Matemáticas 3. Versión completa.

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PRESENTACIÓN
Esta Guía interactiva ha sido elaborada con la intención de apoyarte en el aprendizaje de
la asignatura de Matemáticas de Primer. Trabajar en ella contribuirá a que desarrolles un
pensamiento analítico y de autoevaluación respecto de aquellos conceptos, habilidades o
procedimientos en los que requieres mayor apoyo.
La Guía cuenta con cincuenta preguntas de opción múltiple, cada opción de respuesta
está acompañada por una retroalimentación que te permitirá saber si tu elección fue
acertada o si necesitas corregirla. Esta información te servirá para que pongas en práctica
tus conocimientos, habilidades y procedimientos del contenido que se aborda en cada
pregunta.
Para ampliar las posibilidades de estudio de la materia, podrás consultar y trabajar con
diversos recursos multimedia disponibles en el CD que contiene la versión electrónica de
la Guía.
Esperamos que la resolución de esta Guía constituya para ti una oportunidad más de
aprendizaje.
1
ÍNDICE
INSTRUCCIONES…………………………………………………………………….3
PARA EL MAESTRO…………………………..………………………………….... 4
PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES
•
BLOQUE I …………………………………………………………………….… 5
Preguntas 1 a la 11
Sugerencias didácticas
•
BLOQUE II ……………………………………………………………………... 29
Preguntas 12 a la 21
Sugerencias didácticas
•
BLOQUE III ………………………………………………………….…………. 52
Preguntas 22 a la 32
Sugerencias didácticas
•
BLOQUE IV …………………………………………………………….………. 86
Preguntas 33 a la 44
Sugerencias didácticas
•
BLOQUE V ……………………………………………………………..…….. 113
Preguntas 45 a la 50
Sugerencias didácticas
REGISTRO DE RESPUESTAS………………………………………….……….. 125
CLAVE DE RESPUESTAS………………………………………….…….........…126
CRÉDITOS ………………………………………………………….……….…….. 128
2
INSTRUCCIONES
Antes de comenzar a resolver la Guía, atiende las siguientes indicaciones.
1. Lee con atención cada pregunta y las opciones de respuesta que te ofrece.
2. Antes de seleccionar una opción, lee las retroalimentaciones que se proporcionan y realiza
lo que se pide, esta acción te permitirá saber cuál es la opción correcta.
3. Para registrar la opción elegida, utiliza la hoja de Registro de respuestas ubicada al final
de esta Guía.
4. Una vez que hayas respondido las preguntas con las que decidiste trabajar, consulta la
Clave de respuestas y, de acuerdo con tus aciertos y errores, identifica cuáles son los
contenidos que dominas y en cuáles necesitas trabajar más.
5. Podrás ampliar el estudio de los contenidos que se abordan en esta Guía, trabajando con
diversos recursos multimedia como textos, videos e interactivos; éstos te permitirán
reforzar, practicar o comprobar tus conocimientos y habilidades referidas a la asignatura.
Para acceder a ellos, consulta el apartado Índice de Recursos del disco que contiene la
versión electrónica de la Guía.
3
PARA EL MAESTRO
La GIS de Español y Matemáticas, constituyen un apoyo a la enseñanza y el
aprendizaje, algunos de sus propósitos son:
• Incentivar una nueva forma de responder preguntas de opción múltiple.
Responder a exámenes estandarizados con preguntas de opción múltiple es una
práctica cotidiana en las aulas. La guía pretende que los estudiantes aprendan a
ser reflexivos ante este tipo de instrumentos, planteando reactivos que van más allá
de la recuperación memorística de contenidos declarativos.
• Estimular el pensamiento analítico y metacognitivo.
Las retroalimentaciones propician que los estudiantes reflexionen, analicen, infieran
o contrasten lo que saben de la opción elegida. Esto permite identificar fortalezas,
deficiencias y establecer metas a cumplir.
• Fortalecer la enseñanza de los contenidos curriculares.
Los resultados que el grupo obtenga con la resolución de la GIS, puede ser un
insumo para identificar aquellos contenidos que representen mayor dificultad para
los alumnos. Las sugerencias didácticas que se incluyen en cada reactivo buscan
ampliar las opciones de intervención y enseñanza.
• Propiciar contextos y prácticas socioeducativas.
El trabajo con Español y Matemáticas con apoyo de la GIS, facilita —en el interior
del aula— el trabajo colaborativo; los alumnos pueden reflexionar y analizar las
opciones compartir sus logros y apoyarse para resolver de manera conjunta las
diversas situaciones planteadas en las preguntas, las retroalimentaciones y los
recursos multimedia.
4
PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES
BLOQUE I
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
1. Elige la opción que indica el resultado de realizar la operación (x + 3 )
2
a) x + 6 x + 9
b) x 2 + 6 x + 9
• Observa la siguiente figura:
• En tu cuaderno copia y responde las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es el área del cuadrado mayor, la del cuadrado menor y la del rectángulo?
Escribe el área de la figura (cuadrado de lados x + 3 ) como suma de las áreas de las
otras figuras.
5
c) x + 9
• Copia la siguiente tabla en tu cuaderno. Sustituye la x en cada una de las
expresiones por el valor indicado.
¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo con ambas expresiones?
d) x 2 + 9
•¿Cuál es el área del siguiente cuadrado (de lados x + 3 )?
• ¿Cuál es el área del cuadrado mayor?
• ¿Cuál es el área del cuadrado menor?
• Escribe el área del cuadrado grande como suma de las áreas de las otras figuras.
2. Elige la opción que indica el resultado de realizar la operación ( x + 3)( x − 2) .
a) x 2 − x − 6
• ¿Cuál de las siguientes opciones es la simplificación correcta de − 2 x + 3 x ?
− 6x
x
−x
6
b) x 2 − 6
• La figura representa la operación ( x + 3)( x − 2) .
• ¿Cuál es el área del rectángulo A?
• ¿Cuál es el área del rectángulo B?
• Escribe la suma del área del rectángulo A con el área del rectángulo B. ¿Qué
expresión te queda? ¿Se puede simplificar esa expresión?
c) x 2 + 1
• Copia la siguiente tabla en tu cuaderno. Sustituye la x en cada una de las
expresiones por el valor indicado.
• ¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo con ambas expresiones?
• Con base en tu respuesta, puedes asegurar que la expresión ( x + 3)( x − 2) es igual
o diferente que la expresión x 2 + 1 .
d) x 2 + x − 6
• La operación ( x + 3)( x − 2) , indica:
i) La suma de x ( x − 2) con 3( x − 2) , es decir, x ( x − 2) + 3( x − 2)
ii) La resta de ( x )( x ) con (3)(2) , es decir, x 2 − 6
iii) La suma de ( x )( x ) con 3 − 2 , es decir, x 2 + 1
iv) La resta de x ( x − 2) con 3( x − 2) , es decir, x ( x − 2) − 3( x − 2)
7
3. Elige la opción que relaciona correctamente cada uno de los polinomios de segundo
grado con el tipo de factorización que le corresponde, a y b representan números
positivos.
a) A-I, B-III, C-II
•Sustituye por el valor indicado para x en cada una de las expresiones.
x2 + 15x – 100
(x – 5)( x + 20)
x
(x + 5)( x – 20)
2
1 (1) + 15(1) – 100 =
(1–5)(1+20) =
(1+5)(1–20) =
2
6
0
• ¿Cuál es la factorización de x 2 + 15 x − 100 ? ( x − 5)( x + 20 ) o ( x + 5)( x − 20)
• ¿Cuál es la factorización de x 2 − 100 y de x 2 − 10 x + 25 ?
• En cada caso haz una tabla como la anterior para verificar tu respuesta.
b) A-IV, B-II, C-I
• ¿De qué forma es cada uno de los siguientes productos de binomios? (I, II, III o IV)
• ( x − 5) 2 = ( x − 5)( x − 5)
• ( x − 5)( x + 5)
• ( x − 5)( x − 20)
• Desarrolla las multiplicaciones de los tres binomios. ¿Cómo son las expresiones
algebraicas que quedan? Compáralas con los polinomios A, B y C.
c) A-I, B-IV, C-II
• Si la factorización de x 2 − 10 x + 25 es de la forma ( x − a) 2
• ¿Cuál es el valor de a para este caso?
• ¿Cuál es la factorización de x 2 + 15 x − 100 ?
( x − 5)( x + 20) o ( x + 5)( x − 20)
• ¿Qué pasa con el signo del término independiente (100) si la factorización fuera de
la forma ( x − a )( x − b ) , con a y b positivos
• ¿Cuál es la factorización de x 2 − 100 ?
• Desarrolla las siguientes multiplicaciones de binomios:
ƒ ( x − 5)( x + 20) =
ƒ ( x − 5)( x − 20) =
ƒ ( x + 5)( x − 20) =
• ¿Cuál es la factorización correcta de x 2 + 15 x − 100 ?
8
d) A-IV, B-III, C-I
• Sustituye por el valor indicado para x en cada una de las expresiones.
x
1
x2 – 100
(1)2 – 100 =
(x – 10)2
(1–10)2 = (-9)2 =
3
8
0
•
•
•
•
¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo en las dos expresiones?
¿Cuál es la factorización de x 2 − 10 x + 25 ?
¿Cuál es la factorización de x 2 + 15 x − 100 ?
En cada caso haz una tabla como la anterior para verificar tu respuesta.
4. Si en un rectángulo su área está expresada por el polinomio 35 x 2 − 20 x . ¿Cuál de las
siguientes opciones muestra la multiplicación de sus lados como una descomposición
de dos factores?
a) 5(7 x − 4)
• ¿Cuál es el resultado al multiplicar 5(7 x ) ? ¿y al multiplicar 5( −4) ?
• Revisa tus respuestas y compáralas con la opción que elegiste.
b) 5 x (7 x − 20)
• Para verificar si el producto 5 x (7 x − 20 ) es igual a 35 x 2 − 20 x copia la tabla en tu
cuaderno y complétala sustituyendo algunos valores para la x .
Valor de x
5x(7x – 20)
35x2 – 20x
-2
-1
0
1
5(1) (7(1)– 20) =
35(12 )- 20(1) =
2
4
5
• ¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo en las dos expresiones?
• ¿Esto qué significa?
9
c) 5 x (7 x − 4)
• Para verificar si el producto 5 x (7 x − 4 ) es igual a 35 x 2 − 20 x copia la tabla en tu
cuaderno y complétala sustituyendo algunos valores para la x .
Valor de x
5x(7x – 4)
35x2 – 20x
-4
-2
0
1
5(1) (7(1)– 4) =
35(12 )- 20(1) =
3
5
• ¿El resultado que se obtiene para cada valor es el mismo en las dos expresiones?
• ¿Esto qué significa?
d) 5 x (7 x + 4)
• Al hacer el producto de 5 x (7 x + 4)
• ¿Cuál es el resultado de la multiplicación 5(7 x ) ? y ¿ 5x ( 4) ?
• ¿Con qué signo queda cada uno de los resultados anteriores?
• ¿El resultado que te dio es igual al binomio 35 x 2 − 20 x ?
Eje: Forma, espacio y medida
5. En la siguiente figura, C es punto medio de los segmentos AE y BC.
¿Qué criterio de congruencia se puede utilizar para afirmar que los triángulos ABC y
CDE son congruentes?
a) Criterio LLL (lado, lado, lado).
• Si C es punto medio de los segmentos AE y BC
• ¿Cómo son los lados AC y CE? ¿Cómo son los lados BC y CD?
• ¿Cómo sabes que AB y DE son iguales?
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b) Criterio ALA (ángulo, lado, ángulo).
• ¿Qué ángulos estás tomando como referencia para concluir que la respuesta es el
criterio de congruencia ALA (ángulo, lado, ángulo)?
• A partir de la información del problema hay manera de justificar que dos parejas de
ángulos correspondientes son iguales.
• ¿Cómo sabes que ∠ e = ∠ a? ¿Cómo sabes que ∠ b= ∠ d?
• ¿Cómo sabes que ∠ c = ∠ c’?
c) Criterio LAL (lado, ángulo, lado).
• ¿Qué ángulo y qué pareja de lados estás tomando como referencia para concluir
que el criterio de congruencia es LAL (lado, ángulo, lado)?
• A partir de los datos que te da el problema se puede concluir que:
AB = CE
Falso Verdadero
¿Por qué?
BC = DC
Falso Verdadero
¿Por qué?
AB = ED
Falso Verdadero
¿Por qué?
• ¿Cómo puedes asegurar que los ángulos c y c’ son iguales?
d) Criterio AAA (ángulo, ángulo, ángulo).
• Observa los siguientes triángulos equiláteros.
• ¿Cómo son sus ángulos? ¿Son iguales los lados correspondientes de los
triángulos?
• Si dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales. ¿Se puede
concluir que, para todos los casos, los triángulos son congruentes?
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6. Las circunferencias C1 y C2 son tangentes en T.
S e traza la recta tangente a la circunferencia C1 por T y la tangente a C2 por T. Una
construcción posible de obtener al seguir las indicaciones es:
eS
¿Cuál de las siguientes construcciones también cumple con las indicaciones?
a)
• Estas circunferencias son tangentes. ¿Cuántos puntos tienen en común?
• ¿Las circunferencias que seleccionaste son tangentes?
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b)
•
•
•
•
¿Cuál es el punto de tangencia entre estas circunferencias?
¿La recta pasa por ese punto de tangencia?
¿Cuál es el punto de tangencia de las circunferencias que seleccionaste?
¿La recta pasa por ese punto de tangencia?
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c)
• ¿Cuántos puntos tienen en común las circunferencias C1 y C2?
• ¿Estas circunferencias son tangentes?
d)
•
•
•
•
¿Son tangentes estas circunferencias?
¿La recta es tangente a la circunferencia mayor?
¿La recta es tangente a la circunferencia menor?
¿Hay puntos en común entre la recta y las circunferencias?
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7. Observa la figura:
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) La distancia de la recta q al centro O de la circunferencia es igual al radio OV.
Observa la figura:
• ¿En cuántos puntos la recta q interseca a la circunferencia?, ¿la recta q es exterior,
tangente o secante a la circunferencia? ¿La recta q es perpendicular al radio OV?
• ¿Por qué?
• En tu cuaderno, traza una figura similar a la que aparece; traza además otras rectas
que pasen por dos puntos de la circunferencia y establece que uno de ellos sea V.
¿Alguna de esas rectas es perpendicular al radio OV?
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b) La recta r es la más cercana al centro O de la circunferencia.
• ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta r y el radio OT?
• Recuerda que la distancia de una recta a un punto es la medida del segmento
perpendicular que va de la recta al punto.
• En tu cuaderno, traza una figura similar a la que aparece y asegúrate de que la
perpendicular a la recta q pase por el punto O. Mide las distancias de q y r al punto O
y compáralas. ¿Cuál está más cercana al punto O?
c) La distancia de la recta s al centro O de la circunferencia es igual a la medida del
segmento OP.
• Recuerda que la distancia de una recta a un punto es la medida del segmento
perpendicular que va de la recta al punto.
• Traza la perpendicular a la recta s que pase por el punto O. Observa la siguiente
imagen:
• Mide la distancia de la recta s al punto O. ¿Su medida es igual a la del segmento
OP?
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d) La recta r es perpendicular al radio OT.
• Observa la imagen siguiente:
• ¿En cuántos puntos la recta r interseca a la circunferencia? ¿La recta r es exterior,
tangente o secante a la circunferencia? ¿Por qué?
• ¿Cuánto miden los ángulos formados por la recta r y el segmento OT?
• Si suponemos que el radio de la circunferencia de centro O mide 3 cm, ¿a qué
distancia se encuentra la recta r del centro de la circunferencia?
8. Observa la siguiente imagen:
¿Cuánto mide el ángulo RPS?
17
a) 35°
• En la imagen se observa el ∠ SOR sombreado.
• ¿Cuánto es ∠ SOR + 220°? ¿Cuánto mide ∠ SOR?
• ¿El ángulo inscrito RPS subtiende el mismo arco que el ángulo central SOR o que el
ángulo central que mide 220°?
b) 70°
• ¿El ángulo RPS es un ángulo central o es un ángulo inscrito?
• ¿Cuál es la relación entre la medida de un ángulo inscrito y un ángulo central cuando
subtienden el mismo arco?
c) 110°
• Recorre con tu dedo el arco que subtiende el ∠ RPS.
• Ahora, recorre con tu dedo el arco que subtiende el ángulo central que mide 220°.
¿Es el mismo arco?
d) 140°
• ¿Cuál es el ángulo central que subtiende el mismo arco que el ∠ RPS?
• ¿Cuánto mide ese ángulo central?
• ¿Cuál es la relación entre la medida de un ángulo inscrito y un ángulo central
cuando subtienden el mismo arco?
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9. El hexágono regular mide 3 cm de lado. El punto P se mueve describiendo una
circunferencia con centro en el vértice O que pasa por otros dos vértices del hexágono.
Considera la parte de la circunferencia que es externa al hexágono regular, ¿cuánto mide su
perímetro?
a) 2π
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia?
• ¿Cuánto mide cada ángulo interior del hexágono?
• ¿Qué parte de la circunferencia está dentro del hexágono?
• ¿Qué parte de la circunferencia está fuera del hexágono?
b) 3π
• ¿Cuánto mide el perímetro de una circunferencia de radio 3 cm?
• ¿Qué parte del perímetro de la circunferencia está fuera del hexágono regular?
• La tercera parte • La mitad
• Dos terceras partes
• Tres cuartas partes
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c) 4π
• ¿Cuánto mide el ángulo central que es externo al hexágono?
• ¿Qué parte del perímetro de la circunferencia está fuera del hexágono regular?
d) 6π
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia de radio r?
πr
2πr
πr 2
• ¿El perímetro que se busca es mayor o menor que el perímetro de la circunferencia?
10. Observa el dibujo de una fuente y sus dimensiones.
¿Cuánto mide el área de la cara superior de la fuente?
a) 12.56 m²
• ¿Cuánto mide el área donde se deposita el agua en la fuente?
• ¿Cuál es el área que se quiere calcular, la que esta sombreada o la de la corona?
• ¿Cómo se calcula el área de la cara superior de la fuente?
20
b) 15.70 m²
• La cara superior de la fuente se puede representar como la sección entre dos
circunferencias concéntricas (el área sombreada).
• ¿Cómo se le llama a esa sección?
• ¿Cuál es la fórmula con la que se calcula el área de esa sección?
πR 2 + πr 2
2πR − 2πr
πR 2 − πr 2
2πR + 2πr
c) 18.84 m²
• ¿Cuánto mide el contorno de la fuente?
• ¿Qué tipo de unidades se utilizan para medir el contorno?
d) 28.26 m²
• Imagina que esta fuente se encuentra en un patio, ¿cómo calculas el área que
ocupa toda la fuente?
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Eje: Manejo de la información
11. La siguiente gráfica representa lo que ocurrió en una parte de una carrera de tortugas.
¿Cuál tortuga fue la más veloz?
a) La tortuga W
• De acuerdo con la gráfica, en el tiempo 0 la tortuga W ya había avanzado 3
centímetros.
• ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que va de 0 a 7 segundos? La
respuesta no es 5 centímetros.
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga W?
• Fíjate en la gráfica de la tortuga X. ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que
va de 0 a 5 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga X?
• ¿Cuál tortuga fue más veloz, la W o la X?
b) La tortuga X
• ¿Cuántos centímetros avanzó la tortuga X en el intervalo que va de 0 a 5 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga X?
• Fíjate en la gráfica de la tortuga Y. ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que
va de 0 a 3 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga Y?
• ¿Cuál tortuga fue más veloz, la X o la Y?
22
c) La tortuga Y
• La gráfica con mayor pendiente, es decir, la que tiene una mayor inclinación hacia el
eje de las ordenadas, representa en este caso, a la tortuga más veloz.
• Observa las gráficas de las tortugas X y Y. ¿Cuál tiene una pendiente mayor, es
decir, cuál está más inclinada hacia el eje de las ordenadas?
d) La tortuga Z
• Según la gráfica, durante los primeros 4 segundos la tortuga Z no avanzó, y a partir
de este tiempo inició su desplazamiento.
• ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que va de 4 a 8 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga Z?
• Fíjate en la gráfica de la tortuga Y. ¿Cuántos centímetros avanzó en el intervalo que
va de 0 a 3 segundos?
• ¿Cuántos centímetros por segundo avanzó la tortuga Y?
• ¿Cuál tortuga fue más veloz, la Z o la Y?
23
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje
del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para
enriquecer su labor en el aula.
Bloque I
Preguntas
Sugerencias didácticas
Eje
El cuadrado de un binomio.
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico.
1
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál opción es la correcta,
puede hacer notar que la operación que se indica es un producto de dos
binomios, esto es:
(x + 3)² = (x + 3)(x + 3).
Uno de los errores más frecuentes que tienen los alumnos es confundir
sumas con productos. Para ello, es importante que identifiquen que la
operación (x + 3)(x + 3) indica, a su vez, la suma de x(x + 3) con 3(x + 3).
Puede recordar con algunos ejemplos este tipo de operaciones.
A manera de cierre, puede pedir a los alumnos que realicen otros
ejemplos parecidos.
Producto de binomios.
2
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál opción es la correcta,
puede hacer notar que la operación indicada se desarrolla como
(x + 3)(x – 2) = x(x – 2) + 3(x – 2).
Uno de los errores más frecuentes que cometen los alumnos es
confundir los signos y simplificar los términos semejantes.
Es importante que los alumnos simplifiquen correctamente la expresión 2x + 3x = x. Puede recordar con algunos ejemplos este tipo de
simplificaciones.
Como cierre puede pedir a los alumnos que realicen otros ejemplos
parecidos.
Factorización de polinomios de segundo grado.
3
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cuál de las opciones es la correcta, puede retomar lo aprendido con los dos
reactivos anteriores y hacer notar que el proceso que aquí se pide es el
camino inverso de los otros ejercicios. Es decir, en lugar de desarrollar un
producto de dos binomios, lo que se pide es factorizar expresiones
algebraicas del tipo:
x² + 2ax + a²; ax² + bx;
x² + bx + c;
x² – a²
En los ejercicios anteriores se partió del producto de binomios para
llegar a expresiones de este tipo. Pida a los alumnos qué identifiquen con
cuáles productos se obtiene cada tipo de expresión.
Para cada caso discuta con los alumnos de dónde sale cada término
cuando se hace el producto de los binomios.
24
Factorizar requiere mucha práctica así que, como cierre, puede realizar
junto con los alumnos ejercicios con ecuaciones cuadráticas para obtener
distintos tipos de factorizaciones.
Problemas de Factorización.
4
Forma,
espacio y
medida
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cuál de las opciones es la correcta, puede hacer notar que la idea de
factorizar sugiere básicamente la idea de encontrar un factor común. En este
caso, en la expresión algebraica 35x² – 20x se tiene que la x aparece en
ambos términos y además ambos coeficientes son múltiplos de 5, por lo que
un factor común a ambos términos es el 5x. Entonces el problema se reduce
a encontrar los números que hay que multiplicar por 5x y que nos den por un
lado 35x², y por el otro 20x.
También como un recurso adicional, para resolver este tipo de pruebas,
se pueden igualar ambas expresiones y sustituir los mismos valores en cada
una de ellas para ver si los resultados coinciden.
Se puede pedir al estudiante que para revisar que su opción haya sido la
correcta realice la operación que se indica en cada uno de los incisos y la
coteje con la del enunciado del problema. Si es necesario haga notar que
esta operación se desarrolla como:
(a)(x – b) = (a)(x) – (a)(b).
En este caso:
(5x)(7x – 4) = (5x)(7x) – (5x)(4).
Congruencia de triángulos.
5
Es común que en este tipo de ejercicios, los alumnos respondan con base en
lo que ven en las figuras y cuando dos figuras son congruentes es fácil
concluir que los lados son iguales y los ángulos son iguales “por que así se
ven”. De esta manera tal vez argumenten que los lados de los triángulos son
iguales.
La idea es que los alumnos identifiquen los datos que aportan las
condiciones del problema como qué elementos de los triángulos puede
comparar entre sí. No por lo que ve en el dibujo, sino por lo que se tiene la
certeza que es igual, además haga notar que no se conocen las medidas de
ningún elemento (lados o ángulos) de las figuras.
Primero hay que detectar qué parejas de lados y ángulos son los
correspondientes para saber qué se va a comparar con qué. Luego, conviene
que se revise qué información se tiene acerca de cada pareja.
En el caso de este problema la solución esta dada por el criterio de
congruencia LAL. Hay dos datos cruciales para resolver el problema: El
primero es que C es punto medio, por lo tanto divide al segmento den dos
partes iguales. Puede hacer preguntas en este sentido para que los alumnos
lo descubran. El segundo está en la imagen. Puede recordar lo que saben de
ángulos y ayudar a que vean que hay ángulos opuestos por el vértice.
¿Cómo son los segmentos si C es punto medio del segmento?
¿Cómo son las parejas de ángulos que se forman de cada lado del
vértice?
25
Rectas y circunferencias.
6
Si sus alumnos tuvieron dificultades, revisen la construcción que se presenta
en la pregunta. Hágales notar que las rectas tangentes a las circunferencias
C1 y C2, respectivamente, son la misma recta. La recta es perpendicular al
radio O1T por ser tangente a C1 y, al mismo tiempo, es perpendicular al radio
O2T ya que los tres puntos, O1, T y O2 son colineales. Además, las
circunferencias son tangentes en el punto T. Posteriormente, puede pedirles
que analicen las construcciones que aparecen en las opciones de respuesta y
que traten de identificar cuál cumple con las condiciones señaladas.
Los alumnos pueden elegir la opción a) porque la recta es tangente alas
circunferencias, pero esas circunferencias son ajenas.
En la opción b), las circunferencias son tangentes al punto T y la recta
es tangente a las dos circunferencias, pero no pasa por el punto T.
En la opción c), las circunferencias son secantes y la recta trazada es
tangente a una circunferencia y secante a la otra.
En la opción d), se cumplen las tres características: las circunferencias
son tangentes en el punto T, la recta es tangente a ambas circunferencias y
pasa por el punto T.
Rectas tangentes a una circunferencia.
7
8
Este problema implica la realización de una tarea de conceptualización, ya
que los alumnos deben utilizar conceptos como recta secante, recta tangente
y recta exterior a una circunferencia, así como aplicar algunas de sus
propiedades.
Los alumnos pueden elegir la opción a) si no recuerdan que la distancia
de una recta secante al centro de la circunferencia es menor que la longitud
del radio. Probablemente, debido a que en la imagen aparecen los radios
formados con los puntos U y V en que toca la recta q a la circunferencia
crean que esa es la medida de la distancia de esa recta al centro O.
Aquellos alumnos que seleccionaron la opción b) quizá confunden lo que
sucede con la distancia de una recta secante al centro de la circunferencia y
la distancia de una recta tangente al centro. Puede preguntarles cuántos
puntos tienen en común cada recta con la circunferencia y cuáles de éstos
son los puntos de tangencia correspondientes. Una propiedad que tienen las
rectas tangentes a una circunferencia es que la distancia entre el centro de la
circunferencia y la recta es igual a la longitud del radio.
Posiblemente, los alumnos eligieron la opción c) debido a que la recta y
el segmento se unen en un mismo punto (P) que está fuera de la
circunferencia. Antes de que revisen la retroalimentación correspondiente,
pregúnteles sus argumentos para elegir dicha respuesta.
La recta es exterior a la circunferencia y, por lo tanto, la distancia a la que se
encuentra del centro es mayor que el radio.
Ángulo inscrito y ángulo central en una circunferencia.
En este reactivo los alumnos deben utilizar la relación entre un ángulo inscrito
y un ángulo central que subtienden un mismo arco para determinar la medida
del ángulo RPS.
26
9
Medida de arcos.
Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la
situación inicial, puede abrir el espacio `para una discusión en la que pida que
dibujen la figura que se forma al mover el punto P.
Los alumnos pueden elegir la opción a) si erróneamente utilizan la
fórmula π r para calcular el perímetro de la circunferencia o porque calculan
la parte de la circunferencia que es interior al hexágono.
En el caso de los alumnos que elijan la opción b), pida que expliquen
sus argumentos para dar esa respuesta. Tal vez, algunos contesten que la
parte sombreada es aproximadamente
3
del total. También es posible que
4
hayan medido el área de la circunferencia y no su perímetro y que luego
calculen la medida de la parte de la circunferencia que esté por dentro del
hexágono.
Algunos alumnos seleccionan la opción d) porque calculan el área de la
circunferencia y no su perímetro. Si no recuerdan la fórmula para calcular el
perímetro puede pedirles que la busquen o que señalen en dónde podrían
buscarla.
Si lo considera conveniente, puede pedirle a sus alumnos que sustituyan
el valor de π por alguna aproximación (3.14 o 3.1416) y que obtengan el
perímetro en centímetros.
Área de la corona.
10
Manejo de la
información
Para contestar correctamente este reactivo los alumnos deben saber que el
área de una corona circular es la sección que se forma entre dos
circunferencias concéntricas.
Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión
de la situación inicial, puede abrir el espacio para una discusión en la que les
pregunté, por ejemplo, cuál es la cara lateral de la fuente o cuánto mide su
profundidad. Algunos alumnos pueden considerar que la cara superior de la
fuente es la parte en la que se ve el agua y elegir como respuesta la opción
a). La opción c) corresponde al valor del perímetro de la circunferencia,
aunque la unidad de m², no corresponde.
Los alumnos que eligen la opción d) pueden creer que es la respuesta
correcta porque están considerando toda el área que ocupa la fuente.
Comparar razones de cambio.
11
La razón de cambio es un concepto útil al estudiar relaciones funcionales
lineales porque permite analizar el cambio relativo de una variable con
respecto a otra.
Aunque la forma de obtener la razón de cambio es relativamente
sencilla, comprender el concepto y vincularlo con la inclinación de la recta
puede ser difícil para los alumnos. Para el caso del problema que se
presenta, la razón de cambio de cada recta representa el número de
centímetros que avanza una tortuga en cierto intervalo de tiempo, es decir,
representa su rapidez.
Analicen la recta que representa el desplazamiento de cada tortuga.
27
Para ello, enfatice lo siguiente:
No todas las tortugas empezaron la carrera en el punto (0, 0), lo cual no
tiene relación directa con la razón de cambio.
A una mayor razón de cambio, mayor inclinación en la recta (con
respecto al eje y).
La forma de obtener la razón de cambio entre dos puntos (x, y) y (x', y')
que pertenecen a una recta, es:
Las razones de cambio asociadas al movimiento de cada tortuga son:
W =
2
2
1
1
, X = , Y = , Z=
7
5
3
4
Esto significa que la tortuga W avanzó 2 centímetros en 7 segundos; la
tortuga X avanzó 2 centímetros en 5 segundos, etc. Entre las tortugas W y X
la más veloz es la X porque avanzó los mismos 2 centímetros que la W pero
en menos tiempo. Y entre las tortugas Y y Z la más veloz es la Y porque
avanzó 1 centímetro en 3 segundos, mientras que la Z avanzó 1 centímetro
en 4 segundos.
28
BLOQUE II
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
12. El área del rectángulo es 48 cm².
¿Con cuál de las siguientes ecuaciones se encuentra la medida de su altura?
a) 2 x + 2 = 48
• ¿Cuál es la expresión que representa la altura del rectángulo del problema?
• ¿Cuál es la expresión que representa la base del mismo rectángulo?
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo cualquiera?
• Escribe la expresión para calcular el área del rectángulo del problema.
b) x 2 + 2 x = 48
• Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente. Evalúa la expresión x 2 + 2 x para
x = 4, 5, 6 y 7.
• ¿Hay algún valor de x para el cual la expresión evaluada sea igual a 48?
• ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo?
29
c) 2 x 2 = 48
• Se sabe que la altura del rectángulo del problema es igual a 6 cm.
• En tu cuaderno, evalúa la expresión 2 x para x = 6 x.
• Ahora evalúa la expresión x ( x + 2) para x = 6 .
• ¿En alguna de las evaluaciones se obtiene un resultado igual a 48?
• ¿Cuál es la ecuación que representa correctamente al problema?
d) x 2 + 2 = 48
• El área del rectángulo del problema es igual a 48 cm² y su base mide 2 cm más que
su altura.
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla, complétala con los valores que faltan y
calcula el área de cada rectángulo:
• ¿Cuál es el valor de la altura x con el que se obtiene un área de 48 cm²?
• Sustituye este valor en la ecuación x 2 + 2 = 48 . ¿Obtuviste una igualdad verdadera?
Explica si la ecuación representa correctamente al problema.
30
13. Identifica el problema que se puede resolver con la ecuación: x 2 − 21 = 15
a) El cuadrado de un número menos 21 es igual a 15.
• Si representamos con x un número cualquiera, ¿cómo se escribe “el cuadrado de un
número”?
• Usa la expresión que obtuviste y responde: ¿cómo se escribe “el cuadrado de un
número menos 21"?
• Finalmente, ¿cómo se escribe “el cuadrado de un número menos 21 es igual a 15”?
• Compara la expresión que obtuviste con la ecuación del problema.
b) Un número menos 21, y esto elevado al cuadrado, es igual a 15.
• En la ecuación x 2 − 21 = 15 , ¿cuál de las siguientes operaciones se hace primero?
a) Elevar x al cuadrado.
b) Restar 21 a x .
• De acuerdo con lo anterior, escribe un problema que represente a esta ecuación.
Ayúdate de las siguientes frases, ordénalas y forma el enunciado del problema.
menos 21
un número
es igual a 15
elevado al cuadrado
c) El doble de un número menos 21 es igual a 15.
• Representa con una ecuación el siguiente problema: “el doble de un número es igual
a 16. ¿Cuál es ese número?".
• Ahora representa con una ecuación el siguiente problema: “el cuadrado de un número
es igual a 16. ¿Cuál es ese número?".
• De acuerdo con tus resultados, ¿es correcto representar "el doble de un número” con
la expresión x 2 ?
d) Resto 21 a un número, lo elevo al cuadrado y obtengo 15.
• Una de las dos soluciones de la ecuación x 2 − 21 = 15 es x = 6 .
• Verifica si este valor también es solución del problema de la opción d). Copia la
siguiente tabla y realiza las operaciones como se indica:
Problema:
“Resto 21 a un número…
… lo elevo al cuadrado…
…y obtengo 15”
Operaciones:
(Sustituir x = 6 y realizar la resta)
x – 21 = ______________
(Elevar al cuadrado el resultado anterior)
( ______ )2 = _______
(Verificar si el resultado es igual a 15?)
¿_______ = 15?
31
14. En la columna izquierda se presentan un par problemas y en la columna derecha
varias ecuaciones:
Elige la opción que relaciona correctamente cada problema con la ecuación que lo
representa.
a) I - C, II - A
• Si representamos con x un número cualquiera, ¿cómo se escribe “el cubo del doble
de un número”?
• Usa la expresión que obtuviste y responde: ¿cómo se escribe “el cubo del doble de
un número menos 19"?
• Finalmente, ¿cómo se escribe “el cubo del doble de un número menos 19 es igual a
8”?
• Compara la expresión que obtuviste con la ecuación A).
b) I - D, II – B
• En la ecuación D) 2 x 3 − 19 = 8 , ¿cuál de las siguientes operaciones se debe realizar
primero? (recuerda la jerarquía de las operaciones).
Elevar x al cubo.
Multiplicar x por 2.
Restar 19 a x.
• ¿Cuál frase representa correctamente al término 2x 3 ?
El doble de un número elevado al cubo.
El cubo del doble de un número.
• Con base en lo anterior, escribe un problema que represente a la ecuación:
2 x 3 − 19 = 8 .
32
c) I - C, II - B
• Copia y realiza el siguiente procedimiento para verificar que x = 2.5 es una solución
del problema I):
“Al cubo del doble de un número… ______________
…le resté 19…
______________
…y al final obtuve 8”.
______________
• Ahora, verifica si x = 2.5 es solución de la ecuación (2 x ) 3 − 19 = 8 . (Sustituye el valor
de x en la ecuación y efectúa las operaciones, si al final obtienes una igualdad
verdadera entonces es solución).
• Repite el procedimiento anterior con el problema II) y la ecuación B).
d) I - C, II – D
• Plantea una ecuación para resolver el problema II). Copia y realiza los pasos que se
plantean a continuación:
“Al doble de un número…
______________
…le resté 19…
______________
… y el resultado lo elevé al cubo... ______________
…Al final obtuve 8”.
______________
• Compara esta ecuación con la ecuación D).
15. El área del siguiente paralelogramo es de 63 u2 . Señala la opción que representa una
factorización correcta de la ecuación cuadrática que permite encontrar el valor de la
altura.
a) ( x + 21)( x − 3) = 0
• ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un paralelogramo?
• ¿Qué representa x?
• ¿Cuál es la expresión que representa la medida de la base del rectángulo?
• Selecciona la ecuación que expresa el área del paralelogramo.
33
• A partir de la ecuación que elegiste obtén la medida de la altura y de la base del
paralelogramo. ¿Se cumple que el área del paralelogramo es de 63 u2 ?
b) ( x + 21)( x + 3) = 0
• ¿Es cierto que la ecuación cuadrática x 2 + 18 x = 63 representa el área del
paralelogramo?, ¿por qué?
• ¿Cuál es la forma general de esta ecuación?
• Desarrolla el producto de los factores que elegiste y compáralos con la forma general
de la ecuación anterior.
c) ( x )( x + 18) = 0
• ¿Qué representa x?
• Para qué valores de x se cumple la siguiente igualdad: ( x )( x + 18) = 0
• Con los valores qué obtuviste ¿cuánto mide la altura y cuánto mide la base del
paralelogramo? ¿Se cumple que el área del paralelogramo es de 63 u2 ?
d) (x – 21) (x + 3) = 0
• ¿Cuál es la ecuación que expresa el área del paralelogramo?
• ¿Cuál es la forma general de esta ecuación?
• Desarrolla el producto de los factores que elegiste y compáralos con la forma general
de la ecuación anterior.
34
16. Benito quiere utilizar el siguiente esquema para hacer una caja de cartón que mida 8
cm de largo por 6 cm de ancho, con un pliego que tiene un área de 168 cm². Al pliego se
le recortan en las esquinas cuatro cuadrados iguales.
Benito plantea la siguiente ecuación para resolver el problema (x + 6)(x + 8) = 168.
Encuentra la factorización y soluciones de la ecuación cuadrática.
a)
Factorización
Soluciones
( x + 6)( x − 20) = 0
x 1 = −6
x 2 = 20
• De acuerdo con la solución que elegiste ¿cuántos centímetros mide cada lado de
los cuadrados que se van a recortar?
• Sustituye las soluciones en la ecuación planteada por Benito:
( x + 6)( x + 8) = 168
b)
Factorización
Soluciones
( x − 6)( x + 20) = 0
x 1 = −6
x 2 = 20
• Sustituye los valores de x que obtuviste en la ecuación original y en la factorización.
• ¿Se cumple la igualdad para ambos casos?
35
c)
Factorización
Soluciones
( x + 6)( x − 20) = 0
x1 = 6
x 2 = −20
• Pasa a su forma general la ecuación planteada por Benito.
• Desarrolla la ecuación ( x + 6)( x − 20) = 0
• ¿Son iguales? ¿En qué cambian?
d)
Factorización
( x − 6)( x + 20) = 0
Soluciones
x1 = 6
x 2 = −20
• Sustituye los valores de x en la ecuación que planteó Benito
• ¿Cuántos centímetros mide cada lado de los cuadrados que se van a recortar?
• ¿Ambas soluciones de la ecuación sirven para resolver el problema?
17. En el siguiente procedimiento se ha resuelto de manera incorrecta la ecuación
cuadrática 19 x 2 − 18 x − 18 = 10 x 2 − 9 . Indica en qué opción se señalan los pasos en los
que se cometieron errores.
36
a) II, V
• En el paso II, ¿con qué signo pasa el -9 del otro lado de la igualdad?
• Si el paso V es un error, ¿cuál debe ser la factorización correcta?
• Verifica en tu cuaderno las soluciones (1 y -3), al sustituir la x por estos valores en la
primera ecuación: 19 x 2 − 18 x − 18 = 10 x 2 − 9 .
• Resuelve la ecuación en tu cuaderno y verifica las soluciones que obtengas.
b) II, IV
• En el paso II, ¿con qué signo pasa el -9 del otro lado de la igualdad?
• En el paso IV, ¿cómo se obtuvo la x 2 ?
• ¿Qué operación se realizó para pasar del − 18 x al − 2 x ? ¿Y del − 27 al − 3 ?
• ¿Qué operación se realizó en la ecuación del paso III para llegar a la igualdad del
paso IV?
c) V, VI
• ¿Desarrolla la expresión ( x + 3)( x − 1) . ¿Qué expresión algebraica obtienes?
• Si en el paso VI se cometió un error las soluciones que se presentan no deben
satisfacer la factorización planteada. Sustituye la x por los dos valores que se plantean
para comprobar si la igualdad ( x + 3)( x − 1) = 0 se cumple.
• ¿Ambos pasos (V y VI) son incorrectos?
• Resuelve la ecuación en tu cuaderno y verifica las soluciones que obtengas.
d) I, IV
• En el paso I, ¿con qué signo pasa el término 10x 2 al otro lado de la igualdad?
• Copia la tabla en tu cuaderno y evalúa las expresiones que aparecen en los pasos III
y IV, para diferentes valores de x .
37
Eje: Forma, espacio y medida
18. Determina en cuál de las opciones los polígonos son semejantes.
a)
• ¿Cómo son las medidas de los ángulos del figura A respecto a los de la figura B?
• La siguiente tabla muestra una relación entre las medidas de los lados de la figura A
y la figura B.
Medida de los lados
de la figura A
1 cm
2 cm
1 cm
2 cm
Medida de los lados
correspondientes en
la figura B
2 cm
3 cm
2 cm
3 cm
• Explica si la tabla anterior está asociada a cantidades directamente proporcionales.
• ¿Hay una constante de proporcionalidad?
b)
• ¿Cuándo dos figuras son semejantes? ¿Los ángulos en la figura A son iguales a los
ángulos correspondientes en la figura B?
38
c)
• ¿Cómo son las medidas de los ángulos de la figura A respecto a los de la figura B?
• La siguiente tabla muestra una relación entre las medidas de los lados de la figura A
y la figura B.
Medida de los lados
de la figura A
0.5cm
1cm
1.5cm
Medida de los lados
correspondientes en la
figura B
1cm
2cm
3cm
• Explica por qué la tabla anterior está asociada a cantidades directamente
proporcionales.
• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
d)
• En la figura A hay un ángulo que mide 90°. ¿Hay un ángulo que en la figura B mida
90°?
39
19. Las medidas de los lados de un triángulo A son; 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se va a construir
un triángulo B semejante al triángulo A, en el que el lado menor mida 15 cm. Señala la
opción en la que se responda correctamente lo siguiente:
• ¿Cuál es la razón de semejanza del triángulo B con respecto al triángulo A?
• ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo B?
• Se sabe que el triángulo A es un triángulo rectángulo, ¿se puede asegurar que el
triángulo B también es un triángulo rectángulo?
a)
• La razón de semejanza es 12.
• Las medidas de los lados del triángulo B son 15 cm, 16 cm y 17 cm.
• Sí, por el criterio de ángulos correspondientes iguales.
• ¿Las medidas de los lados del triángulo B son proporcionales a las del triángulo A?
Para averiguarlo, completa la siguiente considerando que es de proporcionalidad.
Medidas de los
lados
en el triángulo A
3cm
4cm
5cm
Medidas de los
lados
en el triángulo B
15cm
• ¿Coinciden las medidas que obtuviste en la tabla con las de la opción que señalaste?
• Si multiplicas las medidas de los lados del triángulo A por un número, se obtienen las
medidas de los lados del triángulo B. ¿Cuál es este número?
• ¿Qué relación hay entre este número y la razón de semejanza?
b)
• La razón de semejanza es 5.
• Las medidas de los lados del triángulo B son 15 cm, 20 cm y 25 cm.
• Si, Por el criterio de ángulos correspondientes iguales.
• Para los triángulos:
• Las medidas de los lados del triángulo B son el ______________del las medidas en
el triángulo A.
(doble/mitad/triple)
• El ángulo que se corresponde al ángulo a es el ángulo a’. ¿Cómo son estos ángulos
40
entre si, iguales o distintos?
• El ángulo que se corresponde al ángulo b es el ángulo b’. ¿Cómo son estos ángulos
entre si, iguales o distintos?
• ¿Los triángulos son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?
c)
• La razón de semejanza es 12.
• Las medidas de los lados del triángulo B son 15 cm, 16 cm y 17 cm.
• No.
• Los siguientes triángulos son semejantes.
• Un ángulo en el triángulo M mide 20°, ¿hay un ángulo en el triángulo N que mida 20°?
• ¿Es cierto que en figuras semejantes los ángulos correspondientes miden lo mismo?
• Mide todos los ángulos de los dos triángulos y comprueba tus respuestas.
d)
• La razón de semejanza es 5.
• Las medidas de los lados del triángulo B son 15 cm, 20 cm y 25 cm.
• No.
• Cuando un triángulo A es semejante a un triángulo B se cumplen dos condiciones:
Hay una relación de proporcionalidad directa entre las medidas de los lados del
triángulo A y las medidas del los lados del triángulo B, es decir, los lados
correspondientes son proporcionales.
La medida de cualquier ángulo en el triángulo A es la misma que la medida del
ángulo correspondiente en el triángulo B.
• Si hay un ángulo que mida 90° en el triángulo A, ¿debe haber un ángulo en el
triángulo B que mida 90°?
41
20. Araceli mide 1.5 m y se encuentra a tres metros de distancia de un poste. Observa el
dibujo y determina la altura del poste.
a) El poste mide 2.25 m
• El triángulo 1 es semejante al triángulo 2
• La siguiente tabla muestra la correspondencia entre los lados de ambos triángulos.
Medidas de los lados en el
triángulo 1
4cm
5.2cm
8cm
Medidas de los
correspondientes en el
triángulo 2
5cm
6.5cm
10cm
• Las razones formadas por la medida de un lado en el triángulo 1 entre la medida del
lado correspondiente en el triángulo 2 son:
4 5.2
8
=
=
5 6.5 10
• ¿Cómo son entre sí los resultados de las divisiones anteriores?
• ¿Es esta una propiedad que se cumple en todos los triángulos semejantes?
• Dibuja los triángulos semejantes que te ayudan a determinar la altura del poste.
• Escribe las razones formadas por las medidas de los lados en uno de los triángulos y
las medidas correspondientes en el otro triángulo.
42
b) El poste mide 2.45 m
• El triángulo ABC y el triángulo DEC son semejantes.
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado EC del triángulo
DEC? ¿Cuánto mide?
• ¿Qué quiere decir que las medidas de los lados de uno de los triángulos sean
proporcionales a las medidas correspondientes en el otro triángulo?
c) El poste mide 3.75 m
• ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A `C`
2.5 A `C`
5
=
=
5
13
2 .5
13
Usando la igualdad correcta encuentra el valor de A `C`
• ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
B`C`
2.5 B`C`
5
=
=
5
12
2 .5
12
Usando la igualdad correcta encuentra el valor de B`C`
• En tu cuaderno dibuja los triángulos semejantes que te ayudan a determinar la altura
del poste. Escribe la igualdad con la que puedes encontrarla.
43
d) El poste mide 4.5 m
• El triángulo ABC y el triángulo DEC son semejantes.
• ¿Con cuál de los criterios de semejanza puedes determinar que los triángulos ABC y
DEC son semejantes?
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado EC del
triángulo DEC?
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado DE del
triángulo DEC?
• ¿Cuál es el lado en el triángulo ABC que se corresponde con el lado DC del
triángulo DEC?
• Como los triángulos son semejantes, se cumplen las siguientes igualdades
AB AC BC
=
=
DE DC EC
Explica por qué.
44
Eje: Manejo de la información
21. La siguiente tabla muestra los valores del índice de precios para cierto artículo,
tomando como referencia el año 2008. En ese año, su precio fue de $80.00
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) En 2004, el precio del artículo fue de $87.50, el mismo que el registrado en el año 2007.
• Recuerda que un índice es un número que resulta de la comparación de dos
cantidades del mismo tipo, pero medidas en distintos momentos, lugares o
circunstancias. Un índice se construye en referencia a un valor de comparación,
llamado base. Algunas veces se expresa como un porcentaje y otras como puntos.
• En este caso, el índice indica la relación entre el precio de un artículo en ciertos años
comparado con lo que costaba en 2008 (año base), que valía $80.00.
45
b) En 2005, el precio del artículo fue de $50.00, la mitad del precio que tenía en 2008.
• Un índice puede expresarse como un porcentaje o como un número.
• Considera que los valores del índice de precios del artículo están expresados como
porcentajes.
• En 2005, ¿cuál fue el precio del artículo?
c) En 2006, el precio del artículo fue mayor 31.25%, con respecto al precio que tenía en 2008.
• Observa los datos que se muestran en la siguiente tabla:
La fórmula para calcular el valor del índice fue:
precio en 2006
precioen2006
× 100 =
× 100 = 131.25
precio en 2008
80
• ¿Cuál es el precio del artículo en 2006?
• Un índice es una forma de comparar, por ejemplo, el cambio entre dos cantidades del
mismo tipo, pero medidas en distintos momentos, lugares o circunstancias. Sirve para
medir tanto la dirección del cambio como la magnitud del mismo.
d) En 2009, el precio del artículo se incrementó 6.25% con respecto al año anterior.
• Encuentra el precio del artículo en el año 2009.
• En el año 2009, ¿el precio del artículo aumentó o disminuyó?
• Los índices se construyen en referencia a un valor de comparación conocido como
base. En este caso, el índice permite calcular el tamaño y la dirección del cambio que
ha sufrido el precio del artículo en un año determinado con respecto al año base.
46
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje
del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para
enriquecer su labor en el aula.
Bloque II
Preguntas
Sugerencias didácticas
Eje
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Ecuación cuadrática de una situación.
12
En este reactivo los alumnos identificarán la ecuación cuadrática que está
asociada al problema dado; esto es, aquella que permite calcular
correctamente la medida de la altura x de un rectángulo.
Una estrategia de resolución es que los alumnos describan cómo se
calcula el área de un rectángulo, y luego que propongan una expresión
algebraica que represente al problema dado. Como resultado de esto,
deberán identificar que al multiplicar la expresión que representa a la base (x
+ 2) por la expresión que representa a la altura (x), e igualar este producto al
valor del área, se obtiene una ecuación cuadrática (o de segundo grado).
Pida a los alumnos que realicen otros ejemplos del producto de un monomio
por un binomio, por ejemplo, (2x + 4)x, (5 – 3y)2y, o bien, 6n(2n + 1.5).
Trabaje con ellos cómo realizar este tipo de productos.
Otra estrategia consiste en hallar las soluciones de las ecuaciones que
se muestran en las opciones y sustituir esos valores en las expresiones
asociadas a las medidas de la base y de la altura del rectángulo; luego,
calcular el área con esas medidas y verificar si el resultado calculado es igual
al dato del área del problema.
Problema correspondiente a una ecuación cuadrática.
13
En este reactivo se debe identificar el problema que está asociado a la
ecuación cuadrática dada.
Si los alumnos tienen dificultades para identificar el problema asociado a
la ecuación, sugiérales que escriban una ecuación para cada uno de los
problemas de las opciones. Para ello, se puede seguir un procedimiento
como el que se muestra en algunas retroalimentaciones; por ejemplo, para el
problema de la opción b) se puede plantear lo siguiente:
“Un número menos 21…
→
…y esto elevado al cuadrado… →
…es igual a 15”.
→
x – 21
(x – 21)²
(x – 21)² = 15
Otra estrategia consiste en que los alumnos obtengan las soluciones de
la ecuación dada y verifiquen si también son soluciones de los problemas de
los incisos.
47
Problema correspondiente a una ecuación cúbica.
14
En este reactivo los alumnos van a relacionar una lista de problemas
con las ecuaciones que les corresponden.
Si los alumnos tienen dificultades, sugiérales que escriban una ecuación
para cada uno de los problemas de la lista. Por ejemplo, para el problema I)
se puede hacer lo siguiente:
“Pensé un número…
→ x
…y le resté 2 elevado al cubo… → x – 2³
…El resultado es igual a 15”.
→ x – 2³ = 15
Otra estrategia es analizar las ecuaciones e identificar las diferencias
entre ellas y describirlas. Por ejemplo, al comparar las ecuaciones (n + 5)³ = 8
y n + 5³ = 8, se observa que en la primera ecuación primero se debe hacer la
suma n + 5 y luego elevar al cubo el resultado, mientras que en la segunda
se debe hacer la suma de n y el cubo de 5. Si aún hay dificultades para
entender esto, sugiérales que hallen las soluciones de cada ecuación, esto
es, los valores de n para los cuales se obtiene una igualdad verdadera.
Factorización de una ecuación cuadrática.
15
En este reactivo los alumnos identificarán la ecuación cuadrática que permite
obtener la altura del paralelogramo conociendo su área, después deben
encontrar una factorización que les permita resolver la ecuación.
Una estrategia que se puede seguir para responder este problema es
que los alumnos recuerden y describan cómo se calcula el área de un
paralelogramo (base x altura), luego deben identificar que al multiplicar la
expresión que representa a la base (x + 18) por la expresión que representa
a la altura (x), e igualar este producto al valor del área, se obtiene una
ecuación cuadrática (o de segundo grado).
Si los alumnos tienen problemas para elegir cuál de las opciones
representa una factorización correcta, se sugiere que les recuerde que para
x² + 5x – 24, hay que buscar dos números
factorizar un trinomio como
que multiplicados den –24 y sumados den 5:
(+8)(-3) = -24
(+8) + (-3) = 5
Entonces,
x² + 5x – 24 = (x + 8)(x – 3)
Resolución de ecuaciones cuadráticas.
16
El objetivo del reactivo es que los alumnos construyan la ecuación cuadrática
asociada al problema, planteen la factorización correspondiente y encuentren
las soluciones. El reto inicial es visualizar cómo se construye una caja con un
pliego. Esto implica identificar que los bordes del rectángulo interior (cuya
medida se conoce) constituyen el largo y el ancho de la caja, y que lo que se
va a cortar es la altura. Para mostrar esto puede usted desarmar cualquier
caja que tenga forma de prisma rectangular.
Para este problema se pueden plantear dos o más ecuaciones que lo
resuelvan, por tal razón se les da una. No obstante, es conveniente que los
48
alumnos identifiquen qué se está representando con x. Con esto habrán
logrado un gran avance en la solución del reactivo pues incluso se pueden
ahorrar los cálculos algebraicos.
Si anteriormente los alumnos resolvieron adecuadamente ejercicios
mediante el método de factorización, tendrán pocos problemas para plantear
la ecuación del problema y la factorización que les ayude a resolverla. En
caso contrario, considere la conveniencia de revisar con ellos cómo se
resuelve este tipo de ecuaciones mediante el método de factorización.
Una vez que la factorización esté planteada, asegúrese de que las
soluciones que los alumnos elijan sean las adecuadas (muchas veces las
eligen con los signos contrarios) y las comprueben sustituyéndolas en las
ecuaciones, tanto en la factorización como en la original. De esta forma podrá
usted verificar tanto que las soluciones sean las correctas, como que
correspondan a la ecuación original. Es decir, una vez que los estudiantes
obtengan el valor de x y lo sustituyan, deben obtener el área del pliego
original.
Más sobre ecuaciones cuadráticas.
17
Forma,
espacio y
medida
Cuando se resuelve una ecuación es común que haya dificultades para
manipular cada uno de los términos, que se descuiden los signos o que se
agrupen erróneamente los términos semejantes.
El objetivo de este ejercicio es que los alumnos verifiquen cada uno de
los pasos que se siguieron en la resolución de una ecuación cuadrática. Es
decir, que puedan identificar qué operación se hizo para llegar de una
igualdad a otra y si lo que se hizo es correcto o no.
Recuérdeles los ejercicios que han realizado anteriormente y enfatice
que las igualdades tienen que ser equivalentes unas con otras, esto es, que
después de cada operación se tiene que mantener la igualdad; de otra forma
se altera la ecuación inicial.
Si los alumnos tienen dificultades para encontrar los errores existentes
en el procedimiento, pídales que resuelvan la ecuación sin ver el
procedimiento que se muestra y que después comparen e identifiquen en
dónde se encuentran los errores.
Otra opción es pedir a los estudiantes que describan con sus propias
palabras qué se hizo en cada uno de los pasos que se siguieron para resolver
esta ecuación.
Figuras semejantes.
18
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la
que muestra dos polígonos semejantes puede recordar las dos condiciones
con las que se define la semejanza entre polígonos.
Un polígono A es semejante a un polígono B si se cumplen las
siguientes dos propiedades:
• Hay una relación de proporcionalidad directa entre la medida de los
lados del polígono A y la medida de los lados del polígono B.
• La medida de cualquier ángulo comprendido entre dos lados del
polígono A es la misma que la medida del ángulo comprendido
entre los lados correspondientes en el polígono B.
49
Posteriormente pida a los alumnos que establezcan en cuál de las
opciones se cumplen las dos condiciones y cuál de las condiciones falla en
los otros incisos.
Como cierre puede pedir a los alumnos que construyan una figura
semejante a la primera figura de cada inciso.
Semejanza para triángulos.
19
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la
correcta usted puede recordar los criterios y la definición de triángulos
semejantes:
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos iguales. A
este criterio también se le enuncia de la siguiente manera, dos
triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes
iguales.
• Dos triángulos son semejantes si existe una relación de
proporcionalidad directa entre las medidas de sus lados. A este
criterio también se le enuncia de la siguiente manera, dos
triángulo son semejantes si tienen lados correspondientes
proporcionales.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
correspondientes proporcionales y el ángulo entre ellos iguales.
También puede ser de utilidad que recuerde a los alumnos que la razón
de semejanza de un triángulo B con respecto a un triángulo A se puede
calcular al dividir la medida de uno de los lados del triángulo B por la medida
del lado correspondiente en el triángulo A.
Semejanza y triángulos rectángulos.
20
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la
correcta, puede hacer notar que en la figura se encuentran dos triángulos
rectángulos, y en este sentido, puede destacar que dos triángulos rectángulos
son semejantes cuando la medida de uno de los ángulos en uno de los
triángulos, que no es el recto, es igual a la medida de uno de los ángulos en
el otro triángulo.
Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es la de
destacar las igualdades de los cocientes que hay en triángulos semejantes,
plantee algunos ejemplos para recordar estas igualdades.
Posteriormente puede leer las opciones y destacar las igualdades que
se dan entre los cocientes de las medidas de los triángulos semejantes para
encontrar la que sirve para calcular la medida del poste, puede ponerle letras
a las medidas que faltan en los lados de los triángulos.
Como cierre puede pedir a los alumnos que encuentren en otros
triángulos rectángulos una medida desconocida.
50
Manejo de la
información
Índices.
21
Comente con sus alumnos sobre el uso de algunos índices, en qué áreas o
actividades se utilizan y cómo se obtienen. Podría sugerirles que busquen en
periódicos, revistas o Internet algunos ejemplos de índices. Particularmente,
los índices económicos más usados son aquellos que miden el nivel de
precios, ya que permiten comparar los precios a los cuales se vendieron
bienes y servicios en un determinado año a precios de otro año.
Tal vez los alumnos que seleccionan la opción a) confunden el valor del
índice de precios con el precio. No consideran lo señalado en el
planteamiento del problema, el precio del artículo fue de $80.00 en el año
2008.
Algo similar les ocurre a aquellos alumnos que eligen la opción b), se
equivocan al interpretar el valor del índice de precios como el precio del
artículo en 2005.
Los alumnos que seleccionaron la opción d) probablemente se equivocaron al
hacer la diferencia entre valores índice y calcularon 100 – 93.75, en lugar de
93.75 – 100. En el primer, caso la diferencia es positiva y significa un
aumento, cuando en realidad ha ocurrido un descenso en el precio. Otra
manera de encontrar que hay una disminución es determinar el precio del
artículo en el año 2009, como se pide en la retroalimentación. El artículo
cuesta 93.75% de lo que valía en el 2008.
Para determinar que la afirmación de la opción c) es correcta, se
requiere considerar que los valores de un índice son una forma de comparar
y sirven para medir tanto la dirección del cambio como su magnitud. Una
diferencia negativa indica retroceso o disminución; cuando es positiva,
representa avance o aumento. Cuando un porcentaje es mayor que 100
representa, un aumento.
Una conclusión importante en cuanto al uso de los índices es que, en
general, son utilizados como herramienta para medir el desempeño de las
variables involucradas o como instrumento en la toma de decisiones.
51
BLOQUE III
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
22. Para cercar cierto terreno rectangular se necesitan 32 m de malla.
¿Cuál es la tabla que muestra la relación correcta entre la medida del frente del terreno y
su área?
a)
2
Frente (m) Área (m )
4
112
8
192
12
240
16
256
20
240
28
112
• Si el frente de un terreno mide 4 m y tiene un área de 112 m², ¿cuánto mide de
fondo?
• ¿Es cierto que su perímetro es igual a 32 m?
• Verifica si con los datos de los otros renglones de la tabla el perímetro que se obtiene
es igual a 32 m.
b)
Frente (m)
4
8
12
16
20
28
Área (m2)
112
192
240
256
240
112
• ¿Cuántos metros debe tener el perímetro del terreno?
• Si uno de los terrenos tiene 10 m de frente, ¿cuánto mide de fondo? ¿Cuál es el área
de este terreno?
• Verifica si en los otros renglones de la tabla es posible que un terreno tenga 32 m de
perímetro y 32 m² de área.
52
c)
Frente (m)
2
4
6
8
10
12
Área (m2)
28
48
60
64
60
48
• Si y es el área del terreno y x es la longitud del frente, escribe una expresión para
calcular el área del terreno.
• Evalúa la expresión que escribiste para los valores de x que aparecen en la tabla
(que son las medidas del frente del terreno). ¿El perímetro es igual a 32 m?
d)
Frente (m)
3
5
7
9
11
13
Área (m2)
42
70
98
126
154
182
• Si y es el área del terreno y x es la longitud del frente, identifica con cuáles de las
siguientes expresiones se puede calcular el área del terreno.
y = ( x + 16) x
y = x (16 − x )
y = 16 x − x 2
y = 16 x − 2 x
• Evalúa la expresión que elegiste para los valores de x que aparecen en la tabla (que
son las medidas del frente del terreno). ¿El perímetro es igual a 32 m?
53
23. Se quieren construir cajas de base rectangular de manera que el frente mida L, el
fondo mida el doble que el frente y que tengan 3 cm de altura.
¿Cuál es la expresión con la que se obtiene el volumen V de la caja?
a) V = 3(2L) 2
• Si L representa la medida del frente, ¿cómo se expresa la medida del fondo en
términos de L?
• Escribe una expresión algebraica para calcular el área de la base de la caja.
Área de la base = ________ x ________ = ________
• ¿Es verdad que para obtener el volumen de un prisma rectangular hay que multiplicar
la medida de la base por la de la altura?
• La expresión que elegiste es 3(2L) 2 , que es igual a 3(2L)(2L). ¿La medida de la base
es (2L)(2L)?
b) V = 6L3 V
• Las cajas que se mencionan en el problema tienen la forma de un prisma de base
rectangular.
L representa la medida del frente, ¿cómo se expresa la medida del fondo en
términos de L?
• ¿Cuál es el área de la base del prisma?
• Completa cómo se calcula el volumen de un prisma:
Volumen = _________x _________ = _________
54
c) V = 2L2 + 3
• Si el frente del rectángulo de la base es igual a 5 cm:
• ¿Cuál es el área de la base de la caja? Completa la siguiente expresión:
Área de la base = ________ x ________ = ________
• ¿Cuál es el volumen de la caja?
Volumen = _________ x _________ = _________
• Sustituye L = 5 en la expresión V = 2L2 + 3 y realiza las operaciones
correspondientes.
• ¿Obtuviste el mismo valor para el volumen con ambos procedimientos?
d) V = 6L2 V
• Las cajas que se mencionan en el problema tienen la forma de un prisma de base
rectangular.
• ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma rectangular?
• En tu cuaderno evalúa la expresión V = 6L2 para diferentes valores de L.
24. Encuentra las soluciones de la ecuación 3 x 2 + 18 = 15 x utilizando la fórmula general
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
a) x 1 = 3 , x 2 = 2
• Verifica si los valores que elegiste para x son soluciones de la ecuación
3 x 2 + 18 = 15 x . Completa lo siguiente:
Substituye x 1 = 3 en la ecuación.
3(__) 2 + 18 = 15(__)
Substituye x 2 = 2 en la ecuación.
3(__) 2 + 18 = 15(__)
• ¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
55
b) x 1 = −1 , x 2 = −5
• Completa y realiza lo siguiente:
Pasa la ecuación 3 x 2 + 18 = 15 x a su forma general
____________________= 0
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término cuadrático?
a =______________
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término lineal?
b =______________
• ¿Cuál es el valor del término independiente?
c =______________
c) x 1 = −3 , x 2 = −2
• Verifica si los valores que elegiste para x son soluciones de la ecuación
3 x 2 + 18 = 15 x . Completa lo siguiente:
Substituye x 1 = −3 en la ecuación.
3(__) 2 + 18 = 15(__)
Substituye x 2 = −2 en la ecuación.
3(__) 2 + 18 = 15(__)
• ¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
d) La ecuación no tiene soluciones
• En tu cuaderno completa y realiza lo siguiente:
Pasa la ecuación 3 x 2 + 18 = 15 x a su forma general
____________________= 0
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término cuadrático?
a =______________
• ¿Cuál es el valor del coeficiente del término lineal?
b =______________
• ¿Cuál es el valor del término independiente?
c =______________
• Resuelve nuevamente la ecuación usando la fórmula general:
− ( ) ± ( ) 2 − 4( )( )
x=
2( )
• ¿Encontraste soluciones para la ecuación?
56
25. La altura h de un objeto que viaja por el aire durante un tiempo t está dada por la
ecuación: h = 24t − 2t 2 , en donde h está en metros y t en segundos. ¿A los cuántos
segundos el objeto alcanza una altura de 40 metros?
a) t1 = −2s ; t 2 = −10s
• Verifica si los valores que elegiste de t son soluciones de la ecuación h = 24t − 2t 2
Para h = 40 . Completa en tu cuaderno las siguientes expresiones:
Substituye t 1 = −2 en la ecuación.
40 = 24(___) − 2(___) 2
Substituye t 2 = −10 en la ecuación.
40 = 24(___) − 2(___) 2
¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
b) t1 = 12s ; t 2 = 0s
• En tu cuaderno completa y realiza lo siguiente:
Pasa la ecuación 40 = 24t − 2t 2 a su forma general
____________________=0
¿Cuál es el valor del término independiente?
¿Cuál es la altura que alcanza el objeto cuando t vale 0 s, 5 s, 10 s y 12 s?
c) t 1 = 2s ; t 2 = 10s
• Verifica si los valores que elegiste para t son soluciones de la ecuación h = 24t − 2t 2
para h = 40 . En tu cuaderno completa las siguientes expresiones:
Substituye t 1 = 2 en la ecuación.
40 = 24(___) − 2(___) 2
Substituye t 2 = 10 en la ecuación.
40 = 24(___) − 2(___) 2
¿Obtuviste una igualdad verdadera en cada caso?
d) t 1 = 13.48s ; t 2 = −1.48s
• En tu cuaderno completa y realiza lo siguiente:
Pasa la ecuación 40 = 24t − 2t 2 a su forma general
____________________=0
¿Cuál es el valor del término independiente?
c =__________________
Resuelve nuevamente la ecuación usando la fórmula general.
57
Eje: Manejo de la información
26. La tabla muestra la altura que va alcanzando un balón de futbol después de ser
despejado.
¿Cuál de las opciones corresponde ala gráfica asociada a la relación entre la altura que
alcanza el balón y el tiempo?
a)
• Transcurridos 2 segundos la altura que tiene el balón es de 8 metros. Esto quiere
decir que el punto (2,8) pertenece a la gráfica.
• Transcurridos 4 segundos, la altura que tiene el balón es también de 8 metros. ¿Qué
punto le corresponde?
• Este punto pertenece a la gráfica.
58
b)
• ¿Cuál es la altura que indica la gráfica cuando han transcurrido 0 segundos?
• ¿Cuál es la altura que indica la gráfica cuando ha transcurrido 1 segundo?
c)
• Al momento de golpear el balón, ¿qué altura tiene?, ¿qué punto le corresponde a la
gráfica?
• Según lo que indica la gráfica, ¿a los 3 segundos qué altura ha alcanzado el balón?,
¿y a los 5 segundos?
• ¿Los puntos que están sobre la gráfica corresponden a la información de la tabla?
59
d)
• Según lo que indica la gráfica, ¿qué altura tiene el balón después de los 2
segundos?
• Transcurridos 6 segundos, ¿qué altura tiene el balón?, ¿qué punto le corresponde
en la gráfica?
• ¿Los puntos que están sobre la gráfica corresponden a la información de la tabla?
60
27. En un laboratorio hicieron un experimento para establecer la relación entre la presión
y el volumen de un gas cuando este se mantiene a temperatura constante. Con los datos
que obtuvieron elaboraron una gráfica como la que se muestra.
Si x representa el volumen del gas y si y representa la presión, ¿cuál es la expresión
algebraica asociada a la gráfica?
a) y = − x + 11
• En la expresión y = -x + 1 substituye el valor x = 5.
• ¿Cuál es de valor de y?, ¿el punto obtenido pertenece a la gráfica?
• Cuando x vale 1, ¿cuál es el valor de y?
• Cuando x vale 10, ¿cuál es el valor de y?
• Dibuja en tu cuaderno la gráfica asociada a la expresión y = -x + 11.
61
b) y =
10
x
• Completa la siguiente tabla con la expresión que seleccionaste.
Volumen
(valor de x)
Presión
(valor de y =
10
)
x
Punto de
coordenadas
(x, y )
1
2
4
5
10
• ¿Los puntos de la tabla corresponden a puntos en la gráfica?
• Cuando el volumen (x) es de 20 litros, la presión del gas (y) es de 0.5 atmósferas.
Verifica si pasa esto con la expresión que elegiste.
c) y =
1
+9
x
• La siguiente tabla muestra algunos de los datos que se tomaron al realizar el
experimento
Volumen
(en litros)
1
0.1
0.5
16
20
Presión
(en atmósferas)
10
100
20
0.6255
0.5
Producto de
xy
(1)(10)=10
(0.1)(100)=10
(0.5)(20)=10
(16)(0.625)=10
(20)(0.5)=10
1
+ 9 para verificar si al sustituir los valores de la primer
x
columna (x) obtienes el correspondiente valor en la segunda columna (y)
• Utiliza la expresión y =
d) y = 10x 2
• Observando la gráfica podrás notar que cuando el valor de x aumenta el valor de y
disminuye, por ejemplo, para x = 1, el valor de y es 10, mientras que para x = 2, el valor
de y es 5.
• En la expresión y = 10x² ¿cuándo aumenta el valor de x el valor de y aumenta o
disminuye? Verifícalo para los valores de x iguales a 1, 2, 3.
62
28. La parábola R tiene por expresión asociada y = x 2 − 2
Elige cuál de las opciones es la que tiene las dos expresiones algebraicas que
corresponden a las otras dos parábolas.
a) y = 2 x 2 − 2
y = −2 x 2 + 2
• Usa la expresión y = 2 x 2 − 2 para encontrar algunos puntos de su gráfica. Completa
la tabla.
Valor de x
Valor de y = 2 x 2 − 2
Punto de coordenadas
( x, y )
--2
-1
1
2
• Verifica si los puntos de la tabla que completaste se encuentran sobre la parábola A
o sobre la parábola V.
63
b) y = x 2
y = −2 x 2 + 2
• ¿Cuál es la ordenada al origen en la expresión y = x 2 ?
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la parábola A?
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la parábola V?
c) y = 3 x 2 − 2
y = −2 x 2 + 2
• Completa la tabla para establecer algunos de los elementos de las parábolas.
Parábola
2
y = x −2
Ordenada al origen
-2
Apertura
Hacia arriba
Vértice
(0,-2)
y = 3x 2 − 2
y = −2 x 2 + 2
Hacia abajo
d) y = 3 x 2 − 2
y = 2x 2 + 2
• ¿Cómo es la expresión de una parábola que abre hacia arriba?
• ¿Cómo es la expresión de una parábola que abre hacia abajo?
29. A continuación aparece la gráfica de la parábola y = ( x − 1) 2 + 1
En el mismo plano cartesiano se hicieron las gráficas de las parábolas:
• y = ( x − 1) 2 + 3
• y = ( x − 1) 2 − 2
¿En cuál de las opciones se muestra la gráfica de las tres parábolas?
64
a)
• Completa la tabla y determina la ordenada al origen de cada parábola.
Parábola
R
V
A
Ordenada al origen
2
• Completa la tabla para determinar la ordenada al origen en las expresiones.
Parábola
Valor de y en la expresión
para x = 0 .
y = (x – 1)² + 1
y = (x – 1)² + 3
(0 − 1) 2 + 3 = ( −1) 2 + 3 = 4
y = (x – 1)² - 2
b)
65
• Completa la tabla y para determinar la ordenada al origen.
Parábola
Ordenada al origen
y = (x – 1)² + 1
(0 − 1) 2 + 1 = ( −1) 2 + 1 = 2
y = (x – 1)² + 3
y = (x – 1)² - 2
c)
• La siguiente tabla muestra algunos puntos de la parábola A.
Valor de x Valor de y Punto (x,y)
0
10
(0,10)
1
5
(1,5)
2
2
(2,2)
3
1
(3,1)
4
2
(4,2)
5
5
(5,5)
Utiliza las expresiones:
y = ( x − 1) 2 + 3
y = ( x − 1) 2 − 2
Verifica si al sustituir los valores de la primer columna (x) obtienes el correspondiente
valor en la segunda columna (y) en alguna de ellas.
66
d)
• Para la expresión y = ( x − 1) 2 − 2 completa la siguiente tabla.
Valor de x Valor de y Punto (x,y)
0
(0,__)
1
(1,__)
2
(2,__)
• Verifica si los tres puntos de la tabla se encuentran sobre alguna de las parábolas.
67
30. En el plano cartesiano se encuentra la gráfica de dos expresiones de la forma
y = ax 3 + b . Elige cuál de las opciones es la que tiene las expresiones algebraicas que
corresponden a las gráficas.
a)
y =
x3
−1
2
y =
x3
+1
2
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala para establecer algunos de los
elementos de las expresiones.
Expresión
y =
Ordenada al origen
Coeficiente del termino de grado
tres
x3
−1
2
y =−
x3
+1
2
68
b)
y =
x3
+1
2
y =−
x3
2
• ¿Cuál es la ordenada al origen en la expresión y = −
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la gráfica V? y
• ¿Cuál es la ordenada al origen de la gráfica de R?
x3
2
?,
c)
y = 2x 3 − 1
y = −2 x 3 + 1
• Usa la expresión y = 2 x 3 − 1 para encontrar algunos puntos en su gráfica. Copia en
tu cuaderno la siguiente tabla y complétala.
Valor de x
Valor de y = 2 x 3 − 1
Punto de coordenadas
( x, y )
-1
-0
1
2
• Verifica si los cuatro puntos de la tabla se encuentran sobre la gráfica R o la V.
d)
y = 2x 3 − 1
y =−
x3
+1
2
x3
+ 1 para encontrar unos puntos de su gráfica. Copia en tu
2
cuaderno la siguiente tabla y complétala.
• Verifica si los cuatro puntos de la tabla se encuentran sobre la gráfica R o la V.
• Usa la expresión y = −
69
31. Un gusano hizo el recorrido que se muestra en la figura. En los dos primeros tramos
del recorrido avanzó a velocidad constante (en la bajada avanzó rápido y en el terreno
plano a menor velocidad). Al inicio del tercer tramo el gusano avanzó lento y conforme la
subida se fue haciendo menos pronunciada aumentó su velocidad.
¿Cuál gráfica corresponde a la distancia recorrida por el gusano con respecto al tiempo?
a)
En el último tramo el gusano no se desplazó a velocidad constante: al inicio, donde la
subida está más pronunciada, avanzó lento; luego, en el tramo donde la inclinación de
la subida disminuye, fue aumentando la velocidad.
• ¿Cómo tendría que ser la curva que representa ese tramo en la gráfica?
70
b)
• ¿Qué indica la gráfica en el primer tramo del recorrido?, ¿al aumentar el tiempo, los
valores de la distancia aumentan o disminuyen?
• ¿Qué representa el segmento horizontal en la gráfica correspondiente al segundo
tramo?, ¿qué distancia recorre el gusano en dicho tramo?
c)
• En el primer tramo del recorrido el gusano avanzó más rápido que en el segundo
tramo ¿cómo se representa esto en la gráfica?, ¿cómo debe ser la inclinación de la
primera recta en la gráfica con respecto a la segunda?
• Si en el último tramo el gusano primero avanzó lento y luego fue aumentando su
velocidad ¿el segmento que lo representa en la gráfica debe ser una curva que “abre
hacia arriba”?
71
d)
• ¿Cuál segmento debe tener una mayor inclinación, el que representa el primer tramo
o el que representa al segundo?
• Si en el último tramo el gusano primero avanzó lento y luego fue aumentando su
velocidad ¿el segmento que lo representa en la gráfica debe ser una curva que “abre
hacia arriba”?
32. Un recipiente se llenó por medio de una llave de la que fluye el agua de forma
constante. ¿Al llenado de cuál de los siguientes recipientes corresponde la gráfica que
se muestra?
72
a)
• ¿Cuántas secciones hay en la gráfica?, ¿cuántas secciones tiene el recipiente?
b)
• En la sección de abajo del recipiente, el nivel del agua no sube de manera
constante: primero sube rápido y luego más lento porque el recipiente se va
ensanchando. ¿La gráfica que corresponde a esa sección es una línea recta o una
curva?
73
c)
• En la sección de arriba del recipiente el nivel del agua sube cada vez más rápido
porque el recipiente se va angostando. ¿La gráfica que corresponde es una línea recta
o una curva?
• Si la sección de arriba primero es ancha significa que el nivel del agua sube poco en
mucho tiempo. Después se va angostando, entonces la altura del nivel del agua sube
más en menos tiempo. ¿Hacia dónde abre la curva que representa esto en la gráfica?
d)
• En la sección de arriba del recipiente, el nivel del agua cada vez sube más lento
porque se va ensanchando. ¿La gráfica que corresponde es una línea recta o una
curva?
• En la sección de arriba, la rapidez con la que sube el nivel de agua va
disminuyendo, debido a que el recipiente se va ensanchando cada vez más. ¿Hacia
dónde abre la curva que representa esto en la gráfica?
74
Eje: Forma, espacio y medida
33. En la siguiente figura las rectas m, n y o son paralelas al segmento DH
Calcula la longitud del segmento EH.
a) 9.4 cm
• ¿El segmento correspondiente a CD mide más o mide lo mismo que CD?
b) 9.18 cm
• Para encontrar la medida del segmento EH se puede utilizar cualquiera de las
siguientes igualdades:
AD BC
=
.
EH FG
o
EH FG
=
.
AD BC
• Explica por qué.
• ¿Qué valores conoces en estas igualdades?
75
• Realiza los despejes correspondientes para encontrar el valor de EH en cada
igualdad.
• ¿Obtuviste el mismo valor para EH en cada caso?
c) 9.9 cm
• Para encontrar la medida del segmento EH se pueden utilizar dos igualdades:
• Primero se calcula la medida del segmento EF a partir de la relación
luego se calcula la medida del segmento GH a partir de
AB BC
=
,y
EF FG
CD BC
. Explica por qué se
=
GH FG
pueden plantear estas igualdades.
• ¿Utilizaste estas igualdades?
d) 10.2 cm
La razón de la medida del segmento BC a la medida de su correspondiente FG es
4
,
4.4
¿cuál expresión representa la razón de la medida del segmento AB a la de su
correspondiente EF?
x
2.6
o
.
2.6
x
• Con la razón
4
y la que elegiste, ¿cómo puedes encontrar la medida del segmento
4.4
correspondiente al segmento AB?
• ¿Cómo puedes encontrar la medida del segmento correspondiente al segmento EF?
76
34. El polígono verde es homotético con respecto al rojo. Encuentra la medida del
segmento ED' y la razón de homotecia.
a) ED' = 2.06, Razón = -2
• Al ser homotéticos ¿cómo son entre sí las medidas de los lados correspondientes?
• El polígono original es el rojo, entonces ¿a qué razón de homotecia está el verde?
• Explica porqué en este caso la razón puede ser negativa.
1
2
Encuentra el centro de homotecia
¿Cuál es el segmento correspondiente de ED’?
¿Esta medida puede ser negativa?
¿Por qué la razón es negativa para este caso?
b) ED' = – 2.06, Razón = −
•
•
•
•
c) ED' = 2.06, Razón = 2
• ¿Cuál es la razón de los lados correspondientes?
B' C '
=
BC
• Si el polígono verde es homotético con respecto al rojo, entonces ¿cuál es la razón de
homotecia para cada uno de los siguientes casos?
77
1
2
• Compara la siguiente pareja de figuras homotéticas con la del problema
d) ED' = 2.06, Razón = −
• ¿En dónde se encuentra el centro de homotecia para cada caso?
• ¿Cuál es la razón de homotecia para este par de figuras si, al igual que en el
problema, tomamos como original la figura roja?
78
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje
del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para
enriquecer su labor en el aula.
Bloque III
Preguntas
Sugerencias didácticas
Eje
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Tabla de una relación funcional cuadrática.
22
En este reactivo los alumnos deberán identificar la tabla que modela una
relación funcional cuadrática.
Lo primero que ellos pueden hacer es plantear expresiones para el
frente del terreno y para el fondo. Por ejemplo, si x representa el valor del
frente, entonces 16 – x es la expresión que representa el fondo. Es posible
que los alumnos consideren todo el valor del perímetro (32 m) al plantear las
expresiones, en vez de sólo considerar el semiperímetro, que son 16 m.
Pídales que dibujen algunos terrenos y que escriban la longitud de sus lados
para que se den cuenta del error.
También podrían cometer algún error al multiplicar las expresiones que
representan al frente y al fondo del terreno. Retomando el ejemplo anterior,
considere que los alumnos ya saben cómo calcular el área de un rectángulo,
por lo que pueden plantear algo como:
Área = frente x fondo = x (16 – x) = 16x – x²
Será necesario que los alumnos logren obtener la expresión correcta,
pues a partir de ella podrán calcular los valores correspondientes en la tabla.
Función cuadrática de un problema.
23
En este reactivo los alumnos identificarán la función cuadrática asociada a un
problema dado.
El problema consiste en relacionar la medida del lado de una caja de base
rectangular con su volumen. En este caso, conviene que recuerden cómo se
calcula el volumen de un prisma rectangular.
Un procedimiento convencional es que los alumnos planteen
expresiones para el frente y el fondo de la base de la caja. Si L representa el
valor del frente y el fondo es el doble del frente, es decir, 2L, entonces para
calcular el área de la base deberán multiplicar el frente por el fondo, esto es,
L x 2L = 2L².
Para obtener la expresión que relacione el lado L con el volumen V de la
caja, basta con multiplicar la expresión por el valor de la altura:
Volumen = área de la base x altura = 2L² x 3
Resolución de una ecuación cuadrática (1)
24
En este reactivo los alumnos resolverán una ecuación cuadrática mediante la
fórmula general.
Un error frecuente en la resolución de ecuaciones cuadráticas se presenta al
79
momento de identificar los valores correspondientes a los coeficientes de los
términos cuadrático, lineal e independiente. Si ocurre esto, sugiera a los
alumnos que escriban la ecuación del problema en su forma general: ax² +
bx + c = 0.
En relación con lo anterior, otro error que puede presentarse es no
cambiar los signos al transponer términos de un lado de la ecuación al otro,
para pasar la ecuación dada a la forma general.
Si observa que los alumnos tienen dificultades para aplicar la fórmula
general y hallar así las soluciones de la ecuación, apóyelos en el proceso de
sustituir los valores de a, b y c, así como para realizar correctamente las
operaciones correspondientes.
Finalmente, una forma de confirmar si los valores de la opción elegida
son soluciones o no de la ecuación, es que los alumnos sustituyan esos
valores en la ecuación y realicen las operaciones. Recuérdeles que para que
un valor sea solución, se debe obtener el mismo valor en ambos lados de la
ecuación.
Resolución de una ecuación cuadrática (2)
25
Manejo de la
información
En este reactivo los alumnos resolverán una ecuación cuadrática asociada a
un problema mediante la fórmula general.
Un error frecuente en la resolución de ecuaciones cuadráticas se
presenta al momento de identificar los valores correspondientes a los
coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente. Si ocurre esto,
sugiera a los alumnos que muestren la ecuación del problema en su forma
general: ax² + bx + c = 0.
En relación con lo anterior, otro error que puede presentarse es no
cambiar los signos al transponer términos de un lado de la ecuación al otro,
para escribirla en su forma general.
Si observa que los alumnos tienen dificultades para aplicar la fórmula general
y hallar así las soluciones de la ecuación, apóyelos en el proceso de sustituir
los valores de a, b y c, así como para realizar correctamente las operaciones
correspondientes.
Una forma de confirmar si los valores de la opción elegida son
soluciones o no de la ecuación, es que los alumnos sustituyan esos valores
en la ecuación y realicen las operaciones. Recuérdeles que para que un valor
sea solución, se debe obtener el mismo valor en ambos lados de la ecuación.
El despeje y su gráfica.
26
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cuál de las opciones es la correcta, puede hacer notar que los datos de la
tabla definen puntos y todos estos puntos deben pertenecer a la gráfica que
representa la relación.
En contraste con una línea recta, (la cual esta determinada de manera
única por dos puntos que pertenezcan a ella) para la gráfica de curvas como
la parábola hay que tener la mayor cantidad de puntos posible para tener más
precisión al elaborar su gráfica.
80
Los gases.
27
Si a los alumnos se les hace difícil, hágales notar algunas de las
características que tiene la gráfica.
Por ejemplo, en la gráfica no aparece el valor que le corresponde a cero,
(de hecho no existe este valor ya que en la expresión correcta carece de
sentido evaluar cuando x = 0). Con esta información podrán descartar dos de
las opciones.
También puede destacar una particularidad muy interesante: el volumen
que ocupa el gas en el recipiente es inversamente proporcional a la presión
ejercida, esto es, mientras más presión haya menor volumen ocupa y
viceversa. Pregunte a los alumnos ¿cómo son las expresiones de relaciones
inversamente proporcionales?
Como cierre puede pedir a los alumnos que elaboren la grafica de cada
una de las expresiones de las opciones.
Las parábolas.
28
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cual de las opciones es la correcta, puede hacer notar algunas de las
características particulares que tiene la gráfica de parábolas de la forma la y
= ax² + b.
Por ejemplo, puede destacar que en la gráfica de la expresión y = ax² +
b, la ordenada al origen es el número b, el vértice de la parábola se
encuentra en el punto (0,b) y si a es un número positivo entonces la parábola
abre hacia arriba, mientras que si a es negativo la parábola abre hacia abajo.
Como cierre puede pedir a los alumnos que elaboren la grafica de cada
una de las expresiones de todas las opciones de respuesta.
Las gráficas desplazadas.
29
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cuál de las opciones es la correcta, puede hacer notar alguna de las
características particulares que tienen las gráficas de las parábolas, como lo
son la ordenada al origen, el valor máximo o mínimo o el vértice de la
parábola.
Por ejemplo, en parábolas de la forma y = (x – a)² + b su vértice se
encuentra en el punto (a,b).
En dos o más expresiones de este tipo si el valor de a permanece fijo y
el valor de b cambia, solamente se está desplazando el centro de la
parábolas paralelamente al eje y.
Si dispone de calculadora graficadora realice algunos ejemplos para
mostrar lo dicho anteriormente, puede poner, por ejemplo, a = 3, e ir
cambiando el valor de b.
Como cierre puede pedir a los alumnos que traten de encontrar las
expresiones algebraicas de cada una de las gráficas dadas en cada opción
de respuesta.
81
Las cúbicas.
30
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
la opción correcta, puede hacer notar alguna de las características
particulares que tienen las gráficas de expresiones cúbicas de la forma la y =
ax³ + b.
Por ejemplo, puede destacar que en la gráfica de la expresión y = ax³ + b, la
ordenada al origen es el número b (el valor de y cuando x = 0), si a es un
número positivo entonces la gráfica de la expresión tiene la forma:
Mientras que cuando a es negativo la gráfica de la expresión tiene la
forma:
Como cierre puede pedir a los alumnos que elaboren la grafica de cada
una de las expresiones de todas las opciones de respuesta.
82
Gráficas formadas por secciones rectas y curvas.
31
Si para los alumnos es difícil identificar la gráfica correcta proponga un
ejemplo con datos concretos para hacer una gráfica:
Un gusano hizo un recorrido de 18 cm en el que hubo tres tramos
distintos, cada uno de 6 cm. En el primero avanzó a una velocidad
constante de 1 cm cada 5 segundos. En el segundo avanzó a una
velocidad constante de 1 cm cada 10 segundos. En el tercero, al
principio de la subida avanzó lento y conforme la subida se fue
haciendo menos pronunciada aumentó su velocidad. Traza la gráfica
que corresponde a ese recorrido.
Dibuje en el pizarrón los ejes y una tabla de valores como se muestra:
83
Aclare que, debido a que en el tercer tramo la velocidad no es constante
y se desconocen los valores, no se puede llenar la tabla con información
correspondiente a este tramo. Sin embargo, sí se sabe que primero avanza
más lento y luego va aumentando la velocidad, por eso, en la gráfica la curva
“abre hacia arriba” (al principio avanza poca distancia en más tiempo).
Llenado de recipientes y secciones rectas y curvas.
32
Es probable que los alumnos identifiquen rápidamente que el recipiente que
deben hallar se compone de dos secciones: la primera es un prisma porque
su llenado es constante, y la segunda tiene una sección inclinada o curva.
Quizá la dificultad para ellos se presente al identificar si el recipiente
correcto es el de la opción c) o el de la d) porque en ello radica hacia dónde
“abre” la curva. Haga notar que en el recipiente de la opción c) la sección
superior se va angostando, entonces el nivel del agua sube más rápido cada
vez. La gráfica que correspondería a este recipiente sería así:
En cambio, en el recipiente de la opción d) la sección superior se va
ensanchando, por lo que el nivel del agua sube más lento cada vez.
Forma,
espacio y
medida
Teorema de Tales.
33
El propósito del ejercicio es emplear el teorema de Tales, que enuncia:
cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas,
se cumple que las medidas de los segmentos determinados por las paralelas
en una de las rectas son proporcionales a las medidas de los segmentos
correspondientes determinados en la otra.
Es posible que los alumnos tengan problemas para identificar cuáles son
los segmentos correspondientes, puede pedirles que lean el teorema de
Tales e interpreten en algunos ejemplos lo que dice para que identifiquen
cuáles son estos segmentos.
Para encontrar las medidas que faltan pueden escribir las razones entre
los lados correspondientes. Por ejemplo, para encontrar la medida del
segmento EF se puede utilizar la siguiente relación:
x
4.4
EF
x
FG 4.4
=
=
=
=
, entonces
2.6
4
AB 2.6 BC
4
84
Recuerde que hay dos maneras de establecer las razones o cocientes.
Los alumnos pueden intercambiar los numeradores con los denominadores,
pero cuidando que los segmentos correspondientes tengan el mismo orden.
AB BC
EF FG
=
=
es equivalente a
EF FG
AB BC
Si el alumno se equivoca aún cuando identifica bien los segmentos
correspondientes y acomoda los cocientes de forma adecuada, revise cómo
calculó el valor faltante. Por ejemplo, es común que el alumno llegue a una
situación como la que sigue, en donde el error está en el despeje,
AB BC
BC
=
y concluya que el valor de x es igual a
(FG )(AB )
x
FG
Como cierre puede pedirles a los estudiantes que compartan los
procedimientos utilizados para revisar si hubo maneras distintas de llegar al
mismo resultado, o bien para que a partir de la comparación de
procedimientos puedan identificar los errores cometidos.
Razón de homotecia.
34
Los alumnos tienen dificultades para resolver el problema, pídales que
investiguen cómo se caracteriza a dos figuras que son homotéticas entre sí.
Es conveniente que se revisen figuras que tengan razones de homotecia
mayor que cero y que identifiquen qué ocurre cuando la razón de homotecia
es mayor que uno y cuando es menor que uno.
Después de que tengan claro estos aspectos, recuérdeles que hay
figuras que tienen razón de homotecia negativa. Analice algunos ejemplos
junto con ellos e identifique qué es lo que cambia, qué diferencias hay con
respecto a figuras que son homotéticas con razones positivas.
En el caso de este problema es conveniente que los encamine a que
identifiquen cuál es el centro de homotecia y a partir de ahí revisen cómo se
obtiene la razón de homotecia.
85
BLOQUE IV
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
35. ¿Cuál es la sucesión de números que se genera con la regla n 2 + 2n ?
a) 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
• En la sucesión de números que elegiste, ¿cuál es la diferencia entre términos
consecutivos?
• En una sucesión de números, si la diferencia entre términos consecutivos es
constante, la regla que la genera es lineal y tiene la forma: an + b .
• La expresión n 2 + 2n , ¿es lineal? ¿Por qué?
• Copia la siguiente expresión y calcula el primer término de la sucesión cuando n es
igual a 1: (1)² + 2(1) = (1)(1) + 2(1) =
b) 3, 8, 15, 24, 35, 48, …
• A partir de la sucesión de números que elegiste, completa la siguiente tabla:
Número de término
1
2
3
4
Término de la
sucesión
3
8
15
24
Diferencias entre
términos
consecutivos (nivel 1)
35
48
8-3 =
Diferencias (nivel 2)
• ¿En qué nivel de las diferencias aparece una constante diferente de cero? ¿Cuál es
el valor de la constante que aparece?
• Si al obtener las diferencias de una sucesión de números aparece una constante
diferente de cero en el nivel 2, la expresión algebraica que genera dicha sucesión es
cuadrática y el valor de esa constante es el doble del coeficiente del término
cuadrático de la expresión algebraica.
• Copia la siguiente expresión y calcula el segundo término de la sucesión cuando n
es igual a 2: (2)² + 2(2) = (2)(2) + 2(2) =
86
c) 4, 8, 14, 24, 42, 76, …
• A partir de la sucesión de números que elegiste, completa la siguiente tabla:
Número de término
1
2
3
4
Término de la sucesión
4
8
14
24
Diferencias entre
términos consecutivos
(nivel 1)
42
76
8-4 =
Diferencias (nivel 2)
• ¿En qué nivel de las diferencias aparece una constante diferente de cero? ¿Cuál es
el valor de la constante que aparece?
• Si al obtener las diferencias de una sucesión de números aparece una constante
diferente de cero en el nivel 2, la expresión algebraica que genera dicha sucesión es
cuadrática y el valor de esa constante es el doble del coeficiente del término
cuadrático de la expresión algebraica.
• Copia la siguiente expresión y calcula el tercer término de la sucesión cuando n es
igual a 3: (3)² + 2(3) = (3)(3) + 2(3) =
d) 3, 12, 27, 48, 75, 108, …
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala con los primeros términos de la
sucesión que se genera con la regla n 2 + 2n
Número de término
Término de la sucesión
1
12 + 2(1) =
2
22 + 2(2) =
3
32 + 2(3) =
4
42 + 2(4) =
5
52 + 2(5) =
87
36. Observa la siguiente sucesión de figuras:
Si se continúa con la sucesión, ¿cuántos cuadritos tendrá la figura 15?
a) 289
Observa en cada una de las figuras de la sucesión, se ha identificado y remarcado un
cuadrado:
• ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe como se genera ese cuadrado?
El cuadrado del número de la figura.
El número de la figura más dos unidades al cuadrado.
El doble del número de la figura al cuadrado.
• ¿Cuántos cuadritos por lado tendrá el cuadrado que se remarque en la figura 15?
• En la figura 2 se han agregado dos cuadritos de cada lado del cuadrado remarcado.
En total, se agregan ocho cuadritos al cuadrado remarcado.
• En el caso de la figura 15, ¿cuántos cuadritos en total se agregaran a cada lado del
cuadrado que se remarque?
88
b) 387
Observa, nuevamente, la sucesión de figuras, a la cual se ha integrado la figura 5:
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
Número de la
figura
Número de cuadritos en
esa figura
1
9
2
24
Diferencia entre
términos
consecutivos
24-9=15
3
4
5
• Una vez que hayas completado la tabla, anota cuáles de las siguientes relaciones se
cumplen:
La figura 4 está formada por el doble de cuadritos que la figura 2.
Los cuadritos que se agregaron a la figura 2 para obtener la figura 3 son 25.
La figura 3 está formada por el triple de cuadritos que la figura 1.
Los cuadritos que se agregaron a la figura 3 para obtener la figura 4 son 35.
• Si se continúa con la sucesión, ¿cuántos cuadritos se agregarían a la figura 5 para
obtener la figura 6?
• En total, ¿cuántos cuadritos tendría la figura 6?
• ¿Cuántos cuadritos se agregarían a la figura 14 para obtener la figura 15?
89
c) 900
Observa cómo se han remarcado las figuras que aparecen en la sucesión de la
pregunta:
• ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe cuántos cuadritos forman el cuadrado
marcado en cada figura?
El número de la figura más dos unidades al cuadrado.
El doble del número de la figura al cuadrado.
El cuadrado del número de la figura.
• En la siguiente imagen se han remarcado otras partes de las figuras. Obsérvalas y
en tu cuaderno completa la tabla que aparece debajo.
Número de
figura
1
2
3
4
5
15
Número de
cuadritos
encerrados
por la línea
de color
blanco
1
4
Número de
cuadritos
sombreados
Número de
cuadritos
alrededor de los
cuadritos
sombreados
Número total
de cuadritos en
la figura
9-1=8
16-4=12
0
8
1+8=9
4+12+2+8=24
90
d)1129
• Se han incluido algunas figuras más en la sucesión que aparece en la pregunta
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala con base en las figuras
anteriores.
Número de
Número
de la
figura
Diferencias
cuadritos que
Número total de
Número de
forman el
cuadritos en los 5
cuadritos en las
cuadrado del
cuadrados iguales
uniones de los
centro de cada
que se forman
cuadrados iguales
1
5(1)=5
4
5+4=9
4
5(4)=
4
20+4=24
Número total
de cuadritos
en la figura
Nivel
Nivel
1
2
figura
1
2
24-9
=15
3
4
5
6
15
• Encuentra las diferencias entre los términos numéricos de la sucesión del número
total de cuadritos en cada figura. ¿En qué columna se obtuvo un valor constante entre
las diferencias?
91
37. ¿Cuál es la expresión algebraica que genera la sucesión de números: 3, 12, 27, 48,
75, 108,…?
a) 3(3n + 2)
• Utiliza la expresión algebraica que elegiste para encontrar los primeros seis términos
de la sucesión que se genera. En tu cuaderno copia la siguiente tabla y complétala:
n
1
2
3(3n + 2)
3(3(1) + 2) =
3(3(2) + 2) =
3
4
5
6
Diferencias entre
términos consecutivos
• ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos? ¿Esa diferencia es un valor
constante?
• En la sucesión 3, 12, 27, 48, 75, 108,…; ¿cuál es la diferencia entre dos términos
consecutivos? ¿La diferencia entre los términos consecutivos es un valor constante?
b) 2n 2 + 1
• ¿Cuál es el primer término que se genera con la expresión 2n 2 + 1?
• En tu cuaderno copia la siguiente tabla y complétala:
n
1
2
2n2 + 1=
2(1)2 + 1=
2(2)2 + 1=
3
4
5
6
• ¿La expresión algebraica 2n 2 + 1 es cuadrática? ¿Por qué?
• Los términos generados por la expresión 2n 2 + 1, ¿son iguales o diferentes a los de
la sucesión 3, 12, 27, 48, 75, 108,…?
c) 3n 2
• ¿Qué valores toma la expresión algebraica 3n 2 cuando sustituyes n por los valores
de 1, 2, 3, 4, 5 y 6?
• Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
1
n
3n
2
2
3(1) =
2
3
4
5
6
2
3(2) =
Con ayuda de la tabla calcula las diferencias entre términos consecutivos de la
sucesión y contesta:
• ¿En qué nivel encuentras que la diferencia es una constante?
• ¿Cuál es el valor de esa constante? ¿Qué relación encuentras entre ese valor
constante y el coeficiente 3 del término 3n 2 ?
• ¿La expresión algebraica 3n 2 es cuadrática? ¿Por qué?
92
d) n 3 + 2n
• En tu cuaderno copia la siguiente tabla y complétala con los valores generados por la
regla n 3 + 2n , al sustituir a n.
n
n3 + 2n =
1
(1)3+2(1)=
2
(2)3+2(2)=
3
4
5
6
Diferencias entre
términos consecutivos
• ¿En qué nivel el valor de la diferencia entre términos consecutivos es una constante?
• Encuentra las diferencias de primer y segundo nivel para la siguiente sucesión:
• En la sucesión anterior, ¿en qué nivel el valor de la diferencia entre términos
consecutivos es una constante? Las diferencias entre estas sucesiones, ¿son iguales o
diferentes?
• La expresión algebraica n³ + 2n, ¿es cuadrática? ¿Por qué?
Eje: Forma, espacio y medida
38. Se quiere fijar un poste al piso con un cable, como se muestra en la figura:
¿Cuál es la longitud del cable?
93
a) 6.5 m
• Responde verdadero o falso en cada una de las siguientes afirmaciones:
En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusa.
El teorema de Pitágoras se usa en triángulos rectángulos y sirve para encontrar la
medida de uno de los lados conociendo las medidas de los otros dos lados.
En todo triángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
El teorema de Pitágoras solamente se cumple en algunos triángulos
rectángulos.¿Cómo tendría que ser la curva que representa ese tramo en la
gráfica?
b) 8.5 m
• En el triángulo rectángulo, cuál es la expresión que corresponde al teorema de
Pitágoras.
c) 17 m
• Las siguientes son las medidas de los lados de tres triángulos. Determina cuál de
ellos es un triángulo rectángulo.
Triángulo A
Medida de un cateto
6cm
Triángulo B
8cm
Medida del otro cateto
Medida de la
hipotenusa
8cm
28cm
15cm
46cm
Triángulo C
8cm
15cm
17cm
94
d) 72.25 m
• Uno de los siguientes tres triángulos rectángulos tiene las medidas incorrectas, usa el
teorema de Pitágoras para determinar cuál es.
39. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los catetos es de 9 cm y la medida de
la hipotenusa es de 10 cm.
¿Cuál de las opciones es la que tiene la medida del cateto que falta?
a) 1 cm
• Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo siguiente. ¿Qué fórmula
permite calcular el valor de b?
b) 2 cm
Las medidas de los lados del siguiente triángulo
satisfacen que: (10)² = (8)² + (6)²; entonces, el triángulo es un triángulo rectángulo.
• Verifica si las medidas 2 cm, 9 cm y 10 cm son las medidas de los lados de un
triángulo rectángulo.
95
c) 4.35 cm
• ¿Cuál de las igualdades corresponde al teorema de Pitágoras para este triángulo?
ƒ 15 + b = 17
ƒ (15) 2 + b 2 = (17) 2
ƒ (15) 2 + b 2 = 17
¿Cuál es el valor de b?
d) 19 cm
• Responde verdadero o falso en cada una de las siguientes afirmaciones:
El todo triángulo rectángulo la suma de dos veces la medida de los catetos es igual
al doble de la hipotenusa.
En todo triángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa.
El teorema de Pitágoras solamente se cumple en algunos triángulos rectángulos.
• Si tres números a, b y c satisfacen: a 2 + b 2 = c 2 , entonces cualquier triángulo cuyos
lados son estas medidas es un triángulo rectángulo.
40. En el siguiente triángulo rectángulo, completa las medidas que faltan y calcula el
valor del seno del ángulo de 45°.
a) sen( 45º ) = 1
• ¿Por qué el triángulo es un triángulo rectángulo isósceles?
• ¿Cuánto mide el otro cateto del triángulo? ¿Cuánto mide la hipotenusa?
• ¿Cómo se calcula el seno de un ángulo?
96
b) sen( 45º ) = 2
• Usa el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la hipotenusa.
•
•
•
•
Copia en tu cuaderno las siguientes preguntas y respóndelas:
¿Cuánto mide el ángulo α? _________
¿Cuál es el valor del seno del ángulo α? __________
¿Cuál es el valor del coseno del ángulo α? _________
c) sen( 45º ) =
1
2
En el siguiente triángulo rectángulo
Usa el teorema de Pitágoras y calcula la medida de la hipotenusa.
¿Cuánto vale el seno del ángulo de 45º? ¿Cuál es el valor decimal del seno del
ángulo de 45º?
¿Cuál es el valor decimal de
1
2
?
¿Coinciden estos valores decimales?
97
1
2
• De acuerdo con tu respuesta, ¿se cumple la siguiente igualdad?
d) sen( 45º ) =
• Como el triángulo rectángulo es isósceles, el cateto opuesto mide 1 cm, y entonces la
igualdad nos indica que la hipotenusa mide 2 cm.
• Verifica si las medidas 1, 1, 2 cumplen con el teorema de Pitágoras.
41. Una escalera de 12 m de largo se coloca sobre una pared vertical formando un
ángulo de 60° con el piso, como se muestra en la figura.
Se sabe que el valor del coseno del ángulo de 60° es 0.5 y que el valor del seno del
ángulo de 60° es de 0.866; es decir, cos(60°) = 0.5 y sen(60°) = 0.866. ¿A qué distancia se
ubica la base de la escalera con respecto a la pared?
a) 6 m
•El triángulo siguiente tiene añadida la medida que calculaste y la medida del ángulo
que faltaba.
Cateto adyacente al ángulo de 30° =
Distancia del piso a la parte superior
de la escalera
Distancia de la base de la escalera al piso = 6m
• Usa el teorema de Pitágoras y encuentra la medida del lado que falta en el triángulo.
98
• Copia la tabla en tu cuaderno y complétala con las medidas del triángulo.
Seno
Coseno
Tangente
Razones trigonométricas
del ángulo de 60º
Razones trigonométricas
del ángulo 30º
6
= 0.5
12
• ¿Los valores del seno y coseno que calculaste al llenar la tabla coinciden con los
que se dieron en el problema?
• ¿Podrías haber utilizado el ángulo de 30° para encontrar la distancia de la base de la
escalera a la barda? Explica cómo.
b) 10.39 m
En el triángulo rectángulo se encuentran expresadas las razones trigonométricas para
el ángulo de 60°
• Si se conoce el valor de la hipotenusa del triángulo, ¿con cuál de las razones
trigonométricas se puede calcular la altura del triángulo?, ¿y con cuál se puede
calcular la base?
c) 13.85 m
• Con los datos del triángulo que se forma (el de la figura) y con el valor del coseno del
ángulo de 60° (igual a 0.5), ¿qué razón trigonométrica se puede usar para calcular la
distancia del piso a la parte superior de la escalera?
• ¿Qué razón trigonométrica se puede usar para calcular la distancia a la que se
encuentra la base de la escalera con respecto a la pared? En tu cuaderno plantea las
expresiones para calcular ambas medidas y obtenlas.
99
d) 24 m
• El valor del coseno del ángulo de 60° es igual a 0.5. Esté valor se calcula como el
resultado de hacer la siguiente división: cos (60º ) =
• Realiza la división:
cateto adyacente al ángulo de 60º
hipotenusa
distancia entre la base de la escalera y el piso
longitud de la escalera
• ¿El resultado que obtuviste coincide con el valor del coseno del ángulo de 60°?
42. A cierta hora del día un edificio proyecta una sombra de 20 m, formando un ángulo
de inclinación de 50° como se muestra en el dibujo.
Sabiendo que el valor de las razones trigonométricas para el ángulo de 50° son:
sen(50°) = 0.766 cos(50°) = 0.642 tan(50°) = 1.191
¿Cuál de las opciones indica correctamente la altura del edificio?
a) 0.059 m
Para el triángulo rectángulo:
El valor de la tangente para el ángulo de 50° es: tan(50°) = 1.191
100
• ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
• 1.191 =
cateto adyacente al ángulo de 60º
cateto opuesto al ángulo de 60º
• 1.191 =
cateto opuesto al ángulo de 60º
cateto adyacente al ángulo de 60º
• Con la igualdad correcta calcula la altura del triángulo
b) 12.85 m
Con la respuesta que diste se conocen los siguientes dos lados del triángulo
formado en el dibujo:
1. La longitud de la sombra (cateto adyacente al ángulo de 50°) = 20 m
2. Altura del edificio (cateto opuesto al ángulo de 50°) = 12.85 m
• Con estos datos verifica que el valor de la tangente del ángulo de 50° sea el que se
indica en el problema. Recuerda que:
tan(50º ) =
cateto opuesto al ángulo de 50º
cateto adyacente al ángulo de 50º
c) 15.32 m
Del siguiente triángulo rectángulo que se forma en el dibujo se conoce la longitud
del cateto adyacente al ángulo de 50° que corresponde a la longitud de la sombra
que proyecta el edificio.
101
• ¿Cuáles son las razones trigonométricas que usan este dato (cateto adyacente al
ángulo)?
seno y coseno
coseno y tangente
seno y tangente
• ¿A qué elemento del triángulo rectángulo que se forma en el dibujo, es equivalente
la medida de la altura del edificio?
hipotenusa
cateto opuesto al ángulo de 50°
cateto adyacente al ángulo de 50°
• ¿Cuál es la razón trigonométrica que relaciona la altura del edificio con respecto a la
longitud de la sombra que proyecta?
d) 23.83 m
Existen al menos dos maneras diferentes de calcular la medida del cateto opuesto
al ángulo de 50° en el siguiente triángulo rectángulo.
Una de ellas se encuentra utilizando el valor del coseno del ángulo de 50°:
• Si la medida del cateto adyacente al ángulo de 50° es de 20 m. ¿Cuál es la medida
de la hipotenusa?
• Considera las dos medidas que conoces, hipotenusa y cateto adyacente al ángulo
de 50°, y usa el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto opuesto al
ángulo de 50°.
102
Eje: Manejo de la información
43. La Tierra ha sido invadida por alienígenas. Llegaron 2 y como no tienen predadores
su número se duplica cada mes. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde al
crecimiento de la población alienígena en la Tierra?
a)
• ¿Cuántos alienígenas llegaron a la Tierra (mes 0)?, ¿cómo debe representarse esto
en la gráfica?
103
b)
• ¿Cuántos alienígenas llegaron (mes 0)?, ¿cómo debe verse esto en la gráfica?
• Si los alienígenas se duplican cada mes, la sucesión que muestra su crecimiento es:
2, 4, ___, 16, ____, 64
• ¿Esto se verifica en la gráfica? (Recuerda que el primer dato corresponde al mes 0,
el segundo al mes 1 y así sucesivamente).
104
c)
• En tu cuaderno, completa la tabla con los datos de la gráfica.
Número de
meses
0
Número de
alienígenas
2
1
2
3
4
5
6
• ¿Es cierto que cada mes se duplica el número de alienígenas?
105
d)
• Completa la tabla, considerando que el número de alienígenas se duplica cada mes.
Número de
meses
0
Número de
alienígenas
2
1
2
3
4
5
6
• ¿Los valores de la tabla corresponden a los valores de los puntos de la gráfica?
106
44. Observa la siguiente gráfica:
¿A cuál de las siguientes situaciones corresponde?
a) El crecimiento de cierta bacteria que se duplica cada hora.
• Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla considerando que el número de
bacterias se duplica cada hora. ¿Esto se verifica en la gráfica?
Número de
horas
0
1
2
3
4
5
6
Número de
bacterias
1
107
b) La meiosis es un proceso de reproducción celular en el que cada vez que se divide una
célula se generan cuatro.
• ¿Cuántas células hay al inicio (división 0)?, ¿cómo debe verse esto en la gráfica?
• En tu cuaderno copia y completa la tabla siguiente.
Número de
divisiones
0
1
2
3
4
5
6
Número de
células
1
• ¿Coincide la información de la tabla con la de la gráfica?
c) Una hormiga reina engendra 4 hormigas cada día (sin contar a la reina).
• Sin contar a la reina ¿cuántas hormigas hay al inicio (día 0)? Lo anterior, ¿cómo se
observa en la gráfica?
• En tu cuaderno copia y completa la siguiente tabla.
Número de
días
0
1
2
3
4
5
6
Número de
hormigas
0
• ¿Coincide esta información con la de la gráfica?
d) Un robot avanza 1 metro por cada 4 pasos que da.
• ¿Cuántos pasos ha dado el robot cuando ha avanzado 0 metros?, ¿cómo debe verse
esto en la gráfica?
• Si el robot avanza 1 metro por cada 4 pasos, la sucesión que muestra su
desplazamiento es:
0, 4, 8, ___, ____, ____, 24
• ¿Esta sucesión se verifica en la gráfica? (Recuerda que el primer dato corresponde a
cuando ha avanzado 0 metros, el segundo a cuando ha avanzado 1 metro y así
sucesivamente).
108
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje
del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para
enriquecer su labor en el aula.
Bloque IV
Preguntas
Sugerencias didácticas
Eje
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Sucesiones numéricas.
35
Es conveniente que los alumnos contesten los reactivos 35, 36 y 37 de
manera consecutiva. Propicie una discusión sobre el uso del método de las
diferencias finitas para identificar la sucesión numérica que se genera a partir
de una expresión cuadrática determinada.
Tal vez algunos alumnos consideren, erróneamente, que el resultado de
elevar al cuadrado un número es igual al de obtener su doble; esta idea
puede deberse porque multiplican la base por el exponente. En este caso,
evalué con ellos la regla para diferentes valores de n. La expresión que
genera la sucesión de números de la opción a) es 4n.
Los alumnos que elijan la opción c) posiblemente estén confundiendo el
exponente con la base y piensan que 5² es igual a 16 (realmente calculan 2
elevado a la 5), y al evaluar obtienen los valores de la sucesión que se
presenta. Al revisar la retroalimentación, se espera que identifiquen su error,
pues un referente para identificar cuál es la sucesión de números que
corresponde a la regla dada es que el valor de las diferencias de nivel 2 debe
ser una constante. Si algunos alumnos eligen la opción d) posiblemente se
deba a que la expresión algebraica n² + 2n la consideren, equivocadamente,
como equivalente a 3n².
Sucesión de figuras.
36
En este reactivo los alumnos deberán determinar cuántos cuadritos forman la
figura solicitada. Los alumnos podrían elegir la opción a) si consideran
únicamente cómo se forma la primera figura de la sucesión (es un cuadrado
con 3 cuadritos por lado). Así, considerarán que la figura 15 tendrá 17
cuadritos por lado. En la retroalimentación se busca que los alumnos se den
cuenta de que, a partir de la segunda figura, se tienen que considerar otros
cuadritos.
En la opción b), el error puede deberse a que los alumnos determinan el
número de cuadritos de la figura 5 y lo multiplican por 3 pensando en que 5×3
es 15, o que el número de cuadritos que tiene una figura es proporcional a
otra. La retroalimentación pretende hacerle ver a los alumnos que el
crecimiento de las figuras no es proporcional y que existen otras relaciones
que pueden identificar y usar para encontrar la respuesta (como es el caso
del uso de las diferencias entre los términos consecutivos de la sucesión).
Los alumnos que seleccionan la opción c) consideran que el número de
cuadritos de cada figura es el doble del cuadrado del número de la figura. En
la retroalimentación se busca que los alumnos se den cuenta de que esto no
109
sucede así. Se espera que la manera en que están remarcadas las figuras de
la sucesión les ayude a visualizar una manera de encontrar la respuesta.
Lo interesante en este problema es analizar las diferentes maneras en
que se puede determinar el número de cuadritos que conforman a una figura
de esta sucesión. Para ello, es recomendable que en grupo analicen las
retroalimentaciones y, con su ayuda, puedan encontrar la regla que genera la
sucesión: 5n² + 4.
Expresión de una sucesión numéricas.
37
Forma,
espacio y
medida
Si observa que la mayoría de sus alumnos tienen dificultades para determinar
cuál es la expresión algebraica correcta, puede pedirles que evalúen cada
una de las expresiones para verificar sus respuestas. Para ello, podrían
construir una sola tabla en la que se evalúen todas las expresiones y luego,
analizar cada las sucesiones que se generan. Es importante que los alumnos
identifiquen que la constante del nivel 2 de las diferencias es el doble del
coeficiente del término cuadrático en la expresión general.
Los alumnos que elijan la opción a) puede deberse a que al evaluar la
expresión con los valores n = 1 y n = 2, se obtiene 3 y 9 respectivamente,
que son términos que aparecen en la sucesión de la pregunta. Sin embargo,
para los valores de n = 3 en adelante ya no concuerdan los términos. La
sucesión que genera la expresión 3(3n – 2) es lineal y el valor de las
diferencias entre términos consecutivos de dicha sucesión es una constante
(vale 9).
Algunos alumnos seleccionarán la opción b) porque, al evaluar la
expresión, el primer término que se obtiene es 3, como en la sucesión 3, 12,
27,… y la expresión algebraica es cuadrática. Se espera que al obtener más
términos que forman esa sucesión, los alumnos se den cuenta que no
corresponde.
En el caso de que seleccionen la opción d) deberán darse cuenta de que la
expresión es cúbica. Una manera de verlo es que al evaluar la expresión, los
valores crecen más rápidamente. Otra forma es al obtener las diferencias
entre términos consecutivos de las sucesiones.
Cálculo de distancias.
38
Si después de leer la pregunta
los alumnos tienen dificultades
para establecer la opción
correcta, puede hacerles notar
que en el dibujo se forma un
triángulo rectángulo. Una vez
hecho esto hay que observar
que la medida del cable (la
medida que se desconoce)
coincide con la medida de la
hipotenusa en el triángulo.
Una vez establecido lo
anterior puede recordar mediante ejemplos el teorema de Pitágoras. Es
importante que los alumnos recuerden bien las operaciones involucradas.
Algunos de los errores comunes que tienen los alumnos al interpretar dicho
teorema son:
110
No elevan al cuadrado la medida de los lados.
Hacen la suma de los catetos y después hacen la suma al cuadrado.
En lugar de elevar al cuadrado las medidas las duplican.
Como cierre indíqueles que cambien las medidas en el problema y
ensayen encontrando en cada caso la medida del cable (la hipotenusa).
Triángulos y Pitágoras.
39
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
la opción correcta, puede recordar el enunciado del teorema de Pitágoras.
Una vez establecido lo anterior puede sustituir en un triángulo rectángulo
las medidas conocidas. Para ello no se necesita que las medidas coincidan
con la longitud de los lados del triángulo rectángulo, pero si es importante que
a la hipotenusa le ponga el valor indicado. Después puede explorar la manera
de calcular la medida faltante. Es importante que los alumnos entiendan la
manera de despejar la medida del cateto buscado, ya que en el despeje hay
que cambiar un signo y luego sacar una raíz.
Como cierre puede pedir a los alumnos que cambien las medidas en el
problema y ensayen encontrando en cada caso la medida del cateto faltante.
El ángulo de 45°.
40
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál la opción correcta,
puede hacerles notar que el dibujo se trata de un triángulo isósceles ya que,
como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° y se
sabe que uno mide 90° y otro 45°, el tercer ángulo también mide 45°. Puede
poner varios triángulos rectángulos para ver esto (cambiando la medida de
cualquiera de los lados).
Entonces ya se conoce la medida del los dos catetos (ambos miden lo
mismo por tratarse de un triángulo isósceles). Por tal motivo, podemos usar el
teorema de Pitágoras para determinar la medida faltante. Una vez
establecidas todas las medidas se pueden calcular las tres razones
trigonométricas, seno, coseno y tangente a un ángulo dado.
Como cierre puede pedir a los alumnos que construyan triángulos
rectángulos con otras medidas y encuentren en cada caso las razones
trigonométricas. Hágales notar que, en algunos casos, las medidas que
obtienen son aproximaciones pues al medir los ángulos se puede perder
exactitud.
La escalera y trigonometría.
41
Si los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la
correcta, puede recordar cómo se definen las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente en un triángulo rectángulo; para así determinar cuál sería
la elección correcta para calcular la distancia que se pide.
También puede recordar con algunos ejemplos (sobre todo si tiene una
calculadora científica) que si a y b son los ángulos que no son rectos en un
triángulo rectángulo, entonces sen(a) = cos(b) y cos(a) = sen(b)
Como cierre puede pedir a los alumnos que calculen la distancia del piso
a la parte superior de la escalera ya sea con el valor del seno de 60° o con el
valor del coseno de 30° (que son el mismo). También pueden cambiar la
longitud de la escalera y volver a plantear el problema con este nuevo dato.
111
La altura del edificio.
42
Manejo de la
información
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
cuál la opción correcta, puede recordar las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente en un triángulo rectángulo, con la finalidad de determinar
los elementos que las definen a cada una y así poder identificar cuál razón
les conviene calcular para encontrar la distancia que se pide. Puede recordar
con algunos ejemplos de triángulos rectángulos donde se conoce:
a) El valor de alguna de las razones trigonométricas para alguno de los
ángulos del triángulo.
b) Una de las medidas de algún lado.
Una vez que conozca las medidas de los tres lados del triángulo puede
verificar si son correctas usando el teorema de Pitágoras. Si es posible esta
actividad la pueden realizar con la ayuda de una calculadora científica.
Gráficas de crecimiento.
43
44
Es común que los estudiantes confundan una situación de crecimiento (o
decrecimiento) exponencial con situaciones lineales. El llenado de la tabla
que se sugiere en la opción d) puede ser de utilidad para constatar que:
• No es una situación de proporcionalidad porque no se cumple que la
gráfica pase por el punto (0,0) ni que al doble de la variable
independiente le corresponde el doble de la otra variable, al triple el
triple, etc.
• No hay un único número por el que puedan multiplicarse las cantidades
de la columna izquierda (número de meses) para obtener las de la
derecha (número de alienígenas), es decir, no hay una constante de
proporcionalidad y por ello el fenómeno no es lineal (su gráfica no será
una línea recta).
• Sí hay un patrón de crecimiento: el número de alienígenas se duplica,
así que si llegaron 2, al mes siguiente habrá 4, luego 8 y así
sucesivamente. Esto puede escribirse como 2 × 20, 2 × 21, 2 × 22, 2 ×
23… El número 2 es la “razón común” en esta situación.
Crecimiento exponencial y su gráfica.
El llenado de tablas que se sugiere en las retroalimentaciones puede ser de
utilidad para constatar que:
• No es una situación de proporcionalidad porque no se cumple que la
gráfica pase por el punto (0,0) ni que al doble de la variable
independiente le corresponde el doble de la otra variable, al triple el
triple, etc.
• No hay un único número por el que puedan multiplicarse las cantidades
de la columna izquierda (número de meses) para obtener las de la
derecha (número de alienígenas), es decir, no hay una constante de
proporcionalidad y por ello el fenómeno no es lineal (su gráfica no será
una línea recta).
• Sí hay un patrón de crecimiento: 1 × 40, 1 × 41, 1 × 42, 1 × 43… El
número 4 es la “razón común” en esta situación.
112
BLOQUE V
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
45. En una tienda hay dos modelos de mesas, las del modelo 1 tienen 3 patas y las del
modelo 2 tienen 4 patas.
En la tienda hay un total de 200 mesas y entre los dos modelos suman 670 patas.
¿Cuántas mesas de cada modelo hay en esa tienda?
a) 70 mesas del modelo 1 y 130 mesas del modelo 2.
Si x representa el número de mesas del modelo 1 y si y representa el número de
mesas del modelo 2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa el número de
patas que hay entre los dos tipos de mesas?
3 x + y = 670
4 x + y = 670
3 x + 4 y = 670
4 x + 3 y = 670
b) 100 mesas del modelo 1 y 100 mesas del modelo 2.
• ¿Cuántas patas hay en total en 100 mesas del modelo 1?
• ¿Cuántas patas hay en total en 100 mesas del modelo 2?
• ¿Cuántas patas hay en total en estas 200 mesas?
c) 130 mesas del modelo 1 y 70 mesas del modelo 2.
• Si x representa el número de mesas del modelo 1 y si y representa el número de
mesas del modelo 2. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representan las
dos condiciones del problema?
Sistema 1
x + y = 200
4 x + 3 y = 670
Número total de mesas
Número total de patas
Sistema 2
x + y = 200
3 x + 4 y = 670
Número total de mesas
Número total de patas
• Resuelve el sistema que elegiste y verifica si el valor de x y el valor de y son
solución del problema.
d) 190 mesas del modelo 1 y 25 mesas del modelo 2.
• ¿Cuántas patas hay en 190 mesas del modelo 1?
• ¿Cuántas patas hay en 25 mesas del modelo 2?
• ¿Cuántas patas hay en total en estos dos modelos de mesas?
• ¿Cuántas mesas hay total?
113
46. ¿Cuál de los siguientes problemas se resuelve con la ecuación: 3x² – 2x – 241 = 0?
a) El largo de un rectángulo mide el triple del ancho menos 2 cm y su área es de 341 cm².
¿Cuánto mide el ancho del rectángulo?
• Observa la figura.
• ¿Cómo se expresa el largo del rectángulo en términos del ancho (x)?
• ¿Qué operación se hace entre el largo y el ancho del rectángulo para obtener el
área?
b) A un número se le suma el triple de ese mismo número menos dos, el resultado es 341.
¿Cuál es ese número?
• Si x representa al primer número, ¿cómo se representa al otro número?
• ¿Cuál es la ecuación que representa que la suma de los dos números es igual a 341?
¿Cuáles son los términos semejantes en esa ecuación?
c) En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide el triple del otro menos 2 cm. Si el
cuadrado de la hipotenusa mide 341 cm². ¿Cuánto mide el cateto menor?
Observa la figura.
• ¿Cómo se expresa la medida del otro cateto en términos de x ?
• Usa la relación del teorema de Pitágoras para calcular la ecuación asociada al
triángulo.
d) El cuadrado del triple de un número menos el doble del número es 341.
Si x es el número, ¿cómo se representa al triple de ese número?
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente al cuadrado del triple del número?
3x
3x²
9x
9x²
114
Eje: Forma, espacio y medida
47. ¿Con cuál de los siguientes desarrollos planos se construye la cabeza para hacer un
disfraz del hombre de hojalata?
a)
• ¿Qué forma tiene el desarrollo plano de un cono?
• ¿Cómo debe ser la medida del perímetro de la circunferencia con respecto a la
medida del largo del rectángulo?
• ¿Qué sucede cuando unes los dos lados rectos del sector circular?
• Dibuja en tu cuaderno un desarrollo plano como el que elegiste y trata de formar el
cuerpo geométrico que se pide.
b)
• ¿Qué sucede con la circunferencia si unes los lados opuestos del rectángulo para
formar la cara lateral del cilindro? ¿Embonan bien?
115
c)
• Dibuja un triángulo isósceles en una hoja de papel y recórtalo.
• ¿Qué sucede cuando pegas los dos lados iguales del triángulo que dibujaste? ¿Cómo
queda la base?
• ¿Qué sucede si unes los vértices de la base del triángulo, de manera que quede una
circunferencia para formar la base del cono?
d)
• ¿Qué sucede cuando pegas los dos lados iguales del triángulo que forma el sombrero
del hombre de hojalata? ¿Cómo queda la base de este sombrero?
• ¿Qué sucede si unes los vértices de la base del triángulo, de tal forma que quede una
circunferencia para formar la base del cono?
• Dibuja en tu cuaderno un desarrollo plano como el que elegiste y trata de formar el
cuerpo geométrico que se pide.
116
48. El siguiente cuerpo geométrico está compuesto por un cilindro y un cono rectos:
¿Qué figura plana resulta si se realiza un corte vertical desde la punta del cono hasta la
base del cilindro?
a) Un triángulo
• Consigue un cono sobre el cuál puedas rayar. Si no lo tienes, entonces constrúyelo
a partir de su desarrollo plano. Con un marcador o un lápiz traza sobre el cuerpo
geométrico una línea punteada que vaya desde la punta hasta la base y divida al cono
justo por la mitad. ¿Cuántos trazos hiciste?
• ¿Los trazos son rectos o son curvos?
• ¿Qué figura geométrica quedaría si recortarás sobre las líneas que trazaste?
b) Un rectángulo
• En una cartulina o un cartoncillo, traza y recorta un rectángulo de cartulina. Pega un
popote y gíralo como se observa en la ilustración.
• ¿Qué cuerpo geométrico se genera?
c) Un pentágono
• Si quisieras hacer un sólido de revolución:
• ¿Qué figura geométrica usarías y sobre cuál eje la puedes girar para generar un
cilindro?
• ¿Qué figura geométrica usarías y sobre cuál eje la puedes girar para generar un
cono?
• ¿Qué figura tendrías que girar para generar el cuerpo geométrico?
117
d) Un círculo.
• Imagina que con una tarjeta se separa el cilindro del cono como se indica en la
figura.
• ¿Qué figura geométrica queda en la sección de corte?
• Y si lo cortas de la punta a la base como lo indica el problema ¿queda la misma
figura que el corte anterior?
118
49. Se requiere construir un envase en forma de un cilindro con capacidad de un litro y
altura de 20 cm. ¿Cuál de las siguientes medidas del diámetro de la base es la más
conveniente para construirlo?
Recuerda que 1litro = 1000 cm³
a) 4 cm
• ¿Cuál de las siguientes expresiones es la fórmula para obtener el volumen de un
cilindro?
V = πdh
V = πrh
V = πr 2 rh
• ¿El valor que obtuviste después de los despejes es el diámetro o el radio?
• Si el diámetro de la base mide 4 cm aproximadamente, ¿cuánto mide el radio?
• Utiliza la fórmula para calcular el volumen del cilindro que elegiste, sustituye el radio
que encontraste y la altura que pide el problema para obtener el volumen con estos
valores. ¿Qué resultado te dio?
• Compara con otras opciones para ver si esta es la aproximación que más te sirve
para obtener un envase con capacidad de un litro.
b) 7 cm
• Después realizar los despejes y calcular el valor del radio. ¿A qué valor se aproxima
más el valor del radio, a 3.5 o a 4?
c) 8 cm
• Si 8 cm es la medida aproximada del diámetro de la base del envase, ¿cuál es el
radio?
• Sustituye las medidas del radio y de la altura en la fórmula para obtener el volumen
del cilindro y verifica que en efecto el envase tiene una capacidad de un litro.
• ¿El resultado que obtuviste es exactamente de un litro?
• ¿A qué le atribuyes esta diferencia?
d) 16 cm
• Cuál es la fórmula para obtener el volumen de un cilindro?
• ¿Cuál de los siguientes despejes sirve para obtener el radio de la base del cilindro?
V
V
V
r=
r=
r=
πh
h
πh
• Revisa que en el despeje que elegiste estén todos los elementos de la fórmula para
calcular el volumen del cilindro.
119
50. ¿Cuánto debe medir la altura de un vaso en forma de cilindro para que su volumen
sea el doble que el volumen del cono de papel que se muestra en la siguiente imagen si
el radio de la base de ambos objetos es igual?
a) 5
• Si las medidas de la altura y del radio de la base de un cono y un cilindro son
iguales. ¿Cómo es el volumen del cono con respecto al volumen del cilindro?
• Si el radio de las bases de un cono y un cilindro son iguales:
• ¿Qué altura debe tener el cilindro para que su volumen sea igual al del cono?
• ¿Qué altura debe tener el cilindro para que su volumen sea el triple que el volumen
del cono?
b) 7.5
• Completa la siguiente tabla y compara la medida de los volúmenes del cono y el
cilindro cuando cambian las medidas de sus alturas.
CONO
Radio de la
base
10
Altura
15
5
15
15
Volumen
CILINDRO
Altura
15
15
5
7.5
Volumen
Observa en cada caso cómo varia el volumen del cono respecto al volumen del cilindro.
c) 10
• Si un cono y un cilindro tienen la misma altura y el mismo radio de la base entonces
¿Cómo es el volumen del cono con respecto al volumen del cilindro?
• Si el radio de las bases de un cono y un cilindro son iguales:
120
• ¿Qué altura debe tener el cilindro para que su volumen sea igual al del cono?
• ¿Qué altura debe tener el cilindro para que su volumen sea el triple que el volumen
del cono?
d) 30
• ¿Cuánto mide el volumen del cono de la imagen?
• Si la medida de los radios de la base de un cono y de un cilindro son iguales, ¿qué
altura debe tener el cilindro para que su volumen sea igual que el del cono? ¿Qué altura
debe tener el cilindro para tener igual volumen que el cono si sus bases son iguales?
• De las siguientes expresiones identifica cuál es la correcta para calcular la altura h
del cilindro.
V
V
h= 2
h=
h = Vπr 2
πd
πr
• ¿Qué tienes que hacer para saber la altura si se quiere que el volumen del cilindro
sea el doble que el volumen del cono, como lo pide el problema?
121
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje
del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para
enriquecer su labor en el aula.
Bloque V
Preguntas
Sugerencias didácticas
Eje
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Las mesas.
45
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
la opción correcta, puede recordarles cómo pasar un enunciado al lenguaje
algebraico. Por ejemplo, si x representa el número de mesas del modelo 1,
entonces 3x representa el número total de patas que hay en las x mesas del
modelo 1 y lo mismo sucede con las mesas del modelo 2, es decir, si y
representa el número de mesas que hay del modelo 2, entonces 4y es el
número total de patas que hay en las y mesas del modelo 2.
Como ejercicio pueden resolver los dos sistemas de ecuaciones dados
en la opción c).
Si alguno de sus alumnos selecciona la opción a) posiblemente se debe
a que confunden cuál es la mesa del modelo 1 y cuántas patas tiene ese
mesa.
En el caso de la opción b) es posible que algunos alumnos la
seleccionen porque al plantear el sistema de ecuaciones consideran que hay
igual número de mesas para ambos modelos.
De la ecuación al enunciado.
46
Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer
la opción correcta, puede recordar cómo asociarle al enunciado de un
problema su ecuación, es decir pasar el enunciado del problema al lenguaje
algebraico.
Uno de los errores comunes de los alumnos es traducir el lenguaje
algebraico un problema de manera incorrecta. Por ejemplo, si x representa un
número, para el enunciado “el cuadrado de la mitad de un número” los
alumnos suelen escribir
x2
en lugar de
2
2
x2
⎛x⎞
=
⎜ ⎟
4
⎝2⎠
Al final, puede pedir a sus alumnos que encuentren la ecuación que
modela cada problema que aparece en las opciones de respuesta y los
resuelvan.
122
Forma,
espacio y
medida
Desarrollos planos de conos y cilindros.
47
El objetivo de estudiar este contenido es desarrollar la intuición e imaginación
espacial de los estudiantes. Si los alumnos tienen dificultades para
determinar cuál de la opciones es la correcta, pídales que construyan, por
separado, los desarrollos planos de un cono y un cilindro con la condición de
que tengan la misma base para que luego las peguen y construyan el cuerpo
que se les muestra en el problema. A partir de esta construcción pídales que
generen el desarrollo plano de este cuerpo.
Posteriormente usted puede indicarles las medidas de la figura (área de
la base y la altura del cono y del cilindro) y pedirles que hagan el desarrollo
plano.
Cortes planos de conos y cilindros.
48
49
La intención del estudio de este contenido es continuar con el desarrollo de la
intuición e imaginación espacial de los estudiantes, en segundo grado
hicieron ejercicios similares con prismas y pirámides. Se espera que los
alumnos generen hipótesis acerca de cómo se ven los cortes de conos,
cilindros y cuerpos compuestos por los anteriores.
Si observa que los alumnos tienen dificultades para determinar cuál es
la figura geométrica que se forma al hacer el corte, pida que construyan un
cono y un cilindro de plastilina y que realicen los cortes para que analicen qué
figura geométrica queda. Muestre también que no en todos los cortes se
generan polígonos.
Otra actividad que puede pedirle a sus alumnos que realicen es que, en
papel cartón o cartoncillo, tracen y recorten cada una de las figuras de las
opciones de respuesta para girarlas alrededor de un lado o alguno de sus
ejes de simetría y así determinar qué sólido se genera.
Como cierre puede pedir a los alumnos que imaginen cuáles serían las
figuras que se obtendrían al realizar cortes transversales y longitudinales al
sólido que se presenta en el problema.
Volumen del cilindro.
En este reactivo se espera que los alumnos logren identificar la manera en
que pueden utilizar la fórmula del volumen del cilindro para obtener la medida
más conveniente del diámetro de la base del envase y cumplir con lo
señalado en el problema. Lo anterior implica reconocer los términos de la
fórmula que se conocen y despejar para obtener, en este caso, la medida del
radio. Para ello también es necesario realizar de de forma correcta una
conversión de litros a centímetros cúbicos.
Si después de leer la pregunta el alumno tiene dificultades para
establecer cuál de las opciones es la que da una mejor aproximación al
diámetro de la base, identifique si el problema se relaciona con una manera
incorrecta de realizar los despejes, con errores de conversión entre unidades
(centímetros, decímetros y litros), o bien, si no identifica con claridad qué es
lo que le pide el problema.
Tome en cuenta que el dato solicitado es el diámetro, término que no
aparece en la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. Ayude al
alumno a deducir que ese dato debe obtenerse de forma indirecta a partir de
la obtención del radio.
123
Como cierre puede pedir a los alumnos que verifiquen cada opción de
respuesta: se divide cada una de las respuestas por dos para obtener el valor
aproximado del radio y después se sustituye este valor en la fórmula del
volumen.
Comparación de medidas y volúmenes.
50
En este reactivo se espera que los alumnos utilicen las fórmulas para calcular
el volumen del cono y el cilindro, reconozcan la relación que existe entre los
volúmenes de ambos cuerpos, particularmente, cuando la medida del radio
de sus bases es igual.
Es posible que los alumnos encuentren la medida de la altura mediante
alguna de las siguientes estrategias:
La primera de éstas consiste en obtener el volumen del cono a partir de
los datos que brinda el problema y con este resultado, junto con el valor del
radio del cilindro, calcular la altura de éste despejándola de la fórmula V = πr²
h.
El segundo procedimiento, que es más directo, puede darse a partir de
lo que se sabe de la relación proporcional entre el volumen de estos cuerpos:
el volumen de un cilindro es tres veces mayor que el de un cono con base y
altura iguales. Para resolver lo que se pide, puede ayudar a los alumnos para
aplicar lo que saben acerca de relaciones de proporcionalidad directa.
Recuerde que el radio de la base es el mismo para ambas figuras.
Si después de leer la pregunta el alumno tiene dificultades para
establecer cuál de las opciones corresponde a la altura del cilindro, puede
recordarle ambas fórmulas y pedirle que las compare y establezca cuánto es
mayor o menor el volumen de uno con respecto al otro, considerando que las
medidas de la altura y del radio de la base de esos cuerpos son iguales.
Como una actividad posterior a la revisión de este problema a sus
alumnos puede plantearles las siguientes preguntas:
¿Cómo varía el volumen de un cono con respecto al volumen de un
cilindro si disminuye a la mitad la altura? o ¿Cómo varía el volumen de un
cilindro en relación al volumen de un cono, si su radio aumenta al doble?
124
REGISTRO DE RESPUESTAS
Nombre de la asignatura: ____________________________________________________________
Nombre del alumno: ________________________________________________________________
No. de aciertos: ___________________________ Fecha: __________________________________
1.
2.
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20.
21.
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30.
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43.
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50
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d.
125
CLAVE DE RESPUESTAS
Contenido de la pregunta
1. El cuadrado de un binomio
2. Producto de binomios
3. Factorización de polinomios de segundo grado
4. Problemas de factorización
5. Congruencia de triángulos
6. Rectas y circunferencias
7. Rectas tangentes a una circunferencia
8. Ángulo inscrito y ángulo central en una circunferencia
9. Medida de arcos
10. Área de la corona
11. Comparar razones de cambio
12. Ecuación cuadrática de una situación
13. Problema correspondiente a una ecuación cuadrática
14. Problema correspondiente a una ecuación cúbica
15. Factorización de una ecuación cuadrática
16. Resolución de ecuaciones cuadráticas
17. Más sobre ecuaciones cuadráticas
18. Figuras semejantes
19. Semejanza para triángulos
20. Semejanza y triángulos rectángulos
21. Índices
22. Tabla de una relación funcional cuadrática
23. Función cuadrática de un problema
24. Resolución de una ecuación cuadrática (1)
25. Resolución de una ecuación cuadrática (2)
26. El despeje y su gráfica
27. Los gases
28. Las parábolas
29. Las gráficas desplazadas
30. Las cúbicas
31. Gráficas formadas por secciones rectas y curvas
32. Llenado de recipientes y secciones rectas y curvas
33. Teorema de Tales
34. Razón de homotecia
35. Sucesiones numéricas
36. Sucesiones de figuras
37. Expresión de una sucesión numérica
38. Cálculo de distancias
Opción
correcta
b)
d)
a)
c)
c)
d)
d)
b)
c)
b)
b)
b)
a)
c)
a)
d)
a)
c)
b)
c)
c)
c)
d)
a)
c)
c)
b)
c)
a)
a)
c)
d)
c)
d)
b)
d)
c)
a)
126
39. Triángulos y Pitágoras
40. El ángulo de 45º
41. La escalera y trigonometría
42. La altura del edificio
43. Gráficas de crecimiento
44. Crecimiento exponencial y su gráfica
45. Las mesas
46. De la ecuación al enunciado
47. Desarrollos planos de conos y cilindros
48. Cortes planos de conos y cilindros
49. Volumen del cilindro
50. Comparación de medidas y volúmenes
c)
c)
a)
d)
d)
b)
c)
a)
a)
c)
c)
c)
127
CRÉDITOS
CNPEGSV, SEB
Alonso Lujambio Irazábal
Secretario de Educación Pública
José Fernando González Sánchez
Subsecretario de Educación Pública
Juan Martín Martínez Becerra
Director General de Desarrollo de la
Gestión e Innovación Educativa
Básica
María Edith Bernáldez Reyes
Directora General de Materiales
Educativos
Ernesto Adolfo Ponce Rodríguez
Coordinador General de Innovación
Lilia Dalila López Salmorán
Coordinadora Nacional de Programas
Educativos para Grupos en Situación
de Vulnerabilidad
María Teresa Calderón López
Coordinadora de Vinculación
Académica
Lilia Dalila López Salmorán
Coordinadora Académica
Sandra Ortiz Martínez
María Guadalupe Ramírez Santiago
Seguimiento y Revisión
Moisés García González
Apoyo en la Revisión de Contenidos
Matemáticas
Jorge Humberto Miranda Vázquez
Nancy García García
Colaboradores Editorial
ILCE
José Luis Espinosa Piña
Director General
Felipe Bracho Carpizo
Coordinación de Informática Educativa
Ana Clara Trinidad
Coordinadora de Radio y Televisión
Aquiles Ávila Hernández Fermín Revueltas Valle
Responsable de la Dirección de Director Tecnológico
Telesecundaria
Silvia Rodríguez López
Rosa María Mackinney Bautista Iris Hernández Pérez
Eunice Mayela Ayala Seuthe Coordinación
Edith Segura Parra
Coordinadoras Iris Hernández Pérez
Luis Daniel Mújica López
Ana Rosa Díaz Aguilar Daniel Rodríguez Barranco
Coordinadora Académica Español Desarrollo Tecnológico
Ana Rosa Díaz Aguilar
Eduardo Canto Salinas
Socorro De la O Pecina
María de Lourdes González Islas
Héctor Luis Grada Martínez
Elaboración de Reactivos Español
Silvia Rodríguez López
Roberto Núñez Hernández
Diseño Gráfico e
Integración de Interfaz y Reactivos
Raúl García Flores
Ilustración
Julieta Fernández Morales
Ofelia González Sánchez Felipe Bonilla Aguilar
Selección de Recursos Cecilia Adriana López Rivera
Informáticos Español Lilia Karina Wong Cortés
María Gabriela Ávila Sánchez
Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición de Video
Coordinador Académico Matemáticas
Erika Paulina Tovilla Quesada
Ana Laura Barriendos Rodríguez Apoyo de integración de Descartes
Mauricio Héctor Cano Pineda
Emilio Domínguez Bravo
José Cruz García Zagal
Olga Leticia López Escudero
Elaboración de Reactivos Matemáticas
Deyanira Monroy Zariñan
Selección de Recursos Informáticos
e Integración de Reactivos Matemáticas
Mauricio Héctor Cano Pineda
Selección de Videos Matemáticas
Esther Edith López-Portillo Chávez
Susana Dessireé García Herrera
Angélica Alejandra Portillo Rodríguez
Héctor Luis Grada Martínez
Eduardo Canto Salinas
Correctores de Estilo
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Se autoriza la reproducción parcial o total de este material por cualquier sistema mecánico, electrónico y otro, sin fines de lucro y
citando la fuente.
Segunda edición: 2009
DR © Secretaría de Educación Pública, 2008
Argentina 28, Colonia Centro Histórico,
CP 06020; México, DF.
ISBN (Obra completa)
ISBN (Material impreso)
Distribución Gratuita (prohibida su venta)
“Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos al desarrollo social.”
Artículo 28 de la Ley General de Desarrollo Social
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