Elementos de contorno adaptables definitivo

E~EMENTOS
OE CONTORNO ADAPTAB~ES
E • de ALARCON
E.T.S.de Ingenieros I ndustriales. MADRID
Como e• bien sabido ,
en el ~•todo de los elementos finitos se
suele hablar de do• ti~os de converc;¡encia
La primera ,
o
converoencia h , •• reflere a fa m•Jora del resultado que se
obti~tne r•finando la malla •
D~ido a la correspondencia ~tlemento
-variables nodales -funciones d• interpolacion , ello implica
un aJuste proc;¡resivo de los resultados en aquellas zonas donde se
produce el r_ef inami'e,to •
Se trata
del metodo mas usado cuando , de forma pra.c;¡matic;a , se
desea tener un• idea de la conv.rc;¡encla de los resultados • Su
principal inconveniente radica en el hecho que cada refinamiento
exiQe el calc,do de lll&trices de ric;¡ide: diferentes de las
~nteriores , de
modo que la inforlllacion debe ser rehecha en cada
caso y , por tanto , los costes son elevados •
El seoundo metódo analiza la coriveroencia p , o refinamiento de
la •Proximacion median·t e el incremento del orado del polinD<~~io
definido sobre cada elemento • S• trata de ;abandonar la idea de
asociar
a
cada nodo
el
valor
físico de
la
va riable
correspondiente en la aproMi~acíon típíca
~ ~
a+1 1 +a212
+a~ + ••• +a
dond e las funcione•
r:•ro •n •l r••·t o •
3 3
1 son
9
••• ( 1)
n n
unidad en
el nodo
correspondiente y
Por el contrario • se vuelve a la idea oric;¡inal de Ritz ,
&emeJ•nte al d• un des•rrollo ~ serie d& Fouríer , dende las
funcione•
••tan definidas c;¡lobalmente y los coefici•ntes de
ponderacion no tienen porque preseñtar un si;nificado fi•ico
concreto •
9
1 se stouen manteni•ndo
.J::vi dentemente , la vuelta no •• total
elementos y den'tro de cada uno de ellos se establece una
jerarquía de funciones
i
Con esta situacion int•rmedia entre la c;¡lobalida~ abs~luta d e
Ritz y la correspondene:ia absol·uta de la disc:retizaciof\ con· las
variables se consigue , por un lado , mantener una versatilidad
?.
3
para el ajuste por t~ozoa y , por ot~o , ~•fina~ la
de form. intelio~te ya que , al igual que suce de en
una seri e de Fouri...- , cada t~mino que se añade produ~e un
efecto
menor , lo que posibilita el t~uncamient~ ~uando se
alcanza un dettl4"•in&do-·M ·vel de p,..~ist-on • · Ad-a• ,
puesto que
cada ~ tiene un soporte p~fecta. .nte definido desd• un p~incipto,
cada
etapa
del
r.fina•iento aprovech• todoa los ~alculos
ante~iores y solo
•• necesita eval uar los nuevos t~minos de la
-t~iz de ~igidez· •
•
sufi~iente
ap~oMimacion
p~imttra idea
f .ue propu-t.a po~ Zienckiewi~z
poste~iormente han desar~ollado el ••todo Szabo
Babuska <197~ , 1978> , Peana <1978 > , etc
a.<u , u
b)Definicion de una Je~arquia
dent~o
de cada ele~nto •
de
funciones
de
c>Establecimiento de un 'tndic.ador' de las zonas
adicion de nuevas funciones Je~•~quizadas.
de un
pre~ise
analiza~.
inte~polacion
que precisen la
'estimador a posterior!' que evalue e l
el momento en que pueda se~ detenido e l
Un
metodo
que sigue
los
pasos
.ant~io~es
se
autoadaptable
y
,
como
se puede
comprende~
interesantísimo para problemas no triviales •
denomina
• >..11.
•
••• <::S>
, u >..11.
b<
• dA.
•
( • , •
. , . >o.n.otra.
(f
>d.n.•
, u
>..o.
(f,
)
+ b < u, u
,u >..fl + b<u
a
y
&>Establecimiento de una malla amplia sobre el dominio a
d>Estab l ecimiento
er~or cometido y
proceso •
•
et al
• <1970> , y
et al. <1978> ,
El p~oéeso op~attvo incluye asi
< <f
•
Desarrollando el prime~ mieMbro
a<u
La
u >
<Au ,
es
una
•
u
• !.n.
. . . (4)
,u~
forllla
en el dominio ~
bilineal
d .n •
en su ~ontorno
ope~ador
las condiciones de
simetría del
Debido a
sustraccion de ambas ioualdades permite obtener
b(U
o U
•)
an..:-:. b<u
•
,u>• ' <f,. u
d.Q
•
>
-
(f
•
• •• <:S>
,u )
-'1.
..n
Si
2a ) es el pr.ob1ema original se observa que tan solo e l
ultimo
sumando del segundo mienbro incluye los valores de la
variable en el dominio , lo que exigiría su discretizacion •
Sin embargo , si s .e
escoo•
<2 b > de modo que
~•sulta
• •• (ó)
En lo que sigue vamos a contemplar la posibilid.ad de eMtender las
ideas anterio~es al matado de los elementos de contorno •
se obtiene inmediatamente
1.ELECCION DE LAS FUNCIONES
ELEMENTOS NATURALES.
DE INTERPOLACION
EN
EL
M. E. C.
(f
•
..
Como •• sabido , el metodo de los elementos de contorno esta
basado en la existencia de una ~elacion de reci p r ocidad entre dos
p~oblemas reoidos por un operador elipti~o
•
Au •
-
• •• (7)
<•
u
b(t,l •
u
•
f
Au •• •
b)
f
. . . (2)
que se obtiene •1 for-r los productos
<Au , u
• ,..n.. (
f~ ,..
u
• :..n.
)•
4
inte~nos
>
o.n
+ b <u
• ,u
)
orz..
•
• •• (8)
+ (f ,u
que en elasti~id<1td ,
por eJemplo ,
se denomin• identidad
. al , ,responde a la expresion
S omioliana , y en Pot.ncl
..
~(&)
(d~ /dn
1
) ,
c.n.
+
~
,.
<d9/dn>
a.n.
+
f
f
~
5
p'
de
... (9)
a.o.n
que indica que •• POSible ew r
la suma de un potencial de c~p:sar el potencial en un punto co~o
potencial volu. .trico •
simple • otro de capa doble y un
Si
e: u
...a IL d..O.. 'el
<a
...
de
<8>
•e
transforma
en
••• ( 10)
características geometricas
·;
1
L•
tradicional utiliza para ~
y
N
••• ( 11>
y
POlinomios definidos
J
J
per• 1 te dar significado fisico a a y b e
incorporar una fo~ 1 1
J
J
•IIIU ac on
isepara~trica de
represen tacion del
contorno • Ast
si por claridad
'f •
j
J
. . • (13)
1,2,3, •••• N
donde se ha hecho
••• <14>
y N son las funciones de interpolacion tipicas de
lineales parabolices etc.
los elementos
Como puede observar•• , el siste111a anterior se reduce a
... (15>
. . . (1ó)
que permite obtener las incognitas X ,
J• 1 , 2 ,
localmente , lo que
J
J ;
Y. , tras la imposicion de las condiciones de contorno a
dn "' b
M.E.c.
,.
J
2
j
j
El
i,J
j
N
KX •F
d,
q •
•
1
1 11
d~ •••••• Jiq l
7
1 21
q • d~/dn
Con la eodificacion (10> ' la ecuacion <S>
coeo un proceso de
d
puede interpretarse
formula <S> COM9 tal pon eracion de tipo Galerkin ' aunque la
genera evidentemente un metodo d1
w co ocacion,
Para crear un •e t 0 d o n~rfco con base
proceder a interpolar la solucion en
~todos proyecttvos ' es decir
J
·i C(Jr. +* d}•Jr
NJ
ter1111no
=~d;o~t:;nou:~r::!~!; ~~;~~ea ~aa
...
a
rq ,
•
N
Es inm&diato observar que
debido a la diferencia entre
funciones
de interpolacion y funciones de ponderacion , las
matrices resultantes son asimetricas , lo que ewige eL calculo de
todas y cada una de las integrales que forman sus elementos ,
Tambien , aunque las funciones de interpolacion sean locales , las
de ponde rac i on resultan al re s olver el problema <2 bl y , por lo
tanto , estan definidas globalmente • Ademas de asimetricas las
matrices son , pues , llenas
j
... <12)
•
q
d;, .....
~~
o
J l; ~
21
l
•
6
l
11
j
La propiedad mas atractiva del me todo , es l a r-e duccion en
dimensiones geometricas , pero el calculo de las integrales exige
un tiempo que a veces desequilibra la ventaja anterior •
No es pues extraño que tras los prime~os años de adquirir
confianza en
los resultados del •etodo
se pretenda ahora
e n contrar soluciones que permitan reducir el esfuerzo de calculo
citado ,
En este sentido , la idea de funciones jerarquizadas se presenta
como una ewcitante posibilidad
En efecto ,
la filosofia
isoparametrica expuesta anteriqrmente ha servido para automatizar
el metodo mejorando
intentos
anteriores
No obstante es
artificial la , creacion de elemento• m.diante funciones de forma
locales cuando con ello no se consigue la estructura en banda
típica del M.E.F.
7
Para fiJar ideas piensese en los e ases d • po t encial bidimensional
q~e se croquizan en la fio~ra 1 •
Si •• prescinde de COMO cons-ouir un •odelo gea.etrico del cantor
q,.r . t
e
-+ - ....
AS , BC , CD , DE ,EA •
elementos naturales
Un ejemplo de como se
estudia la c onvergencia mediante un metodo
en este cas o puede verse en Alarcon et al. 11979> • La sencillez
de la geometria indica clara~ente lo absurdo que. resulta un
tratamiento local en este caso cuando unas pocas funciones
globales y jerarquizada s sobre cada el~ento < mas la posible
adicion de algun a
que represente la singularidad
de
q )
permitirían
obtener resultados
aceptables con
un esfuerzo
incomparablemente men o r
1 en
efec to , hay d~inios f1jo5 de
integracion y el · numero de func iones esta provocado por 1•
complejidad del potencial y no por la geo•etrta •
h
2.JERARQUIA DE FUNCIONES DE INTERPOLACION
En los casos planos ,
las f unciones que se precisan son
monodimensionales • Si se sigue con la idea de un desarrollo en
FIGURA 1
~1
~\
.. ·- ...
• •l
no , lo que no es mas ~
~·e un
p•oble-a
'
., de i n t erpolacion , se
observa la e>cistencia de elementos
• naturales •
definidos
bien por la e><istencia de esquinas ,
bien por singularidad••
o cambio en las condiciones de borde •
•••
1
-1
.
~
. .....
-1~
-1
..
~.~ ~~'
~
-1
Es evidente que en el caso 1 a. tanto el fluJo como el potencial
evolu7ion~n regularmente dentro de cada
uno de los trozos AB,BC,
CA !f1gura 2 > que son , por tanto , los elementos logicos en lo•
fLlJJ'O
~~.. t
~~
-
~
_,
t:J
~;;a~~ ~
e:;>
1FIGURA ::S
de Fourier , la jerarquí a ser i a l a indicada en la fiou ra ::Sa donde
Una serie popular, es la
pro puesta por Peano et a1.<1979l figura
::S b. que esta compuesta por las dos funciones lineales mas
p
FIGUR~
N
2
p
que debe inte ntarse la interpol;acion de las variables o y q •
Por su parte , en el ejemplo 1 b. las esquinas ACDE introducen
flujos discontinuos que provocan la conv•ni~nci;a de subdividir el
contorno e n esos trozos , pero
, adem;as , el · cambio de
condiciones
en B sugiere inmediatamente la eleccion de los
8
p!
('
- b )
••• ( 17)
con
si p es par
b •
b •
~
si p es icnpar
9
En estas funciones , el sinnificado ~e las
•
"'
coeficientes
de la ecuacion 11 pasaria a ser el de derivadas
funcion en el centro del intervalo
•p+1
•
a
y
J
+ • • • •••• +
b
s uc:esivas de la
provoca la Matriz
p ,.,
d
;
r
b
•
p+l
d
~<
J
fq:J ~
11
2
: rq:J +~ rq:J 12
p ,.,
d
••• ( 19)
J
q
1
1
~p
• • • ( 18)
como puede comprobarse in~edtatamente •
En problemas 3 D se necesitan funciones bidimensionales que se
¡ Jq:
~1
J
fq:
J
•
A
.....
+2 .
L
• •• 120)
la adicion d e
a
.
i
A
,...
1
A
,...
1
q
"'n+1
1·
1
N
implica orlar A en la forma
r~J . J
J
o
"'J
. rq .
n+l
J
l
o
-\-----
1-
:L r •
4
n+l n+l
1
N+ll
1
1
o
1
n+11
r-- k
f
1
r
••• 121)
Observes• que , para que esto sea posible ' se
el eccion
de un nuevo punto
de colocacion que
escritura de la nueva ecuacion •
FIGURA 4
obtinen simplemente CORO productos de las anteriores !Figura 4).
3.JERARQUIZACION DE LAS MATRICES DE INFLUENCIA
!~tus~ de las funciones
de interpolacion indicadas en el apartado
infelrlor. proovoca la deseada Jerarqul%acíon de las Matrices de
uenc1a • bservemos un elemento •
precisa
permita
la
la
Al respecto existen varias alternativas , como es la eleccion de
puntos de integracion utilizados en las cuadraturas de Gauss
previas o la utiliz~cion de loa puntos correspondientes a los
maximos de las funciones de interpolacion •
Asi las funciones lineales se corresponderian con los extremos de
los elementos y , si se utiliza la familia de senos se puede
di sponer de los puntos ~ • 1/2j donde j • 1, 2,3 , •••• etc.
Aunque
es evidente
conviene
observar tambien
que los
refinamientos sucesivos se refieren exclusivamente a la variable
incognita dentro de cada elemento ,
siendo el dato interpolado
desde el principio segun las indicaciones del usuario , tal cOMO
' - sucede con la Qeometria •
Si el desarrollo
10
11
La jerarqui~acion inducida en las eatrices A y 8 se trans•ite
inteqra-.nte al sist . .a final
1161 , consigui~ose -trices de
riQide~ anidadas
il<
11
1
131
1
-¡
1 1N 1
K l. ... !K :
1
1
23•
K
1
_:2___:s.:_!
:
K
•
•
•
1 2N
',
K
::S 1 _
o
1
l. ... 'K
1<
~····~K
o
:SN
1
K
L N1
K
Nl
N2
1 1
1
1 X
1 2
,--
~:
1
L
X
1
N J
NN _1
nuevo
F
1
-
u -
u
Ae • Au - Au • - f - r + f •
••• (26)
-r
1 1
1
1
1
1
1
1
Por si fuera poco , cada
r
1 X
•
1 3 1
1-•• "1
1 •
·-·--··..1.----.
l K
K
r x ,
••• ( 2:5)
•
Se define el error •enerQetico' como
1
F
1
2 1
• fe Ae
: : • 11
F
1
1 3 1
1 •
1
1
I
2
1--- 1
•• • (27)
e ,.
que , con funciones jerarqui~adas , se aprol<ima tasi
1
1 F
L
termino
N
l
••• <221
va disminuyendo en
K
u -
u • a
u
u
N
1.+1 i+1
por lo que
N+1
,.
2
importancia respecto al ant~ior ,
lo que ~ace que se debiliten
los acoplamientos y se obtenqa una matriz meJor cond,cionada •
t 1•11
Observase tamb1en que e l anidado y sucesiva evanesc,ncia de las
contribuciones suQiere la utilizacion de metodo• iterativos tras
la primera resolucton del problema , manteniendo coao tanteo
inicial la solucion anterior a cada paso •
Oe las nuevas ecuac¡iones de equilibrio
• -
• f
a
a + K
"'i+l,i+1 "'1+1
"'l+l,J "'j
K
••• (29 '
"'1+1
es decir
4.CRITERIO OE PARADA
SeQun se dijo mas arriba , para que un sistema pueda ser llamado
adaptable se precisa un indicador
de la importancia de l os
terminas a •~adir ast como un estimador del error implícito en la
so lucion •
La labor desarrollada por S~buska y otros
ewiste
todavia en el H.E.C.
y
por ello
procedido a utili~ar el criterio de Peana
continuac:ion •
para vl H.E.F.
no
hasta .ahora •• ha
que se describe a
-1
a
(f
-K
• K
a
"'1+1,i+1 "'i+1 ""i + 1' J "'J
"'1+1
, , , C:SO J
Pero
- (N ,
l
• [N
r
l
i +1
A<u- :, "' a
i +1
i+1
IN i+l AN 1+1
a
K
i +1"" i+1,i+1
... <31>
sivmpre que N
i
N
sean ortoQon.ales en la norma
enerqetica
para
j
••• <231
Utili~anda
<:SO> y <31> en <29> ·~obtiene
se produce un residuo
2
A u -
f
•
••• <241
r
::e~:
•
-1
K
"'i+1 , i+1
2
f
"'i+1
-
K
"'i+1,J
a
l
""J
que •• el indicador de Peano a que haciamos referencia mas arriba.
debido .al error
12
13
aquellos grados de ¡¡·b t
•• p
__.
er ad
roe.,.. a una resolucion
Por •1 momento no •• dispone
P~mita asegurar la prectsicn obtenida
de ntnoun • estimador a POs t ert~ri que
e
:S.EJEI'1PLO
En la fioura aioutente se recoge
f!,
•1 problema del cuarto de elipse
. :=-.._
.f/--- ~
t n·r!
f
r lr¡1
J ',
/;·"
c.
1
q, :0 ' / / "' . . .
O.l¡
!o 3
A
~:o
~
1
1¡
FIGURA b
~
el lado AC , mas el valor del potencial en el centro O de 9C •
La curva llena es la solucion teorica de este problema , mientras
que la de guiones da la solucion de este primer paso
\
La siguiente aproximacion consiste en la suma de un sen
en la zona BC y la colocacion en el punto E (ftg. 6) •
\
1
\
1!1
í.
¡/.
1
\
1
;¡
-Tfo~IC-4,
1 :..--~~o. 5'~3 ~ 1(~
o.sqzs <~e..c 11S
_
-o.
lo"!<; v.. .. ~
L
1
FIGURA :S
croquizado en 1 a,
La Prim~a pasada corresponde
•n los lados AB y Ae y en una
;
en 8 y
- ----- -- - -
e
proscr ibe el
J---·
-e
a incognitas con funciones N Y N
~
1
2
N para en Be puesto que el valor
u~
r
de las N lineales •
Observese que las variables son :S
post~ior a O ' el flujo en 8 en •1
7
, como
b. CONCLUSIONES
La idea de jerarquias de funciones de interpolacion permite
discretizar el contorno en elementos naturales de acuerdo con las
discontinuidades previsibles en las variables del problema •
\\1
B
solucion , que
2n ~
El problema •• ha resuelto aai con solo ó incognitas , mientras
que una aproxi.-c:ion comparable exige 12 elementos lineales •
\\,,
_l
/A
La linea de punto y raya indica la nueva
puede apreciarse , es excelente •
\\\\
L..
... o.<
• O
B
A
' los dos fluJos anterior Y
lado AB • el fluJo en e en
'
-~
....
Se puede mejorar de una forma independiente y a u tomatica la
aproximac:ion tanto en diferentes elementos como en las variables
esenciales y naturales del problema •
Se puede reduci r
el calculo de inteorales ( la
del H.E.e.> al minimo imprescindible •
parte mas costosa
Se produce un mejor condicionamiento d e la matrit
los acoplamientos sucesivos •
y se debilitan
Toda la informacion precisa es aprovechada al maKimo al pasar' de
una aproximac:ion a la siouiente ,
lo que facilita el uso de
soluciones iterativas •
14
15
7.REFE~ENCIAS.
1.Ztenak~ewicz
J.s. C1""70> 1
T
IUTAM l..iene
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•
oC
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