UNIDAD N°11 (A) LIMITES DE FUNCIONES 12 DE OCTUBRE DE 2015

República de Panamá
Ministerio de Educación
Tel.: 958-5804
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección:  Bachiller  S. C. Industrial
Especialidad: _______________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 11
Límites de Funciones
11.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:
 Comprender el concepto de límite de una función en un punto.
 Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y
procedimientos algebraicos.
 Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.
11.1 INTRODUCCIÓN
El concepto de límite es sin duda uno de los conceptos matemáticos que trae consigo mayor
cantidad de dificultades de aprendizaje, dificultades inherentes al propio concepto.
El nuevo
sistema educativo español ha modificado los contenidos relativos a funciones y límites,
proponiendo una metodología más activa. Este artículo presenta una muestra de la investigación
que los autores están desarrollando alrededor de las dificultades de aprendizaje asociadas al
concepto de límite, tratando de proponer una secuencia metodológica adaptada al nuevo
currículo, que tenga en cuenta dichas dificultades. En primer lugar se presentan algunas
investigaciones anteriores, que sitúan el trabajo en un marco teórico; a continuación se hace un
pequeño estudio de la situación del concepto de límite en el currículo del nuevo sistema educativo
español, junto con la propuesta de una definición alternativa y la secuencia didáctica que la
desarrolla; finalmente, se describe un sistema de categorías que se ha construido para
desentrañar las dificultades de aprendizaje que surgen de la puesta en práctica de dicha
secuencia.
La importancia del estudio de las dificultades del concepto de límite se justifica por varias razones.
Por una parte, este es uno de los conceptos más importantes del Análisis, ya que es necesario
para introducir otros conceptos (continuidad, derivada, integral) y, por lo tanto, su estudio se hace
necesario. Por otra parte, para los alumnos es un concepto árido, poco atractivo, demasiado
abstracto, que olvidan totalmente con demasiada facilidad y, en suma, es uno de los más difíciles
de enseñar y aprender.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
1
11.2 LA DEFINICIÓN DE LÍMITE
El vocablo límite es una palabra que procede etimológicamente del latín, y que en concreto deriva
del sustantivo “limes” que al traducirse es “frontera o borde o extremo”.
La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos
territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación, es
decir, la palabra límite tiene un carácter estático.
Pero para la Matemática, el concepto de límite es un concepto dinámico, un límite es una
magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de
magnitudes.
11.3 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE
El límite tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible
a un valor finito o un valor infinito. Consideremos el siguiente
ejemplo: para hallar el área de una figura poligonal
simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas
 A  A1  A2  A3 .
Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos como el círculo. Una manera
de realizar este procedimiento fue el que empleo Arquímedes, que consistía en aproximar el área
inscribiendo polígonos en la región (Método Exhaustivo 1) si:
Si An es el área del polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar que
cuando n aumenta, An se aproxima cada vez más al área del círculo.
área del círculo  lím An
n
En caso de hallar un patrón para las áreas An , entonces se podría
determinar el límite A de manera exacta.
Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base del
concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII por
Newton.
1 Es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en
la medida en que avanza el Cálculo. También se le conoce como método por agotamiento, de exhaución o
exhausción.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
2
11.3.1 CONCEPTO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función es el valor al cual se aproxima la función cuando x tiene un valor
determinado, así: Lím f x   L
xa
11.3.2 CONCEPTO DE LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
Decimos que f es una función real de una variable, cuando el dominio y codominio (rango o
imagen) de la función son subconjuntos de números reales, y además la función posee una
variable independiente, que con mucha frecuencia se considera como la variable x . Si y es la
variable dependiente que se relaciona, por medio de la función f , con la variable x , entonces la
función se denotará: y  f x  en cuyo caso decimos que “ y es la imagen de x ” por medio de la
función f . Consideremos que x  a es un punto sobre el eje X , que puede o no pertenecer al
dominio de la función. Si x  a pertenece al dominio de la función, entonces la función puede ser
evaluada en dicho punto, es decir, f a  existe.
Si una función se puede evaluar en un punto, entonces se dice que ella está
definida en dicho punto.
El hecho de que la función pueda o no ser evaluada en el punto x  a no es un aspecto relevante
para el concepto que hoy nos ocupa, lo verdaderamente esencial para el concepto de límite, es
que la función se pueda evaluar en cualquiera vecindad del punto x  a . Identifiquemos que
sobre la recta real R una vecindad del punto x  a puede ser considerada como un intervalo
abierto del tipo
a   , a   
para   R y   0, donde 
es un número real positivo
suficientemente pequeño como se quiera. En el Cálculo cuando trabajamos con  , éste se
considera un número que se aproxima o tiende a cero “0”, de manera que a   es un número
real que se encuentra por la derecha de “ a ”, y si  se aproxima da cero, entonces a   se
aproxima a “ a ” por la derecha; por lo contrario, a   es un número real que se encuentra por la
izquierda de “ a ”, y si  se aproxima a cero, entonces a   se aproxima a “ a ” por la izquierda.
Supongamos que x  a   , a    , entonces tenemos que:
a    x  a   , si en cada miembro de esta desigualdad, restamos a nos resultará:
a    a  x  a  a    a , luego aplicando la eliminación de términos, obtenemos:
   x  a   , luego aplicando una propiedad de valor absoluto, obtenemos que:
x  a   , esto significa que la vecindad o entorno del punto x  a se constituye por todos los
valores de x muy cercanos a dicho punto, y éstos valores de x se van a encontrar por la
izquierda y por la derecha del punto “ a ”.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
3
Para indicar que x se aproxima a “ a ” por la derecha, lo escribimos así: x  a  Mientras que
para indicar que x se aproxima a “ a ” por la izquierda, lo escribimos así: x  a 
Supongamos que al asignarle valores a “ x ” muy cercanos a “ a ” por la derecha, entonces las
imágenes de estos valores por medio de la función f se encuentran muy cercanos a cierto valor
finito L por arriba; y además, al asignarle valores a “ x ” muy cercanos a “ a ” por la izquierda,
entonces las imágenes de estos valores por medio de la función f se encuentran muy cercanos
al mismo valor L por abajo.
En consecuencia bajo estas condiciones, se dice que el límite de la función f cuando x tiende a
“ a ” es igual a L y se escribe, así: lím f x   L , existe.
xa
Pero está existencia está obligando al cumplimiento de tres (3) condiciones necesarias para la
existencia del límite de una función f en el punto x  a , las cuales son las siguientes:
i) lím f x   L1 , existe
xa
ii ) lím f x   L2 , existe
xa
iii ) L1  L2
11.4 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
El límite de una función y  f x  en un punto “ a ” es el valor que tiende la función en puntos muy
próximos a “ a ”.
La presentación de los ejemplos siguientes pretende dar una idea del significado del límite de una
función en un punto.
Ejemplo 1: Consideremos la función lineal f x   2 x  1 . ¿A qué valor se aproxima la función,
cuando x se aproxima o tiende al valor 3 ?
Solución: Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x  3 , hay que ver los valores
que toma la función en puntos muy próximos a 3 . Para ello se puede hacer la siguiente tabla de
valores:
x
f x 
2,8
6,6
2,9
6,8
2,99
6,98
2,999
6,998
3,1
7,2
3,01
7,02
3,001
7,002
3,0001
7,0002
Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3 , ya sean mayores o menores que él, sus
imágenes se aproximan al valor 7 . Cuanto mayor es la proximidad de x a 3 , mayor es la
proximidad de f x  a 7 . Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3 , el límite de la
función y  2 x  1 es 7 , y se escribe, así: lím 2 x  1  7
x3
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
4
Ejemplo 2: Consideramos la función definida por f x   x 2  1 con
dominio en R.
La representación gráfica es como se muestra a la derecha:
Nos interesa observar el comportamiento de la función f para
valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2 .
Veamos las tablas siguientes:
Tabla a
x
1,25
0,5625
f x   x  1
2
1,5
1,25
1,75
2,0625
1,9
2,61
1,99
2,9601
1,999
2,996
1,9999
2,9996
1,99999
2,99996
2,5
5,25
2,25
4,0625
2,1
3,41
2,01
3,0401
2,001
3,004
2,0001
3,0004
2,00001
3,00004
Tabla b
x
2,75
6,5625
f x   x  1
2
Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima más a 2 , f x  toma, cada vez,
valores más próximos a 3 .
En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2 ", el
conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".
En este caso se dice que cuando x tiende a 2 , que se simboliza x  2 , entonces f x   3 , o
sea f x  tiende a 3. Esto puede escribirse como: f x   3 y x  2 y utilizando la notación de
límites escribimos lím f x   3 que se lee: el límite de f x  cuando
x2
x
tiende a 2 , es igual a 3 .
Ejemplo 3: Nos interesa calcular el área de región limitada
por la parábola con ecuación y  x 2 , el eje x y la recta de
ecuación x  1.
La representación gráfica de esta región es como se muestra
a la derecha:
Dividimos el intervalo 0, 1 en partes iguales señaladas por
los valores: 0,
n 1
1 2 3
, , ,,
, 1 formando sobre cada una
n n n
n
de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a
la parábola en un punto, y cuya base mide
1
en cada caso.
n
Luego, el área de cada uno de estos rectángulos podemos
expresarlas como sigue:
1
1 1
1 2
1 3
1  n  1
A1  0  , A2    , A3    , A4    ,  , An  

n
n n
n n
n n
n n 
2
2
2
2
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
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Así, la suma S n de todas las áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:
2
Sn 
1
1 1
1 2
0      
n
n n
n n
2
  
Como 12  2 2  32    n  1 
2
entonces: S n 
Tomando rn 
1  n  1


n n 
2
1  2 2  32    n  1
n3
2
de
donde
Sn 
1
nn  12n  1 , cuya prueba está al final del capítulo,
6
nn  12n  1
1  1
1 
de donde S n    2 

3
3  6n
2n 
6n
1
1
1
entonces S n   rn

2
2n
3
6n
Observemos que si a " n " se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces rn se
aproxima a cero.
Si en la figura anterior se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el
número de rectángulos y la suma S n de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura
curvilínea. Como rn se aproxima a cero cuando n crece indefinidamente, puede decirse que
Sn 
1
1
1
 rn se aproxima al número , y así el área de la región tiende a . La expresión " n "
3
3
3
toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por n    , ( n tiende a más infinito)
1
1
y como S n  , ( S n tiende a
cuando n    ),  volviendo a utilizar la notación de límites
3
3
1
1

escribimos: lím S n  lím   rn  que se lee: el límite de S n , cuando n    es .
n  
n   3
3


Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma
la función exactamente en el punto. Así como en el ejemplo 2 , no importa cuál es el valor de
f 2 , sino el valor de f x  cuando x tiende a 2 .
Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor
que toma la función en ese punto.
Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aun así
exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación:
Ejemplo
f x  
4:
Sea
f
la
función
definida
por
la
ecuación
2 x 2  3x  2
para toda x  R, x  2
x2
La representación gráfica de f es como se muestra a la derecha: De la
gráfica puede observarse que aunque la función f no está definida para
x  2 , cuando x toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima
a 5 , lo que escribimos como: lím f x   5
x2
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11.4.1 FORMALIZACIÓN DE LA IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
En el ejemplo 2 se analizó el comportamiento de la función f con ecuación f x   x 2  1 en las
proximidades de 2 .
Expresamos como lím f x   3 , el hecho de que para acercar los valores de la función tanto
x2
como se quisiera a 3 , era suficiente acercar adecuadamente x al valor 2 , x  2 .
De otra forma, puede decirse que
f x   3 es tan pequeño como se quiera, siempre que x  2
sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.
Utilizaremos las letras griegas  (épsilon) y  (delta) para escribir en forma más precisa lo
anterior.  y  Son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el
valor absoluto de la diferencia entre f x  y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre x y 2
respectivamente. Se dice entonces que
menor que  y
x2 0.
f x   3 será menor que  , siempre que x  2 sea
Luego, si para cada   0 puede encontrarse un   0 tal que
f x   3   si 0  x  2   , entonces se dice que lím f x   3
x2
Observe que se establece la condición 0  x  2
, ya que
únicamente nos interesa saber cómo es f x  para valores de x
cercanos a 2 , no en 2 mismo, en cuyo caso x  2 sería igual a
cero.
Gráficamente tenemos la figura a la derecha:
Se tiene que, en el eje Y , los valores f x  están entre 3   y
3   , siempre que los valores de x , en el eje de X , se localicen entre 2   y 2   , o sea
f x   3   sí 0  x  2   .
En general, el valor de  es escogido arbitrariamente, pero la elección de  depende de la
elección previa de  .
No se requiere que exista un número  "apropiado" para todo  , si no que, para cada  existe
un  específico.
Entre, más pequeño sea el valor que se escoja de  , más pequeño será el valor del
correspondiente  .
Luego, para el ejemplo 2, decimos que lím f x   3 , pues para cada   0 , existe   0 , tal que
x2
f x   3   , siempre que 0  x  2   .
En general, para una función f cualquiera, el
lím f x   L significa que "la diferencia entre f x  y L puede hacerse tan pequeña como se
xb
desee, haciendo simplemente que x esté suficientemente próximo a b , x  b  ".
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11.5 DEFINICIÓN DE LÍMITE
Sea f una función definida en una vecindad del punto b, 0 .
Definición: Se dice que lím f x   L , si para cada número positivo  , por pequeño que este sea,
xb
es posible determinar un número positivo  , tal que para todos los valores de x , diferentes de b ,
f x   L   .
que satisfacen la desigualdad x  b   , se verificará la desigualdad
Luego, lím f x   L si y solo si para cada   0 , existe   0 tal que si 0  x  b   , entonces
xb
f x   L   . En forma gráfica se tiene:
También el lím f x   L puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad
xb
x  b   se deduce que
f x   L   , entonces todos los puntos en la gráfica de la función
con ecuación b y  f x  , que corresponden a los puntos x que se localizan a una distancia no
mayor que  del punto b , se encontrarán dentro de una franja de ancho 2 , limitada por las
rectas y  L   , y  L   , como se muestra en la siguiente figura a la derecha:
Puede decirse entonces que la definición de límite dada
anteriormente, establece que los valores de la función f x  se
aproximan a un límite L , conforme
x se aproxima a un
número b , sí el valor absoluto de la diferencia entre f x  y L
se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando
suficientemente cercana a " b ", pero no igual a " b ".
Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la
definición de límite:
Ejemplo 5: Probar que Lím 2 x  1  3
x2
Solución: Debe probarse que dado   0 , existe   0 tal que
0  x  2   . Vamos a establecer una relación entre
Como
2x  1  3
2 x  1  3
2x  1  3
  siempre que
y x2 .
 2 x  1  3  2 x  4  2 x  2  2 x  2 o sea
2 x  1  3
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
2 x2 .
8
Entonces, para hacer
tomarse  
2x  1  3

2
.
2 x  1  3
menor que  , es suficiente que
x2 

2
, por lo que puede


Luego, dado   0 , existe   0,     tal que si 0  x  2   entonces
2

 .
Ejemplo 6: Probar que Lím 4 x  1  11
x3
Solución: Dada   0 , debe encontrarse   0 tal que
4x  1  11
  siempre que
0 x3  .
4x  1  11
Como
4 x  1  11
 4 x  1  11  4 x  12  4 x  3  4 x  3
sea menor que es suficiente que


Luego, dado   0 , existe   0,     tal que
4


x3 

4
entonces
para
por lo que podemos tomar  
4x  1  11
que

4
.
  siempre que 0  x  3   .

Ejemplo 7: Probar que Lím x 2  2 x  3
x 1
Solución: Debe encontrarse  en términos de  , (   0 dada), tal que x 2  2 x  3
que  cuando 0  x  1   . Se tiene que x 2  2 x  3 
x  1x  3
sea menor
 x 1  x  3
Como lo que nos interesa es el límite cuando x tiende a 1, vamos a considerar los valores de x
que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.
Así, tomamos x  1  1 de donde  1  x  1  1 y por tanto 0  x  2 .
Vamos a determinar un número r para el que
x  3  r cuando x  1  1 .
De la desigualdad 0  x  2 se obtiene que 3  x  3  5 por lo que x  3  5 y puede tomarse
r  5.
Luego
x 1 
x  1  x  3  5  x  1 cuando

5
x 1 1
Además
5 x  1 es menor que  si
Por tanto, si se toma  como el menor de los números 1 y

entonces
5
x 2  2 x  3   cuando 0  x  1  
Por ejemplo, si se toma   1 entonces  
cuando 0  x  1 
1
y
5
x 2  2x  3  x  1  x  3   5 x  1  1
1
5
En general, el determinar el lím f x  mediante el uso directo de la definición es difícil, por lo que
xb
para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
9
Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En
síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable
independiente tiende a un determinado valor en el eje X .
11.6 EVALUACIÓN DE LÍMITES EN FORMA ANALÍTICA
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a , el límite de f x  cuando
x tiende a a es L , y se escribe así: Lím f x   L Apliquemos esta definición para encontrar los
xa
límites siguientes, por simple inspección (de manera intuitiva):
Lím 4 x  1  L
x3
L  43  1
L  12  1
L  13
Lím x 2  7  L
x3
L


Lím x 3  x 2  x  1  L
x3
Lím
L   3   3   3  1
L   27  9  3  1
3
x4
2
4x  3
L
6x  1
L   30  10
L   20


32  7
L  9  7  16
L4
44   3
64   1
L
16  3
24  1
L
13
23
Lím 5x  1  L
Lím x 2  7 x  10  L
x   10
L
x 1
L   10  7 10  10
L  100  70  10
2
L  180
L  51  1
L  5 1
L4
11.7 TEOREMAS O PROPIEDADES ACERCA DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
Teorema 0: Propiedades de los límites
Antes de aplicar las propiedades básicas de los límites, debemos recordar dos propiedades
importantes de los límites, las cuales son:

El límite de la función constante es igual a la constante

El límite de la función identidad es igual al valor hacia donde tiende la variable x .
Dadas dos funciones f x  y g x  que tienen límite en un punto a , así: Lím f x   L y

xa
Lím g x   M se cumplen las siguientes propiedades o leyes:
xa

El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.

El límite de la diferencia (resta) se calcula como la diferencia de los límites.

El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.

El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites,
siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
10

El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la
multiplicación de la constante por el límite de la función.

El límite de la potencia, se da si los exponentes sean números reales.
Estas propiedades o leyes las mostramos en el siguiente esquema:
Ahora desglosaremos estas propiedades, es decir, entraremos más a detalle
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite): Sea f una función definida en un intervalo I  R tal
que a  I . Si lím f x   L y lím f x   M entonces L  M . (Esto significa que el valor del
xa
xa
límite de una función en un punto es único).
Teorema 2: Si m y b son números reales entonces lím mx  b  m a  b
xa
Ejemplos 8:  Lím 3x  5  3  2  5  6  5  11
x2
 lím  4 x  2   4  3  2   12  2   10
x 3
Teorema 3: Si k es una constante, entonces para cualquier número “ a ”, lím k  k
xa
Ejemplos 9:  Lím 7  7
x2
Teorema 4: lím x  a
xa
 lím  5   5
x3
Ejemplos 10:  Lím x  2
x2
 lím
x  1000
2 2
 lím x   1
x  1
 lím x  0,5
x  0,5
Teorema 5: Si lím f x   L y k  R, entonces se cumple que lím k f x   k lím f x   k L .
xa
xa
xa
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
11
Ejemplos 11:  Lím 3 2 x  5  3 lím 2 x  5  3 2  2  5  3 4  5  3 9  27
x2
 lím
x  1
x2
1
5
3
3x  xlím
  3 x  1   3   3
5 x  5 lím x  5  1  5
 1
Teorema 6: Si f x   x con x  0 entonces lím
xa
x  a , con a  0
 lím1 3 y  3 lím1
Ejemplos 12:  Lím x  5
x5
y
y
2
y 3
1
2
2
3
2 3 2
 1 
 3



2
2 2
 2
Teorema 7: Si f y g son dos funciones para las que lím f x   L y lím g x   M entonces se
xa
xa
cumple que: lím  f x   g x   lím f x   lím g x   L  M (Este teorema lo que nos dice es que
xa
xa
xa
el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las
funciones.
Ejemplos 13:  Lím 2 x  x  lím 2 x  lím
x 3
x 3
x 3
x  23  3  6  3
 lím 5x  3  lím 5x  lím 3  5 lím x  lím 3  52  3  10  3  13
x2
x2
x2
x2
x2
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.
Teorema 8: Si f y g son dos funciones para las que lím f x   L y lím g x   M y entonces se
xa
cumple que lím  f x   g x   lím f x   lím g x   L  M
xa
xa
xa
xa
Es decir, el límite del producto de dos
funciones es igual al producto de los límites de cada una de las funciones.
Ejemplos 14:  Lím x 2 x  2  lím x 2  lím x  2  2 2  2  2  44  16
x2
x2
x2
 lím 3x2 x  1  lím 3x  lím 2 x  1  34 22  1  12 8  1  12 7  84
x4
x4
x4
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones
Teorema 9: Si f x   x n entonces lím x n  a n , con n  N.
xa
Observe que x n  x  x  x  x ( n
factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:
lím x n  lím x  x  x  x  lím x  lím x  x  x  x 
xa
xa
xa
xa
 lím x  lím x  lím x  x  x  x    lím x  lím x  lím x  a  a  a  a ( n Factores)  a n
xa
xa
xa
xa
a
xa

x


n
5
2
32
2
Ejemplos 15:  Lím2 x 5     5 
x3
243
3
3
5
factores
 lím 2 x 8  2 lím x 8  2 1  21  2
8
x  1
x  1
Corolario: En particular, el límite de la enésima potencia de f x  es igual a la enésima potencia
n
del límite de f x  . Es decir lím  f x    lím f x 
 x  a

xa
n
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
12
6
6
6
6
Ejemplos 16:  Lím 3x  5   lím 3x  5  3  2  5  6  5  11 6  1 771 561


x2
x  2


 lím x 2  3x
x  1

5



5

5
2
5
5
  lím x 2  3x    1  3 1  1  3   2   32
 x  1

Teorema 10: Si f y g son dos funciones para las cuales lím f x   L y lím g x   M entonces
xa
xa
lím f x 
f x 
L
xa
siempre que M  0


g x 
lím g x 
M
se tiene que: lím
xa
xa
2
2x 2  3
lím 2 x 2  lím 3
2 x 2  3 xlím
2  3  3
2 9  3
21
3
 3
x  3
x  3
Ejemplos 17:  Lím 3






3
3
3
x  3 x  1
4
lím x  1
lím x  lím 1
 3  1  27  1  28
x  3
 lím
x2
Teorema 11: lím
xa
2x  1

x
x  3
lím 2 x  1
x2
lím
x
x2

x  3
2 2 1
4 1


2
2
5
2
1
1
 siempre que a  0
x
a
Ejemplos 18:  Lím
x5
1
1

x
5
 lím
x  3
Teorema 12: Si n  N entonces lím
n
xa
4
1
1
4
 1 
 lím 4   4 lím
 4
 
x


3
x


3
x
x
x
3
  3
x  n a Si:
i) a es cualquier número positivo.
ii) a  0 y n es impar.
 lím
6
x  6 64  6 2  2
Teorema 13: Si lím f x   L , entonces lím
n
f x  
Ejemplos 19:  Lím 3 x  3 5
x  64
x5
xa
xa
6
n
lím f x  
xa
n
L si se cumple alguna de las
condiciones siguientes: i) L  0 y n es cualquier entero positivo ( n  R).
ii) L  0 y n es un entero impar positivo
Ejemplos 20:  Lím 5x  3 
 lím
x  1
3
2x2  3 
5 3  3  18
lím 5x  3 
x 3
x3
3
lím 2 x 2  3 
x  1
3
2  1  3  2 2  3  3 5
2
Teorema 14: Si f , g y h , son funciones tales que f x   g x   hx  para todo x de cierto
entorno reducido  1 de b y además lím f x   L  lím hx  entonces se cumple que lím g x   L .
xb
xb
xb
El teorema anterior nos dice que si para x próximo a b , la función g está comprendida entre dos
funciones que tienden a un mismo límite L , entonces g x  también tiende a L .
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
13
Gráficamente podemos tener lo siguiente:
Por
ejemplo,
si
g
es
una
 x 2  g x   x 2 para x  0
función
tal

que

y como lím  x 2  0 y
x0
lím x 2  0 entonces se tiene que lím g x   0 .
x0
x0
Sea
ahora
g
una
función
tal
que
5  x  g x   x 2  9 x  30 para x  5
Se tiene que lím 5  x  10 y lím x 2  9 x  30  10
x5
x5
Luego lím g x   10
x5
PRÁCTICA
Resuelve los siguientes problemas, aplicando los teoremas sobre límites.
Lím 52 x  1
1.
Lím 2
2.
Lím 3x  7 
3.
Lím x
4.
5.
Lím x
6.
Lím x 3  27
7.
Lím 3x  7
2
8. Lím x 3x  2 x  4
9.
Lím x 5
10. Lím 3x  7 
x 3
x 9
x 2
x 3
x  3
2
13. Lím y  2 y  3 y
3
y 1
2
x 1
x2
x 1 x 2  4
2x  8
15. Lím
x 4
5x  5
11. Lím
x5
L
x 10
14. Lím 3 5 x 2  3x  10
x 3
x  1
x 1

12. Lím
1
x
16. Lím
x x2
x  3x  1
x2
x 3

2
11.8 LÍMITES UNILATERALES
Haciendo un análisis del primer teorema sobre la unicidad del límite, tenemos que: Sea “ a ” un
punto contenido en un intervalo abierto ( I  R) y f una función definida en todo el intervalo,
excepto posiblemente en “ a ”, entonces: lím f x   L si y sólo si lím f x   L y lím f x   L
xa
xa
xa
Este teorema implica que el límite de f x  cuando x tiende a “ a ” existe si y sólo si los límites por
la derecha y por la izquierda existen y son iguales, a estos límites se les conocen como límites
unilaterales.
11.8.1 LÍMITES LATERALES
1. El límite por la izquierda de una función y  f x  , cuando x tiende a “ a ”, es el valor al tiende
la función para puntos muy próximos a “ a ” y menores que “ a ”. Para expresar el límite por la
izquierda, se escribe así: lím f x 
xa
2. El límite por la derecha de una función y  f x  , cuando x tiende a “ a ”, es el valor al tiende la
función para puntos muy próximos a “ a ” y mayores que “ a ”. Para expresar el límite por la
derecha, se escribe así: lím f x 
xa
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
14
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo
es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen
algunas funciones que presentan algunas discontinuidades,
llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el
tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a
estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función
f , en la que existe una discontinuidad cuando, como se muestra
en la figura.
Notemos que cuando x tiende hacia " a " por la derecha de " a " la función tiende a 2 , pero cuando
x tiende hacia " a " por la izquierda de " a ", la función tiende hacia 1 .
Escribimos x  a  para indicar que x tiende hacia " a " por la
derecha, es decir, tomando valores mayores que " a ".
Similarmente x  a  indica que x tiende hacia " a " por la
izquierda, o sea, tomando valores menores que " a ". Utilizando
ahora la notación de
lím f x   1 .
x  a
límites,
lím f x   2 y
escribimos
x  a
Estos límites reciben el nombre de límites
laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda
es 1 .
Ejemplo 21: Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función h cuya
representación gráfica es la siguiente: Se tiene que: lím hx   3 y lím hx    1
x2
lím hx    3 y
x   2
x2
lím hx   1
x  2
11.8.2 DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES
Definición de límite por la derecha: Se dice que lím f x   L si y solo si
xa
para
cada
 0
existe
  0 tal
que
si
0 x a 
entonces
f x   L    L es el límite por la derecha de f x  en " a ".
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de x  a , pues
x  a es mayor que cero ya que x  a .
Definición de límite por la izquierda: Se dice que lím f x   R si y solo
xa
si para cada   0 existe   0 tal que si 0  a  x  
entonces
f x   R    R es el límite por la izquierda de f x  en " a ".
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
15
Note que la expresión a  x es mayor que cero, pues x  a  por lo que x  a .
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una
función cuya ecuación se da.
Ejemplo 22: Determinar los límites, en los puntos de
discontinuidad, de la función f definida por:
si x  1
x  2
f x    2
 x  1 si x  1
Primero hagamos la gráfica de la función:
El punto de discontinuidad se presenta cuando x  1
Luego: lím f x   3 y lím f x    2
x 1
x 1
Observe que el límite por la derecha es 3 , es diferente al límite por la izquierda es 2 .
|
11.8.3 RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función y  f x  en un punto “ a ”, existe si y sólo si existen los límites laterales y
coinciden: lím f x   L  lím f x   lím f x   L
xa
xa
xa
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente. En el ejemplo
anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden: lím 2 x  1  lím 2 x  1  7
x 3
x3
PRÁCTICA
Resuelve los siguientes problemas, aplicando los límites laterales:
1)
Dada la gráfica de la función f x  , halle en caso que exista los
siguientes límites:
lím  f x  
x2
lím  f x  
x2
2)
lím f x  
x  1
lím f x  
x  1
lím  f x  
x
1
2
lím  f x  
x
1
2
Dada la gráfica de la función g x  , halle en caso que exista los
siguientes límites:
lím  g x  
x  1,8
lím  g x  
x  1,8
lím  g x  
x2
lím  g x  
x2
lím  g x  
x  2, 2
lím g x  
x  2, 2 
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
16
Dada la gráfica de la función f x  , analiza los siguientes límites en  2
3)
lím  f x   1
x2
lím f x   3  lím f x   No existe porque los límites laterales
x2
x2
no son iguales
lím  f x   2
x0
lím  f x   ___
x  2
lím f x   2  lím f x   2 existe y es único
x0
lím
x2
x0
f x   ___ 
lím f x   __________
x2
Sea f x  una función, cuyos límites laterales en 2 y 3 en son:
4)
lím  f x   1
x2
lím  f x   6
x 3
lím f x   3  1  3  lím f x   No existe
x2
lím f x   9
x3
x2
Conteste ¿cuál es el lím f x  ? y justifique.
x3
Dada la gráfica de la función f x  , halle en caso que exista los siguientes límites:
5)
lím f  x  
x
lím
x  2
lím
x  2

f x  

f x  
lím  f  x  
x0
lím f  x  
x0
lím
x3
f x  
lím  f  x  
x  3
lím f  x  
x  
lím f  x  
x2
lím f  x  
x3
11.9 LÍMITES INFINITOS

Límite más infinito: una función f x  tiene por límite “   ”, cuando x  a , si fijado un
número real positivo k  0 se verifica f x   k para todos los valores próximos a “ a ” Es
decir: Lím f x     si para cada k real   0 tal que 0  x  a    f x   k
xa

Límite menos infinito: una función f x  tiene por límite “   ”, cuando x  a , si fijado un
número real negativo k  0 se verifica f x   k para todos los valores próximos a “ a ” Es
decir: Lím f x     si para cada k real   0 tal que 0  x  a    f x   k
xa
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
17
Se dice que lím f x  es un límite infinito si f x  aumenta o
xa
disminuye ilimitadamente cuando x  a . Técnicamente, este
límite no existe, pero se puede dar más información acerca del
comportamiento de la función escribiendo:

Lím f x     si f x  crece sin límite cuando x  a

Lím f x     si f x  decrece sin límite cuando x  a
xa
xa
Una función es divergente cuando su límite es   ó   , es
decir son límites que tienen esta forma: Lím f x    
xa
En la gráfica de la derecha, se tiene que: Lím f x    
Lím f x    
x  4
x4
Veamos algunas propiedades o teoremas sobre límites infinitos:
1. Si n  Z  entonces:
a) Lím
x0
1
1
1
   , b) Lím n    , para n par c) Lím n    , para n impar
n
x0 x
x0 x
x
Ejemplos 23: 1) Lím
x0
4) Lím
x0
1

x
2) Lím
1

x
3) Lím
1

x3
1

x5
5) Lím
1

x6
6) Lím
1

x4
2. Si M  R y M  0
x0
x0
x0
x0
Lím f x   M , y Lím g x   0, entonces:
xa
xa
a) Lím
f x 
  , Si m  0 y g x   0
g x 
f x 
  , Si m  0 y g x   0
c) Lím
x  a g x 
b) Lím
f x 
  , Si m  0 y g x   0
g x 
f x 
  , Si m  0 y g x   0
d) Lím
x  a g x 
xa
xa
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18
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 24: Calcular: Lím
x2
Lím
x2
2x
x2
2 2 4
2x


x  2 22 0
Analicemos los límites laterales: Lím
x2
2 2 4
2x

    Como x  2  entonces x  2 por lo
x  2 22 0
que x  2  0 y se dice que x  2  0  , lo que indica que el numerador 2 x tiende a una constante
positiva y el denominador x  2 tiende a 0  entonces: Lím
x2
Lím
x2
2x

x2
2 2 4
2x

    Como x  2  entonces x  2 por lo que x  2  0 y se dice que
x  2 22 0
x  2  0  , lo que indica que el numerador tiende a una constante positiva y el denominador
tiende a 0  entonces: Lím
x2
2x

x2
Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que Lím
x2
2x
no existe.
x2
x 2  2x  1
Ejemplo 25: Calcular: Lím 2
x2
x x2
Lím
x2
x 2  2x  1
x 2  2x  1

lím
x 2  x  2 x  2  x  2 x  1


Como Lím x 2  2 x  1  2 2  22  1  7  0 y
x2
Entonces: Lím
x2
Lím x  2
x2
x  1  2  22  1  0 
x 2  2x  1
7
  
x  2 x  1 0
Ejemplo 26: Calcular: Lím
x2
x 2  2x  1
x2  x  2
x 2  2x  1
x 2  2x  1
Lím 2
 lím 
x2 x  x  2
x  2  x  2  x  1


Como Lím x 2  2 x  1  2 2  22  1  7  0 y
x2
Lím x  2
x2
x  1  2  22  1  0 
x 2  2x  1
7
  
Entonces: Lím
x  2  x  2  x  1
0
Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que Lím
x2
x 2  2x  1
no existe.
x2  x  2
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
19
11.10 LÍMITES AL INFINITOS
Si los valores de la función f x  tienden al número L cuando equis aumenta indefinidamente
x     ,
se expresa así: Lím f x   L .
x
De manera similar, los valores de la función f x 
tienden al número M cuando equis disminuye indefinidamente ( x    ), se expresa así:
Lím f x   M . Esto se muestra en la siguiente gráfica:
x

Límite de una función polinómica: cuando x    (equis tiende a más o menos
infinito).
Si
f x 
es
un
polinomio
de
grado
n
(una
función)
f x   an x n  an  1 x n 1    a2 x 2  a1 x  a0 , entonces: su límite es Lím f x   lím a n x n . Si
x
x
g x  es un polinomio de grado m (una función) g x   bm x m  bm  1 x m 1    b2 x 2  b1 x  b0 ,
entonces: su límite es Lím
x
a xn
f x 
 lím n m .
g x  x    bm x
Veamos algunos ejemplos de estos límites, y más adelante veremos cómo se resuelven:


Ejemplo 27: Lím 2 x 2  x  3  lím 2 x 2  
x 
Ejemplo 28: Lím
x 
x 
2x 4  x 1
2x 4

lím
 lím 2 x  
x3  x 2  4 x   x3 x  


Ejemplo 29: Lím 3x 3  2 x 2  x  3  lím 3x 3   
x
x
Al aplicar los métodos para el cálculo de Límites, debemos recordar lo siguiente:
0

, 00 ,
,   , 0  ,  0 , 1
0


Existen siete casos de indeterminación, los cuales son:

La Aritmética y el Álgebra del infinito, si a  R  y b  R , entonces:
a
 0,


  , b   
a
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
20

Para resolver los límites indeterminados, debemos levantar la indeterminación, haciendo
uso de los siguientes procedimientos matemáticos (factorización, racionalización, leyes de
los exponentes y cambio de variables):

Factorizar o simplificar, entre los casos tenemos: Factorizar del trinomio x 2  bx  c ,
factorizar del trinomio ax 2  bx  c , factorizar el cuadrado de la suma o la diferencia de
dos cantidades a  b2  a 2  2ab  b 2 , factorizar la diferencia de cuadrados perfectos
a 2  b 2  a  ba  b , factorizar la suma o la diferencia de cubos perfectos


a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2 , factorizar el cubo de la suma o la diferencia de dos
cantidades a  b3  a 2  3a 2 b  3ab 2  b 2 .

Aplicar las leyes o reglas de los exponentes, y se pueden dar dos maneras de resolver
0
, debemos factorizar por los polinomios de la expresión, pero
0
si el límite, si es del tipo
si la función contiene raíces, debemos multiplicar por su conjugado; pero si el límite es
del tipo


, existen tres posibilidades, como lo veremos más adelante.

Aplicar el cambio de variables.
11.11 LÍMITES INDETERMINADOS

Indeterminación del tipo    : para el cálculo de estos límites, basta con efectuar las
operaciones indicadas, por ejemplo:
 x 1
x2
 2
Ejemplo 30: Lím 
x 1
 x 1 x 1
 x 1
x2
 2
Solución: lím 
x 1 x  1
x 1




 11
12
2 1
 
 2
    
0
 11 1 1 0
Hay veces que aparecen radicales, en estos casos basta con multiplicar y dividir por la expresión


radical conjugada, por ejemplo: lím x  x 2  1    
x

Indeterminación del tipo 0   : para el cálculo de estos límites, se resuelve efectuando las
operaciones indicadas, por ejemplo:
 x2 x 1
 2
Ejemplo 31: Lím 
x0
x

1
x


Indeterminación del tipo

0 1
 
  0

1
0

0
: para el cálculo de estos límites, se hace necesario realizar
0
primero algunos procesos algebraicos o mecanismos matemáticos para levantar la
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
21
indeterminación, tales como los casos de factorización, la racionalización, las reglas o leyes
de los exponentes, el cambio de variables, etc. Por ejemplo:
 x 3  1  13  1 1  1 0
  2


Ejemplo 32: Lím  2
x 1
1

1
0
x

1
1

1




 x3  1 

x  1 x 2  x  1
x 2  x  1 12  1  1 3
  lím
 lím


Solución: lím  2
x 1 x  1 
x 1
x 1
11
2

 x  1 x  1x  1

Indeterminación del tipo

: para el cálculo de estos límites, basta con dividir el

numerador y el denominador por la mayor potencia de x del denominador, por ejemplo:
4x 2  x  1
Ejemplo 33: lím
x 
x2  1
4x 2
x
1
1
1
 2  2
4 2  2
2
2
4x  x  1
x  lím
x
x  40  0  4  4
Solución: lím
 lím x 2 x
2
x
x
x
1
1 0
1
x  1
x
1
1 2
 2
2
x
x
x

Indeterminaciones del tipo  0 , 0 0 , 1 : para el cálculo de estos límites, debemos aplicar
la definición de logaritmo natural y otros mecanismos matemáticos.
11.11.1 CÁLCULOS DE LÍMITES INDETERMINADOS
En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites, especialmente el
del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma indeterminada
0
.
0
En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego levantar
la indeterminación y así determinar el valor del límite.
Es indispensable que para poder resolver estos límites, tenemos que tener muy en claro cómo se
resuelven los casos de factorización, como se aplica correctamente la racionalización, como se
aplica el cambio de variables y conocer el concepto de valor absoluto.
Por medio de ejemplos estudiaremos los siguientes límites:
a) Límites que involucran factorizaciones: veamos
Ejemplo 34: Lím
x2
2 x 2  2 x  12
2
. Si evaluamos el numerador se obtiene: 2 2  2 2  12  0 y si
3x 2  5 x  2
evaluamos el denominador: 3 2  5 2  2  0
2
Luego se tiene la expresión
0
que no tiene
0
sentido, es una indeterminación.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
22
Como 2
hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:
2 x 2  2 x  12  x  22 x  6 y 3 x 2  5 x  2  x  23x  1
x  22 x  6 ,
x  2  x  2 3 x  1
Luego el límite dado puede escribirse como lím
lím
x2
y simplificando se obtiene:
2x  6
que sí puede determinarse, pues lím 3x  1 es diferente de cero.
x2
3x  1
Luego: lím
x2
2 x 2  2 x  12
2 x  6 2 2  6 4  6 10
 lím



2
3x  5 x  2 x  2 3x  1 3 2  1 6  1 7
De manera resumida, en este caso se aplica la factorización del trinomio de la forma: ax 2  bx  c
tanto en el numerador como en el denominador, y se resuelve así:
Lím
2 x 2  2 x  12 2 2  2 2  12 2 4  4  12 8  4  12 12  12 0




 Ind .
2
3x 2  5 x  2
3 2  5 2  2 3 4  10  2 12  10  2 12  12 0
Lím
2 x  6x  2  lím 2 x  6  2 2  6  4  6  10
2 x 2  2 x  12
 lím
2
3x  5 x  2 x  2 x  23x  1 x  2 3x  1 3 2  1 6  1 7
2
x2
x2
Ejemplo 35: Lím
x  2
x2  x  2
. En este caso se aplica la factorización del trinomio de la forma:
x2  4
x 2  bx  c en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de la diferencia de
cuadrados, y se resuelve así:
x 2  x  2  2   2  2 4  2  2 4  4 0
Lím



 Ind .
x  2
44
44 0
x2  4
 22  4
2
Lím
x  2
x  2x  1  lím x  1   2  1   3  3
x2  x  2
 lím
2
x   2  x  2  x  2 
x  2 x  2
22 4 4
x 4
x 2  49
Ejemplo 36: Lím 2
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de
x  7 x  5 x  14
cuadrados en el numerador y en el denominador se aplica la factorización del trinomio de la
forma: x 2  bx  c , y se resuelve así:
7  49  49  49  49  49  0 Ind .
x 2  49
Lím 2

x  7 x  5 x  14
72  5 7  14 49  35  14 49  49 0
2
x  7x  7  lím x  7  7  7  14
x 2  49
Lím 2
 lím
x  7 x  5 x  14
x  7  x  7  x  2 
x7 x  2
72 9
Ejemplo 37: Lím
x3
x 3  27
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cubos
x 2  3x
perfectos en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de monomio común, y se
resuelve así:
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
23
Lím
3  27  27  27  0 Ind .
x 3  27

2
99
0
x  3x 32  3 3
Lím
x  3 x 2  3x  9
x 3  27

lím
x x  3
x 2  3x x  3
3
x3
x3

x 2  3x  9 3 2  33  9 9  9  9 27



9
x
3
3
3
 lím
x3
Ejemplo 38: Lím
x3

x 3  27
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cubos
x 2  3x
perfectos en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de monomio común pero
teniendo en cuenta que de salir el factor x  3 , y se resuelve así:
x 3  27 3  27 27  27 0
Lím


 Ind .
2
x  3 3x  x 2
99
0
3 3  3
3


x 3  27
x  3 x 2  3x  9
Lím
 lím
x  3 3x  x 2
x3
 x x  3
x 2  3x  9 3 2  33  9 9  9  9 27



9
x
3
3
3
 lím
x3
Ejemplo 39: Lím
x  2

x3  8
. En este caso se aplica la factorización de la suma de cubos perfectos
x2
en el numerador y se resuelve así:
Lím
x 3  8  2  8
88
0


 Ind .
 2  2  2  2 0
x2
Lím
x  2 x 2  2 x  4  lím x 2  2 x  4  2 2  2 2  4  4  4  4  12
x3  8
 lím
x  2
x  2
 x  2
x2
3
x  2
x  2




x 4  16
Ejemplo 40: Lím 3
. En este caso se aplica la factorización de la resta de potencias de igual
x2 x  8
grados, a través de una división de polinomios, en el numerador es la resta de potencias pares y
en el denominador es la resta de potencias impares se resuelve así:
x 4  16 2  16 16  16 0
Lím 3


 Ind .
x2
x 8
23  8 8  8 0
4
Lím
x2



x  2 x 3  2 x 2  4 x  8  lím x 3  2 x 2  4 x  8
x 4  16

lím
x2
x2
x  2 x 2  2 x  4
x3  8
x 2  2x  4
2

Ejemplo 41: Lím
x0
3






 2 2  4 2  8 8  2 4  8  8 8  8  8  8 32 8




4  4  4
444
12 3
2 2  2 2  4
2

2  x 2 
x

4
. En este caso se aplica la factorización del cuadrado de la suma de
dos cantidades en el numerador y se resuelve así:
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
24
Lím
x0
Lím
x0
2  x 2 
4
x
2  x 2 
2  02  4  4  4  0 Ind .

4
0
x0
Ejemplo 42: Lím
x  h3 
h0
4  4x  x 2  4
x
2
x0
 lím
0
4  4 x  x   4  lím
 lím
x
0
x0
x
4x  x 2
x 4  x 
 lím
 lím 4  x   4  0  4
x0
x0
x
x
x3
. En este caso se aplica la factorización del cubo de la suma de dos
h
cantidades en el numerador y se resuelve así:
3

x  h 
Lím
x3
x  h 3 
x3
h0
Lím
h0
h

x  03 
0
 lím
x
h0
h
 lím
h0
3
x3
x3  x3 0

 Ind .
0
0

 3x 2 h  3xh 2  h 3  x 3
x 3  3x 2 h  3xh 2  h 3  x 3
 lím
h0
h
h

3x 2 h  3xh 2  h 3
h 3x 2  3xh  h 2
 lím
h0
h
h



 lím 3x 2  3xh  h 2  3x 2  3x0  0  3x 2
h0
2
x 3  1  a x 2  ax
Ejemplo 43: Lím
. En este caso se aplica la factorización común monomio y
x  1
x2  x  2
polinomio. Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:
 13  1  a  12  a  1   1  1  a  a  0
y  1   1  2  1  1  2  0
2
Como  1 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:


x 3  1  a x 2  ax  x x 2  1  a  x  a  xx  1x  a  y x 2  x  2  x  2x  1
Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como: lím
x  1
simplificando se obtiene: lím
x  1
xx  1x  a 
, y
x  2x  1
x x  a 
y como puede determinarse pues lím x  2 es diferente de
x  1
x2
cero.
x 3  1  a x 2  ax
x x  a   1 1  a  1  a
a 1
Luego: lím
 lím



2
x  1
x


1
x2
1  2
3
3
x x2
b) Límites que involucran racionalizaciones
Ejemplo 44: Lím
x 2
x2  4
2 x
x2  4
22  4
Lím


x 2
2 x
2 2
44
0

2 2 0
Ind .
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
25
Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a
racionalizar el denominador de la forma siguiente:


 x2  4
2 x 
x2  4 2  x
  lím
lím 

x 2
2x
2  x  x 2
 2 x

x  2x  2 2 
x 2
 x  2
 lím  x  2 2  x 
x 2
 lím
x

En este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene
como resultado:






lím  x  2 2  x   2  2 2  2   4 2 2   8 2
x 2
x 2  6x  3
3
Ejemplo 45: Lím
x3
x 3

Como vuelve a presentarse la forma
3
lím
x 2  6x  3
x3
x 3

3
3
x
x
2
2

 6x
 6x
2
2

Recuerde que a  b a 2  ab  b 2  a 3  b 3
0
, procedemos a racionalizar como sigue:
0
 3 3 x 2  6 x  32
 lím
x 3
 3 3 x 2  6 x  32

3
x  3 3 x 2  6 x 2

 lím
x 3
x 3

x  3 3 


 3
3
3
 3 3 x 2  6 x  9

x 2  6 x  27
2
x 2  6 x  3 3 x 2  6 x  9

x  9x  3
2
x 2  6 x  3 3 x 2  6 x  9

x  3 3 

 lím
x 2  6x
En este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene
como resultado:
lím
x 3
x9

3 x 2  6 x


2
 3 3 x 2  6 x  9


3
3
3
27 
Ejemplo 46: Lím
x 4
Lím
x4

 63
39
 3 3 3 2  63  9
12


2
2
2
 3 3 27  9

3
12

3
9  18
2
 3 3 9  18  9
12
729  3 3 27  9
12
12 4


9  3 3  9 27 9
2 x 4
x4
2 x  4 2 4 4 44 0



x4
44
44 0
Ind .
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
26
Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a
racionalizar el denominador de la forma siguiente:
2 x  4
Lím 
x4
 x4


Ejemplo 47: Lím
x0
Lím
x0

2

2 x  4 2 x  4 
4 x  16
2 x  4
  lím 

 lím
 x  4  x  4  2 x  4   lím
x 2  x  4  2 x  4
2x


 x 2
4 x  4
4
4
4
4
4 1
 lím
 lím



 
x 2  x  4  2 x  4
x 2
2 2  4 4  4 8 2
2 x4
2 44

2


 


2 x4
x
2  x4 2  04 2  4 2  2 0



 Ind .
x
0
0
0
0



2  x  4
2 x4
2 x4 2 x4
Lím
 lím

 lím
x0
x0
x
x
2  x  4 x0 x 2  x  4
4  x  4
4 x  4
x
 lím
 lím
 lím
x0 x 2 
x  4 x0 x 2  x  4 x0 x 2  x  4
1
1
1
1
1
1
 lím





x0 2 
4
2 4 22 4
x4
2  04
2



Ejemplo 48: Lím
x 1
Lím
x 1



2



x 1
x 1
x 1
1 1 11 0



x 1
11
11 0
Ind .
 
2
 x 1 
 x 1 x 1 
x  1
x  1
  lím 
  lím
Lím 

 lím



x 1
x  1  x  1 x  1 x  1 x  1 x  1 x  1
 x  1  x 1  x  1
1
1
1
1
 lím



x 1
x 1
1  1 11 2
2






c) Límites que involucran la aplicación de la regla de los exponentes: veamos que existen
dos tipos:
1) Si es del tipo
0
:
0
0
Cuando el límite es de este tipo   , debemos analizar hacia donde tiende la variable equis,
0
así:

Si x  a , el factor es: x  a

Si x   a , el factor es: x  a

Si x  0 , el factor es: x
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
27
Primero tenemos que localizar el factor en el límite, luego se analiza, generalmente se dan
dos posibilidades, las cuales son:
1. Factorizar por los polinomios de la expresión.
Ejemplo 49: Lím
x3
x2  9
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cuadrados
x 2  3x
en el numerador y el denominador por factor común monomio, así:
Lím
3  9  9  9  0 Ind .
x2  9

2
x  3x 32  33 9  9 0
Lím
x  3x  3  lím x  3  3  3  6  2
x2  9
 lím
2
x3
x
3
3
x  3x x  3 x x  3
2
x3
x3
Si la función contiene raíces, multiplicar por el conjugado.
Ejemplo 50: Lím
x0
1  1 x2
x
1  1  x 2 1  1  02 1  1 1  1 0
Lím



 Ind .
x0
x
0
0
0
0


1  1 x2
1  1 x2 1  1 x2
1  1  x 2
Lím
 lím

 lím
x0
x0
x
x
1  1 x2 x  0 x 1  1 x2
2
 lím
x0
 lím
x0
2) Si es del tipo

1  1 x

2


x 1  1 x2

x

1 
1 x
2

 lím
x0
11 x

2
x 1  1 x2
0
1  1 0
2


 lím
x0



2
x2
x 1  1 x2

0
0
0

 0
1 1 11 2

:

Estos límites se resuelve al dividir el numerador y el denominador por la mayor potencia de x del
denominador, y existen las tres posibilidades:

El
grado
del
numerador
es
mayor
que
el
grado
del
denominador,
es
decir:
del
denominador,
es
decir:
grado de N  grado de D   
Ejemplo 51:
Lím
x
x3  1  

x2 1  
x3 1
1
 3
1 3
3
x 1
x  1 0  1   
Solución: lím 2
 lím x 2 x  lím
x x  1
x x
x


1
1
00 0
1


3
3
3
x x
x
x
3

El
grado
del
numerador
es
menor
que
el
grado
grado de N  grado de D  0
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
28
x2  x 1 
Ejemplo 52: Lím 3

x    x  4x  3

x2
x
1
1 1
1
 3 3
 2  3
2
3
x  x 1
x  lím x x
x  000  0  0
Solución: lím 3
 lím x 3 x
x   x  4x  3
x x
x
4
3
1 0  0 1
4x 3
1 2  3
 3  3
3
x
x
x
x
x

El
grado
del
numerador
grado de N  grado de D 
es
igual
al
grado
del
denominador,
es
decir:
Coeficient e principal del N
Coeficient e principal del D
 3x 2  2 x  5 


4x 2  4
Ejemplo 53: Lím
x
 3x 2 2 x 5
2 5
 2  2
3  2
2
 3x  2 x  5
x x  30 0  3   3
x  lím
Solución: lím
 lím x 2 x
2
x
x


x


4
40
4
4
4x  4
4x
4
4 2
 2
2
x
x
x
2
Ejemplo 54: Lím
x 
2 x 3  3x 2  2 


4x 3  x  5
2 x 3 3x 2
2
3 2
 3  3
2  3
3
2
3
2 x  3x  2
x x  200  2  1
x  lím
Solución: lím
 lím x 3 x
3
x
x   4x
x
1
5
400 4 2
4x  x  5
x
5
4 2  3
 3 3
3
x
x
x
x
x
x  1100  
x   2 x  50 100

Ejemplo 55: Lím
x  1100
Solución:
100

x  1
x100
lím

lím
x   2 x  50 100
x   2 x  50 100
x100
100
 x 1


x 

 lím
100
x
 2 x  50 


 x 
 x 1
  
x x
 lím 
 lím
100
x
x
 2 x 50 



x 
 x
100
100
 1
1  
1100
1
 x
 100  100
100
2
2
50 

2  
x 

d) Límites que involucran un cambio de variable
3
Ejemplo 56:
Lím
y 0
1 y 1
1 1 y
Al evaluar numerador y denominador en y  0 se obtiene
0
.
0
Aunque en este caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muy largo
pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un
cambio de variable en la forma siguiente.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
29
Se desea sustituir la expresión 1  y por otra que tenga tanto raíz cúbica como raíz cuadrada.
u6  u3 y
Luego, sea 1  y  u 6 (observe que
u 6  u 2 ).
3
Además cuando y  0 se tiene que u 6  1 y por tanto u  6 1 , es decir, u  1 en el límite
original se sustituye y  0 por u  1
3
Sustituyendo se tiene que: lím
y 0
1 y 1
1 1 y
Aunque vuelve a presentarse la forma
 lím
u 1
3
u6  1
1  u6
 lím
0
, la expresión ahora es fácilmente factorizable. Así:
0
u  1u  1  lím  1  u u  1
u2  1
 lím
u 1 1  u 3
u 1 1  u  1  u  u 2
u 1 1  u  1  u  u 2

lím
 lím
u 1
5
Ejemplo 57: Lím


 u  1
 1  1
2


2
2
1 u  u
3
1  1  1
 

u 1
u2  1
1  u3


3  2x  1
1 x
x 1
Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene
0
0
En este caso vamos a sustituir 3  2 x por una expresión que posea raíz quinta. Tomamos
entonces 3  2 x  u 5 pues
5
u5  u .
Cuando x tiende a 1 se tiene que 3  2 x también tiende a 1 y por tanto u 5  1 y u  5 1 de donde
u  1 Sustituyendo se obtiene que:
5
lím
x 1
5
3  2x  1
u5  1
u 1
u 1
u 1
2 u  1
 lím

lím
5  lím
5  lím
5  lím
5
u 1
u 1 2  3  u
u 1  1  u
u 1 u  1
u 1 u 5  1
1 x
1  3 2u
2
2
2
2 u  1
2
 lím 4
3
2
3
u

1
u  1u  u  u  u  1
u  u  u 2  u  1
2
2
2



4
3
2
1  1  1  1  1 1  1  1  1  1 5
 lím
u 1
4

3
Ejemplo 58: Lím
x 1
3
Lím
x 1

x 1
x 1
x 1 3 1 1 11 0



x 1
1 1 11 0
Ind .
Hacemos un cambio de variable, para levantar la indeterminación, si t 6  x entonces
1
6
 t  x es decir t  x y si lo elevamos al cuadrado, tendremos: t 
6
2
1
1
Luego, t 2  x 3
t3  x2
 16 
  x 
 
2
y
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
t 
3
6
t6  6 x
 16 
  x 
 
30
3
t2 
3
t3 
x
x
Como x  1  t 6  1 es decir: t  1
3
t  1t  1  lím t  1  1  1  2
x 1
t2 1
 lím 3
 lím
t

1
t

1
t  1 t 2  t  1 t  1 t 2  t  1 12  1  1 3
t 1
x 1

Luego: Lím
x 1



PRÁCTICA
I. Resuelve los siguientes problemas sobre límites indeterminados, aplicando la factorización:
x 2  16
1. Lím
x 4 x  4
x 3
5. Lím 2
x 3 x  9
6 x 2  12 x  18
x 1
2x  2
9. Lím
x 6
x 2  2x  3
x  3
x3
7. Lím
2 x 2  13 x  15
x 2  x  20
11. Lím
x2  6 x  8
2 x 2  8x
12. Lím
x 2  8 x  15
x 2  7 x  12
14. Lím
x2  2 x  3
x2  x  2
15. Lím
27 x 3  8
9x 2  4
16. Lím
8x 3  1
4x 2 1
x 5
x  36
2
x  4 x  12
x 2  25
x   5 3 x  15
x 9
8. Lím 2
x   9 x  7 x  18
4. Lím
10. Lím
2
13. Lím
x2  4
3. Lím
x 2 x  2
x2  x  6
2. Lím
x  3
x3
x4
6. Lím 2
x  4 2 x  5 x  12
x 1
x 4
x
2
3
x 3
x
1
2
II. Resuelve los siguientes problemas sobre límites indeterminados, aplicando racionalización:
x2 1
x 1
x 1
x2
21. Lím
x 2
x2 2
x 9
25. Lím
x 9
x 3
18. Lím
17. Lím
x 3
x 3
x 1  2
x 9
x  81 x  81
x 5
23. Lím
x 5
x 5
19. Lím
5 x  5
x 0
x
x4
26. Lím
x 4
x 2
22. Lím
20. Lím
x 4
x 1
x 1 x  1
2 x4
28. Lím
x 0
x
24.
4 x 3
x 5
27. Lím
x 5
2 x 4
x4
Lím
III. Resuelve los siguientes problemas sobre límites al infinito:
x 2  2x  3
2
29. x  3x 5 x  2
5x 3  x 2  x  1
4x 2 x  1
30. x 
4x3  2x 2  5
3
31. x  x  2  8 x
2x5  2x 4  x 2
3
2
32. x  x  2 x  4 x
5x 4  x 2  2 x  3
Lím
3x 2  x  6
33. x 
16 x  3x 2  12
Lím 4
2
34. x  x  3x 3x
7 x5  6x3  4
Lím
2
35. x  6 x 2 x  5
x3  6x 2  9x
Lím 4
2
36. x  x  3x 2
x 6  2 x 4  3x  1
3x 3  4 x 2  2 x
5 x 3  2 x 2  3x
2
5
38. x  x  x  x
Lím
Lím
Lím
37. x 
Lím
x3  2x  8
4 x 7 5 x 4
Lím
Lím
Lím
39. x 
3x 3  2 x 2  x
3
40. x  1  2 x  x
Lím
Respuesta:
I.
1)
8
15)
2)
5
3)
4
4)
 103
1
1
5) 6
6) 11
7)
4
8)
 111
9)
7
12
10) 9
1
11) 4
12)
2
3
13) 2
3
3
16) 2
1
4
18)
4
19) 18
1
30)

31)
II.
17)
III.
29) 3
 12
1
20) 2
32)
21)

33)
4

22)
34)
0
0
23)
2 5
35)

1
24) 2
36)
0
25)
37)

6
26)
38)
0
4
1
27) 6
39)
0
28)
40)
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12°
 14
3
31
4
14) 3