Circuitos RLC (Resistance, Inductance, Capacitance)

INTRODUCCIÓN
El documento a continuación presentado, muestra la teoría general utilizada para el análisis de circuitos RC,
RL y RLC. Se demostrarán sus ecuaciones normales y algunas de sus propiedades físicas.
CIRCUITOS RC
Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador.
Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el
condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a
cargarse ya que hay una corriente en
el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso
que se utiliza una resistencia.
Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.
La segunda regla de Kirchoff dice: V = (IR) − (q/C)
Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador.
En un tiempo igual a cero, la corriente será: I = V/R cuando el condensador no se ha cargado.
Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será igual a: Q = CV
CARGA DE UN CONDENSADOR
Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán I y q. Y la corriente I se sustituye por dq/dt
(variación de la carga dependiendo de la variación del tiempo):
(dq/dt)R = V − (q/C)
dq/dt = V/R − (q/(RC))
Esta es una ecuación
Diferencial. Se pueden dq/dt = (VC − q)/(RC)
Separar variable dq/(q − VC) = − dt/(RC)
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Al integrar se tiene ln [ − (q − VC)/VC)] = −t/(RC)
Despejando q q dt = C V [(1 − e−t/RC )] = q (1− e−t/RC )
El voltaje será
)=V
DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de cambio de carga en el
condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el
cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada
remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador:
q = Q e−t/RC
Donde Q es la carga máxima
La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo:
I = Q/(RC) e−t/RC
Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.
CIRCUITOS RL
Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir
que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito
puesto que se considera mucho menor a la del inductor.
Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza
electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza
contraelectromotriz.
Esta fem está dada por: V = −L (inductancia) dI/dt
Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (dI/dt) y la tensión será negativa al
haber una caída de la misma en el inductor.
Según kirchhoff: V = (IR) + [L (dI / dt)]
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IR = Caída de voltaje a través de la resistencia.
Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución:
x = (V/R) − I es decir; dx = −dI
Sustituyendo en la ecuación: x + [(L/R)(dx/dt)] = 0
dx/x = − (R/L) dt
Integrando: ln (x/xo) = −(R/L) t
Despejando x: x = xo e −Rt / L
Debido a que xo = V/R
El tiempo es cero
Y corriente cero V/R − I = V/R e −Rt / L
I = (V/R) (1 − e −Rt / L)
El tiempo del circuito está representado por = L/R
I = (V/R) (1 − e − 1/)
Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio
de la corriente en el tiempo como cero.
Para verificar la ecuación que implica a y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial: dI/dt = V/L e −
1/
Se sustituye: V = (IR) + [L (dI / dt)]
V = [ (V/R) (1 − e − 1/)R + (L V/ L e − 1/)]
V − V e − 1/ = V − V e − 1/
OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC
Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente como la carga den el condensador oscila.
Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en
calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el momento, se ignorará la
resistencia.
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En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo
eléctrico entre las placas es U = Q2máx/(2C). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito
comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga
almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo
eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar.
En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y
condensador): U = Uc + UL
U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )
CIRCUITO RLC
Un circuito RLC es aquel que tiene como componentes una resistencia, un condensador y un inductor
conectados en serie
En un tiempo igual a cero, el condensador tiene una carga máxima (Qmáx). Después de un tiempo igual a
cero, la energía total del sistema está dada por la ecuación presentada en la sección de oscilaciones en
circuitos LC
U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )
En las oscilaciones en circuitos LC se había mencionado que las oscilaciones no eran amortiguadas puesto que
la energía total se mantenía constante. En circuitos RLC, ya que hay una resistencia, hay oscilaciones
amortiguadas porque hay una parte de la energía que se transforma en calor en la resistencia.
El cambio de la energía total del sistema dependiendo del tiempo está dado por la disipación de energía en una
resistencia:
dU/dt = − I2R
Luego se deriva la ecuación de la energía total respecto al tiempo y se remplaza la dada: LQ´ + RQ´ + (Q/C) =
0
Se puede observar que el circuito RCL tiene un comportamiento oscilatorio amortiguado:
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0
Si se tomara una resistencia pequeña, la ecuación cambiaría a :
Q = Qmáx e −(Rt/2L)Cos wt
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w = [ (1/LC) − (R/2L)2 ] 1/2
Entre más alto el valor de la resistencia, la oscilación tendrá amortiguamiento más veloz puesto que
absorbería más energía del sistema. Si R es igual a (4L/C) ½ el sistema se encuentra sobreamortiguado.
carga
tiempo
CONCLUSIONES
Se visualizó la configuración general para los circuitos RC, RL y RLC.
Se presentó las propiedades físicas generales de los circuitos RC, RL y RLC.
Se establecieron las ecuaciones para carga y descarga de un condensador en los circuitos RC.
Se mostró la ecuación general para la corriente en un circuito RL, así como el tiempo dado por la relación
entre resistencia e inductancia.
Se entendieron las propiedades de los circuitos RLC.
Se expuso las ecuaciones generales para el análisis de circuitos RLC.
BIBLIOGRAFÍA
SERWAY. Física Tomo II Cuarta edición. Ed Mc Graw Hill.
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