SAMARTIN 123

REVISTA DE OBRAS PUBLICAS. Septiembre 1990.
1 9 0 . Págs. 19
19 a 25
Modelo numérico basado en el método
de los elementos finitos para el estudio
de la hidrodinámica de bahías y estuarios (*)
Por P. TABUENCA y}.
y J. CARDONA
Escuela Superior de la Marina Civil. Universidad de Santander
y A. SAMARTIN
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos,
Caminos, Canales y Puertos.
Se ha desarrollado un
u n modelo implícito
implz'cito no lineal 2-D
2 - 0 en
e n EF
para la resolución de las ecuaciones de aguas poco profandas.
profundas. La
para
discretización espacial se ha realizado por
por medio de elementos
lagrangianos isoparamétricos.
isoparamétricos. Se ha aplicado la integración numénumépara la
rica de Simpson para obtener las matrices elementales y para
integración temporal se han utilizado diferentes
diferentes esquemas en
e n difedifeejemplos.
rencias finitas, comprobándose el modelo con diferentes ejemplos.
1. INTRODUCCION
1.
Se describe un modelo no lineal, basado en una
formulación de Galerkin de las ecuaciones 2-D
para la hidrodinámica de estuarios con discretización espacial por medio de elementos finitos
cuadráticos.
cuadráticos. La integración numérica de Simpson
permite simplificar el cálculo
cálculo de las matrices.
Para la integración temporal, se han elegido dos
esquemas en diferencias finitas:
finitas: el método iterativo de Cranck Nicholson y el de las diferencias
centrales.
2.
6V
6t
KW
KW22
-- H
H
6U
Ot
+U
KW 2
- H
6U
Ox
cos
'P
+V
+
+ 66 (HV)
+
Oy
6~
6U _ fV
oy
= O
=o
6y
sen 'JI
y
+
+
fU
+
g
~
6y
+
gV
g v (U2 + V2)1/2
V2)lI2 = O
HO
HC2
=O
+g
gU (U 2 + V 2 ) 1/2
HC 2
I
(3)
(3)
-
A --------
z = O
h(x"y)
H =
t+
h
l!... < _,_
O~ - -
~
Ox
_
~f.-----
(1)
20
z
z = -h
O
(2)
(*)
(*) Se admiten comentarios sobre el presente artículo
que podrán remitirse a la Redacción de esta Revista hasta
el 30 de noviembre de 1990.
1990.
SEPTIEMBRE 1990
+V ~ +
donde f es el parámetro de Coriolis, K es un
coeficiente adimensional función de la velocidad
del viento W,
W, C es el coeficiente de Chezy y '1'
y es
el ángulo entre el vector velocidad del viento y el
eje X.
X. Los demás parámetros se definen en la
figura 1.
1.
Las ecuaciones de gobierno de la hidrodinámica de estuarios, obtenidas promediando las
ecuaciones de continuidad y del momento a través de la profundidad para fluidos homogéneos e
incomprensibles,
incomprensibles, son:
son:
66 (HU)
(HU)
Ox
6x
6V
6x
Con objeto de obtener los valores de H,
H, U YV
yV
de las ecuaciones (1),
( l ) , (2) Y
y (3),
(3), se deben considerar las condiciones iniciales y de contorno.
contorno. Existen.
ten dos clases de condiciones de contorno:
contorno: las
ECUACIONES DE AGUAS
POCO PROFUNDAS
6H +
-6H
+
Ot
6t
+U
y
x
l.-Geometría.
Figura l.-Geometría.
19
METOno DE LOS ELEMENTOS FINITOS
MODELO NUMERICO BASADO EN EL METODO
correspondientes a bordes abiertos (desembocadura de un río o mar abierto) o las corresponfijos (línea de la costa).
dientes a bordes fijos
con
r
M'}.. :JAA IJ·J . IJ·J . dA
primer caso se fijan la velocidad normal
En el primer
v n , el nivel del mar
mar~,
v,,
C, o ambas. Para los bordes
fijos, se considera nulo el flujo a través de la
fijos,
línea que bordea la costa (Y?
(v n =
== O). Asimismo,
deben ser conocidas las condiciones iniciales.
:r
kxijk ~A I>¡ · I>¡.
o6x~k
. dA
3. MODELO EN ELEMENTOS FINITOS
En el método de los elementos finitos, cada
variable se expresa por medio de un conjunto
(x, y) y de los valores
discreto de funciones lJ (x,
(t), Vj
(t), 5;~j (t),
(t), por medio de las
nodales Vj
U, (t),
V j (t),
siguientes ecuaciones:
u
' u,
V =
= . I Vj (t)
(t) @
l>j, (x, y),
;=1
j= 1
~
N
== . I tj (t)
;=1
N
V = . í: Vj (t)
;=1
l> j (x,
o IJ·
r IJ· . --J_·dA
Ox
D XI).. :J
N
(4)
y),
'J
+
E,.,·
== - (kXI)"k, ==
E(;
= kkxikj)
(5;'J + h·)
h,)
Uk
k -1:.# = - (kxijk
X!'k')
1 .. (~.
1 .V
-- (k
"k +
'k') .. (r.
(kyijk
+ kkyikj)
(5;..,) +
+ h·)
hj)
Vkk
JI)
JI 1
1 .. V
g . D XI}... ~"'J
f k, -
-
kJ"kI.)U·
) . Vk
+ C..k ·
+ E·· . K· . W? cos
'}
1
}
ID·
T }
. U} .
g R..
--. (2
-~·R
.. ·U·
I)
c
2
EVi
== k xijk · Vj . V k -
(6)
kyijk . Vj .
Vk +
V··fk-g·DY9.. ·r.+
k·}
+ C··9
~
+E···
K··
W~sin
w._~.
'}
..,
}
T}
Ci R '}.. · V·}
20
V··
1))
o 4'.
r
=f
S,
E..
E.. =
donde
J
DY'J.. =
J /A 4' .. --J_·dA
Oy
l>j (x, y),
Los restantes parámetros se expresan usando
las mismas funciones base ~.
9.La sustitución de
(4) en las (1),
las ecuaciones'
ecuaciones'(4)
( l ) , (2)
(2) Y
y (3),
(3), y la apliaplicación del método de Galerkin, da el siguiente
sistema de ecuaciones:
Mij$1. . ~i
6'.I ==
= E'i
E51
M
M jijj Oj
Uj ==
=E
EUi
Ui
M··
(5)
M,1 )\l.
Oj) ==
=E
Evi
(5)
v I'
E u ,, == k XI)"k,. U·
) . Uk
A
/j
A
(7)
J
IJ¡
..@,
~j
@;
-----·dA
dA
Ir (t
(~k + h
IJk
hk)
k ) .. @k
+
R..=
S,
[(1:
4;
. @,
Uk . I>k
1:
+ (1: V k · I>k
(~k + h k ) . ~k
)2
)2
(2
·dA
( 5 ) de ecuaciones diferenciales de
El sistema (5)
los coeficientes
primer orden es no lineal porque los
R,,
dependen
de
las
incógnitas
C;
,
U;,
Vi mientras
R ij
~;, Vi, Vi
que los
los restantes son función
función únicamente de la
elemento. Por tanto, el problema a
geometría del elemento.
resolver es integrar en el dominio
dominio del tiempo
( 5 ) de ecuaecualos valores nodales, el sistema (5)
para los
ciones acopladas.
acopladas. Para ello deben expresarse las
condiciones de contorno
contorno además
además de especificarse
las condiciones
condiciones iniciales.
iniciales.
La discretización espacial se
se ha realizado por
medio de
de elementos lagrangianos
lagrangianos cuadráticos. En
la figura 2 se
se muestra la correspondiente transtransformación
formación isoparamétrica. Para la integración en
el tiempo,
tiempo, se
se ha aplicado
aplicado la fórmula de
de integraintegraDE OBRAS
OBRAS PUBLICAS
PUBLICAS
REVISTA DE
MODELO NUMERICO BASADO EN EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
?
y
ii)
centrales. En
ii) Método de las diferencias centrales.
este caso, las derivadas temporales se aproximan
por las ecuaciones:
(1,1)
®
® ~
+
+
+
M . ~5 (t
(t + ~
A tt)) ==
= M . ~5 (t
( t -- ~
A tt)) + 2 . ~
At . E
E;c (t)
(t)
~t)
~tt . EL,
Eu
M . U (t
( t + ~t)
A t ) ==
= M . U (t -- A
t) + 2 . A
+
(t)
(t)
(-t-l)
(11
(11))
== M
M . .VV( (t
M
M . V ((tt +
+ A~t)
t)=
t --A t~t)
)++
2 . 2A. t~t
. E. vE v
(0,-1)
X
(t)
(t>
Plano
Plano X,
X Y
Y
Plano
Plano
F'
Con cualquiera de los dos procedimientos
anteriores,
anteriores, las condiciones iniciales se usan
como valores de arranque.
arranque.
?
1\
e
Ele!"ento
Elemento A
Ae
Ele!"ento
Elemento A
(o.)
<a>
El intervalo de tiempo ~t
A t está limitado por
la condición de Courant
(b)
(b)
Figura 2.-Transformación
isoparamétrica.
2.-Transformación isoparamétrica.
ción de Simpson para nueve puntos de integración.
ción. De esta forma se hacen coincidir los puntos
de integración con los nudos de interpolación,
con lo que el sistema (5)
( 5 ) es:
es:
M, ~ic; ==
= ECi
E:,
Mi
Mi U
Ui
U,i ==
=E
Eu,
M,
M,
Vi ==
=E
Ev,
Mi Vi
Yi
(8)
(8)
con
E.i == -
+ hi ) . U k + (~k + hk ) . Ui] k yik L(~i + h i ) . V k + (~k + h k ) . Vi]
El primer método (i)
(i) da resultados más precisos que el método (ii)
(ii) de las diferencias centrales.
les. Sin embargo, necesita más tiempo de CPU,
porque la matriz M debe ser invertida en cada
intervalo At.
~t.
Con cualquiera de los procedimientos antes
mencionados,
mencionados, el sistema de ecuaciones diferenciales se transforma en
e n el sistema de ecuaciones
algebraicas s:
algebraicas5
+
+
.v +
k xik L(~i
+
+
M . ~5 (t + ~
A tt)) ==
= Re
R5
M.Ú
~t)
0 (t + A
t ) ==
= RRU
u
M . V (t
( t + ~t)
A t ) ==
=R
Rv
y
(13)
(13)
E
LU
Eu,
= -- kkxtk
Uti U
U6k + g~k]
gck] -- kyikViUk
kyikViUk +
xik 1
Ui ==
(9)
+ CifiV
Cif;Vii + E
E;KiW2
y , -- gR
gRiUt/C2
iU i/C2
iK iW2 cos 'IIi
(9)
y son los segundos miembros
donde Rc~
Rc; R
Ru
y R
Rv
u Y
de las ecuaciones (10)
(10) o (11).
(11).
+
Para resolver (13),
(13), es necesario considerar las
condiciones de contorno. Los valores especificaespecificados de~,
de 5, U Y
y V deben ser introducidos en el anáanálisis en cada intervalo de tiempo a lo largo del
bordes.
borde5.
+
+
+
Evi
= -- kxikUiVk
kxlkUjVk-- kyikLViVk
kyrklViVk + g~k]
grk] -- CifiUi
CifiUt +
E Yi ==
+
-k E
EtK,W2
yi ~
- gR
gR,Vi/C2
iV i/C 2
iK iW2 sen 'IIi
Para la integración temporal, se han usado dos
procedimientos en diferencias finitas:
finitas:
i)
derivai) Método de Cranck-Nicholson. Las derivadas teI?porales
temporales se aproximan por medio de las
expresIones:
expresiones:
At
M
t) =
~
t[[Ei
E, ((t)
t) +
M . ~6 (t +
t~
At)
=M
M . 6~ ((t)t) +
ti
t E,
E; (t
(t +
t~
~ t)]
t ) ]
M· U (t+ ~t) =M· U (t) +~ t[Eu(t) +Eu(t+~t)] (10)
M.
Ev(t) +
Ev(t+
M .V
V (t +
t ~t)
At) =
= M·
M .V
V (t)
(t) +
-k7~ t[[EV(t)
f Ev(t
t ~t)]
At)]
t t
SEPTIEMBRE 1990
1990
4.
EXPERIMENTACION NUMERICA
N"UMERICA
El modelo se ha aplicado a algunos casos simples a fin de comprobar la eficiencia y precisión
del método numérico utilizado.
Caso l.-Lago·
1.-Lago rectangular.-Este
rectangular.-Este caso corresponde al estudio de la circulación en un lago rectangular de dimensiones 125.000
125.000 X 31.250
31.250 m y
de profundidad h ==
= 80 m. No
N o existen mareas y
la circulación es debida exclusivamente al viento,
influyendo posteriormente el efecto Coriolis.
Coriolis. Se
21
21
MODELO NUMERICO BASADO EN EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
V
n
v
"
1::1
=O
O
Vn
I
1:
O 31250
fW'
vn ::: O
--~~-~
----.--.. .
I
125000
M
--,-----~ ----=-~
.......
3.-Malla de E.F.
E.F. para el lago rectangular.
rectangular.
Figura 3.-Malla
u ro/5g
u ro/59
•e
I,
A tt
A
SOLUCION
E.F.
S0LUCIME
.F.
-
-
-
tt .. 6000
N.E.
N.E.
-
8e
ioo seg.
889.
100
A
ti
8eg.
ecg.
55
-
SOLUCION
SOLVCION E.F.
E.F
tt -
sep.
100 sega
xX -
62500
N.E. N.E.
m.
In.
5
J
I
{
.ooi
.00
¡
i
l
Ii1
-e-~------;2.
V
' - 6 2 . 55
e ~-2-5~----
e--
i
t1
t
e
e
e
e
e
O
e
e
e
x (Km)
t - - - - - - - - - 1 t - - - - - - - l t - - - - & O- - - t l - 3333.33 e
6666.66
10000
x (Km)
125
t
(5g . )
e
e
El
-.OOt
e
-.00
¡
I
,I
¡
i
Figura 4.-Lago
4.-Lago rectangular.
rectangular. U (x) para t ==
= 6.000 sg.
sg.
l
-8
Figura 5.-Lago
5.-Lago rectangular. U (t) a x ==
= 62.500 ffi.
m.
---.-I_~_---.------- ~---6
-04
-2
2
4
6
8
Figura 6.-Lago
rectangular. Líneas de nivel.
6.-Lago rectangular.
22
REVISTA DE OBRAS PUBLICAS
MODELO NUMERICO BASADO EN EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
r = -2
vn
cos
vn
.5f! t
t \
=O
\
....
....
\
\
,
....
,
....
\
\
\
,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
,
=O
36000
~
Figura 7.-Bahía
7.-Bahía rectangular. Geometría.
Geometría.
I
\
\
\
,
" ",
\
\
,
.... ,
"
"
"
\
, ,
"
\
"
\
,
,
\
,
,
,\
Figura 9.-Bahía
9.-Bahía rectangular.
rectangular. Campo de velocidades para t
==
= 40.000 sg.
sg.
\
\
toman los siguientes datos:
datos: Coeficiente eólico K
==
= 1,
1, velocidad del viento W
W ==
= 10l o ? m/sg según
2
la dirección del eje X, factor de Coriolis f X 10-,1
10
10
sg-l
m
/sg. La
sg ' y coeficiente de Chezy C ==
= 10
10"'
m'I/2?/sg.
malla usada para encontrar la solución numérica
se muestra en la figura 3 y está compuesta por
cinco elementos y 33 nudos. Las figuras
figuras 4 y 5
muestran las respectivas representaciones gráficas de V en función de x en el instante t ==
= 6.000
6.000
sg y V en función de t para x ==
= 62.500 m.
m.
Finalmente la figura 6 muestra las curvas de
nivel en las que se evidencia el efecto Coriolis.
Figura 8.-Bahía
8.-Bahía rectangular.
rectangular. Campo de velocidades para t
==
= 20.000 sg.
sg.
SEPTIEMBRE 1990
1990
Caso 2.-Bahia
2.-Baháa rectangular.-Este
rectangalar.-Este caso correscorresponde a la bahía rectangular mostrada en la
figura 7.
7. Sus
Sus dimensiones son 36.000 X 55.000 m
y su profundidad es de 36 m. La entrada de la
bahía está situada al oeste de su borde norte y su
longitud es de 18.000 m. La malla de elementos
finitos
finitos usada tiene 54 elementos y 247 nudos. La
amplitud de la marea es de 2 m, su período T
T=
=
23
MODELO NUMERICO BASADO EN EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
12,4
12,4 h.,
h., el coeficiente de Chezy C ==
= 10
10 ml/2/sg
ml/*/sg y
tomamos 8t
At ==
= 20 sg.
sg.
Los resultados se muestran en las figuras 8 y 9
para los instantes t ==
= 20.000 sg y t ==
= 40.000 sg,
sg,
respectivamente.
t?
~.,......-------~ 1
~-------//~/~
5.
,
~-------""'-/í
APLICACION A LA BAHIA
DE SANTANDER
~,,-----
...
~/"'..-
\
_..
, " ' .. - - .. - .. ., , 1 I \ ' \ ...."
"""""1"/11\'
/, , , , , I I I , , I 1 "
I , .. 1
El modelo ha sido aplicado a la Bahía de SanSantander. La geometría de esta Bahía se muestra en
la figura 10
10 y los datos de las profundidades en
los diferentes puntos han sido obtenidos de las
cartas editadas por la Junta del Puerto.
Puerto. La malla
de E.
E. F.
F. utilizada está compuesta por 77 elementos con 355 nudos. Se han tomado los siguientes
datos adicionales: coeficiente eólico K ==
= lO-s,
10-5,
velocidad del viento W ==
sg en la dirección
= 3 mi
m/sg
dirección '1'
==
= 0/4,
n/4, coeficiente de Chezy C ==
= 5 ml/2/sg
ml/*/sgy facfactor de Coriolis f ==
= O.
O. Las condiciones de contorno impuestas son:
son:
~
~
, ,
, 111 , 1
I
I
,
I
I , 1 ,,- ,
•• 1"
11""
II "
&
I 1 I 1 1 1 1 ' 1 , , , •
"
"
1 1111111""
I
-------.., \ \ 1 / 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 '
aa\ ,
"\\.\\"I"III'II'
\"'\\\11/"/"'·
'\\\'\&1////1'
• 1 , \ .. \ .... , \ \ I 1 1 ' .•
~. . . .
'\"'"\\II'''
...... ,
"
• '\
•••
l'
\\~ '.....-'...'
l~ ~ ~::~ ~
;1
" , .... j
< '" \
~ . ~.'
'l·
Figura ll.-Bahía
11.-Bahía de Sa·ntander.
Santander. Campo de velocidades
= 20.000 sg.
sg.
para tt ==
2n
= -- 2.0 cos i) Nudos del borde norte: 6~ =
44640 t
44640
ii) Nudos del borde sur:
sur: v ==
=O
O
iii) Borde de tierra: vn ==
=O
O
Las figuras 11
11 y 12
12 muestran el campo de
velocidades para t ==
= 20.000 sg (marea entrante)
y t ==
= 30.000 sg (marea saliente).
saliente).
(
Figura 12.-Bahía
12.-Bahía de Santander.
Santander. Campo de velocidades
para t = 30.000
30.000 sg.
sg.
6.
6. CONCLUSIONES
De la aplicación del modelo descrito se han
deducido las siguientes conclusiones:
Figura 10.-Bahía
10.-Bahía de Santander.
Santander.
24
El esquema utilizado para la integración espacial de Simpson simplifica la construcción del sissisREVISTA DE OBRAS PUBLICAS
PUBLICAS
-
MODELO NUMERICO BASADO EN EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
tema global de ecuaciones y reduce la computación de la matriz elemental a una fórmula de un
punto.
La aplicación del modelo a problemas con un
gran número de nudos o pequeños intervalos de
T),
tiempo (~t
T), exige el uso de ordenadores
(At
de alta velocidad.
velocidad.
«
<<
Desde el punto de vista de la eficiencia computacional, este modelo es comparable con los métodos en diferencias finitas.
finitas.
Es necesario incluir los términos disipativos
no lineales, ya que su eliminación produce soluciones inestables.
Las soluciones obtenidas en la parte sur de la
Bahía de Santander,
Santander, pueden mejorarse usando
una malla de E.F. más fina y haciendo que el
ordenador realice varios ciclos de marea.
SEPTIEMBRE
SEPTIEMBRE 1990
1990
7. REFERENCIAS
1.-STüER,
1.-STOER, J., y BULIRSCH, R.: "Introduction to
Numerical Analysis". Springer-Verlag.
Springer-Verlag. 1980.
1980.
2.-SMITH,
y GLADWELL,
2.-SMITH, A. S.,
S., SIEMIENICH,
SIEMIENICH, J. L., YGLADWELL,
l.:
1.: "Evaluation of Norett methods
rnethods for integrating differendifferential
Jour. for Num. and Analytical
Analytical
tia1 equations in time". Int. Jour.
Methods in Geomechanics.John
Sons. 1977.
1977.
Geornechanics.John Wiley and Sons.
3.-ZIENHIEWICK,
3.-ZIENHIEWICK, O.
O. C.: "Pinite
"Finite element and approapproximation". Wiley-Interscience.
Wiley-Interscience. 1983.
1983.
4.-PRITCHARD,
4.-PRITCHARD, D. W.: "Dispersion and flushing of
pollutants in estuaries". Jornal of the Hidraulics Division.
ASCE. Vol.
1969.
Vol. 95.
95. No. HY1. 1969.
5.-TABUENCA,
5.-TABUENCA, P., y CARDONA, J.:.
J.: "Modelo de circulación de corrientes basado en el método de los elementos finitos.
finitos. Aplicación a la Bahía de Santander". X Congresso lbero-Latino-Americano
Ibero-Latino-Americano sobre Métodos ComputaCornputacionais em Engenharia. II
11 Encontro Nacional de Mecánica
Computacional:
Computacional. Porto. 25-27
25-27 Setembro.
Seternbro. 1989.
1989.
25