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Fisicoquímica Molecular Básica
Cuarto Semestre
Carrera de Químico
Tema 6
1
Clase en Titulares
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Las coordenadas esféricas
El oscilador armónico es un modelo de la vibración de
moléculas diatómicas.
Ley de Hooke, masa reducida y desarrollo en serie.
Niveles de energía y el espectro infrarrojo de una molécula
diatómica.
El rotor rígido como modelo de la rotación de una molécula
diatómica.
Niveles de energía.
Comparación de resultados calculados con los obtenidos
experimentalmente
FQMB-2006
Tema 6
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2
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
Q
Hablando laxamente, las coordenadas cartesianas resultan
convenientes en casos en que la simetría del problema pueda
definirse en términos de rectas y planos
En caso que la simetría del problema incluya líneas o
superficies curvas, es conveniente recurrir a coordenadas
curvilíneas, que nos permiten simplificar un problema que sería,
de otra manera, excesivamente complejo
Las coordenadas curvilíneas más empleadas son las
coordenadas esféricas, especialmente adecuadas para
describir posiciones en una esfera o esferoide
Vamos a ver en lo que sigue algunas características de las
coordenadas esféricas
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Tema 6
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3
Coordenadas Esféricas
Q
Q
De la misma forma en que
tenemos tres coordenadas
cartesianas (x,y,z),
tenemos tres coordenadas
esféricas
El radio r es simplemente
________
r = √x2 + y2 + z2
Q
r mide la distancia desde
el origen de coordenadas
hasta el punto (x,y,z)
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Tema 6
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4
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
El ángulo azimutal θ es el
ángulo medido en el plano
xy entre la recta y=0 y la
proyección de r en dicho
plano
El ángulo azimutal también
se conoce con el nombre
de longitud
El ángulo θ varía entre 0 y
2π
0 ≤ θ ≤ 2π
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5
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
Finalmente, el ángulo polar
φ es el ángulo formado por
r y el eje z
El ángulo polar también se
conoce con el nombre de
colatitud (latitud es δ = 90
− φ)
El ángulo φ varía entre 0 y
π
0≤θ≤π
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Tema 6
6
6
Coordenadas Esféricas
Q
Las coordenadas
cartesianas pueden
expresarse en términos de
las coordenadas esféricas
x = r sen φ cos θ
y = r sen θ sen φ
z = r cos φ
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7
Coordenadas Esféricas
Q
Y viceversa
________
r = √x2 + y2 + z2
cos φ = z / r
tan θ = y / x
Q
Hay que tener cuidado,
porque suelen
intercambiarse las
definiciones de los ángulos!
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Tema 6
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8
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Q
En la notación física, los
ángulos φ y θ en la figura
generalmente intercambian
los nombres.
Siempre debe verificarse
que las ecuaciones que se
usan correspondan
correctamente con las
definiciones empleadas.
Los dos aspectos mas
complicados de las
coordenadas esféricas son
la 1ra y 2da derivadas
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9
Coordenadas Esféricas
Q
Q
Vamos a derivar los elementos necesarios para realizar
integrales y derivadas en coordenadas esféricas.
Haremos la definición en forma física (i.e. Distinta a la que se
mostró en la figura)
x = r sen θ cos φ
y = r sen θ sen φ
z = r cos θ
Q
(134)
El elemento de volumen (necesario para realizar integraciones)
es
(135)
dV = dxdydz = r2 sen θ dr dθ dφ
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10
Coordenadas Esféricas
Es importante para lo que sigue, conocer la forma del Laplaciano en
coordenadas esféricas
(136)
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Tema 6
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11
El oscilador armónico
Q
Q
Q
Q
Q
Volvamos ahora a dos ejemplos que conectarán lo que
empezamos a saber con las mediciones espectroscópicas.
Vimos ya que, en general, es posible descomponer un sistema
cuántico complicado en subsistemas cuánticos más sencillos
Una tal descomposición, que veremos más adelante, nos
permitirá separar el movimiento de vibración de las moléculas
de otros tipos de movimiento (p.ej. traslación, rotación,
electrónico)
El oscilador armónico es un modelo que nos permite aproximar
el moviento de vibración de las moléculas
Describiremos aquí el problema clásico y el cuántico y lo
relacionaremos con el espectro infrarrojo de las moléculas
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Tema 6
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12
Ley de Hooke
Q
Q
Q
Supongamos que tenemos una masa m
conectada a una pared por un resorte
como se muestra en la figura adjunta
Supongamos además que no hay
fuerza gravitacional actuando sobre el
sistema, y que la única fuerza es la
de restauración del resorte
Llamemos l0 a la longitud natural del
resorte (es decir, cuando no está ni
alargado ni contraído) y x=l- l0 al
desplazamiento de la posición de
equilibrio
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13
Ley de Hooke
Q
La hipótesis mas simple que podemos
hacer respecto a la fuerza es que ésta
es proporcional al desplazamiento del
resorte
F = − k x = − k (l − l0) (137)
Q
La constante positiva k se llama cte
del resorte y el signo negativo indica
que la fuerza apunta en el sentido
contrario al desplazamiento desde el
equilibrio
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Solución clásica
Q
Q
Recordemos como se resuelve este problema en el caso de la
Física clásica
Para ello, hacemos uso de la ley de Newton, en la forma
− k (l − l0) = F = ma = m (d2l/dt2)
Q
(138)
haciendo el cambio de variables x=l- l0 es fácil mostrar que
obtenemos la ecuación diferencial
d2x
___
m
dt2
+ kx = 0
(139)
que ya sabemos resolver
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15
Solución clásica
Q
Ya sabemos que la solución general de esta ecuación diferencial
es
x = A sen (ωt + φ)
(140)
donde A es la amplitud, φ es el ángulo de fase y
ω = (k/m)1/2
Q
(141)
Nótese que ya conocemos
el comportamiento sinusoidal
de este desplazamiento en
función del tiempo
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Solución clásica
Q
Q
Q
Q
Ya conocíamos lo anterior del viejo ejemplo amigo de la cuerda
monodimensional. Estudiemos ahora un poco que pasa con la
energía de este sistema
Sabemos que en este caso, la fuerza surge de un potencial
F(x) = − dV/dx
(142)
V(x) = − ∫ F(x)dx + cte
(143)
Entonces
Y esa integral la podemos calcular fácilmente
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17
Solución clásica
Q
Introduciendo la forma de la fuerza, dada por (137) tenemos
V(x) = ½kx2 + cte
Q
(144)
Normalmente elegimos la cte=0 para fijar el cero de la energía
potencial y trabajamos con la solución
x = A cos ωt
Q
(145)
Por otra parte, podemos calcular la energía cinética como
K = ½mv2 = ½ m (d2x/dt2) = ½ m ω2A2 sen2 ωt
FQMB-2006
Tema 6
(146)
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18
Solución clásica
Q
Consecuentemente, la energía total será
E = K + V(x) =
= ½ m ω2A2 sen2 ωt + ½ kA2 cos2 ωt =
= ½ k A2 sen2 ωt + ½ kA2 cos2 ωt =
= ½ k A2 (sen2 ωt + cos2 ωt) =
= ½ k A2
(147)
Q
Esto implica que la energía total es
constante y que la energía potencial
se transforma en cinética y
viceversa a medida que el resorte
oscila entre los extremos. El sistema
es CONSERVATIVO
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19
La molécula diatómica
Q
Q
Q
En principio, podemos pensar una
molécula diatómica como un sistema
de dos masas m1 y m2 conectadas
por un resorte
En este caso tendremos dos EDO
acopladas
..
..
m2x2 = -k(x2-x1-l0)
m1x1 = k(x2-x1-l0)
(148)
Lo importante de notar es que si sumamos las ecuaciones
tenemos
d2
___
(m1x1 + m2x2) = 0
dt2
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(149)
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20
La molécula diatómica
Q
Q
Esto nos sugiere que podemos definir dos tipos de coordenadas:
la coordenada del centro de masas que expresa la evolución
temporal del sistema como un todo, y la coordenada relativa
que expresa el movimiento de una parte del sistema respecto a
otra
La coordenada del centro de masas la definimos como
X = (m1x1 + m2x2)/M = (m1x1 + m2x2)/(
)/ m1 + m2)
Q
(150)
La coordenada relativa, en cambio, queda definida como
x = x2-x1-l0
(151)
FQMB-2006
Tema 6
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21
La molécula diatómica
Q
Q
Q
La ecuación (149) queda entonces como
d2
___
M
X(t) = 0
dt2
(152)
En otras palabras, el centro de masas del sistema tiene
movimiento uniforme con momento constante.
Puede mostrarse fácilmente que las dos ecuaciones (148)
pueden combinarse (divida por las respectivas masas y sume)
para dar
d2
___
μ
x(t) + kx(t) = 0
dt2
(153)
μ = m1m2/(m1+m2) es la MASA REDUCIDA
FQMB-2006
Tema 6
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22
La molécula diatómica
Q
Q
Q
Q
Como se aplica lo anterior a una molécula diatómica?
Sabemos, de Química General, que la energía potencial de una
molécula diatómica puede representarse como la curva llena en
la gráfica adjunta
Átomos
La verdadera curva
aislados
tiene asintóticamente a
una constante, porque
se acerca a la suma de
la energía de los átomos
Aprox
aislados
Curva real
La curva armónica es una armónica
aproximación a la curva
real (válida en el entorno
del equilibrio).
FQMB-2006 Tema 6
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23
La solución cuántica
Q
Para encontrar la solución cuántica debemos resolver la
ecuación de Schrödinger en la forma
’2 ___
d2
___
−
Ψ(x) + =(x)Ψ(x) = E Ψ(x)
2μ dx2
Q
(154)
Introduciendo la forma explícita del potencial y reescribiendo la
ecuación tenemos
d2
___
Ψ(x) + (2μ/’
2μ/ 2)(E − kx2)Ψ(x) = 0
2
dx
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Tema 6
(155)
24
24
La solución cuántica
Q
Q
Las soluciones de esta ecuación son un tanto complicadas de
hallar y no lo haremos detalladamente en este curso
introductorio.
La solución general tiene tres partes, una constante de
normalización, una parte de tipo Gaussiano y otra de tipo
polinómico, a saber
Ψv(x) = NvHv(α½x) exp[−αx2/2]
Q
(156)
Las funciones H(x) se llaman polinomios de Hermite y son
simplemente polinomios en x cuyo grado aumenta con el
número cuántico v y que tienen relaciones especiales para los
coeficientes. No es necesario saber más sobre ellos en este
FQMB-2006 Tema 6
curso
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25
La solución cuántica
Q
Q
Q
Las soluciones (157) pueden
graficarse al igual que ya
hicimos con las funciones
de la partícula en la caja
En la figura adjunta se
muestran las funciones que
corresponden a los niveles
energéticos mas bajos
También se muestran los
cuadrados de las funciones
que sabemos representan
la densidad de probabilidad
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Tema 6
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26
La solución cuántica
Q
Una cosa importante
que diferencia una
partícula cuántica, en
este caso un oscilador
armónico, de una
cuántica, es que en este
último caso hay una
probabilidad no nula de
que la partícula se
encuentre FUERA de la
región clásicamente
permitida.
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Tema 6
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27
Efecto Túnel
Q
Eso genera una
probabilidad no nula
de encontrar la
partícula al otro lado
de una barrera de
potencial, aún
cuando su energía
no es suficiente para
remontar la barrera.
Esto se llama efecto
túnel
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Efecto túnel
FQMB-2006
Tema 6
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Aplicación tecnológica del efecto
túnel
El microscopio de barrido de efecto túnel STM da imágenes ultraprecisas
del material estudiado, por ejemplo permite ver los bordes y los defectos
en un cristal
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30
Aplicación tecnológica del efecto
túnel
El microscopio de barrido de efecto túnel STM da imágenes ultraprecisas
del material estudiado, por ejemplo de una lámina de grafito depositada
sobre un metal
FQMB-2006
Tema 6
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31
La solución cuántica
Q
Q
Un punto importante respecto a las soluciones del oscilador
armónico cuántico es que, al igual que como lo vimos antes,
sólo existen soluciones bien comportadas si la energía toma
ciertos valores discretos
Los valores discretos de la energía en el caso del oscilador
armónico están dados por la fórmula
Ev = hν (v + ½)
v =0,1,2,...
(156)
donde
ν = (k/μ)½ / 2π
FQMB-2006
(157)
Tema 6
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32
La solución cuántica
Q
Q
Q
Q
Nótese que la fórmula (156) implica que la energía mínima del
oscilador armónico no puede ser cero, sino que tiene un valor
mínimo que se llama energía de punto cero (ZPE).
La ZPE es una consecuencia directa del principio de
incertidumbre (demostrarlo, escribiendo el hamiltoniano del
oscilador armónico en términos de p y x).
La existencia de una energía de punto cero implica que aún en
el cero absoluto existe una energía vibracional residual, que
tiene importantes consecuencias termodinámicas
El ordenamiento de los niveles energéticos del
oscilador armónico tiene un espaciamiento
constante, como se muestra en la
figura adjunta. Esto no es cierto en la realidad.
FQMB-2006
Tema 6
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33
El espectro IR de una
molécula diatómica
Q
Q
El hecho que conozcamos los niveles energéticos vibracionales
de una molécula diatómica, nos permite calcular los saltos entre
niveles de energía
Los niveles vibracionales de la molécula diatómica podemos
escribirlos como (reformulando la ecuación 156)
Ev = ’(k/μ)½ (v + ½)
Q
(158)
Una molécula diatómica puede hacer una transición absorbiendo
radiación (de forma que su número cuántico aumenta) o
emitiendo radiación (de forma que su número cuántico
disminuye):
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Tema 6
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34
El espectro IR de una
molécula diatómica
Q
La energía emitida o absorbida cumplirá la relación de Bohr
ΔE = hνobs
Q
(159)
En el caso del modelo que estamos usando (la aproximación
oscilador armónico a la curva de energía potencial real de una
molécula) sólo pueden efectuarse transiciones entre niveles
energéticos próximos, es decir
Δv = ± 1
Q
(160)
Esta condición es lo que en espectroscopía se llama REGLA DE
SELECCIÓN.
FQMB-2006
Tema 6
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35
El espectro IR de una
molécula diatómica
Q
Si estudiamos entonces la absorción de energía, lo que
tendremos es
Δv = + 1
ΔE = Ev+1 - Ev = ’(k/μ) ½
Q
(161)
(162)
Por lo tanto, la frecuencia que se deduce de este modelo (en
cm-1) es
_
(163)
νobs = (4π2c2k/μ) ½
FQMB-2006
Tema 6
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36
Teoría -> Experimento
Q
Q
Q
Si volvemos ahora por un momento a nuestra descripción de la
curva de energía potencial de una molécula diatómica y
pensamos que alrededor del mínimo podemos usar nuestra
aproximación del modelo
del oscilador armónico,
vemos que aparte de las
Átomos
masas, sólo necesitamos
aislados
el valor de k
K es simplemente la
derivada segunda de la
energía respecto al
desplazamiento.
Aprox
Curva real
Calculando la derivada
armónica
segunda obtenemos las
frecuencias que pueden
compararse con las que
se obtienen en el
FQMB-2006 Tema 6
37
experimento
37
Mecánica Molecular: Experimento
-> Teoría
Q
Q
Si volvemos ahora por un momento a nuestra descripción de la
curva de energía potencial de una molécula diatómica y
pensamos que alrededor del mínimo podemos usar nuestra
aproximación del modelo
del oscilador armónico,
Átomos
vemos que podríamos
aislados
tratar los átomos como
si fueran masas clásicas
unidas por un resorte.
Esto se llama Mecánica
Aprox
Curva real
Molecular y se estudia en armónica
los cursos de Modelado
Molecular (optativas)
FQMB-2006
Tema 6
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38
Mecánica Molecular
Q
Q
Q
Para poder describir el estiramiento y estrechamiento de los
enlaces, nos es necesario poder conocer la constante del resorte
y la masa reducida de los átomos participantes en el enlace
La fórmula (163) nos
Átomos
permite obtener k a
partir de los datos
aislados
experimentales del
espectro de vibración de
una molécula
Aprox
La Mecánica Molecular se
Curva real
usa extensamente en
armónica
Química Orgánica y
Bioquímica Computacional
FQMB-2006
Tema 6
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39
Mecánica Molecular
En Mecánica Molecular, el
movimiento de vibración entre
dos átomos se caracteriza sólo
por las masas de los átomos y
por las frecuencias de vibración
(la fuerza del “resorte” que
conecta los átomos)
FQMB-2006
Tema 6
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40
El rotor rígido
Q
Q
Q
Q
Q
Vimos que podemos separar el centro de masas del sistema de
su movimiento relativo interno
El movimiento del centro de masas puede describirse como el
de una partícula libre o una partícula en una caja si el sistema
está confinado de alguna manera
El movimiento relativo de las dos masas unidas por el resorte lo
podemos describir recurriendo al modelo del oscilador armónico,
lo que resulta en la existencia de una energía vibracional
cuantizada
El movimiento de vibración en la molécula diatómica se realiza
en la dirección del enlace entra los átomos
El eje en sí mismo, sin embaro, puede rotar en el espacio
FQMB-2006
Tema 6
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41
El rotor rígido
Q
Consideremos la misma
molécula diatómica de la que
hablamos antes, con masas
atómicas m1 y m2, separadas
por una cierta distancia r y
con distancias respectivas a
su centro de masas dadas por
r1 y r2, tal que
r = r1 + r2
Q
Dado que asumiremos que r es fijo, este modelo se llama
modelo de rotor rígido y es sólo una aproximación
FQMB-2006
Tema 6
42
42
El rotor rígido
Q
Q
La molécula diatómica no
mantiene fijo el valor de la
distancia interatómica, sino
que este oscila por la vibración
molecular
Sin embargo, el tamaño del
desplazamiento en función de
la longitud del enlace es
normalmente muy pequeño
(a menos que nos encontremos
en un estado vibracional muy excitado, próximo al momento de
ruptura del enlace) por lo que los modelos desacoplados de
oscilador armónico y rotor rígido son normalmente apropiados
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Tema 6
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43
El rotor rígido
Q
Q
Supongamos que νrot, en ciclos por segundo, es la velocidad de
rotación alrededor del centro de masas.
Las velocidades respectivas de las masas serán
v1 = 2π r1 νrot = r1 ωrot
Q
v2 = 2π r2 νrot = r2 ωrot
(164)
donde ω es la velocidad angular en radianes por segundo
La energía cinética total del sistema será
K = ½(m1v12 + m2v22) = ½(m1r12 + m2r22)ω2 = ½ I ω2
(165)
donde I es el momento de inercia que ya conocemos
FQMB-2006
Tema 6
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44
El rotor rígido
Q
Ahora bien, sabemos que, por definición, el centro de masas
está localizado donde
m1r1 = m2r2
Q
(166)
Podemos entonces escribir (hacerlo como ejercicio!!!)
I = μr2
Q
(167)
lo que nos vuelve a introducir la masa reducida en el problema
Lo que nos queda es que el problema de dos masas rotando
alrededor del centro de masas es equivalente a una masa
reducida rotando a una distancia r fija de un cierto centro
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Tema 6
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45
El rotor rígido clásico
Q
Dado entonces que este problema es análogo al otro,
tendremos que el momento angular L quedará definido como
L = Iω
Q
(168)
La energía cinética del sistema será
K = L2 / 2I
Q
(169)
La energía potencial del sistema será cero porque en ausencia
de campos eléctricos o magnéticos, la energía no depende de la
dirección que adopte el eje de la molécula en el espacio.
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46
El rotor rígido cuántico
Q
El rotor rígido es un
modelo que nos
sirve para explicar la
rotación en el
espacio de un
sistema molecular,
como, por ejemplo,
una molécula
diatómica
FQMB-2006
Tema 6
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47
El rotor rígido cuántico
Q
Dado que no tenemos energía potencial, la ES para este sistema
será simplemente
’2
___
−
∇2Ψ(x) = E Ψ(x)
2μ
Q
(170)
Aquí hemos usado directamente el operador Laplaciano, en
lugar de simplemente la derivada segunda, porque este es un
sistema que tiene simetría esférica, por lo que nos será mas
conveniente usar la expresión que ya vimos en coordenadas
esféricas, mejor que la expresión en coordenadas cartesianas
FQMB-2006
Tema 6
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48
El rotor rígido cuántico
Q
Q
El operador Laplaciano en coordenadas esféricas es
Pero ya dijimos que la distancia r entre las dos masas es fija,
por lo que desaparece el término de derivación respecto a r
FQMB-2006
Tema 6
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49
El rotor rígido cuántico
Q
Consecuentemente, vamos a poder escribir
1
∂
∂
1
∂2
’ 2 _____
__
__
_____
___
__
(171)
−
(
)
(sen θ ) +
2
2
2
2μr
sen θ ∂θ
∂θ
sen θ ∂φ
Podemos simplificar esta expresión teniendo en cuenta la
fórmula para el momento de inercia
/=
Q
∂2
1
∂
∂
1
’ 2 _____
/ = − ___
__
__
_____
__
(
)
(sen θ ) +
2I
sen θ ∂θ
∂θ
sen2 θ ∂φ2
Q
(172)
La solución de este problema será
/ Y(θ,φ) = E Y(θ,φ)
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Tema 6
(173)
50
50
Los armónicos esféricos
Q
Q
Las funciones Y(θ,φ) se llaman armónicos esféricos y las
estudiaremos mas en detalle al ver átomos
Multiplicando la ecuación de Schrödinger por sen2θ vemos que
la forma de la ecuación diferencial que tenemos que resolver en
este caso es
2Y
∂
∂__
Y
∂__
__
(sen θ ) + 2 + (β sen2 θ)Y = 0 (174)
sen θ
∂θ
∂θ
∂φ
donde
β = 2IE/ ’
(175)
2
FQMB-2006
Tema 6
51
51
La energía del rotor rígido
Q
La solución de la ecuación (174) arroja que se debe cumplir la
condición de cuantización
β = J(J+1)
Q
(176)
donde J es el número cuántico rotacional que puede tomar
valores enteros desde cero en adelante.
Reconstruyendo la expresión para la energía tenemos
EJ =
’
___
J (J +1)
2I
2
(177)
J = 0, 1, 2, ...
FQMB-2006
Tema 6
52
52
La energía del rotor rígido
Q
Q
Q
Q
Algo importante que no habíamos encontrado antes, es que en
el caso del rotor rígido los niveles energéticos están
degenerados
Aunque no profundizaremos aquí sobre ello, lo que encontramos
es que hay gJ = 2J+1 funciones que tienen la misma energía
gJ es la degeneración del nivel rotacional y toma valores 1, 3, 5,
7, etc
En los números anteriores reconoceremos mas adelante el
número de orbitales s, p, d, f de un átomo y, en otro contexto,
la degeneración de las funciones de onda (singulete, triplete,
etc)
FQMB-2006
Tema 6
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53
La molécula diatómica
Q
Si, al igual que hicimos en el caso de la vibración, calculamos la
energía asociada a las transiciones
ΔJ = ± 1
(178)
ΔE = ’ 2 (J+1) / I
(179)
νobs = h (J+1) / 4π2 I
(180)
tendremos
Q
Esto implica que si medimos las frecuencias de rotación
podemos obtener experimentalmente la geometría molecular!
FQMB-2006
Tema 6
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54
La molécula diatómica
Q
Q
Las transiciones rotacionales se
encuentran en la zona de las
microondas y la espectroscopía de
microondas se emplea para determinar
la estructura molecular
Por ejemplo, para el H35Cl se observa
un espectro con espaciamiento
regular de 6.26 x 1011 Hz. De aquí
se deduce (usando las constantes
adecuadas) que la longitud de
enlace del H35Cl es 135 pm
(1.35 Å)
FQMB-2006
Tema 6
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La molécula diatómica
Q
Los modelos del
oscilador armónico y el
rotor rígido nos
permiten entender la
disposición de los
niveles vibracionales y
rotacionales en una
molécula diatómica,
como se muestra en el
diagrama a la derecha
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Tema 6
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