Filtros Digitales I

Filtros Digitales I1
Lic. Matías Romero Costas

Señal no filtrada: cada valor de salida
y(n)
es exactamente el mismo que su
x(n):
Y(n) = x(n)
correspondiente valor de entrada
(1)
y(n)
X(n)
Ej.
y0
y1
y2
y3

=
=
=
=
x0
x1
x2
x3
Ganancia simple: donde K es una constante que representa un factor de
ganancia aplicado a cada valor de entrada de la señal. Si K>1 se trata de un
amplificador, en cambio si K<1 se trata de un atenuador.
y(n) = Kx(n)
(2)
y(n)
X(n)
g (K)
Gráfico 1. ganancia simple

Unidad de delay: El valor de salida y(n) es igual al valor de la entrada x(n)
retrasado por d muestras.
Como el muestreo comienza en el tiempo t=0, es decir con la muestra n=0,
todas las muestras anteriores a t=0 no están definidas. Entonces se toma, por
lo general, a toda muestra anterior con un valor igual a 0 (x-1=0).
Z-d
Gráfico 2. Línea de retardo
Ej.
y(n) = x y(n-1)
y0 = x-1
y1 = x0
y2 = x1
y3 = x2
-1-
(3)

Orden de un filtro: el orden de un filtro es el número de muestras previas de
entrada o salida almacenadas en memoria utilizadas para calcular la salida
actual. Así en un filtro de orden cero la salida
y(n) depende solamente del valor
actual de entrada x(n), como en (1). En un filtro de primer orden se necesita
del valor anterior xn-1 para calcular el valor de yn, como en (3). En uno de
segundo orden tanto los valores previos xn-1 y
xn-2 son necesarios, y así
sucesivamente.
yn = xn
yn = xn-1
yn = xn-1 + yn-2
(4)
(5)
(6)
Filtros de orden 0, orden 1 y orden 2 respectivamente


Ecuación en diferencias: es una forma de representar un filtro mediante
ecuaciones con sumas y restas de señales multiplicadas por coeficientes. Son
precisamente estos coeficientes los que determinan la particularidad de cada
filtro.
yn = a0xn + a1xn-1
(7)
yn = a0xn - b1yn-1
(8)
Filtros recursivos y no recursivos: cuando es calculado solo a partir de los
valores de las muestras actuales y previas (xn, xn-1, xn-2, etc.) se dice que el
filtro es no-recursivo. Un filtro recursivo, en cambio, es aquel que además
utiliza valores de salida previos. Es último significa que la salida vuelve a
alimentar el filtro y se utilizan las muestras de salida pasadas (almacenadas en
memoria) para calcular los nuevos valores, y cuyo resultado nuevamente
alimentará el filtro. En la expresión de un filtro recursivo no solo contiene
términos que involucran los valores de entrada (xn, xn-1, xn-2, etc.), sino
también, los de salida (yn, yn-1, yn-2, etc.).
Se suele llamar Filtros FIR a los filtros no recursivos (Finite Impulse Response)
e IIR a los recursivos (Infinite Impulse Response). La respuesta a impulso de un
filtro digital es la secuencia de salida desde el filtro cuando un impulso es
aplicado a su entrada (un impulso2 consiste en una muestra con amplitud
máxima seguida de muestras con amplitud 0). Un filtro FIR es aquel cuya
respuesta a impulso tiene una duración finita. Un filtro IIR es aquel cuya
respuesta a impulso es “teóricamente” infinita ya que los términos recursivos
(salidas anteriores) realimentan energía a la entrada del filtro.
a0
Z-d
Z-d
-2-
a1
Gráfico 3. Filtro no recursivo (FIR) de primer orden: y(n)= a0x(n)+ a1x(n-d)
a0
Z-d
Z-
-b1
Gráfico 4. Filtro recursivo (IIR) de primer orden: y(n)= a0x(n) - b1y(n-d)

Función de Transferencia de un filtro digital: otra forma de representar un
filtro digital es a través de su función de transferencia, que también se utiliza
para caracterizar la respuesta en frecuencia del filtro. En el gráfico 2 vimos la
unidad de delay graficada como z , a este operador se lo denomina “operador
de delay de muestras” o simplemente unidad de delay. Cuando es aplicado a
una secuencia de valores digitales, este operador entrega el valor previo en la
secuencia. Produce un delay de un intervalo de d muestras.
-d
z-n xn= xn-1
(9)
Supongamos que tenemos la secuencia:
x0
x1
x2
x3
x4
=
=
=
=
=
5
-2
0
7
7
Entonces:
z-1x1 = x0 = 5
z-1x2 = x1 = -2
z-1x3 = x2 = 0
etc…
Es posible aplicar el operador de delay a una salida, lo que entregara la salida
previa:
z-1yn = yn-1
Aplicando el operador de delay
z-1 dos veces produce un delay de 2 muestras:
z-1(z-1xn) = z-1xn-1 = xn-2
Adoptamos la convención:
z-1 z-1 = z-2
z-2xn = xn-2
-3-
Bibliografía




Julios O. Smith III, Introduction to digital filters. CCRMA. California. 2002.
Introduction to digital filters. www.dsptutor.freeuk.com/digfilt.pdf
F. Richard Moore, Elements of computer music. PTR Prentice Hall Inc. Ney
Jersey. 1990.
Charles Dodge y Thomas A. Jerse, Computer Music. Library of Congress. USA.
1997.
Este apunte está basado principalmente en una traducción de Introduction to
Digial Filtres, www.dsptutor.freeuk.com/digfilt.pdf.
1
La función impulso se utiliza para medir la respuesta en frecuencia (respuesta en
amplitud y respuesta en fase) de un filtro. Se aplica el impulso a la entrada del
filtro y luego se analiza la salida (respuesta a impulso del filtro) con un Trasformada
de Fourier, que nos entrega el espectro de la señal.
2
Z-d
Z-d
Z-d
Z-d
g
amp freq
LFO
-4-
g
-5-