SAMARTIN 087

1•
UN ME TODO DE OBTENC 1ON DEL TERREMOTO DE D 1SEÑO EN UN EMPLAZAN 1 ENTO
A. SamcVLtbt !J J. Mall.Une.z
O~u. I ng e.n.ieJt.M de. Cam.ino.6
"Resumen.-" Se d'!!scr-i be unu metodología or-ientada a la determi
nación del período de r-etorno de cada intensidad sísmica senti
da en un emplazamiento dado.
El procedi:niento consi dera la regionali zación sismotectónica
del ái'ea total susceptible de producir terremotos con efectos
sentidos a preciables en el emplazamiento.
El modelo de distribución espacial de aparición de terremotos
se simula mediante una adecuada definición de las dis t intas
unidades sismotectónicas, en las que se divide el área total y
para la que esta distribución se considera uniforme.
La a naric i ón en el tiempo de los seismos se supone sigue un mo
de l o.de Poisson con un parámetro variable aleatoria, descritomedi ante una distribución conjugada gamma-1, cuyas estadísticos se ajustan de acuerdo con el. teorema de Bayes a partir de
~ información histórica existente.
La integración de los dos modelos anteriores permite deducir
la distribución de probabilidad de aparición de un movimiento
sísmico de intensidad determinada en el emplazamiento que se
estudia.
1.- INTRODUCCION
El establecimiento del terremoto que debe considerarse en
el diseño de una obra pública, ya en su fase de servicio o de
acción Última, constituye un problema cuya resolución no puede alcanzarse con los únicos recursos de la Técnica. En efecto, criterios procedentes de niveles de decisión política,que
conllevan l a aceptación por la Sociedad de un nivel de riesgo
son fundamentales ~n la fijación de un terremoto de diseño.
Al ser los recursos disponibles por la Comunidad limitados,
las causas generadoras de riesgos múltiples y la imposibilidad de aseeurar absolutamente una construcción ante cualquier
terremoto susceptible de actuar e n el emplazamiento, con mayor o menor probabilidad, se comprende que es necesaria la a ceptación ce un nivel de riesgo sísmico si se desea construir
la obra pública.
En los siguientes apartados, se presentaran algunos proce
dimientos indicadores del nivel de sismicidad existente en uñ
emplazamiento determinado. Conviene tener en cuenta, que las
características de estos procedimientos estan fuertemente relacionadas con el grado de aproximación y conocimiento de los
datos de partida (geológicos, geotéctonicos e históricos).
2.
:~,l!l cürac u.n':st.i e: a s d e es-cos datos, suelen c orrcé:poncer en
nuc:nr-o pa :>:. con una :;i:,¡micidad moder'ada, a r~cogida de las in
tens.idades rie se~Gr~os acontecidos durante un di la-cado p~!'Íodo:­
~ste hec hc s i gnifica que aspectos s u b j etivos y ~ udlitat i vos se
enc uentrc. n involucrado:. e n el an5. l i s is. f'ol:' otl:'a parte, el r,úrr.cr>o de t er!'emotos d e gran t amaflO que se han producido es csca
so . r:!';ta s i tuación es radicalmente d i f erent e a l a que apareceen otNt:. :wna s -Co:.ta Ueste de les Estados U:üdos por ejempl o dcncc la memori,:¡_ :;.istórica sobre 5eismos es relativamem.:e corta, si bien, ad ec~aóamente i r;Gtr umentali zada . Ex isten terremotos :.!e grd:'l tamaño recogidos con medidas de su r.~agnitud , .:.tcel~
:::-ogrilm.:~s, etc , q_ue permiten e:1 ci erto s aspecto:; otro tipo c e
.,; , . . y ~eto d olog -1a .
anD-ls1s
?cr consiguient e , e n l o que s igue, se utilizarán c omo datos primarios l a& i n~ ensida d es sísmicas, en lugar de las usua
lf!S magnitudes , po r corresponder a l as que se ol>t.i.cnen directa
men~ c de los estud ~ os l1istór !cos. Evidentemente es oosiblf! co=
rrelac~c n~r las in•ensjdades con las magnitudes, pe~o la dispersión i nheren te a este tipo de t ra ns formaciones parece n desa
cor:sc jal' estos proce dimientos . ( '~)
En uuestr·o país se han desarrollado en est.:~ dirección distintos a náli sis sSsmicos , l>ien ~irigidos al est~dio de emplaza
mier.tos de 0bras PÚblicas singulares , ( 1) , (2) y (3) , é bien a
11:1 cor:fecdón de :napas s.ísmicos (J¡ ) y ( S). El método que se e x
pone a continuación ha s:ido desarrollado con el objetivo de tratar de un modo coherentf! la esc asa información s í s mica norm~ lmcnte (~ :isponib le en u n est1.1dio de e ste tipo rc.ferid o a zortél.!> con iHj ,:¡_ act.i v .icad s 5s m.i ca y con una peq uefia y no in::; t rur.1entalizüd a colección de datos s obre t erremoto s ocur-r'.idos. Exi s
ten ciertas seme:anz~s df! este estudi o con el planteado para !a Ccs td Este de l es Estados t.:nidos por Corncll en su publica-
ci.6n ( t)
.
2 . - H:?CT:O:SIS Y DATOS DE PAR':'.LLlA
Se supone prjmeramente que la a c t ividad ~ismica con pos i efectos e n el cmplazami~nto (P), se concentra e~ une región n, es decir, se desprecia la "i'nf luencia de los tet'rcmo t cs
con f!¡lic ent r·os si tuado,:; e n e 1 ex lcrior de la regi6n n. Se a dmi
.p y ru.te que e :;t a r e¡pon
c orrc::;po r~ d e a un c -t rculo de centro _
C:io 300 Km.
~les
La regi6n Q puede d:ividirse en una serie de zonas sísmicas
o unidades sismotectónicas r. 1 , en cada una de las cuc:~les la ac
tivic~:~d s í smica ~e admite uni~o~me . o~ otro modo , la orobabili
dad de que el epicentro P0 de un terremoto producido dent r·o d e
(':) E:x istcn .:órmula:; :uuy di versas , que re la.c ionan estas dos
cantid~ des, la prese ntada en (3 ) c orres pOr>de a una de l as
r.16.s s .:.mplc s, e n efecto , es li neal, y de la forma: M :
O, G I + 1 , 3; con !1 magnitud Richter e I la intensidad e.
f.. r2 1 .
e
;>J.Ccn
3.
n i, se encu~ntre en un e ntorno determina do {subconj unto de ni >
dAi e s inde pe ndiente de la s jtuaci6n de dDi. El valor de e s t a
proba bil idad e s, por consig uie nte:
área dn.
Pro!>< P 0 e di\ 1 P e ni> = ....-r -ea
n .-l.::.
3 - x
l.
=
dA.
r
].
(1)
l.
Los datos que se suponen disponibl es se resumen a
c ión:
continu~
-Relación h istórica de todos l os terremoto s acaecidos con
epicentro e n la región n. Cada seismo k se define por las
coordenad as (xk,yk) de su epicentr o, intensidad epi centra l r k y a ño de ocurrenci a tk .
0
- Defi nición de l a s zo nas sísmicas o un i das sismotec tón i cas
ni , en las que se s upone dividida la re gión n. Es tas zonas sísmicas pueden estar concentra das a una l ínea (falla )
e un área de la regi ón n.
-Curvas de a mortiguam iento o atenua ción de la inte nsidad ,
es decir, l as funciones que relaciona n las dife rencias en
t re las i n tensidade s sen tidas en el e picentro <Po) y en e l e ~lazamie nto ( P ) con la distancia y d ire cc ió n del v e~
tor ~0 . ~stas curvas son e specí ficas d e cada zona sísmica
Qi.
Los datos an t e r iores estan recogidos y ser á n t ratados con
l a considera ción d e las siguiente s hipótesis :
(a) La aparición d e los seismos se d istribuye temporalme nte de
ac uerdo con un mode lo de Poi sson . Este modelo i mplic a inde
pendencia aleato r ia en s u ocurrenci a espa cial y temporal ,o r denación e n el sentido de que la pr obabilida d de a parición simúltane a de dos o mas ~erremot os e s pequeña y estacionaried ad o sea la tasa ~ ( núme r o de t erremotos que aparecen por unidad de tiempo) es i nde pendiente del tiempo .
Por consigu iente , la pr oba bilidad d e ocurr encia d e n seismos en un l aps o de tiempo t sigue la siguient e ley de dis tr í bucí6n de Poisson:
ProbO~ t
= n) = PN {n,t) =
t
e-hO.t:)n
n.
(2)
con Nt núme ro de terremoto s que aparecen en un t iempo t .
La media y varianza de la variable aleatoria Nt son:
;
Esta hipótesi s poisson iana es aceptable para gr a n des terre
rr.otos , e n otros casos , se uti l izan mode los d e Markow mas
s ofis tic ad os .
4.
(b) Las cu~va s de atenuación se sue1en deducir a purtir de las
isósistus observadas para diferen t es terremotos. Se ut:ili
~an bien directamente los valo r es medidos entre is6sistasy la intensidad epicentral le, o bien , mediante un ajuste
óe errores mínimos cuadráticos. En este Último caso se uti
lizan curvas de atenuación, según una dirección determina~
da, dP. la forma:
'
(3)
con H la cistancia e?icentral, b1, b2, b 3 y R0 parámetros
fijos . ~os valcres de bi, dependen de la zona nj y de la
intensidad Ie considerada . A veces se admit e, por su ese~
sa importancia b 3 =O .
En &e neral, se s upone en el cál culo que la curva de atenu~
ción es función de la distanc ia y orientación , es decir,
hT =dl(R,6), existiendo dos curvas, una para intensidades
epicentrales moderadas y otra para intensidades altas .
3.- MODELO PROBABILISTA
El objetivo del cálculo s í smico probabilista que se descri
be a continuación consiste en de~erminar a partir de los da tos
anteriores, el período de retorno PR(l,P ) para cada int ensidad
sísmica I sentida en el emplazamient o P. El período de retorno
de un auceso s e define como el t iempo medio d e ocurrencia por
primera vez del ~uceso , o equivalentem ente, el intervalo medio
entre dos sucesos consecutivos . En nuestro caso, el suceso corresponde a un terremoto que produce una intensidad I en el em
plazamicnto ~y que se denotará por S 2 CI ,P).
Por defi nición se puede escribir:
..
PR( l, P) = lo tg( I ,P;t)dt
(t¡)
en donce g(! , P ; t) es l~ función de densidad de probabilidad del
suceso s 2 c!,P), es decir:
Prob<S 2 ocurra en el intervalo t ,t+dt) = g(l, P;t)dt
La funci ón de acumulación de probabilidad de este n~smo s~
ceso, G(! ,P;t) se define como l a probabilidad de que e l tiernpo en que aparece el suceso s 2 <I,P) por primera vez sea mayor
que t, por consiguiente , se cumple:
&
(I
P·t) __ oG(I,P;t)
• '
-
at
( 5)
Es preciso, ahora relacionar la percepción de un terremoto
en el emplazamient o del mismo en el epicentro . Se comprende
que G es igual a la probabilidad de qu e no ocurra antes del
tiempo t un terremoto con epicentro en un pu nto fo con una intensidad le suf icie~ t eme ~t e elevada para sentirse e n e l .e mpl~
zamiento ? con un n~vel 1gual o mayor que e l que se cons~dera
5.
I.
Ma~emáticame nte
se expresa como sigue :
G(I ,P; t ) " .n. PO , n.J. ; t , O)
(6)
e .l
con n. J. =óx t::.y un entorno (rectangular) d;l !?unto fo de coorde
nadas 1 (x.,yJ.) perteneciente a una zona SlSm~ca Qi.
~, J
'
)
P(I 6 ,Qij;t ,O) es la probabilidad de que no se produzcan
( cero s ucesos ) en un inte r valo t, sucesos Sl( Ie,fli j) , definidos como t erremot os de intensidad epicentral I y epicentro
situado en el entorno ni j '
e
nos
Los índices i, j se extienden de modo que todos l os ent o rcubran e l área n.
.l.)
fl ..
Además, debe de cumplirse que la int ensidad e picentral sea
suficientemente elevada, es decir, mayor que una intensidad
umbral 1 0 .
le
~
1 0 = I + t::.I(R , 8)
(7)
con R la distancia PP _i e ángulo , con re lación a una dirección fija , del vec tor 0 PP .
0
Por otra parte, se cumple que la probabil idad de que no se
produzcan terremotos de intensidad l e d urante el i ntervalo t
con epicentro en e l ent orno nij C fli , es i gual a la suma de las
probabilidades de que se produzcan n terremotos (con n = 0,1,2,
... )en la zona n i pero no en el e ntorno nij ' es decir:
p<I
.
,n .. ;t;O> = n-¡; 0
e .l. J
p(I ,n .. ;t,n)q~. ·
e .l.J
lJ
<a>
en donde p(Ie , nij~, n) re presenta la probabilidad de que s e pr~
duzcan n sucesos s 1 <Ie,ni>, terremot os de intens idad Ie con
epicentr o en l a zona ni durante e l tiempo t.
qij es l a probabilidad de que un terremoto con epicentro en
la zona fli, no se encuentre este e n el entorno Slij · La expresión de esta probabilidad espacial es por definic1ón de zona
sísmica:
q..
lJ
=1
A·.
-
; ]
i
=
1 -
t:.x t:.y
A·l
(9)
La dis~ribuci6n temporal de t e rremo t os Si<Ie !fli> con Ie~Io
es, de acuerdo con las hip6tesis expuestas anter1ormente , de
tipo Poi sson , es decir:
(10)
La tasa A de terremotos es , por lo tanto, función de la zo
na Qi y del n i vel d e intensidad le o equiva lentemente de la distancia y dirección del emplazamiento al epice ntro . Se puede
considerar e lla misma como una variable a leatoria de distribu-
6.
·~
c;~.on
f(:\) dada por la
f O)
=
e
.
-
ex pre s;~.on:
->.t Av-1 , v
( 11 )
r( v )
cuyo valor medio es X " EO,) =
'
Var( A) = 1
y l a vari an za :
\)
T
V
La determinación , a partir de los datos d isponibles, de los
paráme tros v y T de esta distribución se des c ribe mas adela nte
en el apartado ~.
La distribución bayesiana p(Io ,ni;t, n), que reemplaza
4
(10} es po r consiguiente:
p CI 0 ,ni; t,n) ; J~ pCI ,ni; t, n) f( >.)d).
la
(1 2 )
0
o bi e n efectuando l a integración , se deduce:
f(n+v)
n!f(\1)
(13)
Se comprueba que la nueva d istribución d e los suc esos
no depende ya de la varia bl e aleatoria >. y solamente
l. d e los parámetros v y T.
s 1 cr 0 ,n.)
Si se introducen las igualda des (9) y (1 3 ) en l a expresión
( 8), esta se convierte en la siguiente:
..
P<Ia,Qij ;t,D)
= n~O
00
11
p(Ie,Qi ;t,n)qij " (t~T) nh( t¡,>n q~j (n~v-l)::
= c....:L>
v ~ Cv>
t+t
n=O n
<t
~j >n
t+t
< 1~)
(-1> "
La suma anterior corresponde al desarrollo de un binomio,
con lo que l a igualdad (1~) se transforma como sigue :
:: ( t
T
+T )
V
1
1
----:!...--:
:
--=----(1-t q .. /(t+t
(1+t/T.ÓX Ay/Ai) v
))V
,..h
l.)
(15)
Tras l a discusión anterior, se observa que el período de
retorno e xpr esado e n (~) puede ponerse en la f orma:
oo G
)
PR(I,P) :: f O (I ,P;t dt
= ¡tO dt
i~ j
(
1+
t
T
Ax.Ay
A.
)-v
( 16 )
l.
!.a ecuación ( 15) permite calcular e l período de retorno
para una i ntensidad 1 sen ti da en el emplazamient o P . El mo0
7.
do mas conveniente de cálculo sea probablemente recurriratéc
nicas numéricas, ya que la integral es convergen te para valo~
res de v >l . Detalles del procedimiento utilizado se exponen
en el apartado siguiente .
4.- METODOLOGIA UTILI ZADA
Las etap~s mas importantes del método utilizado para la
evaluaci6n del periodo de retorno PR(I,P) son:
(1) Análi si s de los datos . Contraste de la hipó t esis d e Poisson.
(2) Obtención de los parámetros v
ni y nivel de i ntensidad r 0 .
y
T
para cada zona sísmica
( 3) Evaluación de la integral del período de retorno .
Una breve descripci6n de cada uno de los pasos de cálculo
se presenta a continuación.
4.1.- Análisi s de los datos. Contraste de la hip6tesis de Poisson
Como es bien conocido, la recogida histórica de los datos
de los seismos ocurridos c on epicent ro en la región de estudio n, dista mucho de ser completa y exenta de errore s. En lí
neas genera les muchos terremotos de bajas intensidades suced:l
dos en épocas lejanas no han sido regis trados al menos con el
mismo grado de certidumbre que los de los tiempos mas recientes. Por el contrario , seismos d e altas intensidades y por
consiguiente mas d estructivos que los a nteriores, pueden presumirse que su recuerdo his t6rico e s de un orden de aproximación constante a través del tiempo.
Independ iente de e stas consideraciones, el supuesto de que
la sei.smicidad ha perma necido estacionaria en la zona puede
no ser completamente válida. Por estos y otros motivos, se ha
ce pre ciso contr astar estadísticamente la hip6tesi s de l a distribuci6n de Poisson como modelo de aparición en el tiempo
de todos los terremotos regis trados como datos en la zona Q.
A este fi n se div ide e l tiempo total T de estudio de la
muestra de todos los terremotos, en intervalos de tiempo pequeños óT. Se han considerado varias posibi lidades para el
valor de AT(8T ;25, 50 , 75, 100 y 12 5 a ños) adoptándose aque
l la que conduzca a resultados mas razonables de acuerdo conunos criterios que se exponen mas adelante. Para un valor de
8T elegido , se obtienen un número de i ntervalos igual a la
parte entera de T/6T y en cada uno de los cuales se de termina para cada intensidad epicentral r 0 , el valor A(Iot) de
ocurrencia d e terremo t os o número d e t e rremotos de lntensidad igual o mayor que l o ocurridos en e l mismo. Estos valores se compüran con los de un período tipo, en general el
8.
ínas fiable o a. l menos e l mas r eciente.
La prueba de la. hipótesis
guientes condiciones :
~ue
se práctica se ba.sa en las si
Las va.riables aleatoria.s número de terremotos oc urridos en
cada. uno d e los dos intervalos que se comparan, se designan por
X¡ y X2· Cada una de ellas sigue por hipótesis la ley de apari ClÓn de Poisson, es decir, las leyes de densidad de probabilida<.l son:
y
Con la muestra medida se intenta contrastar la hip6tesis
1 1 = lz, con un nivel de signi fi cación a. El valo r adoptado P!
ra a en es ~e estudio ha sido de 0.95.
Por otra parte, si p(xt,xz) es la funció n de densidad de
probabilidad (fdp) de las var·iables aleatorias x 1 y x 2 se cum
ple :
(17)
en donde p(x 1 +x2) es la fdp de la nueva variable aleatoria x 1 +
x2 y p(x1/x~ +x2> es la fdp de aparición de x 1 condicionada a
l a oc urrenc ~a de la suma x 1 +x 2 .
De la ecuación (17) se ded uce :
(18)
que:
En el caso de procesos de Pois son independientes se sabe
x1 .
x2 .
{19)
La ecuación (19) se puede transformar convenientemente corno
sigue:
Por consiguiente, la expresión (18) s e convierte en:
x +x
=<
1
x1
2
¡,1
>< >-+>.>
1 2
x
1
¡, 2
<x+A>
1 2
x
2
( 20)
Si se desea comprobar la hipótesis ~l = Á , a partir del
r esultado de la muestra x 1 , conocido el valor2 de la suma x 1 +
x 2 , se obtiene:
9.
con lo que re sulta que basta estud iar la pro ba bilidad de la e
cuación (20):
a
x +x
¿ ( 1
x =0
x
1
x +x
2)(!) 1
2
1
2
=a
(21)
siendo a el n ivel de signifi cado a daptado.
La práct ica del c ontras te de la hipótesis .A =
1
los pasos :
Á
2
sigue
(1) Se denomina x 1 y x2 el número de t erremotos acaecidos en
l os dos intervalos d e 6T años que se compara n.
(2)
Se c alcula ~ ,=x 1 +x 2 y el menor valor a ent ero que satisfa
ce l a ecuac J.on :
a S 1 S
.[0 ( . ) (2)
-
1=
l
>
-
(X
(3) Si x 5 =máx<x ,x 2 )>a se rechaza la hipótesis .
1
Evidentemen te si a' es el mayor entero que satisface la
inecuación:
la cond:i.ción x. =mí n< x 1 ,x 2 )<a' e s equivalente a l a anterior,
es decir , se r~chaza la hJ.pótesis, con el nivel de signifi cac ión ex.
Uti l izando la técnica a nterior es posible probar l a validez estadística de un c on j unto de intervalos en re lación con
uno de comparación (generalmente el más próximo y f i a ble) pa ra cada niv el de intensidad r .
0
Se realizará e l proce so para d iferentes valores de 6T , eligiéndose aquél que permite recoger c omo válido la mayor masa d e i n tervalos d e tiempo 6T, sin disco ntinu idades. Este último criterio se basa en el supuesto d e que la información ge
neralmente se pierd e a medida que nos alejamos en el tiempo .-
Una vez de ter minado el l apso d e tiempo v áli do para cad a
inten s idad epicentral r 0 se puede c alc ular l a tasa o núme ro
medio de terre motos por un i dad de tiempo A(I ).
0
La ley d e Gutemberg y Richter establece que el número de
terremotos que s uperan l a intensidad c picentral 1 0 viene expresado en térmi nos de e sa i ntensidad , como sigue:
-br
=a e 0
lnÁ n 0 > =a - b r 0
A(I 0 )
,
o bien
10.
F.n realidad l<1 ley s e plantea
en término s dé magnitudes, sin embargo, la cor!"elación lineal existente entre magnitud e intensidad e¡>icentral para una distanc ja f"ocal constan
t e, (este dato es ?racticamentc desconocido en la mayorja d e ~o s t erremot o~ regi strado~ en nuestro paí s ) permite establecer
l a ley de acue rdo con la fórmul a (18).
Con los dato:; calculado::; de >. ( I 0 ), es posible, obtenei' medi an•e la técnica del ajus te con mí nimos c uadrados los valores
de las constantes d y b .
4 _2 . - Obtención de los parámett·os v y
G¡ y ni vel de intensidad 1
t
para cada zona sísmica
0
'Iodos los terremotos, de intensidad ma yor o igual que r 0 ,
con c?icentro en la región n, pueden servir por su número par-a calcular ur.as estimacione5 de las tasas .I.(I 0 ). Para ello,
s e procede al filtro , que supone la comprobacion
de la hipóte
si5 descrita en 4. 1. Las di fic ul tades aparece n al no ser posi
ble la ut.ilizt1ción de este procedimiento a cada una de las r>e
giones sísmicas n¡ . por la esc ~sez de datos gue generalmente
pre!'ientan.
Con objeto de solventar este problema , se procede a una
est j mación de la tasa sísmica en cada región Qi,.I.(Io , Qi) ó
r.ÚrnP.ro medio de terremotos, con i ntensidad ig~al o s uperior
a lo y con ep i centro en Di por unjda¿ de tiempo, de ac uerdo
con la referencia ( 5). Esta es timación " a priori" que se ef-ec
-cua a:'1ora, se modif .icará con los resul tacto s reales ocurrido~­
en la reg ión l<j mediante la utilización del teorema de Baycs
del 1r.odo corr.o GC de scri'!Je mas adelante .
Sn la reFerencia (5} se considera l a t asa A(Io, Q) o núme
r 0 coñ
C?icentro en Q por ~nidad de tiempo, como una variable aleat ori<1 de media :
re medio de ~er remo to de inte nsidad ig ual o mayor qu e
E{ACr 0 ,Q)) =
X<I 0 ,n> = >.<r 0 >
e n dond e A( l n ) se deduce de la expresi6n (18).
~
T.u. var-ianza de A (
r.",, Q) viene dada po r la fórmul a empírica:
;., Cio >
..
Var(A(I 0 , D)}
=
EAT
siendo EóT el intervalo total de tiempo considerado en la eva
luación de .I. ( I) (tras la comprobación de la hipótesis comentd
da a nteriormente ).
El coefici e nte de dispersión de esta variable aleatoria
e ~:
ll.
De un modo semejante se considera la tasa A(I , Qi) como otra
variable aleatoria, con unos es tadí sticos -media y dispersiónque se pueden determinar de acuerdo con las expresiones:
E{A(I 0 , ni)} = k A(I )
0
2
114
c {A (I 0 ,n>} = (k- 1){1+c 2 {A(I , n>J}+c 2 {A(I ,n>}
0
0
con k =V./.f v. un coeficiente , proporción del volumen de cor... 1"1
... n.
teza de ~ ~- 1 ~ 1 a reg~on
Hi a 1 a corteza total de la reg~on
A efectos de es te estudio puede suponerse un espesor idéntico
de la capa, donde se pueden producir terremotos , para todas
las zonas sísmicas, es decir , Vi =e Ai con Ai el área de la zo
na n .. De esta forma resulta :
~
n
k= A./.E A.
1 1= 1 1
Se puede supone r una distribución de probabilidad gamma -1,
para la variable A =A(I ,ni), del tipo siguiente :
0
e-AtOAno-1tn o
f(A)
=
r<n 0 )
o
con to y no parámetros de distribución .
El valor medio, varianza y coeficiente de dispersión de es
ta variable aleatoria son :
e 2 0) =1/n
0
se .observa que ~o y to representan un númerÓ de terremotos
y un t1empo respect1vamen Le .
~
Identi ficando l as e xpresiones ( 24) con los resultados ( 22)
se deducen unos val ores "a priori" provisionale s de n y t :
0
0
n
o
=
1
Estos valores de n y t , definen una distribución de pro
habi l idad para la varigble gleatoria A "a priori ", es decir ,sin introducir la muestra , o sea , los valores de A realmente
ocurridos en la zona sísmica ni , que permitiran corregirlos y
obtener otros nuevos v y T.
Con estos nuevos resultados de los parámetros la dis tribu
ci ón (23) se des igna como "a posteriori " y es la que será uti
lizada en el análisis posterior .
La forma de introducir la nueva información acerca de la
variable A, es decir , la aparición de n 1 terremotos de int e n
sidad igual o mayor que Io y epicentro en ni durante el tiem
12 .
po de referencia t1 (o período de validez calculado en el apar
tado 4.1), se lleva a cabo mediante la aplicación del teoremade Bayes o la probabilidad de una hipótesis:
Prob(Suceso S/Hipi) Prob(Hipi)
------------~K~~----------~
Prob(Hipi/Suceso S) =
con K una constante de normalización.
En este caso, la aplicación de la fórmula (29) conduce ala
nueva distribución r(A) para la variable aleatoria A:
-At 1 (At ) n1 e -Ato Ano-1 t no
1
1 e
0
rO)=
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n
1
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r cn
)(
0
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)
Al imponer la condición de normalidad :
¡<»
rO)dA
- <»
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se deduce
n +n
(t +t ) 1 o
f(A )
1
=
o
La distribución nueva o "a posteriori" de A dada por la e
cuación (30), se interpreta con una nueva distribución de pr~
babilidad gamma-1 con los parámetros:
y
Por consiguiente los nuevos valores medios varianza · y coe
ficiente de dispersión son:
EO)
no + n1
VarO) = ~to+t1) =
1
V
y la distribución de A a utilizar en el cálculo es:
rO)
=e
-AT Av-1 T V
r( V)
que corresponde a la expresión (1).
Tras las anteriores consideraciones, para el cálculo de
l os valore s de los parámetros v y T, que dependen de la re -
13.
gión ni y el punto P0 epi centro considerado (a l ser funci ón de
Io =I+~I(R,6), la intensidad mínima) se puede proceder de acuer
do con las etapas siguientes :
(1) Determinar para cada región ni y un conjunto discreto de
intensidades r 0 , los valores no y <o mediante las fórmulas
(25), que util1za previamente las (19J , (21) y ( 22 ).
~
(2) Obtener mediante simple recuento el número n¡ de terremotos de intensidad igual o mayor que r 0 ocurr1dos en la z~
na sísmica ni durante el período de validez (tras el contraste de la hipótesis) t 1 =E~T . Este resultado corresponde una muestra de la variable aleatoria A=A(I 0 , ni).
(3) Calcular mediante las expresiones (31) los valores de los
nuevos parámetros de la distribución de A, es decir ~ y1.
~
T
= n1+n2
= t 1 +t 2
De esta forma se obtiene para cada zona ni y un conjunto
de intensidades tipo !e ' los valores V y 1.
( 4 ) Con objeto de evaluar el período de retorno para una inten
sidad I sentida en el emplazamiento P, mediante la inte gral (16) , e s preciso obtener para cada punto (i , j) , de
coordenadas (xj ,yj') perteneciente a la zona sísmica ni,
los valores de ~ ~ 1. Para ello, se calcula el valor lími
t~ ,mín imo de
la intensidad r 0 en P0 , mediante la expreS1on:
I
o
= I + ~!;( F, 6)
con ~I(R,6) el valor deducido de la curva de atenuaci ón
correspondiente y que representa la caida de l a intensi
da d sí smica, desde su valor epicentral en Po a su valor
sentido en el emplazamiento E· Con esta intensidad r 0 se
obtienen los valores correspondientes , ~ y T , por interpolación de lista de estos parámetros calculada en la e tapa anterior.
4.3 . - Evalua ción de la integral del período de retorno
La determinación del período de retorno para l a intensidad I , se realiza mediante el cálculo de la integral de la
formula (16):
PR(I , P) =
dt
feo
o
.n . {1 +
1 , )
El cálculo se efectua numéricamente en dos etapas susti
tuyendo (16) por la suma siguiente en cada una de ellas: M
PR (I,P) =
E
m= 1
~t
. n.
m 1,)
1
14 .
con t m = t m- 1 + -12 ~ tm.
El valor de M se ajusta en cada fase. En la primera se s~
pone que M es un valor moderado (M= 25)(*) y en la segunda y
definitiva el cálculo se lleva a cabo con M mayor (M = 1 00) .
El producto ( .n.) se compone de tantos factores como entornos en los quel ,J se ha dividido la región Q . Con objeto
de simplificar e l cálculo de es te producto conviene proceder
por zonas sísmicas , agotando todos los productos corres pondientes a los entornos de una región sísmica antes de proc~
der con la siguiente.
El incremento temporal se ha supuesto inicialmente constan
T ~
6t = ~
m
M-1
i ncrementándose por un factor A(A = 1 . 5):
te:
6tm+ 1 = A 6tm
si la aportación del m-simo sumando de (17) al valor corriente del período de retorno PR(I,P) es menor de una fracción d~
terminada (1%) .
El valor de T ~ se supone en la primera etapa del cálculo que es apriorí~~~camente un número de veces el período de
r etorno calculado para la intensidad anterior I-1. En los casos estudiados este número ha sido 20 . Para la intensidad mas
baja se adoptó un número razonable (Tmax
~
=5 para, I =3) .
De esta primera e tapa se obt iene un valor aproximado de
PR(I,P) , que se refina en la segunda, efectuado de nuevo la
suma, de acuerdo con los valores de M= 100 y Tmax
~
=2PR(I,P).
5 .- EJEMPLO DE APLICACION
El mod el o probabi l ístico descrito en los apartados anterio
res, se ha aplicado a l a evaluación de d istintos emplazamien-tos susceptibles de ser afectados por un seismo importante.
Aquí se e xpone el estudio de uno de los emplazamientos, cuyos
datos se han de finido en (5) y que se resumen a continuación.
Se ha considerado un emplazamiento P cuyas coordenadas son:
longitud = 0 ,4W, latitud = 28,4N .
El número de regiones sísmicas tenidas en cuenta en el cál
culo han sido 46, y se han definido por las coordenadas de los
vértices de sus contornos que se suponen poligonales. En la
tabla 1 se representan estas regi ones sísmicas o unidades sis NOTA( *): Los valores entre paréntesis son los adoptados por
los autores en los ejemplos numéricos que se presen
tan mas adelante .
-
15.
motectónicas Q . . El emplazamie nto P se encuentra en la región
~
.
38 .
~
Sl.S m~ca
TABLA l. LISTA DE ZONAS SISMICAS
NUMERO DE ZONA Y NOMBRE
l. AQUITANIA
2. NORDPIRINEO
3. PIRINEO AXIAL
4 . SUBPIRINEO
S • CANAL DE VERDUN
6. DEPRESION PERPIGNANURGEL
7. DEPRESION DEL EBRO
8. EL AMPURDAN-OLOT-LA
SELVA
9. PLATAFORMA CATALANA
SUPERFICIE KM 2 N~ ZONA Y NOMBRE
7.015,02
24. DEPRESION DE
ALFAMBRA-TURIA
7. 4 78,1.9
25 . ·siERRAS DE
VALENCIA
13.732,1
26. DEPRESION VA
LENCIA-CASTELLON
17.967,2
27. BAJO JUCAR
3.530,45
615,27
37.974,9
2.124,1
4.952,75
10. ZONA SEPTENTRIONAL
CATALANA
11. VALLES-PENEDES-GAYABONASTRE
12. DEPRESION DE VALLSREUS
13. CUENCA DE VALENCIA
30.471,4
14. PLATAFORMA LEVANTINA
22.736,5
935 , 34
2.060,15
829,13
15. ZONA MERIDIONAL
CATALANA
16. DEPRESION DE TORTOSA
2.558 , 45
17. EL MAESTRAZGO
7.503,9
18. IBERICA-ARAGONESA
7.637,99
19. DEPRESION DE
1.691,05
CALAT~
20. DEMANDA-CAMEROS
1.577,63
8 . 319,55
21. DEPRESION DEL DUERO
15.148,6
22. IBERICA-CASTELLANA
15.536,3
23. IBERICA-SUDOCCIDENTAL
9.663,45
28. DEPRESION DE
GANDIA
29 . PLATAFORMA
ALICANTINA
30. PLATAFORMA
BALEAR
31. PREBETICO
INSULAR
32. SISTEMA CENTRAL
33. DEPRESION TA
JO-LA MANCHA
34 . MACIZO IBERI
CO SUDORIENTAL
35. DEPRESION ~
TO GUADALQUIVIR
36. SUBBETICO
37. PREBETICO
PENINSULAR
38. DEPRESION DE
ALICANTE
39. BAJO SEGURA
40. LORCA-CARTA
NA MENOR
41. BETICO
42, PLATAFORMA
SUDORIENTAL
43. ALBORAN
44. CUENCA SUBBA
LEAR
45. PLATAFORMA
ARGELINA
46 . ZONA ARGELIM
SUPERFICIE KH 2
4.008,66
8.734,06
2.356,02
l. 575.76
268,26
4.007,1
41.981,5
5.094
10.290
31.935,1
24.693,4
4.020,17
13.711,73
17.775,5
1.114,13
1.810,68
3.862, 71
18.087,5
9.246,64
17.243,6
~4 . 835,4
7.650,51
24.379,7
Los terremotos que son s usceptibles de afec tar el emplaza
miento P se describen mediante un núme ro de orde n (k), int e n ~
sidad epicentral <Ie ), año de ocurrenci a ( tk ), longitud y latitud epicentrales as í como la unidad s i s motectónica ( Qi) a la
16 .
que pert enece . El total de seismo s consid er ados en este ejemplo ha sido de 18 00 .
Por Último se han registr ado los datos de las curvas de a
mortigu amient o o atenua ción de la intensi dad e xpresa das cada una de ellas por la distan cia R y la pérdid a de intensi dad AI
para diferen tes direcci ones de propag ación sísmic a <e) y ni ve
les de intens idad epicen tra l (J e ) .
Sin embarg o con objeto de ~ imp li ficar la entrad a de datos
en este ej emplo especí fico se l .a supues to cur-vas de atenua ción indepe ndi ente a la dir-ecc :ón e y nivel de inten sidad Ie .
En l a tabla 2 se define n la s cur-vas de atenua ción conside r-adas en el anális is .
Cada t er-r-emo t o con epicent r-o en una zona se amor-ti gua de
acuer-d o con una cur-va de atenua ción, que puede depender- de la
dir-ecc ión de pr-opag ación del seismo , es d ecir- , de la or-ient a
ción del segmen to epicent r-o con el emplaz amiento que se esta
estudia ndo. La tabla 3 pr-esen ta una lista de las zonas y
cur-va s de atenua ción aplicad as .
TABLA 2. CURVAS DE ATENUACI ON (DISTANCIAS DI CADA 61
61 -
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,,1
48 . 6
43 .
TAlLA 3 . LISTA DE ZOIIAS Y C\laYAS DI! A'IDUACIOII APLICADAS
1-2
3
1-2-3
4-5-6-7- 8
4
9-10-11-12-13
5
6-12-16-26-28
14-1S- 16
7-21
8
9-13-14
10
11
15
17-18- 19- 22-24-2
74-75-76-77-1~9-80
17-18-19
20-21-22
23-24
25-26-27-28
29-30-31
32-33- 34
20
70-71-72-73
3S-36- 37
23
81-82-83- 84
ZONAS
27
29-30-43-44-4:
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263
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246
111
211
54
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44
44
273
211
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2.S6
U4
213
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CIIRVAS D! AT!NliACIOII
99-100-101-102
103·104-IOS- 106
85-8-6
33-35
36
38
87-88-89-90
38-39-40-41
48-49-S0-51
91-92-93-94
52-53-S4-SS-S6-S 7
S8-S9
68- 69
60-61-62-6 3-64-65
66 -67
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31-37
32-34
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119
121
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67
71
17
33
34
8,
l2
Cada &ona tiene m4s de una curva de atenuaci6n, dependiendo da l a
de dicha atenuación .
CURVAS DE ATEH\IACIOH
287
2S1
211
24'l
214
2S.S
257
212
318
273
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212
219
381
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U .7
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ZONAS
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247
246
2')4
2.SI
1S6
9S-96·97- 91
18.
Los datos de los 1800 seismos han sido sometidos a la prue
ba de validez de la hipótesis de distribución temporal de Pois
son, obteniéndose los intervalos de validez ([6T) que se mues~
tran en la tabla 4, con un intervalo de comparación liT = 25 años.
El lapso total de recogida de todos los terremotos ha sido de s
de el año 1200 hasta la actualidad .
TABLA 4 . RECTA DE llECUSION
INTENSIDAD
ro
tl • I:6T
N
11
975
0,003246
10
975
975
0 , 010517
0,034084
0 ,110450
7
75
l OO
6
75
5
75
75
9
8
4
0,357919
1, 159860
3, 75859
12, 1799
3
2
75
39 , 4699
127, 9050
1
75
414,4120
75
>. <ro>
3,33 X 10- 6
1,08 ·~ ·l O-6
6
3, 50 X 101,47 X 10-3
3,58 X 10- 3
2
1,55 X 105,01 X 10- 2
1,62 X 10-2
1
5 , 26 X 101, 71
5 ,53
Tras la depuración de los seismos registrados se procede
a la obtención de la recta semilogarítmica de regresión correspondiente a la fórmula (18) que expresa el número medio
de terremotos de intensidad mayor o igual a Io por unidad de
tiempo (año) producidos en toda la región sísmica n. Esta ta
sa >.<Io) =N/I:6T se representa asímismo en la tabla 4. De este modo se pueden deducir mediante las fórmulas (19), (20) y
(21) la media , varianza y coeficiente de depresión de los seis
mos con intensidad epicentral mayor o igual a r 0 de toda la zona n . Por otra parte, la aplicación de las expresiones (22)
permiten deducir estos estadísticos de estos seismos referidos a cada unidad sismotectónica y en particular , mediante
las igualdades (25) los valores , n 0 y t 0 , número e intervalo
de válidez de los t erremotos de intensidad igual o mayor que
r 0 , ocurridos en la región ni .
En la tabla 5 se recogen para cada intervalo de validez
t1 =E6T de cada intensidad IQ el número de seismos n1 con in
tensidad epicentral mayor o ~gual a lo realment e ocurridos
en cada zona sismotectónica ni . Este número n1 se ha obtenido mediante simple recuenteo entre los datos depurados de
los terremotos .
19 .
T.ULA 5 . VALORES DE n
1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
2
4
71
71
58
58
3
4
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11
11
10
10
6
10
10
6
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11
20
31
22
1 20
1 31
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30
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4
4
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4
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3
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10
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2
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13
2
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2
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2
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6
8
5
65
90
76
219
15
491
66
18
8
9
73
o
6
8
5
65
89
39
219
15
469
52
18
8
9
73
10
9
6
11
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3
4
1
10
1
5
4
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2
5
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45
9
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1
5
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4
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8
4
61
78
32
214
13
427
46
17
7
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1
o
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1
o
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o
o
5
1
o
'
1
1
1
1
20.
Con los valores de n 1 y t se deducen los parámetros v y T
de la distri bución de probabiÍidad
de la tasa A para cada zona
ni y por consiguiente se puede proceder a la evaluación de la
integral (16). Los resultados de l perí odo de retorno para cada
intensidad , o inversamente las intensidades obtenidas para cada período de retorno tipo se resumen en la tabla 6.
TABLA 6. PERIODOS DE RETORNO (T) - INTENSIDADES (1)
Distribución áreas
T
a .. 1
a • O
50
6,43
lOO
Distribución energías
a-10
a • 1
a • O
a •lO
4,64
7,13
7,18
6,39
7,50
6,78
5,22
7,49
7,50
6,93
7,90
500
7,58
6,56
8,33
8,45
8,16
8,85
1000
7,93
7,13
8,69
8,83
8,70
9,26
La interpretación de esta tabla e xige señalar las siguien
tes observaciones: La distribución por áreas corresponde a la
utilización de las f órmulas (22) para l a obtención de los parámetros no y to de la distri buc i ón "a priori" . La distribución a posteriori se define por los parámetros v y T , cuyos
valores pueden escribirse, como generalización de la expresión (31), del siguiente modo :
n 0 +n 1 .a
= t 0 +t 1 . a
V =
t
El caso a =1 es el considerado en el texto . Si a =O se su
pone que la distribución inicial no se modifica con l a i nfor~
mación exi ste nte de los terremotos realmente ocurridos en el
área ni . El valor a = 10 implica el hecho de aplicar de un modo reiterado e l teorema de Bayes, de forma que la información
rea l adquiera un peso preponderante . En este caso se ha utili
zado diez veces el teorema de Bayes .
Por último la distribución por energí as supone que se sus
tituye en las fórmulas (27) de cálculo de la media y varianza
de la distribución de las tasas sísmicas en cada zona, el volumen vi de cada unidad sismotectóni ca ni por la energí a sísmica realmente liberada es el mismo . Esta h ipótesis inic i a l
parece mas plausible, particularmente si existen importantes
diferencias en la actividad sísmica entre zonas .
En l a f igura 1 se repre sentan estos valores de l período
de retorno para el emplazamiento estudiado en f unción de la
intensidad se ntida .