Funciones: Tablas, gráficos y fórmulas

SM3 - Funciones y Estadística
1
Funciones: Tablas, gráficos y fórmulas
Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a cada valor de la
primera magnitud, llamada variable independiente, le corresponde un único valor
de la segunda magnitud, llamada variable dependiente o función.
Una misma función se puede representar mediante
una fórmula, una tabla, o mediante un gráfico.
Ejemplo:
t
v
v = t2
-2
4
-1 0 1 2
1 0 1 4
Fórmula
Tabla
Gráfico
1 Dada la siguiente tabla, contesta las siguientes preguntas:
Diámetro
Longitud de la
circunferencia
1
3,14
2
6,28
3
9,42
4
12,57
5
15,71
a) ¿Puedes encontrar alguna fórmula que relacione las dos variables?
b) ¿Cuál sería la variable independiente y cuál la dependiente?
2 Escribe las fórmulas que corresponden a los siguientes enunciados:
a) A cada número le corresponde el mismo más dos.
b) A cada número le corresponde su doble.
c) A cada número le corresponde su cuadrado.
d) A cada número le corresponde su inverso.
3 Una persona sale de paseo de su casa y durante su recorrido para en cuatro
lugares diferentes. El gráfico representa esta situación.
a) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo?
b) ¿Cuánto tiempo ha estado en cada uno de los cuatro sitios?
c) ¿Cuál es el sitio que se encuentra más lejos de su casa?
d) ¿En qué momentos ha ido más deprisa?
Distancia a casa (m)
300
200
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
Tiempo (s)
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2
Dominio y recorrido de funciones
Se llama dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente.
A cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la
variable dependiente.
Se llama recorrido al conjunto de valores que puede tomar la variable
dependiente.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Y
y = x
Dominio: R
Recorrido: R
3
2
Recorrido
1
1
2
3
4
5
6
X
Dominio
-1
-2
4 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función correspondiente al ejercicio
1?
5 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función y = +
x?
6 Indica el dominio y el recorrido de la función representada por la siguiente
gráfica.
Y
3
2
1
1
2
3
X
7 Indica el dominio y el recorrido de la función, dada por la fórmula y = x +
1.
8 Representa los valores de la variable independiente 1, 2, 3, 4 y 5 de la
función y = x - 1.
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3
Representación gráfica de funciones
Los ejes de coordenadas cartesianas son
el eje horizontal de abscisas (X) y el
eje vertical de ordenadas (Y). Al punto
donde se cortan ambos ejes se le llama
origen de coordenadas, O. Un punto del
plano está definido por un par de
valores (x, y).
Ejemplo 1: Y
D(-2,3)
A(3,1)
X
C(-1,-1)
B(1,-2)
Las funciones se representan mediante
sus gráficas cartesianas. Los valores
de la variable independiente se
representan en el eje X y los valores
de la variable dependiente o función en
el eje Y. Los pares de valores (x, y)
se ordenan en una tabla y los puntos
obtenidos son la gráfica de la función.
Ejemplo 2:
y = x + 1
x
y
3
4
0
1
1
2
2
3
...
...
Y
1
X
1
9 Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos:
A(1, 2)
B(-1, 2)
C(2, -3)
D(-2, -3)
E(0, 0)
F(1/2, -1)
G(-3/2,-2)
H(-1, -3)
I(-3, 1,5)
10 Representa gráficamente la función y = x teniendo en cuenta que el dominio
de la variable independiente es R.
11 Representa gráficamente la función y = x siendo el dominio:
a) Z
b) N
12 Representa la función y = x2. ¿Cuál es el recorrido?
13 Representa la función y =
x . ¿Cuáles son el dominio y el recorrido?
14 Consideremos todos los rectángulos de área 10 m2. Escribe y representa la
función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el
valor que tome la base.
15 Consideremos los rectángulos cuyo perímetro es 200 m. Escribe y representa
la función que nos relaciona cuánto vale la altura de esos rectángulos según el
valor que tome la base.
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4
Propiedades globales de las funciones (I): Continuidad
Una función se dice que es continua cuando su gráfica puede efectuarse de una
sola vez, sin necesidad de levantar el lápiz del papel donde la estamos
dibujando. En caso contrario se dice que es discontinua.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Y
Y
2
1
-3
-2
-1
1
2
X
3
-3
-2
-1
1
2
3
X
-1
Función continua
en [-2, 3]
Función discontinua
en x = 0
16 A la vista de la gráfica indica dónde es continua esta función.
Y
X
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
17 A la vista de la gráfica indica dónde es continua esta función:
Y
2
1
X
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
18 Representa gráficamente la función f(x) = |x|. Indica si es continua o no.
19 Representa la función f(x) =
1 si x  1
2 si 1 < x  2
3 si x > 2
y estudia su continuidad.
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5
Propiedades globales de las funciones (II): Crecimiento,
máximos y mínimos
Una función es creciente cuando al aumentar el valor de x, aumenta y.
Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de x, disminuye y.
Ejemplo 1:
Función
creciente
Función
decreciente
Una función presenta un máximo relativo en un punto si crece a la izquierda de
ese punto y decrece a la derecha. Si la función decrece a la izquierda y crece a
la derecha presenta un mínimo relativo.
Ejemplo 2:
Y
Máximo
Mínimo
X
crece
x1
x2
decrece
crece
20 Indica dónde es creciente la función cuya gráfica está representada en la
figura, así como sus máximos y sus mínimos:
Y
2
1
X
-4
-3
-2
-1
1
2
21 Indica dónde es creciente la función
cuya gráfica está representada en la figura,
así como sus máximos y sus mínimos:
3
4
Y
X
22
Dibuja
gráficas
para
unas
funciones
que
posean
las
siguientes
características:
a) Dominio: todo R; recorrido: todos los números menores que 3; único máximo
para x = 3.
b) Dominio: desde -3 hasta 4; recorrido: los números reales negativos;
siempre creciente.
c) Dominio: R; recorrido: R+. un máximo para x = -1 y un mínimo para x = 3.
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6
Rectas
Y
La representación gráfica de una función
del tipo y = ax + b siempre es una recta.
El número a es la pendiente de la recta
y b, la ordenada de corte con el eje Y.
A(0,1)
X
Ejemplo 1:
y = 2x + 1
x
y
0
1
B(-1,-1)
-1
-1
La recta que pasa por dos puntos de coordenadas, (x 1, y1) y (x2, y2), tiene por
y  y1
x  x1
Y

ecuación:
y 2  y 1 x 2  x1
Ejemplo 2:
y 1 x 1
 y = -x + 2

0 1 21
A(1,1)
B(0,2)
X
Si las dos rectas se cortan, el punto de corte de ambas es la solución del
sistema que forman sus dos ecuaciones.
23 Representa la recta que tiene por ecuación y = 2x + 3. ¿Cuál es su pendiente
y su ordenada en el origen?
24 Representa la recta que tiene por
pendiente y su ordenada en el origen?
ecuación
y
=
-3x -
1.
¿Cuál
es
su
25 Representa en los mismos ejes las rectas:
a) y = x + 2
d) y = 4x + 2
b) y = 2x + 2
1
e) y =
x + 2
2
c) y = 3x + 2
26 Representa en los mismos ejes:
a) y = -2x + 1
d) y = -5x + 1
b) y = -3x + 1
1
e) y = - x + 1
2
c) y = -4x + 1
27 Representa en los mismos ejes:
a) y = 2x
b) y = 2x + 2
c) y = 2x + 1
d) y = 2x + 3
28 Representa en los mismos ejes:
a) x = 3
b) x = 1
c) x = 0
d) x = -2
29 Halla analítica y gráficamente el punto de corte de las rectas y = 2x - 4 e
y = -x - 1.
30 Halla el punto de corte de las rectas y = 2x + 3 e y = 2x + 1. ¿Cómo son
estas rectas?
31 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, 3).
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7
Paralelismo y perpendicularidad de rectas
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Así, las rectas y =
ax + b e y = ax + c son paralelas.
Ejemplo 1: y = 2x + 1 e y = 2x + 5 son paralelas porque tienen la misma
pendiente a = 2.
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a 1. Así, las rectas y = ax + b e y = cx + d son perpendiculares si se cumple que
a·c = -1.
Ejemplo 2: y = -5x + 3 e y = 1/5·x + 6 son perpendiculares porque (-5)·1/5 = -1.
32 Dadas las siguientes rectas decir cuáles de ellas son paralelas entre sí.
a) y = 2x - 5
b) y = -
1
x + 4
3
c) y = 3
e) x = 1
g) y = -2x - 3
d) y = -2x - 1
f) y = 2x + 4
h) y = 6
i) x = -1
j) y = -
3
1
x +
9
3
33 Dada la recta y = 2x + 1 escribe tres rectas cualesquiera que sean paralelas
a ella.
34 Dada la recta y = -4x + 2 halla la ecuación de la recta paralela a ella que
pase por el punto (1, 2).
35 Dadas las siguientes rectas, decir cuáles son perpendiculares entre sí.
a) y = 3x - 1
b) y =
2
x
3
c) y = 4
e) x = -6
d) y = -4x + 3
f) y = -
36 Dada la recta y =
perpendiculares a ella.
3x
-
3,
escribe
las
1
x - 1
4
3
h) y = - x + 5
2
g) y =
2
x + 4
6
ecuaciones
de
cinco
rectas
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8
Ecuación general de la recta
La ecuación de una recta se puede expresar de la forma ax + by + c = 0. Esta
forma se conoce como ecuación general de una recta.
Ejemplo 1: Escribe la ecuación general de la recta y =
Pasando todo al primer miembro: -
3
x - 5.
2
3
x + y + 5 = 0
2
Quitando denominadores: -3x + 2y + 10 = 0  3x - 2y - 10 = 0
Otra caracterización del paralelismo:
Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son paralelas 
Ejemplo 2: 2x + 3y + 1 = 0 y 4x + 6y + 5 = 0 cumplen que
a b

a  b
2 3
 , luego son
4 6
paralelas.
Otra caracterización de perpendicularidad:
Las rectas ax + by + c = 0 y a’x + b’y + c’ = 0 son perpendiculares  a·a’ =
b·b’
Ejemplo 3: x - 3y + 1 = 0 y 3x - y + 5 ¿ 0 son perpendiculares porque 1·3 = (3)·(-1)
37 Escribe en forma de ecuación general la recta y = -
1
1
x +
.
2
3
38 Las rectas 2x - 3y + 4 = 0 y 4x – 6y + 3 = 0 ¿son paralelas? ¿Por qué?
39 Dada la recta x - 4y + 3 = 0.
a) Escribe la ecuación de una paralela cualquiera.
b) Escribe la ecuación de la paralela que pasa por (3, -4).
40 ¿Son perpendiculares x + 3y - 1 = 0 y - 3x + y - 4 = 0? ¿Por qué?
41 Dada la recta 2x + y - 1 = 0:
a) Escribe la ecuación de una perpendicular a ella.
b) Escribe la ecuación de la perpendicular que pasa por (0, 2).
SM3 - Funciones y Estadística
9
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que su
producto es constante. La función que relaciona estas magnitudes es del tipo:
x·y = k  y =
k
x
Ejemplo: El tiempo t que tarda en llenarse un recipiente es inversamente
proporcional al caudal c (l/s) que arroja un grifo, pues, a más caudal, menos
tiempo tarda en llenarse:
Y
k
t·c = k  t =
c
El dominio de las funciones inversamente
proporcionales es R – {0}, ya que el
cociente k/0 no está definido.
X
k
)
x
Su representación gráfica es una hipérbola (y =
42
Construye
la
tabla
de
valores
correspondiente
a
la
función
y
=
represéntala posteriormente. (Indicación: da valores muy próximos
positivos y negativos, así como muy grandes en valor absoluto.)
a
1
y
x
cero
43 Representa en los mismos ejes las funciones:
a) y =
1
x
b) y =
2
x
c) y = -
2
x
d) y =
3
x
44 La presión p y el volumen V de una misma masa de gas son magnitudes
inversamente proporcionales cuando la temperatura del gas permanece constante.
Representa la gráfica correspondiente a un gas que se mantiene a temperatura
constante:
p (atmósferas)
V (litros)
1
20
2
10
4
5
6
2,5
SM3 - Funciones y Estadística
10
Funciones racionales
Las funciones racionales son del tipo y =
p( x)
q( x)
donde p(x) y q(x) son polinomios
y q(x)  0. El dominio de una función racional está formado por todo R salvo los
valores que anulan el denominador (raíces de q(x)).
2 1  1
2x  1
3
Ejemplo: y =
tiene como dominio R - {1} pues
=
no está definido.
1 1
x 1
0
Y
Las funciones racionales de la forma
ax  b
k
y =
son hipérbolas del tipo y =
cx  d
x
que posteriormente han sufrido un
desplazamiento horizontal y vertical.
X
45 Representa en los mismos ejes las funciones:
a) y =
1
3x
b) y =
1
3x  1
c) y =
1
3x  2
c) y =
1
- 2
2x
46 Representa en los mismos ejes las funciones:
a) y =
1
2x
b) y =
1
+ 1
2x
47 Representa en los mismos ejes las funciones:
a) y =
1
+ 1
2x  1
b) y =
48 Representa la función y =
(Indicación:
D
r
= c +
d
d

1
+ 2
2x  1
3x  1
.
x 2
3x  1
5
= 3 +
)
x 2
x 2
SM3 - Funciones y Estadística
Poblaciones,
estadísticas
11
muestras,
caracteres
y
variables
Una población es un conjunto de elementos que cumplen una determinada
característica. Una muestra es una parte o subconjunto de esa población.
Ejemplo 1: Los españoles son una población compuesta de personas que tienen
nacionalidad española. Los andaluces son una muestra de esa población, los
varones son otra, las personas menores de 25 años otra, los que tienen un mismo
color de pelo, etc.
Cualquier rasgo de una población que permita obtener muestras se denomina
carácter estadístico o característica. En el ejemplo anterior, ser andaluz,
varón, menor de 25 años, son caracteres estadísticos. Los valores que toma un
carácter estadístico se denominan variable estadística.
Ejemplo 2: El carácter estadístico «peso» aplicado a los 17 alumnos de una clase
proporciona los valores: {35, 35, 34, 33, 33, 21, 33, 45, 50, 42, 42, 43, 46,
47, 38, 39}. Estos valores son la variable estadística que proporciona la
característica «peso» en la población estudiada.
49 Indica dos caracteres estadísticos que proporcionen valores numéricos de la
variable estadística asociada, para la población de libros de una biblioteca.
50 Indica dos caracteres estadísticos que proporcionen valores numéricos de la
variable estadística asociada, para la población de coches de una ciudad.
51 Se desea estudiar la característica <<estatura>> de la población de una
ciudad.
a) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por varones?
b) ¿Sería válida una muestra constituida sólo por personas menores de 5 años?
c) ¿Cómo podrías elegir la muestra?
52 Inventa una población, una muestra y una característica que proporcione una
variable estadística {2, 2, 4, 5, 3, 1, 1, 3}.
SM3 - Funciones y Estadística
12
Organización de datos estadísticos. Tablas
La frecuencia absoluta (fi) de un valor xi es el número de veces que aparece ese
valor.
La frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un valor xi es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a xi: Fi = f1 + f2 + ... + fn
La frecuencia relativa (hi) de un valor xi es el cociente entre su frecuencia
f
absoluta y el número total de datos con los que estemos trabajando, N: hi = i
N
La frecuencia relativa acumulada (Hi) de un valor xi es igual a la suma de las
frecuencias relativas de los valores menores o iguales a xi: Hi =h1 + h2 +...+ hn
Si una variable estadística consta de muchos datos, éstos se agrupan en
intervalos o clases para su mejor manejo. Conviene que sean de igual longitud, y
a su punto medio se le denomina marca de la clase.
Los datos estadísticos se disponen en tablas.
Ejemplo: Dada la variable estadística {2, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 4, 3, 5}, organizar
sus datos estadísticos en una tabla.
xi
fi
Fi
1
3
3
3/10
3/10
2
2
5
2/10
5/10
3
3
8
3/10
8/10
4
1
9
1/10
9/10
5
1
10
1/10
10/10 =1
N = 10
hi
Hi
hi = 1
53 Realiza la tabla correspondiente al siguiente enunciado: las notas de una
clase de matemáticas han sido:
{6, 4, 6, 7, 5, 2, 7, 6, 5, 2, 6, 1, 5, 8, 7, 6, 4, 9, 5, 5, 1, 6, 9, 8, 4}
54 Los resultados en el salto de altura de un conjunto de atletas han sido:
{2,20; 2,21; 2,21; 2,23; 2,24; 2,25; 2,25; 2,26; 2,27; 2,27; 2,28; 2,28; 2,28;
2,21; 2,30}
Agrupa estos resultados en intervalos o clases de 2 cm de amplitud e indica la
marca de la clase.
55 Los goles que se han marcado en la última jornada de primera división han
sido en los siguientes minutos de juego: {31, 32, 70, 5, 80, 24, 72, 43, 50, 17,
81, 79, 40, 83, 69, 56, 61, 46, 90, 23, 84, 43, 67, 3, 51, 31, 59, 78, 14, 66,
45, 29}. Realiza la tabla correspondiente agrupándolos en clases por cuartos de
hora.
56 Los pesos en kilogramos de un grupo de personas son los siguientes: {62, 76,
57, 74, 68, 83, 61, 87, 71, 81, 68, 77, 62, 74, 68, 68, 74, 66, 73, 84, 54, 72,
78, 69, 88, 63, 76, 59, 71, 66}. Realiza una tabla agrupándolos por pesos de 5
kg en 5 kg.
57 El número de hijos en una serie de familias es el siguiente: con 0 hijos, 9.
con 1 hijo, 18; con 2 hijos, 34; con 3 hijos, 19; con 4 o más, 20. Realiza la
tabla correspondiente a estos datos. Suponiendo que estos datos fueran una
muestra representativa de una ciudad con 8 500 familias, ¿cuántas tendrían 2
hijos?; ¿cuántas 3 hijos?; ¿cuántas menos de 2?
SM3 - Funciones y Estadística
13
Gráficos estadísticos
Frec.
Los datos estadísticos no agrupados en clases
se representan mediante diagramas de barras.
2
Ejemplo 1: El diagrama de barras de la variable
estadística {5, 5, 5, 4, 4, 6, 6, 3, 7} es:
1
1
2
3
4
5
6
7
Valor
Los datos estadísticos agrupados en clases se representan mediante histogramas
Frec.
de frecuencias.
Ejemplo 2: Dibuja el histograma de
4
frecuencias de la variable estadística,
agrupada en clases con sus respectivas
3
frecuencias:
Clases
fi
[20-30) [30-40) [40-50)
2
4
5
[40-50)
3
20
En ambos casos, si unimos los puntos medios de
rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.
Los diagramas de sectores dividen un
círculo en sectores cuyo ángulo central
es proporcional a la frecuencia
absoluta de los datos.
la
1 - 30%
108º
Ejemplo 3: Realiza un diagrama de
sectores para la variable estadística:
{1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3}.
30
40
parte
50
60
superior
Clase
de
los
2 - 20%
72º
10 – 360º x = 180º
5 - x
3 - 50%
180º
58 Realiza el diagrama de barras y el polígono de frecuencias correspondientes
a los datos del ejercicio 53. Asimismo, si las notas las consideramos agrupadas
en los siguientes intervalos: {(0, 2); (2, 4); (4, 6); (6, 8) y (8, 10)},
realiza el histograma correspondiente y su polígono de frecuencias.
59 Realiza el
ejercicio 55.
histograma
y
el
polígono
de
frecuencias
correspondientes
al
60 Realiza el histograma correspondiente a la tabla de datos del ejercicio 56.
61 Realiza un diagrama de sectores para los datos del ejercicio 57.
62 Los porcentajes de alumnos que han aprobado la selectividad en los últimos
10 años en dos colegios A y B han sido los siguientes:
A
B
1989
84
81
1990
86
83
1991
90
86
1992
91
90
1993
87
92
1994
83
91
1995
81
87
Realiza un diagrama de barras para cada uno de ellos.
1996
79
88
1997
84
87
1998
76
84
SM3 - Funciones y Estadística
14
Medidas de centralización: Moda y mediana
La moda es el valor de una variable estadística que tiene mayor frecuencia. Si
la distribución se agrupa en clases, aquella que tenga mayor frecuencia se
denomina clase modal. En este caso, la moda será la marca de clase
correspondiente.
Ejemplo 1: La moda de los valores {1, 1, 1, 2, 2, 3} es M o = 1, pues su
frecuencia es 3.
Ejemplo 2: La clase (60-70) es la clase modal de la distribución:
Clases
fi
(40-50)
4
(50-60)
5
(60-70)
6
(70-80)
3
- Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda.
Ejemplo 3: {1, 1, 5, 5, 6, 6} no tiene moda.
- Una distribución puede ser bimodal, trimodal... cuando haya dos, tres...
valores con frecuencia iguales entre sí y mayores que las demás.
Ejemplo 4: {10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14} es bimodal, pues 12 y 13 son
modas por tener 3 de frecuencia.
La mediana es el valor de la variable tal que la cantidad de datos que hay por
debajo de él es la misma que la cantidad de datos que hay por encima. Para
calcular la mediana lo primero que hay que hacer es ordenar los datos de menor a
mayor.
Ejemplo 5: Como el número de datos de la variable estadística {1, 1, 2, 3, 4, 6,
8} es impar, la mediana es M = 3, por haber tres datos (1, 1, 2) por debajo y
tres datos (4, 6, 8) por encima.
Ejemplo 6: Como el número de datos de la variable estadística {4, 4, 5, 5, 6, 7,
8, 9} es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales: M
= (5 + 6)/2 = 5,5
63 Calcula la moda y la mediana para el siguiente conjunto de datos:
{3, 6, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 3, 4, 1}
64 Calcula la moda y la mediana para los datos de la tabla.
xi
fi
0
1
2
3
4
5
6
8
4
4
65 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 53
66 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 54
67 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 55
68 Calcula la moda y la mediana para los datos correspondientes al ejercicio 57
SM3 - Funciones y Estadística
15
Medidas de centralización: media aritmética
La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de
todos los valores que toma la variable dividido por el número total de datos.
Así, si x1 se presenta f1 veces; x2 se presenta f2 veces; ...; xn se presenta fn
veces, y siendo f1 + f2 + ... + fn = N, entonces la media es:
x
x1 f1  x2 f2  .....  xn f n
N
Ejemplo 1: La media aritmética del conjunto de datos {4, 4, 5, 6, 6, 6, 7} es
x
La media aritmética
estadística.
a
4 2  51  6 3  71
veces
7
dista
mucho
= 5,4
de
Ejemplo 2: La media aritmética de {1, 10} es x 
los
valores
de
la
variable
1  10
= 5,5 y se aleja de los
2
datos.
Si la variable está agrupada en clases, se toma como valor para xi la marca de
clase.
Clases
Marcas de
Frec. (fi)
xi · f i
clase (xi)
[0, 2)
1
3
3
[2, 4)
3
8
24
[4, 6)
5
4
20
N = 15
Por tanto, la media es: x 
47
47
= 3,13
15
69 Calcula la media para el siguiente conjunto de datos: {3, 6, 1, 3, 1, 1, 5,
4, 3, 4, 1}
70 En un examen un tanto peculiar 10 alumnos han sacado un 10 y otros 10
alumnos han sacado un 0. ¿Cuál es la media de ese examen? ¿Representa esa media
de forma adecuada lo que ha ocurrido?
71 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 53.
72 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 54.
73 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 55.
74 Calcula la media para los datos correspondientes al ejercicio 56.
SM3 - Funciones y Estadística
16
Medidas de dispersión: Rango y desviación típica
La media aritmética no da información sobre la agrupación de los valores de una
variable estadística. Observa que los siguientes valores tienen la misma media
aritmética x = 6; sin embargo, su distribución en torno a la media es muy
diferente:
1
2
3
9
10
11
x = 6
|
|
|
|
|
|
|
4
|
4,5
|
5
|
x = 6
|
7
|
7,5
|
8
|
Para evaluar si los valores están distribuidos de forma uniforme en todo el
rango o agrupados entre sí, se utilizan las medidas de dispersión:
- El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una
variable estadística.
Ejemplo 1: El rango para los valores {1, 1, 2, 3, 5} es: 5 - 1 = 4
- La varianza de una distribución estadística de valores x 1, x2, ..., xn con
frecuencias absolutas respectivas f1, f2,... , fn es:
s2 
f 1 x1  x 2  f 2 x2  x 2  .....  f n x n  x 2
,
f 1  f 2  .....  f n
siendo x la media aritmética.
- La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza: s = + s 2 .
Cuanto menor es la desviación típica, más agrupados están los valores en torno a
la media. Para valores iguales, s = 0.
Ejemplo 2: Calcula la desviación típica de los valores: {2, 2, 4, 6, 6}.
La media es: x =
La varianza: s2 =
2 2  14  26
2 1  2
= 4
2 2  42  1  4  42  2 6  42
5
Y la desviación típica: s =
=
24  0  24
5
= 3,2
3,2  1,79
Es útil organizar los cálculos en tablas. Si la variable está agrupada en
clases, se utilizan como valores las marcas de clase.
75 Calcula el rango y la desviación típica
valores:
{1, 2, 3, 3, 1, 4, 2, 3}
para
el
siguiente
conjunto
de
76 En tres exámenes de matemáticas, un alumno A ha obtenido las siguientes
notas: 4, 6 y 8. En esos mismos exámenes, otro alumno B ha sacado: 2, 10 y 6.
¿Cuáles son las respectivas medias y desviaciones típicas?
77 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 53.
78 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 54.
79 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 55.
80 Halla el rango y la desviación típica para los datos del ejercicio 56.
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17
Sucesos
Un experimento se denomina aleatorio cuando no se sabe de antemano qué resultado
se va a obtener. El ejemplo típico es tirar un dado y mirar el resultado (todos
los ejemplos que figuran a continuación se refieren a él).
- Se llama espacio muestral
experimento aleatorio.
E
al
conjunto
de
los
resultados
posibles
del
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio «tirar un dado y mirar el resultado», el
espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Se llama suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral.
Ejemplo 2: {1} = «sacar uno»; {1, 2} = «sacar menor que 3»; {2, 4, 6} = «sacar
par»
- Se llaman sucesos elementales a los formados por un único resultado.
Ejemplo 3: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}
- Se llaman sucesos compuestos a los formados por dos o más resultados.
Ejemplo 4: {1, 2}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5, 6}, ...
- Se llama suceso seguro al formado por todos los elementos del espacio
muestral. Se verifica siempre. En todo experimento aleatorio existe un suceso
seguro.
Ejemplo 5: Dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es seguro que al lanzar un dado va a
salir un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6.
- Se llama suceso imposible () a aquel que nunca
experimento aleatorio existe un suceso imposible.
se
va a dar.
En todo
Ejemplo 6: Al lanzar un dado es imposible que salga el rey de oros.
- Se llaman sucesos incompatibles los que no se pueden dar simultáneamente.
Ejemplo 7: Los sucesos {1, 3, 5} y {2, 4, 6} son incompatibles: si sacamos un
número impar no podemos sacar un número par.
- Se llama suceso contrario A de un suceso A al suceso que se produce cuando no
se da A.
Ejemplo 8: El suceso contrario de A = {1, 3, 5} es A = {2, 4, 6}.
81 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda y mirar el
resultado. Escribe:
a) El espacio muestral.
b) Todos los sucesos que pueden darse.
c) Los sucesos elementales.
d) El suceso seguro.
e) El suceso contrario a <<sacar cara>>.
SM3 - Funciones y Estadística
18
82 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda dos veces y
mirar el resultado. Escribe:
a) El espacio muestral.
b) Todos los sucesos que pueden darse.
c) Los sucesos elementales.
d) El suceso <<sacar al menos una cara>>.
e) El suceso contrario a <<sacar dos caras>>.
f) Un suceso incompatible con este Último.
83 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado dos veces y sumar
los puntos obtenidos en cada tirada. Escribe:
a) El espacio muestral.
b) ¿Cuántos resultados distintos pueden darse?
c) Escribe el suceso <<sacar suma igual a 7>>.
d) ¿Son incompatibles los sucesos <<sacar más de siete>> y <<sacar dos
números pares>>?
84 De una baraja española se coge una carta. ¿Cuál es el espacio muestral?
Sean los siguientes sucesos:
A = {sacar espadas} y B = {sacar figura}, escribe:
a) ¿Cuál sería el suceso contrario de A?
b) ¿Y el contrario de B?
c) ¿Cuántos resultados favorables hay para que se verifique A?
d) ¿Cuántos para que se verifique B?
e) ¿Son A y B incompatibles?
85 En una bolsa hay dos bolas blancas y dos bolas negras. Consideremos el
experimento aleatorio consistente en sacar una bola, ver su color, volver a
meter la bola en la bolsa y repetir el proceso.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?
Sea A el suceso <<sacar al menos una bola negra>>.
c) ¿Cuántos casos favorables hay en la realización de este suceso?
d) Escribe un suceso incompatible con él.
SM3 - Funciones y Estadística
19
Probabilidad. Regla de Laplace
La probabilidad de que se verifique un suceso A al realizar un experimento
aleatorio viene dada por la regla de Laplace:
n.º de casos favorables a A
p(A) =
n.º de casos posibles
La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0. Cualquier
probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1.
Ejemplo 1: Calcula la probabilidad de sacar un oro al extraer una carta de la
baraja española.
El número de casos posibles es 40 y el número de casos favorables es 10.
10
p(A) =
= 0,25
40
La probabilidad del suceso contrario de A es p( A ) = 1 - p(A).
Ejemplo 2: La probabilidad de extraer de una baraja española una carta que no
sea oros es 1 - 0,25 = 0,75.
Un suceso intersección de los sucesos A y B, A n B, es el que se verifica cuando
se verifican simultáneamente A y B. Si A  B =  se trata de sucesos
incompatibles.
Ejemplo 3: {1, 3, 4}  {1, 4, 5} = {1, 4}
Un suceso unión de sucesos A y B, A  B, es el suceso que se verifica cuando se
verifica A o se verifica B.
Ejemplo 4: {1, 3, 4}  {1, 4, 5} = {1, 3, 4, 5}
La probabilidad de la unión es: p(A  B) = p(A) + p(B) - p(A  B). Si A y B son
incompatibles, p(A  B) = p(A) + p(B).
86 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga par.
87 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga un número mayor que 4
88 Halla la probabilidad de que, al lanzar un dado, salga un número primo.
89 Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la misma
cara en ambos lanzamientos?
90 Se lanza una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos
una cara?
91 Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las
dos tiradas sea 7? ¿Y de que sea 8?
92 Sacamos una carta de una baraja española. Consideremos los siguientes
sucesos:
A = {sacar espadas}, B = {sacar figura} y C = {sacar as}. Halla las
probabilidades de los siguientes sucesos: A, B, C, A  B, A  C, B  C, A  B,
A  C, B  C y A  B  C
93 Una urna contiene 5 bolas rojas, 4 amarillas y 3 verdes. Se extrae una al
azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea roja o amarilla.
b) No sea amarilla.
c) Sea amarilla o verde.