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Coordenadas Esféricas
Q
Fisicoquímica Molecular Básica
Cuarto Semestre
Carrera de Quí
Químico
Tema 6
Q
Q
Q
Hablando laxamente, las coordenadas cartesianas resultan
convenientes en casos en que la simetría del problema pueda
definirse en términos de rectas y planos
En caso que la simetría del problema incluya líneas o
superficies curvas, es conveniente recurrir a coordenadas
curvilíneas, que nos permiten simplificar un problema que sería,
de otra manera, excesivamente complejo
Las coordenadas curvilíneas más empleadas son las
coordenadas esféricas, especialmente adecuadas para
describir posiciones en una esfera o esferoide
Vamos a ver en lo que sigue algunas características de las
coordenadas esféricas
FQMB-2006
Clase en Titulares
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Tema 6
3
Coordenadas Esféricas
Las coordenadas esféricas
El oscilador armónico es un modelo de la vibración de
moléculas diatómicas.
Ley de Hooke, masa reducida y desarrollo en serie.
Niveles de energía y el espectro infrarrojo de una molécula
diatómica.
El rotor rígido como modelo de la rotación de una molécula
diatómica.
Niveles de energía.
Comparación de resultados calculados con los obtenidos
experimentalmente
FQMB-2006
Tema 6
Q
Q
De la misma forma en que
tenemos tres coordenadas
cartesianas (x,y,z),
tenemos tres coordenadas
esféricas
El radio r es simplemente
________
r = √x2 + y2 + z2
Q
2
r mide la distancia desde
el origen de coordenadas
hasta el punto (x,y,z)
FQMB-2006
Tema 6
4
1
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
Coordenadas Esféricas
El ángulo azimutal θ es el
ángulo medido en el plano
xy entre la recta y=0 y la
proyecció
proyección de r en dicho
plano
El ángulo azimutal también
se conoce con el nombre
de longitud
El ángulo θ varía entre 0 y
2π
Q
Las coordenadas
cartesianas pueden
expresarse en términos de
las coordenadas esféricas
x = r sen φ cos θ
y = r sen θ sen φ
z = r cos φ
0 ≤ θ ≤ 2π
FQMB-2006
Tema 6
5
FQMB-2006
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
7
Coordenadas Esféricas
Finalmente, el ángulo polar
φ es el ángulo formado por
r y el eje z
El ángulo polar también se
conoce con el nombre de
colatitud (latitud es δ = 90
− φ)
El ángulo φ varía entre 0 y
π
Q
Y viceversa
________
r = √x2 + y2 + z2
cos φ = z / r
tan θ = y / x
Q
0≤θ≤π
FQMB-2006
Tema 6
Tema 6
6
Hay que tener cuidado,
porque suelen
intercambiarse las
definiciones de los ángulos!
FQMB-2006
Tema 6
8
2
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
Coordenadas Esféricas
Es importante para lo que sigue, conocer la forma del Laplaciano en
coordenadas esfé
esféricas
En la notación física, los
ángulos φ y θ en la figura
generalmente intercambian
los nombres.
Siempre debe verificarse
que las ecuaciones que se
usan correspondan
correctamente con las
definiciones empleadas.
Los dos aspectos mas
complicados de las
coordenadas esféricas son
la 1ra y 2da derivadas
FQMB-2006
(136)
Tema 6
9
FQMB-2006
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
Q
Q
Q
(134)
El elemento de volumen (necesario para realizar integraciones)
es
(135)
dV = dxdydz = r2 sen θ dr dθ
dθ dφ
FQMB-2006
Tema 6
11
El oscilador armónico
Vamos a derivar los elementos necesarios para realizar
integrales y derivadas en coordenadas esféricas.
Haremos la definición en forma física (i.e. Distinta a la que se
mostró en la figura)
x = r sen θ cos φ
y = r sen θ sen φ
z = r cos θ
Tema 6
10
Q
Q
Volvamos ahora a dos ejemplos que conectarán lo que
empezamos a saber con las mediciones espectroscópicas.
Vimos ya que, en general, es posible descomponer un sistema
cuántico complicado en subsistemas cuánticos más sencillos
Una tal descomposición, que veremos más adelante, nos
permitirá separar el movimiento de vibración de las moléculas
de otros tipos de movimiento (p.ej. traslación, rotación,
electrónico)
El oscilador armónico es un modelo que nos permite aproximar
el moviento de vibración de las moléculas
Describiremos aquí el problema clásico y el cuántico y lo
relacionaremos con el espectro infrarrojo de las moléculas
FQMB-2006
Tema 6
12
3
Ley de Hooke
Q
Q
Q
Solución clásica
Supongamos que tenemos una masa m
conectada a una pared por un resorte
como se muestra en la figura adjunta
Supongamos además que no hay
fuerza gravitacional actuando sobre el
sistema, y que la única fuerza es la
de restauración del resorte
Llamemos l0 a la longitud natural del
resorte (es decir, cuando no está ni
alargado ni contraído) y x=lx=l- l0 al
desplazamiento de la posición de
equilibrio
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Tema 6
Q
Q
− k (l − l0) = F = ma = m (d2l/dt2)
Q
13
FQMB-2006
Q
Tema 6
15
Ya sabemos que la solución general de esta ecuación diferencial
es
x = A sen (ωt + φ)
(140)
donde A es la amplitud, φ es el ángulo de fase y
ω = (k/m)1/2
La constante positiva k se llama cte
del resorte y el signo negativo indica
que la fuerza apunta en el sentido
contrario al desplazamiento desde el
equilibrio
Tema 6
(139)
Solución clásica
La hipótesis mas simple que podemos
hacer respecto a la fuerza es que ésta
es proporcional al desplazamiento del
resorte
FQMB-2006
+ kx = 0
que ya sabemos resolver
F = − k x = − k (l − l0) (137)
Q
(138)
haciendo el cambio de variables x=lx=l- l0 es fácil mostrar que
obtenemos la ecuación diferencial
d2x
m ___2
dt
Ley de Hooke
Q
Recordemos como se resuelve este problema en el caso de la
Física clásica
Para ello, hacemos uso de la ley de Newton, en la forma
Q
14
(141)
Nótese que ya conocemos
el comportamiento sinusoidal
de este desplazamiento en
función del tiempo
FQMB-2006
Tema 6
16
4
Solución clásica
Q
Q
Ya conocíamos lo anterior del viejo ejemplo amigo de la cuerda
monodimensional. Estudiemos ahora un poco que pasa con la
energía de este sistema
Sabemos que en este caso, la fuerza surge de un potencial
F(x) = − dV/dx
Q
Solución clásica
Q
E = K + V(x) =
A2 cos2 ωt =
= ½ m ω2A2 sen2 ωt + ½ kA
= ½ k A2 sen2 ωt + ½ kA
A2 cos2 ωt =
= ½ k A2 (sen2 ωt + cos2 ωt) =
= ½ k A2
(147)
(142)
Entonces
Q
V(x) = − ∫ F(x)dx + cte
Q
(143)
Y esa integral la podemos calcular fácilmente
FQMB-2006
Tema 6
17
Q
Q
Q
(144)
Normalmente elegimos la cte=0 para fijar el cero de la energía
potencial y trabajamos con la solución
x = A cos ωt
Q
(145)
Por otra parte, podemos calcular la energía cinética como
K = ½mv2 = ½ m (d2x/dt2) = ½ m ω2A2 sen2 ωt
FQMB-2006
Tema 6
Tema 6
19
La molécula diatómica
Introduciendo la forma de la fuerza, dada por (137) tenemos
V(x) = ½kx2 + cte
Esto implica que la energía total es
constante y que la energía potencial
se transforma en cinética y
viceversa a medida que el resorte
oscila entre los extremos. El sistema
es CONSERVATIVO
FQMB-2006
Solución clásica
Q
Consecuentemente, la energía total será
Q
(146)
En principio, podemos pensar una
molécula diatómica como un sistema
de dos masas m1 y m2 conectadas
por un resorte
En este caso tendremos dos EDO
acopladas
..
..
m2x2 = -k(x2-x1-l0)
m1x1 = k(x2-x1-l0)
Lo importante de notar es que si sumamos las ecuaciones
tenemos
d2
___
(m
m1x1 + m2x2) = 0
dt2
18
(148)
FQMB-2006
Tema 6
(149)
20
5
La molécula diatómica
Q
Q
La molécula diatómica
Esto nos sugiere que podemos definir dos tipos de coordenadas:
la coordenada del centro de masas que expresa la evolució
evolución
temporal del sistema como un todo, y la coordenada relativa
que expresa el movimiento de una parte del sistema respecto a
otra
La coordenada del centro de masas la definimos como
X = (m
m1x1 + m2x2)/M = (m
m1x1 + m2x2)/(m
)/ m1 + m2)
Q
Q
Q
Q
(150)
La coordenada relativa, en cambio, queda definida como
x = x2-x1-l0
(151)
FQMB-2006
Tema 6
Q
21
La molécula diatómica
Q
Q
Q
La ecuació
ecuación (149) queda entonces como
d2
___
M
X(t) = 0
dt2
La solución cuántica
Q
(152)
Para encontrar la solució
solución cuá
cuántica debemos resolver la
ecuació
ecuación de Schrö
Schrödinger en la forma
’2 d 2
− ___ ___Ψ(x
x) = E Ψ(x
Ψ(x) + =(x)Ψ(
(x)Ψ(x
Ψ(x)
2μ dx2
En otras palabras, el centro de masas del sistema tiene
movimiento uniforme con momento constante.
Puede mostrarse fá
fácilmente que las dos ecuaciones (148)
pueden combinarse (divida por las respectivas masas y sume)
para dar
d2
μ ___2 x(t) + kx(t) = 0
dt
Como se aplica lo anterior a una molé
molécula diató
diatómica?
Sabemos, de Quí
Química General, que la energí
energía potencial de una
molé
molécula diató
diatómica puede representarse como la curva llena en
la grá
gráfica adjunta
Átomos
La verdadera curva
aislados
tiene asintó
ó
ticamente
a
asint
una constante, porque
se acerca a la suma de
la energí
energía de los átomos
Aprox
aislados
Curva real
La curva armó
armónica es una armónica
aproximació
aproximación a la curva
real (vá
(válida en el entorno
del equilibrio).
FQMB-2006 Tema 6
23
Q
Introduciendo la forma explí
explícita del potencial y reescribiendo la
ecuació
ecuación tenemos
d2
___
Ψ(x
Ψ(x) + (2μ/
(2μ/’2)(E − kx2)Ψ(x
)Ψ(x) = 0
dx2
(153)
(154)
(155)
μ = m1m2/(m1+m2) es la MASA REDUCIDA
FQMB-2006
Tema 6
22
FQMB-2006
Tema 6
24
6
La solución cuántica
Q
Q
Las soluciones de esta ecuació
ecuación son un tanto complicadas de
hallar y no lo haremos detalladamente en este curso
introductorio.
La solució
solución general tiene tres partes, una constante de
normalizació
normalización, una parte de tipo Gaussiano y otra de tipo
polinó
polinómico, a saber
Ψv(x) = NvHv(α½x) exp[−
exp[−αx2/2]
Q
La solución cuántica
Q
(156)
Las funciones H(x) se llaman polinomios de Hermite y son
simplemente polinomios en x cuyo grado aumenta con el
v
número cuá
cuántico y que tienen relaciones especiales para los
coeficientes. No es necesario saber má
más sobre ellos en este
FQMB-2006 Tema 6
curso
25
FQMB-2006
La solución cuántica
Q
Q
Q
Q
Tema 6
Tema 6
27
Efecto Túnel
Las soluciones (157) pueden
graficarse al igual que ya
hicimos con las funciones
de la partí
partícula en la caja
En la figura adjunta se
muestran las funciones que
corresponden a los niveles
energé
energéticos mas bajos
Tambié
También se muestran los
cuadrados de las funciones
que sabemos representan
la densidad de probabilidad
FQMB-2006
Una cosa importante
que diferencia una
partí
partícula cuá
cuántica, en
este caso un oscilador
armó
armónico, de una
cuá
cuántica, es que en este
último caso hay una
probabilidad no nula de
que la partí
partícula se
encuentre FUERA de la
regió
región clá
clásicamente
permitida.
26
Eso genera una
probabilidad no nula
de encontrar la
partí
partícula al otro lado
de una barrera de
potencial, aú
aún
cuando su energí
energía
no es suficiente para
remontar la barrera.
Esto se llama efecto
túnel
FQMB-2006
Tema 6
28
7
Aplicación tecnológica del efecto
túnel
Efecto túnel
El microscopio de barrido de efecto tú
túnel STM da imá
imágenes ultraprecisas
del material estudiado, por ejemplo de una lá
lámina de grafito depositada
sobre un metal
FQMB-2006
Tema 6
29
FQMB-2006
Aplicación tecnológica del efecto
túnel
Tema 6
La solución cuántica
Q
Q
Un punto importante respecto a las soluciones del oscilador
armó
armónico cuá
cuántico es que, al igual que como lo vimos antes,
sólo existen soluciones bien comportadas si la energí
energía toma
ciertos valores discretos
Los valores discretos de la energí
energía en el caso del oscilador
armó
armónico está
están dados por la fó
fórmula
v
v =0,1,2,...
Ev = hν
hν ( + ½)
El microscopio de barrido de efecto tú
túnel STM da imá
imágenes ultraprecisas
del material estudiado, por ejemplo permite ver los bordes y los defectos
en un cristal
FQMB-2006
Tema 6
31
30
(156)
donde
ν = (k/μ
(k/μ)½ / 2π
2π
FQMB-2006
(157)
Tema 6
32
8
El espectro IR de una
molécula diatómica
La solución cuántica
Q
Q
Q
Q
Nótese que la fó
fórmula (156) implica que la energí
energía mí
mínima del
oscilador armó
armónico no puede ser cero, sino que tiene un valor
mínimo que se llama energí
energía de punto cero (ZPE).
La ZPE es una consecuencia directa del principio de
incertidumbre (demostrarlo, escribiendo el hamiltoniano del
oscilador armó
armónico en té
términos de p y x).
La existencia de una energí
energía de punto cero implica que aú
aún en
el cero absoluto existe una energí
energía vibracional residual, que
tiene importantes consecuencias termodiná
termodinámicas
El ordenamiento de los niveles energé
energéticos del
oscilador armó
armónico tiene un espaciamiento
constante, como se muestra en la
figura adjunta. Esto no es cierto en la realidad.
FQMB-2006
Tema 6
Q
ΔE = hν
hνobs
Q
Q
Q
33
Tema 6
Tema 6
35
El espectro IR de una
molécula diatómica
Q
34
Si estudiamos entonces la absorció
absorción de energí
energía, lo que
tendremos es
v
Δ =+1
ΔE = Ev+1 - Ev = ’(k/
(k/μ
μ) ½
(158)
Una molé
molécula diató
diatómica puede hacer una transició
transición absorbiendo
radiació
radiación (de forma que su nú
número cuá
cuántico aumenta) o
emitiendo radiació
radiación (de forma que su nú
número cuá
cuántico
disminuye):
FQMB-2006
(160)
Esta condició
condición es lo que en espectroscopí
espectroscopía se llama REGLA DE
SELECCIÓ
SELECCIÓN.
FQMB-2006
Q
Q
En el caso del modelo que estamos usando (la aproximació
aproximación
oscilador armó
armónico a la curva de energí
energía potencial real de una
molé
molécula) só
sólo pueden efectuarse transiciones entre niveles
energé
energéticos pró
próximos, es decir
v
El hecho que conozcamos los niveles energé
energéticos vibracionales
de una molé
molécula diató
diatómica, nos permite calcular los saltos entre
niveles de energí
energía
Los niveles vibracionales de la molé
molécula diató
diatómica podemos
escribirlos como (reformulando la ecuació
ecuación 156)
Ev = ’(k/
(k/μ
μ)½ (v + ½)
(159)
Δ =±1
El espectro IR de una
molécula diatómica
Q
La energí
energía emitida o absorbida cumplirá
cumplirá la relació
relación de Bohr
(161)
(162)
Por lo tanto, la frecuencia que se deduce de este modelo (en
cm-1) es
_
νobs = (4π
(163)
(4π2c2k/μ
k/μ) ½
FQMB-2006
Tema 6
36
9
Teoría -> Experimento
Q
Q
Q
Mecánica Molecular
Si volvemos ahora por un momento a nuestra descripció
descripción de la
curva de energí
energía potencial de una molé
molécula diató
diatómica y
pensamos que alrededor del mí
mínimo podemos usar nuestra
aproximació
aproximación del modelo
del oscilador armó
armónico,
vemos que aparte de las
Átomos
masas, só
sólo necesitamos
aislados
el valor de k
K es simplemente la
derivada segunda de la
energí
energía respecto al
desplazamiento.
Aprox
Curva real
Calculando la derivada
armónica
segunda obtenemos las
frecuencias que pueden
compararse con las que
se obtienen en el
FQMB-2006 Tema 6
37
experimento
Mecánica Molecular: Experimento
-> Teoría
Q
Q
Tema 6
Q
Q
Para poder describir el estiramiento y estrechamiento de los
enlaces, nos es necesario poder conocer la constante del resorte
y la masa reducida de los átomos participantes en el enlace
La fó
fórmula (163) nos
Átomos
permite obtener k a
partir de los datos
aislados
experimentales del
espectro de vibració
vibración de
una molé
molécula
Aprox
La Mecá
Mecánica Molecular se
Curva real
usa extensamente en
armónica
Quí
Química Orgá
Orgánica y
Bioquí
Bioquímica Computacional
FQMB-2006
Tema 6
39
Mecánica Molecular
Si volvemos ahora por un momento a nuestra descripció
descripción de la
curva de energí
energía potencial de una molé
molécula diató
diatómica y
pensamos que alrededor del mí
mínimo podemos usar nuestra
aproximació
aproximación del modelo
del oscilador armó
armónico,
Átomos
vemos que podrí
podríamos
aislados
tratar los átomos como
si fueran masas clá
clásicas
unidas por un resorte.
Esto se llama Mecá
Mecánica
Aprox
Curva real
Molecular y se estudia en armónica
los cursos de Modelado
Molecular (optativas)
FQMB-2006
Q
38
En Mecá
Mecánica Molecular, el
movimiento de vibració
vibración entre
dos átomos se caracteriza só
sólo
por las masas de los átomos y
por las frecuencias de vibració
vibración
(la fuerza del “resorte”
resorte” que
conecta los átomos)
FQMB-2006
Tema 6
40
10
El rotor rígido
Q
Q
Q
Q
Q
El rotor rígido
Vimos que podemos separar el centro de masas del sistema de
su movimiento relativo interno
El movimiento del centro de masas puede describirse como el
de una partí
partícula libre o una partí
partícula en una caja si el sistema
está
está confinado de alguna manera
El movimiento relativo de las dos masas unidas por el resorte lo
podemos describir recurriendo al modelo del oscilador armó
armónico,
lo que resulta en la existencia de una energí
energía vibracional
cuantizada
El movimiento de vibració
vibración en la molé
molécula diató
diatómica se realiza
en la direcció
dirección del enlace entra los átomos
El eje en sí
sí mismo, sin embaro,
embaro, puede rotar en el espacio
FQMB-2006
Tema 6
Q
Q
41
FQMB-2006
El rotor rígido
Q
Tema 6
Consideremos la misma
molé
molécula diató
diatómica de la que
hablamos antes, con masas
ató
atómicas m1 y m2, separadas
por una cierta distancia r y
con distancias respectivas a
su centro de masas dadas por
r1 y r2, tal que
Q
Q
Supongamos que νrot, en ciclos por segundo, es la velocidad de
rotació
rotación alrededor del centro de masas.
Las velocidades respectivas de las masas será
serán
v1 = 2π
2π r1 νrot = r1 ωrot
Q
v2 = 2π
2π r2 νrot = r2 ωrot
Dado que asumiremos que r es fijo, este modelo se llama
modelo de rotor rí
rígido y es só
sólo una aproximació
aproximación
Tema 6
(164)
donde ω es la velocidad angular en radianes por segundo
La energí
energía ciné
cinética total del sistema será
será
K = ½(m1v12 + m2v22) = ½(m1r12 + m2r22)ω2 = ½ I ω2
FQMB-2006
43
El rotor rígido
r = r1 + r 2
Q
La molé
molécula diató
diatómica no
mantiene fijo el valor de la
distancia interató
interatómica,
mica, sino
que este oscila por la vibració
vibración
molecular
Sin embargo, el tamañ
tamaño del
desplazamiento en funció
función de
la longitud del enlace es
normalmente muy pequeñ
pequeño
(a menos que nos encontremos
en un estado vibracional muy excitado, pró
próximo al momento de
ruptura del enlace) por lo que los modelos desacoplados de
oscilador armó
armónico y rotor rí
rígido son normalmente apropiados
(165)
donde I es el momento de inercia que ya conocemos
42
FQMB-2006
Tema 6
44
11
El rotor rígido
Q
Ahora bien, sabemos que, por definició
definición, el centro de masas
está
está localizado donde
m1r1 = m2r2
Q
Q
(166)
Podemos entonces escribir (hacerlo como ejercicio!!!)
I = μr2
Q
El rotor rígido cuántico
(167)
lo que nos vuelve a introducir la masa reducida en el problema
Lo que nos queda es que el problema de dos masas rotando
alrededor del centro de masas es equivalente a una masa
reducida rotando a una distancia r fija de un cierto centro
FQMB-2006
Tema 6
45
FQMB-2006
El rotor rígido clásico
Q
Q
Q
Q
(168)
(169)
Q
La energí
energía potencial del sistema será
será cero porque en ausencia
de campos elé
eléctricos o magné
magnéticos, la energí
energía no depende de la
direcció
dirección que adopte el eje de la molé
molécula en el espacio.
FQMB-2006
Tema 6
47
Dado que no tenemos energí
energía potencial, la ES para este sistema
será
será simplemente
’2
− ___ ∇2Ψ(x
Ψ(x) = E Ψ(x
Ψ(x)
2μ
La energí
energía ciné
cinética del sistema será
será
K = L2 / 2I
Tema 6
El rotor rígido cuántico
Dado entonces que este problema es aná
análogo al otro,
tendremos que el momento angular L quedará
quedará definido como
L = Iω
El rotor rí
rígido es un
modelo que nos
sirve para explicar la
rotació
rotación en el
espacio de un
sistema molecular,
como, por ejemplo,
una molé
molécula
diató
diatómica
46
(170)
Aquí
Aquí hemos usado directamente el operador Laplaciano,
Laplaciano, en
lugar de simplemente la derivada segunda, porque este es un
sistema que tiene simetrí
simetría esfé
esférica, por lo que nos será
será mas
conveniente usar la expresió
expresión que ya vimos en coordenadas
esfé
esféricas, mejor que la expresió
expresión en coordenadas cartesianas
FQMB-2006
Tema 6
48
12
El rotor rígido cuántico
Q
Los armónicos esféricos
El operador Laplaciano en coordenadas esfé
esféricas es
Q
Q
Q
Pero ya dijimos que la distancia r entre las dos masas es fija,
por lo que desaparece el té
término de derivació
derivación respecto a r
Las funciones Y(θ,φ
Y(θ,φ)) se llaman armó
armónicos esfé
esféricos y las
estudiaremos mas en detalle al ver átomos
Multiplicando la ecuació
ecuación de Schrö
Schrödinger por sen2θ vemos que
la forma de la ecuació
ecuación diferencial que tenemos que resolver en
este caso es
∂
∂Y
∂2Y
(174)
__
(β sen2 θ)Y = 0
(sen θ __ ) + __2 + (β
sen θ
∂φ
∂θ
∂θ
donde
β = 2IE/ ’
FQMB-2006
Tema 6
49
El rotor rígido cuántico
Q
’2
/ = − ___
2I
Q
Q
1
∂
∂
1
’
(171)
− ___ ( _____ __ (sen θ __ ) + _____ __ )
2μr2 sen θ ∂θ
∂θ
sen2 θ ∂φ2
Podemos simplificar esta expresió
expresión teniendo en cuenta la
fórmula para el momento de inercia
/=
Q
FQMB-2006
∂2
∂2
1
∂
∂
1
__
( _____ __ (sen θ __ ) + _____
)
2
2
sen θ ∂θ
∂θ
sen θ ∂φ
(172)
FQMB-2006
Tema 6
51
La solució
solución de la ecuació
ecuación (174) arroja que se debe cumplir la
condició
condición de cuantizació
cuantización
β = J(J+1)
Q
(176)
donde J es el nú
número cuá
cuántico rotacional que puede tomar
valores enteros desde cero en adelante.
Reconstruyendo la expresió
expresión para la energí
energía tenemos
’
___
J (J +1)
2I
2
EJ =
La solució
solución de este problema será
será
/ Y(θ,φ
Y(θ,φ)) = E Y(θ,φ
Y(θ,φ))
Tema 6
La energía del rotor rígido
Consecuentemente, vamos a poder escribir
2
(175)
2
(173)
(177)
J = 0, 1, 2, ...
50
FQMB-2006
Tema 6
52
13
La energía del rotor rígido
Q
Q
Q
Q
La molécula diatómica
Algo importante que no habí
habíamos encontrado antes, es que en
el caso del rotor rí
rígido los niveles energé
energéticos está
están
degenerados
Aunque no profundizaremos aquí
aquí sobre ello, lo que encontramos
es que hay gJ = 2J+1 funciones que tienen la misma energí
energía
gJ es la degeneració
degeneración del nivel rotacional y toma valores 1, 3, 5,
7, etc
En los nú
números anteriores reconoceremos mas adelante el
número de orbitales s, p, d, f de un átomo y, en otro contexto,
la degeneració
degeneración de las funciones de onda (singulete
(singulete,, triplete,
triplete,
etc)
etc)
FQMB-2006
Tema 6
Q
Q
53
FQMB-2006
La molécula diatómica
Q
Si, al igual que hicimos en el caso de la vibració
vibración, calculamos la
energí
energía asociada a las transiciones
ΔJ = ± 1
(178)
ΔE = ’ 2 (J+1) / I
(179)
νobs = h (J+1) / 4π
4π2 I
(180)
Esto implica que si medimos las frecuencias de rotació
rotación
podemos obtener experimentalmente la geometrí
geometría molecular!
FQMB-2006
Tema 6
Tema 6
55
La molécula diatómica
tendremos
Q
Las transiciones rotacionales se
encuentran en la zona de las
microondas y la espectroscopí
espectroscopía de
microondas se emplea para determinar
la estructura molecular
Por ejemplo, para el H35Cl se observa
un espectro con espaciamiento
regular de 6.26 x 1011 Hz.
Hz. De aquí
aquí
se deduce (usando las constantes
adecuadas) que la longitud de
enlace del H35Cl es 135 pm
(1.35 Å)
54
Q
Los modelos del
oscilador armó
armónico y el
rotor rí
rígido nos
permiten entender la
disposició
disposición de los
niveles vibracionales y
rotacionales en una
molé
molécula diató
diatómica,
como se muestra en el
diagrama a la derecha
FQMB-2006
Tema 6
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14