Ciclotrón

Indice
1.−EL CICLOTRÓN. Pág 3.
Fundamentos teóricos. Pág 3.
Procedimiento de la práctica: El Ciclotrón. Pág 5.
2.−Frecuencia de resonancia del Ciclotrón. Pág 9.
PRÁCTICA 2º DE BACHILLER:
1.−EL CICLOTRÓN.
Fundamentos teóricos.
Lo primero que vamos a tratar de explicar, son los fenómenos que ocurren cuando un cuerpo está cargado
eléctricamente, y se encuentra dentro de una región del espacio, en donde se genera un campo eléctrico,
puesto que en ambos apartados de nuestra práctica, el campo eléctrico influye de manera considerable.
Una vez introducido, me dispongo a explicar, que algunas de las muchas propiedades que poseen las cargas
eléctricas, son:
• Existen en la naturaleza, dos clases de cargas, las positivas (protones) y las negativas (electrones)
• Las cargas del mismo signo se repelen, y las de distinto signo se atraen
• La carga de una partícula se conserva. En la electrización no se crea carga, solamente se transmite de
unos cuerpos a otros.
Antes de pasar a definir lo que realmente importa, en cuanto al campo eléctrico se refiere, vamos a incluir de
una manera breve el concepto de la ley de Coulomb, también muy importante en este campo de la física:
La fuerza con que se atraen o se repelen dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al
producto de dichas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Ahora, tras definir la ley de Coulomb, voy a definir los conceptos clave: El campo eléctrico, y la Intensidad
del campo eléctrico:
Cuando una partícula cargada eléctricamente y situada en una región del espacio, estando en reposo y
colocada en un punto de esa región, experimenta una fuerza eléctrica, se dice que existe un campo eléctrico.
Se define la intensidad de campo eléctrico en cualquier punto, como la fuerza eléctrica que actúa sobre una
unidad de carga de prueba positiva colocada en dicho punto.
También deberíamos de citar a las líneas del campo eléctrico, hablando de ellas, y diciendo que son abiertas,
y que siempre salen de las cargas positivas o del infinito, para terminar en las cargas negativas o en el infinito
también. Otra peculiaridad de las líneas del campo eléctrico, es que nunca pueden cortarse, de hecho, nunca lo
harán, puesto que si lo hicieran, en el punto de corte entre las dos, existirían a la vez dos vectores de campo
distintos, cosa que es imposible. Además, no se nos olvida decir, que si el campo eléctrico en una región del
espacio es uniforme, sus líneas de campo son rectas y paralelas entre sí.
1
Pues bien, una vez explicado y citado las partes mas importantes acerca del campo eléctrico, y las partes que
mas nos interesa resaltar, puesto que van a ser conceptos que vamos a encontrarnos en nuestra práctica, ahora
me voy a disponer a realizar la misma labor para el campo magnético.
La definición de este tipo de campo, dice que existe un campo magnético en un punto, si una carga de prueba
que se mueve con una velocidad cualquiera por ese punto es desviada lateralmente por una fuerza. El módulo
de esta fuerza cambia al variar el módulo de la velocidad.
Una serie de experiencias, llevadas a cabo, principalmente por Lorenz, le llevó a una serie de conclusiones
que recogió en la siguiente expresión matemática que lleva su nombre:
Y que nos deja claro, que la fuerza que actúa sobre la partícula es directamente proporcional a la carga de
dicha partícula, a la velocidad con que esta se mueva, y al valor del vector de inducción magnética.
De esta expresión, podemos dar con la definición de inducción del campo magnético: Inducción del campo
magnético en un punto es la fuerza que ejerce el campo sobre una unidad de carga que se mueve con una
unidad de velocidad en dirección perpendicular al campo.
Pero, quizás sea mas apropiado el que nos centremos un poco mas a fondo en la explicación y definición de lo
que realmente estamos utilizando, las aceleradores de partículas.
Nosotros ya sabemos, por la definición de campo magnético, que una partícula que penetra
perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme, esta adopta un movimiento
circular. De este modo, el campo magnético, aunque no realiza ningún tipo de trabajo sobre la carga, le aporta
una aceleración constante, perpendicular a la dirección de la velocidad, lo que se conoce con el nombre de
aceleración centrípeta.
Por lo tanto, la partícula describe una circunferencia en que F es la fuerza centrípeta y v es la velocidad
tangencial. Si igualamos las dos fuerzas que actúan sobre la partícula obtenemos:
De donde se puede deducir la expresión para obtener el radio de la circuferencia que la particula describe:
Procedimiento de la práctica: El Ciclotrón.
1.− Tal y como explicamos y dedujimos anteriormente, podemos ver como en la expresión matemática
obtenida para hallar el radio de la circunferencia descrita por la partícula, la masa de ésta, al igual que su
velocidad, son directamente proporcionales al radio de la circunferencia que describe. Por esta simple razón,
para una misma carga, cuanto mayor sea su masa, siempre y cuando su velocidad no disminuya de manera
considerable, el radio de la circunferencia que describirá será mayor.
2.− Parecerá una contradicción, el que las trayectorias del De+ y de la partícula alfa He++ sean iguales, ya que
como dije antes, tanto la masa como la velocidad son directamente proporcionales al radio de la
circunferencia que describe la particula, siendo la carga y el valor del campo magnético inversamente
proporcionales, y como vemos en este caso, al tener el doble de carga una partícula con respecto de la otra,
supuestamente la partícula con mayor carga debería de describir una trayectoria circular con un radio menor
que la otra. La respuesta a esta paradoja es muy simple. Tal y como dije al principio de la práctica, el campo
eléctrico está presente en el ciclotrón, siendo el causante de que las partículas adquieran una velocidad antes
de entrar en la región donde se encuentra el campo magnético. Ahora bien, lo que tenemos que explicar ahora
no es otra cosa que cual es la relación entre la velocidad que alcanza la partícula al entrar en las D'es, y el
valor del campo eléctrico o el valor de la diferencia de potencial, que en este caso es la que nos dan.
Para poder hallar esta relación, nosotros utilizaremos la ecuación que relaciona al trabajo con la energía
2
potencial:
Si a esta ecuación, la dividimos a toda ella entre el testigo del campo eléctrico (carga), nos queda:
Si seguimos operando en esta ecuación, al final obtendremos lo que queremos buscar:
Ahora bien, nosotros lo que tenemos ahora es la relación entre el trabajo y la diferencia de potencial que
aporta el campo eléctrico. Lo único que nos falta por encontrar ahora es una relación entre el trabajo y la
velocidad. Esta relación la encontramos en la siguiente expresión:
Ahora si que hemos obtenido lo que queríamos, una relación entre la velocidad de la partícula y la diferencia
de potencial a la que es sometida.
De esta manera podemos comprender la paradoja que antes mencionábamos, puesto que al ser la carga de una
partícula el doble que la otra, el cuadrado de su velocidad justo antes de entrar en el campo magnético
igualmente se doblará, entrando la partícula con mayor carga a una velocidad el doble que la otra. Al entrar la
una al doble de velocidad que la otra, en la ecuación:
Supuestamente la partícula con doble carga, al entrar al doble de velocidad, tendría un radio de la
circunferencia que describe el doble que la otra, pero claro, en esta ecuación, tal y como explicamos antes, la
carga de la partícula es inversamente proporcinal al radio, y por lo tanto, la ecuación queda igual para cada
una de las dos partículas, puesto que la partícula que entraba con doble velocidad, se contraresta en la
ecuación con su doble carga.
3.− El hecho de que las trayectorias de las partículas se vayan abriendo, o dicho de otro modo, el hecho de que
los radios de las circunferencias que describen las partículas sea cada vez mayor, principalmente es debido al
aumento de la velocidad con la que la partícula entra en la región donde existe un campo magnético. Pero hay
un hecho, o un fenómeno, que debe de ocurrir antes para que todo esto sea posible. Nosotros sabemos que un
ciclotrón está formado por dos D'es en cuyo interior existe un campo magnético, separadas entre sí una
distancia. En esa separación se encuentran situadas dos placas eléctricas cargadas de signo distinto, que son
las que hacen posible que la partícula alcance una energía cinética suficiente para que al entrar en las D'es, el
campo magnético actúe sobre ellas en forma de una fuerza lateral que las dirige según una trayectoria circular
y con un radio proporcional a la masa y a la velocidad con la que las partículas entren en dicho campo. Pues
bien, justo al formar una trayectoria semicircular, dentro de la zona donde existe una inducción magnética, las
partículas vuelven a entrar en el campo eléctrico de donde procedían abandonando de esta manera el campo
magnético. Al regresar al campo eléctrico, lo hacen atravesando la misma placa que atravesaron para entrar en
las D'es. El problema sería si las placas estuvieran cargadas de la misma manera en que lo estaban cuando la
partícula las atravesó. Si esto fuera así, al principio, la partícula saldría repelida de la placa que estuviera
cargada con su mismo signo hacia la placa cargada con su signo contrario. Dicha partícula atravesaría la placa
con carga distinta de la suya y entraría en una de las D'es, en donde, por accion del campo magnético,
describiría una trayectoria circular. Al recorrer una semicircunferencia esta se volvería a encontrar con la
placa de signo contrario al suyo, y en lugar de aumentar su energía cinética al intentar llegar hacía la otra
placa, la disminuiría. Por este motivo es importante el que se calcule el semiperiodo de trayectoria de la
partícula cuando se encuentra en el campo magnético, para que cuando se prevea que la partícula va a salir de
las D'es hacia el campo eléctrico, se cambie la polaridad de las placas. De esta manera, la partícula se
aceleraría cada vez más, puesto que siempre que entre en el campo eléctrico va a tender a atraerse con la placa
contraria por la que ha entrado, aumentando de esta manera su velocidad cada vez que atraviese el campo
eléctrico.
4.− En la práctica de esta cuestión, observo que a medida que aumento el valor del campo magnético que
existe en el interior de las D'es, el radio de la circunferencia que describen las partículas disminuye. Esta
disminución es proporcional a medida que aumento el valor del campo magnético, puesto que cuanto mas
3
aumento el valor de la inducción magnética, mas disminuye dicho radio.
La respuesta a esta cuestión se vuelve a basar en la ecuación que dedujimos anteriormente:
En donde se deduce claramente que el valor del campo magnético es inversamente proporcional al valor del
radio.
2.−Frecuencia de resonancia del Ciclotrón.
1.− En esta parte de la práctica, lo que tenemos que darnos cuenta, es de la importancia que ha de tener el que
el signo de la carga que llevan las placas, se cambie en un tiempo correcto y exacto, para que la partícula que
se desea acelerar, lo haga correctamente. El tiempo que deben de tardar en cambiarse los signos de las cargas,
que es lo que deseamos saber, lo conocemos con el nombre de semiperiodo.
En el grafico adjunto, se ve claramente lo que ocurre cuando el semiperiodo en este caso no es el correcto,
puesto que la partícula lanzada no es acelerada, mas bien es frenada. Por eso es importante conocer el dato
exactamente. Para poder hallarle, tenemos que percatarnos de que la trayectoria que describirá la partícula es
una circunferencia, y que por tanto, la velocidad que llevará la partícula será la velocidad angular, sabiendo
además, que podemos usar las siguientes ecuaciones:
Ahora, ya hemos llegado a la conclusión de cómo hallar el periodo, para hallar el semiperiodo, simplemente
es dividirlo entre 2:
Ahora, perfectamente podremos calcular el semiperiodo del protón que aparecía en el gráfico anteriormente,
tomando como masa, la masa del protón, como carga la carga de dicho protón, y como valor del campo
magnético 200(gauss), y que sería el semiperiodo exacto que debería de tener: 1.639 · 10−6 sg
Ahora se ve perfectamente como el proton es acelerado, al haberle colocado un semiperiodo exacto para que
las placas cambien su signo cada vez que el protón va a salir de las D'es.
2.− Ahora, lo que debemos de hacer, es calcular el semiperiodo exacto para de un ion oxigeno (+), se acelere
en un ciclotrón con un valor del campo magnético en gauss de 200.
Al ejecutar el applet, ocurre que el radio de la circunferencia que el ion de oxigeno trazaría es mayor que el
radio del ciclotrón, por lo que es imposible que el ion se acelere. Por esa razón, en la ecuación arriba resuelta,
el resultado del semiperiodo lo he dejado en función del valor del campo magnético, puesto que con un valor
tan pequeño como son 200 gauss, el ión no consigue acelerarse. El porqué de que sea pequeño el campo, es
muy sencillo, si observamos que con 200 gauss el ion tiene un radio mayor que el del ciclotrón, y ademas
también sabemos que el radio de una partícula es inversamente proporcional al valor del campo, si nosotros lo
que queremos es obtener un radio bastante menor, lo que deberemos de hacer es aumentar el valor del campo
magnético. Yo para realizar esta práctica, lo he establecido en 1000 gauss.
3.− Antes de nada, aclarar que en un ciclotrón, la partícula que se desea acelerar, únicamente es acelerada en
el paso que hay desde que sale de una placa eléctrica, hasta que llega a la otra que la atrae, en el resto del
ciclotrón (en las D'es), la partícula mantiene una velocidad angular constante. A nosotros lo que nos piden que
averiguemos es la velocidad que lleva, en este caso el ion de oxígeno, cuando sale del ciclotrón, y tal y como
dije anteriormente, esta velocidad ha de corresponderse con la velocidad con la que el ion entra por última vez
en la D por la que es despedido del ciclotrón. Ademas, para poder hayar nuestro dato, tenemos que tener claro
la expresión:
Ahora, una vez conocida dicha ecuación, solo nos queda sustituir, sabiendo, que el ion al entrar por ultima vez
en la D que finalmente lo despide fuera de él, llevaba una energía cinética de 7000 eV.
4
11
Partícula alfa (++)
Protón (+)
Ión deuterio (+)
Ión tritio (+)
Ión carbono (+)
Ión oxígeno (+)
Partícula alfa (++)
Campo magnético (gauss)= 300
Partícula alfa (++)
Campo magnético (gauss)= 200
5
2º Bachiller
6