Problemas de Mecánica: Vectores 5.Vectores 1. Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas: F = 260 lb 600 F = 310 lb 2100 En problemas de vectores, cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación, se recomienda: i. Hacer una representación gráfica en el plano para visualizarlo. Si el tratamiento que le vamos a dar es por medio del método analítico, utilizar una regla u objeto recto (no es necesario usar el juego geométrico). Se pueden representar utilizando aproximaciones tanto para la magnitud como para el ángulo, guardando las proporciones cuando son más de dos vectores. Lo anterior es para darnos una idea global de lo que esperaríamos encontrar (Así por ejemplo, al observar la figura vemos que la componente horizontal de F1 es menor que la de F2). ii. Trazar líneas punteadas paralelas a los ejes coordenados a partir de la punta del vector. iii. Escribir sobre los ejes las componentes de los vectores utilizando subíndices para identificarlas. iv. Si el vector se encuentra en el I cuadrante, aplicar los conocimientos de funciones trigonométricas a los triángulos rectángulos que se forman. Cuando el ángulo es mayor de 900, existen dos opciones: a) La primera es aplicar las funciones trigonométricas (como si el vector estuviese en el primer cuadrante) siempre y cuando el ángulo sea medido en sentido contrario a las manecillas del reloj. b) La segunda es trazar el triángulo rectángulo que se forma identificando el cateto opuesto y el adyacente y aplicar las funciones trigonométricas al triángulo formado. Adicionalmente, observar hacia dónde apunta el vector para darle los signos (+ , - ) a nuestros resultados, Así por ejemplo, la componente horizontal del vector F2 apunta hacia la izquierda en sentido del eje x- por lo que a tal componente le habremos de agregar el signo negativo. Lo mismo ocurre para la componente vertical, ya que el vector apunta en sentido del eje y-. Componente rectangular horizontal del vector F1. Del triángulo rectángulo formado y señalado con sombra, aplicamos la función trigonométrica: Problemas de Mecánica: Vectores cos1 cat. ady. F1x hip F1 Despejando a la componente horizontal: F1x F1 cos1 260 lb (cos600 ) 260 lb (0.5) 130 lb Componente rectangular vertical del vector F1. De la función trigonométrica: sen1 cat. op. F1 y hip F1 despejamos la componente vertical F1y F1 sen1 260 lb (sen600 ) 260 lb (0.8660) 225.16 lb Componente rectangular horizontal del vector F2. De la función trigonométrica cos 2 cat. ady. F2 x hip F2 despejando a la componente horizontal: F2 x F2 cos 2 310 lb (cos2100 ) 310 lb (0.8660) 268.47 lb Componente rectangular vertical del vector F2. De la función trigonométrica sen 2 cat. op. F2 y hip F2 despejando a la componente vertical: F2 y F2 sen 2 310 lb (sen2100 ) 310 lb (0.5) 155lb . Para éste mismo vector F2, encontraremos las componentes basándonos en el triángulo rectángulo que se forma: Componente rectangular horizontal de F2 con 300 . Problemas de Mecánica: Vectores De la función trigonométrica cos 2 cat. ady. F2 x hip F2 despejando a la componente horizontal: F2 x F2 cos 2 310lb (cos300 ) 310lb (0.8660) 268.47 lb . Como el vector apunta en sentido de x-, le agregamos el signo negativo F2x = - 268.47 lb. Componente rectangular vertical de F2 con 300 . De la función trigonométrica: sen 2 cat. op. F2 y hip F2 despejando a la componente vertical: F2 y F2 sen 2 310 lb (sen300 ) 310 lb (0.5) 155lb . Como el vector apunta en sentido de y-, le agregamos el signo negativo F2y = - 155 lb. 2. Encontrar las componentes rectangulares de una fuerza de 50 N, cuya dirección forma un ángulo de 500 por encima de la horizontal. Como el ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, aplicamos las relaciones: Fx F cos Fy F sen Fx = 50 N (cos 500)= 50 N (0.6428) = 32.14 N Fy = 50 N (sen 500) = 50 N (0.766) = 38.30 N 3. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son: Ax = 10 Bx = -10 Ay = 30 By = 30 En este problema, se nos proporcionan las componentes rectangulares y se nos pide encontrar al vector. Para encontrar la magnitud, aplicamos el teorema de Pitágoras A A ( Ax ) 2 ( Ay ) 2 Para encontrar la dirección y sentido, aplicamos la función trigonométrica tangente del ángulo. El ángulo viene dado por la tangente inversa del cociente de la componente vertical entre la componente horizontal. Problemas de Mecánica: Vectores Ay Ax tan1 Para el vector A A A (10 ) 2 (30) 2 1000 31 .62 30 1 0 tan (3) 71.56 10 tan1 Para el vector B B B (10) 2 (30) 2 1000 31.62 30 1 0 tan (3) 71.56 10 tan1 Antes de proceder a graficarlos, es pertinente hacer la siguiente aclaración: Cuando se calcula el ángulo mediante la función tangente inversa, se presenta una complicación debido a que hay dos ángulos menores de 3600 que tienen la misma tangente. Estos dos ángulos difieren en 1800 Por ejemplo: tan 250 = 0.466307 tan (250 +1800 )= tan 2050 = 0.466307 Para salvar dicha dificultad, se debe de seguir lo siguiente: a) Si las dos componentes del vector son positivas, el vector se encuentra en el I cuadrante y el ángulo se calcula directamente de la fórmula. b) Si las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al resultado obtenido se le suman 1800. c) Si la componente horizontal es negativa y la vertical positiva, el vector se encuentra en el II cuadrante y al resultado (que es negativo) se le suman 1800. d) Si la componente vertical es negativa y la horizontal positiva, el vector se encuentra en el IV cuadrante, obteniéndose un ángulo negativo, lo cual nos indica que se mide en sentido de las manecillas del reloj. Para obtener el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, hay que sumarle 3600. Con las observaciones anteriores, el vector B se encuentra en el II cuadrante por lo que hay que sumarle 1800 al resultado obtenido. Problemas de Mecánica: Vectores 4. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores, cuyas componentes son: Cx = -1 0 Dx = 10 Cy = - 30 Dy = - 30 C C (C x ) 2 (C y ) 2 (10) 2 (30) 2 1000 31.62 30 1 0 tan (3) 71.56 10 C tan1 Como las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al ángulo le sumamos 1800. C 71.560 1800 251.560 D D ( Dx ) 2 ( D y ) 2 (10) 2 (30) 2 1000 D 31.62 30 1 0 tan (3) 71.56 10 D tan1 C 71.560 1800 251.560 Como la componente horizontal es positiva y la vertical negativa, el vector se encuentra en el IV cuadrante, por lo que al ángulo hay que sumarle 3600. D 71.560 3600 288.440 5. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 1200 sobre la horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza. Fx = F cos 120 N( cos1200 ) 120 N (0.5) Fx = 60 N Fy = F sen 120 N( sen1200 ) 120 N (0.8660) Fy = 103.92 N 6. Un aeroplano vuela 60 km en una dirección de 400 al Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes rectangulares de su desplazamiento del avión? Dx = D cos 60 Km( cos1300 ) 60 Km (0.6428) D x = 38.57 Km DY = D sen 60 Km(sen1300 ) 60 Km (0.7660) Dy = 45.96 Km Problemas de Mecánica: Vectores 7. Un barco navega hacia el noroeste con una rapidez de 40km/hr. Hallar la componente de su rapidez en dirección del Oeste. Considerando el ángulo de 1350 Vx = V cos 40 Vx = - 28.28 Km Km (cos135 0 ) 40 (0.7071) hr hr Km hr Considerando el ángulo de 450 Vx = V sen 40 Vx = 28.28 Km Km (sen45 0 ) 40 (0.7071) hr hr Km hr Vx = -28.28 km/hr (Se le agregó el signo negativo porque el vector V apunta en dirección del eje x-). 8. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante producida por una fuerza vertical hacia arriba de 40 N y una fuerza horizontal hacia la derecha de 30 N. a) Por el método analítico. b) Por el método gráfico. Analítico. Como los vectores se encuentran sobre los ejes, sus componentes rectangulares son iguales a las magnitudes, es decir: F1y F1 30N F2 x F2 40N FR FR ( F2 x ) 2 ( F1 y ) 2 FR FR (40 N ) 2 (30 N ) 2 FR FR 2500 N 2 50 N Para determinar su orientación: R1 y R2 x D tan1 40N tan1 ( ) 53.130 30N 9. Encontrar la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas: F1 = 5 N 2 450 F2 = 3 N Método Gráfico 2 1800 F3 = 7 N 3 2250 Problemas de Mecánica: Vectores Método Analítico: FR FR ( FRx ) 2 ( FRy ) 2 donde: FRx F1x F2 x F3 x FRy F1y F2 y F3 y . Para las componentes en el eje x FRx F1 cos1 F2 cos 2 F3 cos3 FRx 5 cos450 3 cos1800 7 cos2250 FRx 3.5355 8 39 8 4.9497) FRx 4.4142N . Para las componentes en el eje y FRy F1 sen1 F2 sen 2 F3 sen3 FRy 5sen450 3sen1800 7sen2250 FRy 5(0.7071) 3(0) 7(0.7071) FRy 1.4142N sustituyendo los valores encontrados FR FR (4.4142 ) 2 (1.4142 ) 2 FR FR 19.48 2 21.48 FR FR 4.63 N . Para encontrar el ángulo Problemas de Mecánica: Vectores FRy 1.4142N 1 tan1 tan (0.3204) 4.4142N FRx R tan1 R 17.760 . Como ambas componentes son negativas, el vector resultante se encuentra en el III cuadrante por lo que tenemos que sumarle 1800. R 197.760 10. Un vector D tiene 2.5 m de magnitud y apunta hacia el Norte. ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones de los siguientes vectores? a) - D b) D / 2 c) -2.5 D d) 4.0 D a) magnitud de 2.5 y apunta hacia el sur b) magnitud 1.25 y apunta hacia el norte. c) magnitud 6.25 y apunta hacia el sur d) magnitud 10 y apunta hacia el norte 11. Calcular el producto punto y la magnitud del producto cruz de los vectores: a) 1 600 F1 260 lb b) Cx = -10 Cy = -30 F2 310 lb Dx = 10 1 2100 Dy = - 30 a) Producto punto: F1 F2 F1 F2 cos12 Donde 12 es el menor ángulo que se forma entre F1 y F2 ( 2100 600 1500 ) F1 F2 (260lb)(310lb)(cos1500 ) 69801.64lb 2 a) Producto cruz: F1 F2 F1 F2 sen12 F1 F2 (260lb)(310lb)(sen1500 ) 40300lb 2 b) Para encontrar el producto punto y la magnitud del producto cruz, primero debemos de encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores, lo cual se hizo en el problema 4 de esta misma serie, siendo éstos: C 31.62 C 251.560 Problemas de Mecánica: Vectores D 31.62 C 288.440 C D C D cosCD (31.62)(31.62) cos(288.440 251.560 ) C D 999.8244cos36.880 799.89 C D C D senCD C D (31.62)(31.62)sen36.880 600.14 12. Dados los vectores A y B que tienen las siguientes componentes: Ax = 3.2 Ay = 1.6 Bx = 0.5 By = 4.5 Encontrar el ángulo entre los dos vectores. El ángulo entre los vectores viene dado por el producto punto: A B A B cos AB despejando el ángulo: cos AB AB . A B Por otro lado, el producto punto entre dos vectores, expresado en función de los vectores unitarios es: A B ( Ax iˆ Ay ˆj) (Bx iˆ By ˆj) . Efectuando las multiplicaciones como si fuese el producto de dos binomios del álgebra elemental, pero conservando el producto punto: A B Ax iˆ Bx iˆ Ax iˆ By ˆj Ay ˆj Bx iˆ Ay ˆj By ˆj A B Ax Bx (iˆ i) Ax By (iˆ ˆj) Ay Bx ( ˆj iˆ) Ay By ( ˆj ˆj) donde: iˆ i i i cos (1)(1) cos00 1 ˆj ˆj j j cos (1)(1) cos00 1 iˆ ˆj i j cos (1)(1) cos900 0 ˆj iˆ j i cos (1)(1) cos900 0 teniendo que el producto punto entre los vectores A y B se reduce a: A B Ax Bx Ay By . En nuestro problema: Problemas de Mecánica: Vectores A B 3.2(0.5) (1.6)(4.5) 1.6 7.2 8.8 Adicionalmente a lo anterior, tenemos que las magnitudes de los vectores son: A ( Ax ) 2 ( Ay ) 2 (3.2) 2 (1.6) 2 3.577 B ( B x ) 2 ( B y ) 2 (0.5) 2 (4.5) 2 4.527 Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación para el ángulo: 8.8 cos1 (0.5434) 570 ( 3 . 577 )( 4 . 527 ) AB cos1 b) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector A = 3.2i + 1.6j y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir: Bx = ? By = ? B=5 El problema se puede resolver de una forma sencilla, sin embargo, lo resolveremos utilizando el formulismo matemático, para ello aplicamos: o El producto cruz entre dos vectores y determinamos la magnitud del vector resultante C C=AxB C A B A B sen AB donde: A ( Ax ) 2 ( Ay ) 2 (3.2) 2 (1.6) 2 3.577 B=5 900 por ser perpendiculares Sustituyendo: C = (3.577)(5) sen 900 C = 17.885 o El producto punto entre los vectores A B A B cos AB A B (3.577)(5) cos900 AB 0 Por otro lado, en el inciso anterior de este mismo problema tenemos que el producto punto entre los vectores A y B en función de sus componentes viene dado por: A B Ax Bx Ay By Problemas de Mecánica: Vectores Adicionalmente, determinaremos el producto cruz entre los vectores y lo expresaremos de igual forma en función de sus componentes rectangulares: A x B = (Ax i + Ay j ) x (Bx i + By j ) A x B = ( Ax i x Bx i ) + ( Ax i x By j )+( Ay j x Bx i )+ ( Ay j x By j ) A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j ) donde: ixi=0 ix j=k j x i = -k jxj=0 Donde k se determina usando la regla de la mano derecha, siendo un vector unitario perpendicular a i y a j, que se encuentra en dirección del eje de las z en el espacio tridimensional. Sustituyendo estos valores en el producto cruz entre los vectores A y B A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j ) A x B = Ax Bx ( 0 ) + Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) + Ay By ( 0 ) A x B = Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) C = A x B = ( Ax By - Ay Bx )( k ) Donde C está en la dirección del vector unitario k, su magnitud viene expresada por: C = Ax By - Ay Bx Esta misma magnitud es la que encontramos anteriormente, es decir, C = 17.885 Resumiendo todo lo anterior, tenemos que: C = Ax By - Ay Bx = 17.885 Resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Éstas son las componentes Bx y By, las cuales determinaremos a continuación: Ax By - Ay Bx = 17.885 Ax Bx + Ay By = 0 Sustituyendo los valores de las componentes del vector A: 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 3.2 Bx + 1.6 By = 0 Multiplicando la segunda ecuación por -2 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 (-2) (3.2 Bx + 1.6 By )= 0 (-2) Efectuando el producto 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 -6.4 Bx - 3.2 By = 0 Reagrupando términos y sumando: Problemas de Mecánica: Vectores 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 + - 3.2 By - 6.4 Bx = 0 - 8 Bx = 17.885 Despejando a la componente: Bx = 17.885 / -8 Tenemos que: Bx = - 2.235 De igual forma se encuentra la componente By, multiplicando la primera ecuación por 2 (aunque también se puede hacer sustituyendo el valor de Bs encontrado, en cualquiera de las dos ecuaciones) ( 2 ) ( 3.2 By - 1.6 Bx ) = 17.885 ( 2 ) 3.2 Bx + 1.6 By = 0 obteniendo: 6.4 By - 3.2 Bx = 35.77 + 1.6 By + 3.2 Bx = 0 8 By = 35.77 Despejando By By = 35.77 / 8 By = 4.471 Para comprobar nuestros resultados, calcularemos la magnitud del vector B utilizando las componentes: B B ( Bx ) 2 ( By ) 2 (2.235) 2 (4.471) 2 4.99 19.99 24.98 5 y el ángulo: By 4.471 tan1 ( ) tan1 (2) 63.470 2.232 Bx tan1 Como la componente horizontal es negativa, a este ángulo le sumamos 180 0, obteniendo el ángulo medido con respecto al eje de las x+. B 1800 63.470 116.520 y la diferencia entre B y A es B A 116.523 26.56 900 - B Ahora resolveremos el mismo problema, aunque de una manera no muy ortodoxa, es decir, sin el formulismo vectorial. a' ) Encontrar el ángulo entre A y B Conociendo las componentes podemos determinar los ángulos que forman cada vector con respecto al eje de las x+, posteriormente, calculamos la diferencia entre ambos ángulos y obtenemos el ángulo entre ellos. Problemas de Mecánica: Vectores Ay 1.6 1 0 tan1 tan (0.5) 26.565 3.2 Ax A tan1 By 4.5 1 0 tan1 tan (9) 83.658 0.5 Bx B tan1 B A 83.6580 26.5650 57.090 b' ) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector A = 3.2i + 1.6j y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir: Bx = ? By = ? B=5 Para que el vector B sea perpendicular a A, debemos de sumarle 900 B A 90 26.5650 900 116.5650 Conociendo el ángulo y la magnitud, podemos encontrar las componentes Bx B cosB 5cos116.5650 5(0.4472) 2.236 By B senB 5sen116.5650 5(0.8944) 4.472