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El pájaro Azuzú
Veamos, ¿qué tenemos aquí? Dos galeras infinitesimales cuales vacas esféricas y un bonito
pájaro Azuzú de similares proporciones. Ambas galeras, a 30 kilómetros cada una, se acercan a
una velocidad de 30 kilómetros por hora respecto al agua, y nuestro caprichoso pájaro dando
saltos de una galera a otra. ¿Cuánto espacio recorrerá el pajarito en total? ¿Hay alguna forma
de deducir el espacio en función de un índice?
Para resolver esto, voy a plantear el problema de la siguiente forma: dibujaré dos ejes perpendiculares. En el horizontal, el espacio, donde ubicaré las dos galeras en los puntos − 15 y 15 km
(que como podemos comprobar, están separados 30 km entre sí), y que darán al punto 0 el significado de punto intermedio en el que ambas galeras se encontrarán (se encontrarán en este punto
medio exactamente, ya que ambas se mueven a la misma velocidad y en sentidos opuestos). En
el vertical, el tiempo, que para no andar midiendo en horas, dividí en pequeños segmentos de
seis minutos (esto tendrá su sentido como veremos luego). Sí, voy a poner el tiempo en vertical
y el espacio en horizontal, porque creo que lo que puedo proponer se ve mucho mejor si lo dibujamos de este modo.
Así que, ¿cómo representamos nuestros barcos aquí? Bueno, sabemos que los dos se mueven a
una velocidad constante, y esto quiere decir que se moverán en línea recta desde el punto inicial
de cada uno al punto de encuentro, y que empezando en un instante inicial acabarán en un instante final.
Conocemos los puntos iniciales de cada barco (como dije antes, − 15 km y 15 km), sabemos
dónde se encontrarán los dos (en el punto 0 de nuestra gráfica), consideramos nuestro instante
inicial como las 0 horas, pero nos falta un dato. ¿En qué momento se encuentran?
Bueno, pues siguiendo esta gráfica, podemos escribir la función de una recta que nos dirá el
punto en el espacio de cada galera en función del tiempo. Dejaré el tiempo en horas (ya que se
nos dan nuestras velocidades en kilómetros/hora) y el espacio en kilómetros por la misma razón.
Para el barco 1:
s1(t) = − 15 + 30t
Ya que en el momento inicial, s1(0) = − 15 km (punto de partida), y cada hora, nuestro barco
avanza 30 kilómetros en un sentido. Para el barco 2 tenemos, sin embargo:
s2(t) = 15 − 30t
Ese signo menos vendría significando que cada hora, el segundo barco recorre 30 kilómetros en el
1
sentido opuesto que lo hace el otro.
Esto podría quedar claro con una ecuación (igualo una de esas funciones a cero -que es donde
está el punto de encuentro-, despejo el tiempo y pista), pero creo que es más intuitivo si lo
vemos como «despejar el tiempo cuando el punto del espacio de ambas galeras es el mismo». Es
decir, ¿en qué momento ambas galeras estarán en el mismo sitio? Pues:
s1(t) = s2(t)
− 15 + 30t = 15 − 30t
Despejamos, y:
60t = 30
1
t = 2 horas
O sea, a la media hora (30 minutos). Esto tiene sentido, porque si nos fijamos, ambas galeras
recorrerán la distancia que las separa en una hora, y justo a mitad de camino (a la media hora)
será cuando se encuentren. Si unimos nuestros puntos, nos queda algo como esto:
Ahora, vamos a por nuestro pájaro. Siguiendo un razonamiento similar, vamos a dibujar su
recta correspondiente. Pero, ¡porca miseria! aunque tenemos su punto e instante inicial, no
tenemos ni su punto ni instante finales. Sabemos que tiene que posarse en el barco 2, pero claro,
el barco se mueve hacia nosotros, o sea que durante el viaje tendrá a su objetivo más y más
cerca.
Con todo, podemos escribir su recta. Sabiendo que sale del barco 1 en el primer instante (en los
− 15 km) y que se mueve a 50 kilómetros / hora:
a(t) = − 15 + 50t
2
¿Cómo podemos deducir cuándo (y dónde) se encuentra con el barco 2? Pues si recordamos el
razonamiento que hicimos para conocer el momento en el que ambas galeras se encuentran,
podríamos escribir algo como esto:
a(t) = s2(t)
− 15 + 50t = 15 − 30t
30 = 80t
3
t = 8 horas (22 minutos y medio)
¿Y en qué punto del espacio? Bueno, como ambas funciones en ese momento t deben valer lo
mismo, podemos sutituir en una o en la otra. Por ejemplo, en a(t):
3
3
a( 8 ) = − 15 + 50 8 = 3.75
Por lo que el pájaro se posa en el barco a los 3.75 kilómetros a la derecha del punto central. Ya
podemos dibujar:
Ahora quiero que nos fijemos en esto: el pájaro Azuzú dará media vuelta inmediatamente y a la
misma velocidad, dando como resultado una recta de exactamente el mismo ángulo en nuestro
gráfico (y por ende, también pendiente), aunque en sentido opuesto (ya que hace el trayecto en
el otro sentido). Hasta ahí bien.
Otro detalle en el que fijarse, es que el eje horizontal, la recta del Barco 2 y la del Pájaro Azuzú
forman un triángulo. Cuando el pájaro de media vuelta, describirá otro triángulo encima de este
pero con la recta del Barco 1 en vez de la del Barco 2. ¿Cómo serán estos triángulos entre sí?
Manteniendo todos sus ángulos iguales (ya que lo forman las mismas rectas, al fin y al cabo), y
variando sólo su tamaño, podemos decir que son semejantes.
Esto ya es bueno, porque nos permite trasladar longitudes en cada momento en función del
triángulo que describa cada viaje. ¿Para qué usaré esto? Si puedo medir la distancia que recorre
el pájaro en el primer viaje y conozco cómo van variando de tamaño los triángulos, puedo
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conocer el siguiente espacio recorrido con una simple regla de tres.
Para esto, tomaré otro triángulo que cumple las mismas condiciones que lo anterior. Usaré
triángulos rectos formados por el punto de encuentro con el Barco 2, el punto de inicio y la
altura del triángulo que describí antes. Con esto nos queda que la base mide exactamente el
espacio que el pájaro ha recorrido.
Que si medimos, es 3.75 − ( − 15) = 18.75 km. 18.75 km en la primera vuelta. Justo encima de
ese triángulo, si trazamos una recta horizontal por el punto de encuentro, nos queda la misma
figura reescalada que tendremos que volver a recorrer con la misma recta, y así sucesivamente:
Así que, como dije antes, y gracias a la estupenda semejanza entre los triángulos, podemos ver
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que la línea horizontal (que mide 7.5 km) que hemos trazado sobre el punto de encuentro es proporcional al eje horizontal (que mide 30 km). Por lo que podemos calcular el espacio recorrido
en el segundo viaje por esta regla de tres:
30 → 7.5
18.75 → x
Si despejamos, nos da que x = 4.6875, lo cual es un cuarto del espacio recorrido en el anterior
viaje. De hecho, si calculamos la razón de proporcionalidad entre cada triángulo, nos sale que
1
30
cada lado es un cuarto del lado correspondiente del triángulo de abajo ( 7.5 = 4 )
Así que recapitulando, sabemos cuánto recorre en el primer viaje, sabemos que en cada viaje
recorre un cuarto del viaje anterior. ¿Podemos responder algo ya? Pues sí, mira tú, la pregunta dos.
1
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En el primer viaje recorre 18.75. En el segundo, recorre 18.75 4 . En el tercero, recorre 18.75 4 4
(un cuarto de un cuarto), y así sucesivamente. Una progresión geométrica de razón entre 0 y 1.
¿Cuánto será el espacio recorrido en cada viaje? Pues como podemos suponer:
1
S(n) = 18.75( 4 ) n−1
Donde n sería el número de viaje, comenzando en uno.
¿Cuánto espacio recorrerá en total? Esto puede resultar un poco complicado de ver: el pájaro
Azuzú hará infinitos viajes, pero cada vez más pequeños. Un cuarto, y otro cuarto, y otro
cuarto del anterior. Puesto que cada vez estará más cerca de cada barco, le llevará menos
tiempo saltar de uno a otro. Pero matemáticamente, esto ha de contemplarse.
Si nos ponemos físicos, llegado un momento el pobre pájaro parece que vibrará en frecuencias
bastante peligrosas, generando su propia radiación electromagnética y brillando con luz propia,
cada vez más energética pero más tenue. Sin embargo, podemos respirar tranquilos, porque
todos sabemos que los pájaros infinitesimales como nuestro pájaro Azuzú son muy resistentes a
este tipo de maltrato, y lo más probable es que salga adelante sin más problemas que el vago
recuerdo de una experiencia confusa relacionada con unos fogonazos de colores en apenas una
fracción de segundo.
Ahora bien, estos infinitos viajes de psicodelia cósmica no suman un espacio infinito (mención a
la paradoja de Zenón aquí). De hecho, hay una fórmula que se da en 3o de ESO, que nos permite calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con |r| < 1, y dicha
fórmula es:
a
S = 1 −1 r
1
En nuestro caso, la razón es r = 4 y el elemento inicial a1 = 18.75. Por tanto, evaluamos y:
Stotal =
18.75
3
4
5
= 25km