CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE MORTALIDAD DE LA

CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE MORTALIDAD DE LA POBLACIÓN
ECUATORIANA CON BASE EN EL CENSO 2001 Y ESTADÍSTICAS VITALES
Capa Santos Holger (1) y Lara Karina (2)
1. INTRODUCCIÓN
Para que los gobiernos puedan tomar acciones sobre las realidades demográficas de un
pueblo, es necesario que se conozca a cabalidad la forma en que este se desenvuelve.
Así, por ejemplo, si existe una alta mortalidad en algún sector de la población, será
necesario, una vez conocidas las causas, tomar medidas preventivas dirigidas a
solucionar dicho problema. Las Tablas de Mortalidad son el instrumento necesario
para conocer exactamente dónde se están produciendo este tipo de fenómenos.
Su uso es muy extenso; de ellas se toman los datos necesarios para muchos tipos de
planificaciones, como son por ejemplo: planes de jubilación, salud, seguros de vida,
análisis demográficos, etc.
Las tablas existentes actualmente en el Ecuador (INEC-CONADE-CELADE), basadas
en el censo del año 1990, han sido elaboradas, únicamente, clasificando a la población
por sexo y edades agrupadas en cinco años consecutivos (grupos quinquenales). Por
esta razón, creemos necesario presentar una metodología para elaborar tablas en las
cuales no solo se tome en cuenta la clasificación por períodos quinquenales sino por
edades simples (edades año a año); todo esto, con la posibilidad de sectorizar por
género, regiones, provincias y zonas geográficas (urbana y rural).
Con el objeto de construir las Tablas de Mortalidad (o Vida) para la población
ecuatoriana, se hace uso de los datos sobre el número de vivos obtenidos en el Censo
de la Población Ecuatoriana en el año de 2001, nacidos vivos en los años 1998, 1999,
2000, 2001 y 2002; y el número de defunciones de los años 2000, 2001 y 2002; se
procede en primer lugar a analizar la confiabilidad que nos brindan dichos datos, para
luego realizar las correcciones del caso.
Una vez realizado este proceso, utilizamos los datos corregidos para calcular las
probabilidades de muerte para cada grupo de edad. Las probabilidades obtenidas
suelen presentar ciertas irregularidades a partir de los 30 o 40 años, las que no
corresponden a características reales de la población básica; entonces, se procede a
efectuar una graduación, es decir, hallar la mejor relación entre un óptimo ajuste y una
óptima suavidad. Finalmente, a partir de estas probabilidades, se calculan las restantes
funciones de la tabla de mortalidad.
2. PROCEDIMIENTO
Como se indicó ya, el primer paso a seguir para la realización de este trabajo, será el
análisis de los datos que serán utilizados para la construcción de las tablas de
mortalidad. Entenderemos por análisis de datos una operación que pretende dar un
juicio sobre cuán bueno o malo es el dato que se está examinando; es un intento por
detectar los errores que afectan a la información, la naturaleza y la magnitud de los
mismos. Para ello, la información disponible es sometida a examen mediante técnicas
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
1
muy variadas, pero el dato en sí no es afectado, no se modifica; se trata solamente de
derivar juicios o indicadores sobre su calidad.
Según la experiencia dada en países de América Latina, el mayor error se produce en la
mala declaración de la edad. Esto puede también ser visto en los datos proporcionados
por el censo del 2001 para la población ecuatoriana, en donde si observamos el gráfico
del número de personas vivas contra la edad x, (gráfico 1) se nota claramente la
preferencia que existe en nuestra población por declarar edades múltiplos de 5, ya que
en estas edades se producen picos muy pronunciados en la curva; es decir, que el
número de personas en dichas edades aumenta considerablemente con respecto a las
otras.
Para cuantificar la exactitud en la declaración de la edad, utilizaremos el índice de
Whipple; este índice, para las edades terminadas en 0 y 5 sería:
5x 5 N 5 x
12
I

62
100
Nx
x  23
El supuesto básico del índice es que la población correcta varía en forma lineal dentro
de grupos de edades 23-27, 28-32, 33-37,..., 58-62. Para calcular el índice, se deben
determinar:
N x  N 23  ( x  23)a para x  23 a 27
N x  N 28  ( x  28)b para x  28 a 32
N x  N 33  ( x  33)c para x  33 a 37



N x  N 53  ( x  53)g para x  53 a 57
N x  N 58  ( x  58)h para x  58 a 62
donde a, b, c,...,h son constantes que se establecen fácilmente para cada intervalo.
Si la información fuera exacta, de acuerdo a la hipótesis, el índice valdría 100, pues:
5((N 23  2a )  ( N 28  2b)  ...  ( N 58  2h))
100  100
(5 N 23  10a )  (5 N 28  10b)  ...  (5 N 58  10h)
Se ha calculado el índice de Whipple para el Ecuador en el censo del 2001, el que
resulta ser igual a 133,68. Las Naciones Unidas proponen la siguiente escala, que
plantea una asociación entre la preferencia de dígitos y la calidad de los datos censales:
 Índices de 100 a 105 corresponden a datos muy precisos
 De 105 a 110 a datos relativamente precisos
 De 110 a125 a datos aproximados
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
2
 De 125 a 175 a datos malos
 De 175 y más a datos muy malos
Según esta escala, los datos del Ecuador corresponderían a datos malos. Después de
haber analizado los datos, se procede a efectuar operaciones descritas como corregir,
ajustar o suavizar; es decir, ya se está en disposición de afectar el dato, con la intención
de mejorarlo o hacerlo más coherente. Con este fin, la información básica sobre
población, por edades simples, ha sido suavizado utilizando técnicas de regresión no
paramétrica; específicamente el suavizador de Friedman (una extensión del suavizador
“bootstrap”). Se puede observar en el gráfico 2, como quedan los datos del censo del
2001 después de haber sido suavizados.
3. FÓRMULAS UTILIZADAS PARA EL CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES
DE MUERTE
3.1 Cálculo de las Probabilidades de Muerte para menores de 2 años
En estas edades los cálculos se apoyan en las estadísticas de nacimientos y defunciones
dejando de lado los datos del censo, que generalmente están subestimados en estas
edades. Además, la metodología basada en los datos de nacimientos tienen la ventaja
de obtener un denominador más confiable, referido a todo el período de 3 años, que el
provisto por la población enumerada al momento del censo.
En primer lugar se calcularon los valores de tdx, el número de muertes ocurridas entre
las edades exactas x y x+t en la tabla de vida, mediante la fórmula:
t
d x  l0
Dx
t Ex
t
donde l0 es la raíz de la tabla (una generación inicial de l0 nacimientos), tDx representa
el número de muertes ocurridas en la población real en los años 2000, 2001 y 2002,
entre las edades exactas x y x + t y tEx simboliza un denominador apropiado que , para
los intervalos de edades considerados, toma las siguiente forma:
Intervalos de edades: x a x + t
0 – 1 año
1-2 años
Denominadores: tEx
1
(B 99  2B 00  2B 01  B 02 )
t E0 
2
1
(B 98  2B 99  2B 00  B 01 )
2 E1 
2
Donde Bx representan el número de nacidos vivos ocurridos en el año x. Estos valores
de tEx están basados en el supuesto de distribución uniforme de los nacimientos en
cada uno de los años. Los intervalos están dados en edades exactas.
Una vez obtenidos los valores de tdx se calculan las funciones lx (número de
sobrevivientes que de una generación inicial l0 alcanzan con vida la edad exacta x) y
tqx (probabilidad que tiene una persona de edad exacta x de fallecer antes de alcanzar la
edad exacta x + t) hasta la edad 2, mediante las fórmulas usuales:
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
3
lx+t = lx - tdx
t
qx 
dx
1
 1  xt
1x
1x
t
Si en las expresiones tqx, tdx o tpx el índice t vale 1, por lo general se lo omite.
3.2 Probabilidades de Muerte de 2 a 4 años
Desde los 2 años de edad, el cálculo de las probabilidades de muerte se realiza a partir
de las tasas centrales de mortalidad, mediante las estadísticas de población y muertes.
Definiremos dicha tasa como:
mx 
dx
1
1
0
xt
dt
De los datos de la población real suavizados y suponiendo la linealidad en un período
anual de la función 1x, se obtiene una primera versión de mx:
0
dx
0
m x
0
0
1 0 0
(l x  l x 1)
2
0
Pero como d x  l x  l x 1 entonces:
0
0
mx
0
0
l x  l x 1
0
l x  l x 1
1 0 0
(l x  l x 1)
2
20 0
l x  l x 1
0
dividiendo todo por l x se tiene:
0
2qx
m x
2  qx
0
entonces:
0
0
q x
2m x
0
(1)
2mx
Si se simboliza con Dx el número de defunciones de edad cumplida x, ocurridas entre
los años 2000 y 2002, y Nx representa la población de edad x a mitad de dicho período,
se tiene entonces aproximadamente.
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
4
Dx
(2)
3N x
Sin embargo, teniendo en cuenta que las defunciones de edad x, ocurridas durante
2000-2002, provienen básicamente de tres grupos consecutivos de población, se
considera que la exactitud del cálculo de las tasas podría mejorarse reemplazando el
denominador en (2) por la suma de las poblaciones de edad cumplida x – 1, x, x + 1, a
mitad del período considerado.
0
m x
Se asume entonces que:
0
mx 
Dx
N x 1  N x  N x 1
(3)
Combinando la fórmula (1), que vincula la probabilidad de muerte con la tasa central
de mortalidad, con la (3), que expresa la tasa central de mortalidad en función de los
datos básicos, se llega a la siguiente relación:
Dx
0
qx 
1
N x 1  N x  N x 1  D x
2
(4)
la que se utiliza para las edades 2, 3 y 4.
3.3 Cálculo de las Probabilidades de Muerte desde los 5 años de edad en adelante.
El cálculo de estas probabilidades se obtiene, como las de 2 a 4 años, a partir de la
información sobre defunciones y población, para un solo año.
Combinando la fórmula (1) con la (2) se llega a la siguiente relación:
0
qx 
Dx
1
3N x  D x
2
(5)
utilizando para Dx y Nx, la población suavizada por edades simples.
4. SUAVIZAMIENTO DE LAS PROBABILIDADES DE MUERTE
Las probabilidades de muerte, obtenidas en la forma anteriormente indicada, contienen
generalmente fluctuaciones y algunas irregularidades después de los 30 o 40 años, las
que no corresponden a características reales de la población, sino más bien al
procedimiento de interpolación y a errores de diverso tipo que presenta la información
básica.
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
5
Se debe entonces efectuar una graduación; es decir, hallar la mejor relación entre un
óptimo ajuste y una óptima suavidad. Luego de probar varios métodos, se decidió
nuevamente utilizar el suavizador de Friedman. El gráfico 3, nos muestra la curva
obtenida para las probabilidades de muerte para el total de la población ecuatoriana.
5. CÁLCULO DE LAS RESTANTES FUNCIONES DE LA TABLA DE VIDA
Una vez obtenidas las probabilidades de muerte, las restantes funciones de la tabla se
calculan fijando como raíz de la tabla 100.000 y utilizando las relaciones siguientes:
5.1 Número de sobrevivientes de edad x + 1
lx+1 = lx - lxqx
Es conveniente hacer el cálculo de todos los valores de lx sin redondear los decimales y
al final escribirlos redondeados al entero más próximo.
5.2 Número de muertes entre x y x + 1
dx = lx – lx+1
Las defunciones se obtienen por diferencia de los valores redondeados de lx.
5.3 Tiempo vivido por la generación entre las edades x y x + 1
Lx 
1
(l x  l x 1 )
2
5.4 Tiempo vivido por la generación entre las edades x y w
w= edad cuya probabilidad de ser superada es igual a cero
w
Tx   Lx
x
5.5 Esperanza de vida a la edad x
e 0x 
Tx
lx
6. LOS RESULTADOS
Se presentan dos gráficos referentes a los datos censales; el primero, gráfico 1, muestra
los datos del total de la población ecuatoriana tal y como se los obtiene del censo; el
segundo, gráfico 2, los mismos datos censales, después de haber sido suavizados.
También se presenta un gráfico (gráfico 3) de las probabilidades de muerte finales
suavizadas, para el total de la población ecuatoriana; y, finalmente, uno comparativo,
de las esperanzas de vida al nacer para la población total, hombres, mujeres, zona
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
6
urbana y zona rural. Es evidente de este gráfico, que los resultados para las zonas
urbanas y rurales, son poco confiables, por su gran diferencia; el problema puede surgir
en el registro de defunciones, pues personas del sector rural, probablemente las
registran en sitios definidos como urbanos, sin que los funcionarios tomen la
precaución de precisar el lugar del deceso, produciéndose una subestimación
importante de los mismos en el área rural y, por ende, una sobreestimación en el área
urbana (gráfico 4). También se entregan las tablas de mortalidad para la población
ecuatoriana total, hombres y mujeres, calculadas por el método aquí descrito.
BIBLIOGRAFÍA
1. Amstrong Robert, “Methodology of the National and State Life Tables”, 1.9791.981, Estados Unidos: U.S. Department of Health and Human Services, 1987.
2. Batten Robert W., “Mortality Table Construction”, Prentice Hall, Inc. New
Jersey, 1978.
3. Chackiel Juan y Macció Guillermo, “Evaluación y Corrección de Datos
Demográficos”, Serie B, Número 39, CELADE, Santiago, CH, Agosto, 1978.
4. Keyfitz Nathan “Introduction to Mathematical of Population”, Addison Wesley
Publishing Co., January 1997.
5. Keyfitz Nathan “Applied Mathematical Demography”, Springer-Verlag, segunda
edición, New York, 1985.
6. Ortega Antonio, “Tablas de Mortalidad”, CELADE, San José, Costa Rica, 1982.
(1) Profesor Principal, Dpto. de Matemáticas de la Escuela Politécnica Nacional, Consultor de CIMACYT.
(2) Consultora del SIISE, Consultora CIMACYT.
7