías en la docuemntación "Augusto Perret" y es el modelo más generosamente reproducido en las revistas especializadas .
55
PUBLICACIONES:
- "A survey of recent three dimensional structures" Z.S.
MAKOWSKI.
Revista: Architectual Desing n° Enero 1966, pag. 29 y 39.
Cúpula reticular desplegable para grandes luces".
Revista: Arquitectura n° 112, Abril 1968 pag. 16, 17 y 18.
-"Estructuras reticulares".
Revista: L'Architecture d~Aujourd'hui n9 141, Diciembre 1968 pag.
80 y 81.
-"Cúpula desplegable integral".
Revista: Nueva Forma
Junio 1970, pag. 58 y 59.
-"Cúpula reticular parabólica de grandes luces"
Revista: Hogar y Arquitectura nE 89 Julio 1970, pag. 84 y 89.
-"Método" Publicación de la 116 Promoción de la ETSAM, pag. 120,
a 127.
-MARGARIT J./ BUXADE C.
Las mallas espaciales en Arquitectura pag. 61.
Ed. Gustavo Gili. Barcelona 1972.
- "Space structures"
Revista:the Architec & Building Neus n° 15 Octubre 1966.
- "Conference des structures Spatiales a Lenches"
L'Architecture d"Aujourd~húi n.2 128.
- "'Space structures,pag.4'& short review of therir development"
Z.S. MAKOWSKI
56
1.11.- CUBIERTA PARA EXCAVACIONES EN EL MUSEO PALEO:
CRISTIANO DE TARRAGONA.
PROMOTOR:
La Dirección General de Bellas Artes del Ministerio de Cultura.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Entre los años 1970 a 1972
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Es una obra acabada.
Según las fuentes consultadas no parece
probable que existiera proyecto, aunque generalmente es una documentación que la Administración pide para aprobar el gasto.
Hay reproducciones de planos en publicaciones a nivel de anteproyecto.
Probablemente no desarrollo toda la, documentación
usual, porque Emilio Pérez Pinero actuó de técnico y contratista.
La obra es simplemente un techo para proteger de la lluvia unas
importantes excavaciones.
Solo consta de material de cubierta
(fibrocemento) apoyado sobre casquetes esféricos reticulados de
una sola capa, que cubren plantas rectangulares de 15 x 11 metros
57
En el suelo solo se implantan las zapatas de la poca cantidad
de pilares-
El agua tiene caida libre excepto cuando se unen
por más de un lado, que se colocan los imprescindibles elementos para su recogidas.
SE ESTUDIA DETALLADAMENTE EN EL CAPITULO íII.
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
En la revista Arquitectura aparece reproducido un plano paro
ai igual que las otras obras, no se encuentran en el archivo
familiar.
La única documentación son las cuatro fotografías efectuadas
durante la construcción, que incluye la documentación "Augusto
Perret", además de la obra ejecutada.
PUBLICACIONES:
- "Cubierta en el Museo Paleocristiano de Tarragona"
Revista Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972 pag. 20
y 21.
58
1 . 1 2 , - CÚPULA RETICULAR POLIÉDRICA F-12 PARA EL
MUSEO DALÍ EN FIGUERAS.
PROMOTOR:
Salvador Dalí con cargo a la Dirección General de Arquitectura
del antiguo Ministerio de la Vivienda.
Dalí quiso tener una
cúpula como la que habla visto a Fuller en EE.UU. y se lo expresó al Director General de Arquitecturalabor de Pérez Pinero.
Este conocía la
Dalí quedo encantado cuando el propio
Fuller ahoga por Emilio, al que conoció en el Congreso de la
U-I.A. en 1961.
Lo imagen que Dalí quiso lograr,
cúpula luciese como un gigantesco diamente tallado
que" la
en el per-
fil de la ciudad de Figueras.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Entre los años 1970-1972- Murió antes de verla completamente
terminada.
Actuaba también en este caso como dirección técni-
ca y contratista.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Obra acabada.
Es una parte especifica de una obra más amplia:
la correspondiente a la adaptación del Teatro Municipal de Figueras, semidestruido, para Museo Dalí.
59
También los arquitec-
tos fueron distintos: mientras que de la obra general se encargaban los mismos que acondicionaron el palacio que alberga el
Museo Picasso en Barcelona, la cubrición del escenario del teatro con una cúpula, lo realiza Pérez Pinero.
Se ha convertido en un elemento característico de Figueras.
SE ESTUDIA DETALLADAMENTE EN LDS.CAF2MJL0S.il Y III.
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
- La obra ejecutada, en Figueras (Gerona).
- Memoria descriptiva, presupuesto y nueve planos.
Se encuentra
en el archivo del Departamento de Supervisión de Proyectos de
la Dirección General de Arquitectura y Vivienda del MOPU y co
rresponden a la documentación entregada para aprobación del
proyecto y el gasto.
También existe, memoria, plano y presu-
puesto de mejoras introducidas.
El contenido de la documentación gráfica es el siguiente :
1.-
Plano y alzado de la cúpula y el casquete con los muros de
apoyo.
2.-
Modelos de reticulado E. 1:66,66
Planta general de la estructura de la cúpula E 1:20.
(No se corresponde con el objeto real)
3.-
Planta de la determinación de la lamina superior sobre la
triangulación de la esfera E 1:20. (No se corresponde con
la realidad)
4.-
Determinación de los nudos de la estructura sobre la triari
gulación de la esfera.
60
5.-
Planta de cubierta de la hoja superior y detalle de cubier_
ta (No corresponde con el objeto real).
6.- 7,- y 8.-
Planos en que se desarrolla una hipótesis de cá_l
culo, explicada en uno de ellos, nudo a nudo.
Pero no co-
rresponden a la cúpula de Figueras sino a otra similar,
como lo explica en la Memoria del proyecto.
9.-
Plano con modificaciones y mejoras; contiene detalles de
apoyo y anclaje de la cúpula y casquete a los muros de car
ga del teatro.
PUBLICACIONES :
- "Cúpula para el Museo Dali"
Revista: Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972.
pag. 22.
- "Emilio Pérez Pinero 1939-1972" por Carlos de Miguel
Revista: L'Architecture d'ñujourd'hui n2 164, Octubre-Noviembre
1972, pag. V
/
61
1 , 1 3 . - VIDRIERA HIPERCUBICA DESPLEGABLE
PROMOTOR:
El pintor Salvador Dalí.
El modelo de funcionamiento lo estudio
Emilio Pérez Pinero, hacia 1965.
La decisión de efectuar una
vidriera la debieron tomar conjuntamente arquitecto y pintor.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Año 1971.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Anteproyecto y maqueta, a 1/3 de la escala real.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Esto se pensó para cerrar la embocadura de la escena en el teatro de Figueras, una estructura portante de vidrieras pintada
por Dalí.
La vidriera se plegaba, quedando un cubo, y de des-
plegaba hasta tapar la embocadura en forma de arco de medio
punto, de 18 metros de altura por 10 de ancho.
La estructura portante se
ha - visto ya en la cubrición del Pa
bellón transportable para exposiciones de 1964.
Las diferencias son : solo la constituyen las barras tubulares
inclinadas que unen nudos de cada cara.
en las caras paralelas.
62
No hay ninguna barra
Sobre los nudos de una cara, se mon-
tan soportes análogos para recibir las vidrieras.
Desplegada
define un plano vertical.
Este se realiza de forma automática, tirando de cuatro puntos
situados aproximadamente al centro de los ejes de simetría, materializados por una cruz.
Es accionado por un motor y lleva
incorporados dos relojes para delimitar los tiempos, en posición
plegada y desplegada. SE ESTUDIA CON DETALLE EN EL CAPITULO VII
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
- Maqueta a escala 1:3 expuesta y funcionando en el Museo Dalí,
en Figueras.
- Croquis de los mecanismos a mano alzada.(Ver anexo).
PUBLICACIONES:
- "Vidriera hipercübica desplegable".
Revista: Arquitectura n° 162-163, Julio-Agosto 1972 pag. 23 y
24
- "Emilio Pérez Pinero 1.936-1.972!
Revista-. L 'Architecture d 'Aujourd'hui , n2 162 , Octubre-Noviembre 1972, pag. V.
63
1 . 1 4 . - MODULO DESPLEGABLE AUTOMÁTICO
PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Hacia el año 1.970.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Es un modelo de estudio que realizó para intentar llegar al automatismo total, es decir, además de no tener que añadir ninguna
barra a la estructura desplegada, conseguir que se desplegara
sola'.
Los usos que le preveía eran muy especiales: antenas de satélites espaciales y colocación de invernaderos en la luna.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
La motivación para realizar este modelo de investigación es la
que narra con detalle Félix Candela, referente a sus conversaciones con un biólogo y un botánico que estudiaban la posibilidad de colocar una invernadero en la luna (ver Biográfia) .
La disposición de las barras es la misma que empleó en la (1.10).
64
Cúpula reticular para grandes luces": nudos en dos superficies curvas media con barras en la superficie exterior y sin
barras en las superficies interior.
Para que pueda desplegarse solo, la diferencia con 10/0 está
en la colocación de dispositivos que contienen un muelle alrededor de una barra vertical con tope. Se disponen en cada
tres nudos de la malla exagonal situada en la superficie exterior.
Con este modelo se cierra la investigación sobre estructuras
espaciales desplegables. No llegó a poder ejecutar ninguna obra real y perdimos el diseño de los nudos resultante del cambio de escala.
-SE VUELVE SOBRE EL EN EL CAPITULÓ X.
DOCEMENTACION EXISTENTE:
-El contenido de la documentación "Auguste Perret", consis—
tente en tres fotografías.
-El modelo en posesión de su familia.
65
1,15.- TIENDA DE CAMPAÑA
PROMOTOR:
Emilio Pérez Pinero.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Año 1971.
NIVEL DE REALIZACIÓN.
Es un modelo de tienda de campaña desplegable, a escala no ma
yor de 1/3.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
El modelo consiste en el armazón metálico de una tienda de
-
campaña plegable, con un desplegado automático. Tiene el inte
rior diáfano. Los seis soportes son los vértices de un exágono.
66
El mecanismo utilizado para que su despliegue sea automático
es el definido en el módulo comentado anteriormente, colocado
en el centro del exágono. Los nudos se fijaran una vez desple
gado, impidiendo todo movimiento. También se colocan barras uniendo los nudos de apoyo, es decir, se matrializaba el exáe*
gono del piso.
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
El modelo en posesión de la familia.
67
1.16.- CUBRICIÓN DEL VELÓDROMO ANOETA EN SAN SEBASTIAN
PROMOTOR:
Fue un concurso de proyecto y construcción/ promovido por el Excmo. Ayuntamiento de San Sebastián.
FECHA DE EJECUCIÓN:
Año 1972.
NIVEL DE REALIZACIÓN:
Maquetas, planos de definición1general y memoria descriptiva
correspondiente a la documentación presentada al concurso.
No se llegó a realizar. El concurso fue fallado poco antes —
de ocurrir el accidente que le costaría la vida a Pérez Piñe
ro, y probablemente antes de la noticia sobre la concesión del premio "Auguste Perret". Con estos dos sucesos, hubo las
suficientes presiones para que se estudiara el anteproyecto
realizado por Pérez Pinero. Se encarga de ello a la empresa
a la que estaba ligada la solución ganadora y al arquitecto
68
Félix Candela. Las razones que cuenta este último, por lo que
no llegaron a ejecutarlo, son: que el sistema de desagüe de las cubiertas parciales no tenía el funcionamiento deseable,
y la solución estructural era por lo menos tan competitiva co
mo ia que se adjudicó en primer lugar.
CARACTERÍSTICAS MAS IMPORTANTES:
Se plantea una solución con la superficie mínima de alzado, ~
casi todo es cubierta y con la intención expresa de no copiar
otra realizada.
La estructura consiste en una vieja aspiración, reticular la
esfera sin ayuda de poliedros. Su forma de casquete de esfera
de 30 a 40 metros de diámetro y 9 metros de altura máxima,
(incluidos los soportes). Se realiza en acero, pero no explica como sería la sección de las barras, ni su longitud, ni el
tipo de nudos, ni su forma de unión.
El casquete se corta donde interesa y los bordes contienen
terminaciones de nudo y de barras de magnitudes variables, in
distintamente. Recoge todos estos finales con una viga de bor
de, que tampoco aparece comentada.
Describe con más detalle el número de puntos de apoyo, entre
soportes y apoyos directos (el terreno está en desnivel): Cada dos soportes llegan a un punto de cimentación, realizándoos
se esta con pilotaje.
Propone dos tipos de forma y material de cubrición: una, montando una estructura auxiliar sobre los exágonos y triángulos
que forman los arcos, de forma que quedan pirámides de base exágonal y tetraedros; coloca encima material de cubrición
convencional
, En el diseño de la otra toma un exágono y dos
triángulos: queda un paralelogramo para el que se diseña un paraboloide, quedando paños verticales, por lo que conseguía
iluminar
todo el casquete en su interior.
EL RETICULADO COMENTADO APARECE AL FINAL DEL CAPITULO III.
Su diseño es semejante a la cubrición de la piscina de Dracy
de Stephne du Cháteau.
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE:
Ninguna. La información más abundante se encuentra en la p u blicación reseñada en lo que sigue, donde se reproduce m e m o ria, dos planos y fotografías de las maquetas de estructura y
aspesto general.
PUBLICACIONES:
- "Anteproyecto de cubrición de velódromo Auseta de San Sebas
70
tián".
Revista: Arquitectura n° 162-163. Julio-Agosto 1972 pag. 16 a
19.
71
DOCUMENTACIÓN EXISTENTE ESCRITA POR EMILIO PÉREZ PINERO:
- Patente n2 266.801 de 1961 sobre "Estructura reticular estérea plegable". Ver anexo.
- Patente n° 283.206 de 1962, sobre "Mejora introducidas en el objeto
de ""la patente anterior, 266.801". Ver anexo.
- Patente n° 311.901 de 1965, sobre "Sisteraa de montaje de una estruc
tura resistente esférica triangulada". Ver anexo.
- Patente n° 397.963 de 1971, sobre "Sistema de pianos articulados
cubriendo una estructura reticular estérea desplegable".Ver anexo.
- "Material, estructura, forma".
Revista: Hogar y Arquitectura n2 40 pag. 25 a 30.
1962
- "Notas sobre las estructuras"
Revista: Arquitectura, Mayo 1964, pag. 22 y 23.
- "Estructuras reticuladas"
Revista: Arquitectura n2 112.
1968
- "Cubiertas de grandes espacios"
Revista: Hogar y arquitectura n° 101 pag. 82 a 85.
?2
1972.
EN RESUMEN, la documentación existente es muy desigual y a veces
casi simbólica.
La documentación escrita más extensa corresponde al contenido
de las tres patentes de estructuras y de la patente de c u b r i —
ción plegable. La documentación gráfica coherente corresponde
a un solo proyecto. La fuente documental más abundante y de fa_
cil consulta la constituyen las fotografías de revistas acompa_
nadas de textos de pie de foto, pero es la información menos rigurosa.
Hay un total de cinco obras realizadas, cuatro cúpulas esféricas y una estructura plana plegable. De ellas dos son fijas, pero las demás, (y muchos modelos), al contrario que en c u a l —
quier otra construcción, su uso no solo no es pemanente, sino
muy esporádico o nulo por no conocer sus dueños . la informa
ción necesaria de montaje.
No hay documentación gráfica ni escrita intrisecamente, solo su realidad, afortunadamente poco compleja en el sentido de es_
tar hecha por pocos componentes distintos y todos a la vista.
Todo lo que dejó, excepto el "Pabellón..." construido en CASA,
sallo casi físicamente de sus manos: maquetas, obras completas
y algunas herramientas necesarias.
Pudo ser en parte obligado, por mantener el secreto bajo patente
y la dificultad en el entendimiento de planos del personal auxiliar con que fácilmente podia contar. Realmente estas obras fue_
7Z
iÍQrr posibles porque prácticamente solo requirió un oficio de la
construcción.
En lo que sigue se estudian los trabajos
de mayor interés,
dando información más completa de esas obras, analizando el funcionamiento de sus componentes y aportando variantesy otras
veces soluciones que completan el grupo de tipos bajo los mismos patrones de diseño.
74
MADRID. 28 Septiembre 1961. Pag. 9
COMO
DOCUMENTACIÓN COMPLEMENTARIA SE ADJUNTA UN Í N D I C E DE
DIARIOS, EN LOS QUE SE RECOGEN ENTREVISTAS Y REFERENCIAS
DE EMILIO PÉREZ PIÑERO, . ENTRE 1961 Y 1967.
Revista TIEMPO NUEVO. n° 91 Septiembre 1961
TÉCNICA E INVENCIÓN. n° 87
LA VERDAD de Murcia. 16 Diciembre 1961
MADRID. 21 Diciembre 1961. Pag. 15
PUEBLO. 21 Diciembre-1961. Pag. 15
- HOJA DEL LUNES de Murcia 17 Julio 1961. Pag. 6
LA VERDAD de Murcia. 31 Diciembre 1961. Pag.11
- YA. 17 Julio 1961. Pag. 31
EL ALCÁZAR. 1 Mayo 1962
'- NOTICIERO UNIVERSAL, 17 Julio 1961. Pag. 10
MADRID. 17 Abril 1962. Pag. 9
- MADRID. 17 Julio 1961. Pag. 22
PUEBLO. 4 Abril 1962. Pag. 15
- LA VANGUARDIA ESPAÑOLA. 18 Julio 1961. Pag. 9
ABC. 23 Marzo 1962. Pag. 57
- ABC. 18 Julio 1961. Pag. 70
ARRIBA. 23 Marzo 1962. Pag. 8
- YA. 23 Julio 1961.
YA. 22 Marzo 1962. Pag. 6
- YA. 24 Julio 1961
MADRID. 22 Marzo 1962. Pag. 2
- LA VERDAD de Murcia. 26 Julio 1961. Pag. 8
LA VOZ DE CASTILLA. 16 Marzo 1962
- ARRIBA. 30 Julio 1961. Suplemento dominical
PUEBLO. 15 Marzo 1962. Pag. 16
- MADRID. 31 Julio 1961
ABC. 1 Febrero 1962. Pag. 46
- ÍNDICE DE ARTES Y LETRAS. Agosto. 1961. Publicación mensual
ARRIBA. 14 Marzo 1964. Pag. 15
- LA VERDAD de Murcia. 9 de Agosto 1961. Pag. 15
YA. 15 Marzo 1964.
- DIARIO JAÉN. 10 Agosto 1961
PUEBLO. 17 Marzo 1964
75
- YA. 20 Marzo 1964. Pag. 17
ABC. 1 Agosto 1966
- YA 1 Mayo 1964. Pag. 1§ a 11
YA. 1 Agosto. 1966
- ARRIBA. 2 Mayo 1964
MADRID. 1 Agosto 1966
- INFORMACIONES. 2 Mayo 1964
LA NOCHE. 1 Agosto 1966
- YA. 2 Mayo 1964
PUEBLO. 1 Agosto 1966
- YA. 2 Mayo 1964-
HOJA DEL LUNES de La Coruña. 1 Agosto 1966
- ABC. 2 Mayo 1964
LA VERDAD de Murcia. 28 Junio 1966
- EL DIARIO VASCO. 6 Agosto 1964
LA VOZ DE ESPAÑA. 28 Julio 1967
- LA VOZ DE ESPAÑA. 19 Agosto 1964
EL DIARIO VASCO. 28 Julio 1967
- UNIDAD. 19 Agosto 1964
LA VOZ DE ESPAÑA. 30 Julio 1967
- EL DIARIO VASCO. 19 Agosto 1964
EL DIARIO VASCO. 30 Julio 1967
- EL IDEAL GALLEGO. 7 Agosto 1966
- EL ALCÁZAR. 21 Abril 1965
- ABC. 10 Diciembre 1966
- YA. 10 Diciembre 1966
- ARRIBA. 10 Diciembre 1966
- EL ALCÁZAR. 8 Diciembre 1966
- LA NOCHE DE GALICIA. 4 Agosto 1966
- LA VOZ DE GALICIA. 2 Agosto 1966
- EL IDEAL GALLEGO. 2 Agosto 1966
PARTE 1A:
CÚPULAS TRIANGULADAS DESMONTABLES Y FIJAS
INTRODUCCIÓN
En esta parte se va a analizar el grupo de estructuras que realizó Emilio Pérez Pinero, definidas co
mo fijas o fácilmente desmontables y que provienen
de la manipulación de un poliedro regular: el icosa
edro. En este estudio se razona cual es el proceso
seguido para su total definición, y se emplea pasa
dar todos los datos necesarios como si fueran a ser
construidas; se documentará gráficamente cada una de ellas.
/
Para empezar vamos a transcribir las definiciones —
del propio proyectista, dadas a través de sus escri
tos más extensos: las definiciones de las patentes.
La patente nQ 311.901 de Emilio Pérez Pinero, corresponde al reticulado y montaje de estructuras es
fericas trianguladas de barras. Nos acerca al modelo de división elegido en los siguientes párrafos:
En la segunda página:
"Las dimensiones y formas de los elementos de la estructura
78
/
se obtienen mediante la proyección de las caras de un poliedro, que puede ser por ejemplo, un icosaedro, o también un poliedro resultante de trucar los vértices de un poliedro regular, sobre una superficie esférica base, de forma que ésta
queda dividida mediante arcos de círculo mayor, para obtener
un poliedro esférico.
Las caras de dicho poliedro esférico se cortan mediante' haces
de planos, preferentemente tres o cuatro haces de planos, que
de acuerdo con unas condiciones matemáticas apropiadas determinan una triangulación tal que los círculos de arco mayor
-
que marcan la disposición y direcciones de las barras hace
que estas varíen lo menos posible, es decir, que exista el me
ñor número de variantes posible, en dirección y forma, con el
fin de reducir al mínimo el costo de fabricación y que las ba_
rras resultantes trabajen mecánicamente dentro de unos coeficientes muy semejantes".
En la p á g i n a
sexta:
"Para obtener la disposición de las barras componentes de la
estructura se corta dicha superficie esférica por tres haces
de planos, de manera que dividan cada arco lateral de cada
triángulo esférico en un número de partes que sea múltiplo de
dos o de tres, o de dos y tres simultáneamente, en el caso que nos ocupa este número de seis y doce.
79
Los ángulos entre planos de cada haz han de ser tales que el
número de barras distintas sea el mínimo así como la forma de
las divisiones triangulares...."
En la página 7:
"Las condiciones de semejanza de las barras y formas antes citadas se obtienen, en términos generales, haciendo que los
arcos en que quedan divididos los lados de los triángulos esféricos equiláteros, subtienden ángulos distintos, que disminuyen a medida que las divisiones se acercan a los vértices.
En particular
4
Q
28' 3"80
5° 3r52"76
En caso de doce divisiones son de:
; 4 Q 51* 25"14
;5
o
41* 34"85
; 5® 13* 14"65
; 5 o 52* 51"80
siendo también iguales dos a dos, simétricamente las seis res
tantes."
Desde principios de siglo se está procediendo a resolver estructuras reticuladas según superficies
(1) "An history of the developement of domes
and a review of crecent achievements
world-wide"
Z.S.Makowski
Ar.alysis, design and construcción of
braced domes, pgs: 1 a 85
Granada Publishing. London 1984
esféricas con barras de acero, a partir de distintos tipos de reticulado. Baste recordar que las pa
tentes de las cúpulas tipo Schwedler y "lamella" son de la primera década del siglo-' . En la biblio
80
grafía citada se puede ver, qunque resumibles en unas pocas familias, la gran variedad de procedi—
mientos con reticulados no siempre triangulados.
La idea de reticular una esfera a partir de pólicedros regulares inscritos en ella, o más concreta—
mente empleado el poliedro que de entrada da más subdivisiones, el icosaedro, fue un recurso emplea_
do en la linea de investigación principal en la op_
tica alemana Cari Zeiss: Estaban desarrollando el proyectormóvil y necesitaban una superficie esferal
ca para monstrar a una audiencia numerosa el movimiento de los astros en la bóveda celeste, es d e —
cir, el primer planetario. Para el. tamaño del espa
ció disponían en el centro de la esfera, 32 proyec
tos que iluminaban 32 campos fijos de estrellas.
Conseguían 32 áreas iguales tomando los vértices de un icosaedro (T2 pentágonos y 20 exágonos de ca
sa igual área).
Para hacerlos construibles, triangulaban cada polí_
gono y a su vez cada triángulo. Los ópticos c o n s —
truyeron media esfera de barras de acero con las uniones que se muestran (y una precisión de 2 milé
81
simas) en la azotea de la fábrica de Jena en 1922.
Del resto de la obra {cálculo y construcción) se encargaron Franz Dischinguer y Ulrich Finsterwalder
El esqueleto de los ópticos sirvió de cimbra al en
cofrado de madera sobre el que proyectaron h o r m i —
gón, pues sobre la azotea se .colocó una solución de poco peso. La estructura resistente era la lámi
na de hormigón.
Con los años 50 aparece el icosaedro de la mano de
R.B. Fuller.
La patente es de 29 de Junio de 1954, y se aporta
una reticulación de las caras del icosaedro con lí
neas "paralelas" a las alturas del triángulo. La adjetivación de "geodésica" le corresponde. No usó
Fuller solamente este proceso de reticulado. En la
cúpula "Radon" y en la cara exterior del pabellón
USA en la EXPO de Montreal de 1967, emplea un reti
culado del triangulo con líneas "paralelas" a las
caras, semejante a la de Zeiss y a las que emplea
Pérez Pinero.
Puede no ser muy erróneo pensar de los ópticos pu82
June 29, 1954
TtlKl D M . l í . 1931
R. a. F U L L E R
2,682,235
dieron tomar las ideas de los astrónomos, empeñados en situar los cuerpos celestes.
• S>**t*-¿b*<t 1
De cualquier forma, corresponde al icosaedro el es
tudio mas detallado y más interesante, por ser cía
ramente muy repetitivo, por la poca dispersión de
los valores de las longitudes de. barras, aunque en
cúpulas grandes la triangulación fuera compleja.
Fuller defendía por esto una más uniforme distribu
ción de tensiones: Aunque paralelamente (o algo posteriores) se realizaron otros estudios de reticulados de esos mismos criterios, como por ejemplo
los realizados con arcos de meridiano continuos en
tres direcciones, o variaciones trianguladas del tipo "lamella", la correspondientes al icosaedro esférico alcanzó gran difusión y popularidad, en gran parte por el esfuerzo de Fuller en su consoli
dación, y se fueron aportando diversos tipos de re
ticulado del triángulo equilátero base del icosaedro .
%/.
I'-'i f w ,
ATTOXNCT
La patente que estamos comentando de Emilio Pérez
Pinero es de 15 de Abril de 1965, (probablemente no conocía los estudios alemanes, y el icosaedro -
Váyina l de la patente americana de H. B. Fuller.
83
de Jena fué un hecho aislado entre los posterioresplanetarios), pero bien podria conocer estudios de Fuller y con toda seguridad muchas de las re
alizaciones a pesar de estar bajo patente, la difi
cuitad de estar en otro idioma y la escasa c a n t i —
dad de "interesados" en el país como para que fuera fácil y frecuente el intercambio de información.
84
CAPITULO I I :
RETICULACIÓN DE LA ESFERA A PARTIR DE UN ICOSAEDRO
2.1 - ICOSAEDRO: LADO. VÉRTICES
Primero vamos a hallar todos los parámetros sinificativos para
poder definir mejor el problema: ángulo que abarca la cuerda-la
do
del icosaedro, valor del lado en función del radio, coorde-
nadas de los vértices y algunos otros.
Lamamos h
a la altura de las pirámides con base pentagonal re-
gular (que contienen 5 triángulos equiláteros cada una), y h ,
a la altura de la corona entre ambas (que contiene 10 triángulos equiláteros). Dando una sección a la esfera por un plano que
contiene al eje OZ con el vértice A, y otro vértice del icosaedro, es decir, conteniendo una arista de la pirámide, tenemos:
c = Rcosa
; h
= 2Rcosa
T
h
P
T
= R - Rcosa ; h = R(l - cosa)
P
f-y
— = Rsen—
,
—„•—„•••
; L = R /2(l-cosa)
Si determinamos el valor de a, tenemos los anteriores datos solo
h-1
,
MERIDIANO
en función del radio R de la esfera. También podremos conocer
las coordenadas de los 20 vértices, que son puntos de la esfera
85
circunscrita.
Para determinar a, partimos de una de las pirámides: tienen todas las aristas de la misma longitud L, y la base íes un pentágc)
no regular inscrito en un paralelo de radio r.
'
ex
r = Leos™
r =
L
1
2 senct/5
y también
L
1
2 sen 36
Igualando ambas expresiones
L eos ~ = ^
^ r o = 1/ 2 x 0,59 = 0,85
2
¿ sen Jo
a = 2 a r c c o s 0,85 = 63,434948° = 63,43°
También de l a misma f i g u r a ,
tenemos
t g3 a = t g 63,43? = —^7- = 2
^
• .h / 2
c
;
r = h
c
es decir, cualquier sección proyectada de la corona, está en la
proporción de 2 a 1.
ü
h_ =
R(l - eos
= ftll
C U S 63,43
O J i l J ) = R(l - ¿- )
p
h = 2R - 2h = 4r
c
p
v5
t, = 2 R sert = 2R sen 31,7° = 1,051 R
2,3r ~ COORDENADAS DE LOS VÉRTICES
A=l
0
0
R
BH2
R •sen63,43°sen54°/ -R sen63,43°cos54°,
R cos63,43°
CH3
R sen63,43°sen54°/
R sen63,43°cos54?,
R cos63,43°
4
-R sen63,43°senl8°,
R sen63,43°cosl8°,
R 00363,43°
5
-R sen63,43°
6
-R sen63,43°senl8°, -R sen63,43°cosl8°,
7
-R sen63,43°
S
- R sen63,43°senl8°,
R sen63,43°cosl8°, -R cos63,43°
9
-R sen63,43°sen54°,
R sen63,43°cos54°, -R cos63,43°
0
.0.
R 00363,43°
R cos63,43°
-R cos63,43°
10
-R sen63,43°sen54?, ~R sen63,43°cos54°, -R cos63,43°
11
R sen63,43°senl8°/ -R sen63,43°cosl8°, -R cos63,43°
12
0
0
-R
2.2 - TRIANGULO ESFÉRICO
El triángulo plano, cara del icosaedro, se proyecta en la esfera,
con tres arcos de meridianos iguales, que abarca el ángulo a=63,43
El triángulo esférico proyección es equilátero de lados Ra y ángulos 360°/5 = 72? Para calcular su altur,- H = Ra, / conocemos dos
lados y los ángulos del triángulo rectángulo esférico del que for_
ma parte. Por las formulas de Bessel, tenemos:
sena, = sena :sen27r/5 = sen63,43°sen72° = O, 8506
87
23
- PROCEDIMIENTO DEiRETICULADO
Solamente nos basta con coger un veinteavo de la superficie de
la esfera, la parte correspondiente a la superficie de una cara-
La patente de Emilio Pérez Pinero,:-de élló, únicamente
nos da
los ángulos de subdivisión de a, que para un número de partes
(frecuencia) de 12, son los que se muestran en la figura.Sumados todos dan una diferencia con a, de 0 o 13' 42".
Vamos a describir el proceso de reticulado a seguir, con el que
salen estos mismos valores, para los ángulos de división en partes de cada lado del triángulo esférico.
12- Se dividen los lados del triángulo equilátero
plano, en un número de partes iguales (por ejem
pío, 12).
22- Por cada punto de subdivisión, se trazan rectas
paralelas a los otros dos lados.
32- Del reticulado plano así obtenido, se traslada
cada punto a la esfera, haciendo pasar un radio.
42- Se halla la longitud de las cuerdas (barras) como distancia entre ¡dos puntos en el espacio.
Al trasladar los puntos 1 a n de cada lado L del triángulo plano,
se transforma en una división de arcos desiguales en el lado Ra
del triángulo esférico. Existe eje de simetría en el punto medio
del arco, punto a donde llega la altura del triángulo esférico.
Asi con cada lado.
Al coger la primera recta paralela al lado L, ocurre lo mismo,
siendo el eje de simetría el punto donde esta recta corta a la
altura del triángulo (punto medio otra vez de ese arco), y lo
mismo
con las rectas paralelas a cada lado. Y así sucesivamente.
Por consiguiente las tres alturas son ejes de simetría de las
mismas características, y los espacios que delimitan con los me
dios lados correspondientes, son seis triángulos rectángulos iguales, en los que las condiciones de traslado de cada punto del
plano a la esfera, se repiten. Por consiguiente, con trasladar
los nudos contenidos en 1/6 de la superficie {queda 1/6 de 1/20),
y unirlos, tenemos las barras distintas que lo componen.
Con una frecuencia de 12, los puntos que tenemos que trasladar
son los que figuran como intersección de lineas continuas en la
figura. La retícula procedente de la división del triángulo plano del icosaedro, nos da triángulos equiláteros de lado 1 - L/12,
todos iguales.
89
TRIANGULO EQUILÁTERO DEL ICOSAEDRO: RETÍCULA
1(1.13.13
79
80
81
82
83
84
(i.j.k)
90
85
86
87
88
89
.-l^i^j^kslS
90
91
2.5 - COORDENADAS CARTESIANAS DE CADA NUDO DEL PLANO
Tomamos el triángulo A B C , del que conocemos las coordenadas de
sus tres vértices:
AE1 {
B=2
0
0
1
)R
( 0,7236
-0,5257
0,4473 )R
C E 3 ( 0,7236
0,5257
0,4473 )R
Tenemos que dividir los lados AB, BC y AC en doce partes iguales.
Las coordenadas de cualquier punto de la división son:
VYA
::. x -x
( X +
A
n
i , Y„ +
' A
VZB
i , Z,
A
n
i )
n
con las rectas en las posición y pendiente de la figura (caso de
AB y A C ) .
Para la recta AB, con 12 divisiones iguales, tenemos las siguien
coordenadas cartesianas de los puntos:(para la esfera de R = L)
1 13 13
X
y
z
0
0
1
2 13 12
0,06030057
0,04381093
0,95393446
3 13 11
0,12060113
0,08762185
0,90786893
4 13 10
0,18090170
0,13143278
0,8618034
5 13 9
0,24120227
0,17524370
0,81573786
6 13 8
0,30150283
0,21905463
0,76967233
7.13.7
0,36130340
0,26286555
0,72360680
8.13.6
0,42210397
0,30667648
0,67754126
9.13.5
0,48240453
0,35048741
0,63147573
ANTES DE CONTINUAR con los nudos interiores, vamos a comprobar
que ángulos a', abarcan estos doce trozos de recta.
Si tenemos tres puntos: 0, 1 y 2, el ángulo enfrentado al segmera
to T2 es:
aa' + bb' + ce'
eos y = / 2 . 2—2~/—,2
, ,2 ^1
/a +b +c / a ' +b +c '
donde a =
1 (x1,y1,z1)
XJ-XQ;
b =
etc.
Y^YQJ
Con nuestra notación particular, y siendo o(0,0,0), tenemos
fL ( x .i - 0 )
cosa,=
O (0,0,0)
.£ii.
(x.i+l , - 0 ) 1J + Jyr.iy+
. 1, + zi. z . i+l,
+ y .2 + z .z Á
vx. n—~2
, + y. „ + z . ,
i
i
i+l
í+l
í+l
2 (x2,y2,z2)
por lo que aplicado', a las coordenadas que acabamos de hallar,
nos quedan los siguientes ángulos,que comparamos con los dados
V * V = V * V * eos 6
en la patente:
92
eos a.i
a.
i
i
a
0,9969
1
°s
a
3
%
S
a
a
7
a8
4° 28' 3"80
0,9964
4,856984014 ~ 4
51*25"14
4 o 51'25'14
0,9958
5,220727893 E 5° 13*14"62
5° 13'14"65
0,9953
5,531314713 = 5° 31'52"73
5° 31'52"76
0,9949
5,759674114 = 5° 45'34"83
5° 41'34"85
o
5,881048549 = 5
o
52 51"77
0,9947
5,881048549 = 5
o
52'51"77
0,9949
5,759674114 E 5° 45'34"82
0,9947
*
4,467724754 = 4° 28' 3"89
PATENTE
,
*
5° 52'51"80
12
2 a. = (a 1 +a„+c¿-+a.+a r +c0 2 = 63,434948°
i i
1 2 3 4 5 6
Salvo error por parte de Pérez Pinero del valor de ángulo entre
la 55 y 65 división ( y entre la 75 y 85), o al menos en la trans
cripción que se encuentra repetidamente en la patente n° 311901,
se puede decir que lo expuesto es el procedimiento de reticulación
que usó para determinar los ángulos de los haces de planos que
menciona. Como los haces de planos cortan en meridianos a la esfera, mas adelante comprobaremos si todos los puntos (nudos) están contenidos
dos por
93
en arcos de meridiano, es decir, están determina-
corte de tres meridianos.
A
Para hallar las COORDENADAS DE LOS NUDOS INTERIORES DEL TRIANGULO PLANO, nos basta con hallar las coordenadas de las divisiones de longitud 1
en las rectas paralelas al lado BC, paralelo
a OY, y por consiguiente con las mismas coordenadas
X,Z, a lo lar_
1
go de cada linea i, pues cualquiera de las tres direcciones de
rectas paralelas, contiene todos los nudos.Cada fila i contiene
i divisiones
de longitud 1.
le la fila i ^
|Y A B |
I"
X.
E: Í 3 F 7 EE F í I^I
D H
,
ifi¿, con líián:
+
' i 'i
Fíí^OIO
\YAC:\
3
' i ' .
a
9
10
11
/
12
13
14
15
16
17
ia
94
1
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
13
12
13
11
12
13
10
11
12
13
9
10
13
13
12
13
12
11
13
12
1 1
1 1
12
13
8
9
10
10
9
13
12
11
1 1
10
13
12
0
l£j£i
J.
U N I D A D
PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VÉRTICES: 1
1
2
3
4
5
6
7
con
, Z
3 (i , j ,k,X,Y,Z)
0
6.030058E-02 -4.381093E--02
6.030058E-02
4.3B1093E- -02
. 1206012
-8.762184E--02
0
. 1206012
. 1206012
B.762184E--02
. 1B09017
.-.1314328
-4.381093E--02
. 1B09017
4.331093E- -02
. 1809017
. 1809017
. 1314328
-. 1752437
.,2412023
.2412023
-8.7621S4E--02
0
.2412023
' .£412023
8.762184E--02
.1752437
.2412023
-.2190546
.3015029
-. 1314328'
.3015029
-4.381093E -oa 0
.3015029
i
.9539345
.9539345
.9078689
.9078689
.9078689
.8613034
.8618034
.8618034
.8618034
.8157379
.8157379
.8157379
.8157379
.8157379
.7696723
.7696723
.7696723
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o^o-t>£>i>i>i>í>mui£Jiuiuiu!t^Ln(j:ui-c--c-^
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5
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3
2
1
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.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.6633063
.7236069
.7E36069
.7E36069
-.7236069
.7236069
.7236069
.7236069
.7E36069
.7236069
.7236069
.7236069
.7236069
.7236069
-.3942983
-.3066765
-.2190546
-. 13143E8
-4.381093E-02
4.3S1093E-02
. 1314328
.2190546
.3066765
.3942983
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-.5257311
-.¿•381092
-.3504874
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-.1752437
-8.762184E--02
0
8.76Ei84E~0£
. 175E437
.E6E8656
.3504874
.4381092
.5E57311
.493E79E
.493E79E
.4932792
.4932792
.4932792
.4932792
.4932792
.4932792
.4932792
.4932792
.4932792
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
.4472136
..4^72136
.4472136
.4472136
2.5 - COORDENADAS DE LOS NUDOS DEL TRIANGULO ESFÉRICO
Los.; puntos 0,A,C, determinan un plano, que al cortarse con la
esfera da el arco de meridiano AC. Con los extremos de los radios
contenidos en este plano, trazados desde O a las divisiones 1,2,
3,
n, tenemos determinados los nudos del lado AC del trián-
gulo esférico. Del mismo modo, la recta BC pasa a ser el arco BC,
y sus divisiones iguales se llevan a través del radio correspondiente hasta la superficie de la esfera.
Para la recta i
- i
, tenemos trasladados sus puntos extremos;
en el arco de meridiano que pasa por ellos, intersección del plano O iaTai,_ con la esfera,están el resto de los nudos, siempre
abarcando
arcos desiguales, con las simetrías oportunas.
Para hallar las coordenadas de todos los nudos, nos basta con
hallar la intersección de una recta que pase por dos puntos (el
origen de coordenadas y los puntos hallados antes) y la esfera.
x-x Q
recta
esfera
que siendo
9?
v-y 0
z-z Q
x x
r o" Vy(T V z 0
2 2 2
2
x +y +z - R
x =0, y n =0 y z = 0 , nos queda:
R
X
/
Y =
z =
E S F E R A
2
l+(y1/x1)
2
+(z / x )
1
x.
x.
D E
R A D I O
U N I D A D
PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS
EN CARTESIANAS Y P O L A R E S , ( X , Y , Z , F I , T E T A )
79
80
81
82
83
84
85
36
87
88
09
90
91
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
6.302041E-02
6.302041E-02
,1310845
. 131683
,1310845
.2031828
.2051797
.2051797
.2031828
.2777183
.2820579
.2835503
.2820579
.2777183
.3525724
.3602172
.3642309
.3642309
.3602172
.3525724
.4253255
.4370771
.4446135
98
1
0
-4.578701E-•02
.9969614
4.578701E--02
.9969614
.9867859
-9.523842E-•02
' .9912919
0
9.523842E--02
.9867859
-.1476209
.9679488
.9774621
-4.969059E--02
4.969059E--02
.9774621
,1476209
.9679488
-.2017741
.9392337
.9539102
-.1024635
.9589573
0
.1024635
.9539102
.9392337
.2017741
-.2561588
.9000419
-.1570278
.9195574
-5.292584E -02
.9298036
5.292584E -02
.9298036
. 1570278
.9195574
.2561588
.9000419
-.309017
.8506509
-.2117034
.8741541
-. 1076769
.8892269
0
4 . 467692
4.467692
9.324707
7.56686
9.324707
14.54543
12.18746
12.18746
14.54543
20.07675
17.46315
16.47223
17.46315
20.07675
25.S3643
23.13854
21.59579
21.59579
23.13854
25.33643
31 .71747
29.05499
27.22375
O
324
35.99999
324
0
35.99999'
3E4
346.3862
13.61382
35.99999
324
340.0354
0
19.96463
35.99999
324
336.4464
351.7323
8.267699
23.55361
35.99999
324
334.1562
346.3862
25
26
27
£3
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
4a
79 • 80
81
82
83
84
85
86
87
8B
89
90
91
43
44
45
46
47
48
49
50
51
5E
53
54
/ 55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
.4472137
.4446135
.4370771
.4253255
.4936014
.5099233
.5217493
.5279794
.5279794
.5217493
.5099233
.4936014
.5554366
.5763475
.592818
.603405
.6070621
.603405
.592318
.5763475
.5554 3 6 6
.6095483
.6346303
.6556156
.6708205
.6788306
.6789306
.6708205
.6556156
.6346303
.6095483
.6554223
.6839324
.7088757
.7284618
.7410225
.745356
.7410225
.7284618
.7088757
.6839324
.6554223
.6932246
.7242566
.7523256
.7756591
.7924778
.801308
99
0
. 1076769
.2117034
.309017
-.3586223
-.2646292
-.1624598
-5.479992E-02
5.4799922-02
.1624598
.2646292
.3586223
-.4035482
-.3140557
-.2153537
-. 1 0 9 5 9 9 8
0
.1095998
.2153537
.3140557
.4035482
-.4428627
-.3586223
-.2646292
-.1624598
-5.479991E-02
5.479991E-02
. 1624598
.2646292
.3586223
.4428627
-.4761921
-.3975247
-.309017
-.2117033
-. 1 0 7 6 7 6 8
0
. 1076768
.2117033
.309017
.3975247
.4761921
-.5036571
-.4305299
-.3478341
-.2561588
-.1570278 .
-5.292584E-02
.8944272
.8892269
.8741541
.8506509
.7923055
.8185046
.B374871
..8474873
.8474873
.8374871
.8185046
.7923055
.7270758
.7544486
.7760088
.7898673
.7946545
.7898673
.7760088
.7544486
.7270759
.6575132
.6845689
.7072055
.7236068
.7322473
.7322473
.7236068
.7072055
.6845689
.6575132
.5862275
.6117276
.6340377
.6515559
.6627906
.6666666
.6627906
.6515559
.6340377
.6117276
.5862275
.5155284
.538606
.5594799
.5768323
.5393397
.5959065
26. 56506
27. 22375
29. 05499
31 .7 1 7 4 7
3 7 ..59852
35. 06463
3 3 .. 1243
32. 06058
3 2 ..06058
3 3 ..1243
3 5 ,.06463
3 7 ..59852
43,.3582
41 .
.02579
3 9 ,. 10341
3 7 ..82689
3 7 ..37737
3 7 .,82689
3 9 ,. 10341
41 .
.02279
4 3 ,.3582
4 8 ..88951
46,.79829
4 4 ,.99201
4 3 .64693
4 2 ,.92488
4 2 .92488
43..64693
4 4 .99201
46,.79B29
48.-8B951
5 4 ,. 11025
5 2 .29548
5 0 .65136
49 .34099
48..48696 '
4 8 .18969
4 8 .48696
4 9 .34099
5 0 .65136
52 .28548
5 4 .11025
5 8 .96723
5 7 .41121
5 5 .98017
54..77196
5 3 .88984
5 3 .42273
0
13.61382
25.B4377
35.99999
324
332.5726
342.7047
354.0744
5.925613
17.2953
27.42746
35.99999
324
331.4137
340.0354
349.7053
0
10.29472
19.96463
28.58627
35.99999
324
330.5297
338.0193
346.3362
355.3847
4.615304
13.61382
21.98071
29.47029
35.99999
324
329.8334
336.4464
343.7952
351.7323
0
8.267698
16.20476
23.55361
30.16661
35.99999
324
329.2709
335.1868
341 .7244
348.7922
356.2211
73
74
75
76
77
7S
79
80
ai
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
79
80
81
82
83
84
85
86
87
89
90
.801308
.7924778
.7756591
.7583256
.7242566
.6938246
.7236069
.7562448
.7865068
.812731
.8331547
.8461736
.8506508
.8461736
.8331547
.812731
.7865068
.7562448
.7836069
91
100
5.8925848-02
. 1570878"
.2561588
.3478341
.4305299
.5036571
-.5857311
-.45787
-.3809537
-.2952418
-.2017741
-. 1024635
0
.1024635
.2017741
.295241B
.3809537
.45787
.5257311
.5959065
.5893397
.5768323
.5594799
.538606
,5155284
.4472136
.467385
.4860879
.5082954
.5149179
.522964
.525731
.522964
.5149179
.5022954
.4860879
.467385
.4472136
5 3 ,.42273
5 3 ..88984
5 4 ,.77196
5 5 ..98017
5 7 ,.41121
5 8 ..96723
63..43495
6 2 .. 13533
60..91623
59..84803
5 9 .00804
5 8 ..46872
5 8 .88254
5 8 ..46872
59 .00804
59..84803
6 0 .91623
6 2 ,. 13533
63..43495
3.778858
11 .80786
18.27563
24.81383
30.7291
35.99999
324
32S.B071
334.1562
340.0354
346.3868 "
353.0957
0
6.904354
13.61382
19.96463
25.84377
31 . 1929
35.99999
2.6" - COORDENADAS DE LOS NUDOS COMO INTERSECCIÓN DE MERIDIANOS
Retomando lo que se dejó dicho en la hoja n°79:Emilio Pérez Pinero
según la patente n° 311.901, busca tres haces de planos en tres
direcciones cuyas intersecciones con las esfera son meridianos que
al cortarse definen los nudos del reticulado.
Según se ha ido definiendo el procedimiento de traslado de puntos
del plano a la esfera, parece que resulta obvio que los nudos del
reticulado están en el punto de intersección de meridianos en tres
direcciones. No obstante, para comprobarlo, vamos a hallar las de
uno,de la siguiente manera:
- definimos cada uno de los tres meridianos como Ínter
sección de un plano que pasa por el centro de la esfera, con ella.
- Definimos cada plano con las coordenadas de tres de
sus puntos, en el que uno de ellos es el 0( 0,0,0) y
los otros dos, de los lados del triángulo del icosaedro, con la división conocida
x~x 0
x
V o
X
2"X0
y-y
y y
o
r o
y
2~y0
z-z 0
z 2
r o
Z
= 0
2"Z0
es una ecuacuion en x,y,z sin ternimo independiente.
101
- Para tres meridianos tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones
plano
ax+by+cz=0
plano
a'x+b'y+c'z=0
plano
a"x+b"y+c"z=0
2 2 2 2
esfera
x +y +z =R
- Cada dos planos definen una recta, que al cortarse con
la esfera nos da un punto
- Para que dá un solo punto, los tres planos se tienen
que cortar en la misma recta, es decir, la solución
i
del sistema de tres ecuaciones (homogéneo)
X =
Z
Y=
=
D
D
tiene que tener una solución distinta de x=y=z=0.
Como el numerador es siempre igual a cero por ser un
sistema homogéneo, tiene que ser
|D¡=0
para que exis-
tan infinitas soluciones:todos los puntos de la recta de la que hablábamos.
Vamos a comprobar esto para el nudo 9.9.9; vamos a ver si nos da
las mismas coordenadas que con el procedimiento anterior, y después intentaremos averiguar el proceso que pudo seguir Emilio
Pérez Pinero.
Las coordenadas de los puntos con los que vamos a determinar los
1 02
tres planos son:
O:
(0,0,0)
5.13.9:(0,2412 , 0,1752437 , 0,81573786}R
5.9.13:(0,2412 ,-0,1752437 , 0,81573786)R
9.13.5:(0,4824
, 0,3504874 , 0,63147573)R
9.5.13:(0,4824
,-0,3504874 , 0,63147573)R
13.9.5:(0,7236 , 0,1752437 , 0,4472136)R
13.5.9:(0,7236 ,-0,1752437 , 0,4472136)R
La ecuación de los tres planos, cuya traza sobre el triángulo
equilátero son las rectas de la figura,y que pasan por el origen
de coordenadas, son:
X
Y
Z
0,2412
0,1752437
0,81573786
0,7236
-0,1752437
0,4472136
0,22132x + 0,4824y - 0,1691z = 0
-0,22132x +0,4824y + 0,1691z = 0
y
0,2213243x + 0 - 0,1691z = 0
La intersección de estos tres planos tiene que ser una sola recta,
que al cortarse con la esfera, de las coordenaeas del nudo.El determinante de los coeficientes tiene que ser cero
D =
0,2213
0,4824
-0,1691
-0,2213
0,4824
0,1691
0,2213
0
es efectivamente = 0
-0,1691
Para hallar las coordenadas del nudo, tomamos dos de los tres pía
103
nos y la ecuación de la esfera:
Con 0,2213x + 0f4824y - 0,1691z = 0
0,2213x - 0,1691z = 0
2
2
2
2
x + y + z = R
nos da:
x = ^'2213
z =
0,764121z = 0,607157 R
0,1691 - 0,2213 ° ' 1 6 9 í
^21^z
= 0
0,4824
R
Z =
/0,764121
= 0,794582 R
+0 + 1
iguales que las del mismo punto en el listado de ordenador.
SIGUIENDO LA DESCRIPCIÓN DE LA PATENTE, nos podemos imaginar el
proceso que pudo seguir, de la siguiente manera:
Todos los meridianos que se emplean en el reticulado forman parte
de tres familias de planos que pasan por el 0(0,0,0); se ge-
neran a partir del plano que contiene cada lado del triángulo,
girando n veces un ángulo Y., empleando i = n/2 valores distintos
(siendo n la frecuencia de división). Bajo n ángulos y. se ven n
divisiones de las cuerdas que forman la poligonal de la altura CH,
y también la altura recta del triángulo del icosaedro, por trozos
de longitud 1/3/2 todos iguales. Recordamos que desde los ángulos
dados en la patente, que llamábamos a,, se ve la cuerda del arco
Ra., barra del reticulado, y la recta de longitud 1 = L/n en el
104
triángulo del icosaedro.
Los tres haces de planos que determinamos girando y., tienen sus
versores en los planos OCH
> OAH
y OBH
respectivamente, que
contienen las tres alturas del triángulo. El versor del plano
OAB está contenido en el plano XY, y es V
{sen 36
, eos 36 , 0}
.A.D
Para determinar las componentes del resto de los versores de ese
haz, se van girando los ángulos Y dentro del plano OCH
desde el
origen de coordenadas, y determinando sus componentes x,y,z. El
plano i se expresa como producto escalar igualado a cero, de su
versor
con -¥•
una recta OP |O(0,0,0), P(x>y,z)} contenida en él:
_J.
1
V 1
AB
X
OP
= 0.
Para el haz de planos OAC, los versores tienen las mismas componentes x,z; la componente y
por ser los planos OCH
es del mismo valor y signo opuesto ,
y OBH
simétricos.
Para el haz de planos OBC, como contiene el eje OY, sus versores
están en el plano (-x)
(+z) : V
BC
{eos {y.+yn+•-)r 0,seníy+Y~+•- - 0
1 <£
1 Z
y su ecuación : X = tgüy. Z-¡
x i
Con cada tres planos, uno de.cada haz, y la esfera, podemos despejar las coordenadas de un solo nudo. Para que esto pase, el deter
minante que forman los coeficientes de las icognitas x,y,z, del
sistema, tiene que ser igual a cero. Este determinante está forma_
do por las componentes de los versores, es decir, seno, coseno, y
tangente
10$
del y. correspondiente; por consiguiente queda una reía
ción de valores trigonométricos igualada a cero que se cumple para determinados y,. Hay que empezar pues decidiendo en concreto
los y.. Después
pasar a determinar los a,, único dato dado en la
patente.
Este camino es con mucho, mas tortuoso que el descrito aquí, antes,
y se llega a que hay que decidir los y.. A pesar de que es el procedimiento que describe, no tiene que ser el procedimiento que uti
lizó, sino una manera de explicarlo para hacer más fácilmente comprensible lo que estaba patentando, y de paso dejar claro que cumplía con las razones de diseño a que se había llegado en esos años,
que reticulando con meridianos, se empleaban menores longitudes totales de barras para igual superficie, por ser líneas geodésicas.
/
106
23
- LONGITUD DE LAS BARRAS, ÁNGULOS
Coniciendo las coordenadas de 2 puntos, (x ,y ,z ') y (x ,y ,z ) ,
la longitud de la recta que los une es:
_
d =/ (x2-x )
_
+ (y2-yp
_
+
íz
2
)
2~ i ^
Hablamos quedado en que las barras diferentes son las contenidas
en 1/6 de lr/20 de esfera. Como se va a> ver la variación de longi^
tud es poca. De las longitudes medias a las extremas hay una variación de un 12%.En comparación con otros reticulados, la red
de triángulos es casi uniforme, y comparando los esfuerzos a que
puedan estar sometidas las barras, resultarán diferentes pero no
desproporcionados, de unas a otras zonas de esfera.
Para n=12 él número de barras es 42, que con dos iguales por simetría, hacen 41 longitudes diferentes. Mirando los valores que
se dan para una esfera de radio unidad, si contamos con 7 cifras
decimales tenemos 36 barras de distinta longitud, si con 4 o 5
decimales, tenemos 30 y si con 3, 19 barras. Para una esfera de
radio R=20 m., la barra más larga nos daría unas longitudes de:
2.195,3 mm. con 7 cifras decimales
2.195,2 mm.
"
5
2.194,- mm.
"
4
2.180,- mm.
"
3
es decir, que para este caso (n=12 y R=20m.) hay precisión de
1 mm. tomando los factores por los que hay que multiplicar el ra
10?
1.13.13
dio con cuatro cifras decimales.
NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS
/
Conocidas las longitudes de los lados, se hallan los ángulos de
,2.13.12
los triángulos por las fórmulas de Briggs. Si los lados son a,b
Y c, el ángulo opuesto a "a" es:
3 =2arc tg
/jS=^US=Sl
s i e n d o p e l s e m i p e r i m e t r o d e l t r i á n g u l o . P o r r o t a c i ó n en l a n o t a
c i ó n se t i e n e n l o s o t r o s d o s .
t
,
S
F
E
R
«
R
JP2NGUL°S
BARRA
1 - 2
2 - 3
3 ~1
2 - 3
3 - 5
5 - 2
7.13.7
3 - 5
5 - 6
ó - 3
5 - 8
8 - 9
7 - 5
5 - 6
6 - 9
9 - 5
i.9.9
^9.10.8
108
RADIO
UNIDftD
TRIANGULO
n n
.12.7
DE
D E L D S TRI
i
ÁNGULOS DE BARRAS
LONGITUD
7.795675E-02
.09157^
ÁNGULO OPUESTO'
7.795675E-02
5^.0316^
71 . 9 3 6 7 ^
5<+.0316£*
• 09157Í+
B.272333E-02
8.272333E-02
67.21^35
56.392B¿*
56.3928íf
8.272333E-02
7.53^68^-02
.08<+7¿*¿t9 •
5^.3028
69.39673
56.300^
8.97896¿tE-02
9.938118E-02
B.97B964E-02
56.39B65
67,20271
56.39B65
9.53<^684E-02
8.7¿+7368E-02
8.97896¿tE-02
65.06388
56.29ít65
58.6^1^?
1.13.13
9 - 10
10 - ó
8.74736BE-02
9.B41156E-02
9. 108747E-02
54.81655
66.8544B
58.32899
B - 9
9 -- 13
13 - B
9.93B118E-0E
9.462309E-02
9.462309E-02
63.35565
5B.3EE1B
5B.3E218
9 -• 13
13 - 14
14 - 9
9.468309E-0E
.1025986
9.617658E-02
56.74EE9
65.05E46
58.E0525
9 -- 10
10 - 14
14 - 9
9.B4Í156E-02
9. 196499E-02
9.61765BE-02
63.03025
56.39407
60.57569
10 - 14
14 - 15
15 - 10
9.19Ó499E-02
. 100483
9.650E19E-OE
55.6173E
64.38555
59.99714
13 - IB
IB - 19
19 - 13
.100799
. 1058517
.100799
58.32752
63.34495
58.32752
13 - 14
14 - 19
19 - 13
.10259B6
9.893183E-02
.100799
61 .81073
5B. 19992
59.98936
14 - 19
19 - EO
2 0 - 14
9.893183E-02
.10468E
.1013EE5
57.37447
63.01984
59.6057
14 - 15
15 - EO
EO - 14
.100483
9.5B929EE-0E
,1013EE5
61 . 18878
56.73967
6E.07155
15 - 20
EO - 21
El - 15
9.589292E-02
. 10132E5
. 1004B3
56.73967
6E.07153
61 . 18881
18 - 19
19 - 25
E 5 - 18
.1058517
. 1045886
.1045886
60.80062
59.59969
59.59969
19 - E5
E 5 - 26
2 6 - 19
. 10458B6
.1078337
.1053826
5B.7371E
61 .80171
59.46118
él -
NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS
.2.13.12
,3.13.11
4.13.10
5.13.9
7.13.7
9.9.9
^9.10.8
109
9
1.13.13
NUMERO TOTAL DE BARRAS DISTINTAS
.2.13.12
,3.13.11
4.13.10
19-20
20 - 26
56-19
.104682
.1023631
.1053826
60.49528
58.32451
61.18021
20 - 26
86 - 27
27 - 20
.1023631
.1053826
.104682
58.32451
61 . 1802
60.49529
20-21
21-27
27 - 20
.1013225
9.893183E-02
.104682
59.60569
57.37447
63.01984
21 - 27
27 - 28
28-21
9.B93183E-02
.100799
.1025986
58.19992
59.98935
61 .81074
28 - 32
32 - 33
33 - 28
.3780352
,1095998
.2741791
158.0016
6.234537
15.76392
25 - 32
32 - 33
33 - 25
.1083027
.1095998
. 1083027
59.60302
60.79397
59.60302
25 - 26
26 - 33
33 - 25
.1078337
. 1071822
. 1083027
60.05335
59.45785
60.48879
26 - 33
33 - 34
34 - 26
.1071822
. 1083027
.1078337
59.45785
60.48879
60.05335
26 - 27
27 - 34
34 - 26
.1053826
.1045886
.1078337
59.46118
58.73712
61 .80171
27 - 34
34 - 35
35 - 27
.1045886. ..
.1045886
.1058517
59.59969
59.59967
60.80064
27 - 28
28 - 35
35 - 27
.100799
. 100799
. 1058517
58.32751
58.32753
63.34497
32 - 33
33-41
41 - 32
. 1095998
.1097653
. 1097653
59.90031
60.04986
60.04986
7.13.7
.12.7
'9.9.9
""-^9.10.8
110
/
I
3 3 - ¿ti
41 - 4 2
-
33
.1097653
. 1097653
.1095998
33 34 42 -
34
4E
33
.10830E7
.10B3027
.109599B
42
111
60.04986
60.049B4
59.90032
59.60301
59.60302
60.79397
I S F E FíCA
D E
R A D I O
UfM I
TRIANGULO
D A D
1
2
3
ONGITtJE E S D E B A R R A S . ÁNGULOS, C E N T R A L Y D E B A R R A C O N
LONGITUD
BñRR A
ALFAI
1 - 3
7.795675E-02
4.467725
2 - 3
.091574
5.248639
3 - 5
8 . 2 7 2 3 3 3 E - -02
4.74105
3 - 6
.0847449
4.85698
5 - 6
9 . 5 3 4 6 8 4 E - -02
5.465043
5 - 9
8 . 9 7 8 9 6 4 E - -02
5. 146297
6 - 9
S . 7 4 7 3 6 Q E - •02
5.013472
ó - 10
9. 10B747E--02
5.220733
a-
9
9 - 10
9 - 13
9 - 14
10 - 14
10 - 15
13 - 14
14 - 15
13 - 19
14 - 19
14 - 2 0
15 - 2 0
15 - 21
ia - 19
19 - 2 0
2 0 - 21
19 - 2 5
19 ~ 2 6
EO - 26
20 - 27
21 - 2 7
21 - 2 2
25 - 26
26 - 27
27 - 28
28 - 33
2 5 "- 3 3
26 - 33
26 - 3 4
27 - 34
27 - 35
28 - 35
2B ~ 36
32 - 33
33 - 3 4
34 - 35
35 - 36
3 3 - 41
33 - 42
34 - 42
34 - 43
35 - 43
112
9 . 9 3 2 1 I B E - -02
9 . 8 4 1 1 5 6 E - -02
9 . 4 6 2 3 0 9 E - -02
9 . 6 1 7 6 5 8 E -02
9. 1 9 6 4 9 9 E -02
9 . 6 5 0 2 1 9 E - -02
.1025986
. 1004Q3
. 100799
9 . 8 9 3 1 B 3 E -02
_. 1 0 1 3 2 2 5
9 . 5 8 9 2 9 2 E - -02
. 10O483
.1058517
.1046B2
.1013S25
.1045886
.1053826
.1023631
. 104682
9 . B 9 3 1 8 3 E -02
. 1025986
.1078337
.1053826
.100799
.2741791
.1083027
. 1071822 '
.1078337
. 1045886
.1058517
.100799
.1025986
.1095998
.1083027
.1045986
9 . 8 9 3 L 8 2 E -02
.1097653
. 1095?9B
. 10B3027
.1078337
.1053827
5.696469
5.640845
5.423528
5.512638
5.271065
5.531316
5.881048
5.759675
5.777807
5.67069
5.807837
5.496367
5.759676
6.067689
6.000579
5.807836
5.995219
6.040778
5.867536
6.000579
5.67069
5.881049
6.181414
6.040778
5.777807
15.75893
6.208326
6. 1 4 4 0 3 2
6.181414
5.995219
6.067691
5.777808
5.881049
6.282755
6.208326
5.995218
5.67069
6.292249
6.282755
6.208326
6. 1 8 1 4 1 4
6.040779
RADIO
DELTA
87.76614
87.37568
87.62947
87.57151
87.26748
87.42635
87.49326
S7.3B963
87.15176
8 7 . 17958
87.28B24
87.24363
07.36447
87.23434
87.05948
87.12016
87.1111
87.16466
87.09609
87.251B2
87.12016
86.96616
86.99971
87.09609
87.00239
86.97961
87.06623
86.99971
87.16466
B7.05948
86.90929
86.97961
B7 . 1 1 1 1
8 2 . 12054
86.89584
86.92798
86.90929
87.00239
86.96616
87.1111
87.05948
86.85862
86.89584
87.00239
87.16466
86.85388
86.85862
86.89584
86.70929
86.97961
2 . 8 . - AGRUPACIÓN DE'BARRAS PARA'EL-MONTAJE: f'AOROPIEZAS
Emilio Pérez Pinero se planteó una prefabricación en taller de ma~
cropiezas compuestas de una docena de barras con uniones soldadas
en taller. Con 12 barras (o 10 en los vértices del icosaedro) se
construye una pirámide de muy poca altura, de base exagonal (pen
tagonal).
Los datos necesarios para prefabricar estas pirámides son la Ion
gitud de las barras y los tres ángulos de cada triángulo. Los pun
tos de la base generalmente no están en el mismo plano. Solo los
podemos colocar en dos casos: en los "vértices" del icosaedro,
las pirámides de base pentagonal regular solo tienen dos longitudes
distintas de barras, y en la pirámide que tiene el baricentro del
triángulo esférico como vértice, que por simetrías, le ocurre lo
mismo. Vamos a comprobar cuanto les falta al resto de los nudos.
Con tres puntos de la base no adyacentes, se determina un plano.
Para la pirámide elegida:
x - 3.6423
y - 0,52
z - 9,298
0,7277
1,5877
-0,557
1,6375
0,0187
-0,823
= 1,2963 x + 0,3132 y + 2,5863 z - 28,932 = 0
es el plano en que se encuentran los puntos 6.11.10, 7.12.8 y 8.10.9
113
para una esfera de radio R = 10 metros.Ahora se halla la distancia entre este plano y cada uno de los otros tres puntos restantes. Con el nudo 7.10.10:
d = 1/2963x4,47 + 0 + 2,5863^8.944 - 28,932
2
.2963
/T7-—
2
+ 0,3132
= Q QQg2
^
2
+ 2,5863'
9,2 M . , es decir, un milavo del radio, la centésima parte de una
barra.
Con el nudo 6.12.9, d = 0.0026 m. =2,6 mm., es decir, R/4*10 ,v
a/400. Asi que al ejecutar la pirámide exagonal con los puntos
de la base en un plano, la variación de la longitud de las aristas es menos apreciable que los errores de manipulación (medición,
corte y soldadura).
Para montar el reticulado completo se unen las pirámides mediante
tornillos ordinarios colocados en chapas dispuestas en la dirección del radio. Para que la unión resulte conveniente necesitamos
conocer el ángulo 5 que forman el radio con cada una de las barras que van al vértice de la pirámide; será el dato más fiable
para colocar las chapas de unión.
ai.d/2
sen -r~
2 = R
6. =
i
114
180 -a±
0
;
a,i = 2 are sen
d/2
R
El montaje :J-J la cúpulas a veces es el mayor inconveniente. En
las estructuras que se resuelven por medio de familias planas
en jerarquías de trabajo (correas-vigas-rvigas mas grandes o arcos-soportes) cualquier error en su lugar de colocación o en su
tamaño solo compete al elemento mismo, sin afectar a los otros,
y se percibe y subsana con facilidad porque es "unidireccional".
En las cúpulas ( en general en todas las estructuras espaciales)
sus barras colaboran en el trabajo con el mismo rango, todas importan lo mismo. Para lograr un buen montaje, las barras tienen
que tener medidas muy exactas y una colocación en su sitio perfecta, pues un error en un elemento "descoloca" a los siguientes
y es muy dificil averiguar de qué forma y en qué grado afecta a
cada uno. El procedimiento que más 3 errores daría sería colocar
cada vez una barra en su sitio definitivo soldándola a tope en
el nudo.
En las cúpulas que estamos estudiando, los errores se cometen o
eliminan en el ángulo final de las uniones atornilladas y en los
triángulos que no se replantean y que son los adicionales que
van apareciendo al montar las pirámides, en número de 6 rodeando
a cada una.
[87,76614^]
( 108*)
(108*)
[87,766l4fl
(108*)
[87,766143
2.12.13
(108°)
[87,766143
9,157
2.13.12
(108 a )
[87,766i4fj
ALTURA DE 1.13-13 SOBRE EL PLANO DE LA BASE: 0,304 cm.
00.00.00
NUMERACIÓN DE NUDOS
00,000
LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M.
PIRÁMIDE N 2 : 1
(000,0000°) ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA DASE
Ico.oooo11!
ÁNGULO <5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE
116
[87, 2675o]
(112,5599a)
(123,2976°)
¡87,4932f|
3.12.12
(112,5605°)
[87,26753
4.12.11
(123,2974°)
[87,4932f¡
* 00.00.00
NUMERACIÓN DE NUDOS
* 00,000
LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M.
* (000,0000°)
ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE
*
ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE
|oo,oooo°|
ALTURA DE 3 . 1 3 . 1 1 :
9,841
0,373
4.13.10
(109,5688°)
[87,3896°]
cm.
PIRÁMIDE N2: 2
11?
[87,2882*3
1123,2785a)
[87,28825
(123,2785°)
9,938
4.11.12
4.12.1!
5.10.12
(116,6702°)
¡87,0595°]
5.12.10
(¡16,6702*)
[87,0595°]
10,558
6.10.11
(120,048')
[87, II! | ° ]
00.00.00
:NUMERACIÓN DE NUDOS
00,000
:LONGITUD EN CM. PARA UflA ESFERA DE R = 1 M.
ALTURA DE 5 . 1 1 . 1 1 : 0 ,
6.11.10
(120,048°)
[87,1111°]
4 9 3 cm
PIRÁMIDE N9: 3
(000,0000°) ¡ÁNGULO ENTEE LAS DOS BARRAS DE LA DASE
¡00,0000°! :ANGULO 6 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA I3EL VÉRTICE
118
\
[87,1202^
(116,6732°)
[87,23433
(128,6786°)
\
4.13.10
(122,2751°)
[87,2518^]
5.12.10
(116,678°)
[87,1202^
10,132
6.12.9
(¡2£,275¡°}
[87,2518°]
* 00.00.00
NUMERACIÓN DE NUDOS
* 00,000
LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M.
* (000,0000°)
c
* |oo,oooo ¡
ALTURA DE 5 . 1 3 . 9 :
0,462
6.13.8
(113,4181°)
[87,12023
cm.
PIRÁMIDE N9: ¡i
ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE
ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL V É R T I C E
219
[86,97963
(120,0364°)
• 6.11.10
10,46*8
[87,0662°]
( 122,2564°)
6.12.9
7.12.8
(120,0364°)
[86,9796°]
7.10.10
(118,8314°)
¡86,9093°]
10,830
8.10.9
(120,0071")
[86,9280f]
* 00.00-00
¿NUMERACIÓN DE NUDOS
* 00,000
:LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R = 1 M.
8.11.8
(118,8314°)
Q86,9093f¡
ALTURA DE 7 . 1 1 . 9 : 0 , 5 6 2 era.
PIRÁMIDE N2: 5
* (-000,0000°) :ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE
* j00,0000°¡ :ÁNGULO 6 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE
120
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P T p l [87,0 595t)
/ • (119,9038°)
\ 6.13.8
[87,1111*]
(120,0477°)
9,893
7.12.8
(120,048°)
[87,1 Hit]
(120,0477°)
[87,111!°]
8.13.6
(119,9037°)
[87,05953
8.12.7
(120,048°)
[87,fll¡ e ]
00.00.00
-NUMERACIÓN DE NUDOS
00,000
¡LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE R - 1 M.
ALTURA DE 7 . 1 3 . 7 :
cm.
PIRÁMIDE N°: 6
(000,0000°) :ANGUL0 ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE
¡00,0000°I
0,514
:ANGUL0 5 ENTRE EL RADIO Y LA BARRA DEL VÉRTICE
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(¡20°)
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(120°)
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(120 o )
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9.10.8
ÍI20°)
§5,8536^
10,960
10.8.9
(120°)
[86,8536f]
00.00.00
¡NUMERACIÓN DE NUDOS
00,000
¡LONGITUD EN CM. PARA UNA ESFERA DE 11=1 M.
ALTURA DE 9 . 9 . 9 :
10.9.8
(I20°J
[86,8536f]
0 , 6 0 2 cm
PIRÁMIDE N2: 7
(000,COCO5)¡ÁNGULO ENTRE LAS DOS BARRAS DE LA BASE
|_00,0000°[ :ÁNGULO 5 ENTRE EL RADIO Y LA SARRA DEL VÉRTICE
122
CAPITULO
I I I . OBRAS REALIZADAS.
3,1 - TEATRO DESMONTABLE PARA "FESTIVALES DE ESPAÑA"
Consta de dos casquetes de esfera simétricas que solo acogen la
pirámide de base pentagonal superior del icosaedro.
Este teatro es la primera obra real con la que se enfrenta so_
lo, después de tener construidos dos modelos en los que ensaya la prefabricación y los nudos {ver número 1.7 del capitulo
1®, para llegar a acomodar las condiciones de facilidad de
montaje, transportabilidad y poco peso.
En el proyecto de esta primera cúpula, utiliza todos los conceptos razonables en el proceso de diseño: la sección del tubo redondo que consume menos material para un gran porcentaje
de piezas de compresión, la geometría, es decir, el casquete
de esfera que opone poca resistencia al viento, un tamaño de
piezas razonablemente grandes con longitudes de barras entre
1,5 y 2,0 ,etros y unas uniones muy simples de ejecutar.
No parece que llegue a lograr simplificarse las cosas en el montaje de la plataforma inclinada en que se apoyan las butacas. Aunque simplifica éstas, conserva la idea butacas-teatro
123
-TESft-TFiO
D E S M O N T A B L E
P A K A
c:orvi R A D i a
OE:
P A R A
I ^ _ ¿+
F E S T I V A L E S
M E T R H S
PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LGS PUNTOS :
EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,2,FI,TETA>
1
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57
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59
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1.033535
1 .033535
2.149785
2.159602
2.149785
3.33219B
3.364947
3.364947
3.332198
4.55458
4.62575
4.650225
4.68575
4.55458
5.7821B7
5.907562
5.973387
5.973387
5.907562
5.7B2187
6.97533B
7. 168064
7.291661
7.334304
7.291661
7. 168064
6.975338
0.095063
8.36274 1
8.556683
8.658BÓI
8.658861
B.5566S8
8.362741
8.095063
9. 1 0 9 1 5 9
9.452099
9.722216
9.B95841
9.955818
9.89584 1
9.722216
9.452099
9.109159
9.996592
10.40794
10.7521
1 1 .00145
11.13282
1 1 .13282
11.00145
10.7521
10.40794
9.996592
10.74893
1 1 .21649
11.62556
1 1 .94677
12.15277
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0
-.7509068
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-1.56191
0
1.56 191
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2.420983
-3.309095
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0
1.6BO402
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0
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16 . 3 5 0 1 7
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16 . 1 8 3 2 9
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16.. 0 3 0 3 8
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14.. 7 6 0 6 9
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13.. 9 5 0 6 7
14.. 3 3 6 1 3
14.. 5 8 3 3 2
14,.66861
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14.. 3 3 6 1 3
13.. 9 5 0 6 7
12..99381
13.. 4 2 3 4 7
13,. 7 3 4 7 9
13.. 8 9 8 7 9
13 . 8 9 8 7 9
13 . 7 3 4 7 9
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12 . 9 9 3 8 1
1 1 ..9 2 4 0 4
12 . 3 7 2 9 6
12.. 7 2 6 5 5
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13 . 0 3 2 3 3
12 . 9 5 3 8 2
12.. 7 2 6 5 5
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10 . 7 8 3 2 2
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11 . 8 6 7 1 5
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17 . 4 6 3 1 5
16 . 4 7 2 2 2
17 . 4 6 3 1 5
2 0 .. 0 7 6 7 6
25 .83643
23 . 13B53
21 . 5 9 5 7 9
21 . 5 9 5 7 9
23 .13B53
2 5 .. 8 3 6 4 3
31 . 7 1 7 4 7
2 9 .. 0 5 4 9 8
27 .22375
2 6 .. 5 6 5 0 6
27 .22375
2 9 .. 0 5 4 9 8
31 . 7 1 7 4 7
3 7 .. 5 9 8 5 2
35 .06463
'33.. 1 2 4 3
32 .06059
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33 . 1243
35 .06463
37 .59852
43 .3582 .
41 . 0 2 2 7 9
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37 .37737
37 .82689
3 9 .10341
41 . 0 2 2 7 9
43 .3532
48 .88952
46 .79829
4 4 .99201
4 3 .. 6 4 6 9 4
42 .92489
4 2 .. 9 2 4 8 9
4 3 .. 6 4 6 9 4
4 4 ..99201
4 6 .. 7 9 8 2 9
4 8 .. 8 8 9 5 2
5 4 .. 1 1 0 2 5
5 2 .. 2 8 5 4 3
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4 9 .. 3 4 0 9 9
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4 8 .. 1 8 9 6 9
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13.61382
35.99999
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25.84377
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17.2953
27.42746
35.99999
324
331.4137
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19.96463.
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35.99999
324
330.5297
338.0193
346.3862
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13.613B2
21 .98071
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12 . 1 5 2 7 7
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1 .7659
3.. 4 7 1 9 3 5
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7 .809551
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- 7 .. 0 6 0 6 9
- 5 .. 7 0 4 4 7 9
- 4 .. 2 0 1 0 0 4
- 2 .. 5 7 5 2 5 6
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5.. 7 0 4 4 7 9
7,. 0 6 0 6 9
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- 8 .. 6 2 1 9 8 9
-7 .509067
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- 3 .. 3 0 9 0 9 5
-1 . 6 8 0 4 0 1
0
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7.. 5 0 9 0 6 7
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10.86976
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10.03233
9.. 6 1 4 1 3 1
8.. 4 5 4 6 6 5
8.. 8 3 3 1 3 8
9.. 1 7 5 4 6 9
9.. 4 6 0 0 4 9
9..665171
9.. 7 7 2 8 6 6
9., 7 7 2 8 6 6
9., 6 6 5 1 7 1
9., 4 6 0 0 4 9
9.. 1 7 5 4 6 9
8.. 8 3 3 1 3 8
8.. 4 5 4 6 6 5
7 .. 3 3 4 3 0 3
7., 6 6 5 1 1 4
7 ,.971841
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8., 4 4 4 6 5 2
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4 9 .. 3 4 0 9 9
5 0 .. 6 5 1 3 6
5 2 ., 2 8 5 4 8
5 4 .. 1 1 0 2 5
5 8 ,, 9 6 7 2 3
5 7 ..41121
5 5 ., 9 8 0 1 7
5 4 .. 7 7 1 9 6
5 3 .. 8 8 9 B 4
5 3 .. 4 2 2 7 2
5 3 ., 4 2 2 7 2
5 3 .. 8 8 9 B 4
5 4 .. 7 7 1 9 6
5 5 .. 9 8 0 1 7
5 7 ..41121
5 8 .. 9 6 7 2 3
6 3 ., 4 3 4 9 5
6 2 ., 1 3 5 3 3
6 0 ., 9 1 6 2 3
5 9 .. 8 4 8 0 3
5 9 ., 0 0 8 0 4
5 8 .. 4 6 8 7 3
5 3 .. 2 8 2 5 4
5 8 .. 4 6 8 7 3
5 9 .. 0 0 8 0 4
5 9 .. 8 4 8 0 3
6 0 .. 9 1 6 2 3
6 2 .. 1 3 5 3 3
.63.. 4 3 4 9 5
a.
a.
1
2
3
iS V ÁNGULOS DE LOS T R I Á N G U L O S D E B A R R A S
BARRA
LONGITUD
ÁNGULO
OPUESTO
1 - 2
2 - 3
3 - 1
1 .27S491
1 .501814
1.278491
5 4 .. 0 3 1 6 4
71 .. 9 3 6 7 4
5 4 ., 0 3 1 6 4
2 - 3
3 - 5
5 - 2
1.501814
1 .356663
1 .356663
6 7 .. 2 1 4 3 2
5 6 ,. 3 9 2 B 4
5 6 .. 3 9 2 8 4
3 - 5
5 - 6
6 - 3
1.356663
1.563683
1.385816
5 4 .. 3 0 2 3
6 9 .. 3 9 6 7 7
5 6 .. 3 0 0 4 4
1.47255
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1.47255
5 6 .. 3 9 8 6 5
6 7 .. 2 0 2 7
5 6 .. 3 9 8 6 5
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9 - 10
10 •- 6
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1.61395
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6 6 ..854 4 8
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5 B .. 3 2 2 1 8
5 8 .. 3 2 2 1 8
9 - 13
13 •- 14
14 •- 9
1.551B19
1.682617
1 .577296
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6 5 .. 0 5 2 4 6
5 8 .. 2 0 5 2 6
9 - 10
10 •- 14
14 •- 9
1.61395
1 .508226
1.577296
6 3 .. 0 3 0 2 5
5 6 .. 3 9 4 0 B
6 0 .. 5 7 5 6 9
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356.221I
3.77885B
11.207B6
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24.81323
30.7291
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324
328.8071
334.1562
340.0354
346.3862
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13.61382
19.96463
25.B4 377
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35.99999
13 - 18
18 - 19
19 - 13
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1.735968
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58.32755
63.34496
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13 - 14
14 - 19
19 - 13
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1.625482
1.653104
61 .81073
58.19992
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14 - 19
19 - 20
20 - 14
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1.716785
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14 - 15
15-20
20 - 14
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1.6616B9
61.18878
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15 - 20
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21 - 15
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19-25
25 - 18
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1.715253
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19 - 35
25 - 26
36 - 19
1.715253
1.768473
1.728275
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36 - 57
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51 - 27
27 - 20
1.661689
1.6224B2
1.716785
59.6057
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51 - 27
27 - 2B
2B - 21
1.622482
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58.19992
59.98935
61 . B1074'
25 - 32
32 - 33
33 - 55
1.776165
1.797437
1.776165
59.60302
60.79397
59.60302
25 - 26
26 - 33
33 - 25
1.768473
• 1.757788
1.776165
60.05335
59'. 457,85
60.4888
26 - 33
33 - 34
34 - 86
1.7577B8
1.776:64
1.768473
59.45785
60.48879
60.05337
26 - 27
27 - 34
34 - 26
1.728275
1.715253
1.768473
59.46118
58.73712
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27 - 34
34 - 35
35 - 27
1.715253
1 .715252
1.73596B
59.59969
59.59967
60.80064
27 - 28
28 - 35
35 - 27
1.653104
1.653104
1.735968
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63.34497
35 - 33
33 - 4i
41 - 35
1.797437
1.B0015
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59.90031
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33 - 41
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42 - 33
1.80015
1 .B0015
1.797437
60.04986
60.04985
59.90031
33 - 34
34 - 45
42 - 33
1.776164
1.776165
1.797437
59.60301
59.60308
60.79397
12?
ACCESO
PLANTA.
TEATRO
DESMONTABLE
9 l 2 3 4 5 6
I 1 I I I I I
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PARA
FESTIVALES
DE
ESPAÑA.
15,50
ACCESO
ACCESO
ACCESO
ALZADO.
TEATRO
1
2
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PARA
4
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6
7
FESTIVALES
8
9
10
J m.
DE
ESPAÑA.
ALZADO INCLUYENDO EL PARALELO DE INTERSECCIÓN
DE LOS DOS CASQUETES.
TEATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA.
O
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DEL TRIANGULO TIPO
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UNION
SOLDADA
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UNION
ATORNILLADA
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DE PERFIL: O H UEC0
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UNION ATORNILLADA
ENTRE PIRÁMIDES.
CÚPULAS PARA CINERAMA
Y FESTIVALES DE ESPAÑA.
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DOS TORNILLOS ORDINARIOS
POR CADA UNION.
Seaun dibujo de E.P.Pinero
133
134
3,2.- CÚPULA PARA PROYECCIÓN DE CINERAMA
Emplea todos los datos de la anterior geometría, tipos de b a —
rras, uniones y cubricción. Únicamente diseña un espacio d i s —
tinto: único, evolvente como la pantalla para los tres proyectores de Cinerama y con una esclusa cortavientos de entrada.
No pudo explotar el teatro anterior como contratista de montajes de espectáculos para la Administracción, y esta cúpula corresponde a este intento de obtener ingresos de esta forma.
La cantidad de esfera usada podría estar decidida en función de la superficie del círculo capaz de obtener un número determinado de espectadores (1.200 aquí, contra 1.800 de los dos casquetes anteriores) adecuado para que fuera viable la explotación y fuera el montaje más sencillo al tratarse solamente de un casquete.
A los actuales propietarios (un circo) les conviene la pendien
te casi vertical de la media esfera para levantar las gradas en círculos concéntricos: quedando próximos a los espectadores
la planta del redondel y el espacio superior de trapecistas y
equilibristas, desarropándose todo en un espacio más concentra
do
135
que en lase-arpas ordinarias.
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P R O Y E C C I Ó N
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PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SDN LOS PUNTOS :
EN CARTESIANAS Y POLARES,<X,Y,Z,FI,TETA)
1
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1.071347
8.828436
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4.794985
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4.721211
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6. 1 2 3 6 9 2
6. 1 9 1 9 2 6
6. 1 9 1 9 2 6
6. 1 2 3 6 9 2
5.993731
7.230534
7.4 3 0 3 1
7.558429
7.602632
7.559429
7.43031
7.230534
8.391223
8.66B696
8.869737
8.975649
8.975649
8.969737
8.668696
B.391223
9.442421
9.797907
10.O7791
10.25788
10.32006
1 0.25788
10.0779 1
9.797907
9.442421
10.36232
10.78872
11.14547
1 1 .40395
11 . 5 4 0 1 S
1 1 .54012
1 1 .40395
11.14547
10.73372
10.36232
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1 1 .62685
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2.761817
4.498697
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0
1.863197
3.661013
5.338946
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S.761817
4.498696
6.096579
7.528666
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-3.593957
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17
16. 9 4 B 3 4
16..94834
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16.. 8 5 1 9 6
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16.. 4 5 5 1 3
16..61696
16.. 6 1 6 8 6
16..45513
15.. 9 6 6 9 7
16..21647
16.. 3 0 2 2 B
16..21647
15.. 9 6 6 9 7
15..30071
15.. 6 3 2 4 8
15.. 8 0 6 6 6
15.. 8 0 6 6 6
15,.6324B
15..30071
14.. 4 6 1 0 7
14.. 8 6 0 6 2
15.. 1 1 6 6 6
15.. 8 0 5 2 6
15.. 1 1 6 8 6
14.. 8 6 0 6 2
14.. 4 6 1 0 7
13 . 4 6 9 1 9
13.. 9 1 4 5 B
14 . 2 3 7 2 B
14., 4 0 7 2 8
14.. 4 0 7 2 8
14.. 2 3 7 2 8
13.. 9 1 4 5 9
13.. 4 6 9 1 9
12 . 3 6 0 2 9
12.. 8 2 5 6 3
13 . 1 9 2 1 5
13 . 4 2 7 7 4
13 . 5 0 9 1 3
13.. 4 2 7 7 4
13 . 1 9 2 1 5
12.. 8 2 5 6 3
12 . 3 6 0 8 9
1 1..1 7 7 7 2
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12.. 0 2 2 4 9
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11.. 1 7 7 7 2
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0
4.46773
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7.566837
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12.1B748
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14.54543
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17.46314
16.47222
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25.83643
2 3 . 13354
21 . 5 9 5 7 B
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23.13354
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31 . 7 1 7 4 7
89.054 99
27.22375
26.56506
27.22375
29.05499
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32.06059
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41 . 0 2 2 7 9
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37.37737
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39.10342
41 . 0 2 2 7 9
43.3582
48.88958
46.79889
44.99201
43.64694
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42.92439
43.64694
44.99201
46.79829
48.88952
5 4 . 1 1025
52.28548
50.65136
49.34099
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1. , 2 , 3
0
324
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13.61382
35.99999
324
340.0354
0
19.96463
35.99999
324
336.4464
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8.867698
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35.99999
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334.1562
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0
13.61388
25.84377
35.99999
324
332.5726
348.7047
354.0744
5.925613
17.2953
27.42746
35.99999
384
331 . 4 1 3 7
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355.3847
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13.62224
13.65224
13.47212
13.1B621
12.7B954
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12.B5616
13.37062
13.81643
14.16363
14.38495
14.46106
1^.36495
14.16363
13.81643
13.37062
I2.B3616
12.30132
0
1.830506
3.598957
5.253209
6.75792
8.095266
-8.562169
-7.319008
-5.913 IB
-4.354699
-2.669473
-.8997392
.3997392
2.669473
4.354699
5.91318
7.319008
8.562169
-8.737429
-7.783789
-6.476213
-5.01911
-3.4301S9
-1.741879
0
1.74 1879
3.430159
5.0191 1
6.476213
7.7837B9
B.937429
11.33333
11.26744
11.07645
10.77864
10.39937
9.965867
B.763982
9.156301
9.51 U S B
9.B06149
10.01B7S
10.13041
10.13041
10.01878
9.806149
9.511158
9.156301
8.763982
7.602632
7 . 94554,4
8.263494
B.539021
8.753604
8.890388
8.93742S
8.890388
8.753604
8.539021
8.263494
7.945544
7.602632
4B.18969
48.48696
49.34099
50.65136
52.28548
54.11025
58.96723
57.4 1121
55.98017
54.77196
53.88984
53.42273
53.42273
53.839B4
54.77196
55.9B017
57.4 1121
58.96723
63.43495
62.13533
60.91623 '
59.84803
59.00804
58.46873
58.2e254
58.46873
.59.00804
59.S4803
60.91623
62.13533
63.43495
TRIANGULO
1
LADOS Y ANGULGS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS
BARRA
LONGITUD
ÁNGULO OPUESTO
1 - 2
2 - 3
3 - 1
1.325265
1 .356758
1.325265
54.03163
71 .93674
54.03163
2 - 3
3 - 5
5 - 2
1.556758
1 .406297
1 .406297
67.21433
56.39284
56.39584'
3 - 5
5 - 6
6 - 3
1 .«06297
1.620B96
1 .440663
54.302B
69.39678
56.30044
5 - 8
a - 9
9 - 5
1 .526424
1 .68948
1.526424
56.39865
67.2027
56.39865
5 - 6
6 - 9
9 - 5
1.620896
1.4B7053
1 .526424
65.06388
56.29465
58.64147
6 - 9
9 - 10
10 •- 6
1.487053
1 .672997
1 .54B4B7
54.81655
66.85448
58.32899
8 - 9
9 - 13
13 -- 8
1.68948
1.608592
1.608592
63.35565
5B. 32218
58.32218
9 - 13
13 •- 14
14 •- 9
1.608592
1.744176
I .635002
56.74229
65.05246
58.20526
9 - 10
10 •- 14
14 -- 9
1 .672997
1.563405
1.635002
63.03025
56.39408
60.57567
0
B.367698
16.20476
23.55361
30.16661
35.99999
324
329.2709
335.1868
341.7244
34B.7922
356.2211
3.778858
11.20786
18.27563
24.81323
30.7291
35.99999
324
328.B071
334.1562
340.0354
346.3862
353.0957
0
6.904354
13.61382
19.96463
25.84377
31 . 1929
35.99999
10 - 14
14 - 15
15 - 10
1.563405
1.70B21
1.640537
55.61732
64.38555
59.99713
13 - ia
IB - 19
19 - 13
1.713584
1.799479
1.713584
5B.32752
63.34496
5B.32752
13 - 14
14 - 19
19 - 13
1.744176
1.681B41
1.713584
61.B1073
58.19992
59.98936
14 - 19
19 - SO
20 - 1*
1.681841
1.779594
1.722482
57.37447
63.01984
59.6057
14 - 15
15 - 20
20 - 14
1.70621
1.63018
1.722482
61.18879
56.73967
62.07155
15 - 20
20 - 21
21 - 15
1 .63018
1.722482
1.70821
56.73967
62.07154
61 .1888
18 - 19
19-25
25 - 18
1.799479
1.778006
1.778006
60.80063
59.59969
59.59969
19 - 25
25 - 26
26 - 19
I.77B006
1.833173
1.791505
58.73712
61.B0171
59.46119
19 - 20
20 - 26
26 - 19
1.779594
1.740172
1.791505
60.49527
58.32451
61.18023
SO - 26
26 - 27
27 - 20
1.740172
1.791505
1.779594
58.32451
61.1802
60.49529
20 - 21
21 - 27
27 - 20
1.722482
1.6B1B41
1.779594
59.6057
57.37446
63.01984.
21-27
27 - 28'
2S - 21
1.681B41
1.713584
1.744177
58.19991
59.9B935
61 .81075
25 - 32
32 ~ 33
33 - 25
1.841146
1.863197
1.B41146
59.60302
60.79397
59.60302
25 - 26
26 - 33
33 - 25
1.833173
1 -.822098
1.B41 146
60.05335
59.45786
60.48879
26 - 33
33 - 34
34 - 26
1.822098
1.841146
1.833173
59.45735
60.4BB79
60.05335
26 - 27
27 - 34
34 - 26
1.791505
1.77B006
1.B33173
59.46118
58.73712
61 .80171
27 - 34
34 - 35
35 - 27
1.778006
1.778006
1.799479
59.59969
59.59969
60.80064
27 - 28
2B - 35
35 - 27
1.713584
1.7135B4
1.799479
58.32751
58.32752
63.34497
32 - 33
33 - 41
<:l - 32
1.863197
1 .86601
1 .36601
59.9003
60.04986
60.04986
33' - 41
41 - 42
42 - 33
1 .86601
\ .36601
1.863197
60.04986
60.049B5
59.90031
33 - 34
34 - 42
4E -- 33
1 .(34 1 146
59.60301
59.60301
60.79397
1 .341146
1.863197
PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES 50N LDS PUNTOS
EN CARTESIANAS Y POLARES.i X,Y,Z.FI,TETA)
22
23
04
25
36
av
28
29
30
31
3a
33
34
35
36
37
38
39
40
41
4 2
43
44
45
4 6
47
4 8
49
50
51
52
53
54
5:-;
56
57
58
57
60
61
63
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
16.16776
16.4)1463
i 6.«0116
1 7
16.90;16
¡ó.61466
16.16796
15.79988
16.32233
16.70088
16.9003
16.9003
Í6.700B8
16.32233
¡5.79988
15.27316
15.85335
16.3064
16.59761
16.6982
16.59761
16.3064
15.35335
15.27816
1 '< . 6 3 1 3 3
15.33391
15-737 65
16.10263
16.£9491
16.2949 1
16.10263
15.73-'65
15.£3391
¡4.63183
13.8966Ü
1 4.501 17
15.03003
1 5 . 4 4531
13.71162
15.80351
15.71163
15.44531
15.03003
14.50117
13.89668
13.10908
13.6959
14.32669
14.66794
14.98598
15.15296
15.15396
-3". 2 5 3 2 8 9
-3.598957
-I . 8 3 0 5 0 7
0
1 .830507
3.598957
5.253289
-6.096579
-4 .498696
-2.761817
-.9315984
.93¡5984
2.761817
4.490696
6.096579
-6.860318
-5.338?'t6
- 3 . 6 6 1013
-1.863197
0
1.863197
3.661013
5.338946
6.860318
-7.52B66S
-6.09657Q
-4 - 4 9 R 6 9 6
-8.761817
-.93)5985
.9315905
2.761817
4.493696
6.096578
7.523665
-8.095366
-6.75792
-5.253233
-3.593957
-1.330507
0
1.830507
3.598957
5.253288
6.75792
8.095266
-8,562169
-7,319008
-5.V13179
-4.354699
-2.669473
-.8997391
.B997391
1.957718E-16
2.0UB09E-16
2.046498E-16
2.05S467E-16
2.04649SE-16
2.011309E-16
1-95771SE-16
1 .¿181732
1.530728
1.566228
1.58493
1.58493
1.566229
1.530728
1.481732
2.917868
3.02772
3.114 244
3.169861
3.189072
3.169B61
3.1¡4244
3.02772
8.91786B
4.26951 1
4.445194
4.592184
4.693684
4.754791
4.754791
4.698684
4.592184
4.445194
4.269511
5.503996
5.74 8 6 3
5.958286
6.128913
6.228488
6.264912
6.2284B8
6.122912
5.958286
5.74863
5.508996
6.621288
6.91769
7.1BS737
7.408657
7.569299
7.65364
7.63364
90
90
90
90
90
90
90
34.99972
84.83393
-.84.71378
84.65048
84.65048
84.71378
84.83393
84.99973
80.11636
"'9.74083
79.4'<4 3 4
79.2536
79.18763
79.2536
79.^4434'
79.74083
80.11686
75.^5456
7 4 . 8 4 199
74.3281
73.95495
73.75809
73.75309
73.95^95
74.3281
7 4 . 3 4 199
75.45456
71.09146
70.23551
69.4B288
63.88929
6B.50737
68.37533
68.50737
68.88929
69.43238
70.23551
71.09146
67.0774
65.9BB31
64.99526
6 4 . 16353
63.56QÍ(B
63.24258
63.2¡i258
7 . 2 , 3
342
347.7778
353.8136
0
6.131413
12.22219
18
333.9003
344.591
350.61
356.8449
3.155133
9.389998
IS.^0906
21.09973
335.SI 86
341.383
3 4 7 . 3 4 61
353.595
0
6.405036
12.65337
• 18.61203
24.18141
332.7724
338.1883
34 4 . 0 4 7 1
350.2677
356.7279
3.272103
9.7323
15.95288
21.81119
27.22764
329.7778
335.0133
340.7345
346.8834
353.3546
O
6.645371
13.11661
19.26551
24.98674
30.22219
326.3495
331.8802
337.4303
343.4646
349.8998
356.6019
3.398068
74
75
76
7 7
ve
79
80
81
82
B3
84
85
Sé.
B7
88
89
90
91
14., 9 8 5 9 8
14.. 6 6 7 9 4
Ib. , 2 2 6 6 9
13.. 6 9 5 9
13.. 1 0 9 0 8
IB.. 3 0 1 3 2
ie,. 8 5 6 1 6
13 . 3 7 0 6 5
13.. 8 1 6 4 3
14 . 1 6 3 6 3
Ib. . 3 8 4 9 5
Ib . 4 6 1 0 6
ib. . 3 8 4 9 5
Ib . 1 6 3 6 3
. 13 . 8 1 6 4 3
13 . 3 7 0 6 2
1S.. 8 5 6 1 6
15 . 3 0 1 3 2
PUNTOS DEL ICOSAE
EN CARTESIANAS Y
1
5
3
b
5
6
7
a
9
10
11
12
13
Ib
1S
16
17
1S
19
SO
£1
£2
23
3b
£5
26
27
28
140
12.. 3 0 1 3 2
13.. 1 0 9 0 8
12.. 1 9 4 0 4
13.. 8 9 6 6 8
13.. 0 0 4 1 3
1 1..9 9 3 3 7
1'*,. 6 3 1 8 3
13.. 7 8 2 5 9
12,. 7 8 9 5 3
11 . 6 8 1 6 7
15., 2 7 8 1 6
ib. . 4 9 3 0 4
13.. 5 4 0 4 6
12 . 4 4 5 3 4
1 l..2 4 5 7 6
15 . 7 9 9 8 8
15 . 0 9 6 4 2
1*4 . 2 0 6 9 2
13..14921
11 . 9 5 8 2 6
10.. 6 8 0 6 2
16 . 1 6 7 9 6
15.. 5 5 6 9 7
14 . 7 4 9 2 7
13.. 7 5 3 2 9
12 . 5 9 7 3 8
1 l..3 2 6 1 4
9.992349
2.669473
4.354699
5.913179
7.319008
B.562169
•8.937429
•7.783789
-6.476213
•5.0191 1
-3.430159
•1 . 7 4 1 8 7 9
0
1.74 1 9 7 9
3.430139
5.01911
6.476213
7.783789
8.937429
7.569299
7.408657
7. 1 B 5 7 S 7
6.91769
6.621288
7.602632
7. 945544
S.263494
8.539021
8.753604
8.890383
B.937423
8.890383
8.753604
B.539021
8.263494
7.945544
7.602632
6 3 .. 5 6 0 4 8
6 4 .. 1 6 3 5 8
6 4 .. 9 9 5 2 6
6 5 ..9BB31
6 7 ..0774
63 .43495
6 2 .. 1 3 5 3 3
6 0 .. 9 1 6 2 3
5 9 .. 8 4 8 0 3
5 9 .OO804
5 8 .. 4 6 9 7 3
5B .28254
5 9 .. 4 6 9 7 3
59 .00804
5 9 .84803
60 .91623
62 . 13533
63 .43495
10.10023
16.53539
22.56972
28.1197B
33.15049
324
32B.8071
334.1562
340.0354
34 6.3862
353.0957
0
6.904354
13.61382
19.96463
25.84377
31 . 1 9 2 9
35.99999
ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS :
.ARES, (X,Y,Z,FI.,TETA)
3,7,8
8.937429
8.562169
9.821612
8.095266
9.44B053
10.71495
7.52B665
8.969478
10.3363
11.58921
6.B6031B
8.37673
9.B37717
1 1 . 19515
12.41043
ó.096579
7.668537
9.20979 1
10.6656
1 1 .98784
13.14263
5.2532B9
6.S54244
B.453341
9.992349
11.41516
12.67748
13.75329
3 5 ,, 9 9 9 9 9
3 3 .. 1 5 0 4 9
3 B ..8495
3 0 ,, 2 2 2 1 9
3 5 ,. 9 9 9 9 9
41 .
.777B1
2 7 ..22764
' 3 3 ..0554 1
3 B .. 9 4 4 5 9
4 4 .. 7 7 2 3 5
2 4 ,, 18141
3 0 .. 0 2 7 1 8
36
41 . 9 7 2 B 3
4 7 .. 8 1 8 5 9
21 . 0 9 9 7 3
2 6 .. 9 2 9 2 4
3 2 .. 9 5 3 7 6
3 9 .. 0 4 6 2 3
4 5 .. 0 7 0 7 7
5 0 .. 9 0 0 2 8
IB
2 3 ..77781
2 9 .. B 1 B 5 9
36
4 2 ,. 1 B 1 4 1
4 8 ..2222
54
7.602632
6.621290
6.621288
5.508996
5.534152
5.503996
4.269511
4.311473
4.311473
4.269511
2.91786B
2.963463
2.979143
2.963463
2.917868
1.481732
1.513B6
1.530728
1.53072B
1.51396
1 .481732
-1 . 9 5 7 7 1 B E --16
- 2 . 0 1 1 9 0 9 E - -16
- 2 . 0 4 6 4 9 8 E - -16
- 2 . 0 5 B 4 6 7 E - -16
- 2 . 0 4 6 4 9 8 E - -16
- 2 . 0 1 1 8 0 9 E - -16
- 1 . 9 5 7 7 1 8 E - -16
6 3 ., 4 3 4 9 5
6 7 ..0774
6 7 ,,0774
71 ,, 0 9 1 4 6
?1 ,00181
•
71 ,. 0 9 1 4 6
7 5 .. 4 5 4 5 6
7 5 ..30B41
7 5 ..3084 1
7 5 ,, 4 5 4 5 6
8 0 ., 1 1 6 B 6
7 9 .. 9 6 0 8 3
7 9 ., 9 0 7 1 6
7 9 .. 9 6 0 0 3
BO.. 1 1 6 9 6
84 .99972
B 4 ..89101
94 .83393
B 4 .. B 3 3 9 3
8 4 ..89101
8 4 .. 9 9 9 7 2
90
90
90
90
90
90
90
PLANTA.
CÚPULA DESMONTABLE PARA
PROYECCIÓN DE CINERAMA.
O í
j
i
2
i
3
i
4
i
5
6
I
7
i
8
I
9
I
1
10
I m.
ALZADO.
CÚPULA DESMONTABLE
°
I
1
E
i
3
i
5
4
I
I
6
1
7
I
B
1
9
I
I
P
1
I m.
PARA
PROYECCIONES
DE
CINERAMA.
- & - - " "*""•• -* 4 -'^> S B ( .
i
143
2 43
3 , 3 - MUSEO DALrÉN'FIGUERAS (GERONA)
Corresponde a la cubrición del escenario del teatro municipal.
Como se puede ver en los planos la planta tropezoidad recubre
con un casquete procedente de una esfera de R= 17 m.
For el centro de gravedad del trapecio y con el mismo eje a la clave, se levanta en el casquete una cúpula de 14 m. de diámetro y
10 de altura.
Pone un volumen regular transparente encima de
una planta irregular.
Esta planta irregular aunque no es de
luces muy grande^ fué acertado cubrirla con una superficie curva
de apoyo continuo en los muros, en lugar de plana.
El efecto
espacial queda a medio camio entre el de una grandísima linterna
en un trozo de cúpula, y el de una cúpula pequeña de volumen muy
definido que es ayudada a bajar hasta los bordes de apoyo por
otras superficies curvas.
El casquete deja ver al interior su reticulado.
Apoya sobre él
una cubrición de rasilla, hormigón e impermeabilizante.
La
cúpula de tres cuartos de esfera está cubierta con metacrilato
transparente (opal en los pentágonos que marcan los vértices del
icosaedro), apoyado en perfiles en te (-A-) que acumulan agua,
simplemente sellados con silicona.
144
C: U F* U U . &i
F» í^ F 2 C-í» EE U.
MUSEO
arví R A D I O
r>^
-y
M E T R O S
O ¿* L - J
EE M
í - XC3LJEZFÍA3
PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYGS VÉRTICES SON LOS PUNTOS :
EN CARTESIANAS Y POLARES,(X,Y,Z„FI,TETA)
1
5
3
4
5
6
7
0
.4411429
.4411429
.9175912
.9217813
.9175913
1 .422279
1 .436259
9
1.436258
10
1 .422279
l 1
1.944028
12
1.9744 05
13
1-984B52
1 **
1 .974405
15
1 .944028
16
2.468007
17
2.52152
IB
2 . 5 4 9 6 16
19
2.549616
80
2.52152
SI
2.468007
22
5.977579
83
3.05954
84
3.112295
25
3.130496
26
3. 1 12295
27
3.05954
28
2.977S79
29
3.45521
30
3.569463
31
3.658845
32
3.695856
33
3.695856
34
3.652245
35
3.5694 63
36
3.45521
37
3.888056
3B
4.034433
39
4.149736
¿•0
4.223835
41
4.249435
42
4.223835
U3
4. 149726
44
4.034433
45 ' 3.888056
46
4.866838
47
4,442412
48
4.5B9309
Í.9
4.695743
50
4.751814
51
4.7518 1 4
52
4.695743
53
4.589309
54
4.442412
55
4.266838
56
4.587957
57
4.787526
58
4.96213
59
5.099232
60
5.187157
e
0
-.320509
.320509
-.666669
0
.666669
-1.033346
-.3478341
.3478341
1 .033346
- 1 . 4 1 2 4 19
-.7172446
0
.7178446
1.418419
-i.793112
-1 . 0 9 9 1 9 5
-.3704809
.3704809
1.099195
1.793112
-2.163119
-1 . 4 8 1 9 2 4
-.753733
0
.753738
1.481924
8.163119
-2.510356
-1 . 8 5 2 4 0 4
-1.137819
-.3B35994
.3835994
1 .i 3 7 2 1 9
1.852404
2.51Ü356
-2.82f-.83B
-2.19839
-1.507476
-.7671987
0
.7671987
1 .507^76
8. 19839
2.B84S38
-3.100039
-8.510356
-1.852404
-1.137819
-.3835994
.3835994
1 . 137219
1 .B52404
2.510356
3.100039
-3.333345
-2.788673
-2.163119
-1 . 4 B 1 9 2 3
-.7537378
7
6.97873
6.97873
6.9O7501
6.939044
6.907501
6.775642
6.848235
6.842235
•
6.775642
6.574636
6.677371
6.718708
6.677371
6.574636
6.300293
6.436902
6.508625
6.508625
6.436902
6.300293
5.954556
6.119078
6.824588
6.26099
6.224588
6.119078
5.954556
5.546138
5.729532
5.868409
5.938412
5.9324 12
5.862409
5.729532
5.546138
5.089531
5.28114
5.438061
5.589071
5.568598
5.529071
5.432061
5.2B114
5.089531
4.608592
4.79 1 9 8 2
4.950439
5.065848
5 . 185731
5. 125731
5.065248
4.950439
4.791982
4.602598
4.103593
4.282093
4.438264
4.560892
4.639534
0
4.467723
4.467723
9.324783
7.56683
9.324723
14.54544
12.18745
18.18745
14.54544
20.07675
17.46317
16.47888
17.46317
20.07675
25.83643
23.13B54
81 . 5 9 5 7 9
81.59579
23.13854
25.83643
31.71747
89.05499
27.28375
86.56506
27.22375
2 9 . 0 5 4 99
31 . 7 1 7 4 7
37.59852
35.06463
33.1243
32.06058
38.06058
33.1243
35.06463
37.59858
43.3588
41.02279
39.10343
37.8869
37.37737
37.8869
39.10343
41.02879
43.3588
48.88958
46.7983
44.998
43.64693
48.98488
42.92488
43.64693
44.992
46.7983
48.88958
5 4 . 11085
52.28548
50.65136
49.34099
43.48696
1,8,3
0
324
35.99999
324
0
35.99999
384
346.3868
13.61382
35.99999
324
340.0354
0
19.96463
35.99999
324
336.4464
351.7383
8.267698
23.55361
35.99999
324
334.1568
346.3862
0
13.61388
25.B4377
35.99999
324
338.5786
348.7047
354.0744
5.985613
17.8953
87.42746
35.99999
324
331.4137
340.0354
349.7053
0
10.29472
.19.96463 '
28.5B687
35.99999
324
330.S297
338.0193
346.3868
355.3847
4.615304
13.61382
21 ,98071
29.47029
35.99999
324
329.8334
336.4464
343.7958
351.7383
CZ
61
62
63
64
65
66
67
6B
69
70
71
72
73
74
75
76
77
7a
79
80
81
as
83
BÍ»
85
86
B7
58
89
90
91
5.817492
5. 187157
5.099232
'1.96513
A.787586 4.587957
4.B52578
5.069797
5.266379
5.439614
5.547344
5.609156
5.609156
5.547344
5.489614
5.86Ó279
5.069797
4. 8 5 2 5 7 8
5.065848
5.293714
5.505547
5.ÓB9117
5.8320B3
5.983216
5.954556
5.923816
5.3320B3
5.689117
5.50554 7
5.293714
5.0658'tS
0
.7537378
1 .431983
8 . 1631 19
E.7S2673
3.333345
-3.525599
-3.013709
-8.434B39
-1 . 7 9 3 1 1 1
-1 . 0 9 9 1 9 5
-.3704808
.370480B
1.099195
1.793111
2.434839
3.013709
3.585599
-3.6B0117
-3.205089
-2.666676
-8.066698
-1 . 4 1 8 4 1 9
-.7172445
0
.7172445
1 .412419
2.066692
2.666676
3.8050S9
3.680117
4.666667
4,639534
4.560B92
4.438864
4.8B3093
4.103593
3.608699
3.770842
3.916359
4.037B26
4. 185378
4.171345
4.171345
4.18537B
4.037886
3.916359
3.770348
3.608699
3. 130495
3.871695
3.402615
3.516067
3.604425
3.660748
3.680117
3.660748
3.604425
3.516067
3.402615
3.271695
3.130495
4B.18969
48.48696
49.34099
50.65136
58.29548
5 4 . 11085
58.96723
57.41121
55.98017
54.77196
53.88984
53.48273
53.42573
53.88984
54.77196
55.98017
57.41121
58.96723
63.43495
6 2 . 13533
60.91683
59.84803
59.00804
58.46S72
58.2B254
58.46872
59.00E104
59.84803
60.91623
62.13533
63.43495
TRIANGULO
1
LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS
BARRA
LONGITUD
ÁNGULO OPUESTO
1 - 2
8 - 3
3 - 1
.5456978
.6410181
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ai3. 1 1 9 7 8
33.15049
324
328.8071
334.1562
340.0354
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353.0957
0
6.9043S4
13.61382
19.96463
25.84377
31 . 1 9 2 9
35.99999
"
PUNTOS DtL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS :
EN CARTESIANAS Y POLARES, CX,Y,2 , FI,TETA)
1
2
3
4
5
6
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5.065248
5.397855
5.021074
5.72216B
5.35464 3
4.938445
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5.266279
4.8101
6.291005
5.967724
5.575483
5.124552
4.630600
6.505B33
6.216172
5.849909
5.4 1 4 3 8 a
4.92399
4.397904
6.657396
6.4058ia
6.07323
5.663119
5.167157
4.663706
4.114497
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3.333345
3.890375
4.412039
3.100039
3.693314
4.256122
4.77202B
2.824837
3.449242
4.050825
4.609768
5. 1 10179
a.510356
3. 157633
3.792267
4.391718
4.936168
5.411672
2. 163119
2.B22336
3.4B0788
4. 1 14496
4.700362
5.220139
5.663119
3.130495
2 . 7 2 6 4 13
2.726413
2.2684 1
2.a7876B
a.26841
1-758034
1.775312
1.775312
1.75B034
1.201475
1 .22025
1 .226706
1 .220249
1 .201475
.6101247
.623354
.6302998
.6302998
.623354
.6101247
- 9 . 7 B 8 3 9 E - 17
-1 . 0 0 5 9 0 5 E - 1 6
- 1 . 0 2 3 a 4 9 E -16
-1 . 0 a 9 2 3 3 E -16
- 1 . 0 B 3 2 4 9 E -16
~ 1 . 0 0 5 9 0 5 E -16
- 9 . 7 8 B 5 9 E - 17
63.43495
67.0774
67.0774
71 . 0 9 Í 4 6
7 1 .00181
71.09146
75.45456
75.30B41
75.3084 1
75.45457
BO.11686
79.960B3
79.90716
79.960B3
80.11685
B4.99972
8 4 . B 9 101
84.83393
84.83393
84.69101
84 .99972
90
90
90
90
90
90
90
3 , 7 , B
35.99999
33.15049
38.8495
30.22219
35.99999
4 1.77781
27.22764
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38.94459
44.77235
2 4 . 18141
30.02Í18
36
4 1 .97283
47.B1859
21.09973
26.92924
32.95376
39.04623
4 5.O7077
50.9002B
18
23.77781
29.81B59
36
42.16141
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54
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348556
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6.57332H
6.318134
5.980019
5.56253.=
5.078123
4.545989
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3.429132
696331
55034 1
331415
038624
653711
5.303768
4.695743
4. 1 5 3 7 8 8
3, 5 9 9 5 4
3,. 0 5 3 0 6 6
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6.. 0 1 6 2 6 5
5 .. 6 7 6 9 6 6
5 .. 2 6 4 5 3 8
4 .. 7 9 0 8 9 4
4 ..274 159
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3 .. 1 9 5 0 8 1
2 .. 6 7 0 0 3 4
6.. 4 3 9 8 5
6.. 3 3 3 8 5 6
6.. 1 7 0 4 2 5
5 .. 9 4 0 2 1 6
5 638391
5 .2655RB
4 S3O062
4 346109
3 8332B7
3 3O8099
2 791029
2 29466.
6 26099
6 16661
6 031514
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5.548454
5.313568
317336
370396
883055
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886648
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1 .934752
.79311 1
.451855
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.780028
.4 0 0 7 0 5
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.058438
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.04 1 4 5 2
4.637783
5. 16619S
0.615507
.983102
.033346
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.310344
.977278
.633506
.254 184
4.817337
5.307598
5.717972
6.049315
.666669
1.258476
1.887706
2.539314
3.192886
.824911
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.937117
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6.060135
.320509
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1.47344 9
2.099412
3.73777B
3.367734
3.967185
4.516313
5.000728
5.413101
5.752951
6.025049
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.5185946
1 .078693
1.67199
2.285342
2.901316
3.5
4.061843
4.570683
5.015969
5.393466
5.704 54
5.954556
.6101247
.6303998
.6449176
.6526184
.6536183
.6449175
.6302998
.6101246
.201475
.246708
.282336
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.313147
.305237
.282336
.246703
.201475
.758034
.330374
.890899
.934752
-1.957855
-1.957355
-1 . 9 3 4 7 5 2
-1 . 8 9 0 8 9 9
-1 . 3 3 0 3 7 4
-1 . 7 5 8 0 3 4
-3.2634 1
-2.367083
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-2.564673
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-3.564672
-2.521199
-2.453412
-2.367083
-2.26841
-2.726412
-2.S4B461
-2.958854
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-3.11677
.151499
- 3 .. 1 5 1 4 9 9
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- 3 .. 0 5 0 6 3 4
--33.. 9 5 B B 5 4
-S.84S461
-2.726413
- 3 . 130495
-3.271695
-3.402615
-3.516067
-3.604426
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-3.680117
-3.660749
-3.604425
-3.516067
-3.403615
-3.271695
-3.130495
95.00023
95.16607
95.28633
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95.34952
95.28622
95.16607
95.00058
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100.8123
100.7464
100.5557
100.5592
99.8B314
104.5454
1 0 5 . 158
105.6719
106.0451
106.2419
106.2419
106.0451
105.6719
K ' S . 158
104.5454
108.9086
109.7645
110.5171
111.1107
U1.4926
1 1 1 .6246
1 1 1.4926
111.1107
110.5171
109.7645
IOS.9086
112.9226
114.0117
115.0048
115.8364
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116.7574
116.7574
116.4395
115.B364
115.0043
114.0117
112.9226
116.5651
117.8647
119.0838
120. 152
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121 7 1 7 5
121 5 3 1 3
120.992
120.152
1 19.083B
1 17.R647
1 16.5651
14.90037
20.59094
26.61
32.844 37
39.15514
45.39001
51.40906
57.09973
11.81859
17.38797
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29.59496
36
42.40504
4B.65338
54.61204
60.1B142
8.772353
1 4 . 1BB81
20.04711
26.2677
32.7279
39.2721
45.73231
51 . 9 5 3 3 9
57.3112
63.22765
5.777307
11 . 0 1 3 2 5
16.73448
22.88339
39.35463
36
42.64538
49.11663
55.26552
60.98675 •
66.2222
2.349504
7.880316
13.43028
19.46461
25.39977
32.60193
39.39B07
46.10024
52.53541
58.56973
64.1198
69.15051
O
4.B07103
10.15623
16.03537
22.33618
29.09565
36
42.90436
49.61383
55.96464 '
6 1 . B 4 37B
67.1929
72
PLANTA DEL RETICULADO
INTERIOR, CUBIERTO.
CÚPULA MUSEO
DALÍ
EN
RGUERAS
O
1
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2
I
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ALZADO DEL MURO POSTERIOR
CÚPULA PARA EL MUSEO DAL! EN FIGUERAS.
O
1
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CÚPULA
MUSEO
DALÍ
EN FIGUE'RAS
CUBIERTA. CAPA EXTERIOR DE
RETICULADO PARA
LIMPIEZA
Y MANTENIMIENTO.
LU.JJU.JJ.jJL.
JZ54
[ R O
24
O C T U I I E
1 NOVIEMBRE
3,¿f - MUSEO PALEOCRISTIANO EN TARRAGONA
156
M L J S E O
P A L E O C R X S T X A N O
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M E T R O S
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TV-^FiFÍ^ t ^ O N f t
PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS :
EN CARTESIANAS Y P0LARE5,(X,Y,2,FI,TETA)
1
2
3
4
5
6
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1?
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4 S
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
- I d . 4 6 i06
-13.85388
-13.853(38
-13.0984 2
-13.15B23
-13.09S42
-12.18164
-1 2 . 3 0 1 3 6
-12.30136
- 1 2 . IB I 6 4
-11.10023
-1 1 . 2 7 3 6 8
-1 1 . 3 3 3 3 3
-1 I .2736B
- 1 1 . 10023
-9.E364473
-10-07836
-10.19066
-10.19066
-10.07R36
-9.864473
-B.5
-8.734852
-8.885466
-8.937429
-8.B85466
-8.734852
-9.5
-7.046052
-7.279044
-7.447858
-7.536791
-7.53679 1
-7.447858
-7.279044
-7.046O58
- 5 . 5 5 0 115
-5.759065
-5.933644
-6.029433
-6.065975
-6.029433
-5.923644
-5.759065
-5.550115
-4.060546
-4.227631
-4 . 3 6 7 4 5 6
-4.468714
-4.522075
-4.522075
-4.468714
-4.367426
-4.227631
-4.060546
-S.619633
-S.733636
-S.B33333
-3.911618
0
-.7783791
.7733791
-1 . 6 1 9 0 5 4
-3.0306E-17
i .619054
-2.509555
-.8447401
.8447401
2.509555
-3.43016
-1 .74 188
-6.525727E-17
1 .74 189
3.43016
-4.3547
-2.669474
-.8997393
.3997393
2.669474
4.3547
-5.253589
-3.598957
-1 . 8 3 0 5 0 7
-6.B61555E-17
1 .830507
3.598957
5.253289
-6.09658
-4.498697
-2.761818
-.9315987
.9315987
"2.761818
4.498697
6.09658
-6.86035
-5.333948
-3.661014
-1.863197
6.9B5571E-17
1.B63197
3.661014
5.33B94S
6.86032
-7.528667
-6.09658
-4.493697
-2.761818
-.93159BB
.9315988
2.761818
4.498697
6.09658
7.528667
-B.095268
-6.757921
-5.253289
-3.598958
8.937429
9.B31614
9.821614
10.71495
10.7638B
10.71495
11 . 5 8 9 2 1
11.70312
11.70312
11 . 5 8 9 2 1
12.41044
12.604 36
12.67105
1S.60436
12.41044
13. 14263
13.4376
13.57732
13.57723
13.4276
13.14363
13.75329
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14.46106
14.37699
14. 13329
13.75329
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14.63936
15.03003
15.2095
15.2095
15.03003
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15.88093
15.78526
15.5033
15.07743
14.53039
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B0
£31
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-1 . 2 5 9 4 4 4
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90
90
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90
90
90
90
90
90
90
90
PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS : 7 , 2 , 3
EN CARTESIANAS Y POLARES,<X,Y,Z,FI,TETA)
1
2
.3
4
5
6
7
8
9
10
1 1
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0
5.881082
11 .64074
17.17204
22.39277
27.24975
31 .71748
TRIANGULO
7 2 3
LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS
BARRA
LONGITUD
ÁNGULO OPUESTO
85 - 72
72 - 73
73 - 35
1.713584
1 .799479
1.7135B4
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63.34497
58.32752
B5 - 86
B6 - 73
73 - 85
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34 - 35
35 - 43
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1.778006
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314.1517
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287.9319
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74 - 86
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74 - 75
75 - B7
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87 - 88
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75 - 87
1.640537
1 .563405
1.70821
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55.61732
64.38555
B8 - 75
75 - 76
76 - BB
1 .563405
1 .635002
1.672997
56.39406
60.57568
63.03026
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89 - 76
76 - 89
1.548487
1 .487053
1.672997
5B.32B9B
54.81653
66.B545
75 - 73
73 - 61
61 - 78
1.7994-79
1.77B006
1 .778006
60.80063
59.59969
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73 - 61
61 - 62
62 - 73
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1 .833174
1.791505
58.7371
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59.46118
73 - 74
74 - 62
62 - 73
1 .779594
1.740172
1.791505
60.49529
58.3245
61.18021
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62 - 63
63 - 74
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74 - 75
75 - 63
63 - 74
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1.779594
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75 - 63
63 - 64
64 - 75
1 .681841
1 .713584
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59.98936
61 .81074
75 - 76
76 - 64
64 - 75
1.635002
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1 .744-176
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56.74228
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76 - 64
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65 - 76
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1.608592
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61 - 50
50-51
51 - 61
1.841147
1.863198
1.841147
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60.79398
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62 - 5 1 '
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1.822098
1.841147
60.05337
59.45785
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62 - 51
51-52
52 - 62
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62 - 63
63 - 52
52 - 62
1 .791505
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61 .80171
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1.77B006
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I .799479
1.681841
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53 - 54
54 - 64
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65 - 54
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1.744176
56.74229
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50 - 51
51 - 41
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59.90032
60.04985
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51 - 41
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1.863197
59.60303
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42 - 43
43 - 52
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1.B2209B
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43 - 44
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60.49528
53 - 44
44 - 54
54 - 53
1.779594
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57.37446
54 - 44
44 - 45
45 - 54
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1.70B21
62.07155
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1.863197
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59.90032
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59.457B7
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34 - 35
35 - 43
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1.791505
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1 .70B21
1 .722482
56.73967
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62.07155
32 ~ 33
33 - 23
25 - 32
I .863197
1 .841146
1 .841146
60.79398
59.60301
59.60301
33 - 25
25 - 26
26 - 33
1 .841146
1 .833173
1 .322098
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60.05337
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33 - 34
34 - 26
26 - 33
1 .841147
1 .833173
1 .822098
60.48879
60.05336
59.457B5
34 - 26
26 - 27
27 - 34
1 .833173
1 .791505
1 .778006
61 .80171
59.46118
58.7371
34 - 35
35 - 27
27 - 34
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1 .799479
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59.599760.80062
59.59969
35 - 27
27 - 28
29 - 35
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1 .713584
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35 - 36
36 - 28
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MUSEO PALEOCRISTIANO
DE TARRAGONA
PLANTA GENERAL
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UNIONES
PERIMETRALES
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RESTO DE BARRAS
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UNION ATORNILLADA
UNION
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MUSEO
PALEOCRISTIANO
DE TARRAGONA
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MUSEO PALEOCRISTIANO
DE TARRAGONA.
PORCIÓN DE RETICULADO
DE ESFERA QUE OCUPA
CADA MODULO.
ALTURA
DE
SOPORTES
SEGÚN
LOS
VARIABLE,
PERFIL
DEL
TERRENO.
MÍNIMO
MUSEO
PALEOCRISTIANO
DE
2,60 m.
TARRAGONA
ALZADOS DEL
MODULO BASE
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ENTRE PIRÁMIDES.
MUSEO PALEOCRISTIANO
DE TARRAGONA.
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170
5-CALCULO DE LAS CÚPULAS TRIANGULADAS
Del proceso de cálculo que utilizó Emilio Pérez Pinero para éstas
cúpulas, solo quedan descripciones someras en los dos artículos
(!)
Revista "Hogar y Arquitectura" n° 101/1972
que escribió^y en la memoria de proyecto de cúpula para el Museo
Dalí en Figueras.
Revista "Arquitectura" n° 112/1968
(2) .
Ver Capítulo V: "Estructuras espaciales articuladas"
Estructuras I: A.G. de Arangoá
Publicaciones de la Delegación de alumnos de la ETSAM.
Básicamente el proceso consiste en lo siguiente >: halla la acción
exterior en cada nudo (peso propio, viento, etc.) incluida la hi0.''
pótesis de las que serían las reacciones en los nudos de apoyo.De
alguna forma, hace una hipótesis de acciones en.las uniones atorn_i
liadas entre macropiezas.Empezanzo por los nudos inferiores (de
las reacciones) reparte las fuerzas entre las barras que van al
}
rkido, y así sigue ascendiendo por todos los nudos diferentes hajs
t a l a clave, en que si la hipótesis es correcta tiene que haber
equilibrio, es decir, cumplirse que la suma de fuerzas sea nula.
La herramienta concreta de cálculo que utiliza es el mátodo grá
fico de suma de fuerzas, que como es espacial, proyecta en vertical y horizontal, en diédrico.Con este método de análisis no
se pueden tener mas de tres incógnitas en el equilibrio de cada
nudo ( solo sé dispone de tres ecuaciones:ZX.=0, ZY.=0, ZZ.=o).
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i
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Siendo l a b a s e de apoyo generalmente un p l a n o h o r i z o n t a l , l a s
l í n e a de contorno e s un c i r c u l o parale]©.Para un r e t i c u l a d o a p a r
t i r d e l i c o s a e d r o , l o s nudos no quedan en e l c i r c u l o de c o r t e .
171
Materializando el paralelo lo que queda son nudos con cuatro barras de muy diferente longitud.
No se sabe muy bien como empieza pero sí como acaba: en la prime
ra vuelta no hay equilibrio de fuerzas en la clave. Resuelve el
cálculo cómo un proceso iterativo hasta equilibrio, en el que el
primer tanteo le sirve para predimensionar. Esto se comprende pa_
ra el casó del peso propio
pues con los tipos de cubrición que
usa, el peso de la estructura puede ser mas del 50% del peso total permanente.
La normativa vigente en los años en que se desarrollaron estos
proyectos era la Norma MV-101:"Acciones en la edificación", en
la que para la sobrecarga de nieve, es obligatorio considerar co
2
mo mínimo 40 kg/m , y que la condición de desmontables de estas
estructuras no es suficiente argumento para no considerarla.De
la acción de viento hay unos planos de su mano en los que nos
muestra el tipo de hipótesis: analiza una zona de casquete comprendida entre 80
de un ¡total de 360 , y 60
a partir del suelo,
de un total de 90.La acción es de l,2w -0.4w , donde w tiene el
2
valor máximo dado en la Norma MV 101: 150 kg/m .De este valor de
w toma el correspondiente a la componente en la dirección del ra_
dio ( proyecta la acción dos veces, primero en la dirección del
radio del paralelo y después en la de la esfera), no considerando las dos componentes que quedarían en el plano tangente en cada nudo.
172
De la combinación de acciones,
coeficientes de seguridad, etc.
solo se puede saber a lo que obligaba la normativa en los años 60,
y que era a muy poco: el dato más fiable es la tensión de cálculo
2
del acer que se empleaba: 1200 kg/cm .
La respuesta en el diseño de secciones es la siguiente: en las
dos primeras, de los años 1965 a 67, emplea tubos redondos de a ce
ro. Estas dos cúpulas primeras son una semiesfera y dos casquetes
con un arco desde la clave de 30- .En las dos hay un muy alto po£
centaje de barras trabajando a.compresión y el consumo de material
2
es muy bajo: 6 kg/m.En las otras dos posteriores (1970-72) , emplea
secciones en T sobre las que coloca un cerramiento transparente,
y seccines en C para cubrir con placa ondulada de fibrocemento.
Pérez Pinero consideraba sus propios modelos de cálculo poco fia
bles. En sus escritos expresa que verifica
la flabilidad del com
portamiento último de la estructura con ensayos de modelos a esca
la, e incluso monta la estructura completa en taller y ensaya su
comportamiento al menos con toda la carga gravitatoria.
El modelo de cálculo descrito básicamente es el que se usaba para el cálculo de todas las estructuras trianguladas de acero,
1)
planas o espaciales: sumar vectores fuerza y equilibrar. Sin em"Schalen und Rippenkuppeln"
Handbuck für Eisenbetonbau
Franz Dischinger
bargo en 1960 ya estaba a punto toda la teoría de cálculo de lá1) Félix Candela habla realizado casi
minas delgadas de hormigón,
todas sus delgadas superficies empleando el modelo de membrana,y
173
el continuo lo discretiza en barras para la cubierta
del Pala-
cio de los Deportes de Méjico, en 1968, en la que emplea paraboloides en grupos de cuatro formando una retícula de 11 x 11 m.
sobre dos familias ortogonales de arcos reticulados. Florencio
del Pozo había publicado su "Cubiertas laminares cilindricas fo£
madas por una malla triangular de perfiles de acero" a través del
Instituto E. Torro ja» Tarobién en los años 60, partiendo de estos
estudios de del Pozo, José Calavera
aplica la teoría de placas
de hormigón para las mallas de tetraedros. Constituyen las referencias mas cercanas o a las que pudo tener acceso.
•0E VA A ANALIZAR de que magnitud son los esfuerzos a que están
sometidas las distintas cúpulas aplicando la teoría de la membra_
na y discretizando los valores continuos para la reticulación ob_
tenida, para los casos más desfavorables,excepto para las c ú p u —
las del Museo Paleocristiano, en que por su tipo de apoyo (cer—
chas y soportes) y la poca cantidad de barras se realiza el análisis mediante cálculo matricial.
174
PORCIÓN DE ESFERA ACUPADA EN CADA PROYECTO
C ú p u l a p a r a e l Museo D a l í en F i g u e r a s
Teatro desmontable para "Festivales de España"
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h = 1 0 , - mct = 1 1 5 ° = í>
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R = 1 7 , - m.
a- = 2 1 , 7 ° = <¡>
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O S O S 360'
Museo P a l e o c r i s t i a n o de Tarragona
f.üpula para proyección de cinerama
R = 1T,9 ra.
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t
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\a
/
\
\
Y
••
\
~h
\ I
\
/
175
2
- 51,3 o . 2 * 2//
:^.
"•
i
r-
Á
•v
^\
\
/y
t
\
\
-A"
i
i
-V'
/
,6-ESTUDIO DE ACCIONES Y SOLICITACIONES
6.1-ACCIONES;
Las correspondientes al peso propio en cada una de las realizacig_
nes es la siguiente:
- Cúpula para proyección de cinerama y Teatro desmontable para Festivales de España: Estas son las dos primeras realizadas con idén_
tico criterio. El dato que se usa está recogido de la memoria del
primero de ellos.
2
11.436 kg de tubo redondo/ 27rrh m = 11.436/1.869 =
2
= 6 kg/m
-Cúpula para el Museo Dalí en Figueras:Datos según memoria de proyecto :
2
Área media de exágonos = 1,663 m
Peso de perfiles empleados = 20 kg
2
El peso propio será = 1 1 kg/m
,. Cubriciones para el Museo Paleocristinao de Tarragona:A partir
de toma de datos en el sitio:
2
Área media de exágonos =73 a 8 m
Peso de perfiles empleados = 56 kg
2
El peso propio será = 8 kg/m
176
El peso de las cubriciones correspondientes es:
- "Cinerama" y Teatro: lona = 1.815 kg/2 rh = 1 kg/m
2
- Museo Dalí: metacrilato moldeado = 3 , 5 kg/m
2
-Museo de Tarragona: placa ondulada de fibrocemento = 13,4 kg/m
De las sobrecargas, la única a considerar sería la de nieve.Nos
atenemos a la Norma MV 1962 en la que se da un valor mínimo de
2
40 kg/m . Para el valor de la acción de viento, tomamos el dado
en la misma norma; según condiciones de altura y exposición, el
2
valor de w =100 kg/m
17?
3-6 .2-SOLICITACIONES
Las acciones que se van a considerar son las evaluadas anteriormente. Por tanto no se consideran acciones sísmicas (•?! mayor grado- sísmico es el VI) ni de gradiente de temperatura (la mayor
cúpula tiene un diámetro de 34 metros y se monta simplemente apo_
yada sobre el suelo) ., tampoco se tienen en cuenta el terreno o
posibles asientos diferenciales.
El procedimiento de cálculo consiste en hallar los esfuerzos cor.
mo si se tratase de membranas continuas y luego discretizar los
esfuerzos por barras. Este procedimiento da unas solicitaciones
muy próximas a las reales y se puede abordar sin tener un predi^
seño de secciones. No vamos a realizar otro cálculo posterior exacto (salvo en un caso
) p U es este modelo nos da muy bien aco-
tado el orden de magnitud y por otra parte se sabe muy bien como
trabajah estas estructuras reticulares de una sola capa' con apo_
yo a lo largo de un paralelo.
A partir de las ecuaciones de equilibrio de una membrana, por to
dos conocidas, particualrizando para las de revolución con doble
curvatura, tenemos:
Equilibrio según meridianos:
1
9
_
pr 3é
178
,M
^
1
9N
N
(^ r) + _ _.^ = _
T
r
39
^
_¿
é
r
Equilibrio según paralelos:
1
8
(N
— lT «e
r) +
i5 V
N^6
p +
r ~3e~ = ~ e ~T^ o s *
Equilibrio según el radio de curvatura:
N sen$
r
N
+ —*- =
p
Las componentes P,, P
y p
PP
p
de acciones exteriores, para cada
casode los que vamos a analizar es la siguiente:
- peso propio P = Pcos^; P, = Psen<í> ; P = 0
p
cp
tí
~ nieve: P = Pcosé ; P, = Pcosctseni ; P. = 0
P
q>
y
- viento: P = wsenécosO
; P, = P„ = 0 por conside
Y
p
$
6
rar que las componentes de w en el plano tangente
de la membrana no dan solicitación,aunque esta for
ma de acción se discute si está cerca de la real.
Las ecuaciones particularizadas para el caso de la esfera, con
p = R constante» r=Rsentf> y apoyo en un círculo paralelo.
P R
para peso propio N, = - 1+COSÍ
1
N^ = P R(
- COS(
0
p
1+coscp
para la sobrecarga de nieve
P R
n
2
p R
n
N8 = - ——— cos2ií>
N, = -
N,„ = 0
17-9
•>
• s ja
j,
para la acción de viento
,, ~ w R
N, =
(2+cosé) (l~cosé)cosé
3
T
*
cos
3
(1 + c o s <b ) sen<í>
N g = --wR s e n c | i c o s 9 - N
N
=
<t>6
r
_ wR
3
(2ico5A|(l-cQ5^sene
( I+COS<[J) sentfi
3 - 6 ' . 3 - E S F U E R Z O S EÑ LAS BARRAS
\ S >. i, \ <. J * i ^ "1
Considerando que las barras superior e inferior forman parte de
circuios paralelos, el paso de esfuerzos unitarios, dados para
una superficie continua, N^, N^ , N^g, a esfuerzos en barras vie_
ne dado por las siguientes expresiones, que se obtienen acumulan
do y equilibrando los esfuerzos unitarios en los nudos.
N
N
a
=
*
2sen6
^
*
2senS
=
N s
*
2tg6
2cosB
N
N
N
b
c
*'
2cosB
6
tgS
El reticulado que se usa tiene los nudos be y ac con distinta
"latitud" (
|
) , por lo que si quisiéramos obtener los esfuerzos
180
con mas precisión
en puntos críticos o mas desfavorables, se
pueden obtener las componentes del tensor
rección
N, N
para la di
be ab a partir de la de uno de ellos. La mayores dife
rencias están alrededor de los 2,5
181
"EATRO DESMONTABLE PARA FESTIVALES DE ESPAÑA
CÚPULA:
ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 16.4 METROS
PESO PROPIO: 7 KG/ME Y DE NIEVE: 40 KG/M2
ESFUERZOS EN MERIDIANOS,NFI
P.PROPIO
NIEVE
Fí
-57.4
-328
0
-57.50942
-328
5
-57.83935
-328
10
-58.39438
-323
15
-59.18463
-328
EO
-60.22113
-328
25
-323
-61.52113
30
-63.10632
-328
35
-328
-65.00403
40
. -328
-67.24823
45
-69.88122
-328
50
-72,95483
-328
55
-32a
-76.53333
60
-80.69628
-388
65
E S F U E R Z O S EN P A R A L E L O S , N T E T A
0
-57.4
-328
5
-56.85373
-323.0 3 69
10
-55.. 21 6 5 7
-308.2192
15
-52.49341
-284.0563
20
-48.69209
-251.8626
25
-43.82301
-210.8343
30
-37.89859
-164
35
-30.93233
-1 12. 1826
40
-22.93786
-56.95654
45
-13.92756
5.343799E-05
50
-3.910793
56.95664
55
7.108257
- 112.1827
60
.19.13334
164
65
32.1797
210.3344
182
TOTAL
-385.4
-385.5094
-385.8394
-386.3949
-337.1846
-388.2211
-389.5211
-391.1063
-393.004
-395.2483
-397.8812
-400.9548
-404.5333
-408.6963
-385.4
-379.8707
-363.4358
-336.5498
-299.9546
-254.6573
-801.8936
-143.1149
-79.8944
-13.92751
53.04585
1 19.2909
183.1334
243.0141
La combinación de fuerzas debidas a la carga permanente, más des_
favorable corresponde a la pirámide de la clave/ en que existen
esfuerzos de compresión en ios dos sentidos. La barra más soiic_i
tada es la 2-3, con 619 kg sin mayorar. Precisaría una sección
2
de unos o,9 cm por lo que el perfil empleado ( 0 40.2) cumple
muy sobradamente.
183
D E S M O N T A B L E PARA P R O Y E C C I Ó N DE C I N E R A M A
CÚPULA:
E S F U E R Z O S EN E S F E R A DE R A D I O : 17 M E 1 R O S
PESO P R O P I O : 7 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M £
E S F U E R Z O S Ei'M M E R I D I A N O S , N F"I
FI
P.PROPIO
-59.5
0
-59.61342
5
-59,95543
10
15
-60.53128
-61 .34992
20
-62.42434
£5
-63.77191
30
- 6 5 . 4 151
35
40
-67.38823
-69.70859
¿+5
'-75. ¿i3785
50
-75.62391
55
-79.33334
60
-83.64858
65
70
-88.67229
75
-94.53305
SO
-101.3933
85
-109.46
184
NIEVE
-340
-340
-340
-340
-3^0
-340
-340
-340
-340
-340
-340
-340
-340
-340
-340
-340'
-340
-340
TOTAL
-399. 5
-399. 6134
-399. 9555
-400. 5313
-401 . 3499
-402. 4244
-403. 7719
- 4 0 5 . 4151
-407 . 3 8 2 2
-409. 7086
-412. 4379
-415. 6239
-419. 3334
-423. 6486
-428. 6723
- 4 3 4 . 5331
-441 . 3 9 3 3
- 4 4 9 . 46
CÚPULA:
DESMONTABLE PARA P R O Y E C C I Ó N DE C I N E R A M A
E S F U E R Z O S E N E S F E R A DE R A D I O : 1 7 METROS
PESO P R O P I O : 7 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M 2
ESFUERZOS
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
. 85
90
EN P A R A L E L O S , N T E T A
-59.5
-58.93375
-57.23669
-54.4139
-50.47351
-45.42629
-39.23512
-32.064 '
-23.77705
-14.43711
-4.053871
7.368315
19.83334
33.35701
47.97191
63.7336
80.72915
, 99.08844
119.0001
-340
-334.8346
-319.4955
-294.4487
-260.4551
-213.5478
-170
-116.2863
-59.04032
5.539304E-05
59.04042
116.2869
170
218.5478
260.4552
294.4487
319.4956
334.8347
340
-399.5
-393.7684
-376.7322
-348.8626
-310.9286
-263.9741
-209.2851
-148.3508
-82.81736
54.9S655
123.6552
189.8334
251.9048
308.4271
353.1823
400.2247
433.9231
459.0001
Los másliaos e s f u e r z o s de compresión e s t á n en l a b a r r a 2-3 como
en e l c a s o a n t e r i o r . En l o s nudos de l a b a s e e x i s t e n unos
esfuer
zos de t r a c c i ó n e n t r e 200 y 300 kg, y de compresión e n t r e 300 y
400 kg, en l a s b a r r a s mas h o r i z o n t a l e s y mas v e r t i c a l e s ,
t i v a m e n t e . Por l o t a n t o s i r v e e l p e r f i l
te.
0 40.2 de A37 sobradamen
El b o r d e de apoyo, d i r e c t a m e n t e sobre e l s u e l o , e s t á m a t e r i a
l i z a d o p o r un a n i l l o de t u b o .
185
respe£
CÚPULA:
M U S E O DALÍ EN FI G Ü E R A S
E S F U E R Z O S EN ESFERA DE R A D I O : 7 M E T R O S
P E S O P R O P I O : 14.5 K G / M 2 Y DE N I E V E : 4 0 K G / M 2
E S F U E R Z O S EN
FI
O
5 "
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
186
MERIDIANOS,NFI
P.PROPIO
-50.75
-50.84674
-51.13846
-51.65962
-52.32788
-53.24429
-54.39369
-55.79523
-57.47308
-59.45733
-61.73523
-64.50275
-67.66666
-71.34732
-75.63226
-80.63113
-86.4B249
-93.3629
-101.5
-111.1909
-122.8291
-136.9436
-154.2601
-175.7937
NIEVE
-140
-140
-140
-140
-140
~140
-140
-140
-140
-140
-140
-140
-140
-140
-140
-140
-L 4 0
-140
-140
-140
-140
-140
-140
-140
TOTAL
-190.75
-190.8467
-191.1385
-191.6296
-192.3279
-193.2443
-194.3937
-195.7952
-197.4731
-199.4573
-201.7352
-204.5028
-207.6667
-211.3473
-215.6323
-220-6311
-226.4825
-233.3629
-241.5
-251.191
-262.B291
-276.9436
-294.2601
-315.7937
CÚPULA:
MUSEO DALÍ EN FTGUERAS
ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS
PESO PROPIO: 14.5 KG/M2 Y DE NIEVE: 40 KG/M2
S F U E R 2 0 S EN
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
35
90
95
100
105
110
1 15
18?
PARALELOS,NTETA
-140
-50.75
-137.8731
-50.26702
-131.557
-48.81953
-121.2436
- 4 6 . 4 1 1 8 6 ..
-43.05094
-107.2462
-89.99026
-38.74595
-70
-33.5079
-47.88281
-27.34871
-24.31072
-20.28042
2.28089E-05
-12.31401
24.31076
-3.457713
47.88285
6.28474
70.00001
16.91667
89.9902628.45157
40.91722
107.2463
54.36101
121.2436
68.85722
131.557
137.8731
84.51661
140
101 .5
120.0373
137.8731
131.557
140.4544
121.2436
163.2133
183.9751
107.2462
89.99019
218.6895
-190.75
-188.1401
-180.3765
-167.6554
-150.2971
-128.7362
-103.5079
-75.23152
-44.59114
-12.31398
20.85305
54.16759
86.91668
118.4418
148.1635
175.6046
200.4142
222.3897
241 .5
257.9104
272.0113
284.4573
296.2213
308.6797
CÚPULA: FIGUERAS
ESFUERZOS EN ESFERA DE RADIO: 7 METROS
PRESIÓN DE VIENTO 100 KG/M2
TO PARA EL ÁNGULO FI= 90 GRADOS
NTO PARA E L ÁNGULO. FI = 30 GRADOS
TETA
O
10
20
30
40
SO
60
70
ÍJO
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
rETrt
o
10
20
30
4G
50
60
70
80
r> t
.•
ÍJ
100
11 o
120
¡ 30
140
¡ '3 0
ir. o
1 /'O
130
NFII
-83.16
-81.90
-78.15
-72.02
-63.71
-53.46
-41.53
-28.44
-14.44
0.00
14.44
28.44
41.58
53.46
63.71
72.02
78.15
31.90
33.16
NFITETA
0.00
-16.67
-32.84
-48.01
-61.72
-73.56
-83.16
-90.24
-94.57
-96.03
-94.5 7
-90.24
-83.16
-73.56
-61.72
-43.01
-32.84
-16.67
0.00
NTETA
-266.84
-262.78
-250.75
-231.09
-204.41
-171.52
-133.42
-91.2 6
-46.34
0.00
46.34
91.26
133.42
171.52
.204.41
231.09
250.75
262.78
266.84
TETA
NFITETA
NFI
O
10
20
30
40
50
6.0
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
"0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
-0.00
0.00
-81.04
-159.61
-233.33
-299.97
-357.49
-404.15
-438.52
-459.58
-466.67
-459.58
-438.52
-404.15
-357.49
-299.97
-233.33
-159.61
-81.04
0.00
NTETA
-700.00
-689.37
-657.78
-606.22
-536.23
-44S.95
-350.00
-239.41
-121.55
0.00
121.55
239.41
350.00
449.95
536.23
606,22
657.79
639.37
700.00
ENTO PARA EL ÁNGULO FI= 60 GRADOS
ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI= 115 GRADOS
FI
TETA
NFITETA
-112.25
-110.56
-105.49
-97.22
-86.00
72.16
-56.13
-38.40
-19.49
0.0 0
1 9 . •] '•)
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72.16
86.00
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110.56
112.25
0.00
-38.99
-76.79
-112.26
-144.32
-172.00
-194.44
-210.98
-221.11
-224.53
-221.11
-210.98
-194.44
-172.00
-144..32
-112.26
-76. 79
-38.99
0.00
NTETA
-493.96
-436.45
-464.17
•-427.70
-373.39
-317.51
-246.98
-168.94
-85.77
0.00
85.7/
16 8.94
2 4 6.93
317. 5L
378.39
4 2 7,73
464.17
4 86.45
4 93.96
O
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30
40
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100
110
120
130
140
150
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170
180
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416.45
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366.22
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271.82
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-0.00
-73.43
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-323.94
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-500.30
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-342.23
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-1057.29
-1041.23
-993.53
-915.64
-809.93
-679.61
-528.65
-361.61
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0.00
183.60
361.61
528.65
679.61
809.93
915.64
993.53
1041.23
1057.29
0.00
Las barras son de pequeña longitud ( entre 0,5 y 0,7 m.) formando una tupida retícula que, con el modelo de cálculo de asimilación, acumula fuerzas pequeñas en los nudos: el perfil empleado (T 30.35) es suficiente para soportar las solicitaciones mas desfavorables de la combinación de cargas permanente,
nieve y viento.
Por otra parte, aunque el diseño de la sección no es el óptimo
para conseguir un radio de giro grande, en la penalización por
pandeo queda compensado por la escasa longitud de l&£¿b.arras.
189
CÚPULA : MUSEO PALEO CRISTIANO DE TARRAGONA
ESFERA DE RADIO : 17 m.
PESO PROPIO : 55 kg/nudo; NIEVE: 110 kg/nudo; VIENTO: 140 kg/m
Para analizar las solicitaciones en las barras de esta cúpula se
ha empleado el modelo de cálculo matricial, en vez de la a^imilacbnLa membrana por la porción de esfera analizada y el tipo de
apoyos: en lugar de ser un casquete apoyado en un paralelo, los
nudos están apoyados en cerchas y estas en pilares.
Los movimientos que se han supuesto a los apoyos son-, desplazamientos en el sentido del cordón de la cercha e indesplazabilidad en las otras dos direcciones, vertical y normal al plano
de la cercha.
Esta, aunque es una estructura plana, recibe es-
fuerzos normales a su plano.
El apoyo de las barras se materializa probablemente con soldadura
en todo el contorno, sobre el perfil LD-cordon superior, en que
un ala recibe la barra y la otra oculta al exterior su cabeza:
se impide cualquier desplazamiento y se resisten las acciones
inclinadas que vienen de las barras, que como se ve en las
plantas-resumen que siguen, son muy pequeñas.
Las máximas solicitaciones se encuentran en las barras que confluyen cerca de los soportes.
Solo funciona como membrana la
parte central con exágonos concéntricos comprimidos y algunas
radiales traccionadas.
190
Para la barra comprimida más larga, si el perfil empleado es
UF 40.40.2, soporta a compresión 1.280 kg, y si es un UF 40.
40.3, soporta a compresión 1.870 kg, por lo que resisten los
esfuerzos sobradamente.
191
COMPONENTES DE FUEHZA EN NU005
-f«—
-—Fy—
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-165.03
-165.30
-165.30
-185.08
-155.00
-165.33
-155.03
-165.83
-165.03
-165.33
-165.30
-165.30
-185.00
-165.80
-165.00
-155.00
-185.08
-165.00
-165.03
-155.00
-1E5.0B
-1E5.00
-155.00
-185.00
-165.03
•165-03
-165,03
-165-08
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-165.BB
-165-03
-165.03
-165.08
-165.30
-IS5.33,
-155.00
-165.00
-165.08
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-165.00
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-165.08
DESPLAZAMIENTOS DE LOS NuaOS
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rY¥Y>cnsY
mz(+-iz
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2
3
4
5
6
7
7.93434
3.53592
2-12623
1.67775
1.67760
2.12643
3.53618
7.93443
-18.26639
-1.59326
.09953
3.00080
.09354
-1.5Q32T
-18.26537
0.00003
-I.S4E38
-.61831
-.19763
-.19765
-.E1840
- ! .54669
3.30030
0.38080
8.08008
8.08830
0.38003
3.08380
0.03003
0.00000
0.83003
-35.06857
-9.46778
-3.92467
-3.75162
-3.52434
-9.45800
-35.06836
0.83808
-3.63475
-6.4=697
-4.55315
-4.55333
-5.45755
-9.S963S
3.33003
-3.I439S
-5.54383
-5.1BZ16
-3.75474
-5.18280
-5.54453
-3.14431
8.30033
-4.12552
-5.30342
-4.77020
-4.77062
-5.30113
-4.12817
0.33883
-4.73278
-4.72183
-4.57520
-3.74313
-4.57665
-4.72194
-4.73373
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s
10
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13
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1.35232
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.30838
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-.22847
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-.13421
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-1.44158
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.03346
-.33155
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-.03342
.13339
1.44184
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3.00303
3.33383
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3.08083
0.00000
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61
52
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65
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73
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77
78
79
83
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62
ESFUERZOS EN LAS 3ARRAS
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4
5
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3.3
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3.3
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3.3
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28
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155.543
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1.853
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SOLICITACIONES
DEBIDAS
3.7.- OTRO SISTEMA DE RETICULADO: VELÓDROMO ANOETA
En estíe anteproyecto para el concurso de cubrición del velódromo
Anoeta, de 1972, dejó croquizado y comentado otro sistema de descomposición de la superficie esférica, también usado en estos
años y reseñado en la introducción.
El método para ejecutar el reticulado del casquete es el translado hasta la superficie esférica de la retícula triangular equilátera trazada dentro del circulo paralelo correspondiente a la base del casquete, en la que el centro corresponde con el nudo de
la clave y este es el centro del único exágono regular existente.
No se puede saber como pretendió realizar el traslado pero los procedimientos más usuales consisten en llevar cada nudo a t r a —
vés de una recta que se corta con la superficie esférica, bien desde dentro de la esfera (en ese caso las líneas serían poligonales de arcos de meridianos) o desde el punto opuesto a la clave (proyección estereográfica).
Existe otra posibilidad, por cada linea del reticulado levantar un plano normal al de la base que se corta en la superficie esférica en arco de paralelo. Los primeros comentados, dan retículas
de triángulos escalenos con longitudes de lados y ángulos más ho-
196
mogéneos que este último. En todos los casos, el aspecto es de
-
triángulos homogéneos si la pendiente de la esfera con relación al plano de la base es pequeña.
En este anteproyecto, la relación diámetro/altura a la clave es de 4:
resulta casi obligado al usar este sistema de reticulado en vez del icosaedro esférico. En el n2?:.í:6'2-163(-Í972^<3f5 la Revista Arquitectura puede suponerse sin mucho error que figura transcrita la
memoria del anteproyecto presentado al concurso.
En un punto se dice que "
se conservan exágonos y triángulos
de la geometría básica.....sin puntos singulares, ni quiebros o discontinuidades que inquieten la apetecible tranquilidad del con
junto".
En el artículo escrito por Pérez Pinero, que aparece en el n2112
de la Revista de Arquitectura (1968), comenta este sistema con
la proporción límite razonable perfectamente acotada para que resulte de una apariencia uniforme. No tuvo oportunidad de hacer ningún proyecto hasta 1972, que se presentó este concurso.
La cubrición era ingeniosa, con la iluminación natural repartida
uniformemente en todo el casquete, a base de piezas de cubierta*que,comprendiendo un exágono y dos triángulos traza en forma de paraboloide, en el que los cerramientos verticales son los elemeii
19?
tos transparentes. Con este diseño el edificio tenía un aspecto muy singular. Dalí lo comparo con una bandada de gaviotas a punto
de levantar el vuelo. No pudo llegar a definir el proyecto de eje_
cución porque en verano de ese año sufrió un accidente mortal.
Hubo un intento por parte de la propiedad de que se realizara como diseño, pero, según Félix Candela, a la primera dificultad
-
(la recogida de aguas de los paraboloides era compleja) se abando
nó, materializándose la forma esférica por varias familias de
grandes arcos reticulados, resolviendo la iluminación mediante
placas onduladas de plástico transparente.
198
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CONCLUSIONES A LA PARTE I*
Emilio Pérez Pinero usa en todas sus cúpulas, fijas o desmontables, el mismo procedimiento de triangulado: elección del icosaedro, tipo de subdivisiones, "frecuen
cia" de división y casi hasta radio de la esfera cir
cunscrita: solo hizo una vez los tediosos cálculos a ma
no (la precisión de la regla de cálculo es muy remota)
dando una respuesta formal muy variada.
La única solución diferente, aunque no concretada, c o —
rresponde a la cubrición del velódromo Anoeta es que de
entrada no quiso incluir un pentágono regular en la cía
ve. Esta parcela de la edificación de soluciones tan
singulares, es de poca demanda: Pinero aprovechó todas
las oportunidades que se le brindaron.
Su comprensión de la excelencia de la forma para el traslado de cargas en vanos de gran luz a bajo coste, -.
está fuera de toda duda. Respecto a la elección de ba-—
rías y reacciones, en las primeras que realiza se decide por las idóneas; ensayadas
y usadas las estructu—
ras construidas con ellas, proyecta después con barras
200
de sección abierta para cúpulas de luces más modestas,sin extremar la medida del mínimo coste de material.
En 1962 ¿Ice:"Hay cuatro o cinco procedimientos, que yo
conozca, para llegar a la triangulación de un geoide" y
las conoce bien. No puede decir lo mismo de los m o d e —
los de cálculo. Sabe que Fuller las define como láminas
reticuladas, pero no conoce o no se interesa por el modelo de cálculo por asimilación a las membranas de revo
lución, de ejecución manual relativamente simple.
Interesado como estaba en la problemática de la t r a n s —
portabilidad de la estructura, su aportación más intere
sante consistió en la resolución de una forma de desmon
tabilidad deliberada. Aunque en algunas patentes e x i s —
tentes sobre nudos se pueda percibir esta posibilidad,
no es el criterio principal del diseñador del nudo, como ocurre en este caso, en que está perfectamente ordenado el proceso, el tamaño de las partes, la facilidad
del montaje, la sencillez de la unión y la comodidad —
del replanteo.
(1)
"Material, estructura y forma"
Rev: Arquitectura
no 40 pag. 30.
201
PARTE 2A:
ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE PLANA
INTRODUCCIÓN
En las dos partes siguientes se trata mayoritariamente de
la definición de las estructuras plegables de Pérez Pinero , planas y curvas, y del estudio de sus mecanismos correspondientes .
A las estructuras desplegables se les pide que cuando estén completamente desplegadas deben funcionar de forma es
tructural, soportar las cargas aplicadas sin d e f o r m a d o —
nes inaceptables, como las estructuras no plegables, y que
tengan capacidad para poder ser plegadas con la mínima de
sorganización del paquete de componentes. También los con
dicionanates adicionales de transporte, plegado-desplegado y almacenaje deben ser fácilmente ejecutables.
ANTECEDENTES
El concepto de plegable puede ser tan amplio que se p u e —
den incluir en él las soluciones que emplean tejidos como
parte del material resistente y se tendrían que incluir algunos tipos de tiendas de campaña, aunque participen —
también del concepto de lo desmontable.
203
Como antecedente estructural cuyas componentes plegables
están formadas por barras, como las de las estructuras que se van a estudiar, el documento más antiguo que la autora ha podido encontrar y consultar, corresponde a la
patente inglesa numero 7 755, fechada en Marzo de 1914, ~
poco antes del inicio de la Primera Gerra Mundial. Su ti
tulo: "Improvements in Supports for Tents,Marquees, Temporary Bridges and other Portable Structures". En su descripción comtiene el piano que se adjunta. Corresponde a
la definición de una tienda compuesta por arcos planos plegables de barras en "x", probablemente de madera r e —
forzada con pletinas metálicas en los puntos de enlace.
La estructura total participa también de"lo desmontable".
Los arcos, que son la componente plegable, (ver figuras
1 y 2 del plano) se despliegan hasta que varias barras quedan en prolongación recta. Después se triangulan todos
los cuadriláteros que definen con pequeñas barras metálicas (n,o,p,q), y se añade el cable"s". Los planos sucesivos que contiene estos arcos, se arriostran debidamente.
F$px3s ja^npajvua -¡znnGuQ sifljo-uíhpjipiuiÍAi v si Suyt ru([r¡i¡jl
Las dos barras formando una "x", con un pasador central
que permite el giro, es un elemento muy común empleado
en pequeños objetos plegables: mesas, sillas, "flexos"
para alumbrado, tijeras, —
Es el elemento que emplea
Pinero. El antecedente de diseño que le pudo servir de
204
inspiración pudo ser cualquiera de ellos, u otro utensilio más elaborado e igualmente comün, los cierres de se^
guridad llamados de ballesta y tijerilla: un conjunto —
plano compuesto por barras verticales (ballestas) unidas
por varias filas de "x". (tijerillas) a distintas alturas,
con el fin de que la transmisión de la fuerza de plegado
sea homogénea en todos los puntos de la vertical (las ba
llestas son fácilmente deformables) y el movimiento sea
uniforme.
Definidas muy someramente, las estructuras de Pinero están compuestas de cadenas de "x" formando cuadriláteros,
superpuestas y ordenadas de distintas formas, y de algunas barras más. Con los adecuados diseños que dio a los
"pasadores" de las "x" se verá que fué una elección afor
tunada.
205
ESTUDIOS POSTERIORES
Algunos de los trabjos de Pinero alcanzaron cierta difusión con soporte gráfico no solo en revistas especializadas españolas, porgue se dio la circunstancia de aportar la novedad de su diseño a los congresistas de 1961 (ver 1.1 del Cap.I), y de aportar la brillante solución
perfeccionada, al Primer Congreso de Estructuras Espacia
les que se celebró en Surrey (Gran Bretaña) en 1966 (ver
1.10 del Cap,I}
Las patentes que se dan el la Bibliografía son diseños
plegables; de ellos el más popular es una tienda de campaña diseñada y comercializada por T. Zeigler con forma
de icosaedro esférico resuelto con barras en "x". Es a
partir de 1985 cuando aparecen artículos y ponencias a congresos sobre estos tipos estructurales, debidos a las
investigaciones de R.C,Clark, F.Escrig, O^McNulty.
El trabajo más extenso de los encontrados sobre estructu
ras desplegables, corresponde a S. Calatrava (1981) que
estudia las condiciones geométricas y de movilidad de di_
senos efectuados básicamente con barras comprendidas entre dos nudos (las barras en "x" abarcan tres), como los
diseños standard no plegables, pasando de mecanismo a es
206
tructura en cada caso con adición dé^un determinado número de barras o mediante coacciones de enlaces entre ellas.
La NASA ha desarrollado algunas estructuras plegables muy
particulares y variadas
Las realizaciones de Pinero que se van a estudiar, c o m —
prenden tres estructuras desplegables según una superficie plana y dos desplegables según una superficie esférica.
En cada caso se analiza en primer lugar la movilidad del
mecanismo.base que contienen. Estos mecanismos base están
compuestos siempre por "x" enlazadas formando cuadriláte
ros, y se puede definir -como el compuesto por la totalidad
de los nudos de la estructura enlazados por la suficiente cantidad de barras para que conserve la cualidad de no desorganizar el paquete de componentes durante el movimiento , y que desplegado, marca el replanteo de los nu
dos .
Las barras que se necesitan para tener estructura, se pue
den añadir en cantidades variables a p.artir de un mínimo
que coarta todo movimiento. Dependiendo de la cantidad y
de su disposición se generan diseños diversos de estructuras .
20?
Pinero dio_„ una solución concreta para cada realización,
que se analiza y documenta. Donde sea adecuado e interesante se estudiarán otras de estas soluciones posibles.
También se estudiarán algunos mecanismos más, generalmen
te las variantes posibles empleando las barras en "x", con el fin dé intentar abarcar las posibilidades de diseño
de este tipo. Unas veces se comentarán al hilo del estudio de las obras de Pinero seleccionadas y otras en apar
tados especiales.
208
CAPITULO IV:
MOVILIDAD
4,1,- MECANISMOS
Para que una estructura de barras sea plegable, tiene que conver—
tirse en un mecanismo bien porque se le quiten barras y/o porque se le den libertad de movimiento a las uniones: la cuestión está en que la plegabilidad supone una modificación de la forma de la estructura y está en contradición con la estabilidad.
Para analizarlas adecuadamente se verán, por una parte, como for—
mas estables que soportan cargas, y por otra como mecanismos, analizando el número y clase de movimientos que tienen y las condicio
nes de compatibilidad geométrica de los miembros (nudos y barras)
para que sea posible el movimiento (reciproco y total).
Entendiendo por grados de libertad el número de movimientos diferentes que se puede realizar (giros y desplazamientos) entre piezas, la diferencia entre los estados de mecanismos y estructura es su número.
Al manejar estructuras la postura que se adopta generalmente es la
209
a e desechar inmediatamente lo que se tiene si es un mecanismo. Se
busca estabilidad de forma y capacidad portante, y lo único que de
común interesa con los mecanismos es usar comprobaciones para s a —
ber en que caso estamos, (mecanismos, estructura isostática o es-—
tructura hiperstática) comprobándolo con formulaciones de recuento
de nudos y barras muy particularizadas a nuestros problemas. Así,
para estructuras articuladas planas usamos la comprobación:
b = 2 n-3
en que:
b = número de barras
n = número de nudos
siendo esta condición necesaria pero no suficiente. Hay que añadir
que el diseño de nuestra estructura tiene que ser triangulado para
obtener una forma estable.
Y para estructuras articuladas espaciales:
b = 3n-6
Se va a entrar en el campo de los mecanismos de manera más general
para poder desmenuzar el paso de mecanismo a estructura en cada
unos de los proyectos con más matices, y proponer en algún caso so
luciones alternativas.
21 0
4 . 1 . 1 . - MOVILIDAD EN EL PLANO
«H-
*4-*
1 enlace de un grado
de libertad (e)
Los m o v i m i e n t o s de una b a r r a en e l p l a n o son t r e s : un g i r o y d o s
desplazamientos
tres;
-
"u" y " v " . Su número de g r a d o s de l i b e r t a d e s de -
s i tienen "b" b a r r a s :
3 enlaces de un grado
de libertad(e)cada uno
G = 3b
Si se toma una de ellas como referencia, es decir, como "fija":
<—>
f
1 e n l a c e de
de l i b e r t a d
G = 3 (b-1)
un g r a d o
(u)
Si se las une con "e" enlaces, las podemos coaccionar 1, 2 ó 3 movimientos por enlace, por lo que por este hecho disminuyen los gra_
dos de libertad, quedando:
1 e n l a c e de
de l i b e r t a d
dos grados
(8,u)
G . 3 (b-1) - í C l
{1)
o lo que es lo mismo, como entre libertades "I" y coacciones "c" suman tres (1 + c = 3), puede escribirse lo que se denomina criterio general de movilidad.
G = 3 (b-1)
(1) K.H K u n t : K i n e m a t i c G e o m e t r i c Of Mechanisms
Ed: C l a r e n d o n P r e s s . O x f o r d ,
1978.
211
3e + fl = 3 (b-e-1) + h
í i
2X¿
con: b = n° de barras.
e = n° enlaces (1 o varios por nudo)
c.= n° de coacciones de cada enlace
r
1.= n° de libertades (mov. posibles) en cada enlace
En el caso particular de las estructuras "articuladas" planas
-
trianguladas, es decir, ejecutadas adosando triángulos, para que sean isostáticas sería G = 0.
Quedan diseños de nudos "articulados" (equivalentes a una articula.
ción cilindrica) con 1 movimiento (8)y dos coacciones (u,v) de los
siguientes tipos:
- a los que llegan 2 barras (extremos del adosado de
triángulos): Tienen una enlace con 1 movimiento (giro)
y dos coacciones (desplazamientos).
- a los dos que llegan 3 barras (los siguientes de los anteriores) : tienen dos enlaces de 1 movimiento y 2
coacciones cada uno.
~ a los que llegan 4 barras : 3 enlaces.
Generalmente no pueden ser mas, porque sería hiperestática, salvo
en algunos diseños cojijo las vigas en K, (en que hay cuatro nudos de
3 barras, que se compensan con 2 de 5 barras en simetría).
El criterio general de movilidad seria:
212
e
G = 3 (b~l) -J2 = 3 (b~l)- 3 enlaces (n-4) 2 coacciones
- 2 enlaces (2 nudos) 2 coacciones - 1 enlace ( 2 nudos)
2 coacciones = 3(b-l) - 6n +24 -8 -4 = b -3n
+ 3 = 0
b = 2n-3
con b - n? de barras
n - nS de nudos
e - n° de enlaces
Es la expresión simplificada que se usa
comunmente y yas'e advirtió
antes que el recuento de barras no es suficiente. Importa su dispo^
sición paxa no tener mecanismos parciales por una parte e hiperestatismo por otra.
Usando la expresión en función de las coacciones c., cuando G>0, hay sobreabundancia de barras, es hiperestática, (internamente).
El valor de G son las barras que sobran para tener un diseño con isostatismo interno.
Cuando G<0 es un mecanismo. El valor negativo de la G son las ba-rras que faltan para ser estructura.» (Sería a la inversa usando la
expresión en función de las libertades 1.).
Si la estructura tiene que soportar cualquier tipo de acción (M, -
213
Fx, Fy) a los apoyos se necesitan 3 coacciones para que no tenga ningún movimiento
Esquemas. nombres y símbolos de pires cinemáticos
consecuencia alguna de ellas y entonces se cum-
ple : b = 2n.
ia
l a>
í¿4¿¿
mmh
-J>"
4.1.2 MOVILIDAD EN EL ESPACIO
PurUcremlueiíwi R
¡fc
F j r prismático P
Par helicoidal 11
Cunlatfo rvnt.ipumual
?v
En el espacio una barra tiene 6 posibles movimientos, 3 giros y 3
desplazamientos.
Par cilindrico C"
Contacto telrapunlual
Pur esférico ranurudo K,
Con b barras, G = 6b. Usando una fija como referencia, G=6 (b-1) .
«P
^
O
Par esférico E
'W/
Pur plano P,
W
Par cilindrico ranuradoC,
Uniéndolas con "e" enlaces en "n" nudos ( n í e} el criterio g e n e —
ral de movilidad en el espacio nos queda:
Contado iripnmuii!
G = 6 (b-1) - ¿ c
1
x
^
^
o bien coco entre libertades "1." y coacciones "c " se suma 6,
i
Par esfera cilindro £ ,
Par plano cilindro P,
m
Par esfera plano £
Contado bipumual
i
'
e
G = 6 (b-e-i) + I i
1
l i
con
J^ 1. = C.^6
i
i
En el caso particular de estructuras "articuladas" espaciales los
Par esfera esfera £ ,
nudos "articulados" es como si tubieran tres movimientos y 3
Del libro "Síntesis de mecanismos "
Justo Nieto
Ed. AC
214
coacciones (u,- v, w) es decir equivalentes a rótulas esféricas.
Si partimos del número mínimo de triángulos unidos en el espacio que forma un cuerpo rígido (tetraedro) se cumple que b= 3n -6.
Para fijar un nudo en el espacio se requieren 3 barras (una, fija
tres desplazamientos y un giro) dos, fijan además otro giro, y
tres, lo inmovilizan).
Si lo unimos al tetraedro se cumple:
b + 3 = (n-1) - 6 = b"- 6
y así sucesivamente, de forma que en general podemos expresar:
i
b." = 3 ¿i n. - 6
i
.
x
i
Si queremos fijarlo, para transmitir a los apoyos F ,F ,F ,M ,M. ?
X Y Z X i
M necesitamos seis coacciones, es decir, inmovilizarla en los í
apoyos. Con ello queda b = 3n.
¿j,2,~ CRITERIOS PARA EL DISEÑO DE MECANISMOS
Para diseñar mecanismos que se van a transformar en estructuras de
215
barras articuladas, interesa llegar a diseños con un solo grado de
libertad: son más controlables desde el punto de vista del funcionamiento, ya que solo hay un movimiento posible, obligado para todas las barras ( es decir que, se mueven a la vez); también desde
el punto de vista de su transformación en estructura, con un solo
grado de libertad no hace falta controlar la existencia de mecanis_
mos parciales.
Si los elementos móviles son solo rotulas de giro, se puede lograr
utilizando una variante de diseño respecto a las estructuras "arti
culadas", y es la de que las barras abarquen más de dos nudos: esto
permite conseguir mecanismos de un grado de libertad con un
número adecuado de ellas.
Si el diseño de estructura es totalmente triangulado tiene que incluir enlaces deslizantes para que pueda ser un mecanismo plegable
(al menos una por. cada dos triángulos en el plano). En el primer caso se pasa a estructura añadiendo barras mediante articulaciones
de giro, y en el segundo coaccionando los nudos deslizantes.
Si el mecanismo espacial se consigue por superposición de mecanismos planos, para controlar la clase de movimiento, basta el análisis en el plano.
Para barras en cualquier dirección que abarquen solo los enlaces -
216
entre dos nudos, ver el análisis de movilidad espacial en el traba_
jo de Santiago Calatr3va; "Zur Falbarkeit Von Fachwerken".
Biblioteca de la U.Politécnica
de Zurich
4.3,- UNIDAD MÓVIL BÁSICA DE LOS MECANISMOS DE EMILIO PÉREZ PINERO
La retícula más simple que cambia de forma durante el movimiento ,
lo que se llama el sistema cinemático más pequeño, es un cuadrilátero resultante de encadenar dos barras en"x'l
En algunos casos estos cuadriláteros están partidos en dos triángu
los por la diagonal vertical.
Todos los mecanismos base está compuesto por estas unidades, que desplegados, en caso de definir una superficie curva tiene forma de cuadrilátero de lados desiguales, o iguales dos a dos si siguen
una directriz
de curvatura constante. El estudio de las con-
diciones geométricas que dan las longitudes de estos lados para que sea posible el movimiento, se hará en la parte siguiente.
En el caso de definir una superficie plana, la compatibilidad geométrica que debe cumplirse para que sea posible el movimiento, es
muy sencilla: basta que los cuadriláteros sean rombos. Por consiguiente el sistema cinemático más pequeño
217
es un rombo cuyos lados
están materializados por barras enlazadas mediante articulaciones
en que el movimiento es un giro reciproco en su plano.
En el caso de tener materializada .¡la diagonal vertical por una barra , para continuar siendo un mecanismo, ésta está enlazada a las
articulaciones de giro con la misma capacidad de movimiento y tiene por tener la posibilidad de variar su longitud.
La consecuencia del movimiento para esta unidad básica es la varia
ción de longitud entre dos vértices opuestos, es decir la longitud
de las diagonales. Esta variación se puede expresar en función del
ángulo entre los dos elementos (barras) contiguos.
d
= 2 a sen 6/2
d
= 2 a eos 9/2
al moverse las áreas del rombo varian en función de:
A = d -¡3 ? / ? = 2 a^ sen 6/2 eos 9/2 = a
sen 6
Se va a analizar que clase de movilidad tienen el rombo materialis
zado por cuatro barras unidan con 4 articulaciones, prescindiendo
en principio de la barra que materializa la diagonal.
218
Es un mecanismo plano del que contando la cantidad de movimientos
que puede hacer, se puede analizar cuantos grados de libertad tiene, porque se?án las coacciones que se tengan que ejercer para p a —
sarlo de mecanismo a estructura.
Un eleraneto de un mecanismo (barra) situado en el plano tiene tres
grados de libertad (dos desplazamientos y un giro), o de coacciónj
o de otra forma.
libertades + coacciones = 3
I
+
c
= 3
Aportando coacciones, enlazando los elementos. Con muchos elementos formando un mecanismo, los grados de libertad global (o movilidad) se expresan por:
e
G = 3 (b-e-1) + Z 1.
1 i
como vimos antes, en el que:
G = grados de libertad del mecanismo (o movilidad).
b = n? de barras (elementos).
e = n° de enlaces entre barras (1 o varias por nudos).
1.= grados de libertad que se permiten en el enlace i
219
~
(en el plano 0 < 1
> 3) ; si 1 = 0 no se pueden mover; si 1 = 3,
son barras sueltas.
En este caso:
n = 4 (a, b, c, d,)
e = 4 (1, 2,
3,
4,)
y una libertad
1.= 4
x
G = 3 (4-4-1)
Como
cuatro enlaces con dos coacciones
era fácil suponer
+ 4 = 1
queda inmóvil añadiendo una barra-
n = 5
e = 6
1.= todos los giros = 6
G = 3 (5-6-1)
+ 6 = 0
Se le añade en forma de diagonal vertical*si se pone un dispositivo de desplazamiento, conserva el grado de libertad.
l.= 6 + 9 , + 6 , + 6
+ 9-, + 6 n+ $ = 7
x
ae
be
be
ce
de
ad
e
G = 3 (5-6-1)
*
220
+ 7 = 1
Una característica muy especifica de diseño consiste en que las barras que forman ios rombos abarquen más de dos articulaciones (nudoS. En ios nudos interiores enlazan a la articulación que permite el giro sin perder continuidad, pasando hacia el enlace si
guíente. Si el rombo varia sus diagonales, el movimiento obliga al
resto de los enlaces (nudos) que tenga la"x',' cambiando los rombos
adyacentes, y así sucesivamente. Si en el rombo de partida se" materializa
una diagonal (se triangula) ,se inmoviliza . La inmovi-
lidad también se "propaga" a los enlaces adyacentes de la "x", y así sucesivamente.
EJEMPLOS
Sobre la base de que interesa tener mecanismos con pocos grados de
libertad para controlar bien el movimiento, y que lo más interesan
te es tener uno solo, así el movimiento es único, obligado para todas las barras, se proponen tres ejemplos, en los que se consigue
este propósito disponiendo un determinado número de nudos con enla
ees de giro.
EJEMPLO 1 2
b = 10
e = 13
G = 3(10-1) - I 2 = 27-26 - 1
1
221
Sd le añadimos una barra a través de dos enlaces: e = 15
15
G = 3 (11-1) - £ 2 = 3 0 - 3 0 = 0
EJEMPLO 22
b = 11
e = .?
e
G = 3(11-1) - 2 2 = 30 - 2:e = 1 ; £ = 15
1
Añadiendo una barra-a través de dos enlaces: e = 17
17
G = 3 (12-1) = 1 2 = 33-34 =*-!
1
EJEMPLO 39
b = 12:
G =
e =?
3(12-1) - 1 2 =
1
33-2e = 1
e
= £¿i = 1 6
2
Añadiendo una barra: e = 18
18
G = 3 (13-1) - 1 2 = 36-36 = 0
1
EJEMPLO 49
,Si las barras solo son comprendidas entre cruce y cruce- ('de un nudo a
contiguo) da que hay que añadir tantas barras como para que quede tri
guiado:
222
b * 25
10
de
XX
2
de
«
6
de
yx
1x10- 2x2 3x6
3(25-1) - t 2 - Z2J$%
72 • 20- 8 - 36 = 72 --64 = 8 grados de libertad. Se necesitan ocho barras
22S
CAPÍTULO V:
TEATRO AMBULANTE BESPLEGLABLE
5.1,-
DESCRIPCIÓN GENERAL:
Es el único trabajo de Emilio Pérez Pinero en el que se encuentra
toda la información definida en planos:(ver número 1.4 del CatalogOjpag.29). Los módulos de estudio de que partid" puede ser los del
número 1:3 pag. 26
También el sistema está documentado en la pa-
tente n5 283206 de Diciembre de 1962.
El teatro es un espacio de planta rectangular de 34 x 22m. c o n t é —
niendo un escenario y un patio de butacas, levantado del suelo con
las pendientes apropiadas mediante una estructura que suponemos al
menos desmontable.
Lo que parece mejor definido es la estructura de cubrición; una ma
lia de espesor constante, con apoyos puntuales de borde cada c u a —
tro metros,además de-4 soportes. Los soportes de borde son
de sección triangular constante. Lo más llamativo de los 4 sopor—
tes interiores es un capitel en que se apoya la malla en 13 puntos
y una articulación inmediatamente anterior a la plataforma de apoyo sobre el suelo.
224
En la documentación existente aparece colocada esta malla de cu
bierta con inclinación de un 11% en un solo sentido. Asimismo en la pequeña memoria, después de referirse a temperaturas extremas soportables, aparece descrita la cubrición como de tela en una o ^>
1A
ambas caras.
No están especificados los arriostramientos necesarios para estabi_
lidad y viento, ni de la cubrición ni de la estructura completa.
El material empleado en la malla es el aluminio y quiza lo sea para la totalidad de la envolvente.
5,2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS
5.2.1 CUBIERTA
c >
v
2A.
£ a característica más llamativa (o inusual) es la de ser plegable.
Se dice en la memoria de proyecto que siendo capaz de cubrir una superficie de 34x22m.r plegada ocupa 8m .
Está compuesta soiamente por dos tipos de barras, diagonales y mon
tantes, y por piezas especiales materializando los nudos.
Las diagonales son las barras más largas, de 3,45 metros, forman
->-
parte cada una de 4 nudos situados en el mismo plano. Su sección
trapezoidal está diseñada para permitir el movimiento de plegado
225
desplegado hasta una situación tope, en que existe una superficie
de contacto cuadrada entre cada dos .barras.
Para unirse a los cuatro nudos tiene 4 perforaciones, dos extremas
y dos centrales, separando tres distancias iguales; los cuatro con
ejes paralelos y coplanarios. Estas diagonales van de cara supe
rior de la malla a cara inferior. Durante el movimiento, pasan de
la posición vertical de plegado a una inclinada a 602 de la vertic a l . Su eje no se corta en el punto que simbolizaría el nudo.
Los MONTANTES son verticales y unen solamente dos nudos entre cara
exterior e interior. Son de sección circular hueca, y telescópicas
compuesto por un total de tres tramos.
Durante el movimiento se conservan en posición vertical y pasan de
una longitud de 2,3 metros plegados a 1,15 metros con la malla des_
plegada en su posición definitiva. El eje de estas barras se corta
con el punto que simbolizaría el nudo.
Los NUDOS son piezas especiales a las que se unen 5 barras: 4 diagonales y 1 montante. Los nudos son verdaderas articulaciones.
A las estructuras trianguladas de acero habituales, las llamamos articuladas (planas o espaciales) para diferenciarlas claramente de los reticulados de nudos rígidos; operamos con ellas "como si -
226
los nudos fuesen articulaciones". En este caso los nudos son articulacio
nes que permiten el movimiento de plegado-desplegado, permitiendo el giro a las barras diagonales, ningún otro más, y por tanto con el movimien
to descrito por cada barra contenido en el plano. El movimiento que es posible en los montantes es el desplazamiento solamente, y no depende
del nudo; el dispositivo que lo hace posible está en la propia barra ver
tical.
Los APOYOS se efectúan mediante piezas d£.jiudo diseñadas como una variación del tipo, e igual que el resto están incorporadas en todo momento en la malla, permitiendo el movimiento como se aprecia en el plano D-12fen las
piezas D-12-20 los cuatro brazos de la cruceta tipo aparecen ensartados
en el ala vertical de perfiles LD, dejando las roscas libres de tal forma que pueden montar las diagonales con su movimiento de giros libres, y
asimismo en la rosca del eje, la barra telescópica vertical. Los angulares están colocados
sobre una placa horizontal que lleva
los agujeros para atornillar el capitel del soporte. La última fase de ejecución del apoyo es el atornillado
de los angulares en- la placa -
horizontal.
Como se ve, hay que distinguir dos estados muy diferentes: uno de "mecanismo" en el que tienen que existir unas condiciones geométricas de compatibilidad en las barras y un diseño de nudos apropiado para que el movimiento sea posible; y'otro
" de estructura" en el que tiene que
ser capaz de resistir ios correspondientes acciones mediante esfuerzos
én las barras.
227
5.2.2,- SOPORTES
Como apoyo de la malla de cubierta se diseñaron dos tipos de
soportes.
Uno de ellos comprende cuatro grandes soportes en los que se
distingue
"basa", "fuste" y "capitel". La "basa" es una plata
forma metálica rigidizada, unida al "fuste" por una rótula esférica. Este es de sección variable, cuadrada,formada por cuatro angulares empresillados. También el enlace al capitel está
constituido por una rótula esférica.El capitel propiamente dicho está formado por dos piezas de celosía de canto variable,
dispuestas en cruz dentro de un cuadrado formado por perfiles
laminados. Contiene trece puntos de apoyo de la malla de cubier^
ta. Se crea un segundo capitel mediante cuatro barras enlazadas al fuste a una altura situada entre el tercio superior y su
mitad; forman las aristas de una pirámide invertida y acodalan
y fijan el piano inclinado del capitel (que es el de cubierta),
a partir partir de una determinada orientación de la rótula
de enlace, (tres libertades de girol
El otro tipo comprende 26 soportes de sección triangular constante formados por angulares empresillados. Recogen la carga
en la cuarta parte de los nudos de contorno, y son de altura
variable, acompañando la inclinación de la cubierta.
228
5.3,- MECANISMO
La retícula mas simple que cambia de forma durante el movimiento
es un rombo con la diagonal vertical. Las barras que forman los
lados pertenecen a otros dos rombos más situados en el mismo plano,
La diagonal vertical del rombo, que contiene un enlace que permite el deslizamiento, hace posible el grado de libertad del m e c a —
nismo.
La movilidad correspondiente a un grado de libertad se transmite
a los rombos adyacentes 1, 2, 3 y 4 por los enlaces de las barras
en "x" que abarcan cuatro nudos.
La unidad básica espacial de movimiento comprende ocho barras com
ponentes de dos rombos y una sola diagonal vertical común a los
dos, contenidos en dos planos perpendiculares, o de otra forma, cuatro triángulos (equiláteros) correspondientes a dos rombos: cada vez que se desplaza el enlace deslizante de la barra vertical,
hace variar el ángulo 0 de la misma forma en los dos planos perpendiculares, y al mismo tiempo; el movimiento es el mismo en las
dos direcciones y tiene como consecuencia la variación del períme
tro, los cuatro lados a la vez, aumentando o disminuyendo el área
229
rectangular en planta. Descompuesto el movimiento según dos planos ortogonales,basta con usar el criterio de movilidad en el
—
plano.
Se hace notar que el mecanismo lleva empaquetadas todas las barras que lo hacen estructura, y el paso de mecanismo a estructura
se realiza ejecutando coacciones 6 en los enlaces deslizantes en
tre las barras verticales y los nudos.
Por las características del tipo estructural (reticulado. de barras) los giros de las articulaciones de los nudos no se coaccionan, es decir,- en la situación final queda verdaderamente articulado .
230
5.3.1,, VARIACIONES SOBRE EL MECANISMO
Se ha hecho el estudio de movilidad a partir de la unidad elemental. Una característica muy especifica del diseño de las vigas de
la malla es que las barras inclinadas son enteras, es decir, cada
barra tiene un tramo extremo que es cordón superior, el otro, infe
rior y el central propiamente diagonal. Tiene otras dos caracteris
ticas más: que las barras forman dos familias paralelas y que la longitud de los tramos entre articulaciones es igual ( o si se suprimen parte de estas, un número entero de veces).
Si en una de estas barras cortamos todo movimiento en un nudo, lo
estará para los demás enlaces que haya sobre ella: por lo que se puede escojer una variante de mecanismos en lo que se supriman todos los montantes que triangulan los rombos. Para una viga de celo_
sxa en el sentido de la luz corta quedan las. 24 barras en "x" diagonales .
Para conseguir un mecanismo de un grado de libertad no necesita
-
tantos enlaces como puntos de cruce; necesita alguno más que los minimos de extremo de cada barra.
e
e
G = 1 = 3(b-l) - Y, C.= 3(24-1) - £ 2 ; e = 34.
1 1
1
231
Se nacesita un mínimo de 34 enlaces entre barras que permitan el
giro en el plano. Una forma de situarlos se muestra en la figura:
por ser las barras "pasantes" los enalces son simples,conteniendo uno por nudo; las barras quedan divididas en tramos de longi—
33. .
tudes a y 2a; siendo un mecanismo deun grado de libertad, todas
las barras se mueven a la vez y se conservan paralelas durante el
movimiento porque existe un único valor de giro; para coaccionar
el movimiento basta con añadir una sola barra mediante dor enlaces a dos nudos.
Si las barras, en vez de ser "pasantes" sobre ambos nudos,compren
den la distancis entre nudos contiguos, como se considera en el
cálculo de las no plegables, en la viga de celosía elegida resultan 64 barras y 44 nudos que contienen uno, dos o tres enlaces
con una libertas de giro y dos coacciones de desplazamiento. Su
número de grados de libertad es tanto como el número de recuadros:
23
2
19
G = 3(64-1) - Z 2 - l 2x2 - S 3x2 = 21
1
1
1
Para tener estructura es preciso añadir la 21 barras que conpletan su triangulación. Por otra parte totalmente triangulada, la
pieza estructural hace trabajar a las secciones de sus barras con
esfuerzos normales de tracción o cmpresión.
Sin embargo, aprobechando que las barras son "enteras" se podría
/
232
prescindir de un número de ellas, (de triangular la estructuraj. Las
solicitaciones de la sección de barra serán de normal, flector y cortante: para generar las tensiones que equilibren en una sección
de viga a los esfuerzos M, T, solo se puede contar con secciones de las barras que cortamos y algunas veces la sección equivalente
es la de ese número de barras colocadas en horizontal.
Para cargas muy pequeñas puede ser suficiente.
5.4.- MONTAJE
Prescidiendo de la subestructura de escenario y patio de butacas,
el proceso de montaje de la envolvente se desarrolla en las si
guientes etapas: colocación de cuatro grandes soportes, desplegado
de la malla, nivelación de los nudos inferiores en un plano h o r i —
zontal, coacción de los movimientos de desplazamientos de montan-tes, colocación de las lonas de cubricción, izado, materialización
de los apoyos en cada capitel de los cuatro soportes, colocación
de soportes perimetrales (uno cada cuatro nudos de borde), cerramien
tos laterales.
Emilio Pérez Pinero posiblemente pensó que quedaría montado con la
máxima rapidez y suficiente seguridad, empleando solamente cuatro
233
"postes" de apoyo, en lugar de plantear un apoyo continuo perimetral(caso habitual para emparrillados y placas) , o al menos uno
por nudo.
Bara el tipo de estructura y las luces de vanos, los desplazamientos y giros debidos al peso propio no son apreciables. Utilizando
pocos puntos de amarre para el izado, las deformaciones acumuladas
serían apreciables y se manifestaría un desfase entre el nudo de malla y el apoyó del soporte. Para evitarlo, se concentran los suficientes apoyos en pequeñas zonas, se izaría tirando de esas 4 fu
turas zonas de apoyo, y se colocaría en su posición fácilmente jun_
tando nudos con apoyos apenas desfasados en plano; después se van
colocando soportes más livianos debajo de los nudos de borde decididos.
5.5 ESTRUCTURA
Desplegado y coaccionado, el tipo estructural es un emparrillado con retículas en planta de 1,00 x 1,00 m. en el que los componentes son vigas de barras huecas de aluminio formando retículas de triángulos equiláteros, contenidos todos en dos familias de planos
perpendiculares.
234
La malla , tal cual está definida en planos, solo contiene un eje
2
de simetría (longitudinal). Para cubrir una superficie de 748 m lo hace con un total de 1.530 diagonales en "x", más 770 montantes
telescópicos unidos todos ellos por 1.540 nudos colocados en c u a —
tro cotas de altura diferente.
5.5.1,- VIGA COMPONENTE TIPO
Sabiendo que se trata de un emparrillado (sin rigidez a torsión) y
por tanto con un traslado de cargas hasta los apoyos en las dos direcciones ortogonales de las vigas, se va a analizar primero el
comportamiento de tipo de pieza lineal de que está formado.Está—
representado el equilibrio en cuatro secciones pertenecientes a un
recuadro^de la viga de celosia, solicitada a mosnento^ (M )y cortan
te (Tv) , función de las cargas de los nudos superiores; se tienen ~
tres nudos (i-1 , i i+1) solicitados a momentos crecientes.
En las secciones 1 y 2, el equilibrio a momento se produce por el
par N ~
sn
y NxTT,
"
e n que NT, >
J-íi
N ~
sh;
el ajuste a la gráfica poliao'
'
nal de momentos, desde el nudo i-1 al nudo i, se verifica con N
dh
y parte de N , entre los
que va variando la distancia a lo largo de i-1 a i.
1)
En la página siguiente
En las secciones 3 y 4, el equilibrio de momentos se produce con N
235
y N
> N
; para aáécuarsaa La poligonal de momentos, ahora
a 0 3 A!>
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N
M¡ _ Mi
NIH-IT
w1 - M i Tn
a
la componente horizontal de la diagonal N
cambia de sentido
dh
'
for
—
mado par con
parte de N ,
sh
El equilibrio al esfuerzo .cortante se produce por la suma de los
componentes verticales N
+ N, - N
en las secciones 1 y 2, y
.
Iv
dv
sv
N
+ N
- N . Por último epara que exista equilibrio en los nusv
dv
Iv^
dos, hay que incluir la componente del esfuerzo de montantes.
Para esta posición de plegado
í o; = 60°) , los cordones aumentan su
esfuerzo en un 15% con respecto a los diseños de cordones horizontales.
Como consecuencia del diseño de cordones inclinados/ el esfuerzo de las diagonales en función del cortante, disminuye en un 50%,
trabajando la mitad de las piezas a compresión. El valor máximo se
encuentra en la diagonal del apoyo (mayor T, mayor
M ) . El diseño
es pésimo desde el punto de vista de las solicitaciones de montantes; ellos solos colaboran al equilibrio del nudo donde no hay dia
gonales. Su solicitación está en función directa del momento, por
lo que para el caso del diseño de Pinero, que el canto efectivo es
un metro, los valores son parejos a los dos de los cordones, con
sus máximos valores en el centro o los í?.povos oon!:.in'Jos ; la uiitud
trabajaba a compresión, y ademas es el mecanismo más delicado de la viga.
237
4.
A)
B)
O
£
o
o
&
a
&
fl
o
0
o
5.5.2.- COMPARACIONES CON OTRAS VIGAS TRIANGULADAS
La viga de celosía de. la figura A corresponde al diseño de Emilio
Pérez Pinero para este proyecto y se muestra en el estado final de
desplegado, compuesta por triángulos equiláteros adosados: tiene un canto constante de 1,15 m
al ser sus cordones paralelos.
Se puede comprobar fácilmente que ia triangulada de cordones horizontales de la figura B,- realizada adosando triángulos
rectángulos
tiene menores solicitaciones en cordones y montantes, y mayor en diagonales. En la celosía B, se dan también sencillas condiciones
de compatibilidad geométrica entre longitudes de barras para que el plegado sea posible; este se hace casi de la misma forma: en ca
da triángulo se varia la longitud del montante por medio de un enlace entre barras y nudos con libertad de deslizamiento. El movi-miento
cesa cuando
cordón y montante Ú-ñ cada triángulo i g u a -
lan la longitud de la diagonal.
Durante el plegado, en A los montantes aumentan de longitud de 1 a
21, y en B disminuyen de 1 a 0,71.para la misma disposición de nudos y canto en ambas.
Siendo B más eficaz estructuralrnente que A, la ventaja de esta es
que las barras en diagonal pueden ser enteras desde los nudos infe
239
a las superiores.
Y esta hace que el movimiento (en el plano) de plegado sea muy ordenado (G = 1) mientras que en B las barras solo comprenden la Ion
gitud entre cada nudo y otro contiguo. El movimiento de B, que tam
bien está contenido en el plano, tiene un grado de libertad por ca
da dos triángulos.
Por último, el diseño más eficaz estructuralmente y con menores longitudes totales de barras empleadas, está representado en la ce
losía C. Está viga tiene posibilidad de plegado^ pero no es un moví
miento sencillo y el mecanismo no se conserva en el plano durante
el movimiento.
Se pasa de estructura a mecanismo, desdoblando los nudos necesa
rios para deshacer los triángulospreando
"cadenas" de cuadriláte-
ros, cada una con un grado de libertad independiente: en la figura
se .crean las "cadenas"
4-5-9-10 y 4-5-10-11.
(1)- Sobre las condiciones de plegado ver:
"Zur Faltbarkeit Fachwerken"
Tesis doctoral de Santiago Calatrava
Biblioteca de la V. T. de Zurinch.
240
1-2-6-7 , 1-2-7-8 , 2-3-8-9 , 3-4-8-9 ,
(1)
5-57 3.- COMPORTAMIENTO DEL EMPARRILLADO
Suponiéndole una carga q/m
2
= 1 (correspondiendo a 1 por nudo) se
efectúa su análisis por cálculo matricial, obteniendo esfuerzos de flexión y cortante en las vigas componentes, para tres hipóte—
sís de apoyo: sin contar con la fase de izado, durante el montaje,
el emparrillado se apoya en los capiteles de cuatro grandes soportes con toda su carga permanente; en esta- situación se configura un recuadro de 18x20m y dos voladizos laterales de 3 y 7m de luz.
La segunda situación se mantiene durante el uso y resulta de añadirla a la anterior apoyos en el perímetro { un soporte en cada H
uno de cada cuatro nudos'de borde). La tercera hipotesís/que no es
situación de apoyo de esta cubierta, se contemplan solamente los apoyos de contorno, con el fin de apreciar de un vistazo las diferencias entre las situaciones proyectadas por el autor y una solución de apoyo habitual.
Secciones y luces de barras están especificadas en la documenta
-
ción de este proyecto.
Sin embargo ninguno de estos análisis es del autor, ni en hipóte—
sís de apoyo ni en modelo de cálculo. Se comentará la que empleó.
Efectuando la equivalencia para una situación real probable,con
2
una carga debida al peso propio de lOKg/m = lOKg/nudo (en proyec-
241
REACCIONES
«o o o o o o o o o o o ó o o
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DEFORMACIONES
EN m . PARA 1 T / n u d o
EN c m . PARA 10 K g / n u d o
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ETAPA DE MONTAJE
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EN cm. PARA 10 Kg/nudo
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1 T/nudo
0 .05 .1
.2
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"
10 Kg/fiucto
M (m-t)
APOYO EN EL CONTORNO
to se considera un total de 60Kg/m
de nieve) ; se tienen los siguien_
tes valores máximos:
-Reacciones:
El reparto más singular corresponde al apoyo de contorno, con 0,5t
(3t. con nieve). En las otras dos situaciones se concentran en las
esquinas internas de los grandes capiteles, con valores
alrededor
de las 2t. (12t. por nieve), siendo muy pequeños los de contorno.
-Cortantes:
En la situación real resultan de una concentración desproporcionada en las vigas del emparrillado que van a 4 ó 6 apoyos. Debido a
la poca cuantía de la carga real, esos valores serían aceptables del orden de 0,5t. (3t. con nieve), (0,2parael apoyo de contorno)
-Momentos:
Los valores máximos
de
las tres diversas situaciones, no son
muy diferentes, del orden de 0,6 y 0,7 mt. (3,6 a 4,2 con nieve) en centro de vano (M~) ,- pero el "volumen" de solicitaciones de momento está muy concentrado en pocos metros cuadrados de emparrilla^
do en las situaciones reales de apoyo, en comparación con la tercera que se analiza
en que la situación casi se invierte: en los
primeros casos tendrá sentido colocar unas pocas barras de secci—
nes mayores en esas zonas, mientras que en la última no.
248
-Deformaciones:
Considerando una longitud de recuadro de 20x20mts, el valor de des_
censo máximo admisible dei.L/¿50 sería de 8,8 eras.
En las situaciones analizadas, es en está cuestión donde se a p r e —
cian diferencias mas grandes. El caso más favorable corresponde al
apoyo en contorno con 9,6 cms en el centro del rectángulo, para los 10 Kg. de peso propio (con nieve seria inadmisible). Los valores máximos para las situaciones reales son (para lOKG/nudo,!
2,4 cms eñ borde de voladizo mayor
en montaje, y de 1,7 cms en
uso,y!4,4 y 10,2 respectivamente para nieve.
Is claramente muy deformar:le cen las secciones de barras y canto que dio el autor. Se puede apreciar en los planos que las vigas del emparrillado que forman el recuadro de apoyos de capiteles, aparecen con curvatura en contraflecha y un cordón inferior que puede ser un cable; tensándolo se sometería a momentos negativos a
toda la viga, acortando los descensos.
5.5.4.- CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL Y DE LA SECCIÓN
De los datos reflejados en la documentación que se posee del autor
se obtienen los siguientes valores:
-Material: aluminio
249
Características:
p = 2,75 grs/cm
2
ot¿ü= 1 .576 kg/cm
o,= 2.750 kg/cm 2
E = 740.000 kg/cm'
G = 270.000 kg/cm'
e = ' 2 , 1 %o
e
- S e c c i o n e s de b a r r a s :
Diagonales
2 cmz
A
Montantes
1,13 cm
I
. 2.,.887 c.m4
1
,-T
1,17
I
Y
4
4 cm
1 17
-,
cm
4
4
1,1/ cm
3
AA
4
1 ,02 cm
*x
1 ,44 cm
*y
2,00 cm
1,02 cm 4
2,132
3,83
1,417
3,83
X
LO
y
W
X
w,
• P/ml
250
2 ,22 cm
3
. 1,7 cm 3
0,55 kg/ml
0,78 cm 3
0,78 cm 3
1,2 kg pleg.
Se deducen unas solicitaciones máximas
para las secciones,(con -
un coeficiente de seguridad = 1,5). de:
- Cordón traccionado = diagonal traccionada: 2.100 Kg.
- Cordón comprimido = diagonal comprimida 986 Kg.
- Montante comprimido : 318 Kg. (solo la barra telescópica más exterior) .
- Montante traccionado : 1.186 Kg.
Estos valores de momentos y cortantes corresponden a cargas m á x i —
mas por nudo de;25y 18 Kg. respectivamente, es decir, poco mas que
su propio peso y alguna sobrecarga..
5,6.- PROCESO DE CALCULO DEL AUTOR
El desarrollo del cálculo de la malla de cubierta se encuentra
i sección d-c-brC-d
secaon d-b-o-b-d
plasmado en cuatro planos (ver 1.4: capitulo I)) empleándose modelos aproximados estimativos y las siguientes hipótesis:
- Como una placa (o emparrillado) de 22 x 34, apoyada en el períme
tro, con un reparto de la carga del nudo del 85% para las vigas de
la dirección corta y el 15% en las de dirección larga, efectuando
el cálculo de una viga del primer tipo por Cremona. Las máximas so
licitaciones de compresión que obtiene, son de 2910 Kg: (montante
centrai) y 2965 Kg (centro cordón superior) y en tracción 2870 Kg
(montantes centrales siguientes) y 2935 Kg (centro cordón inferior
- Como una placa (o emparrillado) apoyado en cuatro puntos, cuatro
251
grandes soportes que definen un recuadro de 22 x22 m.
Efectúa el cálculo por el método de Marcus, como placa con cargasdiversas según la división de la figura.
No se considera la otra dirección con los voladizos de 3 y 7 m. co
mo merecedores de análisis, Las máximas solicitaciones que obtiene
son; en compresión 1430 Kg (cordón superior central) y 1939 Kg ;' (montante central) y en atracción 1420 Kg (central cordón superior
y 1939 Kg (en cortantes centrales). Valores no aceptables para sus
barras fabricadas en aluminio standard.
Le merecen diseño y análisis aparte las vigas que unen las cabezas
de los soportes,(12 en total)
que considera con el
100% de la -
carga de nudos. Añade al diseño de la viga-tipo un cordún inferior
que podría ser un cable; aparecen reflejado con contraflecha de me
dio metro (para una luz de 22m).
Efectúa el análisis de la nueva viga triangulada con hiperestatismo interno, mediante el teorema de Menabrea, dando al cordón una fuerza de 1 y calculando el trabajo de los esfuerzos normales.
Las solicitaciones finales de todas las barras que aparecen reflejadas son debidas solamente a la carga vertical de los nudos. No existe el análisis de ninguna otra hipótesis de carga, por lo que
no se sabe si su intención era disminuir la flecha máxima del empa
rrillado (pretensado de cordones inferior) dando momentos negati--
252
vos a estas vigas que unen los soportes. Las máximas solicitacio—
nes que da ahora corresponden en compresión, 1.370 Kg (diagonal central)y 1.080 Kg (central cordón superior), y en tracción 2.400
Kg para el tramo central de cable, 1.030 y 1.000 (para los montantes a los nudos superiores en el tercio central de viga). Con m a —
yor carga en los nudos, hay una disminución apreciable de las solí
citaciones-/ pasando a ser máxima la del cable.
Según los modelos de cálculo, solo se generan momentos positivos en las vigas, pasando desapercibido (o no dando importancia) el cambio de comportamiento que generan las cuatro plataformas de apo_
yo, de 4 x 4 m. , como se ha visto^-muy importante: es donde se e n —
cuentran las máximas solicitaciones, y tiene efcto favorable en cuanto a las deformaciones alcanzadas, que harían innecesario l e —
vantar la malla curvándola en contraflecha, (el diseño de la base
de apoyo
crea las condiciones sin añadir fuerzas suplementarias).
SOPORTES
Los soportes de contorno
reciben su carga en el eje. En los c u a —
tro grandes soportes,con las hipótesis de cálculo y funcionamiento
del autor .solo existen acciones gravitatorias centradas en su eje,
por lo que el diseño del apoyo'podía ser" una rótula.El resto'i dé.¡ las
barras que forman el capitel solo sirven'.,para- estabilizar.
253
Los apoyos de la malla en el capitel, como se ha comentado en
la descripción de los elementos, pueden soportar acciones verticales en los dos sentidos, y acciones horizontales.
En el análisis que se ha efectuado para acciones gravitatorias,
vista la distribución de las reacciones en los apoyos, se tiene
que su resultante no pasa por el eje del soporte. Para el equili_
brio es necesaria la colaboración
de las barras de extremos ar-
ticulados que forman el capitel "exterior". Por la rótula---.de la
base pasa solamente la carga vertical.
Puede decirse que todo el montaje tiene estabilidad a desplazamientos horizontales solamente por el diseño de la unión, que ad
mite acciones horizontales soportables en última instancia por
los vastagos de tornillos a cortante, y las barras articuladas
del capitel _exterior" que tienen los cuatro grandes soportes.
Parece que entre los soportes de celosía del contorno no se dis
ponen arriostramientos.
254
EN RESUMEN, para este proyecto Emilio Pérez Pinero de
sarrolló un mecanismo plegable que lleva en todo momen
to incorporadas las barras que lo hacen estructura. Las
barras del mecanismo base dispuestas en "x" dobles, de
finen rombos como unidades móviles elementales. Al estar contenida en dos familias de planos paralelos que
se cortan ortogonalmente, todas las unidades de una d_i^.
rección tienen común la recta de corte vertical, materializada por una barra telescópica, por esta razón el
movimiento que se genera en ambas direcciones es el
mismo, siendo su resultado inmediato la variación de
longitud de esa barra, y el último, el acercamiento de
todos los nudos enlazados por las "x" dobles, variando
el perímetro del mecanismo: se van generando recuadros
semejantes cada vez menores. Si varía el giro de cualquier unidad elemental, el mecanismo se mueve todo él;
si se coacciona el giro de cualquier unidad elemental,
por ejemplo triangulándola, se coacciona el movimiento
de todo el mecanismo. Como lleva todas las barras i n —
corporadas, en cualquier posición de desplegado existe
el emparrillado de canto constante.
Por la disposición y tipo ce apoyos se aprecia la venta
ja de la continuidad de la estructura para disminuir es
fuerzos en las barras, interesante pensando en la posi_
255
bilidad de montar una estructura manejando varios paquetes plegables pequeños, apoyados sobre una cuadricu
la se soportes: se forma la superficie plana única res
tituyecdo enlaces de giro entre los bordes de Iso trozos .
En cuanto al rendimiento estructural, se han presentado
otros modelos que superan a éste de Pinero, pero los
aventaja en la facilidad de manejo por la cualidad que
da el movimiento único de mantener el conjunyo ordenado, dando, en cada instante del movimiento, emparrilla
dos semejantes al de desplegado final, en el sentido
de que sus recuadros y el canto son proporcionales, todo dependiendo del ángulo de giro e, igual en todas —
las unidades elementales.
Este diseño de Pérez Pinero es una curiosa solución de
emparrillado con vigas de canto apreciable en la que
no hay barras en las caras superior e inferior, y cuya
altura de plegado corresponde a la longitud de las barras en "x" dobles del mecanismo base.
Para valorar este proyecto hay que contemplar la fecha
de ejecución:1962. Es el año de la titulación académica de su autor. Puede pensarse que habiéndosele premia
256
do por un diseño plegable siendo estudiante, servio
obligado a dar respuesta abordando el problema entero,
dando las definiciones de piezas y uniones como para
que fuera posible su construcción. Pinero no hace después nada tan complicado. Depura sus diseños tanto en
cuanto al diseño de piezas movibles como al tamaño y
numero de barras, y mantiene básicamente el diseño de
nudo y el concepto de movimiento, empleando siempre las
barras en "x" para los mecanismos base.
257
CAPITULO VI:
PABELLÓN TRANSPORTABLE PARA EXPOSICIONES
6.1,-DESCRIPCIÓN GENERAL
Este proyecto, cuyo uso fue albergar una exposición gubernamental sobre la España de 1939 a 1964, (ver número 1.5 del Capitulo I ) , debía reunir las siguientes condiciones:
t>
- Albergar una exposición itinerante y de una gran extensión
2
(6.000 m ) conformando una muestra unitaria, en un solo edificio
-Adaptarse a las características físicas de los distintos lugares
de su instalación.
-Ser fácilmente montable, desmontable, transportable.
-Tiempo escaso para la propia ejecución real del proyecto.
La solución consistió en la cubrición de todo el espacio a base de
módulos de 12,6 m. y 9,5 m., apoyadosVrelativamente pocos soportes
2
2
(uno por cada 65 m a 85 m según la disposición en planta de los
módulos). La mayoría de los elementos que integran cada módulo son
de aleación de aluminio y algunas barras puntuales y las piezas de
nudo.de acero.
258
P l a n t a del montaje en el recin to f e r i a l de Barcelona
+•
4
*•
Dadas las características especiales de la inusual solución estruc
+
*
tural, empleando piezas no existentes en el mercado y de un mate-
4
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4
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rial tan específico/ así como el corto plazo de ejecución disponi-
T
+
ble, la construcción fue encargada a Construcciones Aeronáuticas -
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*
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pleto; el plazo total, entre la convocatoria de concurso por la -
T
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(C.A.S.A) que empleó veintinueve días en realizarlo, a tiempo com-
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T4
:|
-V
Administración y la inaguración de la exposición, fue de cuatro me
ses. El primer montaje se realizó en la explanada de los Nuevos Ministerios de Madrid.
Planta del montaje en les Nuevos Ministerios, Madrid
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6.2.- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS
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6.2.1 .- CUBRICIÓN:
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4
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+
+
De chapa de aluminio en piezas de p,50 x 0,90 m. solapándose cada
una a la siguiente, con un total de catorce por cada módulo tipo.
El diseño de sección es el usual para cubiertas ligeras de chapa
con apoyo en correas, en que hay una dirección clara de transmisión de cargas y la rigidez adecuada en la sección
normal a esa
¿irección. Las líneas de apoyo donde entregaría la carga distan
1,80 m. en los tramos centrales y 0,90 m. en los bordes, sobre
las barras de la cara superior ce la malla. Se dispone la placa
de borde a borde siguiendo la dirección del lado mayor del módu
lo. Como se verá más adelante, la chapa plegada de cubierta forma
un plano con inclinación respecto al suelo según las componentes
259
ortogonales . de -los
bordes
. e n las caras i n f e -
riores de algunos módulos se colocan piezas especiales de la misma
chapa para hacer canalones. Se colocan solo los imprescindibles:en
la parte inferior de los "dientes de sierra" que forman los m ó d u —
los, y en algunos bordes; en el resto, el agua tiene caida libre.
En las agrupaciones más compactas de módulos, los canalones que
pueden vertir sobre sus adyacentes o al exterior, la evacuación se
realiza mediante tubería colgada por el interior de la malla de ba_
rras.
6.2.2.- MALLA ESTRUCTURAL
En este proyecto, no existe familia intermedia a flexión entre la
chapa y la estructura de cubierta principal, dadas la distancia en
tre lineas de nudos. La carga va a algo más de la mitad de los nudos de la cara superior.
El elemento base de montaje (no de trabajo) es el MBQ&NISMQ PLEQA§&? J^er planos adjuntos) formado por las barras de aleación de aluminio de sección circular (<£ 20 mm. ,) que ocupan el alma de la malla. Están unidas a articulaciones que permiten su giro en un solo
plano: cada barra está unida a tres nudos, dividiéndolas en dos
-
tramos de igual longitud. Los grupos de barras colocados en un pla_
no (viga), se agrupan sobre dos direcciones ortogonales formando -
260
NUDO CARAS
SUPERIOR E
NFERIOR
NUDOS
INTERMEDIOS
MECANISMO
BASE:
VISTA EN PLANTA
CON TODAS SUS
BARRAS
cuadrícula de 0,87 m x 0,87 m. por lo que tanto a los nudos de las
caras como a los intermedios están unidas cuatro barras (dos en ca_
da dirección).
Quedan los nudos de las caras dispuestos al tresbolillo formando dos cuadrículas de 1,73 m. en que cada una va uniendo los centros
de los cuadrados de la otra, o de otra forma, podemos ver una sola
cuadrícula de 0,87 m. trazando las diagonales de los recuadros.
A esta base en la que están colocados todos los nudos (replanteo),
y en la posición de desplegada, se le añaden barras {cordones, morí
tantes y diagonales) configurando el módulo de estructura de cu
bierta, según cuatro variantes diferentes, representados en los
pianos de las paginas siguientes. El mecanismo plegado ocupa un vo
lumen de 1,4 x 1,0 x 1.80 m. (a x b x h ) , y desplegado 12,60 x 9,5
x 1,0 m.
De las barras que se añaden, los gQRDONES de la cara superior son
perfiles de acero de sección en U (60,30); los de la cara infe
rior tirantes de aluminio los cuales llevan incorporados un dispositivo para el tensado; además se colocan perfiles en U en los bordes inferiores de módulos que van a estar en contacto, es decir,
que van a ser línea de apoyo sobre otros módulos.
Los elementos de S.ESIQS'EEa'MIBNTQ de la estructura de cubierta son
262
- * - NUDOS DE FLANOS
E INFERIOR
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SUPERIOR
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CAPITEL
MEDIO
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de des tipos: MONTANTES verticales en los extremos de las cerchas
y en los nudos de los apoyos, y DIAGONALES para arriostrar la dis-^
torsión angular de los recuadros del plano horizontal; el módulo que se monta en primer lugar está excepcionalmente arriostrado.
Los montantes son tubos de acero de § 30 rom. y los diagonales t u —
bos de aluminio de § 30 mm. y <j) 20 mm.
La pieza de NUDO está incorporada en todo momento a la malla base;
los cuatro vastagos (tres en los bordes) en los que se ensartan
-
las barras del mecanismo, terminan en rosca con el fin de incorporar arandelas y tuerca para evitar desplazamientos en las barras y
permitir un solo movimiento de giro: son verdaderas articulaciones
planas; el eje de las barras no se corta en el punto que simboliza^
ría el ñudo. Para poder añadir más barras, la pieza dispone de los
agujeros roscados centrales superior e inferior. En el caso de añadir
cordones y otras barras de"las caras, se apota tornillo;! en el caso de
montantes, llevan estos incorporados vastagos de roscas opuestas en sus extremos. La longitud de los tornillos está muy determinada
y no se descolocan de sus nudos en los montajes
sucesivos.
Siempre hay un dado macizo central. Los esfuerzos más desfavorables
corresponden a la sección de unión de cada vastago al dado central
El material empleado en su ejecución fue'
acero.
Los APO¥OS son de dos tipos: uno sobre soportes, a través de un
265
-
."capitel" en forma de pirámide muy rígida; recoge cinco nudos de la cara inferior de la malla, atornillándose en vertical a la cara
inferior de la pieza de nudo; el otro tipo, juntando dos perfiles
en u de borde superior de un módulo e inferior de
otro que apoya,
a lo largo de toda una linea (o dos) de borde.
6.2.3.- SOPORTES
El diseño de éstos es consecuencia de la evolución de los proyec—
taclos para el teatro visto anteriormente. Se mantiene el "capitel"
en pirámide que en este caso recoge las cargas de cinco nudos; se
une ai "fuste" {de altura variable) mediante una rótula, lo que
permite tener el fuste aplomado y el capitel con la inclinación
del plano de la malla. Se apoya el "fuste" mediante "rótula", a :~
una base que se atornilla al suelo. Para dar estabilidad se disponen cuatro tirantes desde las cuatro esquinas del capitel al fuste:
llevan incorporados vastagos roscados en los dos extremos, con los
montantes, y se tensan girándolos sobre su eje. Todas las piezas
son de aluminio: en fuste y tirantes de sección circular y en las
barras del capitel, quizas macizas.
6.2.4.- CERRAMIENTOS
En su día, los cerramientosse ejecutan3n.de¡paneles de madera y lona
26%
La sujección de arabos materiales se realiza mediante pilares tubu^
lares de aluminio de <i> 80 mm. , colocados en el perímetro desde cada nudo de cada inferior al suelo. Para estabilizarlos aparece a un tercio de la altura una brida de la que salen dos tubos de aluminio hacia los nudos inferiores adyecentes de la fila siguiente.
La unión entre pie derecho y los nudos se hace a través del 4? vastago de la pieza de nudo.
La unión entre los tubos inclinados y los nudos de la fila inte
rior se hace atornillando al agujero central de la pieza de nudo.
Con esto queda suficientemente arriostrado.
En los lugares en que no se colocan todos estos apoyos suplementarios, se arriostra mediante cables en cruz de San Andrés.
6.2.5.- CARGAS Y PESOS:
Según una pequeña memoria elaborada por C.A.S.A se conocen los siguientes datos:
2
El peso del mecanismo de aluminio es de 420 Kg.; 3,5 Kg/m .
2
El peso total del módulo cubierto es de 1500 Kg., 12,5 Kg/m .
El esfuerzo por soporte es de 6500 Kg. para ün peso de nieve de 50
2
Kg/m . más una succión de viento de 2000 Kg (para viento a 110 :—
Km/h), con el perímetro cerrado.
26?
f« %)
f"%)
0.8%
o.s%
3,852
(4,600)
(3,300)
2 f 75Z
{4,1001
.(3,00)
¡2,60
12,60
3,e52
2,752
r++ f-
r-t-T
4--M-
!•+ +
1,80
9,50
MODULO D
MODULO C
9,50
r4--}
4-4^l_fJ
1.4. J¡
>
L4_i
-rf—
JT
4,952
5,90
r4^
!- + +
4.S52
(5,100!
(4,00)
MODULO B
MODULO A
5,50
4-4--1-4--
10,30
l,S0
12,60
¥°+-
0,90
6.3 - MONTAJE
Como se ha dicho, hay cuatro variantes diferentes de módulos, A,B,
C y D. El módulo A es el primero en colocarse en el orden del montaje, y está apoyado sobre cuatro soportes. Los módulos B y C se
apoyan sobre dos laterales de A y sobre dos soportes. Los laterales de la planta que se quiere cubrir crecerán en los módulos B y C
que sea necesario; la superficie interior se cubre con módulos D, a_
poyados en un solo soporte y en los bordes de módulos B y C (o D ) .
La esquina opuesta a A en la diagonal de la planta, se cierra con
un módulo D.
El montaje de cada módulo a partir del mecanismo plegado, requiere
el orden siguiente:
Se despliega el mecanismo mediante cuatro carritos de ruedas locas.
Desplegado hasta que sus barras recorren 602 desde la vertical,se
nivelan en un mismo plano horizontal todos los nudos de la cara in
ferior. Se quitan los carritos. Se procede a colocar los cordones
inferiores longitudinales y transversales, y los capiteles del so
porte, es decir, se fijan los nudos de la cara inferior: se ponen
las tuercas sin atornillar a fondo.
A continuación se procede a montar los cordones y arriostramientos
diagonales de cara superior; los perfiles en U se transportan en
269
dos mitades que previamente hay que unir, mediante tornillos. Se fijan los tornillos a los nudos. Seguidamente se colocan los m o n —
tantes verticales de vigas de borde y capiteles, primero a la rosca inferior a fondo y luego a la superior desenrroscando las prime
ras, dejando iguales longitudes en ambos extremos.
Con todas las barras montadas se procede a reglar y alinear los - cordones inferiores por medio de tensores incorporados a cada b a —
rra, hasta que en cordón superior correspondiente tenga, algo de ~contraflecha. Se aprietan definitivamente tornillos y tuercas y se
rectifican los de montantes. Finalmente se montan las chapas de cu_
bierta y los canalones para acabar el montaje sobre suelo.
Se efectúa el replanteo de recuadros de módulo y ejes de soportes.
Se eleva y traslada el módulo hasta su recuadro. Se tendrán coloca
dos los soportes del caso (fuste y tirantes). Se apoya el capitel
en la rótula final del fuste y se roscan los extremos superiores,
de ios tirantes a los vértices del capitel, cuidando de que cada
dos definan un plano que pase por el eje del fuste, (para evitar »
torsiones). .La inclinación se habrá conseguido porque cada fuste tiene su correspondiente altura. Se aploma éste, rectificando longitudes con los espárragos roscados de los tirantes. El capitel queda inclinado a partir de su rótula de apoyo, siguiendo la pen-
2 70
diente de gufeierta.
Si el apoyo se efectúa en un borde del módulo anterior, se hacen coincidir los perfiles U, sujetándose a lo largo
por
bridas.
Por último se montan soportes de contorno y cerramiento como se ha
comentado.
El montaje es un poco más laborioso que para el Teatro anterior, debido al procedimiento usado para pasar de mecanismo a estructura
pero responde al mismo criterio. Mas adelante se verán sus v e n t a —
jas en el aspecto de los diseños de estructura posibles.
6,4.- MECANISMO
Las barras en !'x" del mecanismo base abarcan tres nudos.
Partiendo de como son realmente las barras y nudos, la unidad
mé—
vil más simple; es plana y está compuesta por cuatro barras y cuatro articulaciones; en cada enlace el único movimiento es un giro
(9) y las coacciones son los dos desplazamientos: la
cadena es un
mecanismo con un grado de libertad. Siendo iguales las cuatro longitudes entre enlaces
el
movimiento se hace posible.
La unión de varias unidades en el plano, sigue siendo un mecanismo
de un grado de libertad, es decir, solo hay un movimiento posible
271
«OOm
•y*r~
NUDO CARA SUPERIOR
-VI
NUDO CARA INFERIOR
^ r
NUDO
MECANISMO
BASE
INTERMEDIO
conjunto, debido a que las barras forman parte de tres enlaces dis
tintos, y propagan la forma de movimiento iniciado en una.
A las piezas de varias cadenas en el plano, se le cruzan en ortog£
nal más del mismo tipo, enlazando en todos los nudos existentes: siempre se cruzan o terminan cuatro barras por nudo. Se conserva +un solo grado de libertad por lo que hay mn movimiento obligado pa_
ra todas las barras. Para pasar de mecanismo a estructura bastaría
con añadir una barra.
Si ahora se considera el caso en que la longitud de las barras sea
la comprendida entre dos articulaciones adyacentes, es decir, cada
barra abarque solo.dos nudos, se tiene un mecanismo con 9 grados de libertad.
Para llegar a un diseño con un grado de libertad es preciso añadir
ocho barras, que se pueden disponer por ejmplo, definiendo una viga de celosía en "x", como la de la figura, en que todas las ba*rras pertenecen a algún triángulo. Para pasar a estructura todavía
se necesita una barra más. Estas vigas se usan en edificación sin
añadir la barra que falta. Si los nudos fuesen rótulas verdaderas,
se movería sin llegar a plegarse, (no cumple condiciones geométri-^
cas) pero por ser usual ejecutar el nudo soldando las barras, se *consigue que no haya movimiento debido a la rigidez de la unión --
2 73
que en la practica las convierte en barras enteras
con
varios -
nudos. Esta consideración solo sirve para no considerarlo mecanismo; en el cáculo como estructura se supone que los nudos son articulaciones con libertad de giro en el plano.
6.4.1.- VARIANTES DEL MECANISMO
Independientemente de que ae puedan elegir otras variantes, se des_
cribre aquí un mecanismo que permite lograr cantos equivalentes a
los da emparrillado o cerchas standard. Se emplea la idea que Pine_
ro usa en 3.a estructura documentada en 1:10 Capitulo I : Cúpula desplegable
: en ella aparece un reticulado exagonal en la
cara exterior que acompaña al movimiento de plegado.
En este caso, y empleando el mecanismo base de este proyecto, se añaden barras contenidas en el plano horizontal de cada cara (supe_
rior e inferior) ', cada una de estas barras solo se enlazan en dos
nudos.
Para que estas barras de las caras puedan acompañar el movimiento,
la idea fundamental consiste en desdoblar uno de cada dos nudos de
enlace, en dos subnudos: en una parte se quedan las barras del mecanismo base que se tenia, y en la otra las nuevas que se añaden.
274
"En el mecanismo base de este proyecto. Pabellón..., se puede trazar una única cuadricula en las caras, de 1 f. 224 m. de lado, que comprende todos ios nudos, resultando sus líneas a 45° respecto al
recuadro.
Ya se ha visto que el mecanismo base tiene un grado de libertad, i
Se añaden las barras de las caras (cordones) con la condición de acompañar al movimiento de G=i por lo que, tiene que ser posible
variar la longitud de las diagonales AB, AC, AD... Una manera de lograrlo es que esas barras se inclinen con respecto al plano hori_
zontal, variando la longitud de su proyección en él. Se consigue desdoblando un nudo de cada dos consecutivos en la línea diagonal
(una fila si y una no en el recuadro) dn esta forma las barras en
las caras quedan con un extremo enlazado al mecanismo base y el otro se desplaza en la vertical junto con el de las otras barras
que van al nudo.
Se entiende fácilmente que el movimiento sigue siendo único, obligado también para las nuevas barras, no obstante vamos a comprobar
los grados de libertad del añadido. Sustituyendo el mecanismo base
por uno ficticio que tenga los mismos efectos sobre B, C, D y E al
variar el ángulo. Lo estudiamos para la unidad básica componente,
creando un punto H a distancia adecuada, en función de la longitud
de las diagonales del mecanismo base.
275
G = 3(b-e-l)+>l
íi
tenemos:
b = 8 barras
e = 10 enlaces (4 nudos de 1 y 2 nudos de 2 enlaces)
i^.= 1*. giro
G = 3(8-10-1)+ *£ 1 = 9+10 = 1
También se entiende fácilmente que la compatibilidad geométrica pa_
ra que el movimiento sea posible está conseguida. En los estados desplegados, las barras (de igual longitud) a, b, c y d están en el piano horizontal con la longitud adecuada según el ángulo de
desplegado, formando las líneas diagonales; en los estados interme_
dios son posibles las pirámides de base cuadrada; en el estado pie
gado quedan según líneas verticales.
OTRA VARIACIÓN DEL MECANISMO BASE DEL PABELLÓN....consiste en
SU—
primir una de cada dos filas de barras diagonales en cada sentido.
De esta forma los nudos de las caras quedan con cuatro barras enla
zadas y los intermedios solo con dos que se cruzan en un mismo pía
no. Los nudos de las caras quedan alineados en una única cuadricula según paralelas al recuadro.
A este mecanismo base simplificado también se le pueden añadir ba-
2 76
rras en las caras (cordones). tínicamente se pueden disponer m a t e —
rializando la cuadricula: las barras, enlazadas solamente a dos nudos ^materializan- el coste en el plano horizontal de la cara y en el
vertical que contiene la "x" del mecanismo base simplificado. En cada plano de las dos direcciones ortogonales se forma una viga de
celosía en "x".
6.5,- ALGUNAS ESTRUCTURAS POSIBLES
Seguidamente se analizan nueve posibles tipos, definidos a partir
del mecanismo base de Pinero y del mecanismo simplificado que se ^~
comentá
en 6.4 "Variantes del mecanismo" {pág ant. ) ambos p l e g a —
bles de barras en "x" que enlazan tres nudos con libertad de giro
en el plano, en todos los enlaces.
De entre los nueve, se analiza en primer lugar el diseñado por Pinero para este "Pabellón
"módulo tipo B. Se toma su definición
geométrica (longitudes de barjas_.de 1 mecanismo base= 2 m. canto=;l m\
pero no sus datos de material, ni secciones de barras. Se simplifi
ca esta cuestión y lo definido se mantiene para los otro ocho móde
los. Se elige ún recuadro de 8,66 x 6,39 m. barras de acero 0 60,3
y carga q/m
277
= 1.
Para estructuras que no tienen que pasar por la fase de mecanismo
por necesidades de uso (prácticamente todas), las formas de diseño
tipificada corresponde a cordones horizontales continuos unidos me
diante alma discontinua. Para soportar acciones normales a su d i rectriz, este diseño dispone de un canto y una inercia considera—
ble, y una disposición tai de las barras para el equilibrio que so
lo son relevantes las soJicitacbnes normales de tracción o compresión
Si para soportar esas acciones, lo hacemos con una estructura pro
viniente de un mecanismo al que se ha coaccionado solo lo necesario , (se puede lograr añadiendo una sola barra) se tendrá en muchas seccio
nes de pieza estructural solo en canto de las secciones de sus barras y una disposición tal que para el equilibrio serán necesarias
otras solicitaciones (en número o en valor) de sección ademas de los esfuerzos normales,
La consecuencia es que las primeras consumen mucho menos material
NOTA:
y son ios diseños empleados para cubrir los objetivos usuales.
Aunque se pueden.trazar varios ejes de simetría se
aprecia una ligera variación en los valores de ~
Dentro de las segundas, en el abanico de posibilidades que va de
las solicitaciones dadas entre las partes simetrí
añadir las pocas barras de coacción necesaria hasta esos diseños
cas.
Esto es debido a que en las estructuras plegables
tipificados, se podrá encontrar diseños eficaces según sean las -
por la forma de enlace de barras a nudos,los ejes
variables; uso, condicionantes de plegado-desplegado, montaje, -
de todos los complementos no están contenidos en
cuantía de las cargas y número de apoyos, aunque siempre con mu-
un ünico plano y en realidad no se mantiene una
simetría rigurosa porque las barras no están en-
cho menos rendimiento estructural que los primeros.
lazadas en orden simétrico,súiD siempre del mismo _
lado del nudo en ambas partes simétricas.
278
6.5.1.-A •- ESTRUCTURA DEL PROYECTO: MECANISMO BASE Y ALGUNOS CORDONES Y
MONTANTES
La estructura definida por Emilio Pérez Pinero, que se ha ido describien
do en este capítulo, consiste básicamente en una serie de cerchas planas
dispuestas según la luz mayor del recuadro en que los apoyos extremos son de descenso nulo, si es sobre soportes, y muy pequeño si es sobre la
cercha triangulada de borde dispuesta en la luz menor. Estas cerchas están muy próximas: tomó los nudos de las filas pares de la cuadricula para colocar los cordones, de tal suerte que la chapa plegada apoya directamente en ellos.
En la dirección perpendicular, las barras en "x" empiezan en los nudos superiores de cada cercha y terminan en los inferiores de la siguiente.
Con está disposición se puede decir que no trabajan: aunque como acompañan en la deformación de las cerchas, entran en carga (poca), su misión
realmente consiste en arriostrar el plano de la cercha (por cuanto en el
mecanismo se mantienen
los planos verticales en todo momento) agrupar
las barras de espesor de todas las cerchas y ayudar a que se desplieguen
con un único movimiento.
De los cuatro proyectados, se ha
.elegido analizar el apoyado sobre dos
soportes y una cercha de borde en el lado corto. Los capiteles de los so
2 79
portes hacen nulos los descensos de una banda de 1,732 x 6,93, es decir,
es como si las luces entre apoyos fuesen 6,93 x 6,93 m. con la posibilidad de soportar momentos negativos en las cerchas que poseen un apoyo
nulo interior ©m los capiteles.
A pesar de que el traslado de cargas es unidireccional, tanto deformacio
nes (3,15) como tensiones máximas (cordones: 6,2 y -9,2 ; diagonales¡8,6
y -6,4; • montantes: 9,8) son valores razonables, aunque superiores al
resto de los casos que se van a ver seguidamente.
Esto se consigue añadiendo al mecanismo base 114 m. de barras en c o r d o —
nes, y 14 m. en montantes. Se Codifican aproximadamente la mitad de los
nudos de las caras para recibir las nuevas barras.
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DIAGONALES
ABATIDAS
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CARA
SUPERIOR
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1.2
CARA
INFERIOR
DIAGONALES
ABATIDAS
-0.2
6.5.2.-B --MECANISMO BASE Y CORDONES EN AMBAS CARAS
Al mecanismo base de barras en "x" con los nudos dispuestos en tresbolillo, se le añaden barras en ambas caras (cordones) formando dos retícu—
las de 1,732 m. de recuadro y empleando todos los nudos disponibles.
La forma posible de ejecutarlo pasa por un diseño diferente de terminal
exterior de enlace de los nudos de las caras, para que las barras que se añaden se crucen una sobre otra y de esta forma no crear nuevos nudos
La estructura resultante es un emparrillado de vigas
en celosía parale-
las a los lados del recuadro, en que se puede considerar que todas las directrices de barras están contenidas en un plano; se llaman comunmente
celosías de "x". Los apoyos se sitúan en los nudos inferiores del contono-
•
•
Este tipo de estructura traslada mas carga por las vigas de luz corta. El
tipo de solicitación normal se mantiene como en las cerchas biapoyadas de este tipo: en las "x" del espesor (diagonales) corresponden solicitaciones de compresión a las barras que se inclinan hacía el apoyo y de tra
cción las que se inclinan hacía el nudo central inferior. En el emparrillado se conserva este carácter para la dirección que traslada la carga
del nudo en mayor proporción, es decirdesdeiun determinado nudo se observa en el tramo más cercano al apoyo.
282
No se ha dispuesto ningún montante entre los nudos superior e inferior del contorno; las vigas de borde son iguales a sus paralelas interiores,
y sus nudos intermedios (el cruce de las "x") hacen de apoyo para las vi
gas pares perpendiculares, por lo que el tipo y cuantía de solicitacio—
nes de barras de contorno responden a estas características de diseño: tracciones ' en los cordones y compresiones en el espesor.Asimismo, la ausencia. de montantes en el contorno, hace que sean desiguales en valor absoluto las soluciones de los cordones en cada tramo.
Las mayores solicitaciones, así como la deformación máxima son del orden
de la mitad que el diseño A, de Pinero. Para pasar de mecanismo base a estructura se han añadido 308,4 m. de barras. Se modifica el diseño de todos los nudos de las caras.
283
-0.38
- 1.39
0.4!
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-1.751
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ESFUERZOS
MÁXIMOS
CARA
SUPERIOR
COMPRESIÓN (+)
TRACCIÓN ( - )
-2.5
-1.39
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CARA
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INFERIOR
DIAGONALES
ABATIDAS
6.5.3.-C --MECANISMO BASE Y CORDONES A 45° EN AMBAS CARAS
Sé añaden barras (cordones) en ambas caras al mecanismo base, material!*
zando una sola cuadricula de 1,224 m. de ' lado
nudos de cada cara. Se vio en la página
. Se utilizan todos los
de este capítulo que se pue-
de transformar en un mecanismo plegable de un grado de libertad incluyen.
do estas barras añadidas.
La estructura que se tiene corresponde a un emparrillado de viga de celo_
sía dispuestas en diagonal respecto al recuadro a cubrir, resultando luces de diversos valores. Las barras componentes de cada celosía no están
contenidas en un. plano. Las direcciones ortogonales de vigas comparten las barras del espesor, que son las "x" del mecanismo base: en cada r e —
cuadro común a las dos direcciones se comparten cuatro medias "x".
Las máximas solicitaciones son menores que en el caso anterior, y aparecen solicitaciones con estos máximos valores en mayor número de barras.
Las diferencias de luz de las vigas en este caso, hace que las de luz corta de las esquinas, más rígidas, hagan variar la curvatura de las de luz mayor recogiendo parte de su carga. La gráfica de momentos de la de
luz larga no tiene porque corresponder a una biápoyada. Dependiendo de la diferencia de luces puede sufrir una redistribución
de momentos con
parte negativa en los extremos y la correspondiente disminución de los -
285
Valores máximos de solicitación y deformación. Se aprecia en este caso elcam
bio de signo de las solicitaciones
de los tramos de cordones situados -
en las esquinas del recuadro de ambas caras. Las barras delespesor tam
bien tienen menos esfuerzos y en conjunto se trasslada la carga a los apoyos de forma homogénea.
Para pasar de mecanismo base a estructura se han empleado 196 m. de cordones y 18 m. en montantes de contorno. Se redisenan todos los nudos de
las caras.
286
0 73
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DIAGONALES
ABATIDAS
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MÁXIMOS
CARA
SUPERIOR
COMPRESIÓN ( + )
TRACCIÓN
(-)
-0,73
CARA
INFERIOR
DIAGONALES
ABATIDAS
6.5.4.-D.-MECANISMO BASE, .CORDONES SUPERIORES A 45° Y CORDONES IN_
FERIORES
Sobre el mecanismo base en este caso se mantiene la cara superior
como en C, materializando una cuadrícula en diagonal.. En la cara inferior se materializa una cuadricula de 1,732 m. de lado, parale
la al recuadro, empleando la mitad aproximadamente de los nudos
-
disponibles.
Esta estructura también se convierte en un meccanismo plegable con
todas sus barras, separando en dos partes la cantidad adecuada de
nudos en cada barra, según la idea expuestas en las páginas
Se puede reconocer como vigas ;
celosías diagonales respecto al -
recuadro. Vistas así,en el plano que contiene los apoyos solo están
ios cordones superiores. Diagonales y cordones inferiores son compartido por las vigas de la dirección ortogonal.
También se puede reconocer como vigaSj
celosías paralelas respe£
to al recuadro. En este caso, en el plano que contiene los apoyos
se encuentran también cordones inferiores y diagonales. Los cordones superiores son compartidos por la dirección ortogonal. Reconocidas de este modo, las filas pares de "x" del mecanismo base acom
pañaian.'las deformaciones de este emparrillado descrito.
288
Como la primera forma, conlnces dssLcpaLes. de las vigas componentes,
se aprecia en ios extremos de las largas momentos que traccionan
la cara superior y comprimen la inferior, en mucha menor importancia que en el caso C, anterior.
Las solicitaciones máximas en la cara superior, mayores que en C,
(la rigidez global es bastante menor) se acerca a los del tipo B con la ventaja de la menor longitud de las barras (pandeo). En la
cara inferior se acercan al tipo siguiente 2, menos complejo.
Las máximas solicitaciones de diagonales "x" y el máximo descenso
vertical tienen valores intermedios entre ambos casos.
En esta estructura se han añadido 182 m. de barras en cordones y 18 ID. de montantes de contorno al mecanismo base. Se añade
la com
ponente de nudo a unas tres cuartas partes de los nudos de las caras.
289
DIAGONALES ABATIDAS
CARA SUPERIOR
O
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ESFUERZOS MÁXIMOS
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CARA INFERIOR
DIAGONALES ABATIDAS
6.5.5.-E -~ MECANISMO SIMPLIFICADO Y CORDONES EN AMBAS CARAS
Se prescinde de la "x" del mecanismo base contenidas en una de cada dos
filas paralelas al recuadro en ambas direcciones ortogonales. Se deshace la organización de nudos al tresbolillo. Los que puedan forman una so_
la cuadricula de 1,712 m. de lado, paralela al recuadro.
La estructura resultante es un emparrillado de vigas en "x" con sus b a —
rras contenidas en un plano, y colocadas en paralelo a los bordes del re
cuadro.
Se conservan las mismas distancias entre líneas de apoyo para la c u b r í —
ción dada en el proyecto de Pinero, pero prescindiendo de la mitad de
las barras (160 m.) y nudos, resultan los nudos intermedios (de alma) ex
traordinariamente mas simples: al cruzarse dos barras en un mismo plano
basta un pasador para mantener la libertad de giro.
También se puede considerar que las barras de las caras forman parte de
un único;mecanismo plegable, mediante el desdoblamiento alternativo de
uno de cada dos nudos, como se vio en las1*Variaciones de mecanismo'.'.
Las diagonales mantienen el tipo de solicitación peculiar de las cerchas
biapoyadas: comprimidas las inclinadas hacia el apoyo, y traccionadas
las inclinadas hacia el centro. Cabe observar que las vigas de los b o r —
291
bordes tienen la singularidad del apoyo continuo y la ausencia de montan
tes. Asimismo en el resto de las vigas, por no poseser los montantes de
extremo, las solicitaciones de cordones en cada tramo son desiguales en
valor absoluto.
Las máximas solicitaciones son algo menores en tracción y equiparables en compresión que para las cerchas de A (proyecto de Pinero), y alrede—
dor del doble que en los casos anteriores. Para pasar de mecanismo a estructura se han empleado 169 m. de barras; descontando la simplificación
del mecanismo, es como si solo se añaden 9 m.
292
-1,63
-0,76
-o,eo
1,0*
0,62
-1,29
-0,94
ESFUERZOS
1,04
3,27
MÁXIMOS
-0,60
0,62
4,40
4,67
4,15
-1,29
0,82
4,40
-0,60
O
-0,76
76
3,62
4,13
0,62
ABATIDAS
-1,63
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DIAGONALES
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3,27
0,82
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1,76
1,04
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0,62
1,76
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1,04
-1,63
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CARA
SUPERIOR
DIAGONALES
ABATIDAS
COMPRESIÓN 1+)
TRACCIÓN ( - )
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-1.26
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-2,49
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-4,36
-1,26
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-3,11
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-1,26
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-2,38
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-3,11
-2,63
CARA
"
-1,28
-1,36
INFERIOR
*
6.5.6.- F--MECANISMO SIMPLIFICADO, CORDONES SUPERIORES A 45°, COR__
DONES INFERIORES
Al mecanismo simplificado usado en E, se le cambia la disposición de los cordones de la cara superior, sustituyendo la1retícula paralela al recuadro por la otra a 45° de 1,732/ 2 m. de lado, empleando la mitad de los nudos existentes.
El resto, mecanismo base, cordones, cara inferior y montantes de contorno^queda igual. Como todos los anteriores puede ser plegable
con todas sus barras.
Si se reconocen cdmo vigas de estructura, celosías ortogonales a 45'
del recuadro, no se contienen en un plano ni diagonales del espesor
ni cordones interiores. También se pueden reconocer como vigas componentes, celosías ortogonales paralelas al recuadro, y en este caso no se contiene en un plano los cordones superiores: todo esto co
mo lo descrito para el caso D.
Con respecto a E los resultados mejoran globalmente pues bajan los
valores de compresión, aunque, las barras solicitadas son más largas
y el máximo descenso vertical pertenece de igual valor.
294
en este caso se añaden al mecanismo simplificado, 134 m. de barras
en cordones y 9 m. en montantes de contorno. Quitando los 160 m. de
simplificar el mecanismo base diseñado por Pinero, resultan 17 m. menos de barras.
295
DIAGONALES
ABATIDAS
O
ESFUERZOS
MÁXIMOS
CARA
SUPERIOR
COMPRESIÓN (+)
TRACCIÓN ( - )
0.13
0.3Í
-3.44
0.
-5.63
-5.63
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-4.72
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0.03
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-4.72
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-6.44
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-6.44
-3.69
-3.69
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0.53
-6.44
0.-
0.3?
0.47
-4.72
W?
CARA
4
-0.11
INFERIOR
DIAGONALES
ABATIDAS
6.5.7.- MECANISMOS BASE Y MONTANTES EN NUDOS DE CONTORNO
Los mecanismo base que se están usando, de Pinero y simplificado, se
inmovilizan y constituyen una estructura añadiendo una sola barra.
Usando estas barras en "x" se puede definir alguna otra configura—
ción
que forme mecanismos de un grado de libertad; añadiéndoles una
barra, se puede tener la tentación de considerar las estructuras re_
sultantes dentro del mismo campo de las que acaban de ver. Sobre es_
te tipo de estructuras mínimamente coaccionado, se puede consultar
los trabajos de Escrig (1984) y Escrig y Pérez Valcárcel (1986) ex=
puestos en la Bibliografía.
No obstante también aqui se va a estudiar un caso para cada mecanimo base: pasando de mecanismo a estructura añadiendo solo el pequeño lííjmepode montantes de contorno.
Hay que decir de entrada que resultan peco eficaces, consumen mucho
material y son muy cieformables. La estructura sigue siendo emparriM
v
llado de vigas: cada viga tiene inercia variable, desde un valor 2
(A
barra h / 2 + I b a r r a ) máximo hasta 21^^^
mínimo. Ante las solí
citaciones Mv, Tv como viga de celosía del emparrillado, con cargas
puntuales en los nudos superiores, se genera el equilibrio en la se
cción de viga con solicitaciones Nb, Tb, Mb, en la sección de las barras; las secciones más desfavorables corresponden a los nudos in
297
termedios, en que la sección resistente de viga es la suma de las secciones de las dos barras en "x". En el esquema se puede apreciar
que las proyecciones normales a las barras se suman y las cortantes
se restan; las dos solicitaciones son constantes entre dos nudos.
Los cortantes generan momentos flectores de variación lineal que
aumentan ai decrecer el canto y se ajustan a la gráfica de momentos
de viga Mv.
Con cada barra en "x"f que abarca tres nudos, se comporta como de dos tramos en los que la sección del nudo intermedio es un empotramiento, y las de los extremos articulaciones en el plano de la viga
(en el que se ha diseñado sea posible la libertad de giro).
En cualquier estructura triangulada de barras que traslada cargas normales a su directriz (con inercia constante-A - - ) , los deseen—
sos verticales máximos son consecuencia de todos los alargamientos
y acortamientos longitudinales de sus barras. En estas estructuras
no totalmente trianguladas, ademas de los movimientos debidos a los
normales de cada barra, hay descensos perpendiculares al eje de barra debido a las solicitaciones Mb en cada una. La rigidez K^ de cada barra articulada en sus extremos ante un descenso resultante de una ley de momentos flectores lineal (similar a la de una carga
puntual en el nudo intermedio) es la expresión:
298
3 EIL
1
2
Para los tipos de barras usuales (tubcé) esta rigidez es muy pequeña
comparada con la rigidez ante esfuerzos normales K = E A / L , por no compara la rigidez a flexión de la sección de la viga de celosía en
caso de tener cordones.
Por la pequeña rigidez K
de barra y por la cantidad de puntos de -
estructura en los que se confía a secciones sometidas a M, N, T en
cada viga componente del emparrillado, se producen flechas apreciables.
Antes de deformarse cada pareja de nudos de cada cara, está en la misma vertical. Después de la deformación aparecen bastante lejos de ella, habiendo arrastrado fuera de sus planos a la familia de vi
gas colocadas en la dirección ortogonal de una manera no uniforme,
por el corrimiento de nudos comunes. Se producen así desplazamien—
tos horizontales en los nudos ante lo que las barras tienen una rigidez similar a K
anterior; se generan momentos fleoáores de varia-
ción lineal según el eje de la sección no co.ntenido en el plano de
viga. Estos momentos son máximos en el nudo central de las barras en "x", y no son nulos en los extremos; dado que las piezas de nudo
299
solo permiten un giro, en el plano de viga (es una condición de diseño que permite lograr rápidamente G=l) ejercen coacción en los ex_
tremos de barras a los movimientos no contenidas en el plano de viga, apareciendo momentos de signo contrario al del nudo central, co
mo de"empotramiento": Esto pasa en una medida en que todas las soli_
citaciones son casi lo mismo de relevantes/ tienen rango parecido.
Para el cálculo automático de cada uno de los casos se ha deficido
cada "x", como cuatro barras comprendidas entre nudo de cara y nudo
intermedio, articuladas en un extremo y empotradas en el enlace del
centro
solamente en el plano de viga. Se han definido también las
piezas de nudo como pequeñas barras biarticuladas enlazadas a la "x"
para definir de esta forma exactamente el tipo de movimiento permitido.
ZOO
6.5.3.-
G
•- MECANISMO SIMPLIFICADO Y MONTANTES EN EL CONTORNO
En la figura que representa los esfuerzos normales de este emparrillado de vigas de inercia variable paralelas ai recuadro, se puede
reconocer el cordón comprimido superior y el traccionado inferior,
formados por medias barras diagonales; la última diagonal inclinada
hacia el apoyo se mantiene comprimida y su compañera de cruce t r a —
ccionada como en los casos anteriores.
Respecto a los esfuerzos de flexión en el plano de cada viga, donde
es posible la libertad de giro, las solicitaciones de momento M
co
rao se ve en el plano de gráficas correspondientes, son nulas en los
extremos de las barras: se dijo que cada viga arrastra en su defor^
¡nación a carga norria 1 a su directriz, a los nudos de las vigas que
las cruzan, alabeando el plano en que están contenidas. Estos des-plazamientos producen las solicitaciones en los planos que no hay libertad de giro en el enlace; se acodala la barra contra el nudo apareciendo momentos ¿lectores M de variación lineal y torsores M
2
y
x
constantes. Los esfuerzos cortantes son en ambos casos (T y T ) y
z
los procedentes de variación de las solicitaciones de momento.
Los mayores esfuerzos en valor absoluto son los normales de compre^
sión (5,3) en las diagonales: centrales, y (4,9) en los montantes de
301
borde. Son los valores ligeramente menores que en E. El momento ad_i
cional que debe soportar la barra por la casi ausencia de canto, Mz
es máximo (2,3) en las diagonales centrales de la luz corta. El cor
tante que genera este momento, Ty, tiene un valor máximo (2,3) en las mismas barras. Los valores de My son máximos en las barras que
tienen desplazamiento fuera del plano "de viga" y corresponden a las barras de las cuatro esquinas (1,25) siendo también altos los
cortantes Tz que acompañan las existencias de estos momentos (2,3) .
Los momentos torsores también son máximos en las barras de las esquinas (0,8) por los mismos motivos. Para pasar de mecanismo a estructura se añaden 18 m. de longitudes de barras, pero por la simplificación del mecanismo base de proyecto, retiramos 160 m.
302
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BARRA COMPRIMIDA
BARRA TRACCIONADA
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MAXtMAS SOLICITACIONES
NORMALES
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My
Mi
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^
Escala
de solicitaciones
fr™l 1 I1" i i l i i t I
O ,5 1
2
3
4
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MOMENTOS
Escola
de solicitaciones
K" i" | i i i 1 'i 1~~r
O ,5 1
Z
3
4
CORTANTES
5
6.5.9.- H •- MECANISMO SIMPLIFICADO; CONDONES A 45° , CORDONES CONTORNO AMBAS CARAS Y MONTANTES
Si se imagina la estructura organizada según vigas en diagonal r e s pecto al recuadro, coexisten dos tipos: con cordones y diagonales {1= constante) y solo de diagonales {I variable). Además las barras
diagonales (la "x") las comparten con las vigas de la dirección ortogonal en cada tramo.
Aunque la carga se recoge en los nudos de la cara superior a los
que van cordones, y podría pensarse que funcionan solo las vigas
con cordones, con las diagonales compartidas
todas ellas tienen so_
licitaciones M, N, T cerno en G, y sus valores son aproximadamente la mitad que en G. La ventaja de haber añadido cordones se aprecia
en la flecha máxima, de valor la quinta parte que en G, las solicitaciones normales de cordones son equiparables a los de F.
Esto es así, añadiendo 160 m. de barras respecto a G y 26 respecto
a F.
306
ste tipo no tiene campo de aplicación.
•0.61
DIAGONALES
ABATIDAS
O
ESFUERZOS
MAXINDS
COMPSESÍCN
TRACCIÓN
CARA INFERIOR
CARA
SUPERIOR
(+]
(-)
DIAGONALES
ABATIDAS
M,
T,
6.5.10.-II .- MECANISMO BASE Y MONTANTES DE CONTORNO
Una característica del mecanismo base de Pinero es que en todos los
nudos se cruzan cuatro barras; las "vigas" de inercia variable s e —
gún las dos direcciones ortogonales se cruzan en los puntos de iner_
cia máxima y en los de inercia mínima.
Como puede versé en las gráficas adjuntas, en esta estructura las solicitaciones máximas a tracción y compresión son del orden de 23:
cuatro veces mayores que en el emparrillado anterior, en que tenien
do este la mitad de las vigas corresponde doble carga por nudo. Los
momentos flectores Mz (0,6), cortante Ty (0,6) y torsores (0,2), son aproximadamente cuatro veces menores que el anterior, así como
el máximo descenso vertical. Los flectores My (0,6) y cortantes Tz
(0,9) alrededor de la mitad.
Tan sorprendente como el valor de los esfuerzos normales es el díagrama de reacciones en los apoyos: tracciones en los lados cortos y
compresiones en los largos.
Veamos como puede ser el modelo de comportamiento que la hace tan poco eficaz para ser utilizada: organizada según vigas paralelas al
recuadro, contenidas en planos ortogonales, las de luz corta presen
309
tan la situación inversa. Si aislarnos un recuadro entre cuatro n u —
dos es como si los momentos "de viga" en su plano tienen sentidos opuestos para cada dirección {los valores nunca son iguales).
La estructura se puede organizar también según vigas ortogonales en
las direcciones a 45° respecto al recuadro, pues ya se vio que los
nudos pueden formar una única cuadricula; en este caso las barras-de las vigas no estarían contenidas en un plano: los nudos superior
e inferior están en el plano vertical que contiene la directriz;
los nudos intermedios, en el plano horizontal que contiene la direc
triz, Estas vigas conservan la inercia variable a torsión, siendo Io=Ix=A en la sección de viga dada por los nudos de las caras, e
—
Io=Iy=ij5 en la sección de viga por los nudos intermedios.
Si nos imaginamos un elipse de Lame de momentos (o un circulo de
—
Mohr), en una dirección a 45° de las anteriores tendremos momentos
torsores importantes y flectores secundarios. El hecho de tener rigidez a torsión, aunque no sea en todas las direcciones, hace que el comportamiento se parezca al de una placa más que al de un emparrillado.
Si lo apoyamos en cuatro puntos, se deforma como un paraboloide (su
circulo de Mohr será casi igual sustituyendo momentos por fuerza
(en la dirección de las asíntotas de la hipérbola solo hay esfuerzo
co-rtártte'í; ••
310
-
Si en vez de apoyarla en todo el contorno se le apoya solamente en
los bordes de mayor longitud, las reacciones de las esquinas son de
tracción; el resto, compresión. Las solicitaciones son alrededor de
un 20% menores y el descenso máximo un 20% mayor. El modelo de comportamiento se diferencia pocG del apoyado en todo el contorno; siguen transladando carga las vigas en diagonal, mediante momentos torsores "de viga" a pesar de tener solo la dirección corta de las
vigas del recuadro biapoyadas; habría que dotarlas de mucha inercia
a flexión (colocando algunos cordones paralelos a un lado del recua
dro, por ejemplo) para que abandonara este comportamiento. Si el re
cuadro es un cuadrado en vez de un rectángulo, es decir, si las
—
"vigas" son de la misma lúzalos ejes de simetría dividen en partes
iguales^ no se observa este comportamiento.
Manejando valores pequeños de carga {poco más que su peso propio) se puede sufrir el "espejismo" de que sirva, tal cual se está definiendo el tipo I íaunque la'c^ormada como un paraboloide debería ser
muy llamativa hasta para su peso propio, pues Pérez Pinero coloco en este mecanismo, además de los montantes usados aqui, unos c u a n —
tos cordones
según una dirección, como el modelo que se analizó en
A, cambiando con ello notablemente los valores de inercia en determinadas secciones, donde ya se vio que funcionaba aproximadamente como unas cuantas cerchas.
311
—COMPRESIÓN
—TRACCIÓN
O ESFUERZOS MÁXIMOS
NORMALES
O ,5
/
u
1
2.
3
CORTANTES
4
5
C:
B:
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2.01
RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS POSIBLES
. ,COMP. TRAC . N COMP.
DEFINICIÓN
N
De pmilio Pérez Pinero
' 'CORD .
N TRAC. M COMP.
1l
'THAG.
MONT. \
\\
M
1l
TY
T
z
W
MAX.
%ul Sb
+
í % b
, Sb + .Ib
cord
mont mee.
z
A
6.3
-9.2
8.6
-6.3
B
3.82
-4 .23
3.51.
C
2.72
-3.73
l
3.55
l
F
14
100
-
300
43,8 196
18
167
2.39
76
182
18
156
3.7
117
169
-
160
-7
3.8
120
134
18
160
-6
2.3
299
_
_
18
160
1.14
0.97
57.1
-
160
18
160
0.6
0.9
89.3
-
-
18
_
9.8
3.15
-2.16
-
1 .67
2.88
-2.16
3.1
1.38
-7.93
4,16
-3.30
2.08
6.65
-7.80
5.20
-2.03
_
'5.7
-8.34
6.57
-5.7
4.57
_
5.3
-4.37
4.89
0.8
1.22
2.33
2.33
5.93
-5.27
5,19
0r25
0.57
1.14
23
22.8
2.7
0.2
0.6
0.6
100
114
Mee. base Pinero + cora.
ambas caras
Mee. base Piñero+cord.45°
ambas caras + mont.
53
384.4
Mee. base pjfi-. +cord. sup. 45 C
+cord. inf. + mont.
Mee. simplif. + cord.
ambas caras
Mee. simplif.+cord.sup.43D
+ cor. inf. + mont.
Mee. simp. + mont.
G
Mee. simp. + cord. 45°
ambas caras + mont.
Mee. base Pinero + mont.
Y
I
6.46
_
-8.37
_
6.6.-RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS POSIBLES
En este
cuadro se han agrupado las máximas solicitado
nes en cada diseño realizado para el recuadro de 8,65x—
6,92 m. / los descensos ai se leen en cm. si la cargaes
2
2
q=1t/m ; más cercano a la situación real q-100Kg/m .se debe leer ¿o en mm,
El diseño más rigido corresponde al tipo D, que traslada
sus cargas a los apoyos casi como una placa. Los distintos valores de solicitaciones y deformaciones lo hacen útil para los casos de grandes luces, como recuadro aislado apoyado en el contorno. Comparado con B, su inmedia
to y próximo seguidor, este consume un 100% más de mate
rial en las caras para prácticamente el mismo campo de aplicación.
El tipo D, ahorra material respecto a B y C, pero salvo
por la poca luz de pandeo de ios cordones comprimidos y
la menor flecha, las soluciones E y F pueden cubrir casi
todo su campo, donde las deformaciones no sean determi—
nantes.
317
E y F se muestran eficaces para poca carga y luces no -muy grandes; también para, grandes luces pero continuidad
en los apoyos, es decir, un único recuadro con voladizos
o varios recuadros apoyados en lineas continuas con el cambio de curvatura dentro del recuadro, se consigue redistribución de esfuerzos máximos, mayor número de ba
rras solicitadas a los mayores valores absolutos y menor
deformación.
El campo de aplicación de G y H se reduce a soportarse a
si-mismos si la luz no es muy grande {sombrillas y entoldados de poca entidad y duración). Entre las dos, G es de manejo menos aparatoso. Si para algo más puede usarse
será en base a la de repetición de pequeños módulos apoyados en continuidad; más adelante se verá que existen algunas desplegables según superficies curvas de tan pocas barras como esta y más eficaces. El tipo I es absolu
tamente inadecuado en cualquier caso.
El diseño del proyecto (A) es conservador para las luces
y cargas para la que se proyectó. Para usarlo con g r a n —
des luces se puede pensar en la continuidad, con apoyos
intermedios, como se ha dicho en los anteriores, asi como que cualquier diseño se puede emplear sobre apoyos
318
puntuales, máxime empleando capiteles como el de este proyecto, que incluye tantos nudos de descenso nulo.
Un estudio de estos modelos sobre apoyos puntuales daría
rasgos particulares pero pocas veces determinantes para
escoger el tipo, según el problema.
Aunque no se ha hecho hincapié en ello, los recuadros de
los emparrillados deben de ser arriostrados frente a la
distorsión angular en el plano horizontal, aunque no se
les someta a acciones horizontales. En los casos usuales
con nudos que llevan las barras soldadas o atornilladas,
se confia esta indeformabilidad a la rigidez de las unió
nes recurso no procedente en estos casos en que los enla
es de giro no se les coacciona el movimiento en el estado final de la estructura.
Los valores dados en el recuadro correspondiente a los descensos, son los conseguidos mediante el cálculo exacto . El tipo de nudo diseñado por Pinero es posible que ayude al aumento de dsistorsiones y flechas totales de las estructuras. Para afirmarlo con toda seguridad, solo
es posible verificarlo con ensayos y comparar con los re
sultados obtenidos del cálculo exacto.
319
CAPITULO V I I
VIDRIERA DESPLEGABLE
7.1.- DESCRIPCIÓN GENERAL
Se trata de una estructura plana que se despliega según un plano vertical
juntamente con sus paneles de cubrición en todo momento incorporados/ y que en la posición de desplegado cubren una de las caras con sus juntas a
tope (aunque el diseño admite que puedan ser también solapadas). En el ca
so del proyecto que nos ocupa los paneles son de vidrio y el uso previstOj
'la separación de dos espacios en el Museo de Dalí. Se cubre una pared según un recuadro de 7x7 m. según la maqueta y la idea del conservador del
museo (ver número 1.13 en el capítulo I ) , distinta a lo contenido en la documentación que recoge la Revista Arquitectura n2 162-163
El mecanismo base es el mismo
¿(el
proyecto anterior; el mecanismo para
el .• movimiento de los vidrios que lleva incorporado constituye lo nuevo
de este proyecto así como su disposición en vertical. La patente que des-;
cribe este mecanismo no estructural lleva el n? 397963, y fecha de 1971:
solo describe los componentes a utilizar y las uniones, sin tratar problé
mas de escala ni dar planos acotados.
Emilio Pérez Pinero tenía idea de ofrecerlo a la NASA como soporte para los paneles solares de los satélites espaciales.
320
ALZADO
Soporte
Estructura
7.2,-DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS Y DEL MOVIMIENTO
7.2.1 .-CUBRICIÓN .
En este proyecto en particular, la cubrición esta compuesta por 36
PANELES DE PLÁSTICO transparente de 1,0x1,0 m. y 4 mra. de espesor.
Los bordes superiores e inferiores de estos paneles son libres, y ios derechos e izquierdos llevan dos bisagras cada uno. Los paneles
con la estructura desplegada forman un plano vertical con las j u n —
tas a tope. Mirando en la posición de^desplegado, por columnas vor•cicales alternadas aparecen bisagras a brazo de sujección, estos en
posición- vertical en ese momento.
Durante el movimiento de plegado, cada dos panels adyacentes unidos
por sus bisagras forman un diedro saliendo hacia afuera del plano que forman, recorriendo de la posición 180° a la 0 o . Al mismo tiempo el borde unido al brazo de sujección va siendo girado desde su posición vertical a la horizontal por el movimiento estos brazos su
jetos a los nudos de la estructura, en un movimiento simultáneo. Du
rante el movimiento los paneles describen planos en zig~zag y en la
posición de plegado cuelgan hacía el suelo como banderolas, solapan
dose uno dentro de otros, formando cuatro columnas.
322
PIEZA DE NUDO
¡3TP1EZA DE NUDO
HORQUILLA CON PASADOR
VISTA EN PLANTA A
MEDIO MOVIMIENTO
Los BRAZOS ARTICULADOS de sujección de paneles constan de tres pie
tinas colocadas en tres planos paralelos:los paneles van unidos
a
las dos exteriores que forman con la intermedia una "x"; cada pletina tiene tres articulaciones de las que solo comparten la cen
tral; de las de extremo, una está enlazada al nudo de estructura y
la otra es libre. Están encadenadas de la siguiente forma: en cada
nudo de la estructura se articulan dos pletinas de paneles correspondientes a un tramo y una intermedia del tramo anterior,y en cada borde libre se articulan dos pletinas de paneles correspondientes al tramo y una intermedia del tramo siguiente y así sucesivamente. De otra forma, cada pletina con panel se une a una intermedia distinta pero correlativa en cada una de sus tres articulaciones.
Los paneles se sujetan a las pletinas a través de chapas plegadas
en Z,
en que la plegadura intermedia tiene longitud variable para
permitir acoplar unos paneles dentro de otros en el estado de plegado; de sus extremos, uno se suelda al brazo y en el otro se ator_
nillan las bisagras.
Para la unión de brazos a estructura se emplean los nudos de c u a —
tro columnas alternas. La pieza de unión es una horquilla que se a_
tornilla al nudo y que alberga lastres pletinas de los brazos, suj_e
to todo por un pasador. Los nudos de las columnas que quedan, van e_
quipados con una pieza circular que sirve de tope al panel en el pla_
no desplegado, a fin de evitar que se descoloquen de ese plano d e s plazándose hacia dentro de la estructura.
324
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VISTA
LATERAL
PLEGADO
VISTA DE FRENTE
PLEGADO
7.2.2.-MALLA ESTRUCTURAL
La estructura de sujeción del cerramiento vertical se compone de ME
CANISMO PLEGABLE de barras en diagonal entre caras paralelas; su -forma y disposición es la del mecanismo base que Pinero utilizó en
el Pabellón para Exposiciones, de cuatro barras por nudo y nudos al
trebolillo.
La disposición.que se eligió aquí para colocar el emparrillado orto
gonal es con la'viga a 45° del recuadro a cubrir; tiene la ventaja
que los nudos de las caras-definen una única cuadrícula paralela a
los lados del recuadro, de 1,0x1,0 m. La longitud de estas barras es de 1,69 m. su sección es circular hueca de 0 = 25 mm. y e= 2,5 mm.
A esté- mecanismo se le añaden MONTANTES entre los dos nudos opuestos de las caras. Constan de dos barras: una de ellas maciza de Ion
gitud 0,792 m. y sección circular 0 8 mm., y la otra hueca de longi
tud 0,790 m. y sección circular 0 14 mm. e= 3mm. Cada una de estas
barras esta roscada por un solo extremo al nudo de la cara corres—
pondiente y colocadas una dentro de otra. Durante el movimiento des
lizan entre sí no llegando a separarse en la fase de plegado.
326
Resumiendo,, la estructura se compone de barras en diagonal unidas a
tres nudos mediante articulaciones del giro, y barras normales a
—
las caras que contienen lo que hemos ¡.llamado articulación deslizar^
te: ambas están en todo momento en la malla.
El diseño básico de las piezas del NUDO es el visto también en el proyecto anterior: el dado macizo y los cuatro brazos roscados con
los ejes coplanarios que reciben las barras del mecanismo. Este diseño es el de todos los nudos colocados en el gspeso'r de la malla.
Para fabricar la pieza de nudo
se mecanizan tres diferentes; el da
do atravesado por dos cilindros huecos, un cilindro grande con dos
brazos roscados que se acoplan el el hueco del nado y un cilindro pequeño con dos brazos roscados que se acopla en el hueco que atraviesa al" dadoty1 al cilindro grande; queda libre el movimiento de deslizamiento de esté último hasta que se coloquen las barras con sus
tuercas.
La variación de diseño a partir de este modelo básico obedece a la
especialización que se le asigne al nudo; asi,en los de la cara interna que reciben montantes se ha prolongado la longitud del dado pasado a 40x40x85 mm. hasta albergar el vaciado de la barra roscada
montante, vaciado que no alcanza a los cilindros de los brazos que
atraviesan el dado central. En la cara externa los nudos de la m a —
32?
lia tienen distintos los acabados: los cuatro nudos que roscan el soporte (se añade tubo de 0
30 cm. ; e= 2 mm.a un
dado de 40x40x10^
los 28'inudos que reciben los brazos de sujección de cristales (vacia
do 0 10 para rosca de tornillo), y los 21 nudos intermedios que
^
K
l«
\ $•
contienen al elemento de tope de cristales (vaciado 0 5 con rosca).
Se preveen cuatro apoyos dispuestos simétricamente sobre un soporte
en forma de cruz. En la pieza de nudo se encuentra la rosca y en la
cruz,el vastago y la tuerca.
7.2.3,- SOPORTE
El elemento de soporte de la vidriera está constituido por una cruz
f-saí o X
Lu. Je. ^ V
vertical formada por perfiles metálicos de sección en cajón, anclado
y atirantado a una base prismática. Esta alberga un motor encargado
de dotar de movimiento automático a la vidriera. La transmisión del
movimiento es déla siguiente formarlos cuatro nudos de apoyo se ator
nillan a cuatro cojinetes a bolas dentro de los que gira un tornillo
sinfín
accionado por el motor; solo el tornillodel brazo inferior de
la cruz está accionado por el motor; el movimiento se transmite a los
otros tres
a través de una caja de engranajes situada en el cruce de
la cruz; al giro de los tornillos los cuatro cojinetes se desplazan ~
tnr^Olr^
^
¿k
¿^C
U* ¿*—¿-V
f-iucL^'^
(Dibujo para Salvador- Dalí: ver Anexo)
por los brazos, entre dos topes extremos.
328
La velocidad de deslizamiento de los cuatro nudos necesariamente tiene que ser la misma así como la distancia a
los topes en todo momen-
to, pues el mecanismo base es de un grado de libertad, con un solo mo
vimiento obligado; serviría lo mismo desplazar un solo nudo. En el anexo figuran copias de trece hojas manuscritas por Emilio Pérez Pinero con la descripción de este soporte.
7.3.-MONTAJE
En los proyectos anteriores el condicionante traslado-montaje-des—
montaje de estructura no obligaba
a que todas las barras estuvie—
ran siempre enlazadas en el paquete. En este caso no se traslada, solo se pliega y despliega por lo que esta circunstancia es un dato
de partida en el diseño, convirtiéndose
en prioritario el paso sin
intervención manual, de mecanismo a estructura y viceversa por tanto el montaje se ejecuta una sola vez.
329
7.4.-MECANISMO
En el mecanismo base, formado por barras que enlazan en tres nudos
cada una mediante articulaciones de giro, la cadena cinemática más
pequeña está formada por cuatro barras. Esta disposición ya la conocemos de los trabajos anteriores y sabemos que forman un emparrillado de un solo grado de libertad al que bastaría con añadir una
barra para inmovilizarlo.
En este proyecto,, con todas sus barras desde el principio, todas
—
las cadenas de cuatro barras están trianguladas; se añade una barra
que contiene una articulación deslizante. Al moverse, acompaña la variación de longitud de la diagonal de la cadena desde su longitud
de barra hasta el doble entre los dos estados extremos.
7.5.-OTRO MECANISMO POSIBLE
Dotar a este emparrillado de canto e inercia grandes es un poco difícil. Pinero en su solución de esta pared con paneles incluidos, no dispone barras en las caras que forman parte del mecanismo ni la
añade al estado desplegado. Ciertamente para el uso que se pretende
de apertura y cierre indiscriminados, no es apropiado complicar el
330
Proceso de montaje o el paso a estructura. Por otra parte, añadir barras a las caras exteriores, como se ha hecho con el mismo „ e o a nismo en el capítulo anterior, desplegando en horizontal, tampoco facilita el uso ya que el plegado va aumentando la altura del pague
te de barras y se puede calificar de poco compacto.
Una soluci6n que miminiza esto, damdo canto y rigidez se puede componer usando la viga de celosía triangulada vista en 5.5.2 "Compara
oiones con otras vigas trianguladas" pag.
.puede
£ormar
parte
de un emparrillado manteniendo comunes determinados montantes en
-
los cruces de vigas ortogonales, (dependiendo de replanteo y e n l a ces de las partes elegidas). Puede emplearse porque el estado de
Plegado tiene una altura del pacuete
lfl=
1^ « ^
con
gran partg
_
de los montantes (l-a> iffl sobresaliendo como barras aisladas en la
cara que no soporta paneles.
Su desventaja más sobresaliente respecto al diseño de Pinero es que
no se transforma en un mecanismo de un grado de libertad. Cada viga
triangulada es isostatica (G=0). si se quiere plegar hay que incluir
una libertad en cada dos triángulos adyecentes para podemos d e s h a cer: además de la libertad de giro en los nudos es preciso incluir
una libertad de desplazamiento. Si se añade al
enlace montante-nu
do, se pliega con una cierta"limpieza". Los grados de libertad que resultan, son tantos como deslizamientos, es decir tantos como mon*
337
tantes
(no es necesario demostrarlo empleando la expresión del Criterio
General de Movilidad). Parece una tarea imposible plegarla como si solo
tuviese un único movimiento. Seria necesario tirar de mas puntos que los
cuatro que figuran en el proyecto (que para el otro mecanismo son excesivos) para obtener un.movimiento poco desordenado.
7Bj-ESTRUCTURA
Es un emparrillado apoyado en cuatro puntos. Las vigas componentes están
dispuestas en diagonal respecto al recuadro. Tienen altura variable desde 0,8 m. hasta la correspondiente de las barras componentes, y por consiguiente inercia variable. La situación de los apoyos hace que el 20%
de la superficie del emparrillado esté "entre pilares" y el 80% "en voladizo".
Se ha realizado el análisis para dos hipótesis de carga: I, paralela, y
II normal al plano del emparrillado, equivalentes a las direcciones de
2
peso propio y viento. La cuantía, q/m - 1.
En la primera hipótesis el traslado de lacarga se hace casi por lineas
horizontales. Las solicitaciones más desfavorables se encuentran en las
"x" cercanas a los apoyos contenidos en el eje de simetría vertical; es
como si recogiesen la carga de las partes en doble voladizo. Las reaccio
nes se representan en la figura.
332
La segunda hipótesis, trasladando cargas normales ai-plano del emparrilla_
do, es la de peor respuesta dada la rigidez de la estructura. Las vigas
que "diagonalizan" el recuadro, las más largas, son las que recogen gran
parte de la carga. Las cuatro situadas en recuadro a 459 que une los apo_
yos, por su menor longitud y deformación, hacen de apoyo a -stas más lar_
gas recogiendo su carga, y siendo las mas solicitadas a esfuerzos normales.
Los máximos flectores debidos a la carga, se encuentran en el centro de
las vigas más largas. Momentos torsores y otros flectores procedentes de.
las coacciones al movimiento se encuentran alrededor de los apoyos.
En ambas hipótesis de carga, los montantes, con su unión definida como
apoyo a tope, no son solicitados.
333
Cora
Supvtor
CORTANTES
MOMENTOS K
HIPÓTESIS DE CARGA PARALELA AL PLANO DEL EMPARRILLADO
NORMALES
Cara
Coro
Superior
Superior
— COMPRE SI OH
NORMALES
MOMENTOS «•
CORTANTES
Coro
Inferior
HIPÓTESIS DE CARGA NORMAL AL PLANO DEL EMPARRILLADO
TRACCIOW
7.7j-
EN RESUMEN
Este proyecto es un sistema magnífico de empaquetar un pía
no, no acompañado de una estructura dotada de la rigidez
necesaria para soportar grandes esfuerzos debidos a grandes luces sin deformación excesiva, y válido fuera de la
gravedad de la Tierra, donde la NASA lo pudo haber utilizado de haber aceptado el ofrecimiento de Piáaero.
336
APÉNDICE A LA PARTE 2A
MALLA DE DOBLES TETRAEDROS, DESPLEGABLE SEGÚN UNA SUPER
FICIE PLANA
A-l.-MECANISMO
Hasta aquí se han estudiado mecanismos base de "x" y sus emparri—
liados de vigas de celosía que dan una retícula de cuadrados, por
haberse empleado en su generación dos direcciones ortogonales de planos verticales: las unidades componentes osan prismas de base cuadrada con formas diversas de situar las barras-aristas de las bases.
Ahora nos parece oportuno comentar otro MECANISMO (Y ESTRUCTURA) posible configurado con las "vigas" en "x", aunque no esxista ningún proyecto ni modelo de Pérez Pinero realizado; solo un comentario al definir el contenido de su primera patente (de 1961), de la
que nos ocuparemos en la parte siguiente. -
El MECANISMO BASE se ejecuta con cadenas de "x" contenidad en el plano, dispuestas según tres direcciones, sin que coincidan en la
misma vertical los nudos de las caras superior e inferior. Los pía
337
nos
que las contienen quedan inclinados, enlazadas de tal forma -
que
a los nudos de las caras van .tres barras y en los nudos del -
espesor se cruzan tres barras. La unidad básica es una doble pirámi_
de de base triangular (puede ser un doble tetraedro) de la cual por
ahora solo se han materializado con barras las aristas al vértice
común,
Cada "viga" en "x" plana, aunque esté inclinada, tiene un grado de
libertad y se le coacciona todo movimiento añadiendo una barra. El
tipo de nudo empleado es el mismo que se ha visto antes, con tres
vastagos en vez de cuatro: se dispone de forma que el plano que con.
tiene los vastagos sea paralelo al que forma el mecanismo desplega_
do, siendo los agujeros de las barras para el enlace los mismos
—
(perpendiculares a la directriz de la barra) que los de los mecanismos vistos hasta ahora: la barra enlaza nudos desplazados de la ver
tical y puede girar hasta colocarlos en vertical.
Se tienen "x" planas en tres direcciones que se cruzan en el nudo
intermedio: una barra coacciona el movimiento en una dirección y
MECANISMO BASE DE BARRAS
EN X , DE TRES GRADOS
DE
dos nudos comunes de las otras dos; otra barra mas, coacciona el rao
vimiento de esa dirección y los nudos comunes a las otras; pero t o —
LIBERTAD
davía existe un giro que aceca las dos anteriores; hay que colocar
O
•
• ^
NUDOS CARA SUPERIOR
NUDOS CARA INFERIOR
una tercera barra para inmovilizar: el mecanismo base tiene TRES
NUDOS INTERMEDIOS DE CRUCE
GRADOS DE LIBERTAD.
238
Visto de^otra forma, desde las unidades básicas, las dobles pirámides: si se materializa una arista de una base, esta barra inmoviliza dos nudos (y los dos opuestos); otra barra más, crea otro triángulo con el vértice común e inmoviliza otro nudo (y el opuesto); pe
ro todavía existe la posibilidad de que ios planos de estos dos
triángulos
creados giren y se plieguen en uno solo, por lo que es
necesario añadir una barra más. Por tanto necesitamos inmovilizar cada uno de los tres planos, que solo tienen en común un nudo. Fijos
los seis nudos, las barras en "x" que abarcan tres nudos, extienden
la inmovilidad al resto,
A este mecanismo base con tres grados de libertad, se le pueden
añadir barras en las caras (cordones) al estilo dela'Cúpula para
—
grandes luces" en que hay una retícula exagonal en la cara supe
rior. Se pueden añadir hasta su total triangulación y ver como se
puede convertir en plegable: totalmente triangulada hay barras en_
tré cada nudo y todo sus adyacentes (seis) ; están materializadas fe
todas las aristas de las bases de las dobles pirámides.Para que se pueda plegar hay que deshacer todos los triángulos. Para ello en cada barra de la cara se desenlaza un extremo y se mantiene enlaza_
do el otro. Por ejemplo se puede hacer que "a" quede fijo en 1 y
libre en 2; "b" fijo en 1 y libre en 3 y "c" fijo en 3 y libre en
2. Se tiene que desdoblar los nudos 2 y 3: el 2 en dos partes tales que en una quedan las barras del mecanismo base y en la otra
las "a" y "c" de esta pirámide (más cuatro de las adyacentes); el
339
nudo 3 se desdobla en dos partes tales que en una quedan las tres
barras del mecanismo base y otras dos más de las pirámides adyacen
tes f el nudo 1 queda con todas sus barras (seis + tres) enlazadas.
Lo mismo para la otra cara con la otra pirámide.
Durante el movimiento de plegado los nudos desdoblados se despla—
zan en vertical mientras se achican los triángulos equiláteros de
la retícula de nudos base: las longitudes de los lados equiláte
?
ros ahora sen proyección de las barras que se inclinan para plegar_
se.
Las condiciones geométricas para que sea posible el movimiento son^
que las barras en "x" sean iguales con el enlace intermedio a la mitad de la barra, y que las de las caras sean iguales para que ¡~M
formen una retícula de triángulos equiláteros ) que mientras se va
plegando, desde los vértices 2 sean posibles las pirámides de base
exágonal, y desde los vértices 3 las de base triangular, hasta que
las barras de las cara--se junten en vertical. El mecanismo base de
diagonales en "x" mantienen sus nudos en planos componiendo retícu
las semejantes de exágonos regulares divisibles en seis triángulos
equiláteros: alrededor de cada nudo están los 36Q°correspondientes
a 6 por 60°.
Hay que hacer notar que este mecanismo se pliega bien cuando se
aplican tres fuerzas en tres direcciones a 120?; esto hace que el
movimiento total parezca comoúnico obligado.
340
A-2,-VARIANTE DE MECANISMO
Si se sigue manteniendo las cadenas de "x" en los planos vertica—
les perpendiculares al de desplegado, existe otra posibilidad: podemos organizar estas "vigas" planas en "x" de un grado de l i b e r —
tad, según tres direcciones de manera que los nudos de las caras estén en la misma vertical. Las unidades básicas son prismas de ba
se triangular equilátera. Interceptan planos verticales en tres
direcciones; el corte en una recta. Si la materializamos con una barra corta al movimiento de las tres direcciones al mismo tiempo.
El mecanismo base tiene UN GRADO DE LIBERTAD.
Los nudos de las caras describen una reticula triangular equilátera. Cada nudo recoge a seis barras del mecanismo y en el espesor
solo hay nudos de cruce de dos barras. Se simplifican sotablemente
estos pero se complican los de las caras, y lo podemos complicar :^
más aun cruzando planos con "x" por los nudos de cruce del espesor
como se hacia en los mecanismos de retícula cuadrada y quedaría di
vidido cada triángulo equilátero en cuatro.
También podemos materializar las aristas de las bases de los prismas hasta completar las retículas de triángulos equiláteros en las
caras, llegando seis nuevas barras a cada nudo de cara. Kl proceso
341
de desenlazado de las barras para el plegado, así como las c o n d i —
clones geométricas para que sea posible son exactamente igual que
antes.
El paso de mecanismo a estructura se realiza siempre igual, atorni
liando las partes de nudos divididos en las caras. Solo existen en
la estructura enlaces con libertad de giro que no es preciso c o a —
ccionar.
A-3.-ESTRUCTURAS
Como se ha hecho en el capitulo VII con los emparrillados en retícula de cuadrados, a los mecanismos de este apéndice se le pueden
añadir barras en las caras superior e inferior, en la medida que se quiera, desde las tres (o una) necesarias para cortar todo movimiento hasta la total triangulación de ambas caras En a- primer caso
los tipos de esfuerzo de las barras serán N, M, T y en otros solo
normales. El tipo de estructura que da la total triangulación es asimilable a una placa.
342
ESTRUCTURA
ESTRUCTURA
ESTRUCTURA
MECANISMO
BARRAS
EN
COMPUESTA
BASE (
)
COMPUESTA
Y
AMBAS CARAS
SEGÚN UNA RED TRIANGULAR
MECANISMO
BASE {
BARRAS EN
AMBAS CARAS ( -
SEGÚN UNA
RED
Y
EXÁGONOS
DE
3
COMPUESTA
OE
DE
DE
Y
}
TRIÁNGULOS
MECANISMO BASE (
> Y BARRAS
EN AMBAS CARAS (
.)
UNA RED
EXAGONAL
SEGÚN
CONCLUSIONES A LAS ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPER
FICÍES PLANAS
DE LOS MECANISMOS BASE
Los mecanismo analizados en los Capítulos V, VI y VII
son todos de
UN GRADO DE LIBERTAD, esto e s , tienen un
único movimiento obligado para todas las barras: que el
mecanismo esté diseñado con G = 1 es la condición más deseable porque el paquete de componentes se conserva compacto y completamente ordenado durante el movimiento;
al ser éste único, va disponiendo en cada instante los nudos ordenados en cuadrículas semejantes a la final: el paquete-mecanismo
tridimensional se "expande" mate1)
rializando todos sus volúmenes semejantes.
1) Todas las estructuras trianguladas
de barras usuales se pueden plegar
si, disponiendo del diseño de nudo
adecuado, se deshacen todos los —
triángulos, generalmente de dos en
dos, y se van plegando conforme se
deshacen. En su transformación en
mecanismo, se incluyen como mínimo
tantos grados de libertad como la
mitad de los triángulos existentes
Esto se ha logrado fácilmente en el plano, usando barras en "x" que enlazan al menos tres nudos,
"propagan" su libertad de-movimiento
los cuales
( o su coacción-a
él ) a los nudos de enlace con las "x" adyacentes, y en
344
el
espacio,
por usar
de estas
cadenas de "x" contenidas en planos ortogonales,
/ en que
las rectas de corte contienen dos nudos de extremo de las "x"
Una sola barra que una dos de estos nudos materializando la
recta de corte, inmoviliza todo el mecanismo.
En el mecanismo analizado en el apéndice, se tienen TRES GRA
DOS DE LIBERTAD, porque en el espacio los planos que contienen las cadenas de "x" se cortan en un solo punto. Para que
el movimiento parezca único y mantenga ordenado el paquete de componentes se debe desplegar tirando de tres direcciones
a 1202.
Las condiciones geométricas para que sea posible el movimien
to de principio a fin se cumplen disponiendo el nudo o nudos
centrales de las "x" a distancias iguales, es decir, dividien
do las barras en "x" en tramos iguales entre nudos, para que
al unirse, los cuadriláteros que definan sean rombos. Todos los enlaces a los nudos son verdaderas articulaciones de giro.
DE LOS MECANISMOS COMPLEJOS
Se puede mantener el único grado de libertad añadiendo barras
345
al mecanismo base: Si se añaden barras en las caras, en la medida que se deseen hasta completar cuatro enlaces por nudo,
estas deben comprender la longitud entre dos nudos contiguos,
es decir, formar parte de solo dos nudos. En la fase de meca
nismo se mantendrán enlazadas a un nudo y desenlazadas del otro. Cada barra formará parte de un triangulo cuando el . otro enlace se verifique.
Si se añaden barras en el espesor (haya o no en las caras)
se materializan diagonales verticales de los rombos: cada ba
rra añadida forma parte de dos triángulos. Durante la fase de mecanismo se deshacen estos triángulos, Poniéndolos y qui_
tándolos cada vez- o diseñando las" barras telescópicas para que se
mantengan la compatibilidad geométrica durante el movimiento
Tanto con barras en las caras como telescópicas en el e s p e —
sor, el mecanismo completo que se hará estructura, puede lie
var empaquetadas todas sus barras.
Los enlaces a los nudos de las nuevas barras de las caras son también articulaciones de giro. Los de las barras del espesor son fijos (atornilladas); las telescópicas incluyen
una libertad de deslizamiento.
346
DE LOS NUDOS
Solo se ha estudiado el tipo de nudo diseñado por Pinero. Bá
sicamente es un prisma de que salen.normales a sus caras laterales t los ejes de giro que posibilitan la libertad de giro de los enlaces de las barras del mecanismo. Sus. venta jas principaLes son inclaro funcionamiento y la facilidad de monta
je de las barras en esvástica.
En este caso el prisma es de bases cuadradas porque enlazan
cuatro barras del mecanismo base, pero pueden ser exagonales
u .octogonales si se disponen mecanismos que contengan seis u
ocho barras ..
Los enlaces de las barras que se añaden en las caras deben contener su eje de giro en las aristas de las "bases; del ' prisma. Pinero,para sus desplegables planas, no ejecutó ninguno: atornillaba en la-dirección del eje vertical.
Su principal desventaja
de barras ño plegables
e j es de las barras se
tagos que materializan
flexión y cortante. El
347
frente a las estructuras trianguladas
', es que no se consigue que los corten en un solo punto. Todos los vá_s
los ejes de giro serán sometidos a equilibrio se verifica en el macizo
del prisma,
Esta caractrlstica se puede obviar en parte enlazando todas
las barras igual que las que se añaden en las caras, forman
do anillos a distintos niveles,pero no se puede suprimir esta
penalizacion. Es necesario para que sea posible la movilidad.
DEL PASO DE MECANISMO A ESTRUCTURA: MONTAJE
En el mecanismo base, en cada momento que se quiera parar el desplegado, los nudos están "replanteados". Se pueden añadir barras por líneas, nivelar y otornillar. Así coexis—
tirana nudos con con articulación de giro, verdaderos y fa_l
sos.
Con el mecanismo completo, con todas las barras que lo harán estructura, solo esposible la situación final de desple
gado; en ella solo hay que enlazar un extremo de cada barra
de las caras. Se puede coaccionar la libertad de desliza
miento de las barras telescópicas si las hay, bien mediante
rosca o simplemente por tope que impida el avance pero no
el retroceso. En el mecanismo que contiene todas las b a r —
ras están tan determinadas las posiciones finales por las
longitudes de las que se añaden al mecanismo base, que no es
348
preciso nivelar. Obviamente no es preciso coaccionar las libertades de giro de los enlaces articulados.
Dada esta sencillez, para luces muy grandes, se puede transportar el mecanismo completo en partes manejables, pues su ensamblaje solo consiste en restituir enlaces de giro entre
barrasy nudos .
DE LAS ESTRUCTURAS
Las estructuras posibles que se analizan en los capitulos V,
VI, VII, son todos los emparrillados, salvo la solución de Pinero al "Pabellón
" que es más acertado considerarlo
una serie de cerchas. Estos emparrillados están compuestos casi siempre por vigas de celosxa planas de inercia constante
o variable en los que siempre coinciden en la misma vertical
un nudo de cada cara. La solución del Capitulo V no emplea.,
barras en las caras pero no por ello deja de ser un emparrillado compuesto por vigas de celosía de canto constante.
En el resumen de la página 314 se puede ver que algunos dise
ños se acercan al comportamiento como placas, y los que r e —
sultán de coaccionar mínimamente dos mecanismo base no tie-
349
nen un campo de aplicación interesante.
En el mecanismo estudiado en el Apéndice, se pueden conseguir
placas con las caras completamente trianguladas.
Muchas de las soluciones planteadas se pueden emplear para w
grandes luces, en el mismo campo de uso que los no desplegables, pues se consiguen valores de inercia similares en las
vigas de celosía componentes.
Contra la ventaja de la plegabilidad y lo que eso conlleva de isustituible, hay que decir que muchos diseños de emparri
liados no plegables emplean menos longitudes totales de b a —
rras, aunque, para las mismas carga y luz, están sometidos a
mayores esfuerzos (están"concentrados" en menos barras)-Pero con ser ésto
interesante, la mayor ventaja sobre las plegables (de un gra
do de libertad) en que tienen un significativo menos número
de piezas de nudo, para cuadriculas similares.
350
DE EMILIO PÉREZ PINERO
Las aportaciones de Pinero reflejadas en esta parte, son los
dos mecanismos base, de "x" dobles y montantes, (capitulo V)
y' de "x" sencillas (capitulos Vi y VII) montados partiendo de la acertada elección de la unidad elemental de movimiento.
Es interesante que sea una solución espacial con un único mo
vimiento. La autora no ha encontrado ninguna anterior a éstos,
Tiene las ventajas de su manejo fácil y, como se ha intentado
mostrar, abundantes posibilidades. También es interesante su
diseño de nudo, y muy ingeniosos los tipos de soportes e m pleados en las soluciones concretas para no complicar el mon
ta'j e.
Las soluciones estructurales no lo son tanto. No obstante en
los años 60 no estaba completamente decantada la diferencia
conceptual entre emparrillados y placas, y se han necesitado veinte años para llegar a denominar por completo soluciones de estructuras espaciales de caras planas no plegables
con verdadera depuración del mínimo de barras, como los llamadas de diagonales sobre cuadrados, a partir de los emparri
liados en pirámide cuadrada, o la'S de tetraedros enlazados -
351
casi en retícula de panal a partir de la placa de tetraedros
El tiempo empleado por Pinero en la definición de sus m e c a —
nismos es comparativamente menor, aunque no pudiera dar una
explicación teórica adecuada a sus soluciones.
352
PARTE 3£
ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES CURVAS
CAPITULO VIII:
ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE ESFÉRICA
8,1,- TIPOS BÁSICOS
Los cuatro tipos básicos que se pueden configurar utilizando las barras en "x" de la forma descrita en los mecanismos desplegables según una s u —
perficie plana , tienen las siguientes particularidades en la superficie
esférica:
- La retícula de cuadrados,trasladada 'a dos superficies esféricas concéntricas bien por planos perpendiculares al plano H de reticulado, bien a
través de rectas desde un solo punto (polo), da por resultado que los arcos de corte {paralelos o meridianos) se aproximan con cuerdas a,b,c,d,desiguales, transformándose en cuadriláteros todos distintos, salvo simetrías. Las unidades básicas 'son o prismas o troncos de pirámide de base tcuadrandular. En cualquier caso las "x" están en el plano de paralelo o meridiano que trasladó la retícula, encontrándose el punto de cruce P satisfaciendo la curvatura adecuada. En este tipo, a cada rmdo^de las caras
superior e inferior, llegan cuatro barras, y los puntos de cruce son de dos barras.
354
Las parejas de nudos en ambas caras están contenidas en la misma recta,
normal o a la curvatura
caso de que el polo sea el centro de la esfera.
- La retícula plana de triángulos rectángulos que resulta de diagonali-r. zar el cuadrado, se convierte en retícula de escalenos distintos, con la
dificultad añadida de que las "x" cuya proyección es la diagonal del cua
drado hipotenusa del triángulo, no tienen
n
sus cuatro extremos en el mis-
mo plano•es preciso posibilitar la recta de corte con otros dos nudos.
En este tipo a cada nudo de las caras, llegan seis barras (excepto en ios
dos nuevos * necesarios) y en el interior se cruzan dos..
- Una retícula de triángulos equiláteros en el plano, se puede trasladar
a la esfera según un gran número y variedad de procedimientos. Uno de
ellos es el estudiado en la Parte II para las cúpulas desmontables de Pérez Pinero ;trasladar cada vértice del triangulado en el plano a través de una proyección radical desde el centro, es el procedimiento mas usual,
y es lo mismo trasladar una línea entera, con sus divisiones iguales,dando
el i corte con la esfera del plano que forman dicha recta y el centro^
las intersecciones son arcos de meridiano aproximados mediante cuerdas desiguales. Las unidades básicas son troncos de pirámide de base escalena y son todas distintas, salvo simetrías. Las caras latera-les de estos troncos de pirámides, en que se disponen las barras en "x",
son siempre planas,- el punto de cruce P de cada una estará satisfaciendo
la curvatura del arco de meridiano de corte. A cada nudo de las caras llegan seis b a —
35 5
rras y en el interior se cruzan dos barras. Las párelas de nudos de cada
cara están situadas sobre la misma recta de traslado, la normal a la curvatura si el polo elecrido es el centro de la esfera.
Todas las disposiciones eme se loerran con "x" simples (crue en los nudos del interior se corten dos barras) dan mecanismos de un arado de libertad
Su caracteriística común es la de sustituir cada barra de la poligonal de
cuerdas""' -±oe aproxima un meridiano
esa
.
en el plano, es decii , q"e
barra no deja de ser la proyección de la "x", y su sección
la suma de las dos en la "x".
- Por último, el tipo desarrollado por Emilio Pérez Pinero para la esfera
contienen dos retículas trianguladas distintas para cada cara, y también
los nudos inferiores de cruce forman retícula triangular en una superfi—
cié esférica intermedia. Se puede definir como resultante del traslado de
una retícula equilátera en el plano TI hasta una superficie esférica; los
puntos dados se toman como de cruce P, interiores; por ellos se cruzan tres barras en el espacio que forman "x" dos a dos; sus extremos se r e ú nen de tres en tres en nudos superiores e inferiores
fuera del plano que
contiene la poligonal P., dando lugar a las dos retículas distintas de las caras. Resultan unidades componentes en forma de doble pirámide con el vértice P-^ común. Como su homologa, desplegable según una superficie plana, se consigue un mecanismo base de tres grados de libertad.
356
Cronológicamente el mecanismo de Pérez Pinero es el primero (1961) que
fué diseñado. Los otros tres tipos son el resumen de mecanismos desarro-llados después por diversos autores, atendiendo 6.1 criterio de utiliza—ción de barras en "x".
8.2,- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA
La compatibij-idad geométrica que se le pide al mecanismo, desde el estado de plegado hasta el desplegado final, tiene que cumplir los siguien—
tes requisitos:
EN'EL ESTADO DE PLEGADO: Las barras en "x" tienen que sumar la misma longitud, al menos desde el punto de cruce de una hasta la contigua, i n d e —
pendientemente de donde se situé ese punto interior.
EN EL ESTADO DE DESPLEGADO FINAL: A los nudos de las caras y a los de
-
cruce se .les pide que estén en superficies esféricas. Las distancias entre ellos, AB, BC, .... cuerdas de arcos de meridiano de amplitud
a
if
-»
forman un reticalacio de triángulos escalenos,usando cualquier tipo de
traslado de la retícula equilátera a las esferas. Los ángulos a j son fun
ción del ángulo de. apertura del casquete de esfera en su estado de des--_
plegado. Por otra parte las cuerdas AB, BC,. .. son proyección de los bra
35?
zos de las "x" desde el punte de cruce P, esté como esté orientado r e s —
pecto al centro de las esferas
el plano que contiene a cada una.
EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS: El ángulo de apertura del casquete es variable de 02 a a, así como el radio, de
R a » que corresponde al cilin—
dro del casquete plegado.
A los distintos estados intermedios les corresponde R y a distinto. Si se plegara disminuyendo el radio de curvatura (como un "globo"), el angu
lo a se mantendría constante. De este modo en las distintas esferas se mantiene una sola razó¿..de semejanza; los triángulos escalenos de las dis_
tintas esferas tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, • -consiguiendo que la variación de las longitudes de los lados acompañen a
la variación de la proyección de las "x" al variar el ángulo de desplega^
do 3, igual para todas.
Pero la forma usual y fácilmente realizable, consiste en plegarlo aumentando el radio de curvatura (como un "acordeón"). Las relaciones que ligan las longitudes dé los triángulos escalenos de las esferas, dependen
de las dos variables R y a; no hay una razón de semejanza: los escalenos
de las distintas posiciones nada tienen que ver entre sí, ni en sus la-idos ni en sus ángulos.
1
a, ~2R. sen a./2
a =2R 2 sen ot^/2
a n = 2R n sen r c£ /.2
358
8.3,-CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA MECANISMOS TRIANGULA
DOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
.8.3.1.-COMPATIBILIDAD EN EL ESTADO DE DESPLEGADO FINAL
Se efectúa el planteamiento para el raecanismo descrito en tercer lugar en el apartado 8.1. En cada unidad componente, en principio, los puntos
A,B ,C
,K\B\<Z\
son puntos situados en esferas concéntricas (espesor h,
constante). Las barras en "x" corresponden a la diagonalización de los ~
trapecios isósceles ABA1 B' , A C A ' C y BCB'C
, todos distintos y situados
cada uno en un plano que pasa por el centro 0 de las esferas.
Los puntos de cruce P están situados en el eje de simetría. Su proye
cción en el plano IPde la retícula equilátera corresponde al centro de los lados. Uniendo estas proyecciones se divide cada equilátero en c u a —
tro, pero por sí solos no forman retícula en el plano n
Diagonalizando cada trapecio se tienen las siguientes relaciones:
i
a
__ R sen g^/2
a- :cos£
eos a
a
a
V
a'
= (R-h) senaa/2
a eos S
eos 3
i
=
b
359
_i
eos &
;.
tí
1
b costx
c cosa
c
1 = C
c
cosa
c
Por otra parte, las condiciones que se tienen que cumplir en el estado de plegado, en que A,P,í! están en la vertical lo mismo que B,P,B' y C,P,C
1
a
+ 1 ,
= 1 + 1 ,
b -
a' :•
b
1 +1.-1
+ 1,
b
b e
c
1 + 1 .= 1 + 1,
c
c
a
a
SEGÚN ESTO:
1 + 1 ,.= 1, + 1. , = 1
a
a
b
b
c
+ 1
c
Sisustituimos por su valor en función de R y a. se comprueba que es una
relación imposible:
, D ,„ ,,isen a a /2 - (2 R~h)
*
R+ÍR h,
- fei-3
a
5e
C
" %/2
S
° ^b
= (2*~h)
s e n
COSa
V
2
c/2
a
Además, con un grado de libertad (G=l) es incuestionable que en cada IDO
mentó el valor de 8 único para todas las "x". Consecuencia de esto es que los puntos A,B ,C,Á,B',Cl, no están
360
sobre las superficies.
Para poder dar la dimensión de las barras de las "x" que sea compatible
hay que partir de la retícula incompleta de los puntos P en el plano íír,
transladarlos a una superficie esférica definida por R y a, la,cadena
de "x" que se pueden trazarestan contenidos en planos en tres direcciones., y por último dar el ángulo j3 de desplegado de las "x". Se llega a
los siguientes valores, dadas para cada mitad de "x":
R sen a/2
eos (3+ot./2)
i
Donde ahora a. es el ángulo comprendido entre dos radios de OP.y OP.
•
Se puede consultar el estudio, que desde otro punto de vista, realiza R.C,Clark{"The kinematics of a novel deployable space structure system"
Third International-.:Sonference on Space Structures. Pag.^820, Ed: Elsevier. 1.984) sobre la tienda de campaña en forma de icosa_e
dro esférico de T.R. Zeigler, ( Patente n° 4.026.313 USA,de 31 de Mayo de 1.977) resuelta según' este modelo de mecanismo.
8.3.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS
Aceptando que los nudos A,B.. no están en superficies esféricas ( y no
hay eje de simetría en las caras laterales de la unidad básica) , los lados de las bases 2a , 2 b. ...en función de los datos de la "x", valen:
361
2
2
2
2
+ m' = 21 m eos (180-2g) * 1 + m - 21 m cos2S
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
(2 b ) = l + m - 21 m^cos 23
(2a)
2
=1
( 2 c ) 2 = l 2 + m2 - 2 1 m eos 28
c e
donde 1 y in, se mantienen c o n s t a n t e s , y e l á n g u l o de d e s p l e g a d o 6 v a r i a
en función de R y a.
según l a s
eos (a /2+3 )=
i
'
relaciones:
^ir-1.
i
,
,„ ., Rsena . -/2
eos (a./2 +3)
i+l ¿ —
No dan valores concordantes.
Los triángulos escalenos que se generan en cada-instante del movimiento
proyectando la "x" según la tangente a la esfera en cada P., las 1 . 1
,
i
i i+l'
en función del 6 de cada instante, todo ello datos de cada "x", no son
los mismos que se generan trasladando la retícula equilátera del plano fl a
las superficies esféricas de R y "x" variables en cada instante.
Clark se pronuncia sobre ello diciendo que la suma de ángulos alrededor
de cada nudo de las caras en que se juntan seis barras, no es 3602, sino
variable con S.
La incompatibilidad geométrica para los estados intermedios de movimiento,
aparece bien clara y manifiesta en los detalles que Zeigler incluye en su
patente referentes al nudo de cruce P, para que el movimiento siga siendo
posible.
362
n-
^OTE MECANISMO
n
U.S. Patent
M.**."
Slwd 1 llf
77
a;
FIG.t
•í i
4
4,026,313
M
~;
* a ñe campaña
» L a estructura i. ^
^
segura
" £ Ligler resulta ^ ^ a z f e , lD na y
* » l a S ^ a ' - f desplegada se tiene la
363
„x.. partiendo de que en los
8,4.-CONDICIONES DE COMPATIBILIDAD PARA EL MECANISMO DE
EMILIO PÉREZ PINERO
8.4.1.-COMPATIBILIDAD EN EL ESTADO DESPLEGADO FINAL
Se trata del mecanismo en que se cruzan o acaban tres barras en "x" según ~
que el nudo sea del interioro de las superficies, resultando compuesto de unidades en forma de doble pirámide con el vértice común. Se vio en el apartado 8.1, en último lugar.
Si se empieza por adecuarse a la curvatura de las dos esfereas concéntricas
mediante triángulos ABC, A'B'C', --.
Se trasladen sendas retículas planas
de triángulos equiláteros situados en un único plano
TI En general, en los -
lados de los triángulos resultantes en las esferas se tiene que a^B^c
a V b ' ^ c ' ,. abarcando por consiguiente estas cuerdas ángulos c¿. desiguales.
También se:.'tiene-que las rectas en "x" del espesor tienen longitudes dife-^^
rentes (Añ1'^ BB' ¿ CC7 ; gtíe no se cruzan es un único
punto P: para un c a s —
quete de esfera de 10 m. de radio exterior, 1 m. de espesor y amplitud de apertura 1202, si se determinan los valores de una unidad componente cercana a la clave, las diferencias de longitud de las "x" están alrededor de
7,5 eras, y, hallando P como cruce de dos de ellas, la tercera dista alrededor de 4 cms.; alejándose hacia los bordes en que las pendientes entre el plano TI y la esfera aumenta, las distancias a P de la tercera barra son ere
cientes. Por consuguiente para adecuarse a la curvatura de la esfera según
364
es^te procedimiento, es necesario doblar una de las tres barras del manojo "
"x" para que concurrar en P. Con a,b, y c distintos en cada unidad componen
te, el ángulo de desplegado es distinto, manteniéndose en cada dirección, situación en principio posible por tener el mecanismo base tres grados de
libertad. El paquete plegado resultante no es completamente compacto.
La única forma conveniente de abordarlo consiste en trasladar una sola retí
cula equilátera desde el plano JI a una sola esfera; los vértices de los =*triángulos escalenos resultantes se toman como puntos de cruce P
d^ los i
grupos de tres barras en "x'feneste mecanismo, los puntos de cruce P. , for—*
man una retícula triangular completa, cada recta del plano II se transforma
en una poligonal contenida en el plano determinado por la recta y el centro
de la esfera. Los grupos de tres barras disponen sus extremos desplazados
por delante y detrás de este plano. Por otra parte, cada dos barras en "x"
forman (son) un plano. Si recorremos la diagonal"pinchando" en P
las "x" i
se va envolviendo con una superficie alabeada compuesta de trozos de planos
ABAlB, BCB'C
que se cortan en las líneas AÁ7 ,~BB',
las cuales no pa-
san por el centro de la esfera. Idealmente esos puntos A, A'
estarán en
dos esferas concéntricas superior e inferior a la que contiene los puntos p
i
sin pertenecer cada pareja al mismo radio.
Entre la poligonal y la "x" quedan definidos triángulos AP P
yos planos se cortan en la recta F
P
A'"P P 9 cu-
También triángulos AP. A', AP0A* C U - -
yos planos se cortan en la recta AA7' en los que podemos fijar el ángulo de
365
desplegado o de apertura de las "x".
En el mecanismo existen en estas condiciones tres direcciones. Si se estu'dia un conjunto de tres unidades básicas con un nudo superior común, como se muestra en la figura, incluye un cuadrilátero móvil en cada dirección: A P ^ ' P 2 , A P 2 C P3. Y AP 1 B I P3-
La compatibilidad geométrica en el estado de Dlegado recmiere:
l+l1 = m + m'
4
m+m"' = n+n''
l+l'5- n+n'
Para buscar la compatibilidad geométrica en el estado final de desplegado se parte de que:
~ Cada dos barras que forman "x" están en un plano el cual se corta con los
adyacentes en la recta que pasa por los nudos extremos comunes situados en
las caras.
- El mecanismo base de tres grados de libertad, se compone de "x" en tres direcciones y cada una puede tener un ángulo de desplegado distinto:
- Dentro de una dirección el .-ángulo 3 es el mismo puesto que la "cadena" ~
366
tiene un grado de libertad; al variar los extremos AB'" . . .de una "x" se va
rían los de las adyacentes manteniendo la recta común de corte, y así sucesivamente .
Por pertenecer los puntos P. a una esfera de radio R, las distancias entre
ellos, en función de R y a, son: (figura página anterior).
a = 2Rsena
/2
b = 2Rsena
/2
c = 2Rsenct
/2
Si por los puntos P. trazamos la tangente a la esfera de radio R, entre cada dos adyacentes se cortan en puntos T. ParticulariEando en una dirección
de las tres, T pertenece al plano P.,OP„ y se halla sobre la recta que divié
de en dos partes iguales al segmento P..P.., =a.
Por otra parte. Las rectas P.T y P„T lo son del plano de cada "x" y dividen
el ángulo de desplegado en dos iguales 6.„ (son las rectas sobre las que va
girando el plano que contiene la "x" durante el movimiento, dando las d i s —
tintas esferas hasta situarse juntas en vertical}.
Desde P
367
a P
hay cuatro triángulos:
- P^AT y P AT tiene común el lado AT e iguales el ángulo &
y los lados -
P7f = P T
- P
B' T y P B' T igualmente B'T, B
y P T = PTT
Siendo los triángulos iguales dos a dos, se tiene:
I = m
II = m '
En las otras direcciones:
1 = n
Por consiguiente:
1 = m = n
Las aristas de la pirámide que tiene por vértices A, P , P , P
ñí"
;
y también.
- n", con vértice en C'-
l1' =
n*
con vértice en B1.
Se ha deducido por ahora, que los falsos cuadriláteros (no son planos) que
forman los brazos de las "x", tienen las lados iguales dos a dos, que en ca.
da pirámide, que forman los puntos P. y
los nudos de la cara superior, las
aristas a cada uno de estos nudos son iguales; que de estas tres barras 1,
368
cada una corresponde a una unidad componente de mecanismo (doble pirámide)
distinta.
Todavía quedan por definir V , m', n'para determinar las longitudes de cada
barra "x" del mecanismo base, y por conseguiente la situación del punto P
en cada una. Si se repite el razonamiento con una pirámide de base a, b, c
y vértice en un punto situado en la cara inferior:
- por el romboide P, P_ B' se tiene ll = m'
- por el romboide P
P
B' se tiene l1 = n*
- por el romboide P^, P„ B'se tiene nl = m 1
por consiguiente:
1' = nH^ n <
dependiendo este valor de a ,. ( R y
E.., datos de partida, y donde cada una
1
de las tres aristas l pertenece a una unidad componente (doble pirámide) del mecanismo.
En este mecanismo, a cada triángulo escaleno P.P P
del reticulado le co
rresponde un nudo superior o inferior: sobre cada triángulo hay que encon—
trar la pirámide que tiene por base el escaleno y por caras laterales los isósceles de lados iguales al vértice ;(superior e inferior) .
La traza de las barras en "x" en el plano n
369
r
corresponde a las líneas que
TRAZA
DE LAS BARRAS EN EL PLANO Vk
unen el baricentro de cada equilátero con los contiguos. Forman una red
triangular equilátera cuyo lado es igual a los dos tercios de la altura de
los equiláteros primeros. Trasladados esos puntos a la esfera de radio R, se puede conocer los ángulos y , y'
que abarcan los radios desde los puntos
P.próximos. Si por P„ trazamos la recta tangente a la esfera, contenida en
el plano AOA'P (el cual traslada cada recta AA)ytambién trazamos la normal
al radio {que traslada cada barimetro A , ñ M l o s ángulos que forman
normal
y tangente son los mismos ángulos centrales y, y' . Los puntos A y A' se en
cuentran desplazados de P„ distancias 1 y 1 ' respectivamente y formando el
ángulo 3 de desplegado con la tangente a la esfera.
En el plano A O A' P„, se tiene:
- En el triángulo rectángulo AQP,
QP
AP
= R sen y
- 1 = —— ¿
2
eos (y +6)
En el triángulo rectángulo A' Q' ?,
Q'P
= R senT'
1
2
370
o-1 p
eos ( 3- y)
Con lo que se Duede determinar la lonaitud de la b a r r a n la situación del punto de cruce P, conociendo los ángulos y ( R y 3 son datos).
Partiendo de los triángulos equiláteros iguales en un plano ^ f
en coordenadas
si s e
opera
cartesianas {es el camino más rápido: ver el desarrollo del
Capitulo II) el primer resultado que se obtiene en la esfera son las coorde
nadas de los puntos P. , seguidas de las longitudes de los lados de los
triángulos esféricos (escalenos) P.""P. y sus ángulos (es decir, la retícula
triangular de una capa).
En este caso no se ha hecho nada más que empezar el problema: los puntos Q
no están en la superficie de la esfera (entre ellos, o no mide R) y tampoco
se tiene el valor de los ángulos y . . . . ,
los triángulos OQ;P. . (Este problema
deducibles conociendo dos datos de
no se presenta en el mecanismo estudia_
do en el apartado anterior 8.3).
En este mecanismo cada triángulo esférico de vértices P., es la base de la
pirámide cuyas
caras laterales tienen por vértice común un nudo superior o
inferior del mecanismo. No hay ninguna excepción. Se ha demostrado que las
aristas a estos vértices comunes son de la misma longitud en cada pirámide.
Sus proyecciones en los triángulos de base son tres segmentos iguales {en cada
pirámide) por lo que
triángulo esférico escaleno.
371
los puntos Q son los circuncentros de cada
En un triángulo escaleno de lados a, b, c y ángulos A, B,,G conocidos, la distancia del circuncentro a los vértices:
+ C - A
2
a/2
b/2
=
= c/2
QA = QB = QC ="'
f — -B^ = eos
' c'
.donde « A + C -- B
eos' á. = — eos
.
c= A
y y = are. sen (^—)
Cada radio R que desde
= are. sen
pasa por los baricentros
Z
+ B
- C
(—^—)
A
de los equiláteros ;*-
iguales de II es normal a los tres segmentos QP, 0P„ , y QF
, en cada triángu
lo esférico, es decir, es normal al plano que constituye el triángulo y pasa por su circuncentro. El tramo desde el vértice (superior o inferior) a la báseles la altura de las pirámides de las que se esta hablando.
Cada barra AA1 de la "x" se compone de dos tramos AP, = 1 y A'P. =1
sitúa—
dos cada uno en una pirámide diferente, por lo que son todas de diferentes
longitudes salvo simetrías.
Piénsese que en cada instante del movimiento esas pirámides van a tener las
aristas al vértice, materializadas por barras de longitudes fijas 1, i
y ángulos
(y+3) (y-'B) variables, igualnente serán de longitud variable las -
.^aristas de la base, afortunadamente no materializadas por barras en este me
canismo.
3 72
8.4.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS
Cuando se pliega, aumentando el radio de curvatura, siendo otra esfera, cam
foian los triángulos escalenos P.P„....(en trazo fino) y los triángulos que
forman la retícula de baricentros (trazo fuerte y discontinuo). Ni los
triángulos en trazo fino ni los lados en trazo discontinuo están materializados por barras en el mecanismo: Solo cada "trípode" que concurre en cada
nudo
superior o inferior, enlazado con los adyacentes, por lo que se puede
ajustar a la superficie esférica- que sea.
Visto desde las unidades componentes, dobles pirámides
con el vértice
común: están enlazadas unas a otras por articulaciones. En cada pirámide
están materializadas por barras solo las aristas de las caras laterales al
vértice común. Con el ángulo de desplegado variable, se puede comformar
cualquier pirámide cambiando el triángulo de sus bases. También las articulaciones de enlace entre unas y otras pueden adecuarlas a cualquier posi
ción girando lo que sea necesario: los falsos .cuadriláteros (no están en un
plano) que definen entre unas y otras tienen un grado de libertad. Esta con
seguida la compatibilidad en todo momento.
3 73
CAPITULO IX:
TEATRO AMBULANTE PARA 5 0 0 ESPECTADORES
9.1,- DESCRIPCIÓN GENERAL
Se trata del anteproyecto con maqueta presentado en el apartado 1:1 del Capitulo I(Pag. 2 0 ) , correspondiente a la documentación para el concurso entre
estudiantes de Arquitectura, organizado por la U.I.A. Un jurado de profesio_
nales mundialmente famosos (R.B. Fuller, Ove Arup, F. Candela... JconcedióV .
.el primer premio a Emilio Pérez Pinero. Este trabajo se corresponde con la
descripción de la patente n2 266.801 del añol961, primera de Pinero (ver
anexo)
El diseño de la cubierta es el trabajo innovador. Se trata de un casquete de esfera de doble capa, espesor constante, totalmente triangulado y desple
gable, apoyado en seis puntos. En el único paquete lleva todas las barras y
la cubrición. Eligió la forma idónea de presentarlo para la comprensión inme_
diata de la organización espacial de las barras: una maqueta consistente en
un paquete de barras y cables que se desplegaba sola.
374
9.2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS
El MECANISMO BASE de unidades componentes en forma de dobles pirámides, está ordenado de forma que sus vértices comunes dan una proyección en el plano correspondiente a un exágono irregular reticulado
de triángulos equilá-
teros, e inscrito en la circunferencia del paralelo de apoyos. Dadas las
pendientes desiguales entre dos grupos de tres lados, la retícula corresponde
a un trozo de triángulo (de icosaedro u otro) delque se le han suprimido la
'aona de los vértices.
Las barras en "x" del espesor son las únicas de sección circular. Uniendo los nudos de las caras superior e inferior se disponen cables en retícula triangular (materializan las bases de las dobles pirámides). Por último en
el espesor, se materializa con otro cable la línea de quiebro entre los pla_
nos de cada "x", uniendo los nudos de ambas caras: resulta totalmente trian
guiada, tanto en las caras como en el espesor.
La organización aparente inmediata se puede describir como de arcos dispues_
tos en tres direcciones, en que los cordones y montantes se han materializa
do por cables y las diagonales por barras tubulares. No están contenidos en
un plano: se van alabeando en cada recuadro entre dos montantes. La línea que contiene a estos no pasa por el centro de la esfera.
La descripción de la pieza de NUDO más precisa, figura en la patente citada
La realización de mayor tamaño y más estudiada corresponde al modelo en el
375
que figura en el apartado 1:2 Capítulo I.
El concepto de diseño es el mismo que en los nudos descritos para las d e s —
plegables planas. Cronológicamente este es su primer diseño. En esta cúpula
necesitas dos variantes del mismo: para los enlaces de cruce de barras y pa
ra los terminales en las caras. En los dos dispones tres vastagos para enla_
ce a rosca y tuerca, dispuestos en un mismo plano, separados ángulos i g u a les de 120°. El enlace permite libertad de un solo giro en un plano perpendicular al vastago. En los nudos de las caras necesita dispones orificios para el paso de cables, que hace pasar por entre dos cilindros; la bajada de un manguito bloquea el movimiento. Los cables que triangulan el espesor,
no tienen tan claramente definidos sus enlaces.
/ 7
^sffisaBS^^»^^
M^r
5 3 5 5 5
locfc
^
M
IWMWmraíí^lWMMBHÍ-in^*^^
O NUDO CARA SUP£R¡OR
•
NUDO CARA ¡NFERiOR
MECANISMO BASE
O NUDO CARA SUPERIOR
•
NUDO CARA INFERIOR
MECANISMO BASE
9.3,- MECANISMO
Se trata del mecanismo base de barras én "x" en que se cruzan en grupos de
tres en el espesor y acaban en número de tres en cada nudo de las caras. En
el estudio previo realizado sobre este mecanismo al comienzo de esta parte,
se muestra su definición y su perfecta compatibilidad y plegabilidad durante el movimiento. Los cables que se añaden a ese mecanismo base, no entorpe_
cen en absoluto ninguna de sus cualidades. Solo definen el triangulado en el estado de desplegado final: el'mecanismo no deja por ello de adaptarse a
las sucesivas retículas trianguladas ce las sucesivas superficies esféricas
Los cables del espesor acompañan el movimiento como apéndices sueltos.
A pesar de ser un mecanismo con tres grados de libertad, el movimiento debe
ser ordenado, incluso como si fuera único obligado, probablemente porque al
abrirse se inicie de forma equivalente a tirar con tres fuerzas iguales y equidistantes. Refuerzan esta suposición recuerdos de testigos y el asombro
y unanimidad de juicio del jurado de la U.I.A. En contra se puede argumen-.tar que se trata de los enlaces, las barras y el peso de una maqueta, no de
la cúpula real.
3 78
CABLES EN LAS CARAS
SUPERIOR E INFERIOR
9.4,- ESTRUCTURA
El paso de mecanismo a estructura se realiza deteniéndose el movimiento al
alcanzar los cables de las caras longitudes de la triangulación, para el ángulo de desplegado, y fijar las longitudes de los cables que triangulan
el espesor, los cuales evitan el movimiento de retroceso.
La estructura resultante no se puede definir como lámina reticulada de d o —
ble capa porgue las barras de las caras estarían sometidas a esfuerzos de
compresión en un cierto porcentaje, lo que en esta no es posible soportar.
Sustituyendo cada "x" por su proyección, tangente a la superficie esférica que contiene los puntos de cruce P., el modelo estructural corresponde a
una superficie esférica aproximada por sus tangentes a una triangulación da
da, en vez de por cuerdas. La aproximación en este caso no da una retícula
triangularla una exagonal con tres valores de los ángulos muy desiguales de los otros tres (casi es un triángulo). Se puede decir que no es estructu
ra.
380
CAPITULO X:
CÚPULA DESPLEGABLE PARA GRANDES LUCES
10.lj- DESCRIPCIÓN GENERAL
El estudio de este apartado corresponde al modelo documentado en el apartado 1:10 del Capitulo I (pag.- 54 ) . Es un casquete de esfera delimitado por
seis arcos de meridiano iguales tres a tres. Más exactamente es un lado del
icosaedro esférico al que se le han suprimido los vértices. Lo mismo que en
la realización anterior, todas las barras a usar van empaquetadas.
Cronológicamente es la última de las despleqables (hacia 1966) pero con importantes innovaciones conceptuales que la hacen interesante, como es el he
cho de que lleve barras tubulares en una de las caras consiguiendo acompa—
ñar el movimiento de pleqado.
La reconstrucción de lo que fué, esta hecha a través de fotografías, pues y compuesta por siete partes a ensamblar, solo se conservan tres. Alguna de ellas se usó para la fabricación del modelo documentado en 1:4 del Capítulo
Modulo desplegable automático.
381
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RETÍCULA EQUILÁTERA PROYECCIÓN DE LOS PUNTOS
DE CRUCE P¡ SOBRE UNA CARA
DE ICOSAEDRO
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10.2,- DESCRIPCIÓN DE LOS ELEMENTOS
El MECANISMO BASE, compuesto por dobles pirámides triangulares, se ordena de forma que en el plano de los apoyos, los vértices comunes, punto de cruce de las barras en "x", forma una retícula equilátera contenida en un
triángulo de icosaedro- Si atendemos a la información contenida en la revis
ta "Hogar y Arquitectura" n° 89, el detalle de la solución corresponde al de una cúpula real, aunque la realización es un modelo de ensayo.
Las barras en "X" son tubos de sección circular; los extremos y el punto in
terror correspondientes a los enlaces a los nudos, se ha manipulado dotándo_
les de la forma y los elementos adecuados al tipo de enlace a realizar. Debido a que el casquete de esfera que abarca la cúpula es menor que una vein_
teava parte de superficie esférica, el canto de una pequeña porción del radio y la diferencia de curvaturas
a salvar entre ambas caras es pequeña.
Esto hace que la situación del nudo de cruce P esté casi en el centro y, co
mo se puede apreciar, las diferencias de longitud en que se divide a la barra son casi inexistentes, asi como la diferencia de longitud entre unas y
otras, consecuencia ésta de la poca pendiente de la superficie esférica res_
pecto "al plano de "la cara del icosaedro
En la cúpula, estas barras en "x" no tienen el eje recto. Se debe a la forma de ejecución de los enlaces a los nudos.
384
PARTES COMPONENTES DEL MODELO
En el interior la pieza de nudo lleva incorporado el eje de giro, y la b a —
rra se ensarta en él quedando tangente a la pieza; los ejes de barras no se
cortan en el punto que simboliza el nudo. En ambos extremos, en los enlaces
a los nudos de las caras, se pretende lo contrario, que los ejes de barras
se corten en un punto, y se logra parcialmente: al menos se cortan en un punto cada grupo de tres barras que concurren; en la cara inferior se tienei
dos grupos en la superior tres, siempre en la dirección del radio. Con las barras acometiendo normalmente al nudo, los ejes de giro son piezas sueltas
que se incorporan a los terminales.iguales, de barra y nudo. Las barras en "x" están combadas una excentricidad igual a medio nudo interior.
Las barras que materializan la DIAGONAL VERTICAL del falso cuadrilátero
en el espesor, son telescópicas de dos componentes;.Alcanzan su longitud menor
en el estado desplegado: son las barras que sirven de tope al movimiento de
desplegado, fijando con su determinada longitud el ángulo de las "x". También son las barras';que impiden el movimiento de retroceso mediante la
-
coacción de su libertad de deslizamiento. La pieza telescópica interior es
una fina barra maciza, roscada en su extremo visible a la pieza especial de
enlace a los nudos de la cara inferior, pieza a la que incorpora el eje de
giro. La barra exterior hueca de sección circular, está enlazada a los nudos de la cara superior con el mismo tipo de enlace y de piezas de extrento
que para las barras en "x". En el otro extremo lleva incorporada solidaria
e inmóvil, la pieza que incluye el dispositivo de coacción de la libertad de desplazamiento, confiada a la presión que se consigue por atornillado.
387
La GARA. EXTERIOR está reticulada por una -RED DE EXÁGONOS irregulares,
de barras huecas de sección circular. Rigidizando esta retícula se
disponen triángulos en todo el contorno; más exactamente, arcos de bor_
de formados adosando pirámides de base cuadrangular diagonalizada por
dos barras. Aunque la ordenación general corresponde a la triangula—
ción de un icosaedro esférico, las longitudes exactas de las barras no se puede hallar por este procedimiento, esto es, multiplicando los
valores para la misma retícula de la esfera unidad por el radio del -»
caso; ya se ha visto al estudiar la compatibilidad general en caso de
desplegables según una superficie esférica, que los extremos de las barras en "x" no están en una superficie esférica concéntrica con la
de- los puntos de cruce P., aunque sí próximos.
El procedimiento es el siguiente: partiendo de las coordenadas de los
puntos P., y de las longitudes 1, 1'... que determina la compatibili—
dad, podemos obtener las coordenadas de los nudos de las caras, y la
distancia entre cada dos de ellos será la longitud de las barras.
Para situaciones en que la pendiente entre el plano y la esfera no es
grande y para casquetes que son una parte pequeña de esfera, los r a —
dios hasta los puntos de cruce y hasta la cara exterior no son de muy
diferente longitud, y entre emplear el procedimiento correcto O el de_
rivado del estudio del icosaedro esférico puede dar igual, teniendo además en cuenta que las piezas de nudo ocupan lugar : posiblemente -
388
DE EXÁGONOS DE LA CARA EXTERIOR
BARRAS
DEL MECANIS
MO BASE
hay que pensar en un replanteo de barras a la vez que se fabrica la cúpula para que todo quede adecuado. Al contener el paquete todas las
barras necesarias, el trabajo de replanteo se realiza una sola vez.
El procedimiento de comprobar el replanteo y ajustar longitudes lo re
quieren también la construcción de cúpulas, no desmontables ni desple
gables.
Los extremos de estas barras de la superficie superior, acoplan t a m —
bien diseños terminales específicos para el enlace. Como en el estado
de plegado tienen que dar la misma longitud, casi todas contienen el
dispositivo telescópico y la pieza especial de coacción al desliza
miento como la vista antes.
Los NUDOS necesarios son de dos tipos:
Los de cruce
¡ están diseñados a partir del mismo concepto visto has-
ta ahora: una pieza única formada por un nícleo macizo triangular y tres vastagos situados a 1202 unos de otros, a los que se enlazan las
barras, haciendo éstos de ejes de libertad al giro en un plano. Se
acaban en rosca pues precisan arandela y tuerca para completar el enlace de cada barra.
En apariencia el diseño de los nudos en las caras es más complejo.
Esa apariencia la da la superposición de niveles de enlace; se trata
390
de que los ejes de barra se corten en un solo punto, pero no es posible físicamente con ese diseño. Se reúnen en cada nudo de las caras seis barras del espesor y tres más en los de la cara superior. Pérez
Pinero eligió disponer niveles de enlace de tres barras cada uno agru
padas según su procedencia; sitúa en el más interior las tres telescó
picas del espesor, en medio tres en "x", y en el exterior las contení
das en las caras, si hay. Los ejes de las barras se cortan en dos o tres puntos, en lo que podemos denominar eje de nudo, un segmento en
dirección del radio de la esfera.
Todo el nudo lo componen piezas de los siguientes tres tipos:
- Lo que se ha denominado el eje, pequeña barra maciza completamente
roscada, con dos topes (tuercas) en sus extremos.
- Los ejes de giro de las barras, simples tornillos con tuerca y aran
déla.
- Pletinas con dos agujeros: son piezas procedentes de los eslabones
que componen las cadenas de motocicleta, doblados hasta formar un ángulo aproximado a 120°. Los terminales de barra llevan soldada me
dia pieza. Entre cada dos de estas piezas se acopla el terminal de
barra separado por arandelas, y se acopla el eje de giro a través de los agujeros iguales.
391
NUDO INTERIOR DE CRUCE:
TRES BARRAS EN "X"
NUDO DE CARA INFERIOR
NUDO DE CARA SUPERIOR
BARRAS DE LA CARA:A,B Y C
BARRAS DEL ESPESOR:
- "X": 1,2 Y 3
- TELESCOP.^^5 Y 6
(DESDOBLADO)
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BARRAS
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BARRAS DEL ESPESOR: "X" Y TELESCÓPICAS
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BARKAb L)EL ESPESOR: "X" Y TELESCÓPICAS
Este diseño, que no es una verdadera pieza de nudo, está determinado
por la imposibilidad de fabricar piezas. Pérez Pinero aprovecha material disponible en ferretería de un cierto espesor. Esto puede dar
-
idea del tamañg y consistencia crue puede tener el modelo: se puede
dar la cifra de 9 m. de luz máxima. Como se ve en la documentación
gráfica, se emplean tantas piezas como barras van al nudo.
Z9?
-
ÍGO,- MECANISMO
El mecanismo base es el de barras "x", responsable de los tres grados
de libertad, estudiado en el apartado dedicado a la compatibilidad ge_
neral en desplegables según una superficie esférica, e igual al del proyecto anterior.
Cada barra que se añade al mecanismo base, lleva incorporado el dispositivo que posibilita su grado de libertad adicional de deslizamiento
necesario para variar su longitud en el tiempo del movimiento, aspecto demandado para que sea posible la compatibilidad geométrica en todo momento: se ajustan las barras añadidas a la triangulación de esca_
leños de barras y. espesor.
En esta cúpula se añaden barras al mecanismo base, en el espesor y en
la cara superior. Los del espesor constituyen la diagonal de los falsos cuadriláteros : mas exactamente, se materializa la linea de quiebro délos planos que contienen las "x". En la cara superior se crea
una red de exágonos irregulares enlazando en parte de los nudos, tres
barras por cada uno. Esto equivale a que en la unidad componente (doble pirámide) materialice con una barra uno de las aristas "de la base
mayor.
Durante el movimiento, las primeras se alargan hasta medir igual que
398
las barras en "x", en el estado de plegado. En las segundas, es necesario desenlazarlas de un extremo y mantenerlas enlazadas en el otro
para poder seguir el movimiento, desplazándose el extremo libre hacia
arriba, durante el plegado. Se desenlazan las barras de la mitad de los nudos empleados, agrupando las barras de tres en tres y mantenien
dolas enlazadas en el subnudo. Este proceso se ha empleado para c o m —
pletar con barras en las caras
las estructuras desplegables según
-
una superficie plana, precisamente en base a la idea de Pérez Pinero
para esta cúpula.
Las barras en las caras pueden seguir el movimiento porque las proyecciones en la superficie componen la retícula variable con R y a en
las sucesivas esferas, hasta el plegado.
Para pasar de mecanismo a estructura, las barras añadidas en el espesor, en este caso no son relevantes, pero sí necesarias para fijar
el ángulo de desplegado y para el movimiento. En las barras de las
caras se reúnen las partes de los nudos separadas durante la fase de
mecanismo. Para coartar todo movimiento bastaría con restituir un so
lo nudo fijando las tres barras que porta (una en cada dirección), pe
ro la estructura resultante no es la más interesante que se puede con
seguir.
Sfl.0 •
MECANISMO BASE
—
BARRAS EN EL
ESFESOR
O
NUDO CARA
•
NUDO CARA INFERIOR
SUPERIOR
10-4," ESTRUCTURA
La retícula exagonal superior que da Emilio Pérez Pinero, conveniente
mente riqidizada en el contorno, traslada cargas de los nudos. En cada nudo la fuerza actuante se puede descomponer en tres direcciones,
puede haber eauilibrio. Por tanto se puede calcular como si fuese retículada de una capa, sirviendo el mecanismo base para transporte, co
locación y replanteo de las barras y nudos de las estructuras.
Emilio Pérez Pinero es cuidadoso al proyectar esta cúpula, en que em 0
paqueta todas las barras y escoje la retícula superior minima para
que de una estructura aceptable. Puede pensarse que su modelo de comportamiento para ella es el de cúpula reticulada de una sola capa/ re_
cogiendo las solicitaciones de los bordes curvos por arcos de sección
triangular.
401
BARRAS DE CARA SUPERIOR
BARRAS DEL MECANISMO BASE
—-
BARRAS TELESCÓPICAS EN
O
NUDO CARA
SUPERIOR
•
NUDO CARA INFERIOR
EL
ESPESOR
*\
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BARRAS DE CARA INFERIOR
10,5.- VARIANTE DE MECANISMO DEBIDA A EMILIO PÉREZ PINERO:
MODULO DESPLEGABLE AUTOMÁTICO
La partición de la cúpula anterior en siete trozos se supone por razo
nés de tamaño de paquete en una solución real, no por problemas de
-
movilidad, pues puede imaginarse hasta que punto ese movimiento es de
forma ordenada y sin coacciones al estudiar este módulo desplegable automático, ejecutado con parte de las barras de la "Cúpula....".
Consta de la mismas barras por unidad componente. La variante consiste en incorporar al paquete
la fuerza de desplegado. La forma consis_
te en almacenarla en muelles. Se colocan en los .
nudos s'upJerio—
res que es necesario desdoblar, en la parte que lleva las barras de la cara. El dispositivo es como el empleado en los paraguas plegables
automáticos, está en tensión cuando el mecanismo está plegado. El movimiento se produce inmediatamente de desatar el paquete, recuperando
el muelle su longitud, empujando a las barras de las caras, y estas a
través de su extremo enlazado en el mecanismo base, a todo el conjunto.
El hecho de lograr que se desplieguen solas, es una constante de Piñe
ro en todos sus diseños desde el primero que desplegaba desde una •;grúa, hasta este último que se comenta.
405
10.6,- OTRAS VARIANTES DE MECANISMO Y ESTRUCTURA
Completando la cara superior con dos retículas de exágonos irregula—
res semejantes a la dispuesta por Pinero, esto es, materializando con
barras todas las aristas de la base mayor en las unidades componentes
resulta una cúpula de una capa completamente triangulada. Manteniendo
los mismos bordes, hay que mantener también los arocs que transladan
las fuerzas de la capa a los apoyes puntuales. Utilizada esta varian»te para mayores luces, se logra tener
esfuerzos normales en las -
barras de menor valor y mas homogéneos. Para pasar de estructura a me
canismo hay que desdoblar un tercio de los nudos de las caras en un subnudo que se lleve las seis barras de la cara que concurren, otro tercio restante no se manipula. De esta forma se consigue desenlazar
un extremo de todas las barras y mantener enlazado el otro, seleccionando los nudos según el esquema de la figura.
Por el mismo procedimiento se puede triangular la cara inferior. El paquete plegado resulta aparatoso aunque se trocee la cúpula en paque
tes menores. La ventaja es que se consigue una lámina de doble capa.
Recuérdese que se empleaba este mismo procedimiento en estructuras
planas para obtener la placa de dobles tetraedros.
408
CAPITULO; X I :
ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN UNA SUPERFICIE CILINDRICA
Al igual que se ha hecho en los capitulos anteriores, se puede trasladar a la superficie cilindrica retículas trazadas en el plano II, de
cuadrados,triángulos rectángulos y equiláteros, bien a través de pla«
nos ortogonales a'lt o desde un polo, dando en ambos casos arcos desiguales entre nudos, en las genera triase curvas. Se puede proceder mejor, dividiendo directamente las generatrices" (rectas y curvas) en partes
iguales: es fácilmente realizable porque las superficies cilindricas
son un plano curvado, sea cual sea la curvatura elegida. Para todo lo
que sigue se ha elegido como curvatura la de la circunferencia.
11.1.-MECANISMO GENERADO A PARTIR DE UNA CUADRICULA
Si se curva un plano H dividido en cuadrados y a partir de cada punto/
/nudo que se supone P. se sustituyen las rectas por "x", se tienen cadenas de "x" rectas y curvas según la generatriz de que proceden, ambas direcciones contenidas en sucesivas familias de planos.
Las unidades básicas componentes son
prismas en que los puntos ABBA1
y CDC1 D 1 son vértices de las barras (trapecios isósceles) y ACÁ' C*y
BCB l D 1 las de las caras laterales (rectángulos).
409
El mecanismo que se tiene de cadenas de "x" en dos direcciones ortogonales se inmoviliza añadiendo una barra: tiene UN GRADO DE LIBERTAD.
En cada nudo de las caras se reúnen cuatro barras; en cada nudo del es
pesor dos.
11 .1.'Í-CONDIC IONES GEOMÉTRICAS EN EL ESTADO DESPLEGADO
.Se parte de "x" de la misma longitud L , altura del paquete plegado .En los
trapecios isósceles de la dirección curvada tenemos:
a= Rsen a/2 = 1 eos
b= Rsen o//^ ^ 1 eos
\
+
h =L
Por i>apedistancia a los extremos del nudo intermedio es:
1
= a/cos|
Rsen a/2
eos S
±2= b/cosB=
%sen a/2
eos 3
Rsen a /2
eos S
Fijado R , h y la amplitud a del trapecio que
se diagonaliza , el valor del ángulo de desplegado:
rsen a /2 = Rseria /2
eos p=
h
410
^ 2
También:
_
cos2 S= lj + lj " h
/21 1 l 2
La otra dirección se ha dicho que es plana, (generatrices rectas del
cilindro). Usando barras de longitud L para las "x" en la dirección de
las generatrices rectas, se tienen que cumplir las siguientes relaciones; el punto de cruce es el central de las barras, pues se materiali^
zan las diagonales de un rectángulo; el ángulo de desplegado 3 es el mismo en cada instante en todas las "x" de los dos familias de planos
pues G=l; la longitud (distancia) del recuadro que contiene la "x" será:
2c = L 2 - (R-r) 2 = Leos S = — ^ ^ r
tg 6
Nos queda a> c> b, para que el ángulo de desplegado en todo momento
sea el mismo, como corresponde a un movimiento único (las barras giran
en P, o en P_
a la misma velocidad);
11.1.2.- COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS
Las unidades básicas componentes, los prismas cuyas bases son trape—cios isósceles,, son todas exactamente iguales (misma longitud de a r i s —
tas,mismos ángulos) en toda la superficie cilindrica, por la forma de
división elegida:
412
primero se retícula un plano y luego se curva
En cada instante del movimiento, cuando se recoge, se disminuye la cur
vatura y las "x" tienen distinto ángulo de plegado 8. La longitud de las aristas del prisma unidad, son solo función de la variable 6/
igual en las cuatro caras laterales, por lo que en los sucesivos i n s —
tantes, los prismas que se generan son semejantes con una razón de semejanza que depende solo de 3 , y los ángulos, en las caras alrededor de
cada nudo siempre son los mismos: son posibles todos los prismas inter_
medios, todos iguales en cada instante, por lo que existe compatibilidad geométrica siempre.
11. Z.-MECANISMO GENERADO A PARTIR DE UNA RETÍCULA DE TRIAN
GULOS RECTÁNGULOS
11.2.1.-COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA EN EL ESTADO DESPLEGADO
Si al mecanismo de recuadros ortogonales, se le cruzan "vigas" en "x"
diagonalizando los recuadros, se tiene una reticula de triángulos rectángulos -Hay que materializar con diagonales el recuadro ADA'D', pero no
es posible porque los cuatro puntos no están en el mismo plano.Cada tres
de ellos determinan un plano, por ejemplo AA'D y DD'A 1 , que se cortan, en
.la zecta A'D... Pues bien, para enlazar los cuatro puntos hay dos soluciones: 15, materializando el ángulo de quiebro:tres partes de la "x" están
en un plano de los dos, y desde el punto de cruce se quiebra la direc
ción de la parte restante hasta alcanzar el punto de cara
413
que queda, un ángulo y: 25 posibilitando la recta de corte de dos planos que convengan. Estos planos se pueden elegir conteniendo dos p u n tos de los anteriores, por ejem. con AA' y una "x" se tiene un plano y
con DD' y otra "x" otro plano. Enlazamos ahora los extremos libres de
las dos "x", EE* y la linea que une esos puntos es la de corte de los dos planos..
En una unidad elemental, determinando las coordenadas de AA'DDlBCD*C*
y hallando las longitudes de barras entre ellas se compatibiliza geomé
tricamente el mecanismo. En el segundo caso, usando las mismas barras
de longitud L se determinan E y E' como contenidos en circunferencias de radio L desde A' y D*y A y D, o lo que es lo mismo E es equidistante
de A1 y D'y está contenido en los dos planos, y E1 equidista la longitud
L de A y D y está contenido en los dos planos.
De A a D pasando por la proyección de E no es posible trazar una linea
recta, no queda realmente triangulado, por lo que para algunos tipos de acciones es necesario arriostrar los nuevos nudos EE1, por ejemplo repitiendo según ia otra diagonal (entre B y C y B*y C1)" las mismas "x"
En cada nudo de las caras se reúnen ocho barras y en cada nudo de espe
sor , dos .
414
11.2.2.-COMPATIBILIDAD EN LOS ESTADOS INTERMEDIOS
Por los mismos razonamientos que el caso anterior, son posibles
todos los prismas-unidades con las cuatro
"x" a E y E'^entro.
Existe compatibilidad geométrica en todo momento.
11,3,-MECANISMO CUYOS NUDOS FORMAN UNA RETÍCULA DE TRIANGU
LOS ISÓSCELES
11.3.1.-COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA EN EL ESTADO DESPLEGADO
Uniendo nudos de las caras situados en el mismo radio de curvatura se
pueden disponer las "x" en tres direcciones según una reticula de
triángulos isósceles o equiláteros. La unidad básica del mecanismo, de
UN GRADO DE LIBERTAD, es el medio prisma de base triangular que se señala en la figura, todas exactamente iguales. En cada nudo de las c a —
ras se reúnen seis barras y en cada nudo del espesor, dos.
Entre los nudos ABA'B* se disponen las "x" como se ha visto, con su pun
to de cruce a distancias 1, y 1„. Entre los nudos ACA'c'y BCB'C'teñe—
mos que disponer sendas "x" de las otras direcciones, pero esos grupos
de cuatro nudos no están contenidos en planos;por serlas aristas 2a> 2b
sus ángulos opuestos resultan C *C*
por lo que -se
tiene una superficie alabeada. De las dos posibles opciones que presen-
415
tamos en el mecanismo anterior, elegimos unir los cuatro puntos doblan
do una barra un ángulo y.
Parece una solución menos complicada pues se
dobla la directriz quedando los enlaces de giro perpendiculares igualmente. El incomveniente es que el paquete plegado queda menos compacto
También se puede suprimir un tramo de "x", aumentando los grados de li
bertad.
Al fijar R, h y el ángulo a, las relaciones geométricas para que resul
te compatible son:
Rsen q/2
eos
1. =
1
eos B
1
b
_
2
L = 7
_ L_i
cosg
eos 20 =
1
L
a
_
1
(a+b) 2
1^
_
+ (hcosct/2 )
-,2
+
h ~h
21
1
X
eos 6
_ aesen ot/2
eos $
2
^2
2
Para que se cumpla la compatibilidad en el estado de plegado hay que utilizar barras de longitud L en las otras dos direcciones. Se tiene
que cumplir:
416
2
2d = L eos. e = / b
„2
+ f
;
2c = / a 2 + f 2
Suponiendo aue -AC1, es recta y CP está en el mismo plano que la anterior,
/
el tramo P2r» quiebra hacia adentro de la unidad elemental.
Partimos de que ATT = L. Por estar en el plano hx2c y haber girado el
ángulo f3, CP
se encuentra con AC en el punto medio, y mide L/2.
Las coordenadas de P en función de las de A y C son:
X
A~
p
V
2
X
P
c'
y
C
A
Y =
P
z
X
=
A'
' zc
2
y el ángulo de quiebro de la barra:
cos y =
2
— 2
—2
PA'' + PA + Tffi-
2
41?
PA"1" PA
11.3.2.- COMPATIBILIDAD DE ESTADOS INTERMEDIOS
De entrada, por el hecho de quebrar uno de los tramos de las "x" se
—
está forzando la compatibilidad en el estado final, por obligar a los
nudos o extremos de las "x" a que estén dentro de superficies cilindr_i
cas concéntricas.
Las ventajas que esto proporciona son que las unidades componentes son
todas iguales, que la única variable 3 configura unidades semejantes en los estados intermedios por lo que los ángulos en la cara superior
e inferior alrededor de cada nudo no varían.
A = B = are. cos (-*-—) = are. cos (=-*—
5
2c
L cos B
C = 2 ave.
sen (—
)= constante.
) = costante = 180° - 2A
2c
Lo mismo para la cara inferior.
Alrededor de cada nudo: 4A + 2C = 4A + 2 (18:0° - 2A) = 360°
418
.11.3.3,~ VARIANTE DE MECANISMO CUYOS NUDOS FORMAN UNA RETÍCULA DE
TRIÁNGULOS ESCALENOS
Se puede utilizar un procedimiento de reticulado crue después
no ha _
ga necesario quebrar la barra de "x": es el empleado en la esfera para
este tipo de mecanismo. Consiste en trasladar una retícula de equiláte
ros del plano I a la superficie cilindrica desde un punto tomado como >
polo. Por la particularidad de ser una superficie de traslación, basta
que se haga para una "rebanada" de triángulos, es decir, el polo se pue_
de elegir como centro de una curvatura en un plano y lo obtenido
se
-
traslada a lo largo de las generatrices rectas.
En la "rebanada" se obtiene una retícula de escalenos distintos, salvo simetrías. Colocando puntos de cruce P. en esta retícula y desdoblando las líneas por "x", se puede diseñar un mecanismo de un grado de liber—
tad del mismo tipo: seis barras
por cada nudo de cara y dos barras por
cada nudo de cruce interior. Se puede definir geométricamente una s o l u —
ción compatible en el estado de desplegado final, pero al igual que suce
día
en la esfera, en los estados intermedios no es geométricamente com-
patible porque las longitudes de la retícula en cada instante dependen de R y el ángulo central variable a , y por otra, fijadas las longitu—
i
des de las "x" dependen de ellas y del ángulo de desplegado B, y no dan
los mismos valores, los mismos triángulos escalenos.
419
11 A.-MECANISMO DE DOBLES PIRÁMIDES
Este mecanismo de tres grados de libertad, compuesto por.unidades en fc-r
ma de doble pirámides enlazadas unas con otras mediante las articulaciones de los nudos de las bases, es sin lugar a dudas el mecanismo más
adaptable. Se han visto los casos en que se adapta al plano y a la esfera. Se puede decir que se adapta a cualquier superficie, manteniendo la
compatibilidad geométrica durante todo el movimiento de desplegado, pues
su punto de partida siempre consiste en triangular cualquier superficie
y situar en los vértices el punto P. de cruce, o vértice común de las pi_
rámides. Después hay que encontrar las relaciones adecuadas que nos f i —
jen las longitudes de las barras en "x", utilizando la compatibilidad en
j el estado de desplegado y en el plegado. Los nudos extremos de cada "x"
/
están sobre el radio de curvatura que para por el circuncentro de cada
triángulo y es normal a la superficie definida por él.
Para las superficies cilindricas, compuestas de generatrices rectas y cu
alquier curva, se puede simplificar el proceso de entrada, dividiendo la
generatriz curva en arcos iguales y trazando sobre la superficie triángjj
los isósceles (incluso equiláteros) separando las generatrices curvas la
distancia que se desee. Los vértices de estos isósceles son los puntos P.. Los nudos extremos de las "x" estarán equidistantes de su punto de cruce P sobre el radio de curvatura que pasa por el circuncentro del
420
isóceles. Todas las unidades componentes son iguales.
Para una superficie cilindrica generada por arcos de circunferencia, dados R, a, la separación entre generatrices c, y el ángulo de desplegado
, se tiene:
a= 2R sen a/2
b= /
c
2
+ a / 4
P.Q = d
1*
c = d + e
d= 2c + a/2c
2
e
,2
2,.
- d - a /4
1 = d/cos
1''= d/cos
1 = 1»
._d_.._
eos S
2c + a 2 / .2c
eos 3
2c 2 + 2R 2 sen 2 a/2
c eos
Da que los puntos de cruce están situados en el centro de las barras en "x". Resultan en cada unidad componente, pirámides iguales cuya base es
un triángulo isósceles (o equilátero).
421
/Durante el movimiento, la longitud varia con Br al igual que a y b sin dejar el triángulo de ser isósceles. Durante el movimiento varían los la
dos pero no los ángulos; su suma se mantiene en 360° alrededor de cada nudo. Las distancias entre los nudos de la cara exterior resultan mayo*-:-:
res que entre los nudos de la inferior. Resulta sencillo por la elección
del reticulado de P.: para tener una superficie cilindrica, siempre se podra trazar la retícula de P. en un plano, a distancias iguales y c u r varlo. Curvando
el mecanismo plano descrito en "Apéndice a la Parte 35"
se consigue este.
Se puede trasladar la triangulación por planos verticales desde el plano
o también desde un polo, pero no hace mas que complicar el problema, dan
do unidades componentes distintas.
422
CONCLUSIONES A LAS ESTRUCTURAS DESPLEGABLES SEGÚN SUPERFICIES
CURVAS
DE LOS MECANISMOS BASE
EN LA ESFERA
Se puede elegir cualquier procedimiento de los existentes pa
ra trasladar la retícula elegida en el plano {de cuadrados,
triángulos rectángulos o equiláteros.) hasta la superficie es_
ferica (állx serán cuadriláteros o escalenos), como se hace pa
ra cualquier casquete reticulado de una capa, pero los p u n —
tos de cruce de la retícula obtenidos, siempre se debe consi
derar que son los puntos de cruce de las barras en "x". Solo
ellos estarán en una superficie esférica, en cualquier caso.
Las longitudes de las barras en "x" se determinan atendiendo
al cumplimiemto de la relaciones geométricas existentes en los estados de plegado y desplegado final. Los extremos de las barras no están contenidos en esferas concéntricas con la de puntos de cruce.
Cuando las parejas de nudos de las caras (superior e infe
rior), extremos de una mitad de "x" están sobre la recta que
42Z
es paralela o convergente a la que trasladan los puntos de cruce, (según el procedimiento de reticulado) los mecanismos
resultantes tienen UN GRADO de libertad, y las cadenas de "x"
están contenidas en planos (salvo los que resultan de las hi_
potenusas de los rectángulos). El punto de cruce, lo es de dos barras (o 4 si se "maciza".mas la retícula).
En el caso de usar retxcula plana de cuadrados, el mecanismo
puede ser compatible en las esferas intermedias porque exis_
te la libertad de distorsión angular de los cuadriláteros.
En caso de usar retxcula de triángulos rectángulos, se re
quieren cuatro "x" por cada unidad siendo dos para el lado mayor, pues las dos parejas de nudos que provienen de los ex
tremos de los catetos, no están en un plano: se debe posibilitar la recta de corte de dos planos, situando una "x" en cada uno- Puede ser compatible en los estados intermedios de
desplegado, puesto que en realidad cuatro "x" son cuatro barras proyección, dos de las cuales están "casi" en linea rec
ta, y es suficiente la libertad de distorsión por tener en realidad' cuadriláteros en la esfera, en vez de escalenos.
En caso de usar retxcula de equiláteros y tener un mecanismo
de un grado de libertad (con las parejas de nudos de las ca-
424
ras en rectas de la familia del haz de traslado), no hay compatibilidad posible en las posiciones intermedias del movimiento: por cada unidad, las tres "x" contenidas cada
una en un plano, son en realidad tres rectas proyección sobre el plano de puntos de cruce P.; éstas definen un trian
guio que es distinto desde las variables de la esfera y des_
de el ángulo de apertura.
Usando la retícula plana de equiláteros, el mecanismo resul.
ta de TRES GRADOS DE LIBERTAD, si en los puntos de cruce se
cruzan tres barras en vez de dos. En el mismo punto de cruce
se pueden observar las tres direcciones de cadenas de "x",que en este caso no están contenidas en planos; son alabeadas. En cada nudo, sea délas caras o de cruce, concurren —
tres barras. Cada nudo de cada cara se encuentra, él solo,
en la recta normal a la porción de esfera reticulada que re
presenta el triángulo escaleno de P. . Existe compatibilidad
geométrica en todas las posiciones intermedias dedesplegado
porque las pirámides componentes tienen materializadas con
barras solamente las aristas al vértice, y no las de la base
(triangular), o por expresarlo como en la anterior, si imaginamos que de cada "x" hay una barra proyección en el plano del punto de cruce, para tres puntos P. hay seis segmentos de rectas ( recuérdese que van alabeadas) las cuales e_s
tan dos a dos "casi" en prolongación recta, definiendo un exágono irregular y poseen tres distorsiones angulares posibles.
425
EN EL CILINDRO
La mejor forma de abordar el reticulado y la definición de las barras en "x", es suponer que una superficie cilindrica es una superficie plana curvada (con cualquier curvatura) -~"\
Fe esta forma es fácil conseguir unidades componentes exacta
mente iguales en casi todos los casos. Los nudos de las caras
están comprendidos en superficies concéntricas. Durante el movimiento, al igual que en las planas se generan todas las
unidades semejantes hasta acabar en lineas rectas.
Únicamente no sirve para las triangulaos de un grado de liber
tad, en que es necesario quebrar una barra para conseguir la
compatibilidad geométrica. Si no;son tan imcopatibles como en
la esfera.
EN CUALQUIER SUPERFICIE
Para obtener un mecanismo con la forma de una superficie cual
quiera de geométrica complicada, la solución más universal es la dada por . Pinero. jConocieñdo^las ^coordeHááasr.dellos pun
tos P de cruce, cualquiera que satisfagan la ecuación de la
superficie, se. obtienen los extremos de las "x" sobre las -;
rectas normales a los triángulos definidos por su.P.: se ha-
426
H a n como el corte de la recta que pasa porcada P inclinada un
ángulo igual al de desplegado fijado 3 más o menos el que for
ma el radio de curvatura en P y la normal al triangulo desde
el centro de curvatura.
DE LAS ESTRUCTURAS
Para trasladar cualquier tipo de carga, la forma curva constituye una ventaja indudable en cuanto a que en general se tienen menos solicitaciones, deformaciones y gastos de material, no estándose en la obligación de conseguir canto. Por
tanto, ahora si que basta solamente coaccionar los mecanis—
mos lo necesario para tener una estructura aceptable, es decir , basta añadir 1 ó 3 barras y arriostrar convenientemente
aquellos mecanismos en que sus nudos formen cuadriláteros.
Con esto se tienen estructuras equivalentes a los retícula—
dos de una capa.
No obstante, no es difícil ni resultan de manejo aparatoso,
si se añaden barras en la cara superior, incluso hasta su to
tal triangulación. Obviamente se pueden realizar plegables de doble capa. El procedimiento de paso a estructura y el montaje en nada se diferencian de las desplegables según una
427
superficie plana. También sirven los mismos tipos de nudos.
Respecto a ñudos, existen pocas soluciones comparado con las
existentes para las no plegables, en que se lleva empleado tanto tiempo y trabajo como la abundancia de patentes hace suponer.
SOBRE EMILIO PÉREZ PINERO
Casi basta decir que, de entrada y sin ningún tiempo de dedi^
cación profesional que le hubiera permitido tener recopilada
información (estudiante) y que hace suponer un trabajo con medios y observaciones propios, elige la "x" y define el mecanismo más adaptable a las superficies curvas, de tres grados de libertad. Para los congresistas de la UIA fue una cosa nueva. La autora no ha encontrado otros anteriores (ni —
análisis posteriores).
Se dice en la introducción general, que tenia tanta visión espacial como capacidad manual: las dos cúpulas. (1961 y 1966)
que se estudian en esta parte bcorroboran ampliamente, tanto
por la visión de conjunto como por el diseño de componentes.
Posiblemente no llegó a intuir el análisis de grados de libertad de sus mecanismos, pero, quitando las dos últimas rea
428
lizaciones, intento añadirles pocas barras para tener estruc
turas conocidas que supiera analizar minimamente.
429
BIBLIOGRAFÍA
- GENERAL
- INFORMES, PONENCIAS Y ARTÍCULOS
- PATENTES
BIBLIOGRAFÍA
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Ciencia de la construcción
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GENERAL
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Analysis, Design and Construction of Double-layer Grids
Cubiertas laminares cilindricas formadas por una
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ma STAAD-III, versión 7, nivel 8
445
- Hojas manuscritas de Emilio Pérez Pinero, para Salvador Dalí 467
- Primeras páginas y dibujos contenidos en las patentes de Em_i
lio Pérez Pinero
474
^ O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O C D O O O O O O C D O O O O O O O C D O a O O
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0
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co
^55
580 LP RÍNT
590 PR INT "COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DEL. ICOSAEDRO INSCRITO""
600 FO R 1*1 TO 12
610 PR INT I T A B ( 6 ) IC0£(I,1) T A 8 ( 2 7 ) I C O f C I . 2 ) TABC48) IC0£(I,3)
620 NE XT I
630 PR INT
6-10 PR INT T A B ( 2 0 ) "¿QUIERE IMPRIMIR ESTOS PUNTOS? S/N e INTRO"
650 ÍN PUT;P1$
660 IF P l $ = " S " GOTO 670 ELSE 720
670 LP RINT "COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DEL ICOSAEDRO INSCRITO' 1
680 LP RINT
690 FO R 1=1 TO 12
700 LP RINT I TAB(6) IC0£(I,1) T A B ( 2 7 ) I C 0 £ ( I , 2 ) TAB(48) IC0£(I,3)
710 NE XT
720 DI M M C 9 1 , 3 )
730 FO R D = l TO 13
740 FO R E = l TO D
750 FO R 1=1 TO 91
760 IF H(I,1)=0 THEN H(I,1)=D ELSE NEXT I
770 NE XT E,D
780 FO R D-13 TO 1 STEP -1
790 FO R E = 13 TO D STEP -1
800 FO R 1=1 TO 91
810 IF M ( I , 3 ) * 0 THEN M(I,3)=E ELSE NEXT I
820 NE XT E,D
830 FO R 1 = 1 TO 91 /
840 M( I , 2 ) = 2 7 - M ( I I 1 ) - M ( I , 3 )
850 NE XT I
860 PR INT
870 PR INT C H R $ ( 7 )
C5
880 IN PUT "PRIMER VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";Al.
890 1 =1
900 II -Al
910 GO SUB 1660
920 IN PUT "SEGUNDO VÉRTICE DEL TRIANGULO DEL ICOSAEDRO";A2
930 1 =79
940 II = A2
950 GO SUB 1660
960 IN PUT "TERCER VÉRTICE DEL T R I A N G U L O DEL ICOSAEDRO";A3
970
91
980 II = A3
990 GO SUB 1660
1000 F OR J=l TO 3
1010 D £ = ( I £ ( 7 9 , J ) - I £ ( 1 , J ) ) / 1 2
1020 I = 1
1030 F OR A = l TO 11
1040 I = I + A
1050 B = I~A
1060 I £ ( I , J) = I£(B, J)+D£
1070 N EXT A,J
1080 F OR 3 = 1 TO 3
1090 D £=(I£(91,J)-U(1,J))/12
1100 I -1
1110 F OR A = 2 TO 12
1120 I = I+A
1130 B -I-A
1140 I £(I,J)=I£(B,J)+D£
1150 N EXT A,J
1160 I -3
1170 F OR A = 3 TO 13
1180 B = 1+1
1190 I = Í+A
1200 C = I-B
1210 F OR J=l TO 3
1220 O £ = ( ! £ ( ! , J ) - I £ ( B , J ) ) / C
F=B+ 1
FOR G F TO E
H = G~1
I£(G,J) * I £ C H J)+D£
NEXT 6, J,A
FOR 1=1 TO 91
IF IÍ(I ,1)*0 G OTO 1360
I £ d , 4 ) *R/SQR( l+(I£(I,2)/I£(I,l))*2+(I£(I,3)/I£(Itl))*2)
IF I£(I ,1)<0 T HEN I£(I,4)=-I£(I,4)
I¿(I,5) =I£(I,2 )*I£(I,4)/I£(I,1)
I£(I ,6) -I£CI,3 )*I£(I,4)/I£(I,1)
GOTO 14 60
I£d,4) = 0
IF I£(I ,2)=0 G OTO 1420
I£(I,5) =R/SQR( l + (I£(It3)/I£(I,2))'"2)
IF I£CI ,2)<0 T HEN I£(I,5)*-I£(I,5)
I£CI,6) *I£(I,3 )*I£(I,5)/I£(I,2)
GOTO 14 60
I£(I,5) = 0
I £ d , 6 ) r-R
IF 1£(I ,3)<0 T HEN I£(I,6)=-I£(I,6)
I£(I,6) ~R
NEXT •
FOR 1=1 TO 91
A£--SQR( R A 2-I£( I,6)~2)
IF I£(l ,6)=0 T HEN I£(I,7)=90 ELSE 1510
GOTO 15 40
B£=A£/I £(1,6)
U C I . 7 ) =ATN(B£ )
I£(I,7) = H d , 7 )*180/PI£
IF I£(I ,6)<0 T HEN I£(I,7)=90-I£(I,7)
"^1
ÍF I£(í ,4)=0 T HEN I £ d , 8 ) = 9 0 ELSE 1590
IF I£(I ,5)=0 T HEN I £ d , 8 ) = 0
IF I£(I ,5)<0 T HEN I£(l,8)»270
80 GOTO 16 40
C£-I£ÍI ,5)/I£< 1,4)
I £ d , 8 ) *ATN(C£ )
I£(I,8) -I£(I,8 )*180/PI£
IF I£(I ,4)<0 T HEN I£(I,8)=180+I£(I Í 8)
IF I£(I ,4)>Q A ND I£(I,5)<0 THEN I£(I , 8)-360 + I£(I , 8 )
NEXT
GOTO 17 00
FOR J=l TO 3
I£(I,J) =ICO£(I 1,3)
NEXT
RETURN
LPRINT
LPRINT
FOR 1=1 TO 91
FOR J=l TO 8
I d , J ) =I£(I,J)
NEXT J, I
CLS
PRINT C HR$ í 7)
PRINT T AB(25) "TRIANGULO",A1;A2;A3
PRINT
PRINT
PRINT T AB(20) "ELEGIR PASO SIGUIENTE; 1etra e INTRO"
PRINT
PRINT T AB(5) "1
IMPRESIÓN DE i,j,k,X,Y,Z DE LOS 91 PUNTOS DEL TRIANGUL
PLANO"
IMPRESIÓN DE X » Y , Z , FI , TETA , DE LOS 91 PUNTOS DEL TRIANG
1840 PRINT T AB(5) "2
O ESFÉRICO"
CALCULAR LONGITUD DE BARRA Y ÁNGULOS CON EXTREMOS DEL
1850 PRINT T ABC5) "3
DIO "
l££Jl_fiRLN£..t A_B15X_" Ü . - TAI m i A P i nq . ANÍ;iu a5L_HFI xP_I_A_M_GIIÍ_Q DF_FT.N T nn pnp TPF<Í P
TOS
187
1.88
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
CALCULAR LA DISTANCIA EN FI Y TETA ENTRE DOS PUNTOS"
PR I NT TABC5) "5
PASAR A OTRO TRIANGULO DEL ICOSAEDRO"
PR INT TAB(5) "6
PR INT TAB(5) "7
FINALIZAR"
ÍN PUT ;P2
PR INT
IF P2 = GOTO 2010
IF P2 = GOTO 2090
IF P2 = GOTO 2190
IF P2 = GOTO 2410
IF P2GOTO 2810
IF P2GOTO 870
IF P2GOTO 2990
PR INT ERROR EN TECLEADO OPCIÓN"
GO TO 1 760
PR INT "PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VERTICES : "Al","A2","A3"(i,
Y, Z) "
LP RINT "PUNTOS DEL TRIANGULO PLANO DE VERTÍ CES : "Al","A2","A3"(i
k,X » Y , Z )
2030 LPRIN T
2040 FOR I -1 TO 91
2050 PRINT TAB(l) I TABC7) M(I,1) TAB(ll) M(I,2) TAB(15) M(I,3) TABÍ25) 1(1,1) T
AB(4 0) 1(1 ,2) TABÍ55) 1(1,3)
2060 LPRIN T TAB(l) I TABC7Í M(I,1) TAB(ll) H(I,2) TAB(15) Mil,3) TAB(25) 1(1,1)
TABÍ 40) Ií 1,2) TAB(55) 1(1,3)
2070 NEXT
2080 GOTO 1760
2090 LPRIN T
2100 LPRIN T
2110 PRINT "PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS
"Al","
A2", "A3 " EN CARTESIANAS Y POLARES , (X,Y , Z , FI,TETA)"
2120 LPRIN T "PUNTOS DEL ICOSAEDRO ESFÉRICO CUYOS VÉRTICES SON LOS PUNTOS
"Al",
"A2" ,"A3 " EN CARTESIANAS Y POLARES , (X , Y,Z , Fí,TETA)"
"SU
2130 LPRIN T
2140 FOR I -1 TO 91
2150 PRINT TAB(l) I TAB(6) 1(1,4) TAB(21) 1(1,5) TAB(36) 1(1,6) TAB(51) 1(1,7) T
ABC6 6) ICI ,8)
2160 LPRIN T TAB(l) I TAB(6) 1(1,4) TAB(21) 1(1,5) TAB(36) 1(1,6) TAB(51) 1(1,7)
TAB( 66) I( 1,8)
2170 NEXT
2180 GOTO 1760
2190 CLS
2200 PRINT TA8Í25) "TRIANGULO",A1;A 2;A 3
2210 LPRIN T
222Ü LPRIN T TABÍ25) "TRIANGULO",A1;A2;A3
2230 PRINT "LONGITUDES DE BARRAS, ÁNGULOS CENTRAL Y DE BARRA CON RADIO"
2240 LPRIN T "LONGITUDES DE BARRAS, ÁNGULOS CENTRAL Y DE BARRA CON RADIO"
2250 PRINT TA8Í5) "BARRA" TAB(20) "LONGITUD" TAB(40) "ALFAi" TAB(60) "DELTA"
2260 LPRIN T TAB(5) "BARRA" TA8C2Q) "LONGITUD" TAB(40) "ALFAI" TAB(60) "DELTA"
2270 1NFUT "PRIMER PUNTO DE BARRA;NUMERO 1 A 91";N1
2280 INPUT "SEGUNDO PUNTO DE BARRA;NUMERO 1 A 91";N2
2290 D12£ =
S0R((I£(N1,4)-'I£(N2,4))A2 + (I£(N1,5)-I£(N2,5))"2+(I£(N1 I 6)-I£(N2,6))"2)
2300
2310
2320
2330
2340
2350
2360
2370
2380
2390
2400
2410
2420
2430
D£-D12£/2
S12£^SQR(R~2~D£~2)
ALFAI05£=ATN(D£/S12£)
ALFAI=ALFAI05£*360/PI£
DELTA=(180-ALFAI)/2
D12=D12£
PRINT TABÍ5) Nl"~"N2 TAB(20) D12 TAB(40) ALFAI TABÍ60) DELTA
LPRINT TAB(5) Nl"-"N2 TAB(20) 012 TAB(40) ALFAI TAB(60) DELTA
PRINT
INPUT "¿OTRA BARRA2S/N e INTR0";P3$
IF P3$-"S" GOTO 2270 ELSE 1760
CLS
PRINT TAB(25) "TRIÁNGULO",Al,A2,A3
I PPTNT
2440
2450
2460
2470
2480
2490
2500
2510
2520
2530
LPRINT TA8Í25) " TRI ÁNGULO",Al;A2;A3
PRINT "LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS"
LPRINT "LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS DE BARRAS"
PRINT TAB(5) "BARRA" TABC25) "LONGITUD" TAB(45) "ÁNGULO OPUESTO"
LPRINT TAS(5) "BARRA" TAB(25) "LONGITUD" TAB(45) "ÁNGULO OPUESTO"
LPRINÍ
INPUT "PRIMER PUNTO DEL TRIÁNGULO"; TI
INPUT "SEGUNDO PUNTO DEL TRIÁNGULO"; T2
INPUT "TERCER PUNTO DEL TRIÁNGULO"; T3
L12£=SQR((If(Tl,4)-I£(T2,4))*2+(I£(Tl,5)-I£(T2,5)) A 2+(t£(Tl,6)-I£(T2,6))
2540 L23£ = SQR((I£(T2,4)-I£(T3,4)) A 2+(I£(T2,5)-I£(T3,5))' S 2+(I£(T2,C)-I£(T3,6))
2550
2560
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2690
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2730
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2770
2780
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2810
2820
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2840
2850
2860
2870
2880
2890
2900
2910
2920
2930
2940
2950
2960
2970
2980
2990
L13£-SQRCCI£CT1,4)-I£CT3,4))"2+(I£(T1 S 5)-I£CT3 ) 5)J A 2^ÍI£ÍT1 ) 6)~I£(T3,6))
P£=(L1 2S+L23 £+L13£)/2
Pl£-P£ -L23£
P2£=P£ -L13£
P3£-P£ -L12£
TGl£-5 QR(P2£ *P3£/P £/Pl£
TG2£=S QR(P1£ *P3£/P £/P2£
TG3£-S QR(P1£ *P2£/P £/P3£
A U - A T N(TG1£ )
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A3£=AT N(TG3£ )
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AA2-A2 £*360/ Pl£
AA3^A3 £*360/ PI£
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PRINT TABÍ5) TI"-" T2 TA B(25 ) L12 TAB (45) AA3
PRINT TAB(5) T 9fí - ,v T3 TA B(25 ) L23 TAB (45) AA1
PRINT TAB(5) T3"- n TI TA BC25 ) L13 TAB(45) AA2
LPRINT TAB(5 Tl"- "T2 T AB(2 5) L12 TAB(45) AA3
T2"-- ,TT3 T AB(2 5) L23 TAB (45) AA1
LPRINT TABC5
T3"~ "TI T AB(2 5) L13 TAB(45) AA2
LPRINT TAB(5
PRINT
INPUT "¿OTRO TRIANGULO?S/N e INTRG";P4$
IF P4$ = "S" GOTO 2490 ELSE 1760
CLS
PRINT TABC25) "TRIANGULO", Al,A2,A3
LPRINT
LPRINT TABÍ25) "TRIANGULO", A1;A2;A3
PRINT "DISTANCIA EN FI Y TE TA ENTRE DOS PUNTOS"
LPRINT "DISTANCIA EN FI Y T ETA ENTRE DOS PUNTOS"
PRINT TABC5) "PUNTOS" TABC2 5) "FI" TABC45) "TETA"
LPRINT TAB(5) "PUNTOS" TA5( 25) "FI" TAB(45) "TETA
PRINT
INPUT "PRIMER PUNT0";F1
INPUT "SEGUNDO PUNT0"jF2
FI=I£( F1,7)~I£(F2,7)
TETA-I £(F1,8)-I(F2,8)
PRINT TABC5) F1"-"F2 TAB(25 ) FI TAB(45) TETA
LPRINT TAB(5) F1"-"F2 TAB(2 5) FI TAB(45) TETA
PRINT
INPUT "¿OTRA DISTANCIA?S/N e INTR0";P4$
IF P4$ ="S" GOTO 2890 ELSE 1 760
END
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RINT " F L U V I E N T . I C O "
NPUT " C U P U L A " ; C $
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PRÍN T " E S F U E R Z O S EN E S F E R A D E R A D I O ¡ " R " M E T R O S "
LPRI NT " E S F U E R Z O S EN E S F E R A D E R A D 1 0 : " R " M E T R O S "
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LPRI NT " P R E S I Ó N DE VI E N T G " Q " K G / M 2 "
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LPRI NT
LPRI NT
PI-3 .141593
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GOSü B 290
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GÜSU B 290
FI*9 O
GOSU B 290
FI-1 15
GOSU B 290
END
RFI = F P P I / 1 8 0
PRÍN T "ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI = "FI',GRADOS"
LPRI NT "ESFUERZOS DE VIENTO PARA EL ÁNGULO FI ^"FI"GRADOS"
LPRI NT
PRIN T "TETA'V'NFI'V'NFITETA'V'NTETA"
LPRI NT "TETA","NFI","NFITETA","NTETA"
LPRI NT
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QR = Q *R
Q R * - QR
A ^ C O S(RFI)+2
8 = 1 - COS(RFI)
C = l + COS(RFI)
FOR TETADO TO 180 STEP 10
R T E T A^TETA*PI/180
NFI = QR*A*B*C0S(RFI)*C0S(RTETA)/3/C/SIN(RFI)
N F I T ETA=QR*A*B*SIN(RTETA)/3/C/SIN(RFI)
N T E T A-QR*SINCRFI)*COS(RTETA)~NFI
P R I N T TETA ,
P R I N T USING "£££££.££";NFI ,
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P R I N T USING " £ £ £ £ £ . £ £ " ; N F I T E T A ,
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Í18. 375 TO 570 ST MX
119. HEHB PROP
120. 1 TO 632 PRIS AX .000537 IX .000000438 IY .000000219 IZ .000000219
121. CONS
122. E 7.E6 ALL
123. LOAD 1
124. JOIN LOAD
125. 1 6 25 30
FY -0.0375
126. 2 3 4 5 7 12 13 18 19 24 26 27 28 29
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FY -0.150
129. PERFORH ANALISYS
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** PERFORMISG BANDHITH REDUCTION.
** BANDVIDTH STATISTICS **
ORIGINAL BAND8IDTH = 315
REDUCED BANDWIDTH = 48
** PROCESSING HEHBER INFORMATION
** PROCESSING SUPPORT CONDITION.
** PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR.
** PROCESSING ELEHENT STIFFNESS MATRIX.
** PROCESSING GLOBAL STIFFNESS HATR1X,
** PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATION.
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IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT
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**STAAD-III VARHING***
IHPROPER LOAD WILL CAUSE INSTABILITY AT JOINT
321
"STAAD-III «ARNING***
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** CALCULATING JOINT DISPLACEHENTS.
** CALCULATING ELEHENT FORCES.
321
130. PRINT REAC
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57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
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72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
SO.
81.
32.
83.
84.
35.
36.
87.
88.
39.
90.
91.
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93.
94.
95,
96.
97.
93.
99.
100.
101.
102,
103.
104.
105.
57 3 4 58 1 3
REPEAT 2 16 15
59 9 10 60 1 3
RFPEAT 2 16 15
63 9 11 64 í 3
RFPEAT 2 16 15
61 U 12 62 í 3
REPEAT 2 16 15
65 10 12 66 1 3
RFPEAT 2 16 15
99 I 16 100 í 15
REPEAT 2 5 3
124 2 17 125 i 15
RFPEAT 2 5 3
102 10 25 103 1 15
RFPEAT 1 5 3
127 II 26 12S i 15
REPEAT 1 5 3
112 1 4 113 1 3
REPEAT 2 4 15
137 2 5 133 1 3
REPEAT 2 4 15
i 14 10 13
REPEAT 2 4.15
139 11 14
REPEAT 2 4 15
101 31 46
126 32 47 '
106 34 48
131 35 49
111 37 50
136 38 51
125 13 52
140 14 53
119 28
144 29
123 43
148 44
SUPP
2
54
55
50
51
5
17
32
8
39
7 15 22 23 30 37
40 TO 44 46 TO 49
45 50 51
PÍEMB PRÜP
1 TO 40 51 TO
41 TO 50 91 TO
137 TO 146
147
148
CONS
E 7.E6 ALL
LOAD 1
JO1N LOAD
10 13 19 25 23 34
4 16 22 31 37 40
i 7
PERFORH ANALYSIS
106. PRINT REAC
38 52 53 54 55
FIXED
FIXED
FIXED
FIXED
FIXED
FIXED
BÜT FX
FZ
BÜT FX
BUT
FY FZ
BUT FX FY
BUT
FY FZ
BÜT
FY
90 99 TO 108 112 TO 121 124 TO 133 PRIS
98 109 TO 111 122
123 134 TO 136 PRIS
PRIS
PRIS
FY -1.5
43 FY -0.75
FY -0.375
--
AX
AX
AX
AX
.000537
. 001)268
.000537
.000268
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S T A A D - III
REVISIÓN 7.06ÍVERSI0N 7,LEV£L 8)
PROPR1ETA8Y PROGRAH OF
RESEARCH ENGINEERS,INC.
DATE-11-11-88
TIKE=
16:50:47
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
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17.
18.
19.
20.
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30.
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34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
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47.
46.
49.
50.
STAAD TRUSS CELOSÍA 3
(JNIT HE «T
OUTPUT ÜIDTH 80
INPUT KODESIGH
JOIK COÜR
1 ,0
.5 0.
31 3.464
2 .0 - . 5 0.
32 3.464
3 .0
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5 .0 - . 5 1.732 35 3.464
6 .0
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8 .0 - . 5 3.464 38 3.464
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14 .866 - . 5 ; \ 5 9 8 44 4.330
15 .866 .0 3.464 45 4.330
KEMB IBCI
1 1 9 3 1 15
REPEAT 2 20 3
6 2 9 8 1 15
REPEAT 2 20 3
4 9 17 S 1 15
REPEAT 2 20 3
9 9 16 10 1 15
REPEAT 2 20 3
11 3 10 13 1 15
REPEAT 1 20 3
16 3 I I 18 1 15
REPEAT 1 20 3
14 11 18 15 1 15
REPEAT 1 20 3
19 10 18 20 1 15
REPEAT 1 20 3
51 1 3 52 1 3
REPEAT 2 16 15
55 2 3 56 1 3
REPEAT 2 16 15
53 3 5 54 1 3
REPEAT 2 16 15
57 3 4 58 1 3
REPEAT 2 16 15
59 9 10 60 1 3
REPEAT 2 16 15
63 9 11 64 1 3
REPEAT 2 16 15
61 11 12 62 1 3
.5
-.5
.0
.5
-.5
.0
.5
-.5
.0
.5
-.5
.0
.5
-.5
.0
0.
15
0.
15
.866 15
1.732 15
1.732 15
2.598 15
3,464 15
3.464 15
0.
15
.866 15
.866 15
1.732 15
2.598 15
2.598 15
3.464 15
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*
S TAA D- III
*
REVISIÓN 7.08WERSI0N 7.LEVEL 8)
*
*
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*
*
PROPRIETARY PROGRAM OF
RESEARCH ENGINEERS.INC.
I3ATE=
12-19-88
ÍJHF=
]J:23¡55
*
*
*
*
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3.
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5.
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?TAAÜ TRUSS CELOSÍA
HNIT ME M T
OUTPUT WIDTH SO
INPUT NÜDESI6N
JOIW COOR
t.
31 3.464 .5 0.
15
t .0 .5 0.
7, 2 .0 -.5 0.
32 3.464 -.5
• 0.
15
.0 .866 33 3.464 .0 .866 15
8. 3 .0
y. 4 .0
.5 1.732 34 3.464 .5 1.732 15
10. 5 .0 -.5 1.732 35 3.464 -.5
• 1.732 15
.0
2.593
6
.0
36
3.464
.0 2.598 15
11.
.5 3.464 37 3.464 .5 3.464 15
12. 7 .0
- 3.464 15
13. 8 .0 -.5 3.464 38 3.464 -.5
14. 9 .866 .0 0.
39 4.330 .0 0.
15
15. 30 .866 .5 .866 40 4.330 .5 .866 15
16. 11 .866 -.5 .866 41 4.330 -.5
• .866 15
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19, 14 .866-.5 2.598 44 4.330 -.5 2.593 15
20. 15 .866 .0 3.464 45 4.330 .0 3.464 15
21. 46 4.33 -.5 0.00 48 4.33 -.50 3.464
22. KEMB INCI
23. 1 1 9 3 í 35
24. REPEAT 2 20 3
25. 6 2 9 8 1 15
26. REPEAT 2 20 3
27. 4 9 17 5!. 1 15
28. REPEAT 2 20 3
29. 9 9 16 10 1 15
30. REPEAT 2 20 3
51. 11 3 30 13 1 35
~*o REPEAT 1 20 3
,$$, 36 3 11 18 1 15
34. REPEAT 1 20 3
35. 14 11 18 35 í 35
36. REPEAT 1 20 ' 3
37. 19 30 38 20 3 15
38. REPEAT 1 20 3
39. 53 1 3 52
' 1 3
40. REPEAT 2 16 15
41. 55 2 3 56
: 1 3
42. REPEAT 2 16 15
43. 53 3 5 54 1 3
44, REPEAT 2 16 15
' i 3
45. 57 3 4 53
4fc. REPEAT 2 16 15
47. 59 9 10 60 3 3
¿8, SFPEAT 2 16 15
LQ
^1
4?. 63 ^ 11 6* 1 3
•so. REPEAT 2 16 15
53. 63 11 12 62 1 3
52. REPEAT 2 16 15
53, 65 10 12 66 1 3
5*. REPEAT 2 16 15
55. 99 I JO
56. 100 16 25
57. 101 31 40
58. 102 10 16
59, 103 25 33
60. 104 4 10
63. 305 19 25
62. 106 34 40
63. 107 30 19
64. 108 25 34
65. 109 4 33
66. 110 19 28
67. 111 34 43
63. 1Í2 13 19
69. 3 33 28 34
70. 114 7 13
75. 3 35 22 28
72. 116 37 43
73. 317 13 22
74. U S 28 37
75, 119 2 17
76. 120 17 32
77. 321 32 46
78. 122 2 5
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80, 124 32 35
85. 325 5 20
82. 126 20 35
83. 127 35 47
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85. 129 20 23
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97, 133 8 23
38. 132 23 38
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93, 137 4 5
94. 138 7 8
95. SUPP
96. 2
17
5
32
97. 8
98. 39
99. 7 35 22 23 30 37 38
100. 40 T0 44 46 47
101.
102.
103.
104.
105,
106.
107.
108.
109.
110,
111.
112.
113.
11*.
•
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-
-
FIXETJ BUT FX
FZ
FIXEB BUT FX
FIXEB BUT
FY FZ
FIXEB BUT FX FY
FIXEB BUT
FY FZ
FIXEB BUT
FY
45 48
MEMB PROP
1 TQ 40 51 TO 90 99 TO 130
43 T0 50 91 TO 98 131 TO 133
134 TO 137
138
CONS
E 7.E6 ALL
LOAD 1
JOIN LOAD
10 13 19 25 28 34
FY -1.5
4 16 22 31 37 40 43 FY -0,75
í 7
FY -O.375
PPRFQRH ANALYSIS
PRIS AX
PRIS AX
PRIS AX
PRIS AX
.000537
.000268
.000537
.000268
4444444444444*#44444444t4fttt#4*4*444444444444444444
4
4
4
S T A A D - III
REVISIÓN 7.03ÍVERSI0N 7,LEVEL 8)
PROPRIETARY PROGRAM OF
RESEARCH ENGINEERS,INC.
4
4
DATE=
TIME=
4
4
11-16-87
19:01:07
4
4
4
4
4
4
4
4
444444444Íh444***44444**í444»44*4#44444444****444*»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
STAAD SPACE CELOSÍA 1
UNIT ME MT
OUTPUT WIDTH 80
INPUT NODESIGN
JOIN COOR
1 0.000 0.5
0.000
7.
8.
9.
10.
11.
REPEAT 4 0.0. 1.732
31 0.000 -0.5 0.000
REPEAT 4 0.0. 1.732
610.866 0.0 0.000
REPEAT 4 0.0. 1.732
12.
13.
14.
15.
16.
86 0.866 0.0
tíTPEAT 4 0. 0.
; ; : 0.000 0.0
K-'-iAT 3 0. 0.
i;'; 0,010 0.0
0.010
11 13 71
16 19 76
27.
28,
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
36 71 44
0.866
0.866
15
20
40
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46 81 56 50
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56 37 91 60
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101 1 111106 1
REPEAT 3 6 i i
125 111 37 130 1
1
1
1
1
42. REPEAT 3 6 ír
43.
44.
45.
46.
47.
36 8.660 -0.5 0.000
65 7.794 0.0 0.000
90 7.794
0.0 0.010
116 8.660
0.0 0.866
140 8.670
0.0 0.866
1.732
23. 21 ^25 81 25
24. 26 61 32 30 I 1
25. 31 66 38 35
26.
0.5 0.000
1.732
17. F£P£AT 3 0.0. 1.732
18. MEMB INCI
19. 1 í 61 5 1 1
20. 6 7 66 10
21.
22.
6 8.660
149 31 135 154 í 1
REPEAT 3 6 ¿i
173 135 7 178 1 1
REPEAT 3 6 é
197 1 2 201 1 1
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
"" • " " " " ' " • —
—
REPEAT 4 5 6
222 31 32 226 i i
REPEAT 4 5 6
247 1 7 252 1 1
REPEAT 3 6 6
271 31 37 276 í 1
REPEAT 3 6 6
295 61 86 299 1 1
REPEAT 4 5 5
320 111 135 325 1 1
REPEAT 3 6 6
SUPP
31
FIXED BUT MX
MZ
32 TO 37 42 43 48 49 54 TO 60 FIXED BUT MX MY MZ FX FZ
MEHB RELÉ
1 TO 25 ST MZ
26 TO 50 EN MZ
51 TO 75 ST HZ
76 TO 100 EN MZ
101 TO 124 ST MZ
125 TO 148 EN HZ
149 TO 172 ST MZ
173 TO 196 EN HZ
197 TO 294 ST MZ
197 TO 294 EN MZ
295 TO 343 EN MX
HEMB OFFS
51 TO 75 ST . 0 0 . .01
76 TO 100 EN . 0 0 . .01
149 TO 172 ST .01 0 . .0
173 TO 196 EN . 0 1 0 . .0
HEMB PROP
í TO 343 PRIS AX .000537 IX .000000438 IY .000000219 IZ .000000219
CONS
E 7.E6 ALL
LOAD 1
J01N LOAD
1 6 25 30
FY-1.
2 TO 5 7 12 13 18 19 24 26 TO 29 FY - 2 .
8 TO 11 14 TO 17 20 TO 23
FY - 4 .
PERFORM ANALYSIS
#* CHECKING LOAD DATA.
** PERFORMING BANDWITH REDUCTION.
** BANDWIDTH STATISTICS **
ORIGINAL BflNBWIDTH = 128
REDUCED BANDOTH = 30
** PROCESSING MEMBER INFORMATION
** PROCESSING SUPPORT CONDITION.
s* PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR.
•>Í
m
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**
**
PROCESSING ELEMENT STIFFNESS MATRIX.
PROCESSING GLOBAL STIFFNESS MATRIX.
PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATION.
CALCULATING JOINT DISPLÁCEMEOS.
CALCULATING ELEMENT FORCES.
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52. 1 TO 185 PRIS AX .000537 IX .000000438 IY .000000219 17 .000000219
53. COKS
54. E 7.E6 fll.L
55. LOAD 1
56. J01N LOAD
57. 34 60
FY 1.5
53. 32 34 37 48 49 56 53
FY 3.0
59, 39 41 44 46 5Í 53
FY 6.0
60. PERFORM ANALYSIS
LO
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*
*
í
S T A A D - III
REVISIÓN 7.08ÍVERSI0N 7TLEVEL 8)
PROPRIETARY PROGRAM OF
RESEARCH ENGINEERS,INC.
DATE=
11-17-87
TIME=
13¡10:44
*
*
*
*
*
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4
i*************************************************
1. STAAD SPACE CELOSÍA 2 /
2. UNIT ME-MT
3. OUTPUT WIDTH 80
4. INPUT NODESIGN
5. JÜIN COOR
6. 1 0.000 0.5 0.000
6 8.660 0.5
7. REPEAT 4 0. 0. 1.732
8. 31 0.000 -0.5 0.000 36 8.660 -0.5
9. REPEñT 4 0. 0. 1.732
10. 61 0.866 0.0 0.000 65 7.794 0.0
11. REPEAT 4 0. 0. 1.732
12. 86 0.866 0.0 [0,010.. 90 7.794 0.0
13. REPEAT 4 0. 0. 1.732
14. 111 0.000 0.0 0.866 116 8.660 0.0
15. REPEAT 3 0. 0. 1.732
__,16. 135 O.^ÍO) 0.0 0.866 140 8.670^)0.0
17. REPEATTO. 0. 1.732
18. MEÍ1B INC I
19. 1 1 61 5 1 1
20. 6 7 66 10
21. 11 13 71 15
22. 16 19 76 20
23. 21 25 81 25
24. 26 61 32 30 1 1
25. 31 66 38 35
26. 36 71 44 40
27. 41 76 50 45
28. 46 81 56 50
29. 51 31 86. 55 1 i
30. 56 37 91 60
31. 61 43 96 65
32. 66 49 101 70
33. 71 55 106 75
34. 76 86 2 80 1 i
35. 81 91 8 85
36. 86 96 14 90
37. 91 101 20 95
38. 96 106 26 100
39. 101 1 111 106 1 1
40. REPEAT 3 6 6
41. 125 111 37 130 1 1
42. REPEAT 3 6 6
43. 149 31 135 154 1 1
44. REPEAT 3 6 6
45. 173 135 7 178 1 1
46. REPEAT 3 6 6
47. 197 1 31 202 1 1
4fi W l
?5 SS 70P, 1 1
0.000
0.000
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49. 209 7 37 211 1 6
50. 212 12 42 214 1 6
51. 215 61 86 2Í9 1 1
52. REPEAT 4 5 5
53. 240 111 135 245 1 1
54. REPEAT 3 6 6
55. SUPP
1[
56. 31
FIXED BUT MX
MZ
57. 32 T0 37 42 43 48 49 54 TO 60 FIXED BUT HX MY MZ FX FZ
58. MEMB RELÉ
59. 1 TO 25 ST MZ
60. 26 TO 50 EN MZ
61. 51 TO 75 ST MZ
62. 76 TO 100 EN MZ
63. 10Í TO 124 ST MZ
64. 125 TO 148 EN MZ
65. 149 TO 172 ST MZ
66. 173 TO 196 EN MZ
67. 215 TO 263 EN MX
68. MEMB OFFS
>C X
-t
69. 51 TO 75 ST .0 0. .01
70. 76 TO 100 EN .0 0. .01
71. 149 TO 172 ST .01 0. .0
72. 173 TO 196 EN .01 0. .0
73. MEMB PROP
74. 1 TO 263 PRIS AX .000537 IX .000000438 IV .000000219 IZ .000000219
75. CONS
76. E 7.E6 ALL
77. LOAD 1,1... ¡ i ','•
78. JOIN LOAD
79. 1 6 25 30
FY -1.
80. 2 TO 5 7 12 13 18 19 24 26 TO 29 FY -2.
81. 8 TO 11 14 TQ 17 20 TO 23
FY -4.
82. PERFORM ANALYSIS
h
» CHECIÜNG LOAD DATA.
« PERFORMING BANDWITH REDUCTION.
« BANDUIDTH STATI8TICS **
ORIGINAL BANDWIDTH = 128
REDUCEB BANDUIDTH = 16
*» PROCESSING MEMBER INFORMATION
#* PROCESSING SUPPORT CONDITION.
** PROCESSING AND SETTING UP LOAD VECTOR.
## PROCESSING ELEMENT STIFFNESS MATRIX.
** PROCESSING GLOBAL STIFFNESS MATRIX.
#* PROCESSING TRIANGULAR FACTORIZATIQN.
** CALCULATING JOINT DISPLACEMENTS.
** CALCULATING ELEMENT FORCES.
83. PRINT REAC
*************************************************
*
*
*
*
*
S T A A D - III
REVISIÓN 7.08ÍVERSI0H 7.LEVEL 8)
PROPRIETARY PROGRAH OF
RESEARCH ENGINEERS,INC.
DATE=
01-09-89
TIME=
11:28:26
********* ********
************1*******************
1. STAAD SPACE CELOSÍA 2
2. UNIT ME HT
3. OUTPUT HIDTH 80
4. INPUT NODESIGN
5. JOIH CQOR
6, 1 0.000 0.5 0.000 6
7. REPEAT 4 0.0. 1.732
8. 31 0.000 -0.5 0.000 36
9. REPEAT 4 0.0. 1.732
10. 61 0.866 0.0 0.000 65
11. REPEAT 4 0.0. 1.732
12. 86 0.866 0.0 0.010 90
13. REPEAT 4 0.0. 1.732
14. 111 0.000 0.0 0.866 116
15. REPEAT 3 0.0. 1.732
16. 135 0.010 0.0 0.866 140
17. REPEAT 3 0.0. 1.732
18. HEHB I8CI
19. 1 1 61 5 1 1
20. 6 7 66 10
21. 11 13 71 15
22. 16 19 76 20
23. 21 25 81 25
24. 26 61 32 30 1 1
25. 31 66 38 35
26. 36 71 44 40
27. 41 76 50 45
28. 46 81 56 50
29. 51 31 86 55 1 1
30. 56 37 91 60
31. 61 43 96 65
32. 66 49 101 70
33. 71 55 106 75
34. 76 86 2 80 1 1
35. 81 91 8 85
36. 86 96 14 90
37. 91 101 20 95
38. 96 106 26 100
39. 101 1 111 106 1 1
40. REPEAT 3 6 É
41. 125 111 37 130 1 1
42. REPEAT 3 6 É
43. 149 31 135 154 1 1
44. REPEAT 3 6 í
45. 173 135 7 178 1 1
46. REPEAT 3 6 6
47. 197 • 1 31 202 1 1
48. 203 25 55 208 1 1
49. 209 7 37 211 1 6
50. 212 12 42 214 1 6
8.660
0.5 0.000
8.660 -0.5 0.000
7.794
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7.794
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123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
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76 TO 100 EN
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0. .01
149 TO 172 ST .01 0. .0
173 TO 196 EN .01 0. .0
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1 TO 339 PR1S AX .000537
000537 11
IX .000000438 IY .000000219 IZ .000000219
COKS
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LOAD 1
JOIfi LOAD
6 30
2 4 7 18 19 26 28
9 11 14 16 21 23
PERFORH ANALYSIS
** BANDWIDTH STATISTICS **
ORIGINAL BANDWIDTH = 128
REDÜCED BANDWIDTH = 37
FY - 1 . 5
FY - 3 .
FY - 6 .
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Inventor: El solicitante•
Corresponde l a presente descripción, ce aouriae
con su enunciado, a una estructura reticular eñtárea <iuc
prv-.:í:ta la ij.::ooi':óir.v.= v.-r.iC-;-?.r.ío'tict. '~Ü ••::•.." ].I-- ..-•;,? ••.
Cualquiera de X~s estructuras -asTírciíS
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das o sinplenente proyect&day hasta el ruci/iento actual ÍOÍ;
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S o l i c i t a n t e : Don E m i l i o PiiBHZ PIZAÍKO, de n a c i o n a l i d a d
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Inventor: El
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. AAAA-A:1A% y i a prsssr.Vi ^...o.;A,:. : ^ : v A : . ^ • J . : . - . -
iv:^!0i'í.ii:: ~ue c o m p l e t a n satiSj'&ctoria/úJDii'ce cioucxla invoxo.ienj
cuyas mejoras h a b r á n do c o n s t i t u i r un -'AI; AA CA:;AAU:J.C„A- ,'.>
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IX.
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D E S C R I P T I V A
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TURA RETICULAR E3TEREA DESPLEGAELE'1*
Solicitante: D. Enilio Peres Pinero, domiciliado en
callo Constitución nS 16,- CALASPARRA •
(Tercia) •
Inventor: 21 Solicitante, Arquitecto do nacionalidad
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