Construyendo escalas Escalas diatónicas y cromáticas

Construyendo escalas
Escalas diatónicas y cromáticas
Recordemos que los Pitagóricos utilizaban los 3 armónicos y luego hallaban quintas
de ellos con la condición de no superar la octava, utilizando si era necesario cuartas
descendientes.
Por ejemplo si partimos de un sonido
sonido siguiente sería
2
f2 = ( 32 ) .( 12 ).f =
9
f pero resulta 49 f
4
9
f ,
8
f3 =
27
f,
16
f4 =
f0 = f
> 2f
81
f,
64
observamos que los sonidos tendrán la forma
que hace que
fn ≤ 2f
, consideramos el sonido
f1 = 23 f ,
el
por lo que consideramos como sonido
f5 =
243
f , continuando de esta manera
128
n
p
fn = ( 23 ) .( 21 ) .f
siendo
p
el menor natural
. De lo anterior se deduce que nuestra escala podría ser innita,
por lo que históricamente la propuesta fue determinar -si era posible- una escala nita
(lo que se llama un ciclo de quintas), es decir encontrar una pareja de naturales
que hagan que
fn = 2f
, en ese caso la octava quedaría dividida en
n
n
y
p
notas, veremos más
adelante que esto no es posible.
A partir del trabajo de los Pitagóricos se utilizó durante años la llamada escala diatónica,
que en un principio constaba de 6 notas:
Nota base
f
9
f
8
81
f
64
quinta
3
f
2
27
f
16
243
f
128
octava
2f
1
Si observamos la relación entre una frecuencia y la anterior, tendríamos una tabla como
la siguiente:
( 98 )/1 =
9
8
1, 125
( 81
)/( 98 ) =
64
9
8
1, 125
)=
( 32 )/( 81
64
32
27
1, 185185185
)/( 32 ) =
( 27
16
9
8
1, 125
( 243
)/( 27
)=
128
16
)=
2/( 243
128
9
8
256
243
1, 125
1, 053497942
Observamos que hay dos razones diferentes a las restantes, con respecto a la primera
parecería haber un agujero entre
81
f y 32 f , pero 43 f (lo que llamábamos cuarta) se
64
encuenta entre ellos. Veamos como queda el cuadro con este agregado:
frecuencia
razón nota anterior
tónica
f
segunda
9
f
8
9
8
= 1, 125
re
tercera
81
f
64
9
8
= 1, 125
mi
cuarta
4
f
3
quinta
3
f
2
9
8
= 1, 125
sol
sexta
27
f
16
9
8
= 1, 125
la
septima
243
f
128
9
8
= 1, 125
si
octava
2f
do
256
243
256
243
= 1, 053497942
= 1, 053497942
fa
do
Escala que consiste en 7 notas (sin considerar la octava) y que llamaremos diatónica,
en el piano son las teclas blancas. Observamos que hay dos grupos de razones:
9
256
y
,
8
243
a la primera le llamaremos tono y a la segunda semitono. Es evidente que dos semitonos
no hacen un tono:
2
256
( 243
) = 1, 109857915 6= 1, 125 =
9
. Si ahora hiciéramos un trabajo
8
similar al que hicimos con las quintas pero con cuartas aparecerían nuevos armónicos, los
sostenidos y bemoles. Cuando con esta construcción llegamos a 12 notas obtenemos la
escala llamada cromática.
2
De lo anterior se deduce que los intervalos en la escala cromática no tienen todos la misma
medida, esto generaba problemas para anar instrumentos con intervalos jos como el
piano o la guitarra. Motivado por lo anterior es que se pensó en crear una escala en la
que la razón entre dos notas consecutivas fuese siempre la misma. A este tipo de escala
le llamaremos temperada. Veamos a continuación cómo obtener escalas de este tipo.
Escalas temperadas
Aceptemos primero que toda escala que contenga un sonido de frecuencia
contener un sonido de fecuencia
2f
f
debe
(recordar que en páginas anteriores denominamos a
esto -[f ,2f ]- intervalo de octava.
Aceptemos también que toda escala que contenga un sonido de frecuencia
contener un sonido de frecuencia
f
debe
3 1
f.
2
Finalmente aceptemos que toda melodia interpretada utilizando las notas de una escala,
debe poder interpretarse (sin cambio perceptible) utilizando las notas correspondientes
en la escala anterior.
Estamos ahora en condiciones de comenzar nuestro trabajo. Consideremos para ello,
la melodía más simple, es decir la formada por la sucesión de notas de nuestra escala
ordenadas:
f0 < f1 < f2 < · · · < fm−1 < fm = 2f0
donde
m
representa el número de notas. De acuerdo con V. Galilei y P. Mersenne, los
siguientes cocientes deben ser iguales:
f1
f2 f2
f3
fm
fm+1
= ;
= ; ···
=
f0
f1 f1
f2
fm−1
fm
para dar al oído la misma sensación. De lo anterior se deduce que:
1 Estas dos primeras condiciones son ya conocidas para nosotros. Si recordamos el artículo Algo de
Historia, notaremos que son condiciones atribuídas a Pitágoras, son dos de los llamados por él sonidos
armónicos.
3
f1
f2
f3
fm
fm+1
=
=
= ··· =
=
f0
f1
f2
fm−1
fm
por lo que las notas de nuestra melodía están en progresión geométrica y entonces podemos plantearnos hallar su razón
r
:
fm = rm f0 = 2f0 → rm = 2 → r =
√
m
2
La progresión geométrica de nuestra melodía queda:
fo f0 r f 0 r 2 · · · f0 r m
Aplicando
s=
log2
2
a cada uno de los términos , obtenemos una progresión aritmética de razón
1
m
log2 f0 , log2 f0 +
si llamamos
A
a
log2 f0 ,
1
2
m
, log2 f0 + , · · · log2 f0 +
= log2 f0 + 1
m
m
m
entonces nuestra progresión aritmética queda:
A, A +
1
2
m
, A + , ··· A +
=A+1
m
m
m
La pregunta que nos hacemos ahora es ¾qué valores puede tomar
m?
es decir ¾cuántas
notas tendrá nuestra escala?
Según nuestro segundo acuerdo, la escala debe contener la frecuencia
una nota de nuestra escala debe coincidir con
de nuestra escala la que coincide con
que
log2 (a.b) = log2 a + log2 b
3
f . Supongamos que es la nota
2 0
p − ésima
3
f:
2 0
A+
2 Recordar que
3
f , es decir que
2 0
p
3
= log2 ( f0 )
m
2
y que
log2 pq = qlog2 p
con
a, b, p ∈ R+
y
q∈R
y nalmente
log2 2 = 1
4
o sea que
A+
p
m
= log2 f0 + log2 23 ,
de lo que se deduce que
3
p
= log2
m
2
con
3
:
p, m ∈ N∗
Probemos que con las condiciones indicadas la anterior ecuación es irresoluble, dicho de
otra manera
log2 23 ∈ R − Q.
Recordando la denición de logaritmo, la ecuación anterior se transforma en:
p
2m =
3
3
→ 2p = ( )m → 2p+m = 3m
2
2
pero el primer miembro de la última ecuación es par
impar
∀ m ∈ N∗ con lo que queda probado que log2 23
∀ p, m ∈ N∗
y el segundo miembro es
no es racional. Lo anterior muestra que
la escala temperada nunca puede contener quintas justas, tratemos entonces de encontrar
una buena aproximación racional de
log2 23 ,
en el sentido de que nuestro oído no lo note.
Para ello utilizaremos fracciones continuas, es decir buscamos una aproximación racional
de
log2 32
de la forma
r1 +
1
r2 +
1
r3 + r
1
4+
Como sabemos que se cumple que
1 <
3
2
< 2
..
.
entonces aplicando logaritmo en base 2
obtenemos que:
0 < log2
con lo que
3
<1
2
r1 = 0.
3 Recordar que
A = log2 f0
5
log2 23 =
Como sabemos que
1
3
y tenemos que
log 3 2
2
<2<
3 2
entonces
2
1 < log 3 2 < 2
de
2
2
donde deducimos que:
3
1
< log2 < 1 = 0 + 1
2
2
r2 = 1.
con lo que
1
1+ r1
3
< log2 32 < 1.
plantear:
Nuestro próximo paso es hallar
Lo anterior implica que
r3
de forma que se verique que:
1 < log 3 2 < 1 +
2
0 < log 3 2 − 1 <
2
1
. Podemos escribir
r3
0 < log 3 34 <
2
1
lo que es equivalente a
r3
1
r3
→ r3 < log 4 23
y como
3
sabemos que
3
4 2
4
3
( ) < < ( ) → 1 < log 4 < 2
3 2
3
2
3
con lo que el valor apropiado para
r3
sería
r3 = 1, con lo que hasta el momento tendíamos:
1
3
< log2 < 1
2
2
Elijamos ahora
r4
de forma que se verique:
1
3
1
< log2 <
2
2
1 + 1+1 1
r4
Razonando como en los casos anteriores, tenemos
1+
1
1
1
4
<1
1 < log 3 2 < 2 →
1 < log 3 2 − 1 < 1 →
1 < log 3
2
2
2 3
1 + r4
1 + r4
1 + r4
invirtiendo una vez más:
3
3
9
1
1
1
<1+
→ 0 < log 4 − 1 <
→ 0 < log 4 <
3 2
3 2
3 8
r4
r4
r4
1 < log 4
6
r4 < log 9 43 .
nalmente tenemos que
Tenemos ahora que:
8
9 2
4
9 3
4
( ) < < ( ) → 2 < log 9 < 3
8 3
8
3
8
con lo que
r4 = 2.
Hasta el momento tenemos:
1
3
3
< log2 <
2
2
5
Hagámoslo una vez más, queremos encontrar un natural
1
1+
tenemos que:
queda:
1+
log 9 34 > 2,
1+
1
2+ r1
5
1
1+
1
1+
> log 3 2 >
1
2
2+ r1
5
< log 4 32 <
3
< log2
1
2+ r1
5
r5
de forma que:
3
3
<
2
5
5
restando uno a cada miembro y luego invirtiendo
3
3
, otra vez restando uno e invirtiendo queda:
2
ahora restando dos e invirtiendo queda:
8
r5 < log 256 89
2+
1
r5
>
y al igual que hicimos
243
arriba, tenemos que:
con lo que
r5 = 2.
256
243
2
9
< <
8
256
243
3
9
<3
243 8
→ 2 < log 256
Si continuáramos con este proceso, obtendríamos que
r6 = 3, r7 = 1,
. . . .
Si analizamos lo hecho hasta ahora, tenemos que:
0<
1
7
3
24
3
<
< · · · < log2 < · · · <
< <1
2
12
2
41
5
7
Es decir que por ejemplo podemos aproximar
Si consideramos la aproximación
log2 23 ∼
log2 23
por
1
3
7
24
, por
, por
, por
etc.
2
5
12
41
3
obtenemos una escala de 5 notas la llamada
5
escala pentatónica que si bien no es habitual para nosotros si lo es en China, Perú, Congo,
entre los eskimales, y también en Escocia, por ejemplo la conocida canción del folklore
escocés no es un adiós es un hasta luego es un ejemplo típico.
En cambio en la música occidental la aproximación considerada es
log2 23 ∼
7
implica
12
dividir la octava en 12 partes iguales con lo que tendremos 12 notas y la razón entre
√
una nota y la anterior es constante y vale
12
2
y en esta escala se llama semitono y a
dos semitonos consecutivos le llamaremos tono quedando de esta manera solucionado el
problema surgido en la escala cromática.
Finalmente algunas preguntas: 1) ¾Cuán buena es nuestra aproximación? es decir ¾está
nuestra quinta justa sucientemente próxima a la verdadera? 2) ¾Cómo fue históricamente la aparición y utilización de la escala temperada? 3) ¾Existen escalas temperadas
de más de 12 notas? 4) ¾Pueden haber escalas temperadas de 13 notas? Estas y otras
cuestiones que seguramente surgirán, esperamos que las respondan nuestros lectores.
8