Repaso de Algebra

AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
Repaso de Álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que se encarga de las reglas de las cantidades en abstracto
y representadas con variables para realizar diversas operaciones que pueden ser interpretadas de
diferentes maneras.
Término: Se le llama así a la representación de variables que dan a entender uno o más valores de
una expresión algebraica.
- 3x2
Signo Variable
Coeficiente
Exponente
La unión de términos recibe un nombre según la cantidad que se presente:
Un término
Monomio
 2x 3 y 2 z
Dos términos
Tres términos
Binomio
Trinomio
5x 2  8
2x  3 y  5
Cuatro o más
Polinomio
7 x 2 y  12xy 2  5x  3 y  9
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma algebraica
*Sólo se suman los coeficientes, no los exponentes; deben sumarse los coeficientes de variables
iguales con exponentes iguales.
*Se aplica la ley de los signos en la suma: Términos con signos iguales se suman sin cambiar el
signo; Términos con signos diferentes se restan colocando en el resultado el signo del coeficiente
más grande.
EJEMPLO:
5x
3
 
 

 8 x 2  6 x  9  7 x 3  4 x 2  9 x  4   2 x 3  5 x 2  3x  7  10x 3  x 2  6 x  2
7x3  4x 2  9x  4
 2 x 3  5 x 2  3x  7

10x 3  x 2  6 x  2
Resta algebraica
*Se cambian los signos del término que tenga frente a su paréntesis el signo de resta.
*Después de cambiar los signos del término que esté a la izquierda del signo de resta se realiza
como una suma algebraica.
EJEMPLO:
5x
3
 

 8 x 2  6 x  9  7 x 3  4 x 2  9 x  4  2 x 3  12x 2  15x  13
5x 3  8x 2  6 x  9
 7x3  4x 2  9x  4

 2 x 3  12x 2  15x  13
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
Multiplicación algebraica
*Solo se multiplican los coeficientes, no los exponentes.
*De variables iguales se suman los exponentes.
*Con variables diferentes sólo se ordenan alfabéticamente sin cambiar los exponentes.
*Se aplica la ley de los signos en la multiplicación: Términos con signos iguales dan positivo en el
resultado; Términos con signos diferentes dan negativo en el resultado.
EJEMPLO:
7 x
3


 8 x 2  5 x  3 2 x 2  3 x  2  14x 5  37x 4  48x 3  37x 2  19x  6
_____2 x 2  3 x  2
14x 5  16x 4  10x 3  6 x 2
____ 21x 4  24x 3  15x 2  9 x
__________
_ 14x 3  16x 2  10x  6

14x 5  37x 4  48x 3  37x 2  19x  6
División algebraica
División de monomios:
*Solo se dividen los coeficientes, no los exponentes.
*De variables iguales se restan los exponentes colocando la variable con su nuevo
exponente en el lugar donde el exponente era más grande.
*Con las variables diferentes se dejen en el lugar original, sin cambiarlas.
*Se aplica la ley de los signos de la multiplicación.
EJEMPLO:
 180a 2 b 4 c 3 d  180 21 42 33 14
 4ab2
2 0 3

a b c d  4ab c d 
45
45ab2 c 3 d 4
d3
División de monomio y polinomio
*Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el termino del monomio
como se realiza la división de monomios y se agrupan los resultados individuales.
EJEMPLO:
32x 4 y  12x 2 y 3  16xy 4 32x 4 y  12x 2 y 3 16xy 4
4y3
2
2



 5x  3 y 
x
4x 2 y
4x 2 y
4x 2 y
4x 2 y
Teorema de Factor
(2x3-9x2+10x-7) / x-3
2
-9
6
10
-9
-7
3
3
2
-3
1
-4 residuo
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
Teorema de factor : Un polinomio P(x), tiene un factor x-c, si y sólo si P(c) es igual a cero.
P(x)=x3-3x2+7x-10
x-2
P(2)=23-3(2)2+7(2)-10
P(2)=8-12+14+10
P(2)=0
Por lo tanto x-2 Si es factor del polinomio.
Potencia algebraica
*Sólo se eleva a la potencia indicada el coeficiente no los exponentes.
*Los exponentes se multiplican por la potencia indicada.
*Las potencias pares dan un resultado positivo; las potencias impares quedan con el mismo signo.
EJEMPLO:
 2 x y z    2 x y z   8x
 3a b c    3 a b c  81a b c
4 3
3
2
3
2 5 4
3
4
3*3
3*4
2*3
4*3
2*4 5*4
12
8
9
y 6 z 12
20
LEYES DE LOS EXPONENTES
A n * A m  A nm
An
 A nm
m
A
A 
m n
 Am*n
a4*a3=a7
a5 /a3 = a 5-3= a2
(a2)5=a10
m
n
Am  A n
A n 
5
(14)4=144/5
1
An
PRODUCTOS NOTABLES o MULTIPLICACIONES ABREVIADAS
Binomio al cuadrado (a+b)2= a2+2ab+b2
*El cuadrado del primer término.
*El producto del primer término por el segundo término y el resultado por dos.
*El cuadrado del segundo término.
Nota: El primer término y el segundo siempre son positivos.
Producto de binomios (a+b) (a+c)= a2+ (b+c) (a)+ (b) (c)
*El cuadrado del término común.
*El término común por la suma algebraica de los términos diferentes.
*El producto de los términos no comunes.
Nota: El primer término siempre es positivo.
Binomios conjugados (a+b) (a-b)= a2-b2
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
*El cuadrado del término con signos iguales menos (-) el cuadrado del término con signos
diferentes.
Binomio al cubo (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
*El cubo del primer término.
*El cuadrado del primer término por el segundo término y el resultado por tres.
*El cuadrado del segundo término por el primer término y el resultado por tres.
*El Cubo del segundo término.
Nota: En caso de tener un signo negativo los signos se intercalan en el resultado +,-,+,-.
(a-b) (a2 +ab+b2)=a3-b3
(a+b)(a2 -ab+b2)=a3+b3
*El cubo del primer término.
*El cubo del segundo término.
Nota: Se respetan los signos del segundo término en el resultado.
Diferencia de cubos
Binomio de Newton
(a+b)n=an+n/1an-1b+n(n-1)/1*2ªn-2b2...+n(n-1)(n-2)/1*2*3an-3b3+......
....+n/1abn-1+bn
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4ª3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
FACTORIZACIÓN
Trinomio cuadrado perfecto
36x2-60xy+25y2
*Se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer término.
6x
*Se abre un paréntesis al cuadrado y se colocan las raíces.
5y
(6x 5y)2
*Se coloca el signo del segundo término.
(6x-5y)2
Trinomio cuadrado
x2-2xy-63y2
*Se obtiene la raíz cuadra del primer término.
x
*Se abren dos paréntesis y se coloca como primer término
la raíz encontrada en ambos.
(x )(x
)
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
*Se buscan dos números que multiplicados den el tercer
término y que sumados o restados den el segundo término.
9x7=63
9-7=2
*Se colocan en los paréntesis.
(x 9y)(x 7y)
*El signo del segundo término se coloca en el número más
grande y el producto de los signos del segundo término y el
tercer término se coloca en el número más pequeño.
(x-9y) (x+7y)
Trinomio cuadrado compuesto
6x2+x-15
*Se multiplica el coeficiente del primer término por el último
6x15=90
*Se buscan dos números que multiplicados den el resultado
anterior y sumados den el coeficiente del segundo término
10x9=90
10-9=1
*Se abren dos paréntesis y se coloca el primer término sin el
exponente cuadrático.
(6x ) (6x )
*Se colocan los números encontrados y los signos se manejan
como el ejemplo anterior.
(6x-9)(6x+10)
*Se separa el coeficiente del primer término y se coloca como
denominador de cada uno de los binomios.
(6x-9)/3 (6x+10)/2
*Se simplifican los binomios.
(2x-3)(3x+5)
Diferencia de cuadrados
196x6-169x2
*Se obtiene la raíz cuadrada de ambos términos.
14x3
13x
*Se abren dos paréntesis con signos de más y de menos.
( + )( - )
*Se colocan las raíces encontradas en el orden original.
(14x3+13x)(14x3-13x)
Diferencias de cubos
27x6-64y3
*Se obtiene la raíz cúbica de cada término
3x2
*Se colocan desarrollando el siguiente modelo
(a- b)(a2+ab+b2)
(3x2-4y)(9x4+12x2y+16)
Término común
75x4-27x2y2
4y
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
*Se busca un número que pueda dividir a todos los
coeficientes y la variable que se repita con el exponente
más pequeño que aparezca.
3x2
*Se divide cada término entre el término común encontrado
3x2(25x2-9y2)
*Se revisa si la nueva expresión aún puede factorizarse y se
realiza sin perder el término común encontrado.
3x2(5x+3y) (5x-3y)
Polinomio Cubo Perfecto
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
Características de un polinomio cubo perfecto:
a) Tener cuatro términos.
b) Que el primero y el último término sean cubos perfectos.
c) Que el segundo término, siendo positivo o negativo, sea el triple del cuadrado del primero con
raíz cúbica extraída, multiplicado por la raíz cúbica del último termino.
d) Que el tercer término sea positivo y el triple de la raíz cúbica del último.
8x3+12x2+6x+1= (2x+1)3
2x
1
3(2x)2(1)
3(2x)(1)2
LENGUAJE ALGEBRAICO
Un número cualquiera.
La suma de dos números diferentes
.
El producto de dos números.
La diferencia de dos números.
El doble de un número.
Las tres cuartas partes de un número.
El cuadrado de un número.
La semisuma de dos números (media de dos números).
El triple de un número disminuido en su mitad.
El doble de un número disminuido en cinco.
La quinta parte de un número aumentado en tres
El doble de un número disminuido en el triple de otro número
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
x
x+y
xy
x- y
2x
3x/4
x2
(x + y)/2
3x- x/2
2x-5
x/5 +3
2x-3y
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
Se puede resolver por medio de factorización, tomando en cuenta de que después de igualar a cero
se despeja cada uno de los factores encontrados.
Se puede resolver por formula general con el modelo: ax2  bx  c  0 donde la formula es:
x
 b  b 2  4ac
en donde se substituyen los valores por los coeficientes de la ecuación y si
2a
alguno de ellos no aparece su valor es cero.
Operaciones Radicales (combinación de radicales)
Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando.
24+54= 26 +36 = 56
24 = 23*3=22*2*3 = 26
54=2*33=2*3*32 = 36
18+27 No son semejantes
32
33
Multiplicación de Radicales.
anb=nab
2*3=2*3=6
n
División de Radicales.
n
a/nb=na/b
6/3=6/3=2
Cuando hay fracciones en el radicando, se multiplican el numerador y el denominador del
radicando por el número mínimo que haga que el denominador sea una raíz perfecta.
a/b=a/b*b/b=ab/b=1/bab
Cuando aparece un radical en el denominador de una fracción, se multiplican el numerador
y el denominador por el radical.
a/b=a/b*b/b=ab/b=a/bb
Racionalización.
AUTOR: G. Teodoro Oriza Barrios
Factor racionalizador. Solo se cambia el signo intermedio 2+32-3
Racionalización.
Significa multiplicar el numerador y el denominador por el factor racionalizador.
2/2-3=2(2+3)/2-3(2+3)=22+23/4-23+23-9=22+6/4-3=22+6/1
Números Complejos.
i=-1 i2=-1
Un número complejo consta de dos partes, una parte real y otra imaginaria.
a+bi a=parte real bi=parte imaginaria