MANUEL DOBLARE CASTELLANO

T
E
S
I
S
FORMULACION
TRIDIMENSIONAL.
DE
METODO
DE LOS ELEMENTOS
OE
CONTORNO
CON INTERPOLACION
PARABOLICA
por
Manuel
DOBLARÉ
CASTELLANO
I n g e n i e r o I n d u s t r i a l p o r la E . T . S . d e l . l . d e S e v i l l a
presentada en la
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
de la
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID
para la obtención del
Grado de Doctor Ingeniero Industrial
Madrid, Abril de 1.981
T E S I S DOCTORAL
F O R M U L A C I O N T R I D I M E N S I O N A L DE LOS E L E M E N T O S
DE C O N T O R N O E N I N T E R P O L A C I ON P A R A B O L I C A
Pon: Manuel D o b l a r é C a s t e l l a n o .
D i r e c t o r de T e s i s : D . A n t o n i o M a r t í n N a v a r r o .
Catedrático Supervisor: 0 . Enrique Alarcon Alvarez
TRIBUNAL
CALIFICADOR
Presidente:
D . Rafael P o r t a e n c a s a Baeza
Vocales:
D . A l b e r t o Dou Mas de X e x á s
D . Román R i a z a P é r e z
D . Angel M a r í a Sánchez P é r e z
D. Enrique Alarcón Alvarez
M a d r i d A b r i l 1981
P L A N T E A M I E N T O Y R E S U M E N DE LA T E S I S .
El método de los elementos de c o n t o r n o ha s u s c i t a d o un i n t e r é s c r e c i e n t e
en los ú l t i m o s d i e z a ñ o s , p r e s e n t á n d o s e como una h e r r a m i e n t a ú t i l p a r a la r e s o l u
-
c i ó n de p r o b l e m a s de la i n g e n i e r í a e s t r u c t u r a l , modelados matemáticamente p o r sis_
temas de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s en d e r i v a d a s p a r c i a l e s .
A t r a v é s de una f o r m u l a c i ó n i n t e g r a l en el c o n t o r n o del d o m i n i o , d o n d e se d e f i n e el p r o b l e m a , se c o n s i g u e la r e s o l u c i ó n de é s t e , m e d i a n t e la sola d i s c r e t i z a
c i ó n de a q u é l , en c o n t r a p o s i c i ó n a los métodos de d o m i n i o , q u e n e c e s i t a n la c o m p l e ta d i s c r e t i z a c i ó n del mismo ( E l e m e n t o s F i n i t o s ) .
E s t o s años han s e r v i d o , p o r un lado p a r a c i m e n t a r el método a n t e r i o r
en cuanto
a sus bases mateméticas se r e f i e r e , y p o r o t r o
-
p a r a d e f i n i r los campos=
de la F í s i c a donde su u t i l i z a c i ó n p o d r í a s e r mas e f e c t i v a . Puede d e c i r s e que han sj_
do lo que la década de los 60 p a r a elementos f i n i t o s : la p r e p a r a c i ó n i n i c i a l p a r a el =
d e s a r r o l l o e s p e c t a c u l a r hoy a l c a n z a d o . De h e c h o , el método de los elementos f i n í tos es capaz de a b o r d a r eficazmente los g r a n d e s r e t o s que plantea el c á l c u l o e s t r u c
t u r a l en la a c t u a l i d a d , m i e n t r a s que los elementos de c o n t o r n o no han a l c a n z a d o aún
dicho estadio.
E s t a T e s i s p r e t e n d e e s t a b l e c e r el camino d e f i n i t i v o p a r a la r e s o l u c i ó n
-
de este t i p o de p r o b l e m a s en el c a s o e l á s t i c o t r i d i m e n s i o n a l .
P a r a e l l o , se ha d e s a r r o l l a d o la f o r m u l a c i ó n p e r t i n e n t e tanto en su fase,
puramente m a t e m á t i c a , como n u m é r i c a p a r a medios t r i d i m e n s i o n a l e s h e t e r o g é n e o s , así como un p r o g r a m a de g r a n d e s p o s i b i l i d a d e s que p e r m i t e n a t a c a r c u a l q u i e r caso=
p r á c t i c a m e n t e s i n l i m i t a c i o n e s de t a m a ñ o , g e o m e t r í a ó c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en el
m a r c o de la E l a s t i c i d a d T r i d i m e n s i o n a l .
El t r a b a j o se compone de dos p a r t e s c l a r a m e n t e d i f e r e n c i a d a s , el estu d i o y p l a n t e a m i e n t o del método, así como la d e s c r i p c i ó n de las s o l u c i o n e s adopta
-
das p a r a la r e s o l u c i ó n de los m ú l t i p l e s p r o b l e m a s n u m é r i c o s que plantea no s o l o el
método en s í , s i n o la implementación de un p r o g r a m a de t a l e s c a r a c t e r í s t i c a s , y de
un anexo que comprende la d e s c r i p c i ó n d e t a l l a d a de cada uno de los a p a r t a d o s que =
componen el p r o g r a m a .
P o r ú l t i m o y p a r a l e l a m e n t e se ha a n a l i z a d o también el c a s o a x i s i m é t r i c o ,
p r o b l e m a t r i d i m e n s i o n a l c o n c a r a c t e r í s t i c a s muy e s p e c i f i c a s , d e s a r r o l landose su f o r m u l a c i ó n e implerrentando a s i m i s m o un p r o g r a m a que d e m u e s t r a la e x a c t i t u d de dicha formulación.
El a u t o r q u i e r e e x p r e s a r su p r o f u n d o r e c o n o c i m i e n t o a los p r o f e s o r e s
-
A n t o n i o M a r t í n y E n r i q u e A l a r c ó n p o r su apoyo y e s t í m u l o en el d e s a r r o l l o del t r a b a j o , así como sus v a l i o s a s s u g e r e n c i a s e i n e s t i m a b l e s a p o r t a c i o n e s .
De igual manera al p r o f e s o r F e d e r i c o P a r í s p o r su c o n s t a n t e ayuda en la e l a b o r a c i ó n del m i s m o , a mi c o m p a ñ e r o F r a n c i s c o G . B e n l t e z y
a
José M - Sebas
tian por idéntico motivo.
T a m b i é n q u e r r í a d a r las g r a c i a s a D . Manuel Díaz del R í o p o r la motiva
c i ó n p r á c t i c a que ha a p o r t a d o al t r a b a j o , a t r a v é s de m ú l t i p l e s s u g e r e n c i a s y da
-
tos t é c n i c o s , y a D . P e d r o M e s t r e , D . Manuel Domínguez y demás m i e m b r o s del
-
C e n t r o de C á l c u l o del M . E . C . p o r las f a c i l i d a d e s o t o r g a d a s en la r e a l i z a c i ó n del =
mismo.
F i n a l m e n t e mi a g r a d e c i m i e n t o a C o n c e p c i ó n F e r n a n d e z p o r el g r a n níime
r o de h o r a s i n v e r t i d a s d u r a n t e la m e c a n o g r a f í a del t e x t o .
M a d r i d A b r i l 1 .981
I N D I C E
L i s t a de S í m b o l o s .
C A P I T U L O 1. C O N C E P T O S B A S I C O S .
1 .1
P r i n c i p i o s v a r i a c i o n a l e s en e l a s t i c i d a d
Xj
1
2
1 . 2 . - Soluciones débiles
12
1 . 3 . - S o l u c i ó n n u m é r i c a del p r o b l e m a e l á s t i c o
19
1 . 4 . - F o r m u l a c i ó n m a t r i c i a l de los elementos f i n i t o s
25
1 . 5 . - El método de los elementos de c o n t o r n o
32
1 . 6 . - T r a n s f o r m a c i ó n de la e c u a c i ó n de N a v i e r en una E c u a c i ó n
I n t e g r a l a t r a v é s de la T e o r í a de d i s t r i b u c i o n e s
1 . 7 . - S o l u c i ó n fundamental de la e c u a c i ó n de N a v i e r
36
46
C A P I T U L O 2 . F O R M U L A C I O N DEL METODO EN E L A S T I C I D A D
TRIDIMENSIONAL
56
2 . 1 . - Introducción
56
2 . 2 . - M o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s
58
2 . 3 . - T e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s
64
2 . 4 . - E c u a c i ó n de S o m i g l i a n a p a r a puntos del c o n t o r n o
69
2 . 5 . - T e n s o r de t e n s i o n e s en puntos del c o n t o r n o
78
2 . 6 . - T r a n s f o r m a c i ó n de la i n t e g r a l de f u e r z a s de v o l u m e n en
una i n t e g r a l de s u p e r f i c i e
81
CAPITULO 3. APROXIMACION NUMERICA.
tíOLICA
INTEGRACION PARA
E N EL C A S O T R I D I M E N S I O N A L .
94
3 . 1 . - D i s c r e t i z a c i ó n y t r a t a m i e n t o de las e c u a c i o n e s i n t e g r a
les
94
3 . 1 .1 . - A p r o x i m a c i ó n de la g e o m e t r í a
98
3 . 1 . 2 . - A p r o x i m a c i ó n de las f u n c i o n e s s o l u c i ó n
104
3 . 1 . 3 . - D i s c r e t i z a c i ó n . F o r m u l a c i ó n m a t r i c i a l del pro_
blema
107
3 . 2 . - C á l c u l o de las c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n .
113
3 . 2 . 1 . - Introducción
113
3 . 2 . 2 . - P u n t u a l i z a c i o n e s s o b r e la c u a d r a t u r a de Gauss
115
3 . 2 . 2 . 1 . - E r r o r en la c u a d r a t u r a de G a u s s . . .
118
3 . 2 . 3 . - S u b d i v i s i ó n en s u b e l e r r e n t o s . C á l c u l o de los
puntos de i n t e g r a c i ó n en cada s u b e l e m e n t o . . . .
124
3 . 2 . 3 . 1 . - C á l c u l o de la d i s t a n c i a mínima de
punto a un elemento
3 . 2 . 3 . 2 . - C á l c u l o de las v a r i a c i o n e s 3 s / 3
134
i
y
del J a c o b i a n o J
137
3 . 2 . 3 . 3 . - P r o c e s o de s u b d i v i s i ó n de un e l e mento cuando el nodo desde el que
se i n t e g r a p e r t e n e c e al e l e m e n t o . . .
139
3 . 2 . 3 . 4 . - S u b d i v i s i ó n en el c a s o de que el
nodo p e r t e n e z c a al elemento
3 . 2 . 4 . - C á l c u l o de las f u n c i o n e s s u b i n t e g r a l e s c o r r e s -
142
•
pondientes a las m a t r i c e s A , B y P en los p u n tos de i n t e g r a c i ó n
150
VI I I
3 . 3 . - h o r m a c i ó n del sistema de e c u a c i o n e s
3.3.1
T i p o l o g í a de los nodos
152
155
3 . 3 . 2 . - C o n d e n s a c i ó n de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e
160
3 . 3 . 3 . - O r d e n a c i ó n de la m a t r i z de c o e f i c i e n t e del s i s tema
168
3 . 4 . - A p l i c a c i ó n de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o
173
3 . 4 . 1 . - Aplicación directa
202
3 . 4 . 2 . - A p l i c a c i ó n de la r e l a c i ó n de Cauchy
208
3 . 4 . 3 . - Caso de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s
216
3 . 5 . - R e s o l u c i ó n del s i s t e m a de e c u a c i o n e s
225
3 . 5 . 1 . - E l método del g r a d i e n t e conjugado
228
3 . 5 . 2 . - Aspectos computacionales
238
C A P I T U L O 4 . EL C A S O A X I S I M E T R I C O
'
241
4 . 1 . - Introducción
241
4 . 2 . - Formulación
242
4 . 2 . 1 . - M o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s
?43
4 . 2 . 2 . - T e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s
251
4 . 2 . 3 . - E c u a c i ó n de S o m i g l i a n a p a r a puntos del c o n -
4.2.4.-
torno
260
I e n s o r de t e n s i o n e s en puntos del c o n t o r n o . . . .
267
4 . 2 . 5 . - T r a t a m i e n t o de las f u e r z a s p o r unidad de volu- 1
rhen
4 . 3 . - A p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a . Caso de a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e .
269
272
4 . 3 . 1 . - R e p r e s e n t a c i ó n de la s u p e r f i c i e del d o m i n i o y de
las f u n c i o n e s
4 . 3 . 2 . - D i s c r e t i z a c i ó n de la e c u a c i ó n i n t e g r a l
272
274
4 . 3 . 3 . - E v a l u a c i ó n de las c o n s t a n t e s de i n t e g r a ción
277
4 . 3 . 4 . - A p l i c a c i ó n de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o y
r e s o l u c i ó n del p r o b l e m a
287
4 . 4 . - E x t e n s i ó n al c a s o p l á s t i c o
291
C A P I T U L O 5. R E S U L T A D O S
309
5 . 1 . - Cubo sometido a t r a c c i ó n
309
5 . 2 . - C i l i n d r o sometido a p r e s i ó n i n t e r n a
3,18
5 . 2 . 1 . - A n á l i s i s como d o m i n i o t r i d i m e n s i o n a l
319
5 . 2 . 2 . - A n á l i s i s como c a s o a x i s i m é t r i c o
323
5 . 3 . - E s f e r a sometida a p r e s i ó n i n t e r n a
327
5 . 4 . - Cubo sometido a c a r g a s de t r a c c i ó n e n r p u n t o s
internos
333
5 . 5 . - M a t e r i a l h e t e r ó g e n e o sometido a t r a c c i ó n
335
5 . 6 . - A n á l i s i s del D o l o
338
5 . 7 . - C i l i n d r o con f i s u r a
.!
CAP I TUL06. CONCLUSIONES Y POSIBLES EXTENSIONES
347
.351
6.1 . - Resultados y conclusiones
351
6 . 2 . - Aplicaciones y desarrollo futuro
354
CAPITUL07. BIBLIOGRAFIA
'357
A P E N D I C E 1. E C U A C I O N E S QUE R I G E N EL C O M P O R T A M I E N T O
ELASTICO
376
A P E N D I C E 2 . R E L A C I O N E S E N EL C A S O A X I S I M E T R I C O
381
A l I .1 . - A l g u n a s p r o p i e d a d e s de las f u n c i o n e s
de L e g e n d r e
381
A l I . 2 . - D e r i v a d a s del t e n s o r de G a l e r k i n
384
A l I . 3 . - C á l c u l o del t e n s o r U ik
A l I . 4 . - D e r i v a d a s del t e n s o r U . .
ik
391
A I I . 5 . - I n t e g r a l e s a n a l í t i c a s en el c o n t o r n o . . .
409
395
A l 1 . 5 . 1 . - I ntegrales correspondientes
al c á l c u l o de A
409
A l 1 . 5 . 2 . - I ntegrales correspondientes
al c á l c u l o de B
AII.6.-
I n t e g r a l e s a n a l ' t i c a s en el d o m i n i o . . . .
41.2
41i5
A l l . 6 . 1 . - C á l c u l o de las i n t e g r a l e s
correspondientes a T
415
A l I . 6 . 2 . - C á l c u l o de las ¡ n t e g r a l e s
correspondientes a T1
B i o g r a f í a del a u t o r
418
42 l 5
L I S T A DE S I M B O L O S
SIMBOLOS LATINOS
A
Operador diferencial.
A^
O p e r a d o r d i f e r e n c i a l en un e s p a c i o de d i m e n s i ó n f i n i t a .
a... .
ijkl
T e n s o r opuesto al de Lame,
_A, E ,
F,
M a t r i c e s p r o p i a s del M . E . C . en la f o r m u l a c i ó n de movimientos,
B, P
b
V e c t o r de c a r g a .
B^ (X)
B o l a de r a d i o £ c e n t r a d a en el punto x .
c
Constante.
C, D, P,
Z,
- ' D i s t i n t a s m a t r i c e s que a p a r e c e n en el M . E . F .
L , 2L, K , Q ,
A
C
O p e r a d o r de L a m e ,
e
lC
C
O p e r a d o r a d j u n t o al de Lame,
e
T e n s o r p r i n c i p a l de m o v i m i e n t o s de c o n t o r n o ,
ik
C" (
fi)
D
E s p a c i o de las f u n c i o n e s n - c o n t i n u a s en
D i s t a n c i a e n t r e dos puntos
Derivada total.
iD ( f t )
a
D
E s p a c i o de las d i s t r i b u c i o n e s
D e r i v a d a a r e s p e c t o a una v a r i a b l e .
D, S
M a t r i c e s que a p a r e c e n en el M . E . C . en la f o r m u l a c i ó n de t e n -
G, H
siones.
S o l u c i ó n fundamental de un o p e r a d o r d i f e r e n c i a l .
^h'
p
h'
G
Vh*
Distintos operadores entre espacios funcionales.
v
T e n s o r de G a l e r k i n .
Módulo de r i g i d e z .
H
F u n c i o n a l de F R I E D R I C H S .
H (n)
D i s t r i b u c i ó n de H e a v i s i d e en un d o m i n i o
J
F u n c i o n a l de Hu - Hai - C h a n g .
J a c o b i a n o de una t r a n s f o r m a c i ó n ,
K U)
núcleo de P e a n o .
N
f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n .
P
P o l i n o m i o s de g r a d o n .
n
F u n c i o n e s de L e g e n d r e de segunda e s p e c i e .
Q
A l g e b r a de c o n v o l u c i ó n .
F u n c i o n a l de R i t z .
d i s t a n c i a e n t r e dos p u n t o s .
P r i m e r a coordenada a x i s i m é t r i c a .
r
R e s i d u o en una i t e r a c i ó n i en el método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o ,
i
R
h u n c i o n a l de R e i s s n e r .
IR
E s p a c i o de v a r i a b l e s r e a l e s de d i m e n s i ó n u n o .
S
Energía complementaria.
S u p e r f i c i e s que a p a r e c e n en el c á l c u l o de m o v i m i e n t o s en pun -
s
l f
S
tos del c o n t o r n o .
V e c t o r t e n s i ó n en un punto del c o n t o r n o .
t
T
T
V e c t o r t e n s i ó n en un punto del c o n t o r n o .
ik
u
T e n s o r c a r a c t e r í s t i c o en la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a .
V e c t o r de m o v i m i e n t o s en un punto del d o m i n i o .
U..
T e n s o r c a r a c t e r í s t i c o en la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a .
v.
i
V
V e c t o r c a r a c t e r í s t i c o en el método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o .
ik
\
E s p a c i o de p r o y e c c i ó n .
Pesos en una c u a d r a t u r a de G a u s s .
w
E s p a c i o de S o b o l e v .
x
C o o r d e n a d a s de un p u n t o .
X
V e c t o r de f u e r z a s de v o l u m e n .
E s p a c i o de a p r o x i m a c i ó n .
Y.
E s p a c i o de a p r o x i m a c i ó n .
Segunda c o o r d e n a d a a x i s i m é t r i c a ,
SIMBOLOS GRIEGOS
a
, 3
Constantes c a r a c t e r í s t i c a s en el método del G r a d i e n t e
conjugado.
Y
V a r i a b l e c a r a c t e r í s t i c a del c a s o a x i s i m é t r i c o .
5
ti
6
3
C o n t o r n o de un d o m i n i o a c o t a d o .
D i s t r i b u c i ó n de D i r a c .
m
A
e
e..
U
eP.
|J
e ...
ijk
D e r i v a d a m - sima de una d i s t r i b u c i ó n .
Lapaciano de una f u n c i ó n .
Infinitésimo.
I e n s o r de d e f o r m a c i o n e s
T e n s o r de d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s
I n d i c e de p e r m u t a c i ó n ,
K ,n
Coordenadas i n t r í n s e c a s .
A
N ú m e r o de puntos de G a u s s .
v
N o r m a l al c o n t o r n o .
Módulo de P o i s s o n .
\l>> <}>> c
Distintas funciones.
X
T e n s o r de G a l e r k i n .
o
T e n s o r de t e n s i o n e s .
am
F u n c i ó n s a l t o de g r a d o m .
Z
Sumatorio
E s p a c i o de f u n c i o n e s .
6
Angulo.
D i s t r i b u c i ó n de t e m p e r a t u r a .
fl
Dominio acotado.
ft
D o m i n i o acotado menos una bola de r a d i o
e
OTROS SIMBOLOS
V x
Operador gradiente
V .
Operador divergencia.
£
P e r t e n e c e a un
U
Unión de c o n j u n t o s .
(\
I n t e r s e c c i ó n de c o n j u n t o s .
||
y
N o r m a o seminorma de un elemento de un e s p a c i o normado ó
seminormado.
J'.- CONCEPTOS B A S I C O S
Con este c a p í t u l o se p r e t e n d e e s t a b l e c e r el lenguaje que se u t i l i z a r á en los c a p í t u l o s p o s t e r i o r e s así como los p r o b l e m a s que d e b e r á n r e s o l v e r s e en e l l o s . En un=
p r i m e r a p a r t a d o se r e c o p i l a n los p r i n c i p i o s e n e r g é t i c o s que s i r v e n de base en la t e o r í a l i n e a l de la e l a s t i c i d a d p a r a los p l a n t e a m i e n t o s n u m é r i c o s , m i e n t r a s que en el s e gundo se r e c u e r d a la e x i s t e n c i a y u n i c i d a d de la s o l u c i ó n a t r a v é s del teorema de
-
L A X - M I L G R A M asi como la e q u i v a l e n c i a con la m i n i m i z a c i ó n de un f u n c i o n a l .
t i t e r c e r a p a r t a d o r e c u e r d a los c o n c e p t o s c l á s i c o s de la a p r o x i m a c i ó n numér i c a c o n c e n t r á n d o s e en el método de
G A L E R K I N que es el que i n f o r m a la f i l o s o f í a b á -
s i c a del método de los elementos f i n i t o s y de los elementos de c o n t o r n o cuyo d e s a r r o l i o f o r m a l se p r e s e n t a en los dos a p a r t a d o s s i g u i e n t e s .
El paso b á s i c o del método de los elementos de c o n t o r n o y el c á l c u l o de la so l u c i ó n f u n d a m e n t a l , se d e s a r r o l l a a c o n t i n u a c i ó n Royándose en la t e o r í a de d i s t r i b u c i o _
nes así como el r e s t o de la f o r m u l a c i ó n p e r t i n e n t e .
I .1 . - P R I N C I P I O S V A R 1 AC 1 O N A L E S
Como es b i e n sabido la m a y o r í a de los métodos o p e r a t i v o s en e l a s t i c i d a d se a r
t i c u l a n a l r e d e d o r del e s t a b l e c i m i e n t o de las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o ó c o m p a t i b i l idad=
mediante una r e l a c i ó n conocida como " p r i n c i p i o de los t r a b a j o s v i r t u a l e s " .
A p a r t i r d e un sistema en e q u i l i b r i o de t e n s i o n e s
v
de volumen X y t e n s i o n e s en el c o n t o r n o T que cumplen
a
, + X
¡ j J"
•
= 0
a
v
v
= T
<
<J
J
-
1.1.1
y mediante o t r o sistema c o m p a t i b l e de d e f o r m a c i o n e s
e
%
u
cr , y f u e r z a s p o r u n i d a d
~
c o n g r u e n t e con m o v i m i e n t o s ^
, de modo que
*
2 e..
U
*
= u., .
i J
-k
+ u.,.
J i
1.1.2
Se e s t a b l e c e , ^ o b r e un d o m i n i o fi con c o n t o r n o 6 fi ,
- P r i n c i p i o de los t r a b a j o s v i r t u a l e s sistema en e q u i l i b r i o
'
c
*
¡j
f
X.
e
lU
fi
a
6n
1.1.3
í
sistema c o m p a t i b l e
A la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 3 se puede I l e g a r m u l t i p l ¡cando la p r i m e r a e c u a c i ó n de la
*
e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 p o r u.
e i n t e g r a n d o p o r p a r t e s p a r a , f i n a l m e n t e a p l i c a r la segunda -
ecuación de la e x p r e s i ó n I . 1 ; 1 y la d e f i n i c i ó n de la e x p r e s i ó n
1.1.2.
1.1
La e x p r e s i ó n 1 . 1 . 3 es pues una t a u t o l o g í a en el s e n t i d o de que p r e s e n t a e x a c tamente la misma i n f o r m a c i ó n que la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 y 1 . 1 . 2 , p e r o su c a r a c t e r inte
-
g r a l la hace muy i n d i c a d a p a r a p l a n t e a m i e n t o s g l o b a l e s y , en p a r t i c u l a r , p a r a métodos
n u m é r i c o s como más adelante se v e r á .
En l i b r o s j d e t e x t o la e c u a c i ó n I .1 . 3 se suele r e p r e s e n t a r e s p e c i a l i z á n d o l a en
los llamados p r i n c ? p i o de los d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s y p r i n c i p i o de las t e n s i o n e s
-
virtuales.
P a r a el p r i m e r o se supone que la s o l u c i ó n en m o v i m i e n t o s es u con lo que la=
1
e x p r e s i ó n a n t e r i o r m e n t e mencionada s e r á c i e r t a si se
correspondiente
x
x
s u s t i t u y e u" p o r u y e
e. Se imagina a h o r a un campo (u + 6 u;
.
p o r la
e +6 e ) que sea c o m p a t i b l e
con las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o ( l o que supone una r e s t r i c c i ó n ) y al a p l i c a r la ecua c i ó n I .1 . 3 de nuevo y r e s t a r de la e x p r e s i ó n p r e v i a se obtiene
- P r i n c i p i o de los d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s -
a
ij
6 e
¡j
X
i
6 u
i
v
T
+
i
5 u.
i
1.1.4
6 fi
O b s e r v e s e que la i n t e g r a l de c o n t o r n o se r e f i e r e solamente a la zona en que no se conocen los m o v i m i e n t o s , pues en el r e s t o 6 u = 0 .
P o r un p r o c e d i m i e n t o r e c í p r o c o se puede o b t e n e r el p r i n c i p i o de las t e n s i o n e s
v
v i r t u a l e s e s t a b l e c i e n d o la e c u a c i ó n I . 1 . 3 en dos e s t a d o s : el r e a l (_o ; _X ; _T ; _u;e_ ) y
v
o t r o v a r i a d o en el que se s u s t i t u y e a p o r o t r o campo a + 6 a en e q u i l i b r i o con X y T . Restando ambas e x p r e s i o n e s se c o n s i g u e
- P r i n c i p i o de las t e n s i o n e s v i r t u a l e s -
1.1
e ..
U
v.
i
6a..
'J
5a..
IJ
1.1.5
v .
J
6 fi
O b s e r v e s e que la i n t e g r a l de c o n t o r n o se r e f i e r e a h o r a a la zona en que se
-
e n c u e n t r a n e s p e c i f i c a d o s los m o v i m i e n t o s .
Los p r i n c i p i o s a n t e r i o r e s no e x p r e s a n mas que las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d s i n r e f e r e n c i a a ninguna ley de c o m p o r t a m i e n t o e s p e c í f i c a . O t r a s e r i e
de p r i n c i p i o s del mayor i n t e r é s se o b t i e n e cuando se hace la h i p ó t e s i s l i n e a l
°ij
~
¡j'kl
e
1.1.6
kl
donde, en g e n e r a l , las C
, . son f u n c i o n e s acotadas de x £ fi , g e n e r a l m e n t e c o n s t a n ijkl
tes ( c u e r p o homogéno) o c o n s t a n t e s p o r t r o z o s ( c u e r p o h e t e r o g é n e o ) «Extendiendo la s i t u a c i ó n del caso i s ó t r o p o se supone que la f o r m a c u a d r á t i c a c o r r e s p o n d i e n t e a la e x p r e
sión I . 1 . 6 es d e f i n i d a p o s i t i v a , esto e s , e x i s t e
Co
>
0 tal que
Ve
2 W ( e)
= C
,
ijkl
<= . . e . .
IJ
kl
=
C
e
o
••
IJ
e
..
U
IJ
V
I .1 . 7
É
/v
La v a r i a c i ó n de la e x p r e s i ó n I .1 . 7 es la d e r i v a d a de G A T E A U X
6 W [e
(u) ] =
W [e
X
= C .. , e . . (u)e
( 6 u)
ijkl
kl IJ
(u + t 6 u)
dt
t=0
6 W = C... , e , , 6 e
ijkl
kl
IJ
= o
ij
6e
ij
p o r lo que el p r i n c i p i o de la e x p r e s i ó n I .1 . 4 se e s c r i b e
I .1 .8
1.1
v
W
6<
-
X
u
T
6
L fi
u
V
=
0
1.1.9
a
Se d e f i n e a h o r a la e n e r g í a p o t e n c i a l como
0(u)
=
W (e )
-
X
u
v
T
-
u
1.1.10
6 fl
con lo que la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 9 i n d i c a
60
= 0
1.1.11
es d e c i r el f u n c i o n a l 0 (u ) pasa p o r un puntó e s t a c i o n a r i o cuando u es la s o l u c i ó n del
problema
Que este punto es un mínimo se d e s c u b r e c a l c u l a n d o
0 (u +6 u) -
0 (u) =
i
C
ijkl
y a p l i c a n d o la c o n d i c i o n de la e x p r e s i ó n
C .. . ó e.. 6 e, ,
ijkl
IJ
kl
>
~
^ C
<
6e
ij
Se,,
kl
1.1.7
fi e . . <5 e..
U
U
_
0
A s i pues:
- P r i n c i p i o de la e n e r g í a p o t e n c i a l mínima -
La s o l u c i ó n u del p r o b l e m a e l á s t i c o hace mínimo al f u n c i o n a l
0(u)
= i
C¡jkl
e
ij
X
kl
e
¡
u
v
T
-
i
i
u
i.1.12
i
6 (2
en el c o n j u n t o de los campos de m o v i m i e n t o s g e o m é t r i c a m e n t e a d m i s i b l e s .
E s t e p r i n c i p i o de mínimo puede t r a n s f o r m a r s e a h o r a en un p r i n c i p i o de máximo
siguiendo el método de F R I E D R I C H S (1929) y , de c a m i n o , s i r v e p a r a o b t e n e r los l i a mados p r i n c i p i o s h í b r i d o s de W A S H I Z U ó R E I S S N E R .
S i imaginamos la e c u a c i ó n 1 . 1 . 2 como una reí a c i ó n a cumpl i r, ya
e
y u inde
-
pendizados,a e f e c t o s de una p o s i b l e v a r i a c i ó n , el f u n c i o n a l ( e x p r e s i ó n I .1 . 1 2 ) , pasa r í a a depender de e y de un m u l t i p l i c a d o r
de L a g r a n g e X a d e t e r m i n a r . Lo mismo po -
d r í a p e n s a r s e de la c o n d i c i ó n de c o m p a t i b i l i d a d
en la zona de c o n t o r n o con movirr.ien -
tos p r e s c r i t o s
u
i
= y
i
en
6 fi
1.1.13
u
S i g u i e n d o a F R I E D R I C H S p o d r í a e s c r i b i r s e el f u n c i o n a l
H ( u, e ,
X, y ) =
ijkl
e..
U
2
F
i
u
i
r 1/
\
i
X . . l 2 ( u . , . + u .) - e . . J
J i
iJ
U
' J
e..+
kl
-
T
6 fi
i
u
i
+
v . (y. i
i
u.)
i
6 ft
u
1.1.14
S i b u s c a m o s el v a l o r e s t a c i o n a r i o de H r e s p e c t o a u , e , X y y se o b t i e n e
6 H
=
(C
ijkl
F
i
e
- X
kl
6u
i
ij
)
S e
ij
T
-
i
X
-
5 u.
i
-
X
6 u ,
ij
i j
( X..
U
5 u , +
i j
y . Su
i
i
5 fi
y como
ij
X
5y
+
5 fi
u
Su),.i J
S X.. U
IJ
i
(y
i
( u . , . + u . , . ) - e . J' J
J i
U
- u )
i
1.1.15
S SI
, 5 u = 6
¡j J
¡
u
i
X v ¡J J
X
, 6u
IJ j
¡
6 ft + 6 fi
t
u
6 H =
ijkl
kl
IJ
(X
IJ
( X v .- T ) 6 u +
ij
J
i
i
6n
(X
6 Q
¡j
,
ij j
v
J
+ F ) Su
i
i
- y
¡
) Su
¡
+ l i (u., . + u.,.) - e . Js \m+
i J
J i
>J. 'J
4
(y. - u )
i
i
Su
i
6 fí
1.1.16
c o n lo que l a s c o n d i c i o n e s de e s t a c i o n a r i d a d , s o n además de l a s e x p r e s i o n e s 1 . 1 . 1 2 y
1.1.13
X. = C . ,
ij
ijkl
c, ,
kl
en
ft
1.1.17
X
+ F. = 0
U J
'
en
n
X
¡j
v
j
=
v
T
enfiñ
1.1.17
y = X
v
i
¡j
J'
en 6 ñ
que p r o d u c e la i d e n t i f i c a c i ó n inmediata
X
¡j
=o
U"
v
P
i
=
1.1.18
en fi
T.
i
H a c i e n d o las s u s t i t u c i o n e s p e r t i n e n t e s en la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 4 se obtiene el funcional de H U - HA I - C H A N G (1955) y W A S H I Z U (1955).
J ( u, e , q)
=
i C
1 1
ijkl
e..e
-a..e.. + £a
(u., + u , ) - F
u
IJ kl
U U
U
I J
J i
I i
T. u +
i
i
6 fi
t
.
v
.
¡J
v
. (y. J
i
u.)
i
1.1.19
6 Ü
u
De este f u n c i o n a l , de enorme g e n e r a l i d a d , se pueden o b t e n e r , al e x p r e s a r su
v a r i a c i ó n p r i m e r o , todas las c o n d i c i o n e s s o b r e u , e
(.oasta d e s h a c e r el p r o c e s o de c o n s t r u c c i ó n ) .
En el caso de la e l a s t i c i d a d l i n e a l
,
t , c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o e t c ,
1.1
o
ij
= C
ijkl
e
kl
1.1.20
£
ij
= 3ijkl
° kl
que al s e r s u s t i t u i d a s en la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 9 conducen al f u n c i o n a l de RE I S S N E R
H E L L I N G E R (1950 - 1914):
R (u, a) =
-i
a.., , o . . a
+ i
ijkl
u
kl
o
U
a . . ( u . , . + u .) |J
i J
J i
V
F
i
u
i
-
T
i
u
i
+
6Q
¡: t
1.1.21
v . (y. - u )
J
i
i
El punto c r í t i c o de este f u n c i o n a l no es un e x t r e m o sino un p u e r t o como puede
d e m o s t r a r s e . (Nefas - H l a v á E e k , 1981).
El p r i n c i p i o de máximo c o r r e s p o n d i e n t e al mínimo de la e n e r g í a p o t e n c i a l
se-
obtiene i n v i r t i e n d o la p r i m e r a de la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 7 como
£
ij "
3¡jkl
X
I.1.22
kl
donde la f o r m a c u a d r á t i c a c o r r e s p o n d i e n t e a las a . , t i e n e evidentemente las mismas=
ijkl
p r o p i e d a d e s que las de las C ,
ijkl
Como, además una i n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s conduce a
X.. ( u . , + u . , . ) =' ij
i J
J i
^ .
u
|J j '
X
+
6 fi
¡j
v
u
J ¡
1.1.23
»
la s u s t i t u c i ó n de las e x p r e s i o n e s I . 1 . 2 2 y I . 1 . 2 3 asi como
1 . 1 . 1 4 conduce a t r a n s f o r m a r el f u n c i o n a l
S
(o)
=
2
i
i j k l ° IJ V kl
en la e c u a c i ó n
H ( e , u , * , V- ) en
u
+
6
las I . 1 .17
¡
a . v .
IJ J
1.1.24
a
Que el punto c r í t i c o es un máximo se d e s p r e n d e de la c o n s t r u c c i ó n h e u r í s t i c a del fun c i o n a l S ' C CJ) p e r o puede d e m o s t r a r s e en f o r m a r i g u r o s a (Neg:as - H l a v á £ e k , 1981).
P a r a o b t e n e r un mínimo basta d e f i n i r la e n e r g i a c o m p l e m e n t a r i a como
S (o) = - S
I .1.25
(o)
y asi
4- P r i n c i p i o de la e n e r g i a c o m p l e m e n t a r i a mínima -
La s o l u c i ó n o del p r o b l e m a e l á s t i c o hace mínimo al f u n c i o n a l
S (o) =
a
ijkl
o
ij
o
U
kl
I
O ..
IJ
V.
J
6 (2
en el c o n j u n t o de los campos de t e n s i ó n e s t á t i c a m e n t e a d m i s i b l e s .
1.1.26
1.1
F i n a l m e n t e una r e l a c i ó n de r e c i p r o c i d a d i n t e r e s a n t í s i m a se obtiene tomando=
X
X
3K
dos (a , X , J
dos estados
T , u , _f)
e) y ( acr* , , X * ,, T * ,, ui , e ) y e s t a b l e c i e n d o la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 3 e n t r e los campos c r u z a d o s . Se t i e n e asf
o
¡j
e
X
'j
i
u
V
T
+
i
68
i
u
*
i
1.1.27
*
v* u
X
i i
a ¡j e ¡ j
T*
I
. u.
I I
6 SI
P e r o los p r i m e r o s m i e m b r o s son ¡guales en f u n c i ó n de las r e l a c i o n e s de la
-
e x p r e s i ó n I .1 . 2 0 y p o r tanto
X.
i
Si
v
T.
u.
i
i
5
SI
*
u.
X.
i
i
SI
u.
i
>
T
+
i
5
SI
que es c o n o c i d o como t e o r e m a de MAXWELL - B E T T I .
u
i
1.1.28
I .2
I . 2 . - SOLUCIONES DEBILES
El c á l c u l o a b s t r a c t o de v a r i a c i o n e s en e s p a c i o s de H i l b e r t
permite dotar a
los r e s u l t a d o s c l á s i c o s p r e v i o s de todo el r i g o r del a n a l i s i s f u n c i o n a l m o d e r n o . El —
espacio en el que se t r a b a j a está c a r a c t e r i z a d o p o r el hecho de que las d e r i v a d a s
-
p r i m e r a s de los movimientos u son de c u a d r a d o i n t e g r a b l e .
E s t r i c t a m e n t e hablando e l l o s o l o es c i e r t o p a r a las d e f o r m a c i o n e s
la d e s i g u a l d a d de KORN
c . . ( u ) e . . (u) >
ij
ij
e , pero
•j
1.2.1
c ' 11
||u||; .
' 1 ,2
p e r m i t e t r a b a j a r con la norma engendrada p o r el p r o d u c t o e s c a l a r
(u , y)
=
2
M Í 1
2
i=1
D
a
u.
t í p i c o del e s p a c i o de SOBOLEV-
W=
[ W1,2
( n)
]3
es d e c i r
I M I
1 > 2
=
V
2
N 1 1 , 2 >
W
,
¡=1
donde
Ui
II 1,2
D
a
v
l .2.2
Se-exige así que fi sea un d o r r i n i o c o n c o n t o r n o de L I P S C H I T Z y , en el c a s o
i s ó t r o p o , que los c o e f i c i e n t e s de LAME X , y sean f u n c i o n e s m e d i b l e s y acotadas
X,y
C
L
(A)
00
E l c o n t o r n o se define como
6
fi=
5
fi
a
u
U R
donde R es de medida nula y tanto 6 n
a
como 6 fi son ó b i e n a b i e r t o s en 6 fi ó b i e n vau
c í o s (según se t r a t e del p r o b l e m a e l á s t i c o , p r i m e r o , segundo ó m i x t o ) .
Se d e f i n e el c o n j u n t o K como
K = JY €
C 1 ( fi) |
sop f c f i
U 6
fi^j
1.2.5
12
3
Tomando el c i e r r e de K en la t o p o l o g í a de W ' ( fl) y e s c i b i e n d o V = [ K ]
se t i e n e
V
«
1.2.6
W
donde
«O
y W1,2
o
=
K '
2
( n )
]
3
1.2.7
es
W1,2
o
(A) = ID (N)
1.2.8
I .2
s i e n d o ID
el e s p a c i o de las f u n c i o n e s con s o p o r t e c o m p a c t o .
E l e s p a c i o V es un e s p a c i o de H I L B E R T al igual que el W y es llamado el esp a c i o de las f u n c i o n e s de e n s a y o .
Supongamos que las f u e r z a s p o r u n i d a d de volumen son X [ L ( f i ) ] y las
v
^
~
~
t e n s i o n e s en el c o n t o r n o T [ L ( ó f i ) ] así como que e x i s t e una f u n c i ó n u £
W
i
2
o
-o
que d e t e r m i n a los m o v i m i e n t o s en 5 fi en el s e n t i d o de su t r a z a .
u
Con e s t a s c o n d i c i o n e s se e s t a b l e c e la s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :
La f u n c i ó n u
-
X V
u vv
-
W es una s o l u c i ó n d é b i l del p r o g r a m a e l á s t i c o si u - u €
-o
+ 2 Y
e . . (u)
ij -
e
. . (v) =
ij -
X
i
v
i
TV.
+
i
'n
&
v G V
i
V
1.2.9
6 ft
Como se ve basta h a c e r 6 u = v £ V p a r a o b s e r v a r que el p r i n c i p i o de los
-
trabaj'os v i r t u a l e s es un ejemplo de p l a n t e a m i e n t o de la s o l u c i ó n d é b i l .
P o r o t r o lado puede d e m o s t r a r s e que todo f u n c i o n a l
<2 : H
IR
(donde H es un e s p a c i o de H i l b e r t ) , c o e r c i t i v o y d é b i l m e n t e s e m i c o n t i n u o i n f e r i o r mente alcanza su mínimo en H . E s t a s p r o p i e d a d e s son f á c i l e s de d e m o s t r a r p a r a la
energia potencial.
0 (u) =
[ i
X 6
(u) + vi e . . (u) e . . (u)
|J U -
]
-
F
i
u
i
-
T. u
6 £2
i
i
1.2.10
p e r o la d e r i v a d a de G A T E A U X de 0 se anula cuando se cumple !a e c u a c i ó n I .2.10.Así
pues el mínimo es una s o l u c i ó n d é b i l . La r e c í p r o c a se d e m u e s t r a a t r a v é s del t e o r e ma de L A X - M I L G R A M que e s t a b l e c e la u n i c i d a d de la s o l u c i ó n d é b i l .
- T e o r e m a de L A X - M I L G R A M -
3 v
3
Sea u £ W, X e [ L_ ( fi ) ' ] , T 6 [ L . ( ó f í ) ] y
¿ 0. Si existe
-O
¿
¿
o
u
jip > 0 tal que (y (x) > y )y(x (x) > 0 ) V x e
fi
e x i s t e una y s o l o una s o l u c i ó n
o
=
O
=
débil del p r o b l e m a e l á s t i c o y
llüllw
=
c
(||uo||
w
+
II X«
L
2
( 0 ) ]
3
-IJO
2
a
3,
I.2..V1
( S i 6 ti= <5 fi el ú l t i m o t é r m i n o de la d e r e c h a d e s a p a r e c e )
u
E n e f e c t o sí u es la s o l u c i ó n d é b i l y ü
r e s u l t a de m i n i m i z a r 0 , c o m o es dé
-
b i l , p o r u n i c i d a d debe c o i n c i d i r con a q u e l l a .
Vemos pues que la s o l u c i ó n del p r o b l e m a puede p l a n t e a r s e de ambas f o r m a s .
La c o n e x i ó n con la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r i a se puede l o g r a r de la s i g u i e n t e
-
f o r m a , se define el e s p a c i o H de los t e n s o r e s s i m é t r i c o s
H = f a£[L(fi)
l
2
] 9 / a . . = a.. 1
ij
JI J
1.2.ÍJ2
y se i n t r o d u c e la f o r m a b i l í n e a l
í\
a
"
2)
) -
t a ) -
a. , a .].)
ijkl
U
a .2.)
IJ
1l .2z . . 3
I .2
E n v í r t ü d de las p r o p i e d a d e s de los c o e f i c i e n t e s a , , y de la c o m p l i t u d de
Ukl
9
,
[l~2 ( ñ ) ] > el e s p a c i o H con la norma \J(o, o) es c o m p l e t o y p o r tanto e s p a c i o de
-
H i l b e r t con el p r o d u c t o de la e x p r e s i ó n I . 1 .41 .
Se d e f i n e n igualmente el e s p a c i o de los t e n s o r e s c o m p a t i b l e s
H. = { a 6 H /
L -
3 v €
-
V : o . . = C.
e
(v),
IJ
ijkl
kl -
V
¡,j }
J
1.2.14
y el e s p a c i o de los t e n s o r e s d é b i l m e n t e a u t o e q u i l i b r a d o s
H
= | ae H /
e . . (v) = 0
¡•Ji i iU —
\/
v €
—
v}
j
I.2.15
E v i d e n t e m e n t e H ^ es el complemento o r t o g o n a l de H^ y éste es s u b e s p a c i o de
H.
Se llama igualmente c o n j u n t o de campos de t e n s i o n e s e s t á t i c a m e n t e a d m i s i b l e s
H/
O
ij
e (v) =
ij -
v
X
i
v
i
+
T . v.
i i
6
\f v £
V
I.2.16
0,
Con e s t a s d e f i n i c i o n e s es f á c i l p r o b a r el t e o r e m a de la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r i a mínima, también llamado a v e c e s , t e o r e m a de C A S T ' | G L I A N O - M E N A B R E A .
Supongamos p a r a e l l o que se cumplen las c o n d i c i o n e s del teorema de L A X M I L G R A M , con lo que la e x i s t e n c i a y u n i c i d a d de la s o l u c i ó n u queda g a r a n t i z a d a .
I .2
- El funcional energía complementaria
S ( o) = i
a
¡jkl
a
ij
o
kl
°
¡J
a
-
1.2.17
. . (u )
iJ - o
toma su m í n i m o en £ tan s o l o c u a n d o o es el t e n s o r de c o m p o n e n t e s
l.2.18
o . . ' ( u ) = C . . . . e, . (u)
IJ ijkl
kl
-
S u d e m o s t r a c i ó n se r e a l i z a m e d i a n t e el método de l a s p r o y e c c i o n e s o r t o g o n a les
H.
o -
Sea
w = u — u
- o
o (u) = a (u )
- o
,
w £
-
o (u)
V
I .2.1'9
+ o (w)
-
P o r c o n s t r u c c i ó n o (w) £ H^ . La d e f i n i c i ó n de s o l u c i ó n d é b i l i m p l i c a
Supongamos un a £ Z a r b i t r a r i o . E v i d e n t e m e n t e
°
I.
a - a (u) e s t á en H ^ pues se t r a t a de un
campo en e q u i l i b r i o d é b i l c o n c e r o c a r g a s e x t e r i o r e s . P o r t a n t o s i l l a m a m o s
J (a)
-
= || a -
a (u )
- -o
O -
O (u)
+
H
a (u)
-
o (u )
1.2.20
H
tendremos
2
J ( cM a
- a (u) ||
2
+ || a (w)
H
1.2.21
||
H
de modo que el mínimo s o l o se a l c a n z a cuando
o =
a (u)
Pero
J (a) = [ ( a | r
»-»H
+ 1 P (u ) ||
«""O
"
2
h
l .2.22
- 2 ( a , a(u ) )
-o
luego
J(_a)-
a
|| _a ( u o ) ||
H
ijkl
a., a
- 2
IJ
kl
ü . . e . . (u ) = 2 S ( a)
U U
o
1.2.23
que demuestra el t e o r e m a .
b e plantee pues en m o v i m i e n t o s o en t e n s i o n e s la s o l u c i ó n del p r o b l e m a e l á s t i c o puede e s t a b l e c e r s e como la búsqueda del mínimo de un f u n c i o n a l y e l l o e x p l i c a la=
i m p o r t a n c i a que los llamados métodos v a r i a c i o n a l e s d i r e c t o s , nombre que según
-
M I K H L I N se debe a S C B O L E V , t i e n e n en la r e s o l u c i ó n n u m é r i c a de p r o b l e m a s c o n c r e tos.
1 . 3 . - S O L U C I O N N U M E R I C A DEL P R O B L E M A
ELASTICO
En f o r m a s i m b ó l i c a ( G A V U R I N , 1973) los métodos n u m é r i c o s s u s t i t u y e n la
-
s o l u c i ó n del p r o b l e m a
A
X — ^
A u = f
Y
A ^
u
1.3.1
_
f
por otro
\
u
h
h
= f
donde A, a p r o x i m a
h
K 3
A
\
A y
\
Uh
—
.
A
Y
h ^
"
-
2
h
f
fh
E n g e n e r a l ( T E M A M , 1973) e x i s t e n v a r i o s p r o c e d i m i e n t o s p a r a a p r o x i m a r un=
espacio normado X mediante una f a m i l i a <X
1
?
J
de e s p a c i o s n o r m a d o s , en g e n e heH
r a l d i f e r e n t e s del a n t e r i o r .
A saber:
a) Se puede c o m p a r a r u con la imagen p
d o r que a p l i c a X
h
h
u
h
de u
h
en X , s i e n d o p
h
un o p e r a
-
en X .
b) Se c o m p a r a la imagen n ( u ) d e u en un t e r c e r e s p a c i o F con la imagen p
h
u
h
de u, en F , siendo n y P, las r e s p e c t i v a s a p l i c a c i o n e s de X y X en F .
h
h
h
c) Se c o m p a r a u^ con una c i e r t a imagen r ^ u de u en X ^ siendo v^ un o p e r a
d o r que a p l i c a X en X, .
h
-
I .3
El c a s o a) r e c i b e el nombre de a p r o x i m a c i ó n i n t e r n a , y el b) de a p r o x i m a c i ó n
e x t e r n a . E l c a s o c) solo r e v i s t e í n t e r e s a u x i l i a r .
E n los c a s o s de a p r o x i m a c i ó n i n t e r n a la t r i a d a
X, , P , r > está f o r m a d a h
h
hJ
g e n e r a l m e n t e de d i m e n s i ó n f i n i t a y dos o p e r a d o r e s -
p o r un e s p a c i o normado X, ,
h
lineales continuos: p
que g e n e r a l m e n t e es i n v e c t i v o y r
que es s o b r e y e c t i v o ; el p r i h
h
m e r o se llama o p e r a d o r de p r o l o n g a c i ó n y el segundo de r e s t r i c c i ó n , siendo o b v i a s ambas a p e l a c i o n e s . La a p l i c a c i ó n p, ó r, de X en sí mismo se llama t r u n c a m i e n t o .
h
n
E n c o n s e c u e n c i a se d e f i n e n
error
e r r o r de d i s c r e t i z a c i ó n
e r r o r de t r u n c a m i e n t o
©
©
u
-
u
h"
u
-
p
p
uh
h
r
h
r
h
V
h
h
u
n
p
APROXIMACION
INTERNA
©
h
\
*
APROXIMACION
Fig.
I .2.1
©
©
EXTERNA
E n f o r m a análoga ( F i g . I . 3 . 1 ) p a r a una a p r o x i m a c i ó n e x t e r n a se d e f i n e n
error
'II n " - P
II
h
F
u, - v u ..
h
h 11 h
e r r o r de d i s c r e t i z a c i ó n
e r r o r de t r u n c a m i e n t o
: 11 n u - p, r,
h h
11||
F
Los métodos más i n t e r e s a n t e s p a r a e s p a c i o s s e p a r a b l e s son los de G A L E R K I N
que se c a r a c t e r i z a n p o r e s t a r h £
TN y s e r p^ la i n y s c c i ó n c a n ó n i c a de X ^ en X y r^
-
la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l de X en X, ( s o b r e y e c t i v a ) pudiendo d e m o s t r a r s e ¡a e s t a b i l i d a d
h
y convergencia.
Cuando se t r a t a de e s p a c i o s n o r m a d o s en g e n e r a l el método de G A L E R K I N se
puede g e n e r a l i z a r tomando n £ " Í N y una s e c u e n c i a X
r
Si
u £ X
n
u =
si n <
=
0
n
con u n i ó n dansa en X tal que
n
o
1.3.3
no
si n
. W-> u = ú
•n
> n
=
o
puesto q u e , c l a r a m e n t e
p
n
r
n
u
u
V u
6
n—
El o p e r a d o r
U
(
X
n
)
nfeTN
r
n
s o l o esta d e f i n i d o en
K =
U (x )
, n
n € TN
p e r o como K es denso en X es p o s i b l e c o n s e g u i r la s i t u a c i ó n de c o n v e r g e n c i a y estabilidad.
.
E n el caso de los e s p a c i o X s e p a r a b l e s se toman como s u b e s p a c i o s X
rvérados p o r s e c u e n c i a s Y
h
u, =
h
Si A
ría
(A
h
Í
1
h
!
;a.
h
i j
1
, ¥
2
.. . . *
h
IR
u .
h
v) = (f
h
, v)
\/
Evidentemente la e x p r e s i ó n
h
1.3.4
en la e x p r e s i ó n I . 3 . 2 es la r e s t r i c c i ó n de A en X, , la p r o y e c c i ó n se h
v £
donde(. , . ) es el p r o d u c t o e s c a l a r d e f i n i d o en X
(A
los qe
con lo que
h
a. £
j
f ,
h
h
u , y .) = [f, , V.)
h
i
h
i
1.3.5
h
Xu
h
1.3.5
.
es e q u i v a l e n t e a
t = 1,2,
h
. _ _
1.3.6
o lo que es igual siendo A, l i n e a l , al s i s t e m a
h
h
J
1
a.
J
(A
h
h
T.)
I
= (f , Y )
h
I
¡=1,2
h
1.3.7
La e q u i v a l e n c i a de la e x p r e s i ó n I . 3 . 5 con la f o r m u l a c i ó n d é b i l es evidente
p e r o también es p o s i b l e una i n t e r p r e t a c i ó n de R I T Z , como m i n i m i z a c i ó n de un f u n c i o
nal.
S i el f u n c i o n a l c o n t i n u o 0 a l c a n z a su mínimo pn un punto u de un e s p a c i o de
H Ü b e r t . s e llama secuencia minirfiizante a u
si u
n
n
H'
-
n y si
m=1
lím
0 (u ) = 0 (u)
n
n —oo
,
1.3.8
E l método de R I T Z i m p l i c a la c o n s t r u c c i ó n de una s e c u e n c i a en f o r m a a n á l o ga a la de G A L E R K I N esto es, se f o r m a n los s u b e s p a c i o s X
lí
C. X (h = 1 , 2 , . . .) de m o -
do que
lim
X, = X = > V u £ X lim d i s t ( u , X, ) = O
h
,
h
h—* 30
Como elementos de la s e c u e n c i a m i n i m i z a n t e se toman los u
0 ( u ) = min 0 (u)
h
u€ X
h J
h
G X, t a l e s que
h
1.3.10
h
Que ( u, f
1
. . _
1.3.9
es una s e c u e n c i a m i n i m i z a n t e está c l a r o .
h
=i
S¡ u es el elemento que hace mínimas a 0 en X , como c o n s e c u e n c i a de la ex
presión 1.3.9
e x i s t e v,
h
0 (v )-*h
0 (u)
y p o r la c o n d i c i ó n I . 3 . 1 0
£
X, ,
h
v,
h
»- v . P o r c o n t i n u i d a d
1.3.11
0 (v. )
n
p o r lo que
> 0 (u. )
=
n
> 0 (u)
=
I.ó.1z
0 (u, ) — £ > (u)
h
E n el c a s o de la e n e r g i a p o t e n c i a l en el p r o b l e m a e l á s t i c o la c o n d i c i ó n
conduce al mismo s i s t e m a G A L E R K I N ( b a s t a s u s t i t u i r la c o n d i c i ó n
(f, V )
V v
h
h
£
X
h
e n la e x p r e s i ó n m í n i m o 0 = j ( A (u
h
A (u , v , ) =
h
n
; u, ) - ( f , u, )
h
h
),
- E l método de los e l e m e n t o s f i n i t o s -
E s exactamente un método de R I T Z - G A L E R K I N en el que
N
X
= í v/v =
h
{
ÍVeaseque
'
donde P
J
X, C
k
Z
j=1
W1,2
r\
h
'
a
J
V .
J
,
P
J
e & ,
a
j
real
[
J
1-3.13
(ti))
'
son los v e r t i c e s de una t r i a n g u l a c i ó n del d o m i n i o y Y
j
son f u n c i o n e s b á s i c a s
de pequeño s o p o r t e que en el c a s o de i n t e r p o l a c i ó n l i n e a l se d e f i n e n c o m o .
Yh
j
(P. ) = «
h
jh
1.3.14
h
h
D e b i d o a la s i m e t r í a de la m a t r i z (A, ¥
, Y ) y al pequeño s o p o r t e de l a s
h
i
j
f u n c i o n e s , el t r a t a m i e n t o n u m é r i c o del p r o b l e m a r e s u l t a n t e es muy e f e c t i v o .
-
1 . 4 . - F O R M U L A C I O N M A T R I C I AL DE L O S M E T O D O S DE E L E M E N T O S
FINITOS
E x i s t e n fundamentalmente t r e s p o s i b i l i d a d e s de a c u e r d o con el s i g u i e n t e es
-
a ) . - El mínimo de la e n e r g í a p o t e n c i a l conduce al método de los elementos
-
quema:
f i n i t o s en m o v i m i e n t o s .
b ) . - El mínimo de la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r í a conduce al método de los eleme_n
tos f i n i t o s en t e n s i o n e s .
c ) . - El punto e s t a c i o n a r i o del p r i n c i p i o de R e i s s n e r conduce a los métodos híbridos.
E n el p r i m e r c a s o se e s c r i b e la r e l a c i ó n I .1 .12como
e
Ó (u) = i
T
C e -
UT
X -I
1.4.1
6 fl
Q
a
T
T
uT
t
o b i e n , si
e= D
0 (u) = i
u
(DT
UT)
C
D u
-
uT
X
-
uT
TT
.4.2
6 fl
El c a r á c t e r i n t e g r a l de las r e l a c i o n e s p e r m i t e s u s t i t u i r la e x p r e s i ó n
p o r r e l a c i o n e s s o b r e d o m i n i o s p a r c i a l e s o elementos y su p o s t e r i o r a d i c i ó n .
I.4.5
Si se hace la h i p ó t e s i s de i n t e r p o l a c i ó n
u = N
1.4.3
a
donde N son las f u n c i o n e s b á s i c a s de f o r m a (o i n t e r p o l a c i ó n ) y
a los p a r á m e t r o s de
la d i s c r e t i z a c i ó n
0 (u) = Í A T I ÍD N ) T
C
D N]
-
A
AT
N
T
X
- A
T
N
6
T
v
T
1.4.4
a
y p o r tanto el sistema de e c u a c i o n e s es
3 0
= 0 = K A -
F
K
A
= F
.4.5
3 A
donde llamamos
K =
(D N ) T
C
(D
N)
m a t r i z de r i g i d e z .
1.4.6
F =
N
t
X
+
T
v e c t o r de f u e r z a s nodales
5 fi
¿ t
En el segundo caso la e n e r g í a c o m p l e m e n t a r i a e x p r e s i ó n I .1 . 2 6
S(a)
={
o
T
A
u
o
T
6 fí
La h i p ó t e s i s de d i s c r e t i z a c i ó n es
a
v
se e s c r i b e
1.4.7
1.4
o =Z
1.4.8
P
donde P son f u e r z a s nodales de las que están e x c l u i d a s las r e a c c i o n e s a s o c i a d a s con un
sistema de apoyo i s o s t á t i c o .
Además
= L
v
P
,4.9
que en g e n e r a l es d i f í c i l de o b t e n e r .
Con estas h i p ó t e s i s
T
S (a) = i
P [
Z
T
A
Z ]
P
- P
T
LT
u
,4.10
6 ft
c o n lo que, al d e r i v a r , se obtiene el s i s t e m a de e c u a c i o n e s
o
=[
ZT
A
3 P
Z ]
P
Lx
U
6n
o bien
IF
.
P =
2L
1.4.11
donde se ha llamado
IF
=
ZT
A
Z
m a t r i z de f l e x i b i l i d a d
1.4.12
ZL
LT
=
U
v e c t o r de m o v i m i e n t o s nodales
,4.12
6 Si
E n el t e r c e r c a s o el p r i n c i p i o de R e i s s n e r se e s c r i b e
T
a
R (u,0) =
T
^
,
D u - i
tt
y
u
é
Si
F
-
T
t
T
u
+
6Q
1.4.13
-
6 fi
6 Ci
en el que ¡as v a r i a b l e s b á s i c a s son u y
Z
o
'S2
"fi
=
A
Su d i s c r e t i z a c i ó n i m p l i c a dos h i p ó t e s i s
P
I-4.14
u
=
N A
donde P y A son los p a r á m e t r o s de d i s c r e t i z a c i ó n
O t r a r e l a c i ó n a u x i l i a r es
T
=
L
-
P
-
La i n t r o d u c c i ó n de las e x p r e s i o n e s I.4.14
mite e s c r i b i r »
.4.15
(T. = ° . v . )
i
iJ «
y 1.4.15 en la e x p r e s i ó n
1.4.13 p e r -
I .4
R ( u , a ) = R ( A , P)
= PT
Z
(
T
D N) A
-
i
P
T
(
ZT
4
NT
T
F) - (
T
_N) A
+ P (
A Z) P -
a
L T y)
- P (
58
N) A
LT
5a
' : U
1.4.16
o bien
R ( a , P)
=
ZTD
P'[
N
-
6 fi
n
- [ F,
LT
T
N
VT
+
T
<5 n
N] A -
PT [
i
ZT
A
Z 1
P
u
N] A
+ P
T
(
LT
y)
1.4.17
,6 fi
LLamando
Í2
-
ZT
11
0,2
4
z
T
A
Z
D N
LTN
-
1.4.18
a. si.
NT
F
- eq
F
+
N
T
6
» fi.i
Q
- eq
•6
fi
V
T
-
y e s c r i b i e n d o la v a r i a c i ó n r e s p e c t o a A
0 = P
S],0u
- 1 2 -
T
+ 8PT
-
y P
fl, n
-12
A - P
-
T
-11
fi,16P-FT
6A+
- e q -
6 P
-
T
A
-eq
1.4.19
o bien
P
-
T
12
- 12
fi10
-12
A
-
T
- F
-eq
=0
T m
- f i
P + A
=0
-11~ eq
pero
T
n
-11
=
o
-11
es d e c i r
-
n
n
-n
-
-12
A
eq
1.4.20
T
-12
L
F
-eq
De la p r i m e r a e c u a c i ó n se o b t i e n e
p
-
n_
12
i
ieq
+
y de la segunda
T
F = f i
-eq
-12
-1
fi
-11
ü
-12
A
-
+
T
-12
-1
Ü,,
-11
A
-eq
o bien
K
A = Q
-K=
-12
i.4.21
con
2n
?i2
J.4.22
Q =F
- eq
T
n10
-12
-1
-11
A
-eq
en el que A s o n l a s i n c ó g n i t a s , Q es c o n o c i d o y K t i e n e
el s i g n i f i c a d o de una m a t r i z de
r i g i d e z que puede i n c o r p o r a r s e a los t r a t a m i e n t o s c l á s i c o s .
E n el p r i m e r c a s o se obtiene m a y o r p r e c i s i ó n en las u , en el segundo en las=
a y en el t e r c e r o se p r e s e n t a como una s o l u c i ó n de c o m p r o m i s o . Su i m p o r t a n c i a es
-
grande s i n embargo y , como v e r e m o s en el s i g u i e n t e a p a r t a d o f o r m a la base del método
de los elementos de c o n t o r n o .
I . 5 . - EL M E T O D O D E LOS E L E M E N T O S DE C O N T O R N O
Como es b i e n sabido en t e o r í a del p o t e n c i a l , d e b i d o al p r i n c i p i o de máximo,
-
c u a l q u i e r f u n c i ó n armónica u (x) que es a p r o x i m a d a u n i f o r m e m e n t e en el c o n t o r n o 6 ñ de
un d o m i n i o
p o r un p o l i n o m i o a r m ó n i c o ¥ (x) también es a p r o x i m a d a p o r Y (x) en el
i n t e r i o r de
. Dado pues f (x) en el c o n t o r n o <5 Q cabe p e n s a r en la secuencia Y
—
(x)
h —
que c o n v e r j a a f (x) en <S fi a p r o x i m a la s o l u c i ó n del p r o b l e m a en fi p a r a c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o d a d a s . B E R G M A N y H E R R I O T ( N u m e r , M a t h . 7 (1965)
pp 42-65) d e s c r i -
ben el método como s i g u e :
a ) . - G e n e r a c i ó n de un c o n j u n t o c o m p l e t o ^ , , .fi = 1 , 2 , . de s o l u c i o n e s p a r t i -
h
c u l a r e s de la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l .
b) . - G e n e r a c i ó n a p a r t i r de las ^
h
de un s i s t e m a o r t o n o r m a l
c ) . - D e t e r m i n a c i ó n de una s o l u c i ó n de la f o r m a
a,
<>
t
h
.
& . . Ideas de este t i p o =
h—Y h
f u e r o n g e n e r a l i z a d a s p o r K U P R A D Z E ( 80 ) R I Z Z O (108 ) JASWON ( 70 ) , L A C H A T y
WATSON ( 8 3
) a la luz de los métodos de d i s c r e t i z a c i ó n expuestos p a r a el método de
los elementos f i n i t o s en el a p a r t a d o a n t e r i o r .
La r e l a c i ó n de p a r t i d a es el t e o r e m a de r e c i p r o c i d a d e x p r e s i ó n ( 1 . 1 . 2 . 4 ) que=
puede s e r r e e s c r i t o en la f o r m a
X
ft
T
u
*
vT
T
+
6 0,
u
T
T
*
X
ft
u
Y
T*
+
u
.5J1
6 íí
S i se escoge como estado a u x i l i a r ( * ) el c o r r e s p o n d i e n t e a la a p l i c a c i ó n de la
c a r g a u n i d a d en el e s p a c i o i n f i n i t o la p r i m e r a i n t e g r a l de volumen del segundo miembro
.5
queda r e d u c i d a a los v a l o r e s u (p.)
s i e n d o p £ fi el punto de a p l i c a c i ó n de la c a r g a
u n i d a d . El r e s u l t a d o es c o n o c i d o como teorema de S O M I G L I A N A y e s t a b l e c e una f ó r
-
muía de r e p r e s e n t a c i ó n p a r a los m o v i m i e n t o s .
u (p.)
-Tr *
= -
T
*
u +
T
68
X
u
+
T
u
*
p
£
fi
1.5.2
fi
6 ft
Un p r o c e s o de paso al l i m i t e y la e s p e c i f i c a c i ó n de los v a l o r e s p r i n c i p a l e s de
'las integrales permite e s c r i b i r
C U (P.) = - 1
u
(P4 Q) _
'
i
5a
(Q) +
T
6
Q
i
i
(Q)
ZL
*
(P.Q)
i
X T ( q ) ZL* ( p \ )
i q
a
P.
p
T
q
e
e
6
n
1.5.3
a n
O b s e r v e s e que la ú l t i m a i n t e g r a l ( s o b r e fi) no c o n t i e n e ninguna i n c ó g n i t a del problema p o r lo que su v a l o r se puede c a l c u l a r . Es más, en el c a s o e l á s t i c o l i n e a l e i s ó t r o p o , p a r a las s o l i c i t a c i o n e s de volumen h a b i t u a l e s (peso p r o p i o , f u e r z a c e n t r í f u g a , t e m p e r a t u r a ) , esa i n t e g r a l se puede t r a n s f o r m a r en o t r a s de c o n t o r n o . E s t á c l a r o
pues que en la e x p r e s i ó n I . 5 . 3 s ó l o a p a r e c e n i n c ó g n i t a s en el c o n t o r n o del d o m i n i o
-
p o r lo que se puede a p l i c a r la f i l o s o f í a de B E R G M A N y p e n s a r en una a p r o x i m a c i ó n a=
los v a l o r e s de c o n t o r n o . E l l o se hace u t i l i z a n d o la f i l o s o f í a de los elementos f i n i t o s v
h í b r i d o s , esto es a p r o x i m a n d o tanto u como T y ambos con f u n c i o n e s de pequeño sopo_r
te
y
<>
t
respectivamente.
Al poner
u (Q)
=
V
T (Q) =
9
(Q)
T
A
(Q) P
X T (q) u *
( p , q)
1.5.4
= F
se obtiene
c ..u (P )
+[
(P.,
Q)
Y
T
]
A
6 ti
2 L * (P
Q) j ) T
P + F
.5.5
6 ti
A c o n t i e n e v a l o r e s de u en- l o s puntos P , P , . . . . P en que se ha d i s c r e 1
2
h
t i z a d o el c o n t o r n o y p o r tanto la e x p r e s i ó n l . 5 . 5 es un s i s t e m a de e c u a c i o n e s
A A
= B
P
+
F
El p r o c e d i m i e n t o de c á l c u l o de los elementos de A y B
se e s p e c i f i c a a lo l a r -
go del t r a b a j o . C onviene i n d i c a r aquí que el p r e c i o pagado p o r la d i s c r e t i z a c i ó n de tan
solo el c o n t o r n o son m a t r i c e s l l e n a s y no s i m é t r i c a s pues ¥
^ ZL . La u t i l i d a d del uso
de las f u n c i o n e s de pequeño s o p o r t e queda l i m i t a d a en este c a s o a d o t a r de s i g n i f i c a d o =
f í s i c o a los c o e f i c i e n t e s
A pues al igual que en el c a s o de los elementos f i n i t o s se cum
pie la e x p r e s i ó n I .2.1 4 p a r a el c a s o I i n e a l , esto e s ,
J
<PJ
h
=
6
jh
Aunque en algunos c a s o s (vg: elementos s i n g u l a r e s ¥ ^ 4> ) es c o s t u m b r e tomar
y
=
v
<
"J> lo que no i m p l i c a nada r e s p e c t o a la dependencia f u n c i o n a l de u y T ya que la=
i n t e r p o l a c i ó n se r e a l i z a independientemente como c o r r e s p o n d e al c a s o de elementos
-
híbridos.
Una vez c o n o c i d o s los v a l o r e s de c o n t o r n o es e v i d e n t e que una s u s t i t u c i ó n en
la e c u a c i ó n I . 5 . 2
conduce a los v a l o r e s en los puntos i n t e r i o r e s que se d e s e e .
Los d e t a l l e s t é c n i c o s s e r á n expuestos en d e t a l l e más a d e l a n t e .
. , 1 . 6 ' . . - T R A N S F O R M A C I O N DE LA E C U A C I O N DE N A V I E R EN UNA E C U A C I O N I N T E G R A L A T R A V E S DE LA T E O R I A DE D I S T R I B U C I O N E S
Como se ha i n d i c a d o en los a p a r t a d o s a n t e r i o r e s , la base del método de los
-
elementos de c o n t o r n o se r e d u c e a la t r a n s f o r m a c i ó n de las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a
-
les c l á s i c a s , que d e f i n e n el c o m p o r t a m i e n t o del s ó l i d o , ya sea en r é g i m e n e l á s t i c o ó e l a s t o p l á s t i c o , en e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s s o b r e el c o n t o r n o del d o m i n i o , ó en los
-
casos más d e s f a v o r a b l e s , a e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s d e f i n i d a s algunas de e l l a s en el
-
c o n t o r n o , y el r e s t o en todo el d o m i n i o .
¡
E s t e t r a t a m i e n t o , como se d e d u j o en I . 2
de las e c u a c i o n e s de campo según el s e n t i d o de
s i g n i f i c a r e a l m e n t e la r e s o l u c i ó n s o l u c i ó n d é b i l , ampliamente u t i l i z a -
da en r e s o l u c i ó n de ecuaciones d i f e r e n c i a l e s .
Un p l a n t e a m i e n t o a l t e r n a t i v o , elegante y que d e s c r i b e muy bien el t i p o de ecua
c i o n e s i n t e g r a l e s que se c o n s i g u e n , es mediante el uso de la t e o r í a de c o n v o l u c i ó n
-
de d i s t r i b u c i o n e s , que se d e s a r r o l l a r á a c o n t i n u a c i ó n .
La e c u a c i ó n de N a v i e r p a r a el c a s o e l á s t i c o , tiene la f o r m a ya conocida
X
vx ( v .u) + G v.( v x u) + G
V.(V
x u)T = - X
en
fi
1.6.1
E s t a e x p r e s i ó n puede también p o n e r s e en f o r m a de e c u a c i ó n f u n c i o n a l como
A u = - X
en
^
1.6.2
donde u y X r e p r e s e n t a n f u n c i o n e s t e n s o r i a l e s de p r i m e r o r d e n c o r r e s p o n d i e n t e s a los movimientos y f u e r z a s de volumen en cada punto del d o m i n i o , y A es un f u n c i o n a d
t e n s o r i a l t a m b i é n , c o n t r a v a r i a n t e de segundo o r d e n que podemos d e f i n i r como
A = xvX(v.
siendo
) + GV. ( v x
) + GV.(V*
)T
i
6
3
v x\ el o p e r a d o r g r a d i e n t e y V. el o p e r a d o r d i v e r g e n c i a .
i
Además de la e c u a c i ó n
{ . 6 . 2 , es n e c e s a r i o que se cumplan las c o n d i c i o
-
nes de c o n t o r n o d e f i n i d a s en la f o r m a s i g u i e n t e :
u = u
t =a .
í
í¡
u
en 6 n
u
J
v
= Ce
U { O
t
u =1
en 6
fit
4
= { !!
donde C
es el o p e r a d o r de Lamé que p e r m i t e p a s a r de m o v i m i e n t o s a t e n s i o n e s en
e
un punto del d o m i n i o , y v i e n e d e f i n i d o p o r la e x p r e s i ó n :
C^ = xv • ( V-
y 6 o, y
u
6 Sí
t
son
) + G v. ( v x
) + G v . ( Vx
)T
1.6.5
' a s p a r t e s del c o n t o r n o del d o m i n i o donde se d e f i n e n las c o n d í c i o -
nes de c o n t o r n o en m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s r e s p e c t i v a m e n t e . N a t u r a l m e n t e p a r a que
el p r o b l e m a esté b i e n p l a n t e a d o , según el sentido f í s i c o us.ual es p r e c i s o que se i m pongan c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , y a sean e s e n c i a l e s ó n a t u r a l e s , en todos los puntos=
de é s t e , p o r lo que óft u U
t
=5í2.
En el e x t e r i o r del dominio los m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s han de s e r n u l o s , p o r =
lo que en d e f i n i t i v a la s o l u c i ó n de m o v i m i e n t o s s e r á una f u n c i ó n d i s c o n t i n u a en
Sft.-
Realmente si u es continua y d e r i v a b l e en el i n t e r i o r de fi , como de hecho debe s e r l o , papa g a r a n t i z a r la c o m p a t i b i l i d a d de m o v i m i e n t o s , la s o l u c i ó n que t r a t a m o s de b u s c a r es la c o r r e s p o n d i e n t e a una d i s t r i b u c i ó n con
s o p o r t e en ft , que toma v a l o -
r e s i g u a l e s a u en el i n t e r i o r de Q y c e r o en el e x t e r i o r . E s t a d i s t r i b u c i ó n es precj_
sámente (H (
) u ) , donde H ( f i ) es la d i s t r i b u c i ó n de H e a v i s i d e d e f i n i d a s o b r e el do
m i n i o , también denominada f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a del d o m i n i o n .
i
i
A p l i c a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n el o p e r a d o r A a la d i s t r i b u c i ó n a n t e r i o r ,
tenien-
do en cuenta la e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a de una d i s t r i b u c i ó n d e f i n i d a en un dominio
fí .
3
m
f = D
m
m-1
f + a
0
1
donde o , a . . . .
5 , 6'
6
i^I
1
a
m
(f) 6 + a
m-2
,
6+
+
a
0
6
(m-1)
. _ _
1.6.6
son las f u n c i o n e s s a l t o en el c o n t o r n o 5 fide la f u n c i ó n f y
-
son r e s p e c t i v a m e n t e la d i s t r i b u c i ó n 6 de D i r a c en el c o n t o r n o y -
sus s u c e s i v a s d e r i v a d a s .
Con esta e x p r e s i ó n , y las d e f i n i c i o n e s de d i s t r i b u c i ó n y d e r i v a d a de una d i s t r i b u c i ó n , podemos c a l c u l a r el v a l o r de A (H ( fi) u) que b u s c a m o s . R e a l i z a r e m o s
-
el c á l c u l o d e una d e r i v a d a segunda de e s t a d i s t r i b u c i ó n (que son las de o r d e n más a l t o en el o p e r a d o r A) y p o s t e r i o r m e n t e g e n e r a l i z a r e m o s el r e s u l t a d o a los o p e r a d o
r e s g r a d i e n t e y d i v e r g e n c i a , p a r a t e r m i n a r e x p r e s a n d o el o p e r a d o r A . P a r a e l l o . tomaremos el c o n v e n i o de e n c e r r a r e n t r e cosrchetes las d i s t r i b u c i o n e s y e n t r e l i a
-
ves las f u n c i o n e s , que en n u e s t r o caso s e r á n f u n c i o n e s c o n t i n u a s con p r i m e r a d e n
vada continua en el i n t e r i o r de
es d e c i r f u n c i o n e s C^ ( r¿ ) .
La e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a segunda de la d i s t r i b u c i ó n
H ( fi) u
respecto -
a la c o o r d e n a d a x
m
puede c a l c u l a r s e mediante el c o n c e p t o usual de d e r i v a d a de una
distribución,
( [ 3 (H ( n ) u ) ] ; v). o f n x
m
L^ ( n )
= - ( H ( ñ ) u ,
D
m
1.6.7
v). 2 , *
L ( ¡2)
donde v escuna f u n c i ó n C ^ ( fi), es d e c i r i n f i n i t a m e n t e d e r i v a b l e , con d e r i v a das de c o n t o r n o de todos los o r d e n e s y s o p o r t e compacto que c o n t i e n e a
fi.
La d e r i v a d a segunda de la d i s t r i b u c i ó n tiene una f o r m a i d é n t i c a
( [ 3 2 ( H ( n ) u ) ] , v). 2 , , = ( - 1 ) 2
m
L ( fl )
donde (
( H ( f l ) u , D 2 v), 7 . ,
m L M n)
,
) 2 , > es el p r o d u c t o e s c a l a r de f u n c i o n e s en el e s p a c i o de H i l b e r t de
L ( n)
las f u n c i o n e s de c u a d r a d o i n t e g r a b l e , con s o p o r t e Q .
E s t e ú l t i m o v a l o r puede c a l c u l a r s e a p a r t i r de la segunda f ó r m u l a de G r e e n
como sigue
( H (n) u, D
m
v) 2 / \
L (n)
u
a
u
n
D2U
d fl =
D x'
m
^) eos t( v , x
D u
r^
Dx
m
a
m
) ^ds
D x
m
-^
2
D x
m
v
d
,
d fi
Dv
(u
9, +
6
fi
Dx
m
donde se han supuesto u y v f u n c i o n e s de v a r i a b l e r e a l , y eos ( v , x ) r e p r e s e n t a el
m
coseno del ángulo f o r m a d o p o r la n o r m a l del c o n t o r n o en el punto de campo y el eje=
x
m
.
R e c o r d a n d o que
( tu 3
Dv
. M « ) ] , v) 2
m i
L { " ;
*6 »o
Dx
eos ( v , x
) ds
m
m
se t i e n e en d e f i n i t i v a
[3
m
( H (A) u ) l
= H (A)
D2U
- ( [ u a
Dx'
m
m
( 6( M
- [ - D - u — « ( fi))c.os(vx )
^
/
m
Dx
m
1.6.8
que es i d é n t i c a a la e x p r e s i ó n
1.6 . 6 , teniendo en cuenta el v a l o r de las f u n c i o n e s
s a l t o en este c a s o .
U t i l i z a n d o a h o r a esta e x p r e s i ó n es p o s i b l e c a l c u l a r cada uno de los operad_o
r e s u t i l i z a d o s , así
[ * (H ( n) u) ]
= H ( n) | V . u
-[
( V . u) 6(
n) ]
1.6.9
[ W ( H ( f i ) u) ] = H ( fi)
Vx u
- [ ( vx u) 5(
Si)
]
y las o p e r a c i o n e s de segundo o r d e n es f á c i l c o m p r o b a r que q u e d a r í a n
Vx
[ v. [ H ( fi) u ] ]
= H (fi)
-
7.
vx ( v. u)
- Vx [ ( v. u) s ( f i )
]
-
fi) ]
-
[ ( v. ( 7 . u)) 6 ( f i ) ]
[vx [H (fi)u ] ] = H(fi)
v. ( Vx u)
V
. [ ( v x u)
<S(
[( v . ( V x u)) 6( fi) ]
V.
[ v x [ ( H ( fi) u ) T ] ]
= H (fi)
v. ( v x u)
T
- V. [ ( v x U ) T 6 (fi) ]
-
- [ ( v . ( V x u ) T <5 ( f i ) ]
i. 6. í 0
donde 6 ( f i ) es la d i s t r i b u c i ó n de D i r a c en la s u p e r f i c i e
5n .
El hecho de u t i l i z a r v a l o r e s de u en el c o n t o r n o , supone que estamos b u s cando f u n c i o n e s u en un e s p a c i o de S o b o l e v , o m e j o r una d i s t r i b u c i ó n , como he 1 2 , N
mos i n d i c a d o , y no simplemente una f u n c i ó n L
( fi) ya que en este c a s o 6 fi no t i e -
ne s e n t i d o pues es un c o n j u n t o de medida nula en IR n . Estamos pues en busca de
la misma s o l u c i ó n d é b i l que buscamos en I . 2 .
S i a h o r a i n t r o d u c i m o s todos los r e s u l t a d o s de
1.6 . 1 0 en la a p l i c a c i ó n
del o p e r a d o r A a la d i s t r i b u c i ó n (H ( fi) u ) , q u e d a r á
[A[ H (fi) u ] ]
= [ H (fi) - A u
] -
X [ V x t ( v . u)6 (fi) ]
- G [ V. [ ( v x u) 6 ( f i ) ] ]
] -
+ G [ V, [ ( v x u)
T
6 (fi)]]
-
-
1.6
-
X [v
+ G [
V
( V- u) 6 ( n) ]
.
(vxu)
T
- G [ V . (v
X
u) 6 ( n ) ] +
6 (fl)]
1.6.11
y agrupando t é r m i n o s .
[ A [ H (i) u ] ]
= [ H (fi) A u
]-[t
C [ u «( fi) 11 - [ ( C
u) « ( « ) 1
1.6.12
T e n i e n d o a h o r a en cuenta que A u
= - X , si s u s t i t u i m o s en la e x p r e s i ó n
a n t e r i o r se t e n d r á
[A
[H ( f i ) u ] ]
= - [ H (fi)
X 1~
C [ u
]]
-
[ (C
u) « ( " ) !
1.6.13
donde los o p e r a d o r e s
donde
C y C se d e f i n e n como
e
e
*C
=
XV x ( v .
C
=
Xv. ( V.
) + G V. ( v x
) + G v. ( V x
) + GV.(v
)T
x
) + G v. ( V x
)
T
1.6.14
C
es el o p e r a d o r adjunto del C , según la n o t a c i ó n de H ó r m a n d e r , y que
e
e
evidentemente no es a u t o a d j u n t o .
La e x p r e s i ó n
| . 6 ' * 1 3 r e p r e s e n t a pues la e c u a c i ó n de N a v i e r p a r a el caso
1-6
e l á s t i c o en t é r m i n o s de d i s t r i b u c i o n e s .
La s o l u c i ó n de esta ecuación d i f e r e n c i a l en d i s t r i b u c i o n e s es p o s i b l e p l a n t e a r l a a t r a v é s de la t e o r í a de c o n v o l u c i ó n . Efectivamente si dotamos al espacio D' de las d i s t r i b u c i o n e s de la o p e r a c i ó n " p r o d u c t o de c o n v o l u c i ó n " d e f i n i d o como
(f * g , v)| 2
L
1.6.15
(n)
adquiere la c a t e g o r í a de un álgebra de c o n v o l u c i ó n Q ' , donde es posible p l a n t e a r ecuaciones de c o n v o l u c i ó n .
.i
Es bien conocido que en el caso de e x i s t i ' r s o l u c i ó n fundamental de un ope r a d o r d i f e r e n c i a l , E , definida esta como
A E = 6
1.6.16
c o n f i l a d i s t r i b u c i ó n de D i n a c , la ecuación en d i s t r i b u c i o n e s Af = g tiene solución=
ú n i c a , que viene definida p o r el p r o d u c t o de c o n v o l u c i ó n de la s o l u c i ó n fundamental por la ecuación d i f e r e n c i a l .
En n u e s t r o c a s o , si E es la s o l u c i ó n fundamental buscada, la ecuación de
c o n v o l u c i ó n quedará definida en la forma
E * A [H ( n ) u ] = - E * [
- E *
H ( n ) • X }]
[ (C
- E *
1
C [ u ó ( n) ] -
u)6 ( n ) ]
que c o n s t i t u y e precisamente la ecuación que se iba buscando.
1.6.17
1,6'
E f e c t i v a m e n t e , si E es la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l , en un punto P
E * A [H ( n ) u ]
L6.18
= H ( f l ) u (P)
. c o n s t i t u y e la s o l u c i ó n b u s c a d a . E s t a s o l u c i ó n puede e n t e n d e r s e como la supe£
p o s i c i ó n de t r e s p o t e n c i a l e s de c o n v o l u c i ó n , el p o t e n c i a l de f u e r z a s de volumen
conocido- E *
[ H ( -fl)
mental - E * [ (C
e
X
-
1 , un p o t e n c i a l de s i m p l e capa s o b r e la s o l u c i ó n funda
u) 6 ( f i ) J , y un p o t e n c i a l de doble c a p a , - E * l C
e
Lu
R e c o r d a n d o la e x p r e s i ó n de p r o d u c t o de c o n v o l u c i ó n , cada uno de los po
-
t e n d a l e s a n t e r i o r e s puede e x p r e s a r s e como s i g u e :
- E * [ H (fl)
X
E ( x , y) X (y) d f i
] = -
1.6.19
- E * [ (C
e
E ( x , y) ( C
u) 5 ( n) ] = -
6
e
u (y) ) ds
y
a
y p o r ú l t i m o el p o t e n c i a l de doble capa puede r e a l i z a r s e teniendo en c u e n t a , que la c o n v o l u c i ó n de una d i s t r i b u c i ó n p o r o t r a d i s t r i b u c i ó n a la que se a p l i c a un o p e r a d o r puede c a l c u l a r s e a t r a v é s de
1.6.20
(u x A v , 4>) = — ( A u * v , 4 > )
con lo que
- E * *C [ u 6 ( fi) ] = (C
simplemente r e c o r d a r e m o s que C
E) * (u « ( f i ) ) ,
e
y C
e
eran adjuntos,
1.6.21
E n d e f i n i t i v a podemos e x p r e s a r el p o t e n c i a l de d o b l e capa como
- E *
C
e
[u
(C
(n ) ] =
e
E) ( x , y) u ( y ) ds
1.6.22
y
6n
S u s t i t u y e n d o las r e l a c i o n e s • | . 6
.18,
I.6
.19 y
I.6
.22 en
l.6.-17se
consigue la e x p r e s i ó n i n t e g r a l d e s e a d a , y que evidentemente v u e l v e a r e p r e s e n
-
t a r la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a .
E ( x , y) X (y) d
u (x) = -
n
y
C
+
n
e
E ( x , y) u (y) ds
y
-
6n
E ( x , y) C
e
u (y) ds
y
I.6.23
6 Si
La o b t e n c i ó n de una s o l u c i ó n fundamental es pues un paso p r e v i o a r e s o l v e r , p a r a poder p l a n t e a r el p r o b l e m a en la f o r m a a n t e r i o r . E s t e c á l c u l o es el que
se a b o r d a r á en el e p í g r a f e s i g u i e n t e , p a r a los d i s t i n t o s c a s o s que puedan p l a n
t e a r s e en los p r o b l e m a s e l á s t i c o s .
-
1 . 7 . - S O L U C I O N F U N D A M E N T A L DE LA E C U A C I O N N A V I E R
Se ha i n d i c a d o en el a p a r t a d o a n t e r i o r la n e c e s i d a d de c o n s e g u i r la s o l u c i ó n =
fundamental de N a v i e r p a r a los d i s t i n t o s c a s o s que se pueden p r e s e n t a r en la p r á c t i c a ,
como son los c a s o s p l a n o s , el c a s o t r i d i m e n s i o n a l y el a x i s i m é t r i c o . P a r a la c o n s e c u c i ó n de e l l a s s e g u i r e m o s p a r a los dos p r i m e r o s el método de H o r m a n d e r , m i e n t r a s que
debido a la d i f i c u l t a d de su manejo p a r a c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s u t i l i z a r e m o s el proce_
dimiento de p o t e n c i a l e s v e c t o r i a l e s , y p a r t i c u l a r m e n t e
el de G a l e r k i n , y t r a n s f o r m a -
c i o n e s i n t e g r a l e s p a r a c a l c u l a r la s o l u c i ó n fundamental en el c a s o a x i s i m é t r i c o .
- Caso t r i d i m e n s i o n a l . Método de H o r m a n d e r -
E x i s t e una g r a n c a n t i d a d de métodos p a r a el c á l c u l o de la s o l u c i ó n f u n d a m e n tal de un o p e r a d o r d i f e r e n c i a l , s i n e m b a r g o , p a r e c e que el método de H f t r m a n d e r j p o r su simpl i c i d a d 3 e s el ideal p a r a el caso que nos o c u p a .
S i denominamos A a un o p e r a d o r d i f e r e n c i a l m a t r i c i a l , tal como el que esta
mos interesados, de c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s y de d e t e r m i n a n t e d i s t i n t o de c e r o , de
-
a c u e r d o con el teorema de H o r m a n d e r , este o p e r a d o r t i e n e como s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l .
donde A
es la m a t r i z de c o f a c t o r e s de la m a t r i z A y e es la s o l u c i ó n fundamental del =
o p e r a d o r | A | , es d e c i r la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n
f A | e = 6 (P)
P a r a el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , según la e c u a c i ó n
1.7.2
I . 6 . 3 se tenía que el o p e r a
1.7
d o r de N a v i e r e r a
A = XV x ( v .
) + G v . ( V x
) + G v « ( v x
)
T
y d e s a r r o l l a n d o en f o r m a r n a t r i c i a l tenemos:
3
G A + ( X + G)
3
ay 1
A =
3
+ G)
(X
3
( X
+ G)
3y1
3y
3
+ G)
3y
3
3
9
y
3
(X
( X
!
2
3y
+ G)
( X
+ G)
3 y2
i
3
3y
3
3
y2
2
G A + ( X+G)
3 y3
3
y
—
3 y
+ G)
3
3 y2
G A + ( X + G)
3 y2 3 y i
( X
3
3 y3
3
3 y
3
3
3 y3
1.7.3
con lo que
2
3
| A | = G ( X + 2 G) A
1.7.4
La s o l u c i ó n fundamental del o p e r a d o r a n t e r i o r v i e n e dada p o r e j e m p l o p o r
Lachat
[83
] en la f o r m a
I
3x2
1.7.5
5
2 ,
ir G (X + 2 G)
1
D e s a r r o l l a n d o pues en f o r m a i n d i c i a l la e c u a c i ó n se t i e n e que
E.. = -
( ( X+ 3 G) 6 . . + ( X+ G)
1
8 * G U + 2 G ) r
U
r,.
r,.)
'
U
1.7.6
J
donde
= 1I
siendo x
y
-
_ x I1 = [
-
(y
i
- x.)
i
(y. - x.) ]
i
i
1.7.7
2
el v e c t o n d e c o o r d e n a d a s del punto P donde l o c a l i z a m o s la 6 de D i r a c , e y -
el punto de campo donde p r e t e n d e m o s c a l c u l a r el v a l o r de la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l . P o r
último
r,. =
i
y. - x .
i
i
r
es la d e r i v a d a de la d i s t a n c i a r r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a i de punto de campo y .
S u s t i t u y e n d o Xy G en f u n c i ó n de E y v se llega a la e x p r e s i ó n más c o n o c i d a de
K e l v i n , c o r r e s p o n d i e n t e a los m o v i m i e n t o s debidos a una c a r g a puntual en el e s p a c i o i n f i n i t o y que c o n c u e r d a evidentemente con la s o l u c i ó n fundamental antes c a l c u l a d a .
iii
E.. = - U..
U
U
\
M
- U + vj
8 t t E ( 1 - V) r
, .
(3 - 4 v)
6
+
ij
(y. - x.) ( y . - x.)
i
i
j
j
r
2
I .7.8
donde la i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a de U
v e n d r í a dada p o r el movimiento que a p a r e c e en un
ij
punto y , en la d i r e c c i ó n i cuando s o b r e o t r o punto x se a p l i c a una c a r g a unidad en el =
I .7
e s p a c i o i n f i n i t o en la d i r e c c i ó n j , y el s i g n o menos v i e n e como c o n s e c u e n c i a de que a
la e c u a c i ó n de N a v i e r se e x p r e s a en la f o r m a
A
ciones
u = - X
S u s t i t u y e n d o esta e x p r e s i ó n en la I . 6 . 1 2 e i n t r o d u c i e n d o las s i g u i e n t e s n o t a í
i
:
Ce E ( x , y) = - T . . ( x , y)
U
1.7.9
Ce u (y) = t (y)
se t i e n e
6
'j
u (x)
¡
=
U
|J
( x , y) X
i
(y) d n
y
-
T . . ( x , y) u. (y) ds
+
IJ
•
y
6 SI
U . . ( x , y) t . (y) ds
IJ
I
1.7.10
y
6 ti
que es la misma e x p r e s i ó n que se obtuvo en
I.5.2.
- C a s o b i d i m e n s i o n a l . Método de H o r m a n d e r -
P r o c e d i e n d o de f o r m a análoga al c a s o a n t e r i o r , teniendo en cuenta que los
-
c a s o s de t e n s i ó n plana y d e f o r m a c i ó n plana t i e n e n i d é n t i c a e x p r e s i ó n de la e c u a c i ó n de
N a v i e r excepto el cambio c o n o c i d o en en el c o e f i c i e n t e de P o i s s o n , se t e n d r í a que el o p e r a d o r d i f e r e n c i a l en este c a s o v i e n e dado p o r la m a t r i z .
1.7
3
G A + (A + G)
3
C A + G)
2 y 1 s y1
A
3
3 y
3
l
3y
2
=
3
( ¡ A + G) —
i
3y_
3
G A + ( X + G)
3 y
2
3
3
Sy2
3y2
J-7.11
y el d e t e r m i n a n t e
¡A | = G ( U 2 G )
A'
1-7.12
c u y a s o l u c i ó n fundamental es
e =
16 * G ( X + 2 G)
r
2
1
(2 In —
r
1.7.13
+ 1)
S u s t i t u y e n d o de nuevo 6 y G p o r E y v y d e s a r r o l l a n d o la e x p r e s i ó n I . 7 . 1 ten_
dremos
E . . = — U..
U
»J
1 +
v
4 TT E (1 - v)
(3 - 4 v)
6
U
In 1 / r
+ r,
d o n d e las v a r i a b l e s t i e n e n el mismo s i g n i f i c a d o que a n t e r i o r m e n t e .
i
r,
l
J I
I .1 . 1 4
- Caso a x i s i m é t r i c o . T r a n s f o r m a c i o n e s integrales -
P a r a el a n á l i s i s a x i s i m é t r i c o la c a r g a puntual
A
K
(P) se g e n e r a l i z a a c a r g a s
a n u l a r e s como se m u e s t r a en la F i g . 1 . 7.1 .
P a r a el c á l c u l o de la s o l u c i ó n fundamental de la e c u a c i ó n de N a v i e r puede s e g u i r s e una t é c n i c a muy empleada, c o n s i s t e n t e en la r e s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n de Na
-
v i e r e x p r e s a d a en f u n c i ó n de los v e c t o r e s de G a l e r k i n , e c u a c i ó n A1 . (6) p a r a poste
-
r i o r m e n t e c a l c u l a r los m o v i m i e n t o s a p a r t i r de la e c u a c i ó n A 1 . 1 0
J
Con este esquema se han d e s a r r o l l a d o dos a p r o x i m a c i o n e s . La p r i m e r a se r e duce a la i n t e g r a c i ó n en el a n i l l o de la e c u a c i ó n de movimientos c o r r e s p o n d i e n t e s a la=
c a r g a p u n t u a l , y en la segunda c a l c u l a el v e c t o r de G a l e r k i n h a c i é n d o l o de una f o r m a d i r e c t a . E s t a ú l t i m a es la que se e m p l e a r á en este a p a r t a d o .
r
Se c o n s i d e r a una c a r g a a n u l a r r a d i a l , F
z,_F
y una c a r g a a n u l a r en la d i r e c c i ó n =
, pudiendo e x p r e s a r s e ambas en f u n c i ó n de la 6 de
F
r
= (F
r
,
0,
0) = (
6_(_R
-_rLZ_-z)
2 irr
,
0,
D i r a c de la s i g u i e n t e f o r m a
0)
I.7.15
F Z = (0,
0,
F )= ( 0 ,
0,
6 (R - r , Z - z)
2 TT r
)
donde R y Z son las c o o r d e n a d a s de! punto de a p l i c a c i ó n de la c a r g a ,
independiente
de 6 p o r s e r a n u l a r , y r y z son las c o o r d e n a d a s del punto de camp'o.
r
N a t u r a l m e n t e debido a las p r o p i e d a d e s de la f u n c i ó n de D i r a c las c a r g a s ^ F
F Z s a t i s f a c e n las c o n d i c i o n e s .
y
,
i
F
F
r
z
=
0
R, Z
=
¿ r,
z
Z ¿ r,
z
0
R,
1.7.16
F
V
F
r
z
dV = 1
dV
donde V es c u a l q u i e r volumen que i n c l u y a el a n i l l o de c a r g a , de c o o r d e n a d a s R , Z .
Resolvamos a h o r a la e c u a c i ó n de N a v i e r p a r a los dos c a s o s de c a r g a s c i t a d o s
r
z
el p r i m e r o es F
= F
e , y el segundo F = F
e
donde e , e , e son los v e c t o r - r
z - z
- r - e
-z
r e s base en el sistema de c o o r d e n a d a s a x i s i m é t r i c o , de los que hay que h a c e r n o t a r que su d i r e c c i ó n no es c o n s t a n t e teniendo d e r i v a d a s r e s p e c t o a 6 en la f o r m a
i
j
Í
3e
r
e n0
86
r
3e
0
y
96
-e
r
r
3e
Z
^
q
^
39
E x p r e s a n d o la e c u a c i ó n de N a v i e r en f u n c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n según se
i n d i c a en el apéndice I , p a r a los dos c a s o s c i t a d o s t e n d r e m o s
4
r
A G
F
r
G
1.7.18
A
4
F
z
G
Como F
t i e n e componente s o l o en r la s o l u c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n , d e b [
do a las c o n d i c i o n e s ( 1 . 1 .17) se e n c o n t r a r á en el plano
( r , 6), y p o r o t r o lado debido
a la n a t u r a l e z a a x i s i m é t r i c a del p r o b l e m a la componente en
r
r
tanto G
es p a r a l e l o a F .
©debe s e r n u l a , p o r lo
P o r un ¡razonamiento a n á l o g o , p e r o más s e n c i l l o pues el eje z p e r m a n e c e
i n a l t e r a d o , se deduce que G
es p a r a l e l o a F Z p u d i e n d o e s c r i b i r s e los v e c t o r e s de
-
-
G a l e r k i n como
Gr
-
= G
e
-r
r
1.1.19
GZ
-
= G
e
-z
z
P o r l o que la e x p r e s i ó n 1 . 1 . 1 8 puede e s c r i b i r s e p a r a el c a s o a x i s i m é t r i c o
(V
2
1/r2)
-
( V
2
- 1/r2)
G
=
-G
1.1.20
2
V
V
2
G
F
= -
z
G
donde
V
2
=
3
,
2
3 r
2
1
+
r
^
+
3 r
3
2
3 Z
2
, - o',
1.1.21
La s o l u c i ó n de e s t a s dos e c u a c i o n e s puede o b t e n e r s e a t r a v é s del uso de t r a n s
f o r m a c i o n e s i n t e g r a l e s y puede v e r s e p o r e j e m p l o en Massonet quedando en la f o r m a
RpJY
2
- 1)
=
Q
( Y)
£
1.1.22
8 ir 2 G
G
RrJ(Y
2
- D
z
8 Tí2 G
OJ(Y)
£
1.1.23
donde
Y = 1 +
y Q ]
~2
y Q,1
2
(Z - z ) 2 + (R -
r)2
2Rr
son f u n c i o n e s de L e g e n d r e , de segunda
1.1.24
e s p e c i e . A p a r t i r de e s t o s v e c -
t o r e s de G a l e r k i n , : es p o s i b l e el c á l c u l o de los m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s en c u a l q u i e r punto del d o m i n i o , debidos a una c a r g a u n i d a d . El d e s a r r o l l o p o s t e r i o r m e n t e se reali_
za en el c a p í t u l o
IV.
I I F O R M U L A C I O N DEL M E T O D O E N E L A S T I C I D A D
11.1.-
TRIDIMENSIONAL
INTRODUCCION
Como se ha i n d i c a d o en el c a p i t u l o a n t e r i o r , la base del método de los
elementos de c o n t o r n o la c o n s t i t u y e la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a .
6 . . u. (x) =
ki i
6 fi
U.. ( x , y) t. (y) ds ik
t
y
u., ( x ,
ik
T . ( x , y) u. ds +
ik
i
y
6 fi
11.1.1
y) X . (y) d s
i
y
E s t a e c u a c i ó n p r o p o r c i o n a el m o v i m i e n t o u. en c u a l q u i e r punto x del domi nio fien f u n c i ó n de t r e s i n t e g r a l e s , que p o r analogía en su f o r m a , con las que apa
r e c e n en la t e o r í a de fuentes p u n t u a l e s d i s t r i b u i d a s en la t e o r í a del P o t e n c i a l , se
las suele denominar como p o t e n c i a l e s de s i m p l e y doble capa las dos p r i m e r a s y como un p o t e n c i a l de f u e r z a s de volumen la
ultima
.
E s t a e c u a c i ó n v e c t o r i a l que r e a l m e n t e c o n s i t u y e un sistema de t r e s e c u a c i o n e s de F r e d h o l m de segunda e s p e c i e , p e r m i t e pues c a l c u l a r el v a l o r del mo
-
vi.miento en un punto del d o m i n i o , c o n o c i e n d o los v a l o r e s de los m o v i m i e n t o s
-
u
i
(y) y t e n s i o n e s t. (y) en el c o n t o r n o ,
i
S i n e m b a r g o , en la m a y o r í a de las o c a s i o n e s también es n e c e s a r i o el cono
c e r las t e n s i o n e s en fi , p a r a lo cual se t e n d r á que a p l i c a r el o p e r a d o r de Lamé a=
la ecuación 1 1 . 1 . 1 . El hecho de que las i n t e g r a l e s sean s i n g u l a r e s p a r a x = y h a -
c e que en este c a s o a p a r e z c a n p r o b l e m a s a d i c i o n a l e s .
P o r ú l t i m o , y con o b j e t o de a p r o x i m a r el p r o b l e m a e x c l u s i v a m e n t e al conto_r
n o , se p l a n t e a r á la f o r m u l a c i ó n en é l , mediante la a p r o x i m a c i ó n del p u n t o s a fifi • .
E l o b j e t i v o de este c a p í t u l o , en d e f i n i t i v a , c o n s i s t e en p r e s e n t a r la f o r m u [ a
c i ó n completa del método, tanto en lo que se r e f i e r e en puntos del i n t e r i o r de fi , co
mo del c o n t o r n o
6fi
• A s i m i s m o , se p l a n t e a r á una a l t e r n a t i v a
ú t i l p a r a p a s a r la =
i n t e g r a l de f u e r z a s de volumen al c o n t o r n o en los c a s o s en que é s t a s tengan una e x p r e s i ó n s i m p l e que cumpla una s e r i e de r e q u i s i t o s .
I 1 . 2 . - M O V I M I E N T O S EN P U N T O S
INTERNOS
La e c u a c i ó n que p r o p o r c i o n a el v a l o r de los m o v i m i e n t o s en un punto x , del
dominio
es p r e c i s a m e n t e la e c u a c i ó n I I .1 .1 ó i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a . S o l o f a l -
ta pues p a r a que ésta quede d e t e r m i n a d a el e x p r e s a r los v a l o r e s de los t e n s o r e s
ik
-
ik
E l p r i m e r o de e l l o s , y como se v i ó en I . 7 c o r r e s p o n d e ,
exactamente a
-
la s o l u c i ó n fundamental del o p e r a d o r de N a v i e r y p a r a cada uno de los c a s o s que se
p r e s e n t a n en e l a s t i c i d a d i s ó t r o p a ( t r i d i m e n s i o n a l , plano y a x i s i m é t r i c o ) se c a l c u l ó =
en el a p a r t a d o c i t a d o .
F í s i c a m e n t e un elemento U , de este t e n s o r r e p r e s e n t a el movimiento en la
ik
d i r e c c i ó n i que a p a r e c e en un punto y del e s p a c i o i n f i n i t o , cuando en o t r o punto x se a p l i c a una c a r g a puntual unidadstnla d i r e c c i ó n k . U . r e p r e s e n t a pues el campo =
ik
de movimientos de la s o l u c i ó n de K e l v i n , como también se había i n d i c a d o .
La e x p r e s i ó n U , p a r a el caso t r i d i m e n s i o n a l , que nos o c u p a , se ik
obtuvo en 1 . 7 , en la f o r m a
U
=
[(3-4
16 (1 - v )
Gr
donde r = | | y - x | | , y r , .
r,
v
)
6
ik
+ r,. r, ]
i
k
11.2.1
r e p r e s e n t a n las d e r i v a d a s de la d i s t a n c i a | ( y - x)
con r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto de campo y .
C
e
E n cuanto al t e n s o r T , , había a p a r e c i d o al a p l i c a r el o p e r a d o r de Lamé,
ik
a t t e n s o r a n t e r i o r (vease I . 6 ) , c o r r e s p o n d í a pues a la f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a
de una i n t e g r a l p o t e n c i a l de doble c a p a , y f í s i c a m e n t e tenía un s e n t i d o análogo al de
U., en lo r e f e r e n t e a la s o l u c i ó n de K e l v i n , p e r o en este c a s o r e f e r i d o al campo de
ik
v e c t o r e s t e n s i ó n en el c o n t o r n o del d o m i n i o .
E l c á l c u l o de la e x p r e s i ó n de este t e n s o r se r e d u c e pues a c a l c u l a r la ex
presión C
e
U
¡k
-
, ó lo que es i g u a l :
T, = C U
= x n . ( v . U ) + G n. ( v x U ) + G n . ( v x U ) ' T
ik
e ik
- _ _ _
_ _ _
I 1.2.2
y en n o t a c i ó n ¡ n d i c i a l
T., = X U ,
ik
mk,m
n. + G (U , . + U
.)
i
ik, j
jk, i
n.
j
donde como s i e m p r e se a p l i c a el c o n v e n i o de í n d i c e s r e p e t i d o s y la
II .2.3
s i g n i f i c a de_
r i v a d a r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto de c a m p o y . S u s t i t u y e n d o en esta e x p r e s i ó n el v a l o r de U . d e f i n i d o en I I . 2 . 1 y teniendo en cuenta que
ik
_
r
'
a
r,
y. - x.
3y.
i
1
1
r
II.2.4
(r,.),. =
' J
r,. r,.
1—¿-
se l l e g a f á c i l m e n t e a la e x p r e s i ó n
6..
'
1
ik
8 ( 1 -
v)
r
2
+ (1 - 2 v) ( r , . n, - n. r , ( )
i k
i
k
I 1.2.5
Con e l l o q u e d a r í a d e f i n i d o el c á l c u l o de m o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s para
el caso t r i d i m e n s i o n a l . S i n e m b a r g o , o b s e r v a n d o las e x p r e s i o n e s de los t e n s o r e s
a n t e r i o r e s se a p r e c i a que p a r a y — x ,
-
es d e c i r cuando la d i s t a n c i a r t i e n d e a c e -
r o , la e x p r e s i ó n de los t e n s o r e s se hace i n f i n i t o , o lo que es i g u a l , e x i s t e una s i n g u l a r i d a d i n t r í n s e c a en los dos t e n s o r e s , y p o r tanto en todas las i n t e g r a l e s , e n el =
punto x , donde se c e n t r a la c a r g a u n i d a d .
E s t a s i n g u l a r i d a d , a p a r e c e r e a l m e n t e s o l o en la i n t e g r a l de v o l u m e n , ya
que en las de s u p e r f i c i e , nunca se a l c a n z a r á
-
. la d i s t a n c i a n u l a , ya que el punto x
se e n c u e n t r a en el i n t e r i o r del d o m i n i o , y el punto de campo en la s u p e r f i c i e de és_
te.
La i n t e g r a l de v o l u m e n , s i n e m b a r g o , sí es s i n g u l a r , con una s i n g u l a r i d a d
del t i p o de C a u c h y , p e r o que en este c a s o no p r e s e n t a tampoco p r o b l e m a , ya que c o r r e s p o n d e a una s i n g u l a r i d a d d é b i l en la e c u a c i ó n de F r e d h o l m .
E f e c t i v a m e n t e , si la s i n g u l a r i d a d es del t i p o de Cauchy
k ( x , y)
a
<>
i
(y) d n
V
II .2.6
donde k ( x , y) es una f u n c i ó n acotada de dos v a r i a b l e s en el d o m i n i o n , y r es la
d i s t a n c i a e n t r e los puntos x , y .
-
E n el c a s o en que
a
< n
II.2.7
con n el número de d i m e n s i o n e s del e s p a c i o fi (en n u e s t r o c a s o a = 1 , n = 3 ) , la
-
i n t e g r a l I I . 2 . 6 , es una i n t e g r a l i m p r o p i a que c o n v e r g e absolutamente en el l í m i t e i
siguiente:
lim
_kJ?l_y±_
e
r
fi
donde B
* (y)
e
J
B
G
11.2.8
y
(x)
(x) es la bola de r a d i o e y c e n t r a d a en el punto s i n g u l a r . E s d e c i r la inte
-
g r a l a n t e r i o r esta d e f i n i d a en el s e n t i d o del v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y .
E n el caso que nos o c u p a , p o r t a n t o , si entendemos la i n t e g r a l de v o l u m e n en el s e n t i d o del v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y , esta i n t e g r a l e x i s t e ya que la s i n g u l a r ^
dad que p r e s e n t a es d é b i l .
N a t u r a l m e n t e , si el d o m i n i o a h o r a se c o n s i d e r a
fi^-B
r r e s p o n d i e n t e , el c o n t o r n o ha v a r i a d o , siendo a h o r a S f i U á B
el c o n t o r n o de la bola B
G
( x ) , cuando e
e
G
(x) en el l í m i t e co
( x ) , siendo
6 B
G
(x)
0 . Las i n t e g r a l e s de c o n t o r n o s e r í a n
pues suma de d o s . La p r i m e r a de e l l a s está extendida a
y la segunda a 6 B
G
(x),
p e r o esta i n t e g r a l es c l a r a m e n t e n u l a , tanto p a r a el p o t e n c i a l de s i m p l e como de do_
ble c a p a . E f e c t i v a m e n t e en lo r e f e r e n t e al p r i m e r o , p o r s e r de nuevo una i n t e g r a l =
débilmente s i n g u l a r (a = 1 , n = 2 ) , la i n t e g r a l s o b r e la s u p e r f i c i e de esta bola es
c e r o . En cuanto al p o t e n c i a l de d o b l e c a p a , no o c u r r e igual s i n o que a = n = 2 ,
-
a p a r e c i e n d o una s i n g u l a r i d a d f u e r t e , que es n e c e s a r i o c a l c u l a r . La i n t e g r a l q u e d a -
ra
pues como:
T , u ds
=
¡k i
y
y
I im
e —0
1
^
/
x
—-X- T., ( 6 , dJ u.
2
ik
i
I im
e—»0
«B
« B e (x)
e
e
2
sen e d e d <>
j =
(x)
2 *
u. (x)
'
d
lím
e—Q,
T . , (e , <t>)
ik
sen e d 6
11.2.9
0
donde T , es la p a r t e del núcleo T
en la que se ha e l i m i n a d o la s i n g u l a r i d a d , tam ik
ik
bien denominada f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a de la i n t e g r a ! s i n g u l a r .
El v a l o r de esta i n t e g r a l es f á c i l m e n t e
c a l c u l a b l e teniendo en cuenta la e x -
p r e s i ó n 11.2.5 p a r a T , , y el r e s u l t a d o es c e r o como e r a de e s p e r a r .
ik
E n d e f i n i t i v a , es p o s i b l e p l a n t e a r la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a en undorriihio
fi
— I im
[ n- B
(x) 1
-
, s i e n d o x el punto donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d ,
-
e—0
simplemente teniendo en cuenta que la i n t e g r a l de volumen h a b r á que e n t e n d e r l a e n el s e n t i d o del v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y , que en este c a s o e x i s t e , ya que la singula_
r i d a d de esta i n t e g r a l es del t i p o d é b i l .
S i p a r a s i m p l i f i c a r r e a l i z a m o s el cambio de n o t a c i ó n
II.2.10
I im
e
—0
fi - B
e
(x)
La e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a extendida al d o m i n i o ft , que como se ha v i s t o c o r r e s p o n t
de exactamente a la e c u a c i ó n de p a r t i d a del método p a r a el caso de puntos i n t e r n o s ,
t e n d r á una e x p r e s i ó n i d é n t i c a a la 1 1 . 1 . 1 ya c o m e n t a d a , sierrpre teniendo en cuenta
que la i n t e g r a l de volumen es n e c e s a r i o e n t e n d e r l a según el s e n t i d o de Cauchy y
-
donde las e x p r e s i o n e s de los d i s t i n t o s t e n s o r e s U , y T , v i e n e n d e f i n i d a s p o r
ik
ik
I I . 2 . 1 y 11.2.5 respectivamente.
-
I 1 . 3 . - T E N S I O N E S EN PUNTOS
INTERNOS
E l s i g u i e n t e punto fundamental del método en e l a s t i c i d a d , c o r r e s p o n d e a
-
c á l c u l o del t e n s o r de t e n s i o n e s en los d i s t i n t o s puntos del d o m i n i o .
S i b i e n algunos a u t o r e s a u t o r e s c a l c u l a n estas t e n s i o n e s , a t r a v é s de un
p r o c e s o de i n t e r p o l a c i ó n en d i f e r e n c i a s una vez c o n o c i d o s los m o v i m i e n t o s en los
-
puntos i n t e r n o s en la f o r m a i n d i c a d a a n t e r i o r m e n t e ( C a t h i e y B a n e r j e e ) , el p r o c e d i m i e n t o , evidentemente más c o n s i s t e n t e con la f o r m u l a c i ó n g e n e r a l c o n s i s t i r á en apli_
c a r el o p e r a d o r e l á s t i c o di r e c t a m e n t e a la ecuacióni 1 1 . 1 . 1 . E s d e c i r , una vez cono
c i d o el v e c t o r
u (x) de m o v i m i e n t o s en un punto x del d o m i n i o donde se c e n t r a la s i n
g u l a r i d a d , se puede c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s mediante la e c u a c i ó n de Lamé.
a . (x) = X u :
ij
I'
II.3.1
6.. + G (u.;. + u.;.)
U
i J
J i
donde a h o r a el " ; " r e p r e s e n t a la d e r i v a d a r e s p e c t o a las c o o r d e n a d a s del punto x
al c o n t r a r i o que la
que como se i n d i c ó s i g n i f i c a d e r i v a d a r e s p e c t o a las c o o r d e
nadas del punto de campo y .
E s n e c e s a r i o pues el c a l c u l a r las d e r i v a d a s de los m o v i m i e n t o s r e s p e c t o a
las c o o r d e n a d a s del punto x . A p l i c a n d o el o p e r a d o r d e r i v a d a a la e c u a c i ó n ante
-
r i o r se t i e n e
U. ;
in m
u
t . ds
i
y
i
ds
y
+
6a
+
3
U , X
ik
i
m «
ds
y
II.3.2
El hecho de p o d e r d e r i v a r d e n t r o de las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e , es evide_n
t e , ya-que no son i n t e g r a l e s s i n g u l a r e s , s i n embargo la d e r i v a d a de la i n t e g r a l de=
volumen ha de e n t e n d e r s e como la d e r i v a d a de una i n t e g r a l s i n g u l a r del t i p o de Cau
chy.
E s t e concepto de d e r i v a d a de i n t e g r a l e s fue d e s a r r o l l a d o p o r M i k h l i n y aplj_
cado • p o r p r i m e r a vez p o r B u i a l método de los elementos de c o n t o r n o , en p l a s t i c i d a d . E n d e f i n i t i v a es n e c e s a r i o , c a l c u l a r la d e r i v a d a de la i n t e g r a l de volumen ante
rior.
J
Según M i k h l i n , la d e r i v a d a de una i n t e g r a l s i n g u l a r entendida en el sentido=
de C a u c h y , que sea c o n t i n u a e v i d e n t e m e n t e , como lo es ésta al t r a t a r s e de una s i n g u l a r i d a d del t i p o d é b i l se d e f i n e como
% ( x , y) C (y) d R
=
y
m
K (x)
lim
e—0
c
£
y)
3 C
"37T
m
lim
r
- o
>„
m
B
ds
e
S
d
fí
y.
-
(x)
II.3.3
y
«B (x)
e
es d e c i r la i n t e g r a l de la d e r i v a d a también entendida en el s e n t i d o de C a u c h y , me nos un c i e r t o t é r m i n o c o r r e s p o n d i e n t e a la s i n g u l a r i d a d , en el que r ,
la d e r i v a d a de la d i s t a n c i a || y - x || r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a y
m
representa
del punto de c a m -
po.
A p l i c a n d o este concepto a la e c u a c i ó n I I . 3 . 2 , ésta se c o n v e r t i r á en
6 , . u.;
ki i m
U ,;
t. ds
ik m i
y
T
-
; u ds +
ík m ¡
y
U ,; X d
ik m i •
fi y
6 fi
6 fi
- X
(x)
'
U
lim
e—
ik
r,
m
ds
II.3.4
y
6B (x)
e
donde de nuevo se ha hecho uso del cambio de n o t a c i ó n d e f i n i d o en I I . 2 . 1 0 .
E s n e c e s a r i o p u e s , el c a l c u l a r el v a l o r de esta ú l t i m a , p a r a a c o n t i n u a
-
c i ó n a p l i c a r el o p e r a d o r de Lame I I . 3 . 1 a la e c u a c i ó n I I . 1 .1 y c a l c u l a r el t e n s o r =
tensión en un punto del i n t e r i o r .
-
-
El v a l o r de esa i n t e g r a l , es c l a r a m e n t e c e r o , ya que como se d e s p r e n d e 1
2
de I I . 2 . 1 U . es de o r d e n 0 (
) y ds del o r d e n 0 ( r ) , m i e n t r a s que si r e c o r d a
ik
r
y
~~
mos el v a l o r de r , en una s u p e r f i c i e e s f é r i c a ,
i
r , . = ó., eos© cos<t> + 6 „ eos
M
¡1
¡2
esen
4>+ 6 ^ sen
¡3
II.3.5
se o b s e r v a que es de o r d e n 0 ( 1 ) . E n d e f i n i t i v a si U . es c o n t i n u a y acotada r e s p e c
—
ik
to al ángulo © y el ángulo <>
t , como de hecho lo e s , ya que s ó l o depende de las d e n
das de la d i s t a n c i a , la i n t e g r a l buscada toma el v a l o r c e r o .
lim
e —*0
U , r,
ds
ik
m
y
= 0
I1.3.6
6 B
(x)
e
I n t r o d u c i e n d o este r e s u l t a d o en la e c u a c i ó n 11.3.4 se tiene en d e f i n i t i v a
-
la d e r i v a d a de la e x p r e s i ó n r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a m del punto s i n g u l a r en la
-
forma
U ,;
t ds
¡k m ¡
y
6a
6, . u . ;
ki i m
T
5
;
u. ds +
ik m
i
y
U
X
ik m
i
d n
y
ü
I1.3.7
donde la i n t e g r a l de volumen se entiende en el s e n t i d o de C a u c h y .
Api ¡cando a h o r a el o p e r a d o r c o m p l e t o 1 1 . 3 . 1 a la e c u a c i ó n I I . 1 .1 , y te
niendo en cuenta el r e s u l t a d o I I . 3 . 7 se obtiene
ó..(x)
U
=
D... ( x , y)
ijk
6n
t
D.., ( x , y)
ijk
(y) ds
k
X, (y)
k
-
y
6
d fi
S.
( x , y) u (y) ds
ijk
k
y
a
II.3.8
y
fi
donde los t e n s o r e s que a p a r e c e n se deducen inmediatamente como
ijk
Ik I
IJ
ik j
jk i
II.3.9
ijk
Ik I
IJ
ik j
jk I
S i d e s a r r o l l a m o s las e x p r e s i o n e s a n t e r i o r e s , simplemente dándonos cuenta que r , . = - r ; , se puede l l e g a r a la f o r m u l a c i ó n completa de los v a l o r e s de
i
i
las t e n s i o n e s en el d o m i n i o . E s t e d e s a r r o l l o está r e a l i z a d o por. ejemplo en P a r í s [1,00. ] • p o r lo que no nos d e t e n d r e m o s en é l , l i m i t á n d o n o s a p r e s e n t a r el r e s u l t a d o
D
(1 - 2 v ) ( 5
Íjk
8*(1-^)r2'
ik
r,. +
j
5
jk
r,.
i
.. r , ) +
ij
k
-
+ 3 r,. r,. r
i
J
k
' jJk
, /x
3
4ir(1 - v ) r
{ 3
[ o - 2v) 6 .. r . + v ( 6 r , . +
Ij : k
Ik
J
6
jk
r,.)
I
-
1
~ 5 K . r> • r>,
1 r>, n,
¡ i j k J I I
+
3
v
(n-
r»-r,,
+ n. r , . r ,
1
i j
k
J '
) +
k
+ (1 - 2 v ) (3 n, r , . n, . + n . 6., + n. 6 ) - (1 - 4v ) n, 6 . .
k
1 j
j
ik
1 jk
k
IJ
II.3.10
La e x p r e s i ó n i I . 3 . 8 j u n t o a las a n t e r i o r e s p e r m i t e pues el c á l c u l o de las
tensiones en un punto del i n t e r i o r del d o m i n i o , una vez c o n o c i d o s los v a l o r e s de
-
las tensiones y movimientos en el c o n t o r n o , así como, e v i d e n t e m e n t e , las f u e r z a s p o r unidad de v o l u m e n .
I 1 . 4 . - E C U A C I O N DE SOM I GL I A N A P A R A P U N T O S DEL C O N T O R N O
Como se ha ido e x p l i c a n d o a lo l a r g o del c a p í t u l o 1 , el o b j e t i v o f i n a l del
-
método c o n s i s t e en r e s o l v e r el p r o b l e m a p l a n t e á n d o l o e x c l u s i v a m e n t e en el c o n t o r n o
S e r á p o r tanto n e c e s a r i o el h a c e r t e n d e r el punto donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d , (punto x)
en la i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a a;| c o n t o r n o .
Íi
¡
S i n e m b a r g o , este p r o c e s o l l e v a c o n s i g o el hecho de que las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e que no e r a n s i n g u l a r e s cuando el p o l o se e n c o n t r a b a en el i n t e r i o r del
-
d o m i n i o , lo sean, ahora, al igual que o c u r r í a a n t e r i o r m e n t e con las i n t e g r a l e s de vo
i
lumen.
R e c o r d a n d o que la i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a se extendía a un d o m i n i o
fí
e
= [
-
lim ( fi „
e —*• 0
«..
ki
B
e
(x)) ]
, p o d r e m o s e x p r e s a r a q u e l l a , como
U , t ds
ik i
y
u. =
i
6Ü
-
6 ft
e
T ,
ik
u ds
+
i
y
ik
ft
c
i
II.4.1
e
E n el c a s o de que el punto s i n g u l a r f u e r a un punto i n t e r i o r las i n t e g r a l e s de
s u p e r f i c i e quedaban r e d u c i d a s a i n t e g r a l e s s o b r e 6 & . E n el c a s o de que la s i n g u l a r i d a d se e n c u e n t r e en el c o n t o r n o no es p o s i b l e r e a l i z a r esta s i m p l i f i c a c i ó n .
E f e c t i v a m e n t e , en este caso
s i n o que
5n
e
=--5,
U
'
S
e
$n
e
(Fig.
¿
ófiU
11.4.1)
ó
B
e
(x)
Fig.
II.4.1
A c o n t i n u a c i ó n vamos a d e f i n i r exactamente cada una de las s u p e r f i c i e s ante
r i o r e s . En el c a s o de que x sea un punto c o r r e s p o n d i e n t e a un c o n t o r n o suave de
-
L i a p u n o v , e x i s t i r á un s ó l o plano tangente y una sola n o r m a l , aunque no n e c e s a r i a
-
mente con una sola c u r v a t u r a . Sea T (x) d i c h o plano t a n g e n t e . En c a m b i o , si x es
-
un punto c o r r e s p o n d i e n t e a una e s q u i n a , e x i s t i r á n v a r i o s planos t a n g e n t e s , que
puedan 11 egar a s e r i n f i n i t o s (caso del v ó r t i c e de un c o n o ) . Sean T ( x ) , (i = 1 , 2 . . M
i
dichos planos t a n g e n t e s . T a n t o en un c a s o como en o t r o , el c o n j u n t o de todas las s e m i t a n g e n t e s , que p a r t e n de x y p e n e t r a n en el s e m i e s p a c i o l i m i t a d o p o r
en el que se e n c u e n t r a
T. (x),
i
-
f o r m a la s u p e r f i c i e de una p i r á m i d e a la que d e n o m i n a r e -
mos " s u p e r f i c i e c a r a c t e r í s t i c a "
P ( x ) , t é r m i n o de H a r t m a n n , que puede o b s e r v a r ,
se en la F i g I I . 4 . 2 .
Con estos c o n c e p t o s podemos ya d e f i n i r las s u p e r f i c i e s S
mente i n d i c a d a s .
'
y S
e
, anterior-
S£ = lim
e
0
6
[
B
( x ) f * P (x) ]
-
6 P (x)
e
11.4.2
[5 [ P.- B
V
e
(x)]-S
e
1
6F (x)
Fig.
II.4.2
A s i m i s m o , en este eso
fi
=
e
ya que
B
l i m 6 [ a - B E (x) ] =
e
e
—0
(x) A
lim
6 [
€—0
P es la ú n i c a zona de B
e
B
(x) A
P (x)) ]
I I .4.3
£
(x) que está i n c l u i d a en
9.
.
S i d i v i d i m o s a h o r a las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e en I I . 3 . 1 en dos i n t e g r a
l e s , la p r i m e r a extendida a la s u p e r f i c i e S
dremos
1
y la segunda a la s u p e r f i c i e S
^
ten
-
I I .4
«
ki
u.
i
=
U , t ds +
ik i
y
T
ik
T
U , t ds ik i
y
u ds
+
i
y
U , X. d
ik
i
ik
u ds i
y
II.4.4
y
a
Las i n t e g r a l e s p r i m e r a y t e r c e r a , son p r e c i s a m e n t e las i n t e g r a l e s de 11.1.1
p e r o entendidas en el s e n t i d o de C a u c h y , ya que a h o r a son s i n g u l a r e s , y del mismo
j
modo la i n t e g r a l de v o l u m e n .
S e r á pues n e c e s a r i o en p r i n c i p i o d e m o s t r a r que esas i n t e g r a l e s e x i s t e n y están d e f i n i d a s en el s e n t i d o de C a u c h y .
La p r i m e r a de e l l a s , no p r e s e n t a p r o b l e m a , ya que de nuevo nos e n c o n t r a
mos ante un t i p o de s i n g u l a r i d a d d é b i l . El o r d e n de la s i n g u l a r i d a d es i n f e r i o r al
-
de dimensiones del e s p a c i o s o b r e el que se i n t e g r a .
E n cambio la segunda c o r r e s p o n d e a una i n t e g r a l con f u e r t e s i n g u l a r i d a d ,
-
que ha de c u m p l i r una s e r i e de r e q u i s i t o s , p a r a p o d e r s é d e f i n i r . ! E s t o s r e q u i s i t o s - ,
p a r « P i n t e g r a l e s m u l t i d i m e n s i o n a l e s h a n s i d o p r o p u e s t o s p o r M i k h l i n en la f o r m a si
-
guíente, p a r a el c a s o de 2 d i m e n s i o n e s que nos o c u p a .
( 1 ) . - La i n t e g r a l de la
f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a (núcleo de la i n t e g r a l m u l t i -
p l i c a d o p o r r elevado al o r d e n de la s i n g u l a r i d a d ) e x t e n d i d a a
( 2 ) . - E n c u a l q u i e r s u b e s p a c i o de IR
2
ó B
e
(x) es c e r o .
la f u n c i ó n d e n s i d a d de la i n t e g r a l (el =
I I .4
v e c t o r que no depende de la s i t u a c i ó n del polo ó p j n t o s i n g u l a r ) es H ó l d e r - c o n t i n u a ,
es d e c i r cumple
u (y ) - u(y ) ¡ < C r
C = Cte
0 < <* < 1
I1.4. 5
( 3 ) . - En el i n f i n i t o la f u n c i ó n d e n s i d a d u (y) es de o r d e n 0 ( || y ||
-k
) con
-
k > 0.
( 4 ) . - La f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a es acotada y c o n t i n u a r e s p e c t o a (y - x) pa r a un x f i j o .
S i estas c o n d i c i o n e s son s a t i s f e c h a s , entonces podemos a f i r m a r que la i n t e
g r a l s i n g u l a r e x i s t e en el s e n t i d o de C a u c h y , y es c o n t i n u a r e s p e c t o a x .
T o d a s estas c o n d i c i o n e s se c u m p l e n en el c a s o que nos ocupa ( K u p r a d z e
-
1965), y p a r t i c u l a r m e n t e ya h i c i m o s uso de la p r i m e r a de e l l a s en el e p ' i g r a f e ante_
rior.
S ó l o f a l t a pues el c á l c u l o de las i n t e g r a l e s e x t e n d i d a s a S £
. L a primera
-
de e l l a s de nuevo ea n u l a , ya que el t e n s o r U , según 1 1 . 2 . 1 es de o r d e n 0 ( - - - ) y
¡k
2
,
como d s ^ = e sen e d <>
j d 6 , y t . e s t á acotado en 5 ^ , $e puede en d e f i n i t i v a escribir
I im
U ,
ik
t ds
i
y
= 0
11.4.6
e—
El t e n s o r T
ik
, en cambio es de o r d e n 0 ( - - - ) siendo n e c e s a r i o c a l c u l a r la=
2
integral correspondiente.
.
I I .5
P a r a la e s f e r a
p o r lo que
T
r . , n, =
I I
3 ^
3
n
B
e
(x) la n o r m a l c o i n c i d e con la d i r e c c i ó n del r a d i o , en S .
'
e
= 1 , con lo que en esta s u p e r f i c i e
= — 1 - T., ( e , <d )
ik
¡k
2
-1
(1-2v)+3r,2
3r,2r,3
8#(1-v) r
sirn
(1-2v^+3r,
II.4.7
s i n más que t e n e r en cuenta la e x p r e s i ó n ! I . 2 . 5
H a c i e n d o uso d é l a s e x p r e s i o n e s del d i f e r e n c i a l de s u p e r f i c i e en c o o r d e n a -t
2
das p o l a r e s ds = r sen d d 6 d 4» se t e n d r á
y
T . , u. ds
lk
1
yJ
= u (x) lim
i
€ —0
T , ds = u. (x)
ik
y
i
T , sen e d 6 d <j)
ik
.4.8
S u s t i t u y e n d o en la e x p r e s i ó n a n t e r i o r el v a l o r de ds , y de r , d e f i n i d o e n y
i
I I . 3 . 5 , e i n t e g r a n d o tenemos
T
ik
u ds = C , u (x)
i
y
ik i
.4.9
con
(1-2v)+3cos
2
$ sen
3cos ^ s e n ^ s e n
(1-2v)+3sen
-1
iM
26
26
<j>sene
3cos <>
t sen 4>eos
3sen 4>sen Qcos 6
Iftfff-")'
(1-2v)+/eos
. sen © d <t>d 4>
II.4.10
que r e s u e l t a p e r m i t i r í a e s c r i b i r el v a l o r de C . p a r a c u a l q u i e r f o r m a de S .
ik
e
A l g u n o s c a s o s p a r t i c u l a r e s y muy comunes son los s i g u i e n t e s .
(1)
S u p e r f i c i e s u a v e . La s u p e r f i c i e
S
es una e m i e s f e r a .
4 TT o
0
0
4
0
0
0
4 *
8 "T
e
( 3 ) . - Nodo en una esquina r e c t a . La s u p e r f i c i e
S_
es un octavo de e s f e -
ra;
-1
- 1
I 1.4
N a t u r a l m e n t e los v a l o r e s de C , como m u e s t r a I l . 4 . 1 0 no s o l o dependen de
¡k
la medida de S £ s i n o también de la o r i e n t a c i ó n de ésta p o r lo que los v a l o r e s son v á l i d o s únicamente p a r a los c a s o s p a r t i c u l a r e s que p r e s e n t a n las f i g u r a s .
S u s t i t u y e n d o los r e s u l t a d o s de I I . 4 . 6 y I I . 4 . 9 en I I . 4 . 1 se obtiene la ecua
c í ó n de S o m i g l i a n a cuando la s i n g u l a r i d a d se e n c u e n t r a en el c o n t o r n o , quedando
( « .. - C . ) u. =
ik
ik
i
U , t ds
ik i
y
6 fi
T
ik
u ds +
i
y
U , X d fi
ik
i
y
II.4.11
6 fi
donde de nuevo la<; i n t e g r a l e s hay que e n t e n d e r l a s en el s e n t i d o de C a u c h y , y C
está d e f i n i d o en
11.4.10.
ik
I 1 . 5 . - T E N S O R DE T E N S I O N E S E N P U N T O S DE C O N T O R N O
La e c u a c i ó n I I . 3 . 8 p r o p o r c i o n a b a el r e s u l t a d o n e c e s a r i o p a r a el c á l c u l o de
las t e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s , s i n embargo no es p o s i b l e a p l i c a r esta e c u a c i ó n p a r a el c á l c u l o del t e n s o r de t e n s i o n e s en puntos del c o n t o r n o , ya que en la d e r i v a
c i ó n de las i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e no se ha c o n s i d e r a d o que e r a n s i n g u l a r e s .
i
Tampoco es p o s i b l e c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s mediante a p l i c a c i ó n del
o p e r a d o r de Lame a la e c u a c i ó n I 1 . 4 . 1 1 p o r q u e a p a r e c e r í a n i n t e g r a l e s i n f i n i t o , y =
p o r tanto s i n s e n t i d o . P a r a o b t e n e r la e x p r e s i ó n del t e n s o r de t e n s i o n e s en puntos=
¡
del c o n t o r n o s e r á n e c e s a r i o el u t i l i z a r una i n t e r p o l a c i ó n de m o v i m i e n t o s ,
obtenién-
dose aqqel en f u n c i ó n de la v a r i a c i ó n de e s t o s en el c o n t o r n o .
P a r a e l l o , se va a u t i l i z a r un s i s t e m a local s i t u a d o en el punto del c o n t o r n o
donde p r e t e n d e m o s c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s , de f o r m a que la c o o r d e n a d a z
-
local c o i n c i d a con la normal al c o n t o r n o en el punto en c u e s t i ó n (en el c a s o de que en este punto e x i s t a más de una n o r m a l al c o n t o r n o , e s c o g e r e m o s la n o r m a l a una
-
c u a l q u i e r a de las c a r a s ) , y p o r t a n t o , el plano x y (plano TT) sea tangente al c o n t o r -
E n esas c o o r d e n a d a s y p a r a la c a r a t r a t a d a , el v e c t o r t e n s i ó n s e r á c o n o c i d o , ó s e r á una i n c ó g n i t a del p r o b l e m a , c o n lo que una vez r e s u e l t o éste s i e m p r e se_
r a c o n o c i d o . Con e l l o , y en las c o o r d e n a d a s l o c a l e s a n t e d i c h a s t e n d r e m o s
a
z
T
XZ
T
yz
(P)
(P)
=t
z
= t
11.5.1
X
(P) = t
y
E l r e s t o de las componentes del t e n s o r t e n s i ó n pueden c a l c u l a r s e r e a l i z a n do la i n t e r p o l a c i ó n de m o v i m i e n t o s i n d i c a d a .
S i suponemos c o n o c i d a s las v a r i a c i o n e s de los m o v i m i e n t o s u y v en las
-
d i r e c c i o n e s x e y , s e r á p o s i b l e c a l c u l a r las d e f o r m a c i o n e s
S
e
y
= -3- - X
=
3
v
3
y
II.5.2
3
£
= i <-üxy
3
y
+
3
—V-)
3
x
C o n o c i d a s e s t a s d e f o r m a c i o n e s podemos c a l c u l a r inmediatamente la tensióntangencial que f a l t a b a .
•c
xy
= Ge
11.5.3
xy
Las t e n s i o n e s n o r m a l e s
a
x
y
CT
haciendo uso de las r e l a c i o n e s de Lamé
y
pueden t a r r b i é n c a l c u l a r s e como s i g u e ,
-
a
e
•
= - - - - -
[
(1 - 2 v)
-
1-v
2
2G
y s u s t i t u y e n d o en las e x p r e s i o n e s de a
o
x
=
__J__
,
1 - v
( e
(2G
e + 2G
x
v
e
y7
+ e )
X
x
y °
+
v
a
]
y
t e n d r e m o s en d e f i n t i v a ,
y
)
z
I1.5.4
a
yJ
= _J
,
i - v
(2G
e
y
3
+ 2G
v
e
x
+
v
donde ya todos los v a l o r e s son c o n o c i d o s .
0
)
z
I I . 6 . - T R A N S F O R M A C I O N DE LA I N T E G R A L DE F U E R Z A S DE V O L U M E N E N UNA
I N T E G R A L DE S U P E R F I C I E
E s evidente que la g r a n v e n t a j a del método de los elementos de c o n t o r n o , en=
cuanto que r e d u c e las i n t e g r a l e s al c o n t o r n o , s i e n d o n e c e s a r i a tan s ó l o la d i s c r e t i z a
c i ó n de é s t e , queda anulada p o r el hecho de la a p a r i c i ó n de i n t e g r a l e s de v o l u m e n .
E l mayor inconveniente s u r g e pues en el c a s o de que e x i s t a n f u e r z a s de volumen
p o r lo que d i s t i n t o s a u t o r e s han s e g u i d o v a r i a s a p r o x i m a c i o n e s p a r a t r a t a r de r e d u c i r , o e l i m i n a r las d i f i c u l t a d e s que e s t a s i n t e g r a l e s i n t r o d u c e n .
La p r i m e r a s i m p l i f i c a c i ó n que se o c u r r e , s u r g e o b s e r v a n d o la e c u a c i ó n de Na_
v i e r p a r a el caso e l á s t i c o .
A u = - X
donde A es el o p e r a d o r de N a v i e r ,
II.6.1
lineal.
A p a r t i r de la t e o r í a elemental de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s , se p u e de i n t e n t a r c o n s e g u i r la s o l u c i ó n de esta e c u a c i ó n , como suma de la s o l u c i ó n de la
-
ecuación homogenea, c o r r e s p o n d i e n t e a f u e r z a s de v o l u m e n n u l a s , y que p o r tanto no
e n c i e r r a ningún p r o b l e m a en cuanto al método p r o p u e s t o , y una s o l u c i ó n p a r t i c u l a r
-
de la e c u a c i ó n I I . 6 . 1 p a r a el c a s o de que e x i s t a n f u e r z a s de v o l u m e n .
E n la m a y o r í a de los c a s o s p r á c t i c o s de f u e r z a s p o r unidad de v o l u m e n , esta
s o l u c i ó n p a r t i c u l a r es f á c i l m e n t e o b t e n i b l e
casos el p r o b l e m a d e s a p a r e c e r í a .
en f o r m a p o l i n ó m i c a , p o r lo que en e s t o s
S i n e m b a r g o , e x i s t e n o t r o s c a s o s de f u e r z d s de volumen en los que no es p o s i b l e c o n s e g u i r f á c i l m e n t e esta s o l u c i ó n p a r t i c u l a r * A s i m i s m o en los p r o b l e m a s no
-
l i n e a l e s ( p l a s t i c i d a d p o r ejemplo) la s u p e r p o s i c i ó n de s o l u c i o n e s deja de s e r v á l i d a . P a r a s a l v a r este p r o b l e m a se ha seguido una a p r o x i m a c i ó n d i s t i n t a , p r o p u e s t a p o r
-
C r u s e , y que es muy ú t i l p a r a f u e r z a s de v o l u m e n , que d e r i v a n d e u n a f u n c i ó n poten
-
c i a l . E s t a f o r m u l a c i ó n es la que se p r e s e n t a a c o n t i n u a c i ó n .
Se habia v i s t o que la i n t e g r a l de f u e r z a s dé volumen tenía
la e x p r e s i ó n
1.6.2
U , X . d fi
ik
i
y
S i el v e c t o r de f u e r z a s de volumen X. pued^ d i s p o n e r s e como el g r a d i e n t e de
una f u n c i ó n p o t e n c i a l ,
X =
V 0
I1.6.3
X. = 0 , .
i
i
tendremos
U., X. d a =
ik
i
y
U., 0 , . d fi
ik
i
y
I 1.6.4
fi
T e n i e n d o en cuenta a h o r a la e x p r e s i ó n del g r a d i e n t e de un p r o d u c t o de f u n ciones
(U.. 0 ) , . = U M
0
IK
i
ik I
+ U.. 0 , .
ik
I
1.6.5
U., 0 , . = (U., 0 ) , . - U.,
0
ik
i
ik
i
ik i
que s u s t i t u i d a en I I . 6 . 4 p e r m i t e e s c r i b i r
U
ik
X d ti
i
y
U , ,
ik i
(U., 0 ) , . óti
ik
i
y
=
0
d ti
y
11.6.6
• (2
A p l i c a n d o el teorema de la d i v e r g e n c i a a la p r i m e r a de las i n t e g r a l e s del se_
gundo m i e m b r o se puede p a s a r a i n t e g r a l de s u p e r f i c i e quedando.
ü , 0 n díl
ik
i
y
U , X. d ñ
=
ik
i
y
U
, ,
ik i
0
ó ti
y
Ii.6.7
5 ti
donde n es la normal al c o n t o r n o en el punto de campo y .
i
E n este momento es p r e c i s o h a c e r la s a l v e d a d de que la i n t e g r a ! de s u p e r f i c i e a n t e r i o r e x i s t e en el s e n t i d o de Cauchy ya que p r e s e n t a una s i n g u l a r i d a d clebil cuando se i n t e g r a desde un-punto del c o n t o r n o .
La segunda i n t e g r a l se puede también p a s a r al c o n t o r n o e x p r e s a n d o el t e n s o r
de movimientos U , en f u n c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n , según la e x p r e s i ó n A l . 10
ik
1
Ü
¡k~
*«k'll
Ik'li
2(1-v)
II.6.7
y teniendo en cuenta la e x p r e s i ó n del l a p l a c i a n o de Un v e c t o r en f u n c i ó n del g r a d i e n
te de la d i v e r g e n c i a y del r o t a c i o n a l del r o t a c i o n a l
2
V V
= V. ( V . v) -
Vx(Vxv)
y en f o r m a i n d i c i a l
v.,
= v , - e.
e
i II
I li
imn npo
v ,
o pm
II.6.8
donde e
es el í n d i c e de p e r m u t a c i ó n d e f i n i d o como
¡jk
1
e. =
>jk
¡ ¿ j ¿ k
permutación par
-1 i ^ j ^ k
.
permutación impar
I1.6.9
0 i = j , j = k, k = i
A p l i c a n d o la e x p r e s i ó n I I . 6 . 8 al p r i m e r t e r m i n o del segundo m i e m b r o de la=
e x p r e s i ó n I I . 6 . 7 se puede e s c r i b i r
U
ik
= X.. , . . - e .
e
X . ,
Ik h
imn npo ok pn
^
•
•
1
X..
Ik
li
y operando
U.. =
1-2
v
2(1
v)
x,,»,.-
G
.
'mn
X , ,
°
e
II.6.10
P o r tanto la d i v e r g e n c i a de U , que a p a r e c e en la i n t e g r a l de volumen que
ik
quedaba s e r á
n
U..
=
'
iUi
'
~
2
v
2(1
=
,k
]
1
"
X
e.
e
'mn
v)
2 v
x
2(1-v)
X . ,
°
pm
-
'
.6.11
,...
,k
ya que la d i v e r g e n c i a del r o t a c i o n a l de un v e c t o r es c e r o ,
S u s t i t u y e n d o en I I . 6 . 7 t e n d r e m o s
U.,
ik
w
X.dfi
=
i
y
U
6 J2
.k
0
•
"l
d
1-2 v
V
-2ü:-v)
x.,
$
Ik 111
áa
y
11.6.12
I 1.6
O b s e r v a n d o esta ú l t i m a i n t e g r a l vemos que p a r a k f i j o , es d e c i r p a r a una
e c u a c i ó n i n t e g r a l c o n c r e t a , la f u n c i ó n s u b i n t e g r a n d o c o r r e s p o n d e al p r o d u c t o del
-
l a p l a c i a n o de una f u n c i ó n X j > | p o r o t r a f u n c i ó n 0 . Es p o s i b l e pues a p l i c a r el teorema de G r e e n , en la f o r m a
[ x,. t . 0 . . . - x
0 ] d a
Ik I
ii
Ik l i i
y
=
X,.
Ik I
n
l l . ds y -
0
X Ik
, . » ,li-
n-
i
d s
y
6Ü
6 Si
II.6.13
E n el c a s o de que la d i v e r g e n c i a del v e c t o r de f u e r z a s de volumen sea c o n s tante
X.,. = K
i i
o
II.6.14
; 0,.. = K
ii
o
podremos e s c r i b i r
X .i»... 0
Ik l n
da
y
=
6
$
X,. t , 0 » . n ds Ik I
i j
y
X,, »..
Ik h
n.
i
ds
y
- K
Xlk'|
o
d
°y
6 Si
a
11.6.15
y a p l i c a n d o el t e o r e m a de la d i v e r g e n c i a a esta ú l t i m a i n t e g r a l , t e n d r e m o s d e f i n i t i v a
mente todas las i n t e g r a l e s p a s a d a s al c o n t o r n o del d o m i n i o .
X,|> ... 0 d f i =
Ik l n
y
X . i >. £>,. n. ds
Ik I
I I
y
<s a
-
0
X ,, »,.
Ik Ii
5n
n-
i
ds
y
- K
o
* Ik " l
^ y
6 (2
I1.6.16
S u s t i t u y e n d o esta e x p r e s i ó n en I I . 6 . 1 2 . S u s t i t u y e n d o el v a l o r de I I , en fun
ik
c i ó n de x,.
IK
en
' a p r i m e r a i n t e g r a l , t e n d r e m o s en d e f i n i t i v a
T-2_v_
U , X dfi
ik
i
y
X
2(1 — v )
,
0 n. ds ik h
i
y
6 Si
6 Si
1_-2 v_
2(1-v)
- K
x
1-2
, 0 , . n. d$ Ik I
i i
y
X
n
tu
Ik ! I
ds
0
2(1 - v )
6 SÍ
1-2 v
2(1-v)
^ .
e
x , ,
0 n.ds +
imn npo ok pm
i y
,, >,Ik
li
n-
i
d s
y
6n
y
6 12
y agrupando t é r m i n o s
U , X. d f i = +
ik
i
y
1-2 v
0 , . n. ds i i
y
X M
Ik I
2(1-v)
1_-2_v_
2(1-v)
.
imn
e
npo
X
, ,
ok pm
0 n. ds i
y
5 st
6 Si
- K
e
X
Ik
n
I
ds
I1.6.17
y
5 Si
E s t a e x p r e s i ó n se puede m o d i f i c a r a l g o más de f o r m a que s ó l o a p a r e z c a n las
f u e r z a s de volumen en la e c u a c i ó n y no la f u n c i ó n p o t e n c i a l . E f e c t i v a m e n t e si v o l v e mos p o r un momento esta i n t e g r a l a una de v o l u m e n , t e n d r e m o s
[ e.
e
x , >
0 ] n . ds =
imn npo ok pm
i
y
4
6 Si
[5
e
X,»
0 ] , . dfl . =
imn npo ok pm
1
1
J Si
e.
imn
e
x , » . dfi +
npo ok pmi
y
e .
imn
Si
e
npo
x
, >
ok pm
0,.
1
d Si
y
II.6.18
I 1.6
La p r i m e r a de estas e c u a c i o n e s de nuevo es c e r o pues r e p r e s e n t a la d i v e r gencia de un r o t a c i o n a l . C e n t r á n d o n o s en la segunda y r e c o r d a n d o la c o n o c i d a ex presión
V .(v x
V
x
w) = v ( V
x
V
x
w) -
( V
x v)
. ( V
x
I1.6.19
w)
E n n u e s t r o c a s o se puede e x p r e s a r en f o r m a i n d i c i a l como
( e .
imn
e
npo
X . »
ok p
0 ,
),. = 0 , .
m i
.
E l u l t i m o de e s t o s sumandos
i
( e
e.
e
imn npo
npo
X , ,
ok p
x
, ,
ok pm
-
( e .
imn
im
)
II.6.20
)
es n u l o , ya que fe
imn
0,
) r e p r e s e n t a el r o t a im
c i o n a l del g r a d i e n t e de la f u n c i ó n $ que como sabemos es s i e m p r e c e r o . E n d e f i n i t i v a , s u s t i t u y e n d o la e x p r e s i ó n I I . 6 . 2 0 en I I . 6 . 1 8 t e n i e n d o en cuenta el r e s u l t a d o an
tenor.
[ e.
e
x , >
0 ] n. ds =
imn npo ok pm
i
y
[e.
imn
£
npo
x , , 0,
] , . d fi =
ok p
m
i
y
*6 si
[ e.
e
x , »
imn npo ok p
m
] n. ds
i
y
I1.6.21
6 SI
donde de nuevo hemos a p l i c a n d o el t e o r e m a de la d i v e r g e n c i a .
I n t r o d u c i e n d o esta e x p r e s i ó n en la e c u a c i ó n I I . 6 . 1 7 y teniendo en cuenta
que
m
= X
m
se t i e n e en d e f i n i t i v a
I I .6
U
1-2 v
X. d f i =
ik
i
y
-
K
, , X . n. ds Ik I i i
y
X
2(1 - v )
6 ft
1-2
v
[ e.
e
x , , X ] n. ds imn npo ok p m
i
y
6 9,
II.6.22
• i n ds
Ik I
y
o 2(1-v)
6 ft
que es la e c u a c i ó n b u s c a d a .
Resumiendo podemos d e c i r que p a r a f u e r z a s de volumen que d e r i v a n de un
-
p o t e n c i a l , es p o s i b l e el p a s a r la i n t e g r a l de volumen c o r r e s p o n d i e n t e a i n t e g r a l e s de s u p e r f i c i e , según i n d i c a la e x p r e s i ó n I I . 6 . 2 2 , que podemos a g r u p a r en la forma
siguiente
a
U., X . d a =
ik
i
y
E . X ds +
ik
i
y
6 ft
F, ds
k
y
II.6.23
6ü
donde, si tenemos en cuenta que
e
jmn
e
npo
= 6 5
jp
mo
-ó
jo
6
mp
Se t i e n e
1-2
ik
2(1 - v)
n. - x
,
n + x..
i
ik p
p
jk i
Ik I
n.
j
II.6.24
1-2 v
F, = - rv, K
k
2(1-v)
o
x
Ik
n
I
I 1.2
Las e x p r e s i o n e s de los t e n s o r e s
a n t e r i o r e s pueden o b t e n e r s e p a r a el c a s o
t r i d i m e n s i o n a l , teniendo en cuenta que
X.,
1
=
8 TTG
,k
r 5
I 1.6.25
,k
siendo r la d i s t a n c i a | | y - x|J desde el punto donde se a p l i c a la c a r g a x al punto de campo y .
Con el lo se tiene
•r
E
1
=
8irG
,k
TL 1 ~ 2 V
2(1-v)
(1-2v)
=
16ttG(1-V)
k
k
k
.
n. - r , n *6
P
P
lk
'
r,
+ r , . n 1J
' k
I 1.6.26
r n
°
k
T o d a v í a es n e c e s a r i o el t r a t a m i e n t o de la i n t e g r a l de volumen que a p a r e c e
-
en el c á l c u l o de las t e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s , es d e c i r de la i n t e g r a l .
D
, X d fi
ijk
i
y
I1.6.27
R e c o r d a n d o que esta i n t e g r a l a p a r e c í a como
c o n s e c u e n c i a de la a p l i c a c i ó n =
del o p e r a d o r de Lame a la i n t e g r a l a n t e r i o r m e n t e t r a t a d a , p o d r e m o s e s c r i b i r en d e finitiva.
D... X, d n =
ijk
k
y
donde
G.
X, ds +
ijk
k
y
<5 8
H . ds
|J
y
6 ti
I 1.6.28
ijk
Ik I
ik j
ij
jk i
11.6.29
H.. = XF,;,
ij
I I
6 .. + G (F.;.
»J
i J
+ F.;.)
J i
Las e x p r e s i o n e s de e s t a s t e n s i o n e s son las s i g u i e n t e s
1
G . =
,jk
[
2
(1-2 v ) ( r , . r .
1 6tt (1 - v) ( 1 - 2 v)
J
+ 4 ( 1 - v ) (1 - 2 v ) r , . r , . n, ]
.i
j k
- (4 - 6 v ) 6
n
ij k
]
-
+ [
k
n. + r , . r ,
'
'
(1-2v) (6
ik
n.) +
k
J
n. + 6
n.)
j
jk i
-
[ 2 ( 1 - v ) ( 1 - 2 v ) ( 6., r , . + 6., r , . ) + 2 v 5 . r . ]
ik
j
jk
i
ij k
11.6430,
K
H..
ij
=-,-c—n
r
16 tt(1-V )
[ 2 v r . n
I I
6.. + ( 1 - 2 v ) ( r , . n . + r , . n . )
ij
1 j
j 1
]
E l que esta d e r i v a d a en el i n t e r i o r de la i n t e g r a l , así como las p r o p i a s i n t e g r a l e s , t i e n e n s e n t i d o , es e v i d e n t e , ya que la i n t e g r a l de f u e r z a s volumen es no s i n g u l a r . A s i m i s m o , las i n t e g r a l e s que a p a r e c e n despues de la d e r i v a c i ó n
, e x i s t e n en
el s e n t i d o de C a u c h y , ya que p r e s e n t a n de nuevo una s i n g u l a r i d a d del t i p o d é b i l , ya=
tratada.
P a r a t e r m i n a r , se v e r á como se t r a t a n según este esquema algunas de las
f u e r z a s de volumen más connunes.
-
( 1 ) . - F u e r z a s de peso p r o p i o
X
0
0
=
11.6.31
- pg
E n este c a s o es f á c i l d e m o s t r a r que X d e r i v a de un p o t e n c i a l , s i n más que
v e r que V x
X
= 0 . A s i m i s m o la d i v e r g e n c i a del v e c t o r f u e r z a s de volumen es
c o n s t a n t e e igual a c e r o .
V . X
-
= K
o
I1.6.32
= 0
con lo que en d e f i n i t i v a t e n d r e m o s que
U , X d fi =
ik
¡
y
fi
-p Q r
--- L
8*G
5 fi
1-2
2(1-v)
n,
n
- r,
p
n
p
'
,
6 + r
n J ds
i3
i3 k
y
II.6.33
( 2 ) . - F u e r z a s debidas a b u l o n e s de t e n s i ó n .
E n el c a s o de que e x i s t a n f u e r z a s de t e n s i ó n debidas a un c a b l e de
-
t r a c c i ó n , las c o n s i d e r a r e m o s como f u e r z a s concentradas en el punto donde se encue_n
t r a el bulón de a j u s t e , p o r lo que el v e c t o r de f u e r z a s de volumen s e r á
X
X =
í
^
«5 (P)
I 1.6.34
donde X , Y , Z son las componentes de la f u e r z a c o n c e n t r a d a y 6 (P) la d i s t r i b u c i ó n
de D i r a c en el punto P donde se e n c u e n t r a el b u l ó n .
I 1.6
Con e l l o t e n d r e m o s inmediatamente que
X
U„
ik
X . d fi = U., ( x , P)
i
y
ik
Y
.
I 1.6.35
fi
s i n necesidad de u t i l i z a r el esquema a n t e r i o r .
( 3 ) . - Temperatura
El c a s o de f u e r z a s de v o l u m e n ( G o o d i e r ) , debido a una d i s t r i b u c i ó n de
t e m p e r a t u r a s en el c u e r p o , es a l g o d i f e r e n t e al t r a t a d o hasta a h o r a , ya que la i n t e g r a l que a p a r e c e en la e c u a c i ó n de c o n t o r n o tiene una f o r m a algo d i f e r e n t e a la t í p i ca t r a t a d a hasta a h o r a ( C r u s e ) , quedando en la f o r m a .
a E
1-2 v
U.,
ik i
e
d fi
II.6.36
y
fi
donde 6 c o r r e s p o n d e al i n c r e m e n t o de t e m p e r a t u r a en cada punto de campo y a es el c o e f i c i e n t e de d i l a t a c i ó n t é r m i c a del m a t e r i a l .
D i s p o n i e n d o de nuevo U
en f u n c i ó n del v e c t o r de G a l e r k i n y t e n i e n d o en
ik
-
cuenta que la d i v e r g e n c i a del r o t a c i o n a l es nula, podemos e s c r i b i r .
__oE_
1-2 v
fi
U.,
•k i
6 di!
y
=
a E
.
2(1 - v)
6 X . , d
ik 111
fi
y
II.6.37
y a p l i c a n d o a esta ú l t i m a e x p r e s i ó n el t e o r e m a de G r e e n , sabiendo que p a r a r é g i m e n
e s t a c i o n a r i o de t e m p e r a t u r a s
V
6 = 0 queda
a E
e u , d fi =
1-2 v
ik
5
y
a E
2(1-v)
a
que c o n s t i t u y e la e x p r e s i ó n f i n a l b u s c a d a .
- x ik.. ,.i e I ] nI dsy
[ e x..
ik ti
5 fi
11.6.38
I I I . - APROXIMACION NUMERICA.
INTERPOLACION TRIDIMENSIONAL
PARABO-
LICA
1 1 1 . 1 . - D I S C R E T I Z A C I O N Y T R A T A M I E N T O DE L A S E C U A C I O N E S
INTEGRALES
Una vez e s t a b l e c i d a la f o r m u l a c i ó n del método, es n e c e s a r i o r e s o l v e r las
-
ecuaciones que a p a r e c e n .
L a s e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s que a p a r e c e n en el método p r o p u e s t o no son f á c i l mente r e s o l u b l e s en f o r m a d i r e c t a , y en los c a s o s de g e o m e t r í a s y c o n d i c i o n e s de
-
c o n t o r n o c o m p l e j a s es i m p o s i b l e el c o n s e g u i r una e x p r e s i ó n completa p a r a la s o l u
-
c i ó n de m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s b u s c a d a s . Es n e c e s a r i o pues a c u d i r a un método
-
aproximado.
La f i l o s o f í a de e s t o s métodos en g e n e r a l , y p a r t i c u l a r m e n t e del método aquí=
p r o p u e s t o , fue d e s a r r o l l a d a en el c a p í t u l o I , p o r lo que en este a p a r t a d o nos l i m i t a remos a a p l i c a r l a .
E l punto fundamental de esta a p l i c a c i ó n se r e f i e r e al c o n c e p t o de d i s c r e t i z a ción, ó interpolación.
E s t a c o n s i s t e en a p r o x i m a r la f u n c i ó n s o l u c i ó n (movimientos y t e n s i o n e s en el c o n t o r n o , en este caso) como s u m a t o r i o de una suma de f u n c i o n e s c o n o c i d a s p o r unos c o e f i c i e n t e s que suponen las i n c ó g n i t a s del nuevo p r o b l e m a .
u. =
M
Z
a. N
k
III .1.1
y análogamente p a r a las t e n s i o n e s . E n I I I . 1 .1 las N
son las f u n c i o n e s c o n o c i d a s , -
d e f i n i d a s en el c o n t o r n o , y a son las nuevas i n c ó g n i t a s a a d o p t a r . N a t u r a l m e n t e s i 1
M t i e n d e a i n f i n i t o , y u p e r t e n e c e a un e s p a c i o c o m p l e t o de f u n c i o n e s de las que N
i
f o r m a n una b a s e , el p r o b l e m a e s t a r í a b i e n p l a n t e a d o .
k
E n g e n e r a l y como se i n d i c ó en el c a p í t u l o I , las s o l u c i o n e s u y t se t r a
i
i
-
tan de e n c o n t r a r en el e s p a c i o de S o b o l e v de o r d e n 2 , que es c o m p l e t o . S ó l o f a l t a pues d e f i n i r las f u n c i o n e s N
e s c o g i d a s , lo que se r e a l i z a en el a p a r t a d o I I I .1 . 2 , -
Mmítandonos aquí a a p u n t a r que son f u n c i o n e s de s o p o r t e pequeño.
J
E s t e s o p o r t e de las f u n c i o n e s está intimamente l i g a d o c o n la d e f i n i c i ó n de
-
la g e o m e t r í a . E f e c t i v a m e n t e , en la m a y o r í a de los c a s o s r e a l e s no es p o s i b l e d e f i n i r la g e o m e t r í a global de la s u p e r f í c e del c u e r p o a t r a v é s de una e c u a c i ó n s i m p l e ,
s i n o que es n e c e s a r i o d e f i n i r l a mediante d e s c o m p o s i c i ó n en c a r t a s ó t r o z o s de una=
2
s u p e r f i c i e de e x p r e s i ó n f á c i l , a p l i c a b l e s a IR , y p o r lo tanto de " m a n e j o f á c i l " en=
las e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s .
E n muchas o c a s i o n e s el c o n t o r n o es tan c o m p l i c a d o que s e r í a n e c e s a r i o u n numero de c a r t a s tan g r a n d e p a r a d e f i n i r l o , que el p r o c e s o no s e r í a e c o n ó m i c o . Es
p o r e l l o , que en la m a y o r í a de los c a s o s se p r e f i e r e el a p r o x i m a r la g e o m e t r í a me
d i a n t e un número r e l a t i v a m e n t e pequeño de c a r t a s con una e x p r e s i ó n muy f á c i l , y
-
que en la medida de lo p o s i b l e r e p r e s e n t e s u f i c i e n t e m e n t e b i e n la g e o m e t r í a a efee t o s : d e p r e c i s i ó n de r e s u l t a d o s .
Cada una de e s t a s c a r t a s es lo que denominamos e l e m e n t o , y v i e n e n d e f i n í das p o r v a r i o s puntos ( t r e s en el caso de un t r i á n g u l o p l a n o , s e i s en el c a s o de un=
t r i á n g u l o p a r a b ó l i c o , e t c ) . Cada uno de e s t o s puntos que d e f i n e n un elemento se d e nominará
nodo, y a e s t o s nodos son los que están d i r e c t a m e n t e a s o c i a d a s las
-
f u n c i o n e s de a p r o x i m a c i ó n de la s o l u c i ó n , de f o r m a que el s o p o r t e que se a s i g n a a cada una de e l l a s , c o i n c i d a con las s u p e r f i c i e s de los elementos a los que p e r t e n e ce el nodo al que va a s o c i a d a .
Con estos c o n c e p t o s p r e v i o s de a p r o x i m a c i ó n de g e o m e t r í a y f u n c i o n e s desa
rrollad£>s en 1 1 1 . 1 . 1 y I I I . 1 . 2 , las e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s van a q u e d a r r e d u c i d a s =
a s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s , que pueden r e s o l v e r s e en f o r m a s t a n d a r d .
E l c á l c u l o de cada uno de los elementos que componen las m a t r i c e s que d e f i nen el sistema de ecuaciones se r e a l i z a en II 1.2, m i e n t r a s que la f o r m a c i ó n de las m a t r i c e s e i n t r o d u c c i ó n de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o se p r e s e n t a n r e s p e c t i v a m e n te en I I I . 3 y l I l . 4 .
Una vez d e f i n i d o el sistema de e c u a c i o n e s , es n e c e s a r i o r e s o l v e r l o . El m é todo e l e g i d o p a r a esta r e s o l u c i ó n es el del g r a d i e n t e c o n j u g a d o , que se d e s a r r o l l a =
en I I I . 5 , completándose el p r o c e s o .
Un p r o b l e m a a d i c i o n a l s u r g e cuando el d o m i n i o no es homogeneo, s i n o que está compuesto p o r v a r i o s s u b d o m i n i o s homogéneos y d i f e r e n t e s e n t r e s í , ya que en
c a s o de h e t e r o g e n e i d a d más d i s t r i b u i d a el método no es r e n t a b l e , ni c o m p a r a b l e a elementos f i n i t o s .
E s t e c a s o es p o s i b l e t r a t a r l o mediante un p r o c e s o de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n ,
-
planteando el sistema de e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s p a r a cada una de e s t a s s u b r e g i o n e s ,
e i n t r o d u c i e n d o a p o s t e r i o r i las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d en las
interfases correspondientes.
-
E l p r o c e s o de p l a n t e a m i e n t o de las e c u a c i o n e s p a r a cada s u b r e g i ó n se d e t a l l a en III.1. 3 , m i e n t r a s que la i n t r o d u c c i ó n de las c o n d i c i o n e s en i n t e r f a s e se e x p l i ca en I I I . 3 .
I I 1 . 1 . 1 . - A P R O X I M A C I O N DE LA G E O M E T R I A
Una de las f a s e s fundamentales de la d i s c r e t i z a c i ó n
c o n s i s t í a en la a p r o x i m a
c i ó n de la g e o m e t r í a p o r un c o n j u n t o de c a r t a s denominadas elementos que fuesen t r o
zos de una s u p e r f i c i e s i m p l e .
E n el c a s o que nos ocupa se ha e l e g i d o la a p r o x i m a c i ó n p a r a b ó l i c a , p o r la
r a z ó n fundamental de que p e r m i t e a p r o x i m a r exactamente la m a y o r í a de los c a s o s
-
r e a l e s , y en o t r o s a c e r c a r s e mucho a la r e a l i d a d .
Los t r o z o s e l e g i d o s c o r r e s p o n d e n a t r i á n g u l o s y c u a d r i l á t e r o s a l a b e a d o s ,
d e f i n i d o s r e s p e c t i v a m e n t e p o r s e i s y ocho nodos ( F í g .
-
II 1.1.1.1).
El p r o b l e m a que se-plantea a c o n t i n u a c i ó n es la d e f i n i c i ó n de las c o o r d e n a
-
das de un punto en el i n t e r i o r de uno de e s t o s elementos , c o n o c i d a s las c o o r d e n a
-
das de los nodos y la s i t u a c i ó n r e l a t i v a del punto r e s p e c t o a é s t o s .
E s t o , q u e a p a r e c e en el p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a como se e x p l i c a en=
I 1 1 . 2 , se r e s u e l v e haciendo uso de la a p l i c a c i ó n
2
f = 6 fi — I R , donde fifi co n
n
r r e s p o n d e a la s u p e r f i c i e del elemento n . A p l i c a c i ó n que evidentemente es f a c t i b l e y
c o r r e s p o n d e a un homomorfismo, debido a la e x p r e s i ó n f á c i l e s c o g i d a p a r a 6
,
-
p o r lo que es d e r i v a b l e , y p a r t i c u l a r m e n t e es p o s i b l e c a l c u l a r el j a c o b i a n o de la
-
transformación.
fi
n
F i g . I I I .1 .1 .1
P a r a u n i f i c a r c r i t e r i o s en lo que se r e f i e r e a t r i á n g u l o s y c u a d r i l á t e r o s se=
han c o n s i d e r a d o a q u e l l o s como c u a d r i l á t e r o s d e g e n e r a d o s en los que se ha condensa^
do un l a d o , c o i n c i d i e n d o p o r tanto las c o o r d e n a d a s de t r e s v é r t i c e s .
E l homomorfismo e l e g i d o va a s e r el h a b i t u a l m e n t e u t i l i z a d o en elementos fini_
tos p a r a c u a d r i l á t e r o s planos de lados p a r a b ó l i c o s , que t r a n s f o r m a los lados del e l e
2
mentó en los segmentos £ =± 1
ti = ± 1 en IR .
Fig.
III.1.1.2 a
2
Fig. I I I.1.1.2 b
donde la n u m e r a c i ó n de los nodos r e p r e s e n t a una n u m e r a c i ó n i n t e r n a que no se co
r r e s p o n d e r á con la n u m e r a c i ó n f í s i c a de los nodos del elemento
-
superficial.
La e x p r e s i ó n de la t r a n s f o r m a c i ó n v i e n e d e f i n i d a a t r a v é s de las c o o r d e n a d a s
nodales x. n n = 1 , 2 , . . . . 8 , y de unas f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n N
i
das p a r a cada uno de los nodos, como
* . ( 5 , Ti) = N n ( c , n ) x n
i
i
i = 1,2,3
( 5 , n ) definí
II 1.1.1.1
donde K , n £ [ - 1 , 1] y se denominan usualmente c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s ó n a t u r a l e s , y las funciones de forma t i e n e n la e x p r e s i ó n s i g u i e n t e con la n u m e r a c i ó n i n d i c a da en la F i g . 1 1 1 . 1 . 1 . 2 .Nodos de v é r t i c e ,
Nn U,n) = -74
con
(1 +K ) (1 +n ) U
+ n - 1)
o
o
o
o
n = 1, 2 , 3., 4
II 1.1.1.2
III.1.1.3
n
o
_ n n
nodos i n t e r m e d i o s con 5
J
= Cte,
n = 5, 6, 7, 8
N n ( c , r , ) = i ( 1 -K h
k
(1 -K
.)
oj
j = 1, 2
111.1.1.4
k = 2, 1
Dos de estas f u n c i o n e s p a r a un nodo de v é r t i c e y o t r o de lado i n t e r m e d i o s e e n c u e n t r a n r e p r e s e n t a d a s en la F i g .
I I I . 1 .1.3.
F i g . I I I . 1 .1 .3
E v i d e n t e m e n t e , los elementos pueden s e r alabeados de una o dos c u r v a t u r a s ,
r e g l a d o s 6 simplemente p l a n o s .
E s n e c e s a r i o también el c a l c u l a r el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n p a r a lo
cual h a b r á que c a l c u l a r p r e v i a m e n t e las d e r i v a d a s de las c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s
-
r e s p e c t o a las n a t u r a l e s .
E s t a s d e r i v a d a s se deducen inmediatamente de 1 1 1 . 1 . 1 . 1 , quedando
3 x-
a Mn
^n
=
dZ.
35 .
J
J
III 1 1 5
'
donde las d e r i v a d a s de las f u n c i o n e s de f o r m a son:
nodos de v é r t i c e
n = 1 , 2, 3, 4
n
=
J
/
5n
J
3K
o.
4
)(2K
.+ C
OJ
k
nodos i n t e r m e d i o s con
. .n
3N
(1 + K
5
j
o,
)
k
j = 1, 2
II 1.1.1.6
L.
k = 92 ,11
= Cte
n,
2.
= 1 e . (1 - 5
)
n = 1 , 2, 3, 4
J
j
= 1, 2
k = 2, 1
3 NP
- - - - - = C . (1 + K .)
k
OJ
35
k
con lo que en d e f i n i t i v a el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n q u e d a r í a
I I 1 . 1 .1 .7
j
.3x
+
(
9y
3x
3y^2
35
3n
3n
3?
3 y
3z
3y_
_3JL)2
3n
3n
35
35
+
^3x
35
3 z_
3n
_3_x
3n
donde cada una de las d e r i v a d a s ha sido d e f i n i d a p r e v i a m e n t e .
_3 z
+
35
.1.1.8
I I 1 . 1 . 2 . - A P R O X I M A C I O N DE L A S F U N C I O N E S S O L U C I O N
Habíamos i n d i c a d o que el hecho de e s c o g e r un método a p r o x i m a d o p a r a la
-
r e s o l u c i ó n del s i s t e m a de e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , i m p l i c a b a p r i n c i p a l m e n t e la aprox_i_
mación de las f u n c i o n e s s o l u c i ó n , m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s , en el c o n t o r n o p o r una i n t e r p o l a c i ó n , d e f i n i d a en l I I .1 .1 , s i e n d o los c o e f i c i e n t e s las i n c ó g n i t a s del p r o b l e
ma y N
las f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n , que es n e c e s a r i o e l e g i r .
Usualmente e s t a s f u n c i o n e s se e l i g e n de a c u e r d o con dos o b j e t i v o s f u n d a m e n t a l e s : m e j o r a r la f o r m a del sistema f i n a l r e s u l t a n t e , y d a r a los p a r á m e t r o s a un
i
-
s e n t i d o f í s i c o . A s í , en elementos f i n i t o s se s u e l e n e s c o g e r f u n c i o n e s s p l i n e que ga r a n t i z a n una m a t r i z en banda y p e r m i t e n i d e n t i f i c a r los c o e f i c i e n t e s c o n los m o v i m i e j i
tos de una s e r i e de n o d o s .
E n elementos de c o n t o r n o no es p o s i b l e c o n s e g u i r una m a t r i z en banda, ya
-
que las f u n c i o n e s de p o n d e r a c i ó n ( t e n s o r e s de la s o l u c i ó n fundamental) están definí das en todo el d o m i n i o . S i n embargo con el f i n de mantener la segunda c o n s e c u e n c i a =
apuntada, se escogen también f u n c i o n e s s p l i n e como f u n c i o n e s de i n t e r p o l a c i ó n , es d e c i r p o l i n o m i o s de s o p o r t e pequeño, y más c o n c r e t a m e n t e p o l i n o m i o s que tomen el v a l o r 1 en el nodo al que van a s o c i a d a s y c e r o en el r e s t o de los n o d o s , lo que p e r mite una i d e n t i f i c a c i ó n s i m i l a r a la i n d i c a d a en elementos f i n i t o s .
E n n u e s t r o c a s o hemos seguido la f i l o s o f í a de elementos i s o p a r a m é t r i c o s y hemos e l e g i d o también f u n c i o n e s p a r a b ó l i c a s p a r a a p r o x i m a r las f u n c i o n e s al igual que h i c i m o s en la g e o m e t r í a .
De esta f o r m a , el v a l o r 0 de una de las f u n c i o n e s (u ó t) en un d e t e r m i n a d o -
punto a r b i t r a r i o del c o n t o r n o v e n d r á d e f i n i d a p o r
0 = N
0
n = 1 , 2,
II1.1.2.1
y r e c o r d a n d o que el s o p o r t e de e s t a s f u n c i o n e s estaba r e d u c i d o a los elementos a los
que p e r t e n e c í a el nodo n podemos a s e g u r a r que esta f u n c i ó n 0 va a depender tan s o l o
de los v a l o r e s 0 P que tome d i c h a f u n c i ó n en los nodos del elemento al que p e r t e n e c e =
(
el punto e l e g i d o .
En definitiva tendremos
u (k)
u (k) = < v (k) >
= N . u
w (k)
III.1.2.2
t
t (k) = i
X
(k)
t
(k)
t
(k)
z
= N . t
donde
N =
N1
0
0
N2
0
0
N8
0
0
0
N1
0
0
N2
0
0
N8
0
0
0
N^
0
0
N2
0
0
N
II1.1.2.3
8
w
u
n
=<
.
t =
w
y los v a l o r e s de N
v i e n e n d e f i n i d o s en I I . 1 .1 . 2 y 1 1 . 1 . 1 . 4 .
III.1.2.4
I 11.1.3.— D I S C R E T I Z A C I O N . F O R M U L A C I O N M A T R I C I A L DEL P R O B L E M A
La e c u a c i ó n que r i g e el c o m p o r t a m i e n t o del medio en la s u p e r f i c i e v e n i a
da-
da como
( 6
ik
- C
ik
T
) u. +
i
ik
u ds =
i
y
U , t ds +
ik i
y
6 fi
6 fi
6 fi
E , X ds +
ik
i
y
F, ds
k
y
6 fi
III.1.3.1
C o n s i d e r a n d o que el c u e r p o e l á s t i c o se e n c u e n t r a c o m p u e s t o , p o r u n c o n j u n t o
(r)
de s u b r e g i o n e s homogéneas S
de d i f e r e n t e s p r o p i e d a d e s e l á s t i c a s , la e c u a c i ó n
-
I I I . 1 . 3 . 1 puede e s c r i b i r s e p a r a cada s u b r e g i ó n en la f o r m a
( 6
ik
- C
ik
T
) u. 4
i
(r)
6 fi
ik
U , t. ds +
ik i
y
u ds =
i
y
K
6 fi
(r)
6 fi
F
(r)
E , X ds +
ik
i
y
k
ds
y
(r)
III.1.3.2
6 fi
y deben también t e n e r s e en cuenta las c o n d i c i o n e s de e q u i l i b r i o y c c r r p a t i b i l idad de
-
tensiones y movimientos en i n t e r f a s e s de s u b r e g i o n e s c o l i n d a n t e s , d e f i n i d a s como
(r)
u.
I
(x)
(s)
= u.
I
(x)
III.1.3.3
.
( R )
I
donde x € 6
(X)
= -
(r)
fi
A
(X)
I
6 fi
(s)
(r)
fi de cada s u b r e g i ó n ( r ) , com
S u s t i t u y e n d o a h o r a el c o n t o r n o c o n t i n u o 6
-
puesto de c o n t o r n o e x t e r n o y de i n t e r f a s e s ccn r e s t a n t e s s u b r e g i o n e s c o l i n d a n t e s , <(r)
p o r uno d i s c r e t i z a d o f o r m a d o p o r p ( r ) elementos p a r a b ó l i c o s 6 fi ( c u a d r i l á t e r o s ó
k
t r i á n g u l o s ) , con n nudos cada uno y numerados de 1 a q ( r ) p a r a cada s u b r e g i ó n , de=
(r)
f o r m a que d
( b , c ) , r e p r e s e n t a la n u m e r a c i ó n global del nudo c del elemento b de=
la s u b r e g i ó n r , con
b €
[ 1 , 2
,p
( r )
]
,
c €
[1,2
, n ]
,
(r)i
q^J
d€ (i, 2
y t e n i e n d o en cuenta la i n t e r p o l a c i ó n e s t a b l e c i d a en I I I .1 . 2 , podemos m o d i f i c a r la e x p r e s i ó n I I I .1 . 3 . 2 en la f o r m a
p(r)
[(«
N
- C . . ( a ) ] u. ( a )
ik
ik
i
c
+
(r)
Z
, ,
b=1
( 5 , n ) J (5,n) d^dn =
Z
c=1
P(r)
n
z
b=1
z
c=1
u. ( d
'
T.. , [ x a , y (
ik.
(b,c))
)]
6 fi,
(r)
[ t. ( d w ( b , c )
'
ik
1
N
( £,n) J U
)
d
Sdn +
E
IK
[x
,y(
)]
X.
I
, n ) J (5 , n ) d
n +
H
F
K
[
X
A
,
y (
)] J (
n)
d 5 dn ]
6 a,
donde a r e p r e s e n t a el número del nodo desde el que se i n t e g r a
III.1.3.4
La e x p r e s i ó n I I I . 1 . 3 . 4 r e p r e s e n t a 3 e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s p o r cada nodo
p o r cada s u b r e g i ó n , p o r
y
lo que se d i s p o n d r á de un sistema de 3 q ( r ) e c u a c i o n e s pa_
r a cada s u b r e g i ó n .
A g r u p a n d o t é r m i n o s podemos e x p r e s a r la e c u a c i ó n a n t e r i o r en f o r m a m a t r i c í a l como s i g u e .
i
i
L
b=1
+
B..ik
r
L
c=1
p(r)
Z
b=1
be
u.I (d
(b,c)J =
¿
b=1
L
c=1
LA ik
be
t.I (d
(b,c)> J +
P
.1.3.5
donde
B
B
ik
ik
Ujk[x
be
ct
T
, y Ce , n )J N
(5 , n ) J ti , n ) ÓK d n
a ¿ d
N ° ti , n ) J ti , n) d K d n + [«
<5 a
ik
a
ik
(r)
(b,c)
6 fi
U¡(<[xa, y (5fn)]
be
c
-
C.Ja)]
ik
= d ^
(b,c)
T j k [ x a , y ( z , n)] N ° ( K, n) J ti , n) d C d
be
6 fi.
[E
6n
b
ik
[xa,
y ti , n ) ] X. ( £ , n) + F [ x
' 1
k
y ti , n ) ] ] Jfe ,n ) d K d n
III.1.3.6
La e x p r e s i ó n I I I .1 . 3 . 5 r e p r e s e n t a un sistema de e c u a c i o n e s p a r a cada s u b r e g i ó n con 3.q ( r ) e c u a c i o n e s y 6 . q ( r ) i n c ó g n i t a s (u y t ) .
i
i
Cada t r i p l e t a de e c u a c i o n e s (k) del s i s t e m a , c o r r e s p o n d e a la i n t e g r a l desde
un nodo a , m i e n t r a s que cada t r i p l e t a de columnas r e p r e s e n t a n las i n c ó g n i t a s u ó t del nodo d
i
(r)
.
( b , c ) que se esté
considerando,
E n d e f i n i t i v a la e c u a c i ó n m a t r i c i a l base del método tiene la f o r m a s i g u i e n t e =
p a r a cada s u b r e g i ó n
_(r)
B
u
(r)
A(r)
= A
(r)
t
+ P
(r)
I I I . 1 .3.7
v i n i e n d o los t é r m i n o s de cada una de las m a t r i c e s B , A , P a n t e r i o r e s d e f i n i d o s en
-
III.1.3.6.
A s í , p o r e j e m p l o d i r e m o s que la i n t e g r a l desde un nodo a f i j o s o b r e un ele
-
mentó b c o n c r e t o p r o d u c e 3 (i) x 3 (k) x 8 ( c ) , es d e c i r 72 c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n ,
p a r a las m a t r i c e s A y B , y s o l o 3 (k) t é r m i n o s del v e c t o r P .
E n la e x p r e s i ó n I I I .1 . 3 . 7 los m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s están e x p r e s a d o s en=
c o o r d e n a d a s g l o b a l e s . En g e n e r a l , s i n e m b a r g o , los p o s i b l e s datos se e n c o n t r a r á n =
en c o o r d e n a d a s e l e m e n t a l e s , p o r lo que en la f o r m u l a c i ó n r e s u l t a c o n v e n i e n t e r e f l e j a r este cambio en u y t .
E n g e n e r a l los v e c t o r e s t se pueden e x p r e s a r en f u n c i ó n del v e c t o r local
( a, t
I
, x ) en la f o r m a .
M
-
=
L
IIJ.3.1.8
T1
L
T2J
y análogamente p a r a los m o v i m i e n t o s , donde L r e p r e s e n t a la m a t r i z de cosenos d i r e c
t o r e s de la t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s l o c a l e s a g l o b a l e s .
j
A h o r a b i e n , la e c u a c i ó n I I I . 1 . 3 . 7 se e s t a b l e c e p a r a todos los nudos de cada
subregión ( r ) .
E s t a b l e c i e n d o todas las e c u a c i o n e s de los nudos de todas las s u b r e g i o n e s , e
i n t r o d u c i e n d o en éste las e c u a c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d en los nudos de i n t e r f a s e , se obtiene un sistema de e c u a c i o n e s de ú n i c a s o l u c i ó n una vez c o n s i d e r a das las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .
E n f o r m a m a t r i c i a l la e c u a c i ó n del s i s t e m a s e r á
B'
u = A1
t +
P
II1.1.3.9
(r)
donde B 1 y A ' c o r r e s p o n d e n al e n s a m b l a j e de todas las m a t r i c e s B
(r)
y A
modifica-
das p o r la m a t r i z de t r a n s f o r m a c i ó n L a f i n de que u y t puedan v e n i r e s t a b l e c i d a s en
coordenadas globales ó locales.
p(r)
Para terminar hablaremos del cálculo de los términos b L= 1
B a' k b ;c a = d ^ r \ b , c )
es d e c i r los t é r m i n o s en los que hay que a ñ a d i r , el t e n s o r C
I I 1.1 . 3 . 6 . E s t o s t é r m i n o s pueden c a l c u l a r s e mediante la
ik
, como se e x p r e s ó en -
c o n s i d e r a c i ó n de un caso
p a r t i c u l a r de c a r g a , como es el m o v i m i e n t o del c u e r p o como un s ó l i d o r í g i d o , s i n
-
f u e r z a s p o r unidad de v o l u m e n .
E n este c a s o ¡todas las t e n s i o n e s son n u l a s , p o r lo que la e x p r e s i ó n
-
I I I .1 . 3 . 7 p a r a cada s u b r e g i ó n q u e d a r á .
B
(r)
(r)
u
=0
III.1.3.10
S i nos f i j a m o s en una sola e c u a c i ó n de este s i s t e m a ( a y k f i j a s ) t e n d r e m o s
B a
D1k
11
+ B!,
2k
u
1
. (r)
a
( d y r } ( 1 , 1) + B 0 (
2k„ ^
11
u
be
2
u_ (d
2
(r)
a
+ B_.
1 k,
be
(1,1)
ufoO-h
1
+ B®, , ,
u ( d ( r ) ( q ( r ) , 8)) = 0
3k ( r ) _
q
8
(a ) +
111.1.3.11
de la que se deduce inmediatamente el c á l c u l o de los t é r m i n o s de la diagonal p r i n c i
-
p a l . A s í pues,> si damos el m o v i m i e n t o como s ó l i d o r í g i d o u. = (1 , 0 , 0 ) , y d e s p e j a
-
mos el t é r m i n o : buscado se t i e n e .
p(r)
n
2
b=1
C=1
p(r)
5
^ )
« d
R H
.
;
(b,c)
B
;
K
1kbc
=
Z
b=1
n
S
c=1
( 1 - 6
ad
(P)
(b,c)
•)
B
A
1kbc
III.1.3.12
y análogamente p a r a los o t r o s dos t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a i = 2 e i = 3 , y p a r a el r e s t o de ecuaciones i n t e g r a l e s .
I I 1 . 2 . - C A L C U L O DE L A S C O N S T A N T E S DE
I 1.2.1 . -
INTEGRACION
INTRODUCCION
Como se v i o en el a p a r t a d o a n t e r i o r , una vez d e s a r r o l l a d o el método y des
pues de la r e a l i z a c i ó n de la d i s c r e t i z a c i ó n del c o n t o r n o ,
una s e r i e de i n t e g r a l e s que podemos
A.
ik.
be
B
ik
be
U., N
ik
ds
T , N
ik
ds
r e s u m i r en la
es n e c e s a r i o el c a l c u l a r
forma siguiente:
y
5 fi,
III
y
.2.1.1
5 fi,
E , X ds +
ik
i
y
F, ds
k
y
6 fi .
N a t u r a l m e n t e , estas i n t e g r a l e s p o d r í a n r e a l i z a r s e a n a l í t i c a m e n t e , como en=
l o s c a s o s de a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e o l i n e a l , p e r o debido a la d i f i c u l t a d del elemento
p a r a b ó l i c o , la c o n s e c u c i ó n de esas i n t e g r a l e s es c a s i i m p o s i b l e en f o r m a a n a l í t i c a , p o r l l o que se ha d e c i d i d o el r e a l i z a r l a s de f o r m a n u m é r i c a .
P o r o t r o l a d o , y r e c o r d a n d o l,a s i n g u l a r i d a d que a p a r e c í a en los t e n s o r e s
U
ik
T , p a r a el caso de que la d i s t a n c i a
ik
-
e n t r e el punto desde el que se i n t e g r a , y -
el elemento s o b r e el que se i n t e g r a tendía a c e r o , aunque esa d i f i c u l t a d se salvaba=
mediante la c o n s i d e r a c i ó n de las i n t e g r a l e s en el s e n t i d o de Cauchy (I I .4) es obvio=
que en una i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a se p r o d u c i r á n malos r e s u l t a d o s cuando se i n t e g r e desde un punto muy p r ó x i m o al e l e m e n t o , y más a u n , p o r s u p u e s t o , cuando el nodo pertenezca a dicho elemento.
Se hace p u e s , n e c e s a r i o , el r e a l i z a r una i n t e g r a c i ó n más p r e c i s a a medida
que la d i s t a n c i a n o d o - e l e m e n t o es m e n o r , y p a r t i c u l a r m e n t e cuando ésta es c e r o ,
-
es d e c i r , cuando el nodo p e r t e n e c e al elementos ( i n t e g r a c i ó n a d a p t a t i v a ) .
El p r o b l e m a de c á l c u l o de e s t a s t r e s ¡ n t e g r a l e s se r e d u c e pues a la i n t e g r a
c i ó n de una f u n c i ó n f ( x , y , z) en la s u p e r f i c i e
6 fi de un e l e m e n t o .
b
R e a l i z a n d o el cambio de c o o r d e n a d a s , de f o r m a que t r a t e m o s el p r o b l e m a en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s K , n d e n t r o del e l e m e n t o , como se ha i n d i c a d o en el
-
a p a r t a d o I I I .1 . 3 , la i n t e g r a l q u e d a r á con los l í m i t e s n o r m a l i z a d o s e n t r e - 1 y +1 en la f o r m a
1
f ( x , y , z) ds =
y
68
1
1
fU,
-1
- 1
n)
J U ,
n) d c d
n
1
=
F U ,
- 1
n)
dSdn
- 1
II1.2.1.2
donde J (£ , n ) es el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n que en el c a s o de elementos p a r a b ó l i c o s es v a r i a b l e p a r a cada punto del elemento y c u y o cábculo se r e a l i z ó en el
a p a r t a d o I I I . 1 .1 .
El p r o c e d i m i e n t o que se ha s e g u i d o p a r a r e s o l v e r las ¡ n t e g r a l e s del t i p o
-
I I I . 2 . 1 . 2 es el de c u a d r a t u r a de G a u s s , p o r lo que p r e v i a m e n t e al d e s a r r o l l o del p r o c e d i m i e n t o seguido en el c á l c u l o de d i c h a s c o n s t a n t e s d a r e m o s unas muy b r e v e s
¡deas s o b r e este t i p o de i n t e g r a c i ó n .
I I 1 . 2 . 2 . - P U N T U A L 1 Z A ' C I O N E S S O B R E LA C U A D R A T U R A DE G A U S S
El o b j e t i v o de este a p a r t a d o no r e s p o n d e , a la idea de un t r a t a m i e n t o comple
to s o b r e las r e g l a s de i n t e g r a c i ó n
de G a u s s , que h a n s i d o s u f i c i e n t e m e n t e t r a t a d a s =
p o r m ú l t i p l e s a u t o r e s [ 38 ] , [45] , [i 17]
, sino exclusivamente
justificar algunos're-
s u l t a d o s que se han empleado en el p r o c e s o que s i g u e .
Una r e g l a de i n t e g r a c i ó n de Gauss L e g e n d r e que es la que vamos a u s a r co
-
r r e s p o n d e fundamentalmente a una a p r o x i m a c i ó n de la i n t e g r a l en la f o r m a .
'b
n
f (x) dx =
a
Z
k=1
w
k
f (x, )
k
I I I .2.2.1
donde w. c o r r e s p o n d e a unos v a l o r e s d e t e r m i n a d o s , denominados pesos de la c u a d r a
—
k
t u r a y x, son también a b c i s a s d e t e r m i n a d a s c o n a < x, < b .
k
k
El e s t u d i o de la c o n v e r g e n c i a de las c u a d r a t u r a s de Gauss cuando n — «
-
puede v e r s e p o r e j e m p l o en [117].
N a t u r a l m e n t e el i n c r e m e n t o de p r e c i s i ó n en una c u a d r a t u r a del t i p o a n t e r i o r
se c o n s i g u e aumentando el número de puntos de G a u s s , ya que e l e g i d o é s t e , quedan=
automáticamente d e t e r m i n a d o s pesos y a b c i s a s .
El temares pues c o m p l e j o ,
en un p r o b l e m a g e n e r a l donde e x i s t e n d i s t i n t a s =
_. 1
1
n e c e s i d a d e s de a p r o x i m a c i ó n . E n el método de los elementos de c o n t o r n o que nos
ocupa es e v i d e n t e que al depender las f u n c i o n e s i n t e g r a n d o de - - -
-
y — - - , sera ner
c e s a r i o un m a y o r número de puntos de i n t e g r a c i ó n cuando se i n t e g r a desde un nodo s o b r e un elemento muy c e r c a n o a é l , ya que el g r a d i e n t e de v a r i a c i ó n de la f u n c i ó n -
•» •,•
- •"
es muy e l e v a d o . La s o l u c i ó n a este p r o b l e m a
que se ha adoptado e s j a de s e g u i r un=
método de i n t e g r a c i ó n adaptativo en el s e n t i d o de m o d i f i c a r el número de puntos de
Gauss en la i n t e g r a c i ó n s o b r e cada elemento de a c u e r d o con las n e c e s i d a d e s
-
de pne
cisión.
E s t e p r o c e d i m i e n t o a u t o m á t i c o de i n t e g r a c i ó n genera l o s nodos y pesos s i n i n t e r f e r e n c i a e x t e r i o r . C o n s i g u e también el r e s u l t a d o n u m é r i c o hasta una c i e r t a
-
exactitud prefijada.
La f i l o s o f í a del método pues^consiste fundamentalmente en s u b d i v i d i r el í n t e r
v a l o de i n t e g r a c i ó n (elemento) en un c i e r t o número de s u b i n t e r v a l o s ( s u b e l e m e n t o s ) D . , i = 1 . . . . n , número que puede e s p e c i f i c a r s e
p o r el u s u a r i o ó p o r el mismo p r o
g r a m a , de a c u e r d o con unos c r i t e r i o s de a c o t a c i ó n del e r r o r de i n t e g r a c i ó n , y que=
puede s e r v a r i a b l e p a r a cada uno de los i n t e r v a l o s de a c u e r d o c o n las n o r m a s de
-
exactitud preestablecidas.
N a t u r a l m e n t e p a r a p o d e r e s t a b l e c e r e s t o s s i s t e m a s de e r r o r se ha de supo
n e r en p r i n c i p i o una c u a d r a t u r a f i j a p a r a la i n t e g r a c i ó n s o b r e cada uno de estos ele
m e n t o s , c u a d r a t u r a que n o r m a l m e n t e s u e l e s e r de bajo o r d e n .
Se c o n s i p u e a s í ,
el número de s u b i n t e r v a l o s a p r o p i a d o , es d e c i r aquél en
que el e r r o r no es g r a n d e ni demasiado pequeño de a c u e r d o c o n la e x a c t i t u d r e q u e n
d a . A s í , si el e r r o r es m a y o r que e / n donde e es el e r r o r p r e f i j a d o p a r a el interva_
lo total^no podremos g a r a n t i z a r la p r e t e n s i ó n i n i c i a l , m i e n t r a s que si el e r r o r es
-
demasiado pequeño se ha realizado) una s e r i e de c á l c u l o s i n n e c e s a r i o s que aumenten
el c o s t o de la o p e r a c i ó n .
A c o n t i n u a c i ó n se e s t u d i a cada uno de e s t o s s u b i n t e r v a l o s , ya que puede s e r
que en a l g u n o s de e l l o s sea e f e c t i v a m e n t e n e c e s a r i a una i n t e g r a c i ó n c o n e l n ú m e r o de
p u n t o s de Gauss i n i c i a l m e n t e f i j a d o , p e r o no en o t r o s ^ p u d i e n d o s e r e b a j a r e s t e núme
r o y c o n e l l o a u m e n t a r la v e l o c i d a d del p r o c e s o .
E s t e p r o c e s o c o n t i n u a d o p e r m i t e el d i v i d i r todos los e l e m e n t o s y f i j a r el nú_
m e r o de p u n t o s de i n t e g r a c i ó n en cada uno de los s u b e l e m e n t o s de f o r m a que el
-
e r r o r de i n t e g r a c i ó n se e n c u e n t r e d e b a j o de una c o t a p r e f i j a d a .
E s n e c e s a r i o p u e s , d e f i n i r t a n t o la c o t a del e r r o r como el e r r o r m i s m o . La
p r i m e r a de e l l a s se f i j a c o n unos c r i t e r i o s d i c t a d o s p o r
l a s c a r a c t e r í s t i c a s del mé^
todo de l o s e l e m e n t o s de c o n t o r n o , d e f i n i e n d o s e , en el a p a r t a d o
| | | .2.3,mientras=
que el e r r o r que se c o n s i g u e en una c u a d r a t u r a de Gauss c o n un n ú m e r o de p u n t o s
n se c a l c u l a a c o n t i n u a c i ó n .
I I I .2.2.1
ERROR E N UNA C U A D R A T U R A DE G A U S S
O l v i d á n d o n o s de los e r r o r e s p r o p i o s del método de los elementos de c o n t o r no
como son los debidos a la a p r o x i m a c i ó n de la g e o m e t r í a , al p r o c e s o de d i s c r e
tización, y
los debidos al r e s t o de los p r o c e s o s que i n t e r v i e n e n en la a p l i c a c i ó n -
del método, como son:
- A p r o x i m a c i o n e s r e a l i z a d a s en el t r a t a m i e n t o de i n t e r f a s e s (I I 1 . 3 ) .
- A p r o x i m a c i o n e s en el t r a t a m i e n t o de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o ( I I 1 . 4 ) .
- E r r o r en la r e s o l u c i ó n del s i s t e m a de e c u a c i o n e s ( I I I . 5 ) .
nos c e n t r a r e m o s t a n s o l o en los e r r o r e s quesparecen en el p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n
-
que son los que nos van a s e r v i r p a r a r e a l i z a r la s u b d i v i s i ó n i n d i c a d a en el aparta-i
do a n t e r i o r .
E x i s t e n dos c l a s e s de e r r o r e s fundamentales en todo p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n
n ü m é r i c a , que c o r r e s p o n d e n a los denominados " e r r o r e s de redondeo y t r u n c a m i e n t o "
Los p r i m e r o s son de muy d i f í c i l e v a l u a c i ó n , e x i s t i e n d o toda una t e o r í a p r o b a b i l i s t i c a en el c á l c u l o de éste t i p o de e r r o r . Su t r a t a m i e n t o además es muy com
-
p i e j o y p r á c t i c a m e n t e se e n c u e n t r a n t o t a l m e n t e e n c u b i e r t o s p o r el r e s t o de e r r o r e s =
de r e d o n d e o que a p a r e c e n en el p r o c e s o c o m p l e t o .
E l e r r o r de t r j n c c f n i e n t o s i n e m b a r g o c o r r e s p o n d e p r e c i s a m e n t e al e r r o r que
se c o m e t e r í a al i n t e g r a r una d e t e r m i n a d a f u n c i ó n en un d e t e r m i n a d o i n t e r v a l o , su
-
puesto que ésta se r e a l i z a " e x a c t a m e n t e " mediante un p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n u m e n
ca de G a u s s . E s d e c i r el e r r o r
f (x) dx -
E =
Z
w
k=1
f (x.) ]
k
x
III.2.2.1.1
E s t e e r r o r s f es c a l c u l a b l e , o al menos de f á c i l a c o t a c i ó n , y es el que va
-
d i r e c t a m e n t e a s o c i a d o al p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n pudiéndose m e j o r a r mediante un a u mento c o n v e n i e n t e del número de puntos de i n t e g r a c i ó n . S e r á pues el que nos s e r v i r á p a r a r e a l i z a r el p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n a n t e r i o r m e n t e d e s c r i t o .
El c á l c u l o del e r r o r detruncamiento s u e l e r e a l i z a r s e mediante dos métodos d i s t i n t o s : a c o t a c i ó n mediante las d e r i v a d a s de la f u n c i ó n s u b i n t e g r a n d o , y mediante=
la t e o r i a de f u n c i o n e s a n a l í t i c a s . N o s vamosa c e n t r a r e x c l u s i v a m e n t e en el p r i m e r o ,
p u e s , como se ve en I I I . 2 . 3 , es el más a p r o p i a d o p a r a el t i p o de f u n c i o n e s integra_n
do que vamos a m a n e j a r . Un d e t a l l a d o e s t u d i o de ambos t i p o s de e r r o r e s puede v e r s e
p o r ejemplo en
[38].
2n
Sea f la f u n c i ó n i n t e g r a n d o con f e c
[ a , b ] donde n es el numero de p u n -
tos de Gauss de la c u a d r a t u r a que vamos a d e f i n i r , y
[a,
b ] el i n t e r v a l o en el que
vamos a i n t e g r a r .
D e f i n i r e m o s un e s p a c i o s e m i n o r m a d o
x = | fe c
[ a, b ]
2 n
III.2.2.1.2
}
en el que se d e f i n e la s e m i n o r m a
b
f
Sea E £ X 1
| fn+1 (x)|
Z
dx
el f u n c i o n a l l i n e a l d e f i n i d o s o b r e X
II1.2.2.1.3
>b
(E:X - — I R )
( E
(f)
f(x)
=
a
-
2 w.
k=1 k
f(x ) )
III.2.2.1.4
k
donde w, y a < x, < b son f i j o s y c o r r e s p o n d i e n t e s a los pesos y a b c i s a s de la c u a d r a
k
k
—
t u r a de Gauss de n p u n t o s , p o r lo que
( E (p (x)
= 0)
( V
(x) 6 Pn)
p
III.2.2.1.5
s i e n d o Pn el c o n j u n t o de p o l i n o m i o s de g r a d o n .
E n t o n c e s se t i e n e
1
( V f £ X) (E (f) =
f n + l ) (x) K (x) dx
1I 1 . 2 . 2 . 1 . 6
n !
donde K (x) se denomina núcleo de Peano y t i e n e la f o r m a
K (x) = — - n !
E
III.2.2.1.7
(t - x)
t > x
0
t * X
MI.2.2.1.8
(t-x) + =
La n o t a c i ó n E
[ (t - x ) n ]
t
s i g n i f i c a que el f u n c i o n a l E se a p l i c a a la v a r i a b l e t en ( t - x ) .
+
E s t e t e o r e m a denominado de Peano es la base de c á l c u l o del e r r o r de truncam i e n t o , y su d e m o s t r a c i ó n puede e n c o n t r a r s e p o r e j e m p l o en E n g e l s
El n ú c l e o K (x) es evidentemente de c l a s e C
1
[45].
[a, b] y corresponde a una-
f u n c i ó n s p l i n e con s o p o r t e en [ a ,
b ]
S i a p l i c a m o s a la e x p r e s i ó n I I I .2.2.-1>. 6 la d e s i g u a l d a d de S c h w a r t z
pode-
mos e s c r i b i r
E (f)| <
fn+1(x)
(
|
2
dx)*
(
JK
(xfdx)*
n !
E (f) = —
II f II (
E í f ^ - J n !
(
| K (x) |
K(x)|2
dx)J
dx) 1
.2.2.1.9
III.2.2.1.10
Hemos obtenido pues la norma del o p e r a d o r , a s í como una c o t a p a r a él que=
e r a p r e c i s a m e n t e lo que se iba b u s c a n d o .
El t e o r e m a de Peano es de g r a n g e n e r a l i d a d , p e r o el p r e c i o que se ha de
-
p a g a r es el c á l c u l o del n ú c l e o K (x) según la e x p r e s i ó n I l I . 2 . 2 . 1 . 7 . P a r a el caso=
de cuadratura de Gauss este núcleo está t a b u l a d o en S t r o u d y S e c r e s t [117 ] .
S i n e m b a r g o p a r a este c a s o p a r t i c u l a r puede l l e g a r s e a una s i m p l i f i c a c i ó n que p e r m i t e t r a b a j a r más cbmodamente, p a r t i c u l a r m e n t e con un método a d a p t a t i v o
como el p r o p u e s t o en I I . 2 . 1 que n e c e s i t a de una a c o t a c i ó n del e r r o r f á c i l de u s a r .
E s t a s i m p l i f i c a c i ó n v i e n e d e f i n i d a p o r el s i g u i e n t e t e o r e m a .
-
Sea f (x) £ X , entonces
'b
f (x) dx
E (f) =
-
£
w
k=1
f(x )
k
'
a < n < b
(2n) !
K
K:
III.2.2.1.11
La d e m o s t r a c i ó n es s i m p l e y la r e p r o d u c i m o s a c o n t i n u a c i ó n de D a v i s y R a b [
n o w i t z [ 38] .
Si h 0
, es el ú n i c o p o l i n o m i o de c l a s e P
, p a r a el cual
2n-l
2n-1
h0
(x. ) = f (x. )
2n-1
k
k
k = 1,2, . . . . n
.2.2.1.12
h'
(x ) = f ' ( x . )
2n-1
k
k
se puede e s c r i b i r de a c u e r d o con el t e o r e m a elemental de i n t e r p o l a c i ó n de p o l i n o
-
mios
f (x) = h_
. (x) +
2n-1
f(2n)(5)
2
(x — x )
1
. ..
(2/i)
2
(x - x_)
2
I
2
(x - x )
n
1.2.2.1.13
donde
es
c o n t i n u a pues f
C^n.
I n t e g r a n d o esta e x p r e s i ó n e n t r e a y b y empleando el teorema del v a l o r rtie(2n)
d i o en la i n t e g r a l que c o r r e s p o n d e a f
tenemos
f (x)
h
dx =
a
dx
2n_1
II1.2.2.1.14
+
2n!
K
2
n
donde
K
(x - x )
n
(x - x ) 2 (x - x j 2
i
z
dx
III.2.2.1.15
que c o r r e s p o n d e al c o e f i c i e n t e de n o r m a l i z a c i ó n del p o l i n o m i o de L e g e n d r e de g r a d o
n
*Fn
e'
c a s o de a = - 1 y b = 1 y x
1
x
2
x
n
las a b c i s a s de la c u a d r a t u r a de -
Gauss toma el v a l o r
K2 =
n
.2.2.1.16
_ L
2
n
T e n i e n d o en cuenta p o r ú l t i m o que
b
h
dx
=
Z
Wk
f (
V
III.2.2.1.17
k=1
ya que la r e g l a de Gauss de n puntos i n t e g r a exactamente p o l i n o m i o s de g r a d o hasta=
2n - 1 .
Sustituyendo I I 1 . 2 . 2 . 1 - 1 6 y I I I . 2 . 2 . 1 . 1 7 en I I I . 2 . 2 . 1 . 1 4 se obtiene la
e x p r e s i ó n f i n a l p a r a el e r r o r en el caso de c u a d r a t u r a de Gauss - L e g e n d r e
f(2n)(n)
2n !
2
de la que se h a r á uso en los a p a r t a d o s s i g u i e n t e s
III.2.2.1.18
-
I I I . 2 . 3 . - S U B D I V I S I O N E N S U B E L E M E N T O S . C A L C U L O DE I N T E G R A C I O N DE
LOS P U N T O S DE I N T E G R A C I O N E N C A D A E L E M E N T O
La i n t e g r a l I l I . 2 . 1 . 2 es la que h a b r á que r e a l i z a r n u m é r i c a m e n t e con la
-
m a y o r p r e c i s i ó n p o s i b l e d e n t r o de la economía y de a c u e r d o c o n las p r e m i s a s a n t e r i o r e s . P a r a c o n s e g u i r esta p r e c i s i ó n se puede s e g u i r un p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n del elemento en d i s t i n t o s s u b e l e m e n t o s , d e f o r m a que d e n t r o de cada uno de e l l o s se
r e a l i c e la i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a , c o n lo cual p o d r í a a u m e n t a r s e el n u m e r o de pun tos de i n t e g r a c i ó n en el elemento g l o b a l .
Es d e c i r , puede c o n s i d e r a r s e esta i n t e g r a l I como la suma de d i s t i n t a s i n t e g r a l e s p a r c i a l e s en la f o r m a
N
=
1
Z
i=1
donde I
ij
N.
"
2
I I 1.2.3.-1
Z
j=1
|J
r e p r e s e n t a la i n t e g r a c i ó n s o b r e el subelemento i , j y N
y N 0 son el núme>
1
2
-
r o de subelementos en la d i r e c c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a £ y n r e s p e c t i v a m e n t e
(Fig. I I I
2.3.1)
TI
I1.2.3.1
-
La i n t e g r a l n u m é r i c a de la f u n c i ó n s o b r e cada subelemento se r e a l i z a r á s e gún el esquema de i n t e g r a c i ó n de G a u s s ,
con puntos de i n t e g r a c i ó n n o r m a l i z a -
dos e n t r e - 1 y 1 . E n n u e s t r o c a s o las c o o r d e n a d a s del elemento global e s t á n norma
l i z a d a s , p e r o no las de cada s u b e l e m e n t o . E s pues n e c e s a r i o el r e a l i z a r una según
da t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s , de i n t r í n s e c a s
elementales
a i n t r í n s e c a s sub
elementales.
E s t a t r a n s f o r m a c i ó n v i e n e d e f i n i d a p o r la e x p r e s i ó n
5 el.
5 sub
—
N.
+ Cte.
I Ii.2.3 .2
donde la c o n s t a n t e r e p r e s e n t a la c o o r d e n a d a i n t r í n s e c a elemental p a r a el punto del
subelemento donde 5 sub = 0 , es d e c i r , el c e n t r o de g r a v e d a d del s u b e l e m e n t o .
i
E n d e f i n i t i v a , si q u e r e m o s t r a b a j a r en c o o r d e n a d a s s u b e l e m e n t a l e s , de
-
f o r m a que e s t a s v a r i e n e n t r e - 1 y 1 , p a r a p o d e r a p l i c a r la c u a d r a t u r a de G a u s s , en cada uno de e l l o s , s e r á también n e c e s a r i o el m u l t i p l i c a r cada i n t e g r a l I . . p o r
U
el j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n que es
3_5_el _
3 5 sub
3 5 el
3 n sub
N.
0
s =
N
3 nel
3TI
3 5sub
3 n sub
el
2
J
N~
III.2.3.3
-
Con e l l o la i n t e g r a l I I I . 2 . 3 . 2
N
N
1
N
N,
Z
Z4
¡=1
2
q u e d a r á en la f o r m a
I . . ( K s u b , n sub)
U
>1
donde a h o r a s i es p o s i b l e c a l c u l a r cada i n t e g r a l
I
III.2.3.4
a p l i c a n d o la c u a d r a t u r a de
-
X ^ ( i , j) p u n t o s de G a u s s en
-
|J
Gauss u s u a l .
A s í , s i p a r a el s u b e l e m e n t o i , j e l e g i m o s
la d i r e c c i ó n Z, y X
j ) p u n t o s en la d i r e c c i ó n n y l o s pesos de cada punto kl de -
la m a l l a d e f i n i d a en e l s u b e l e m e n t o i , j l o s d e n o m i n a r l o s como
K'.
^
w
I
p a r a c a d a una de l a s d i r e c c i o n e s r e s p e c t i v a m e n t e , cada una de" las i n t e g r a l e s i , j
q u e d a r á en la f o r m a
1
1
|J
F ( £ sub,TI sub) dC s u b d TI s u b
=
•1 J - 1
X-jOj)
X 2<i, j)
Z
k = 1
= 1
X1 ( í , j )
w.
k
X 2(¡,j)
J
k
w.
. F (£ s u b , n sub)
r
III.2.3.5
y la i n t e g r a l t o t a l I I I . 2 . 3 . 1 p o r t a n t o
F ( £ el,
TI
el) d
£ el d n e l
=
-1 J-1
.2.3.6
1
Kl •
N , Nrt
1 2
I
v /
Z
„
=1
Z
. ,
j=l
n
1
" »
Z
, „
k=1
y¡-j)
Z
, ,
=1
x/i.j)
w,
k
k
w.
I
. F ( c sub
,
TI
sub)
N a t u r a l m e n t e , p a r a la c u a d r a t u r a de G a u s s , X
X
, elegida p a r a cada sub
e l e m e n t o , v i e n e n f i j a d o s d i r e c t a m e n t e los pesos w. 1 , w
a s í como las c o o r d e n a
k
I
,
'
das (Z s u b , TI sub) de cada punto de i n t e g r a c i ó n ó lo que es lo mismo también las c o o r d e n a d a s e l e m e n t a l e s de cada punto de i n t e g r a c i ó n que v e n í a n dadas en f u n c i ó n de las a n t e r i o r e s p o r la e x p r e s i ó n I I I . 2 . 3 . 2 . Esta e x p r e s i ó n algo más d e s a r r o l l a d a
puede e x p r e s a r s e como
K el
= 1 +
1 - 2i+ K sub
N
TI
el
= 1 +
i
III.2.3.7
1 - 2 j + n sub
N,
2
k
I
v i n i e n d o K sub y TI sub
d e f i n i d a s , como se ha d i c h o , p o r la c u a d r a t u r a de Gauss
-
correspondiente.
E n d e f i n i t i v a , se o b s e r v a que p a r a r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n , es n e c e s a r i o el =
c á l c u l o de los v a l o r e s N^ , N 2 , X ^ ( i , j ) , X
( ¡ , j ) y el c á l c u l o de la f u n c i ó n F en cada
punto de i n t e g r a c i ó n . El número de subelementos en cada d i r e c c i ó n , y el número de=
puntos de i n t e g r a c i ó n a u t i l i z a r en cada d i r e c c i ó n de cada s u b e l e m e n t o , se r e a l i z a
-
mediante un p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n que se d e t a l l a r á s e g u i d a m e n t e .
La f u n c i ó n F p o r o t r o l a d o , v a r i a r á de a c u e r d o con la i n t e g r a l a c a l c u l a r ,
según sea la c o r r e s p o n d i e n t e a A™ , B
¡j
¡j
fe I I 1 . 2 . 4 .
ó F
'
-
y su c á l c u l o se e s t u d i a r á en el e p í g r a
El número de subelementos y de puntos de i n t e g r a c i ó n en cada uno de e l l o s se r e a l i z a de a c u e r d o c o n la p r e m i s a de c o n s e g u i r una i n t e g r a c i ó n con un e r r o r i n -
f e r i o r a una p r e f i j a d o , igual p a r a todas las i n t e g r a l e s que se r e a l i z a n . E l c r i t e r i o de a c o t a c i ó n del e r r o r de i n t e g r a c i ó n e l e g i d o es el p r o p u e s t o p o r S t r o i r i y S e c r e s t ,
y
c¡ tado en I I I . 2 . 2 .
E l p r o c e s o c o n s i s t i r í a pues en e l e g i r una c o t a de e r r o r máxima e i r c a l c u lando las d e r i v a d a s 2 X - esimas del
i
ñ o r que la c o t a e l e g i d a .
inte.grando hasta que una de e l l a s f u e r e m e -
E n n u e s t r o c a s o , s i n e m b a r g o , y debido a la c o m p l e j i d a d de los i n t e g r a n d o s
es p r á c t i c a m e n t e i m p o s i b l e el c á l c u l o de las d e r i v a d a s 2 X - ésimas p a r a cada
i
-
una de las ¡ n t e g r a l e s p r o p u e s t a s . P o r e l l o , se va a u t i l i z a r una e x p r e s i ó n s i m p l i
-
cada del
i n t e g r a n d o que c o r r e s p o n d e al término de los i n t e g r a n d o s que más r a p i -
damente v a r í a en las p r o x i m i d a d e s de la s i n g u l a r i d a d , es d e c i r el o r d e n m a y o r de s i n g u l a r i d a d de las f u n c i o n e s i n t e g r a n d o , que evidentemente c o r r e s p o n d e a la ma
y o r fuente de e r r o r en e s t a s ¡ n t e g r a l e s . E s t e t é r m i n o es - - - ^ r
r
f
-
p a r a las funciones=
s u b i n t e g r a l e s que nos o c u p a n . T r a b a j a r e m o s con este t é r m i n o a p a r t i r de este mo mentó.
1
Aun con esta s i m p l i f i c a c i ó n , las d e r i v a d a s 2 X - esimas r e s p e c t o a ?
i
y ri
s o n muy c o m p l i c a d a s en elementos p a r a b ó l i c o s , p o r lo que es n e c e s a r i o a ñ a d i r
-
o t r a s e r i e de s i m p l i f i c a c i o n e s .
A s í , si suponemos que el elemento no es muy d i s t o r s i o n a d o , lo que o c u r r e
n o r m a l m e n t e , ya que en c a s o c o n t r a r i o s i g n i f i c a r í a una mala d i s c r e t i z a c i ó n , y
3 s
p o r tanto malos r e s u l t a d o s , el r é g i m e n de v a r i a c i ó n del j a c o b i a n o
p a r a cafla
3
d i r e c c i ó n , y en l a s zonas c e r c a n a s a la s i n g u l a r i d a d , s e r á pequeño f r e n t e a la va_
r i a c i ó n de — ~
r
¿
respecto a K
i
. Considerándolo constante podríamos e s c r i b i r .
8
3
2 X
¡
1
(—y)
r
r
3S .
i
2 X
3 s
i
3 s - ), 2 X ¡
(
a
i
.2.3.8
i
S u p o n i e n d o también que la d e r i v a d a 2 X _ - ésima de ( " y ) r e s p e c t o a fe
p
en el punto del elemento más c e r c a n o al nodo desde el que se i n t e g r a , nunca es mayor que la d e r i v a d a 2 X - é s i m a con r e s p e c t o a r (vease F i g .
i
tendría
3
2 X1 , 1 },
<—f
r
2X
3 5 .«
i
3.
2 X 1
1 ( — 2 »
r
a rr
3
2 X
I I I . 2 . 3 . 2 ) , se=
, 3 s > 2 X.,
<
i
•i
(2 x. + 1) !
i
2X~+2~
i
(-- - J
85.
I
2 X
.2.3.9
1
y el v a l o r m a y o r , de esta d e r i v a d a , c o r r e s p o n d e r á , evidentemente al punto con
*
i
d i s t a n c i a r al nodo desde el que se i n t e g r a m e n o r . A s i .
. |
1
F (c» n) d s d r j -
ERROR =
-1
-1
2
Z
Z
k=l
1=1
X1
X
-1«
-1
Z
k=1
w
w.
F (5 , , n ,) -
2
X
JdSd,-
-
Z wk
1=1
1
X
W|
2
1
2~~k
í~
r U ,r) )
III.2.3.10
(2X\+ 1) !
2
<
=
„ ~ •
2GJ
1
z
i=1
2 X ! 2
i
X•
1
/ 8 s x 2A,
(-——)
' .
3
f¡
111,2,3,10
R
'
Denominando a h o r a
3C.
a.=
i
III.2.3.11
2R
es f á c i l d e d u c i r de la a n t e r i o r
2
ERROR V
¿1 -
- —
R2
z
2 X.
(2 X. + 1)
I
a.
I
'
II 1.2.3.12
El e r r o r máximo que puede o c u r r i r queda ya d e t e r m i n a d o p o r la e x p r e s i ó n
-
I I I . 2 . 3 . 1 2 . E s n e c e s a r i o a h o r a e l e g i r una c o t a de e r r o r de f o r m a que este esté
-
s i e m p r e debajo de a q u e l l a .
E s t a cota se e l e g i r á v a r i a b l e , de f o r m a que sea p r o p o r c i o n a l a l p r o d u c t o del
á r e a del e l e m e n t o , ( l o que en p r i n c i p i o i n d i c a que el e r r o r de i n t e g r a c i ó n s e r á menor
p a r a elementos más p e q u e ñ o s , y al i n v e r s o del c u a d r a d o de la d i s t a n c i a m í n i m a ,
( e r r o r e s m a y o r e s p a r a d i s t a n c i a s m e n o r e s ) , lo que es r a z o n a b l e .
En d e f i n i t i v a
COTA = K
. Area
I I 1.2.3.13
R
S i a h o r a . e x p r e s a m o s que el e r r o r debe s e r menor que la a c o t a c i ó n a n t e r i o r
r
tendremos
2
------R2
i
(2 A
¡=i
+1)a
2 X
'
<
K
---R2
1
.Area
III.2.3.14
;
y r e c o r d a n d o que el jacobiano se c o n s i d e r a b a c o n s t a n t e , este s e r á p r o p o r c i o n a l al
á r e a del elemento (en elcasoplaro q j e e l j a c o b i a n o s í es c o n s t a n t e se t i e n e
J =
p o r lo que en d e f i n i t i v a se t e n d r á
2
2 X.
Z
(2 X + 1) a . '
: i
1=1
i
•
=
2 Cte.
III.2.3.15
y si suponemos a p r o x i m a d a m e n t e i g u a l e s los e r r o r e s en cada d i r e c c i ó n , p a r a cada=
una de e l l a s la a c o t a c i ó n v e n d r á d e f i n i d a p o r
-
(2
x
2
. + 1)
a .
X ¡
s
i-
•
III.2.3.16
c t e
E s t a c o n s t a n t e está f i j a d a p o r la e x p e r i e n c i a y está r e l a c i o n a d a
con el n ú -
m e r o de puntos de Gauss que es n e c e s a r i o s i t u a r en un a r c o de un r a d i á n p a r a c o n s e g u i r un e r r o r igual al d e f i n i d o p o r I I 1 . 2 . 3 . 1 2 , i n t e g r a n d o desde el c e n t r o .
E f e c t i v a m e n t e , en el c a s o de este a r c o
3s
L
R
3
2
2
l
r = R p a r a todo punto y
-
p a r a el a r c o de un r a d i á n .
P o r tanto
R
a. = (
)
-
2 X¡
=
2R
-
-
4
-
-
2 X
-
¡
III.2.3.17
C t e = (2 X . + 1)
I
donde
—-12 X.
4
'
es el número de puntos de i n t e g r a c i ó n r e q u e r i d o s p a r a c o n s e g u i r una cota
de e r r o r igual a la a n t e r i o r en el a r c o de un r a d i a n .
R e s u m i e n d o , p a r a l l e g a r a la e x p r e s i ó n 1 I I . 2 . 3 . 1 6 se han seguido
una s e -
r i e de s i m p l i f i c a c i o n e s , e n t r e las que se e n c u e n t r a n
( 1 ) . - Se e s t a b l e c e el e r r o r máximo p a r a la f u n c i ó n ( — q u e
r
a la m a y o r s i n g u l a r i d a d de las f u n c i o n e s i n t e g r a l e s .
corresponde:
( 2 ) . - El j a c o b i a n o de la t r a n s f o r m a c i ó n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s - c o o r d e n a
das n a t u r a l e s se c o n s i d e r a c o n s t a n t e en las p r o x i m i d a d e s del punto más c e r c a n o del elemento a! nodo desde el que se i n t e g r a .
( 3 ) . - Se supone que la v a r i a c i ó n de r r e s p e c t o a s es i n f e r i o r a la v a r í a c i ó n r e s p e c t o a r , lo que es c i e r t o p a r a elementos poco d i s t o r s i o n a d o s .
E n cuanto a la c o t a e l e g i d a p a r a el e r r o r
les supuestos son:
( 1 ) . - Es igual en ambas d i r e c c i o n e s .
( 2 ) . - E s p r o p o r c i o n a l al p r o d u c t o de
--
p o r el á r e a del e l e m e n t o .
R
Una vez d e f i n i d a la a c o t a c i ó n del e r r o r , es n e c e s a r i o p r o c e d e r á ! cálculode puntos de i n t e g r a c i ó n
. en cada d i r e c c i ó n que cumple I I I . 2 . 3 . 1 6 .
P a r a e l l o se ha de c a l c u l a r p r e v i a m e n t e la d i s t a n c i a mínima del punto al e l e m e n t o , R y el v a l o r de
a s
3 C.
que a p a r e c e n en I I I . 2 . 3 . 1 6 ( n a t u r a l m e n t e supues
ta f i j a d a la c o n s t a n t e ) , y a c o n t i n u a c i ó n se p r o c e d e a la s u b d i v i s i ó n . E n los epí g r a f e s s i g u i e n t e s , se e s t u d i a r á b r e v e m e n t e el p r o c e d i m i e n t o de c á l c u l o de las
-
magnitudes a n t e r i o r e s y a c o n t i n u a c i ó n el p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n , tanto en nodos
s i t u a d o s f u e r a del elemento s o b r e el que se i n t e g r a como s i t u a d o s en é l .
I I I .2.3.1
C A L C U L O D E LA D I S T A N C I A M I N I M A
DE UN P U N T O A UN
ELEMENTO
El p r o c e s o de c á l c u l o es de f o r m a i t e r a t i v a , t r a t a n d o de e n c o n t r a r el punto=
del e l e m e n t o , que es i n t e r s e c c i ó n de la n o r m a l a la s u p e r f i c i e del e l e m e n t o , t r a z a d a
desde el punto de i n t e g r a c i ó n , en d i c h o e l e m e n t o , que , evidentemente s e r á el punto
de d i s t a n c i a mínima al nodo s i n g u l a r , con la s a l v e d a d de c o n s i d e r a r elementos poco=
degenerados.
En el c a s o más usual de que la n o r m a l a la s u p e r f i c i e p a r a b ó l i c a , que defi
-
nen los nodos del e l e m e n t o , no «¡ntersecte s o b r e é l , se c o n s i d e r a r á el punto del e l e mento más c e r c a n o al punto i n t e r s e c c i ó n ideal (vease F i g . I I 1 . 2 . 3 . 1 . 1 )
P l a n o tangente al
elemento en el
CDG
Fig. | 1 | .2.3.1.1
El p r o c e s o comienza c a l c u l a n d o la d i s t a n c i a del nodo a un punto i n i c i a l del e l e m e n t o , p o r ejemplo el c e n t r o de g r a v e d a d
de este ( 5 = 0 ,
n = 0 ) , así como el
-
v e c t o r u n i t a r i o de d i c h a d i s t a n c i a .
A c o n t i n u a c i ó n , se c a l c u l a la d i r e c c i ó n , en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s de la
-
p r o y e c c i ó n de la d i s t a n c i a D s o b r e el p l a n o tangente al elemento en el punto a n t e r i o r
P ( CDG en la F i g . I I I . 2 . 3 . 1 . i).
N a t u r a l m e n t e , esto se r e d u c e a c a l c u l a r las c o o r
denadas del v e c t o r d i s t a n c i a D , en las d i r e c c i o n e s i n t r í n s e c a s en el punto a n t e r i o r ,
mediante la r e a l i z a c i ó n de los p r o d u c t o s e s c a l a r e s .
°
K
= 9 •
i
III.2.3.1.1
D
n
= D .
n
donde los v e c t o r e s ? y n son los v e c t o r e s tangentes a las d i r e c c i o n e s i n t r í n s e c a s en
el punto c o n s i d e r a d o , cuyo c á l c u l o se e s t u d i a en I I I . 2 . 3 . 2 .
Una vez r e a l i z a d o este c á l c u l o , se p r o c e d e a un cambio de la s i t u a c i ó n del =
punto i n i c i a l de t a n t e o , de f o r m a que se c o n s i d e r e el punto P , o en su d e f e c t o al
i
-
punto del elemento más p r o x i m o a P en la d i r e c c i ó n de la p r o y e c c i ó n de la d i s t a n c i a
(punto P ' ) .
En el c a s o de que el cambio en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s
a r e a l i z a r sea muy
g r a n d e , se c o n s i d e r a que la a p r o x i m a c i ó n del elemento p o r el plano tangente no es=
buena, y se p r o c e d e a un cambio g r a d u a l , cambiando el punto i n i c i a l a o t r o punto
-
•
en la d i r e c c i ó n de la p r o y e c c i ó n , p e r o en el que el cambio de c o o r d e n a d a s sea pe , queño.
Una vez m o d i f i c a d a en este f o r m a la s i t u a c i ó n del punto i n i c i a l , se r e p i t e el
p r o c e s o tomando este nuevo punto como i n i c i a l , hasta l l e g a r a un punto s a t i s f a c t o
r i o , entendiendo como t a l , aquél en el que el cambio p r o d u c i d o en la d i s t a n c i a
-
por=
la m o d i f i c a c i ó n a un nuevo punto es i n s i g n i f i c a n t e .
N a t u r a l m e n t e , s i el punto P se e n c u e n t r a d e n t r o del e l e m e n t o , la p r o y e c c i ó n
de la d i s t a n c i a D s o b r e el plano tangente es nula y f i n a l i z a el p r o c e s o .
I I 1 . 2 . 3 . 2 . - C A L C U L O DE L A S V A R I A C I O N —
ES
-a- ^- - i
Y DEL J A C O B I A N O J
P a r a c a l c u l a r estas v a r i a c i o n e s que a p a r e c í a n en la e x p r e s i ó n ! I I . 2 . 3 . 1 6 ,
es n e c e s a r i o el c á l c u l o p r e v i o de los v e c t o r e s
£ y
n tangentes
a las d i r e c c i o n e s
i n t r í n s e c a s en un punto del e l e m e n t o , ya u t i l i z a d o s en el e p í g r a f e a n t e r i o r .
E s t o s v e c t o r e s v i e n e n dados p o r
1 x
~¿Ti7
i
¡
( P )
=
<
<
<2
J J L
3 K.
3
)
.2.3.2.1
Z
I T "
K.
i
d e r i v a d a s que v e n í a n d e f i n i d a s en I I I . 1 .1 . 6 y I I I . 1 .1 . 7
i
El c á l c u l o de la n o r m a l ál elemento en c u e s t i ó n en el punto c o n s i d e r a d o se r e a l i z a r á s i n más que e f e c t u a r el p r o d u c t o v e c t o r i a l de los dos v e c t o r e s tangentes •L
9
ü '
Con e s t o s c á l c u l o s p r e v i o s ya es p o s i b l e la c o n s e c u c i ó n de los v a l o r e s b u s cados, éstos son.
3s
£ .
- i
i
n
|
=
\
III.2.3.2.2
i
x
J?
|
es d e c i r los módulos de los v e c t o r e s a n t e r i o r m e n t e c a l c u l a d o s .
Una vez c o n o c i d o s
9 s
y R es p o s i b l e el e s t u d i o de la s u b d i v i s i ó n del ele-
mentó según el esquema i n d i c a d o en I I I . 2 . 3 . 3 .
I I I . 2 . 3 . 3 . - P R O C E S O DE S U B D I V I S I O N DE UN E L E M E N T O C U A N D O EL NODO
D E S D E EL QUE S E I N T E G R A NO P E R T E N E C E A D I C H O E L E M E N T O
E s t e p r o c e s o que p a r t e cié el c r i t e r i o de a c o t a c i ó n del e r r o r de i n t e g r a c i ó n
d e s c r i t o en I I I . 2 . 3 y c u y o r e s u l t a d o fue la e c u a c i ó n I I I . 2 . 3 . 1 6 c a l c u l a el número=
de subelementos a d i v i d i r
el elemento i n i c i a l y el número de puntos de i n t e g r a c i ó n -
a i n t r o d u c i r en cada uno de e l l o s .
E v i d e n t e m e n t e , lo p r i m e r o que se hace es d e f i n i r los v a l o r e s
que a p a r e c e n
en I I I . 2 . 3 . 1 6 . A s í , la Cte e s t a r á dada i n i c i a l mente, y el c á l c u l o de la d i s t a n c i a
-
mínima del nodo al e l e m e n t o ,
R , y el punto del elemento que se e n c u e n t r a a esta 3 s
d i s t a n c i a m í n i m a , y al mismo tiempo los v a l o r e s de
en ese p u n t o , y con e l l o
3 £.
a . , en cada d i r e c c i ó n , se r e a l i z a n según I I I . 2 . 3 . 1 y
I I I .2.3.2.
i
r
A c o n t i n u a c i ó n se supone un número máximo de puntos de i n t e g r a c i ó n en c a da d i r e c c i ó n ( c o n s i d e r a m o s 6 , p o r e j e m p l o , en el p r o g r a m a p r e s e n t a d o ) y se c a l c u 2X•
la (2 X + 1) o
1
. S i este v a l o r es i n f e r i o r a la c o n s t a n t e p r e f i j a d a , se p r o d r í a =
c o n s e g u i r un e r r o r i n f e r i o r al p e r m i t i d o con un s o l o subelemento en esa d i r e c c i ó n y
6 puntos de i n t e g r a c i ó n o menos. En c a s o c o n t r a r i o es n e c e s a r i o aumentar el númer o de columnas de subelementos
en la d i r e c c i ó n t r a t a d a , con lo cual se c o n s e g u i r í a
aumentar el número de puntos de i n t e g r a c i ó n ( r e c u é r d e s e que el máximo número dees
tos puntos f p e r m i t i d o s es de 6 en cada d i r e c c i ó n y p o r subelemento).
En una p r i m e r a s u b d i v i s i ó n se c o n s i d e r a n dos columnas de
con lo que
£.
= 2 £ .
'sub
c o n lo que
a .
+ K según I I I . 2 . 3 . 2 , y
'el
= \ a .
sub
3s
9
^sub
subelementos
3 s
i
8
•
-
^ el
, d i s m i n u y e n d o p o r tanto el e r r o r cometido en la i n t e g r a
el
c i ó n , pudiéndose c o n s e g u i r que este sea i n f e r i o r a la C t e . E n c a s o c o n t r a r i o sigue
s u b d i v i d i e n d o s e en subelementos c o n s i d e r a n d o s i e m p r e
e l l o s , hasta que el e r r o r sea i n f e r i o r a Cte ó hasta
X = 6 p a r a cada uno de
i
-
que se llega a un número máxi_
mo p e r m i t i d o de columnas (20 en el p r o g r a m a que nos o c u p a ) .
Análogamente se r e a l i z a en la o t r a d i r e c c i ó n obteniendose N
y N . Natural
1 2
~
m e n t e , el número máximo de s u b e l e m e n t o s , 20 x 2 0 , s o l o se d a r á cuando a sea
^
'
3 s
muy g r a n d e , es d e c i r
sea muy a l t o (elementos muy g r a n d e s ) ó R sea muy pe queño (punto desde el que se i n t e g r a muy p r ó x i m o al e l e m e n t o ) .
A p e s a r de todc^este número se c o n s i d e r a en g e n e r a l
se ha impuesto una l i m i t a c i ó n a d i c i o n a l
e x c e s i v o , p o r lo que=
de 100 subelementos p o r e l e m e n t o , p r o c e
-
diendose a una r e d u c c i ó n a un número menor que e s t e , en el c a s o de que sea necesa
r i o un número s u p e r i o r , p r o p o r c i o n a l al n ú m e r o n e c e s a r i o en cada d i r e c c i ó n .
Una vez c a l c u l a d o s N^ y N ^ en la f o r m a i n d i c a d a , se p r o c e d e p a r a cada uno
de d i c h o s subelementos al c á l c u l o del número de puntos de i n t e g r a c i ó n que hay que
T
i n t r o d u c i r en él p a r a que de nuevo el e r r o r de i n t e g r a c i ó n en ese subelemento partj_
c u l a r sea i n f e r i o r al r e q u e r i d o . En d e f i n i t i v a se p r e t e n d e d e t e r m i n a r
X^ ( i , j ) y
-
X ^ ( i , j ) p a r a cada subelemento i , j .
El p r o c e d i m i e n t o es análogo al a n t e r i o r . A s í , p a r a cada subelemento se c a l c u l a la d i s t a n c i a mínima y el punto del subelemento que se e n c u e n t r a a esa cfistanc¡a=
m í n i m a , lo que es muy f á c i l de r e a l i z a r , pues ese punto s e r á el más p r o x i m o al punto
del elemento t o t a l cuya d i s t a n c i a sea m í n i m a , o lo que es igual al punto del sube!#e
-
mentó
-
c u y a s c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s se e n c u e n t r e n más p r ó x i m a s a las del punto
anterior.
APROXIMACION NUMERICA
I I I .2
El c á l c u l o de la d i s t a n c i a es inmediato p o r t a n t o , r e d u c i e n d o s e a la d i s t a n c i a e n t r e dos p u n t o s . P a r a el subelemento en el que se e n c u e n t r e d i c h o punto de d i s
t a n c i a m í n i m a , lógicamente la d i s t a n c i a y el punto más p r ó x i m o c o i n c i d i r á n con los c a l c u l a d o s p a r a el elemento g l o b a l .
Una vez c a l c u l a d a d i c h a d i s t a n c i a se c a l c u l a
3
s
3 5.
y a
k
con lo que p r o c e -
d i e n d o de f o r m a i t e r a t i v a se puede c a l c u l a r el mínimo n ú m e r o de puntos de i n t e g r a c i ó n en la d i r e c c i ó n k que cumplen la c o n d i c i ó n de a c o t a c i ó n del e r r o r .
Con e l l o queda d e f i n i d a t o t a l m e n t e la s u b d i v i s i ó n de un elemento i n t e g r a n d o
desde un nodo que no p e r t e n e c e a é l .
I I I . 2 . 3 - . 4 . - S U B D I V I S I O N E N EL C A S O DE QUE EL NODO P E R T E N E Z C A AL
ELEMENTO
Como se i n d i c ó en el a p a r t a d o de g e n e r a l i d a d e s , el hecho de que las f u n c i o a
a
1 1
» B..
y P,
dependan de
y — - - para r
nes i n t e g r a n d o de A .
0,
ik
ku
r
2
'Ju
be
be
b
r
hace que las i n t e g r a l e s sean s i n g u l a r e s .
S i b i e n esta d i f i c u l t a d se s a l v a matemáticamente mediante
de la i n t e g r a l en el s e n t i d o de Cauchy
la c o n s i d e r a c i ó n
(vease I I . 4 ) , no p o r e l l o deja de e x i s t i r un=
g r a d i e n t e muy g r a n d e de la f u n c i ó n s u b i n t e g r a l en las p r o x i m i d a d e s de la s i n g u l a r i d a d , con los p r o b l e m a s de o r d e n n u m é r i c o que
ello implica.
P a r a s a l v a r l o , se t r a t a de d i s p o n e r de una g r a n c a n t i d a d de puntos de i n t e g r a c i ó n en las p r o x i m i d a d e s de la s i n g u l a r i d a d , p a r a lo cual se d i v i d e el cuadriláte_
r o i n i c i a l en dos t r i á n g u l o s f o r m a d o s p o r el nodo desde el que se i n t e g r a y los la
dos opuestos ( F i g .
I I I.2.3.4.1).
Lado 2
Fig. I I I .2.3.4.1
Lado 1
-
La s u b d i v i s i ó n en cada uno de e l l o s , se r e a l i z a c o n s i d e r á n d o l o s como cua d r ¡ l a t e r o s d e g e n e r a d o s , donde el lado d e g e n e r a d o c o r r e s p o n d e p r e c i s a m e n t e al c o r r e s p o n d i e n t e al nodo desde el que se
integra.
N a t u r a l m e n t e , al i n t e g r a r s o b r e elementos t r i a n g u l a r e s h a b r á que r e a l i z a r
un cambio de c o o r d e n a d a s , de las " l o c a l e s " del
d r i l á t e r o en la f o r m a indicada p o r la F i g .
t r i á n g u l o a las " g l o b a l e s " del c u a -
I I I .2.3.4.2.
TI =
1
K. = - 1
n
= -1
Fig.
III.2.3.4.2
E s t e c a m b i o de c o o r d e n a d a s es l i n e a l , y tiene la f o r m a
K . U.)
ig
I
= N
n
U
,)
I
5
"
ig
I.2.3.4.1
donde 5
( £,) son las c o o r d e n a d a s " g l o b a l e s " de un punto del t r i á n g u l o en f u n c i ó n
ig
I
de las " l o c a l e s " , £
son las c o o r d e n a d a s g l o b a l e s de los nodos del t r i á n g u l o y <g
n
*
N
es la m a t r i z de f u n c i o n e s de f o r m a l i n e a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s al c u a d r i l á t e r o , c u -
ya e x p r e s i ó n es
.2.3.4.2
y evidentemente 5
^ ig
=
c o r r e s p o n d i e n t e s al lado d e g e n e r a d o ,
Con e l l o , la c o l o c a c i ó n de puntos de i n t e g r a c i ó n de Gauss s o b r e el t r i á n g u lo impl ica mediante I I 1 . 2 . 3 . 4 . 1 la c o l o c a c i ó n en el c u a d r i l á t e r o t o t a l .
El j a c o b i a n o de esta t r a n s f o r m a c i ó n se c a l c u l a r í a como
35
35
Tz
3n
III.2.3.4.3
A-^D
3n
3n
3 5,
3 n,
o lo que es igual
35
A — •
g_
3 5,
3n
3n
g_
35
3n
3n .
3 5,
.2.3.4.4
donde las d e r i v a d a s pueden o b t e n e r s e de las e x p r e s i o n e s I I 1 . 2 . 3 . 4 . 1 y I I 1 . 2 . 3 . 4 . 2
en la f o r m a
Una vez efectuado el cambio de c o o r d e n a d a s , el p r o c e s o de s u b d i v i s i ó n en
cada uno de los t r i á n g u l o s es t o t a l m e n t e análogo al ya e x p l i c a d o p a r a c u a d r i l á t e
-
r o s s a l v o las p a r t i c u l a r i d a d e s .
( 1 ) . - La d i s t a n c i a mínima R , e v i d e n t e m e n t e , i no puede s e r la d i s t a n c i a n o d o e l e m e n t o , que es n u l a , s i n o la d i s t a n c i a del nodo al lado opuesto del t r i á n g u l o , c a l c u l á n d o s e ésta de una f o r m a
i d é n t i c a a como se i n d i c ó p a r a el elemento, p e r o c o n -
s i d e r a n d o a h o r a una sola d i r e c c i ó n v a r i a b l e , pues una c o o r d e n a d a está f i j a .
( 2 ) . - Se s i t ú a n el mismo n ú m e r o de puntos de i n t e g r a c i ó n en todos los s u b elementos de una misma columna F i g .
I I I .2.3.4.3,
, número que c o r r e s p o n d e a la
a c o t a c i ó n del e r r o r en el punto del lado o p u e s t o , c o r r e s p o n d i e n t e a la columna que
se esté t r a t a n d o y de d i s t a n c i a mínima al nodo desde el que se i n t e g r a .
Columna
De a c u e r d o con e l l o , se c o n s i g u e una d i s t r i b u c i ó n de puntos de i n t e g r a c i ó n
f
tal como la i n d i c a d a en la F i g .
#
I I I . 2 . 3 . 4 . 4 o b s e r v á n d o s e la g r a n c o n c e n t r a c i ó n de
puntos de i n t e g r a c i ó n en las p r o x i m i d a d e s del nodo desde el que se i n t e g r a , mejo r a n d o s e o s t e n s i b l e m e n t e los r e s u l t a d o s .
Un p r o b l e m a a d i c i o n a l que s u r g e en este c a s o , y que no o c u r r e cuando el
-
nodo no p e r t e n e c e al e l e m e n t o , se p r e s e n t a cuando el elemento es un t r i á n g u l o , es=
d e c i r un c u a d r r l á t e n o d e g e n e r a d o ya p o r s í .
E n este c a s o , cuando se i n t e g r a desde el nodo que p e r t e n e c e al lado d e g e n e r a d o se r e a l i z a un p r o c e s o exactamente igual al a n t e r i o r , s a l v o que a h o r a lógicamen
te s o l o e x i s t e un t r i á n g u l o s o b r e el que i n t e g r a r y no dos o t r e s , aunque con la d i f e r e n c i a r e s p e c t o al caso ya a p l i c a d o de que p a r a c u b r i r toda la s u p e r f i c i e no puede 3
4
, ya que r e a l m e n t e en el c u a d r i l á t e r o d e g e n e r a d o el lado con
h a c e r s e K, .
= S .
densado r e p>9
r e s e n t a '9dos nodos en g l o b a l e s F i g . I 1 1 . 2 . 3 . 4 . 5
Fig.
III.2.3.4.4
Fig.
III.2.3.4.5
Con e l l o p u e s , estamos i n t e g r a n d o r e a l m e n t e s o b r e un c u a d r i l á t e r o y no so
b r e un t r i á n g u l o , como en el c a s o a n t e r i o r , es d e c i r i n t e g r a m o s s o b r e todo-el ele
mentó.
El p r o b l e m a s u r g e cuando el nodo desde el que se i n t e g r a no c o i n c i d e con el
lado d e g e n e r a d o , ya que en este c a s o no puede e f e c t u a r s e una i n t e g r a c i ó n s o b r e t o do el t r i á n g u l o que r e a l i c e üna d i s t r i b u c i ó n de puntos de G a u s s , tal como 1a i n d i c a -
da en F i g .
I I I . 2 . 3 . 4 . 4 . E f e c t i v a m e n t e , p a r a c o n s e g u i r una d i s t r i b u c i ó n de este t í 3
4
po e r a n e c e s a r i o h a c e r K
=5
c o i n c i d e n t e s con el nodo desde el que se i n t e g r a
I
I
b a . S i r e a l i z a m o s e s t o , los o t r o s dos nodos del c u a d r i l á t e r o t e n d r á n p o r c o o r d e n a d a s , uno las del nodo d e g e n e r a d o y o t r o \as del o t r o nodo no d e g e n e r a d o , lo que s u pone no i n t e g r a r s o b r e toda el á r e a del t r i á n g u l o (vease F i g . I I I . 2 . 4 . 3 . 6 ) .
Nodo
b"
Sf <
t*
Lado degenerado
A r e a no
c u b i e r t a por
ta i n t e g r a c i ó n
Punto desde el que
se i n t e g r a
Lado d e g e n e r a d o
Nodo
Lado degenerado
Punto desde el que
se i n t e g r a
Lado d e g e n e r a d o
Fig.
III.2.3.4.6
P a r a c u b r i r toda el á r e a es n e c e s a r i o r e a l i z a r una t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s , que c o r r e s p o n d e a una c o m b i n a c i ó n no l i n e a l de las dos t r a n s f o r m a c i o n e s =
a n t e r i o r e s d e f i n i d a s p o r la F i g . I I I . 2 . 3 . 4 . 6 .
E s t a t r a n s f o r m a c i ó n v i e n e d e f i n i d a p o r la e x p r e s i ó n
5 . ( 5 .,)
ig
il
=
*
( 5
k
i
il
)
fk
(5.,)
il
III.2.3.4.5
donde
f1
(5 ..)
il
f 2 ( 5 .,)
11
=
(1 + g (5 . , ) )
il
= i (1 - g ( 5 . . ) )
11
x
5.,) =
r
r
g (
i
K2\
2
k
¥ . =
i
donde 5
la F i g .
k
5.
ig
(
"
c
5
I I 1.2.3.4.6
11
1 | -
Si
5.,)
il
III.2.3.4.7
son las c o o r d e n a d a s g l o b a l e s d e f i n i d a s p o r las dos t r a n s f o r m a c i o n e s de
I II.2.3.4.6.
E n d e f i n i t i v a p u e s , la
5
v i e n e dada p o r una t r a n s f o r m a c i ó n no l i neal de=
íg
dos t r a n s f o r m a c i o n e s l i n e a l e s . El j a c o b i a n o de esta t r a n s f o r m a c i ó n s e r í a
«
35.
'9
.
k
35..
il
i
/
\
( 5 ..)
il
3fkU..)
i
35
il
+
3¥.kU.,)
i
il
3 5 ..
il
.
Pk
f
,
U
v
..)
,.. « „
III.2.3.4.8
donde
1 v
JLf
5
3_f
3K
3K
'l
< 2
- ' | -
l
2 » '
(2
"
51
2.''
.2.3.4.9
_3__f
3 j
3
Z,
3
En d e f i n i t i v a p u e s , una vez r e a l i z a d a la s u b d i v i s i ó n s o b r e cada
uno de ías=
dos zonas de las f i g u r a s F i g . I I I . 2 . 3 . 4 . 6 , de a c u e r d o con la c u a d r a t u r a de Gauss=
definida
p o r el e r r o r de i n t e g r a c i ó n p r e f i j a d o , se r e a l i z a el cambio de c o o r d e n a d a s
a n t e r i o r , c o n lo cual se r e a l i z a la i n t e g r a c i ó n c o m p l e t a .
•
I I 1 . 2 . 4 . - C A L C U L O DE L A S F U N C I O N E S S U B I N T E G R A L E S C O R R E S P C N D I E N T E S
A
—
A"
ik,
be
B0
Y P a E N L O S P U N T O S DE
ik,
k,
be
b
INTEGRACION
—
El ú l t i m o paso una vez d e f i n i d a s las c a r a c t e r í s t i c a s N^ , N ^ y * ^(i>j)»
X ^ (i > j )
de
- -
' a c u a d r a t u r a de Gauss d e f i n i d a , es el c á l c u l o de la f u n c i ó n F ( £ , n ) -
p a r a cada punto de i n t e g r a c i ó n . E s t a f u n c i ó n v a r f a p a r a cada una de las m a t r i c e s a=
calcular.
( 1 ) . - Constantes
A.°|
ik
be
La f u n c i ó n s u b i n t e g r a l F en este c a s o es
F
= U
ik
( a , d ( r ) ( b , c) ) N °
J
I I 1.2.4.1
con U
d e f i n i d o en 1 1 . 2 . 1 , N ° en I I I . 1 .1 . 2 y I I I . 1 .1 . 4 y J es el j a c o b i a n o de la ik
,
t r a n s f o r m a c i ó n c a l c u l a d o en I I I . 2 . 3 . 2 . 2 .
a
( 2 ) . - C o n s t a n t e s B.,
ik.
be
Ahora,
F
= T
ik
(r)
( a , dT '
( b , c) ) ; N
c
donde T , v i e n e dado p o r I I . 4 . 5 y N
ik
c
J
III.2.4.2
y J son las a n t e r i o r e s ,
E s c o n v e n i e n t e en este momento h a b l a r del c á l c u l o de los t é r m i n o s de la ma -
t r i z B que p e r t e n e c e n a las t r e s e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s de un nodo y que m u l t i p l i c a n a los m o v i m i e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s a ese nodo, o lo que es igual las c o n s t a n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s a un c a s o s i n g u l a r .
E s t a s c o n s t a n t e s , y según la e x p r e s i ó n de S o m i g l i a n a se c a l c u l a n sumándole
a la i n t e g r a l I I I . 2 . 4 . 2 c o r r e s p o n d i e n t e a los v a l o r e s C
ik
d e f i n i d o s en I l . 4 . 1 0 , v a -
l o r e s que en el c a s o p a r a b ó l i c o y p a r a c u a l q u i e r t i p o de s i t u a c i ó n del nodo es compH
cado c a l c u l a r . E s t a d i f i c u l t a d se salva i n t r o d u c i e n d o el concepto de movimiento como
s ó l i d o r í g i d o , que se d e f i n i ó en I I I . 1 . 3 y que p e r m i t e c a l c u l a r estos t é r m i n o s como=
suma de t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a la misma i n c ó g n i t a y a la misma e c u a c i ó n inte
g r a l de la m a t r i z B .
( 3 ) . - V e c t o r P."
k
b
r
P o r ú l t i m o e x i s t e n en el p r o g r a m a dos a p o r t a c i o n e s c l a r a m e n t e d e f i n i d a s de=
f u e r z a s de v o l u m e n que c o r r e s p o n d e n a f u e r z a s de peso p r o p i o y f u e r z a s de pretens_a
do.
Las e x p r e s i o n e s y el c á l c u l o de la e x p r e s i ó n s u b i n t e g r a l de cada una vienen=
dadas en I I I .1 . 3 . 6 p o r lo que no es n e c e s a r i o i n s i s t i r más s o b r e e l l o .
Con e l l o , queda d e f i n i d o el c á l c u l o de las c o n s t a n t e s en el c o n t o r n o p r e t e n d í ^
do
1 1 1 . 3 . - F O R M A C I O N DEL S I S T E M A DE E C U A C I O N E S
Una vez i n t r o d u c i d a s las c o n d i c i o n e s de c o m p a t i b i l i d a d y de e q u i l i b r i o en los
nodos de i n t e r f a s e ^ e l sistema d e f i n i d o en I I I .1 . 3 . 9 , éste queda r e d u c i d o a un p r o
blema c o n
Z^
-
p ( r ) x 3 e c u a c i o n e s , donde R e r a el número total de s u b r e g i o n e s ,
y p ( r ) el número t o t a l de nudos de cada s u b r e g i ó n r , y p o r ú l t i m o el 3 a p a r e c e como
consecuencia
de las t r e s p o s i b l e s e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , p a r a las t r e s d i r e c c i o n e s
c o o r d e n a d a s , que se pueden e s t a b l e c e r p a r a cada nodo.
El número de i n c ó g n i t a s es m a y o r en p r i n c i p i o y vamos a t r a t a r de d e t e r m i n a r l o en p r i n c i p i o . Sea l el número t o t a l de i n t e r f a s e s e n t r e s u b r e g i o n e s , cada una=
con p ( r ) n u d o s , y C el número de t r o z o s de s u b r e g i ó n que p e r t e n e c e n al c o n t o r n o ex
t e r i o r del d o m i n i o , y que evidentemente c o i n c i d e con el número R de s u b r e g i o n e s
(vease F i g .
1II.3.1)
Fig.
III.3.1
-
El número de i n c ó g n i t a s de cada nodo s e r á de 6 p a r a los nodos de i n t e r f a s e
(movimientos y t e n s i o n e s ) y t r e s p a r a los nodos de c o n t o r n o , supuesto como siem p r e que conocemos 3 c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , y que el c o n t o r n o tiene una sola no_r
mal (en c a s o s más c o m p l i c a d o s es n e c e s a r i o el r e a l i z a r un c u i d a d o s o t r a t a m i e n t o de las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o (vease I 11 . 4 ) p a r a l l e g a r a d i c h a s i t u a c i ó n ) .
En d e f i n i t i v a el número total de i n c ó g n i t a s s e r á de
I
I
6 p (i) +
i=1
C
Z 3 p (c),
c=1
que como se v e r á en la m a y o r í a de l o s c a s o s es m a y o r que el número de e c u a c i o n e s .
El p r i m e r p r o b l e m a p a r a r e s o l v e r el sistema s e r á c o n s e g u i r el mismo núme
r o de e c u a c i o n e s que de i n c ó g n i t a s , p a r a lo cual s e r á n e c e s a r i o el r e a l i z a r un e s tudio de los d i s t i n t o s t i p o s de nudos que se pueden p r e s e n t a r en un p r o b l e m a , f i j a n
do el número de e c u a c i o n e s y el número de i n c ó g n i t a s que a p a r e c e n en cada uno de
e l l o s , p a r a a c o n t i n u a c i ó n p r o c e d e r a una c i e r t a c o n d e n s a c i ó n ¡ del exceso de in
-
c ó g n í t a s que a p a r e c e n en algunos de e l l o s . La t i p o l o g í a de los nudos se t r a t a en
-
I I I . 3 . 1 y el p r o c e s o de c o n d e n s a c i ó n en
III.3.2.
El segundo p r o b l e m a que se plantea c o n s i s t e en c o n s e g u i r que la e s t r u c t u r a de la m a t r i z de c o e f i c i e n t e s del sistema a r e s o l v e r sea la más a p r o p i a d a , tanto
p a r a el p r o c e s o de f o r m a c i ó n de la p r o p i a m a t r i z , como p a r a la p o s t e r i o r r e s o l u
-
c i ó n del sistema de e c u a c i o n e s .
La e s t r u c t u r a que se ha adoptado es la que o f r e c e m a y o r e s v e n t a j a s en el c o n j u n t o de f a c t o r e s a c o n s i d e r a r como s o n , el sistema de almacenamiento de la ma
t r i z , la c a n t i d a d de almacenamiento a h o r r a d o p o r zonas a g r u p a d a s de t é r m i n o s n u -
i
los y., método de r e s o l u c i ó n u t i l i z a d o . B á s i c a m e n t e puede d e c i r s e que los o b j e t i v o s a
c o n s e g u i r son:
( a ) . - O r d e n a c i ó n de f i l a s y columnas de la m a t r i z que p e r m i t a n un montaje
-
s i s t e m á t i c o , d e f i n i e n d o tantas i n c ó g n i t a s como e c u a c i o n e s .
( b ) . - A g r u p a c i ó n de los t é r m i n o s n u l o s en f o r m a c o n o c i d a " a p r i o r i " , es de_
c i r antes del a l m a c e n a m i e n t o , que p e r m i t a su e l i m i n a c i ó n en las p r e v i s i o n e s de al macenamiento de la m a t r i z .
( c ) . - E s t r u c t u r a f i n a l de la m a t r i z adecuada al Método del G r a d i e n t e C o n j u gado, e l e g i d o p a r a r e s o l u c i ó n .
i
I I I .3.1
T I P O L O G I A DE L O S N O D O S
P o r cada nodo pueden p l a n t e a r s e t a n t a s ecuaciones como número de s u b r e giones a las que p e r t e n e c e m u l t i p l i c a d a p o r t r e s , p e r o el número de i n c ó g n i t a s a él
a s o c i a d a s depende de la g e o m e t r í a y del número de i n t e r f a s e s a las que p e r t e n e c e . La c l a s i f i c a c i ó n que se r e a l i z a es la s i g u i e n t e .
- Nodo t i p o A -
C o r r e s p o n d e a un nodo del c o n t o r n o e x t e r i o r que p e r t e n e c e e x c l u s i v a m e n t e
a una s u b r e g i ó n ( F i g
III.3.1.1).
El número de e c u a c i o n e s que en él se pueden p l a n t e a r es de 3 , igual al n ú m e r o de i n c ó g n i t a s (movimientos y t e n s i o n e s en el c o n t o r n o ) supuestas dadas t r e s =
c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o . No es n e c e s a r i o pues p r o c e d e r a c o n d e n s a c i ó n de i n c ó g nítas.
Fig.
III.3.1.1
- Nodo t i p o B -
P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , y se e n c u e n t r a en dos s u b r e g i o n e s
(Fig.
-
III.3.1.1)
El número de e c u a c i o n e s d e f i n i d a s es de 6 , y el de i n c ó g n i t a s también de
-
s e i s (movimientos ó t e n s i o n e s en el c o n t o r n o más t e n s i o n e s en la i n t e r f a s e ) . No es n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n .
- Nodo t i p o C1 -
P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r y a más de dos s u b r e g i o n e s , cumpliéndose
-
además que el número de i n t e r f a s e s (N I) a las que p e r t e n e c e es igual al número de=
s u b r e g i o n e s menos u n o . ( F i g .
111.3.1.2).
El número de e c u a c i o n e s es de 3 x N S (número de s u b r e g i o n e s ) y el número=
de i n c ó g n i t a s d e 3 + 3 N I = 3 + 3 ( N S - 1 ) = 3 x N S (movimientos ó t e n s i o n e s en el
J
c o n t o r n o más t e n s i o n e s en las i n t e r f a s e s ) . No es n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n .
La d i f e r e n c i a c i ó n e n t r e nodos B y C1 v i e n e c o n d i c i o n a d a p o r el p r o c e s o de montaje.
- Nodo t i p o C2 -
P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r y a más de dos s u b r e g i o n e s , cumpliéndose
-
además que el número de i n t e r f a s e s a las que p e r t e n e c e es igual al número de s u b r e
giones. (Fig.
II1.3.1.3).
El numero de ecuaciones es como s i e m p r e 3 x N S , m i e n t r a s que el número de
i n c ó g n i t a s es de 3 + 3 N I = 3 + N S .
En este c a s o e x i s t e n t r e s i n c ó g n i t a s más que e c u a c i o n e s , p o r lo que si se desea mantener la p r o p o r c i ó n p a r a no i n t r o d u c i r i n c ó g n i t a s a d i c i o n a l e s , s e r á n e c e s a r i o e l i m i n a r las s o b r a n t e s , mediante el p r o c e s o de c o n d e n s a c i ó n que se expone
en I I 1 . 3 . 2 .
F i g . I I I . 3 . 1 .2
-
- Nodo t i p o C3 -
P e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , c u m p l i é n d o s e que el numero de i n t e r f a s e s es
m a y o r que el número de s u b r e g i o n e s a las que p e r t e n e c e en un p o r c e n t a j e no l i m i t a d o .
Al igual que en el c a s o a n t e r i o r e x i s t e n más i n c ó g n i t a s que e c u a c i o n e s , p o r lo que
s e r á n e c e s a r i o r e a l i z a r la c o n d e n s a c i ó n ( F i g .
Fig.
-
I I I .3.1.4).
III.3.1.4
- Nodo t i p o D -
No p e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , s i n o que se e n c u e n t r a en cbs s u b r e g i o n e s
y una i n t e r f a s e • ( F i g . I I I .3 .1 . 5>.
El n ú m e r o de e c u a c i o n e s es de s e i s , igual al de i n c ó g n i t a s (movimientos y
t e n s i o n e s en la i n t e r f a s e ) .
-
- Nodo t i p o E -
No p e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , y p e r t e n e c e a tantas i n t e r f a s e s como
-
subregiones ( F i g . 1 I I . 3 . 1 . 5 ) .
E x i s t e n 3 x N S e c u a c i o n e s y 3 + 3 N S i n c ó g n i t a s , s i e n d o n e c e s a r i a la con
-
densación.
- Nodo t i p o F -
No p e r t e n e c e al c o n t o r n o e x t e r i o r , e n c o n t r á n d o s e en un número m a y o r de
i n t e r f a s e s que de s u b r e g i o n e s ( F i g . ¡ 1 1 . 3 . 1 . 5 ) .
T a m b i é n . e s n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n de las t e n s i o n e s s o b r a n t e s .
-
I I I . 3 . 2 . - C O N D E N S A C I O N DE T E N S I O N E S DE I N T E R F A S E
La p r i m e r a c u e s t i ó n en el p r o c e s o , ya a p u n t a d o , de
e l i m i n a c i ó n de i n c ó g n i -
t a s , c o n s i s t e p r e c i s a m e n t e en la e l e c c i ó n de e s t a s i n c ó g n i t a s .
P a r a el c a s o de s o l o t r e s i n c ó g n i t a s a e l i m i n a r se escogen las t e n s i o n e s de=
i n t e r f a s e e n t r e la p r i m e r a y ú l t i m a s s u b r e g i o n e s conectadas p o r el nodo en c u e s t i ó n .
N a t u r a l m e n t e suponemos que esta i n t e r f a s e e x i s t e , lo que i m p l i c a el que la numera c i ó n de e s t a s s u b r e g i o n e s no puede s e r a r b i t r a r i a , s i n o que tiene que s e r de tal f o r
ma que e x i s t a d i c h a i n t e r f a s e . A s í l a s n u m e r a c i o n e s quehey en las F i g . III .3.2.1 (a)y
II I . 3 . 2 . 1 (b) son v á l i d a s , m i e n t r a s que no lo es la de la F i g . I I I . 3 . 2 . 1 ( c ) .
(a)
(b)
Fig.
(c)
III.3.2.1
P a r a nodos en los que se n e c e s i t e
~ la c o n d e n s a c i ó n de más de una i n t e r f a s e
se e l i m i n a r á n p r e c i s a m e n t e las t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a las ú l t i m a s i n t e r f a s e s , es d e c i r 1 , n ; n , n - 1 ; n - 1 ; n - 2 , e t c , s i e n d o n el número de s u b r e g i o n e s c o n e c t a d a s .
La misma
c o n s i d e r a c i ó n hecha a n t e r i o r m e n t e en cuanto a n u m e r a c i ó n , es ne
c e s a r i o h a c e r a h o r a , también deduc i endose en d e f i n i t i v a , que es n e c e s a r i o s e g u i r
-
una n u m e r a c i ó n c í c l i c a en los nudos a c o n d e n s a r .
Una vez e l e g i d a s las i n c ó g n i t a s a c o n d e n s a r , el p r o b l e m a que se plantea es el p r o c e d i m i e n t o a s e g u i r p a r a e l i m i n a r l a s .
El método seguido c o n s i s t e en e x p r e s a r estas i n c ó g n i t a s en f u n c i ó n de o t r a s
que no v a y a n a s e r e l i m i n a d a s , y que p o r tanto sí a p a r e c e n en la f o r m u l a c i ó n f i n a l .
P a r a e l l o , es p r e c i s o e l e g i r estas i n c ó g n i t a s s o b r e las que vamos a t r a b a j a r , y d e f i n i r la r e l a c i ó n que e x i s t e e n t r e las v a r i a b l e s a c o n d e n s a r y las no c o n d e n s a d a s .
-
En c u a l q u i e r c a s o , es p r e c i s o e s t a b l e c e r una h i p ó t e s i s que d i s t o r s i o n e lo menos po
s i b l e el p r o c e s o g e n e r a l y que p o r o t r a p a r t e sea s e n c i l l a de a p l i c a r p r á c t i c a m e n t e .
E x i s t e n en p r i n c i p i o una g r a n c a n t i d a d de p o s i b i l i d a d e s p a r a d e f i n i r d i c h a
-
h i p ó t e s i s . La p r i m e r a p o s i b l e se r e f i e r e a la c o n s i d e r a c i ó n de las t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s en ese nodo como v a r i a b l e del p r o b l e m a y e x p r e s a r las i n c ó g n i t a s a c o n d e n s a r
en f u n c i ó n de e l l a s . P a r a el r e s t o de i n c ó g n i t a s en t e n s i o n e s a s o c i a d a s a ese nodo pueden m a n t e n e r s e las p r o p i a s que ya e x i s t í a n p r e v i a m e n t e , si bien también s e r í a
-
p o s i b l e d e f i n i r l a s lógicamente en f u n c i ó n de las t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . E s t a s v a r i a bles
podrían
p o r e j e m p l o i r a s o c i a d a s a las i n c ó g n i t a s de t e n s i ó n de la p r i m e r a i n
t e r f a s e , que p r e v i a m e n t e se h a b r í a d i s p u e s t o en f u n c i ó n de e l l a s .
E x i s t e n dos i n c o n v e n i e n t e s fundamentales p a r a el empleo deeste-método. El
p r i m e r o es que i m p l í c i t a m e n t e se c o n s i d e r a que el t e n s o r
de t e n s i o n e s es i d é n t i c o =
p a r a todas las s u b r e g i o n e s que i n c i d e n en ese p u n t o , lo que evidentemente no es #
-
c i e r t o p a r a s u b r e g i o n e s con p r o p i e d a d e s d i f e r e n t e s . La segunda es aún más d e c i s i v a , ya que no se conocen las d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s , ni p r e s u m i b l e m e n t e , una f o r -
ma f á c i l de h a l l a r l a s lo que impide el d i s p o n e r el v e c t o r t e n s i ó n en ( X , Y , Z )
en
-
una i n t e r f a s e en f u n c i ó n de las t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . E s t e segundo i n c o n v e n i e n t e d e t e r m i n ó el abandono del m é t o d o .
O t r a p o s i b i l i d a d se r e f i e r e a la u t i l i z a c i ó n de la r e l a c i ó n de Cauchy ( I I 1.4)
p a r a e l i m i n a r las t e n s i o n e s a c o n d e n s a r , en f u n c i ó n de las i n t e r f a s e s d i s t i n t a s no a
c o n d e n s a r . Aunque esto es p o s i b l e
en la m a y o r í a de los c a s o s , e x i s t e n o t r o s en los
que no puede a p l i c a r s e , como p o r e j e m p l o cuando s o l o e x i s t e n dos i n t e r f a s e s no a c o n d e n s a r . A l mismo tiempo sigue suponiéndose la c o n t i n u i d a d del t e n s o r t e n s i ó n en_
tre subregiones.
La f a l t a de g e n e r a l i d a d a d u c i d a , y t a m b i é n , de f o r m a i m p o r t a n t e , la d i f i c u l t a d que supone su i m p l e m e n t a c i ó n p r á c t i c a en el montaje de la m a t r i z a c o n s e j ó d e s e c h a r l a . E f e c t i v a m e n t e , con este método a p a r e c e n t é r m i n o s en las columnas de ten ; s i o n e s , del nodo a c o n d e n s a r no s o l o cuando se i n t e g r a en s u b r e g i o n e s que f o r m a n una i n t e r f a s e , s i n o que a p a r e c e n también cuando se i n t e g r a en s u b r e g i o n e s que s i n f o r m a r una i n t e r f a s e c o i n c i d e n en el nodo, lo que n a t u r a l m e n t e d i f i c u l t a el p r o c e s o .
La ú l t i m a p o s i b i l i d a d d e s e c h a d a , y q u i z á s la más exacta
y g e n e r a l , se r e f i e
r e a la e l e c c i ó n como i n c ó g n i t a s , a d s c r i t a s a las dos p r i m e r a s i n t e r f a s e s que i n c i den en un nudo, de l a s componentes del t e n s o r t e n s i ó n , p o r ejemplo ( cr
p a r a la p r i m e r a i n t e r f a s e y (
T , T , T
xy
yz
zx
, o , o ) x
y
z
) p a r a la segunda. N a t u r a l m e n t e el
-
r e s t o de las i n t e r f a s e s que no se condensan c o n s e r v a n sus p r o p i a s i n c ó g n i t a s , míen
t r a s que en la p r i m e r a y segunda i n t e r f a s e s , así como en a q u e l l a s a c o n d e n s a r se
-
e x p r e s a el v e c t o r t e n s i ó n en f u n c i ó n de las i n c ó g n i t a s a n t e r i o r e s . E x i s t e p o r tanto
-
una c i e r t a r e d u n d a n c i a , ya que el r e s t o de v e c t o r e s t e n s i ó n también p o d r í a n haber se d i s p u e s t o en f u n c i ó n de d i c h a s i n c ó g n i t a s , s i n e m b a r g o ,
d r í a s e r v i r i n c l u s o de c o m p r o b a c i ó n .
dicha r e d u n d a n c i a po
-
La r a z ó n p o r la que se abandonó la idea a n t e r i o r , independientemente del he
cho de c o n s i d e r a r de nuevo la c o n t i n u i d a d en el t e n s o r
de t e n s i ó n , fue la misma que
en el c a s o a n t e r i o r , es d e c i r la i n t r o d u c c i ó n de g r a v e s p r o b l e m a s en el p r o c e s o de=
montaje.
El p r o c e d i m i e n t o e l e g i d o c o n s i s t e en r e l a c i o n a r las t e n s i o n e s i n c ó g n i t a s
a=
c o n d e n s a r c o n las t e n s i o n e s del r e s t o de los nodos del elemento c o n s i d e r a d o . La d i f i c u l t a d e s t r i b a en la s e l e c c i ó n de los nodos en los que a p o y a r e m o s esta e x t r a p o l a c i ó n , dado que en un mismo elemento pueden e x i s t i r más de un nodo al que haya que
a p l i c a r la c o n d e n s a c i ó n .
E n el c a s o más g e n e r a l de que s ó l o uno de los nodos del elemento sea a c o n d e n s a r , lo que hacemos s e r á e l e g i r una f u n c i ó n de a p r o x i m a c i ó n de t e n s i o n e s en el n n
e l e m e n t o , de un g r a d o menor a la i n i c i a l , t = N t , de f o r m a que cumpla que p a r a i
i
todos los nodos de t e n s i o n e s c o n o c i d a s , é s t a s c o i n c i d e n con las p r e d i c h a s p o r la i n terpolación.
E x t r a p o l a n d o ésta f u n c i ó n de a p r o x i m a c i ó n al nodo d e s c o n o c i d o , puede obten e r s e la t e n s i ó n de este nodo en f u n c i ó n de l a s t e n s i o n e s en el r e s t o de los n u d o s .
(Fig.
III.3.2.2)
Fig.
III.3.2.2
En p a r t i c u l a r p a r a un c u a d r i l á t e r o escogemos una f u n c i ó n de i n t e r p o l a c i ó n de t e n s i o n e s en f u n c i ó n de las c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s en la f o r m a
t
i
= a
o
+ a l
1.
i
i
+ a 0 TI + a . K
2.
3.
i
i
donde se ha e l i m i n a d o el t é r m i n o en
2
+' a
4.
i
r\
2
+ a
o.
i
£TI
2
+a
2
I i;i . 3 . 2 . 1
o.
i
c o r r e s p o n d i e n t e a la f o r m u l a c i ó n o r i g i n a l pa_
r a s a l v a g u a r d a r la s i m e t r í a .
Particularizando (
n) p a r a los s i e t e nodos c o n o c i d o s se pueden o b t e n e r
1
7
los v a l o r e s de a
a
en f u n c i ó n de t. , . . . . t. , con lo cual i n t r o d u c i é n d o os
6.
1
1
en I I 1 . 3 . 2 . 1 las c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s del nodo a c o n d e n s a r se puede c a l c u l a r 1
7
la t e n s i ó n t de éste en f u n c i ó n de t.
t. . P a r a el nodo 1 p o r ejemplo se obtie
i
1
1
ne
t
1 2
= t.
1
t
4
+ t.
1
-
3
t.
1
.3.2.2
que o b s e r v a n d o atentamente c o r r e s p o n d e a la e x t r a p o l a c i ó n l i n e a l de e s t o s v a l o r e s
tal como i n d i c a la F i g .
I I 1.3.2.3.
!
1
t1
¡
Fiq.
III.3.2.3
2
9
= t
2
= t
1
2
1
4
+
+ 2
(—'—L
2
4
3
+ t . - t.
1
1
.
t
3
7
1
>=
El p r o b l e m a s i n e m b a r g o , aumenta cuando alguno de los nudos 2 , 3 , ó 4 sea
también a c o n d e n s a r , lo que p o r o t r a p a r t e es bastante
probable.
En g e n e r a l la p o s i b i l i d a d de que los nudos 2 y 4 sean a c o n d e n s a r es bastan
te a l t a , ya que las l i n e a s 162 y 154 es p o s i b l e
que sean l i n e a s de s e p a r a c i ó n e n t r e
i n t e r f a s e s (compuestas p o r nodos E y F ) . P a r a e v i t a r este p r o b l e m a , y s i e m p r e
con el e j e m p l o del
-
nodo 1 , se e l i g e n como nodos de i n t e r p o l a c i ó n los nodos 7 , 3 , 8
cuya p r o b a b i l i d a d de c o n d e n s a c i ó n es mucho m e n o r .
O b s e r v a n d o la F i g .
I I I . 3 . 2 . 4 (a) se deduce que la e x p r e s i ó n a a p l i c a r es
I I 113.2.3
N a t u r a l m e n t e r e a l i z a n d o las p e r m u t a c i o n e s p e r t i n e n t e s se puede c o n s e g u i r
los v a l o r e s de las t e n s i o n e s en todos los v é r t i c e s del c u a d r i l á t e r o . P a r a un nodo=
i n t e r m e d i o , p o r ejemplo el 6 se r e a l i z a una i n t e r p o l a c i ó n p a r e c i d a ( F i g . I I I . 3 . 2 .
. 4 (b)) d e f i n i d a p o r la s i g u i e n t e e x p r e s i ó n .
6
t .
= t.
5
7
+ t. -
t
8
III.3.2.4
t
«
Fig.
III.3.2.4
N a t u r a l m e n t e en todas las e x p r e s i o n e s es n e c e s a r i o h a c e r la s a l v e d a d antes
apuntada de la p o s i b i l i d a d de que alguno de los nodos que i n t e r v i e n e n en la e x p r e
-
s i ó n a n t e r i o r sea también nodo a c o n d e n s a r .
P a r a nodos de v é r t i c e s o l o se c o n s i d e r a el c a s o de que uno s o l o de los no dos s o p o r t e sea no a c o n d e n s a r . E s t a c o n s i d e r a c i ó n es r a z o n a b l e p o r q u e los nodos
a c o n d e n s a r se a g r u p a n en l i n e a s de s e p a r a c i ó n e n t r e i n t e r f a s e s , p o r lo que si el nodo 7 p o r ejemplo en el c a s o d e l nodo 1 es a c o n d e n s a r lo e s p e r a b l e es que también
lo sea el nodo 3 . La a p r o x i m a c i ó n seguida en este c a s o ( F i g . I I I . 3 . 2 . 5 ) es la más=
s i m p l e , es d e c i r
1
8
t . = t.
I
I I 1.3.2.5
I
t
Fig.
P a r a nodos i n t e r m e d i o s
soporte a condensar ( F i g .
III.3.2.5
es p o s i b l e que e x i s t a uno s o l o de los t r e s nodos
I I I . 3 . 2 . 6 ) . La h i p ó t e s i s que se r e a l i z a en este c a s o es
que en la linea media en c o o r d e n a d a s i n t r í n s e c a s del elemento p a r a l e l a al lado d©n_
de se e n c u e n t r a el nodo a c o n d e n s a r (nodo 6 ) , la t e n s i ó n es c o n s t a n t e , c o n s i g u i e n do la e x p r e s i ó n
6
5
8
t. = 2 t . - t.
i
i
i
I.3.2.6
Fig.
III.3.2.6
P a r a nodos i n t e r m e d i o s en los que s o l o e x i s t a un s ó l o nodo s o p o r t e s i n c o n d e n s a c i ó n , se sigue también la a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e d e f i n i d a en I l I . 3 . 2 . 5 .
E n d e f i n i t i v a , dependiendo del c a s o p a r t i c u l a r , r e s o l v e r e m o s la e x t r a p o l a c i ó n de a c u e r d o con los c a s o s a n t e r i o r e s , que engloban todas las p o s i b i l i d a d e s , sa_[
vo el caso muy e s p e c í f i c o de que todos los nodos del elemento sean a c o n d e n s a r ,
-
que c o r r e s p o n d e r í a a la d i s c r e t i z a c i ó n de toda una i n t e r f a s e p o r un s o l o elemento, lo que evidentemente se s o s l a y a p o r s i m p l e d i s c r e t i z a c i ó n de una i n t e r f a s e en al me
nos dos e l e m e n t o s .
El p r o c e s o de montaje es ya i n m e d i a t o , puesto q u e , c o n o c i d o s , p o r la i n t e ' g r a c i ó n p r e v i a los f a c t o r e s que a f e c t a n a cada una de las v a r i a b l e s , así como su
-
c o n d i c i ó n de i n c ó g n i t a o d a t o , podemos a d i c i o n a r t a l e s a p o r t a c i o n e s , bien a la ma
-
t r i z de c o e f i c i e n t e s , bien al v e c t o r de t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s , según se i n d i c a en=
el a p a r t a d o s i g u i e n t e .
I I I . 3 . 3 . - O R D E N A C I O N DE LA M A T R I Z DE C O E F I C I E N T E S DEL S I S T E M A
La o r d e n a c i ó n de la m a t r i z supone la d e f i n i c i ó n de la s i t u a c i ó n de las f i l a s
-
( o r d e n de i n t e g r a c i ó n de los nodos) y p o r o t r o la s i t u a c i ó n de las columnas ( o r d e n de
las i n c ó g n i t a s ) .
En lo que se r e f i e r e a la p r i m e r a o r d e n a c i ó n no e x i s t e d i f i c u l t a d ,
siguiéndo-
se una o r d e n a c i ó n p o r s u b r e g i o n e s , y d e n t r o de cada una de e l l a s p o r i n t e r f a s e s de=
menor a m a y o r , c o n s i d e r a n d o a e s t o s e f e c t o s , que la i n t e r f a s e n - n , s i e n d o
n la -
s u b r e g i ó n c o n s i d e r a d a , c o r r e s p o n d e a los nodos que s o l o p e r t e n e c e n a d i c h a s u b r e g i ó n . T o d o e l l o i m p l i c a que
no e s t a r á n j u n t a s todas las e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s a s o c i a
das a un n o d o , s i n o a g r u p a d a s de t r e s en t r e s y s i t u a d a s en cada una de las c o r r e s p o n d i e n t e s s u b r e g i o n e s a l a s que p e r t e n e c e d i c h o n o d o .
La s i t u a c i ó n de las c o l u m n a s , que están a s o c i a d a s evidentemente a la ordena
c i ó n de las i n c ó g n i t a s , es mucho más a r b i t r a r i a , y la e l e c c i ó n se r e a l i z ó basandose
en dos o b j e t i v o s (Lachat y Watson). El p r i m e r o de e l l o s se r e f i e r e a la c o n s e c u c i ó n =
de una m a t r i z tendiendo a m a t r i z en banda, y el segundo a t r a t a r de c o n s e g u i r que la diagonal p r i n c i p a l de la m a t r i z s i e m p r e esté l l e n a y p r e f e r i b l e m e n t e con v a l o r e s s u p e r i o r e s a los del r e s t o de la f i l a , lo que m e j o r a las c a r a c t e r í s t i c a s del sistema a la h o r a de la r e s o l u c i ó n .
Ambos o b j e t i v o s se c o n s i g u e n d i s p o n i e n d o las i n c ó g n i t a s , s i g u i e n d o un p a r a l e l i s m o t o t a l con la o r d e n a c i ó n usada p a r a
las f i l a s . E s d e c i r agrupamos las i n c ó g -
n i t a s p o r s u b r e g i o n e s y d e n t r o de e l l a s p o r i n t e r f a s e s , de tal f o r m a que las i n c ó g n i tas de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e a p a r e z c a n s i e m p r e en las columnas
a interfases n, i
mientos
i > n , siendo n la s u b r e g i ó n
correspondientes=
c o n s i d e r a d a , y análogamente los movj_
(en c a s o de nodos i n t r í n s e c o s ) ó i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o , se s i t u a r á n en las
columnas n j
j < n.
Como e j e m p l o p r á c t i c o podemos t o m a r el de la F i g .
I I I . 3 . 3 . 1 en el que se
i n d i c a n la s i t u a c i ó n de f i l a s y columnas p a r a la d i s c r e t i z a c i ó n i n d i c a d a , con la no
menclatura:
u ,
n j
m o v i m i e n t o s de nodos de la i n t e r f a s e n , j
n > j.
u ,
m o v i m i e n t o s o t e n s i o n e s i n c ó g n i t a s del c o n t o r n o de la s u b r e g i ó n n,
n n
t n , J'
t e n s i o n e s en los nodos de la i n t e r f a s e n , j
j>
n,
Fig.
III.3.3.1
V,2
U2,1
U1,1
3
2,4
i
13
' ':
"í
»3
u2,2
u
U3,2
1
'4,4
u
3,4
4
'
U 4.3
2
J
5,
8
i(
8
,,
3
i
13
i*' j :
.
-
•
.
8
— li.
3
)
!-
13o
1
J
'3
8
r
y
¿
. >
]
\
• -
Fig.
rr
3
III.3.3.2
Podemos a h o r a v e r la s i t u a c i ó n de las i n c ó g n i t a s y ecuaciones i n t e g r a l e s par a cada uno de los t i p o s de nodos c o n s i d e r a d o s en I I I . 3 . 1 .
;
i
- Nodo t i p o A ( F i g . I I 1 . 3 . 1 . 1 ) -
P e r t e n e c e a la s u b r e g i ó n i .
3 i n c ' o g n i t a s de c o n t o r n o en la i n t e r f a s e
i - i.
- Nodo t i p o B ( F i g . I 1 1 . 3 . 1 . 1 ) -
P e r t e n e c e a las s u b r e g i o n e s i , j
(i
< j)
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e i , j
en
i - j
3 i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o en j -
i.
- Nodo t i p o C1 ( F i g . I I 1 . 3 . 1 . 2 ) -
P e r t e n e c e a las s u b r e g i o n e s i , j , k
(i < j <
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j
k).
en i - j .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e j , k en j - k .
3 i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o en k -
i.
- Nodo t i p o C2 ( F i g J I I . 3 . 1 . 3 ) -
Pertenece a i , j , k, I
(i < j <
k<
I).
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j en i - j .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e j , k en j - k .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e k , I en k - I .
Se condensan las t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e i , k .
3 i n c ó g n i t a s de c o n t o r n o en I -
- Nodo t i p o C3 ( F i g .
i.
I 11.3.1,4)-
P e r t e n e c e a i , j , k , I , m, n (i < j < k < I < V i < n)
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j en i - j .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e j , k en j - k .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e k , I en k - I .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e I , m en I - m .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e m , n en m - n .
Se condensan las t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a las i n t e r f a s e s i , k ; j , m.
- Nodo tipo D ( F i g .
Pertenece a i, j
II 1 . 3 . 1 . 5 ) -
(¡<j).
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de i n t e r f a s e i , j en i 3 i n c ó g n i t a s de m o v i m i e n t o s en j -
- Nodo tipo E ( F i g .
j.
i.
II 1 . 3 . 1 . 5 ) -
P e r t e n e c e a las subregiones i , j , k , I
(i < j < k <
3 i n c ó g n i t a s de t e n s o r e s de la i n t e r f a s e i , j en i
I).
j.
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e j , k e n ' j -
k.
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e k , I en k -
I.
S e c o n d e n s a n l a s t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a la i n t e r f a s e I ,
3 i n c ó g n i t a s de m o v i m i e n t o s e n I -
- Nodo tipo F ( F i g .
i.
í.
I I I . 3 . 1 .5) -
P e r t e n e c e a las subregiones i , j , k , I , m, n, o , p
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e
(i< j < k < l <m<n<o<p)
i , j en i - j •
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e j , k en j - k .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e k , 1 en k - 1.
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e I , m e n 1 - m .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e m , n e n m - n .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e n , o e n n - o .
3 i n c ó g n i t a s de t e n s i o n e s de la i n t e r f a s e o , p en o - P .
S e c o n d e n s a n l a s t e n s i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s i n t e r f a s e s j , o ; k , n;
I , i ; m, p; i ,
p.
3 i n c ó g n i t a s de m o v i m i e n t o s e n p -
i.
I I I . 4 . - A P L I C A C I O N DE LAS C O N D I C I O N E S DE CONTORNO
La i m p o s i c i ó n de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , es o t r o de l o s a p a r t a d o s im p o r t a n t e s en el p r o c e s o a s e g i r en la r e s o l u c i ó n de un p r o b l e m a m e d i a n t e c u a l q u i e r
método.
E n n u e s t r o c a s o es a b s o l u t a m e n t e n e c e s a r i o t a m b i é n , en o r d e n a c o n s e g u i r =
d o s o b j e t o s , e l p r i m e r o , e v i d e n t e m e n t e , el e v i t a r la s i n g u l a r i d a d de la m a t r i z de
-
c o e f i c i e n t e s , y el s e g u n d o el c o n s e g u i r el m i s m o n ú m e r o de e c u a c i o n e s que de i n c ó ^
n i t a s . E s t a n e c e s i d a d ya s e c o m e n t ó en el e p ' i g r a f e a n t e r i o r , en lo r e f e r e n t e a la p o s i b i l i d a d de a p a r i c i ó n de u n m a y o r n ú m e r o de e c u a c i o n e s que de i n c ó g n i t a s en u n
nudo en el q u e i n t e r s e c t a b a n v a r i a s s u b r e g i o n e s , s i e n d o n e c e s a r i a la c o n d e n s a c i ó n
de a l g u n a s de e s t a s i n c ó g n i t a s , m e d i a n t e la i n t r o d u c c i ó n de una h i p ó t e s i s c o m p l e
-
mentaría.
E n el c a s o d e i n c ó g n i t a s del c o n t o r n o , v u e l v e a a p a r e c e r es p r o b l e m a ,
sol-
v e n t á n d o s e m e d i a n t e la a d e c u a d a i m p o s i c i ó n de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , e ¡n
-
t r o d u c i e n d o , en l o s c a s o s que sea n e c e s a r i o , l a s a p r o x i m a c i o n e s ó r e l a c i o n e s p r e
c i s a s p a r a e v i t a r u n n ú m e r o m a y o r de i n c ó g n i t a s , q u e de e c u a c i o n e s . P l a n t e a d o
-
el p r o b l e m a , p o d e m o s p a s a r a e x p l i c a r c o m o s e ha r e s u e l t o .
S o b r e el c o n t o r n o e x t e r i o r d e l d o m i n i o en e s t u d i o p u e d e n p r o d u c i r s e t r e s s i t u a c i o n e s d i f e r e n t e s , en c u e n t o a c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s e r e f i e r e .
( 1 ) . - S e c o n o c e el m o v i m i e n t o ( l o s t r e s c o m p o n e n t e s ) s o b r e el c o n t o r n o .
En F i g .
III.4.1
u = u
en
3 D
3 D
( 2 ) . - S e c o n o c e la t e n s i ó n ( l o s t r e s c o m p o n e n t e s s o b r e el c o n t o r n o ) .
En f i g .
I I I .4.1
t . t
en
3 D
( 3 ) . - S e c o n o c e p a r t e de l o s c o m p o n e n t e s de m o v i m i e n t o y el r e s t o en t e n
s«on.
En F i g .
I I I .4.1
t
i
= t . ...
i -
en
u. = u.
J
J
3 D
E v i d e n t e m e n t e s e ha de c u m p l i r que
3 D
I
U
3 D
¿d
U
3D
O
= 3 D
(contorno total)
O
con i
j,
-
p u d i e n d o p r o d u c i r s e que a l g u n o de l o s 3 D
K
(k = 1 , 2 , 3) no e x i s t a . E s p r e c i s o ha -
c e r n o t a r que u n o de e s t o s c a s o s p a r t i c u l a r e s ( 3 D
K
= 0 k = 1 k = 3 ) p r e s e n t a al -
g u n o s p r o b l e m a s . E s t e c a s o de c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o en t e n s i ó n e q u i v a l e n t e al p r o b l e m a de N e u m a n n en la T e o r í a d e l P o t e n c i a l , p r e s e n t a i n f i n i t a s s o l u c i o n e s
p u e s se i n c o r p o r a la p o s i b i l i d a d de m o v i m i e n t o c o m o s ó l i d o r í g i d o . P a r a
-
eliminar-
la c a b e n d o s s o l u c i o n e s d e s d e el p u n t o de v i s t a o p e r a t i v o . La p r i m e r a c o n s i s t e en=
s u s t i t u i r l a s c o n d i c i o n e s en t e n s i ó n p o r c o n d i c i o n e s en m o v i m i e n t o que no " a l t e r e n "
la c o n f i g u r a c i ó n d e f o r m a d a d e l d o m i n i o y que i m p i d a n l o s m o v i m i e n t o s
como s ó l i d o =
r í g i d o . La s e g u n d a c o n s i s t i r í a en d a r l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en t e n s i o n e s y
-
una v e z o b t e n i d o el s i s t e m a de e c u a c i o n e s y a n t e s de p r o c e d e r a r e s o l v e r l o , se
-
a n u l a n l o s m o v i m i e n t o s de c i e r t o s p u n t o s q u e a l i g u a l que a n t e s no a l t e r a n la c o n f i g u r a c i ó n d e f o r m a d a e impiden los m o v i m i e n t o s como s ó l i d o r í g i d o . P a r a a c l a r a r
-
e s t a s i d e a s , n o s r e f e r i m o s al c a s o s e n c i l l o de la F i g 1 I I . 4 . 2 , que r e p r e s e n t a u n c u b o s o m e t i d o a t r a c c i ó n en l a s c a r a s 3) y 4) y l i b r e de t e n s i o n e s en el
resto.
La p r i m e r a de l a s o p c i o n e s e n u n c i a d a s e x i j i r í a d a r l a s c o n d i c i o n e s r e a l e s en c a r a s 3 ) , 1) y 2)y o n 5 ) , 6) y 7 ) , e l i m i n a r c i e r t a s t e n s i o n e s y s u s t i t u i r l a s p o r c o n
d i c i o n e s de d e s p l a z a m i e n t o que i m p i d a n el m o v i m i e n t o c o m o s ó l i d o r í g i d o y que
se-
r í a n : desplazamiento n u l o s e g ú n z en l a - c a r a 6 ) . d e s p l a z a m i e n t o n u l o s e g ú n x en la
-
c a r a 5) y d e s p l a z a m i e n t o n u l o s e g ú n y en la c a r a 4 ) . E s t o ú l t i m o , e q u i v a l d r í a a e l i m i n a r l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s en d i c h a c a r a , v a l o r e s que d e b e n a p a r e c e r en l a s
-
r e a c c i o n e s en la m i s m a al r e s o l v e r el s i s t e m a de e c u a c i o n e s . C u a l q u i e r o t r a concU
c i ó n , no s i m é t r i c a de la a n t e r i o r , m o d i f i c a r í a la d e f o r m a d a del c u b o . La s e g u n d a o p c i ó n s e r í a d a r l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en t e n s i o n e s y f i j a r c o n d i c i o n e s de
-
a p o y o en a l g u n o s de l o s nodos P o r e j e m p l o , s i e x i s t i e r a n n o d o s en l o s c e n t r o s de l a s c a r a s , b a s t a r í a c o n i m p e d i r l o s m o v i m i e n t o s n o r m a l e s de l o s n o d o s c e n t r a l e s
-
de l a s c a r a s 4 ) , 5) y 6 ) . La f o r m a en que o p e r a t i v a m e n t e se i m p o n d r í a e s t a c o n d i
-
c i ó n s o b r e el s i s t e m a de e c u a c i o n e s , p o d r í a s e r s i m p l e m e n t e a n u l a n d o la f i l a y c o lumna de la m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e al g r a d o de l i b e r t a d que se d e s e a e l i m i n a r ,
ex-
c e p t o el e l e m e n t o de la d i a g o n a l p r i n c i p a l que se h a r í a i g u a l a u n o , y el t é r m i n o
-
c o r r e s p o n d i e n t e d e l v e c t o r de c a r g a s se h a c e i g u a l al v a l o r d e l m o v i m i e n t o p r e s
-
crito.
P a r a el r e s t o de l a s s i t u a c i o n e s , la c o m p l e j i d a d d e l t r a t a m i e n t o de ! s s c o n
d i c i o n e s de c o n t o r n o e s t á i n t i m a m e n t e l i g a d a a la h i p ó t e s i s de v a r i a c i ó n de l a s f u n c i o n e s s o b r e l o s e l e m e n t o s de la d i s c r e t i z a c i ó n , p u d i e n d o d i f e r e n c i a r s e d o s c a s o s ,
s e g ú n que la v a r i a c i ó n sea c o n s t a n t e o n o , y a que el que e s t a v a r i a c i ó n sea l i n e a l =
p a r a b ó l i c a , c ú b i c a , e t c , n o a f e c t a al t r a t a m i e n t o , p u e s t o que el p r o b l e m a r a d i c a
-
en la c o e x i s t e n c i a en u n nodo de v a r i o s e l e m e n t o s .
#
E n e f e c t o , p u e s t o q u e en c a d a nodo s ó l o p u e d e n a p l i c a r s e 3 e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , no es p o s i b l e a d m i t i r más de t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a é l . E s t o r e s u l ta i n m e d i a t o en el c a s o de v a r i a c i ó n c o n s t a n t e s o b r e el e l e m e n t o , s e g ú n s e r e p r e -
s e n t a en la F i g .
I I I . 4 . 3 ( a u n q u e el e l e m e n t o es u n t r i á n g u l o p l a n o , el r a z o n a m i e n -
to s e r í a v á l i d o p a r a t r i á n g u l o s ó r e c t á n g u l o s , c o n una d e f i n i c i ó n de la g e o m e t r í a
-
de o r d e n s u p e r i o r ) .
(v o T
Fig.
I I I .4.3
E s e v i d e n t e que s e a n c u a l e s s e a n l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , en l a s t r e s =
d i r e c c i o n e s l o c a l e s d e l t r i á n g u l o 1 , 2 y 3 , se c o n o c e r á n t r e s de l a s s e i s v a r i a b l e s
asociadas a él: u, v , w , a
T^ y n u n c a d o s de e l l a s en la m i s m a d i r e c c i ó n . P o r *
t a n t o , l a s t r e s r e s t a n t e s , c o n s t i t u y e n l a s i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a y e s t á s i e m p r e d e t e r m i n a d o . B a s t a r á c o n o c e r la p o s i c i ó n de l a s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al t r i á n g u l o =
en e s t u d i o en el s i s t e m a de e c u a c i o n e s p a r a i d e n t i f i c a r la c o l u m n a a la c u a l v a n
-
l a s c o n s t a n t e s de i n t e g r a c i ó n . La f i l a v i e n e d e t e r m i n a d a p o r la p o s i c i ó n que o c u p a
la e c u a c i ó n i n t e g r a l d e l n o d o d e s d e el que se r e a l i z a la i n t e g r a c i ó n en el s i s t e m a de e c u a c i o n e s .
E n c a m b i o , en el c a s o en q u e la e v o l u c i ó n e s de o r d e n s u p e r i o r al constan_
t e , s u r g e el h e c h o de q u e l o s n o d o s p e r t e n e c e n a d o s ó más e l e m e n t o s , p u d i e n d o a p a r e c e r un n ú m e r o no a c o t a d o de i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n n o d o , s u p e r i o r al
-
n ú m e r o de e c u a c i o n e s q u e en él se p u e d e n p l a n t e a r . P a r a f i j a r l a s i d e a s ,
mos l a s d o s s i t u a c i o n e s de la F i g .
considere
I I I . 4 . 4 , en el c a s o p l a n o
(a)
(b)
Fig.
III.4.4
E n la ( a ) , en l o s e l e m e n t o s ( k - 1 ) y ( k ) a d y a c e n t e s al n o d o k , se c o n o c e la e v o l u c i ó n de l a s t e n s i o n e s , y p o r t a n t o , l a s d o s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al nodo k s e r í a n =
l o s m o v i m i e n t o s de d i c h o n o d o . P u e s t o q u e en él se p u e d e n a p l i c a r d o s E c u a c i o n e s = ,
I n t e g r a l e s , el p r o b l e m a e s t á d e t e r m i n a d o .
E n la ( b ) , se c o n o c e la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s s o b r e ( k - 1 ) y ( k ) , y
-
p o r t a n t o , las t e n s i o n e s s o b r e d i c h o s elementos c o n s t i t u y e n las i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a . E n c o n c r e t o , al nodo k a p a r e c e n a s o c i a d a s 4 i n c ó g n i t a s , o
T
(k),
—1-
T
k
, ( k ) , o (k),
k-1
k
-
( k ) , d o n d e el í n d i c e e n t r e p a r é n t e s i s r e p r e s e n t a el nodo del c u a l e s t á n
-
a s o c i a d o s y el s u b í n d i c e el e l e m e n t o s o b r e el que se d e f i n e n . Una c o m p l e t a i n f o r m a
c i ó n s o b r e la c a s u í s t i c a d e l c a s o p l a n o p u e d e e n c o n t r a r s e en la r e f f
J
f
E n el c a s o t r i d i m e n s i o n a l que n o s o c u p a el p r o b l e m a s e c o m p l i c a , p a r a v a r i a c i ó n lineal o s u p e r i o r , p o r dos r a z o n e s f u n d a m e n t a l e s .
La p r i m e r a de e l l a s es i n h e r e n t e a la d i m e n s i ó n d e l p r o b l e m a que e s t a m o s e s t u d i a n d o , p u e s t o q u e c a d a nodo l l e v a a s o c i a d a s t r e s v a r i a b l e s en l u g a r de d o s .
-
La s e g u n d a , y de más g r a v e d a d , es que el n ú m e r o de e l e m e n t o s q u e c o n c u r r e n en u n
n o d o y p o r t a n t o d e v a r i a b l e s a s o c i a d a s a él no e s t á a c o t a d o . E n 2D en u n nodo s o l o
p o s t a n c o n c u r r i r 2 e l e m e n t o s y p o r t a n t o el n ú m e r o m á x i m o de v a r i a b l e s q u e a él se
a s o c i a b a n e r a de s e i s (dos m o v i m i e n t o s y d o s t e n s i o n e s p o r e l e m e n t o ) , q u e d a n d o
-
p o r t a n t o r e d u c i d o a 4 (al m e n o s 2 v a r i a b l e s se c o n o c e n ) el n ú m e r o m á x i m o de incóc¿
n i t a s a s o c i a d a s el n o d o ( F i g .
I I I .4.4).
D
O
©
A
•
C
Fig.
© •
B
©
III.5.4
i
^ /
E n el c a s o 3 D , c o n a p r o x i m a c i ó n p a r a b ó l i c a , el n ú m e r o 1 ' m í n i m o d e e l e
rhéntoé'
Q u e c o n c u r r e n en un n o d o e s de 2 , c a s o del nodo A de la F i g .
I I 1.4.5
-
c o n 9 v a r i a b l e s a s o c i a d a s (3 m o v i m i e n t o s y 6 t e n s i o n e s , 3 de c a d a e l e m e n t o ) y s ó lo 3 E c u a c i o n e s I n t e g r a l e s que a p l i c a r . T a m b i é n p u e d e n e x i s t i r n o d o s c o m o el B
q u e p e r t e n e c e n a 3 e l e m e n t o s c o n 12 v a r i a b l e s a s o c i a d a s o c o m o el C o el D que p e r t e n e c e n a 4 e l e m e n t o s y t i e n e n p o r t a n t o 15 v a r i a b l e s a s o c i a d a s .
En muchas
ocasiones,
e s t e n ú m e r o de v a r i a b l e s , se r e d u c e c o n s i d e r a b l e
-
mente p o r la c o n f i g u r a c i ó n g e o m é t r i c a del c o n t o r n o d e l p u n t o en e s t u d i o . A s í , p o r e j e m p l o , en el n o d o C de la F i g .
I I I . 4 . 5 que p e r t e n e c e a l o s e l e m e n t o s 1 ) , 2 ) , 3 ) , -
4 ) , el v e c t o r t e n s i ó n es c o n t i n u o y p o r t a n t o , l a s 12 v a r i a b l e s de t e n s i ó n se r e d u
-
c e n a 3 . P u e d e e v i d e n t e m e n t e h a b e r una d i s c o n t i n u i d a d en la a p l i c a c i ó n de l a s c a r g a s , p e r o en e s e c a s o é s t a s s o n d a t o s y p o r t a n t o s ó l o a p a r e c e n l a s 3 i n c ó g n i t a s
-
del m o v i m i e n t o . P u e d e n a p a r e c e r , no o b s t a n t e en d i c h o n o d o , c o n d i c i o n e s m i x t a s
-
que c o m p l i c a r í a n el p r o b l e m a .
P l a n t e a d a la n a t u r a l e z a d e l p r o b l e m a y v i s l u m b r a d a su d i f i c u l t a d , se h a c e =
p r e c i s o c l a s i f i c a r los d i f e r e n t e s c a s o s que se puedan p r e s e n t a r . E s t a c l a s i f i c a
c i ó n p u e d e s e r h e c h a d e s d e d o s p u n t o s de v i s t a g e n e r a l e s : La p r i m e r a ,
-
presentan-
d o l a s d i f e r e n t e s c o n d i c i o n e s que p u e d e n a p a r e c e r , y la s e g u n d a a t e n d i e n d o al t i po de s o l u c i ó n o a p r o x i m a c i ó n q u e se v a a d a r . E s e v i d e n t e que l a s d o s c o r r e p o n d e n a la m i s m a s i t u a c i ó n , s ó l o que c o n t e m p l a d a s d e s d e d o s p u n t o s de v i s t a d i s t i n t o s , que c o r r e s p o n d e n e v i d e n t e m e n t e a d o s i n s t a n t e s d i f e r e n t e s de la r e s o l u c i ó n del p r o b l e m a . ..
A n t e s de e s p e c i f i c a r e s t a s c l a s i f i c a c i o n e s es p r e c i s o p u n t u a l i z a r la t e r m i n o l o g í a q u e se v a a u t i l i z a r .
- L o s e l e m e n t o s s e r á n r e f e r i d o s p o r el n ú m e r o de m o v i m i e n t o s que se d e s c o n o c e n e n el m i s m o . E v i d e n t e m e n t e , en l o s n o d o s de u n e l e m e n t o l a s c o n d i c i o n e s =
de c o n t o r n o s o n c u a l i t a t i v a m e n t e l a s m i s m a s , s i b i e n p u e d e n e v o l u c i o n a r l o s v a l o res
de l a s v a r i a b l e s . L L a m a r e m o s e l e m e n t o s l i b r e s a a q u e l l o s en que no h a y i m
p u e s t a n i n g u n a c o n d i c i ó n de m o v i m i e n t o . E n la F i g .
u n e l e m e n t o de e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s .
-
I I l . 4 . 6 a , se ha r e p r e s e n t a d o
D e n o m i n a r e m o s e l e m e n t o s de b o l a s a a q u e l l o s que t e n g a n d o s m o v i m i e n t o s
p o s i b l e s y el o t r o f i j a d o . F i g .
I I I . 4 . 6 (b).
Fig.
III.4.6
E l e m e n t o s de r o d i l l o s e r á n a q u e l l o s q u e t e n g a n u n m o v i m i e n t o p o s i b l e y l o s =
otros fijados F i g . I I I . 4 . 6 (c).
L L a m a r e m o s f i n a l m e n t e e l e m e n t o e m p o t r a d o a aquel q u e no t i e n e l i b e r t a d de=
movimiento en ningún s e n t i d o que los t r e s componentes del mismo c o n s t i t u y e n las
c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .
E n la F i g .
I I I . 4 . 6 , se h a n r e p r e s e n t a d o l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s o b r e
l o s e l e m e n t o s . S o b r e l o s c a s o s (b) y (c) h a y q u e h a c e r a l g u n a p u n t u a l i z a c i ó n .
Siem
p r e que e x i s t a u n o ó d o s d a t o s en m o v i m i e n t o , u n o de e l l o s s e r á el m o v i m i e n t o n o r mal al e l e m e n t o . A s í , en el c a s o que h e m o s l l a m a d o de b o l a s , la ú n i c a r e p r e s e n t a
c i ó n q u e s e c o n s i d e r a e s la de la F i g .
-
I I I . 4 . 6 ( b ) . E n el c a s o que h e m o s l l a m a d o -
d e r o d i l l o , t a m b i é n p o d r í a c o n s i d e r a r s e la p o s i b i l i d a d de c o n o c e r w ,
T
^ , v, pero -
no s e r í a v á l i d a a , u , v .
De a h í la d e n o m i n a c i ó n de e s t o s c a s o s c o m o b o l a s y r o d i l l o s p o r q u e ambos=
d i s p o s i t i v o s f í s i c o s r e p r e s e n t a n e x a c t a m e n t e l a s c o n d i c i o n e s que s e v a n a a d m i t i r .
- E n el e s t u d i o de l a s d i f e r e n t e s s i t u a c i o n e s en que a p a r e z c a u n r o d i l l o ,
-
c o n s i d e r a r e m o s q u e é s t e es r í g i d o , es d e c i r que s ó l o s o n p o s i b l e s m o v i m i e n t o s
-
como el i n d i c a d o en la F i g . I I I . 4 . 7 ( a ) , y no s o n p o s i b l e s l o s i n d i c a d o s en la
-
Fig.
-
I I I . 4 . 7 ( b ) . E n la r e s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a se r a z o n a r á c o m o s i s ó l o f u e r a
p o s i b l e la p r i m e r a s i t u a c i ó n s i b i e n é s t o no s i g n i f i c a que no se p u e d e n a d m i t i r
ro-
d i l l o s no r í g i d o s , a u n q u e en e s t e c a s o , la f o r m a de r a z o n a r s u p o n g a una e v i d e n t e
aproximación.
(a)
Fig.
II1.4.7
(b)
- A p a r t i r d e e s t e m o m e n t o v a m o s a i n c l u i r el t é r m i n o de c a r a en l u g a r
-
d e l e l e m e n t o . A q u é l c u b r e a é s t e . A l r e f e r i r n o s a u n n o d o , l l a m a r e m o s c a r a al
-
c o n j u n t o de e l e m e n t o s que c o n c u r r e n en d i c h o n o d o y que e s t a n d o en el m i s m o p l a no t a n g e n t e t i e n e n l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .
C o m o a c l a r a c i ó n n o s r e f e r i r e m o s a la F i g .
I I I .4.8
E n la F i g .
I I I . 4 . 8 ( a ) , en el n o d o P c o i n c i d e n t r e s e l e m e n t o s 1 ) , 2 ) , 3) c o n
l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o e s p e c i f i c a d a s . E n la F i g .
I I I . 4 . 8 (b), con las mismas=
c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , se han i n t r o d u c i d o en la d i s c r e t i z a c i ó n s e i s e l e m e n t o s .
S i n e m b a r g o , e x i s t e n l a s m i s m a s c a r a s que en la d i s c r e t i z a c i ó n de la F i g .
-
I I 1.4.8
(a), y a que l o s e l e m e n t o s a) y b) p o r e j e m p l o c o n s t i t u y e n una c a r a . S i n e m b a r g o s i =
la d i s c r e t i z a c i ó n de la F i g .
t o r n o d e la F i g .
I I I . 4 . 8 f u e r a a c o m p a ñ a d a de l a s c o n d i c i o n e s de c o n
-
I I I . 4 . 9 el n ú m e r o de c a r a s s e r í a 4 , ya que l o s e l e m e n t o s e y f no
t i e n e n l a s m i s m a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .
C a r a 1 , e l e m e n t o s a) y b ) .
C a r a 2 , elementos c) y d ) .
C a r a 3, elemento e).
C a r a 4, elemento f ) .
La d i s t i n c i ó n h e c h a e n t r e c a r a s y e l e m e n t o s es d e b i d a a que al e s t a b l e c e r
-
el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s que están a s o c i a d a s al n o d o , d o s e l e m e n t o s q u e p e r t e n e z c a n =
a la m i s m a c a r a no a p o r t a n nada más que 3 v a r i a b l e s . P o r e s o , a p a r t i r de e s t e mo_
m e n t ó y en e s t e a p a r t a d o h a b l a r e m o s s ó l o de c a r a s y l a s r e p r e s e n t a r e m o s en f o r m a
s i m p l e t a l y c o m o s e i n d i c a en la F i g .
I I l . 4 . 1 0 , en la que t a m b i é n se e s p e c i f i c a
-
l a s i n c ó g n i t a s de c a d a c a s o .
c. libre
c . de b o l a s
c . de r o d i l l o
ó a
Fig.
, T
,
c.
empotrada
v
III.4.10
- E n l o q u e s i g u e t r a t a r e m o s t o d o s l o s d a t o s s o b r e l o s e l e m e n t o s en c o o r d e
n a d a s l o c a l e s . L o s d a t o s s o b r e l o s e l e m e n t o s p u e d e n v e n i r en c o o r d e n a d o s g l o b a
-
l e s , l o c a l e s ó i n t r í n s e c a s , que v a n a s o c i a d a s a la n u m e r a c i ó n de l o s n o d o s . E n
-
c u a l q u i e r c a s o , una s e n c i l l a t r a n s f o r m a c i ó n p e r m i t e e x p r e s a r é s t a s en c o o r d e n a
d a s l o c a l e s , p o r lo que e s t a b l e c e r e m o s todo el r a z o n a m i e n t o s o b r e d i c h o s i s t e m a .
E s t a b l e c i d a s estas p r e m i s a s , vamos a plantear d i f e r e n t e s c l a s i f i c a c i o n e s
«
-
q u e p e r m i t i r á n a b o r d a r el p r o b l e m a de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , en el c a s o q u e
n o s o c u p a . Una p o s i b l e c l a s i f i c a c i ó n , a t e n d i e n d o al t i p o de c o n d i c i o n e s e x i t e n t e s en
l o s e l e m e n t o s ( p u r o s ó m i x t o s ) y al t i p o de i n c ó g n i t a s ,
sería:
1 . - N o h a y c o n d i c i o n e s m i x t a s s o b r e n i n g ú n e l e m e n t o a d y a c e n t e al n o d o .
1 . 1 . - T o d a s l a s c a r a s q u e c o i n c i d e n en el n o d o t i e n e n d a t o s en moví
-
miento.
1 . 2 . - T o d a s l a s c a r a s c o n d a t o s en t e n s i o n e s .
1 . 2 . - T o d a s l a s c a r a s c o n d a t o s p u r o s (no m i x t o s ) p e r o m e z c l a d o s .
2 . - En algunos elementos hay c o n d i c i o n e s m i x t a s .
2.1
N o h a y ' i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o .
2 . 1 . 1 . - A l m e n o s en una c a r a se c o n o c e n t o d o s l o s m o v i m i e n t o s .
2 . 1 . 2 . - E n n i n g u n a c a r a se c o n o c e n l o s m o v i m i e n t o s , p e r o e s
tan fijadas t r e s d i r e c c i o n e s linealmente
-
independientes.
2 . 2 . - E x i s t e n i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o (no e x i s t e , p o r t a n t o , n i n g u n a c a r a complet¿menté
f i j a en m o v i m i e n t o s ) .
2 . 2 . 1 . - H a y 2 ó m e n o s c a r a s c o n c o n d i c i o n e s en m o v i m i e n t o .
2 . 2 . 2 . - H a y 3 ó más c a r a s p e r o a l g u n a s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n dientes.
Evidentemente, esta c l a s i f i c a c i ó n engloba todos los casos p o s i b l e s , si bien
s e r í a p r e c i s o s e g u i r e s t a b l e c i e n d o s u b a p a r t a d o s d e n t r o d e l o s ya e s p e c i f i c a d o s ,
-
h a s t a l l e g a r a c a s o s muy c o n c r e t o s en l o s que se p u d i e r a e s t a b l e c e r la h i p ó t e s i s
-
p a r a r e s o l v e r el p r o b l e m a .
*
Una f o r m a más s i s t e m á t i c a , a u n q u e m e n o s f í s i c a d e r e s o l v e r el p r o b l e m a
s e r í a e s t a b l e c e r una c l a s i f i c a c i ó n en c u a n t o al n ú m e r o y t i p o de c a r a s que c o i n c i
-
d a n en u n n o d o .
Si
llamamos:
n
= N ú m e r o de c a r a s que c o i n c i d e n en el nodo c o n 3 d a t o s en t e n s i ó n ( c a
o
ras
n
-
libres).
= N ú m e r o de c a r a s q u e c o i n c i d e n en el nodo c o n 2 d a t o s en t e n s i ó n ( c a
-
r a s de b o l a s ) .
n
= Idem, con 1 dato
en t e n s i ó n ( c a r a s de r o d i l l o s ) .
n
= I d e m , c o n 0 d a t o s en t e n s i ó n ( c a r a e m p o t r a d a ) .
O r d e n a n d o l o s t r e s n ú m e r o s en el o r d e n n_ n_ n n , h a b r í a que e s t u d i a r
3 2
1 o
c a d a p o s i b l e c o m b i n a c i ó n , p o r l o q u e la c l a s i f i c a c i ó n s e r í a en la f o r m a :
- 0 0 1
n
-
0
1
0
n
-
1
0
0
n
- 0
1
1
n
- 1
0
1
n
- 1
1
0
n
-
o
o
o
o
o
o
E l v a l o r de n
o
no a p a r e c e e s p e c i f i c a d o , p o r q u e s e a c u a l s e a s u v a l o r , n o —
-—
a f e c t a a la s o l u c i ó n a a d o p t a r , ya que no a p o r t a n u e v a s i n c ó g n i t a s , p u e s al s e r s u s
t r e s d a t o s en t e n s i o n e s s ó l o a p o r t a i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o s , d e p e n d i e n d o p u e s
-
de l a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s o b r e el r e s t o de l a s c a r a s no l i b r e s .
*
A l i g u a l q u e s u c e d í a e n la c l a s i f i c a c i ó n a n t e r i o r e x i s t e n p a r a c a d a c a s o
-
una s e r i e de a p a r t a d o s d i f e r e n t e s . P o r e j e m p l o , s i s u p o n e m o s que en u n o o d o c o i ' n a
d e n d o s c a r a s de r o d i l l o y una c a r a l i b r e , no s e puede l l e g a r a la m i s m a s o l u c i ó n , -
s i la d i s p o s i c i ó n de l o s r o d i I l o s e s la m o s t r a d a e n la F i g .
Fig.
I I I . 4 . 1 1 ( a ) , que en la -
1 11.4.11
Una a l t e r n a t i v a a e s t a s f o r m a s de c l a s i f i c a r e s , t a l y c o m o se ha d i c h o
an-
r
t e r i o r m e n t e , a g r u p a r t o d a s a q u e l l a s c a r a s q u e t e n g a n una s o l u c i ó n s i m i l a r .
E s t a c l a s i f i c a c i ó n es la que se s e g u i r á , p e r o c o n a n t e r i o r i d a d s e r e c o r d a
-
r á n d o s p r o b l e m a s g e n e r a l e s , de la T e o r í a de e l a s t i c i d a d ya que c o m o se v e r á más
a d e l a n t e l a s s i t u a c i o n e s que se v a n a p r e s e n t a r en l o s n o d o s , se r e d u c e n a t r e s y en d o s de e l l o s s e r á p r e c i s o r e c u r r i r a l o s a r t i f i c i o s que a c o n t i n u a c i ó n s e e x p l i
-
can.
E l p r i m e r o c o r r e s p o n d e a la d e t e r m i n a c i ó n de l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s
-
de t e n s i ó n y d e f o r m a c i ó n c o n o c i d a la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en t r e s d i r e c c i o nes d e f i n i d a s , l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
N o s r e f e r i r e m o s a u n s i s t e m a de e j e s c a r t e s i a n o s x , y , z , ( F i g .
«
I I I .4.12)
y a un sistema local V , 2 , 3 c o r r e s p o n d i e n t e a las d i r e c c i o n e s sobre las cuales co
-
n o c e m o s la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s que v e n d r á n d e f i n i d a s p o r
Fig.
v
1
,
v
2
,
3
1 I 1 .4.12
LLamando u , v , w a l o s c a m p o s de m o v i m i e n t o s e g ú n l o s e j e s x , y , z d e f i n i d o s en el e n t o r n o del o r i g e n , podemos e s c r i b i r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :
u,
= vu. v 1
v,
v2
v ,
2
u » 3 = vu. v^
V ,
3=
u,2=vu.
= V v. v
= V V
*
VV*
V
w, 1 = V w. v ^
2
V3
W ,
2
= V W
'
V
2
Hl.4.1
w , 3 = Vw. v 3
A n t e s de c o n t i n u a r el p r o c e s o g e n e r a l , hay que h a c e r n o t a r que en la m a y o r í a de l o s c a s o s , se c o n o c e r á n l o s d a t o s en m o v i m i e n t o en c o o r d e n a d a s l o c a l e s
(Jí
»v^
, w ^ ) , en t a l c a s o , una t r a n s f o r m a c i ó n de e j e s de la f o r m a
-
donde L
o
es la m a t r i z u s u a l de c o s e n o s d i r e c t o r e s , p e r m i t e e n c o n t r a r l a s d e r i v a d a s
de l o s m o v i m i e n t o s g l o b a l e s en l a s d i r e c c i o n e s
1,2,3.
Las d e r i v a d a s u , ^ se o b t i e n e n como la t a n g e n t e a una p a r á b o l a d e f i n i d a p o r
t r e s p u n t o s ( l o s t r e s nodos de la d i r e c c i ó n que se c o n s i d e r a )
L a s e c u a c i o n e s I I I . 4 . 1 , se pueden p o n e r t a m b i é n en la f o r m a :
1
U,
1
>
U,2
U
V
V
_
1X
2x
V
3x
'3
V
ly
V
V
2y
3y
V
V
V
>
u,
1z
2z
3z
<
U,
u,
X
y
' =
u
III.4.2
z
v,
=
v,
v
. v
III.4.3
. w
III.4.4
v,
w,
w,
w,
3
V a m o s a i n t e n t a r c a l c u l a r l a s e v o l u c i o n e s de l o s m o v i m i e n t o s x , y , z , en
f u n c i o n e s de l a s e v o l u c i o n e s s o b r e 1 , 2 , 3 ,
conocidas.
-
La r e l a c i ó n b u s c a d a s e p u e d e e x p r e s a r en la f o r m a :
u,
A
=
xyz
(3,1)
.4.5
123
(3,1)
(3,3)
E f e c t i v a m e n t e , a p a r t i r d e I I I . 4 . 1 y a g r u p a n d o s e puede e s c r i b i r :
U)
U|
V<1
V
.1
W
donde v
'1
2
u.
'2
W
W
'3
x
v,
'3
V
'2
U,
f
3
x
u,
v,
. W,
i
u,
y
.y
W,
y
x
z
v,
1 'vi
z
1y
v
W ,JK . .
z
V
1x
V
2x
3x
2y
v
„
1z
'
3z
v
_
2z
.4.6
_
3z
e s la c o m p o n e n t e j d e l v e c t o r u n i t a r i o de la d i r e c c i ó n i
ij
D e s p e j a n d o la m a t r i z de d e r i v a d a s r e s p e c t o a x , y , z y t r a s p o n i e n d o q u e d a rá
i
V
1x
V
2x
V
-1
3x
V1y
V2y
V 3y
V,
V0
V_
1z
2z
T
3z
l
U
' l
V
'1
W
' 1
U
' 2
V
'2
W
' 2
3
V
'3
ü ,
q u e e s p r e c i s a m e n t e la e x p r e s i ó n I I I . 4 . 6 ,
W
' 3'
con
U,
U,
L U í
z
X
y
V,
X
V,
V
'z
X
y
w,
w,
W í
y
zJ
III.4.7
V,
V O
1x
2x
v
A =
v
v
v
1y
2y
v
L 1z
-1
3x
3y
v
.4.8
v
2z
3z
L o s c o m p o n e n t e s de A t e n d r á n la s i g u i e n t e e x p r e s i ó n :
A11
"
12
=
( v
"
2y
v
3 z "
( v
2x
v
v3y
3Z"
v
2z
v
3X
v
) / a
2Z
) / a
A . _ = ( v 0 v-, - v 0 v 0 ) / A
13
2x 3y
2y 3x
A
21
2 2 "
A
A
A
v1x
(
v
(y,
23
3Z"
1 x
31
3 2
A
- - (v,
v-, " V f
v , )/ A
1y
3z
1z
3y
y
" "
33"
( v
( v
v
1 x
1x
v
vo
3y
2z"
v
3XvTZ
v
—
v
v o Vi
3x
2y
v
2x
)/A
1y
v'1z)/a
2z"v2xv1"
2y"
III.4.9
) A
v
1y
z
) A
) / A
donde
A
=
v
_
1x
V
1z
v
V
2y
v
3z
V
2y
E s t e v a l o r de
3z
A
+ v
_
2x
V
v
3y
V
3y
2z
v
V
íz
íx
+
v
. Ty
_ V
iy
v
2z
V
v
V
2x
3x
M I
3z
/i
1(1
s e r á n u l o , c u a n d o l a s t r e s d i r e c c i o n e s \> NV V s e a n l i n e a l
1 2
3
m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , lo que i m p l i c a que no es p o s i b l e el e s t a b l e c i m i e n t o de l a s
-
ecuaciones a n t e r i o r e s .
P o r tanto, las r e l a c i o n e s buscadas son:
U
'x
=
A11
u>y = A2l
u,
U
'1
+ A
u»i +
12
^22
= A „ , u.
+
31
1
z
U
32
'2
+
A
U,2 +
u.
2
13
U ,
3
^23 U,^
111.4.11
+ A . ^ u.
33
3
y en f o r m a a n á l o g a s e e s t a b l e c e r á n r e l a c i o n e s s i m i l a r e s p a r a v y w .
U n a v e z o b t e n i d o s l o s r e s u l t a d o s l I 1 . 4 . 1 1 se p u e d e n c a l c u l a r l a s d e f o r m a c i o n e s u n i t a r i a s , a t r a v é s d e l t e n s o r de C a u c h y A l . 3
e
=u,
X
e
xy
e
X
= I (u,
= u,
y
y
4V, )
x
e
xz
= u,
G
y
= i (u,
III.4.12
Z
z
+w,
x
)
e
yz
= j (v,
z
+w,
y
)
O b t e n i d o el t e n s o r de d e f o r m a c i o n e s e
¡j
, podemos obtener los v a l o r e s de -
las d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s ; mediante
e
x
- e
xy
xz
xy
xz
e - e
y
yz
yz
e
z
=
0
III.4.13
- e
R e s o l v i e n d o el d e t e r m i n a n t e o b t e n e m o s una e c u a c i ó n de la f o r m a :
3
2
e + A e
+ B e + C
donde
=
III.4.14
0
A , B y C s o n las i n v a r i a n t e s del t e n s o r d e f o r m a c i ó n
La r e s o l u c i ó n de la 1 1 1 . 4 . 1 4 , p e r m i t e d e t e r m i n a r l o s v a l o r e s e ^, e ^ ,
ejjj»
d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s del e s t a d o de d e f o r m a c i ó n e x i s t e n t e en el e n t o r n o d e l p u n
to en e s t u d i e .
E x i s t e n v a r i a s s i t u a c i o n e s s e g ú n l o s v a l o r e s r e l a t i v o s de V | ,
v
11'
v
111 *
~
que a n a l i z a r e m o s a c o n t i n u a c i ó n :
e
\
¿
e
II
¿ e
III
En este c a s o , están determinadas las d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s v
q u e s e o b t i e n e n de la s i g u i e n t e e c u a c i ó n :
, v ^ , v^j,
e _ e
x
^
para
e
e
=
e
e
zx
2
y
_ e
zy
e
n
= 0
m
yz
II1.4.15
.n-
e _ e
z
y t e n i e n d o en c u e n t a q u e
e
I
xz
xy
xy
1
+ m
2
+ n
2 .
=1
obtendríamos
t
\
mi
n.
en f o r m a a n á l o g a , s u s t i t u y e n d o e p o r
II
y por
e
. obtendríamos:
ni
III
m.
m.
e. =
e
e .. =
e
E n e s t e c a s o , l o s t e n s o r e s de d e f o r m a c i ó n y t e n s i ó n s o n e s f é r i c o s , y
c u a l e s q u i e r a 3 d i r e c c i o n e s o r t o g o n a l e s s o n e j e s p r i n c i p a l e s . La s o l u c i ó n más
s e n c i l l a es h a c e r
v
= i
e =
V
e ^ pero £ e ^
!I
= J
= k
(ó s i t u a c i ó n s i m é t r i c a )
E l e s t a d o de t e n s i o n e s se p u e d e r e p r e s e n t a r p o r u n e l i p s o i d e de r e v o l u
-
c i ó n . P a r a la d e f o r m a c i ó n de v a l o r d i f e r e n t e s e h a l l a s u v e c t o r u n i t a r i o en la f o r
ma e x p l i c a d a a n t e r i o r m e n t e y en u n p l a n o p e r p e n d i c u l a r , s e c a l c u l a n d o s e j e s
-
cualesquiera perpendiculares entre sí.
S e a c u a l s e a la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n I I I . 4 . 1 4 , una v e z c a l c u l a d o s l o s =
v a l o r e s de v ^ ,
v^,
v ^
se p u e d e e x p r e s a r el v e c t o r t e n s i ó n a s o c i a d o a una d i r e c -
c i ó n c u a l q u i e r a en el e s p a c i o de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s . F i g .
I I I . 4 . 1 3 . A s í , si T
r e p r e s e n t a el v e c t o r t e n s i ó n a s o c i a d a a una d i r e c c i ó n c u a l q u i e r a
Fig.
_v
I
=
1
o explícitamente
R *
P
v
P
:
III.4.13
0
v
l
donde
eS
v
V
v,
0
11I.4.16
'
r e p r e s e n t a el v e c t o r d i r e c c i ó n en el s i s t e m a de c o o r d e n a d a s p r i n c i p a
P
| e s 'a
c o m
Ponente
d e
-
v s o b r e el e j e I ) .
E l s e g u n d o p r o b l e m a q u e se v a a r e s o l v e r e s el de e x p r e s a r una c o m p o n e n
te d e l v e c t o r t e n s i ó n en una d i r e c c i ó n a p a r t i r del r e s t o , de l a s c o m p o n e n t e s , y
-
o t r o v e c t o r t e n s i ó n en el m i s m o p u n t o , en o t r a d i r e c c i ó n . E s t o se c o n s i g u e , a p l i c a n d o la r e l a c i ó n de C a u c h y e n t r e l o s p l a n o s , a s o c i a d o s a d i c h a s d i r e c c i o n e s .
H a c i e n d o r e f e r e n c i a a la F i g .
I I I . 4 . 1 4 , s u p o n g a m o s que q u e r e m o s e x p r e s a r l a
-
t e n s i ó n n o r m a l s o b r e la c a r a (a) e n f u n c i ó n d e l a s t e n s i o n e s s o b r e la c a r a (b) y el
r e s t o de l a s d e la ( a ) .
A P R O X I M A C I O N DE N U M E R A C I O N
E s e v i d e n t e q u e a u n q u e en la F i g .
I I 1.4
I I I . 4 . 1 4 hemos r e p r e s e n t a d o los e j e s en
el c e n t r o de l a s c a r a s (a) y (b) n o s e s t a m o s r e f i r i e n d o a d o s v e c t o r e s t e n s i ó n
y T
v
T
v a
def ¡nidos s o b r e un punto común A .
La r e l a c i ó n de C a u c h y e x i g e que:
I
v
a
V)
b
—
donde los v e c t o r e s T
y
v
b a
v
1
II1.4.17
e s t á n en c o o r d e n a d a s g l o b a l e s ,
v
A h o r a b i e n , t e n i e n d o en c u e n t a q u e :
-a
x
-a
TVa=
y
s.
-a
z
a
+
l
y que a n a l o g a m e n t e
r -b
x
TVb=<
-b
y
-b
fc Z
1
r
b
v
»
i
-
k
v
T
t
la e x p r e s i ó n I I I . 4 . 1 7 , s e t r a n s f o r m a en:
b
1
°i
1
v b v ~ v
2
3
=
-
3
"3
(vava v a \
1 2 3 '
v
l3
n
b^
'i
b
b
2
*2
b
b
3
3
que s e p u e d e p o n e r en la f o r m a
(
V
donde:
V
A
1
V
A
2
V
A
_ {/ _v b -v b -v b )\
^ 1
2
3/
)
3 '
a
v _
-va_
- a
v
1
1
M B
V1
1
V) b
«
2
1
3
+
xi
a
n
b
o
2
2
~
+
b
a
1
o
2
3
+
y análogamente
b
v_
1
1
v a
v b
III . 4 . 1 8
- b
V
a
2=
V
-b
V
3
b
a b
1 P1
+
2
v
a b
V1
=
n2
a b
+
V
3
n3
a b
'i
V2
+
'2
a b
+
v
3
l
3
de la e x p r e s i ó n I I I . 4 . 1 8 p o d e m o s y a d e s p e j a r el v a l o r de
A
b
=
- a
v
1
O
- b
V
a
-a
v
2
+
- b
V
1
1
T
a
n
+
1
- a
v
3
- b
V
T
a
t
a
- b
v
2
-b
V
v
b
T
n
1
- b
3
-b
V
T
b
t
1
III.4.19
La e x p r e s i ó n l l 1 . 4 . 1 9 y l a s s i m i l a r e s , p e r m i t e n p u e s , e x p r e s a r una c o m p o n e n t e de la t e n s i ó n en un p u n t o , en f u n c i ó n d e l r e s t o y d e o t r o v e c t o r t e n s i ó n a s o c i a
do a e s e p u n t o en o t r a d i r e c c i ó n .
La e x p r e s i ó n I I I . 4 . 1 9 , d e f i n i d a e s t á en c o o r d e n a d a s l o c a l e s ( l a s t e n s i o n e s )
porque éstas serán
n o r m a l m e n t e l a s c o m p o n e n t e s de l o s v e c t o r e s t e n s i ó n que se
-
m a n e j a r á n en l o s p r o b l e m a s , t a n t o s i s o n v a l o r e s c o n o c i d o s , c o m o s i c o n s t i t u y e n
-
las i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a .
La ú n i c a s a l v e d a d q u e es n e c e s a r i o h a c e r e s que d e b i d o a que l a s c o o r d e n a d a s l o c a l e s s o n d i f e r e n t e s p a r a c a d a e l e m e n t o , e s n e c e s a r i o h a c e r una t r a n s f o r m a c i ó n de l a s n o r m a e l s
v
a
y :
v
b
p a r a e x p r e s a r l a s en c o m p o n e n t e s i n r í n s e c a s d e l
v
e l e m e n t o c o n t r a r i o , p a r a p o d e r r e a l i z a r el p r o d u c t o e s c a l a r p o r la T
-
correspon-
diente.
F i n a l i z a d o s l o s d o s d e s a r r o l l o s a n t e r i o r e s , v a m o s a v e r que t o d a s l a s p o s i -
APROXIMACION NUMERICA
I I I .4
b i l i d a d e s de a c t u a c i ó n en la d e t e r m i n a c i ó n de l a s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n n o d o s e
p u e d e n r e s u m i r en t r e s , que l l a m a m o s : de a p l i c a c i ó n r e c t a , de a p l i c a c i ó n de la
c o n d i c i ó n de C a u c h y y de u s o de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s .
-
I I 1.4.1APLICACION
DIRECTA
E n e s t e c a s o , s o l o e x i s t e n t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o , p o r lo q u e
el ú n i c o p r o b l e m a e s t r i b a en d e t e r m i n a r c u a l e s s o n , s e g ú n l a s c o n d i c i o n e s q u e
-
e x i s t e n s o b r e c a d a u n o de l o s e l e m e n t o s que c o n c u r r e n en é l . V a m o s a c o n s i d e r a r =
i n d e p e n d i e n t e m e n t e t o d a s l a s c a r a s a u n q u e el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s e s de 3 .
Utiliza
mos p a r a i d e n t i f i c a r c a d a c a r a , un n ú m e r o de 4 c i f r a s n , n , n . n_ que r e p r e s e n
3
~
o
1
2
t a , c o m o y a se d i j o , el n ú m e r o de c a r a s l i b r e s , de b o l a s , de r o d i l l o s y e m p o t r a d a s .
1 . - T o d a s l a s c a r a s que c o i n c i d e n en el nodo s o n l i b r e s (0
0
0
n ). En
o
-
e s t e c a s o , l a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o s o n l a s t r e s c o m p o n e n t e s d e l m o v i m i e n t o en c o o r d e n a d a s g l o b a l e s .
2 . - E x i s t e una c a r a de b o l a s y el r e s t o s o n c a r a s l i b r e s (0
Fig.
0
1 n. ) .
o
I I I . 4 . 1 . 1 , nodo A . E n e s t e c a s o l a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al no -
do son:
- La t e i r f s i ó n n o r m a l en la c a r a de b o l a s (en el n o d o
$.
- L o s d o s m o v i m i e n t o s en el p r o p i o p l a n o de la c a r a de b o l a s (en el nodo A ) .
E n é s t e como en l o s c a s o s que s i g u e n se r e p r e s e n t a n l a s c a r a s s o b r e u n
t r i e d r o p o r c o m o d i d a d , s i n que e l l o s i g n i f i q u e p é r d i d a de g e n e r a l i d a d . E n l o s c a s o s
en que l o s á n g u l o s j u e g u e n u n p a p e l i m p o r t a n t e s e i n d i c a r á t á c i t a m e n t e .
z
3 . - E x i s t e una c a r a de r o d i l l o s y el r e s t o s o n c a r a s l i b r e s (0
do A de la F i g .
1 0
n ) noo
I I 1.4.1.2.
L a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o s o n :
- E l m o v i m i e n t o en la d i r e c c i ó n que p e r m i t e el r o d i l l o ( d i r e c c i ó n x en el no
d o A en la F i g .
I I I .4.1 .2.
- La t e n s i ó n n o r m a l y la t e n s i ó n en la d i r e c c i ó n l o n g i t u d i n a l , al r o d i l l o en
-
d i c h a c a r a ( d i r e c c i o n e s y , z r e s p e c t i v a m e n t e en la c a r a de r o d i l l o s (a) de la f i g u r a
III.4.1.2.
4 . - E x i s t e una s o l a c a r a e m p o t r a d a y el r e s t o s o n c a r a s l i b r e s (1
nodo A de la F i g .
III.4.1.3.
0
0
n )
o
( E l h e c h o de u s a r el t é r m i n o e m p o t r a d o no s i g n i f i c a
que l o s m o v i m i e n t o s s e a n n u l o s en d i c h a c a r a , s i n o s i m p l e m e n t e que se c o n o c e n .
-
A l g o a n á l o g o p u e d e d e c i r s e de l a s c a r a s d e b o l a s y de l a s de r o d i l l o ) . .
Fig.
1 I I . 4 . 1 .3
L a s t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al n o d o s o n l a s t r e s t e n s i o n e s del nodo. A en
la c a r a e m p o t r a d a .
N o h a y i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y a que p o r p e r t e n e c e r el n o d o A a la c a r a
e m p o t r a d a , se c o n o c e n s u s t r e s m o v i m i e n t o s .
5 . - E x i s t e n d o s c a r a s de b o l a s y el r e s t o de l a s c a r a s s o n l i b r e s (0 0 0 n )
o
P u n t o A de la F i g .
II 1.4.1.4.
z
L a s c a r a s de b o l a s , i m p i d e n d o s m o v i m i e n t o s en el nodo A , p o r e l l o l a s i n c ó g n i t a s d e l nodo s o n :
- U n m o v i m i e n t o (no c o n t e n i d o en el p l a n o d e f i n i d o p o r l a s n o r m a l e s a l a s
-
c a r a s de b o l a s ) .
- L a s d o s t e n s i o n e s n o r m a l e s a l a s c a r a s de b o l a s .
E l v a l o r del á n g u l o
no i n f l u y e en el t r a t a m i e n t o del p r o b l e m a .
6 . - E x i s t e una c a r a de b o l a s y una c a r a de r o d i l l o s que no s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s N o d o A d e la
Fig.
III.4.1.5.
P a r a c u a l q i i e r v a l o r de
ex y s i e m p r e que
3 £ 9 0 2 l o s t r e s m o v i m i e n t o s del -
nodo A e s t á n d e t e r m i n a d o s . P o r t a n t o , no h a c e f a l t a m a n i p u l a r l o s d a t o s , ya que
-
las i n c ó g n i t a s son:
- T e n s i ó n n o r m a l en la c a r a de b o l a s .
- T e n s i ó n n o r m a l en el r o d i l l o y t a n g e n c i a l en su d i r e c c i ó n .
S i 3 = 9 0 g en el n o d o A el m o v i m i e n t o s e g ú n z e s una i n c ó g n i t a , s i e n d o ne c e s a r i o e l i m i n a r una de l a s t e n s i o n e s r e l a c i o n á n d o l a c o n l a s d e m á s ( v e a s e I I I . 4 . 2 )
7 . - E x i s t e n t r e s c a r a s de b o l a s s i e n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s , nodo A
de la F i g .
I II.4.1.6.
•
A l e s t a r f i j a d o s l o s m o v i m i e n t o s en t r e s d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n
-
d i e n t e s ( l a s n o r m a l e s a l a s c a r a s de b o l a s ) no h a y i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o . L a s
-
t r e s i n c ó g n i t a s d e l nodo A s o n l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s a l a s c a r a s de b o l a s .
Fig.
III.4.1.6
I I I . 4 . 2 . - A P L I C A C I O N DE LA R E L A C I O N DE C A U C H Y
E n l o s c a s o s d e s c r i t o s a n t e r i o r m e n t e , no ha s i d o p r e c i s o m a n i p u l a r l o s d a t o s e x i s t e n t e s , p u e s en t o d o s e l l o s no e x i s t í a n más de t r e s i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s al =
n o d o . E n l o s c a s o s que s i g u e n , e x i s t e un e x c e s o d e v a r i a b l e s a s o c i a d a s a l nodo y s e
r á p r e c i s o u s a r la r e l a c i ó n de C a u c h y , de una u o t r a f o r m a p a r a r e d u c i r e l n ú m e r o =
de i n c ó g n i t a s a 3 . E l g r a d o de a p r o x i m a c i ó n que se i n t r o d u c e es d i f e r e n t e en c a d a =
c a s o , s e g ú n el t i p o de s u p o s i c i ó n que se e s t a b l e z c a y que se i r á d e s c r i b i e n d o a
-
c o n t i n u a c i ó n p a r a c a d a u n o de e l l o s .
1 . - E x i s t e n d o s c a r a s de r o d i l l o s y el r e s t o de l a s c a r a s que c o n c u r r e n en
el nodo s o n l i b r e s ( 0 , 2 , 0 n ) .
o
P u e s t o que c a b e n d i f e r e n t e s d i s p o s i c i o n e s en l a s c a r a s e n t r e sí y de l o s
-
r o d i l l o s c o n r e s p e c t o a la a r i s t a c o m ú n e s t u d i a r e m o s v a r i o s c a s o s .
1 . 1 . - L o s r o d i l l o s no s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n , (nodo A F í g .
I 1 I.4.2.1).
a ¿ 90-
«
Fig.
III.4.2.1
E n e s t e c a s o , el m o v i m i e n t o e s t á t o t a l m e n t e i m p e d i d o en el nodo A y en p r i n
c i p i o e x i s t e n 4 i n c ó g n i t a s ( d o s p o r c a d a r o d i l l o ) , p o r lo que de la e c u a c i ó n I I l . 4 . 1 8
se p u e d e d e s p e j a r
d o n d e s e ha p u e s t o
T
s u p u e s t a n la d i r e c c i ó n de l o s r o d i l l o s e n la c a r a b ) .
n
T
b
n
en f u n c i ó n
T
a
n
y
T
b
t
( d a t o s ) y de °
a
n
,
°
D
,
n
T
a
t
que
q u e d a n c o m o l a s i n c ó g n i t a s d e l nodo A .
L o s r o d i l l o s se h a n p r e s e n t a d o c o m o p a r a l e l o s ^ p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s
-
tas común, p e r o pueden t e n e r d i r e c c i ó n c u a l q u i e r a .
1 . 2 . - Los r o d i l l o s son p e r p e n d i c u l a r e s
t a l c o m o se a p r e c i a en la F i g .
a la a r i s t a c o m ú n . E n e s t e c a s o ,
I I I . 4 . 2 . 2 , e x i s t e p o s i b i l i d a d de m o v i m i e n t o en la ó]_
r e c c i ó n de la a r i s t a c o m ú n . P o r e l l o h a y en p r i n c i p i o 5 i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n
nodo t a l c o m o el A de la F i g .
rodillo.
-
-
I I I . 4 . 2 . 2 : el m o v i m i e n t o y l a s d o s t e n s i o n e s p o r c a d a
P a r a r e d u c i r el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s a t r e s , a n u l a m o s una de l a s t e n s i o n e s
t a n g e n c i a l e s , l o q u e c o n s t i t u y e una e v i d e n t e a p r o x i m a c i ó n ^ y la o t r a la c a l c u l a r e m o s
e m p l e a n d o la r e l a c i ó n de C a u c h y .
2 . - E x i s t e una c a r a d e r o d i l l o s y una c a r a de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de
-
l a s c a r a s l i b r e s . A d e m á s l o s r o d i l l o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n . N o d o
A de la F i g .
I I I . 4 . 2 . 3 . (0
1
1 n ).
E x i s t e n c u a t r o i n c ó g n i t a s a s o c i a d a s a u n nodo de e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s .
m o v i m i e n t o (en la d i r e c c i ó n z en la F i g I I I . 4 . 2 . 3 ) y t r e s t e n s i o n e s (dos d e l
Un
rodillo
y una de la b o l a ) .
La r e l a c i ó n de C a u c h y p e r m i t e e l i m i n a r una de l a s t e n s i o n e s i n c ó g n i t a s . P o r
e j e m p l o , la t e n s i ó n t e n g e n c i a l en el
rodillo
donde
A Y A
„
B
y T
y
t
s o n l a s i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a j u n t o c o n l o s m o v i m i e n t o s y T
» T
N
1
son d a t o s .
3 . - E x i s t e una c a r a e m p o t r a d a y una c a r a d e b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s
c a r a s l i b r e s . (1
0
1 n ) n o d o A de la F i g . I I . 4 . 2 . 4
o
Aunque c o n c e p t u a l r r e n t e i d é n t i c o s o p e r t i v a m e n t e podemos d i s t i n g u i r dos
casos:
3 . 1 . - L a s c a r a s e r r p o t r a d a s y de b o l a s no s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í .
( a ¿ 9 0 ^ en la F i g .
I I I .4.2.4.
E x i s t e n 4 i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n ( t r e s de la c a r a e m p o t r a d a y una de la c a r a
de b o l a s ) . La r e l a c i ó n de C a u c h y p e r m i t e e l i m i n a r la t e n s i ó n n o r m a l en e s t a ú l t i m a
cara.
-a
-a
-a
- b
-b
•
donde
a
a
,
T
a
n
,
T
a
t
,
son las i n c ó g n i t a s del p r o b l e m a y
T
b
n
y
T
b
datos,
t
3 . 2 . - L a s c a r a s e m p o t r a d a s y de b o l a s s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í (a = 9 0 9
en la F i g .
I II.4.2.4).
E x i s t e n l a s m i s m a s i n c ó g n i t a s , p e r o no e s p o s i b l e e l i m i n a r la t e n s i ó n n o r m a l
de la c a r a de b o l a s , p u e s t o q u e la r e l a c i ó n d e C a u c h y en e s t e c a s o , i d e n t i f i c a s o l o t e n s i o n e s n o r m a l e s a la a r i s t a c o m ú n . S e r á p r e c i s o p o r t a n t o , e l i m i n a r la t e n s i ó n
-
t a n g e n c i a l de la c a r a e m p o t r a d a que sea n o r m a l a la a r i s t a c o m ú n ( d i r e c c i ó n n en la=
Fig.
I II.4.2.4).
T
-b
v
1
a
n
b
O
-a.
v •
2
donde a
b
a
a
,
T
+
-b
v
2
- a
v
b
T
n
+
2
a
t
- b
v
3
- a
v
- a
v
1
b
T
t
- a
v
2
,
son las i n c ó g n i t a s del nodo y
C
2
T
b
n
a
- a
v
- a
v
3
T
a
t
2
y T
b
t
son datos.
4 . - E x i s t e una c a r a de r o d i l l o s y d o s de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a
r a s l i b r e s (0 1 2 n ) . N o d o A de la F i g .
o
I I I .4.2.5
Fig.
II i . 4 . 2 . 5
-
N o e x i s t e n i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o y h a y c u a t r o i n c ó g n i t a s en t e n s i o n e s
(dos d e l r o d i l l o y una p o r c a d a c a r a de b o l a s ) . E l i m i n a m o s la t e n s i ó n t a n g e n c i a l del
r o d i l l o , a p l i c a n d o la r e l a c i ó n de C a u c h y e n la c a r a de b o l a s c o n v e n i e n t e .
T
T
rr
b
V
a
1 „ b
a
V
N
donde
a
y
a
A
2
-V b
2
+
V
T
A
b
N
2
son incógnitas y las
-V b
3
+
V
A
T
-Vb
b
1
V
1
2
a
a-
V
V
A
2
- b
3
A
T
a
1
2
T son todos d a t o s .
5 . - E x i s t e una c a r a e m p o t r a d a y d o s c a r a s de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de
l a s c a r a s l i b r e s . Nodo. A de la F i g .
I I I . 4 . 2 . 6 . (1
0
2
-
n ).
E l c a s o 3 s i r v e c o m o e x p l i c a c i ó n de la s o l u c i ó n que s e v a a d a r a e s t e c a s o ,
p u e s t o que c a d a c a r a de b o l a s se t r a t a i n d e p e n d i e n t e m e n t e c o n r e s p e c t o a la c a r a * empott ada c o n a r r e g l o a l o d i c h o en el c a s o 3 . P o r t a n t o , si l a s t r e s c a r a s no s o n =
p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , de i d é n t i c a f o r m a se e l i m i n a n l a s t e n s i o n e s de l a s c a r a s =
d e b o l a s y n o s q u e d a m o s s ó l o c o n l a s de la c a r a e m p o t r a d a . S i a l g u n a c a r a de b o l a =
e s n o r r r a l a la c a r a e m p o t r a d a se e l i m i n a una i n c ó g n i t a de t e n s i ó n t a n g e n c i a l de la c a r a e m p o t r a d a de ( s e g ú n la f o r m a i n d i c a d a en 3 . 2 ) y se i n c l u y e la t e n s i ó n n o r m a l =
a la c a r a de b o l a s ^
íii
6 . - E x i s t e una c a r a de b o l a s y d o s c a r a s de r o d i l l o s , c u m p l i é n d o s e que d i c h o s r o d i l l o s no s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n o lio s o n p a r a l e l o s a la c a r a de b o l a s , ( 0
Fig.
2
1 n ) . E l r e s t o de l a s c a r a s e s t á n l i b r e s . N o d o A de la
o
-
I I 1.4.2.7
N o e x i s t e n i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y se t r a t a de un c a s o de a p l i c a c i ó n de C a u c h y p u e s l a s 5 i n c ó g n i t a s d e t e n s i ó n que e x i s t e n ( d o s p o r c a d a r o d i l l o y una p o r
la c a r a de b o l a s se p u e d e n r e d u c i r a t r e s , ( l a s t e n s i o n e s n o r m a l e s en l a s t r e s c a r a s a p l i c a n d o d o s v e c e s la r e l a c i ó n ) . S i n i n g u n a de l a s c a r a s de r o d i l l o e s p a r a l e la a la c a r a de b o l a s , se e l i m i n a n l a s t e n s i o n e s t a n g e n c i a l e s de l o s r o d i l l o s . A s í p a r a la c a r a a) de la F i g .
I I I .4.2.7.
•
S i el r o d i l l o es p a r a l e l o a la c a r a de b o l a s , no p u e d e e l i m i n a r s e la t e n s i ó n
t a n g e n c i a l en l a f o V m a i n d i c a d a a n t e r i o r m e n t e . E n e s t e c a s o , se e l i m i n a c o n l a s
-
t e n s i o n e s de la o t r a c a r a d e l r o d i l l o ( e s p o s i b l e que l o s dos r o d i l l o s s e a n perpend_i_
c u l a r e s a la a r i s t a c o m ú n , y en e s e c a s o , no se p o d r í a a p l i c a r la r e l a c i ó n de C a u c h y e n t r e a m b a s , p o r l o q u e se t r a t a c o m o u n c a s o de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s , t a l
-
c o m o s e v e r á más a d e l a n t e ) .
E n el c a a o de la F i g .
• en la c a r a b) de r o d i l l o s ,
T
=
n
donde
a
b
a y a
1.
-b
V
2
a
3
-
hacemos:
- b
.
b
I I l . 4 . 2 . 7 , p a r a e l i m i n a r la t e n s i ó n t a n g e n c i a l T
+
- -b
v _
L
t 3
- b n
V
-
b
V
2
son incógnitas
gun la e x p r e s i ó n a n t e r i o r c o n
+
T
a
c
y
b
y T
o
l o que el p r o b l e m a e s t á d e t e r m i n a d o .
- -b
v_
L
a
2
a
T
- a
v .
a _ ___1__
t
- b
V
2
0
b
,
- a
v _
_3_
- b
V
T
b
,
t
2
a
son datos y T
esta r e l a c i o n a d a s e c
c
a
incógnitas y T n T | . y T n d a t o s P o r ~
l l 1.4.3.-
CASO DE F E N S I O N E S
PRINCIPALES
A n t e r i o r m e n t e , se v i o q u e c u a n d o s e c o n o c í a la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n tos según t r e s d i r e c c i o n e s linealmente independientes, e r a posible evaluar las di r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s de t e n s i ó n y d e f o r m a c i ó n , y p o r t a n t o , t o d a s l a s i n c ó g n i t a s
-
en t e n s i ó n s e p u e d e n e x p r e s a r en f u n c i ó n de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s que c o n s t i
-
t u i r á n p o r t a n t o , l a s t r e s i n c ó g n i t a s d e l p r o b l e m a . E n o t r a s o c a s i o n e s no se c o n o c e
ra la e v o l u c i ó n de m o v i m i e n t o s a n t e r i o r m e n t e i n d i c a d o s , p e r o s i s e r á p o s i b l e e s t a b l e c e r una h i p ó t e s i s de f o r m a d i r e c t a s o b r e l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s , p o r lo
-
que el p r o b l e m a q u e d a i g u a l m e n t e d e t e r m i n a d o . L o s c a s o s t r a t a d o s de e s t a f o r m a
-
son:
1 . - D o s ó t r e s c a r a s e m p o t r a d a s y el r e s t o l i b r e s n 0 0 n c o n n
3
3
o
nodo A de l a F i g .
2
II 1.4.3.1.
z
Fig.
III.4.3.1
N o h a y i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o s y h a y t a n t a s en t e n s i o n e s c o m o n ú m e r o de
c a r a s e m p o t r a d a s m u l t i p l i c a d a s p o r t r e s . S e c o n o c e la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en 3 d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , d i r e c c i o n e s x , y , z , de l a
Fig.
-
I I I . 4 . 3 . 1 . S e s i g u e p o r t a n t o el p r o c e s o e x p l i c a d o a n t e r i o r m e n t e que p e r m i t e
e x p r e s a r t o d a s l a s i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n a p a r t i r de l a s t r e s p r i n c i p a l e s .
E n el c a s o de que h a y a t r e s c a r a s e m p o t r a d a s , el p r o c e s o es e x a c t a m e n t e el m i s m o .
2 . - T r e s c a r a s de r o d i l l o s . D i s t i n g u i r e m o s d o s c a s o s :
2 . 1 . - T r e s c a r a s de r o d i l l o s s i e n d o d o s de e l l o s p a r a l e l o s y el r e s t o l i b r e
(0
3 0
n ) . N o d o A de la F i g .
=
I I I .4.3.2.
E n e s t e c a s o , el nodo A no se p u e d e m o v e r y a d e m á s , h a c e m o s la h i p ó t e s i s =
de que la v a r i a c i ó n d e l o s m o v i m i e n t o s a l o l a r g o de t r e s d i r e c c i o n e s e s n u l a , p o r lo q u e el t e n s o r de d e f o r m a c i o n e s e s n u l o y p o r t a n t o e s f é r i c o . L a s d i r e c c i o n e s g l o
bales pueden s e r tomadas como d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s e x p r e s a n d o las t e n s i o n e s
-
i n c ó g n i t a s de c a d a c a r a a p a r t i r de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s , al i g u a l que en el c a -
so anterior.'
2 . 2 . - T r e s c a r a s de r o d i l l o s , c a d a d o s de l a s c u a l e s no s o n p a r a l e l a s
(O 3
o
n j . N o d o A de la F i g .
III.4.3.3.
E n e s t e c a s o , s e c o n o c e n l o s m o v i m i e n t o s en el nodo A p e r o hay, e x c e s o d e =
i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n . La a p l i c a c i ó n de l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s , r e q u i e r e
c e r la v a r i a c i ó n de l o s t r e s m o v i m i e n t o s e n 3 d i r e c c i o n e s l i n e a l m e n t e
el c o n o -
independien-
tes.
A q u í se c o n o c e s ó l o la de l o s m o v i m i e n t o s en 3 d i r e c c i o n e s . E n v e z de c o n o
c e r el t e r c e r m o v i m i e n t o , se c o n o c e una t e n s i ó n t a n g e n c i a l . La h i p ó t e s i s q u e s e e s
t a b l e c e es que la v a r i a c i ó n d e l t e r c e r m o v i m i e n t o s o b r e la c a r a d e l r o d i l l o es
i g u a l a la e v o l u c i ó n de la t e n s i ó n t a n g e n c i a l c o n o c i d a . De e s t a m a n e r a , s e p u e d e n =
d e t e r m i n a r las d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s .
3 . - Una c a r a e m p o t r a d a y una c a r a de r o d i l l o s , e s t a n d o el r e s t o d e l a s c a -
r a s l i b r e s . S e g ú n la p o s i c i ó n r e l a t i v a d e l r o d i l l o c o n r e s p e c t o a la c a r a e m p o t r a d a ,
podemos c o n s i d e r a r dos c a s o s :
3 . 1 . - R o d i l l o no p a r a l e l o a la a r i s t a c o m ú n (1
Fig.
1 0
n ) . N o d o A de la
o
-
III.4.3.4.
Se conocen los t r e s movimientos y hay c i n c o tensiones incógnitas
(una se -
p o d r í a e l i m i n a r a p l i c a n d o una r e l a c i ó n de C a u c h y , p e r o no la o t r a ) . S e c o n o c e la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en d o s d i r e c c i o n e s , ( x , z en la F i g .
I I 1.4.3.4).
E n la d i r e c c i ó n y , se c o n o c e la e v o l u c i ó n s ó l o de d o s m o v i m i e n t o s (el u y
el v e n la F i g .
-
I I I .4.3.4).
La e v o l u c i ó n del m o v i m i e n t o w se e s t i m a p o r la e v o l u c i ó n de la t e n s i ó n t a n g e n c i a l c o n o c i d a en la c a r a de r o d i l l o s ( T XZ en la F i g ) E l p r o c e s o una v e z d e t e r m i n a d a s l a s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s e s el u s u a l .
3 . 2 . - R o d i l l o p a r a l e l o a la a r i s t a c o m ú n (1
1 0
n ) . N o d o A de la F i g .
o
III.4.3.5.
E n e s t e c a s o s o l o se c o n o c e la v a r i a c i ó n de m o v i m i e n t o s en l a s d i r e c c i o n e s
c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s a r i s t a s de la c a r a e m p o t r a d a . E s n e c e s a r i o p u e s h a c e r
otra hipótesis.
C o n s i d e r a m o s una d i r e c c i ó n p r i n c i p a l , la d i r e c c i ó n de m o v i m i e n t o d e l r o d i l l o y una s e g u n d a d i r e c c i ó n p r i n c i p a l que s e r í a una de l a s a r i s t a s de la c a r a e m potrada.
E v i d e n t e m e n t e , la t e r c e r a d i r e c c i ó n s e c a l c u l a r í a a p a r t i r del p r o d u c t o
-
v e c t o r i a l de l a s d o s a n t e r i o r e s .
4 . - Una c a r a e m p o t r a d a , una c a r a de r o d i l l o y una c a r a de b o l a s (1 1 1 n O
N o d o A de la F i g .
I I I .4.3.6.
Fig.
II1.4. 3.6
N o h a y i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o , y l a s i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n se t r a t a n de m a n e r a i d é n t i c a al c a s o a n t e r i o r 3 , o m i t i e n d o la i n f o r m a c i ó n de la c a r a de b o l a s .
5 . - U n a c a r a de b o l a s y d o s c a r a s d e r o d i l l o p e r p e n d i c u l a r e s a la a r i s t a
-
común y p a r a l e l a a la c a r a de b o l a s , e s t a n d o el r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s (0 2 1 n )
N o d o A de la F i g .
I I 1.4.3.7
Fig.III.4.3.7
L a s c a r a a de r o d i l l o s s o n p e r p e n d i c u l a r e s a la de b o l a . N o e x i s t e n i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y s í c i n c o i n c ó g n i t a s en t e n s i ó n . N o e s p o s i b l e a p l i c a r la r e í a
c i ó n de C a u c h y
-
p a r a r e d u c i r a t r e s el n ú m e r o de v a r i a b l e s . P o r e l l o , se h a c e la
h i p ó t e s i s de que la a r i s t a c o m ú n a l a s c a r a s de r o d i l l o ( d i r e c c i ó n z en la F i g . ) e s =
una d i r e c c i ó n p r i n c i p a l . L a s o t r a s d o s d i r e c c i o n e s p r i n c i p a l e s se e l i g e n en el p l a no n o r m a l a d i c h a d i r e c c i ó n .
6 . - D o s c a r a s e m p o t r a d a s y una c a r a de r o d i l l o s o de b o l a s , e s t a n d o el
r e s t o de l a s c a r a s l i b r e s (2
y I I I .4.3.9.
1 0
n ) ó (2
o
0
1 n ) . N o d o A de l a s F i g .
o
I I I .4.2.8
respectivamente.
E n e s t o s c a s o s , no h a y i n c ó g n i t a s e n m o v i m i e n t o s y p u e s t o que hay d o s c a
-
r a s e m p o t r a d a s , se p u e d e c o n o c e r la e v o l u c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s en 3 d i r e c c i o n e s
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( s i n t o m a r en c u e n t a el r o d i l l o o la b o l a ) , p o r lo que la r e s o l u c i ó n e s s i m i l a r a la d e l c a s o 1 de a p l i c a c i ó n de t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s .
7 . - E x i s t e una c a r a e m p o t r a d a y d o s c a r a s d e r o d i l l o e s t a n d o el r e s t o de
-
l a s c a r a s l i b r e s (1
2
0
n ).
o
N o e x i s t e n e v i d e n t e m e n t e i n c ó g n i t a s en m o v i m i e n t o y l a s r e l a c i o n e s de C a u c h y no s o n s u f i c i e n t e s c o m o p a r a r e d u c i r el n ú m e r o de i n c ó g n i t a s . A p l i c a m o s el
c o n c e p t o d e t e n s i ó n p r i n c i p a l , y a u n q u e l o s d o s r o d i l l o s p e r m i t i r í a n e n c o n t r a r la e v o l u c i ó n e x a c t a en una d i r e c c i ó n que c o m p l e t a r í a l a s d o s de la c a r a e m p o t r a d a
Fig.
I I I . 4 . 3 . 1 0 , en o t r ó s ^ a s o s , e s t o no r e s u l t a r í a p o s i b l e F i g .
I I I .4.3.11 .
P o r t a n t o , s e toma p a r a c u a l q u i e r nodo de e s t a s i t u a c i ó n la c a r a e m p o t r a d a
y una de l a s de r o d i l l o , s u s t i t u y e n d o la e v o l u c i ó n de m o v i m i e n t o en la d i r e c c i ó n d e s
c o n o c i d a p o r la de t e n s i o n e s t a n g e n c i a l e s , al i g u a l q u e se ha h e c h o c o n a n t e r i o r i
-
dad en l o s c a s o s d e una c a r a e m p o t r a d a y una de r o d i l l o s .
8 . - C u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n de c a r a s n_ n 0 n n que c u m p l a :
3 ¿ 1 o
n, + n
+ n
> 4
•
S e toma
v = ¡
I
e
-
0 p o r lo q u e se a p l i c a t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s c o n :
v = ¡
II
J
v =
III
k
E s t a h i p ó t e s i s e s r a z o n a b l e , y a que la v a r i a c i ó n de l o s d i s t i n t o s m o v i m i e n t o s en t r e s d i r e c c i o n e s e s p r e s u m i b l e m e n t e n u l a .
C o m o se ha v i s t o , e l p l a n t e a m i e n t o de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , es e n g o r r o ^
so y p o d r í a m o s d e c i r que l l e n o de a p r o x i m a c i o n e s . S i n e m b a r g o , y e v i d e n t e m e n t e , es la ú n i c a m a n e r a d e c o n s e g u i r un s i s t e m a c o m p a t i b l e de e c u a c i o n e s
lineales.
P o r o t r o l a d o , en l o q u e a la a p r o x i m a c i ó n se r e f i e r e , hemos de d e c i r , que
no e s t a n t a p o r d o s r a z o n e s f u n d a m e n t a l e s . P r i m e r a el h e c h o de que se han t o m a d o
en g e n e r a l , y s a l v o muy c o n t a d o s c a s o s , a p r o x i m a c i o n e s no s o l o r a z o n a b l e s ,
sino=
en la m a y o r í a de l o s c a s o s e x a c t a s , y en s e g u n d o l u g a r , e s t e e f e c t o e s muy l o c a l i z a d o en el nudo t r a t a d o en e s a f o r m a , p o r l o q u e u n a m e j o r a en la d i s c r e t i z a c i ó n
-
h a c e p r á c t i c a m e n t e d e s a p a r e c e r e s t o s e f e c t o s , a p a r t i r de d i s t a n c i a s muy c e r c a
-
ñas a la s i t u a c i ó n i n i c i a l d e l n u d o .
E s t a a f i r m a c i ó n ha s i d o d e m o s t r a d a f e h a c i e n t e m e n t e no s ó l o en el c a s o bid¡_
m e n s i o n a l , s i n o t a m b i é n e n el t r i d i m e n s i o n a l ( L a c h a t ) con; a p r o x i m a c i o n e s m u c h o
más b u r d a s e i n e x a c t a s que l a s q u e a q u í se h a n l l e v a d o a c a b o .
-
1 I 1.5.- RESOLUCION
DEL S I S T E M A DE
ECUACIONES
La s o l u c i ó n de l o s p r o b l e m a s p l a n t e a d o s a t r a v é s d e l B . 1 . E . M . t i e n e d o s f a s e s p r e p o n d e r a n t e s en c u a n t o a l c o s t e , q u e s o n la i n t e g r a c i ó n y la r e s o l u c i ó n d e l s i s
tema de e c u a c i o n e s r e s u l t a n t e . E s p o r e l l o p o r l o q u e es n e c e s a r i o c u i d a r e s p e c i a l
-
mente el t r a t a m i e n t o de d i c h o s p r o c e s o s .
E n l o q u e se r e f i e r e a la i n t e g r a c i ó n se ha i m p l e m e n t a d o un m é t o d o ó p t i m o ,
s i g u i e n d o l o s e s q u e m a s de una c u a d r a t u r a de G a u s s
adaptativa (I I I . 2 ) . En cuanto
al s i s t e m a de e c u a c i o n e s , p o s e e a l g u n a s c a r a c t e r í s t i c a s e s p e c i f i c a s , que p u e d e n
-
s e r e x p l o t a d a s p a r a c o n s e g u i r una a d e c u a c i ó n ó p t i m a d e l m é t o d o de r e s o l u c i ó n al p r o
blema p r o p u e s t o .
C o m o s e ha d e s a r r o l l a d o en el a p a r t a d o I I I . 3 , en el c a s o de u t i l i z a r un méto_
do de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n ,
la m a t r i z p o d r á s e r d i v i d i d a en d i v e r s o s g r u p o s , q u e a b a r -
c a n un n ú m e r o v a r i a b l e , p e r o c o n o c i d o d e c o l u m n a s . E s t o s g r u p o s p o s e e r á n una c o n f i g u r a c i ó n d e f i n i d a , c o m o s e v i ó en II I . 3 y d e n t r o de e l l a s l a s c o l u m n a s t e n d r á n en
-
idéntica p o s i c i ó n los elementos iguales a c e r o . A s í p u e s , cada g r u p o p o d r í a s e r d i v i d i d o en d i v e r s o s b l o q u e s de c o e f i c i e n t e s d i s t i n t o s d e c e r o .
P o r o t r o l a d o p o r c u e s t i o n e s p r o p i a s d e l m é t o d o , la d i a g o n a l p r e s e n t a r á u n a f r a n j a de t é r m i n o s d i s t i n t o s de c e r o , y p o r s u p u e s t o en g e n e r a l no s e r á s i m é t r i c a .
d e f i n i t i v a n o s e n c o n t r a m o s a n t e una m a t r i z
En
d i s p e r s a con muchos términos iguales a
-
c e r o en s i t u a c i ó n p e r f e c t a m e n t e c o n o c i d a .
S e p r e s e n t a p u e s la p o s i b i l i d a d , d a d a s l a s g r a n d e s d i m e n s i o n e s p r e v i s t a s p a r a el s i s t e m a , de no a l m a c e n a r d i c h o s e l e m e n t o s n u l o s , p a r a a p r o v e c h a r al m á x i m o el
d i s p o s i t i v o d e a l m a c e n a m i e n t o . E s t a p o s i b i l i d a d d e s c a r t a i n i c i a l m e n t e l o s m é t o d o s de
e l i m i n a c i ó n q u e n e c e s i t a n de m e m o r i a a u x i l i a r p a r a a l m a c e n a m i e n t o de l o s c e r o s , que=
p o s t e r i o r m e n t e d e j a r á n de s e r l o .
O t r o i n c o n v e n i e n t e a d i c i o n a l c o n s i s t e en el h e c h o de que la i n t e g r a c i ó n se r e a
l i z a de f o r m a que se v a n c o n s i g u i e n d o c o l u m n a s de la m a t r i z , p o r lo c u a l se
necesita-
r í a un p r o c e s o i n i c i a l p a r a a l m a c e n a r la m a t r i z p o r f i l a s que es c o m o se n e c e s i t a r í a
-
en la r e s o l u c i ó n . E l l o c o n l l e v a u n t i e m p o a d i c i o n a l d e c á l c u l o .
E x i s t e n o t r a s d o s c a u s a s a d i c i o n a l e s q u e f a v o r e c e n la d e c i s i ó n en f a v o r de u n
método i t e r a t i v o . La p r i m e r a e s t r i b a e n el h e c h o d e la p o s i b i l i d a d de e x t e n s i ó n del p r o
c e s o al c a m p o p l á s t i c o , lo que s i g n i f i c a el e s t a b l e c i m i e n t o de un p r o c e d i m i e n t o i n c r e - t
m e n t a l ( v e a s e I V . 2 ) que p e r m i t e el p a r t i r de u n v e c t o r i n i c i a l de i t e r a c i ó n , el c o r r e s _
p o n d i e n t e al i n c r e m e n t o a n t e r i o r , muy p r ó x i m o al r e a l y que p o r t a n t o a u m e n t a la r a p |
dez en la c o n v e r g e n c i a .
La s e g u n d a c a u s a es p r á c t i c a m e n t e i d é n t i c a a la a n t e r i o r p e r o en el c a s o d e
-
e l a s t i c i d a d , y a que en g e n e r a l es p o s i b l e p a r t i r de u n v e c t o r i n i c i a l p a r e c i d o al r e a l ,
a u m e n t a n d o en m u c h o la c o n v e r g e n c i a . E l c á l c u l o d e e s t e v e c t o r i n i c i a l se e x p l i c a en
III.5.2.
C e n t r á n d o n o s ya en l o s m é t o d o s i t e r a t i v o s d i r e m o s que l o s m é t o d o s de G a u s s S e i d e l , S o u t h w e l l ó J a c o b i n e c e s i t a n , p a r a su c o n v e r g e n c i a que la m a t r i z del s i s t e m a
sea s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o s i t i v a . S i n e m b a r g o una t r a n s f o r m a c i ó n d e l t i p o S = A
A
no s e r í a p o s i b l e , p u e s d e s t r u í r i a m o s la e s t r u c t u r a del s i s t e m a . T a m p o c o nos es p o s i b l e una a d a p t a c i ó n t a l que nos p e r m i t a una r e a l i z a c i ó n i n t e r n a d e l p r o d u c t o A
Así pues, resultan
A. * -
imposibles.
E l m é t o d o en d e f i n i t i v a que se ha d e s a r r o l l a d o e s el m é t o d o del g r a d i e n t e c o n
j u g a d o , p u e s a u n q u e la m a t r i z del s i s t e m a d e b e de s e r s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o s i t i v a ,
-
podemos r e a l i z a r l a s s e c u e n c i a s p r o p i a s d e l m é t o d o s i n e f e c t u a r la m u l t i p l i c a c i ó n de
AT
. A , c o m o se v e r á en I I I . 5 . 2 .
F r e n t e a e s t e m é t o d o el c o r r e s p o n d i e n t e al g r a d i e n t e d e s c e n d e n t e no p r e s e n ta n i n g u n a v e n t a j a , ya que no es más q u e una v e r s i ó n no p e r f e c c i o n a d a d e l m i s m o , y =
el del g r a d i e n t e c o n j u g a d o m o d i f i c a d o t a m p o c o es p o s i b l e p u e s n e c e s i t a una m a t r i z
K
se
\
a p r o x i m a c i ó n de la
S ^ = ( A ^ . A)
\
m a t r i z que no es c o n o c i d a ,
-
necesitándo-
un n ú m e r o m a y o r de o p e r a c i o n e s .
E l m é t o d o d e l g r a d i e n t e c o n j u g a d o f u e i n t r o d u c i d o en 1952
S t e i f e l , p a r a r e s o l v e r s i s t e m a s de e c u a c i o n e s
por Hestenes y
-
lineales
A x = b
III.5.1
d o n d e A e s una m a t r i z
n x n s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o s i t i v a . E s t e método tiene como
-
p r o p i e d a d e s p a r t i c u l a r e s el q u e , en a u s e n c i a de e r r o r e s de r e d o n d e o , se o b t i e n e la s o l u c i ó n en n i t e r a c i o n e s c o m o m á x i m o , y o t r a muy i m p o r t a n t e en n u e s t r o c a s o , el h e c h o d e que la m a t r i z no n e c e s i t a e n c o n t r a r s e en m e m o r i a , en c a d a i t e r a c i ó n , s i e n d o t a n s ó l o n e c e s a r i o c a l c u l a r el p r o d u c t o d e A p o r u n v e c t o r z p a r t i c u l a r .
O t r a s e r i e de p r o p i e d a d e s i m p o r t a n t e s d e l m é t o d o s o n , el que no r e q u i e r e una
e s t i m a c i ó n p r e v i a de p a r á m e t r o s , a p r o v e c h a la d i s t r i b u c i ó n de l o s a u t o v a l o r e s del
-
o p e r a d o r d e i t e r a c i ó n , y s o b r e t o d o r e q u i e r e muy p o c a s r e s t r i c c i o n e s en la m a t r i z A
p a r a un c o m p o r t a m i e n t o ó p t i m o .
E n d e f i n i t i v a , e s t a s s o n l a s p r i n c i p a l e s r a z o n e s q u e h a n j u s t i f i c a d o la e l e c
-
c i ó n , que está ampliamente r e f r e n d a d a p o r d i s t i n t o s a u t o r e s ( G a m b o l a t t i , R e i d , Con cus, Jernings,
etc).
I I 1 . 5 . 1 E L
M E T O D O DEL G R A D I E N T E
CONJUGADO
L o s m é t o d o s i t e r a t i v o s de r e s o l u c i ó n de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s , s e
-
e n c u a d r a n d e n t r o d e l m a r c o más g e n e r a l de l o s m é t o d o s a p r o x i m a d o s de r e s o l u c i ó n
-
de e c u a c i o n e s d e l t i p o ,
A x = b
donde x £ X ,
b £Y
III.5.1.1
y A e s u n o p e r a d o r l i n e a l , d e f i n i d o en el e s p a c i o
E s t o s m é t o d o s t r a t a n de o b t e n e r una s o l u c i ó n x n £
ción real x
X
L (X).
a p r o x i m a d a a la s o l u
, de f o r m a que a l g ú n f u n c i o n a l de e r r o r sea m í n i m o , ó
nentes del v e c t o r A x R y del v e c t o r b R £
X, A £
bien las compo-
Y*"1, en u n c i e r t o e s p a c i o de p r o y e c c i ó n
-
sean las mismas (métodos p r o y e c t i v o s ) .
La f i l o s o f í a de l o s m é t o d o s i t e r a t i v o s , s i b i e n p a r t e de e s t a s p r e m i s a s e s aj_
go d i f e r e n t e , y a que v a n c o n s i g u i e n d o una s e c u e n c i a de e s t e t i p o de s o l u c i o n e s a p r o
x i m a d a s en l a f o r m a a n t e r i o r , c u y o l í m i t e c o i n c i d e c o n la s o l u c i ó n r e a l . P o d e m o s
-
p u e s d e c i r q u e un m é t o d o i t e r a t i v o e s un m é t o d o a p r o x i m a d o a p l i c a d o an c i e r t o núme
r o de v e c e s , p o r lo q u e muy b r e v e m e n t e r e c o r d a r e m o s la b a s e de un m é t o d o a p r o x i
mado q u e ya s e v i ó e n el c a p í t u l o I .
En un método aproximado e x i s t e n t r e s pasos fundamentales:
- E l e c c i ó n d e l e s p a c i o X R y del e s p a c i o y " , q u e en la m a y o r p a r t e de l o s
problemas coinciden.
- E l e c c i ó n d e l e s p a c i o V de p r o y e c c i ó n .
-
- D e f i n i c i ó n d e l f u n c i o n a l a m i n i m i z a r , ó b i e n del m é t o d o de p r o y e c c i ó n en
o r d e n a i g u a l a r l a s c o m p o n e n t e s en V de A x
n
Los t r e s e s p a c i o s X
n
y de b
n
-
.
n
Y
y V vienen d e f i n i d o s fundamentalmente p o r su dimen
s i ó n y una b a s e d e v e c t o r e s , m i e n t r a s que el m é t o d o de p r o y e c c i ó n c o i n c i d e n o r m a l m e n t e c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r p a r t i c u l a r d e f i n i d o en el e s p a c i o de t r a b a j o X , y a que =
X n , V C X , y t i e n e n la t o p o l o g í a i n d u c i d a p o r X .
A s í , en el c a s o p a r t i c u l a r de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s a l g e b r a i c a s
-
X = Y = I R n , y el p r o d u c t o e s c a l a r es el n o r m a l e n t r e v e c t o r e s en I R n .
El espacio aproximante X
d e p e n d e d e l m é t o d o e l e g i d o , a s í c o m o el e s p a c i o =
n
de p r o y e c c i ó n , q u e s u e l e s e r un s u b e s p a c i o de X . E n e s t e c a s o p a r t i c u l a r de que V C X P , p o d r e m o s p l a n t e a r el p r o b l e m a en la f o r m a s i g u i e n t e ( m é t o d o s de B u b n o v Galerkin).
r
Sea u.
i = 1 , 2, . . .
'
I una b a s e de X
y u
J
j = 1,2,
. .. m
m < I la b a s e =
correspondiente a V .
La b a s e a p r o x i m a d a X
x
= a.
podrá e x p r e s a r s e como
II.5.1.2
u.
i
i
tal c o m o h e m o s d i c h o a n t e r i o r m e n t e , s u p u e s t o c o n o c i d o b
t e a r s e i g u a l a n d o l a s c o m p o n e n t e s s o b r e V de A x
( A x " , u . ) = a . (A u . , u . ) = ( b n , u . )
J
i
i
J
J
y de b
, el p r o b l e m a puede p l a n en la f o r m a
III.5.1.3
d o n d e el p a r é n t e s i s s i g n i f i c a p r o d u c t o e s c a l a r , y s e ha h e c h o u s o de I I I . 5 . 1 . 2 y del
h e c h o de q u e A es l i n e a l ; La e c u a c i ó n I I I . 5 . 1 . 3 r e p r e s e n t a u n s i s t e m a de m ecuacio_
n e s . A s i , en el c a s o de I = m p o d r a n d e t e r m i n a r s e l a s a. en el s i s t e m a a n t e r i o r ,
puesto conocido b
su-
y e v i d e n t e m e n t e l a s u . S i n e m b a r g o , en l o s m é t o d o s i t e r a t i v o s
i
se s i g u e o t r a t á c t i c a . S e s u p o n e n c o n o c i d a s I - m a
i
-
y se v a n v a r i a n d o t o d o s ó a l a u
~—
nos de l o s I - m v e c t o r e s a s o c i a d o s a e s t a s c o n s t a n t e s . E n a l g u n o s m é t o d o s se m o d i f i c a n l o s m v e c t o r e s de la b a s e de V en c a d a i t e r a c i ó n c o n el o b j e t o de a c e l e r a r la
-
c o n v e r g e n c i a ( m é t o d o s no e s t a c i o n a r i o s ) .
H a c i e n d o u n i n c i s o hemos de d e c i r q u e el p r o c e d i m i e n t o a n t e r i o r es e q u i v a l e n
te en el c a s o de m a t r i c e s A s i m é t r i c a s y d e f i n i d a s p o s i t i v a s a la m i n i m i z a c i ó n del
f u n c i o n a l de R i t z ( v e a s e [ 59 ]
Q (x) = i x T
).
Ax - x T b
III .5.2.4
o b t e n i e n d o s e en c a d a s o l u c i ó n v e c t o r e s x
Q (x.
,) <
.+1
-
i
t a l e s que
Q (x.)
.
;
i
i
I I I .5.1 .5
C e n t r á n d o n o s y a en el m é t o d o del g r a d i e n t e c o n j u g a d o , hemos de d e f i n i r l o s e s p a c i o s X n , V e Y n , y a p l i c a r el m é t o d o p r o p u e s t o . A p a r t i r
de a h o r a , y s i n p é r d i -
da de g e n e r a l i d a d c o n s i d e r a r e m o s s i m é t r i c a a la m a t r i z A y a que en c a s o i t e r a t i v o
una s i m p l e p r e m u l t i p l i c a c i ó n d e l s i s t e m a p o r A ^ p e r m i t i r á t r a t a r l o d e e s t a f o r m a .
E l e s p a c i o X*"* de a p r o x i m a c i ó n es una v a r i e d a d l i n e a l de IR
de d i m e n s i ó n
t r e s , c u y o s v e c t o r e s b a s e s o n : E l v e c t o r a p r o x i m a d o en la i t e r a c i ó n a n t e r i o r x . , el
v e c t o r r e s i d u o en d i c h a i t e r a c i ó n r
i
definido como
-r
r. = b - Ax.
i
III.5.1.6
i
y un t e r c e r v e c t o r que c o r r e s p o n d e a la d i f e r e n c i a e n t r e l a s d o s ú l t i m a s a p r o x i m a c i o
nes p o r u n c i e r t o e s c a l a r x que p o s t e r i o r m e n t e
calcularemos
V.
= (x. - x.
)
i-l
i
i-1
III.5.1.7
E n d e f i n i t i v a es p o s i b l e e x p r e s a r el v e c t o r s o l u c i ó n en la i t e r a c i ó n i + 1 c o m o
x.
= a
i+l
x . + a.
X '
i i
r . + a.
v.
i
,
III.5.1.8
i-1
E l e s p a c i o de p r o y e c c i ó n s e e s c o g e p r e c i s a m e n t e el f o r m a d o p o r r
a
o
i
y v
, , y
i-l
se s u p o n e i g u a l a 1 . S e o b s e r v a en d e f i n i t i v a que e v i d e n t e m e n t e como d i j i m o s x
i
va
v a r i a n d o en o r d e n a c o n s e g u i r la s o l u c i ó n r e a l , p e r o en el c a s o p a r t i c u l a r de e s t e mé
t o d o t a m b i é n c a m b i a n l o s v e c t o r e s b a s e del e s p a c i o p r o y e c c i ó n . E s p u e s un m é t o d o no
e s t a c i o n a r i o . E l h e c h o de que r i y v i - ,l s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en c a d a i t e r a c i ó n y p o r t a n t o g e n e r a n una v a r i e d a d de d i m e n s i ó n d o s e s i n m e d i a t o , y se d e m u e s t r a ,
más a d e l a n t e . P o r ú l t i m o el v e c t o r b R s e e s c o g e i g u a l a b , es d e c i r que el ú l t i m o v a l o r que se c o n s i g a de x™, s i la s u c e s i ó n ( x . ) e s c o n v e r g e n t e s e r í a la s o l u c i ó n r e a l .
P l a n t e e m o s p u e s el p r o b l e m a s e g ú n I I I . 5 . 1 . 3 .
I g u a l a n d o l a s c o m p o n e n t e s de A x
i+l
v de b r e s p e c t o a r . y v .
t e n d r e m o s el
i
i-l
s i s t e m a de d o s e c u a c i o n e s
A
T
r
T
v.
A
T
A x + r
i
i
i
A
, A
x. + v.
i-1
T
i i - l
1
A
T
2
T
A a r + r A a v .
=r.
i
i
i .
i
i-l
i
,
A
A
a
1
T
r. + v.
I I
,
i-l
A
2
A a.
i
v.
,
i-1
U
b
T
= v.
,
i-l
U
b
y t e n i e n d o en c u e n t a 1 1 1 . 5 . 1 . 5 , y d i s p o n i é n d o l o en f o r m a m a t r i c i a l podemos e s c r i b i r
r^
i
A r.
r^
i
i
A v
„
r
i-l
=
vT , A r.
i-l
vJ
i
i-l
^
Resolviendo para a
v
a.
=
T
T
v.
i
a
i
.5.1.9
*
.
T
v.
i-l
r.
i
2
se o b t i e n e :
i
A
A v.
i
v
1
y
i-l
r
i
r.
i
i
v
A v.
T
i
T
,
i-l
T
i-l
A
.
A v
r
i
, con
.5.1.10
i-l
y h a b i e n d o tomado la v a r i a b l e x de I I I . 5 . 1 . 7 el v a l o r 1 / a ]
,
1-11
. A p a r t i r de l a s e x p r e -
s i o n e s 1 1 1 . 5 . 1 . 6 y I 1 1 . 5 . 1 . 7 , e i n t r o d u c i e n d o el v a l o r de a. ^ que se puede d e d u c i r
de I I I . 5 . 1 . 1 0 se p u e d e , f i n a l m e n t e d e m o s t r a r la o r t o g o n a l i d a d de v .
T
v . ,
i-1
r.
i
= 0
( U n d e s a r r o l l o c o m p l e t o de l o a n t e r i o r puede e n c o n t r a r s e en [ 7 1 ]
y r.:
III.5.1.11
C o m o r e s u m e n , u n p r o c e s o de c á l c u l o d e la i t e r a c i ó n i s u p u e s t o c o n o c i d o
x •
i
y r . es c o m o s i g u e , h a s t a la o b t e n c i ó n d e x , y r
»
i+1
í+1
- S e c a l c u l a el v a l o r d e
g .
{
Se calcula v. = r .
+ R .
i
p
v-
v.
i
T
i - ii
„
A v-
i -1l
II 1.5.1.12
i-I
T
Se calcula a
1
= a =
Vi
r
i
v T AA
i
y ya
se puede c a l c u l a r x
x. ,
i+l
r.
„
i+1
= x . + a.
i
= r
i
,
i+l
y r
v.
i
i+l
v.
i
i
- aí A
I
v.
I
t
III.5.1.13
I I I .5.2.-
ASPECTOS
COMPUTACIQNALES
La i m p l e m e n t a c i ó n d e l M é t o d o en el o r d e n a d o r p a r a la r e s o l u c i ó n d e l s i s t e m a de e c u a c i o n e s a que c o n d u c e el M é t o d o de l o s e l e m e n t o s de C o n t o r n o , c u y a s c a r a c t e
-
r í s t i c a s y a s e h a n a n a l i z a d o , p r e s e n t a d o s a s p e c t o s i m p o r t a n t e s que es n e c e s a r i o e s tudiar.
E l p r i m e r o se r e f i e r e a la e l e c c i ó n e f e c t i v a de la s e c u e n c i a de o p e r a c i o n e s en
una i t e r a c i ó n , de la c u a l h e m o s d a d o a n t e r i o r m e n t e la s e c u e n c i a b a s e . E l s e g u n d o s e =
r e f i e r e a la e l e c c i ó n del v e c t o r i n i c i a l p a r a la p r i m e r a
iteración.
E n c u a n t o al p r i m e r a s p e c t o , h a y q u e t e n e r en c u e n t a que la s e c u e n c i a d e s a
r r o l lada en I I 1 . 5 . 1
es v a l i d a p a r a el c a s o de que la m a t r i z A sea s i m é t r i c a .
-
Puesto-
que el M . E . C . da l u g a r a m a t r i c e s no s i m é t r i c a s , una p r i m e r a p o s i b i l i d a d s e r í a p r e m u l t i p l i c a r el s i s t e m a A x
AT
donde
A.x = A
A
= b
por A
.
b
T
III.5.2.1
s e r í a s i m é t r i c a y s u p u e s t a d e f i n i d a p o s i t i v a . Una v e z r e a l i z a d a e s t a
t r a n s f o r m a c i ó n p o d r í a m o s a p l i c a r la s e c u e n c i a a n t e r i o r m e n t e d e s a r r o l l a d a . A h o r a
b i e n , el p r o d u c t o
A
-
s o b r e t o d o c u a n d o el p r o b l e m a sea de g r a n d e s d í m e n s i o n e s =
puede r e s u l t a r muy l a b o r i o s o , p o r l o q u e v a m o s a i n t e n t a r i n t r o d u c i r e s t e p r o d u c t o d e n t r o de la s e c u e n c i a de o p e r a c i o n e s de c a d a i t e r a c i ó n .
A n t e s de p l a n t e a r e s t a o p c i ó n , p o d e m o s r e f l e x i o n a r s o b r e la s e c u e n c i a p l a n t e a d a en I I I . 5 . 1 . 1 2 p u e s t o q u e no r e s u l t a s e r la más i d ó n e a p a r a a p l i c a r el c á l c u l o =
n u m é r i c o . E n e f e c t o , puede v e r s e que en c a d a i t e r a c i ó n se r e a l i z a n d o s p r o d u c t o s de
matriz por v e c t o r : A . v. y A . r . . P a r a r e d u c i r estas operaciones hacemos:
T
v
,
A
V i
• v ,
T
i-1
r
¡-1
= —
a
¡-l
S u s t i t u y e n d o en & .:
i
a. , v. ,
i-l
i-l
T
v
r
i-1
A r.
A
i .
A v . .
t-1
= r. i
r
i-l
se tiene p a r a 0 .
i
r.
i
3. =
'
(r. - r. ,)
i
i-l
T
V i
V i
Puede d e m o s t r a r s e que
r
v
T
i
r.
T
r
¡-1
con lo c u a l ,
,
= 0
i-1
B
i-l
i
=
r
queda:
T
i-1
,
i-l
v
i-1
como
-a . ,
i-l
a.
r
i-1
i-1
A v. ,
r. A
i
i-l
T
r
i-1
T
r.
i
1 =
r.
i
" T
r
¡-i
V i
P o r tanto la s e c u e n c i a a h o r a queda en la f o r m a
.
=
T
r
r.
_ i_ _ i _ _
r
¡-i
v . = r. +
i
i
r
a ¡
r
3 . v.
i
i-l
T
r.
i
i
v
¡-i
...
II.5.2.2
Av.
i
i
x. , = x. + a v
i+1
i
i i
r.
= r. i+1
i
a
.
i
A v .
i
E n este s e c u e n c i a se o b s e r v a que s ó l o se efectúa en cada i t e r a c i ó n el p r o d u c to de una m a t r i z p o r un v e c t o r : A
v . S i a h o r a en la I I I . 5 . 2 . 2 , p a r a el c a s o de A no
i
s i m é t r i c a , s u s t i t u i m o s A p o r E con:
E = A
A
la s e c u e n c i a de o p e r a c i o n e s queda en la f o r m a :
I I 1 . 5 . 2«. 3
T
r.
i
3 . =
'
r
i
T
T
V i
V i
v. = r . + & .
i
i
i
v.
,
i-1
T
a . = _J
| | | .5.2.4
T
T
v . AA
'
AA
i
x. ,
i+1
v
i
= x. + o . v .
i i i
r. „
i+l
= r. - a .
i
i
A v.
i
Con esta s e c u e n c i a no es p r e c i s o h a c e r ninguna o p e r a c i ó n p r e v i a y en cada i t e r a c i ó n s e r á p r e c i s o h a c e r dos p r o d u c t o s de m a t r i z p o r v e c t o r .
A v .
i
y
AT
(A v . )
i
P o r tanto la s e c u e n c i a I I I . 5 . 2 . 4 s e r á más e f i c i e n t e que la I I I . 5 . 2 . 2 , haciejr
do p r e v i a m e n t e la t r a n s f o r m a c i ó n I I I . 5 . 2 . 3 , s i e m p r e que el n ú m e r o de i t e r a c i o n e s seamenor que el tamaño del sistema de e c u a c i o n e s . Se ha e l e g i d o la s e c u e n c i a
-
I I I . 5 . 2 . 4 y en la j u s t i f i c a c i ó n de esta d e c i s i ó n podemos h a c e r las s i g u i e n t e s conside_
r a c i o n e s . E l método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o c o n v e r g e t e ó r i c a m e n t e p a r a el número de i t e r a c i o n e s menor que el número de e c u a c i o n e s . S ó l o los e r r o r e s n u m é r i c o s p u e den h a c e r que el número de i t e r a c i o n e s p r e c i s o p a r a a l c a n z a r la s o l u c i ó n f i n a l sea
mayor que el número de e c u a c i o n e s .
-
- E l método del g r a d i e n t e conjugado es f a v o r a b l e en número de o p e r a c i o n e s f r e n t e a los métodos de e l i m i n a c i ó n , cuando el número de i t e r a c i o n e s n e c e s a r i a s es menor que n / 3
(n = número de e c u a c i o n e s ) p o r t a n t o la d e c i s i ó n a n t e r i o r es congruen_
te con la e l e c c i ó n del método.
- Con el empleo de memoria a u x i l i a r (lo que es n e c e s a r i o p a r a g r a n d e s s i s t e mas de e c u a c i o n e s p a r a los que está pensado el p r o g r a m a ) el método del g r a d i e n t e
-
conjugado r e s u l t a más s i s t e m á t i c o en los a c c e s o s a d i c h a memoria lo que puede h a c e r
lo aún más f a v o r a b l e f r e n t e a los métodos de e l i m i n a c i ó n .
- La o t r a o p c i ó n de r e a l i z a r el p r o d u c t o A*'* A tiene i n c o n v e n i e n t e s o p e r a t i v o s
ya que s e r í a p r e c i s o d i s p o n e r de almacenamiento a u x i l i a r p a r a e f e c t u a r el p r o d u c t o . -
E n cuanto al segundo a s p e c t o de la i m p l e m e n t a c i ó n a que antes nos r e f e r í a m o s
la e l e c c i ó n del v e c t o r i n i c i a l , es evidente que r e s u l t a
de c a p i t a l i m p o r t a n c i a p a r a
c o n s e g u i r una m a y o r c o n v e r g e n c i a del a l g o r i t m o . D i f e r e n t e s o p c i o n e s , que pasamos a
d i s c u t i r a c o n t i n u a c i ó n , pueden p l a n t e a r s e .
i
i
- E l e c c i ó n del v e c t o r nulo como v e c t o r i n i c i a l .
|
Las v e n t a j a s de esta e l e c c i ó n son e v i d e n t e s : s e n c i l l e z de e l a b o r a c i ó n y e v i t a c i ó n de r e a l i z a r la p r i m e r a i t e r a c i ó n . Los i n c o n v e n i e n t e s se c e n t r a n en que el número
de i t e r a c i o n e s que se a h o r r a p o r la a p r o x i m a c i ó n del v e c t o r u t i l i z a d o a l r e a l es í m p r e
visible.
#
- E l e c c i ó n del v e c t o r r e s u l t a n t e de d i v i d i r los t é r m i n o s independientes e n t r e =
los elementos de la diagonal p r i n c i p a l como v e c t o r i n i c i a l .
La p r i n c i p a l v e n t a j a de este sistema es que p r o d u c e un a h o r r o de un 4 a un 5%
en el número de i t e r a c i o n e s . A s i m i s m o la o b t e n c i ó n d e l v e c t o r es muy d i r e c t a , p e r o
-
s i n embargo cuando no se t r a b a j a en memoria p r i n c i p a l (y éste es el c a s o ) , la a c c e s i b i l i d a d de los v a l o r e s de la diagonal p r i n c i p a l , puede r e s u l t a r muy c o m p l i c a d a . P o r las e s p e c i a l e s c a r a c t e r í s t i c a s de la o b t e n c i ó n de la m a t r i z del sistema en el Método
-
de los E l e m e n t o s de C o n t o r n o r e s u l t a s i n embargo inmediata la o b t e n c i ó n de estos
-
v a l o r e s al f i n a l del p r o c e s o de montaje p o r lo que este sistema no p r e s e n t a s e r i o s i n c o n v e n i e n t e s , si b i e n puesto que la m a t r i z no es monodiagonalmente d o m i n a n t e , la
-
a p r o x i m a c i ó n que se c o n s i g u e no es muy b u e n a .
*
- P r e c i s a m e n t e p a r a o b v i a r esta l i m i t a c i ó n se ha c o n s i d e r a d o una t e r c e r a p o s i b i l i d a d que es la de t o m a r como v e c t o r i n i c i a l , la s o l u c i ó n de un sistema de e c u a c i o
nes r e d u c i d o f o r m a d o p o r c a j a s solapadas según se i n d i c a en la F i g .
I I I . 5 . 2 . 1 , incl_u
yendose en d i c h o sistema las s u b d i a g o n a l e s que c o n d i c i o n a n la dominancia en la ma
triz.
Fig. I l I . 5 . 2 . 1
-
Con este método puede l l e g a r s e a a h o r r a r hasta un 8% de i t e r a c i o n e s , p e r o puede v e r s e ampliamente r e d u c i d a esta v e n t a j a p o r la p é r d i d a de tiempo en la búsque_
da i n i c i a l de los datos del s i s t e m a de e c u a c i o n e s r e d u c i d o en el almacenamiento auxj_
liar.
| V.1.-
INTRODUCCION
El a n á l i s i s t e n s i o n a l de c u e r p o s a x i s i m é t r i c o s sometidos a c a r g a s y d e s p l a zamientos en el c o n t o r n o , es de o b v i o i n t e r é s en muchas a p l i c a c i o n e s i n d u s t r i a l e s . El e s t u d i o de d e p ó s i t o s , v a s i j a s de todo t i p o , y más r e c i e n t e m e n t e de v a s i j a s de
-
r e a c t o r e s n u c l e a r e s , que en muchos c a s o s toman la f o r m a a x i s i m é t r i c a , ha hecho de
la r e s o l u c i ó n de este c a s o algo f r e c u e n t e en el c a l c u l o de e s t r u c t u r a s en los ú l t i m o s
años.
»
*
Es b i e n c o n o c i d o , que el t r a t a m i e n t o a x i s i m é t r i c o de p r o b l e m a s , p e r m i t e r e d u c i r en un g r a d o la d i m e n s i ó n del p r o b l e m a , así en elementos f i n i t o s la r e s o l u c i ó n de un c a s o t r i d i m e n s i o n a l a x i s i m é t r i c o podría
h a c e r s e empleando solo una malla bicU
m e n s i o n a l . En el método de los elementos de c o n t o r n o s e r í a pues n e c e s a r i a tan solo=
una malla m o n o d i m e n s i o n a l , p a r a la r e s o l u c i ó n del mismo p r o b l e m a , c o n la m i n i m i z a c i ó n de c o s t o que e l l o s u p o n e .
S u r g e p u e s , la p o s i b i l i d a d de la c o n s i d e r a c i ó n de la s i m e t r í a a x i a l en el m é todo p r o p u e s t o , p a r a su r e s o l u c i ó n n u m é r i c a debido a las v e n t a j a s , ya a d u c i d a s que=
p r e s e n t a f r e n t e a los d e m á s .
I V.2.-
FORMULACION
Como en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , ya e s t u d i a d o , p a r a r e a l i z a r la f o r m u l a c i ó n
del método p a r a c u e r p o s de s i m e t r í a axial, es p r e c i s o p a r t i r de la i d e n t i d a d de SorrW
g l i a n a I I . 1 .1 p a r a la d e f i n i c i ó n de m o v i m i e n t o s , y de la e c u a c i ó n I 1.3.8
p a r a la defr
n i c i ó n de las t e n s i o n e s . L a d i f e r e n c i a lógicamente c o n s i s t e en la d i f e r e n t e s o l u c i ó n fundamental a u t i l i z a r , s o l u c i o n e s que se c a l c u l a r o n en I . 7 .
O t r a d i f e r e n c i a , con el c a s o a n t e r i o r , e s t r i b a , en el hecho de que no es p o s i ' ble c o n s e g u i r unas d e f i n i c i o n e s s i m p l e s de los t e n s o r e s c a r a c t e r í s t i c o s en f o r m a
-
t e n s o r i a l , siendo n e c e s a r i o el e m p l e a r una n o t a c i ó n d e s a r r o l l a d a que c o m p l i c a el ma
n e j o , y s o b r e todo la p r e s e n t a c i ó n de los r e s u l t a d o s .
La u t i l i z a c i ó n p r o f u s a de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e que e n t r a n a f o r m a r p a r te de la f o r m u l a c i ó n hace n e c e s a r i o el e s t a b l e c e r un
b r e v e r e c o r d a t o r i o de las
-
p r i n c i p a l e s p r o p i e d a d e s de e s t a s f u n c i o n e s , o al menos las que más i n t e r e s a n en el d e s a r r o l l o . E s t e r e s u m e n se p r e s e n t a en el A p e n d i c e I I .
P a r a t e r m i n a r d i r e m o s que el hecho de u t i l i z a r una g r a n c a n t i d a d de d e r i v a das i n t e r m e d i a s p a r a el c á l c u l o de los t e n s o r e s hace que^por mor de la c l a r i d a d e s tas sé p r e s e n t e n en a p é n d i c e s s u c e s i v o s .
«
I V . 2 . 1 . - M O V I M I E N T O S EN PUNTOS
INTERNOS
Ya se ha i n d i c a d o que la e c u a c i ó n que d e f i n e los movimientos es la ecuación:
ó i d e n t i d a d de S o m i g l i a n a , que r e p e t i r e m o s p o r c o m o d i d a d .
6
U =
ki
i
u: ds +
U , X dfi
U , t ds - T
ik
i
y
ik i
y
ik
i
y
5a
a
6a
IV.2.1.1
En este c a s o , s i n e m b a r g o , no se ha c a l c u l a d o ninguno de los t e n s o r e s fund_a
mentales que a p a r e c e n en e l l a , ya que en I.7 s ó l o se dedujo el t e n s o r de G a l e r k i n ,
m i e n t r a s que los t e n s o r e s U
ik
-
, y T . a p a r e c e n como c o n s e c u e n c i a de la a p l i c a c i ó n ik
de o p e r a d o r e s e l á s t i c o s d i f e r e n c i a l e s a este v e c t o r .
R e c o r d a n d o que, según la d i r e c c i ó n k en la
que se a p l i c a b a la c a r g a pun -
t u a l , el v e c t o r de G a l e r k i n tenía una e x p r e s i ó n d i s t i n t a , podemos e s c r i b i r
r
\
X
0
r
k = r
k = z
x= <
I V.2.1.2
x =
0
£
E s p o s i b l e a g r u p a r estos dos v a l o r e s en un s ó l o t e n s o r
x
, donde " k " de -
nuevo r e p r e s e n t a la d i r e c c i ó n de la c a r g a p u n t u a l , e " i " cada una de las componen
-
tes del v e c t o r . De esta f o r m a
X
x
..
ik
X
rr
0
rz
I V.2.1.3
=
zr
Las e x p r e s i o n e s de
X
r
=
1
2 _
87T G
Rr
x
y
X
se o b t u v i e r o n en I .7
1
Q,1
2
(y)
, en la f o r m a
IV.2.1.4
X
1
=
8 ir
Z
donde Q 1 ^
y Q
2
Rr | / Y
2
- 1
V
G
\
^
[ T ~
=
Q i ,
(Y)
IV.2.1.4
s o n f u n c i o n e s de L e g e n d r e de segunda e s p e c i e , G es el m ' o d u l o -
de r i g i d e z , R es la d i s t a n c i a del e j e de s i m e t r í a al a n i l l o x donde se e n c u e n t r a la
-
c a r g a c o n c e n t r a d a , r es la misma d i s t a n c i a p e r o r e s p e c t o al a n i l l o de campo y , y
-
p o r ú l t i m o y es la v a r i a b l e de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e , que en e s t e c a s o t i e n e la
-
expresión
J Z z j á Z j i d
I V.2.1.5
2 Rr
donde Z , y z t i e n e n el m i s m o s i g n i f i c a d o que R y r en lo que se r e f i e r e a la c o o r d e n a
d a z (vease
Fig.IV.2.7.1).
E n la m a y o r í a de l a s o c a s i o n e s , s ' i n e m b a r g o , se p r e f i e r e u t i l i z a r l a s f u n c i O '
nes de L e g e n d r e de o r d e n c e r o , en v e z de l a s de o r d e n - 1 . U t i l i z a n d o la e x p r e s i ó n =
( A 2 . 2 ) del a p ' e n d i c e es p o s i b l e p a s a r de u n a s a o t r a s quedando en d e f i n i t v a .
R r l
=
X
8ir
P
G
1
2
X
2
_ 1
[
*
V
"
8 TT G
R r
\ A
3
2
- 1
_
1
2 ( Y -1)
[ - 4 —
(y Q, - Q
1
,)
]
^
( Q , - Y Q , )
1
2 ( Y -1)
v
y operando
=
x
r
112 ir
Rr
G
(
Y
Q, - Q
2
±)
"
2
I V.2.1.6
X =
Z
Rr
1
12*
(Q
±
G
-yQ±)
2 - 2
IV.2.1.6
E l t e n s o r de G a l e r k i n c o r r e s p o n d e p r e c i s a m e n t e a la s o l u c i ó n del p r o b l e m a =
de K e l v i n en c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Los m o v i m i e n t o s de ese mismo p r o b l e m a c o r r e s ponden p r e c i s a m e n t e al t e n s o r U , , p o r lo que s e r á n e c e s a r i o o b t e n e r e s t o s e n fun ik
c i ó n de a q u é l .
Las e x p r e s i o n e s de los m o v i m i e n t o s en f u n c i ó n del t e n s o r de G a l e r k i n v i e n e n
d e f i n i d a s en el apéndice 1 (A 1.10), en f o r m a t e n s o r i a l . D e s a r r o l l a n d o l a s en c o o r d e nadas p o l a r e s , se puede o b t e n e r :
2 (1 - v) U
rr
=(1 - 2
v
)(V
2
1
- - — )
2
r
*
1
6 x
32 X
2 (1 - v ) U
= - (
+
V z
2 (1 - v ) U
.
V
a 2
r
Er
3
z
I V . 2 . 1 .7»
3%.
Z
rz
3r 3z
2
2 (1 - v ) U
r
3 2
+
zz
= v
2
x
2
+
S i a h o r a r e c o r d a m o s el v a l o r d e
>
X r
3X
2
_ 2
v
+
- i r
-.-z-
a° r
„
en p o l a r e s , p a r a el c a s o a x i s i m e t r i c o
y c a l c u l a m o s l a s d e r i v a d a s p r i m e r a s y s e g u n d a s del v e c t o r de G a l e r k i n que v i e n e n d e f i n i d a s en l a s e c u a c i o n e s A l 1 . 2
a A l 1.3
del A p é n d i c e | |, se pueden o b t e n e r
l a s e x p r e s i o n e s f i n a l e s p a r a l o s e l e m e n t o s del t e n s o r U
1
U
rr
r r
U
Z
=
(3
z
U
"
4 V) Q<
*
+
\2
dQ
R r
) - r - ~
R
^
2
±
- T -
P
Q, - ( Y
16 iT G (1 - v ) p \ / R 7
Z r
.
ik
(y
2~1
16 7T G (1 - v ) ^ R r
=
-
3
]
I V.2.1.8
U
p7
d Q
\
f " " "
F^
16 ir G (1 - v) r\ÍRr
=
PZ
^
Q ii
^
+
(Y - ---)
R
d
i
2
U
zz
=
L
]
Y
dQ_l
[ (3 - 4 y ) Q , - — —
16 i? G (1 - v ) \ Í R p
]
Rr
2
d y
E l c á l c u l o del t e n s o r T , r e q u i e r e la a p l i c a c i ó n de l o s o p e r a d o r e s e l á s t i c o s =
\k
al t e n s o r de m o v i m i e n t o s U
ik
, a n t e r i o r m e n t e c a l c u l a d o , tal como se h i z o en el c a s o -
t r i d i m e n s i o n a l . S i n e m b a r g o , la e x p r e s i ó n v a r i a de la dada en I I . 2 . 3
ya que h a y
que d e f i n i r l o en c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s . E x p r e s á n d o l o en e s t a f o r m a se t i e n e ,
-
que-
el t e n s o r t e n s i ó n en un p u n t o del i n t e r i o r del d o m i n i o como c o n s e c u e n c i a de una c a r ga p u n t u a l en el e s p a c i o i n f i n i t o y en c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s s e r í a :
Z
Z
rrr
zrr
=
- v
r
2G [ - — 1-2v
= i
rzr
^ /
= G (
3U
rr
v
—— + ----1-2v
3r
3U
.
3z
rr
3 U
+
,
, 1
(
r
3 U
U
rr
+
R
zr. ,
) ]
3 z
•
IV.2.1.9
zr
.
3 r
x
)
r
Z
= 2G L
z z r
z
66p
I
8rr
Z
rrz
I
-
3U
v
,1 -02 v
Z
= Z
r©r
r
= 2G [
^^ r 1 - v
= 2G [
1-2 v
zrz
= G
+
+
zz
3 z
Z
r 6z
= Z
9 zz
r
= Z
rr
rr
—)
3 r
+
]
3U
3 r
3 z
=0
v
1-2 v
,
1
,
(
3U
zz , n
+ —
) ]
3
U
P
rZ
IV.2.1.9
3 r
v
+
1-2 v
U
rZ
V
- 2G [
+
(
9Qz ~
~ T - 2 v ~~r + " 1 - 2 "
Z
=
6rz
U
3U
—-Z-Z-)
3 z
3U
3U
3U
z©r
r<z
3 U
(—-r-z-
Z
Z
Z
3r
=
..1 -_2 v
(
1-2v
3U
v
,
.
v
+
0 zr
z
rzz
ZZZ
rr
r
1-2
z
+
U
1-2v
=
v
3z
i
I- v
__ r
= 2G [
zr
z6z
,
, 1
(
r
3 U
U
+
3 r
rZ
3U
rZ
3 r
rz
) ]:
3U
+
+
ZZ
)
]
3z
=0
y p o r t a n t o , p a r a el t e n s o r T
se t i e n e n a p l i c a n d o la e c u a c i ó n Al.2de i e q u i I i b r i c en el =
ik
contorno, las siguientes expresiones
T
rr
= Z
rrr
n
r
+Z
rzr
n
z
I V.2.1.10
T
zr
= Z
rzr
n
r
+ Z
zzr
n
z
e r
T
rz
=
0
= Z
rrz
n
r
+ z
rzz
n
z
IV.2.1.10
T
T
zz
ez
= z
rzz
n
r
+ z
zzz
n
z
=0
Las d e r i v a d a s de los m o v i m i e n t o s n e c e s a r i a s p a r a el c á l c u l o de las t e n s i o n e s
a n t e r i o r e s v i e n e n d e f i n i d a s en el c u a r t o
a p a r t a d o del apéndice | | , siendo p r e f e r í
-
b l e , debido a la c o m p l i c a c i ó n o p e r a t i v a que p r e s e n t a el c á l c u l o de los t e n s o r e s , el
-
d e j a r l o s en f u n c i ó n de d i c h a s d e r i v a d a s , y no s e g u i r d e s a r r o l l a n d o .
Podemos p l a n t e a r n o s a h o r a la p r e g u n t a d e , si al igual que o c u r r í a en el caso
t r i d i m e n s i o n a l , las i n t e g r a l e s de volumen son s i n g u l a r e s . La r e s p u e s t a es a f i r m a t i v a
D e b i d o a la n a t u r a l e z a de la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l , e x i s t e también una s i n g u
l a r i d a d i n t r í n s e c a en el a n i l l o de a p l i c a c i ó n de las c a r g a s R ,
Z.
E f e c t i v a m e n t e , en el punto x, es d e c i r ( r , z) = ( R , Z ) , y r e c o r d a n d o el v a l o r
Y d e f i n i d o en I V.2.1 . 5
, se t i e n e que y = 1 , v a l o r p a r a el cual las f u n c i o n e s de L e -
g e n d r e de segunda e s p e c i e son s i n g u l a r e s .
E s n e c e s a r i o p u e s , el e x t e n d e r la e c u a c i ó n de S o m i g l i a n a a un d o m i n i o
íí
como en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , entendiendo las i n t e g r a l e s de volumen de la e c u a
G
,
-
c i ó n I V . 2 . 1 . 1 en el senticbdel v a l o r p r i n c i p a l de C a u c h y , p a r a lo cual es n e c e s a r i o d e m o s t r a r que e s t a s e x i s t e n .
E s t a d e m o s t r a c i ó n es s i m p l e s i c o n s i d e r a m o s l a s a p r o x i m a c i o n e s de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e c u a n d o "Y t i e n d e a u n o .
L a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e de segunda e s p e c i e ( v e a s e E r d e r l y i , [ 4 6 ] ) toman
para y — 1
^
una e x p r e s i ó n a s i n t ó t i c a l o g a r í t m i c a , en la f o r m a
-
(
i i
\
ln
( Y"1)
— 3 2 "
IV.2.1.11
Q,
2
(Y)
(Y_-1_)
1
o VY
- 2 ll n
2
32
C o n l o que l a s d e r i v a d a s en ese p u n t o s e r á n
dQt
dy
dQ
,
1
dy
I V.2.1.12
2( Y - 1 )
S u s t i t u y e n d o e s t a s e x p r e s i o n e s en el v a l o r de U
ik
es p o s i b l e d e d u c i r el o r -
den de s i n g u l a r i d a d b u s c a d o .
O b s e r v a n d o la ( F i g I V 2 . 1 . 1 ) y r e c o r d a n d o la e x p r e s i ó n de
Y , se t i e n e
R
r
»
Fig.l V.2.1.1
Y
- 1
2
2
=
=
2R r
2
__P„
2Rr
In ( y - 1) = 2 In —
= O (In p)
2Rr
P o r o t r o lado d fi = 2 f r p d 6 dp es d e c i r d fi es O ( p ) , y p o r u l t i m o U
es
y
y
ik
f u n c i ó n d i r e c t a de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e , que son O (In ( y - 1)), con lo que U ik
lo s e r á t a m b i é n , o lo que es igual O (In p ) . Con e l l o la s i n g u l a r i d a d de la i n t e g r a l de volumen de nuevo es del t i p o d é b i l , e x i s t i e n d o en el s e n t i d o de C a u c h y .
ü, X.díl
= X lim
ik
i
y
i
*
e—0
I im
E— 0
B
e
(x)
U , d fi = 0
ik
y
B
e
IV. 2.1.13
(x)
E n c o n s e c u e n c i a , y al igual que o c u r r í a en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , los v a l o r e s p r i n c i p a l e s de Cauchy de las i n t e g r a l e s de volumen e x i s t e n , p o r lo que haciendo
de nuevo el c a m b i o , la e c u a c i ó n fundamental de m o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s que da de nuevo i d é n t i c a a laIV.2.1.1
IV.2.1.8
habiéndose d e f i n i d o las e x p r e s i o n e s de U , , T., en
ik
ik
y IV.2.1-10 . La d e m o s t r a c i ó n de que las i n t e g r a l e s
T
3B
ik
u ds ,
i
y
(x)
son n u l a s , donde a h o r a B
U , t. ds
ik i
y
3B
e
(x)
(x) es la s u p e r f i c i e de un t o r o de r a d i o de la s e c c i ó n e y -
c^>curlfier4enc.¡ia c e n t r a l en el a n i l l o R Z , es análoga al c a s o t r i d i m e n s i o n a l y se c a l c u la en
IV. 2 . 3 .
I V . 2 . 2 . - T E N S I O N E S EN P U N T O S
INTERNOS
La e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a de los m o v i m i e n t o s de un punto i n t e r n o despues
de a p l i c a r el concepto de M i k h l i n de d e r i v a d a s de i n t e g r a l e s s i n g u l a r e s v e n i a definí
da en | | . 3 . 4
y e r a la s i g u i e n t e
6 . . u.; =
ki i m
T
U , ; t ds
ik m i
y
6a
X (x)
i
l a r i d a d , y la
U
X .
d n
ik m i
y
6 S2
U
lim
e-*0
óB
donde de nuevo el
; u ds +
ik m i
y
ik
p,
m
ds
I V.2.2.1
y
(x)
r e p r e s e n t a d e r i v a d a r e s p e c t o al p j n t o donde se c e n t r a la singu
r e s p e c t o al punto de c a m p o .
Es n e c e s a r i o pues en p r i n c i p i o c a l c u l a r esta ú l t i m a i n t e g r a l , que hay que
-
a ñ a d i r a la o t r a i n t e g r a l de v o l u m e n , i n t e g r a l que como s i e m p r e hay que e n t e n d e r en
el s e n t i d o de C a u c h y .
E s t a i n t e g r a l es f á c i l m e n t e c a l c u l a b l e , ya que U
se i n d i c ó , p ,
m
es de o r d e n O (1) y ds
y
ik
es de o r d e n O (In p) como
= 2i\r p de es de o r d e n O ( p ) , con lo q u e , de
n u e v o , el r e s u l t a d o de la i n t e g r a l , es nulo s i e m p r e , como es este c a s o , que X . y
U IK sean c o n t i n u a s , y acotadas en fi.
U , p,
ds = 0
ik
m
y
I im
e - * 0
6B
e
(x)
-
•
V.2.2.2
S i a h o r a se a p l i c a el o p e r a d o r e l á s t i c o C
e
en c i l i n d r i c a s a la e c u a c i ó n de -
m o v i m i e n t o s i n t e r n o s I V . 2 . 1 . 1 se v u e l v e a o b t e n e r la e x p r e s i ó n
I I . 3 . 8 que e s c r i t a =
de nuevo queda
U
D
(x) =
t
ijk
k
ds
y
5
-
6a
u
ijk
k
ds
y
D... X
+
ijk
k
D N
IV.2.2.3
y
6 Si
donde los d i s t i n t o s t e n s o r e s t i e n e n e x p r e s i o n e s a n á l o g a s al c a s o t r i d i m e n s i o n a l p e r o en c o o r d e n a d a s c i l i n d r i c a s , a s í a p l i c a n d o el o p e r a d o r C
ne el t e n s o r D
ijk
,
— 1(- 2 -v LR U
3U
D
rzr
= D
QQ p
D
9 rr
D
rrz
D
=
+
1-2
r er
= 2G
se o b t i e -
= D
e zr
1
v,
r 1- v
L
= D
3
Z r Z
+
— — (-1- U
1-2 v
R
rr
+
—
v
J
+
v
3U
(—-r-r-
+
3U
—-r-r-)
3 R
]
J
3U
]
+
3R
Z
3
=0
z er
3 R
3Z
—
V
1-2
U
rz
—
3U
= G < — F -
D
Z3 U
r
- —- -a Z-) ]
r +r
3 R
R
v
1-2 v
=
r Z Z
U
2G [ - 1 - - - - — r - r -
= D
ik
3 U
= G (-—7zrr
3 Z
3U
D
= 2G [ - - - - - - — Z - r L
zzr
1-2 v
3Z
D
al t e n s o r U
, que d e s a r r o l l a d o queda
3U
= 2G [ - 1 = - V - S T rrr
1-2 v
3 R +
D
e
v
+
,
1-2 v
3U
- 2 - )
3 R
,
1
(-1- U
R
8
rz
+
U
zz
i
---) J
3z
IV.2.2.4
D
=
ZZZ
D
3U
2G C - - - - - - — - Z - Z 1-2 v
3Z
U
_J2.
= 2G [
1-2 v
Z
D
0rz
= D
rOz
= D
9zz
(J- U
r Z
R
3U
—
+
R
=
— V —
1-2 v
+
(
+
1-2 v
+
3U
—-r-Z-)
3 R
3 U
____ 2 3.)
3 R
3
Z
]
]
iv.2.2.4
=0
z6z
Las d e r i v a d a s a n t e r i o r e s de los m o v i m i e n t o s r e s p e c t o a R y Z v i e n e n definidas en el a p é n d i c e
En c u a n t o al t e n s o r S
se d e r i v a r á - a p a r t i r de un t e n s o r a d i c i o n a l Z
,
ijk
ijkl
que se c o n s i g u e a p l i c a n d o el o p e r a d o r e l á s t i c o al t e n s o r Z , d e f i n i d o en I V . 2 . 1 . 3 ,
¡Jk
c o n lo que se t e n d r á .
Z
rrrr
^^ r
= 2G [
1- v
3 Z
1 -2v
rrr
+
3 R
Z
Z
rzrr
zzrr
68rr
- Z
G (
zrrr
__ r
= 2G [
1- v
0_ r
= 2G [
1- v
„ „
1-2v
r r r
_
3 Z
1-2 v
_
3 R
rrz
v
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3 Z
Z
rrr
„
R
(
3 Z
Z
R
+
rrr
3
rrrx
,
J
)
Z
i
3 Z
r r P
3 2
. 1
1-2 v
3 Z
Z
,
v
)
, 1
(
1-2 v
+
R
3 Z
v
(
, „
1-2 v
Z
rrz
+
+
„
3 R
IV.2.2.5
Z R
3 Z
rrr
r r r ¡ . -¡
) J
3 2
3
rrz
Z
)J
»
3 Z
r
rrzr
= r
rrrz
,
- 2G [ - 1 = - - - — - - r
v
g R
z
r
+
- - - - - (-L
v
R
3 Z
z
rzr
+
— T S )
3 Z
I
3 z
Z
z
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zzrz
Z
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=
=Z
zrrz
zrzr
1
z
v
= 2G [ - l l -
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Z
= Z
= G (
rzzr
z
rrzz
rzzz
Z
= 2G [ - — - -
=
z
zrzz
r
zzzz
Z
+
1-2 v
„ „
1-2 v
= 2G [
_ /
= G (
1-v
, _
1 -2 v
r 1- V
= 2G [
mee
. „
1 -2 v
^ ,
Z
= Z
= G (
zree
rzee
^
- 2G
zzee
Z
eeee
= 2G
[ --1-2
r
3Z
3Z
1-v
1-2 v
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Z
+
+
---) 1
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)]
_
3 R
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3 Z
z
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3 Z
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-)
+
,
]
3 Z
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)
_
3 R
-
Z
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v
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J
Z
3 Z
3R
v
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zzr
ZZr
„
, 1
(
,
„
1-2 v R
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Z
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+
_
3R
3
3
-
IV.z.2.5
(
V
3Z
-- - - - - - +
V
3 Z
+
zzz.
)
^
3 R
1-2 v
_
3Z
3 R
;V.
R
eer
]
3 Z
R
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zzz
v
, 1
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_
, „
„
3Z
1 -2 v
R
1-2 v
Z
R
3Z
ZZr
rzr
+
3 Z
zzr
+
_
3 Z
Z
_ 2G
,
(-1- Z
1-2 v
3Z
z
3Z
— v — ( — ™
,
1-2 v
3 R
+
-
3 R
3 2
— ( - 1 -
+
3Z
,
Z
= 2G [ - 1 : - - - —
eezr
, „
1-2 v
R
3 R
,
z z
3Z
Z
---)
3Z
- — ^
„ „
1-2 v
ai
--- +
V
1-2 v
(-1_
R
,
(
Z
3Z
eer
_
3 R
eerz
+
3 Z
+
3
3 Z
----)
„
3
R
ee z ,
J
„
Z
]
y el r e s t o de términos n u l o s .
S u s t i t u y e n d o las e x p r e s i o n e s del t e n s o r
, dadas en ( I V . 2 . 1 . 9 ) en fun
¡jk
c i ó n del t e n s o r U
y o p e r a n d o , es p o s i b l e l l e g a r a las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s ; d o n de 2 . . a p a r e c e en f u n c i ó n del t e n s o r U
y sus d e r i v a d a s ,
ijkl
ik
4_G
r r r r
"
3 ?U
_____11
0
(1-v)
3U
3
+
3U
-U
rZ
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[
,
Z r
3 r 3Z
32U
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32U
zr
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3 R
U
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R
+
,
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2
3 U
rZ
3 r
3z3R
9U
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R
+
+
rZ
3¿
r
+
3 Z
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2
:
rzrr
= z
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zrrr
1-2 v
3U
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+
z z r r
=
+
3 r 3R
]
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3 r3 Z
+
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3 R
3z 3 R
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2
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7l-7v72
3 U
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ZZ
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3U
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H h
2
3 U
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rr
[-
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2
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IV.2.2.6
2
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3 U
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1
Rr
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..
U
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1
^
,,
Rr
3
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1
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3U
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3 z
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3 R
3
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3 U
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32U
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3 r
3z 3 Z
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R
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j
3 r
IV.2.2.6
Z
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=
Z
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= Z
3U
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3R
Z
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3 U
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3 Z
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3
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R
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j-
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2
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J
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rr+
_
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3z
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2
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2
IV.2.2.6
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IV.2.2.6
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^
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r
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3R
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r
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u
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2
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32U
Z
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r z ee
zree
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,
r r
3 R
3U
-- +
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+
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r
3U
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2
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[
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1
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+ —
rR
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zr
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32U
f 3 + _ J l z
3 z
^
a r a Z
+
]
1
r
a.U
aR
rr
+
A h o r a , es p o s i b l e ya el c a l c u l a r el t e n s o r S
, en f u n c i ó n del t e n s o r ante
ijk
r i o r a p a r t i r de las e x p r e s i o n e s s i g u i e n t e s :
S
S
S
S
rrr
rzr
zzr
eer
=
Z
= S
n
rrrr
zrr
r
= Z
+ Z
rrzr
n
rzrr
r
n
z
+Z
rzzr
n
z
= Z
n + Z
n
zzrr r
zzzr z
= Z
n
eerr
+ Z
r
n
eezr• z
IV.2.2.7
S
S
S
S
rrz
rzz
zzz
eer
= Z
= S
n
rrrz
zrz
r
= Z
+ Z
rrzz
n
z
n + Z
n
r
rzzz z
rzrz
= Z
n + i
n
zzrz r
zzzz z
= Z
eerz
n
r
+
Z
eezr
n
z
Las d e r i v a d a s n e c e s a r i a s p a r a el c á l c u l o de los t e n s o r e s a n t e r i o r e s vienen=
d e f i n i d a s en el a p é n d i c e
' '•
En d e f i n i t i v a , las e x p r e s i o n e s de l a s t e n s i o n e s en un punto i n t e r n o v i e n e n dadas p o r la r e l a c i ó n IV.2. 2.3 ,con l o s t e n s o r e s d e f i n i d o s en IV. 2.2.4 y IV.2.2.7 , sie_n
do en todo análoga a la d e s a r r o l l a d a en el a p a r t a d o | | . 3 p a r a el c a s o t r i d i m e n s i o -
nal •
I V . 2 . 3 . - E C U A C I O N DE S O M I G U A N A P A R A P U N T O S DEL C O N T O R N O
Como en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , s e r á a h o r a n e c e s a r i o el p l a n t e a m i e n t o de la e c u a c i ó n de m o v i m i e n t o s p a r a puntos del c o n t o r n o , p a r a lo c u a l , como en el c a s o
a n t e r i o r , se hace t e n d e r el punto donde se c e n t r a la s i n g u l a r i d a d al c o n t o r n o del
-
d o m i n i o . Con e l l o , se r e d u c e a o b t e n e r la e c u a c i ó n I I . 4 . 4
-
I V . 2 . 3 . 1 , y donde
S
de s e c c i ó n de r a d i o
e
, que r e p e t i m o s en
se r e f i e r e en este c a s o a la s u p e r f i c i e de la p a r t e de t o r o , -
e y de d i r e c t r i z el a n i l l o s i n g u l a r ( R , Z ) ; que i n t e r s e c t a en el =
dominio.
En la F i g .
I V . 2 . 3 . 1 puede v e r s e el c o r t e de ésta s u p e r f i c i e con un plano de -
simetría axial r , z .
Fig.
6 ,. u =
ki i
U , t ds + lim
ik i
y
e—^ 0
lim
e —0
- lim
e—0
IV.2.3.1
T
ik
u ds +
i
v
U , t ds - l i m
ik i
y
n
U , X d ü
ik
i
y
T . , u. ds ik i
y
IV.2.3.1
P a r a c a l c u l a r las i n t e g r a l e s e x t e n d i d a s a S £ y el l í m i t e c o n s i g u i e n t e se
-
a d o p t a r á n las a p r o x i m a c i o n e s a s i n t ó t i c a s d e f i n i d a s en IV.2.1.11 con lo que U
de o r d e n O (|n
g r a l se a n u l a .
I im
e-*0
e) y ds
y
será=
ik
de o r d e n O ( e ) , siendo pues e v i d e n t e que la p r i m e r a inte -
U , t.
ik i
ds
y
= 0
IV.2.3.2
La segunda i n t e g r a l extendida a S^ en I V . 2 . 3 . 1
no se a n u l a , siendo necesa-
r i o r e a l i z a r su c á l c u l o .
P a r a e l l o , hay que r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n de T . ^ s o b r e la s u p e r f i c i e del
t r o z o de t o r o i n d i c a d o con c e r t r o de la s e c c i ó n de c o o r d e n a d a s R , Z (vease en la
F i g . I V . 2 . 3 . 1 ) y haciendo uso de las a p r o x i m a c i o n e s de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e
d e f i n i d a s en las e x p r e s i o n e s I V . 2 . 1 .1 l y I V . 2 . 1 .1 2 .
A s i m i s m o , es n e c e s a r i o el r e a l i z a r o t r a s a p r o x i m a c i o n e s . A s í , o b s e r v a n d o :
la F i g .
I V . 2 . 3 . 2 se deduce
R
Fig.
IV.2.3.2
dS
= 2 ir r e d 6
y
R - r = - e sen 6
Z - z = - e eos 6
V-!
e
=
2
2R
V. 2 . 3 . 3
R
Q
±
~2
2
= Q ± = - lñ
2
dQ ,
~2
d y
dQ,
2
d y
e
r
2
e
Todo e l l o s i n más que a p l i c a r la e x p r e s i ó n deY y las a p r o x i m a c i o n e s de Q ,
~2
y Q , p a r a el c a s o de la s u p e r f i c i e t ó r i c a que nos o c u p a , y d e s p r e c i a r los i n f i n i t e 2
simos de o r d e n s u p e r i o r , cuando e—•O. R e c o r d a n d o a h o r a la e x p r e s i ó n de
T , dadas en IV.2.1.9
ik
2
y Uk
y I V . 2 . 1 . 1 0 e n f u n c i ó n de las d e r i v a d a s de I I , se deduce la ne
_
ik
c e s i d a d de c a l c u l a r los l í m i t e s de cada una de e s t a s d e r i v a d a s de los m o v i m i e n t o s
-
p a r a a c o n t i n u a c i ó n e n s a m b l a r l a s y c a l c u l a r el l í m i t e de T., . P a r a mayor fac.ilidad=
ik
y p o r q u e luego s e r á n e c e s a r i o , c a l c u l a r e m o s el l í m i t e del p r o d u c t o de e p o r cada
-
una de las d e r i v a d a s a n t e d i c h a s , obteniendose a p a r t i r de las e x p r e s i o n e s del apén_
d i c e I l p a r a e s t a s d e r i v a d a s , y de las a p r o x i m a c i o n e s IV.2.1.11 lo s i g u i e n t e
«
9
lim e
e—»-0
Ur
3 r
3U
lim e
e —0
e
zr
zr
3U
lim
e
E-*0
e
4 eos e eos 2 e
^
64 TT G ( 1 - v) R
=
- 4 sen ecos 2 6
^
64 tt G ( 1 - v) R
2
e - (20 - 1 4 v ) ]
IV.2.3.4
- 4 sen ecos 2 6
=
64 TT G ( 1 - v ) R
az
3U
_
JJ=
3r
64 TT G ( 1 - v ) R
zz
3z
- eos e
=
64 tt G ( 1 - v ) R
e
rr
_
= 0
r
t
[ 8 eos
64Tr G ( 1 - v ) R
rz
U
0
r
,
0
4 eos ecos 2 6
=
3r
U
I im
e-»'0
=
rz
3 U
lim
e
e—>0
2
/.«
.^ »i
[ 8 eos e - (12 - 16 v ) ]
64 TT G ( 1 - v) R
3z
lim
e
e—0
I im
e—0
eos 6
=
3 r
3U
nm
e—fcO
64 ir G ( 1 - v ) R
3z
lim e
E—0
0
sen 6
=
rr
3 U
lim
r
rz
r
0
[
8
r
_
eos e + (12 - 1 6 v )
[ 8 eos
o
2
,.
, _ .
e + (4 - 1 6 v )
]
]
S i a h o r a ensamblamos todos los l í m i t e s a n t e r i o r e s p a r a el c á l c u l o del l í m i t e
de eZ
, p a r a p o d e r luego i n t e g r a r se o b t e n d r á , haciendo uso de las e x p r e s i o n e s
ijk
lo s i g u i e n t e :
lim e Z
o
lim e Z
e-*0
rrr
=
r r r
rzr
=
e-vO
00 r
e-*0
l i m eZ
e—0
rzz
zzz
[ ( 1 - 2 v) + 2 s e n 2 6 ]
z
(1 - v )
^
0
eZ
zrr
R
COS 6
=
sen 6
8 TT
r
2
,
. ,
[ 2 eos e - (3 - 2 v ) ]
2 ,„
, ^
8 u (1 - v ) R
2 ,,
. „
(1 - v) R
i
r /. « \
~
2
,
[ 0 - 2 v) - 2 eos 6 ]
'
= l i m eZ
=0
«
86 z
e 0
lim eZ
=
r r7
e-0
lim eZ
lim
e
l i m eZ
=
¿ ~
zzr
e-*0
l i m cZ
8TT
c o s
8 tt
z
6
(1 - v )
IV.2.3.5
r /,
«
N
[ (1 - 2 v ) - 2 sen
2
,
9 J
R
= l i m eZ
=
^ zrz
e 0
=
„ 2 ,,
, ^
8 TT (1 - v) R
^ 2 ,,
N ^
8 TT (1 - v) R
[2 cos
6+ (1 - 2 v) ]
[ (1 - 2 v) + 2 cos 6 ]
P o r u l t i m o si r e a l i z a m o s las i n t e g r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s al t e n s o r T
s e r v a n d o que
-
, ob
n
r
= sen
n
z
se tiene por ejemplo para T
= eos 6
rr
Iv.2.3.6
que
- - - + e0
2
T
lim
0
rr
u
r
ds
y
2
lim
= - 2 irR
e—*• 0
TT
1 " ~2
+
—
= - 2* R
u
r
9
rr
u e de
r
2
lim
(x)
TT
—
61
T
[
e
i
n
rrr
r
+ e2
rzr
n
z
] d 8
e-»4J
--- + e «
2
- 2 ttR
u
8 7T (1 - v) R
r
2
(x)
- sen
1
+ eos
2
e [
1
4 ir(l-v)
U
r(x)
8 TT (1 - V)
2 eos
2
u
r
(x)
+ 9
]
2
de
=
2
2
[(3 - 2 v) eos e + (1-2 v) sen
IT
1 ~ ~2
[4 ( 1 - v ) (TT+ 0 -
2
e [(1-2 v) + 2 sen e ] +
2
e - (3 - 2 0
T
2
0 ) + (sen 2 6
1
- 2 sen 2 6
1
) ]
^
2
- 2 eos e] d e =
O p e r a n d o análogamente p a r a todas los demás t é r m i n o s se puede o b t e n e r el t e n s o r C , , d e f i n i d o en I V . 2 . 9
ik
guíente
"c
rr
cuya e x p r e s i ó n p a r a el caso a x i s i m é t r i c o es la si
-
4 ( 1 - v ) (rr + 6 - 0 ) + (sen 2 © - sen26 )
w
1
I
Lé
C rz 1
1
8TT (1 - v )
C
zr
C
- (eos
zz
- (eos 2
2e
- eos
2
6 )
- eos 2 8^)
4 ( 1 - v) (ir + e - e ) - (sen2G ^ - sen 2 e )
I V.2.3.7
E x p r e s i ó n que p a r a s u p e r f i c i e suave (
era presumible, y para 6 ^ ~
6
-j ~
71
~
6
se hace igual a j í
como-
( t o r o completo) se hace c e r o , como ya se a p u n -
tó en IV. 2.1 .
Con e l l o queda de nuevo t o t a l m e n t e d e f i n i d a la e c u a c i ó n IV.2.3.1
con las i n -
t e g r a l e s p o r supuesto entendidas en el s e n t i d o de C a u c h y , tal como se d e s a r r o l l ó en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l .
IV.2
I V . 2 . 4 . - T E N S O R DE T E N S I O N E S E N P U N T O S DEL C O N T O R N O
Como ya se i n d i c ó en
11.5
, el c á l c u l o del t e n s o r de t e n s i o n e s en un p u n -
to del c o n t o r n o r e q u i e r e de la u t i l i z a c i ó n de una c i e r t a a p r o x i m a c i ó n , no pudiéndose
r e a l i z a r en f o r m a e x a c t a . E s t a a p r o x i m a c i ó n sigue la misma pauta que la que se si guió en el a p a r t a d o a n t e d i c h o .
E l i g i e n d o , un eje local 1 , en el punto donde se p r e t e n d e c a l c u l a r el t e n s o r de t e n s i o n e s , d e f i n i d o según la d i r e c c i ó n tangente al c o n t o r n o en ese p u n t o , y c o n s e n t i d o c o n t r a r i o al de r e c o r r i d o del c o n t o r n o , y un eje 2 según la d i r e c c i ó n y s e n t i d o de la n o r m a l e x t e r i o r al c o n t o r n o en el punto en c o n s i d e r a c i ó n , las componentes
del t e n s o r de t e n s i ó n
en ese s i s t e m a de e j e s s e r á n
IV.2.4.1
donde t
y t ^ son l o s datos de c o n t o r n o en t e n s i o n e s de ese p u n t o , c o n o c i d o s ó ya -
i n c ó g n i t a s c o n s i d e r a d a s en el p r o b l e m a , y r e s u e l t o este c o n o c i d a s t a m b i é n .
S u p o n i e n d o p o s i b l e el c a l c u l a r las v a r i a c i o n e s de los m o v i m i e n t o s según 1
y 2 en la d i r e c c i ó n 1 se t i e n e *
2G v
1-2 v
de donde
2
[(1 - 2 u) ( — - - )
1-v
-v
( ^ + ee) ]
6
y como
a
= 2G e
1
2 G
+
,(e
v
1-2»
1
+ e
1
+ e
2
)
6
se t i e n e
o
= —
1- v
3u
con e
1
=
I
3 x,
1
(2G e ^ + 2Gv,;e^+ va
r
e
)
IV.2.4.2
u
6
f
=
en el punto c o n s i d e r a d o , siendo todo pues dato o
-
r
r e s u l t a d o y p o r lo t a n t o p o s i b l e el c a l c u l o de
o ..
|J
«
I V . 2 . 5 . - T R A T A M I E N T O DE L A S F U E R Z A S POR U N I D A D DE V O L U M E N
Las e x p r e s i o n e s I I . 6 . 2 3 y I I . 6 . 2 4 p e r m i t i r í a n el paso de la i n t e g r a l de v o l u men c o r r e s p o n d i e n t e a f u e r z a s de volumen a una i n t e g r a l de s u p e r f i c i e en la f o r m a
U , X
ik
I
E , X ds +
ik
i
y
d fi =
y
F, ds
k
y
IV.2.5.1
s a
6 Si
donde
E-|
=
jF. =
k
K
o
1 - 2 v
2(l-v)
X .U>.
n-
1 -2 v
. K
X„
2 (1-v)
o
Ik
= X.,.
i i
'
n
-
X
-l»
n
P
+
X
P
"L-' '
n-
J
J
IV.2.5.2
I
= Cte.
En el c a s o a x i s i m é t r i c o , s e han de d e s a r r o l l a r los t e n s o r e s a n t e r i o r e s t e n i e n do en cuenta la e x p r e s i ó n del t e n s o r de G a l e r k i n d e f i n i d a
el E
rr
en I V . 2 . 1 . 6 . P o r e j e m p l o
quedará
E
r r
=
i o
1 -2 v
2(1-v )
i o
1 -2 v
2(1-v)
y análogamente
3 x
r
9X
n
3 r
3
*
-r
3 r
n
r
3
r
n
r
r
r
3X
3 r
n
r
Z
3
r
z
3X
n
z
n
+
3
r
r
I V.2.5^3
EL C A S O A X I S I M E T R 1 C O
E
ll -o2 v
Z r
rZ
E
ZZ
=
3 x
3 r
1-2 v
8xz
o/"i
\
2(1 - v )
3z
n +
z
n
1-2 v
ofi - v)\
2(1
* p
3
r
n/>
\
2(1 - v )
IV.2
r
+
3X.
3
9x
n
z
3z
3 z
3
n
p
n
p
z
r
V.2.5.4
z
n
r
y análogamente papa F, se t i e n e
k
F
p
= -
1-2 v
—r K
2(1-v)
o
x
p
n
p
V.2.5.5
F
n
x
Z
2(1-v)
°
Z
Z
El t r a t a m i e n t o de f u e r z a s de peso p r o p i o , bulones de t e n s i ó n y t e m p e r a t u r a es en todo análogo al d e s a r r o l lo en 11.6 p a r a el c a s o
t r i d i m e n s i o n a l , p o r lo que
-
nos f i j a r e m o s en un c a s o muy f r e c u e n t e en e s t r u c t u r a s a x i s i m ó t r i c a s , como es el de=
la f u e r z a s de volumen debidas a la a c e l e r a c i ó n c e n t r í f u g a en una r o t a c i ó n .
P o r s i m p l i c i d a d c o n s i d e r a r e m o s r o t a c i ó n a l r e d e d o r del e j e de s i m e t r í a , con=
lo que
p w
X=
IV.2.5.6
cuya d i v e r g e n c i a es evidentemente nula (K
o
bando que d e r i v a n de una f u n c i ó n p o t e n c i a l .
= 0) y su r o t a c i o n a l también es n u l o , p r—o
E n este c a s o , el v e c t o r c o r r e s p o n d i e n t e a la i n t e g r a l de volumen q u e d a r í a
9X
1 o
1 -2v
~2(Í-~~)
E , X . ds = p w'
ik
i
y
6 fi
r
6 SI
i1 - o2 v
2(1- )
3 ~r~
n
r ~ 3~~z " z
9X
X z
n +
n
3 z
r
3 r z
8
ds
y
IV.2.5.7
donde todas las d e r i v a d a s del v e c t o r de G a l e r k i n se p r e s e n t a n en el apéndice
I V . 3 . - A P R O X I M A C I O N N U M E R I C A . C A S O DE A P R O X I M A C I O N C O N S T A N T E
I V . 3.1 . - REPRESENTACION
DE-LA S Ü F E P F 1C1E DEL D O M I N I O Y DE L A S
FUNCIONES
La r e p r e s e n t a c i ó n de la s u p e r f i c i e es análoga a la del M . E . F . p a r a el c a s o a x i s i m é t r i c o , u t i l i z á n d o s e el elemento a x i s i m é t r i c o l i n e a l p a r a láminas de elementos
f i n i t o s , es d e c i r con s e c c i ó n en el p l a n o r , z un segmento r e c t o d e f i n i d o p o r sus dos
e x t r e m o s . Las c o o r d e n a d a s de c u a l q u i e r punto de este segmento F i g .
I V . 3 . 1 .1 , pue_
den d e f i n i r s e como
x = N a x .
i
i
con ^-j
=
^ i Y
=
a = 1 ,2
^ 2*
b
X.
x. =
i
l
c"enc^ose tamb¡én
a
-í* X .
i
b
5
l
X.
+
i
representar por
a
X.
IV.3.U1
«
'
Los elementos d i f e r e n c i a l e s p a r a la r e p r e s e n t a c i ó n a n t e d i c h a es
d A = 2* r
. ~
2
d K
IV.3.1.2
Los v a l o r e s de la f u n c i ó n se suponen c o n s t a n t e s s o b r e cada elemento p o r lo =
que el v a l o r r e p r e s e n t a t i v o de la f u n c i ó n s o b r e un elemento en el v a l o r de d i c h a f u n c i ó n en el punto medio del segmento p a r a el c a s o del c o n t o r n o .
u
t
i
i
= u.
i
(C D G)
= t
(C D G)
X. = X .
i
i
i
(C D G)
IV.3.1.3
I V . 3 . 2 . - D I S C R E T I Z A C I ON Y T R A T A M I E N T O D E LA E C U A C I O N
INTEGRAL
Debido a que p a r a el caso c o n s t a n t e los nodos que a p a r e c e n t r a s la d i s c r e t i z a c i ó n , y donde se suponen c o n c e n t r a d o s los v a l o r e s de la f u n c i ó n y de su d e r i v a d a =
están en el c e n t r o del e l e m e n t o , el ángulo i n t e r i o r a b a r c a d o en el c o n t o r n o del punto
es de 9 0 2 y p o r t a n t o , el t e n s o r C . = \
ik
c o n t o r n o q u e d a r á pues
i
« ..
ik
u.
i
T
U., t. ds ik i
y
=
5 SI
6 , p a r a todos los n o d o s . La e c u a c i ó n de
ik
6
ik
u ds +
i
y
si
E., X ds +
ik
i
y
F, ds
k
y
6a
6 SI
-
IV.3.2.1
S i d i s c r e t i z a m o s la s u p e r f i c i e en N e l e m e n t o s , la e c u a c i ó n a n t e r i o r (análoga
mente al c a s o t r i d i m e n s i o n a l ) , en la f o r m a
i
N
«
ik
u.
\
=
2
n=1
6
SI
6
SI
ü , t . ds
ik i
n
E., X . ds
ik
i
n
+
5 SI
T
6 SI
ik
u ds
+
i
n
F, ds
k
n
IV.3.2.2
T e n i e n d o en cuenta que la a p r o x i m a c i ó n de las f u n c i o n e s es c o n s t a n t e e
igual al v a l o r de cada f u n c i ó n en el C D G del e l e m e n t o , la e c u a c i ó n r e p r e s e n t a un
sistema de e c u a c i o n e s con 4N i n c ó g n i t a s y al a p l i c a r l a a los N
-
C D G de los elemen
tos del c o n t o r n o se obtiene un s i s t e m a de 2N x 4 N , con lo cual p a r a que pueda reso]_
v e r s e es i m p e r a t i v o el f i j a r 2N de e s t a s i n c ó g n i t a s como c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .
E s t a i n t e g r a l puede d e s a r r o l l a r s e en la f o r m a
IV.3
1
i u
r
r
1
U
U
rr
t
zr
r
(C D G)
n
N
• =
i
i u
E
f
6ft
n=1
U
z
T
U
rz
T
rr
t
zz
u
zr
z
(C D G)
(C D G)
r
n
n
ds
6n
v
T
T
rz
E
E
rr
u
zz J
X
zr
(C D G)
z
r
(C D G)
n
ds
E
rz
X
zz
z
+
n
n
6 (2
E
ds
(C D G)
rr
n
+
ds
6n
z
IV.3.2.3
P a r a un nodo a t e n d r e m o s pues un s i s t e m a de 2 e c u a c i o n e s que es el s i g u i e n
te:
N
I
n=l
a
B.
ik
N
n
un
i
=
2
n=1
a
(A.,
ik
n
n
t'.' + p
)
i
k
n
IV.3.2.4
IV.3
donde
B
B
ik
6 (2
T
T
¡k
ik
ik
(a , n) ds
(o:, n) ds
para t / n
n
n
+ j
6
y
para
ik
t = n
6Q
n
U.,
ik
ik
( a , n)
ds
IV.3.2.4
n
5a
n
»
P
a
= x
n
E.. (a , n) ds
+
ik
n
F.
k
( a , n)
ds
n
5Q
u.
i
= u. (C D G)
i
n
t.
i
= t. (C D G)
i
n
X.
i
= X . (C D G)
i
n
E n f o r m a m a t r i c i a l p o r ú l t i m o esta e x p r e s i ó n puede e s c r i b i r s e como
B u
= A
t
+
P
donde B , A son m a t r i c e s de d i m e n s i ó n 2N x 2 N , y
IV:3.2.5
t
,
u
y
P
son v e c t o r e s , -
de d i m e n s i ó n 2 N .
El c á l c u l o de las m a t r i c e s B , A y P p e r m i t i r á pues la r e s o l u c i ó n del p r o b l e m a ,
I V . 3 . 3 . - E V A L U A C I O N DE L A S C O N S T A N T E S DE
INTEGRACION
Es bastante cómodo el r e a l i z a n las i n t e g r a c i o n e s s o b r e elementos a los que no p e r t e n e c e el nodo desde el que se i n t e g r a , es d e c i r p a r a t ^ n, ya que en este caso se puede r e a l i z a r n u m é r i c a m e n t e , con un esquema p o r ejemplo de Gauss monodi mensional p a r a i n t e g r a c i o n e s s o b r e elementos del c o n t o r n o . A s í p o r ejemplo
Para t ^ n
L
f ds
n
~2
=
2 TT r f di
2 TTr ( O f ( O - - -
=
.L
2
d C
=
-1
N
=
TT L
z
k=1
wk
r U
k
)
f
U
k
)
IV.3.3.1
donde w
son los pesos de Gauss y K . los puntos de Gauss c o r r e s p o n d i e n t e s a una=
k
k
c u a d r a t u r a monodimensional de N p u n t o s .
S i n e m b a r g o p a r a t = n es p r e c i s o t e n e r c u i d a d o en la i n t e g r a c i ó n pues p a r a
( r , z ) — * (R, Z), y —
'
Q , ( ^ ) y Q i ( y ) t i e n d e n a <*> con lo cual es e s p e r a b l e
2
~2
malos r e s u l t a d o s e n la r e a l i z a c i ó n de la i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a .
P a r a s o s l a y a r este p r o b l e m a se suele r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a cuando se i n t e g r a s o b r e el p r o p i o e l e m e n t o , al que p e r t e n e c e el nodo s i n g u l a r , ó median
te la u t i l i z a c i ó n de un g r a n numero de puntos de G a u s s .
En este c a s o la p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n t i e n e el i n c o v e n i e n t e de s e r muy d i f í
e l I debido a la c o m p l i c a c i ó n en el uso de las f u n c i o n e s de L e g e n d r e , m i e n t r a s que la
segunda e x i g e un g r a n t i e m p o en la c o m p u t a c i ó n .
E s p o r e l l o que se ha seguido en este t r a b a j o un método , ya u t i l i z a d o p o r
Wrobel [129 ] en T e o r í a del P o t e n c i a l , y que c o n s i s t e en la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a so
b r e p a r t e del elemento muy c e r c a de
-
la s i n g u l a r i d a d , donde las f u n c i o n e s de L e g e n -
d r e , como se i n d i c ó t i e n e n una a p r o x i m a c i ó n r e l a t i v a m e n t e s e n c i l l a , y r e a l i z a r una=
i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a el e s t i l o de G a u s s , en el r e s t o del elemento .
A s í , p a r a elementos del c o n t o r n o se r e a l i z a r á esta i n t e g r a c i ó n s o b r e una Ion
g i t u d S , s i t u a d a como i n d i c a la F i g .
IV.3.3.1 .
-fSBSh
-L/2
-S/2
L/2
S/2
Fig.
,
.
. . . . .
L
S o b r e el r e s t o del d o m i n i o — - - <
r á una i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a .
S
s ¿<
y
S
---
IV.3.3.1
L
<s < - - r
se r e a l i z a -
A n t e s de c o m e n z a r el c á l c u l o de la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a , es n e c e s a r i o h a c e r
algunas c o n s i d e r a c i o n e s y a p r o x i m a c i o n e s p r e v i a s .
|
En lo s u c e s i v o se s e g u i r á n algunas n o t a c i o n e s y a p r o x i m a c i o n e s que a c o n t i n u a c i ó n vamos a i n d i c a r .
O b s e r v a n d o la F i g .
I V . 3 . 3 . 2 es f á c i l d e d u c i r que
Fig.
IV.3.3.2
r - r
2
r - R = t
Y
1
z - Z = t
s
r
z
V
= T + _ ( _ R _r_:L 2 _
_zi2_
=
2Rr
1 + ___s.
s
z
2
2Rr
2 2
t s ( r + R) - t
s
r
z
3Y
3 r
i
t
2Rr
s
z
Rr
3 z
IV.3.3.2
-t
3Y
r
s ( r + R) - t
z
s
2
2
y
, 2
3r 3Z
2
3 Y
3 Z3 R
t
R
z
+ R ) + t
t
_3
2R2r
3 R
3
2
z
Rr
3 z
2
S
2
3
Y
9D2 r 2
2R
3 r 3Z
s
3
r
3 z 3Z
2
s
1
z
s
Rr
Y
Rr
T e n i e n d o en cuenta que la i n t e g r a c i ó n a n a l í t i c a se r e a l i z a r á en puntos donde
Y — p o d e m o s h a c e r las s i g u i e n t e s a p r o x i m a c i o n e s
2
i
Q
= - i
(~s-
|n
) - 2
64 R r
2
Q
= - i
±
ln
(--)
64 R r
"2
d Q
i
_2__
d Q
=
dY
dy
d ? Q
*
A
d y
_i
_2_
d 2
2
'
°-i
A y
d
¿ S
R r
=
___IL
IV.3.3.3
s
2R2r2
s
_8R3r3
3
d Y
3
^d Y
6
s~ ~
Con e l l o puede c o m e n z a r s e a c a l c u l a r las i n t e g r a l e s a n a l í t i c a s en el c o n t o r no.
«
- I n t e g r a c i ó n de la m a t r i z A -
Las i n t e g r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s a esta m a t r i z son:
S/2
U
dA = 2 TT
rr
r U
rr
-1
ds
(3-4;v)
8 ttG (1 - v) R
-S/2
I
2
+ (6 - 8v + t ) I
2
z
donde I
I
eI
M
U
IV.3.3.4
v i e n e n d e f i n i d a s en el apéndice
dA =
zr
„2
8 ir
+
II .
[ 1/41.^1
IV. 3.3.5
-R.5+|J
G(1-v)/r
v i n i e n d o de nuevo I , I , l e I dadas en el apéndice
3
4
5 6
t
U
rz
dA
„
> r
8 *G ( 1 - v) sjR
n
0
[-
. -1/4 U - *
L
3
4
R
'c +
5
6
1
IV.3.3.6
P o r ú l t i m o la i n t e g r a l de U queda en la f o r m a
zz
U
zz
IV.3.3.7
dA =
PITG
(1-
2
1
Z
2
Con e l l o queda totalmente d e t e r m i n a d o el c á l c u l o de la m a t r i z A .
IV.3
- I n t e g r a c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s a la m a t r i z B -
T a m b i é n hay que r e a l i z a r la i n t e g r a c i ó n en el c o n t o r n o , p e r o como se d i j o
a n t e r i o r m e n t e , el t e n s o r T
ik
no está e n s a m b l a d o , p o r lo que c a l c u l a r e m o s l a s i n t e -
g r a l e s de los e l e m e n t o s que lo c o m p o n e n , es d e c i r de l a s d e r i v a d a s de U
ik
, y a con-
t i n u a c i ó n el c á l c u l o de T . ^ se r e d u c i r í a a s u m a r l a s c o n v e n i e n t e m e n t e según l a s ex
presiones
-
-
I V . 2 . 1 .9 y I V . 2 . 1 .10.
U
t
rr
r
ds
S/2
u
= 2 7T
-S/2
+ (6-8v + t
donde I ^ e I
2
ds =
)
I
[-1--JJL
8TTG O - V J ^ R "
Pr
2
IV.3.3.8
]
v i e n e n dadas en el a p é n d i c e
U
R Z
r
dLAA =
Z
[
1/4 l 3 + R l 4 + ¿ 15 " ' 6 ]
íI t
/(t 2
r
z
I V.3,3.(
8ttG ( l - v ) ^ R *
-.A
dA
3 r
-t
1
8 TTG ( 1 - V ) / R ~
+ [ ( 3 - 4 v) + ( 3 - 2 v) t 2 - t 4 ]
z
z
3
"4
I
2
v
x) . l
2
+ t r,R (/ t
6
r
z
r
+1/41,1
1J
3
"4
2
* x) , I , +
' "4
I V.3.3.10
IV.3
aU
-t
rr
dA =
a z
r
8 TTG(1- V) \¡R
3U
zr
dA =
a r
8 ttG (1-V)
^R
[ (3•+ 2 t 2 - 4 v )
L
r
r 2 „ ,
2
[ t .R. .l ., - t .
| _ +.
._
z
4
r
6
(3 + t
( 4 t - 1) t
z
r
a U
zr
a z
1
dA =
8 ttG
2
I
[
(1 - v) ^ R
(i_2t
1
2
1
6J
IV.3.3.11
t R
r
4
,
I
7
+
2)
z
I
)t
Z
5
I
r
-3/8
I ]
3J
+i(1 +t2)
6
Z
IV.3.3.12
1+1/4
2
I ]
11
IV.3.3.13
3 U
a
rz
r
dA
(1-V)/R~
8uG
t
r
R
.
4
a ü
3
rz
Z
8TTG
(3 + t
+
2
z
)
- t2 I
r 6
iI _ + 3 / 8
+ ( t 2 - 3/4) t i
z
r 2
I
-
IV.3.3.14
]
4
I
A
dA =
[ R t2 I
L z 4
[ t (1 - 2 t 2 )
L r
z 6
+t2) I
z 2
- 1/4 I
]
1J
IV. 3 . 3 . 1 5
3 U
zz
3 r
dA =
t
8ttG ( 1 - v) JR
. (I _ + R I ) + 1/4 I
fi
3 U
ZZ
3 Z
^A
dA
t
Z
4
[• 2 t
r
/R
z
(t
1
2
z
- 2v) |
2
- t ¡2 (3 - 4 v + 2 t )
2
r
z
IV.3.3.16
1 J
- (3 - 4 v ) ]
8 ttG (1-V)
2
.I
6
IV.3.3.17
C a l c u l a n d o sucesivamente las i n t e g r a l e s de estas d e r i v a d a s en sus p a r t e s
-
a n a l í t i c a s y n u m é r i c a y luego combinándolas en la f o r m a que se i n d i c a se pueden cono
c e r los elementos c o r r e s p o n d i e n t e s a la m a t r i z B que e r a p r e c i s a r r e n t e lo b u s c a d o .
- Integrales correspondientes a P -
O b s e r v a i c b detenidamente las e x p r e s i o n e s de los t é r m i n o s del v e c t o r P d e f i m
do en I V . 2 . 5 y teniendo en cuenta que en un elemento r e c t i l í n e o las componentes de=
la normal son c o n s t a n t e s , se deduce que s o l o es n e c e s a r i o c a l c u l a r las i n t e g r a l e s co
r r e s p o n d i e n t e s a X. , y sus p r i m e r a s d e r i v a d a s p a r a p o s t e r i o r m e n t e e n s a m b l a r l a s ik
en la f o r m a que i n d i c a la e c u a c i ó n a n t e r i o r y c a l c u l a r los t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s
del v e c t o r P . N a t u r a l m e n t e esto es p o s i b l e p o r q u e en elementos constantes n
K
y X
K
-
son c o n s t a n t e s en todo el elemento,) como se ha i n d i c a d o a n t e r i o r m e n t e . En caso con
t r a r i o no s e r í a p o s i b l e esta s i m p l i f i c a c i ó n .
En d e f i n i t i v a tendremos
*
S/2
X
r
r ¥
dA = 2
r
dA =
-S/2
-----_
o ir G
(2 I
1
- 1/R I
2
- 1/4R I
)
3
IV.3.3.18
donde las i n t e g r a l e s I , I , I y las s i g u i e n t e s e s t á n dadas en el a p é n d i c e
I
O
x
VR
dA = —
"--—
(-2 1 + 1 /4R
6itG
A
I ,)
1
IV.3.3.19
3
A s i m i s m o c o n las d e r i v a d a s p r i m e r a s tenemos,
3X
r
-
dA =
f
L
3 r
3 t
-
2 '
I , + i-A . + 4 R I + 2 I ¿ l o
4 . 5
6
5 J
IV.3.3.20
3 X
Z
3
aX
A A
dA
= —
- t
dA =
3 z
3 X'
A
z
3 z
1
4 ti G
r
r
-
/ r
z
ttgJR
ia
dA
-t
[ -R/2
L
[*
L - 2 R K + i l 0 lJ
8
6
9
4
7 1
J
IV.3.3.21
IV.3.3.22
z
8 tt g / r "
IV.3.3.23
P o r ú l t i m o , en lo que se r e f i e r e al c á l c u l o de las m a t r i c e s que a p a r e c e n en la e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e a t e n s i o n e s en puntos i n t e r n o s , d i r e m o s que no p r e s e n tan ninguna d i f i c u l t a d n u m é r i c a , ya que al i n t e g r a r desde un punto que no pertenece=
al c o n t o r n o los n ú c l e o s de las i n t e g r a l e s no son s i n g u l a r e s , pudiéndose c a l c u l a r e s tas i n t e g r a l e s mediante un p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a , como el i n d i c a d o p a r a el c a s o de c o n t o r n o en que el nodo no p e r t e n e z c a al elemento s o b r e el que se i n t e g r a
E s n e c e s a r i o también h a c e r una s a l v e d a d en cuanto al c á l c u l o de los t é r m i
-
.nos de la diagonal p r i n c i p a l . E f e c t i v a m e n t e , así como en el caso t r i d i m e n s i o n a l e r a =
p o s i b l e e r a el c a l c u l a r l o s como suma cambiada de s i g n o del r e s t o de los elementos c o r r e s p o n d i e n t e s que se e n c u e n t r a n en una misma f i l a , s i n más que c o n s i d e r a r el
-
p r o b l e m a s i m p l e de movimiento como s ó l i d o r í g i d o s i n f u e r z a s de v o l u m e n . E n este c a s o , esto no es p o s i b l e en ambas d i r e c c i o n e s , ya que un m o v i m i e n t o como s ó l i d o r í gido en la d i r e c c i ó n r no tiene s e n t i d o , pues s i g n i f i c a aumento d e f r a d i o s i n d e f o r m a c i ó n , lo que es i m p o s i b l e .
E s pues n e c e s a r i o en esta d i r e c c i ó n el u t i l i z a r la e x p r e s i ó n usual p a r a los t é r m i n o s de la diagonal p r i n c i p a l , m i e n t r a s que p a r a la d i r e c c i ó n z puede c o n s i d e r a r
i
se el movimiento como s ó l i d o r í g i d o .
I V . 3 . 4 . - A P L I C A C I O N DE L A S C O N D I C I O N E S DE C O N T O R N O Y R E S O L U C I O N
DEL S I S T E M A DE E C U A C I O N E S
A l igual que en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l , la a p l i c a c i ó n de las c o n d i c i o n e s de
c o n t o r n o p e r m i t e p o n e r la e c u a c i ó n en el c o n t o r n o en la f o r m a
Aa
ik
u"
i
n
= B ?
ik
n
tn
i
+ F«
k
IV.3.4.1
n
o en f o r m a m a t r i c i a l
A u = B t + P
IV.3.4.2
y una vez a p l i c a d a s las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o q u e d a r á un s i s t e m a l i n e a l de ecua c i o n e s en la f o r m a
K
x=
F
IV.3.4.3
T r e s t i p o s de c o n d i c i o n e s pueden p r e s e n t a r s e en la p r á c t i c a
- T i p o 1 . - C o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en m o v i m i e n t o s
K?,
ik
n
x.
n
= B «
ik
n
n
= t.
N
a
F.
k
a
= A.
tu
n
n
u.
i
-
<*
P.
k
n=1
n
1
T i p o 2 . - C o n d i c i o n e s en t e n s i o n e s
a
a
ik
x.
ik
n
n
i
r
=
u
i
a
f
K
n
a
= B
N
n
ik
l
n
¡
*
n=l
+
_ a
p
k
n
- Tipo 3 . - Condiciones mixtas
Pueden e x i s t i r dos casos a su vez
n
- Datos v
, o
n
a
K¡_1
k
-1
n
=
~
=
B
a
K
¡ k-i
n
n
=
u
=T
n
n
a
i-1 k
o 01
= B. ,
i k
n
n
x.
i
¡ k-i
A
= - A
a
- U
i k
n
V i
a
i - 1 k-1
a
a
ix
K1 .
i-l k
n
K
A
n
n
n
N
a
F.
k-1
. a
= - A.
i k-1
_ a
F
k
a
= - A.
i k
_
n
- Datos u ,
K
n
'
a
Z
P
n=1
N
n
+
n
Z
P
n=1
a
k-1
n
a
k
n
a
i-1 k-1
i k-1
n
a
n
n
a
¡-i k
=
n
a
B
¡-i k
4
n
ct
i k
n
n
n
n
X¡-1
n
x.
i
,F
+
a
i k-1
i k
„ a
+ B
i-1 k
a
n
n
a
K
n
n
T
n
a
+ B. „ . ,
i-1 k-1
n
v
= B
a
1-1 k - 1
v
n
=
T
= u
n
• a
= - A
k-1
i-1 k
a
r- a
F k
Aa
A
- - ¡-1 k
u
n
n
n
u
n
a
+ B. , ,
i k-1
+
a
B ¡ k
T
N
n
+
n
Z
,
n=1
^ a
P. ,
k-1
n
N
n
*
n
+
I
n=1
p •
k
n
Con e l l o quedan p r o p u e s t a s todas las p o s i b i l i d a d e s de c o n d i c i o n e s de c o n t o r -
EL C A S O A X I S I M E T R I C O
IV.3
no en el c a s o a x i s i m é t r i c o .
E n cuanto a la r e s o l u c i ó n del sistema de e c u a c i o n e s , debido a la magnitud - del p r o g r a m a se ha d e c i d i d o r e a l i z a r l a mediante la u t i l i z a c i ó n de un método s t a n d a r d
de e l i m i n a c i ó n de Gauss que p r o p o r c i o n a muy buenos r e s u l t a d o s , s i n ningún p r o b l e m a
adicional.
I V . 4 . - E X T E N S I O N DEL C A S O P L A S T I C O
Se va a d e s a r r o l l a r a c o n t i n u a c i ó n y en f o r m a t o t a l m e n t e p a r a l e l a al c a s o
-
e l á s t i c o la f o r m u l a c i ó n y a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a a p l a s t i c i d a d a x i s i m é t r i c a , s i bien=
no se r e a l i z a r á un d e s a r r o l l o e x h a u s t i v o de la f o r m u l a c i ó n g e n e r a l en p l a s t i c i d a d ,
-
quedando éste como una p o s i b l e e x t e n s i ó n f u t u r a .
L a e c u a c i ó n de p a r t i d a p a r a el c á l c u l o de m o v i m i e n t o s en puntos i n t e r n o s en=
p l a s t i c i d a d es i d é n t i c a a la de S o m i g l i a n a , p e r o c o n un t é r m i n o a d i c i o n a l , c o r r e s p o n
diente a las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s , pudiendo e x p r e s a r s e (vease T e l l e s [ 122] ) c o mo
6, . ú. (x)
ki
i
Ófi
U., ( x , y)
ik
T . , ( x , y) ú. (y) ds
ik
i
y
U., ( x , y) t". (y) ds
ik
i
y
=
X. (y) d
i
4fi
+
5 fi
y
+
2 ¡ j k
( x , y)
¿R
(y)dfiy
IV.4.1
fi
donde los puntos s o b r e los d i s t i n t o s v e c t o r e s s i g n i f i c a n i n c r e m e n t o d i f e r e n c i a l , ya que se s i g u e , como es usual en los c a s o s no l i n e a l e s , un p l a n t e a m i e n t o i n c r e m e n t a l ,
y el t e n s o r
z
, > t i e n e como s i g n i f i c a d o f í s i c o el c o r r e s p o n d i e n t e a los t é r m i n o s
¡jk
del t e n s o r de t e n s i o n e s a
que a p a r e c e en un punto y del d o m i n i o , cuando en o t r o ij
punto x se a p l i c a una c a r g a u n i d a d en la d i r e c c i ó n k .
La e x p r e s i ó n de este t e n s o r c o r r e s p o n d e exactamente al p r e s e n t a d o en I V . 2 .
1 .2
en el c a s o e l á s t i c o .
•
La e x p r e s i ó n de la d e r i v a d a de los m o v i m i e n t o s r e s p e c t o a la c o o r d e n a d a m del punto s i n g u l a r , c o n el o b j e t o de c a l c u l a r las t e n s i o n e s en un punto i n t e r n o queda
r í a (vease
IV.2.2.1)
$ , .
ki
u.,ik ; m
u.;
i m
ds
t.
i
T
y
Z . ;
ijk m
-ü
ú
ds
i
U
£. .p d Í2 - X. (x) lim
ij
y
i
n
e—^O
fi
"W
y
+
U , ; X dfi
+
ik m i
y
6n
6 Í2 i
J /V
;
ik m
SB
e . .P (x) lim
'J
e— n
¡jkP,.m
6 B
e
p,
ik1? m
ds
y
-
(x)
e
IV.4.2
dSy
(x)
El v a l o r de la p r i m e r a i n t e g r a l extendida a <5 B " (x) es nulo como se demos e
t r o en I V . 2 . 2 . 2 , m i e n t r a s que si se o b s e r v a las e x p r e s i o n e s
Z
¡Jk
d e f i n i d a s en
-
I V . 2 . 1 . 9 se desprende que la segunda i n t e g r a l p r e s e n t a una s i n g u l a r i d a d del t i p o
-
f u e r t e , siendo n e c e s a r i o su c á l c u l o . P a r a e l l o se van a a p r o v e c h a r los r e s u l t a d o s
-
obtenidos en I V . 2 . 3 . 5 que c o r r e s p o n d e n a los l í m i t e s de cada uno de los t é r m i n o s
-
del t e n s o r
Z
,
¡jk
multiplicados por e .
Observando en la ecuación I V . 4 . 2 y dondonos cuenta que p ,
p,
H
'z
= cos 6 (vease F i g . I V . 2 . 3 . 2 ) , y que
Z
ee r
y
Z
eez
= sen 6 y
r
son O (In e) cuando ds
-
y
es O ( e ) se tiene
Z
É . .P (x)
IJ
5 B
ijr
(x)
p,
r
ds
- ( 1 - 4x>) ( É P
rr
y
8 (1-v)
+ *e P )
zz
- P
e
8(1-v)
rr
IV.4.3
Asimismo
-
- e
z..
IJZ
IJ
6 B
P,
R
ds
y
=
_3-4 v
IV.4.4
rz
4 (1-v)
(x)
e
donde se ha hecho uso de que las i n t e g r a l e s que m u l t i p l i c a n a é P
rr
les de f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s 0 y 2 t y p o r tanto son c e r o .
y *eP son i n t e g r a
zz
-
También
-
e
Z
|J
p,
ijr
ds
z
_3_-4 v
y
IV.4.5
rz
4~0~-"VT
6 B <x)
• e
Por último
- e
Z . . P,
ijz
z
U
6B
c
ds
( 1 - 4 v) ( é P +
rr
y
8 (1 -
ÉP )
zz
6 - 8 v
(x)
IV.4.6
El r e s t o de los t é r m i n o s es c e r o pues las i n t e g r a l e s en 6 B
como la de Z
QJó z
zz
8 (1 - v )
v)
son c e r o y p ,
£
(x) de E
66 P
así
es 0 t a m b i é n .
6
Los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s pueden d i s p o n e r s e en f o r m a más compacta como si_
gue,donde k y m v a r i a n s ó l o según r y z .
- e
|J
Z .. k
•J
Pn ,m
ds
y
8
(1-v)
[ (6 - 8 v) e, P
- (1 - 4 v)
.
k m
6 B (x)
e
II
6
km
IV.4.7
IV. 4
que es exactamente igual al c a s o de t e n s i ó n plana s a l v o que el c o e f i c i e n t e de P o i s s o n
no es el m o d i f i c a d o ( T e l l e s [122 ] )•
S i a h o r a a p l i c a m o s el o p e r a d o r e l á s t i c o C
e
en p o l a r e s a la e c u a c i ó n de moví
~~
mientos i n t e r n o s se v o l v e r á a o b t e n e r la e c u a c i ó n (27) del a p a r t a d o I I I .1 . 2 p e r o
-
con el t é r m i n o l i b r e de d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s m o d i f i c a d o . Se t e n d r á pues que en la e c u a c i ó n f i n a l c o r r e s p o n d i e n t e a las t e n s i o n e s a p a r e c e r á un t é r m i n o igual al de
-
t e n s i ó n p l a n a , quedando en la f o r m a
a
y
(x) =
ijk
k
S
y
5a
,
ijk
ú,
k
ds
y
+
D..,
ijk
X, d i )
k
y
+
6 fi
v ... •. •e p ad
£
.jkl
kl
y
y
-
G
4(1-v)
rL
p
92 •e..
^+ *Ó . . cU p U
'J
"
• p jnJ
e
9
fí
IV.4.8
donde los d i s t i n t o s t e n s o r e s t i e n e n e x p r e s i o n e s t o t a l m e n t e análogas al c a s o e l á s t i c o
v i n i e n d o d e f i n i d o s en I V . 2 . 2
E v i d e n t e m e n t e el paso al c o n t o r n o no i m p l i c a , en el caso p l á s t i c o , ningún cá_[
c u l o a d i c i o n a l al ya r e a l i z a d o en e l a s t i c i d a d , ya que las ú n i c a s i n t e g r a l e s que p r e
sentan p r o b l e m a s son las e x t e n d i d a s en la s u p e r f i c i e y ya se t r a t a r o n en
-
IV.2.3.
E n lo que se r e f i e r e a la a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a también c o n elementos c o n s t a n t e s , es n e c e s a r i o a h o r a la d i s c r e t i z a c i ó n del d o m i n i o en o r d e n a c a l c u l a r las i n t e «
g r a l e s de volumen en las que a p a r e c e n las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s . S e r á n e c e s a r i o pues el a ñ a d i r al segundo m i e m b r o de la e x p r e s i ó n I V . 3 . 2 . 3 un t é r m i n o a d i c i o n a l e n la f o r m a
é
Z
M
Z
m=1
2 Z
rrr
2 Z
rrz
m
Z
rzr
Z
rzz
s
ee n
zzr
rr
rz
(CDG)
(CDG)
> d fi
zzz
eP
eez
zz
£
(CDG)
m
(CDG)
IV.4.9
donde M es el número de elementos ( a n i l l o s de s e c c i ó n t r i a n g u l a r p o r ejemplo) en que
se d i s c r e t i z a el d o m i n i o p l á s t i c o , ya que el r e s t o del d o m i n i o no es n e c e s a r i o d i s c r e
t i z a r l o pues en él las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s son n u l a s . E v i d e n t e m e n t e si la aprox_i_
mación s o b r e los elementos se supone c o n s t a n t e , e x i s t i r á n M nodos también r e p r e
-
s e n t a t i v o s de los v a l o r e s de las d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s .
C a l c u l a n d o en e s t o s M nodos l o s v a l o r e s de las t e n s i o n e s , é s t a s q u e d a r á n en
la f o r m a
D
¿ r r (p)
o rz
N
(p)
>=
5
zz
ee
D
rzr
rrz
rzz
Z
n=1
a
D
rrr
t
r
(CDG)
> ds
n
(p)
D
(p
H
D
zzr
eer
D
D
zzz
ee z
t (CDG)
^ z
-
IV.4
rrr
rrz
r zr
rzz
' ú
r
(CDG)
n
rrz
rzr
rzz
) + 6 fi
6 fi
¿
zzz
zzr
ee r
v. z
(CDG)
k
r
(CDG)
e ez
L
ds
X
z
(CDG)
+
Z
6 fi
m
m=1
z
n
rr
e
rz
(CDG)
(CDG)
n
n
r
^
rzrr
z
2 e
G_
zzrr
eezz
p
rr
zz
n
'e P (CDG)
ee
n
2 z
J
eer
J
eoz
2
rrrz
rrzz
z
rzrz
2z
z
zzrz
2 ZL
as^z
rzzz
• P
II
e
. p
. p
- ( e .. -
2
c
P
ZZ
zzzz
z-
e©zz
2
rrge
z
rz^e
z
z
ZZGG
eee^
• P
)
ee
rz
4 (1-v)
(CDG)
2J
zzz
M
l
'*eP
rrrr
z
n
J
zzr
nj
Z
^
rrr
IV.4.10
- ( eM - e
II
ee
)
y e s c r i t a s en f o r m a m a t r i c i a l se o b t e n d r í a .
Í
B u
=
P
i
- S
= A_t
ú
+ P%
+ P + T
+ T'
IV.4.11
eP
donde D y S son m a t r i c e s de 4M x 2 N , T ' e s de 4M x 4M, B y A son m a t r i c e s de dimen
-
s i ó n 2N x 2 N , T lo es de 2N x 4M y el r e s t o son v e c t o r e s de d i m e n s i ó n 2N s a l v o el vec
t o r de d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s cuya d i m e n s i ó n es 4M.
El c á l c u l o de las m a t r i c e s a n t e r i o r e s p e r m i t i r á pues la r e s o l u c i ó n del p r o b l e ma. T o d a s e l l a s se han c a l c u l a d o i n i c i a l m e n t e s a l v o las m a t r i c e s T y T ' .
El c á l c u l o de estas m a t r i c e s exige el c á l c u l o de las i n t e g r a l e s de
2
ijk
y Z
ijkl
en el d o m i n i o .
El p r o c e d i m i e n t o que se s e g u i r á es en todo análogo al d e s a r r o l l o en e l a s t i c i dad. A s í p a r a el c a s o c o r r e s p o n d i e n t e a i n t e g r a c i ó n s o b r e elementos a los que no pe£
tenece el elemento se r e a l i z a r á una i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a de H a m m e r , en la f o r m a
Z ... do
• ijk-.m
• am
=
k
Z
-
w
i
Z
, ( x , y)
ijk
IV.4.12
i=1
P a r a el c á l c u l o de los elementos de la m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e a la i n t e g r a c i ó n
desde un nodo s o b r e un elemento al que p e r t e n e c e se s e g u i r á la t é c n i c a p r o p u e s t a en=
el caso e l á s t i c o , n a t u r a l m e n t e extendida al c a s o del d o m i n i o . P a r a e l l o según que"se=
i n t e g r e desde un punto del c o n t o r n o ( m a t r i z T ) ó del d o m i n i o ( m a t r i z T 1 ) se e s t a r á en=
una de las s i t u a c i o n e s p r e s e n t a d a s en las F i g s . I V . 4 . 1 y
IV.4.2.
E n el p r i m e r c a s o se r e a l i z a r á la i n t e g r a l de todo el elemento como suma de
-
las i n t e g r a l e s s o b r e dos t r i á n g u l o s uno de c u y o s v é r t i c e s es el nodo s i n g u l a r . La si t u a c i ó n es t o t a l m e n t e análoga en el segundo c a s o , s a l v o que a h o r a se d i v i d e el elemen
to en t r e s s u b t r i á n g u l o s .
En e l l o s se p l a n t e a r á también un p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n m i x t a s i m i l a r al d e s a r r o l l a d o en el caso e l á s t i c o , i n t e g r á n d o s e a n a l í t i c a m e n t e s o b r e una zona de dominio
-
c e r c a n a al punto s i n g u l a r y que suponemos un t r i á n g u l o semejante al total (zona r a y a da en l a s f i g u r a s ) y n u m é r i c a m e n t e s o b r e el r e s t o con un p r o c e d i m i e n t o de c u a d r a t u r a
de Gauss p o r e j e m p l o .
E n cuanto al p r o c e s o a n a l í t i c o , y debido a la d i f i c u l t a d de r e a l i z a c i ó n de es
-
tas i n t e g r a l e s , se a p r o v e c h a r á el hecho de que la s i n g u l a r i d a d d s p e n d e sólo de la d i s t a n c i a s-, r e a l i z a n d o una i n t e g r a c i ó n s e m i a n a l í t i c a ; a n a l í t i c a en cuanto a la d i s t a n c i a
s se r e f i e r e y n u m é r i c a en cuanto al ángulo
e . A s í si se o b s e r v a la F i g .
I V . 4 . 3 se -
tendrá
Fig.
IV.4.3
S (6)
2
f
dv
= 2 TT
sr
V
f
IV.4.13
d e .I
= 2*
V
]
0
V
f dv
s f ds
dv = 2 ti d e [ l i m
e
S (Ét)
I = lim
E—0
IV.4.14
s r f ds
El c á l c u l o pues de la i n t e g r a l I es el que hay que a b o r d a r p a r a cada uno de los
c a s o s que se p r e s e n t a n . Realmente las f u n c i o n e s f que se van a i n t e g r a r c o r r e s p o n d e n
e x c l u s i v a m e n t e a las d e r i v a d a s p r i m e r a s y segundas de los m o v i m i e n t o s que son l a s
que a p a r e c e n en los t e n s o r e s
2
. y
ijk
2
. ,. Así,
ijkl
-
t
- Matriz
T
P ^ r a el c á l c u l o de esta m a t r i z es n e c e s a r i o el c á l c u l o de las d e r i v a d a s p r i m e r a s , p e r o e x t e n d i d a s al d o m i n i o , donde
dv = 2*rr s d e d s .
S i r e a l i z a m o s e x c l u s i v a m e n t e a n a l í t i c a m e n t e la p a r t e c o r r e s p o n d i e n t e a s nos =
damos cuenta que esta i n t e g r a l r e s p e c t o a s es la misma i n t e g r a l que p a r a el c á l c u l o de la m a t r i z A p e r o m u l t i p l i c a d a s p o r s . P o r lo tanto las i n t e g r a l e s r e s u l t a n t e s s e r á n
las mismas que p a r a el c a s o de A p e r o p o r s , y además e x t e n d i d a s e n t r e e y S , y lúe
go c a l c u l a n d o el lim
.
Fig.
U
—r-r
r
iV
dv
IV.4.4
e
-1
8 TTG (1 - v) R
e
[
3 - 4 v
1
+ (6 - 8v + t
z
) I
2
]
de
IV.4.15
donde I
I
e I están dadas en el apéndice I I .
M
3U
zr
1
dv
3 r
V
8ir G ( 1 - v ) , / R
(4 t
3U
zr
r
R I
4
- t
1
9 .
¿
I +
r
6
r
R
t
1 - 3 / 8
D
8ttG ( 1 - v )
rz
1 1
o
de
IV.4.16
!
]
FT
IV.4.1?
de
e
8 ir G (1-v)\/R~
tR
,.
r
1
t
z
[ R~t 2
2 z
I
- t2 I
r 6
4
+ ( t 2 - 3/4) t
z
t
3 +
2
+
4
U
[ ( 1 - 2 t 2 ) t I + i (1 + t 2 ) I +
z
r 6
z
2
dv
3r
V
z
3 +
r
dv
+ 1/4
3 U
-1)t
z
[ t
r fi
3z
V
t
4
1 + 3 / 8
D
i
]
o
l0 r 2
IV.4.18
de
e.
rz
dv
-T
t [
8 TTG ( 1 - V ) ^ R ~
V
6
z
1/4
i + R t i + t /2 l_ - t l _] de
3
z
4
z
5
z
6
.IV.4.19
3 U
V
3r
, 2
6
rr
de
dv
. 2
(t
t
3-4 v »
„ , 2
) I + t R (t
6
r
Z
2
8 TTG ( l - v ) ^ R
+ [ ( 3 - 4 v ) + (3 - 2 v )
t
2
z
- t
4
z
] 1
3
3-4
v
.
).
y.
IV.4.20
IV.4
3 U
rr
-_1
dv
3 z
V
t
8 TTG ( 1 - v)
3U
[t
8 7r G (1 — v )
V 3 z
- 1/4
l
]
z
(3 + 2t
r
- 4 v) |
6
d 6
IV.4.21
1
1
dv
rz
R
6
R
r
(1-2t2)
z
I
6
-¿(1
+
t
)
z
2
de
I
2
-
IV.4.22
3 U
-V
dv =
3 r
i
8 TTG ( 1 - V )
[ t2
z
R
. ( I _ - R. I . ) + 1 / 4
6
4
3U
V
zz
3 z
1 ]
1
8 ir G (1 - v )
2
z
- 2 v) |
2
- t / 2 (3-4v + 2t2)
r
z
t [ 2 t - (3-4v) ] I
R
z
1
.
IV.4k23
de
1
dv
(t
r
6
de
IV.4.24
Con e l l o queda f i n a l i z a d o la i n t e g r a c i ó n p a r a T , s i e m p r e que se r e a l i c e p a r a los dos t r i á n g u l o s P B ' C'
y P A'C1.
- Matriz T1
E s n e c e s a r i o además el c á l c u l o de las i n t e g r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s a las d e r i vadas segundas de los m o v i m i e n t o s .
•
S i g u i e n d o un p r o c e s o totalmente análogo al a n t e r i o r h a c i e n d o las mismas sim p l i f i c a c i o n e s se puede o b t e n e r (vease apéndice
II).
32U
rr
de
dV
9 r3R
i V
[1/2R
[ (11 - 4 v) t
8 tt G ( 1 - v)\¡R~
- (21/2 - 8 v ) t 2 - l ]
z
+ (2t
- 1) t 2 ]
z
2
2
r
[ 4 U
+
l
1 +
1
2
I
- 4 t
z
-
1 / 2 R [ ( 3 - 4 v) t 2 - 2 t 4 +
z
z
+ R/2 [ (3-4v) t 2 - 2 t4
z
- (3-4v)]t
z
+(2t2-1)t2 3 I +
z
r
z
3
IV.4.25
, ]
8R
Las i n t e g r a l e s a n t e r i o r e s están dadas en el apéndice 5 , O b s e r v a n d o éstas
se
£
deduce que en l ^ » l ^
a p a r e c e el mismo t é r m i n o ln — q u e
e
tiende a i n f i n i t o ,
-
cuando & t i e n d e a c e r o , p e r o si se suman las c o n t r i b u c i o n e s de las t r e s i n t e g r a l e s y se i n t e g r a e n t r e O y 2TT se tiene p a r a el l n E
2n
\¡Rv
i
[ (3 - 4 v ) t 2
z
+ (2 t 2 - 1) t 2
]
- 2 t 4 + (2 t 2 - 1) t 2 ] + i [
z
r
z
+ [4 t 2
- (3 - 4 v ) ] t 2
(3 - 4 V ) t
d e ln
2
z
- 2 t
4
z
+
—
4R
21T
=
R
ln
4R
[(3-4 v)
1
( t 2 - t 2 ) + 2 t 2 ( t 2 - t2) + ( 4 t 2 -1) t 2 ] d e = 0
z
r
z
r
z
r
z
I V ."4.26
Lo rrismo o c u r r e en el r e s t o de las ¡ n t e g r a l e s p o s t e r i o r e s , p o r lo q u e n o e s
-
p V o b l o r a e l ¡ m i n a r los t é r m i n o s en ln e que a p a r e c e n en la f o r m u l a c i ó n de las i n t e g r a les.
2
3 U
rr
dV
d 9 [t
3r3Z
V
8 TT G ( 1 - v ) \ f R
+ —-2
[
(12
r
t
(4t
z
- 5 + 4 v) ] ( l , + R I , ) +
4
3
z
- 15) + (20 - 8 v ) t 2 - 8 t 4
z
z
]
I
IV.4.27
6
2
a Uz r
de 1/2R (8t - 4t - 1) I +
3z3R
V
8 TT G (1 - v ) ^ R ~
+ i (8t
- 12t
zr
t
8TT
z
-1)1
2
+
(-16t
G (1-v) /R~
[ - 2 (4t
z
+
4R
1 / 4 R ( 2 t 4 - 4 t 2 - 1) I - 1 / 8 R
z
z
1
dV
3 z 3Z
z
6
+ 3)1 , + t / 4 ( 2 t
4
r
+ 14t 2 - 1) I , ~ +
z
10
a2U
2
4
dV
2
z
- 3) t
I
] I
r
4
IV.4.28
5
+ i (2t
2
z
- 3) . _
V
. i
3U
—-—
V
3 R
3U
( — H +
3 z
( - 5 + 4v + 6t
IV.4.29
de
6
—-z-r-)
dV
3 r
2
) I„ + t t
z 2 r z
2
1
8irG(1-v)
( - 7 + 4 v + 8t
[ (33 - 2 4 v ) + (16v - 49) t 4 + 16 t 4
z
z
] I
R
t
e.
z
t
r
R
2
3
) I , + 2t t R I _ +
z
4
r z
3
n
10
+ —-^
(6t
2
z
- 1) I
4R
6
-
t
3
r
R
t
' 12
+
t
r
z
4
(8t
2
7
+ 1 ) 1 + ----8R
4R
3t
3t
- 4 t
t
t
16 R
15
'
2
3t
_2
R
4
1 6
l
o
+ 6t - 3) l
+
z
z
11
t
I. _ +
4R2
(-2t
' 15
^
I
2
16 R
+
16
i
IV.4.30
3U
J - ( _ £ r
3 Z
V
+
3 U
_ i T )
3 z
«6
+
j [(13-8 v ) -
3r
8
- ( 4 4 - 1 6 v) t 2 + 2 4 t 4
z
z
- i ]
dV
t R
r
]
I
4
TTG
(1 - v ) \ J r
Je
+ R/2 [ 8 t 4 - 4 t 2 - 1 ]
z
z
[ 2t2 - 1 ] I
0
12
+ i [ -t
+ 3t
4
2
I
+ —-.
4
3
+ 9/2 ]
[16t
z
1 + 3 / 8
14
4
-l0t2z
I _ ]
18
IV.4.31
a2U
J
v
3
rz
RSR
dV
t
8
TTG
3
+ 2t •
z
t
[
2 t
z
I
R U + 2t t (2t
r
3
z r z
z
2
z
)
I
-1)1,+
4
10
+ - - r
t
r
'2
R
t3R
(3 - 7t
+
3
16R
( 1 - V ) / R *
t
._
4R
z
3 t
r
2
V
(8t
4R
4
- 4t
z z
2
•
- 5) I +
1
5t
I
12
4
+ —
Z
4
- ( 2 t
2
z
- 1 ) l
+
6
-
5t t
z
2t
r
4
z
14
- 22t
2
z
'„ 1
- 3
8 R
IV.4.32
2
a urz
-- dV =
3r
V
4
1
3Z
8tt G (1 - v ) \ J R
- (4t4 - 2t2 - i) R
z
z
+
t
V
I
r
e
- t
d e
8 TTG ( 1 -
+ t
t
0\/R
9
( - 1 + 4 v - 4t
2
Z
"
8 t
r
( 4 t 4 - 7 / 2 t 2 + 1/4) I +
z
z
6
2
1
«10
I
IV.4.33
Q
18
2
dV
3 z aR
[
—---__
( - 1 + 4 v - 4t ) I +
z
2
i
) I, +
4
'z
[
(3 - 12 v) + 8 ( 1 + v ) t
2
2R
IV.4.34
]
2
3 U
3
R (1 / 4 - i t 2 ) I
- (2t 4 + 4t 2 ) I
- 3/8
z
12
z
z
14
r
2
3 U ZZ
2
d e (4t - 6t + 3/2) I ,
z
z
4
,62
zz
3 z 3Z
dV
de
8irG(1-v)^R
[ (1 - 4 v ) + (4 + 8v ) t
2
z
- 8t
4
z
]
I
4
.
IV.4.35
3 U
3 U
de
d V
3 R
V
3z
- (14 + 8 v) t
+
8 ir G ( 1 - v ) yjR
3 r
a
[ -2t
4
+ (3 + 16 v) t
+3]
Z
1+
(24t
[ 8t6
-
4R
t
-—
4R
+ 1 ] 1+
- 1 -
[ -16t
4
Z
- (4 + 8v ) t
+ 6t
2
+ 3]
I +
Z
+4)1+1/4
[32t
I + R/4 [ 8 t 4 - 8 v t 2 + 2 ] I z
z
4R
-
4R
Z
- (28 + 16v ) t 2
z
- (6 + 16v)¿]
-
IV.4.36
3U
„9__
(____r.z
3 Z
32
V
.
t
r
t
z
I
4
3U
8 nG ( 1 - v ) \ [ R
3 r
+
d e [-3+4 -12t
dV
+
[1+4
- 4t2]
z
t
z
t
r
I
3
+
] .
e
J 1
[ (2 + 6 ) - (7 + 4 ) t 2 + 4 t 4 ]
z
z
I
6
IV.4.37
V.-
RESULTADOS
V.1
CUBO SOMETIDO A T R A C C I O N
E n este e j e m p l o se p r e t e n d e a n a l i z a r un cubo de a r i s t a 6 c m , sometido a c a r
2
ga u n i f o r m e de t r a c c i ó n s o b r e sus dos c a r a s opuestas de v a l o r 1000 k g / c m
. Natu
r a í m e n t e , e s t o s v a l o r e s - s o n totalmente in-eales, p a r a un p r o b l e m a e l á s t i c o , p e r o tie_
Se va a c o n s i d e r a r un m a t e r i a l que t i e n e de modulo de e l a s t i c i d a d E = 2 , 5
Kg/cm
2
y de c o e f i c i e n t e de P o i s s o n
v
-
= 0,25.
«
D e b i d o a la s i m e t r í a r e s p e c t o a los p l a n o s
x y , x z , y z , se sabe que los d e s -
p l a z a m i e n t o s de puntos de e s t o s planos r e s p e c t o a las d i r e c c i o n e s p e r p e n d i c u l a r e s a
los mismos son nulos p o r lo que se puede f á c i l m e n t e i n t r o d u c i r estos datos como cotí
d i c i o n e s de c o n t o r n o de un octante de c u b o , e l i m i n a n d o así la p o s i b i l i d a d de movi > miento como s ó l i d o r í g i d o del d o m i n i o .
El p r o b l e m a se va a a b o r d a r con elementos de d i s c r e t i z a c i ó n r e c t a n g u l a r e s y
t r i a n g u l a r e s . La d i s c r e t i z a c i ó n y c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o p a r a ambos c a s o s , a p a r e cen r e p r e s e n t a d a s en las F i g s . V . 1 . 3 y V . 1 . 4 r e s p e c t i v a m e n t e .
- 310 b i s -
2
3
F i g . V . l .4
En cuanto a t e n s i o n e s , r e f i r i é n d o n o s de nuevo al caso de d i s c r e t i z a c i ó n en r e c t á n g u l o s , la s o l u c i ó n t e & r i c a c o r r e s p o n d e a la s i g u i e n t e :
ELEMENTO 1
a
ELEMENTO 2
T
ELEMENTO 3
ELEMENTO 4
=1000
X
= 0
xy
o
X
T xy = °
-yz"0
"y"0
= - 1000
V
* xz = °
L
xz
=
0
•y"0
o
ELEMENTO 5
T
yz
ELEMENTO 6
T
yz
1
=
0
= 0
Las dos s o l u c i o n e s obtenidas con el p r o g r a m a P E C E T p a r a las d i s c r e t i z a c i o n e s ante_
n ó r m e n t e d e f i n i d a s , se van a c o m p a r a r también con las obtenidas con el p r o g r a m a MASCA (ver ref
[lOO] y [ l O l ]
).
Este
programa
de elementos de c o n t o r n o u t i l i z a =
t r á n g u l o s p l a n o s c o n e v o l u c i ó n c o n s t a n t e de t e n s i o n e s y m o v i m i e n t o s s o b r e e l l o s .
-
El p r o g r a m a t r a b a j a e x c l u s i v a m e n t e en ememoria p r i n c i p a l p o r lo que el campo de
-
a p l i c a c i ó n r e s u l t a bastante l i m i t a d o .
La d i s c r e t i z a c i ó n u t i l i z a d a p a r a este p r o g r a m a ha sido la s i g u i e n t e .
Fig.
V.1.5
E n las c o n d i c i o n e s de c a r g a e s p e c i f i c a d a s , la s o l u c i ó n es la c o r r e s p o n d i e n t e
a una b a r r a sometida a e s f u e r z o a x i l , es d e c i r :
e
x
o
_
£
e
'
y
_ e
z
=—_
v
e
x
Los m o v i m i e n t o s p o r t a n t o s e r á n :
u =
e
x
x
v =
e
y
y
w =
e
z
z
ya que los c o n d i c i o n a n t e s de c o n t o r n o son u = 0 p a r a x = 0; v = 0 p a r a y = 0; w = 0 pa
r a z = 0 . P o r e l l o la t a b l a de m o v i m i e n t o s c o m p l e t a , r e f e r i d a a la d i s c r e t i z a c i ó n con
r e c t á n g u l o s es:
NODO
u
V
w
1
1.200
0
0
?
1 .200
- 100
0
3
1.200
- 300
0
4
1.200
- 300
5
1 .200
- 300
- 300
6
1 .200
- 150
- 300
7
1.200
0
- 300
8
1.200
0
- 150
.
- 100
0
9
600
- 300
110
600
- 300
11
600
0
12
600
0
13
0
- 300
14
0
- 300
- 150
15
0
- 300
- 300
16
0
- 150
- 300
- 300
- 30 0
0
0
MODO
17
18
19
u
V
0
0
- 3C0
0
0
- 150
n
0
20
w
0
0
- 150
0
Los r e s u l t a d o s c o m p a r a t i v o s obtenidos son:
SOLUCION
PECET. RECT.
PECET . T R I A N .
EXACTA
Nod/Ele
Nodo
VAR
1200.
u
V
-
180.
aw
X
- 1000.
1
1200.
7
-
150.
8
17/3
-
1000.
-.02162
2
a
.y
0
12/4
CT
0
3/5
Z
Valor
.26
18/7
15/1*
9 / 9i
MASCA
Valor
Ele.
Vabr
1221 .
17
1226.
22
-998.
-
126.5
-
963.
52.98
56.
2
r
-
20.
-
10.
Puede o b s e r v a r s e , como c o n c l u s i ó n que hecha la i n t e r p o l a c i ó n p a r a b ó l i c a , t a n to usando c u a d r i l á t e r o s como t r i á n g u l o s , r e a l i z a d a p o r el grama P E C E T da muchos m e j o r e s r e s u l t a d o s que ia a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e r e a l i z a d a en el p r o g r a m a M A S C A , como e r a de e s p e r a r . Hay que r e c o r d a r que en este s e n c i l l o ejempio el campo de M o v i m i e n t o es l i n e a l y p o r tanto la a p r o x i m a c i ó n p a r a b ó l i c a lo r e p r e s e n t a exactamente,
p o r e l l o , un s o l o elemento p o r c a r a ha s i d o s u f i e n t e
para obtener excelentes r e s u l -
tados.
Fuede p o r o t r o lado o b s e r v a r s e que la r e s o l u c i ó n , d e n t r o de la a p r o x i m a c i ó n =
p a r a b ó l i c a , obtenida con los r e c t á n g u l o s es s u p e r i o r a la de los t r i á n g u l o s lo que de
be i m p l i c a r s e al - c a í c u l o , en el p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n , de datos como r e c t á n g u l o s =
d e g e n e r a d o s , lo que p r o d u c e c i e r t a d i s t o r s i ó n en los r e s u l t a d o s , siendo n e c e s a r i o un r e f i n o s u p e r i o r en la malla p a r a c o n s e g u i r la misma p r e c i s i ó n .
V . 2 . - CILINDRO SOMETIDO A PRESION
INTERNA
Se va a a n a l i z a r un c i l i n d r o de p a r e d g r u e s a , sometido a p r e s i ó n i n t e r n a de v a 2
l o r 1000 K g / c m
. Las d i m e n s i o n e s del c i l i n d r o son: r a d i o e x t e r i o r 110 cm y r a d i o in -
t e r i o r 30 c m .
E l a n á l i s i s se va a r e a l i z a r en p r i m e r l u g a r c o n s i d e r á n d o l o como un ejemplo
-
t r i d i m e n s i o n a l al que a p l i c a r e m o s e! p r o g r a m a P E C E T . E n segundo l u g a r se h a r á el a n á l i s i s como un c a s o a x i s i m é t r i c o mediante el p r o g r a m a A X I E .
La s o l u c i ó n t e ó r i c a a este c a s o de e l a s t i c i d a d p l a n o , puede o b t e n e r s e , p o r ejem
p í o , en r e f .
(52), P á g . 297 como:
1-2v
u
a
r
E
=
2
P a
,2
2
o - a
P a
° t = —
siendo
2
J —
b —a
2
p a
~2
2
b - a
h2
b
2
r
(1
L2
(*
0
+
,
1 + v
r
E
)
b
x
" F
r
»
a = r a d i o i n t e r i o r del c i l i n d r o ,
r a d i o e x t e r i o r del c i l i n d r o .
a
2
r
b
2
p
~~2
2
b - a
V . 2 . 1 . - A N A L I S I S COMO D O M I N I O
TRIDIMENSIONAL
P o r c o n s i d e r a r s e un c i l i n d r o i n d e f i n i d o , c o r r e s p o n d e a un caso de d e f o r m a c i ó n
p l a n a , p o r lo que no e x i s t e d e s p l a z a m i e n t o según el eje z . E s t a s i t u a c i ó n se simula me
d i a n t e la i n t r o d u c c i ó n de esta c o n d i c i ó n de c o n t o r n o en los elementos p e r p e n d i c u l a r e s =
a la d i r e c c i ó n del eje del c i l i n d r o . La F i g . V . 2 . 1 .1 m u e s t r a el t i p o de c i l i n d r o c o n s i derado.
220
Fig.
V.2.1.1
D e b i d o a la s i m e t r í a r e s p e c t o a los p l a n o s xz e y z , los d e s p l a z a m i e n t o s p e r p e n d i c u l a r e s a e s t o s planos en los puntos que p e r t e n e z c a n a e l l o s deben s e r n u l o s , p o r lo
que i n t r o d u c i e n d o también esas c o n d i c i o n e s en m o v i m i e n t o s , ei p r o b l e m a r e a l que r e
solvemos en el p r o g r m a es el que se i n d i c a en la F i g .
V.2.1.2.
-
La d i s c r e t i z a c i ó n de nodos y elementos usada es la s i g u i e n t e . F i g .
15
>8
LO
17 16
O
18
©
15
14
13
11
Fig.
V.2.1.3
V.2.1.3
Los m o v i m i e n t o s r a d i a l e s p a r a los d i f e r e n t e s nodos de la d i s c r e t i z a c i ó n , según
la s o l u c i ó n a n a l í t i c a a n t e r i o r m e n t e expuesta e s :
u
u
u
r
r
r
(nodos 1 a 8) =
6187,5
(nodos 9 a 1 2 ) =
8070,15
(nodos 13 a 20) =
16687,5
(Se han supuesto los mismos v a l o r e s E y v que en el e j e m p l o V . 1 )
P a r a las t e n s i o n e s se t e n d r á :
o ^ = (nodos 1 a 8) =
°
= (nodos 9 a 12) =
0160,71 K g / c m
2
278,79 K g / c m 2
o ^ = (nodos 13 a 20) = 1 1 6 0 , 7 1 K g / c m
Se e s p e c i f i c a s ó l o
{
2
pues es la que se c o r r e s p o n d e d i r e c t a m e n t e con los r e
s u l t a d o s del p r o g r a m a .
j
A c o n t i n u a c i ó n se i n c l u y e una tabla resumen con los r e s u l t a d o s de algunos no
dos en m o v i m i e n t o y t e n s i o n e s así como el e r r o r c o m e t i d o .
-
-
NODO
VARIABLE
7
u
8
u
11
u
17
u
18
u
7
11
r
r
r
r
r
t
0
°
t
18
PECET
6187.5
6249.
0.99
6187.5
6336.
2.4
8070.15
7850.
-
2.72
16687.5
15920.
-
4.59
16687.5
16090.
-
3.58
160.71
165.9
278.79
262.7
1160.
17
8
TEORIA
a
t
°t
160.71
1160.
ERROR %
3.2
-
1030.
172.2
1051.
r
5.77
11.2
7.1
9.39
V . 2 . 2 . - A N A L I S I S COMO C A S O A X i S I M E T R I C O
Se ha r e s u e l t o también
el p r o b l e m a a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o el c i l i n d r o como un
s ó l i d o a x i s i m é t r i c o , i n d e f i n i d o , y p o r tanto c o n d e f o r m a c i ó n nula en la d i r e c c i ó n z
-
( d e f i n i c i ó n p l a n a ) . Como c o n s e c u e n c i a de e l l o se ha c o n s i d e r a d o una s i t u a c i ó n de con_
d i c i o n e s de c o n t o r n o análoga a la a n t e r i o r , es d e c i r se suponen nulos los desplaza
-
mientos de las s e c c i o n e s e x t r e m a s p e r p e n d i c u l a r e s al eje z , en esta d i r e c c i ó n .
Las c a r a c t e r í s t i c a s del m a t e r i a l , así como las d i m e n s i o n e s y el v a l o r de la pre_
s i ó n i n t e r n a se han c o n s i d e r a d o i d é n t i c a s a las del ejemplo V . 2 . 1 con el objeto de com
parar.
E n c u a n t o a la d i s c r e t i z a c i ó n se han efectuado ensayos con 3 d i s c r e t i z a c i o n e s =
d i f e r e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s a 4 0 , 80 y 100 elementos con a p r o x i m a c i ó n c o n s t a n t e . D i chas d i s c r e t i z a c i o n e s se m u e s t r a n a c o n t i n u a c i ó n , así como la s i t u a c i ó n de los nodos que v a n a s e r v i r de c o n p a r a c i ó n .
s U I i> t i ) 11 t l i 111 i n v
> 11111111 n i •)• IIW u n i
87 h 2
+
1
5 JL
::63
13
55
40
M H I II > l I I I | M I I I I H
26
Fie V . 2 . 2 . 1
38
44
•51
NODO
VARIABLE
1
u
5
u
13
u
1
u
5
r
r
r
TEORIA
A X I E (100)
16687.5
17145.5
16687.5
16599.4
-
0.7
16687.5
15963.
-
4.3
0
125.534
u^
z
0
270.0
13
u
0
26
u
38
u
51
u
55
u
63
u
40
44
82
87
z
z
15892.7
r
r
r
r
r
Oz
° z
a
0
z
z
ERROR A X I E %
2.7
-0.71
16993.9
6.9
7701.62
7687.5
-
0.1
6187.5
5907.87
-
4.5
6187.5
5890.91
-
4.7
6187.5
5708.11
-
7.7
40.18
-
37.10
40.18
-
41.83
40.18
40.18
7.6
-
41.77
37.07
4.1
4.0
-
7.7
Asimismo puede h a c e r s e un e s t u d i o de c o m p a r a c i ó n e n t r e las d i s t i n t a s d i s c r e t i z a c i o n e s u t i l i z a d a s , p a r a lo cual se r e f l e j a r á la v a r i a c i ó n de movimiento r a d i a l a lo l a r g o de la linea A B de la F i g .
Fig.
V.2.2.2
E s p r e c i s o h a c e r n o t a r la d i f e r e n c i a a p r e c i a b l e en lo que se r e f i e r e a movimien
tos en la d i r e c c i ó n z . E s t a d i f e r e n c i a es debida a que la m o d e l a c i ó n del estado de de f o r m a c i ó n plana no es p e r f e c t a con las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o que se han i n t r o d u c i d o ,
s i n o que al p e r m i t i r s e el d e s p l a z a m i e n t o en esta d i r e c c i ó n , debido al efecto P o í s s o n , éste se p r o d u c e .
E s t e hecho t i e n e como c o n s e c u e n c i a el que la deformada tenga una a p a r i e n c i a
-
d i s t i n t a a la e s p e r a d a en d e f o r m a c i ó n plana ( F i g . V . 2 . 2 . 1 ) p e r o totalmente de a c u e r d o
con las c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o que se imponen.
E s t e e f e c t o p r o d u c e también un cambio en los v a l o r e s de la t e n s i ó n
realmente apreciable.
que es
-
E s también i m p o r t a n t e r e s a l t a r el hecho de que una m e j o r d i s c r e t i z a c i ó n no modi_
f i c a s u s t a n c i a l m e n t e los r e s u l t a d o s siendo s u f i e n t e con la p r i m e r a de e l l a s p a r a c o n s e guir resultados suficientemente p r e c i s o s .
Fig.V.2.2.3
V . 3 . - ESFERA. S O M E T I D A A P R E S I O N
INTERNA
Como un e j e m p l o de la c a p a c i d a d del p r o g r a m a p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s de
g r a n d i m e n s i ó n , así como de la a p r o x i a m c i p n que los elementos p a r a b ó l i c o s consiguen en la r e p r e s e n t a c i ó n de la g e o m e t r í a de un s ó l i d o de g r a n c u r v a t u r a , se ha r e s u e l t o un=
p r o b l e m a t i p o muy c o n o c i d o como es la e s f e r a sometida a p r e s i ó n i n t e r n a .
E s t e p r o b l e m a posee s o l u c i ó n exacta y v i e n e d e f i n i d a p o r las e x p r e s i o n e s
s i g u i e n t e s (vease [ 52
pa
1
u
=
u
T T
3-X+2G"
r
e
3
= u
<t>
P.
r
b a
+
i
•
46
a
3
b
b
3
,
2
a
= 0
3 , l 3 _3x
p. a (b - R )
i
~ 3~7~3 ~3~~
R (a - b )
o
e =
a
<t>
p
i
^
aJ
(2R
3
3
+b )
2 R"3 ( b 3 - a 3 )
La p r i m e r a d i s c r e t i z a c i ó n que se pensó a p r o v e c h a n d o los e x c e l e n t e s resuj[
tados c o n s e g u i d o s en el ejemplo V . 2 . 1 con una d i s c r e t i z a c i ó n muy g r o s e r a fue la que
-
se r e p r e s e n t a en la F i g . V . 3 . 1 de s o l o 6 e l e m e n t o s , donde se a p r o v e c h ó el hecho de
-
que u
-
= u
= 0 y se r e a l i a ó un c o r t e en la e s f e r a mediante una s u p e r f i c i e c ó n i c a
6
4>
c o n s i g u i e n d o una c a r a e = 0 y p o r tanto un m o v i m i e n t o nulo p e r p e n d i c u l a r .
7
Fig.V.3.1
I n t r o d u c i e n d o la c o n d i c i ó n de c o n t o r n o p e r t i n e n t e se c o n s i g u i e r o n males r e s u l tados c o n e r r o r e s del o r d e n del 30 %. E s t e hecho es l ó g i c o ya que la geometría de los
elementos es más complicada que en los e j e m p l o s a n t e r i o r e s y como consecuencia q u e da p e o r a p r o x i m a d a .
P a r a s a l v a g u a r d a r este i n c o n v e n i e n t e se pensó o t r a d i s c r e t i z a c i ó n con 18 ele
-
mentos y 36 nodos que r e p r e s e n t a b a n mucho m e j o r la geometría del s ó l i d o . El p r o b l e ma a h o r a c o n s i s t í a en las n e c e s i d a d e s de m e m o r i a . E f e c t i v a m e n t e el tamaño de la ma t r i z del s i s t e m a de e c u a c i o n e s es de 1 68 x 1 68
29 K p a l a b r a s .
P a r a s a l v a r este p r o b l e m a e x i s t e n dos a l t e r n a t i v a s , la p r i m e r a c o n s i s t e en r e a
l i z a r una e x t e n s i ó n de memoria a t r a v é s de s e n t e n c i a s y ó r d e n e s de c o n t r o l a p r o p i a
-
d a s , y la segunda en u t i l i z a r una m e m o r i a r e d u c i d a haciendo uso e n t e n s i v o del método
de las á r e a s b u f f e r m ú l t i p l e s (vease anexo
I . 3
) , con el c o n s i g u i e n t e aumento de
-
t i e m p o , que el o r d e n a d o r u t i l i z a d o es de g r a n i m p o r t a n c i a , d e b i d o a la i n e f i c i e n c i a en=
el t r a t a m i e n t o de los a c c e s o s a m e m o r i a auxtH'ar-.L
A p e s a r de e l l o se e l i g i ó esta p o s i b i l i d a d con el o b j e t o de p r o b a r el método a n t e d i c h o . Los r e s u l t a d o s f u e r o n e x c e l e n t e s en c u a n t o a n e c e s i d a d de memoria (solo
-
6 K p a l a b r a p a r a la m a t r i z ) p e r o lógicamente muy malos en cuanto a tiempo n e c e s a r i o .
De hecho es de p r e v e r
que en o r d e n a d o r e s de m a y o r c a p a c i d a d y r a p i d e z , y debido a
laenorme f l e x i b i l i d a d del p r o g r a m a p a r a su i m p l e m e n t a c i ó n en c u a l q u i e r a de e l l o s , la=
e f i c i e n c i a de éste aumente de f o r m a n o t a b l e .
La d i s c r e t i z a c i ó n u t i l i z a d a , así como algunos r e s u l t a d o s obtenidos se p r e s e n t a n
a continuación.
RESULTADOS
V.3
Fig.
V.3.2
VARIABLE
TEORIA
PECET
1
u
6428.57
6401.
-0.43
17
u
7164.72
7109
-0.78
23
u
8492.06
8406.
-1.01
10928.57
10800.
-1.17
15714. 29
15590.
- 0.79
NODO
35
u
41
u
1
a
17
o
23
a
r
r
r
r
r
t
t
t
ERROR %
207.5
-3.17
249.48
250.9
0.57
312.17
303.9
-2.65
214.29
i
35
o
41
a
t
t
435.43
433.5
-0.44
714.29
757..
5.98
«
E n c u a n t o a los tiempos que se n e c e s i t a n p a r a la r e a l i z a c i ó n del problema
se p r e s e n t a n en la tabal a d j u n t a .
Se c o n c l u y e en d e f i n i t i v a que como en todos
los g r a n d e s p r c g r a / n a s numé -
r i c o s la c a p a c i d a d y v e r s a t i l i d a d están r e ñ i d a s con el tiempo de e j e c u c i ó n , siendo
n e c e s a r i o el uso de g r a n d e s o r d e n a d o r e s p a r a que puedan a f l o r a r
j a s que el p r o g r a m a en sí c o n l l e v a .
T I E M P O T O T A L DE C P U
24 '
50 "
T I EMPO DE E N T R A D A - S A L I DA
34 '
49 "
T I E M P O DE E S P E R A
T I EMPO DE A C C E S O S
TIEMPO TOTAL
2 "
6 '
66 '
22 "
8
"
todas las v e n t a -
V.4
V . 4 . - C U B O S O M E T I D O A C A R G A S DE T R A C C I O N E N P U N T O S
INTERNOS
Con o b j e t o de c o m p r o b a r el t r a t a m i e n t o de f u e r z a s de volumen , se ha c o n s i d e r a
do un e j e m p l o c o r r e s p o n d i e n t e a un cubo sometido a c a r g a s de a n c l a j e en puntos i n t e r nos.
E s de a d v e r t i r que este e j e m p l o no t i e n e s o l u c i ó n t e ó r i c a , ni ha sido tampoco
-
p o s i b l e el r e a l i z a r la c o m p a r a c i ó n c o n o t r o s métodos n u m é r i c o s , p o r lo que se p r e s e n
ta s i n r e a l i z a r ninguna c o m p a r a c i ó n . S i n embargo las c a r a c t e r í s t i c a s de los r e s u l t a dos p e r m i t e n a v e n t u r a r , si no a s e g u r a r , la f i a b i l i d a d de d i c h o s r e s u l t a d o s .
El p r o b l e m a c o n s i s t e en el mismo s ó l i d o p r e s e n t a d o en el ejemplo V . 1 con las mismas c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o s a l v o que no e x i s t e c a r g a de t r a c c i ó n en la c a r a de
-
l a n t e r a . Las c a r g a s a las que está sometido son dos c a r g a s c o n c e n t r a d a s , a modo de=
c a b l e s de a n c l a j e , según i n d i c a la F i g . V . 4 . 1 y de v a l o r 1000.
O
O
O
o
tj
ü
y
o
o
o
u
y
Los r e s u l t a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s a m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s se p r e s e n t a n en la
t a b l e adjunta p a r a algunos de ios nodos i n d i c a d o s en la d i s c r e t i z a c i ó n p r e s e n t a d a en
la F i g u r a
V.4.2
NODO
VARIABLE
PECET
1
u
625.2
9
u
0.000659
3
V
319.6
4
V
"
3059.
A s i m i s m o , la deformada que r e s u l t a se p r e s e n t a en la s i g u i e n t e f i g u r a , pudien
dose o b s e r v a r el e f e c t o de las c a r g a s s o b r e la d e f o r m a c i ó n de las c a r a s l a t e r a l e s .
V . 5 . - MATERIAL HETEROGENEO SOMETIDO A TRACCION
Con o b j e t o de c o m p r o b a r la s u b r e g i o n a l i z a c i ó n en el p r o g r a m a se ha pasado
un e j e m p l o c o n dos s u b r e g i o n e s , c o r r e s p o n d i e n t e s a un cubo sometido a t r a c c i ó n .
La d i s c r e t i z a c i ó n es la que se m u e s t r a en la F i g . V . 5 . 1 y las c o n d i c i o n e s de con
-
t o r n o , s i t u a c i ó n y v a l o r e s de l a s c a r g a s son i d é n t i c o s a los del ejemplo V . 1
Subregión 2
Subregión 1
Fig.
V.5.1
«
E n p r i n c i p i o y p a r a c o m p r o b a r la e x a c t i t u d del método se supuso el mismo m a t e r i a l en las dos s u b r e g i o n e s . Las c a r a c t e r í s t i c a s de éste c o r r e s p o n d i e a n e x a c tamente a las del p r o b l e m a V . 1 . Los r e s u l t a d o s f u e r o n totalmente s a t i s f a c t o r i o s .
E f e c t i v a m e n t e en todos los nudos se c o n s i g u i ó la s o l u c i ó n exacta con e r r o r e s infe r i o r e s al 0 , 1 % tanto en t e n s i o n e s como en m o v i m i e n t o s .
A c o n t i n u a c i ó n se pasó de nuevo el p r o b l e m a con dos m a t e r i a l e s d i f e r e n t e s .
El p r i m e r o de c a r a c t e r í s t i c a s
E = 5 y E = 0,25
y e l segundo E = 1 , 5 E
= 0,25.
La s o l u c i ó n exacta de este p r o b l e m a puede o b t e n e r s e inmediatamente api i
-
cando las r e l a c i o n e s de e q u i l i b r i o y c o m p a t i b i l i d a d en la i n t e r f a s e , teniendo en
a
E
X
cuenta que
= — - — , con lo que se puede o b t e n e r el movimiento u . S i n embargo
x
E
los m o v i m i e n t o s t r a n s v e r s a l e s en la i t e r a c i ó n de m a t e r i a l e s es muy c o m p l i c a d o ,
-
e s p e r á n d o s e un v a l o r medio e n t r e los c o r r e s p o n d i e n t e s a los dos mr a t e r i a l e s .
N a t u r a l m e n t e el hecho de i m p e d i r el m o v i m i e n t o en las c a r a s o c u l t a s y la
p r e s e n c i a de la i n t e r f a s e hace que se p i e r d a la s i m e t r í a o r i g i n a L d e l p r o b l e m a .
-
A s i m i s m o la p r e s e n c i a de g r a n d e s d e s p l a z a m i e n t o s t r a n s v e r s a l e s no u n i f o r m e s ha_
cen v a r i a r el r e s u l t a d o en m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s i n i c i a l m e n t e p r e v i s t o p o r la
-
teoría elemental.
S i n e m b a r g o i n c l u s o en este c a s o se c o n s i g u e n e x c e l e n t e s r e s u l t a d o s con
-
una d i s c r e t i z a c i ó n tan g r u e s a como la p r e s e n t a d a . A l g u n o s v a l o r e s c o m p a r a t i v o s se
muestran a continuación.
NODO
3
u
3
V
10
u
10
V
14
u
15
TEORIA
VARIABLE
PECET
900
-
300
-
600
-
300
-
300 + 150
V
%
917.9
1.99
298.7
0.43
626.1
4.35
264.8
11.72
292.8
300
ERROR
-
2.40
-
200.2
11.11
- 1000.
-
935.6
6.44
- 1000.
-
1096.0
9.60
2
26
0
31
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1
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X
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Se o b s e r v a c l a r a m e n t e como el hecho de que las d i f e r e n c i a s aumentan al
a c e r c a r n o s a la i n t e r f a s e , como una c o n s e c u e n c i a d i r e c t a de que la s o l u c i ó n t e ó r i ca no es exacta en sus p r o x i m i d a d e s .
*
V . 6 . - A N A L I S I S DEL DOLO
El D o l o es un elemento de p r o t e c c i ó n u t i l i z a d o en e s t r u c t u r a s m a r i n a s ( d i q u e s ) ,
que c o n s t a de dos cabezas de m a r t i l l o u n i d a s p o r el mango y en d i r e c c i o n e s p e r p e n d i c u l a r e s . La F i g . V . 6 . 1 m u e s t r a un esuqema del m i s m o .
-i
SLOCK VOLUME» 0.1549 h 5
FIG 1.—Dimensions of Dclos Unít
Fig.
V.6.1
E l c á l c u l o de un d o l o se l l e v a a cabo i n t r o d u c i e n d o una s e r i e de s i m p l i f i c a c i o n e s
en su s u s t e n t a c i ó n y c a r g a s que s o p o r t a , que en p r i n c i p i o r e s u l t a n d i f í c i l e s de p r e v e e r
ya que un d o l o puede s e r golpeado a c c i d e n t a l m e n t e p o r o t r o s d o l o s que se desplazan
-
d u r a n t e una t e m p e s t a d . Los elementos que c o n s t i t u y e n un d o l o t i e n e n e x c e l e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s p a r a e n t r e l a z a r s e y p o r t a n t o , una h i p ó t e s i s bastante común
(Ref [ 3 9 ] , )
-
es que el d o l o queda f i r m e m e n t e e m p o t r a d o a lo l a r g o de una de las c a r a s l a t e r a l e s de=
una de las c a b e z a s según se i n d i c a en la
quematicamente el d o l o .
F i e . V . 6 . 2 , en la que se ha r e p r e s e n t a d o es
Fig.V.6.3
—7*
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1
FIG. 3 . — D o l o s ¡n Posrtion as S h o w n ( S l i g h t l y U p l r f t e d ) a n d Hit b y A n o t h e r Dolos
A l o n g One of T w o Directions
Fig.
V.6.2
S u p o n d r e m o s que la p a r t e c e n t r a l queda en p o s i c i ó n h o r i z o n t a l , que la cabeza
-
h o r i z o n t a l queda empotrada a lo l a r g o de su c a r a l a t e r a l y la segunda c a b e z a , quedará
en p o s i c i ó n v e r t i c a l , l i g e r a m e n t e e l e v a d a , p o r lo que no h a b r á r e a c c i o n e s s o b r e e l l a d u r a n t e una t e m p e s t a d , o t r o s d o l o s pueden g o l p e a r el e x t r e m o s u p e r i o r de estos d o l o s ,
en c u a l q u i e r a de las d i r e c c i o n e s m o s t r a d a s en la F i g .
V.6.3.
Los e s f u e r z o s o r i g i n a d o s p o r el p r o p i o d o l o y las a c c i o n e s e x t e r i o r e s han de s e r
r e s i s t i d a s p o r la cabeza .conectada r í g i d a m e n t e al s o p o r t e . Las f u e r z a s que actúan s o b r e la s e c c i ó n s e r á n :
1 P e s o del d o l o .
2 . - Momentos f l e c t o r e s debidos al c u e r p o c e n t r a l y a la cabeza v e r t i c a l .
*
RESULTADOS
V.6
3 . - Momentos f l e c t o r e s ó t o r s i o n e s debido a los golpes de o t r o s dol OS •
>.
P u e s t o que el d o l o admite dos planos de s i m e t r í a y la mayor p a r t e de las c a r g a s
a c t u a n t e s no a l t e r a n esta s í m e t r i a , es p o s i b l e e s t u d i a r la c u a r t a p a r t e del d o l o , cuya
d i s c r e t i z a c i ó n se e n c u e n t r a en las páginas s i g u i e n t e s . F i n a l m e n t e se i n c l u y e una sali_
da del p r o g r a m a c o n i n d i c a c i ó n de los nodos c r í t i c o s r e s u l t a n t e s de la d i s c r e t i z a c i ó n .
- 341 b i s -
Gr'RNT
353
**K**CATALOGO DE. NODOS CRITICOS*****
NODO NOCRI
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54.3003
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. 3003
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.0003
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-.3443
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-.4472
-.4472
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.7071
.7071
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.0303
.0003
.0333
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.6000
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. 3330
. 1064
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1.3330
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.6303
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.6603
.0003
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.6303
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1.6333
.0039
.6330
.0303
. 6333
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.3333
.0000
.6366
.6000
.6030
.9000
.6280
.0363
.0009
.3630
...
.0909 113.0093
.8330 113.3603
.830010333.0098
.6366'.6632.3S33
.000318132.9330
.0663 113.66B3
. 0O33 113.9300
.3668 113.9G3Q
48.6323 223.0033
.0303 113.6663
.0003 113.O3O0
.6663 113.3363
.0300 113.0333
.£•383 1 i 3.6600
.0003 113.0003
.6003 113.6603
.0303 113.0003
.6063 113.8003
.0003 113.0009
.3330 113.3683
.000010132.0033
.606010132.6330
.000010232.0000
56.6365 223.6360
50.0303 223.0039
48.6333 222.3330
. 600010033.0033
.6306 13132.6663
.0300 113.0033
.6£3e26631.36S3
.630020031.G30S
.£¿5323031.3603
.0000 113.0333
.6623 112.6663
. 0033 113.0030
.660313333.6060
.003018132.0033
.6663 113.603B
.000018033.0000
.660310333.6063
.300010132.9933
. 6003 113.6603
.0003 113.0390
.6603 113.6333
.000310132.0033
.666316333.0660
.0033 113.0333
.6633 113.0000
.030029031.0333
.666323331.3063
.0030 ¡0033.0000
.6603 113.6063
.3003 113.9330
.0603 113.6603
.6003 113.0300
.666313132.6633
.800313233.0003
.6639 113.3630
.0003 113.9330
.660013132.3000
.000310833.0000
.5663 ',6033.6800
.060-3 113.0033
.6663 113.6633
.0003 113.0303
.6633 115.3SG3
V . 7 . - C I L I N D R O CON F I S U R A
Con el o b j e t o de c a l c u l a s el f a c t o r de c o n c e n t r a c i ó n de t e n s i o n e s
en un c¡ -
l i n d r o con una g r i e t a se ha pasado este e j m p l o , c o n s i d e r á n d o l o como un caso a x i s i m é t r i c o , s o m e t i d o a una c a r g a a x i l de v a l o r 1000, y con una f i s u r a e x t e r i o r de l o n g i t u d igual a 1 / 3 del e s p e s o r del c i l i n d r o y evidentemente a x i s i m é t r i c a .
E n un m a t e r i a l con f i s u r a , la d i s t r i b u c i ó n g e n e r a l de t e n s i o n e s
(Brock
es del t i p o
1978).
1
c
=
ij
i—
y r
*
f
oij
/ex
(6) +
N
r
z
n=1
r
(n-1 ) / 2
_
f .. nij
_ ,
V.5.1
e x p r e s i ó n que r e p r e s e n t a un d e s a r r o l l o en s e r i e de p o t e n c i a s de la d i s t n a c i a r c u yos c o e f i c i e n t e s dependen de la d i r e c c i ó n c o n s i d e r a d a a t r a v é s del ángulo
La c a r a c t e r í s t i c a más destacada de este d e s a r r o l l o es la e x i s t e n c i a de
t é r m i n o s i n g u l a r en r
2,
un=
que s e r á el que domina la d i s t r i b u c i ó n de t e n s i o n e s , p a r a
v a l o r e s pequeños de r , es d e c i r
en las p r o x i m i d a d e s del b o r d e de la f i s u r a . E n
-
esa z o n a , p o r t a n t o , p o d r í a n d e s p r e c i a r s e los r e s t a n t e s t é r m i n o s , con lo que las tensiones uqedarian reducidas a
»'J
v
V.5.2
o»j
Las f u n c i o n e s f
oij
son u n i v e r s a l e s y pueden v e r s e p o r ejmplo en V a l i e n t e ,
C e n t r á n d o n o s en el c a s o de un c i l i n d r o con g r i e t a e x t e r i o r ( F i g . V . 7 . 1 ) la =
d i s t r i b u c i ó n de t e n s i o n e s en la d i r e c c i ó n de la g r i e t a queda
o
z
=
1
KjJlttr
V.7.3
donde K^ es el f a c t o r de c o n c e n t r a c i ó n de t e n s i o n e s que v i e n e d e f i n i d o p a r a este ca
so p o r Venthern y K o i t e r ( 1 9 7 3 ) , en la f o r m a
K
1
= OJTT (D - d) —
2 / T
(d/D)"3/2
- o . 3 6 3 ' ( d / D ) 3 + 0.731 ( d / D ) 4
(1+i
d/D + 3/8
(d/D)2-
)
V,74.
E n el c a s o que nos ocupa los v a l o r e s a n t e i o r e s son:
d = 180
D= 240
= 1000
y a p l i c á n d o l o s a la e x p r e s i ó n a n t e r i o r se obtiene K^ = 1 2 4 3 6 . 2 .
E l c á l c u l o mediante el método de los elementos de c o n t o r n o se ha r e z l i z a d o
con la d i s c r e t i z a c i ó n que se i n d i c a en
en la F i g .
la F i g . V . 7 . 2 y los r e s u l t a d o s p e r t i n e n t e s =
V.7.3.
Fig.V.7.1
C a r a sometida a t r a c c i ó n
r
1».
N
l M M i l M
U
11
1
\ H
U
U » M
\\ M
Fisura
1—i—l—<—i—
Las t e n s i o n e s en los 10 p r i m e r o s nodos más c e r c a n o s a la f i s u r a son:
NODO
r
c
z
o
z
v / 2 7v r
v
1
1,5
6431,11
19743,38
2
4,5
2877,3
15299
3
7,5
2335,8
16171,82
4
10,5
2000,5
16248,87
5
13,5
1817,009
16734,46
6
10,5
1667,20
16973,35
7
13,5
1 5 6 3 ,6 2
17307,66
8
22,5
1483,05
17633,44
9
25,5
1418,314
17948,83
10
28,5
1270,71
18332,97
E x t r a p o l a n d o los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s y c a l c u l a n d o el f a c t o r de c o n c e n t r a c i ó n de t e n s i o n e s se obtiene
ción
K^ = 13886
f
observándose suficiente aproxima
a p e s a r de la r e l a t i v a m e n t e g r o s e r a d i s c r e t i z a c i ó n u t i l i z a d a .
i-
VI . - CONCLUSIONES Y POSIBLES
EXTENSIONES
V I .1 . - R E S U L T A D O S Y C O N C L U S I O N E S
Se ha d e s a r r o l l a d o la f o r m u l a c i ó n de un método n u m é r i c o de c á l c u l o , desde el
punto de v i s t a de los métodos v a r i a c i o n a l e s en e s p a c i o s de S o b o l e v , que p e r m i t e i n
-
t e r p r e t a r l o como un método h í b r i d o e n t r e los a p r o x i m a d o s , así como e s t a b l e c e r l a s
-
a f i n i d a d e s y d i f e r e n c i a s con o t r o s métodos n u m é r i c o s ( E l e m e n t o s F i n i t o s ) .
Se ha p r e s e n t a d o la f o r m u l a c i ó n y a n á l i s i s n u m é r i c o c o m p l e t o s del Método d é los E l e m e n t o s de C o n t o r n o en e l a s t i c i d a d a x i s i m é t r i c a , así como una e x t e n s i ó n de e s te p r o b l e m a al c a s o p l á s t i c o , que c o n s t i t u y e el p r i m e r t r a t a m i e n t o c o n s i s t e n t e c o n el planteamiento i n i c i a l .
Se ha d e s a r r o l l a d o también una nueva f o r m u l a c i ó n de paso al c o n t o r n o de la in
t e g r a l de f u e r z a s de volumen y p r e t e n s a d o
en el c a s o t r i d i m e n s i o n a l y a x i s i m é t r i c o .
Se ha p l a n t e a d o y r e s u e l t o un método e f e c t i v o de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n y t r a t a
-
miento de i n t e r f a s e s , que p e r m i t e la r e s o l u c i ó n de medios de c o n t o r n o e l á s t i c o s y h e terogéneos a t r o z o s .
A s i m i s m o se han r e s u e l t o , con la máxima g e n e r a l i d a d las d i f e r e n t e s c o n d i c i o nes de c o n t o r n o que se pueden p r e s e n t a r en la r e s o l u c i ó n de un p r o b l e m a t r i d i m e n s i o
n a l , mediante el método que nos o c u p a .
Se ha d e s a r r o l l a d o también una m o d i f i c a c i ó n del método del g r a d i e n t e c o n j u gado, p a r a la r e s o l u c i ó n de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s l i n e a l e s , que p e r m i t e la u t i l i z a -
c i ó n ópt : ma de éste en el c a s o del método de los elementos de c o n t o r n o .
P o r ú l t i m o se han implementado dos p r o g r a m a s de o r d e n a d o r , uno p a r a el c a s o
a x i s i m é t r i c o en e l a s t i c i d a d l i n e a l , ( P r o g r a m a A X I E ) que c o r r e s p o n d e a un p r o g r a m a =
elemental y v e r s á t i l ( * 550 s t e n c i a s F O R T R A N ) , que p e r m i t e la e x t e n s i ó n s i m p l e en=
casos más c o m p l e j o s (caso p l á t i c o ) , y un p r o g r a m a t r i d i m e n s i o n a l ( F E C E T ) ( - 10000
s e n t e n c i a s F O R T R A N ) , con las s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :
- R e a l i z a un t r a t a m i e n t o e s p e c i a l i z a d o de la e s t r u c t u r a de d a t o s , mediante un
método de s i m u l a c i ó n de Memoria V i t u a l , al que se ha denominado Método de las A r e a s
B u f f e r M ú l t i p l e s , y que p e r m i t e la r e s o l u c i ó n de c u a l q u i e r p r o b l e m a s i n l i m i t a c i o n e s ,
haciendo uso de un tamaño de m e m o r i a v a r i a b l e y f i j a d o p o r el u s u a r i o .
- Posee una o r g a n i z a c i ó n de la m a t r i z y del montaje de las c o n s t a n t e s de inte
g r a c i ó n en el s i s t e m a de e c u a c i o n e s , u t i l i z a n d o las d i s t i n t a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o , que c o r r e s p o n d e a la búsqueda del óptimo de esta o r g a n i z a c i ó n tanto en l o que se
r e f i e r e al montaje en s í , como a la p o s t e r i o r r e s o l u c i ó n del s i s t e m a .
I
- U t i l i z a el método del g r a d i e n t e c o n j u g a d o como u n a h e r r a m i e n t a e s p e c i a l m e n
te i n d i c a d a p a r a la r e s o l u c i ó n de s i s t e m a s de e c u a c i o n e s muy d i s p e r s a s p e r o a l m a c e nadas en f o r m a c o m p a c t a .
P o r ú l t i m o se han p r e s e n t a d o una s e r i e de r e s u l t a d o s c o r r e s p o n d i e n t e s a p r o
blemas t i p o que a v a l a n la p o t e n c i a y e x a c t i t u d tanto de la f o r m u l a c i ó n y a p r o x i m a c i ó n
n u m é r i c a p r e s e n t a d a s , como de los p r o g r a m a s d e s a r r o l l a d o s
p a r a su r e s o l u c i ó n . •
E n t r e las c o n c l u s i o n e s que se pueden d e s t a c a r en este t r a b a j o se e n c u e n t r a n :
- El p r o g r a m a t r i d i m e n s i o n a l p r e s e n t a d o r e b a s a los l í m i t e s e s t a b l e c i d o s
usualmente p a r a la d e f i n i c i ó n de " p r o g r a m a s a c a d é m i c o s " p e r m i t i e n d o a f i r m a r que
sus a p l i c a c i o n e s
-
i n d u s t r i a l e s pueden s e r a m p l i a s e i m p o r t a n t e s .
- El p r o c e s o de s u b r e g i o n a l i z a c i ó n s e g u i d o hace que el p r o g r a m a r e s u l t e pa_r
t i c u l a r m e n t e apto p a r a su a p l i c a c i ó n a t e r r e n o s , ya sea p a r a la r e s o l u c i ó n de estruc_
t u r a s , como p a r a el e s t u d i o de la i n t e r a c c i ó n t e r r e n o - e s t r u c t u r a en c i m e n t a c i o n e s =
s u p e r f i c i a l e s . A d i c i o n a l m e n t e , la c o n o c i d a a p t i t u d del método p a r a el t r a t a m i e n t o de=
medios i n f i n i t o s p e r m i t e n también j u s t i f i c a r lo a n t e r i o r .
F i n a l m e n t e , puede d e c i r s e , que con este p r o g r a m a se a b r e " y a d e f i n i t i v a m e n t e " el camino p a r a que el método de los elementos de c o n t o r n o deje de a p l i c a r s e ex
-
e l u s i v a m e n t e a p r o b l e m a s s i m p l e s , con una d i s c r e t i z a c i í n l i m i t a d a , p a r a c o n v e r t i r s e
en un c o m p e t i d o r , a la misma a l t u r a , de p r o g r a m a s más g e n e r a l e s de E l e m e n t o s Fini_
tos como S A P I V , A S K A ó S T R U D L en su a p l i c a c i ó n a p r o b l e m a s t r i d i m e n s i o n a l e s .
La e l e c c i ó n de una u o t r a a l t e r n a t i v a dependerá en cada c a s o de la n a t u r a l e z a
del p r o b l e m a a r e s o l v e r (fundamentalmente de la r e l a c i ó n c o n t o r n o - dominio) y del t i p o de i n f o r m a c i ó n que se r e q u i e r a (todo el d o m i n i o , s ó l o el c o n t o r n o , una p a r t e r e ducida del d o m i n i o , t e c . ) .
En cuanto al p r o g r a m a a x i s i m é t r i c o , aun siendo un p r o g r a m a de t i p o académj_
c o , ha p e r m i t i d o c o n s t a t a r el hecho de que en la m a y o r i a de los c a s o s el método vuej_
ve a s e r c o m p e t i t i v o con Elementos F i n i t o s tanto en cuanto a t i e m p o , como a m e m o r i a
requerida.
'
V I . 2 . - A P L I C A C I O N E S Y DESARROLLO FUTURO
Ya se han apuntado en el e p í g r a f e a n t e r i o r algunas de las a p l i c a c i o n e s más
-
c a r a c t e r í s t i c a s en las que puede a p l i c a r s e cada uno de los p r o g r a m a s p r e s e n t a d o s ,
-
si b i e n , p a r a r e s u m i r , p o d r í a d e c i r s e que el campo de a p l i c a c i ó n r e s p o n d e a cual
-
quier problema tridimensional heterógeneo
a t r o z o s e i s ó t o p o s que t r a b a j e en el cam
po e l á s t i c o , p r á c t i c a m e n t e s i n r e s t r i c c i o n e s de tamaño, c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o o
-
geometría.
En cuanto al p r o g r a m a a x i s i m é t r i c o tiene un campo de a p l i c a c i ó n más r e d u c i d o , no s o l o p o r la e s p e c i a l i z a c i ó n p r o p i a que p o s e e , s i n o p o r el p r o g r a m a en sí que=
p r e s e n t a r e s t r i c c i o n e s en cuanto a tamaño, y s o b r e todo homogeneidad del s ó l i d o .
El d e s a r r o l l o f u t u r o , p o r o t r a p a r t e puede s e r contemplado desde d i f e r e n t e s
a s p e c t o s . Desde el punto de v i s t a Matemático se hace n e c e s a r i o un a n á l i s i s r i g u r o s o
del e r r o r c o m e t i d o en cada una de las f a s e s del p r o c e s o , así como un e s t u d i o de las
p r o p i e d a d e s de la m a t r i z del sistema y de la c o n v e r g e n c i a del método.
En cuanto a la a p r o x i m a c i ó n n u m é r i c a una e x t e n s i ó n inmediata s e r í a la u t i l i z a c i ó n de elementos s t a n d a r d , con m a t r i c e s ya d e f i n i d a s , que p e r m i t a n la g e n e r a l i z a c i ó n de esta t i p o l o g í a e l e m e n t a l , al igual que o c u r r e en elementos f i n i t o s .
El p r o c e s o de i n t e g r a c i ó n adolece aún de un e s t u d i o de p o s i b i l i d a d e s que pe_r
mitán l l e g a r a una a p r o x i m a c i ó n v a r i a b l e con la máxima e f i c i e n c i a . A s i m i s m o s e r í a n e c e s a r i o un e s t u d i o de c o n v e r g e n c i a , y c o m p a r a c i ó n p a r a l l e g a r al ó p t i m o .
t
E n cuanto el a n á l i s i s de c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o está aun a b i e r t o , p a r a mejo_
r a s a d i c i o n a l e s en cada uno de los d i s t i n t o s c a s o s que pueden p r e s e n t a r s e y que se=
han r e s u e l t o .
P o r ú l t i m o el método de r e s o l u c i ó n empleado n e c e s i t a r í a un a n á l i s i s de e r r o r =
y m e j o r a p a r a una m e j o r a d a p t a c i ó n al c a s o p a r t i c u l a r del método aquí p r o p u e s t o .
Desde el punto de v i s t a de campos de a p l i c a c i ó n , cabe e s p e r a r la a m p l i a c i ó n a
leyes de c o m p o r t a m i e n t o no l i n e a l e s ( p l a s t i c i d a d , v i s c o e l a s t i c i d a d , etc) siendo éste el campo a c t u a l m e n t e en e s t u d i o y p r e s u m i b l e m e n t e de p r o n t a r e s o l u c i ó n , a p e s a r de=
los p r o b l e m a s n u m é r i c o s y de p r o g r a m a c i ó n que aún p r e s e n t a (aumento de la dimen
-
s i ó n del p r o b l e m a , d i s c r e t i z a c i ó n e i n t e g r a c i ó n en el d o m i n i o , e t c ) . A s i m i s m o la i n
-
t r o d u c c i ó n de c o n d i c i o n e s de a n i s o t r o p í a es también un campo en e s t u d i o , si b i e n se=
han c o n s e g u i d o ya algunos r e s u l t a d o s en este cabe en este s e n t i d o d e c i r que en el De
p a r t a m e n t o de E s t r u c t u r a s ya se está d e s a r r o l l a n d o la c o n j u n c i ó n de ambos p r o b l e
-
mas c o n el o b j e t o de un óptimo t r a t a m i e n t o del c o m p o r t a m i e n t o en n u d o s , s i g u i e n d o
-
los t r a b a j o s r e a l i z a d o s en este campo p o r P r e v o s t , M r o z y Desai u t i l i z a n d o el M é t o do de E l e m e n t o s F i n i t o s .
Se hace n e c e s a r i a también la a m p l i a c i ó n al c a s o d i n á m i c o , campo en el cual =
es d e s t a c a b l e la f a c i l i d a d y a p t i t u d del método p a r a r e s o l v e r l o , según han i n d i c a d o los r e s u l t a d o s
A s i m i s m o , s e r í a muy ú t i l el c o n s e g u i r el a c o p l a m i e n t o Elementos F i n i t o s Elementos de C o n t o r n o , con el o b j e t o de a p r o v e c h a r las v e n t a j a s de ambos en p r o b l e
mas p a r t i c u l a r e s , como p o d r í a n s e r las e s t r u c t u r a s e n t e r r a d a s en las que el t r a t a
-
miento del medio i n f i n i t o mediante el M . E . C . p e r m i t i r í a o b t e n e r una s o l u c i ó n de t e h s i o n e s y m o v i m i e n t o s en el c o n t o r n o de la e s t r u c t u r a , que p o d r í a n c o n s i d e r a r s e c o mo c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o p a r a un e s t u d i o . m á s d e t a l l a d o de c i e r t a s p a r t e s de és
t a , mediante elementos F i n i t o s .
-
E n cuanto al c a s o a x i s i m é t r i c o s e r í a c o n v e n i e n t e un d e s a r r o l l o análogo al d e s a r r o l l a d o en el c a p í t u l o I I en e l a s t i c i d a d p a r a el c a s o p l á s t i c o , s i g u i e n d o la f o r m u l a c i ó n esbozada en I V . 4 , así como la i m p l e m e n t a c i ó n de un p r o g r a m a que s i g u i e n d o d_i_
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127.- WESTERGAARD
.H.M
Inst
1055.
" T h e o r y of E l a s t i c i t y a n d P l a s t i c i t y "
-
Cambrige Mass. H a r v a r d University P r e s s
-
1952.
128.- W I L S O N . E . L . "Symbolic Matrix Interpretive System"
Univer.
of C a l i f o r n i a , B e r k e l e y , D e p a r t . of C i v i l
-
E n g i n e e r i n g , Resport U C S E S M 73-3 (1963).
1 2 9 . - W R O B E L . L . C and B R E B B I A . C . A
" A x i s y m e t r i c Potencial
-
P r o b l e m s " . P r o c 2 n d I nt S e m i n a r i n R e c e n t
-
Advances in B o u n d a r y Element Methods (ed.
by C . A . B r e b b i a ) - S o u t h a m p t o n ( 1 9 8 0 )
pp 7 7 - 9 .
1 3 0 . - Z A B R E Y K O . P . P et al
" I n t e g r a l Equation - A Reference
Noorhof the N e t h e r l a n d s .
Text".
1975.
1 3 1 . - Z I E N K I EW I C Z . O . C . " T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d i n E n g i n e e r i n g
S c i e n c e " Me G r a w - H i l l - L o n d o n 1 9 7 1 .
A l . - E C U A C I O N E S Q U E R I G E N EL C O M P O R T A M I E N T O
ELASTICO
S o n b i e n c o n o c i d a s de t o d o s , l a s e c u a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s que d e f i n e n el
-
c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o d e un m a t e r i a l . P o r e l l o , e s t e e p í g r a f e se l i m i t a r á a r e a l i
-
z a r una b r e v e , p e r o n e c e s a r i a , e x p o s i c i ó n de e s t a s e c u a c i o n e s , a s í c o m o a r e c o r
-
d a r l o s t e o r e m a s de B e t t i q u e c o m o se i n d i c ó s o n la b a s e del m é t o d o p r o p u e s t o .
- E c u a c i o n e s de e q u i l i b r i o en t e n s i o n e s p a r a el c a s o e s t á t i c o .
E n el d o m i n i o en e s t u d i o ft :
a
donde
¡j»j
+ X
'
= 0
en
fi
Al .1
a
e s el t e n s o r de t e n s i o n e s , X . s o n l a s f u e r z a s p o r u n i d a d de v o l u m e n , y l a
1
U
significa derivada.
E n el c o n t o r n o d e l d o m i n i o .
t
donde t
i
i
=
a
n
j»
j
enSíí
Al.2
s o n l a s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r t e n s i ó n en u n p l a n o c o n n o r m a l de c o m p o n e n -
tes n..
J
- R e l a c i o n e s de c o m p a t i b i l i d a d .
•
C o n s i d e r a m o s la t e o r í a l i n e a l de p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s , p o r t a n t o la r e l a c i ó n e n t r e d e s p l a z a m i e n t o s y d e f o r m a c i o n e s v e n d r á dada p o r el t e n s o r d e
Cauchy.
e . . = i (u. . + u . .)
U
i.J
J,i
donde
e
Al.3
es el t e n s o r d e f o r m a c i ó n p a r a p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s y u
'J
¡
e s el v e c t o r
de m o v i m i e n t o s en el p u n t o c o n s i d e r a d o .
E n c u a n t o a la e c u a c i ó n de c o m p a t i b i l i d a d e n d e f o r m a c i o n e s p u e d e p l a n t e a r se como
e
+
ij» k l
kl,ij
e
e
G
ik,jl
=
0
j l , ik
Al.4
- L e y de c o m p o r t a m i e n t o .
P a r a el c a s o e l á s t i c o , v a m o s a s u p o n e r q u e el m a t e r i a l es h o m o g e n e o e i s ó t r o p o p o r lo q u e la r e l a c i ó n t e n s i ó n - d e f o r m a c i ó n p u e d e p l a n t e a r s e a p a r t i r de la e c u a c i ó n de L a m e , c o m o
a
ij
=
¡j
e
kk
+ 2 G
e
ij
en
&
Al.5
d o n d e X y G s o n l a s c o n s t a n t e s de L a m e .
Una f o r m a más p r e c i s a de e x p r e s a r e s t a r e l a c i ó n e s a p a r t i r d e l t e n s o r de=
c u a r t o o r d e n de H o b k e , q u e r e l a c i o n a l a s t e n s i o n e s y d e f o r m a c i o n e s en la f o r m a :
IJ
siendo
ijkl
kl
#
,
¡jkl
Ij
kl
V
ik
jl;
¡I
jV
A ,
'
b
P o r o t r o l a d o , la r e l a c i ó n i n v e r s a de d e f o r m a c i o n e s en f u n c i ó n de l a s t e n s i o
nes se p u e d e e x p r e s a r c o m o :
e
=
—1
6 _
2G
U
U
i
a
2 G (3 X + 2G)
6 _
k k
en
fi
A l .7
U
- C o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .
E n g e n e r a l t o d o m e d i o c o n t i n u o en e l a s t o p l a s t i c i d a d , p u e d e e s t a r s o m e t i d o a
u n a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o en m o v i m i e n t o s u. = u en una c i e r t a z o n a de c o n t o r n o =
i
i
Sfi
, y a u n a s t e n s i o n e s c o n o c i d a s t = t en o t r a z o n a
Sfi . N a t u r a l m e n t e , p a r a =
u
i
i
t
que el p r o b l e m a e s t é b i e n d e f i n i d o ,
5 f i U ó f i = ó f i , d o n d e 6 fi es el c o n t o r n o =
u
t
del d o m i n i o t o t a l .
- E c u a c i b r r . de e q u i l i b r i o erx m o v i m i e n t o s .
M u c h a s v e c e s se p r e f i e r e p l a n t e a r el p r o b l e m a e l á s t i c o , en m o v i m i e n t o s en=
v e z de t e n s i o n e s , p a r a l o c u a l e s n e c e s a r i o u t i l i z a r la e c u a c i ó n de e q u i l i b r i o en
-
f u n c i ó n de l o s m o v i m i e n t o s , t a m b i é n d e n o m i n a d a e c u a c i ó n de N a v i e r , y d e f i n i d a en =
la f o r m a s i g u i e n t e :
J
1 - 2 v
u
+ u
+
--- X
G
= 0
en
8
A 1.8
ó en f o r m a m a t r i c i a l
+ G) v
(X
donde
(v
u) + G v
e s el o p e r a d o r y
v
V
u +
X= 0
el o p e r a d o r
en
A l .9
S2
laplaciano.
E s t a e x p r e s i ó n se s u e l e p o n e r t a m b i é n en f u n c i ó n de un s o l o v e c t o r d e n o m i n a
d o v e c t o r de G a l e r k i n ; del que d e r i v a n l o s m o v i m i e n t o s en la f o r m a s i g u i e n t e :
u
i
=
X
1
i , kk
—
2 (1 -
v
X
Al .10
k , ik
)
S u s t i t u y e n d o e s t a e x p r e s i ó n e n la e x p r e s i ó n de N a v i e r se puede o b t e n e r
A l .11
i > kkjj
o en f o r m a m a t r i c i a l
v
4
X
=
*
—
G
siendo
X el v e c t o r de G a l e r k i n .
- T e o r e m a de B e t t i .
V i e n e d e f i n i d o p o r la e x p r e s i ó n
X u
• n
u
d ft +
6 (2
*
t
ds
=
X
u
d
fi
+
t
*
6 ft
u
ds
Al.12
donde (u* , t * ,
es un s i s t e m a c u a l q u i e r a que v a a d e f i n i r l a s c a r a c t e r í s t i c a s del
m é t o d o de s o l u c i ó n u t i l i z a d o , y que p a r a el c a s o p a r t i c u l a r del m é t o d o de l o s e l e
-
m e n t o s d e c o n t o r n o toma la f o r m a de la s o l u c i ó n d e m o v i m i e n t o s y t e n s i o n e s c o r r e s
p o n d i e n t e s a la s o l u c i ó n d e K e l v i n en u n p u n t o del s ó l i d o i n f i n i t o .
A l I .1
ALGUNAS P R O P I E D A D E S DE L A S F U N C I O N E S DE L E G E N D R E
L a s f u n c i o n e s d e L e g e n d r e s o n l a s s o l u c i o n e s de la e c u a c i ó n de L e g e n d r e
d^ w
7
(1 - z )
-d
,
dw
- 2z
z
+
2
U
[ v ( v + 1) - - - - - - r
dz
T
. ]
w = 0
All.1.1
1-z
E x i s t e n d o s s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s p a r a e s t a e c u a c i ó n , que
y
n o r m a l m e n t e s e d e n o m i n a n f u n c i o n e s de p r i m e r a e s p e c i e P^ (z) y de s e g u n d a espe_
y
cié Q
v
(z),
respectivamente,
C o m o en el c a s o a x i s i m e t r i c o ú n i c a m e n t e s e u t i l i z a e s t a ú l t i m a , c o m o se d e d u j o en I . 7 e s t á s e r á la que se e s t u d i a r á , y p a r t i c u l a r m e n t e p a r a l o s c a s o s de
v = \ y
v =
que s o n l o s u t i l i z a d o s .
- A l g u n a s r e l a c i o n e s i m p o r t a n t e s p a r a las r e l a c i o n e s de L e g e n d r e .
d Q , (Y)
Q,1 ( Y ) =
J \
2
- 1
JY
2
- 1
1—
d
1
Y
d Q , (Y)
Q\
-i
Q
~2
(Y) = —
( Y) = -
d Y
V
All.1.2
dQ-»-
r~2—
4 i/ Y - 1
dY
V
/
Q,
2
(Y ) = 4 / 3 \ / Y
V
dQ,
-1
d y
- D e r i v a d a s de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e de o r d e n c e r o .
dQ
±
—2
(Q, (Y)
2 ( Y2 - 1)
dY
- Q
2
,
(Y)Y)
- 2
—
dQ,
2
1
2(V2
d Y
( YQ, (Y) - Q ¿y) )
2
- 1)
~2
All.1.3
d2Q,
(3 0 , - 8
4 ( Y 2 -- 1)
d y
d2Q
dQ±
1
2
,
dQ
-1
—2
dY
)
d Y
1
(Q
4 (Y2 - D
,
+ 8
—--— )
*
d y
- E x p r e s i ó n de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e en f u n c i ó n de l a s f u n c i o n e s e l í p t í
cas.
Q
, (Y) =
1-1
<Y>
•
dQ
i ( Y)
-2
dY
—
)
^
-
VR+1
J ™ - , -
N
r
d Y
L
K ( .
Y+ 1
7
•\J 2 ( Y + 1)
r z
/ 2
\/ Y + 1
r
r
K
(
r
^
"
)
- —
/
V Y + 1
.
1
y 2 ( Y - 1)
E
«
Y - 1
(
I
'
V Y
2
+ 1
/
—
E (
'
Al 1.1.4
/V Y + 1
)
P o r último y para motivos computacionales las funciones elípticas suelen
a p r o x i m a r s e en la f o r m a
K (m) =
[ a
o
+ a_ rn +
1 1
+
a
4
m
i
3
+ [ b
0
+ b1
V
+
b
4
m
!
]
. l n (—^— ) +e (m)
m
i
a. = 1 , 3 8 6 2 9 4 3 6 1 1 2
o
b
a
b
= 0,09666344259
o
= 0,5
= 0,12498593597
a 2 = 0,03590092383
b 2 = 0,06880248576
a 3 = 0,03742563713
b 3 = 0,03328355346
a. = 0,01451196212
4
b
e (m)
E (m)
a
4
= 0,00441787012
-8
f 2 x 10
[ 1 + a
m
+
= 0,44325141463
+
a
4
1 +t
m
b
1
4
+ b/ m i
+
4
b 2 = 0,09200180037
a 3 = 0,04757383546
b 3 = 0,04069697526
a^ = 0,01736506451
b 4 = 0,00526449639
í
2x 1 0 " 8
1
1
ln (
) +
. m.
e(m)
= 0,24998368310
a 2 =0,06260601220
e (m)
Al 1.1.5
m
1
= 1 -
m
Al 1.1.6
A l I . 2 . - D E R I V A D A S DEL T E N S O R DE G A L E R K I N
[
2
3 r
12 7f G
(y Q, -
3r
] = —
*
z
dQ,
. (y Q2 - Q_,)
2
JRr
--—9-—
12 i f G
(
(
I
1
2 3r
3 X
24 *
1 1=
i
3y
1+ ——
2
3 r
[
9
2(y
( — -
G
2r
[ (3/R - 2 / r ) Q, - 1/r Q
]
=
3 r
1
r
-
12u
dY
2
,
^
^
,
- — (Y Q , - Q , ) +
-1)
yQ, - —
2
2r
,
Q
,
+
]
G
-
[
=
3 r
- ~ - Q, - — - J J L I )
3r
2r
(Qi - Y Q ,)
2
~2
^
+
^
o
2
- — QQl ) ) == —- Í | .
LLL
22
Y
,
Y
3 r
YQ,
2r
G
dQ
—
d Y
+ Q, - — — —
2
2(Y - D
+
fa
+
2
{/r7¿
[
12 tt~
24
TT
( 3 r _ 2 Y R) Q , - R Q _ , )
G yRr
2
1
A I 1. 2.1
2
d o n d e se ha h e c h o u s o del v a l o r de l a s d e r i v a d a s de l a s f u n c i o n e s de L e g e n d r e en f u n
c i ó n de e s a s m i s m a s f u n c i o n e s ,
expresiones
A s i mismo, o p e r a n d o análogamente
-
A l 1.2
3*
_
i
-
Í
-
(
12 * G
3 2
dQ,
2
3 z
dQ
3 -y
dY
3z
,
2
dy
G
1
2 (
3z
•(Q,,
-1)
y
3X
3
2
Y
Z
12 tt2 G
2
f r
o
3 z
J J L (Q,
12ttG
+
+ T
' dQ,
dQ ,
___JL - ___"!_)
3 Z
d y
d y
__,) ( y Q,_ - Q
2 ( Y - 1 )
2
1
.Qi)]
12 TT
'~'2
._-_i?_=_Zl__
2
/
8TT
G y Rr
.
1
3z
(-9-I- Q, +
-Q ,)
2
3Y v_
3Y
Rr-"_I[ Q,
12 tt
YQ,
2
G
v
^ - 5 1 3 / 2
0 ,
3 Z
Q
AII.2.2
1
2
También
3*
3 r
Z
TT
4
L __L_ [ / T r ( Q , - Y Q , ) ]
G
O
ar
dQ,
S¡R~r ( —
d
,
4
dQ
2
-
3T
Y
_L_Q,
2r
= ---
—9
2
J-I
Q
3r
- - I - Q , +-3-I
2r
2
3 r
2
3r
h
L
d
Z
TT G
,
- i . ) ]
Y
=
[i \¡R/r (Q,- yQ,) +
*N
_ - i p L
4 *
G
- ( YQ, - Q ,) - Q ,
—2
—2
¿ .N
2
2 ( Y ~ - 1)
-
Y
2 (
o — - (Qj. - Y Q _ , ) ]
2
2
-1)
J
v
- i ( 1/R - Y / r )
= - - - - - 4 ir G
[
Q, - - - 2
2r
2r
Q ,
"2
-
Q , ]
3X
z
3 r
8 ir
(R Q , - r Q , )
2 ^
Aíi.2.3
G\¡Rr
D e l m i s m o modo
9X,
,
¿ „
4 TT G
3 z
dQ
_
y
.
,
-2
dY
4*
3Y
3Y
3z
3z
(
G
1
2( Y - 1)
9z
Y2
2
3 z
-1
¿
(Q
N
2
'
2 (y
Q
Q_±)
, 2
\
_
Y
Q
)
—2
=
,
-1
=
3Y
y Rr
Q, _ —
-1)
4
—
Q
2 (Y —1)
2
Q
- 1 1
2
8 u
G
3 z
3y
d Y
,
dQ,
(
3z
4tt"G
Y
_
dQ,
z rr (/
2
\/ / R
1
-i
. ¿
4u G
,
2
2
dY
3 z
dQ
Y
-
>
N
dY
- r
2 ( Y -1)
,
-2
Q,
2
Q_1'
•
2
A l 1.2
Asimismo y según
A l .10
es n e c e s a r i o el c á l c u l o de l a s d e r i v a d a s s e g ú n
das del t e n s o r de G a l e r k i n .
a2x
l ( 3 r - 2 y R) Q , - R Q , ]
24 TT G
3r
24*
8r
[ ( 3 r - 2 y R) Q , - R Q , 1 + - - - - -
1
2r^Rr
[ [ 3 - 2R ( 1 / R - y/r)
dQ1
óQ±
- - - R (1/R - y / r )
y/r)
d
dQ±
2
+ 3r/R
Q_, -
- 5
Q,
2
y
-
y
Q,
+
dY
y
/r
2—
+ i Q± -
d Y
2
]
.2
1
2 4 t t
R / r
dQ,
+
2
3 3C
r
Y
G\[R~r
y
dQ,
d Y
dY
24tt
+ Q , + 2
d
R/r
J
-D R/r
dQ,
— + 2
y
(y
2
dQ,
d Y
R/2r
d y
2r
2
]
y
R
r
.1 [ - 3 / 2 Q ± + y R / r Q ± + j
rZ
] Q,+
\¡~Rr
+ ( 3 r - 2 y R) ( 1 / R -
- Y
G
2
Z
3 Y R / r Q, + [ 3
g / r 7
l
2
dQ^
_ ( / _ ! ) ] ___!.
Rr
d
Y
AlI.2.5
dQ_
d o n d e se ha u t i l i z a d o
±
, p a r a la s u s t i t u c i ó n de
A I I .1
en f u n c i ó n d e Q ,
2
dY
dQ1
y
1
2
dY
D e l m i s m o modo
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-
/R)
Al 1.6.1.4
fr
ds
3/2
2
=
( R _ b ) 2 _ 6 R (R+b) - 3 R 2
3
+
3 / R+b
8 R
3 / 2
nJ
9
Al 1.6.1.5
ds
f
r
(R+b)3/2
- R
3 / 2
]
Al 1.6.1.6
3 t
3/2
Con b = t
[
ds
2R + b
=
- 2 / R
]
S
E n el c a s o d e que en la p o s t e m o r i n t e g r a c i ó n r e s p e c t o a
con lo cual t
r
Al 1.6.1.7
/R+b
se e s c o j a u n
=
= 0 , se t e n d r í a
s2
ln
64
Rr
ds =
f
2jR
ds
=
S2
2 \Jr
(ln
- 1)
64 R
All.6.1.8
A l 1.6
'3 =
ln
3/2
ds =
64 R r
3 R
--7-"
3/2
(ln
-
2/3)
64 R'
Al 1.6.1.10
ds
3/2
—
ds
Al 1.6.1.11
ds
=
3 R
3/2
Al 1.6.1.12
Al 1.6.1.13
= S
£
rS
'7 =
"3/2
ds
2 R
3/2
Al 1.6.1.14
A l 1.6
A l I . 6 . 2 . - CALCULO DE L A S I N T E G R A L E S C O R R E S P O N D I E N T E S A T '
5
1
v
¿
< £
2
^s =
d
y R+b
+ 2 R
3 / 2
]
Al 1.6.2.1
3t
F
k 5
j^(b-2R)
3/2
ds
= 2/3
(R+b)3/2
+ 2R /
R+b
- R
3/2
In
/R+b
8/3
R
3/2
- R
3/2
V
In
£
-JR
Al 1.6.2.1
4R
.1—
ds
=
^—
\/ R + b + / R
In
t
1
In
£
4R
-JR
\¡R+b
r
Al 1.6.2.3
ds
=
2 /R+b
-Jr
In
sj R+b
+/r
JR+b!
-/R
- 2 / r
- ¡ R In — - 4R
Al 1.6.2.4
s
.
In
s
ds =
64 R r
-
4/3
-
R
(R+b)3/2
3 / 2
In
2 t
+ 4 R
r
-8/3
2
,
[
(b-2R)
/ R+b
In
64 R (R+b)
3 t 'r
R+b
R
3 / 2
- 4R3/2
In
R+b +
R
R+b +
R
S
1_
¿
d s
JL
=
A
2y¡R
±
^
S
5/2
--2
ds =
3/2
5 (R+b)
—
t
a
r
+
Rb
In
/RTÍD
_2_0 ( R + b ) 3 / 2
R
y_R+b__+
2
5 t R
c r
Al 1.6.2.6
t
/ r
R
5/2
23 t
r
R
3/2
-/R
3/2
V e
In
Al I.6.2.7
4R
S
1
'8 =
s
2 i—
^ r
•
ds
t
+
+
sJr t
2
r
2 R
ds
=
t
r
Rb
)n
3 / 2
= t
2 R
3/2
-/R"
/R+b
-^R
Al 1.6.2.8
1__
R
Rb
t
In
+V /R
4R
3/2
_(R+b)__
r
y R+k
Ve
y?
^R+b
In
r
2/R
2\[R
In
ve
4 R
y¡R
A l 1.6
s[r~ ds =
10
2_(R+b)
3/2
3/2
2_R_
Al 1.6.2.10
3 t
3 t
S
s2
J
372
*
11
dS
=
"
2
r
3~
t .
r
Iu
( R + b ) 2 - 6R ( r + b ) - 3 R 2
3
_/n
3/2 1
7
R+b
J
Al I.6.2.11
3/2
12
ds =
Al 1.6.2.12
(\¡ R + b
t
Jr
3/2
-—
2
13
ln
ds = t
jR+b
+ \¡R_
^R+b
-J R
d * * ? ! ?
r
+
Rb;
R
3 ^
+
b
- 3/2
t
4 t
e
.
R
3/2
+
f R
spR- 3/2
r
t
/ R
ln
¿
— - 4R
r
Al 1.6.2.13
5
14
£
15
"3/2
r
s
F
16 - 3 r
^
dS
2R_+_b
2
=
d s =
" 2
t
r
_2
Al 1.6.2.14
|
y/R+b
V
L
(R+b)2
5
D5/2
R
- 2 \¡~R
- 2/3
R
(R+b)
+ R'
ftub
-
2
2
ds
16
64 R r
. (R+b) + R 2 ]
V R+b
(R+b y
= - r
[
+ 20/3
- 2/3
(R+b)5/2
R2 ^R+b
- 1/3
-8/15
R
5 / 2
ln
R
5/2
,
"
R
64 R 2
+4/3
R,
\j R+b +\JR
ln
5 / 2
598
- Í - -
.
75
/R+b
2
R
5
ln
64 R ( R + b )
(R+b)3/2
-
1 / 3
+ /R
5/2
V
6
R
7 5
4 R
Al 1.6.2.16
s
17
2
ln
"3/2
.
( R + b ) 2 - 6R ( R + b ) -
ds =
3jR+b
64 R r
|n
- 2/9
(R+b)3/2
64 R (R+b)
J l
3
r
3
/2
,n
3R2
+
8/3
R \/~R+b
.2
+ 2R'
1
\¡R+b
2
t
_ 40/3
R
3 / 2
Al 1.6.2.17
.
. In
S
2 (2R + B )
64 R (R+b)
+
2 V/R
In 2 t
r
+
4
R
In
\/R+b
y_R+b_+v/R^
\/S+b
- 4 \/R~
Al 1.6.2.18
P a r a el c a s o de e l e m e n t o s p a r e l e l o s al e j e r c o n t
^s =
d
s
«é,
s
= 0 se t i e n e
2
Al 1.6.2.19
3/2
ds
1
'3 =
s
= R
ds
3/2
(In S - In t
1
=
r
)
Al I.6.2.20
Al 1.6.2.21
(In S - l n ¿ )
{~R
ds
Al 1.6.2.22
= 0
s
t
S
2
S
t
r
Vr
s
'4 =
-/R
I
v
- L >/r
2/R
64 R r
I r
ds =
-
(In
d
S
s
y/R
~
-
1)
Al 1.6.2.23
64 R
Al I.6.2.24
APENDICE
II
A l 1.6
5/2
R
ds
*t
Fr
ds
V ^ ds
10
11
fc
r
=Jr
5/2
Al 1.6.2.25
, 1
1
\/R
S
£
= - ^/r
(
S
1
1
s
£
)
Al 1.6.2.26
Al 1.6.2.27
Al 1.6.2.28
ds
3/2"
R
-1
=
s ' F
5/2
3 R
Al 1.6.2.29
3/2
S
12
R
Al 1.6.2.30
3/2
Al 1.6.2.31
13
14
ds =
3/2
s
3/2
S
ds
2 R
ds
3/2
Al 1.6.2.32
Al 1.6.2.33
A l 1.6
s2
-r
s2
In
S3
ds =
64 R r
2
(In — - — 64 R
3 \¡R
2
2
In
s
r
64
S
- 2/3)
3
—-
ds =
Rr
2
_
3
Al I .6.2.34
R
(In—
S
64
ó / ¿
—
-2/3)
R2
Al 1.6.2.35
s2
1/2
ó / ¿
,n
64 R r
S2
dS
=
2 r
3/2"
s2
( , n
— " " o
64 R 2
~
1 )
Al 1.6.2.36
BIOGRAFIA
BIOGRAFIA
Manuel D o b l a r é C a s t e l l a n o n a c i ó en C ó r d o b a en el año 1956 r e a l i z a n d o sus e s t u d i o s de b a c h i l l e r a t o en el I . N . B .
Seneca.
i
C u r s a la c a r r e r a de I n g e n i e r o I n d u s t r i a l en la E . T . S . I . I . de
S e v i l l a obtenie_n
d o el t í t u l o en el año 1978 c o n el n - 1 de su p r o m o c i ó n .
F i n a l i z a d o s los e s t u d i o s de I n g e n i e r í a se i n c o r p o r a a la C á t e d r a de E l a s t i c i d a d
y R e s i s t e n c i a de M a t e r i a l e s de d i c h a E s c u e l a , i m p a r t i e n d o c l a s e s de d i c h a m a t e r i a y to
mando p a r t e en d i f e r e n t e s c u r s o s de i n v e s t i g a c i ó n y p e r f e c c i o n a m i e n t o ( C á l c u l o M a t r i c i a l
y E l e m e n t o s F i n i t o s ) . A s i m i s m o r e a l i z a el P r o y e c t o f i n de C a r r e r a s o b r e el Método de
los elementos F i n i t o s .
Se i n c o r p o r a a la E . T . S . I . I . de M a d r i d en di. año 1979, i n t e g r á n d o s e en la Cá
t e d r a de E s t r u c t u r a s donde ha r e a l i z a d o la p r e s e n t e T e s i s y d i s t i n t o s t r a b a j o s de i n v e s
t i g a c i ó n , t a n t o en lo que se r e f i e r e al c a p í t u l o de a r t í c u l o s y c o m u n i c a c i o n e s a C o n g r e s o s , como a I n f o r m e s a d i s t i n t o s e m p r e s a s y e n t i d a d e s p ú b l i c a s .
P o r ú l t i m o ha c o l a b o r a d o t a m b i é n
en el D p t o .
con departamentos e x t r a n j e r o s permaneciendo
de I n g e n i e r í a C i v i l de la U n i v e r s i d a d de S o u t h a m p t o n d u r a n t e l o s meses de
J u l i o y A g o s t o de 1980.