I22a

C O L U M N A S
EN
L I Q U I D A S
I N G R A V I D E Z
INFORME FINAL 198 5
Lamf-E.T.S.I.A, Laboratorio de Aerodinámica,
E. T. S. I. Aeronáuticos, Ciudad Universitaria,
28 04 0-MADRID
Expediente CONIE: 285/85
Madrid, Diciembre de 1985
Ref.: Lamf 8412
-1-
EXPEDIENTE CONIE No. 285/85
COLUMNAS LIQUIDAS EN CONDICIONES DE INGRAVIDEZ
Convenio de Investigación entre la Comisión Nacional de
Investigación del Espacio (CONIE) y la Universidad
Politécnica
de Madrid (UPM), desarrollado por el Laboratorio de Aerodinámica
de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Aeronáuticos
(ETSIA), durante el año 1984.
Director del trabajo: Ignacio DA RIVA DE LA CAVADA
Colaboradores
: Isidoro MARTÍNEZ HERRANZ
José MESEGUER RUIZ
Ángel Pedro SANZ ANDRÉS
Damián RIVAS RIVAS
José Manuel PERALES PERALES
Juan Carlos LLÓRENTE GÓMEZ
Luis Antonio MAYO MUÑlZ
Alberto FERNANDEZ HERRERO
Jesús LÓPEZ DIEZ
i
-11-
M E M O R I A
Siguiendo con el Proyecto de Investigación sobre el comportamiento de "Columnas liquidas en ingravidez", que desde 1975 se
viene desarrollando en el Laboratorio de Aerodinámica de la
Universidad Politécnica de Madrid, subvencionado por la Comisión
Nacional de Investigación del Espacio, en 1985 se está realizando un amplio programa de actividades que van, desde los necesarios estudios de base, hasta los múltiples experimentos a bordo
de diferentes plataformas espaciales.
Para empezar, a finales de Enero tuvo lugar en Bruselas la reunión de revisión de resultados de los primeros ensayos en vuelos
parabólicos, realizados en Diciembre de 1984 en Houston
(Texas)
a bordo del avión KSC-135 de la NASA. Varios de los investigadores europeos de física de fluidos aprovecharon esta oprtunidad
para conducir ellos mismos sus experimentos. Aunque en estos
vuelos a penas se consigue unos 25 segundos de ingravidez (en
cada uno de los 20 o 25 saltos que el avión puede realizar en
cada vuelo) estos ensayos proporcionan al investigador una alta
relación calidad/precio, y cabe recordar que el Laboratorio de
Aerodinámica ya habla pedido a la CONIE en 1976 que estudiase la
posibilidad de llevar a cabo pruebas de este tipo con aviones
españoles.
A principios de Marzo tuvo lugar en ESTEC una prolongada sesión
-iiide entrenamiento de los astronautas para la misión Spacelab-Dl
(prevista del 30 de Octubre al 6 de Noviembre de este año) para
ejercitarse en el manejo del Módulo de Física de Fluidos, que ha
sido sustancilmente modificado respecto al que voló a bordo del
Spacelab-1 en 1983.
El dia 6 de Mayo fue lanzado desde la base de Kiruna (Suecia) el
cohete alemán TEXUS-12, que transportaba la Célula para Columnas
Liquidas para el experimento español "Máximum Injection Rate in
a Floating Zone". Se recordará que este aparato ya voló en 1984
en el TEXUS-10, pero alli, la dilatación que sufrió el liquido
de trabajo durante un anormal calentamiento antes del despegue,
impidió que el motor de inyección de liquido llegase a funcionar, con lo que el experimento ni siquiera fué iniciado. Esta
vez, en cambio, el desarrollo del experimento fue perfecto,
habiendo significado un rotundo éxito el conseguir formar, por
primera vez en cohetes de sondeo, columnas liquidas de 3 0 mm de
diámetro por 8 0 mm de longitud.
En Junio se realizó una segunda sesión de vuelos parabólicos en
el avión KSC-135, en la que se ensayaron los discos de trabajo
que van a ser usados en el Spacelab-Dl. Aunque no se pudieron
conseguir
zonas largas por el movimiento
aeronave, se
lograron
detectar
posibles
residual de la
problemas
de
compatibilidad de materiales en otros experimentos que hacen uso
común del Módulo de Física de Fluidos.
-ivA principios de Agosto tuvo lugar el ensayo general de la misión
Spacelab-Dl desde el Centro de Control de Operaciones Espaciales
de Alemania (GSOC) en Oberpfaffenhofen
(Munich), con conexión
directa con el Centro de Control de la Misión en Houston y, a
través de este último, con los astronautas situados en el simulador del Spacelab en Colonia (Alemania). Como se sabe, este
vuelo del Spacelab está fletado integramente por Alemania y el
control de los experimentos se realizará en directo desde GSOC
via Houston.
Pese a que los equipos de comunicaciones y tratamiento de datos
son más modernos que los pioneros equipos utilizados en Houston
para el Spacelab-1 en 1983, todavía se observaron muchas deficiencias técnicas, por lo que los investigadores solicitaron una
nueva simulación de la misión, aunque lo apretado del calendario
hizo impracticable su realización.
Posteriormente, y conocido ya el plan de vuelo nominal para el
Spacelab-Dl, el astronauta encargado del experimento español en
Física de Fluidos (en este segundo vuelo habla dos experimentos
españoles) se desplazó a Madrid para recibir un entrenamiento
más detallado, y practicar en las instalaciones de microgravedad
simulada del Laboratorio de Aerodinámica de la Escuela Técnica
Superior de Ingenieros Aeronáuticos.
Por fin el 30 de Octubre, a las 5 de la tarde (hora española),
como estaba previsto, el transbordador espacial Challenger de la
-vNASA era lanzado desde Cabo Kennedy en Florida, llevando en su
interior el laboratorio Spacelab, fletado enteramente
por
Alemania.
Por lo que respecta al experimento español de física de fluidos,
el objetivo era básicamente repetir los ensayos previstos para
el primer vuelo (en 1983), con dos modificaciones principales:
primero, con la experiencia ganada entonces, se simplificó la
secuencia de ensayos para adaptarse a la realidad (en un par de
horas de agitada preparación en un ambiente hostil, una persona
no puede realizar todos los experimentos que se han imaginado
durante varios años los componentes de un equipo investigador).
La segunda modificación fue para evitar el desparramamiento del
liquido de trabajo; se cambiaron los discos y el sistema de
inyección, y ha sido todo un éxito.
En resumen, y a falta de analizar las imágenes tomadas a bordo,
puede decirse que esta vez se ha conseguido controlar el anclaje
de la columna liquida a los discos, y se han realizado todos los
ensayos previstos. Hay que destacar el anormalmente alto nivel
de ruido mecánico en este vuelo, pero el análisis mostrará si se
trata de algo anormal o es debido a la extrema sensibilidad de
las columnas liquidas tan esbeltas que se llegaron a manejar:
cilindros perfectos de 35 mm de diámetro por 100 mm de longitud,
las columnas liquidas más esbeltas conseguidas hasta ahora en el
espacio!.
-vi-
Í N D I C E
VOLUMEN 1
MEMORIA
ii
1. LA CIENCIA DE LOS MATERIALES EN EL ESPACIO
2 . COLUMNAS LIQUIDAS NO AXILSIMETRICAS
1
37
2.1. Introducción
38
2.2. Planteamiento general del problema
39
2.3. Orden de la bifurcación con gravedad transversal o con discos no coaxiales
42
2.4. Bifurcación para una pequeña excentricidad de
los ejes de los discos
48
2.5. Resultados y conclusiones
49
2.6. Referencias
51
3 . COLUMNAS LIQUIDAS COMPUESTAS
53
Apéndice 1. One-dimensional linear analysis of the
compound jet
57
Apéndice 2. Experiments with liquid bridges in simulated microgravity
84
-vii-
VOLUMEN 1 (cont.)
4. UTILIZACIÓN DE LA ZONA FLOTANTE EN LA PURIFICACIÓN
DE MATERIALES
113
4.1. Introducción
114
4.2. Modelo matemático
115
4.3. Conclusiones
121
Bibliografía
124
-VI11-
VOLUMEN 2
OSCILACIONES NO AXILSIMETRICAS
1
5.1. Introducción
2
5.2. Ecuaciones generales
5
5.3. Análisis lineal
8
5.4. Oscilaciones libres
16
5.5. Resultados
18
5.6. Conclusiones
34
Referencias
35
DATOS DE ALTA PRECISIÓN PARA EL LIMITE DE ESTABILIDAD
DE ZONAS FLOTANTES
37
6.1. Introducción
38
6.2. Formulación
40
6.3. Forma de equilibrio
42
6.4. Estabilidad
45
6.5. Puntos singulares
46
6.5.1. Limite de estabilidad de zonas catenoidales
52
6.5.2. Limite de estabilidad de zonas con pendiente nula en el disco mayor
54
6.5.3. Limite de estabilidad de zonas con lal
mínimo
56
-ix-
VOLUMEN 2 (cont.)
6.6. Algoritmo para el cálculo del mínimo volumen y
de la forma de equilibrio
58
6.7. Ajuste polinómico de la solución
61
Referencias
64
ENSAYOS EN EL COHETE TEXUS-12
71
7.1. Introducción
72
7.2. Resultados del vuelo
73
7.3. Evaluación de los resultados
85
7.3.1. Análisis de las características globales 86
7.3.2. Análisis de las formas
93
7.4. Conclusiones
106
Referencias
108
Apéndice 1. Long liquid bridges aboard sounding
rockets
109
Apéndice 2. Eccentric rotation of a liquid bridge.. 116
Apéndice 3. Ajuste de los datos experimentales.
Cálculo de la curvatura y del campo de
velocidades
EXPERIMENTOS EN EL LABORATORIO SPACELAB-Dl
8.1. Introducción
122
132
133
-x-
VOLUMEN 2 (cont.)
8.2. Modificaciones respecto a los ensayos en el
Spacelab-1
135
8.3. Preparación de la misión
137
8.4. Resultados preliminares
139
Apéndice 1. Agenda de trabajo del astronauta en
Madrid
Apéndice 2. Transcripción del registro de voz
141
143
Apéndice 3. Secuencia de actividades realizadas en
el Spacelab
155
i
-1-
1. LA CIENCIA DE LOS MATERIALES EN EL ESPACIO
-2
1. LA CIENCIA DE LOS MATERIALES EN EL ESPACIO
Í N D I C E
1.1. Introducción: la investigación espacial hoy dia
1.1.1. Condiciones ambientales en el espacio
1.1.2. El estudio
de los p r o c e s o s
de m a t e r i a l e s
en e
espacio
1.2. Efecto de la gravedad sobre la materia
1.2.1. Efectos a nivel macrosclpico
1.2.1. Efectos a nivel microscópico
1.2.3. Punto critico
1.3. La convección en el procesos de materiales
1.4. Procesos sin paredes
1.5. Zonas liquidas
flotantes
1.6. Lineas de investigación
1.6.1. Física de fluidos
1.6.2. Solidificación y crecimiento
cristalino
1.6.3. Combustión y reacciones químicas
1.6.4. Separación biológica por elee troforesis
1.6.5. Procesos en levitación
1 7. Resultados y conclusiones
R E S U M E N
El objetivo de este trabajo es el de hacer una revisión
tado de las investigaciones
en ciencia
y tecnología,
del es
poniend
énfasis
en los aspectos
sos de m a t e r i a l e s
ambientales
puede
equipos
horas
las
existentes
decirse
Spacelab-1
bajo
permitieron
durante
uno de ellos
novísimas
en los
que es ya
a finales
t e r m o d i n á m i c o s , de
de
" c o r r i e n t e " desde
1 9 8 3 , donde
realizar
e n g l o b a b a varias
uno de los cuales
era
con p r e f e r e n c i a
des de cada
contrarse
en
las
ASTP,
S p a r , TEXUS y S p a c e l a b .
Aunque
a principios
beneficios
el vuelo
grandes
(cada
experimentos,
fenómenos
espectro
de
que no se conocen
de
y
consigo
de
los
el proceso
es
que
los
de
s u f i c i e n t e m e n t e , y no en
que b u s c a r l o s
experimentos
la
en
de
en-
NASA
Skylab,
pre-
1985.
70 se h a b l a b a
por un c o n o c i m i e n t o más p r o f u n d o
n a d o a través de c u i d a d o s o s
ESA
los e x p e r i m e n t o s
d e s c o n o c i d o s . Al m e n o s
habrá
la
éstos
en los v u e l o s A p o l l o ,
a finales
traerla
estudios
interés
un
experimentales
exóticos
de
fin de p r e s e n t a r
están en los v a l i o s o s
guiados
12
peculiarida-
Se m e n c i o n a n
de los años
los b e n e f i c i o s
de
de
realizados
que
de
presente
siglo,
turnos
a una e n u m e r a c i ó n
Spacelab-Dl
inmediatos
de m a t e r i a l e s
en
experimentos
les en el e s p a c i o , la r e a l i d a d
rrestres
del
sofisticados
de p e q u e ñ o s
publicaciones
los e x p e r i m e n t o s
para
uso
de
serie de e j e m p l o s , pudiendo
sobre
vistos
cuyo
el h i s t ó r i c o v u e l o
operando
descriptivo
frente
que una
fácilmente
condiciones
espaciales,
6 toneladas
decenas
a p l i c a c i ó n , con el
p o s i b i l i d a d e s , más
70
proce-
español).
Se ha elegido un t r a t a m i e n t o
general
peculiares
laboratorios
a 4 científicos,
10 d i a s ,
y
los m ú l t i p l e s
fabulosos
de m a t e r i a beneficios
procesos
la
obtención
en lo que queda
la T i e r r a ;
te-
de
eso
si,
de los m a t e r i a l e s ,
ga-
en el
espacio.
-4-
1.1. I N T R O D U C C I Ó N :
Con el
LA I N V E S T I G A C I Ó N
fin de dar una v i s i ó n
ciencia
de los m a t e r i a l e s
interés
en
las
las m a y o r e s
de
las p a r t i c u l a r í s i m a s
emplazamiento
en
de conjunto
condiciones
para
de
DÍA
la p o s i c i ó n
las
seguidas
que
han
el estudio
de la
disciplinas
e s p a c i a l e s , conviene
investigación
favorable
sobre
en el c o n t e x t o
investigaciones
lineas
E S P A C I A L HOY
hoy
hecho
resumir
dia,
del
de
aqui
asi
como
espacio
de p r o b l e m a s
un
de
interés
actividades
humanas
la T i e r r a .
Desde
la P r e h i s t o r i a
relacionadas
pero hasta
podido
salir
modo
tiene
con el estudio
esta
romper
la atadura
noticia
del
siglo
impuesta
nuevos
global, aprovechar
por
XX
la
el
(Astronomía),
hombre
gravedad
i n t e r e s e s : observar
las p a r t i c u l a r e s
para el estudio del c o m p o r t a m i e n t o
que este
l e s , pero d e s a p a c i b l e
materia
exterior
no
habla
terrestre
y
exterior.
entonces
las c o n s e c u e n c i a s
de
del espacio
segunda m i t a d
al espacio
Aparecieron
se
el
viva y la fisiología
condiciones
(favorable
hombre)
puede
del o r g a n i s m o
para
un
predecir
los m a t e r i a -
producir
humano
de
ambientales
de los m a t e r i a l e s , y
ambiente
para
la T i e r r a
sobre
la
a corto y lar-
go p l a z o .
Aunque
todavía no se ha a c e p t a d o
materias
agrupar
de interés
en cuatro
para
grandes
la
una
división
investigación
grupos:
definida
espacial,
se
de
las
pueden
-5-
A s t r o f i s i c a : estudio
netas.
de n e b u l o s a s , g a l a x i a s ,
Este es un campo
de teorías
sobre
idóneo
la formación
el
Sol
para
y
el
los
pla-
desarrollo
de e s t r e l l a s ,
fisión
nuclear, radiaciones, plasmas, etc.
Geofísica:
estudio
del
interior
de
la Tierra
(movimientos
magma y m a n t o
terrestre, geomagnetismo, geodesia) y
estudio
biosfera
de
la
(ciclos
vitales,
naturales, población, contaminación,
El panorama
que ofrece
oportunidades
eran de tipo
típico
de
ejemplo
Métrica
investigación,
de
los p r o c e s o s
de
que
infinitas
hasta
las g l a c i a c i o n e s
es
de turbina
"células
solares
rendimiento
ciencia
de
la
Cámara
20
m,
lo
en
que
marítimas
podrán
y material
más
ya
han
predicciones
de
"materiales
trabajar
electrónico
a m u c h o menor
la
condicio-
"espacial"
resistentes",
que
fuera de toda duda
de
con
trabajo. A u n q u e
las o p t i m i s t a s
para alabes
(un
de c o s e c h a s , e t c .
este
100 veces más
ahora
globalistas
obtenida
la
"materiales
queda
es
de m a t e r i a l e s
es
trata
a la historia
cho m a y o r
de
recursos
meteorología).
la c a r t o g r a f í a , p r o s p e c c i o n e s
m o d e r n a ; de ella
°C",
son
del S p a c e l a b - 1
nes e s p a c i a l e s . Esta
pasado
ya
resolución
y terrestres, seguimiento
estudio
campo
es el estudio
a bordo
revoluciona
este
local y ahora
la T i e r r a ) . La
Materiales
del
precio",
incomparable
a
2000
de m u etc. ,
utilidad
-6-
que
tiene
mejor
Biología:
la
experimentación
comprensión
de
proceso
de m a t e r i a l e s
estudio
de
los
espacial
fenómenos
humana
vivas
y transformaciones
tidad
de procesos
termoqulmicas
son más p r o p i a m e n t e
espacial
gran
da
lugar
importancia
brimiento
vección
natural
1.1.1. C o n d i c i o n e s
dirección
gunos:
gravedad,
y campos
dando
más
en el
efectos
relevante
como
en la ciencia
de
transacuosa.
(sistema
el
ambiente
fue
de
descu-
mostrar
ocular
ocasio-
debido
a
la
se
con-
se c r e í a .
espacio
que
tienen
fácilmente
estáticos
con m a t e r i a l e s . La ausencia
que
can-
en el o í d o ) también
siendo
ambientales
y m a g n é t i c o s , son
gran
a n a l i z a r . Un
en órbita y en la s u p e r f i c i e
lugar a i n t e r e s a n t e s
procesos
de calor
(ma-
y modificaciones
t e m p e r a t u r a , p r e s i ó n , radiación
eléctricos
al
células
disolución
Spacelab-1
vestibular,
ambientales
Una
son más
(oscilación
i n g r a v i d e z , no
los p a r á m e t r o s
distintas
en el
térmico
las
fluidodinámicos
a cambios
nada por a p l i c a c i ó n
en
en
de
sobre unos y otros
importante
produce
no
que es preciso
que el n i s t a g m u s
Son b a s t a n t e s
genéticas.
biológicos
c i r c u l a t o r i o ) , pero
inherentes
en i n g r a v i d e z
reo, d e s c a l c i f i c a c i ó n ) , d e s a r r o l l o
Otros
una
en la T i e r r a ,
la fisiología
formaciones
para
magnitud
terrestre.
cósmica
Alsolar
identificables,
y dinámicos
de gravedad
y
y
es el
en
los
parámetro
los m a t e r i a l e s . Los d e m á s : a t m ó s -
-7fera rarificada, bajas temperaturas, baja presión, alta
ción, etc., pueden conseguirse
con mayor
o menor
radia-
facilidad
en
periodos
de
los laboratorios terrestres.
La obtención de gravedad
reducida
durante
tiempo puede conseguirse en tierra mediante
cortos
calda
libre
en to-
rres de vacio (2-3 segundos), vuelo parabólico de aviones
segundos), calda libre desde globos estratosféricos
tos) y vuelo balístico de cohetes estratosféricos
(15-25
(1-2 minu-
(4-6 minutos),
pero los lentos procesos de relajación termodinámicos que suelen
intervenir en la obtención de las condiciones
de equilibrio
los sistemas heterogéneos de i n t e r é s , requieren
tiempos
mayores, por lo que el laboratorio orbital es la única
de
mucho
solución
aceptable.
Aunque se habla a menudo de "ingravidez", conviene recordar
que
se trata en realidad de una gravedad reducida, y que, en el mejor de los casos, hay que contar con una perturbación
(en magnitud y sentido) del orden
m.s
de 5.10
, la aceleración de la gravedad
aleatoria
g (siendo g =
en la superficie
9.8
terres-
tre). Esta perturbación es debida al movimiento del personal
de
a bordo, pero hasta en los vehículos no tripulados se alcanza un
valor del orden de 10
g (con una frecuencia entre 0.1
y 10 Hz)
por causa de la resistencia aerodinámica y maniobras de mantenimiento de órbita y actitud.
1.1.2. El estudio de los procesos de materiales en el espacio
-8-
La ciencia
y tecnología
estudiadas
con gran d e t a l l e ; no es p r o b a b l e
teorías
der
de los m a t e r i a l e s
científicamente
trabajar
te un gran
bilidad
en c o n d i c i o n e s
interés de
por
la gravedad
"experimentación
fuerzo
que
riales
en el
De entre
gravidez,
teorías
los
han
que a p a r e z c a n
sido
nuevas
r e d u c i d a . Aun a s i , e x i s -
científica
por
simples m e d i a n t e
terrestre.
no p e r t u r b a d a " lo que
se está d e d i c a n d o
la T i e r r a
por el mero hecho de po-
de gravedad
la comunidad
de c o n t r a s t a r
perturbados
revolucionarias
en
Es
tener
experimentos
no
oportunidad
de
esta
justifica
hoy dia a la
la p o s i -
el
ciencia
enorme
de
los
es-
mate-
espacio.
fenómenos
se pueden
. Aparición
que m e r e c e n
estudio
en c o n d i c i o n e s
de in-
citar:
de
las c o r r i e n t e s
de c o n v e c c i ó n
y
acoplamiento
c o n v e c c i ó n - d i fus ion.
. Convección
durante
y su interacción
pecialmente
de
fase y r e a c c i o n e s
los p r o c e s o s
de
transformación
aquéllos
responsables
de
la
de
la c o m p o s i c i ó n
en d i s o l u c i o n e s
. Propiedades
fases:
composición
. Interacción
y temperatura
superficial
de m e n i s c o s
en
la
distri-
y difusitividades
y fenómenos
y concentración
b o r d e , ángulos
microestructura
térmica
y fundidos.
de e q u i l i b r i o
tensión
(es-
sólidos).
bución de d e n s i d a d , v i s c o s i d a d
y másica
químicas
con
de los m a t e r i a l e s
. Influencia
cambios
en
de
dinámicos
función de la
en
inter-
temperatura,
contaminantes.
con p a r e d e s
sólidas:
efectos
de c o n t a c t o , m o j a d o y h u m e c t a c i ó n .
de
-9. Parámetros termodinámicos cerca de los puntos críticos de
transformación.
La simplificación del análisis de modelos teóricos sencillos
sistemas tan complejos como
los anteriores
siguientes efectos
a la gravedad
debidos
drástica de la convección
natural
está basada
reducida:
inducida
por
disminución de la sedimentación, disminución
los
reducción
flotabilidad,
de la estratifi-
cación por gradiente de densidad en las proximidades
critico y posibilidad de aislamiento
en
de
y levitación
del
de
punto
muestras
(ausencia de paredes).
Como contraposición a este amplio espectro
de posibilidades
estudio ventajosas en ingravidez, hay que tener presente
ambiente espacial introduce
tantos
o más problemas
de
que el
de los
que
resuelve: seguridad, sofisticacion de los e x p e r i m e n t o s , fiabilidad, disponibilidades, accesibilidad, etc. Ya está pasada
la
época aventurera en que el mero hecho de realizar cualquier "experimento" a bordo de una nave espacial era razón suficiente
de
valla. El uso de esos costosos laboratorios
la
espaciales
para
investigación y desarrollo de materiales debe ser racionalmente
limitado a los casos de especial interés científico en los que,
tras un exhaustivo análisis teórico-experimental en laboratorios
terrestres, aparezca esta necesidad y, aun asi, se trabajará
paralelo para separar nítidamente
el efecto
de la
en
ingravidez.
-101.2. EFECTO DE LA GRAVEDAD SOBRE LA MATERIA
1.2.1. Efectos a nivel macroscópico
El manejo de materiales en gravedad terrestre requiere un soporte (si son sólidos) o un recipiente
(si son
fluidos);
en gene-
ral, se puede decir que necesitan un apoyo o un medio de levitación y, además, un procedimiento de posicionado
(mantenimiento o
cambio de su situación relativa a otros cuerpos).
Por otra parte, la gravedad
ocasiona
un estado
deformaciones en los sólidos, una presión
de esfuerzos y
hidrostática
fluidos en equilibrio, y una pérdida de estabilidad
estratificados con gradiente de densidad
opuesto
en
en
los
fluidos
al campo gra-
vitatorio (inestabilidad de Rayleigh-Taylor), entre otros
efec-
tos; tal vez uno de los más curiosos sea el de la posición
que
adopta la superficie libre de un liquido en ingravidez.
La presencia de un campo de fuerzas másicas, como el gravitatorio, da lugar a fuerzas de flotabilidad en fluidos estratificados, siendo la fuerza proporcional a la intensidad del campo y a
la diferencia de densidades. El efecto de la flotabilidad
sobre
las inclusiones en un fluido es el de sedimentar las
partículas
más pesadas (partículas sólidas
en
o gotas
de liquido
sión) y elevar las más ligeras (burbujas o gotas menos
Si las partículas son de tamaño m i c r o s c ó p i c o
suspendensas).
o coloidal
que añadir otros efectos, como el movimiento browniano
habrá
(fluctua-
ciones moleculares) que hace más lentos estos procesos de decan-
-11tac i¿n.
El efecto de la flotabilidad
sobre masas
fluidas
densidades es el de originar una estratificación
de
diferentes
(grradiente
de
densidad en la dirección del campo gravitatorio). Si los fluidos
son inmiscibles aparecen interfases de separación perpendiculares al campo, que se presentan como superficies de discontinuidad (a nivel macroscópico), y cuyo estudio
ciado con la experimentación
en gravedad
se verá muy
benefi-
reducida. Cuando
alguna razón el gradiente de densidades no está alineado
campo, aparece
un movimiento m a c r o s c ó p i c o
por
con el
de convección
del
fluido, que se suele llamar convección natural.
La convección natural es crucial en casi
todos
los procesos
de
materiales con alguna fase fluida debido a su influencia
en el
transporte de masa (varia la concentración) y de energía
(varia
el campo de temperaturas). El problema es tan complejo que entre
los técnicos metalúrgicos la convección natural se tenia por un
hecho incontrolable, caprichoso (impredecib 1e ) e indeseable
la mayoría de las ocasiones
(aunque en otras ayudaba
en
a un buen
mezclado).
De cualquier modo, hay que puntualizar que los efectos
que
ori-
gina la gravedad no pueden ser evaluados
tan
sólo
considerando
las fuerzas gravitatorias, sino que es necesario recurrir
a una
comparación con el resto de las fuerzas actuantes y analizar
importancia
relativa. Como
indicadores
de este
aparecen los números adimensionales del análisis
su
sopesamiento
de
semejanza,
-12tales como:
el numero de Reynolds
(relación
entre
las
fuerzas
de
inercia y las viscosas), que nos da idea de la "amplitud"
del movimiento.
el número
de Strouhal
(relación
entre
las
fuerzas
de
inercia locales y convectivas), que muestra la influencia
del tiempo (procesos no estacionarios).
el número de Prandtl (relación entre las difusi t i v idades
viscosa y térmica), que indica la relativa importancia de
ambos fenómenos de transporte.
el número
de Grashoff
(relación
entre
flotabilidad y las fuerzas v i s c o s a s ) ,
las
fuerzas
de
que determina
la
aparición de la convección libre (suele usarse también el
número de Rayleigh que es el producto Gr.Pr).
el número de Nusselt (relación entre
los transportes
de
calor por convección y conducción), etc.
Un cuidadoso análisis adimensional nos permite
experimentos en tierra que no estén dominados
también
por
la
diseñar
gravedad,
por ejemplo trabajando con longitudes características pequeñas o
con materiales de características más adecuadas (mayor viscosidad, menor coeficiente de dilatación, e t c . ) ,
aunque
ello
suele
añadir otros problemas secundarios, por lo que es preciso
adop-
-13tar una solución de compromiso. En general, las posibilidades de
llevar a cabo tales simulaciones disminuye al aumentar el número
de parámetros que intervienen simultáneamente
(existen numerosos
fenómenos de combustión, solidificación y separación en los cuales es éste el caso).
1.2.2. Efectos a nivel microscópico
El efecto del campo gravitatorio a nivel de la energía atómica y
molecular es despreciable; en estas dimensiones los campos eléctricos y magnéticos debidos a las demás partículas
dan
lugar a
fuerzas mucho mayores, y, como la experimentación demuestra, la
no inclusión de las fuerzas gravitatorias en la teoría da
a resultados aceptables
(aunque se han apuntado
algunas
lugar
excep-
ciones que tienen lugar en experimentos de resonancia que tratan
de fenómenos hiperfinos).
Se puede dar una sencilla explicación del porqué de esa insensibilidad al campo gravitatorio con el átomo de hidrógeno, para el
cual existe una concordancia total entre la teoría sin
gravedad
y la experimentación en tierra. Estimaciones rudimentarias indican que dentro del átomo de hidrógeno la energía potencial
vitatoria es del orden de 10 - 3 8 julios, mientras que la
gra-
energía
_ 1 O
potencial eléctrica es de unos 10
julios.
Aunque los niveles de energía para átomos y moléculas grandes no
son conocidos con tanta precisión como para el átomo de hidrógeno, el efecto de la gravedad es también despreciable. La idea es
-14que cualquier propiedad medible de un gran conjunto de moléculas
experimeenta fluctuaciones térmicas que enmascaran totalmente el
efecto local de la gravedad. La medida de una propiedad
local,
tal como la temperatura, supone un promedio extendido a unas 10
moléculas como mínimo, con una fluctuación
térmica
en el valor
medido de un 1 °L aproximadamente, lo que supone una
fluctuación
_ o1
en
energía
potencial
del
orden
de
gravitatoria
10
julios,
asociada
al
mientras
tamaño
que
energía
característico
A
m uestra (unas 10
la
de
la
_ o O
moléculas) no es más que de unos 10
julios.
Es decir, las ecuaciones de estado del equilibrio local, los ángulos de contacto en las lineas triples de unión
de fases
dis-
tintas, los coeficientes de transporte, etc., son independientes
de la gravedad
(al menos hasta
centrifugadoras actuales).
los niveles
alcanzados
Sin e m b a r g o , existe una
con
las
excepción:
los fenómenos en las proximidades de los puntos críticos.
1.2.3. Punto critico
Hasta mediados del siglo pasado se pensaba
que habla
diferentes de gases, según que al comprimirlos
licuasen o no (se llamaba gases
permanentes
Pero en 1869 Andrews publicó un trabajo
dos
tipos
isotérmicamente
a estos
últimos).
experimental
sobre
el
punto critico del dióxido de carbono, estableciendo que la curva
de presión de vapor tiene un punto limite
lo cual, a partir de una cierta
(punto c r i t i c o ) ,
temperatura
(temperatura
tica) por mucho que se comprima el gas no aparece una
definida gas-liquido. Apenas
cuatro
años más
tarde
por
cri-
interfase
(1873) van
-15der Waals publicó su célebre tesis doctoral explicando
nómeno con una teoría sencilla sobre la interacción
En cierto sentido, el punto critico puede
nivel de medio continuo. Cerca de un punto
el coeficiente
(l/o)( o/ p)
va creciendo
como un
y fenómenos a
critico, al ir dis-
de c o m p r e s i b i l i d a d
hacia
molecular.
considerarse
punto de unión entre fenómenos a nivel molecular
minuyendo
este fe-
isotermo,
infinito, por
lo que
ligera variación de presión por efecto hidrostático
enormes variaciones de densidad, originando una
da
k =
la más
lugar a
estratificación
que impide tener una fase homogénea. La explicación es que al ir
acercándose al punto critico, el tamaño de la masa de
moléculas
que interviene en las fluctuaciones térmicas va aumentando y las
diferencias de energía potencial empiezan a ser importantes, con
lo que las ecuaciones de estado, los coeficientes de transporte,
etc., se hacen dependientes de la gravedad
(el modo en que
esto
ocurre todavía no se entiende bien).
En estos procesos el tiempo es un parámetro
más
cerca
del punto
c r i t i c o , más
lentos
importante:
son
cuanto
los procesos
de
transporte que llevan al equilibrio. Por ejemplo, para un experimento cuya escala de longitud es de un c e n t í m e t r o , el
tiempo
de aproximación al equilibrio es de varias horas. Los coeficientes de difusión tienden a cero y para lograr equilibrio
de con-
centraciones en un sistema de varios componentes se pueden necesitar dias.
-161.3. LA CONVECCIÓN EN EL PROCESO DE MATERIALES
En los procesos con masas fundidas o con vapores se suele
rar una gran cantidad de energía en el frente de
solidificación
y en el de reacción, si los h u b i e r a . Esta energía
libera en una capa delgada, más
o menos
libe-
interna
curva, a través
se
de la
cual existe un salto brusco de las propiedades físicas y químicas (sobre todo si existen reacciones de c o m b u s t i ó n ) .
El
salto
de densidades a través del frente tiene una importancia
capital
en presencia de la gravedad
másicas
(u otro
campo
de fuerzas
cualesquiera); este salto de densidades va acompañado
de dife-
rencias de concentración debido al cambio de fase y a la segregac ion.
Aun con gravedad, si no hubiera salto de densidades, las transformaciones tendrían
lugar
sin que apareciesen
corrientes
de
convección, desplazándose el frente a través de la masa de material sin originar más que un proceso de difusión inherente
a la
diferencia de composición a uno y otro lado. Pero la acción conjunta de la gravedad y el gradiente de densidades da lugar
aparición de corrientes de convección que aceleran
a la
perpendicu-
larmente el fluido en contacto con el frente y curvan
la
inter-
f ase .
Si se pudiesen conseguir configuraciones de gran simetría
nas, cilindricas, e s f é r i c a s ) la variación
(pla-
en la curvatura
no
seria difícil de estudiar. Es sencillo generar dichas configuraciones simples a partir de un plano, una linea o un p u n t o , pero
-17mantenerlas un tiempo suficiente ya es otro problema; en efecto,
en presencia de la gravedad
t e r r e s t r e , sólo
la forma plana
se
conservarla (si el campo fuese perpendicular). Con e l l o , parece
que la convección serla sencilla de estudiar (movimiento irrotacional con lineas de corriente rectas), pero un análisis más detallado nos dice que no es todo tan simple: la primera
dificul-
tad es que interesan sobre todo los procesos no isotermos en los
que la energía cedida en el frente va calentando el material, lo
cual, si la fase de arriba (respecto a la gravedad) es
fluida,
será inestable (inestabilidad de Rayleigh-Taylor).
La segunda dificultad
surge de la diferencia
de composición
el frente, que tanto puede oponerse, como reforzar el
en
gradiente
de densidades de origen térmico (si se opone, y éste era
esta-
ble, puede desestabilizarlo). La tercera dificultad
inex-
está
cusablemente ligada al sistema de confinamiento del material: en
un experimento real, cualquier frente plano
llegando a las paredes de la cámara
capa limite fluidodinámica
adherida
acaba
lateralmente
y en la unión
aparece
a la pared, dentro
cual la convección es importante siempre
(este efecto de
ocasione también inhomogeneidades en las temperaturas
una
de la
borde
y presio-
nes cuyo efecto no se conoce todavía bien).
Los efectos de borde impiden una completa
lindrica, pero no aparecen
simetría
en la configuración
plana
esférica.
tanto, para comprobar las teorias propuestas para los
de cristalización, quemado y otros procesos
de
o ciPor
fenómenos
transformación,
es conveniente idear experimentos en los cuales se puede obtener
-18-
y mantener
porque
simetría
el campo
e s f é r i c a . En la T i e r r a
de fuerzas
cional) y aparecerían
simetría
la rapidez
del proceso
Cuando
cortos
l i b r e , vuelo
la v e r i f i c a c i ó n
conveniente
unidirec-
que r o m p e r í a n
que o r i g i n a r á
Trabajando
de
son
es-
debido
convección
del
en
y
sea
han
ingra-
permite
cohetes),
por
experi-
importantes
lo
a
experimento,
característico
parabólico,
sobre
de p r o p a g a c i ó n
crecer
cristales
lo
por d i f e r e n c i a
imperfecciones
e
toda corriente
nómenos
que
inestabilidades
de
la
(to-
haciendo
a baja velocidad
cual
es
una
de d e n s i d a d e s
se evitarla
esta
pero
fuente
a lo largo
el
en
convección
que eso no quiere
de una
gradiente
interfase
uni-
de
con
de
(si hay
es
un
movi-
gravedad)
el
por
decir
de c o n v e c c i ó n , pues hay otros
la i n d u c e n , c o m o
y no
solidificación,
inestabilidades
que tener p r e s e n t e
suprima
concentración
la
si el e x p e r i m e n t o
teorías
en ingravidez
dad, pero hay
de
del
a la e x p e r i m e n t a c i ó n
de t e m p e r a t u r a ,
convectivo
moderada,
la
espacial.
frente
hacer
gran g r a d i e n t e
miento
(gravedad
dimensión
de la gravedad
que acudir
uso de un laboratorio
del
que el tiempo
los efectos
sea en tiempos
formidades
en una p r o p o r c i ó n
o a la pequeña
es mucho m e n o r
rres de calda
Para
imposible
de c o n v e c c i ó n
que el tiempo de d e s a r r o l l o
de ser e v i t a d o s , hay
videz,
corrientes
o presentarse
de tal m a n e r a
mento.
es casi p a r a l e l o
es
e s f é r i c a . A v e c e s , sin e m b a r g o , pueden no a p a r e c e r
tos efectos
gravedad
e esto
frente.
graveque
se
muchos
fe-
temperaturas
y/o
(convección
de
Maran-
goni).
A veces
el análisis
es t o d a v í a
más
complicado,
porque
existen
-19partículas en suspensión con tendencia a la sedimentación
(en un
campo de fuerzas). Muchos procesos de solidificación, de quemado
de combustibles pulverizados, de separación de moléculas y células biológicas, etc., son de este tipo.
1.4. PROCESOS SIN PAREDES
Para ciertos experimentos científicos y tecnológicos
de propiedades o de proceso de materiales
una muestra, en general un
se requiere
liquido, sin contacto
(para evitar la contaminación
de
medida
mantener
con
paredes
por e l l a s , o la r e a c c i ó n , o el
simple contacto térmico y mecánico). Con gravedad, seria necesario oponer una fuerza másica de la misma intensidad que el peso;
esto
se ha hecho
con campos
e l e c t r o m a g n é t i c o s , pero es
aplicable a ciertos materiales y bajo condiciones
muy
sólo
restric-
t ivas .
Aunque ya no sea tan b u e n o , se puede
compensar
el peso de la
muestra mediante fuerzas de superficie: hidrostáticas
tro), aerodinámicas
(baño neu-
(corriente de aire) o acústicas (ondas esta-
cionarias), aunque ello da lugar a una convección forzada
en la
superficie por efecto de la capa limite. En cualquier
caso, las
posibilidades de estos dispositivos están severamente
limitadas
en cuanto a tamaño de la muestra, ya que todos los efectos
judiciales son proporcionales
a la fuerza
de levitación
tanto al peso. Conviene, pues, disminuir el peso.
pery por
-20Aunque en un laboratorio espacial la muestra "flota", siempre es
necesario disponer de un procedimiento de control
de
ya que, la experiencia adquirida en vuelo, muestra
posición,
que
las pe-
queñas perturbaciones en órbita y actitud de la nave y la velocidad residual de posicionado de la muestra originan una
hacia las paredes de la cámara de ensayo. Para evitar
riva y para controlar la posición
relativa
esta de-
de dos o más
tras, se han ideado dispositivos electromagnéticos
cuyos efectos secundarios
deriva
y
(convección inducida) son
mues-
acústicos
desprecia-
bles por la baja intensidad del campo (que ahora ya no
soporta
tanta carga como en tierra).
1.5. ZONAS LIQUIDAS FLOTANTES
Un procedimiento intermedio
entre
la utilización
llenos de material a tratar y la levitación
lada es el de mantener una masa liquida
de
cartuchos
de la muestra
ligeramente
una superficie sólida. De entre las diferentes
ais-
apoyada
formas
de
en
hacer
esto, la que está siendo más estudiada es la de una columna
li-
quida entre dos discos paralelos coaxiales
si,
separados
debido por una parte a la sencillez de la geometría
al alto grado de control y m a n i p u l a c i ó n
entre
y por
que permite. Ya
otra
se ha
construido varios aparatos para el estudio experimental con esta
técnica (zona flotante) a bordo del Spacelab. Con esta
ración se pueden estudiar numerosos
fenómenos
inestabilidades de interfase, tensiones
ción de Marangoni, efectos macroscópicos
configu-
fisicoquimicos :
int e r f aci a 1es,
de las fuerzas
convecinter-
-21moleculares, electroforesis, dinámica del mojado de sólidos
por
líquidos, hidrodinámica de burbujas y partículas en suspensión,
difusión de solutos, etc. Esta técnica de trabajo no es n u e v a ;
en metalurgia se usa para el crecimiento y purificación de cristales (método de Czochra1ski), en las acerías
nua, etc.; su estudio en ingravidez promete
de colada
conti-
perfeccionar
y po-
tenciar su utilización en la Tierra.
1.6. LINEAS DE
INVESTIGACIÓN
Una vez presentado el análisis de las particulares
condiciones
del ambiente espacial y su influencia sobre los procesos
teriales, se trata de identificar las áreas de estudio
meten resultados más halagüeños
en las
de ma-
que
investigaciones;
proéstas
pueden agruparse, con cierto orden de importancia, en: física de
fluidos, solidificación, combustión, y eletrofores is , aunque
se
puede añadir un apartado más, la levitación, debido a las especiales oportunidades que ofrece en otras áreas.
Conviene aqui volver a insistir en el carácter básico del
enfo-
que dado a este trabajo, por lo que no se hablará de
materiales
sino de fenómenos. A este respecto se puede comentar
la dicoto-
mía existente
quieren
entre
ensayar
con
los i n v e s t i g a d o r e s : unos
"reactores
técnicos)
silicio, g e r m a n i o , h i d r a c i n a , etc.;
otros hablan de "fluidos newtonianos
nolds",
(los
a bajos números
c a t a l í t i c o s " , e t c . , y, aunque
los
de Rey-
siempre
es
preferible trabajar con el material de mayor aplicación, no debe
-22ser éste un condicionante.
1.6.1. Física de fluidos
Los líquidos y gases forman parte fundamental de los equipos
todos los vehículos expaciales
de
(combustibles, fluidos vitales en
vuelos tripulados). Ademas de este interés
per
se, los
fluidos
son una parte fundamental en la mayoría de los procesos de materiales sólidos (cambios de fase). En realidad, todos los experimentos propuestos en el área de m a t e r i a l e s , sean básicos
aplicación, incluyen fases
los experimentos
fluidas. En
a realizar
la Tabla
en el Spacelab-Dl
Tabla 1. Experimentos de física
de fluidos
1 se
muestran
en este
previstos
o de
campo.
para
el
Spacelab-Dl.
- Capacidad
térmica y formación de fases cerca del pun-
to critico
- Mínimo de la tensión superficial con la temperatura
- Convección de Marangoni en canal, en zona
flotante y
en mezcías
- Separación de fases por gradiente térmico
- Separación de líquidos con miscibilidad
parcial
- Fuerzas capilares y electrostáticas
- Estabilidad de la zona flotante
- Interdi fus ion en sales y metales
fundidos
-23La acción de la gravedad es tan importante que se hace necesario
un estudio minucioso
del estado
termodinámico
y la
evolución
(fenómenos de transporte) en su ausencia. El desglose de
puntos
a tratar puede ser:
Diferentes fases fluidas
Dentro del volumen considerado puede haber fases fluidas separadas por interfases
(aunque no se aprecien bien, como en el
caso
de espumas, aerosoles y suspensiones de partículas). El equilibrio termodinámico en la interfase es de importancia
capital
en
la ciencia de los materiales y en la biología. Asimismo, hay que
estudiar las lineas triples (intersección de interfases),
sobre
todo desde un punto de vista dinámico. Todos estos fenómenos son
complicados y la ingravidez puede simplificar su estudio.
Los tipos de fluidos a estudiar van desde los líquidos newtonianos neutros de un sólo componente, hasta
quidos elásticos y cristalinos, mezclas
los
s upe rf1uidos , lí-
r e a c t i v a s , fluidos
po-
lares y cargados, etc.
Estado
termodinámico
La gravedad influye
en el estado
de equilibrio
sistemas fluidos como ya se ha explicado
del punto
critico
esta
estudiarla desde ambos
influencia
puntos
estadística) y macroscópico
global
de
anteriormente.
los
Cerca
es decisiva, y es
preciso
de v i s t a : microscópico
(física
(física de medios continuos).
-24-
Evoluc ion
En g e n e r a l , c u a n d o
fenómenos
de
un
fluido
transporte
no
(de
está
masa,
e n e r g í a ) por d i f u s i ó n , c o n v e c c i ó n
generación/desaparición
químicas,
grados
ionización
de libertad
rientación
De entre
(cambios
de la i n t e r f a s e ,
soluciones
de gravedad
ción de las interfases
en fenómenos
cerca
de
o radiación,
internos, polarización,
las muchas
fenómenos
cantidad
de
aparecen
movimiento
y
fenómenos
fase,
de
reacciones
(excitación
magnetización,
etc.)
y
para
de
reo-
cualquiera
presentes.
gar en condiciones
téresis
masa
equilibrio,
y d i s o c i a c i ó n ) y de energía
en las capas
de las especies
de
en
del
particulares
reducida,
en el e q u i l i b r i o
se pueden
critico,
que
investi-
citar:
situa-
(y su e s t a b i l i d a d ) , h i s -
capilares, propagación
punto
que hay
de
discontinuidades,
coa 1 e s c e n c i a , n u c l e a c i ó n ,
ebullición, electrólisis, etc.
1.6.2. S o l i d i f i c a c i ó n
El estudio
de
los m a t e r i a l e s
yos de s o l i d i f i c a c i ó n
T i e r r a , el proceso
asociado
y crecimiento
convección
de s o l i d i f i c a c i ó n
complicado
que alteran
temperaturas.
Es
en el e s p a c i o
en los vuelos A p o l l o
un transporte
tremadamente
cristalino
la
importantísimo
los
ensa-
6 0 . En la
inherentemente
por d i f u s i ó n ) se ve ex-
superposición
grandemente
con
en los años
(al cual va
de masa y energía
por
empezó
de
corrientes
el campo de c o n c e n t r a c i o n e s
aislar
los
efectos
de
y
primarios
-25-
( d i f u s i ó n ) de los secundarios
( c o n v e c c i ó n ) , para
teorías b á s i c a s , sin la cuales
pasar
En
de una mera
la Tabla
área
en
el
subdividir
Frente
2 se
fase
resumen
los
experimentos
Spacelab-Dl.
Los
pro-
f u s i ó n , predice
quido ya lejos del
riales
varias
entre
en
de una
están
la posibilidad
el
ASTP
con
sirviendo
en
se
este
podrían
para
sólido y
llegar
germanio
la
li-
ensayos
con
solidi-
lo que se c o r r o b o r ó
y
recientemente
los
que
del
a conseguir
c o m p u e s t o s . Estos
de
por d i -
de difusión
se h i c i e r o n
y otros
estudios
tica,
gravedad
no
es
que
casi
del
el
orden
espesor
ción
compuestos
tiene
movimiento).
limite
la s o l i d i f i c a -
(si el liquido
menor
controlada
de
en
con
el
expemate-
espacio.
f a s e s , en general
d i f u s i ó n , que
de
de p r o m o c i ó n
eutéctico
mucho
a tratar
del
de c o n v e c c i ó n ,
se está e s t u d i a n d o
la
capa
la c o m p o s i c ó n
con silicio y otros
en el
También
a realizar
de la s o l i d i f i c a c i ó n
sin c o r r i e n t e s
ensayos
rimentos
blemas
f r e n t e . En el Skylab
que m o s t r a r o n
Spacelab-1
puede
plano
la e x i s t e n c i a
sirve de transición
otros
no
asi:
de s o l i d i f i c a c i ó n
ficaciones
conocimiento
las
empírica.
La teoría u n i d i m e n s i o n a l
In-Sb
cualquier
contrastar
exactamente
influye,
del
de
fuera
ya
presencia
del
que
la
de
las
la
limite
de
porcentaje
la c o m p o s i c i ó n
espesor
capa
en
capa
eutéc-
limite
de
laminillas,
es
de
de
cantidad
-26-
Frente no
Las
plano
situaciones
plana
en
las
que h a s t a
difusión
es el proceso
por
ahora
interfase
o dendritica)
todas
de
difícil
o r i e n t a c i ó n , o usando
cindible
entonces
2.
de
recurrir
só1 ido - 1 i q u i d o
son
teorías
tan
es
difíciles
de
consideran
en tierra
que
Para
la
estas
es muítid i r e c c i o n a 1 y
(ni
aun
cambiando
e l e c t r o m a g n é t i c o s ) . Se hace
a la e x p e r i m e n t a c i ó n
de
no
predominante.
contrarrestar
campos
Experimentos
las
transporte
c o m p l e j a s , la c o n v e c c i ó n
tanto, muy
Tabla
la
(por e j e m p l o , celular
estudiar
formas
que
solidificación
a
en
la
impres-
ingravidez.
realizar
en
el
Spacelab-Dl.
- Crecimiento
de Si en zona
- Crecimiento
de InSb, G a l n S b , G a S b , C d T e , Be y
- Crecimiento
desde vapor
- Crecimiento
desde
flotante
de HgCdTe
disolución
de
PbSnTe
y Ge-l2
grandes
cristales
orgánicos
- Solidificación
de a l e a c i o n e s
- Solidificación
de s u s p e n s i o n e s
- Solidificación
dendritica
- Solidificación
direccional
- Difusión
en el frente de
- Morfología
celular
- Fusión con
cascara
inmiscibles
metálicas
de aleaciones
de e u t é c t i c a s
solidificación
en a l e a c i o n e s
PbTl
Al-Cu
de
InSb
-27
Solidificación de materiales
compuestos
La posibilidad de aprovechar la ingravidez para la obtención
de
compuestos con fases de densidades muy diferentes, uniformemente
dispersas, parece muy atractiva. Un estudio más detallado
tra que para partículas muy
seria pequeña
(para
finas
la segregación
tiempos m o d e r a d a m e n t e
en la
muesTierra
largos) ya que
la
aglomeración y decantación están gobernadas en este caso por el
movimiento browniano. Para partículas
m a y o r e s , pueden
ensayos en la Tierra con fundidos inmiscibles
hacerse
de la misma
den-
sidad, o, si son de densidades diferentes, mezclando el disperso
una vez que la matriz ha empezado a solidificar.
1.6.3. Combustión y reacciones químicas
La combustión está estrechamente ligada a la termodinámica,
cinética química y la mecánica de fluidos y su utilidad
ponderante en los procesos
técnicos
de conversión
de
es
la
pre-
energía,
sin olvidar su incidencia sobre la contaminación y seguridad
de
bienes e individuos.
En la Tierra la combustión está controlada
por
los procesos
de
y gradiente
de
la verificación
de
convección natural (efecto conjunto de gravedad
densidad) lo cual dificulta
en gran medida
teorías básicas relativas a los procesos
ción química y al transporte
difusivo
caso es tan complicado que el único
inherentes
a la reac-
de masa y energía.
camino
seguro
separando efectos mediante un diseño cuidadoso
de
El
es el de ir
experimentos
-28que aislen unos parámetros
de o t r o s ; a este
fin, el
ambiente
espacial puede proporcionar una inestimable ayuda.
Llamas de difusión
La velocidad de muchas reacciones químicas, y ciertamente las de
combustión, es tan grande (órdenes de magnitud
velocidades de transporte de masa y energía
bles comunes en condiciones
típicas) que
mayores
para
los
se supone
equilibrio químico en cada instante, por lo que, si
y oxidante no están premezc1ados, la reacción
que
combustique
existe
combustible
está
controlada
por el acceso de oxidante a la zona de quemado. En teoría
transporte
seria por difusión, pero
Tierra muestran
sin
lugar
a dudas
los e x p e r i m e n t o s
que aparecen
las
este
en
la
corrientes
de
convección natural.
Para gotas aisladas, con la ayuda
han
conseguido
régimen
llamas
estadionario
de torres
de calda
e s f é r i c a s , pero no se puede
debido
a la corta
(unos segundos). Los
laboratorios
estos primeros vuelos
en los que
mentar con combustibles, vendrá
duración
libre
se
llegar
al
de la
o r b i t a l e s , una vez
la seguridad
a suplir
estas
impide
caida
pasados
experi-
deficiencias y
permitirá un análisis exhaustivo de estos p r o c e s o s . A d e m á s , se
han observado en la Tierra
otros
efectos
que
también
merecen
atención: interferencia de llamas entre gotas próximas, inflamabilidad y extinción en combustibles
pulverizados
(función
tamaño medio de las partículas y de su distancia m e d i a ) ,
del
etc.
-29
Llamas premezcladas
Una de las parcelas más desarrolladas de las teorías
sobre
com-
bustión es la de propagación de llamas en gases reactantes
pre-
mezclados en ausencia de gravedad, pero basta
gran
diferencia
que existe
en el perfil
observar
de la llama
la
según
que
el
frente se propague hacia arriba o hacia abajo, para darse cuenta
de la importancia de la gravedad. En el estudio de llamas
lami-
nares se han detectado tres tipos de inestabilidades cuyo análisis conviene separar: 1) inestabilidades de Rayleigh-Tay1 o r , si
las capas más densas están por encima de capas más
inestabilidades
f 1 uidodinámicas
Markstein, y 3) inestabilidades
del
ligeras, 2)
tipo de las de Landau
asociadas
al proceso
o
de difu-
sión, descritas por Sivashinsky.
En los experimentos en la Tierra se observa, además, que los limites de inflamabilidad y extinción de las
llamas varian
según
ésta se propague hacia arriba o hacia abajo.
1.6.4. Separación biológica por electroforesis
Las macrornolécu1 as y células
vivas
se mueven
acuosas donde existen además infinidad
en
disoluciones
de pequeñas moléculas e
iones. Un gran número de estudios sobre identificación, análisis
de estructura y propiedades de estas partículas
una adecuada separación de las especies
está basado
de interés
gran numero de compuestos presentes. La introducción
de entre
en
el
de la téc-
nica de electrofores is (separación por e l e c t r i c i d a d ) por Tise-
-30lius en los años 30 para la separación de proteínas
del
plasma
marca el inicio de una nueva era en este campo (es sorprendente
que en tan pocos años haya pasado a ser un análiis rutinario
en
la mayoría de los centros clínicos).
La elect rof ores is se basa en el movimiento
de partículas
gadas en un fluido bajo la acción de un campo eléctrico
car-
aplica-
do. La separación de componentes en una mezcla tiene lugar debido a que la carga o el tamaño es diferente de unas partículas a
otras, por lo que la movilidad es también diferente. Sin
go, en presencia
de la gravedad
terrestre
viene distorsionada por las corrientes
embar-
la e 1 ectroforesis
de convección
Actualmente se disminuye este efecto trabajando
con
natural.
substratos
más viscosos, o reduciendo el tamaño de la m u e s t r a , pero
soluciones disminuyen
aparatos se eleva
calentamiento
la velocidad
la diferencia
de separación. En
ambas
algunos
de potencial m o t r i z , pero el
(efecto Joule) que ello produce acelera aún más el
proceso convectivo. Modernamente se trabaja a voltajes
y con baja concentración de iones en la disolución
es posible, ya que para
células v i v a s , la baja
iónica puede no ser capaz de mantener
elevados
(cuando
ello
concentración
el metabolismo
fisioló-
gico) .
Eliminando o reduciendo drásticamente la convección, se
trabajar con muestras mayores
y a mayor velocidad;
el
podría
voltaje
motriz puede ser pequeño, permitiendo el uso de disoluciones
gran conductividad, acercándose a la tonicidad fisiológica.
de
Sin
embargo, los ensayos previos en ingravidez indican que es nece-
-31-
sario un vasto programa
de i n v e s t i g a c i ó n
definción
antes
de o b j e t i v o s
de
en
tierra
embarcarse
en
y una
el
mejor
laboratorio
espac ial.
1.6.5. P r o c e s o s en
levitación
A v e c e s es importante
paredes
del
reaccionen
el c o n t a c t o
o recipiente
químicamente,
nucleación,
En
crisol
evitar
de
la m u e s t r a
contenedor
se c o n t a m i n e ,
se
para
altere
con
las
impedir
que
el
proceso
etc.
la Tierra
sólo
se consigue
la l e v i t a c i ó n
licas
conductoras
en un campo
e l e c t r o m a g n é t i c o , y aun
recen
problemas
(ondas
nes
de presión
demasiado
orbitales
estacionarias) o fluidodinámicos
n a v e ) por
trol
de
a d e c u a d o s , dando
importantes
(perturbaciones
lo que bastará
posición
de
disponer
la m u e s t r a
f l u i d o d i n á m i c o , e incluso
como
(convección
la fuerza neta que actúa
es p e q u e ñ í s i m a
para m u e s t r a s
lugar
sobre
iniciales
de un
(corriente
En
ligero
secun-
a
ensayar
maniobra
sistema
(electromagnético,
de c o n t a c t o , como utilizar
de
condicio-
la m a s a
o de
apa-
acústicos
a efectos
forzada).
metá-
asi,
de c a l e n t a m i e n t o . Los p r o c e d i m i e n t o s
a i r e ) son todavía m e n o s
darios
de
de
de
la
con-
acústico,
una
varilla
soporte) .
De entre
trabajo
física
los procesos
sin paredes
que
aparte
se b e n e f i c i a r í a n
de estas
de los ya m e n c i o n a d o s
de f l u i d o s , se pueden
citar:
en
técnicas
de
la
de
parte
-32-
Suspensión
de
aerosoles
En cierto m o d o , un aerosol
de
pequeños
mantenidas
contenedorres
aisladas
por
medicina
y biología
procesos
simultáneos.
aerosoles
puede
considerarse
(gotas
las fuerzas
es a veces
En
la
con el t i e m p o : para
de
una
de
tensión
deseable
Tierra
gotas
como
décima
un
de
gravedad
de unas
milímetro
superficial).
experimentar
la
conjunto
con
este
po de " v i d a " es de tan sólo unas h o r a s . Las n e c e s i d a d e s
e m b a r g o , m a y o r e s : por e j e m p l o , para
cos
se requiere m a n t e n e r
neo de gotas de unas
ble en ingravidez
la p r o d u c c i ó n
durante varios
(y si los choques
de
entre
no
tiem-
antibiótihomogé-
sólo p a r e c e
gotas
los
son, sin
días un a e r o s o l
50 a 100 m i e r a s , lo cual
muchos
precipita
10 mieras
En
dan
posi-
lugar
a
aglomerados).
Preparación
de v i d r i o s
Los v i d r i o s
se forman
masa
fundida
nucleación
utilizadas
yoría
y materiales
cuando
la velocidad
es lo s u f i c i e n t e m e n t e
y crecimiento
con el platino
de
los v i d r i o s
este
ataque
da
lugar
e j e m p l o , se t r a t a
de
no
es
obtener
como para
de
Las
con
como c r i s o l e s ;
(de los u t i l i z a d o s
en los
una
la
ma-
incluso
silicatos.
importante,
vidrios
la
mezclas
o r d i n a r i o s , la c o n t a m i n a c i ó n
muy
de
impedir
reaccionan
que puedan usarse
comerciales
de e n f r i a m i e n t o
apreciable.
vidrios
si se trata de v i d r i o s
Para
alta potencia
rápida
cristalino
en la p r e p a r a c i ó n
de las sustancias
cerámicos
para
pero
lentes
a
que
cuando,
por
de
experimentos
láser
de
de
fusión
-33nuclear con láser) los requerimientos de calidad
están
encima de las posibilidades actuales, que es preciso
las ventajas que ofrecerla la ausencia de crisol
tan
por
investigar
trabajando
en
ingravidez.
Existen varias teorías sobre la formación de vidrios
de un
solo
componente en las que se proponen curvas de transformación
tem-
peratura-tiempo, mostrando el tiempo necesario
para
la nuclea-
ción homogénea para una temperatura elegida, y el grado de
cre-
cimiento cristalino
Para
(hasta una fracción de la masa t o t a l ) .
conseguir esta nucleación homogénea habría que evitar la nucleación en las paredes del crisol, lo cual no es posible en la Tierra, pero si en el espacio, donde se podrán
obtener
los vidrios perfectos que exige la tecnología
y
óptica
estudiar
avanzada.
Por otra parte, algunos materiales cerámicos que se obtienen por
sinterización a alta temperatura resultan muy
contaminados
por
las paredes en los procesos en la Tierra.
Termodinámica a altas
temperaturas
Los estudios con líquidos a alta temperatura han estado
limita-
dos por los efectos contaminantes de los contenedores. Es necesario completar las tablas termodinámicas de entalpias,
específicos, calores de transformación y densidades, y
el equilibrio de fases por encima de 1000
C para
calores
estudiar
prácticamente
todos los líquidos, en especial para el silicio, los óxidos
fractarios, carburos y nitruros.
re-
-34Además, la posibilidad
de alcanzar muy
muestras no confinadas
permite
altas
temperaturas
purificar materiales
poración de las impurezas más v o l á t i l e s . Existen
tante d e s a r r o l l a d a s , que
incluso
tienen
por eva-
teorías
en c u e n t a
en
bas-
posibles
reacciones químicas durante la evaporación.
1.7. RESOLTADOS Y CONCLUSIONES
Nos vamos a limitar aquí a comentar algunos de los espectaculares resultados obtenidos en el Spacelab-1. Pero antes
conviene
precisar que este vuelo no era "operacional", sino de verificación del acoplamiento Shut t le/ Space lab y de d e m o s t r a c i ó n ,
asi se acordó en el protocolo de colaboración NASA/ESA
En efecto, el 28 de Noviembre de 1983, tras varios
como
de 1973.
años de re-
traso, tuvo lugar el primer vuelo del Spacelab, que duró 10 dias
(los vuelos normales son de una semana). De los 70 grandes experimentos programados, uno era el de "Ciencia de los materiales",
bajo cuyo nombre se realizaron cientos de pequeños
(entre ellos uno español, sobre
estabilidad
experimentos
de zonas
liquidas
flotantes).
Se lograron dos muestras de cristales grandes de proteinas, 30 y
1000 veces mayores
que en la Tierra, r e s p e c t i v a m e n t e ,
lo que
aquí es imposible debido a su fragilidad, pues las corrientes de
convección o la estructura del gel usado, los rompen. La
impor-
tancia es enorme, pues se posibilita con ello el estudio de su
complicada estructura por difracción con rayos X.
-35-
Tampoco se pueden obtener en la Tierra ciertas aleaciones de metales muy diferentes, debido a la segregación microscópica
la gravedad causa
durante
la solidificación.
que
Sin e m b a r g o , en
este caso los resultados mostraron que se trata de una
segrega-
ción intrínseca, no dominada por la gravedad. Otro hallazgo más.
En otro experimento se observó un fuerte aumento de la velocidad
de migración térmica en ingravidez, lo que hace pensar
separación de isótopos en fase
que
liquida, que actualmente
la
es un
proceso muy ineficiente, puede mejorarse mucho.
En resumen, muchos de los métodos usados actualmente
en el pro-
ceso de materiales, sobre todo en las técnicas modernas
de
cre-
cimiento de cristales de semiconductores, han sido desarrollados
empíricamente con una falta de entendimiento teórico que se hace
notar cada vez más. Los procesos son complicados porque en ellos
intervienen varias fases, geometrías de poca simetría, campos de
temperaturas no uniformes, etc.; además, la gravedad
terrestre
introduce complicaciones adicioales por las inestabilidades
origina en las fases fluidas, en las que aparecen corrientes
convección que enmascaran en gran parte
La experimentación en las condiciones
los fenómenos
de
básicos.
de m i c r o gr avedad
laboratorios orbitales permite la contrastación
que
de
de teorías
los
bá-
sicas que no tienen en cuenta corrientes de convección ni efectos hidrostáticos.
Se podría mencionar como ultimo ejemplo que
las variaciones
de
-36la resistividad a través de una lámina de silicio comercial
(que
vale a 50 000 Pts/kg) puede ser del 10% o el 2 0 % , mientras
que
los requerimientos para aplicaciones comunes (transistores, diodos, sensores y circuitos integrados) van aumentando
sin
cesar.
El volumen de consumo de estos materiales crece a un ritmo vertiginoso, y en orden a mejorar la relación calidad/precio,
necesario un diseño apropiado de experimentos
sencillos
será
y cla-
ros, en un esfuerzo conjunto de científicos y técnicos para lograr un entendimiento más perfecto de los procesos
fundamentales
de obtención y tratamiento de materiales en la Tierra.
Finalmente, conviene recordar que, aparte de estos logros
cien-
tíficos que se van consiguiendo y su influencia en la tegnologia
terrestre a ellos asociada, existe un beneficio tecnológico
pa-
ralelo que en este caso, por ejemplo, ha contribuido a que Europa, que no supo despertar a tiempo a la revolución microelectrónica, siga siendo competitiva en tecnología aeroespacial.
-37-
2. COLUMNAS LIQUIDAS NO AXILSIMETRICAS
-3 8-
2. COLUMNAS LIQUIDAS NO AXILSIMETRICAS
2.1. INTRODUCCIÓN
Recientemente
han
sido publicados
un número
significativo
de
artículos tanto teóricos como experimentales relacionados con el
comportamiento
de puentes
gravedad. El interés
líquidos
de tales
en
condiciones
publicaciones
reside
de
baja
en que
la
configuración estudiada es, desde un punto de vista estrictamente mecánico, semejante a la que aparece en el proceso de producción de monocristales mediante la técnica
En la mayoría de los trabajos publicados
la literatura
Sanz
en este
campo
(1985)) se consideran
sometidos a perturbaciones
se puede
puentes
de la zona
(una breve revisión
encontrar
líquidos
en Meseguer
de
&
axi 1 s i m é t r i c o s
a x i 1 s imé t r i c a s , y tan sólo en unos
pocos casos se han tenido en cuenta
efectos
no axi 1simétricos
tales como el modo C en rotación (Vega y Perales
pequeña microgravedad
flotante.
transversal
(1983)) o una
(Coriell, H a r d y
&
Cordes
(1976, 1977)).
Tanto
los análisis
teóricos
como
la evidencia
experimental
parecen apuntar que los efectos de las perturbaciones no axilsimétricas son mucho menos
importantes
que
los asociados
a las
perturbaciones axi1simétricas. Por e j e m p l o , en el articulo
Coriell et al (1976) se demuestra que el efecto
de una
gravedad transversal sobre el limite de estabilidad
de
de
pequeña
puentes
líquidos esbeltos de volumen cilindrico es del orden del cuadrado de la perturbación, siendo por tanto de menor importancia que
-agios efectos producidos por perturbaciones
axi 1simétricas
tales
como el exceso o defecto de volumen respecto al cilindrico
microgravedad axial o la pequeña desigualdad
y la
en el diámetro
los discos, cuyos efectos son del orden de la perturbación
de
para
el primer caso y del orden de la perturbación elevada a 3/2 para
los otros dos (Meseguer
(1984)).
Para obtener los limites de estabilidad y las formas de equilibrio en este articulo se emplea un método asintótico
de pertur-
baciones con la ayuda de la idea de la ecuación de b i f u r c a c i ó n ,
ya utilizada
para
obtener
el limite
de estabilidad
de
flotantes en isorotación por Vega y Perales (1983). Este
simplifica grandemente
aparece
la obtención
una bifurcación
discernir
el carácter
de
los puntos
(subcritico
método
en los
de la solución, p e r m i t i e n d o
de ésta
zonas
que
además
o supercritico) y
obtener las formas de equiibrio tanto estables como inestables.
A d e m á s , con el estudio
de las simetrías
problema es posible obtener
el orden
que
aparecen
de la m o d i f i c a c i ó n
en
el
de la
máxima longitud estable de una zona debido a un tipo determinado
de perturbación
sin resolver
el problema
propiamente
dicho.
2.2. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA
Se considera el caso de una columna
entre
dos discos
circulares
de
liquida
radio
(Fig.
1) situada
R Q separados
distancia L cuyos ejes son paralelos entre si y están
por
una
separados
- 4 0-
una
d i s t a n c i a
2E .
correspondiente
base
uno
TTRQL)
Sea
.
de
La
los
en
de
volumen
una
discos
columna
R = R(Z,6)
encuentra
al
El
está
la
y
por
del
de
la
a
e s t a
una
la
de
en
que
la
gravedad
i n t e r f a s e .
equilibrio
columna
cilindrica
altura
sometida
forma
reposo,
columna
de
el
es
el
tuviese
por
columna
(V
transversal
Si
interior
el
fluido
de
la
zona
=
g.
se
se
ob t i e n e
P
(2.1)
- pgy = P(
y teniendo en cuenta que en la interfase y = Rcos0, del
equili-
brio de ésta se deduce
o(l/R1
+ 1/R2) + P Q + pgRcose = 0
(2.2)
PQ es una constante, desconocida en principio, que fija el nivel
de presiones dentro de la zona, para obtener su valor hará falta
fijar el volumen del liquido contenido en la zona.
L/2
r2n
dZ R 2 (Z,9)d6 = 2TTLR 0
-L/2 0
La condición de anclaje
(2.3)
en los bordes
de los discos
se
puede
expresar como:
R( L/2,6) =
R(-L/2,0) =
EcosS +
-Ecos6
V«T
+VRQ
E2sin26
(2.4)
E2sin26
(2.5)
-41-
Además, la forma de la interfase ha de ser periódica en 9
R(Z,6) = R(Z,e+27T)
Ahora
se
adimensiona1 izan
(2.6)
todas
las
longitudes
con
RQ y
se
define
A =
L/2R,
(2.7)
E =
E/Rf
(2.8)
B =
PgRo/a
(2.9)
z =
Z/Rr
P =
(P0
F(z,e)
M[F]
(2.10)
-
(2.11)
Pa)R0/a
= R(z,e)/R
= R0(l/R1
+
( 2 . 12)
o
1/R2)
donde A es la esbeltez de la zona, E la excentricidad
(2.13)
adimensio-
nal, B el número de Bond debido a la gravedad y P es la
presión
de referencia adimensional.
El problema en forma adimensional queda:
M[F] + P + BFcose = 0
(2.14)
•42
(-27T
•A
dz
F
-A
2
(z
5
e)d6
= 4TTA
( 2 . 15)
O
F( A , e )
=
F(-A,e)
= -Ecose
F(z,6)
Ecose
+ ^ 1
-
+ \ / l - E
E^sin26
(2.16)
2
(2.17)
s i n
2
e
= F(z,e+2Tr)
F
( 2 . 18)
(1+FzHFee"F)+FFZz(F2+FÍ)-2Fe(Fe+FFzFez)
M[F] =
—
(2.19)
(F2(l+F2)+F2)3/2
ORDEN DE LA BIFURCACIÓN
CON GRAVEDAD TRANSVERSAL
O CON
DISCOS NO COAXIALES
Si se buscan soluciones del tipo
F(z,e) = l + ef(z,e) + o(e)
P=
l+ep
+ o(e)
El problema lineal a resolver en este caso será:
f + f
+ f
2z
ee+ P " °
f(±A,e) = 0
(3
-1}
(3.2)
•43-
f(z,e) = f(z,e + 2TT)
A
(3.3)
(2TT
dz f(z,e)de = o
-A Jo
(3.4)
Todas las soluciones a este problema son axi1simétricas. Las hay
de dos tipos, para A = kiT , (k=l,2,...)
f(z,6) = sin(k7Tz/A)
y para A = A k
con A k
(3.5)
p = 0
tal que cumpla Ai. - tanAu = 0
(3.6)
f(z,9) = -p(l-cosz/cosA)
La bifurcación
a formas
de equilibrio
no cilindricas
axi 1 s imé tricas) ocurrirá por tanto cerca de A = ku o A
embargo el mayor
interés
lo tiene
para el menor de estos valores
la bifurcación
críticos
(aunque
=
que
de la esbeltez
que para este valor las formas de equilibrio
casi
^k" ^''"n
aparece
puesto
cilindricas
pasan de ser estables a ser inestables, las demás bifurcaciones
no serán alcanzables en la realidad puesto
que
la zona
romperá
antes.
Por tanto la inestabilidad
aparecerá
para A
= T
y las
formas
inestables serán de la forma:
p = 0
f(z,0) = sinz
La presencia de una pequeña
gravedad
transversal
(3.7)
o de una no
-44-
coaxialidad
aparece
nuevo
la
de
los
rotura.
parámetro
discos
Es
disminuye
conveniente
medir
la
esbeltez
dicha
para
la
disminución
que
con
un
X.
A = ( TT - A c ) / *
(3.8)
En lugar de utilizar la variable z es conveniente utilizar
simplificar una nueva variable x, (cuya introducción
para
normaliza
las condiciones de contorno) definida por:
x = z/(l - X)
(3.9)
Con estos cambios el problema queda en la forma
M[F]
+ P + BFcose
(3.10)
27T
TT
dx
-TT
= 0
F
2
(x,e)d6
4TT 2
( 3 . 11)
+ 2TT)
( 3 . 12)
=
'
F(x,0)
= F(x,6
F(TT , 6 ) =
Ecos6
+ Vi
-
E2sin26
=
1 + Ecos6
-
(l/2)E
2
sin
2
0
+
(3.13)
F(-^,e)=-Ecos6 +
1 - E 2 s i n 2 6 = 1 - EcosG - ( l / 2 ) E 2 s i n 2 6
+
(3.14)
Si ahora se prueban soluciones del tipo
-45-
F ( x , 0 ) = 1 + esinx +
g(x,0)
P = 1 + p
el problema
M[l
+
se reduce
esinx
a:
+ g(x,6)]
+
1 + p + B(l
+
esinx
+ g(x,6))cos0
= 0
(3.15)
2TT
dx
(1 +
• ir
esinx
+ g(x,0))¿de
= g(x,e
( TT ,6) =
+ 2TT)
(3.17)
- E2sin20
Ecos6 + V i
- E2sin26
g(-7T,e) = -Ecos6 + V i
es n e c e s a r i o
quede u n í v o c a m e n t e
TT
(3.16)
0
g(x,e)
además
= 4TT'
- 1
(3.18)
- 1
añadir una c o n d i c i ó n
(3.19)
para
que el p a r á m e t r o
£
definido:
,2TT
dx g ( x , 0 ) s i n x d 9 = 0
(3.20)
-TT J 0
El
problema
términos
de
asi
planteado
B y E.
Para
permite
B - ^ 0 y E - ^ 0 e l
resolver m e d i a n t e
técnicas
anticipar
propiedades
utiliza
ciertas
calcular
de p e r t u r b a c i ó n ,
la idea de la ecuación
e, g ( x , 6 )
problema
pero
de la s o l u c i ó n .
de b i f u r c a c i ó n
ésto
Para
se
y p
puede
obliga
evitarlo
(Matkowski
en
a
se
& Reiss
-46(1977),
Vega y Perales
(1983).
En
lugar
de
la
Ec.
3.15
se
considera la ecuación:
M[l + esinx + g(x,6)] + 1 + p + B(l + esinx + g(x,e))cos6 +
0sinx = 0
(3.21)
obsérvese que en esta ecuación si 0 = 0 se recupera el
problema
original.
Como el sistema de ecuaciones 3.16-3.21 definen únicamente
0, g
y p
0 = 0(e,B,E,X)
g = g(x,0;£,B,E,X)
p = p(e,B,E,A)
(3.22)
las soluciones de este sistema serán las del sistema original si
£,B,E,X
cumplen:
0(e,B,E,X) = 0
(3.23)
que es la ecuación de bifurcación del problema.
El problema es invariante bajo las simetrias
x
-v -x
x ->- -x
£ -> - £
6-+9+TT
E ^ - E
0 -> -0
£->--£
B ^ - B
0->-0
-47-
e->e+7T
B ^ - B
E ^ - E
de donde se deduce que
0(e,B,E,A) = -0(-e,B,-E,X)
(3.24)
0(e,B,E,A) = -0(-e,-B,E,A)
(3.25)
0(e J B,E,A) =
(3.26)
0(e,-B,-E,A)
Vamos a analizar por separado los casos B=0, E^O y B^O, E=0
sin
tomar en consideración efectos cruzados entre B y E. Para B = 0 ,
E^O de las relaciones anteriormente obtenidas se deduce
0(e,O,E,A) = e ) á 1 (e 2 ,E 2 ) A) « 0 3 O O O e 3
+
(Í
1020£E2
+0
lOOleA
+
(3.27)
y análogamente para B^O, E=0
0(e,B,O,A)
= £(á2(£2,B2,A ) = 0 3 o o O e 3
+
e>
1200eB2
+0
lOOleA
+
(3.28)
La esbeltez critica variará por tanto en la forma
A
= -(0m
o n / 0^1001
inni)E2
1020'
"
( 0 11200
- > n n/,ü
/ 0 1001
i n m ) B2 +
como cabe esperar que disminuya por el efecto
baciones 0 1 0 2 0 ^ 1 0 0 1 y ^ 1 2 0 0 ^ 1 0 0 1 deben de
ser
...
de estas
(3.29)
pertur-
ambos negativos
-48-
2.4. BIFURCACIÓN PARA UNA PEQUEÑA EXCENTRICIDAD
DE LOS EJES
DE
LOS DISCOS
Si en las ecuaciones
0(e,B,E,A)
=
se introducen
£ÍBjEkA10
l
los desarrollos:
(4.1)
X
i , 3=1
k ,1= 1
g(x,e5e,B,E,X)
=
eiü'Í-Ek\1gi
l
(x,9)
i k l
(4.2)
k,l =l
p(e,B,E5A)
=
£ Í
l
BjEkA1p.
(4.3)
i,:=i
k,l =l
y
se
iguala
sistema
0
ijki>
el
coeficiente
de p r o b l e m a s
gijki
( x
»
e )
y
de
cada
lineales
potencia
recursivos
a cero
que
se
obtiene
permite
un
calcular
Pijki-
Los resultados que se obtienen son:
SlOOO^'9^
=
g
9 )
=
"
gOOOl(x'0)
=
°
g0010^x'9^
=
g
1 0 1 0
(x,e)
=
g
0 0 2 0
(x59)
= (l/47T2)cos20(x2
g
0 1 0 0
(x,e)
=
2000
( x
'
s i n x
( 1
/
4 )
(1/2)(TT
g
=
-(ir2/4)(l
+(l/4)(x
2
+ cosx)
-
+
(1/TT)COS6(1
= -(xcosx
(x,e)
(l/4)cos2x
(x/fOcose
gi-iQQ(x,0)
0 2 0 0
+
2
-X
2
+ 1 -
Ch/3x/Ch/3ir)
-
(1/4TT2)
2
X
)COS6
+ x -
-(1/16)(TT
+
2
cosx)
-
[(1/16)(TT
3sinx)cos8
x
2
2
-
TT2Ch/Jx/Ch/JiT) ] c o s 2 6
)
2
x
(3/4)(x2
+
2
)
2
+
+
(1/6)(1
TT2COSX)
-
-
Ch/Jx/Ch/J
TT) +
•M-9 -
0
1000
0
0
OO11
=
0
3OOO
=
0
1001 =
0
2OOO ~ 0 OOO1 ~
OO2O
=
0
O1OO
=
0
0
OOO2 ~ 0 OO1O " 0 1O1O " °
O1O1
=
0
llOO
=
0
O2OO
=
°
"3/2
2
2
0in9n
1020 = -3/2-ff
.2
7T^/2
1200
2.5. RESULTADOS Y CONCLUSIONES
De
los resultados
anteriores
se
deduce
que
la
ecuación
de
b i furcae ion es
e(-(3/2)e 2 + 2A - (3/2^ 2 )E 2 - ( T T 2 / 2 ) B 2 + ...) = 0
(5.1)
Para E = cte y B = cte las curvas e = f(A) están esquematizadas
en la figura 2.
Para
e ~ 0 la esbeltez cambia en la forma:
X = (3/4u 2 )E 2 + U 2 / 4 ) B 2 + ...
(5.2)
Además del estudio de la simetría de la configuración, se
puede
deducir que no existe un término de orden BE. Este estudio
independiente del ángulo que existe entre el plano
los ejes de los dos
discos
y
la
dirección
de
que
la
definen
gravedad
transversal. Por tanto la expresión obtenida anteriormente
siendo válida
aunque
dicho ángulo
sea d i s t i n t o
de
es
sigue
cero.
El
efecto
para
Cordes
Como
E=0,
B^O y a
habla
sido
obtenido
por
Coriell,
Hardy &
(1976).
consecuencia
bifurcación
principio
serán
es
del
observa
s u b c r i t i c a
cambio
estables
Ac=
se
para
de
por
esbelteces
-
U
2
en
las
menores
/4)B
todos
tanto,
estabilidad
(3/4^2)E2
TT(1 -
y
que,
2
de
+
la
casos,
acuerdo
formas
que
los
casi
la
con
el
cilindricas
critica,
de
valor
...)
(5.3)
Las formas estables de equilibrio serán de la forma:
F(x,e) = i + Eg0010(x,e) + E2g0020(x,e) +
+ Bg0100(x,e) + B2g0200(x,e) + . . .
Se
puede
una
no
observar
por
puede
otros
ser
axi1simétrica
afecta
dinámica
Todo
en
lo
los
tipos
de
de
la
en
la
esbeltez
discos
es
siempre
e x i s t a
de
los
de
perturbaciones
en
que
el
pudiéndose
discos
apreci ab1 emente
a
la
mayor
pequeña
parte
orden
de
alguna
la
debido
a
que
el
y
por
axilsim¿tricas
a n á l i s i s
hacer
o una
critica
resultados
p e r t u r b a c i ó n
hipótesis
gravedad
de
que
un
transversal
axi 1simétrica
de
la
zona.
anterior
reposo.
efecto
de
relevante,
descentramiento
cambio
despreciado
experimentales
no
el
coaxi 1i a 1idad
producido
tanto
que
(5.4)
Debe
acoplado
ha
de
sido
teniendo
considerarse
entre
la
en
en
rotación
cuenta
que
la
posteriores
y
las
zona
se
halla
estudios
el
perturbaciones
no
-51axi1simetricas . Este
efecto
es de esperar
que amplifique
deformaciones producidas por las perturbaciones y que
las
disminuya
aun más la esbeltez critica.
2.6. REFERENCIAS
1. Meseguer, J. and Sanz, A., "Numerical and experimental
of the dynamics
of axisymmetric
liquid
b r i d g e s " , J.
study
Fluid
Mech. 153, 83-101, 1985
2. Vega, J.M. and Perales, J.M.,
"Almost cylindrical
isorotating
liquid bridges for small Bond numbers", in Materials
Sciences
under Microgravity ESA SP-191, 247-252, 1983.
3. Coriell, S.R., Hardy, S.C. and Cordes, M.R.,
weightless crystal growth", NBS
Space
"Melt
Processing
shape
in
Research,
NBSIR 76-980, 1976.
4. Coriell, S.R., Hardy, S.C.
liquid zones", J. Colloid
and
C o r d e s , M.R.,
Interface
"Stability
of
Sci 6 0 , 126-136, 1977.
5. Meseguer, J., "Stability of long liquid columns", in Material
Sciences under Microgravity ESA SP-222, 297-300, 1984.
6. Matkowsky,
B.J.
R e i s s , E.L., "Singular
pert u r b a ti ons
bifurcations", SIAM J. Appl. Math. 33, 230-255, 1977.
of
•52-
Fig. 1. Geometría, nomenclatura y sistema de coordenadas utilizado.
\ ^ B = E =0
\
E*0
N
TI
y/
y
Fig. 2. Modificación de la bifurcación para un d e s c e n t r a m i e n t o o una pequeña
gravedad t r a n s v e r s a l . Se r e p r e s e n t a l a amplitud de l a deformación
adimensional, £ , frente a l a esbeltez de l a zona, A=L/D, con E=E/R n , y
B^pgf£/o-.
-53-
3. COLUMNAS LIQUIDAS COMPUESTAS
-54
3. COLUMNAS
LIQUIDAS
Prosiguiendo
quidas
lidad
con el análisis
de
columnas
consiste
discos
liquidas
en una
La n a t u r a l e z a
de las
con
condiciones
el análisis
primera
fase
En
el
trabajo
estabilidad
lineal
unidimensional
resultados
cuanto
en el m a n e j o
a
lo m á s
la
al
L
otra
esperado
en
a tenor
of
vista
estudia
de un
la
modelo
Los
sorprendentes
por
de
la
empleado
se
experiencia
siguiendo
a la critica
este
Fluid
de
simples.
pues,
realizado
infinita-
afines.
por el m o d e l o
inglés
posible,
Journal
se
problemas
líquidos
esta
compuestos.
c o m p u e s t o , a través
predicho
aconsejó
y en
punto
a continuación,
en
columna
la c o m p l e -
discos,
un
capilares
en
(Fig. 1 ) .
compuestas
desde
estabi-
mantenida
condición,
extremadamente
el trabajo
revista
que,
de puentes
amplio
D^
los
esta
con éxito
son
presenta
de someter
científico
enviado
no
en
colummnas
chorros
ya u t i l i z a d o
se
de
la
li-
configuración
en su interior
contorno
de un chorro
obtenidos
manuscrito
política
longitud
presenta
razonablemente
adquirida
flotante
relajando
que el c o m p o r t a m i e n t o
ajusta
El
teórico
se
de
en e s t u d i o , p r i n c i p a l m e n t e
de
llamarse
que
estudio
La
configuraciones
f o r m a l , deberian
de c o l u m n a s
compuestas.
se han c o n s i d e r a d o
largas,
el
la p r i m e r a , de d i á m e t r o
del p r o b l e m a
iniciar
mente
zona
ahora
de d i á m e t r o D que aloja
l i q u i d a , coaxial
jidad
del c o m p o r t a m i e n t o
en i n g r a v i d e z , se aborda
estudio
entre
COMPUESTAS
la
de un
foro
ha
sido
donde
será
manuscrito
Mechanics,
con
-55
publicado próximamente
October
1985).
(J. Fluid
M e c h . , V o l . 159, pp.
Por esta razón, y a efectos
publicación, se ha intentado
relacionar
de
55-68,
facilitar
el problema
su
analizado
con otros problemas semejantes de interés, tal es el caso de la
técnica de impresión llamada de chorro c o m p u e s t o , sobre
la que
existe un numero significativo de trabajos publicados.
En el apartado
e x p e r i m e n t a l , los resultados
obtenidos
sido los esperados. El manejo de columnas compuestas
isodenso presenta tal cumulo de dificultades
no han
en un baño
que, hoy
por
hoy,
no es posible la experimentación cuantitativa. El mayor problema
en el manejo de una configuración fluida tan sofisticada como es
una columna compuesta, aparte de las dificultades
de
formación
del puente compuesto, aspecto éste casi totalmente
solucionado,
es el control del nivel de microgravedad residual y la forma
en
que esta microgravedad afecta a las diferentes entrefases.
Como consecuencia de lo expuesto, y a la vista de las
precarias
condiciones e x p e r i m e n t a l e s , se abrió un periodo
de
reflexión
para reconsiderar los objetivos del plan experimental
propuesto
y su posible redefinición. La conclusión
fue
la de
previo
en el
intrínsecos
de la
alcanzada
reconocer la necesidad de un programa experimenal
que se analizaran indicadores de estabilidad
zona flotante y teniendo en cuenta
efectos
resultados
en
obtenidos
"Experiments with
se m u e s t r a n
liquid
bridges
aceptado para su publicación
el
gravitatori os . Los
segundo
in simulated
en el Journal
manuscrito
microgravity",
of Crystal
Growth.
56-
3
2
Fig. 1. Columna liquida compuesta. 1) Liquido
3
de trabajo
rior; 2) liquido de trabajo exterior; 3) ambiente.
inte
-57-
Apéndice 1: ONE-DIMENSIONAL LINEAR ANALYSIS OF THE COMPOÜND JET
-58-
One-dimensional linear analysis of the compound jet
BY ÁNGEL SANZ AND JOSÉ MESEGUER
Laboratorio de Aerodinámica, E.T.S.I. Aeronáuticos,
Universidad Politécnica, 28040 Madrid, Spain.
The stability of an infinitely-long compound liquid column is analyzed by using
a one-dimensional inviscid slice model. Results obtained from this
dimensional linear analysis are applicable to the study of compound
one-
capillary
jets, which are used in the ink-jet printing technique. Stability limits and
the breaking regimes of such fluid configurations are established and, whenever
possible, theoretical results are compared with experimental ones.
1. Introduction
During the last two decades fine jets of ink have been increasingly used for
printing purposes. Developments in ink-jet technology have motivated
scientist to investigate the details of the breaking
numerous
of capillary
jets
emanating from nozzles. A review of the state of the art in this field at the
end of the 70's can be found in Bogy (1979). This review should be completed by
adding some significant papers published further: Chaudhary & Redekopp
(1980),
Bogy (1981), Entov & Yarin (1984), among others.
Recently, a new ink-jet printing method
(the compound
j e t ) has
been
developed at the Lund Institute of Technology in Sweden (Hermanrud & Hertz
1979, Hermanrud 1981, Hertz & Hermanrud 1983). A compound jet, as sketched in
figure 1, is generated as follows: assume a fine nozzle submerged below the
surface of a stationary fluid
(ink). By forcing a suitable "inner" fluid
through this nozzle under high pressure a liquid-onto-liquid
jet is generated
in the stationary fluid (the "outer" fluid). Due to viscous forces the outer
fluid will be accelerated by the inner fluid cióse to the interface between the
-59-
two fluids. Therefore, when the jet emerges into the air it consists of a
cylindrical core of fluid (the inner jet) surrounded by a concentric layer of
different fluid (the outer jet) both traveling at essentially the same speed.
Published papers concerning compound jets deal mainly with experimental
work. Theoretical developments in this field are limited to rough analyses
which are quite far from the sophisticated studies on single capillary
jets.
However, regarding the partial similarity between compound jets and compound
liquid columns, the work of Bauer (1982) and Sanz (1983) should be quoted. In
the first paper the linear stability of a infinitely-long liquid column is
analyzed by using a three-dimensional model based on previous work of Tomotika
(1935), whereas the second is devoted to the study of liquid bridges surrounded
by another liquid.
In this paper the linear stability of the compound jet is studied through a
one-dimensional inviscid model which is a generalization of that of Lee
for single capillary jets. This model has been selected instead
(1974)
of more
complicated one-dimensional models (Weber 1931, Green 1976, Entov & Yarin 1984)
because, in spite of its relative simplicity, the results obtained are in
agreement with experimental evidence either in the case of single capillary
jets (Pimbley & Lee 1977) or in the case of slender liquid bridges
1983, Meseguer & Sanz 1984). Amongst the different types of
appearing in a compound jet (Hertz & Hermanrud
instability only, which
is the more
(Sanz
instability
1983) we analyze capillary
interesting
in ink-jet
printing
applications in order to predict the size of the resulting drops after the jet
breaking. The remaining instabilities (sinuous and varicose instability) are
out of the scope of this paper, and they seem to be more easily faced by means
of an experimental approach than a theoretical one. We assume that viscosity
effects (if low viscosity liquids are involved) are important only in the
nozzle región, where the compound jet is set up, and that these effects can be
neglected in the study of capillary instability, which appears in a región far
from the nozzle. A similar hypothesis is used in, for instance, the analysis of
-60-
the response of a boundary layer to a small disturbance: it is assumed not to
be affected by the viscosity of the fluid, even though viscosity was of course
essential for the seting up of the velocity distribution in the undisturbed
boundary layer.
Finally, theoretical results have been compared with available experimental
results (Hertz & Hermanrud 1983) and a reasonable agreement has been found.
2. General equations for the one-dimensional compound jet
According to Bogy (1979) the studies on capillary jet instability could be
classified in two main categories: temporal instability and spatial instability
analyses. Keller et al. (1973) stated the suitability of spatial
instability
analyses in describing the behaviour of capillary jets. These authors also
verified the agreement between results obtained from the temporal or the
spatial approach when the jet velocity is much higher than the capillary
velocity, which is the case of the ink-jet printing. So that, in this paper we
analyze temporal instability, since its formulation is simpler than that of
spatial instability. To perform this study it must be assumed
that
the
reference system is moving with a velocity equal to the mean jet velocity, so
that equations of motion become similar to that of a compound liquid column.
Let us consider a compound jet as sketched in figure 1, and concéntrate on
the región far enough from the nozzle. To carry out the analysis of this liquid
configuration several assumptions are introduced:
(a) internal movement in the compound jet is due only to capillary-pressure
gradients generated by the deformation of interfaces;
(b) the dynamics of the compound jet is not affected by the surrounding air;
(c) since only axisymmetric configurations are considered, the problem is
independent of the azimuthal coordinate;
(d) both liquids are inviscid*, with constant and uniform
properties
(density and surface tensión);
(e) in each of the liquids the axial velocity, as well as the pressure,
-61-
depends on the axial coordínate and the time, but not on the radial coordínate.
This last hypothesis, which is the more drastic assumption introduced by the
one-dimensional model, is justified in the case of compound jets because
perturbation wavelenths involved in jet breaking are generally larger than the
jet radius (Meseguer 1983, Sanz 1983).
Under these hypotheses the equations of motion are drastically reduced. The
radial momentum equation becomes uncoupled and the problem formulation reduces
to the continuity equation and axial momentum equation, plus suitable
initial
and boundary conditions. To genérate the equation set for the compound jet the
process is similar to that already described in Lee (1974), Meseguer (1983) and
Sanz (1983). In the following, F^ stands for the interface radius, W^ for
the axial velocity and P^
for pressure; p ^ and a^
are density
and
interfacial tensión, respectively. The superscript j denotes the liquid
("i"
for inner and " o " for outer, see figure 1) whereas the subscripts t and z
indicate time and spatial derivatives, respectively. The equations for the
compound jet are:
(a) inner jet
(al)
continuity equation
( F i 2 ) t + ( W i F i 2 ) z = 0.
(2.1)
* The effect of viscosity within the one-dimensional model used could be
accounted for through an unsteady boundary layer at the interface between the
two liquids, to accommodate the shear stresses and the velocity jump. The
1/2
thickness of this boundary layer would be 6 ^ ( V / T ) '
(Schlichting
1960),
where x is a characteristic dimensional growth factor and v the kinematic
viscosity (almost the same in both liquids). As we shall see T ^ (p°/o°R° ) ' ,
where a°, p ° , and R° are the surface tensión, density, and radius of the
outer jet, respectively. Thus <5/R°% (v2p0/o-°R0)1'*' = 0.16, for the
valúes quoted in Hertz & Hermanrud
10 3 kg.nf 3 , R° = 3xl0" 4 m, and
(1983): a ° = 2 x l 0 ~ 2 N.m" 1 ,
v = 2xl0" 6 m 2 . s _ 1 .
p° =
-62
(a2) axial momentum equation
W
t
+ WÍW
Z
=
"Pz/pÍ*
(2
-2)
(b) outer jet
(bl) continuity equation
(Fo2 _ F i 2 > t
+
[w o (F o2
_ Fi2)]z
= 0>
(2>3)
(b2) axial momentum equation
W° + W°W° = -P°/p°.
where P1, P
Pi
_ po
(2.4)
and the external pressure P e are related through
=
P° - P e = a°?(F°),
C^PCF1),
(2.5)
J>(FJ) = [1 + (FJ)2]"3/2{[1 + (FJ)2]/FJ - FJ z }.
(2.6)
To put these equations in non-dimensional form we take as reference the
properties of the outer liquid: undisturbed interface radius R , density
p°, and surface tensión a°. To that purpose, let introduce
Fj
= RoFJ5
z
= R o- }
WJ = (a°/R°p°)1/2 WJ,
t = (p o R o3 /a o ) l/2- j
PJ = (a°/R°)pJ,
(2.7)
where the barred quantities are dimensionless. We introduce also the parameters
R = R W ,
P
= pVp0,
a
= 0^-/0°,
(2.8)
R 1 being the undisturbed inner jet radius. Then, (2.1)-(2.6) yield the
following dimensionless equations (with the bars dropped from now on)
(F i 2 ) t + (W i F i 2 ) z = 0,
(2.9)
W* + W % ^ = -P^/P»
(2.10)
(Fo2 _ F i 2 ) t
+
[w o (F o2
_ F i2)] z
(2.11)
= 0j
W° + W°W° = -P°,
Pi
. po
(2.12)
= a p( F i) s
(2.13)
P° - Pe =P(F°),
(2.14)
P(FJ) = [1 + (F z ) 2 ] -3/2 {[l + (Fz)2]/FJ - F z z } .
(2.15)
Note that F^ , W-*, t, etc. are now dimensionless variables, and that the
undisturbed interface shapes are F
In c o n c l u s i ó n ,
differential
the
problem
= R and F
formulation
e q u a t i o n s w h i c h , once i n i t i a l
=1.
consists
of
four
and b o u n d a r y c o n d i t i o n s
non-linear
are
fixed,
-63-
would allow calculating F 1 , F°, W 1 and W°.
3. Linear analysis
Let e be a small parameter, measuring, for instance, the initial deviation
of the outer interface shape from the cylindrical one. If e is small enough,
leaving apart e
terms, the variables involved
in the problem may
be
rewritten as
F 1 = R + ef 1 ,
F° = 1 + ef°, W 1 = ew 1 ,
W° = e w °, etc.
(3.1)
TP(F^) now takes the form
PíF1) = -| - £(fjz + fVR 2 ),
(3.2)
P(F°) = 1 - e(f°z + f°).
(3.3)
After substituting these expressions in (2.9)-(2.14) the following
linearized
problem is obtained
2f£ + Rw* =0,
Pwt = «<fzzz
+
(3.4)
f
z
/R^
+
f
zzz
+
f
<3'5>
z>
2f° - 2RfJ + w°(l - R2) = 0,
<
- f zzz +
f
(3.6)
z-
(3.7)
This system of four equations with four unknown functions can be reduced to
one single equation. Differentiation of (3.4) with respect to time and of (3.5)
with respect to z allow us to eliminate w 1 between these two equations. In a
similar way w° may be eliminated between (3.6) and (3.7), and eliminating
f 1 between the two resulting equations yields
~ 3-C°
22 p 9 f , , „
R
a^
P
K
9t
R
->64=°
a, 92 f 4
R
p2
2s
q(l-R )
2R
,,„
, p2
a* *,
r 8j-o
3 f
3z
P
^¿r°
O3 s 9 2 f 2
TJ a + a-,
9t 9z
R
R 9t 9z
„ ^ 6 J=O
. „4 o -i
,„
1 ,3 f _,_ 1 3 f
= 0
+ (1 +-=•)
é- +
—
2
6
2
4
R
3z
R
3z
(3.8)
To analyze temporal instabilities we try solutions like
fO =
C e xt
+ imz
( 3 9 )
so that the following dispersión equation results
4
,2
-
_
2
[(1 + p Í ^ f ) ( l - m )
R2
„
n
2
+
_
„< 1
o o
I (-% - m )] m V
R
R2
+
^ -
D2,
}
m V - m
2
) ^ " m 2 ) = 0 . (3.10)
-64
For each valué of the wave number m there are four roots ÍTi , ±x~ which
determine four superposed evolutions. As it can be easily demonstrated, the
2
2
discriminant of eq. (3.10) is always positive, henee j . and T are
real
numbers, and time evolutions of the compound jet are oscillatory or grow
exponentially, as one can expect from an inviscid model.
In figure 2 the variation with the inverse wave number m~
of growth
factors T 1* and
wavelength
2 T ^ is shown. If the dimensionless perturbation
r
&
A = 2Trm
is smaller than 2irR both roots
are n e g a t i v e ;
oscillatory motion, the compound jet is stable under such
this m e a n s a
short-wavelength
perturbations. If A is large enough (A > 2 TT) both roots are positives; the
compound jet breaks. There is a middle región
(2TTR
< A <
in which one root
2TT)
is positive and the other negative, which corresponds
also
evolutions. Therefore, there is a stability limit (A =
depending only on
2TTR)
to
breaking
the valué of R, and two breaking regimes.
Within time stability studies, it is generally accepted that capillary
break due to the spatial harmonio which grows faster (Lee 1974, Bogy
Therefore, the optimum condition for breaking means máximum
jets
1978).
x- As it can be
observed in figure 2 the upper branch x^ presents one or two máxima, depending
on the valúes of R, p and a, whereas in the lower branch x
there is one
2
máximum only. From the point of view of instability the lower branch roots are
irrelevant because, for each valué of the wave number m, upper branch roots are
larger always.
The variation with m
of the máximum growth factor x
for several
valúes of R, p and a is plotted in figure 3 (in figure 3b máxima of the lower
branch roots have been also represented). Analytical expressions of x
for
some extreme cases are shown in Table 1. Concerning upper branch
máxima
represented in figure 3, there is a middle región where no máxima exist. For
instance, in the case p = 1, R = 0.5 and o -»- 0 (figure 3b) there is a máximum
^ 0 . 7 and a second one at m
^ 1.4; when o increases the first
máximum increases whereas the second vanishes at a ^ 0.26 (at this point the
at m
-65-
fading máximum becomes a inflection point, see figure 2 ) . Each point
the
inflection
curve ABC define
the points
of a second
(R,a ) of
curve
A'BC'
corresponding to the other máximum, so that curves ABC and A'BC' split the
máximum roots región in two zones. Therefore, two possibilities appear:
I) Above A'BC 1 there is one máximum only which determines the optimum
condition for breakup. When p = 1, R ^ 1 and
a-> 0 (the compound jet becomes a
- with a
single jet) the optimum condition for breakup is reached at m - I =r /2
máximum growth factor T
= 1//8", which are the same valúes that
those
calculated by Lee (1974) for the single jet. If R > ¿2 (R = /2 means both inner
and outer Jiets have the same cross sectional área) Tm occurs at m
> 1 no
matter the valué of a; this seems to indicate that the breaking process will be
determined by the outer interface. On the contrary, when R < / 2 the máximum
growth factor occurs at m
< 1, roughly, and the breaking process is mainly
driven by the inner interface.
II) Between ABC and A'BC', for each couple (R,a) there are two relative
máxima. Since the inflection curve ABC vanishes at m
points of the two máxima región can be only
reached
=1
when R = / 2 ,
from compound
jet
configurations having R < ¿2 and low valúes of cr. Of this two optimum breakup
conditions, that having the highest valué of x
will develop faster and will
become dominant in the breaking process. When o -> 0 the highest x
m~
% i/2~, but as a increases both valúes of x
occurs at
become of the same order
and, in a general case, elucidation of which one is dominant would require a
more detailed analysis.
When p f
1 the behaviour of the compound jet is similar to the described
above, the main discrepancies appearing cióse to m
= v2 where, even when
a ->• 0, the compound jet does not behave as a single jet. In this case, x
increases as R grows when
P < 1 and the contrary occurs when p > 1. This
behaviour can be explained because of inner jet inertial effects which cause
time evolution to be slow as the density ratio p grows.
-66-
4. Breaking regimes
To discuss the possible breaking regimes of the compound jet we introduce
two new parameters: the amplification, A = f1/f°, defined as the ratio of
the máximum (or minimum) inner interface deformation to the máximum (or
minimum) outer interface deformation, and the linear breaking time t-^.
The amplification is calculated by eliminating w° between (3.6) and (3.7)
as explained above. Thus, the following relationship is obtained
Rf
tt = f?t+ t ( 1 - R 2 ) ( f - z Z + f z Z > - >
(4 1}
'
therefore, for each pair (x,m)
= _ ! [ ! + ^ - R ? ( m 4 . m 2)].
(4.2)
T
.
Concerning t^, according to expressions (3.1), (3.9) and (4.2), the time
A
evolution of minimum inner and outer jet radius are, respectively
F¿ = R - C6:AeTt,
F° = 1 - C e e xt .
(4.3)
In the following we assume C = 1, so that initial conditions are fixed only by
the small parameter e. Inner jet breaking time is reached when the minimum
radius vanishes, F* = 0, in consequence
tí = -iln-S .
D
T
(4.4)
EA
On the other hand, there are two possibilities in calculating t° depending on
b
whether the outer interface reaches the inner one or not, as sketched in
figure 4. In the former case the breaking condition for the outer jet is
1 - eexp(xti ) = R - eAexp(xti), and the breaking time results
i* = — l n 1 " R N ,
m
x
e(1-A)
whereas in the second case the breaking condition is F° = 0, and then
t¿ = Aln-i .
The variation with m
(4.5)
(4.6)
of the amplif ication A corresponding to máximum
growth factors x is represented in figure 5. It must be stated that A can be
either positive or negative. According to (4.2) A = 0 implies
x2 = -J(l - R2)(m2 - m 4 ) ,
(4.7)
o
the highest valúes of x being obtained when R = 0, henee
x2 = -i(m2 - m 4 ) .
(4.8)
-67-
This zero amplification curve coincides with the upper boundary AC of the
lower branch root región (see figure 3). Points within this región give A < 0,
which means that outer and inner interface deformations are just in phase
opposition. However, as already stated, lower branch máxima are not significant
because they produce slower evolutions than upper branch máxima.
As figure 5 shows, most of the compound jet configurations have A > 1. Inner
interface deformations are larger than outer interface deformations, which
seems to indicate that the inner jet will break before the outer jet. However,
_i
as m
_1
increases A decreases, in such a way that cióse to m
.
= v2 is
A < 1. This means that inner interface deformations are smaller than those of
the outer interface and could indicate that there is another breaking regime in
which the outer interface reaches the inner interface before mínimum inner
interface radius vanishes. Some A < 1 cases have a quite clear meaning. For
instance, when p = 1, a - 0 (single jet) the amplification is A = R < 1: fluid
surfaces distort like the outer interface, the deformation being proportional
to the undisturbed fluid surface radius. When P ^ 1 the explanation is not so
simple and we should compare breaking time of both inner and outer jets, t and
b
t°, respectively. Outer interface will reach inner interface when t¡t - t ? > 0
b
b
b
or, according to (4.4) and (4.6), A/R = k, 0 < k < 1, that is A = kR < 1. As
shown in figure 5, this breakup by interface meeting would be possible if the
breaking perturbation wavelength is large enough. Additional insight can be
obtained from equation (4.2). After substituting A by kR results
1 _izRÍ(m2 _ m 4 } . A_^_2T2
(4.9)
2
1-kR2
1-kR2 °
This expression gives, for each valué of m, R and k, the growth factor x r for
T2 =
r
which a breakup by interface
increases, the highest valúes, x
meeting would occur. x r
= x
increases as k
being obtained when k = 1 (A = R ) .
Therefore, if for a given wave number m the máximum growth factor x
smaller than x
contrary, if x
the breakup by interface meeting
> x
is
could occur. On the
the inner jet will break faster than the outer one.
According to figure 3 the former breaking regime would only take place in the
-68-
case p > 1. In figure 4c the región of breakup by interface meeting (A o, R) has
been plotted.
5. Experimenta versus theory
In order to evalúate the suitability of the one-dimensional
model
in
predicting the behaviour of compound jets, theoretical results here obtained
have been compared with experimental results reported by Hertz & Hermanrud
(1983). Two different compound jets are considered, in the first one a mixture
of water (80 %) and glycerol
(20 %) is used as outer liquid, and the same
mixture, but dyed, as inner liquid. In the second compound jet the inner liquid
is the same as in the first jet whereas the outer fluid is a dimethyl silicone
oil.
For the first jet (a = 0,
p = 1, R = 0.488) theory predicts
behaviour as the single jet: breaking should occur at the optimum m
the
same
= /2~
(see Table 1) which is in agreement with the valué measured in figure 5 from
Hertz & Hermanrud (1983), m
that figure, A ^ R :
= 1.4. Furthermore, as it can be observed in
inner jet deformations are proportional to outer
jet
deformations.
The second jet (o % 2.6, P ^ 1, R = 0.488) seems to be more interesting for
comparison purposes. In this case the corresponding theoretical valué for the
optimum m
is 0.72, and the valúes for m
& Hermanrud (1983) are m
measured in figure 6 from Hertz
= 0.64 (in the first wave) and m
= 0.60
(mean
valué along the j e t ) , cióse enough to theoretical valué to consider
the
agreement between theory and experiments as significantly good, in spite of the
errors involved in these estimations.
Concerning the amplification A, mainly two factors prevents us for making
definitive conclusions on this point. The first one is the magnitude of the
errors involved in measuring it from photographs shown in figure 6 from Hertz &
Hermanrud (1983), especially the deformation of the outer interface, even if a
cathetometer is used. The second factor concerns the lack of data on the outer
-69-
liquid refractive Índex, needed to correct the optical distortion of the inner
interface. An indicative valué A ^ 3 could be guessed in the last two waves
before inner jet breaking (to which linear model would not be suitable), the
theoretical prediction for optimum breaking condition being A = 2.59.
6. Conclusions
The behaviour of compound jets has been analyzed by using a one-dimens ional
inviscid model which includes the main characteristics of such capillary jets.
The influence of the parameters involved (R, p, a) has been studied through a
linearized analysis and, amongst other features, the existence of two breaking
regimes should be pointed out. A better definition of these breaking regimes
would require the extensión of the analysis to non-linear approximations of the
model presented in §2, or even the numerical integration of the complete set of
equations, but these tasks are out of the scope of this paper and should be
undertaken in future work.
In addition, theoretical results have been compared with experimental ones
and, concerning the inverse wave number m
with those of Hertz & Hermanrud
, the results here obtained agree
(1983). An interesting point for
future
experiments could be the exploration of jets lying in the coupled breaking
región (the most part of the graphics shown here) and specially the interface
meeting región.
-70-
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-72-
OPTIMUM BREAKUP CONDITION
CASE
a -> co
a= O
a=0
COMMENTS
T
m
m
A
ao
/2~ R
1/R
z 2 1-P1 (1
/-, + R
r,
¿
i^)
8
p
O
R = 1
^ 8p
R = O
—
8
1-R2
/2
p + R2(l-p)
/2~.R
ao
O < R <
1//2
/2
1
Single
Í7
oo
Single jet
/2~
O
Solid core jet
jet
-I
p -> oo
Table 1
-73
FIGURE CAPTIONS
FIGURE 1. Geometry and coordinate system for the compound jet.
FIGURE 2. Qualitative influence of a (inner to outer surface tensión ratio) and
P (inner to outer density ratio) on the variation with the inverse wave number
—1
m
9
9
of the roots of eq. (3.10) T, and T2- Arrows indicate the variation of
the root curves as a or p increase.
FIGURE 3. Máximum growth factor x„ versus inverse wave number m
°
m
of
compound jets with a inner to outer density ratio p = 0.5 (a), p = 1 (b) and p
= 2 (c). Numbers on the curves indicate the valúes of the inner to outer radius
ratio R (solid lines) and the inner to outer surface tensión ratio a (dashec
lines). Details on the box outlined in (c) are shown in (¿).
FIGURE 4. Minimum jet radius F_ versus time t. Inner-jet breaking time
t¿
b is obtained when its minimum radius F „
m, vanishes. In the outer
jet case there are two possibilities and breaking time t? is reached when
its minimum radius F° vanishes (a) or when the outer interface reaches
the inner one (b).
FIGURE 5. Amplification A versus inverse wave number m
of compound jets
with a inner to outer density ratio p = 0.5 (a), p = 1 (b) and p = 2 (c).
Numbers on the curves indicate the valúes of the inner to outer radius ratio R
(solid lines) and the inner to outer surface tensión ratio a (dashed lines).
The shaded área in (c) indicates the región in which breakup occurs by the
meeting of the inner and outer interfaces.
•74-
tVl
+
~T3
3
V
O)
c
c
O
t/\rf
W
FIG. 1
•75-
z
F/6. 2.
•76-
v\ \
\
0.8
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\
YY\
0.6
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1
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4
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YD
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5d
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M6.
5o
-83-
5
H
A
•3
2
1
O
0.6
o.S
m
F<6. 5 c
-84-
Apéndice 2: EXPERIMENTS WITH LIQÜID BRIDGES IN SIMÜLATED
MICROGRAVITY
-85EXPERIMENTS WITH LIQUID BRIDGES IN SIMÜLATED MICROGRAVITY
J. MESEGUER, L.A. MAYO, J.C. LLÓRENTE and A. FERNANDEZ
Laboratorio de Aerodinámica, ETSI Aeronáuticos, Universidad Politécnica,
28040 Madrid, Spain.
A feature of stability diagrams of liquid bridges between unequal
disks
subjected to small axial gravity forces is that, for each disks separation,
there is a valué of microgravity for which an absolute minimum volume limit is
reached. The dependence of such microgravity valúes on the liquid bridge
geometry has been experimentally checked by using the neutral
technique, experimental results being in complete agreement with
buoyancy
theoretical
ones. Analytical background assuring the experimental procedure used
is
presented, and a second order analytical expression for the equilibrium
interface shapes is also calculated.
1. Introduction
A liquid bridge consists of a volume of liquid held by surface tensión
forces between two solid disks (Fig. 1 ) . Equilibrium shapes and
stability
limits of liquid bridges have drawn the attention of numerous scientists during
the last two decades, specially about the stability limits of minimum volume (a
short review of the state of the art in this field can be found in [1 - 3]). It
is well known that for each disks separation there is a minimum volume of
liquid for which a stable liquid bridge can be formed. The dependence of such
minimum volume stability limits on non-symmetric effects
like
an
axial
microgravity and unequal disks has been studied in [4 - 6] for the case of long
liquid bridges. Available results show that
each
one of these
effects
separately decrease the stability of the liquid column (the volume must be
increased or the disks separation decreased to keep a stable configuration) but
-86both effects added together can cancel or, in other words, each one of these
effects can be
a stabilizer for the remaining one. This behavior is summarized
in Fig. 2, where a typical stability diagram for a liquid bridge between
unequal disks is shown. According to this p l o t , for each valué
of
the
slenderness A = L/(2R 0 )* and the disks radius ratio K = (1~H)/(1+H) there is a
valué of the Bond number B c for which an absolute minimum-volume
limit V
stability
is reached.
Numerical results presented in [6] show the dependence of the liquidbridge interface shapes at stability limits on the Bond number. When B > B ,
the neck of the interface is closer to the top disk (the larger disk). As B
decreases, it moves towards the bottom disk, the neck being approximately at
the middle plañe parallel to the disks just when B = B , at least for the
valúes of A and K analyzed in [6]. Since a similar behavior can be expected in
the case of liquid bridge configurations far from stability limits, one can
assume that a stable liquid column will have the neck at the middle plañe when
B = B , which provides a criterion
to e v a l ú a t e , either
experimentally, the dependence of B
analytical
on A and K. In fact, the
or
following
expression based on the middle-plane hypothesis
B c = H/(A - sinA) ,
(1)
where H = (1-K)/(1+K), was calculated in [7] from a linear expression for the
equilibrium interface shapes. Analytical results obtained from eq. (1) agree
with available numerical ones within the range of validity
of a
linear
analysis, which validates the assumption stated on the middle plañe.
* In the following, unless otherwise stated, all lengths are made dimensionless
with R
(see Fig. 1 ) , volumes with R
and pressures with a/R
, a being the
surface tensión. Bond number is defined as B = pgR /a, where p stands for the
liquid density and g for the acceleration due to axial microgravity.
-87This paper is devoted to the experimental determination of the dependence
of B
on A and K. Previously an analytical demonstration of the validity of the
middle-plane hypothesis for long liquid bridges is presented.
Experiments have been performed by simulating microgravity by using the
neutral buoyancy technique, with one liquid surrounded by a second with which
it is immiscible but of almost the same density [2, 8 - 1 4 ] . In Plateau tank
o
experiments Bond number is defined as B = ApgR /a , where Ap stands for the
difference between working and surrounding liquid densities. We used a dimethyl
silicone oil as working liquid and a mixture of methanol and distilled water as
surrounding liquid. Since both liquids have different thermal
expansión
coefficients, the variation in liquid temperatures causes variation of the Bond
number.
In each of the experiments the following procedure was performed: once a
liquid bridge of the appropriated slenderness and volume is formed, the tank is
slowly heated (or cooled). As Bond number changes the liquid bridge
varies and the neck moves along
the
liquid
c o l u m n . From
time
interface
to
time
photographs of the interface are taken. Neck position is directly measured from
photographs whereas Bond number is calculated by fitting experimental interface
shapes to an analytical expression. Then, neck position is plotted versus Bond
number, and the valué of B
obtained.
Two valúes of the disk radius ratio (K = 0.897 and K = 0.8) and, for each
one of these valúes of K, liquid bridges with four different
slenderness
(ranging from 2.8 to 1.8) have been considered. For redundancy, each liquid
bridge configuration has been tested by at least twice, changing the volume of
liquid from one to another experiment.
2.Analytical background
The results presented in this section are derived from previous analytical
results already published in [5, 1 5 ] , where the bifurcation from stable to
unstable equilibrium interface shapes of long liquid bridges is studied through
a perturbation analysis. The differential equation governing the interface of
an axisymmetric liquid bridge between unequal disks subjected to a small axial
gravity forcé is
|(2S + S 2 - SS ZZ )(S +\s2zy312
- Bz + P = 0 ,
(2)
where S(z) = R (z) is proportional to the cross-sectional área of each slice of
the liquid bridge and P is a constant related to the origin of pressures.
Boundary conditions state the valué of S at the disks
S(+A) = (1 + H ) 2 ,
(3)
and the volume of liquid
rA
V
= Tí
(4)
Sdz .
-A
S i n c e we a r e
interested
in
the
stability
of
liquid
s l e n d e r n e s s c i ó s e t o A = TT and volumes c i ó s e t o t h e " c y l i n d r i c a l
2TTA), t h e following
a s y m p t o t i c expansions a r e i n t r o d u c e d
bridges
volume"
with
(V =
[ 5 , 15]
A = TT(1 + eA) ,
x ( l + eA) ,
P
1
1 + e-1/2.
' ^ , + es, + e ' s, +
'1
3/2
12
1 + £ ' p1
+ ep2 + e
P3
B
e3/2b ,
H
£3/
S
2
h ,
V = 2TTA(1 +
ev)
(5)
-89-
After introducing expressions (5) in eqs. (2), (3) and ( 4 ) , and equating
equal power terms of e, a sequence of problems results.
1 /2
The solution of the e ' order problem gives
Si =-Asinx ,
(6)
where A is an unknown constant measuring the amplitude of the non-symmetr ic
modes, either stables or unstables.
The e order problem yields
S2 = v(l + cosx) ,
(7)
which is a symmetric, volume-dependent term.
in the e 3/2
'
order
The valué of the unknown amplitude A is determined
problem, where the following expression for So is obtained
So = -[(A
->
--T-V)A
2
+-|-A3]xcosx --|-A3sin3x + 2bx + Csinx + Dcosx .
16
64
(8)
The fulfillment of boundary conditions (3) yields D = 0 and
(A - i v ) A + — A 3 + 2b = 2h/ir ,
2
16
(9)
which determines the amplitude of the i n t e r f a c e
d e f o r m a t i o n A. The number of
r e a l r o o t s of (9) depends on the sign of the d i s c r i m i n a n t , as i t i s w e l l known
from
cubic
equation
solution,
the
bifurcation
[—(b - h/Tr)] 2 = [—(i-v - A ) ] 3 . F u r t h e r m o r e ,
point
appearing
t h e n a t u r e of t h e
r e p r e s e n t e d by eq. (9) depends on the sign of t h e term e
when
bifurcation
(b - h/ir) = B - B ,
as sketched in F i g . 2*. Bellow the s t a b i l i t y l i m i t s the amplitude of the s t a b l e
* This a n a l y s i s gives B = H/TT ; the same valué r e s u l t s from eq. (1) when A = TT .
-90non-symmetric modes becomes A = 0 when B = B , whereas B = B
means A 7* 0.
Therefore, when B = B , the stable equilibrium interface shapes are determined,
up to the e order approximation, by the volume-dependent term only (eq. (7)).
Since the minimum (or máximum) on a symmetric function is in the middle point,
long liquid bridges will have the neck at the middle plañe parallel to the
disks just when B = B .
3 . Apparatus
Experiments have been performed in an a p p a r a t u s d e s i g n e d as P l a t e a u
Facility
(PTF) a l r e a d y d e s c r i b e d
( R h o d o r s i l 47 V20) w i t h v i s c o s i t y
P = 954 í 0.5 kg.m
in
[2,
16].
20 t i m e s
A dimethyl
that
Tank
silicone
of w a t e r
and
oil
density
has been used as working l i q u i d , and a mixture of methanol
and d i s t i l l e d water as the surrounding l i q u i d . To improve i n t e r f a c e
visibility
the dimethyl s i l i c o n e o i l was s l i g h t l y dyed with yellow a n i l i n e .
The t a n k , as sketched i n F i g . 3 , i s 140 mm x 140 mm x 60 mm, w i t h
s i d e s made of 2 mm t h i c k g l a s s and t h e b o t t o m of 10 mm t h i c k P e r s p e x .
d i s k s a r e made of Perspex, in the shape of a f r u s t r u m c o n e ,
e d g e s . The i n j e c t i o n
and r e m o v a l of w o r k i n g f l u i d
diameter hole i n t h e c e n t r e of t h e u p p e r d i s k .
to provide
Both
sharp
i s done t h r o u g h a 4 mm
The w o r k i n g s u r f a c e of
bottom d i s k i s f í a t , whereas t h e one of t h e f e e d i n g d i s k p r e s e n t s a
c o n i c i t y the p u r p o s e of which i s t o f a c i l i t a t e
the
the evacuation
the
slight
through
i n j e c t i o n hole of a i r bubbles trapped i n t o t h e l i q u i d b r i d g e . Working
the
fluid
i n j e c t i o n and removal i s done with a c a l i b r a t e d s y r i n g e , the p i s t ó n of which i s
d r i v e n by a v a r i a b l e
speed e l e c t r i c m o t o r . L i q u i d d i s p l a c e d by t h e
passes through the f i l l i n g d u c t . In b e t w e e n ,
pistón
a three-way valve with a purge
duct i s connected. The purge duct i s placed aiming to t r a p a i r b u b b l e s
coming
from the upper d i s k .
A magnetic s t i r r e r
at
one
side
of
the
tank
help
to keep
uniform
-91temperature and alcohol composition. Background illumination consists of a 60 W
blue glass lamp. Very cióse to the rear face of the tank a translucent grid
provides diffuse illumination and a reference frame for interface
shape
measurements. A photo camera placed 70 cm away, is used for image recording.
Background illumination is used to heat the tank, the rate of heating
being controlled by placing appropriated water filters between the blue lamp
and the translucent grid. Cooling is achieved by setting off the background
illumination and by refrigerating the tank with a cool air
stream.
The
temperature of the surrounding liquid is continuously measured by using a
í 0.1 °C precisión thermometer.
One of the problems arising when a methanol-water mixture is used as
surrounding liquid is the existence of a density gradient along the tank. This
phenomenon was experimentally studied by Tagg et al [17] and a density gradient
as high as 50 kg.m
was found with their experimental configuration, although
these authors did not stated if the density gradient was due to inhomogeneities
in the mixture, or to the significant vertical temperature gradient existing in
their experiment.
Since we were aware of this problem, during our experiments the magnetic
stirrer was intermittently
running
to avoid
density
gradients
in
the
surrounding liquid. Such stirrer causes a centrifugal flow of the surrounding
liquid (as it can be easily observed by using small working liquid drops as
tracers) which prevenís density or temperature gradients. Certainly, if the
stirrer speed is high enough the surrounding liquid flow may distort the liquid
bridge interface; however, it has been experimentally checked that there is a
range of low stirrer speeds in which an effective surrounding liquid mixing is
achieved whereas surrounding liquid flow does not appreciably influence the
behavior, either static or dynamic, of the liquid bridge [2, 12, 13].
In addition, a great care was posed in avoiding large temperature change
rates during experiments. The difference between initial and
end-of-run
-92temperatures during the different experiments performed ranged from 0.2 K to
6 K (this difference being smaller as the liquid bridge slenderness increases)
and the time spent in each experiment was the appropriated
temperature change rates between 10
K.s
and 10
to kept
the
K.s" . Even more, to
avoid large temperature gradients across the tank, in those experiments in
which large differences between initial and end-of-run temperatures
expected, room temperature was also changed according to surrounding
was
liquid
temperature.
4. Experimental technique and results
In all experiments the liquid bridge conf igurat ion was similar to that
represented
in Fig. 1 (large disk at the t o p ) . At the beginning
of
all
experiments the surrounding liquid had methanol in excess, its density being
slightly smaller than the working liquid density, aiming to provide a liquid
bridge interface with the neck closer to the large disk. The experimental
procedure has been already explained in § 1: once a liquid bridge of the
desired slenderness and volume is formed, the tank temperature is increased so
that the difference Ap between working liquid density and surrounding
liquid
density varies. As Bond number increases the liquid-column neck moves towards
the bottom disk, the rate of change being small enough to avoid
dynamic
effects. From time to time photographs of the interface shapes are taken,
measuring neck position and Bond number from these pictures later.
To determine the experimental interface shapes the grid placed at the rear
face of the tank provided an accurate reference frame (Fig. 4 ) . Pictures were
enlarged and the diameter of the liquid column at each horizontal grid line as
well as the distance between two reference vertical grid lines were measured.
Then, taking into account both scale and conicity effects, the real diameters
were calculated. Finally, from these experimental interface shapes, the valué
-93of the Bond number was determined by a least square fitting to a second order
analytical expression for the interface shape (see Appendix). Some experimental
liquid bridge interfaces, as measured from photographs, are compared with
analytical ones in Fig. 5.
Concerning experimental results here presented it must be stated that
liquid bridge volumes were measured with a precisión of í 0.3 cm , and the
distance between disks with í 0.5 mm. Disk diameters were 30 mm for the upper
disk and 26.9 mm (K = 0.897) or 24 mm (K = 0.8) for the lower disk, the error
in disk diameters being T 0.1 mm. Therefore, mean errors in dimensionless
variables are V í 0.1 and A "í 0.02. In addition, a conservative estimation of
the mean error in Bond number and neck position (which was made dimensionless
with L/2) could be B t 0.0005 and z R t 0.03, respectively.
Experimental results, neck position versus Bond number, are listed in
Tables 1 and 2. These results have been also represented in Figs. 6 and 7. As
it can be observed, liquid bridges behave according to theoretical predictions:
as B varies the neck moves along the liquid column, the neck being at the
middle plañe for B = B . Furthermore, B
results almost the same no matter
which the valué of the liquid bridge volume is. The valúes of B , as resulting
from Figs. 6 and 7, are shown in Table 3. In Fig. 8 experimental results, B
versus A, are compared with numerical ones calculated
in [6], the agreement
being reasonably good.
Additional conclusions can be obtained by plotting the dependence on A of
H/B
instead of B , as shown
in Fig. 9. As
it can be o b s e r v e d ,
both
experimental and numerical results reduce to one single curve when H/B c is
used, at least for the considered valúes of H. In this plot also eq. (1) has
been represented. Experimental results lie between numerical and
curves, for each valué of A the experimental valué of H/B
theoretical
being slightly
higher than that numerically calculated. The reason for this difference could
be the method used to calcúlate experimental Bond numbers. In effect, we
-94determine the valúes of B by fitting experimental interface shapes to a second
order analytical expression. The same fittings
have been performed
by
considering only linear terms in the analytical interface shape (these results
are not shown here) and, except in a few cases, generally results B
where the subscripts s and t
denoted
second
order
or linear
> B»,
fitting,
respectively. Thus, H/Bg < H/B», which seems to indicate that the experimental
curve
should
be even
closer
to the n u m e r i c a l
one
if a higher
order
approximation for the interface shape instead of a second order expression
would have been used
to determine the valúes of the experimental Bond
numbers.
In this paper only two valúes of the disk radius ratio (K = 0.897 and K =
0.8) have been considered. Although the extensión of the experimental study to
lower valúes of K does not mean any practical difficulty (except for the large
time involved in neutral buoyancy experimentation) there are two reasons for
which those additional experiments were not performed. The first
concerns the availability of theoretical results
reason
[5, 6] and the second is
related to the experimental data analysis procedure, as the suitability of a
second order analytical expression for the interface shape to calcúlate Bond
numbers diminishes when K is quite different from the reference valué K = 1.
Acknowledgement
This paper has been supported by the Spanish National Commission for Space
Research (CONIE).
Appendix
In this part a second order analytical expression for the liquid bridge
equilibrium interface shape is calculated. The formulation of the problem has
been already presented in § 2, eqs. (2) to ( 4 ) . To calcúlate
interface shapes the following small parameters are defined
equilibrium
-95-
1
2TTA
e9 = B ,
1 ,
e 3 = 2H.
(al)
The first parameter measures the deviation of the liquid bridge volume from
cylindrical volume, the second is the Bond number, and the third is related to
the boundary conditions: S(ÍA) = 1 í e, + — £o, which is similar to eq. ( 3 ) .
Let us to introduce the following expansión for the variable S(z)
S(z) = 1 + 1 eiSi(z)
i
+
l eieisi.(z)
i,j
,
(a2)
with s-.(z) = s-.(z). Then, introducing eq. (a2) in (2) - (4) and equating
J -1-
J
equal power terms of e. yields the following set of problems
e-. order
A
s-, + Si
+ p-, = 0
s^+A) = 0 ,
s-,dz = 2A ;
(a3)
s 2 (+A) = 0 ,
s?dz = 0 ;
(a4)
s3(+A) = +1 ,
s^dz = 0 ;
(a5)
zz
e 2 order
s2 + s2
- 2z + p 2 = 0 ,
zz
£o order
So + So
+ po = 0 ,
zz
with these three linear problems volume and microgravity requirements are meet,
but not boundary conditions at the disks. Therefore, all second order problems
will have homogeneous boundary conditions, except that concerning Soo(z)
£.£. order
s ; . + s. .
= — (s. s. + s.s.
z Jz
+ s.
s. + 3s-s.) - p. . ,
(a6)
S i j (+A)
=\&i3Sj3
,
s- -dz = 0
where 6.. stands for the Kronecker delta function.
-96-
The solutions of the linear problems (already calculated in [7]) are
s-^ = N(cosz - cosA) ,
s~ = 2(z - Asinz/sinA)
(a7)
So = sinz/sinA ;
with N = A/(sinA - AcosA). Then, after substituting these expressions in the
second order problems, the following solutions are obtained
s
ll = T 1 1 (z) - T1]L(A) ,
s
12 = T 1 2 (z) - T12(A)sinz/sinA ,
s
13 = T 1 3 (z) - T13(A)sinz/sinA ,
s
9 9 (z) - T 9 9 (A) ,
22 = TL 22
22"
s
23 = TL 9 , (V z¿ ),
2 3
'33
(a8)
- Tx9 o(A) ,
2 3
4 ( 1 " s-,)
,
where the f u n c t i o n s T . . a r e
T,-,(z) = -^ N cosA[ (l-NAsinA)cosz - z s i n z ] ,
1
1 9
_A_
T^2(z) = 2"N[^-z sinz + MNsinA
C ^ A Z C O S Z ~ 3zcosA] ,
T
NcosA
(a9)
i 3 ( z ) = TTiiTíTr z c o s z '
T 9 9 (z) = — ~
¿¿
T 9 Q (z) =
15
[(4 - A 2 + z2)cosz - 2zsinz] + 3z 2 ,
sinA
— [(4 - A 2 + z 2 - 2NAsinA)cosz - 2zsinz] .
4sinA
)
-97-
REFERENCES
[I]
I. Da Riva and L.G. Napolitano, in: Material Sciences under Microgravity,
ESA SP-191, Paris, ESA (1983) 5.
[2] J. Meseguer and A. Sanz, J. Fluid Mech. 153 (1985) 83.
[3] L.H. Ungar and R.A. Brown, Phil. Trans. Roy. Soc. London A306 (1982) 347.
[4]
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[5] J. Meseguer, J. Crystal Growth 67 (1984) 141.
[6] J. Meseguer, J. Crystal Growth, in the press.
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Results
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-98-
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[16] I. Martínez and D. Rivas, Acta Astronáutica 9 (1982) 339.
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Drops: Plateau's Experiment Revisited, JPL 900-954, Pasadena, California,
1980.
-99-
Table 1
Variation of the neck position z with the Bond number B for liquid bridges
with slenderness A and volume V, held between unequal disks with a disks radius
ratio K = 0.897.
A = 2.79
V = 16.3
V = 17.1
B
A = 2.60
B
V = 15.1
V = 16.6
B
B
V = 14.1
B
0.037
0.41
0.025
0.13
0.029
0.18
0.037
0.33
0.037
0.20
0.029
0.36
0.024
0.07
0.025
0.07
0.028
0.20
0.030
0.07
0.027
0.31
0.023 -0.05
0.024
0.03
0.027
0.09
0.027
0.00
0.025
0.24
0.017 -0.40
0.023 -0.01
0.020
NONE
0.024 -0.08
0.023
0.04
0.022 -0.07
0.015
NONE
0.016 -0.22
0.022
NONE
0.020 -0.12
•0.007 -0.57
A = 1.79
A = 2.21
V = 13.7
B
V = 10.6
V = 12.1
B
B
B
V = 8.8
V = 11.0
B
0.162
0.49
0.084
0.30
0.068
0.13
0.240
0.47
0.221
0.28
0.071
0.35
0.058
0.13
0.058
0.09
0.164
0.39
0.124
0.12
0.047
0.20
0.036 -0.09
0.044
0.01
0.081
0.05
0.079
0.00
0.035
NONE
0.026 -0.17
0.023 -0.13
0.048
NONE
0.046 -0.13
-0.006 -0.66
0.016 -0.25
•0.031 -0.35
•0.020 -0.66
-0.050 -0.30
-100-
Table 2
Variation of the neck position z with the Bond number B for liquid bridges
with slenderness A and volume V, held between unequal disks with a disks radius
ratio K = 0.800.
A = 2.83
V == 1 4 . 8
V = 15.9
B
z
A = 2.63
B
n
z
n
V = 16.4
B
z
V == 1 3 . 7
V = 14.8
n
B
B
z
n
0.057
0.33
0.051
0.17
0.069
0.39
0.072
0.28
0.067
0.18
0.048
0.11
0.049
0.10
0.060
0.28
0.055
-0.02
0.060
0.06
0.046
0.01
0.047
0.04
0.055
0.08
0.046
-0.20
0.056
0.01
0.044
-0.12
0.046
-0.02
0.050
NONE
0.037
-0.39
0.048 -0.14
0.042
-0.20
0.044
-0.10
0.043
NONE
0.038
-0.35
0.040 -0.28
0.039 -0.33
A = 2.. 4 4
z
n
V = 10.2
V = 12.0
V == 1 3 . 0
B
A = 1.82
B
B
V = 8.2
V = 9.6
B
B
0.086
0.16
0.067
0.00
0.227
0.33
0.172
0.12
0.201
0.12
0.069
0.06
0.063
-0.04
0.178
0.20
0.086
-0.20
0.182
0.08
0.066
0.00
0.056
-0.10
0.126
-0.20
0.010
-0.43
0.156
0.03
0.063
-0.07
0.044
-0.21
0.105
-0.36
0.048
-0.49
0.109
-0.06
0.056
-0.22
0.046
-0.23
0.049
-0.30
-101-
Table 3
Variation with the slenderness A of the Bond number B
at which a mínimum
volume stability limit is reached, and the ratio H/B , where H = (1-K)/(1+K),
K being the disks radius ratio.
K = 0.897
K = 0.800
H/Bc
A
B
0.023
2.37
2.83
0.046
2.42
2.60
0.027
2.02
2.63
0.055
2.02
2.21
0.043
1.27
2.44
0.067
1.66
1.79
0.078
0.70
1.82
0.146
0.76
A
B
2.79
c
c
H/Bc
-1 0 2 -
FIGURE CAPTIONS
Fig. 1. Geometry and coordinate system for the liquid bridge problem.
Fig. 2. Stability diagram of liquid bridges between unequal disks. For each
valué of the slenderness A and the disks radius ratio K the minimum
stable volume V depends on the Bond number B as sketched in the figure.
For each couple A, K there is an absolute minimum volume
stability
limit V c which is reached at B = B c > The inserts placed at the top show
the bifurcation diagrams (A versus X --^-v, see eq. (9)) of stable
liquid bridge configurations represented by the points labeled a, b, c.
In these inserts, solid or dashed lines indicate stable or unstable
equilibrium shapes, respectively.
Fig. 3. Sketch of the experimental apparatus: 1) light source, 2) translucent
grid, 3) thermometer, 4) filling duct, 5) Plateau tank, 6) liquid
bridge, 7) magnetic stirrer, 8) camera.
Fig. 4. Photographs of liquid bridges showing the magnif y ing-glass effect of
the liquid column. Photographs correspond
to the same liquid bridge
configurations shown in Fig. 5: A = 2.63, K = 0.8, V = 13.7 and
B = 0.067 (a), 0.056 (b), 0.048 (c) and 0.039 (d).
Fig. 5. Liquid bridge interface shapes. In this plot experimental
interface
shapes, black circles, as measured from photographs shown in Fig. 4,
are compared with analytical interface shapes, solid lines, as given by
eq. (a3). The results correspond to liquid bridges with A = 2.63,
K = 0.8, V = 13.7 and B = 0.067
( a ) , 0.056
( b ) , 0.048
(c) and
-1030.039 ( d ) . Note t h a t in each sketch r a d i a l c o o r d i n a t e s a r e c o n s i d e r a b l y
e n l a r g e d (H = 1/9).
F i g . 6. E x p e r i m e n t a l r e s u l t s ,
neck p o s i t i o n z
v e r s u s Bond number B.
r e s u l t s correspond to l i q u i d b r i d g e s with K = 0.897 and
A = 2.79
2.60 ( b ) , 2.21 (c) and 1.79 ( d ) . Numbers on t h e c u r v e s
The
(a),
indicate
the
v e r s u s Bond number B.
The
l i q u i d b r i d g e volume.
F i g . 7. E x p e r i m e n t a l r e s u l t s ,
neck p o s i t i o n
z
r e s u l t s correspond t o l i q u i d b r i d g e s w i t h K = 0 . 8 and A = 2 . 8 3
(a),
2.63 ( b ) , 2.44 (c) and 1.82 ( d ) . Numbers on t h e c u r v e s i n d i c a t e
the
l i q u i d b r i d g e volume.
F i g . 8. V a r i a t i o n with t h e s l e n d e r n e s s
A of t h e Bond number B
a b s o l u t e mínimum volume s t a b i l i t y
correspond to experimental
results
calculated
in
[6].
limit
is reached.
a t which an
Solid
r e s u l t s and d a s h e d l i n e s t o
The s y m b o l s
indicate
the
lines
numerical
valué
of
the d i s k s r a d i u s r a t i o , K = 0.897 (O) and K = 0.8 (D).
F i g . 9. V a r i a t i o n w i t h t h e s l e n d e r n e s s
A of
the
ratio
H/B
. Solid
line
corresponds to experimental r e s u l t s ( t h e symbols i n d i c a t e the v a l u é of
the d i s k s r a d i u s r a t i o , K = 0.897 (O) and K = 0.8 ( • ) ) w h e r e a s
dashed
l i n e corresponds to numerical r e s u l t s c a l c u l a t e d in [6] and d o t - d a s h e d
l i n e to eq.
(1).
-1 0 4 -
Ro0 + H)
IG. 1
-105-
FIG.
-106-
FIG.
.*><<'<<-<-'<IÍIIIIÍI|IÉ
.
. llilllll
o
"IÍÜHÜ/I
Z,OT-
'•» ñrtti
- 1 Oí
b
dj
Í-2H
4-H
R
FIG.5
•109-
o.5
b
0.5
J&Ji-
Z,
^3
•n
<5^~a
O
-Q5
0.020
O
Q025"
a 030
0.5
0,03
_
O
0.5
0.5
H
O
0
-as 0
O
-0.5
0.05
B
o. i
o
0.4
B
G.
0.04
-110-
0,5
0.5
¿-V\
O
-0.5
O.OkQ
o
0,0*/S"
0.050
-0.5
0.05
O.oS
B
:
B
C
0.5"
n
0,07
0.5
*5£—O
0
o^°^
/yio.i
/<\p
-0.5
0.5
0.0*f
o.oé
B
ao<$
o
O. i
0.2
FIG.
• 1 1 1 -
O.lé
B,
0.12
0.08
—v>
0.04
O
té
2.0
2M
2.8
A
G8
3.2
-112-
FIGSO
-113-
4. UTILIZACIÓN DE LA ZONA FLOTANTE EN LA PURIFICACIÓN DE
MATERIALES
-1144. UTILIZACIÓN DE LA ZONA FLOTANTE EN LA PURIFICACIÓN
MATERIALES
DE
4.1. INTRODUCCIÓN
Aunque la mayor aplicación de la tecnología de la zona flotante
(zona fundida mantenida por fuerzas de tensión superficial) es
sin duda la obtención de monocristales de materiales semiconductores para la industria electrónica, también es importante su
utilización en el refino y purificación de materiales, tanto a
baja temperatura (~300°C, para sólidos orgánicos), como a medias
(de 600 a 1000°C, para algunos metales), como a alta temperatura
(de 1000 a 2000°C, para ciertos metales y sus óxidos y otros
compuestos inorgánicos).
De hecho, la primera aplicación, ideada en 1952 por W. Pfann [1]
en Bell Telephon Laboratories (USA), fue precisamente para la
purificación de germanio, en los años pioneros de desarrollo de
los semiconductores.
Esta técnica de zona liquida flotante es un desarrollo avanzado
de las técnicas tradicionales de zona fundida en que el material
a tratar estaba totalmente encapsulado en un crisol (ampolla de
vidrio de borosilicato para baja temperatura, de sílice fundida
para media tempertura, o de platino o iridio para alta temperatura) o se mantenía en una gaveta abierta superiormente, para
disminuir los problemas de dilatación y facilitaba la retirada
de impurezas.
La ventaja excepcional de mantener la zona fundida "flotando"
(sin contenedor) es que se evita la contaminación, tanto material como térmica, por el crisol. Con ello se puede obtener
-11 5fácilmente purezas del 99.9999% (menos de 1 ppm de impurezas)
que son no sólo necesarias para ciertos trabajos de laboratorio,
sino para la industria electrónica actual, que empieza a necesitar niveles de integración de 1 0 9 uniones por cm 2
(menos de
1000 partes por billón de dislocaciones atómicas).
Debido al gran consumo energético del proceso de zona flotante y
al pequeño volumen de producción, el costo resulta muy elevado,
variando entre 25000 y 250000 pts/kg para materiales purificados
a 1 ppm.
A continuación se presenta una teoría de la purificación por
zona flotante, dejando para trabajos posteriores el análisis del
proceso de recristalización monocristalina.
4.2. MODELO MATEMÁTICO
Se trata aqui de establecer las ecuaciones que gobiernan el proceso de purificación. Como el problema real es muy complicado,
se introducirán en todos caso las siguientes hipótesis drásticas :
1. La geometría es unidimensional. Es decir, se pasa de la
zona flotante real, mostrada en la Fig. la, al modelo
cilindrico esquematizado en la Fig. Ib. Con ello se deja
de tener en cuenta todos los fenómenos de estabilidad, en
los que tanto se ha trabajado últimamente.
2. Todas las velocidades son despreciables. Es decir, se supone que las velocidades, tanto de desplazamiento de las
entrefases como las del movimiento interno en la masa
liquida (generada, por ejemplo, por las variaciones de
tensión superficial) no influyen.
Posteriormente se introducirán otras hipótesis particulares,
pero conviene empezar ya a analizar la pregunta clave: ¿por qué
al hacer avanzar la zona fundida se separan las impurezas?
-11 6-
a)
b)
Fig. 1. Sección transversal de la zona fundida, a) caso real
b) modelo idealizado unidimensional.
En la Fig. 2a se presenta un diagrama de fases típico para una
sustancia casi pura, y en la Fig. 2b el caso particular de las
mmezclas de silicio y aluminio, que suele ser una de las impurezas más frecuentes. Para una presión dada (que apenas tiene
influencia al tratarse de fases condensadas) lo más importante
es que la linea que marca la temperatura de comienzo de la fusión SS' (linea de solidus) es distinta de la correspondiente al
final de la fusión LL' (linea de liquidus), la cual coincide con
el comienzo de la solidificación si se piensa que se enfria una
masa ya fundida.
J
0
W
Si
I
L_J
1
1
50%
I
1
I !
Al
Fig. 2. a) Diagrama de fases típico de una mezcla binaria
para baja concentración de impureza. LL*' linea de
liquidus. SS1 linea de solidus. b) Diagrama de fases
de las mezclas silicio-aluminio.
-117Existen ciertas mezclas para las que las pendientes LL' y SS'
son positivas, pero en cualquier caso, lo importante es que al
comenzar a solidificar un liquido con impurezas W
(punto L) se
segrega una mezcla sólida de composición diferente (normalmente
con menor proporción de impurezas (punto S'),
siendo este frac-
cionamiento automático de la mezcla lo que permite quedarse con
la fase más pura, sea la resolidificada
(caso normal) o la li-
quida.
Existen casos extremos en los que la linea de solidus es vertical,
(ej.:
lo que significa que la fase sólida no disuelve impurezas
agua salada), los cuales no son de interés para este es-
tudio de purificación de sólidos.
Con las dos hipótesis hechas anteriormente, el modelo geométrico
del proceso de purificación es el siguiente:
1. Se parte de una varilla sólida de longitud Z N y contenido en impurezas W s 2 ( Z ) , fundiendo una parte a la izquierda, desde el origen hasta Z = L(0).
2. Lentamente, se va desplazando la zona fundida hacia la
derecha, con lo que en un instante genérico, desde 0 a
Zj estará el sólido refinado, de Z-^ a Z-i+LtZ-^) estará
fundido, y desde Z J + L Í Z J ) hasta Z^ el sólido obtenido
previamente en la pasada anterior (Fig. 3 ) .
m
2|T
n
Fig.
Z¡*L(Z,)
dZ
ízVdZ*L(Z,*dZ)
3. Dos instantes sucesivos de una pasada de refino.
-118Además de las dos hipótesis iniciales, se introducen las siguientes simplificaciones:
-La difusividad en estado sólido es despreciable y, por
tanto, las composición de la fase sólida no varia con el
tiempo más que cuando resolidifica.
-La difusividad en la fase liquida es grande y se supondrá
en primera aproximación que la composición es uniforme en
toda la masa que en un instante dado está fundida.
-Existe equilibrio termodinámico en la interfase de solidificación Zj. Es decir, la composición a cada lado del frente es S 1 en el sólido y L en el liquido (Fig. 2a). Para varillas con pocas impurezas, aproximando la curva de la Fig.
2a por las rectas tangentes en W = 0, se puede poner:
W s l (Z x ) = k.Wj/Z-L)
(1)
Nótese que no se impone la condición de equilibrio termodinámico
en el frente de fusión porque resultarla incompatible con las
hipótesis anteriores.
Con este planteamiento, la ecuación de conservación de la masa
de impurezas es (Fig. 3 ) :
Z-j^dZ+L^+dZ)
[w L (z 1 )-w sl (z 1 )]dz + [wL(z14dz)-wL(z1)](L(z1)-dz) +
[ws2(z)-wL(z1)]dz - o
Z-. +L(Z-)
(2)
donde se hace coincidir el incremento de impurezas en la zona
fundida con la ganancia neta debida al avance de los frentes
sólidos.
Los parámetros de los que depende la solución,
w
si(
z
i ) ' son: la
distribución inicial de impurezas, W ^ Í Z ^ ) , la ley de variación
de la longitud de la zona fundida, LÍZ-^), y la constante de
segregación, k.
-11 9La Ec. (2) tiene solución analítica en muchos casos, como por
ejemplo, cuando W g 2 = cte. con L(Z^) = Z -Z^, en que se integra
fácilmente para dar (Fig. 4a)
W 1 (Z.T)
si N _ =
W s2
Z.T
k(^_N_}
Z
Z
1-k
(3)
N" 1
Esta solución es importante porque sirve de modelo para
la
desaparición de la zona fundida cuando se deja de calentar. Sin
embargo, aparece un punto singular en Z^ = Z^, que indica que
cuando la longitud de la zona fundida tiende a cero, como la
concentración de impurezas que solidifican es menor que la del
liquido, la concentración en la zona fundida se va elevando
desmesuradamente. En realidad lo que sucede es que el modelo
sólo es bueno para pequeñas concentraciones y enseguida la Ec.
(1) deja de ser aplicable.
Otra solución analítica de interés se obtiene con W s 2 = cte y
L(Z^) = cte (Fig 4b), resultando:
w
si(zi}
1
n
..
4zi
W s2 - = 1 - (l-k)e
b)
WSÍ
WS2
1
Ó
Z,
zN(i-kH«) z N
k
0
-N
I. :i :.•:
lli iilf'l'l
M:
Fig. 4. Variación de la concentración de impurezas en una varilla de concentración inicial uniforme, tras una pasada
de refino, a) Se funde toda y el frente izquierdo avanza
hasta el derecho, b) Se funde sólo un tramo (un quinto
en este caso) y se desplaza la zona fundida.
-1 20Esta solución sirve para aproximar la parte cuasi-estacionaria
del desplazamiento de la zona fundida. Nótese que si se quisiera
completar una pasada completa en el proceso de refino, se necesitarla empalmar este modelo con el anterior. Esto es, la cantidad de impurezas entre 0 y Z^ no se conservarla, según se aprecia en la Fig. 4b.
Sin embargo, lo normal es que W s 2 (Z 1 ) sea una función complicada
(por lo menos al cabo de unas cuantas pasadas), y suele ser más
conveniente integrarla numéricamente con arreglo al siguiente
algoritmo:
PROGRAMA Resolidificación
Definiciones:
Sean i=0,...,N las estaciones en que se divide la varilla
Sean Z(0,...,N) los valores de Z^ en dichas estaciones
Sean W g 2 (Z) los valores del contenido de impurezas en cada
estación Z(i)
Sea L(0,...,N) la longitud la zona fundida cuando el frente
de solidificación está en la estación i
Sea k el parámetro de segregación
Cálculos:
Empezar fundiendo una longitud L(0) de varilla, con lo que
la composición de la fase liquida será
fL(0)
W s2 (Z)dZ
V0) =
Lio!
Empezar solidificando la estación i=0, cuya composición será
W s l (0) = k.WL(0)
Desde i=l hasta N
Calcular la nueva composición de la fase liquida en Z-i(i),
donde se ha aproximado la integral de la Ec. (2) por
el trapecio
WL(i-l)L(i)+[Ws2 (Z (i+l)+L(i+l) )+Ws2 (Z (Í)+L(i))] (AZ+AL)/2-WslAZ
WL(i) =
^
-j--^
Calcular la nueva composición de la rodaja que sodifica
W s l (i) = k.WL(i)
FIN de una pasada. Repítase para el número de pasadas deseado.
-121 -
El programa anterior (cuya codificación se incluye en el Apéndice), se ha ejecutado en ordenador en los casos que se muestran
en las Figs. 5-7.
2
k=0,5
L zona/Ltotal=0,2
k=0,5
L zona/L total=0,05
W si
Ws2
N
n
Fig. 5. Perfiles de concentración de impurezas en las sucesivas
pasadas de refino para dos relaciones de longitud
fundida a longitud total de varilla.
Estudiando los distintos comportamientos se pueden sacar algunas
conclusiones de carácter general sobre la optimización de la
técnica de purificación:
4.3. CONCLUSIONES
Conviene que la zona fundida sea lo más larga posible
(sin llegar a ser inestable, por supuesto)
La varilla de partida debe ser suficientemente larga (más
de diez longitudes de zona fundida) para que se pueda
usar un amplio extremo de ella como depósito de impurezas
y, por tanto, material de desecho.
El grado de purificación obtenido es mayor al principio
de cada pasada.
Cada pasada debe ser más corta que la anterior, para no
volver a fundir el extremo con las impurezas ya concentradas .
Se necesitan varias pasadas (del orden del número de
zonas que caben en la varilla) para una purificación
eficiente.
-1 22
Fig. 6. Variación con el tiempo de los perfiles de concentración
de impureza en una pasada, para tres leyes distintas de
longitud de zona fundida L. Se ha supuesto concentración
inicial constante.
-123-
- La eficiencia de la purificación disminuye de una pasada
a la siguiente, debido a que cuando el gradiente de impurezas es alto, al volver a fundir se vuelve a mezclar.
- Conviene que en las sucesivas pasadas se vaya reduciendo
la longitud de la zona fundida para disminuir la contaminación por gradiente adverso.
Aunque no se ha tenido en cuenta los efectos c i n é t i c o s , es
evidente que la velocidad de la zona fundida ha de ser fuertemente limitada para que el frente de solidificación sea plano
(no se formen estructuras dendriticas) y la difusión sea capaz
de transportar las impurezas lejos del frente de solidificación.
APÉNDICE
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
120
! "REFINOJJNIDIM." í (15-11-85).IM.
Graph(0,l,0,1.5,"")
INTBGER I,N
DATA .5,100
! K es el factor de segregación
READ K,N
! N es el No. de intervalos en la discretización
ALLOCATE Z(N),Wsl(N),Ws2(N),L(N),W1(N)
Read_data(Z(*),Ws2(*),L(*),N)
LOOP
! Cada bucle es una pasada
Wl(0)=FNIntegral(0,L(0),Z(*),Ws2(*))/L(0)
Wsl(0)=K*Wl(0)110
FOR 1=1 TO N-1
W1(I)=(W1(I-1)*L(I-1)+
(Ws2((Z(I)+L(I))*N)+Ws2((Z(I-l)+L(I-l))*N))*(Z(I)-Z(I-l)+L(I)-L(I-l))/2Wsl(I-l)*(Z(I+l)-Z(I)))/L(I)
130
Wsl(I)=K*Wl(I)
140
PLOT Z(I),Wsl(I),-2+SGN(I-l)
150
NEXT I
160
MAT Ws2= Wsl
170
END LOOP
180
END
190 Rd:SUB Read_data(Z(*),Ws2(*),L(*),INTEGER N)!###"REFINO_UNIDIM."
200
INTEGER I,Ni
210
N1=N DIV 4
220
FOR 1=0 TO N
230
Z(I)=I/N
240
Ws2(I)=l
250
L(I)=N1/N
260
IF I>N-N1 THEN L(I)=1-I/N
270
NEXT I
280
SUBEND
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