DAVID LOPEZ GOMEZ
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Universidad Politécnica de Madrid ESCUELA DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS Aplicaciones de la Hidrodinámica Suavizada de las Partículas al Estudio de Fenómenos Hidráulicos. TESIS DOCTORAL David López Gómez Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. 2010 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS Aplicaciones de la Hidrodinámica Suavizada de las Partículas al Estudio de Fenómenos Hidráulicos. TESIS DOCTORAL Autor: David López Gómez Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Director de la Tesis: Luis Garrote de Marcos. Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. 2010 AGRADECIMIENTOS En primer lugar quiero dar las gracias a Jose María Grassa, por abrirme las puertas del SPH y guiarme por senderos que conducen al conocimiento. A Luis Garrote, mi Director de Tesis, por la lucidez inestimable de sus consejos. A Pili por su generosidad e infinita paciencia. A mis hijos David, Pablo, Inés y Lucas, los cuatro caños que llenan mi vida de alegría. A toda mi familia y en especial a mis padres a quienes tanto quiero y tanto debo. A mis compañeros del Laboratorio de Hidráulica, Roberto, Miguel, Rubén y Juanjo, por vuestra ayuda y por la ilusión con que compartís conmigo este camino. Al CEDEX por el apoyo brindado para el desarrollo de esta Tesis. Gracias a los compañeros del CEH y CEPYC. INDICE Capítulo 1. Introducción…………………………………………….. 1.1 Objetivos……………………………………………………………………….. Capítulo 2. Estado del arte………………………………………….. 2.1 Las ecuaciones del movimiento del agua………………………………….. 2.1.1 Descripciones cinemáticas…………………………………………. 2.1.2 Derivadas material, local y convectiva…………………………… 2.1.3 La ecuación de continuidad………………………………………... 2.1.4 La ecuación de la dinámica ……………………………………….. 2.1.5 Ecuaciones de Navier-Stokes y disipación de la energía………. 2.1.6 Flujos turbulentos. ………………………………………………….. 2.1.7 Métodos de cálculo de flujos turbulentos………………………… 2.1.7.1 Ecuaciones RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes). 2.1.7.2 Modelos de turbulencia……………………………………. 2.1.7.2.1 Modelos de la Longitud de Mezcla de Prandtl. ……………………………………….. 2.1.7.2.2 Modelo k-ε. ……………………………………… 2.1.7.2.3 Modelo de las tensiones de reynolds. (RSM)… 2.1.7.2.4 Modelo de simulación de grandes remolinos (LES)……………………………………………… 2.2 El método SPH………………………………………………………………... 2.2.1 La interpolación…………………………………………………….. 2.2.1.1 El kernel …………………………………………………….. 2.2.1.2 La integración y suma interpolada………………………. 2.2.1.3 La derivada primera……………………………………….. 2.2.1.4 La derivada segunda……………………………………….. 2.2.2 Las ecuaciones del movimiento……………………………………. 2.2.2.1 El término viscoso………………………………………….. 2.2.2.1.1 Modelo de viscosidad laminar………………… 2.2.2.1.2 Modelo de viscosidad artificial de Monagahan…………………………………….. 2.2.2.1.3 Modelo k-ε de dos ecuaciones. 2.2.2.1.4 Modelo de simulación de grandes remolinos (LES)………………………………………………. 2.2.2.2 Ecuación de Estado………………………………………… 2.2.3. Métodos de Integración……………………………………………. 2.2.4.Limitaciones del paso de tiempo…………………………………... 2.2.5. Tratamiento de contornos…………………………………………. 2.3 Aplicaciones de SPH en estructuras hidráulicas………………………… 1 5 8 8 9 10 11 12 15 17 20 21 22 22 24 24 25 27 27 28 33 33 35 37 38 38 39 41 42 43 45 47 48 51 Capítulo 3. Metodología……………………………………………... 3.1 Metodología…………………………………………………………………… 3.2. El caso de prueba……………………………………………………………. 3.3. Experimentación numérica…………………………………………………. 3.3.1 Modelo MDST. ………………………………………………………. 3.3.1.1 Métodos de búsqueda de pares de interacción…………. 3.3.1.1.1. Método de búsqueda exhaustiva……………… 3.3.1.1.2 Método de listas de proximidad……………….. 3.3.1.1.3 Método de las Listas de Verlet………………… 3.3.2Herramientas de pre y post-proceso……………………………… 3.3 Experimentación en modelo físico………………………………….. Capítulo 4. Análisis experimental…………………………………... 4.1 Modelación numérica………………………………………………………... 4.2 Los ensayos en modelo físico……………………………………………….. 4.3 Análisis y discusión de los resultados……………………………………… 4.3.1 Influencia de las condiciones de contorno y el rozamiento……... 4.3.2.Influencia del modelo de turbulencia………………………………. Capítulo 5. Propuesta de un modelo de turbulencia para SPH….. 5.1 Modelo de viscosidad artificial modificado αvor………………………………………... 5. 2 Comparación de presiones…………………………………………………. Capítulo 6. Casos estudiados………………………………………... 6.1 Cuenco de amortiguamiento de la presa de Villar del Rey……………... 6.1.1. Presentación del problema. ………………………………... 6.1.2. Análisis del fenómeno hidráulico………………………….. 6.1.3. Ensayos en prototipo………………………………………… 6.1.4 La experimentación numérica………………………………. 6.1.5 Métodos para la obtención de presiones en el contorno en SPH y comparación con los registros de prototipo..... 6.1.6 Solución propuesta…………………………………………... 6.2 Análisis fluido-dinámico de una escala de peces………………………... 6.2.1 Antecedentes…………………………………………………… 6.2.2 El modelo numérico…………………………………………... 6.2.3 Calibración con datos del modelo físico…………………... 52 52 54 56 56 60 60 61 62 62 64 65 65 72 79 79 87 92 94 103 112 112 112 114 116 119 123 126 127 127 128 136 7.1 Conclusiones………………………………………………………………….. 7.2 Trabajos futuros……………………………………………………………… 139 139 143 Notación……………………………………………………... 145 Bibliografía………………………………………………….. 148 Capítulo 7. Conclusiones y trabajos futuros……………………….. INDICE DE FIGURAS Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Figura 11.a Figura 11.b Figura 12.a Figura 12.b Figura 13.a Figura 13.b Figura 14.a Figura 14.b Figura 15.a Figura 15.b Esquema de una función de interpolación kernel. Función de interpolación (48) y distribución normal (44) en línea gruesa. Derivada de la función de interpolación (48). Función de interpolación (49) y distribución normal (línea gruesa). Esquema del caso de prueba. Método exhaustivo de búsqueda de pares de interacción Método de listas proximidad para la búsqueda de pares de interacción. Método de las listas de Verlet. Detalle del problem type generado para MDST. Detalle de los menús y ventanas contextuales para introducir las condiciones iniciales del modelo. Fotografía de la nave de canales basculantes del Laboratorio de Hidráulica (CEH). Test 1: Definición geométrica. HInicial = 10 m. Apertura = 1 m. Escalón = 1 m. Partículas de fluido: 11408. Partículas de contorno: 2570. Test 1: HInicial = 10 m. Apertura = 1 m. Escalón = 1 m. Partículas de fluido: 11408. Las imágenes muestran la evolución del resalto con el tiempo. Las partículas están coloreadas en función de la componente horizontal de la velocidad. Test 2: Definición geométrica. HInicial = 18 m. Apertura = 1 m. Escalón = 2 m. Partículas de fluido: 15238. Partículas de contorno: 3233. Test 2: HInicial = 18 m. Apertura = 1 m. Escalón = 2 m. Partículas de fluido: 15238. Las imágenes muestran la evolución del resalto con el tiempo. Las partículas están coloreadas en función de la componente horizontal de la velocidad. Test 3: Definición geométrica. HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Partículas de fluido: 17804. Partículas de contorno: 3306. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Partículas de fluido: 17804. Las imágenes muestran la evolución del resalto con el tiempo. Las partículas están coloreadas en función de la componente horizontal de la velocidad. Test 1: HInicial = 10 m. Apertura= 1 m. Escalón = 1 m. Comparación modelo SPH con modelo físico (línea roja). Test 1: HInicial = 10 m. Apertura= 1 m. Escalón = 1 m. Comparación de los valores de las variables de control entre el modelo SPH con modelo físico. Test 2: HInicial = 18 m. Apertura= 1 m. Escalón = 2 m. Comparación modelo SPH con modelo físico (línea roja). Test 2: HInicial = 18 m. Apertura= 1 m. Escalón = 2 m. Apertura= 1 m. Escalón = 1 m. Comparación de los valores de las variables de control entre el modelo SPH con modelo físico. Página 28 31 31 32 54 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 73 74 69 76 INDICE DE FIGURAS Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación modelo SPH con modelo físico (línea roja). Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Figura 16.b Comparación de los valores de las variables de control entre el modelo SPH con modelo físico. Efecto de estrechamiento de la apertura y de sobre elevación Figura 17 efectiva del escalón por efecto de las fuerzas de repulsión. Test 3 Test 1. Comparación de las variables de control entre el modelo Figura 18 físico, el modelo SPH original y el modelo SPH con las modificaciones del contorno. Test 2. Comparación de las variables de control entre el modelo Figura 19 físico, el modelo SPH original y el modelo SPH con las modificaciones del contorno. Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo Figura 20 físico, el modelo SPH original y el modelo SPH con las modificaciones del contorno. Test 1. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original, el modelo SPH con las Figura 21 modificaciones del contorno y finalmente el modelo SPH con las modificaciones en la geometría y discretización de las partículas de contorno. Test 2. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original, el modelo SPH con las Figura 22 modificaciones del contorno y finalmente el modelo SPH con las modificaciones en la geometría y discretización de las partículas de contorno. Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original, el modelo SPH con las Figura 23 modificaciones del contorno y finalmente el modelo SPH con las modificaciones en la geometría y discretización de las partículas de contorno. Test 3. Ensayo SPH con modelo de turbulencia k–ε comparado Figura 24.a con el ensayo en modelo físico (línea roja). Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo Figura 24.b físico, el modelo SPH con viscosidad artificial (alfa 0.01) y el modelo SPH con el modelo de turbulencia k–ε. Test 3. Diferencia de las variables de control registradas en el modelo físico, frente a las obtenidas con SPH empleando el Figura 24.c modelo de viscosidad artificial (alfa 0.01) y las obtenidas con SPH empleando el modelo de turbulencia k–ε. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación del modelo propuesto de α variable con la Figura 25.a vorticidad. La línea roja muestra el perfil del resalto del modelo físico. Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH con viscosidad artificial (α=0.01), el Figura 25.b. modelo SPH con el modelo de turbulencia k–ε, y el modelo SPH con viscosidad artificial modificado αvor. Figura 16.a Página 78 78 79 80 81 82 84 85 86 89 91 91 99 100 INDICE DE FIGURAS Figura 25.c. Figura 26.a Figura 26.b Figura 26.c Figura 26.d Figura 26.e Figura 27 Figura 28.a Figura 28.b Figura 28.c Test 3. Diferencia de las variables de control registradas en el modelo físico, frente a las obtenidas con SPH empleando el modelo de viscosidad artificial (alfa 0.01), las obtenidas con SPH empleando el modelo de turbulencia k–ε y el modelo SPH con viscosidad artificial modificado αvor. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=5 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=10 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=15 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=20 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=25 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Disposición de los sensores de presión en el modelo físico. Las distancias indicadas están expresadas en metros de prototipo. Registros de presiones del test 3. Sensor 1. X=80 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado Registros de presiones del test 3. Sensor 2. X=90 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. Registros de presiones del test 3. Sensor 3. X=100 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. Página 100 101 101 102 102 102 103 105 106 107 INDICE DE FIGURAS Figura 28.d Figura 28.e Figura 29 Figura 30 Figura 31 Figura 32 Figura 33 Figura 34 Figura 35 Figura 36 Figura 37 Figura 38 Figura 39 Figura 40 Figura 41 Figura 42 Figura 43 Registros de presiones del test 3. Sensor 4. X=110 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. Registros de presiones del test 3. Sensor 5. X=115 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. Espectros de frecuencia en el sensor 1, test 3. La línea oscura representa el espectro de la señal registrada en el modelo físico. Las líneas claras corresponden a los diferentes modelos de turbulencia SPH. Situación del embalse de Villar del Rey (Badajoz) Vista de la presa desde la margen izquierda, desde la Peña del Águila. Desagües funcionando por los dos conductos. Cota de embalse= 421.58 m.s.n.m. Q=76 m3/s. Se genera un remolino dextrógiro en el cuenco. Se aprecia que la mayor parte del flujo que sale del cuenco se concentra en el lateral derecho del cuenco, junto a la Central Hidroeléctrica. Modelo físico. Escala 1/40. Desagüe izquierdo abierto. Q= 38 m3/s. Remolino levógiro. Modelo físico. Escala 1/40. Q=38 m3/s por cada desagüe. Remolino dextrógiro Modelo físico. Escala 1/40. Desagüe derecho abierto. Q= 38 m3/s. Remolino dextrógiro. Modelo físico. Escala 1/40. Q=38 m3/s por cada desagüe. Remolino levógiro. Transmisor de presión. Detalle del sistema de impermeabilización y anclaje. Disposición de los sensores de presión en el cuenco de amortiguamiento. Los marcados con una flecha sufrieron daños durante los ensayos. Imagen de los desagües de fondo con apertura total durante el ensayo Q=80 m3/s. Cota de embalse= 421.58 m.s.n.m. Q=76 m3/s Registro de presiones del prototipo. El eje de abcisas expresa el tiempo de registro expresado en segundos, mientras que el eje de ordenadas se representan presiones en m.c.a. Detalle de las armaduras sin revestimiento en la solera del cuenco. Desagüe izquierdo funcionado. Q=38 m3/s. Comparación SPH y modelo físico. Dos desagües abiertos. Q=76 m3/s. Remolino principal levógiro. Vista en perspectiva desde aguas abajo. Página 108 109 110 112 106 114 115 115 116 116 117 117 117 118 119 120 121 INDICE DE FIGURAS Figura 44 Figura 45 Figura 46 Figura 47 Figura 48 Figura 49 Figura 50 Figura 51 Figura 52 Figura 53 Figura 54.a Figura 54.b Figura 55 Figura 56 Figura 57 Figura 58 Figura 59 Figura 60 Figura 61 Figura 62 Figura 63 Figura 64 Figura 65 Figura 66 Dos desagües abiertos. Q= 76 m3/s. Remolino principal levógiro. Dos desagües abiertos. Q= 76 m3/s. Remolino levógiro. Evolución del remolino en el cuenco. El color de las partículas corresponde al módulo de velocidad, el rojo corresponde a 8 m/s y azul a agua parada. Comparación modelo SPH y prototipo. Q=80 m3/s. Vista desde coronación. Obtención del registro de presiones a través de las fuerzas que experimentan las partículas de contorno. Obtención del registro de presiones a través de las fuerzas que ejercen las partículas de fluido sobre el contorno. Obtención del registro de presiones en el contorno por promediado de la presión de las partículas de fluido del entorno. Comparación de los registros de presión en el sensor 3. Comparación de los registros de presión en el sensor 6. Comparación de los espectros de frecuencias de los registros de presiones obtenidos en el prototipo y en con la simulación numérica en el sensor 6. Solución propuesta. Dos desagües abiertos. Q= 80 m3/s. Se aprecia un buen reparto de la zona de impacto. Dimensiones estanque tipo del modelo físico de UDC. Dimensiones estanque tipo del modelo físico del CEDEX. Escala de peces construida en el CEDEX. Modelo del contorno de la escala. Modelo SPH de la escala. Q=135 l/s. La parte superior muestra una vista general de cuatro módulos. La parte inferior muestra un detalle de la última piscina. Comparando las imágenes de la izquierda con las de la derecha se aprecia una oscilación de la dirección del chorro que sale de la escotadura Detalle del penacho en la escotadura. Comparación modelo físico y SPH. Situación de los puntos de medida. Perfiles de velocidad en la vertical en diferentes puntos de la sección central (X=5bo) obtenidos en el modelo SPH. Gráficos del campo de velocidad Vxy en planos horizontales a diferentes profundidades medidas desde el fondo en la vertical de la sección media. Las columnas corresponden a dos instantes de tiempo diferente. Perfil de velocidad Vx a diferentes profundidades de la sección central obtenido con el modelo SPH. Perfiles de velocidad en la escotadura obtenidos con el modelo SPH. Se aprecia la fuerte componente vertical que tiene el flujo en la misma. Calado de las partículas de la superficie libre Campos de velocidades Vxy medidos a 15 y a 30 cm del fondo en las dimensiones del modelo del CEDEX (W=1.5 m.). Perfil de velocidad Vx en la sección central a 15 cm. el fondo. Comparación SPH y modelo físico UDC. Página 116 122 122 123 124 124 125 125 126 126 128 128 128 129 131 132 133 133 134 135 135 136 136 137 INDICE DE FIGURAS Figura 67 Figura 68 Perfil de velocidad Vx a diferentes profundidades de la sección central. Comparación del perfil medio de velocidades obtenido con SPH y los valores experimentales de la UDC Página 137 138 INDICE DE TABLAS Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6 Tabla 7 Tabla 8 Tabla 9 Tabla 10 Tabla 11 Tabla 12 Tabla 13 Tabla 14 Tabla 15.1 Tabla 15.2 Tabla 15.3 Tabla 15.4 Tabla 16 Simulación numérica inicial del Test 1. Simulación numérica inicial del Test 2. Simulación numérica inicial del Test 2. Test 1. Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. Test 2. Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. Test 3. Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. Test 1.Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. Test 2. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. Test 3. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. Test 1. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. Test 2. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. Test 3. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. Test 3. Influencia del modelo de turbulencia. Modelo αvor. Rango de parámetros analizados. Test 3. Ensayos de calibración del modelo αvor. Test 3. Ensayos de calibración del modelo αvor. Test 3. Ensayos de calibración del modelo αvor. Test 3. Ensayos de calibración del modelo αvor. Test 3. Resultados obtenidos con αvor y comparación con otros modelos. Página 65 68 69 73 75 76 80 81 82 83 85 86 90 95 96 96 97 97 99 RESUMEN El diseño de estructuras hidráulicas complejas, como aliviaderos o desagües de fondo de presas, donde el movimiento del agua se produce a gran velocidad, requiere de un estudio hidrodinámico que permita detectar problemas de ondas, de cavitación, o cualquier otro, que puedan afectar al correcto funcionamiento de la estructura o incluso a poner en riesgo su estabilidad. Este estudio se ha realizado tradicionalmente mediante experimentación en modelo físico, puesto que no se dispone, hasta la fecha, de una herramienta matemática contrastada que permita abordar o al menos complementar este tipo de estudios. Sin embargo, los beneficios de la modelación híbrida, son claros. Un primer análisis matemático facilita análisis del fenómeno y permite acotar los problemas que es necesario tratar en modelo físico. Además la experimentación conjunta físico-numérica de las modificaciones reduce plazos y costes. Los modelos Lagrangianos, o de Partículas y en concreto SPH, han permitido abordar estudios muy complejos en diferentes ramas de la ingeniería. En esta tesis se trata de comprobar la aplicabilidad del método SPH al diseño de estructuras hidráulicas. El camino recorrido con este fin se presenta en los siguientes pasos. En primer lugar se ha realizado una revisión completa del tratamiento ecuacional del problema, describiéndose las ecuaciones fundamentales del movimiento del agua desde un punto de vista Lagrangiano, con especial atención en el movimiento turbulento de los fluidos y a las diferentes formulaciones teóricas de cierre turbulento. Se describen, a continuación, los fundamentos del método SPH y se presentan las ecuaciones de Navier-Stokes y de cierre turbulento, en forma SPH. Seguidamente se presenta la metodología seguida para la validación. Se ha diseñado un caso de prueba basado en el resalto hidráulico que ha sido ensayado en modelo físico en el Laboratorio de Hidráulica del C.E.H (CEDEX) y numéricamente con el modelo MDST, software desarrollado en el CEDEX por Grassa (2004). Se trata de un código FORTRAN 90 que emplea el método SPH para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes para fluido cuasi-incompresible. Además, se analiza la influencia que tienen sobre los resultados numéricos, el tratamiento de los contornos y del modelo de turbulencia empleado. Para este análisis ha sido necesario implementar en el código MDST las ecuaciones del modelo de turbulencia k-ε. También se propone en esta tesis una nueva formulación SPH de la viscosidad turbulenta, basada en el campo de vorticidades del flujo y que mejora la representatividad del método en flujos con números de Froude altos. Finalmente se presentan dos estudios de validación realizados sobre casos reales, con resultados satisfactorios. El estudio del impacto de los chorros de los desagües de fondo sobre el cuenco de amortiguamiento de la presa de Villar del Rey muestra cómo es posible, reproducir con SPH flujos hidrodinámicos muy complejos y, proporcionar valores de presión en el contorno coherentes con los registros de presión obtenidos en el prototipo. Del mismo modo, el estudio de la escala de peces presenta una gran correspondencia entre modelo físico y matemático, reproduciendo una inestabilidad del flujo. Además ha mostrado un buen ajuste con los datos de velocidad medidos en modelo físico. ABSTRACT The design of complex hydraulics works, such as spillways and bottom outlet with high velocity water flux, needs hydrodynamic studies to detect problems with waves, cavitations and so on, phenomena which could affect the structure smooth running and stability. Traditionally, this kind of studies has been carried out only by means of physical model experimentation because of the absence of verified mathematical tools, which let to tackle and complement these kinds of studies. However, hybrid modelling presents interesting improvements. A first mathematical study provides a initial phenomena analysis and delimits different problems before the physical model test. Moreover, the double physical and numerical experimentation of modifications reduces time and costs. Lagrangian or particles models, and specifically SPH, have let to study very complex phenomena in different engineering fields. This thesis tries to check the applicability of SPH method to hydraulics structure works. This process is showed by these steps. First, It is presented a complete review of free-surface water flux equations form a Lagrangian point of view, with special attention to free-surface turbulent flow and different theoretical formulations of the turbulent closure. Then, SPH method basis are described. As well Navier-Stockes and turbulent closure equations are showed in SPH form. The methodology following to validate the model is presented later. A test case has been designed based on hydraulic jump. It has been tested with physical model in the CEDEX Hydraulic Laboratory and numerically with MDST model, software developed in CEDEX by Grassa (2004). This program is a FORTRAN 90 code which uses SPH method to solve Navier-Stockes equations to quasi-incompressible fluid. Moreover, the influences over numerical results, boundaries treatment and turbulence model have been analyzed as well. This analysis has required implementing the equations of k-ε turbulence model in MDST code. A new SPH formulation of turbulent viscosity has been proposed in this thesis too. This formulation is based in the flux vorticity field, which improves the method representativeness in high Froude numbers flow. Finally, two validation studies are presented, founded in real, cases with satisfactory results. The study of still basin in Villar del Rey dam shows the possibility to reproduce very complex hydrodynamic phenomena with SPH. Also, it provides boundary pressure values consistent with prototype outcomes. In the same way, fish-way study shows a high correspondence between physical and mathematical model, reproducing flow instability. Furthermore, a good adjustment has been obtained with velocity data based on the physical model. Capítulo 1. Introducción. El conocimiento del agua y sus propiedades, de las leyes físicas que rigen su movimiento y de los métodos numéricos para calcularlo, resulta imprescindible para abordar los problemas de que se ocupa la ingeniería hidráulica. El planteamiento de este problema es muy antiguo y conceptualmente está resuelto. Sin embargo, todavía se puede avanzar en los métodos de resolución de las ecuaciones del movimiento. Es en esta dirección en la que se dirige esta Tesis. El flujo del agua como medio físico continuo, viene gobernado por los principios de conservación mecánica (de masa y de cantidad de movimiento) y termodinámica. Aplicando estos principios a un volumen de fluido se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes, que reciben su nombre de Claude-Louis Navier (1785-1836) y George Gabriel Stokes (1819-1903) (Franzini y Finnemore, 1965). Estas ecuaciones permiten modelizar el movimiento de la atmósfera terrestre, de las corrientes oceánicas o el flujo del agua en los cauces. Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, y no se dispone de una solución general. Excepcionalmente, para ciertos tipos de flujo y en situaciones muy concretas, es posible hallar una solución analítica. Habitualmente ha de recurrirse al análisis numérico para obtener dicha solución. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics). 1 Dentro de la CFD existen dos filosofías para abordar este estudio. La filosofía Euleriana estudia la evolución de las variables del movimiento en un volumen de control del fluido invariable en el tiempo (Euler, 1757), mientras que la Lagrangiana estudia la trayectoria de las partículas del fluido y la evolución de las variables del movimiento a lo largo de las mismas (Lagrange, 1788). Cada una implica unas técnicas diferentes de discretización del medio fluido y de tratamiento de las ecuaciones para su resolución. Los métodos tradicionales de cálculo para el estudio del movimiento del agua se han desarrollado bajo la filosofía Euleriana, pues se adapta mejor a los métodos numéricos existentes y las capacidades de cálculo disponibles, en especial cuando los dominios de cálculo son extensos como es el caso de los cauces de los ríos. Con este tipo de modelo se suelen resolver las ecuaciones de Saint-Venant (Saint-Venant ,1870), que son las Ecuaciones de Navier- Stokes promediadas en profundidad, ya sea en 1D (la del eje del río) o en 2D para poder analizar el movimiento en una llanura de inundación donde tiene importancia las dos componentes horizontales de la velocidad. Para su resolución, se han implementado múltiples esquemas numéricos. Entre ellos se pueden destacar el tradicional método de las características, pasando por los esquemas en diferencias finitas o elementos finitos. Con este tipo de esquemas se ha desarrollado software comercial de uso común en las empresas de ingeniería. Dentro de los modelos eulerianos, ha supuesto un gran avance la implementación de esquemas numéricos que permiten resolver de forma automática discontinuidades del flujo, como son frentes de onda o resaltos. Nos referimos a los esquemas numéricos de alta resolución (Blade y Gómez, 2003), que junto con la discretización en volúmenes finitos, están permitiendo abordar la practica totalidad de estudios de propagación de avenida en cauces, determinación de zonas de dominio público, zonas de intenso desagüe, propagación de hidrogramas de avenida y determinación de zonas inundables, entre otros. Por otra parte, la implementación de ecuaciones transporte sólido permiten realizar estudios de hidráulica fluvial con mayor garantía, aunque en este campo aún queda 2 mucho camino por recorrer, precisamente porque aún no se dispone de las ecuaciones necesarias para su tratamiento. Existen otros tipos de problemas que aborda el ingeniero hidráulico, como son el diseño o análisis del funcionamiento de estructuras hidráulicas, quizás más localizados espacialmente pero con geometrías muy complejas y grandes velocidades de flujo, en los que resulta muy dificil realizar un análisis hidrodinámico con una herramienta de cálculo euleriana (Liu, 2003). Dentro de la filosofía Lagrangiana se han desarrollado multitud de métodos, que bajo el común denominador de “métodos sin malla” abordan la resolución de diferentes problemas con diversas formas de aproximación, como la integral, las diferencias finitas, o el método de Galerkin. (Véase, Liu y Liu, 2003). En esta misma referencia se clasifican los diferentes métodos que aplicados a la fluido dinámica computacional, se agrupan bajo el epígrafe de “métodos de partículas”. El método de Hidrodinámica de Partículas Suavizadas (Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH) es un método de partículas dentro de los denominados métodos sin malla. SPH se caracteriza, en primer lugar, por la discretización Lagrangiana del medio continuo, mediante un conjunto de partículas ó parcelas de fluido y, en segundo lugar, por la reducción del problema al estudio de la interacción entre las mismas. Esto se hace mediante un esquema de promediado que, partiendo de los valores puntuales correspondientes, permite obtener los valores de campo continuo de las variables de interés (presión, densidad, velocidad o posición, entre otras). El método SPH fue introducido con este nombre por Gingold y Monaghan en 1977, basado en ideas de Lucy, 1977, para el estudio de problemas de astrofísica como la formación y evolución estelar. Su empleo se ha extendido a diferentes campos de aplicación como la Magnetohidrodinámica, o la Mecánica de sólidos. Una síntesis de los autores más destacados en cada una de ellas se presenta en Crespo, 2008. 3 El método SPH fue extendido para el tratamiento de flujos incompresibles de superficie libre por Monaghan, 1994, Monaghan y Kos, 1999, Monaghan, Kos e Issa, 2003. Posteriormente se han publicado diversos estudios, especialmente en el campo de la ingeniería marítima (Grassa, 2004), centrados en estudios de onda solitaria (Panizzo y Dalrymple, 2004), transporte de sedimentos y suspensión (Zou and Dalrymple, 2006), flujo bifásico (Colagrossi and Landrini, 2003) y rotura de olas y estudios de impacto de olas en estructuras offshore (Gómez-Gesteira and Dalrymple, 2004). La sencillez conceptual de SPH y sus escasas restricciones lo hacen atractivo para su aplicación en el campo de la hidrodinámica en estructuras hidráulicas como son aliviaderos y desagües de fondo en presas, rotura de presas y fluido-dinámica de cauces. Sin embargo no se dispone de experiencias previas en este campo. El principal inconveniente práctico es su elevado requerimiento computacional, que es de varios órdenes de magnitud mayor al de otras técnicas. No obstante, si se analiza con perspectiva, esta cuestión es de menor importancia ante el avance sostenido de las capacidades de cálculo. 4 1.1 Objetivos. El objetivo principal de esta tesis es comprobar la aptitud del método SPH para reproducir y analizar la hidrodinámica de estructuras hidráulicas. Las aplicaciones de SPH a flujos en lámina libre, citadas anteriormente, estudian fenómenos en los que las velocidades del fluido son mucho más reducidas que las que se pueden encontrar en estructuras hidráulicas como aliviaderos o cuencos de amortiguamiento y en los que los campos de presiones son más homogéneos del que existe en la zona de impacto de un trampolín de lanzamiento. Actualmente, el análisis hidrodinámico de este tipo de estructuras se realiza mediante experimentación en modelos físicos. Este tipo de estudios permiten realizar análisis muy rigurosos pero como contrapartida los plazos y los costes de ejecución son elevados. Por este motivo, sería muy útil disponer de una herramienta matemática complementaria para agilizar y economizar estos estudios. En este sentido, resulta fundamental validar SPH en el campo de la ingeniería hidráulica pues permitirá realizar estudios previos de las estructuras y restringir la experimentación física a los aspectos más comprometidos y siempre sobre soluciones ya optimizadas numéricamente. Debido a las condiciones extremas del flujo que podemos encontrar en los canales de descarga de aliviaderos o en las estructuras de disipación de energía, cabe esperar que existan discrepancias entre el prototipo y las simulaciones SPH. Sin duda, la turbulencia es uno de los aspectos que puede tener un papel determinante en la calidad de los resultados obtenidos. Así mismo, la forma de materializar los contornos puede tener importancia. 5 Los objetivos específicos de esta tesis son los siguientes: a) Identificar formas adecuadas de tratar la turbulencia, empleando tanto formulaciones clásicas como proponiendo alguna formulación original. Esto puede ser muy útil para reproducir el funcionamiento hidrodinámico en estructuras de disipación de energía como son los cuencos de amortiguamiento. Si la disipación viscosa debida la turbulencia no se reproduce correctamente no será posible analizar la estabilidad del resalto, o la velocidad del flujo de salida del cuenco. En los casos en los que la disipación viscosa juegue un papel secundario será posible el empleo de modelos de turbulencia simplificados. b) Se prestará especial atención a la forma de representar los contornos y su interacción con el flujo, para conseguir la mayor representatividad del modelo SPH. Esto es un aspecto que aún no está cerrado en SPH. Los métodos de partículas fantasmas tienen costes computacionales excesivos, por lo que se está generalizando el método de partículas de contorno que ejercen fuerzas repulsivas. Se analizará la influencia que tiene la disposición de estas partículas o la constante elástica de la fuerza de repulsión sobre el efecto de rozamiento con los contornos. c) Es objeto de esta tesis desarrollar una serie de herramientas de postproceso que faciliten el análisis y calibración de los resultados obtenidos mediante modelación numérica. La instrumentación de los modelos físicos encarece aún más el estudio, por ello, el empleo complementario de un modelo matemático. La disposición de un número muy reducido de sensores en el modelo físico permitirá la calibración del modelo SPH disponiendo así del valor de las variables en cualquier punto del modelo. De este modo se puede realizar un análisis muy completo con un reducido número de sensores en el modelo físico. Para esto es necesario disponer una herramienta de postproceso para medir el caudal circulante, que es 6 una variable derivada en un método lagrangiano. Además se propondrá un método para obtener registros de presiones en los contornos, que aun siendo una variable directa del método presenta ciertas distorsiones en las proximidades de los contornos por efectos de las fuerzas de repulsión que ejercen las partículas que los materializan. d) Validación de soluciones propuestas: finalmente se pretende realizar simulación SPH de algún caso real en el que se haya realizado experimentación en modelo físico, o prototipo para comprobar la validez de los resultados obtenidos. 7 Capítulo 2. Estado del arte. 2.1 Las ecuaciones del movimiento del agua. Las ecuaciones de Navier-Stokes, que como se vio anteriormente, son las que nos permiten estudiar el movimiento de los fluidos. La primera es una ecuación escalar y se obtiene de la consideración del principio de conservación de la masa, mientras que la segunda, denominada ecuación de la dinámica, es vectorial. Para plantearlas es necesario hacer uso de propiedades específicas del fluido. Además, para poder aplicar el cálculo diferencial, se asumirá que dicho fluido es un medio material continuo dotado de masa, que se mueve bajo la acción de fuerzas de diferente naturaleza. Dado el carácter continuo del fluido sus partículas o elementos constitutivos se identificarán por sus tres coordenadas: χ = (χ1,χ2,χ3) La posición que ocupa en el espacio cada una de las partículas, en un instante de tiempo determinado se denomina configuración del fluido, que podría ser caracterizada por una función, que con una referencia cartesiana ortonormal se expresaría como X=E (χ), siendo E la configuración, X la posición de la partícula χ definida por sus coordenadas. La configuración del fluido es variable con el tiempo, y designaremos Et a la correspondiente al instante concreto t. 8 La función f(χ, t) que proporciona las diferentes configuraciones de las partículas de fluido a lo largo del tiempo, es la función que describe el movimiento. X = Et (χ) = ƒ (χ, t) (1) Conocida f(χ, t) se pueden obtener todas las propiedades cinemáticas del movimiento. Por ejemplo, el vector velocidad, v, será: r r DX v= Dt donde (2) D es la notación usada para denominar la derivación material, esto Dt es, la derivada parcial de la función ƒ(χ,t) respecto de t, de una determinada partícula χ considerando las sucesivas posiciones de una misma partícula, es decir a lo largo de su trayectoria (Osuna, 1969). 2.1.1 Descripciones cinemáticas La descripción del movimiento planteada en (1) es lagrangiana y difiere de la descripción euleriana. Consideremos una propiedad cualquiera del fluido (densidad, presión, velocidad, tensor de tensiones, etc) que identificaremos con el símbolo A. Si se desea conocer su evolución, la descripción lagrangiana nos proporcionará el valor de A en cada una de las partículas a lo largo del tiempo y se escribirá: A = ALagrange(χ, t) (3) Sin embargo la evolución de A en forma de Euler proporciona el valor de esta propiedad en cada una de las posiciones X a lo largo del tiempo t, independiente de cual sea la partícula que ocupa dicha posición. A = AEuler(X, t) 9 (4) 2.1.2 Derivadas material, local y convectiva. Para cada una de las descripciones corresponde una forma diferente de analizar el ritmo de la evolución temporal de la propiedad A. DA ∂AL = Dt ∂t ∂A ∂Ag = ∂t ∂t (5) χ = C te (6) X =C te La derivada material (5) estudia el ritmo de evolución de A de una partícula determinada. Tradicionalmente se especifica esta derivación con la D mayúscula. La denominada derivada local (6), compara valores sucesivos de A en el mismo punto del espacio. Las acciones físicas que puedan hacer variar la propiedad A se aplican sobre partículas materiales. Por ello, el efecto de esas acciones al materializarse sobre el elemento χ cuantificarán el valor de DA . Por contra la evolución Dt ∂A se refiere a la variación de A para distintas partículas. ∂t Es posible relacionar la derivada material y la derivada local, pues basta sustituir (1) en (4) para tener: A= AEuler (ƒ (χ,t),t) ≡ ALagrange(χ, t) (7) Si en (7) se deriva ALagrange respecto de t con χ fijo se obtiene la derivada material, y si se deriva AEuler con la regla de la cadena resulta: ∂A ∂A = ∂ t χ = C te ∂ t + f ( χ ,t ) = C te ∂AE ∂x1 . ∂ x1 ∂ t + χ = C te ∂AE ∂x2 . ∂ x2 ∂ t + χ = C te ∂AE ∂x3 . ∂ x3 ∂ t χ = C te Que con los convenios de notación señalados y teniendo en cuenta que ∂Xi ∂t = vi queda: DA ∂A ∂ AE ∂ AE ∂ AE ∂ A ∂A = + v1 + v2 + v3 ≡ + v .grad A ≡ + v.∇A Dt ∂t ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂ t ∂t 10 (8) El producto v.∇A recibe el nombre de derivada convectiva. De modo que la derivada material es la suma de la derivada local y la derivada convectiva, que sólo tiene sentido en coordenadas de Euler. 2.1.3 La ecuación de continuidad Si es conocida la descripción euleriana del movimiento de un fluido se entienden conocidas la densidad ρ (X,t) y velocidad v(X,t) entre otras funciones. Considerando un volumen V arbitrario y fijo, delimitado por una superficie cerrada, S, la cantidad de masa que escapa del volumen V a través de la superficie S en un incremento de tiempo ∆t será: M s = ∫ ( ρ v) . n d S . ∆ t (9) S Donde n es el vector unitario normal en cada punto de la superficie y dirigido hacia el exterior. Por otra parte, la cantidad de masa que se acumula en el recinto V durante el intervalo ∆ t es: MA =∫ V ∂ρ ∆t dV ∂t (10) De acuerdo con el principio conservación de la masa las cantidades MS y MA deben de ser de igual módulo y signo contrario, o: ∂ρ ∫ ρ vnd S + ∫ ∂t dV =0 (11) V S Y aplicando el teorema de la divergencia al primer término de la izquierda en (11) se tiene: ∫ div (ρ v)+ V ∂ρ d V = 0 ∂t (12) La integral debe anularse independientemente de cual sea el volumen V lo que sólo es posible si es nula la cantidad subintegral: div (ρ v ) + ∂ρ =0 ∂t Lo que también se puede expresar empleando el operador nabla: 11 (13) Dρ + ρ ∇.v = 0 Dt (13. 1) La ecuación de estado de cada fluido permite eliminar ρ en función de otros propiedades del flujo (temperatura y presión). En casos como el del agua en los cauces de los ríos, en que la fluctuación relativa que puede experimentar la densidad es pequeña en comparación con la que experimenta la velocidad se puede admitir que la densidad ρ es constante, entonces la ecuación (13) se reduce a: r r div v = ∇.v = 0 (14) Sin embargo, cuando esta consideración sea inadecuada debe usarse la ecuación (13). 2.1.4 La ecuación de la dinámica La ecuación de la dinámica resulta de aplicar la ecuación de Newton r r F = ma a una partícula elemental. Consideremos una partícula en forma de ortoedro de aristas dx1, dx2, dx3, las fuerzas que actúan sobre ésta son de dos tipos: a) Fuerzas de contacto o de superficie, que son las ejercen las partículas contiguas sobre las caras de la partícula ortoédrica. b) Fuerzas de masa o de campo que se ejercen por la acción a distancia de objetos exteriores. En este caso se reducen al campo gravitatorio, y a la que ejercen las partículas próximas (tanto más apreciables cuanto mayor sea su proximidad) y la acción de los contornos y superficies libres. Las fuerzas de contacto y de masa se expresarán por magnitudes intensivas, funciones del punto y del instante y admitiremos que varían de forma continua y derivable tanto en el espacio como en el tiempo. 12 Si τ1 es la intensidad de la fuerza de contacto o tensión tangencial que se aplica desde el exterior sobre las caras de lados dx2 y dx3, análogamente τ 2 sobre la cara de lados dx1 y dx3 y τ 3 la de lados dx1 y dx2 y si F es la intensidad de la fuerza de masa, el equilibrio de las fuerzas incluyendo las de inercia: 1 ∂τ 1 ∂τ 2 τ + d x1 d x2 d x3 −τ 1 d x2 d x3 + τ 2 + d x2 d x1 d x3 −τ 2 d x1 d x3 + ∂ x1 ∂ x2 ∂τ 3 Dv + τ 3 + d x3 d x1 d x2 −τ 3 d x1 d x2 + ρ F d x1 d x2 d x3 = ρ d x1 d x2 d x3 ∂ x3 Dt Ecuación que se puede reducir a: ρ D v ∂τ 1 ∂τ 2 ∂τ 3 = + + +ρ F D t ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 (15) Si consideramos que τ1 es la primera columna de un tensor T de segundo orden, y que τ2 y τ3 son respectivamente la segunda y la tercera columna de T, resulta inmediato comprobar que el producto de T por la normal unitaria hacia el exterior a cualquier cara del ortoedro proporciona la tensión sobre esa cara. Además también es fácil comprobar que esta propiedad la cumple cualquier elemento de superficie aunque su normal, n, no coincida con algún eje. Por ello se le denomina a T tensor de tensiones, que además es un tensor simétrico, puesto que las fuerzas que la tensión produce en cada cara tienen una resultante en el centro de ella, y que tanto las fuerzas de masa como las de inercia tienen su resultante pasando por el centro del ortoedro. Por tanto, si se toman momentos respecto de un eje que pase por el centro del ortoedro y con la dirección de x1 el momento resultante de las fuerzas de masa, inercia y las de las dos caras normales al eje, será nulo, por lo que si despreciamos infinitésimos de orden inferior, el equilibrio de momentos se traduce en: ( ) ( ) d x2 τ 32 d x1 d x3 − d x3 τ 23 d x1 d x3 = 0 O sea τ 32 = τ 3 2 y análogamente τ 1 3 =τ 3 1 y τ 12 = τ 2 1 todo lo cual confirma la simetría de T (Osuna, 1969 y Mateos, 2008). El valor de las tensiones se obtiene de la ecuación constitutiva que proporciona el valor del tensor en función de las propiedades del 13 movimiento. El caso más simple concebible es el de los llamados fluidos perfectos en los que T es un tensor isótropo. τ ij = − p δ ij Siendo δij la delta de Kronecker y p es la presión (escalar). No hay pues efecto de la deformación, por lo que las únicas fuerzas de contacto que actúan sobre una partícula de fluido son las debidas al gradiente de presión. El siguiente caso en sencillez es el de los llamados líquidos Newtonianos, en los que sí que se considera que el fluido ejerce una resistencia a la deformación. Para esto, al tensor isótropo de los fluidos perfectos se le añade otro que depende linealmente del ritmo de evolución de la deformación mediante la viscosidad dinámica µ que es un escalar que decrece con la temperatura: τ ij = − p δ ij + 2 µ eij (16) La viscosidad µ es función del coeficiente de viscosidad cinemática, ν , también denominada viscosidad molecular con dimensiones [L2 T-1], mediante la relación µ =νρ . Los elementos e ij son las componentes del tensor de deformación E, y que tiene por componentes: 1 ∂ vi ∂ v j eij = + 2 ∂ x j ∂ xi (17) necesariamente simétrico por serlo T y δ ij Cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo no existen tensiones tangenciales y el tensor de deformación es nulo. En régimen laminar el agua se comporta como un fluido Newtoniano. En este caso se pueden sustituir (16) y (17) en (15), que expresándolo en coordenadas queda: ρ Dvj Dt =− ∂p + µ ∆ v j + ρ Fj ∂ xj 14 (18) Esta es la ecuación de Navier – Stokes expresada con el operador laplaciana, esto es: ∆= ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂ x12 ∂ x22 ∂ x32 (19) También se puede expresar en función del operador nabla como: ∆ = ∇ 2 = ∇ ⋅ (∇ ) . Esta ecuación se pueden expresar en forma vectorial como: ρ Dv = −∇p + µ ∇ 2 v + ρF Dt (18.1) Disponiendo de estas dos ecuaciones (13) y (18) que rigen el flujo, puede abordarse la resolución del problema, incorporando la condición inicial y las de contorno. Además, en régimen turbulento es necesario añadir algún término más al tensor de tensiones como se verá más adelante. 2.1.5 Ecuaciones de Navier-Stokes y disipación de la energía Si consideramos una superficie S que, en un instante dado, delimita un determinado volumen de fluido V con una determinada masa, que irán variando con el tiempo, se puede evaluar el trabajo de las fuerzas exteriores en su interior, en un intervalo de tiempo muy pequeño ∆ t. En efecto, en el intervalo ∆t las fuerzas exteriores efectúan un trabajo (suma de fuerzas por recorridos). ∆ Tr = ∫ τ n d S . v ∆ t S n Donde τ la tensión en una cara normal al vector unitario n tiene como componentes: τ in =τ i j n j El trabajo realizado en ese intervalo será: ( ) ∆ Tr = ∫ τ i j n j v i d S . ∆ t = ∫ τ i j v i n j d S . ∆ t s s Y de acuerdo con el teorema de la divergencia: 15 (20) ∂τ j ∂ v i ∆ Tr = ∫ div τ i j v i d V . ∆ t = ∫ i v i + τ ij ∆ t .d V ∂x ∂ x j j v v ( ) (21) Expresando la ecuación (15) en función de sus componentes se tiene: ∂τ ij D vi −ρ + ρ Fi = 0 ∂ xj Dt (15.1) ∂τ i j y el τ i j que se deduce de (15.1) ∂ xj Y reemplazando en (21) el valor de queda: D vi ∂ vi ∂ v i ∆ Tr = ∫ ρ v i − ρ Fi vi − p δ i j + 2 µ eij ∆ t .d V Dt ∂ xj ∂ x j V (22) Analizando por separado cada uno de los cuatro términos que aparecen en el segundo miembro de la ecuación 22, se aprecia que el primero expresa la variación de energía cinética que experimenta la masa que ocupaba inicialmente el recinto de V en el intervalo de tiempo ∆ t. ∫ρu V i D vi . vi D vi v .v ∆ t . d V = ∫ ρ ∆ t d V = ∫ ρ ∆ i i d V Dt 2 Dt 2 V V (22.1) Teniendo en cuenta que el producto vi ∆ t son las componentes del recorrido o desplazamiento que experimentan las partículas contenidas en el diferencial de volumen de la integral, el segundo termino, ∫ − ρ F v ∆ t .d V i i (22.2) V representa el trabajo opuesto al recibido de las fuerzas exteriores. Cuando estas provienen de un campo se trata del total del incremento de energía potencial en el tiempo ∆ t del volumen V. El tercer término se puede expresar como: ∫ − pδ V j i ∂ vi ∂ vi r ∆ t .d V = − ∫ p ∆ t d V = − ∫ p div v ∆ t d V ∂ xj ∂ xi V V (22.3) r Para fluidos incompresibles ( div v = 0 ) el integrado es nulo, pero en el caso de fluidos compresibles, este término recoge el trabajo empleado en comprimir el fluido. 16 Finalmente, transformamos el cuarto término teniendo en cuenta que los índices i y j son mudos y usando la simetría de E. ∫2µ e ∂ vi i ∂ v j ∂ vi ∆t dV = ∆ t d V = ∫ µ eij +ej ∂x ∂ xj ∂ x j i v j i v ∂ vi ∂ v j ∆ t d V = 2 µ . ∆ t eij . eij d V = ∫ µ ei + ∫v ∂x ∂x j i v (22.4) j Como vemos, este cuarto término está originado por la viscosidad y dado que el integrado es una suma de cuadrados resulta siempre positivo. Se puede resumir concluyendo que en un volumen fluido el trabajo de las fuerzas de contacto se emplea en variar la energía cinética y potencial de las partículas y en efectuar un trabajo viscoso que siempre es positivo. Es decir, por efecto de la viscosidad la suma de energía potencial y cinética que se recibe en el interior del fluido es siempre menor que la que entregan las fuerzas de contacto. El término (22.4) mide por tanto la degradación o pérdida de energía que se produce en un flujo. 2.1.6 Flujos turbulentos. La turbulencia aparece en el flujo cuando las fuerzas de inercia predominan sobre las viscosas, y por tanto el número de Reynolds alcanza un cierto umbral, a partir del cual aparecen fluctuaciones de las variables fluidodinámicas (velocidad, presión, temperatura, concentración) produciéndose fluctuaciones no estacionarias en flujos permanentes. Las fluctuaciones turbulentas hacen que el flujo sea más difusivo aumentando el transporte de masa, cantidad de movimiento y energía. La difusión turbulenta tiene efectos similares que la difusión molecular aunque su origen es la fluctuación del movimiento. Físicamente la turbulencia se manifiesta por la generación de vórtices que de acuerdo con la teoría de Kolmogorov, 1941, interaccionan con el flujo principal, extrayendo energía de él y transformándola en energía interna al 17 deformar las partículas de fluido. Esta es la razón por la que el flujo turbulento disipa más energía que un flujo laminar. La interacción de los vórtices con el flujo provoca la subdivisión en vórtices cada vez más pequeños, de modo que coexistirán diferentes escalas de vórtices. Siendo vM la velocidad del remolino, λM su diámetro y ν la viscosidad cinemática del fluido, se define como número de Reynolds de remolino a la relación: ReM = v M λM ν . Igual que con el número de Reynolds del flujo, los valores altos de este número están asociados al régimen turbulento y los bajos al laminar en los que no existe inestabilidad. La subdivisión en remolinos de menor tamaño deja de producirse cuando los vórtices son tan pequeños que su número de Reynolds de remolino es demasiado bajo como para que la inestabilidad persista. Como se mostrará seguidamente, es en los vórtices de menor tamaño donde se transforma la energía cinética contenida en ellos en energía térmica por disipación. Los diferentes tamaños de remolino que coexisten en el flujo se pueden agrupar en tres grupos: 1- Macroescala: asociada a los vórtices más grandes, siendo vM, λM y TM las dimensiones características del remolino que a su vez son las del flujo. Estos remolinos dependen de las condiciones de contorno del flujo y son anisótropos (dependen de la dirección). ReM = vM dM ν es el número Reynolds asociado a los remolinos de esta escala. 2) Mesoescalas: son escalas inferiores a la macroescala, con vm , λm y Tm a la velocidad, la longitud y el tiempo característicos de estos vórtices. 18 3) Microescala: es la escala más pequeña, en la que se produce la disipación de energía; sus valores característicos se van a denominar v0, λ0 y T0. Estos vórtices son isótropos, y no dependen de las condiciones de contorno, es decir, que a estas escalas el flujo ha ‘olvidado’ de donde procede. La energía cinética de la macroescala de remolinos expresada por unidad de tiempo es: EcM v 2M = , y la energía disipada por el remolino se puede 2TM estimar de: 2 ε M ≈ ν ∇ vM ≈ ν v 2M λ2M Si comparamos ambas energías resulta que: EcD εL v 3M v 2M v λ 2λ M = 2T2 ≈ ≈ M M ≈ ReM >> 1 2 vM vM ν ν λ2M ν λ2M Es decir, que la energía cinética de remolino es varios órdenes de magnitud mayor que la energía disipada, y por tanto es despreciable la energía disipada en los remolinos de la macroescala. Del mismo modo en una escala intermedia, el cociente entre energía transportada y disipada será proporcional al número de Reynolds asociado a dicha escala, esto es: Ec m εm ≈ Rem En semejanza hidráulica de Froude la escala del número de Reynolds es: 4 λ Re M λM 3 E y por tanto, c m ≈ Rem = ReM m ≈ Rem λm εm λM 4 3 . De este modo es fácil comprobar que si la relación entre los diámetros de los remolinos no es muy grande (mesoescala), tampoco lo será la energía disipada. Solamente en los remolinos de la microescala esta relación es lo suficientemente grande y puede asumirse que el número de Reynolds sea lo suficientemente pequeño, 19 como para que la energía disipada sea del mismo orden de magnitud que la energía cinética transportada. Se denomina a λ0 microescala de Kolmogorov, que es aquella que hace crítico el número de Reynolds: Reo = v 0λ0 ν =1= Eco εo para la que se disipa toda la energía cinética transportada. A medida que aumenta el número de Reynolds del flujo principal, la diferencia entre la escala de Kolmogorov y la escala macroscópica se hace cada vez mayor, como se deduce de (23). λ Reo = ReM 0 λM 4 3 (23) 2.1.7 Métodos de cálculo de flujos turbulentos. El estudio del flujo turbulento se aborda con las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos pues los vórtices de la microescala, son varios órdenes de magnitud mayores que las escalas moleculares. Por tanto, es posible resolver de forma directa todas las escalas espaciales y temporales del flujo turbulento, sin promediados, mediante las ecuaciones de Navier-Stokes. Esto se denomina DNS (‘Direct Numerical Simulation’) y para llevarla a cabo, la discretización del fluido debe ser del mismo orden de magnitud de la microescala de remolinos. Obviamente esto tiene un altísimo coste computacional, y sólo es aplicable a estudios de dimensiones reducidas, especialmente en el campo de la investigación. Para aplicaciones en la ingeniería, los modelos eulerianos suelen trabajar con valores promediados e incorporan un modelo de turbulencia que reproduzca los efectos de la turbulencia en el flujo. Los modelos lagrangianos de partículas 3D permiten implantar soluciones intermedias más próximas a los DNS. 20 2.1.7.1 Ecuaciones RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes). En ingeniería suele ser suficiente con estudiar los efectos del flujo medio, por lo que se adopta una aproximación estadística, promediando las ecuaciones de conservación (‘time-averaging’) durante un periodo de tiempo mucho más grande que el periodo característico de las fluctuaciones turbulentas. Partiendo de la ecuación de la dinámica de Navier Stokes (18), sin considerar las fuerzas de campo y sustituyendo las variables presión y velocidad por sus valores medios y de fluctuación: p = p + p' , vi = vi + v'i , se obtiene la ecuación (24): ρ Dvj ∂p =− + µ ∆ v j + ∇τ ij Dt ∂ xj (24) En (24) aparece un término extra ∇τ ij , siendo: τ ij = − ρ v′i v′j . Estas ecuaciones, junto con la ecuación promediada de conservación, constituyen las ecuaciones de Reynolds. Para mantener la estructura de la ecuación de la dinámica se ha de incluir en el tensor de tensiones un nuevo término función de las componentes turbulentas de la velocidad: τ ij = − p δ ij + 2 µ eij − ρv′i v′j (25) La ecuación 25 muestra el nuevo tensor de tensiones que introduce seis nuevas incógnitas. Para calcularlas, es necesario de un modelo de turbulencia, que proporcione las ecuaciones de cierre. Ya en 1877 Boussinesq postuló que la transferencia de cantidad de movimiento causada por los remolinos turbulentos puede ser modelizada mediante una viscosidad turbulenta o de remolino, en analogía con la viscosidad molecular que representa la transferencia de cantidad de movimiento debida al movimiento de las moléculas. 21 τ ij = − p δ ij + 2 ρ (ν + ν t ) eij (26) Siendo ν t la viscosidad turbulenta cinemática. De acuerdo con la teoría de Bousinesq el término − ρv′i v′j ,i≠ j se puede asimilar a: − ρv′i v′j , i ≠ j = 2µt eij (27) Es decir, que asume una proporcionalidad entre las tensiones introducidas por las componentes fluctuantes de la velocidad y el tensor de tensiones tangenciales medias, siendo la viscosidad turbulenta la constante de proporcionalidad. Esta viscosidad, también denominada de remolino no es una propiedad física del fluido sino una función de la agitación turbulenta. Por otro lado, si denominamos a la energía cinética de la fluctuación k = 1 v 1′ 2 + v ′22 + v ′32 , entonces − v′i v′i = 2k . 2 ( ) De este modo los seis términos nuevos se pueden englobar en: 2 − v′i v′j = − kδ ij + ν t 2eij 3 Quedando definido el tensor de tensiones finalmente por: 2 3 τ ij = − p + kρ δ ij + 2 (µ + µt )eij (28) 2.1.7.2 Modelos de turbulencia. Existen diferentes teorías para calcular la viscosidad turbulenta. Se presenta a continuación un esquema de las diferentes formulaciones. 2.1.7.2.1 Modelos de la Longitud de Mezcla de Prandtl. El modelo, propuesto por físico alemán Ludwing Prandtl a principios del siglo XX, postula que la viscosidad turbulenta es función de la energía cinética de la fluctuación turbulenta de las partículas “k”, y de “l” la 22 longitud de mezcla de Prandtl, que viene a ser el diámetro de los remolinos, determina el ancho de la zona de intercambio de energía cinética. 1 ν t = k 2 l = CD k2 (29) ε Como vemos, Prandtl establece una relación entre l y la disipación viscosa, ε, según la expresión: 3 2 ε = CD k l (30) Su teoría sostiene que la energía turbulenta se produce por la interacción de los grandes remolinos con el flujo, esta energía turbulenta se transmite de remolino en remolino hasta llegar a los de menor diámetro donde se produce la disipación viscosa. (Osuna, 1969). Para obtener el valor de la viscosidad turbulenta es necesario resolver una sola ecuación al margen de las de Navier- Stokes. 3 2 Dk k v = Pk − C D + ∇ v + T Dt l σ k ∇k (31) Siendo, CD = 0.3 y el coeficiente de Schmidt σ k , que suele tomar valores entre 0.7 y 1 (Cea, 2005). Esta ecuación indica que la variación de energía cinética turbulenta se obtiene de considerar la producción de k debida a las tensiones de Reynolds menos la disipación viscosa en función de la longitud de mezcla y el transporte de k por difusión molecular y turbulenta. El término Pk se expresa como: PK = − ρ v´i v´ j ∂v j 23 ∂xi =νT E2 (32) 2.1.7.2.2 Modelo k-ε. El más representativo que el anterior. (Pope, 1975; Pope 2000). Con el mismo enfoque que Prandtl caracteriza la viscosidad turbulenta como: ν t = Cµ k2 ε (33) El modelo proporciona dos ecuaciones, una en k y otra en ε para obtener sus valores. Así para la energía cinética turbulenta disponemos de una ecuación similar a la (31) pero en la que aparece como variable la disipación viscosa: Dk ν = Pk + ∇ ν + t ∇k − ε σk Dt (34) Y para el cálculo de la disipación viscosa ε se dispone de la ecuación : Dε ε ν = (C1ε Pk − C2ε ε ) + ∇ ν + T ∇ε σε Dt k (35) Es decir que la variación de la disipación viscosa es igual a la tasa de producción menos la destrucción más el transporte por difusión turbulenta y molecular. Los valores más habitualmente adoptados para las constantes son: C1ε = 1.44, C2ε = 1.92, Cµ = 0.09, σ k = 1.0, σ ε = 1.3 Las cinco constantes han sido obtenidas experimentalmente. (Cea, 2005) 2.1.7.2.3 Modelo de las tensiones de reynolds. (RSM) Es un modelo de alto nivel denominado modelo de cierre de turbulencia de segundo orden. En este modelo no se considera la viscosidad de remolino ε y se calculan directamente las tensiones de Reynolds. La ecuación exacta de transporte de las tensiones de Reynolds son representativas de los efectos direccionales del campo de Tensiones de Reynolds. El RSN conlleva el cálculo de las tensiones individuales de Reynolds. ρ v 'i v 'j , usando las ecuaciones diferenciales de transporte. Las tensiones 24 individuales de Reynolds se emplean para completar las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento de Reynolds promediadas. D ∂ (ρ v´í v´ j v´k + p(δ kj v´í +δ ik v´ j ) ) + ( ρ v´í v´ j ) = − Dt ∂xk ∂ ∂v j ∂v i µ ( ) v ´ v ´ − ρ v ´ v ´ + v ´ v ´ − ρβ ( g v ´ θ + g v ´ θ í j j k i j j i + (36) i k ∂x ∂x ∂ x k k k ∂v´ ∂v´ j ∂v´ j − 2 µ ∂v´i + p i + − 2 ρΩ k (v´ j v´mε ikm + v´i v´mε jkm ) + Susuario ∂x ∂xk ∂xk j ∂xi + ∂ ∂xk Es decir, Derivada local (t ) + Cij = DT ,ij + DL ,ij + Pij + Gij + Φ ij − ε ij + Fij + Tér. usuario (36. bis) Donde Cij es el término de convección, DT,ij es la difusión turbulenta, DL,ij representa la difusión molecular, Pij es la producción por las tensiones, Gij es la producción por flotación, Φij el esfuerzo de de presión, εij es la disipación y Fij que es la producción por rotación del sistema. Para cerrar las ecuaciones los términos DT,ij, Gij, Φij y εij requieren modelización previa, no así los restantes, Cij, DL,ij , Pij, Fij. Los valores que habitualmente se adoptan para las constantes son: Cs ≈ 0.25, Cl ≈ 0.25, Cγ ≈ 0.25 2.1.7.2.4 Modelo de simulación de grandes remolinos (LES) La simulación de grandes remolinos es una técnica muy interesante dentro de SPH para simular la turbulencia del flujo. Está basada en la teoría de auto semejanza de Kolmogorov (1941). La idea principal de este método es simular el movimiento de los remolinos de mayor escala reproduciendo el efecto disipativo de los de menor escala con otro modelo. Esto se justifica por la isotropía de los remolinos de la microescala. Para esto es necesario 25 eliminar la componente turbulenta del movimiento medio mediante funciones de filtrado tipo Kernel, descomponiendo cualquier variable del ) flujo en: A = A + A′ De este modo se resuelven las ecuaciones para el flujo medio y se sustituye el efecto de la turbulencia por un término adicional en la ecuación de la dinámica. Se puede emplear algún modelo para calcular la viscosidad de turbulenta de los remolinos de menor escala. Se ha seleccionado para este texto el de Smagorinsky (1963): − ρv′i v′j ,i≠ j = −2(Cs ∆) 2 e eij (38) Es decir, que modela la viscosidad de remolino como: µt = − ρ (Cs ∆) 2 E (39) donde la anchura de filtrado es 1 3 (40) E = 2eij eij (41) ∆ = (Volumen) y el tensor de tensiones tangenciales: Para Cs suele adoptar un valor comprendido en la horquilla: Cs = 0.1- 0.2 26 2.2 El método SPH. El método SPH permite obtener soluciones numéricas aproximadas de las ecuaciones de la fluidodinámica mediante la sustitución del fluido por un conjunto de partículas. (Monaghan,2005). “El método de las partículas no es solo una aproximación de las ecuaciones del fluido continuo, sino también proporciona las ecuaciones rigurosas para un sistema de partículas que se aproxima a un sistema molecular subyacente, y más fundamental que las ecuaciones del medio continuo”. Von Neumann, 1944. El método SPH puede verse como una técnica genérica de discretización de relaciones en el medio continuo, alternativa a las de diferencias, elementos ó volúmenes finitos, con la particularidad de discretizar el medio mediante partículas que se mueven con él y transportan sus propiedades en forma lagrangiana, sin requerimiento de mallas. (Grassa, 2004). 2.2.1 La interpolación El método SPH consiste en obtener valores de las variables de campo y de sus derivadas mediante interpolación de los valores de tales variables en puntos del entrono, mediante una función de promediado denominada kernel. Los puntos de interpolación son las partículas que se mueven con el flujo. El valor de una variable genérica A que en un instante determinado tiene una partícula que ocupa la posición espacial “r”, se obtiene interpolando el valor de dicha variable A entre las partículas del entorno que ocupan la posición “r´ ”: A(r ) = ∫ A(r ')W (r − r ' , h ) dr ' 27 (42) Donde la función W es el kernel o función de ponderación, h la longitud de suavizado o radio de la zona de promediado entorno a la partícula en la que se está interpolando y dr’ es un elemento diferencial de volumen. La interpolación reproduce exactamente el valor de A si el kernel es una función delta de Dirac. A(r ) = ∫ A(r ')δ (r − r ') dr ' (43) 2.2.1.1 El kernel El kernel es una función de promediado para interpolar los valores de cualquier propiedad del fluido en función del valor de las partículas del entorno. “La función de interpolación juega un papel similar en SPH a los diferentes esquemas de diferencias en el ámbito de las DF ó a las funciones de forma en los EF”. Grassa, 2004. En la práctica los kernel son funciones que tienden a la función delta de Dirac cuando la escala de longitudes tiende a cero, y se normalizan a 1 para conseguir la interpolación exacta. Figura 1. Esquema de una función de interpolación kernel 28 Para garantizar el sentido físico de la interpolación se busca una función monótonamente decreciente, no negativa, simétrica, continua y con derivada continua. Un ejemplo es el kernel Gaussiano, Wab = 1 π n/2 hn e r −r − a b h 2 (44) donde, n es el número de dimensiones. Su formulación corresponde a una función de densidad de Gauss (distribución normal) con media rb y desviación h / 2 . Está función ya está normalizada, pues su valor resultado es la unidad. Así por ejemplo, en dos dimensiones, ∫ ∞ rb 2π (ra − rb )Wab dr = 1 . Por razones computacionales es preferible el empleo de expresiones de soporte compacto, es decir, que se anulen para distancias mayores a un cierto múltiplo de h. El kernel más usado es el basado en el spline Mn de Schroenberg (1946) que es una función continua a tramos, de soporte compacto y con las derivas de orden superior a n-2 continuas. Estas pueden definirse mediante la transformada de Fourier como: n kh sen 1 ∞ 2 cos(kr )dk M n (r , h ) = 2π ∫−∞ kh 2 (45) Y las formas algebraicas vienen dadas por Schroenberg (1946) y Monaghan (1985b). El spline de orden 2, M2 será: 1 − q, para 0 ≤ q ≤ 1, M 2 (r , h ) = (46) para q ≥ 1 0, donde q = r . M2 proporciona una interpolación lineal, pero su primera h derivada es discontinua. El kernel empleado comúnmente es el cuarto orden M4 denominado kernel cúbico por su expresión polinomial cúbica: 29 1 3 3 6 (2 − q ) − 4(1 − q ) 1 3 M 4 (r ) = (2 − q ) 4 0 ( ) , 0 ≤ q ≤1 , 1≤ q ≤ 2 (47) , q>2 El kernel SPH asociado con el spline de Schroenberg Mn(r), en una dimensión, es W(r,h)= M1(r)/h. En n dimensiones la forma es la misma aunque viene multiplicado por el cociente 1/hn y por una constante de normalización al nuevo espacio. Por ejemplo, el factor 1/6 del spline cúbico (47) se reemplazará por 15/(14π) en dos dimensiones y por 1/(4 π), en tres dimensiones. De este modo, el kernel cúbico en dos dimensiones puede expresarse como: 3 2 3 3 1 − 2 q + 4 q , q < 1 10 1 3 W (r , h ) = , 1< q < 2 (2 − q ) 7π h 2 4 , q>2 0 (48) Donde r es la separación (ra – rb) y q = r/h. En una ó tres dimensiones el factor de normalización, fuera del paréntesis, toma los valores 2/3 h y 1/πh3 respectivamente. El soporte compacto implica un ahorro en el cómputo ya que solo debe considerarse un entorno próximo en el cálculo en cada partícula en vez de extenderlo a todo el dominio. Puede consultarse la interpolación con mayores órdenes en (Monaghan, 1985a). Grassa (2004) realiza un análisis detallado de estos aspectos. Se recoge a continuación un extracto de su trabajo. La figura 1 muestra la función (48) normalizada para dos dimensiones junto con una distribución normal con desviación 2 / 2 (en línea gruesa). Como se puede ver, toma valores más altos que la curva de Gauss para valores de q inferiores a 1. 30 w 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 q 1.5 2 Figura 2. Función de interpolación (48) y distribución normal (44) en línea gruesa A su vez, la figura 3 muestra la derivada de (48) que, como se puede ver, es una función continua, derivable y negativa en todo el intervalo 0 ≤ q ≤ 2 . La derivada es antisimétrica. 0 -0.05 0 0.5 1 1.5 2 -0.1 -0.15 dw -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 -0.4 -0.45 -0.5 q Figura 3. Derivada de la función de interpolación (48) Se han propuesto otros kernel basados en spline de mayor orden, que pueden por tanto aproximar mejor la distribución de Gauss y mejorar las características de estabilidad del método. En (Morris, Fox y Zhu, 1997) se presenta el spline quíntico (normalizado para 2 dimensiones, en tres dimensiones el coeficiente toma el valor 1/(120 π h3)): 31 (3 − q )5 − 6(2 − q )5 + 15(1 − q )5 5 5 , 7 (3 − q ) − 6(2 − q ) W (r , h ) = 2 , 478π h (3 − q )5 0 , q <1 1< q < 2 (49) 2<q<3 , q>3 La figura 4 muestra este kernel, que aproxima mucho mejor la función de Gauss, aunque su cálculo es obviamente más costoso. Solo es apreciable una pequeña desviación en el entorno del origen. Sin embargo no se muestra en este trabajo que existan grandes diferencias en materia de estabilidad o de precisión de los resultados entre el empleo de los Kernels definidos por (48) ó (49). 0.35 0.3 0.25 w 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 q Figura 4. Función de interpolación (49) y distribución normal (línea gruesa) En la revisión bibliográfica se han encontrado diferentes criterios para definir el valor de la longitud de suavizado o entorno de interpolación h. Suele adoptarse un valor ligeramente superior a la distancia inicial entre las partículas, es decir, el tamaño de las partículas, de entre 1 y 1.5 veces esa magnitud. En el estudio de flujos compresibles, en los que se pueden producir variaciones de orden de magnitud en la distancia entre partículas es habitual considerar h variable y adaptarlo sucesivamente de forma que exista un número mínimo de partículas en el entorno de cada una. Ello no es necesario generalmente en el caso de flujos incompresibles o cuasiincompresibles. 32 2.2.1.2 La integración y suma interpolada. Para aplicar la interpolación a un fluido es necesario subdividirlo en elementos de masa, a los que denominamos partículas. Adoptaremos una discretización cartesiana del medio continuo, con una separación inicial entre partículas dr0. Una partícula determinada a tendrá una masa ma, densidad ρa, y posición ra. El valor en la partícula a de una propiedad A se denominará Aa. El tamaño de la partícula ha de ser suficientemente pequeño como para que las variaciones de A dentro de la partícula sean despreciables. Denominamos partículas b a las que quedan dentro del entorno de interpolación de la partícula a. La interpolación en forma continua será la integral: A(ra ) = ∫ A(rb )W (ra − rb , h ) dr ' (50) donde un elemento de masa es ρdr’. Esta integral puede expresarse en forma discreta como un sumatorio para todos los elementos de masa: A(ra ) = ∑ Vb AbW (ra − rb , h) = ∑ mb b b Ab ρb W (ra − rb , h) (51) donde el sumatorio es para todas las partículas b. 2.2.1.3 La derivada primera La formulación SPH permite estimar la derivada espacial de una propiedad A con facilidad. Si la función W es diferenciable, la expresión (50) puede diferenciarse con exactitud como: A' (ra ) = ∫ A´(rb )W (ra − rb , h ) dr ' (52) Aplicando la diferenciación por partes esta derivada se puede expresar como: A' (ra ) = ∫ A´(rb )W (ra − rb , h ) d r ' = ∫ ( A(rb )W (ra − rb , h ))´dr´ − ∫ A(rb )W ' (ra − rb , h ) dr´ Ω Ω Ω Y aplicando el teorema de la divergencia, la primera integral del segundo miembro que se extiende al dominio, se puede sustituir por la integral 33 extendida al contorno del dominio, del producto de la función A por el kernel multiplicada por el vector normal al contorno: A' (ra ) = ∫ A(rb ) W (ra − rb , h) ⋅ n ds − ∫ A(rb ) W ' (ra − rb , h) dr ' (52.1) Ω S Para puntos interiores al dominio de cálculo, el valor del kernel de soporte compacto en el contorno es nulo, por lo que esta integral es nula, quedando finalmente como: A' (ra ) = − ∫ A(rb )W ´(ra − rb , h ) dr ' (52.2) Lo que puede expresarse en forma discreta como: ∇Aa = ∑ mb b Ab ρb ∇ aWab (52.3) en esta expresión ∇ aWab denota el gradiente de la función W(ra-rb,h), calculado en el punto a, que tiene signo negativo, por lo que en 52.3 se ha eliminado el signo negativo que aparece en 52.2 De este modo, en SPH se obtiene la derivada exacta mediante una función aproximada. Sin embargo, esta forma de derivada no es conservativa, pues no se anula cuando A es constante. Para derivar de forma conservativa emplearemos una función auxiliar diferenciable y aplicando la derivada del producto: ∇A = 1 (∇(ΦA) − A∇Φ ) Φ (53) Aplicando la derivada definida en (52.3): ∇Aa = 1 Φa mb m ∑ Φ b Ab∇ aWab − Aa ∑ b Φ b∇ aWab b ρb b ρb De donde: ∇Aa = 1 Φa ∑m b b Φb ρb ( Ab − Aa )∇ aWab (54) Esta expresión si que se anula cuando A es constante. La elección de diferentes elecciones de la función Ф proporcionan las diferentes versiones de la derivada que se pueden encontrar en la literatura. Por ejemplo, eligiendo Ф=1 resulta 34 ∇Aa = ∑ b mb ρb ( Ab − Aa )∇ aWab (54.1) Y tomado Ф=ρ, ∇ Aa = 1 ρa ∑ mb ( Ab − Aa )∇ aWab (54.2) b 2.2.1.4 La derivada segunda. Aplicando la formulación SPH es posible obtener con facilidad la expresión de la segunda deriva espacial de una propiedad A de un problema en una dimensión. Siendo la función W diferenciable d2A 1 d 2Wab 2 = mb ( Ab ) ∑ 2 dxa dx ρ a b (55) Sin embargo esta expresión no es conservativa, por lo que no tiene aplicación práctica. Una mejor aproximación se presenta, para un problema de dos dimensiones en Brookshaw(1985), Cleary y Monaghan (1999) y Monaghan (2005). Monaghan (2005) presenta la siguiente aproximación del Laplaciano de la propiedad A: I = ∆A + Ο(h 2 ) = ∇ 2 A + Ο(h 2 ) = 2∑ b mb Ab − Aa ∇ aWab ρb rab (56) En efecto, Español y Revenga (2003) muestran como partiendo de la expresión (57), I ij = 2∑ b i mb xab x j A − Aa 2 ab b ∇ aWab ρ b rab rab (57) y haciendo el desarrollo en serie de Taylor de la propiedad A, despreciando los términos de segundo orden, y teniendo en cuenta las propiedades de la función kernel, se obtiene (58), para un problema en 3D: i mb xab xabj Ab − Aa 1 2 I ij = 2∑ 2 ∇ aWab = ∇ 2 Aδ ij + ∇ i∇ j A + Ο(h 4 ) 5 5 b ρ b rab rab 35 (58) De este modo se obtiene: Donde Aij denota I xx = 3 1 1 Axx + Ayy + Azz 5 5 5 I yy = 3 1 1 Ayy + Axx + Azz 5 5 5 I zz = 3 1 1 Azz + Axx + Ayy 5 5 5 (59) ∂2 A . Si ahora se suman las tres ecuaciones de (59), se ∂x i ∂x j obtiene el sumatorio I, en el lado izquierdo, y en lado derecho el Laplaciano de la propiedad A, de acuerdo la definición (19) . I = I xx + I yy + I zz = Axx + Ayy + Azz = ∆A (60) Lo que confirma la expresión (56). Además, I xy = 2 Axy 5 (61) De donde se obtiene la expresión conservativa de la derivada segunda en 3D que ya expresada en forma SPH queda: A − Aa ∂2 A m xi x j i j = ∑ b 5 ab 2 ab − δ ij b ∇ aWab rab b ρb ∂x ∂x a rab (62) Así mismo la expresión (58) válida para 2D sería: I ij = 2∑ b i mb xab x j A − Ab 1 2 2 ab a ∇ aWab = ∇ 2 Aδ ij + ∇ i ∇ j A + Ο(h 4 ) ρb rab rab 4 4 (63) De este modo se tiene que: 3 1 Axx + Ayy 4 4 3 1 I yy = Ayy + Axx 4 4 2 I xy = Axy 4 I xx = (64) Así se obtiene la expresión conservativa de la derivada segunda en 2D: A − Ab ∂2 A m xi x j i j = ∑ b 4 ab 2 ab − δ ij a ∇ aWab rab b ρb ∂x ∂x a rab 36 (65) 2.2.2 Las ecuaciones del movimiento Se trata a continuación de obtener la formulación en forma SPH las ecuaciones de Navier Stokes, para fluido compresible. En formulación Lagrangiana toda derivada es material por lo que se sustituye la notación DA dA por , con el mismo significado. Dt dt dρ = −ρ ∇ ⋅ v dt dv 1 Aceleración : = − ∇p + ν ∇ 2 v + g ρ dt C. Masa : (13.2) (18.3) La expresión en forma elemental de la ecuación conservación de masa sería: dρ a m = − ρ a ∑ b v b ⋅ ∇ aWab dt b ρb (66) Si empleamos la forma conservativa (54) para calcular la divergencia de la velocidad: ∇v a = 1 Φa m ∑ ρ (v b b b − v a ) Φ b∇ aWab (67) b y considerando que la función arbitraria sea igual a 1: dρ a m ∂W = − ρ a ∑ b ( v b − v a ) ab dt ∂xa b ρb (68) obtenemos la ecuación más utilizada. dρ a m = ρ a ∑ b v ab∇ aWab dt b ρb (69) donde vab=va-vb. Y si consideramos que la función Φ=ρ dρ a = ∑ mb v ab∇ aWab dt b (70) Para obtener el término de presión de la ecuación de la aceleración en forma conservativa emplearemos la expresión (54) considerando la función arbitraria Φ = 1/ρ, 37 p p = ∇ + 2 ∇ρ ρ ρ ρ ∇p (71) De este modo se obtiene la expresión de la aceleración de la partícula a en función de las partículas b del entorno, sin considerar la gravedad ni el término viscoso. p dv a p = −∑ mb a2 + b2 ∇ aWab dt b ρ a ρb (72) Y la fuerza que cada una de las partículas b ejerce sobre la a será: p p Fab = −ma mb a2 + b2 ∇Wab ρa ρb (73) Esta fuerza es igual y de sentido contrario que la fuerza que la partícula a ejerce sobre la b, puesto que ∇aWab = - ∇aWba. Lo que muestra que se conservan con exactitud la cantidad de movimiento lineal y angular. 2.2.2.1 El término viscoso Término que se adiciona al de presión en la ecuación de la dinámica para reproducir las tensiones viscosas: ν∇ 2 v p dv a p = −∑ mb a2 + b2 + Π ab ∇Wab dt b ρ a ρb (74) 2.2.2.1.1 Modelo de viscosidad laminar Abordaremos en primer lugar la formulación para régimen laminar. La ecuación (18.3) es la rige este tipo de flujo. Aplicando la ecuación (56), se puede obtener la expresión SPH del término viscoso laminar: ν mol ∇ 2 v = 2ν mol ∑ b mb v b − v a ∇ aWab ρb rab 38 (75) Donde ν mol es la viscosidad molecular, que para gases monoatómicos tiene 1 un valor ν mol = λcs , donde λ es la longitud media de recorrido y cs la 3 velocidad del sonido. De acuerdo con (Morris et al., 1997) y (Lo y Shao, 2002), el término viscoso se puede expresar en forma SPH como: ν mol ∇ 2 v = ∑ mb 2ν mol v ab ⋅ rab b ρ a b rab 2 ∇ aWab (76) Donde ρ ab = (ρ a + ρb ) / 2 . La ecuación de la dinámica en modo SPH para flujo laminar puede expresarse como: p dva p v ⋅r = −∑ mb a2 + b2 − 2ν mol ab ab2 ∇ aWab ρ a ρb dt ρ a b rab b (77) En el apartado 2.1.7 se han descrito las diferentes formulaciones existentes para calcular el término de la aceleración viscosa de un flujo turbulento. Aquí vamos a presentar la formulación SPH de algunos de estos métodos. 2.2.2.1.2 Modelo de viscosidad artificial de Monaghan. Esta formulación puede clasificarse como de modelo de turbulencia de cero ecuaciones. Se presenta en primer lugar por ser el primero que se ha empleado para el estudio de fluidos. Se suele representar en la forma siguiente (Monaghan, 1994): Π ab − α cab µ ab + β µ ab 2 ; v ab ⋅ rab < 0 = ρ ab 0; v ab ⋅ rab > 0 (78) El parámetro µab tiene el valor: µ ab = hvab ⋅ rab 2 rab + η 2 39 (79) El valor de η no se define en la referencia citada. Su objeto es evitar singularidades cuando rab ≈ 0 . Se suele adoptar un valor de η 2 ≈ 0.01 h 2 (Monaghan, 1992). El término Π ab se anula cuando las partículas del par a,b se alejan, y ejerce una aceleración opuesta al gradiente de presiones entre partículas que se aproximan, es decir, disipa energía cinética. Los parámetros α y β son adimensionales y en astrofísica suelen adoptar valores de α = 1 y β = 2. En flujos de superficie libre, habitualmente se toma un valor en el cálculo de α = 0.01 y β = 0. El término cuadrático en la expresión (78) se ha empleado en astrofísica para tratar choques entre flujos de gases. Despreciando el término cuadrático (β = 0) Π ab se puede expresar como: Π ab = − α cab h vab ⋅ rab ρ ab rab 2 + η 2 (80) Y la ecuación de la dinámica queda en forma SPH: p dv a p α c h v ab ⋅ rab ∇ W = −∑ mb a2 + b2 − ab dt ρ ab (rab 2 + η 2 ) a ab b ρ a ρb (81) Despreciando η2, y comparando las ecuaciones (77) y (81) se puede comprobar que el término viscoso tiene una forma tal que, en el límite cuando el número de partículas tiende a infinito, representa el Laplaciano de 1 la velocidad, siendo la viscosidad cinemática:.ν = αh cab 2 Dado que el método no es capaz de simular la disipación turbulenta que se produzca en escalas inferiores a las de las partículas, será necesario ajustar el valor de estos coeficientes de forma experimental. 40 Monaghan (2005) recomienda el empleo de la corrección (XSPH) como medida para mejorar la simulación de la turbulencia. Consiste en promediar la velocidad de las partículas con las de su entorno. Este suavizado es por otra parte consistente con el conjunto del método y simula el efecto de intercambio de cantidad de movimiento por efecto de la turbulencia. Consiste en sumar a la velocidad un término adicional, exclusivamente a efectos de cálculo del desplazamiento, en la fase integración. Este término tiene la siguiente expresión: v̂ a = v a + ε ∑ mb (v b − va ) ρ ab b ∇Wab (82) donde ε puede tomar un valor entre 0.1 y 0.5 (Grassa, 2006). Ello equivale a mantener un movimiento más ordenado de las partículas al hacer depender el desplazamiento cada partícula del desplazamiento de las partículas de su entorno. Para mantener la consistencia, esta corrección de la velocidad debe ser aplicada también en la evaluación de la densidad, ecuación (66). 2.2.2.1.3 Modelo k-ε de dos ecuaciones. Violeau e Issa (2007) emplean diferentes modelos de turbulencia como k-ε, RSM consiguiendo un buen ajuste en el problema de rotura de presa o de colapso de columna de agua. El modelo k-ε, como se vio en el apartado 2.1.7.2.2, permite obtener el coeficiente de viscosidad turbulenta en función de la energía turbulenta de fluctuación y la disipación viscosa de la energía de fluctuación, que expresado para una partícula a: ν T,a = C µ k a2 εa (33.1) Conocida esta viscosidad es posible expresar la ecuación de la aceleración en forma SPH: p + µtotal ,b v ab rab µ dv a p ∇Wab + g = −∑ mb b2 + a2 − total ,a 2 dt ρ a ρb (rab + η 2 ) b ρb ρ a (83) donde µtotal , i = ρi (ν mol + ν T,i ) para cada partícula. Para obtener el valor de de la viscosidad turbulenta disponemos de las ecuaciones (34) y (35) que nos proporcionan la tasa de variación de la 41 energía cinética turbulenta y de la de la disipación. La formulación de estas ecuaciones en forma discreta SPH será: µ + µ k ,b k ab dk a = Pka − ε a + ∑ mb k ,a r ∇ W 2 ab a ab dt b ρ a ρb rab µ + µε ,b ε ab ∂ε a ε a = (C1ε Pka − C2ε ε a ) + ∑ mb ε ,a r ∇ W 2 ab a ab ∂t k b ρ a ρ b rab (84) (85) con: ν ν µ k = ρ ν + T ; µε = ρ ν + T ; k ab = k a − k b ; σk σε ε ab =ε a − ε b ; Pka = ν T ,a E 2 Para integrar estas ecuaciones es necesario estimar los valores iniciales de k y ε. 2.2.2.1.4 Modelo de simulación de grandes remolinos (LES) Está documentado el empleo del modelo LES en Rogers y Dalrymple, (2004) y en Dalrymple y Rogers, (2006). Combinan el modelo de viscosidad laminar con turbulencia un modelo de turbulencia que simula los efectos de la en el interior de las partículas SPS (Sub- Particle Scale), mediante el término de Smagorinsky (1963), ecuación 38. La ecuación de la dinámica sería la indicada en (83) en la que para calcular la viscosidad total µtotal , i = ρi (ν mol + ν T,i ) como suma de la viscosidad molecular y la viscosidad turbulenta propuesta por Smagorinsky: ν t ,i = −(Cs r0 ) 2 E (39.1) donde E = 2eij eij es el tensor de tensiones y r0 es la distancia entre partículas. 42 2.2.2.2 Ecuación de Estado. La resolución directa de la ecuación dinámica (74) derivada a partir de la ecuación de Navier – Stokes presenta grandes dificultades para flujos incompresibles. La presión no interviene directamente en la ecuación de conservación de masa y sólo a través de su gradiente en la ecuación dinámica. Un método empleado en técnicas como MAC y VOF es derivar una ecuación de Poisson para la presión, combinando las ecuaciones dinámica y de conservación de masa. Este planteamiento da lugar, en el ámbito SPH a lo que se conoce como método incompresible I-SPH. Se describe a continuación la técnica introducida por Monaghan, 1994, más empleada y computacionalmente más eficiente que se conoce como método cuasi incompresible, WSPH, basada en la aplicación de una ecuación de estado para la presión. Esta es la técnica que se emplea en la aplicación desarrollada (Grassa, 2004) con la que se han realizado los trabajos de esta Tesis. La idea básica es considerar que, de hecho, los fluidos reales son compresibles, aunque esta compresibilidad pueda ser muy pequeña, despreciable en condiciones normales de flujo, con velocidades muy inferiores a la velocidad del sonido en el medio. Empleando el método clásico para flujos compresibles, se establece una ecuación de estado de la forma: γ 2 ρ0 cs ρi − 1 pi = γ ρ0 (86) donde cs es la velocidad del sonido en el medio y ρ0 una densidad de referencia; se toma habitualmente γ = 7 lo que da lugar a una dependencia muy rígida de la presión con la densidad. Sin embargo, la gran velocidad del sonido en el agua (cs≈1400 m/s) hace inaplicable esta ecuación (86) en la mayoría de los casos, donde las velocidades máximas de flujo son generalmente dos órdenes de magnitud inferiores a esta velocidad de propagación de las ondas de presión. La 43 aplicación de la condición de Courant (2.2.4) para garantizar la convergencia del método forzaría pasos de tiempo demasiado bajos, con un coste computacional inabordable. En un proceso isentrópico, se define el módulo de compresibilidad de un fluido como: ∂p K s = ρ ∂ρ s (87) Un sólido incompresible tendrá un valor de K s mayor que un fluido. Una forma de evaluar la compresibilidad de un fluido, es mediante la velocidad del sonido, es decir, la velocidad a la que se transmiten pequeñas perturbaciones en el seno del propio fluido: ∂p cs = = ∂ρ s Ks (88) ρ Para permitir la aplicación de la ecuación (86) en un esquema numérico SPH, Monaghan (1994), propuso el empleo de una compresibilidad artificial que se traduce en considerar una velocidad del sonido reducida, del orden de 10 veces la máxima esperable en el flujo. En esas condiciones, el número Mach del flujo será: Ma = Vmax ≈ 0.1 cs (89) De (88) y (89) se desprende que el módulo de compresibilidad es inversamente proporcional al cuadrado del número Mach: V K s = ρ c = ρ max Ma 2 2 s (90) Por tanto con un Ma=0.1, el módulo de compresibilidad será 100 veces mayor y por tanto la compresibilidad 100 veces menor. De hecho, en gases se admite que con números de Ma<0.3, el flujo es incompresible. La experiencia numérica demuestra que esto es válido para fluidos con Ma=0.1. Se dispone así de un método cuasi-incompresible (WSPH). En cada experimento debe estimarse la velocidad máxima del flujo y aplicar (86) para el cálculo de la presión adoptando cs ≈ 10 vmax. 44 La esencia del flujo de calculo se podría esquematizar de la siguiente forma. Partiendo de una situación inicial conocida, se conoce de cada una de las partículas su posición, velocidad, densidad, y presión. Conocida la velocidad de todas las partículas, el valor del kernel y su derivada, es posible calcular, aplicando la derivada lagrangiana, la divergencia de la velocidad de cada partícula y, por la ecuación de continuidad (13.2) se obtiene el cambio de densidad de las partículas. Conocida la densidad es posible obtener de la ecuación de estado (86) la presión de las partículas, valor con el cual se puede resolver la aceleración de cada una de las partículas mediante la ecuación de la dinámica (72). Conocida la aceleración es necesario emplear un método de integración para calcular la nueva velocidad y posición de las partículas. 2.2.3. Métodos de Integración El estudio de cualquier problema con este método pasa por la integración en el tiempo, a partir de una situación inicial, de las ecuaciones diferenciales ordinarias que forman el método, avanzando sucesivamente en el tiempo los valores de posición, velocidad y densidad. El sistema dado por la ecuación de Navier – Stokes, la ecuación cinemática y la ecuación de conservación de masa se puede representar esquemáticamente en la forma siguiente: dv =F dt (91.1) dr =v dt (91.2) dρ =D dt (91.3) La resolución numérica de este tipo de sistemas se puede efectuar con técnicas de integración convencionales, como el método de Euler, métodos de tipo predictor – corrector ó métodos de Runge – Kutta de diferentes órdenes. La aplicación en cada caso depende de los objetivos de precisión, 45 características de las ecuaciones y coste de evaluación de los lados derechos de las ecuaciones. El método más sencillo es el de Euler aunque suele ser descartado por su escasa precisión que debe compensarse con incrementos de tiempo muy pequeños en la integración. Una primera opción de implementación muy sencilla y buena precisión es el método del paso fraccionario, centrado en el intervalo. Con este método, la obtención de los valores correspondientes al siguiente paso de tiempo (t = n + 1) partiendo de los valores actuales (t = n) (denotados respectivamente por esos subíndices) se realiza en dos pasos: 1. Predictor: Se aplica el método de Euler para pasar de n a n +1, obteniendo a partir de ellos los valores correspondientes al centro del intervalo, n + ½. Por ejemplo: * v n+1 = v n + ∆tFn v n+1 / 2 = ( 1 * v n + v n+1 2 (92.1) ) (92.2) 2. Corrector: Se calculan los valores de los lados derechos de las ecuaciones centrados en el intervalo y se aplican como corrector para obtener los valores finales en t = n + 1. Por ejemplo: v n+1 = v n + ∆tFn+1 / 2 (92.3) Para el cálculo de los lados derechos de las ecuaciones con este método también es necesario obtener en el centro del intervalo el valor de otras variables auxiliares (presión, velocidad del sonido) Monaghan, Kos e Issa (2003) describen otro método predictor – corrector, denominado simpléctico. A partir del sistema de ecuaciones (91), y denominando aquí con un superíndice 0 a los valores en el comienzo de un paso de tiempo ∆t, el paso predictor es: 46 v p = v 0 + ∆t F 0 r = r 0 + ∆t v 0 + (93.1) 1 (∆t )2 F 0 2 ρ p = ρ 0 + ∆t D 0 (93.2) (93.3) El valor de r no se corrige. Empleando los nuevos valores, se recalcula F y D (superíndice p) y los nuevos valores de v y ρ resultan: 1 v = v p + ∆t F p − F 0 2 ( ) 1 2 ρ = ρ p + ∆t (D P − D 0 ) (93.4) (93.5) 2.2.4 Limitaciones del paso de tiempo Al tratarse de un método explícito, la principal limitación de paso de tiempo en la integración está dada por la condición de Courant aplicada a la velocidad del sonido en el medio, que implica que la información no pueda viajar fuera del entorno de una partícula en un paso de tiempo. Esto se puede expresar como: ah ∆t < min a cs (94) donde h es la longitud de suavizado y cs la velocidad del sonido. El coeficiente a es un “factor de seguridad” respecto al número de Courant. La práctica demuestra que con valores de a = 0.3 se obtienen buenos resultados (Monahan, 1992). Monaghan y Kos (1999) han dado un criterio basado en el anterior y modificado para tener en cuenta el efecto de la viscosidad: ah ∆t < min a ca + σ a 47 (95) donde σa viene dado por: h v ab ⋅ rab 2 r ab σ a = max a (96) donde b se extiende a todas las partículas que interaccionan con a. Esta limitación del paso de tiempo es la principal dificultad de aplicación práctica del método. Sin embargo para el análisis de fenómenos hidráulicos rápidamente variables, se requiere el uso de pasos de tiempo muy pequeños. El uso de un esquema implícito con pasos de tiempo mayores puede suponer una pérdida de información, sin que además suponga una gran mejora del tiempo de cálculo debido a las iteraciones que hay que resolver con este método. Monaghan, Kos y Issa (2003) proponen criterios adicionales en función de las fuerzas de contorno. Otra posibilidad a estudiar puede ser la implementación de técnicas de integración explícita más sofisticadas, como los métodos basados en la extrapolación de Richardson y, concretamente la técnica de Bulirsch – Stoerr. (Grassa, 2004; Deuflhard, 1983). 2.2.5. Tratamiento de contornos El contorno tiene la misión de contener el fluido evitando que este lo traspase. Para ello es necesario ejercer sobre las partículas que tratan de atravesarlo una fuerza que las detenga. Monaghan (1994), propone modelizar la fuerza de acuerdo con el esquema Lennard – Jones empleado para evaluar fuerzas entre moléculas (Lennard – Jones, 1924). Consiste en materializar el contorno mediante partículas que ejercen, sobre las partículas de fluido que se aproximan, una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Dado un contorno y una partícula situada a una distancia r < r0 de él, la fuerza radial producida por unidad de masa es la siguiente: 48 r p1 r p2 r f (r ) = do 0 − 0 2 r r r (97) siendo nula para distancias mayores, de forma que la fuerza sea siempre repulsiva. La constante d0 tiene dimensiones de velocidad al cuadrado; algunas referencias toman valores proporcionales a gH, donde H es la profundidad y g la aceleración de la gravedad. El coeficiente p1 debe ser mayor que p2. Habitualmente se adoptan los valores p1 = 4 y p2 = 2. Finalmente r0 toma el valor del espaciamiento inicial entre las partículas. La fuerza es simétrica, por lo que se da un comportamiento elástico no amortiguado frente a un impacto con un contorno. Otro esquema bastante similar se ha propuesto por Monaghan y Kos, 1999, también basado en la disposición a lo largo del contorno de partículas que interactúan con las de fluido. La fuerza por unidad de masa que ejerce una partícula de contorno sobre una partícula de fluido adopta la siguiente expresión: F = R ( y ) P ( x )n (98) En la que x e y son las distancias en la dirección paralela y perpendicular al contorno medidas entre la partícula de fluido y la partícula del contorno con la que interactúa y n el vector unitario normal al contorno. La función R(y) es: 1 (1 − q ); q < 1 A R( y )= q 0; q ≥ 1 Donde q = y 2r0 (99) , y ro es la separación inicial entre partículas. A su vez, la función P(x) se expresa: 1 (1 + cos π x / ∆ p ); x < ∆ p P(x ) = 2 0; x ≥ ∆ p (100) Esta formulación tiene por objeto que la fuerza recibida por una partícula, que se mueva paralelamente al contorno, sea constante. El término A, con dimensiones de aceleración, en la expresión de la fuerza R(y), es el siguiente: 49 A= 1 0.01c 2 + β c v ab ⋅ n h ( ) (101) donde β toma el valor 1 si las partículas se aproximan y 0 si se alejan. Este segundo término ayuda a amortiguar el movimiento perpendicular al contorno. Son bastante similares a éste, los esquemas propuestos en Monaghan, Kos y Issa (2003) o el presentado por Dalrymple y Knio (2001) que sitúa dos filas de partículas en el contorno. Finalmente está el método de las partículas “fantasma” que forman la imagen especular de las partículas en el dominio con respecto al contorno, en sus aspectos dinámicos y cinemáticos, simulando por tanto en este caso una condición de contorno reflejante (variación nula en la normal al contorno). Este método tiene el inconveniente de duplicar el número de partículas de fluido, introduciendo un gran coste computacional. Además, presenta problemas para materializar contornos en ángulo, por la incertidumbre que implica resolver la simetría en estas zonas. 50 2.3 Aplicaciones de SPH en estructuras hidráulicas. El principal campo de aplicación de SPH en estructuras hidráulicas es el de rotura de olas y estudios de impacto de estructuras offshore. En esta línea Gómez-Gesteira y Dalrymple (2004) presentan un modelo a 3D SPH para el análisis del impacto de oleaje sobre estructuras. Grassa (2004) presenta aplicaciones de SPH en ingeniería marítima. Lee et al. (2006), examinó el run-up del oleaje sobre una estructura costera mediante modelo SPH y Boussinesq. Crespo (2008) hace un análisis del colapso de columna de agua, también denominado dam-break, que impacta sobre obstáculos de diferentes geometrías para analizar la disipación de la energía de la ola. Existen sin embargo una serie de publicaciones más próximas al tema central de esta tesis. Así Gatti (2007), presenta una serie de simulaciones SPH de flujos hidráulicos entre los que presenta un resalto hidráulico. Violeu (2007), hace una comparativa del colapso de una columna de agua (dam break) con diferentes modelos de turbulencia. Violeau (2008) presenta el estudio hidrodinámico de una escala de peces empleando diferentes esquemas numéricos como TELEMAC-2D (MEF), SPARTACUS (SPH2D) y SATURN 2D (VOF) y comparando la influencia de varios modelos de turbulencia como K-ε tradicional, K-ω tradicional, K- ε no lineal, el modelo de Tensiones Algebraicas, y el de Simulación de Grandes Remolinos (LES). Finalmente destacamos Lee (2010), donde compara resultados de presiones obtenidas con un modelo SPH, cuasi compresible, frente a otro incompresible, aplicándolo a las presiones de impacto producidas por el lanzamiento de un trampolín sobre una ladera. 51 Capítulo 3. Metodología y herramientas empleadas. 3.1 Metodología. Para comprobar la aptitud del método SPH para reproducir y analizar la hidrodinámica de estructuras hidráulicas, se ha buscado un caso de prueba que caracterice correctamente el funcionamientos hidráulico en ellas. En el apartado 3.1 se justifica el caso seleccionado. El caso de prueba se estudiará bajo diferentes hipótesis de funcionamiento, empleando para ello dos herramientas experimentales. Por un lado se simulará numéricamente mediante el método SPH, y por otra parte se realizarán los mismos experimentos mediante modelización física. En una primera fase se empleará una técnica experimental visual de comparación de la geometrías en diferentes instantes de tiempo. Para ello los ensayos se registrarán en video para su posterior comparación fotograma a fotograma. Se analizará la influencia que puedan tener en los resultados obtenidos el tratamiento de los contornos y el modelo de turbulencia empleado, modificando la forma de materializar los contornos y contrastando los resultados obtenidos en la simulación numérica con diferentes modelos de turbulencia. 52 En una segunda fase se realizará un análisis de resultados comparando registros de presiones obtenidos en modelo físico con las que proporciona SPH. Finalmente se van a simular con SPH dos casos reales en los que ha sido posible obtener datos de prototipo. El primero es el cuenco de amortiguamiento de la presa de Villar del Rey, y el segundo es una escala de peces en la que se está realizando un estudio en el Laboratorio de Hidráulica del Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX, para comparar medidas de presiones y velocidades respectivamente. 53 3.2 El caso de prueba Existen múltiples aplicaciones de SPH a flujos en lámina libre, especialmente en ingeniería marítima para estudiar la interacción del oleaje con estructuras. Sin embargo, en flujos hidráulicos turbulentos y en régimen rápido, tan solo hemos encontrado algunas aplicaciones sin calibración (Maffio, 2006). Es objeto de esta tesis probar la aplicabilidad de este método en éste campo de la ingeniería. Se ha elegido el resalto hidráulico para realizar esta validación, en primer lugar, por que es un fenómeno bien caracterizado en la literatura técnica. En segundo lugar, por que en el resalto hidráulico la turbulencia juega un papel principal gracias a la cual se disipa gran parte de la energía del flujo. Y finalmente, por ser un fenómeno muy frecuente en estructuras hidráulicas. Es interesante destacar que no existe en la actualidad un modelo matemático que reproduzca un resalto con fidelidad, en especial si se trata de un resalto móvil, por la dificultad que entraña su análisis desde un punto de vista euleriano. Se ha diseñado un caso de prueba, basado en el trabajo de Forster y Skrinde (1950). El objeto de este estudio fue determinar la altura mínima necesaria que debe tener un escalón dispuesto sobre la solera de un canal horizontal para garantizar la formación del resalto hidráulico. El esquema del ensayo, que se muestra en la figura 5, consiste en un depósito elevado que alimenta un canal de solera horizontal, a través de una compuerta con apertura instantánea de un (1) metro. Para forzar el resalto se dispone un escalón en la solera del canal. Los ensayos se plantean sin recirculación del flujo, con un número de partículas constante, almacenadas inicialmente en el depósito y en el cuenco que queda aguas arriba del escalón. Frente del resalto Xr Hd Yr Ap=1m y1 v1 Esc Figura 5. Esquema del caso de prueba y definición de las variables de control. 54 Para generar diferentes formas de resalto y conseguir diferentes números de Froude en el flujo aguas arriba del mismo se han probado varias alturas de escalón (1, 2, 3, 4 y 5 metros) y diversas alturas de carga en el depósito (32 m., 18 m. y 10). En todos los casos el escalón se sitúa a 55 m. aguas abajo de la compuerta. Para limitar el tiempo de computación se ha reducido el número de partículas, modificando para ello la geometría del depósito. Las figuras 11.a, 12.a y 13.a presentan la definición geométrica de los ensayos seleccionados. La discretización del fluido se ha realizado con una separación de r0 =20 cm., mientras que las partículas del contorno se han dispuesto cada 10 cm. Los coeficientes adoptados para la fuerza de repulsión de los contornos son: d0=25, p1=4 y p2=2 (ver apartado 2.2.5). Los parámetros adoptados para realizar la simulación se indican a continuación. Considerando que las velocidades máximas en los ensayos alcanzarían los 25 m/s, se empleó una cs=250 m/s, ver apartado 2.2.2.2. Sin embargo, se han realizado ensayos comparando los resultados con menores velocidades del sonido y se ha comprobado que con cs=160 m/s no difieren los resultados. Finalmente se ha adoptado esta velocidad pues permite reducir los tiempos de cálculo, sin perder precisión. Para la interpolación se ha empleado el spline cúbico de soporte compacto de la ecuación (48). El modelo de turbulencia utilizado es el de la viscosidad artificial de Monaghan con α = 0.01 y β = 0. Como método de integración se ha utilizado el método simpléctico. El paso de tiempo inicial adoptado es de 10-5s, aunque este valor se reajusta en la ejecución estabilizándose, tras varios pasos, en valores del orden de 10-3 s (ver apartado 2.2.4). 55 3.3 Experimentación numérica. 3.3.1 Modelo MDST. La experimentación numérica se ha realizado con el software MDST desarrollado en el CEDEX por Grassa (2004). MDST resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes para fluido cuasi-incompresible WSPH (13.2) y (18.3) con la ecuación de estado (86). El código está desarrollado en lenguaje FORTRAN 90, que presenta tres ventajas fundamentales: • Permite dividir el código por módulos especializados, cada uno dedicado a tareas específicas, lo que permite tener una estructura bien definida y fácil de seguir y de modificar según las necesidades del caso de estudio. • Dispone de una librería de operaciones para vectores de n dimensiones que permite un código más compacto y sencillo. • El empleo de punteros que permiten una asignación dinámica de la memoria y por tanto un mejor uso de la misma. El programa se compila con las opciones seleccionadas en el módulo PARAMETER, esto permite que el ejecutable sea mucho más eficiente, al eliminar del código todo los condicionales IF, necesarios para discriminar entre las diferentes opciones. Las opciones de compilación fundamentales son: • Modelo de turbulencia y parámetros correspondientes (apartado 2.2.1). • Parámetros de la ecuación de estado (apartado 2.2.2.2) • Método de integración (apartado 2.2.3) • Método de búsqueda de pares de interacción. (aparatado 3.1.1) El módulo MAIN es el programa principal y lleva el control de tiempo de ejecución. En la primera iteración llama al modulo PARTICLES, en el que se establecen las condiciones iniciales. Y posteriormente en cada iteración: 56 • Llama al módulo PARTICLES, para actualizar las partículas, en caso de ser necesario, por ejemplo en el caso de contornos móviles (subrutina UPDATEPARTICLES). • Llama al módulo INTEGRATE, para integrar en un incremento de tiempo, la posición y velocidad, densidad y presión de las partículas. • Llama al módulo PARTICLES, para imprimir a fichero los resultados obtenidos mediante la subrutina OUTPUTPARTICLES. Si se desea imprimir a fichero el historial de presiones, o de cualquier otra propiedad de una partícula concreta se emplea la subrutina OUTPUTTIMESERIES. • Calcula el incremento de tiempo máximo de acuerdo con los criterios de convergencia (aparatado 2.2.4) haciendo uso de la subrutina MAXTIMESTEP del módulo INTEGRATE. El módulo INTEGRATE, llama en primer lugar al módulo INTERACT para calcular mediante la subrutina CALCDERIVATIVES el valor de la variación de cada una de las variables en el paso de tiempo correspondiente. En segundo lugar integra el nuevo valor de cada una de estas variables empleando el método de integración seleccionado (apartado 2.2.3). Lo primero que se hace en el módulo INTERACT antes de calcular las derivadas, es llamar a la subrutina SEARCHPARTICLES del módulo SEARCH, para identificar los pares de partículas que interactúan entre si. Con esta información se ejecuta la subrutina CALDERIVATIVES que calcula la corrección XSPH (82) mediante la subrutina CALCXSPH, y la derivada de la densidad y la aceleración de cada partícula mediante la subrutina DENSACC, incluido el término viscoso en función del modelo de turbulencia seleccionado. El módulo SEARCH es el que consume mayor tiempo de calculo en la búsqueda de los pares de partículas que actúan entre si. Para ello debe identificar las partículas que se encuentran dentro de los respectivos radios del kernel. Esto se hace dentro de la subrutina SEARCHPARTICLES, que a 57 su vez ejecuta diferentes subrutinas en función de las opciones de compilación seleccionadas, INTERSIMPLE o INTERLISTA o VERLET. En el apartado 3.3.1.1 se explican cada uno de estos métodos de búsqueda. Finalmente, la rutina INTERPAIR es la encargada de comprobar la distancia entre partículas y, por tanto, si queda dentro o fuera del radio de suavizado del kernel. Finalmente, en la rutina INTERPARAM de SEARCH se calcula el valor del kernel y de su derivada para cada par de interacción, empleando funciones definidas en el módulo KERNEL. El módulo PARTICLES, como ya se ha comentado previamente, incluye las subrutinas, INITPARTICLES que permite leer el fichero de entrada mediante la subrutina READPARTICLES, o generar las condiciones iniciales de casos de prueba internos de MDST. Además, permite actualizar la posición de partículas de contorno, cuando existen contornos móviles, como pueden ser compuertas o palas de oleaje. Finalmente, mediante la rutina OUTPUTPARTICLES, se escribe una serie de ficheros de salida isoespaciados en el tiempo de acuerdo con las opciones de compilación. Cada fichero contiene la posición, velocidad, densidad, presión y cuantas otras variables se quieran incluir, de cada una de las partículas de fluido y de contorno del caso de estudio. Cuando se desea generar un registro de presión en algún punto del contorno o, por ejemplo, un registro de nivel de la lámina de agua en un punto determinado se emplea la rutina OUTPUTTIMESERIES, donde se generan las salidas a fichero en forma de serie temporal con un único fichero. MDST dispone además de un módulo SOLIDS que permite incorporar sólidos que evolucionen de acuerdo a las leyes de la mecánica, interactuando con las partículas de fluido. En el cuadro adjunto se presentan los módulos principales y se indican esquemáticamente las tareas o acciones que se realizan en cada uno de ellos. El orden escogido para presentar los módulos sigue, en líneas generales, el flujo del programa. 58 ACCIÓN Previo al inicio de ejecución, se introducen los MODULO parámetros de compilación: - Tiempo de cálculo. - No salidas a fichero. - Método de búsqueda de pares de interacción. PARAMETERS - Tipo de kernel. - Método de integración. - Modelo de turbulencia. - Ecuación de difusión. - Parámetros de cálculo: h, ro, cs, γ, d0, p1, p2, ε, α, β Lectura del fichero de datos, partículas de fluido, PARTICLES contorno y condiciones iniciales. Búsqueda de los pares de interacción y clasificación del SEARCH tipo de interacción en fluido-fluido, fluido contorno, LINKEDLIST contorno-contorno. Cálculo del kernel y su derivada de cada par Cálculo de corrección XSPH (82) y la derivada de KERNEL INTERACT densidad (70). Cálculo de la presión (86) y aceleración (74). INTERACT Integración de velocidad y posición. INTEGRATE Salida de resultados a fichero. PARTICLES Cálculo del incremento de tiempo. MAIN Comprobación de que el tiempo es menor que el de MAIN finalización y nuevo ciclo o fin. Esta tabla es orientativa pues, dependiendo de la versión de MDST, difiere la denominación de los módulos y las subrutinas contenidas en estos. 59 3.3.1.1 Métodos de búsqueda de los pares de interacción Son algoritmos para localizar las partículas que interactúan con cada una de ellas, es decir, para identificar todas las partículas b que quedan dentro de una esfera (en 3D) o una circunferencia (en 2D) de radio el del kernel y centro la partícula a. MDST dispone de diferentes métodos de búsqueda que se esquematizan a continuación. 3.3.1.1.1 Método de búsqueda exhaustiva Consiste en realizar un bucle principal recorriendo todas las partículas, y un bucle secundario en el que se calcula la distancia con las demás y se comprueba si ésta es menor que el radio del kernel. En MDST la subrutina INTERSIMPLE, realiza las búsqueda por este método. b b b b aa h a a a ab ab aa Figura 6. Método exhaustivo de búsqueda de pares de interacción. Este método es muy sencillo de programar pero es poco eficiente y cuando el número de partículas es elevado puede ser inabordable. Esto se puede optimizar considerando la simetría, es decir, que cuando una partícula interactúa con otra la primera entra automáticamente en la lista de la segunda, lo que reduce la búsqueda a la mitad. 60 3.3.1.1.2 Método de listas de proximidad. La subrutina INTERLISTA de MDST emplea este método de búsqueda. Se construye una malla de celdas de tamaño igual al radio del kernel que cubre todo el dominio por exceso, en previsión del crecimiento del dominio y se obtiene la lista de partículas contenidas en cada celda. El empleo de estas listas permite acotar la búsqueda de pares de interacción de una partícula a aquellas que se localizan en las celdas contiguas. Esto se traduce en una gran reducción de tiempos de cálculo y permite agilizar mucho el cálculo, puesto que estas listas sólo hay que actualizarlas cuando alguna partícula cambie de celda. b b b b aa h a a ab ab a aa Figura 7. Método de listas proximidad para la búsqueda de pares de interacción. La actualización de estas listas se realiza en el módulo LINKEDLIST de MDST, mediante las rutinas ADDNODE Y DELETENODE. 3.3.1.1.3 Método de las listas de Verlet. Consistente en almacenar, para cada partícula, una lista que contenga todas las partículas que se encuentran a una distancia menor que rc, siendo rc mayor que el radio de interacción r0, de acuerdo con el problema planteado. Cada partícula interactúa con todas las de su lista de Verlet. Además, si se mantiene una historia temporal acumulada de los desplazamientos de las partículas, no será necesario reconstruir las listas hasta que el mayor recorrido de una partícula sea mayor que rc - r0. Obviamente, aunque se 61 ahorra tiempo en la confección de las listas, se deben comprobar más partículas en el entorno de cada una, muchas de las cuales no producirán interacciones. b b r c b aa ar b o a ab b a aa Figura 8. Método de las listas de Verlet. La subrutina VERLET de SERARCH realiza la búsqueda por este método en MDST 3.3.2 Herramientas de pre y post-proceso. Para la generación de los modelos y el análisis de resultados se ha empleado un software específico denominado GiD, desarrollado por CIMNE (Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería) para pre y postprocesado de modelos matemáticos de diferente índole. Sin embargo, su uso no ha sido inmediato pues GiD está pensado para modelos eulerianos de malla fija, tipo elementos finitos, en los que la posición de los nodos es fija y lo que cambia es el valor de las variables de estudio a lo largo del tiempo. Para facilitar el preproceso se ha programado una aplicación, que en el entrono GiD, se denomina tipo de problema, específico para MDST. Esta herramienta permite diseñar, mediante un interface gráfico, la geometría del ensayo que se pretenda estudiar con SPH, y asignar las propiedades y las condiciones iniciales a las partículas de fluido. Este software genera, con los datos introducidos, el fichero de datos de entrada (*.dat), que requiere MDST para comenzar la simulación. Este fichero contiene los siguientes campos: identificador de la partícula, coordenadas, componentes del vector velocidad, densidad inicial, densidad, masa, velocidad del sonido, longitud 62 de suavizado y tipo. Este último campo es un marcador que indica si la partícula es de fluido, de contorno, de un sólido flotante. Figura 9. Detalle del problem type generado para MDST. Detalle de los menús y ventanas contextuales para introducir las condiciones iniciales del modelo. Por otro lado, para aprovechar las posibilidades de postproceso de GiD, se ha generado una aplicación FORTRAN que lee los ficheros de salida MDST y mediante el uso de librerías GiD, genera un fichero de mallas (*.msh) que contiene la posición de todas las partículas en cada paso de tiempo, y otro fichero de resultados (*.res) asignando a cada nodo el valor de las variables seleccionadas, que en nuestro caso han sido las componentes x e y de la velocidad, la presión y posteriormente se incluyó la vorticidad. 63 3.4 Experimentación en modelo físico Los ensayos de calibración en modelo físico se realizaron en un canal basculante de 40 cm de ancho en las instalaciones del Laboratorio de Hidráulica del Centro de Estudios Hidrográficos del CEDEX. Dado el carácter claramente bidimensional (x,z) del caso de prueba seleccionado, esta instalación resulta idónea. Figura 10. Fotografía de la nave de canales basculantes del Laboratorio de Hidráulica (CEH) Para la segunda fase de validación mediante registros de presión se ha realizado un modelo específico en metacrilato que permite la instalación de sensores de presión en la solera, como muestra la figura 27, del apartado 5.2. 64 Capítulo 4. Análisis experimental. 4.1 Modelación numérica. De las diferentes combinaciones se han seleccionado tres casos. El Test 1 con altura de carga inicial en el depósito de 10 m. y escalón 1 m., el Test 2 con 18 m. de carga y 2 m. de escalón y el Test 3 con 32 m. de carga y 3 m. de escalón. La figura 11 muestra diferentes imágenes del resalto en el Test 1 y la tabla 1 resume los resultados obtenidos. 14 12 10 metros. 8 6 4 2 0 -2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 -4 -6 metros. Figura 11.a. Test 1: Definición geométrica. HInicial = 10 m. Apertura = 1 m. Escalón = 1 m. Partículas de fluido: 11408. Partículas de contorno: 2570. Tabla 1: Simulación numérica inicial del Test 1. Tiempo (s) 5 10 15 20 25 F1 Yr V1 y1 y2 Altura de Xr carga resalto Velocidad calado Nº Froude Calado Calado Hd a. arriba a.arriba conjugado (88) conjugado SPH (m) (m) (m/s) (m) teórico (m) (m) 9.1 70.4 10.5 0.9 3.64 4.0 3 8.9 80.0 10.4 0.9 3.58 4.0 3.8 8.5 86.6 10.0 0.8 3.61 3.6 3.6 7.5 87.9 9.3 0.8 3.41 3.3 3.4 6.8 81.1 8.8 0.8 3.25 3.1 3.1 65 Figura 11.b Test 1: HInicial = 10 m. Apertura = 1 m. Escalón = 1 m. Las imágenes muestran la evolución del resalto con el tiempo. Las partículas están coloreadas en función de la componente horizontal de la velocidad. La simulación SPH se ajusta bien al cálculo teórico. Tras la apertura instantánea de la compuerta, el caudal desaguado barre el agua del cuenco generando un resalto móvil que se desplaza hacia aguas abajo (figura 11.b y tabla1, t=5s). Esto se explica pues el calado en el resalto es menor que el necesario para que se estabilice, de acuerdo con la expresión (102), que resulta de aplicar el principio de conservación cantidad de movimiento a un flujo unidimensional en lámina libre y2 y1 y2 = V1 y1 2 ( 1 + 8F − 1) 2 1 (102) Cuando el resalto móvil alcanza el escalón (x=115 m) fuerza una sección crítica sobre él, generando una sobre elevación de nivel que se propaga hacia aguas arriba (figura 11.b y tabla 1, t=10s y 15s). Entre los instantes 15 y 20 s, la onda de la sobre elevación de lámina alcanza el frente del resalto y 66 consigue estabilizarlo. Sin embargo, ya en el segundo 20 el resalto comienza a retroceder hacia aguas arriba, lo que encaja con los calados teóricos conjugados de la tabla 1 que superan los medidos experimentalmente. Esto se explica por el descenso del nivel del agua en el depósito que hace que la descarga bajo compuerta sea menor, siendo por tanto menor la cantidad de movimiento del chorro aguas arriba del resalto. (figura 11.b, t=25s). Durante los 25 segundos de ensayo el número de Froude del flujo aguas arriba del resalto es F1≈ 3.5. La forma del resalto se aproxima a la que corresponde a un resalto oscilante para este número de Froude en la clasificación del U.S. Bureau of Reclamation (1966) La figura 12.a muestra la definición geométrica del Test 2, con 18 m de metros. carga inicial y un escalón de 2 m y la figura 12.b presenta los resultados. 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 metros. Figura 12.a. Test 2: Definición geométrica. HInicial = 18 m. Apertura = 1 m. Escalón = 2 m. Partículas de fluido: 15238. Partículas de contorno: 3233. El funcionamiento es similar al del test anterior. Después de la apertura de la compuerta el resalto móvil avanza hacia aguas abajo, formado una ola con cresta que rompe antes de que alcance el escalón. En el instante 10 s la onda generada por la sección crítica del escalón avanza hacia aguas arriba. En el instante 15 s, la onda ha llegado al frente del resalto. A partir de ese momento éste retrocede. En la tabla 2 se refleja el valor de algunas de las variables hidráulicas obtenidas en el ensayo. 67 Tabla 2: Simulación numérica inicial del Test 2. Tiempo (s) 5 10 15 20 25 V1 y1 F1 Altura de Xr carga resalto Velocidad calado Nº Froude Hd a. arriba a.arriba (m) (m) (m/s) (m) 16.8 68 14.9 0.9 4.9 16.5 76 14.8 0.9 5.1 15.7 81 14.4 0.8 5.2 14.4 71 12.3 0.8 4.4 13.7 65 11.6 0.8 4.1 y2 Calado conjugado teórico (m) 6.1 5.7 5.3 4.5 4.3 Yr Calado conjugado con SPH (m) 5.5 5.7 5.3 4.6 4.4 Figura 12.b. Test 2: HInicial = 18 m. Apertura = 1 m. Escalón = 2 m. Las imágenes muestran la evolución del resalto con el tiempo. Las partículas están coloreadas en función de la componente horizontal de la velocidad. Los resultados teóricos y del modelo SPH ajustan bastante bien. Además la forma del resalto es bastante realista y también guarda relación con la forma correspondiente a un resalto de forma B de la clasificación del Bureau of Reclamation (1966). 68 Finalmente, la figura 13.a. presenta la definición geométrica del Test 3, con 32 m. de altura de carga y 3 m de escalón. La tabla 3 y figura 13.b muestran metros. los resultados obtenidos. 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 metros. Figura 13.a. Test 3: Definición geométrica. HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Partículas de fluido: 17804. Partículas de contorno: 3306. Tabla 3: Simulación numérica inicial del Test 2. Tiempo (s) 5 10 15 20 25 V1 y1 F1 Altura de Xr carga resalto Velocidad calado Nº Froude Hd a. arriba a.arriba (m) (m) (m/s) (m) 30 66 20.4 0.8 7.1 29.7 76 20.3 0.8 7.1 28.7 71 19.6 0.9 6.6 26.7 anegado 23.6 anegado - y2 Calado conjugado teórico (m) 8.1 7.9 8.0 - Yr Calado conjugado con SPH (m) 8.2 7.9 8.1 - Este ensayo es similar a los anteriores, sin embargo, cuando la onda de sobre elevación de nivel generada en el escalón alcanza el frente del resalto (Figura 13, t=10 s), comienzan a apreciarse ondulaciones superficiales poco realistas. 69 70 Figura 13.b Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Las imágenes muestran la evolución del resalto con el tiempo. Las partículas están coloreadas en función de la componente horizontal de la velocidad. Durante la fase de ensayos se realizó el test 3 con partículas de 10 cm, para evaluar el efecto de escala. El modelo resultante tenía 75116 partículas de fluido, el tiempo de cálculo se multiplicó por un factor de 4.2 veces, sin que se aprecien diferencias. Aunque los resultados del resalto generado con el modelo SPH pueden considerarse aceptables a primera vista, en especial los de los dos primeros test, es realmente difícil evaluar la bondad de estos ensayos en régimen variable. Por eso se ha considerado interesante realizar una serie de ensayos en modelo físico bidimensional (x,z). 71 4.2 Los ensayos en modelo físico. Dado el carácter claramente bidimensional del ensayo, se ha considerado adecuado realizar los ensayos en un canal de laboratorio de pendiente variable. Teniendo en cuenta que la magnitud preponderante en estos fenómenos es la atracción gravitatoria, se adopta la semejanza hidráulica de Froude para realizar el estudio. Considerando las dimensiones de los casos de prueba y las dimensiones del canal de ensayo (60 cm de altura) se ha adoptado como escala geométrica más adecuada λ=50, para el test 1 y 2 y la escala λ=60 para el test 3. Para garantizar la semejanza y que sean despreciables los efectos de la tensión superficial, es preciso que la turbulencia esté desarrollada, esto es, que el número de Reynolds de modelo sea suficientemente alto. En el conjunto de los ensayos realizados en modelo físico, el numero de Reynolds del flujo más bajo se produce al final del ensayo 1, momento en que el agua circula a 8.8 m/s y el calado es de 0.8 m, por lo que el número de Reynolds de prototipo resulta de 7.9 10-6 . Teniendo en cuenta que las relaciones de escala en semejanza de Froude, 3 λRe = λ2 , el número de Reynolds de modelo supera el valor de 22000. Esto garantiza la representatividad del modelo a escala λ=50. En el caso del modelo a escala λ=60, las condiciones del flujo son mucho más turbulentas, resultando un número Reynolds de modelo mínimo al final del test 3, de 112000. Se han seleccionado tres variables geométricas para comparar los resultados del modelo SPH y del modelo físico. En primer lugar, el nivel del depósito, Hd, pues sirve como indicador para contrastar del caudal desaguado. En segundo lugar, la posición del frente de onda, Xr. Y finalmente, el calado del resalto Yr (ver figura 5). La comparación del valor de las variables de control para el test 1, se presenta en la tabla 4. La figura 14.a compara el perfil del resalto del modelo SPH y del modelo físico en diferentes instantes del ensayo. La línea roja muestra el perfil escaneado sobre los fotogramas del modelo físico. La figura 14.b compara las variables de control. 72 Tabla 4: Test 1. Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. Tiempo t=5s t=10s t=15s t=20s t=25s Modelo Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Físico 8.9 70.0 3.4 8.8 82.0 3.9 8.4 92.7 4.0 7.1 93 3.4 6.1 87.5 3.4 SPH 9.0 70.4 3.0 9.0 80.0 3.8 8.6 86.6 3.9 7.5 88.0 3.4 6.9 81.1 2.9 %Dif.vs. Físico. 1.1 0.6 -11.8 2.3 -2.4 -2.6 2.4 -6.6 -2.5 5.6 -5.4 0.0 13.1 -7.3 -14.7 Figura 14.a. Test 1: HInicial = 10 m. Apertura= 1 m. Escalón = 1 m. Comparación modelo SPH con modelo físico (línea roja) 73 TEST 1 Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. 100 90 80 70 metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr t=5s Yr Hd Xr Yr Hd t=10s Xr Yr t=15s MF Hd Xr t=20s Yr Hd Xr Yr t=25s SPH Figura 14.b. Test 1: HInicial = 10 m. Apertura= 1 m. Escalón = 1 m. Comparación de los valores de las variables de control entre el modelo SPH con modelo físico. La comparación de fotogramas muestra un buen ajuste entre los dos modelos, tanto en la forma como en evolución del frente del resalto, especialmente durante los primeros instantes, pues en los instantes finales se aprecia un desfase en la posición del resalto. Además se aprecia que el nivel en el depósito es algo mayor en el modelo SPH que en el físico, lo que significa que el primero desagua algo menos. La comparación de ambos modelos en el Test 2 se muestra en la figuras 15.a., 15.b y tabla 5. El nivel en el depósito sigue siendo más alto en el modelo SPH que en el modelo físico y tanto los calados registrados como la posición del frente del resalto son bastante aproximados hasta el segundo 15. Posteriormente, el frente del resalto en el modelo SPH retrocede más que en el modelo físico y los calados del resalto SPH son menores que los del modelo físico. 74 Tabla 5: Test 2. Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. Tiempo t=5s t=10s t=15s t=20s t=25s Modelo Físico SPH Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 16.8 69.5 5.5 16.4 79.4 6.3 15.7 83.6 5.7 14.1 78.9 5.0 13.1 78.4 5.12 16.8 68.3 5.5 16.5 76.4 5.6 15.7 81.0 5.5 14.4 71.4 4.6 13.7 65.1 4.41 %Diferencia vs. Físico. 0.0 -1.7 0.0 0.6 -3.8 -11.1 0.0 -3.1 -3.5 2.1 -9.5 -8.0 4.6 -17.0 -13.9 Figura 15.a. Test 2: HInicial = 18 m. Apertura= 1 m. Escalón = 2 m. Comparación modelo SPH con modelo físico (línea roja) 75 TEST 2 Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr t=5s Yr Hd Xr Yr Hd t=10s Xr t=15s MF Yr Hd Xr Yr Hd t=20s Xr Yr t=25s SPH Figura 15.b. Test 2: HInicial = 18 m. Apertura= 1 m. Escalón = 2 m. Apertura= 1 m. Escalón = 1 m. Comparación de los valores de las variables de control entre el modelo SPH con modelo físico. Tabla 6: Test 3. Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. Tiempo t=5s t=10s t=15s t=20s t=25s Modelo Físico SPH Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 28.7 65.8 7.9 28.6 77.5 8.2 27.0 81.0 7.5 23.8 79.4 6.6 19.2 73.0 6.6 30.1 66.0 8.2 29.9 76.0 8.0 28.9 70.5 8.2 26.8 60.0 7.6 23.5 60.0 7.3 %Diferencia vs. Físico. 4.9 0.3 3.8 4.5 -1.9 -2.4 7.0 -13.0 9.3 12.6 -24.4 15.2 22.4 -17.8 10.6 La figuras 16.a y 16.b y tabla 6, muestran los resultados de la experimentación del Test 3. La comparación resulta aceptable durante los primeros instantes, sin embargo, posteriormente se acusan diferencias apreciables, básicamente en la forma del resalto y la en la posición el frente 76 del resalto. En la simulación SPH el resalto retrocede excesivamente llegando a anegar el desagüe bajo compuerta. 77 Figura 16.a. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación modelo SPH con modelo físico (línea roja). TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr t=5s Yr Hd Xr Yr Hd t=10s Xr t=15s MF Yr Hd Xr t=20s Yr Hd Xr Yr t=25s SPH Figura 16.b. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación de los valores de las variables de control entre el modelo SPH con modelo físico. 78 4.3 Análisis y discusión de los resultados. 4.3.1 Influencia de las condiciones de contorno y el rozamiento. En los ensayos SPH realizados hasta ahora, el nivel del depósito queda por encima del nivel registrado en el modelo físico. Si observamos el detalle de la sección del desagüe del depósito (figura 17.a) podemos apreciar que, en realidad, la sección útil de salida es menor de 1 m, debido al efecto de las fuerzas de repulsión (97) que ejercen las partículas del contorno sobre las partículas de fluido. Por otro lado, el hecho de que el frente del resalto retroceda antes nos lleva a pensar en un efecto similar (figura 17.b), pues la fuerza repulsiva de las partículas de contorno del escalón hace que la altura efectiva sea algo mayor. a) Detalle del desagüe bajo compuerta b) Detalle del escalón Figura 17. Efecto de estrechamiento de la apertura y de sobre elevación efectiva del escalón por efecto de las fuerzas de repulsión. Test 3 Para comprobar este extremo hemos repetido los ensayos incrementando la apertura en ro =0.10 m rebajando la altura del escalón la misma distancia. 2 La tabla 7 resume los resultados obtenido en el Test 1, donde Ap es la apertura de compuerta, Esc, la altura del escalón, Hd, el nivel del depósito, Xr, la posición del frente de onda, y el calado del resalto Yr. Con esta corrección los niveles en el depósito convergen y también mejora la posición del resalto. 79 Tabla 7: Test 1. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. Modelo Físico SPH %Dif. SPH %Dif. vs. Físico vs. Físico Ap 1 1 1.1 Tiempo Esc 1 1 0.9 s 8.9 9 1.1 8.9 0.0 Hd 5 70 3.4 8.8 82 3.9 8.4 92.7 4 7.1 93 3.4 6.2 87.5 3.4 Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 10 15 20 25 70.4 3 9 80 3.8 8.6 86.6 3.9 7.5 88 3.4 6.9 81.1 2.9 0.6 -11.8 2.3 -2.4 -2.6 2.4 -6.6 -2.5 5.6 -5.4 0.0 13.1 -7.3 -14.7 70.8 3.2 8.9 81.7 3.9 8.5 89 4 7.2 90 3.4 6.5 84.5 3.1 1.1 -5.9 1.1 -0.4 0.0 1.2 -4.0 0.0 1.4 -3.2 0.0 4.8 -3.4 -8.8 TEST 1 Modelo físico vs. Modelo SPH. Simulación inicial. 100 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr 5 Yr Hd Xr Yr Hd Xr 10 MF Yr 15 SPH-ORIGINAL Hd Xr 20 Yr Hd Xr Yr 25 SPH-MODIFICADO Figura 18. Test 1. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original y el modelo SPH con las modificaciones del contorno. La tabla 8 muestra el resultado de aplicar la misma corrección al Test 2. En este caso, también convergen los niveles del depósito, lo que indica la 80 mejora en la representatividad de la sección de salida, sin embargo, no es suficiente la mejora experimentada en la posición del frente del resalto. Tabla 8: Test 2. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. Modelo Físico SPH %Dif. SPH %Dif. vs. Físico vs. Físico Ap 1 1 1.1 Tiempo Esc 2 2 1.9 s 17 16.8 0.0 16.6 -2.4 Hd 5 69.5 5.5 16.6 79.4 6.3 15.7 83.7 5.7 14.1 78.9 5 13.2 78.4 5.1 Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 10 15 20 25 68.3 5.5 16.5 76.4 5.6 15.7 81 5.5 14.4 71.4 4.6 13.7 65.1 4.4 -1.7 0.0 0.6 -3.8 -11.1 0.0 -3.1 -3.5 2.1 -9.5 -8.0 4.6 -17.0 -13.9 68.7 5.5 16.4 77.3 5.8 15.5 82 5.7 14.1 73.4 4.9 13.2 68.2 4.6 -1.2 0.0 -1.2 -2.6 -7.9 -1.3 -2.0 0.0 0.0 -7.0 -2.0 0.0 -13.0 -9.8 TEST 2 Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr 5 Yr Hd Xr Yr Hd Xr 10 Físico Yr Hd 15 SPH-ORIGINAL Xr 20 Yr Hd Xr Yr 25 SPH-MODIFICADO Figura 19. Test 2. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original y el modelo SPH con las modificaciones del contorno. 81 En el Test 3 el resultado fue similar, sin conseguir grandes mejoras, tal y como puede apreciarse en la tabla 9: Tabla 9: Test 3. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. Modelo Tiempo s Ap Esc 5 Hd 10 15 20 25 Físico SPH %Dif. SPH %Dif. vs. vs. Físico Físico 1 1 1.1 3 3 2.9 28.7 30.1 4.9 29.9 4.2 Xr 65.8 66 0.3 65 -1.2 Yr 7.9 8.2 3.8 8.5 7.6 Hd 28.6 29.9 4.5 29.4 2.8 Xr 77.5 76 -1.9 81.8 5.5 Yr 8.2 8 -2.4 8.4 2.4 Hd 27 28.9 7.0 28 3.7 Xr 81 70.5 -13.0 71.2 -12.1 Yr 7.5 8.2 9.3 7.9 5.3 Hd 23.8 26.8 12.6 25.4 6.7 Xr 79.4 60 -24.4 63.7 -19.8 Yr 6.6 7.6 15.2 8 21.2 Hd 19.1 23.6 22.4 21.4 12.0 Xr 73 60 -17.8 60 -17.8 Yr 6.6 7.4 10.6 7.3 10.6 TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación contorno. 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr 5 Yr Hd Xr Yr Hd Xr 10 Físico Yr Hd 15 SPH-ORIGINAL Xr 20 Yr Hd Xr Yr 25 SPH-MODIFICADO Figura 20. Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original y el modelo SPH con las modificaciones del contorno. 82 Otra forma de acotar estas distorsiones de modelado es disminuyendo la fuerza de repulsión de las partículas de contorno, reduciendo para ello, la constante de proporcionalidad, do, de la ecuación (97). Sin embargo, esto tiene un límite por debajo del cual el contorno se convierte en permeable a las partículas de fluido, lo que obliga a disponer más próximas las partículas del contorno. Por otro lado, si la distancia entre las partículas del contorno es cuatro veces menor que la de las partículas de fluido, dxc< r0 , la 4 componente horizontal de las fuerzas de repulsión de los contornos disminuye, reduciendo así el efecto de rozamiento, Grassa (2007). Por tanto, densificando las partículas de contorno y reduciendo do, limitaremos más aún el efecto de rozamiento del contorno. Esto también debe mejorar la representatividad a la hora de reproducir la posición del resalto. La tabla 10 muestra los resultados del Test 1 con diferentes valores de las variables dxc y do. Tabla 10: Test 1. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. Mod Ap Físic. 1 T Esc 1 1 0.9 0.9 0.9 0.9 s dxc - 0.1 0.1 0.025 0.025 0.025 do - 25 25 25 5 1.4 Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 8.9 70.0 3.4 8.8 82.0 3.9 8.4 92.7 4.0 7.1 93.0 3.4 6.2 87.5 3.4 5 10 15 20 25 SPH %Dif SPH %Dif SPH %Dif SPH %Dif SPH %Dif 1 1.1 1.1 1.1 1.1 9.0 1.1 8.9 70.4 0.6 70.8 3.0 -11.8 3.2 9.0 2.3 8.9 80 -2.4 81.7 3.8 -2.6 3.9 8.6 2.4 8.5 86.6 -6.6 89.0 3.9 -2.5 4.0 7.5 5.6 7.2 88.0 -5.4 90.0 3.4 0.0 3.4 6.9 13.1 6.5 81.1 -7.3 84.5 2.9 -14.7 3.1 0.0 1.1 -5.9 1.1 -0.4 0.0 1.2 -4.0 0.0 1.4 -3.2 0.0 4.8 -3.4 -8.8 83 8.9 0.0 8.9 70.6 0.9 71.2 3.0 -11.8 3.1 8.9 1.1 8.9 81.6 -0.5 82.1 3.9 0.0 3.9 8.5 1.2 8.4 89.0 -4.0 90.3 4.1 2.5 4.0 7.3 2.8 7.1 90.0 -3.2 89.9 3.5 2.9 3.5 6.5 4.8 6.4 84.1 -3.9 85.3 3.1 -8.8 3.1 0.0 1.7 -8.8 1.1 0.1 0.0 0.0 -2.6 0.0 0.0 -3.3 2.9 3.2 -2.5 -8.8 8.9 71.4 3.2 8.8 82.5 3.9 8.4 91.5 4.1 7.1 91 3.5 6.2 86.2 3.2 0.0 2.0 -5.9 0.0 0.6 0.0 0.0 -1.3 2.5 0.0 -2.2 2.9 0.0 -1.5 -5.9 El ensayo realizado con dxc= 2.5 cm y do=1.4, es el que proporciona valores de la variables de comparación más ajustados a los del modelo fijo. La figura 21 compara las variables de control para este caso. 100 TEST 1 Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno . 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr Yr t=5s Hd Xr Yr Hd t=10s MF SPH-ORIGINAL Xr t=15s SPH-MODIFICADO Yr Hd Xr t=20s Yr Hd Xr Yr t=25s SPH: dxc= 0.025; do=1.4 Figura 21. Test 1. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original, el modelo SPH con las modificaciones del contorno y finalmente el modelo SPH con las modificaciones en la geometría y discretización de las partículas de contorno. Las tablas 11 y 12 muestran los resultados de estas modificaciones en los test 2 y 3, respectivamente. Se puede comprobar un mejor ajuste de los niveles de los depósitos pero no se aprecia una mejora interesante en lo referente a la geometría y movimiento del resalto. Aunque insuficientes, los mejores ajustes se han obtenido con una distancia entre las partículas de contorno de 2.5 cm. La comparación de las variables de control para ambos test se ilustran en la figuras 22 y 23. 84 Tabla 11:Test 2. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. Modelo Físico SPH %Dif SPH %Dif Tiempo 5 10 15 20 25 1 2 1 2 0.1 25 SPH %Dif Ap Esc dxc do Hd 17.0 16.8 0.0 1.1 1.9 0.1 25 16.6 -2.4 1.1 1.9 0.025 5 16.6 -2.4 Xr 69.5 68.3 -1.7 68.7 -1.2 69.5 0.0 5.5 0.0 Yr 5.5 5.5 0.0 5.5 0.0 Hd 16.6 16.5 0.6 16.4 -1.2 16.3 -1.8 Xr 79.4 76.4 -3.8 77.3 -2.6 79.3 -0.1 Yr 6.3 5.6 -11.1 5.8 -7.9 6.1 -3.2 15.3 -2.5 Hd 15.7 15.7 0.0 15.5 -1.3 Xr 83.7 81.0 -3.1 82.0 -2.0 83.2 -0.6 Yr 5.7 5.5 -3.5 5.7 0.0 5.7 0.0 Hd 14.1 14.4 2.1 14.1 0.0 13.7 -2.8 Xr 78.9 71.4 -9.5 73.4 -7.0 75.0 -4.9 Yr 5.0 4.6 -8.0 4.9 -2.0 4.7 -6.0 Hd 13.2 13.7 4.6 13.2 0.0 13.1 -0.8 Xr 78.4 65.1 -17.0 68.2 -13.0 69.4 -11.5 4.6 -9.8 4.7 -7.8 Yr 5.1 4.4 -13.9 TEST 2 Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación dicretización contorno. 90 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr Yr 5 Hd Xr Yr Hd Xr 10 Físico SPH-ORIGINAL 15 SPH-MODIFICADO Yr Hd Xr 20 Yr Hd Xr Yr 25 SPH: dxc=0.025; do=5 Figura 22. Test 2. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original, el modelo SPH con las modificaciones del contorno y finalmente el modelo SPH con las modificaciones en la geometría y discretización de las partículas de contorno. 85 Tabla 12: Test 3. Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. Model Físico SPH %Dif SPH %Dif SPH %Dif SPH %Dif Tiempo Ap 1 1 1.1 1.1 1.1 Esc 3 3 2.9 2.9 2.9 0.1 0.1 0.025 0.025 25 25 5 1.4 dxc do 5 10 15 20 25 90 Hd 28.7 30.1 4.9 29.9 4.2 29.9 4.2 29.9 4.2 Xr 65.8 66.0 0.3 65.0 -1.2 67.0 1.8 65.0 -1.2 Yr 7.9 8.2 3.8 8.5 7.6 8.5 7.6 8.5 7.6 Hd 28.6 29.9 4.5 29.4 2.8 29.4 2.8 29.4 2.8 Xr 77.5 76.0 -1.9 81.8 5.5 79.6 2.7 81.8 5.5 Yr 8.2 8.0 -2.4 8.4 2.4 8.1 -1.2 8.4 2.4 Hd 27.0 28.9 7.0 28.0 Xr 81.0 Yr 7.5 Hd 23.8 Xr 79.4 3.7 28.0 3.7 28.0 3.7 -12.1 69.3 -14.4 71.2 -12.1 70.5 -13.0 71.2 5.3 4.0 5.3 8.2 9.3 7.9 7.8 7.9 26.8 12.6 25.4 6.7 25.5 7.1 25.4 6.7 60.0 -24.4 63.7 -19.8 62.0 -21.9 63.7 -19.8 Yr 6.6 7.6 15.2 8.0 21.2 7.3 10.6 8.0 21.2 Hd 19.1 23.6 22.4 21.4 12.0 21.4 12.0 21.4 12.0 Xr 73.0 Yr 6.6 60.0 -17.8 60.0 -17.8 60.0 -17.8 60.0 -17.8 7.4 10.6 7.3 10.6 7.5 13.6 7.3 10.6 TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Modificación discretización contorno. 80 70 Metros 60 50 40 30 20 10 0 Hd Xr Yr 5 Hd Xr Yr Hd Xr 10 Físico SPH-ORIGINAL 15 SPH-MODIFICADO Yr Hd Xr 20 Yr Hd Xr Yr 25 SPH: dxc=0.025; do=1.4 Figura 23. Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH original, el modelo SPH con las modificaciones del contorno y finalmente el modelo SPH con las modificaciones en la geometría y discretización de las partículas de contorno. 86 De lo estudiado hasta ahora, se desprende que con el modelo SPH estándar con modelo de turbulencia de la viscosidad artificial de Monaghan y, con ciertos ajustes de las condiciones de contorno, se consigue reproducir con precisión el resalto hidráulico en flujos turbulentos con números de Froude inferior a 5. Sin embargo, para flujos con números de Froude superior a este umbral, es necesario emplear otro modelo de turbulencia más adecuado pues, la disipación viscosa de la energía cinética por efecto de la turbulencia juega un papel muy importante en el resalto, llegando a condicionar la semejanza. En efecto, si la disipación viscosa en el resalto simulado con SPH resulta insuficiente, no reproducirá correctamente el balance de cantidad de movimiento a ambos lados del frente del resalto, que es lo que determina su posición. 4.3.2 Influencia del modelo de turbulencia. Para poder comprobar la influencia que tiene la correcta simulación de la turbulencia, se ha realizado una simulación numérica del caso de prueba empleando el modelo de turbulencia k-ε. De acuerdo con la formulación expuesta en el apartado 2.2.2.1.3, ecuaciones 83 a 85, se ha codificado el modelo de turbulencia k-ε y se ha incluido en el código de MDST. Para ello se ha creado una opción de compilación en PARAMETERS para seleccionar el modelo k-ε. Si se selecciona en la subrutina DENSACC del módulo INTERACT, en la que se calcula la aceleración de las partículas, hay que considerar un término de aceleración viscosa calculado con el modelo k-ε, en lugar del término de viscosidad artificial de Monaghan, de acuerdo con la expresión: p + µtotal ,b µ dv a p v ab = −∑ mb b2 + a2 − total ,a rab ∇Wab + g 2 2 dt ρ a ρb (rab + η ) b ρb ρ a donde µtotal , i = ρi (ν mol + ν T,i ) para cada partícula. 87 (83) ν T,i = C µ ki2 εi (33.1) Para obtener el valor de de la viscosidad turbulenta disponemos de las ecuaciones (34) y (35) que nos proporcionan la tasa de variación de la energía cinética turbulenta y de la de la disipación. La formulación de estas ecuaciones en forma discreta SPH será: µ + µ k ,b k ab dk a = Pka − ε a + ∑ mb k ,a r ∇ W 2 ab a ab ρ ρ dt r b a b ab µ + µε ,b ε ab ∂ε a ε a = (C1ε Pka − C2ε ε a ) + ∑ mb ε ,a r ∇ W 2 ab a ab ∂t k b ρ a ρ b rab (84) (85) Donde, ν ν µ k = ρ ν + T ; µε = ρ ν + T ; k ab = k a − k b ; σk σε ε ab =ε a − ε b ; Pka = ν T ,a E 2 Las derivadas de la energía cinética de fluctuación, así como de la disipación viscosa, se calculan en una subrutina denominada KE en el módulo INTERACT. En esta subrutina se calcula también el modelo del invariante del tensor de tensiones E = 2eij eij , necesario para calcular la función de producción Pka = ν T ,a E 2 En el módulo INTEGRATE se integran el valor de K y de ε, para cada incremento de tiempo de cálculo, en el primer paso de tiempo hay que dar unos valores iniciales a K y ε. Se ha empleado, como valor inicial de la energía cinética de fluctuación ki =0.016 julios y una disipación viscosa inicial, que de acuerdo con el modelo de Prandtl’s se puede calcular como 3 k 2 ε i = Cµ i , siendo h la longitud de suavizado. h Con los valores de K y de ε, calculados en INTEGRATE, se calcula en INTERACT, el valor de la viscosidad cinemática turbulenta de cada 88 partícula de acuerdo con (33.1), y se calcula la componente de aceleración debida a la viscosidad turbulenta para cada partícula. Aplicando esta formulación del modelo k-ε se ha analizado el test 3, que es en el que se han apreciado las mayores divergencias. Las figuras 24.a, 24.b, y 24.c y tabla 13 muestran el resultado de la simulación SPH con el modelo de turbulencia k-ε y se compara con el modelo de turbulencia de viscosidad artificial de Monaghan con α=0.01 y β=0. Figura 24.a Test 3. Ensayo SPH con modelo de turbulencia k–ε comparado con el ensayo en modelo físico (línea roja). El modelo de turbulencia k-ε mejora considerablemente la representatividad del modelo SPH. Al aumentar la disipación viscosa del resalto se reproduce bastante mejor la posición del frente del resalto. La figura 24.c muestra como la diferencias entre las variables de control se reducen en la segunda mitad del ensayo. Sin embargo existen diferencias importantes en la forma de la superficie libre. Posiblemente, la causa reside en que en flujos 89 turbulentos existe mucha emulsión de aire en el agua lo que modifica las propiedades físicas del medio fluido. El inconveniente de este método está en el alto coste computacional que supone la resolución de las ecuaciones kε, duplicando el tiempo de cálculo frente al modelo de la viscosidad artificial de Monaghan. Tabla 13: Test 3 Influencia del modelo de turbulencia. Modelo Físico SPH %Dif SPH % Dif Visc. artif. vs. vs. α=0.01 Físico k-ε Físico 1.1 1.1 Ap 1 Tiempo Esc 3 2.9 2.9 s dxc 0.1 0.1 do 1.4 5 Hd 28.7 Xr 10 15 20 25 1.4 29.9 4.2 29.5 2.8 65.8 65.0 -1.2 72.0 9.4 Yr 7.9 8.5 7.6 8.9 12.7 Hd 28.6 29.4 2.8 28.9 1.0 Xr 77.5 81.8 5.5 86.5 11.6 Yr 8.2 8.4 2.4 8.2 -0.6 Hd 27.0 28.0 3.7 27.4 1.5 Xr 81.0 71.2 7.5 7.9 -12.1 75.0 5.3 7.0 -7.4 Yr Hd 23.8 25.4 Xr 79.4 63.7 Yr 6.6 23.9 0.4 -6.3 8.0 -19.8 74.4 21.2 6.9 12.0 0.1 Hd 19.1 21.4 Xr 73.0 60.0 Yr 6.6 7.3 90 6.7 -6.7 19.1 -17.8 72.0 10.6 6.4 4.5 -1.4 -3.0 TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Influencia de la viscosidad. 100.0 90.0 80.0 70.0 Metros 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 Hd Xr Yr Hd 5 Xr Yr Hd 10 MF Xr Yr Hd 15 Xr Yr Hd 20 SPH: VISCOSIDAD ARTIFICIAL-ALFA 0.01 Xr Yr 25 SPH: K-EPSILON Figura 24.b Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH con viscosidad artificial (alfa 0.01) y el modelo SPH con el modelo de turbulencia k–ε. TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Influencia de la viscosidad. 25.0 20.0 15.0 % Diferencia 10.0 5.0 0.0 Hd -5.0 Xr 5 Yr Hd Xr Yr Hd 10 Xr 15 Yr Hd Xr 20 Yr Hd Xr Yr 25 -10.0 -15.0 -20.0 -25.0 MF vs SPH: VISCOSIDAD ARTIFICIAL- ALFA 0.01 MF vs SPH-K-EPSILON Figura 24.c Test 3. Diferencia de las variables de control registradas en el modelo físico, frente a las obtenidas con SPH empleando el modelo de viscosidad artificial (alfa 0.01) y las obtenidas con SPH empleando el modelo de turbulencia k–ε. 91 Capítulo 5. Propuesta de un modelo de turbulencia para SPH. Con el estudio realizado hasta este punto se ha comprobado que el modelo de viscosidad artificial de Monaghan proporciona resultados bastante ajustados a los que se obtiene mediante experimentación en modelo físico, especialmente, en flujos en lámina libre con números de Froude reducidos. Sin embargo, se ha comprobado que a medida que los flujos analizados son más rápidos, es decir, con mayor número de Froude, la comparación de resultados entre ambos modelos es menos satisfactoria. La simulación SPH realizada con el modelo k-ε, mejora considerablemente los resultados aunque a cambio de un gran coste computacional en comparación con los tiempos de cálculo obtenidos con el modelo de viscosidad artificial. Se pretende buscar una solución que combine las ventajas de cada modelo. Con la intención de evolucionar el modelo de viscosidad artificial se han comprobado la influencia de los coeficientes α y β de la expresión (78). Se ha podido apreciar que el modelo es más sensible al coeficiente α, por lo que se ha optado por analizar con mayor profundidad este coeficiente. Con valores reducidos de α, el modelo se comporta como un modelo de viscosidad laminar, del orden 0.001, mientras que si se emplean valores más elevados como por ejemplo 1, la simulación reproduce el movimiento de un fluido mucho más viscoso que el agua. 92 El término de la viscosidad artificial de Monaghan (ver apartado 2.2.2.1.2) trata de reproducir la aceleración debida a los efectos viscosos. Π ab → 2(ν + ν t )eij , que se corresponde con el término de tensiones viscosas de la ecuación (28). Sin embargo, la viscosidad turbulenta depende de las características del flujo y no del fluido, por tanto un modelo de viscosidad constante no puede reproducir correctamente el flujo turbulento. Morris y Monaghan (1997) propusieron ya un método para reducir la viscosidad en las zonas alejadas de los choques. Ellos daban a cada partícula su propio valor del coeficiente α , del que depende Π ab , haciéndolo variar con la siguiente ecuación diferencial: dα α − α0 =− +S dt τ Donde α 0 es un valor de referencia, τ ≈ (103) h , y S es proporcional a ∇V . Con cs esto pretendían tener un α ≈ 1 cerca de los choques y un valor mucho menor, α ≈ 0.1 , lejos de estos. Inspirados en esta idea, se ha desarrollado una modificación del modelo de viscosidad artificial en el que cada partícula tendrá un valor propio de α en función de las propiedades del flujo. En una fase inicial se ha dado a α una dependencia lineal con la velocidad, sin alcanzarse mejorías interesantes. Posteriormente se estudió el comportamiento cuando el valor α de cada partícula toma un valor diferente en función del cuadrado de su velocidad. Tampoco se apreciaron mejoras que resaltar. 93 5.1 Modelo de viscosidad artificial modificado αvor . De acuerdo con la teoría de Kolmogorov (apartado 2.1.6) la propiedad esencial de la turbulencia son los remolinos, que se van subdividiendo hasta que alcanzan el tamaño de la microescala y se produce la disipación viscosa. Una buena medida de la cantidad de remolinos que existen en el flujo es la vorticidad. La vorticidad es un tensor que mide el ratio de rotación, y sus componentes son: 1 ∂v ∂v j vorij = i + 2 ∂x j ∂xi (104) La vorticidad en forma SPH se puede expresar con el producto vectorial de la diferencias de velocidades por el gradiente del kernel. Por tanto la vorticidad de la partícula a se puede obtener como: vora = (∇ × v )a = 1 ρa ∑ m (v b a − vb ) × ∇ aWab (105) b Este nuevo método propone dar un valor de α diferente a cada partícula en función de su vorticidad (López, Marivela y Garrote, 2010). α vor , a = ψ (Vorticidad , t ) (106) Cuando el flujo es laminar, no existirán remolinos, por lo que todas las partículas tendrán vorticidad nula y la constante α adoptará un valor mínimo ajustado a la viscosidad molecular, por lo que el término Π ab sólo reproducirá la disipación viscosa de un flujo laminar. Comparando las ecuacines (77) y (81), es posible obtener el valor que debe adoptar el coeficiente α para el que el término Π ab de la ecuación de la aceleración represente la disipación viscosa laminar. A este valor de α lo denominaremos αmol: α mol = 2ν mol c ab h 94 (107) En flujos turbulentos, con la aparición de los remolinos, la vorticidad dejará de ser nula y adoptará valores mayores especialmente en las zonas donde existan más vórtices, y por tanto el valor α vor ,i de las partículas i que se encuentren en ese entorno también deberá ser mayor, con lo que el término viscoso Π ab crecerá para aumentar la disipación viscosa por efecto de la turbulencia. El término viscoso Π ab atenúa la aceleración debida a las fuerzas de presión pero no tiene sentido físico que pueda preponderar sobre éste. Por tanto, la disipación viscosa tiene un valor máximo, que se ha materializado en el modelo limitando αvor a un valor máximo. Se han realizado ensayos en busca de la mejor ley de variación α vor = ψ (Vorticidad , t ) , y del límite superior de esta variable. Se ha ensayado una ley de variación del tipo: α vor , i (t ) = C (abs(Vorticidad ))k (108) El valor absoluto se debe a que la disipación de la energía viscosa se produce independientemente del sentido del giro. Tras los primeros ensayos se comprobó que con dependencia lineal (k =1) se obtenían mejores resultados, por lo que los ensayos se han centrado en el parámetro C y en el valor máximo de αvor. El rango de variación ensayado de cada uno de los parámetros se muestra en la tabla adjunta. Tabla 14 Modelo αvor. Rango de parámetros analizados C Límite máximo de αvor 1 20 1 10 1 5 1 4 1 2 1 --- --- --- 2 1.5 1.2 1 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 En las tablas 15 a 18 se documentan los resultados obtenidos en las diferentes simulaciones. 95 Tabla 15.1: Test 3 Ensayos de calibración del modelo αvor Parámetros Límite máximo de αvor Tiempo C 5s Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 10 s 15 s 20 s 25 s SPH Modelo Físico Sin límite C= 28.7 1 20 29.67 65.8 66 7.86 8.5 28.6 28.8 77.5 83 8.18 8.3 27 27 81 76 7.47 7.1 23.8 23.5 79.36 72 6.56 6.9 19.11 --- 73 67.2 6.6 6.5 Tabla 15.2:Test 3 Ensayos de calibración del modelo αvor Tiempo 5s 10 s 15 s 20 s 25 s Modelo Físico Límite máximo Sin 1.5 de αvor límite SPH Parámetros C - 1 10 Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr 28.7 - 65.8 - 7.86 - 28.6 28.8 1 0.8 0.7 0.6 0.5 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 29.5 29.5 29.4 29.4 29.5 29.5 1 10 68 69 8.1 8.2 28.8 28.8 69 68 68 69 8.1 8.2 8.4 8.5 28.7 28.8 28.9 28.9 77.5 82 82 81 81.5 82.4 8.18 8.2 8.2 8 8.3 8.3 8.13 9.34 83 82 27 27.1 27 27 27 27 27.1 27.2 81 77 78.5 77 77 79 79.4 79 7.47 7.4 7.2 7.2 7.1 7.2 7.3 7.2 23.8 23.3 23.1 23.3 23.25 23.4 23.3 23.4 79.36 73 73 74 73.8 74.7 74 74 7 6.9 6.56 6.9 6.7 6.8 6.9 6.75 19.11 18.4 18.4 18.4 18.4 18.7 18.6 18.6 73 67 68 69.3 70.4 70.5 70.2 70.5 6.6 6.3 6.2 6.2 6.4 6.35 96 6.3 6.35 Tabla 15.3:Test 3 Ensayos de calibración del modelo αvor Tiempo Parámetros Modelo Físico Max(αvor ) 1/5 C 2 Hd 5s 10 s 15 s 20 s 25 s SPH 28.7 Xr 65.8 Yr 7.86 Hd 28.6 Xr 77.5 Yr 8.18 Hd 27 Xr 81 Yr 7.47 Hd 23.8 Xr 79.36 Yr 6.56 Hd 19.11 Xr 73 Yr 6.6 29.3 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1.2 1 0.8 0.6 0.5 29.4 29.35 29.35 29.5 29.6 70.1 70 70.6 68.4 68.6 68 7.82 7.85 7.9 7.9 7.8 8 28.8 28.7 28.8 28.7 29.2 29.25 81.13 82 83 28.9 82.6 82 7.9 8.1 8.3 8.2 8.2 8 27 27 27 27 27.8 27.8 79.4 79.5 79 80 79 77 7.25 7.3 7.2 7.2 7.2 7.1 23.1 23.3 23.3 23.3 24.4 24.5 72.5 74.5 74.7 76.5 75.5 74.7 6.5 6.6 6.6 6.75 6.74 6.8 18.5 18.4 18.45 18.7 19.6 19.6 66.6 69 70.6 71.6 72 73 6.1 6.1 6.2 6.3 6.3 6.4 Tabla 15.4:Test 3 Ensayos de calibración del modelo αvor Parámetros SPH Tiempo Max(αvor ) 1/4 1/4 1/2 5s 10 s 15 s 20 s 25 s 1 1 C 0.5 0.7 0.5 0.4 0.5 Hd 29.4 29.4 29.4 29.4 29.4 Xr 70 70 69 68 67 Yr 7.9 7.8 7.8 7.88 7.6 Hd 28.7 28.8 29 28.8 28.9 Xr 83 83 82 82 82 Yr 8.15 8.2 8.3 8.4 8.3 Hd 27.2 27.1 27.4 27.3 27.3 Xr 80 80 79 78 79 Yr 7.2 7.2 7.3 7.4 7.4 Hd 23.5 23.4 23.5 23.6 23.7 Xr 76 76.4 76 74.5 76.4 Yr 6.8 6.72 6.8 6.9 6.8 Hd 18.9 18.6 18.75 18.86 18.9 Xr 73 72.3 73 72.4 73 Yr 6.4 6.2 6.5 6.5 6.5 97 Se ha encontrado el mejor ajuste con una ley de variación lineal k=1, con un coeficiente C=1s. El coeficiente C tiene unidades de tiempo [T], esto permite que la ley de variación sea dimensionalmente correcta, puesto que la vorticidad tiene unidades de frecuencia [T-1], y el coeficiente α vor debe ser adimensional al igual que α. Los ensayos destinados a limitar el umbral superior de α vor ,i muestran un buen ajuste con un límite superior de α vor ,a = 0.5. Por tanto la ley de variación de α vor se puede resumir como: α vor ,a 1 abs (vorticidad a ), si vorticidad a < 2 = 1 1 si vorticidad a ≥ , 2 2 (109) El término viscoso se expresará finalmente como: − (α mol + α vor , a )cab h vab ⋅ rab 2 r + η 2 ; v ab ⋅ rab < 0 Π ab = ρ ab ab 0; v ab ⋅ rab > 0 (110) El método propuesto es similar a un modelo LES, pues los remolinos de gran diámetro se simulan hidrodinámicamente resolviendo las ecuaciones de Navier Stokes, y la disipación viscosa al subnivel de partícula se simula con la viscosidad artificial haciéndola depender de la vorticidad. Para implementar este modelo en el código de MDST se ha preparado una opción de compilación en PARAMETER dentro de los posibles modelos de turbulencia. Si se selecciona esta opción, dentro del módulo INTERACT, se ha introducido una subrutina denominada VORTICITY, que calcula las componentes del tensor de vorticidad. Esta rutina se ejecuta previamente a la rutina CALCDERIVATIVES, de modo que cuando se ejecute la subrutina INTERACT ya se disponga del valor de la vorticidad necesario para emplear α vor , en el cálculo del término viscoso. En la figura 25.a, y tabla 16 se comparan los resultados obtenidos para el test 3 con esta ley de α , frente al modelo físico. Se aprecia una buena correspondencia entre ambos modelos. En el instante 5 se aprecia un retraso en la rotura de la ola, pero la mejora es sustancial en el resto del ensayo. 98 Figura 25.a. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación del modelo propuesto de α variable con la vorticidad. La línea roja muestra el perfil del resalto del modelo físico. Tabla 16: Test 3. Resultados obtenidos con αvor y comparación con otros modelos. Físico Tiempo 5s 10 s 15 s 20 s 25 s Ap. E dxc do Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr Hd Xr Yr % Dif SPH % Dif SPH % Dif SPH k-ε vs. αvort ≤ 0.5 vs. α = 0.01 vs. Físico Físico Físico 1.0 3.0 28.7 65.8 7.9 28.6 77.5 8.2 27.0 81.0 7.5 23.8 79.4 6.6 19.1 73.0 6.6 1.1 2.9 0.1 1.4 29.9 65.0 8.5 29.4 81.8 8.4 28.0 71.2 7.9 25.4 63.7 8.0 21.4 60.0 7.3 1.1 2.9 0.1 1.4 4.2 -1.2 7.6 2.8 5.5 2.4 3.7 -12.1 5.3 6.7 -19.8 21.2 12.0 -17.8 10.6 99 29.5 72.0 8.9 28.9 86.5 8.2 27.4 75.0 7.0 23.9 74.4 6.9 19.1 72.0 6.4 2.8 9.4 12.7 1.0 11.6 -0.6 1.5 -7.4 -6.7 0.4 -6.3 4.5 0.1 -1.4 -3.0 1.1 2.9 0.1 1.4 29.4 67.0 7.6 28.9 82.0 8.3 27.3 79.0 7.4 23.7 76.4 6.8 18.9 73.0 6.5 2.4 1.8 -3.8 1.0 5.8 1.2 1.1 -2.5 -1.3 -0.4 -3.8 3.0 -1.0 0.0 -1.5 Las figuras 25.b y 25.c ilustran el contenido de esta tabla y permiten constatar que el modelo de viscosidad artificial modificado αvor presenta unos resultados más ajustados que el modelo de viscosidad artificial de α constate e igual a 0.01 e incluso mejores que el modelo k-ε . TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Influencia de la viscosidad. 100.0 90.0 80.0 70.0 Metros 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 Hd Xr Yr Hd 5 MF Xr Yr Hd Xr 10 Yr Hd 15 SPH:VISCOSIDAD ARTIFICAL- ALFA 0.01 SPH: K-EPSILON Xr Yr Hd Xr 20 Yr 25 SPH: VISCOSIDAD ARTIFICIAL- ALFAVOR Figura 25.b. Test 3. Comparación de las variables de control entre el modelo físico, el modelo SPH con viscosidad artificial (α=0.01), el modelo SPH con el modelo de turbulencia k–ε, y el modelo SPH con viscosidad artificial modificado αvor. TEST 3 Modelo físico vs. Modelo SPH. Influencia de la viscosidad. 25.0 20.0 15.0 % Diferencia 10.0 5.0 0.0 Hd -5.0 Xr 5s Yr Hd Xr Yr 10 s Hd Xr 15 s Yr Hd Xr 20 s Yr Hd Xr Yr 25 s -10.0 -15.0 -20.0 -25.0 MF vs. VISCOSIDAD ARTIFICIAL-ALFA 0.01 MF vs. SPK K-E MF vs. SPH:VISCOSIDAD ARTIFICIAL-ALFAVOR Figura 25.c. Test 3. Diferencia de las variables de control registradas en el modelo físico, frente a las obtenidas con SPH empleando el modelo de viscosidad artificial (alfa 0.01), las obtenidas con SPH empleando el modelo de turbulencia k–ε y el modelo SPH con viscosidad artificial modificado αvor.. El modelo αvor limita a un 2.4 % el máximo error en la cota de lámina del depósito, frente 2.8% en el k- ε, y al 12% en el de viscosidad artificial de 100 α = 0.01 cte. Así mismo, la máxima diferencia en la posición del frente del resalto en el modelo αvor se limita a un 5.8%, frente al 11.6% en el modelo k- ε y al 19.8% en el de viscosidad artificial de α = 0.01 cte. Finalmente la máxima diferencia de calados en el resalto frente al modelo físico que se detecta en el modelo αvor es del 3.8%, frente 12.7 del k- ε, y el 21.2% en el de viscosidad artificial de α = 0.01 cte. Las siguientes figuras muestran en detalle de la comparación de los perfiles del resalto calculados por los diferentes métodos. Figura 26.a. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=5 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Figura 26.b. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=10 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. 101 Figura 26.c. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=15 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Figura 26.d. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=20 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. Figura 26.e. Test 3: HInicial = 32 m. Apertura= 1 m. Escalón = 3 m. Comparación en instante t=25 s del perfil del resalto registrado en el modelo físico (línea roja) con los tres variantes de modelo turbulencia: α=0.01, k-ε, αvor. A la mejora de la representatividad del modelo hay que adicionar otra ventaja de gran importancia, que es el bajo coste computacional introducido que apenas supone un 20% de incremento de tiempo de cálculo. 102 5.2 Comparación de presiones Siguiendo con los trabajos de validación del método, se han realizado ensayos adicionales para registrar las presiones que se producen en el fondo del cuenco bajo la acción del resalto. Se ha construido un modelo físico a escala 1/60 del test 3 y se han colocado cinco sensores de presión rápidamente variable, cuatro sobre la solera y uno en la contrahuella del escalón. La figura 27 muestra la disposición de los mismos. X=110 S1 X=55 X=80 S2 X=90 S3 X=100 S4 S5 X=115X=115 X=110 Figura 27. Disposición de los sensores de presión en el modelo físico. Las distancias indicadas están expresadas en metros de prototipo. La frecuencia de muestreo adoptada para la adquisición de datos de presión en los sensores del modelo físico ha sido de 1000 muestras por segundo, frecuencia suficientemente alta para evitar fenómenos de aliasing. La figura 28 presenta los resultados obtenidos en el modelo físico y los compara con las simulaciones realizadas con MDST empleando los diferentes modelos de turbulencia empleados en los anteriores apartados. Los registros de presión de la simulación numérica se han generado promediando la componente normal al contorno de la fuerza que experimentan las partículas de contorno, que se encuentran en una zona de medida de área unidad, como reacción a las partículas de fluido que se aproximan al contorno intentando atravesarlo. 103 m Los valores que proporcionan los diferentes modelos SPH reproducen las presiones medias registradas en el modelo físico, sin embargo los valores instantáneos de presión presentan gran dispersión. Una causa, que puede tener bastante peso, reside en que las presiones se están registrando en los contornos, precisamente donde actúan las fuerzas elásticas de Lenard-Jones que evitan el escape de las partículas de fluido. Estas fuerzas generan una oscilación de presión en el entorno de las partículas de contorno que introducen un ruido numérico que distorsiona la señal de presión. El modelo de viscosidad artificial de α constante es el que presenta mayor dispersión en los valores instantáneos de la presión. El modelo k–ε presenta un resultado algo mejor, pero el mejor resultado se obtiene con el modelo de viscosidad variable α vor . Las mayores oscilaciones se obtienen en los instantes iniciales, lo que puede estar afectado por el reajuste de las condiciones iniciales. Esto puede atenuarse comenzando la simulación unos instantes antes de la apertura de la compuerta. Por otro lado, puesto que el ruido numérico está asociado a altas frecuencias, un filtro de paso bajo puede suavizar la señal de presión de los ensayos SPH. 104 COMPARACIÓN DE LOS REGISTROS DE PRESIÓN. SENSOR 1. X=80 SENSOR 1- X=80 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 5 10 15 20 25 20 25 20 25 Tiempo (s) SPH -alpha 0.01 Modelo Físico SENSOR 1- X=80 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-K-epsilon Modelo Físico SENSOR 1- X=80 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-alfavor Modelo Físico Figura 28.a. Registros de presiones del test 3. Sensor 1. X=80 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. 105 COMPARACIÓN DE LOS REGISTROS DE PRESIÓN. SENSOR 2. X=90 m. SENSOR 2- X=90 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 20 25 20 25 Tiempo (s) SPH -alpha 0.01 Modelo Físico SENSOR 2- X=90 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-K-epsilon Modelo Físico SENSOR 2- X=90 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-alfavor Modelo Físico Figura 28.b. Registros de presiones del test 3. Sensor 2. X=90 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. 106 COMPARACIÓN DE LOS REGISTROS DE PRESIÓN. SENSOR 3. X=100 m. SENSOR 3- X=100 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 20 25 20 25 Tiempo (s) SPH -alpha 0.01 Modelo Físico SENSOR 3- X=100 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-K-epsilon Modelo Físico SENSOR 3- X=100 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-alfavor Modelo Físico Figura 28.c. Registros de presiones del test 3. Sensor 3. X=100 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. 107 COMPARACIÓN DE LOS REGISTROS DE PRESIÓN. SENSOR 4. X=100 m. SENSOR 4- X=110 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 20 25 20 25 Tiempo (s) SPH -alpha 0.01 Modelo Físico SENSOR 4- X=110 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-K-epsilon Modelo Físico SENSOR 4- X=110 m. 20 18 16 Presión m.c.a 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-alfavor Modelo Físico Figura 28.d. Registros de presiones del test 3. Sensor 4. X=110 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. 108 COMPARACIÓN DE LOS REGISTROS DE PRESIÓN. SENSOR 5. X=115 m. SENSOR 5- X=115 m. 20 18 Presión m.c.a 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 20 25 20 25 Tiempo (s) SPH -alpha 0.01 Modelo Físico SENSOR 5- X=115 m. 20 18 Presión m.c.a 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-K-epsilon Modelo Físico 20 18 Presión m.c.a 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Tiempo (s) SPH-alfavor Modelo Físico Figura 28.e. Registros de presiones del test 3. Sensor 5. X=115 m. Los valores de la presión se expresan en metros de columna de agua. La disposición de los sensores se muestra en la figura 27. La línea oscura representa las presiones registradas del modelo físico, mientras que la línea clara corresponde a la simulación numérica con el modelo de turbulencia indicado. 109 También se ha obtenido el espectro de frecuencias de las diferentes señales. La figura 30 muestra los correspondientes al sensor 1. La línea oscura representa al registro del modelo físico y las líneas claras a los diferentes modelos de turbulencia. Se aprecia que el modelo modificado de viscosidad artificial αvor, es el que mejor se ajusta al espectro de la señal registrada en modelo físico. COMPARACIÓN DE LOS ESPECTROS DE FRECUENCIA. SENSOR 1. X=80 m. 0.5 Sensor 1 Espectro de frecuencia 0.4 Modelo físico SPH:alfa=0.01cte. 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecuencia (Hz) 0.5 Modelo físico Sensor 1 Espectro de frecuencia 0.4 SPH: K-EPSILON 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecuencia (Hz) 0.5 Modelo físico Sensor 1 Espectro de frecuencia 0.4 SPH: Alfavor 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frecuencia (Hz) Figura 29. Espectros de frecuencia en el sensor 1, Test 3. La línea oscura representa el espectro de la señal registrada en el modelo físico. Las líneas claras corresponden a los diferentes modelos de turbulencia SPH. 110 Por tanto, se ha comprobado que el modelo de viscosidad α vor , introduce una mejora sustancial en la representatividad del modelo SPH para la simulación de fenómenos hidráulicos rápidos (F>5) y en los que la turbulencia juega un papel fundamental. Además se ha observado que los registros de presiones en los contornos presentan una menor oscilación instantánea de la presión. Finalmente la comparación de los espectros de frecuencia de los registros de presión muestran como la energía asociada a las diferentes frecuencias de vibración son muchos más próximas cuando se calcula SPH con α vor . 111 Capítulo 6. Casos estudiados. Se presentan a continuación dos casos en los que se ha empleado el método SPH (MDST) para el análisis de fenómenos hidrodinámicos concretos que además han servido como casos de prueba para la validación del modelo. 6.1 Cuenco de amortiguamiento de la presa de Villar del Rey. 6.1.1. Presentación del problema. La presa de Villar del Rey está situada sobre el río Zapatón, entre los términos de Alburquerque y Villar del Rey (noroeste de Badajoz) para captar las aportaciones de este importante afluente del río Gévora. Se construyó en los años ochenta para aumentar la garantía de suministro para abastecimiento de la ciudad de Badajoz, dejando anegada la antigua presa de Peña del Águila, que data de finales del siglo XIX. Figura 30. Situación del embalse de Villar del Rey (Badajoz). 112 Se trata de una presa de gravedad de hormigón de planta recta, de 41 m de altura y 205 m de longitud en coronación, con aliviadero de labio fijo que funciona con frecuencia en años lluviosos. Figura 31. Vista de la presa desde la margen izquierda, desde la Peña del Águila La presa dispone de un desagüe de fondo constituido por dos conductos horizontales de 1600 mm de diámetro, con el eje a la cota 212 m.s.n.m., distantes entre sí 4620 mm, y centrado con el eje del aliviadero. Cada uno dispone de compuertas tipo Bureau, una de guarda y otra de regulación, que se accionan desde la cámara de válvulas dispuesta al efecto. Además tiene una ataguía en la embocadura abocinada de cada conducto. Los desagües vierten al cuenco de amortiguamiento, y para permitir un correcto funcionamiento conjunto de aliviadero y desagües, existe un diente deflector, a modo de trampolín que desvía el flujo en canal de descarga, justo aguas arriba de la salida de los desagües. Durante el funcionamiento habitual de los desagües de fondo, se origina en el cuenco de amortiguamiento un remolino de eje vertical, que en ocasiones desborda el cuenco inundando la central de pie de presa. 113 Figura 32. Desagües funcionando por los dos conductos. Cota de embalse= 421.58 m.s.n.m. Q=76 m3/s. Se genera un remolino dextrógiro en el cuenco. Se aprecia que la mayor parte del flujo que sale del cuenco se concentra en el lateral derecho del cuenco, junto a la Central Hidroeléctrica. Con el estudio realizado se han detectado las causas de la formación del remolino y se han diseñado las modificaciones necesarias para eliminarlo. Para ello se ha construido un modelo físico a escala 1/40 en la nave de ensayos del Laboratorio de Hidráulica del C.E.H. y se ha realizado un estudio con un modelo tridimensional SPH. Finalmente, con el objeto de calibrar el modelo SPH, se ha realizado una campaña de ensayos en prototipo, que nos ha permitido no sólo comparar el movimiento del fluido en ambos modelos, físico y SPH, sino también contrastar los valores numéricos de presión obtenidos del prototipo con los del modelo SPH. 6.1.2. Análisis del fenómeno hidráulico La generación del remolino está condicionada por la geometría del cuenco y la zona de impacto de los chorros. El choque del flujo proveniente de los desagües, impulsa el agua del cuenco hacia el azud de salida, parte verterá por encima y el resto retornará hacia los lados generando sendos remolinos. Uno de los remolinos predomina sobre el otro, y produce un importante desnivel en la superficie libre. A este remolino lo denominaremos principal. Cuando se maniobra con un solo desagüe, es posible influir en el sentido de 114 giro del remolino principal, puesto que la posición del chorro no es simétrica respecto eje longitudinal del cuenco. De acuerdo con esto, el sentido de giro se puede controlar con la forma de maniobrar de los desagües. Sin embargo, el control no es total pues en los ensayos realizados con un solo desagüe abierto (figuras 33 a 36), el remolino predominante no siempre se estabiliza con el mismo sentido de giro. No obstante, una vez establecido el sentido de giro, éste no cambia aunque se abra el segundo desagüe. Figura. 33. Modelo físico. Escala 1/40. Desagüe izquierdo abierto. Q= 38 m3/s. Remolino levógiro. Figura 34. Modelo físico. Escala 1/40. Q=38 m3/s por cada desagüe. Remolino dextrógiro Estas figuras muestran la variabilidad del fenómeno. Se aprecia como es posible que con un solo desagüe abierto el remolino principal se forme en ambos sentidos. También se comprueba cómo una vez establecido el sentido de giro, éste se mantiene tras la apertura del segundo desagüe. 115 Figura 35. Modelo físico. Escala 1/40. Desagüe derecho abierto. Q= 38 m3/s. Remolino dextrógiro. Figura 36. Modelo físico. Escala 1/40. Q=38 m3/s por cada desagüe. Remolino levógiro. 6.1.3. Ensayos en prototipo Con la intención de estudiar los efectos del remolino sobre la estructura, se instalaron captores de presión en la solera del cuenco del prototipo. Esto nos ha permitido contrastar los valores de presión obtenidos con los calculados con el modelo SPH. Los sensores son transmisores de presión rápidamente variable, con un rango de medida en presión absoluta de 0-2,5 bares. El contacto de los circuitos eléctricos de estos sensores con el agua puede provocar su avería. Para evitarlo, se han diseñado unas cápsulas estancas en las que alojarlos que además disponen de unas pletinas perforadas para facilitar su anclaje al fondo del cuenco. Finalmente estos sensores se han 116 encastrado en la solera del cuenco para reducir al mínimo la distorsión producida en el flujo (figura 37). Figura 37. Transmisor de presión. Detalle del sistema de impermeabilización y anclaje. La situación de los mismos se muestra en las figuras 38 y 39. Figura 38. Disposición de los sensores de presión en el cuenco de amortiguamiento. Los marcados con una flecha sufrieron daños durante los ensayos. Figura 39. Imagen de los desagües de fondo con apertura total durante el ensayo Q=76 m3/s. Cota de embalse= 421.58 m.s.n.m. 117 La figura 40 muestra los registros de presiones obtenidos. Se aprecia que la zona central del cuenco (sensores 3, 6 y 7) son más grandes las oscilaciones de presión, llegando a registrarse depresiones de hasta 7.5 m.c.a. La amplitud de las oscilaciones de presión es menor en las proximidades de los cajeros (sensores 8 y 9), además el sensor 8, situado aguas abajo del sensor 9 registra alrededor de 1 m.c.a más que éste, debido al desnivel que el remolino genera en la superficie libre del cuenco. 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 -2 -4 -6 -8 S1 S2 S3 S6 S7 S8 S9 -10 12 10 8 6 4 2 0 30 35 40 45 50 55 60 -2 -4 -6 S1 S2 S3 S6 S7 S8 S9 -8 Figura 40. Registro de presiones del prototipo. El eje de abcisas expresa el tiempo de registro expresado en segundos, mientras que el eje de ordenadas se representan presiones en m.c.a. Estos registros muestran presiones en el fondo próximas a la de cavitación. Si además, se tiene en cuenta que, los desagües tienen un uso muy frecuente es lógico que existan grandes erosiones en el fondo del cuenco, donde se ha podido apreciar, al vaciar el cuenco, la armadura descarnada. 118 Figura 41. Detalle de las armaduras sin revestimiento en la solera del cuenco. 6.1.4 La experimentación numérica. El programa MDST dispone de una versión paralela, con paradigma de programación MPI, que permite ejecutar el código en múltiples procesadores y posibilita abordar estudios tridimensionales en los que el número de partículas es muy elevado. Para llevar a cabo este estudio se ha empleado una máquina de 16 núcleos del centro de cálculo del C.E.H. del CEDEX. Para reproducir el fenómeno se ha generado un modelo digital del cuenco y de los desagües de la presa de Villar del Rey, además de dos depósitos, uno para alimentar los desagües y otro para recoger las partículas desaguadas a la salida del cuenco. Han sido necesarias 348558 partículas separadas 0.25 m, para materializar estos contornos. Para discretizar el fluido se han empleado 319300 partículas de 0.40 m. El depósito de aguas arriba se llenó ligeramente por encima de la cota del umbral del vertedero (243 m.s.n.m.), lo que permite que el caudal desaguado se mantenga en el entorno de los 38 m3/s. por cada desagüe durante el tiempo de ensayo. No se ha establecido recirculación de flujo en el modelo SPH. Por simplicidad se ha empleado el modelo de viscosidad artificial de Monaghan. Con la intención de economizar el número de partículas de contorno, se han distanciado más que en el estudio del resalto. Para evitar que escapen las 119 partículas de fluido se ha empleado una constante de proporcionalidad en las fuerzas de repulsión (97) d0=100. En contrapartida esta fuerza de repulsión hace que la sección efectiva de los conductos de los desagües resulte demasiado estrecha, desaguando menos caudal del que corresponde a la energía del embalse. Para corregir el caudal deseado ha sido necesario reajustar el diámetro de los conductos del desagüe. Como condición inicial se ha impuesto un régimen hidrostático de presiones, pero hasta que se alcanza el equilibrio dinámico entre las partículas se produce un transitorio inicial con oscilaciones de presión. Para evitar que esto influya en el ensayo la simulación comienza con ambos desagües cerrados. Tras unos segundos, se abre el desagüe izquierdo, con apertura instantánea de compuerta. El segundo desagüe no se ha abierto hasta que se ha estabilizado el resalto. El caudal desaguado por el conducto es de 38 m3/s. La variable caudal no es directa en un modelo lagrangiano, por lo que se ha implementado un algoritmo para contabilizar las partículas que atraviesan una sección del conducto en cada paso de tiempo, lo que permite calcular el caudal. Figura 42. Desagüe izquierdo funcionado. Q=38 m3/s. Comparación SPH y modelo físico. La figura 42 compara el funcionamiento del modelo físico y del modelo matemático funcionando con el desagüe izquierdo. La parte derecha de esta figura corresponde al modelo SPH. El color de las es función de la magnitud del vector velocidad, en gama de azul a rojo en el sentido creciente de esta magnitud. Se aprecia como el flujo de retorno por el cajero izquierdo es bastante más acusado. 120 Figura 43. Dos desagües abiertos. Q=76 m3/s. Remolino principal levógiro. Vista en perspectiva desde aguas abajo. La figura 43 muestra una vista tridimensional del modelo SPH con los dos desagües funcionando. Las tonalidades permiten apreciar las importantes ondulaciones de la superficie libre, aunque este aspecto se aprecia mejor en la figura 44. Figura 44. Dos desagües abiertos. Q= 76 m3/s. Remolino principal levógiro Las imágenes de la figura 45 muestran como evoluciona el remolino. El flujo es inestable, variando el campo de velocidades rápidamente. Predomina el flujo de retorno por el cajero izquierdo. 121 Figura 45. Dos desagües abiertos. Q= 76 m3/s. Remolino levógiro. Evolución del remolino en el cuenco. El color de las partículas corresponde al módulo de velocidad, el rojo corresponde a 8 m/s y azul a agua parada. Las imágenes de la figura 46 comparan una vista del vertido de los desagües tomada en el prototipo, desde coronación, con el modelo SPH. En ambos se aprecia como los chorros ya en el cuenco se escoran hacia la izquierda formando un remolino con sentido levógiro. Figura 46. Comparación modelo SPH y prototipo. Q=76 m3/s. Vista desde coronación. 122 6.1.5 Métodos para la obtención de presiones en el contorno en SPH y comparación con los registros de prototipo. El registro de presiones en SPH se ha obtenido generando, por cada sensor, una serie temporal en la que se acumula la fuerza que experimentan las partículas del contorno que se encuentran en un círculo de área un metro cuadrado y centro el correspondiente a las coordenadas de cada sensor. Sin embargo, este registro sólo proporciona presiones positivas debido a que las fuerzas repulsivas ejercidas por las partículas de contorno sólo actúan cuando una partícula trata de atravesarlo, pero no cuando se aleja por lo que no reproduce las depresiones (figura 47). Figura 47. Obtención del registro de presiones a través de las fuerzas que experimentan las partículas de contorno. Para medir las presiones negativas en los contornos hemos codificado un sensor de presión matemático, lo que puede considerarse como una aportación original. El procedimiento es el siguiente (figura 48): • Se dispone una esfera con centro en el punto del contorno en el que se pretende obtener el registro. • Se identifican las partículas que quedan en el interior de la esfera. • Se calcula la componente ortogonal al contorno de las fuerzas que actúan sobre cada partícula seleccionada. • Se promedia el valor de la fuerza ortogonal al contorno. • Se normaliza para que la fuerza resultante lo sea por unidad de área. 123 Figura 48. Obtención del registro de presiones a través de las fuerzas que ejercen las partículas de fluido sobre el contorno. También puede obtenerse el registro de presiones en el contorno realizando un promediado de la presión de las partículas de fluido que se encuentren en el entorno de una partícula de contorno (figura 49). Aunque este método introduce grandes oscilaciones de los valores instantáneos de la presión, resulta útil para realizar un análisis comparativo de los resultados obtenidos con los diferentes métodos. Todo esto se ha codificado dentro de la subrutina OUTPUTTIMESERIES del modulo PARAMETERS de MDST. Figura 49. Obtención del registro de presiones en el contorno por promediado de la presión de las partículas de fluido del entorno. La figuras 50 y 51 compara los registros obtenidos con SPH, por el método de las fuerzas ortogonales que actúan sobre las partículas de fluido, y los medidos en prototipo, en los sensores 3 y 6 (ver figuras 38 y 39), situados en la zona de impacto de los chorros. En ambos registros se aprecian fuertes oscilaciones de presión y presiones instantáneas que alcanzan depresiones importantes. 124 COMPARACIÓN REGIST RO DE PRESIÓN. SENSOR 3 12 10 Presión m.c.a 8 6 4 2 0 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 -2 -4 PROTOTIPO- SENSOR 3 -6 SPH-SENSOR3 Tiempo (s) Figura 50. Comparación de los registros de presión en el sensor 3. COMPARACIÓN REGISTRO DE PRESIÓN. SENSOR 6 15 Presión m.c.a 10 5 0 5 10 15 20 25 30 -5 PROTOTIPO-SENSOR 6 -10 SPH-SENSOR 6 Tiempo (s) Figura 51. Comparación de los registros de presión en el sensor 6. Como podemos apreciar, el modelo SPH proporciona registros que reproducen correctamente el funcionamiento hidrodinámico del cuenco. No obstante, el registro de SPH magnifica las presiones positivas y tiene una señal más densa. La causa de esta desviación reside en las fuerzas de Lennard – Jones, puesto que, como se vio en el apartado 4.6, introducen una oscilación de la presión en las proximidades de los contornos que se traduce en un ruido numérico que distorsionan el registro de presiones. Una forma de reducir su influencia (GRASSA, 2007) es densificar el contorno. Otra forma de mejorar las presiones del contorno es emplear un sistema mixto de fuerzas de Lennard – Jones y partículas fantasma (Ferrari, 2009). La figura 52 compara el espectro de frecuencias obtenido en el sensor 6. La señal de SPH presenta más energía asociada a las bajas frecuencias, pero queda patente que el fenómeno que reproducen ambas señales es semejante. 125 COMPARACIÓN DE ESPECTROS DE FRECUENCIA. SENSOR 6 0.35 0.3 PROTOTIPO 0.25 SPH 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Frecuencia (Hz) Figura 52. Comparación de los espectros de frecuencias de los registros de presiones obtenidos en el prototipo y en con la simulación numérica en el sensor 6. 6.1.6 Solución propuesta Para evitar la formación del remolino se ha optado por disponer a la salida de los desagües unas boquillas deflectoras que reparten el impacto del chorro sobre toda la anchura del cuenco, eliminando así la inestabilidad que generaba el remolino. Para evitar que intercepten sus trayectorias, se han girado las boquillas 7.5º cegesimales respecto del eje del desagüe (López, Marivela y Aranda, 2009). Figura 53. Solución propuesta. Dos desagües abiertos. Q= 76 m3/s. Se aprecia un buen reparto de la zona de impacto. 126 6.2 Análisis fluido-dinámico de una escala de peces. 6.2.1 Antecedentes El CEDEX junto con la Universidad de A Coruña UDC está realizando un estudio de investigación para optimizar el diseño hidráulico de pasos para peces y realizar unas recomendaciones de diseño. Un alto porcentaje de las escalas de peces existentes en España presentan dificultades al remonte de los peces. En parte, esto se debe, al empleo de criterios de diseño importados de otros países y que no se adaptan a los requerimientos de la ictio-fauna autóctona. Por ello se ha construido una escala de peces en el Laboratorio de Hidráulica del C.E.H., diseñada para poder realizar ensayos con peces. Existen múltiples dispositivos para permitir el remonte de peces, dentro de las escalas de dispositivos sucesivos, la tipología de hendidura vertical es la más adecuada para cursos fluviales con una variedad de caudales importante, algo bastante frecuente en los ríos españoles. Esto se debe a que permite mantener unas condiciones hidrodinámicas similares en la escala para una gama de caudales. Dentro de los 18 tipos de escalas de hendidura vertical catalogadas en Rajaratnam (1992), los tipos D16 y D6 se han estudiado con mayor profundidad en la UDC (Teijeiro, 2001; Pena, 2003; Puertas 2004). Las variables que caracterizan la escala son la pendiente So, el ancho Wf , la longitud L de las piscinas, y al ancho de la escotadura bo. En los estudios de Rajaratnam se comprobó que las dimensiones idóneas son L=10bo y Wf=8bo En el ámbito del proyecto de investigación la UDC ha realizado estudios con Wf =1m y So=5.7% y 10%. La escala construida en el CEDEX es más ancha, Wf=1.5 m, para facilitar la experimentación con peces. La escotadura es de 26 cm. Su estructura basculante permite el estudio con pendientes 127 entre 5 y 10%. La primera campaña de ensayos se ha realizado con pendiente So =7.5%. 122 67 24 100 9 17,5 17,5 135,2 21,5 Figura 54.a Dimensiones estanque tipo del modelo físico de UDC Figura 54.b. Dimensiones estanque tipo del modelo físico del CEDEX Se han realizado ensayos con diferentes caudales realizando medidas de velocidad con sonda ADV en una malla de puntos y a diferentes profundidades en varios de los vasos. Esta información se ha empleado para calibrar el modelo matemático tridimensional de la rápida que se empleará para ensayar modificaciones en la escala. Figura 55. Escala de peces construida en el Laboratorio de Hidráulica del C.E.H. (CEDEX) 6.2.2 El modelo numérico Puesto que la máxima velocidad previsible en el flujo es de 2 m/s se ha adoptado una velocidad del sonido c= 60 m/s lo que garantiza una compresibilidad del fluido inferior al 0.5 % y permite adoptar mayores pasos de tiempo (ver 2.2.4). 128 Se ha modelizado la escala de peces junto con dos depósitos uno de cabecera y otro aguas abajo. Los contornos se han materializado con 328973 partículas fijas de 0.02 m, que ejercen una fuerza de repulsión por unidad de masa sobre las partículas de fluido que se aproximan, evitando que salgan del dominio. Figura 56. Modelo del contorno de la escala. Para reproducir el agua se han empleado 187676 partículas de fluido de 0.035 m. La disposición inicial de las partículas puede suponer un trabajo muy laborioso sobre todo si el recinto que contiene el agua tiene geometrías irregulares. Por tanto es preferible poner varios volúmenes prismáticos de agua, permitiendo que sea la propia simulación la que reubique las partículas. Para establecer un régimen permanente en la escala se ha creado un circuito de recirculación, consistente en un depósito inferior donde se recogen las partículas de fluido desaguada a la salida del modelo, se conducen por gravedad hasta la zona de realimentación y se elevan añadiendo un incremento a la cota z de las partículas si satisfacen una condición lógica de posicionamiento. 129 Para calcular el caudal y comprobar que el flujo se encuentra estabilizado hemos generado una aplicación que lo calcula contando el número de partículas que atraviesa una sección. El cálculo se hace posteriormente a la simulación SPH, sobre los ficheros de salida. Para ello se define un volumen de control definido entre dos secciones. El algoritmo emplea un vector de dimensión el número de partículas de fluido, en el que todas las componentes son nulas excepto las correspondientes a partículas ubicadas entre las secciones. La comparación del vector correspondiente a dos ficheros de salida consecutivos permite determinar el número de partículas que en el intervalo de tiempo de cálculo han atravesado la sección de salida. Para que el cálculo de caudal sea correcto, la separación espacial entre las secciones de control debe ser suficiente para garantizar que una partícula no pueda atravesar ambas secciones en un paso de tiempo. Como condición inicial se ha impuesto un régimen hidrostático de presiones. Para evitar que escapen partículas durante el transitorio inicial, se ha empleado un coeficiente do=20 de la fuerza de de Lennard – Jones (97) y una vez superado el transitorio se ha reducido a do=5, que permite que la zona efectiva de paso por la escotadura sea más representativa. El transitorio inicial somete a las partículas a presiones y aceleraciones muy fuertes que puede provocar problemas de estabilidad del método, o que las partículas de fluido atraviesen los contornos. Se ha comprobado que es muy útil disponer un filtro de densidad de las partículas, durante los instantes iniciales de simulación hasta que las partículas rellenan el contorno. El filtro de densidad se introduce en el módulo INTREGRATE. Una vez que se integra la densidad de las partículas se introduce una condición lógica que permite limita los valores de la presión dentro de una intervalo que no debería ser superado. Esto permite correr la simulación sin inestabilidades durante los instantes iniciales. Posteriormente este filtro se elimina, para no alterar la hidrodinámica del flujo, se suaviza a valores suficientemente alejados a valores de densidad posibles en el flujo para evitar que la inestabilidad de una partícula interrumpa la ejecución. 130 La estabilización del flujo ha requerido unos 25 s de simulación. Se han simulado otros 20 segundos con el flujo en la escala ya estabilizado. El caudal circulante es de 135 l/s. Se ha forzado el nivel en la última piscina disponiendo un vertedero horizontal con umbral 0.35 m sobre la solera de la última piscina. Violeau (2008) presenta el estudio de una escala de peces empleando diferentes esquemas numéricos como TELEMAC-2D (MEF), SPARTUS (SPH-2D) y SATURN 2D (VOF) y comparando la influencia de varios modelos de turbulencia como K-ε tradicional, K-ω tradicional, K- ε no lineal, M4: Tensiones Algebraicas, M5: LES. Los resultados obtenidos con SPH muestran poca diferencia independientemente del modelo de turbulencia empleado. De acuerdo con esto y a que el estudio se aborda en 3D se ha preferido emplear el cierre de turbulencia de viscosidad artificial de Monaghan para no sobrecargar el cálculo computacional. Figura 57. Modelo SPH de la escala. Q=135 l/s. La parte superior muestra una vista general de cuatro módulos. La parte inferior muestra un detalle de la última piscina. Comparando las imágenes de la izquierda con las de la derecha se aprecia una oscilación de la dirección del chorro que sale de la escotadura. El análisis visual de la animación de post-proceso permite distinguir tres zonas de flujo claramente diferenciadas en cada uno de los estanques, dos zonas de recirculación con sendos remolinos, dextrógiro el de la parte 131 derecha y levógiro el de la izquierda, y otra de forma sinusoidal por la que se produce el flujo principal desde la hendidura de entrada a la de salida de la piscina. Sin embargo este funcionamiento no es estable, pues se produce una inestabilidad del flujo que atraviesa la hendidura causando una oscilando la trayectoria de este flujo principal de izquierda a derecha, llegando a interceptar el cajero izquierdo de la escala. Esta inestabilidad del flujo también se observa en el modelo físico. Figura 58. Detalle del penacho en la escotadura. Comparación modelo físico y SPH Una vez estabilizado el caudal circulante (135 l/s) se han obtenido los perfiles medios de velocidad en la sección media de uno de los estanques. La figura 59 muestra la situación en planta de las verticales en las que se han obtenido las velocidades La sección se sitúa a una distancia cinco veces la apertura de la escotadura, bo. La figura 60 muestra las componentes del vector velocidad en las verticales de de la sección media de la piscina. 132 Figura 59 . Situación de los puntos de medida. P-17 0.3 0.3 0.25 0.25 0.25 0.2 0.2 0.2 0.15 vz z(m) 0.3 z(m) z(m) P-16 0.15 0.1 P- 18 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 vy vz vz vx vy 0.05 vy vx vx 0 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 V (m/s) 0 0.02 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 V (m/s) 0.02 0.04 -0.2 0 0.2 P-20 0.3 0.3 0.25 0.25 0.2 0.2 0.15 0.6 0.8 V (m/s) 1 1.2 1.4 0.3 0.25 0.2 0.15 vz vy 0.15 0.1 0.4 P-19 0.35 Z(m) Z(m) Z(m) P-21 0 vx 0.1 0.1 vz vy vz 0.05 0.05 vy vx -0.4 -0.3 0.05 vx 0 -0.2 -0.1 V (m/s) 0 0 0.1 -0.04 -0.02 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 V (m/s) 0 0.2 0.4 0.6 V (m/s) 0.8 1 Figura 60. Perfiles de velocidad en la vertical en diferentes puntos de la sección central (X=5bo) obtenidos en el modelo SPH. Los perfiles de velocidad 18 y 19 de la figura 60, corresponden a la zona de flujo principal, en la que el movimiento del agua está claramente orientado hacia aguas abajo. Sin embargo, en el lateral izquierdo se aprecia que el 133 flujo circula en contra corriente por la parte superior, y hacia aguas abajo por la inferior, aunque con muy baja velocidad. Esto se aprecia con más facilidad en los gráficos del campo de velocidad xy obtenidos a diferentes profundidades de la figura 61. Se observa como los remolinos están claramente marcados en la parte superior del flujo mientras que en la parte inferior no se aprecian. Z=50 Z=40 Z=30 Z=20 Z=10 Figura 61. Gráficos del campo de velocidad Vxy en planos horizontales a diferentes profundidades medidas desde el fondo en la vertical de la sección media. Las columnas corresponden a dos instantes de tiempo diferentes. 134 Con estos datos se ha generado el perfil de velocidad Vx correspondiente a diferentes profundidades desde el fondo en la sección central, que se muestran en la figura 62. El gráfico muestra claramente la zona flujo principal y las zonas de recirculación, así como la influencia del calado en la velocidad. SECCIÓN CENTRAL 1.6 1.4 z=0.035 z=0.07 1.2 z=0.105 z=0.14 1 z=0.175 0.8 Vx(m/s) z=0.21 z=0.245 0.6 z=0.28 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -0.2 -0.4 Y(m) Figura 62. Perfil de velocidad Vx a diferentes profundidades de la sección central obtenido con el modelo SPH. También se ha calculado el perfil de velocidades en la escotadura en el punto 23 de la figura 59. Se aprecia una fuerte componente hacia abajo del flujo en la escotadura. Además se aprecia un giro de la componente xy a medida que sube la cota (figura 63). P-23 0.35 0.3 0.25 z(m) 0.2 0.15 0.1 Vz 0.05 Vy Vx 0 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 V(m/s) Figura 63. Perfiles de velocidad en la escotadura obtenidos con el modelo SPH. Se aprecia la fuerte componente vertical que tiene el flujo en la misma. 135 La figura 64 representa el calado de las partículas que se encuentran en la superficie libre. Se aprecia la diferente elevación de lámina delante y detrás del deflector longitudinal. Figura 64. Calado de las partículas de la superficie libre 6.2.3 Calibración con datos del modelo físico. Se han comparado las velocidades medias medidas en la escala de la UDC y en el modelo SPH. La comparación de ambos modelos es posible gracias a la semejanza existente siendo la escala geométrica λ=1.5. En semejanza de Froude la escala de longitudes es λ y la de velocidades λ. Figura 65. Campos de velocidades Vxy medidos a 15 y a 30 cm del fondo en las dimensiones del modelo del CEDEX (W=1.5 m.) 136 Si obtenemos un perfil de velocidades Vx en la sección media podemos apreciar como los resultados generados en el modelo SPH se ajustan bastante bien a los medidos con sonda ADV en la escala de la UDC. Ver figuras 66 y 67. Z=15 CM. 1.4 1.2 1 SPH ESCALA W=1.5 0.8 Vx(m/s) ADV-UDV 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -0.2 -0.4 Y(m) Figura 66. Perfil de velocidad Vx en la sección central a 15 cm. el fondo. Comparación SPH y modelo físico UDC. Z= 30 CM. 1.6 1.4 1.2 SPH ESCALA W=1.5 1 Vx(m/s) 0.8 ADV-UDV 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -0.4 -0.6 Y(m) Figura 67. Perfil de velocidad Vx a diferentes profundidades de la sección central. En la figura 68 se comparan los perfiles de velocidades medias obtenido con SPH y los registros con sonda ADV en tres puntos muy próximos de la escotadura de la escala de la UDC, obteniéndose un ajuste razonable en comparación con la dispersión de los valores experimentales. 137 P-23 0.35 Vz 0.3 Vy Vx 0.25 vx-UDC vy- UDC z(m) 0.2 vz-UDC 0.15 0.1 0.05 0 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 V(m/s) Figura 68. Comparación del perfil medio de velocidades obtenido con SPH y los valores experimentales de la UDC. Así pues, la utilización del modelo SPH resulta ser una herramienta muy útil y complementaria a la modelización física. Se ha comprobado que la simulación numérica SPH de la escala reproduce con fidelidad su hidrodinámica y que el empleo de la herramienta de postproceso GiD facilita enormemente el análisis de los resultados obtenidos. Actualmente se están realizando ensayos con peces en la escala del CEDEX. La observación del movimiento del pez, de diferentes especies, a lo largo de la escala, pone de manifiesto la importancia de conocer su comportamiento en cada una de las zonas para poder optimizar el diseño de estas estructuras. Dicho comportamiento está ligado a los valores puntuales de los campos de las variables hidráulicas que pueden ser analizados con rapidez y economía con un modelo SPH. Por tanto se ha previsto analizar mediante simulación SPH algunas modificaciones geométricas en la escala para caracterizar esas condiciones hidrodinámicas óptimas, para incorporarlas posteriormente, al modelo físico de la escala para su validación con peces. Esta es una prueba tangible de las interesantes posibilidades que ofrece el empleo de la modelación híbrida. 138 Capítulo 7. Conclusiones y trabajos futuros. 7.1 Conclusiones 1. Los estudios realizados han permitido simular numéricamente flujos hidrodinámicos complejos similares a los que pueden encontrarse en estructuras hidráulicas, permitiendo además realizar un análisis y obtener valores de las variables del flujo que han servido para la calibración del modelo con datos experimentales, con resultados satisfactorios. Todo esto avala la utilidad del método SPH como modelo numérico para realizar análisis hidrodinámicos de estructuras hidráulicas. 2. El caso de prueba basado en el resalto hidráulico ha permitido comprobar que la simulación numérica SPH proporciona resultados muy ajustados siempre y cuando se traten correctamente los contornos y se emplee un modelo de turbulencia adecuado. 3. El método SPH en combinación con el modelo de viscosidad artificial de Monaghan permite resolver flujos turbulentos con números de Froude bajos. De acuerdo con el caso de prueba del resalto hidráulico, para garantizar la semejanza del método, es necesario emplear un modelo turbulencia más sofisticado en flujos con números de Froude superiores a 5. 139 4. El modelo MDST reproduce mucho mejor la disipación viscosa con el modelo de turbulencia k-ε. Esto se traduce en una mejora de la representatividad del modelo para flujos con número de Froude altos, pagando por ello un coste computacional alto al duplicar los tiempos de cálculo, ya de por si largos. 5. Se ha desarrollado una variante original del modelo de viscosidad artificial que denominamos αvor. La novedad del método es que el parámetro α adopta un valor diferente en cada partícula en función de las características del flujo, de modo que cada partícula disipa una energía turbulenta viscosa diferente. Se ha empleado la vorticidad como indicador debido a la relación directa que existe entre los remolinos y la disipación viscosa. El modelo αvor convierte el método de viscosidad artificial básico en un LES, pues simula hidrodinámicamente los remolinos de escala mayor al de las partículas, y con el modelo de turbulencia se reproducen los efectos de disipación viscosa de los remolinos de menor escala en función de la vorticidad de la partícula. Además αvor tiene un coste computacional reducido. 6. El método SPH permite obtener la evolución temporal de las presiones en los contornos de diferentes formas. Una de ellas consiste en promediar la presión de las partículas de fluido en el entorno de la zona de estudio. Sin embargo, los resultados que se obtienen son más ajustados cuando se integra, en una superficie unitaria, la fuerza que actúa sobre unas partículas de contorno. Esto último tiene el problema de proporcionar sólo las presiones que comprimen el contorno pues las fuerzas de repulsión solo actúan cuando las partículas de fluido tratan de atravesarlo. Por último, se pueden obtener las presiones promediando las componentes ortogonales al contorno de las fuerzas que actúan sobre las partículas de fluido y que se encuentran en el entorno de la zona de control. Es recomendable el empleo de los tres métodos para poder hacer un 140 análisis de sensibilidad siendo conscientes de las ventajas y limitaciones de cada uno. 7. Los registros de presiones obtenidos durante la calibración del modelo muestran que el método SPH reproduce correctamente el campo de presiones en los contornos, especialmente los valores medios, lo que resulta de gran interés para el diseño de estructuras hidráulicas. No obstante, el empleo de fuerzas elásticas de LenardJones para materializar los contornos introduce dispersión en los valores instantáneos de la presión en sus proximidades. 8. El empleo de los modelos de turbulencia k-ε o αvor,, reduce la dispersión de los valores instantáneos de la presión en los contornos. El contraste espectral de los registros de presión muestra que la señal obtenida el modelo αvor se ajusta muy bien a la registrada en modelo físico. 9. Se recomienda el empleo del modelo clásico de viscosidad artificial para realizar estudios de viabilidad de soluciones, o cuando la disipación viscosa turbulenta no condicione la validez de los resultados, por ser más económicos. Siempre que la turbulencia tengan relevancia en el fenómeno estudiado o cuando se pretenda analizar con rigor un problema concreto es preferible el empleo del modelo modificado αvor. 10. Para poder abordar estudios de problemas reales en estructuras hidráulicas como los presentados en el capítulo 6 es necesario realizar una simulación tridimensional, lo que supone un incremento de un orden de magnitud en el número de partículas. MDST dispone de una versión paralela MPI que permite trabajar con varios núcleos simultáneamente haciendo posible este tipo de estudios. 141 11. El estudio del cuenco de la presa de Villar del Rey demuestra la validez del método SPH para reproducir fenómenos hidráulicos muy complejos. Se ha encontrado una buena correspondencia entre las presiones detectadas en el fondo del cuenco del prototipo con los registros SPH. 12. El caudal es una variable derivada en modelos lagrangianos. Para calcularlo se ha realizado una aplicación que cuenta el número de partículas que atraviesan una sección determinada, a partir de los ficheros de salida. 13. Para analizar el comportamiento hidráulico de una estructura es muy útil establecer un régimen permanente. Para ello es necesario recircular las partículas de fluido disponiendo una sección de control que limite el caudal. 14. La calibración con sonda ADV en el estudio de la escala de peces muestra la gran precisión del modelo SPH a la hora de caracterizar el campo de velocidades del flujo. El estudio hidrodinámico de la escala de peces ha detectado un fenómeno de inestabilidad del flujo en la escotadura que conecta los estanques. En esta zona el flujo oscila y además se ha comprobado que varía de orientación con la profundidad. La experimentación física corrobora estas observaciones. 15. La modelización matemática SPH se muestra como una herramienta muy útil para el diseño y análisis de problemas en estructuras hidráulicas. Su uso conjunto con la modelización física constituye la manera más eficiente de experimentación. 142 7.2 Trabajos futuros. Actualmente se está trabajando en los siguientes aspectos: • La recirculación de flujos en la versión secuencial es inmediata pues basta con modificar las coordenadas de las partículas que llegan a la sección de salida. Codificar esto mismo en la versión paralela, encierra mayores dificultades de codificación por el complejo flujo de información que hay que establecer en los diferentes procesadores, sin embargo supone un ahorro importante del volumen de partículas a procesar y por tanto de los costes de cálculo. • La calibración tridimensional del modelo αvor. En tres dimensiones tendremos componentes de la vorticidad en el plano xy, yz y xz. Por tanto, se quiere analizar la dependencia de estas componentes con la disipación viscosa, para proponer una ley de variación y un límite superior de la disipación viscosa. • En referencia a la escala de peces, la inspección visual de los peces a permitido comprobar que algunos peces se desorientan en el remolino derecho (en el sentido del flujo del agua) que se genera en cada uno de los estanques. Sin embargo, estos remolinos proporcionan una disipación de energía que reduce la velocidad del flujo principal. Por tanto, se pretende ensayar modificaciones geométricas en la escala de peces con la intención de modificar el remolino derecho sin que esto suponga un incremento de velocidad en el flujo. • Para calibrar el agotamiento que sufren los peces durante el remonte de la escala se están realizando medidas biológicas, mediante el análisis de muestras de sangre. Se está trabajando en modelizar un pez que se mueva por el modelo SPH de la escala siguiendo unas trayectorias prefijadas acuerdo con las observaciones realizadas con 143 peces reales en el modelo físico y calcular la fuerza que actúa sobre ellos para relacionarla con los análisis biológicos y obtener las curvas de agotamiento del pez, en función de las variables hidráulicas del flujo en la escala. 144 NOTACION a = Partícula de referencia a = Coeficiente de seguridad de Courant A = Propiedad genérica de un fluido α = Coeficiente de viscosidad artificial (constante) α mol αmol = Coeficiente de viscosidad artificial para la viscosidad cinemática αvor = Coeficiente de viscosidad artificial que depende de la vorticidad b = Partículas vecinas de a bo = Ancho de la escotadura de la escal de peces β = Coeficiente de viscosidad artificial (constante) cs = Velocidad del sonido para la densidad de referencia Cs = Constante de Smagorinsky Cµ = Coeficiente de viscosidad turbulenta k-ε d0 = Constante de la fuerza de repulsión dx1 = Dimensión del lado de partícula cúbica = dx2= dx3 dt = Difernecial de tiempo δ ij = Delta de Kronenberg ∇ = Operador nabla ∆ = Laplaciano ∆ t = Paso de tiempo de integración ∆ Tr = Trabajo realizado por las fuerzas exteriores a una partícula eij = Componentes de tensiones tangenciales del tensor de tensiones Et = Configuración de las partículas de un fluido Ec = Energía cinética asociada a un remolino. EcM = Energía cinética asociada a un remolino de la macroescala. Ecm = Energía cinética asociada a un remolino de la mesoescala. Eco = Energía cinética asociada a un remolino de la microescala. ε = Disipación de energía viscosa asociada a un remolino. εM = Disipación de energía viscosa asociada a un remolino de la macroescala εm = Disipación de energía viscosa asociada a un remolino de la mesoescala. εo = Disipación de energía viscosa asociada a un remolino de la microescala. 145 f(r) = Fuerza de repulsión de las partículas de contorno F1 = Número de Froude aguas arriba del resalto g = Aceleración de la gravedad γ = Coeficiente de la ecuación de estado h = Longitud de suavizado H = Altura de carga inicial del depósito Hd = Altura de agua en el depósito en modelo físico k = Energía cinética turbulenta L = Longitud de la escala de peces. λ = Escala geométrica de los modelos físicos λM = Diámetro de remolino de la macroescala λm = Diámetro de remolino de la mesoescala λ0 = Diámetro del remolino de la microescala de Kolmogorov v = Viscosidad cinemática o molecular vt = Viscosidad turbulento o de remolino m = Masa de una partícula µ Viscosidad dinámica molecular µT Viscosidad dinámica turbulenta o de remolino µ ab = Parámetro de la viscosidad artificial p = Presión de una partícula p1 = Constante de la fuerza de repulsión p2 = Constante de la fuerza de repulsión Pb = producción de energía cinética turbulenta k por flotación Pk = producción de energía cinética turbulenta k debida a las tensiones de Reynolds Π ab = Término viscoso de la ecuación de la dinámica q = Distancia relativa de partícula vecina con respecto al radio del kernel r = Vector de posición de una partícula ro = Distancia inicial entre partículas Re = Nº de Reynolds del flujo ReM = Nº de Reynolds del flujo de remolino de la macroescala Rem = Nº de Reynolds del flujo de remolino de la mesoescala 146 Reo = Nº de Reynolds del flujo de remolino de la microescala So = Pendiente de la escala de peces σ k = Coeficiente de Schmidt v = Velocidad de las partículas V = Volumen de las partículas vM = Velocidad del remolino de la macroescala vm = Velocidad del remolino de la mesoescala vo = Velocidad del remolino de la microescala v1 = Velocidad del flujo aguas arriba del resalto v2 = Velocidad del flujo aguas abajo del resalto W = Kernel o función de promediado Wf = Ancho de la escala de peces ρ = Densidad de una partícula ρ0 = Densidad de referencia T = Tensor de tensiones T = Período del remolino de la macroescala τ ij = Componentes del tensor de tensiones χ = Partícula X = Coordenadas de una partícula Xr = Posición del frente del resalto en modelo físico y1 = Calado aguas arriba del resalto y2 = Calado conjugado Yr = Calado en el resalto del ensayo en modelo físico σa = Coeficiente que limita ∆ t en función de la viscosidad 147 6. 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