Hola chicos. Primero voy a resolver los ejercicios de la clase

Hola chicos. Primero voy a resolver los ejercicios de la clase anterior y después les voy a dar la última combinación
que son combinaciones con repetición. Paso a hacer los ejercicios:
Ej…. (si alguien me dice cual es, genial)
a )C48 
8!
8! 8.7.6.5.4 !


´ 70
4! 8  4 ! 4!4!
4! 4 !
b)C210 
10!
10! 10.9.8 !


´ 45
2!10  2 ! 2!8!
2!8 !
c)C89 
9!
9! 9.8 !


¨ 9
8! 9  8 ! 8!1! 8 !1!
d )C1010 
10!
10!

1
10!10  10 ! 10!0!
e)C110 
10!
10! 10.9 !


 10
1!10  1! 1!9! 1! 9 !
Para los problemas
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se
pueden formar?
Tengo que elegir tres personas pero no se indica un orden en los grupos y como las personas no se pueden repeir es
una combinación, donde:
n=35
m=3
C335 
35!
35! 35.34.33.32!


 6545 Comisiones distintas
3! 35  3! 3!32!
3!32!
A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
En cada saludo participan 2 personas y no importa el orden en que estén, y como las personas no se pueden repetir,
es una combinación donde:
n=10
m=2
C210 
10!
10! 10.9.8 !


 45 Saludos
2!10  2 ! 2!8! 2!8 !
¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices?
Para formar una diagonal, en cualquier figura, participan 2 vértices y como no importa el orden ya que si esta a un
lado o el otro del segmento es la misma diagonal, y como no se pueden repetir, es una combinación donde:
n=5
m=2
C25 
5!
5! 5.4.3!


 10 Combinaciones entre vértices de las cuales hay que descontar los 5 lados del
2! 5  2 ! 2!3! 2!3!
pentágono que no son diagonales y si son combinaciones de vértices. Entonces hay 5 diagonales en un pentágono (es
fácil de probarlo con un dibujito).
La segunda parte es similar ya que en cada triángulo participan 3 vértices, donde no importa el orden en que los elija
ya que es el mismo triángulo, y no se pueden repetir entonces es una combinatoria donde:
n=5
m=3
C35 
5!
5! 5.4.3!


 10 Triángulos distintos
3! 5  3! 3!2! 2!3!
Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas
formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité
En este problema en tres partes debemos analizar cada grupo por separado, ya que hay restricciones distintas para
cada uno y cada combinación de un grupo se va repetir para cada combinación del otro grupo, por lo que hay que
hacer es multiplicar estas combinaciones: Veamos
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer
En este caso los hombres entran todos, así que hay una sola combinación; todo depende de las mujeres, es decir:
C37 
7!
7! 7.6.5.4 !


 35 Comisiones distintas
3! 7  3! 3!4!
3! 4 !
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité
Igual que antes con los hombres pero las combinaciones de mujeres van a ser sobre una persona menos ya que esta
debe estar si o si, y además solo quedan dos lugares para ubicar entonces:
C26 
6!
6! 6.5.4 !


 15 Comisiones distintas
2! 6  2 ! 2!4! 2! 4 !
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité
Este no se puede hacer porque no se pueden completar los cinco pedidos. Así que no tiene solución
(Vamos a ver ahora las combinaciones con repetición)
COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de a m son todas las agrupaciones posibles de los n
elementos de manera que:
NO entran todos los elementos.
NO importa el orden.
SI se repiten los elementos
Por ejemplo:
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4.
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo
La formula se hace a partir de las combinaciones y es:
CRmn  Cmnm1
En el ejemplo sería CR45  C45 41  C48 
8!
8! 8.7.6.5.4 !


´ 70 formas de elegir las botellas
4!8  4 ! 4!4!
4! 4 !
Porque es así? Supongamos, con el mismo ejemplo, que represento a las cinco clases de botellas con barras
verticales que separan cada una de las clases
vino
ron
gin
licor vodka
Y con puntos, entre las barras, coloco cuantas elijo de cada una, pero como hay que elegir 4, van solo 4 puntos, por
ejemplo, si de la primera clase de botella elijo 3 y de la cuarta elijo 1, quedaría:
vino
ron
gin
licor vodka
Y si hubiera sido dos de la segunda, una de la cuarta y una de la quinta:
vino
ron
gin
licor vodka
Como ven hay 6 barras (n+1). Simplificando el dibujo puedo juntar los espacios vacios y olvidarme de las barras de los
extremos que siempre van a estar allí (van a quedar n-1 barras)
Vemos que hay 8 elementos (n+m-1) entonces, de cuantas maneras podemos combinar 4 barras y 4 puntos? Serían
las permutaciones con repetición de 8 elementos donde:
8
PR4;4

8!
8!

 C48  C45 41  CR45
4!4! 4!8  4 !
Ej Nº……
Calcular
a)CR36 
b)CR63 
c)CR55 
d )CR102 
Ej Nº……
Oscar entra a una pastelería en la que hay seis tipos distintos de pasteles. Cierra los ojos y elige tres pasteles.
¿Cuántas elecciones distintas podría hacer?
Ej Nº…..
De cuantas formas podemos colocar 7 anillos idénticos en 4 dedos de la mano (ojo)
Ej Nº……
4 chicos van a un bar y deciden tomar entre 5 distintos tipos de gaseosas. Cuando el mozo se acerca les pregunta que
quieren tomar. Cuantas elecciones posibles hay y de cuantas maneras hace el mozo el pedido en el mostrador?
Nos vemos. Marcelo