EQUIVALENCIA FINANCIERA Antes de abordar situaciones financieras un poco más complejas, debemos tener claridad acerca del concepto de equivalencia financiera ya que esta es la herramienta fundamental de análisis y solución de los diferentes problemas. Este principio combinado con el diagrama económico es el eje metodológico para interpretar y plantear cualquier problema financiero. M 0 n P Si relacionamos el valor presente P con el valor futuro o monto M tenemos: M = P x (1 + i) n Este diagrama tiene la siguiente interpretación: Si hoy invertimos una suma P a una tasa de interés periódica i, dentro de n períodos tendremos un capital M. Es decir un capital P hoy equivale a una suma M dentro de n períodos. Debe tenerse en cuenta que en la suma M están contenidos los intereses generados durante los n períodos. De una manera más gráfica, el valor presente de M es P y si transladamos el vector M al origen con la misma orientación vectorial hacia arriba, nos da un vector de la misma longitud que P pero de sentido contrario ilustrándose la equivalencia financiera en el hecho de que si sumo estos dos vectores su suma es cero. M/(1+i)n M n 0 P Equivalencia en Sistemas de amortización Ilustremos el principio de equivalencia financiera a través de diferentes sistemas de pago para un crédito. Cuando empleamos el término amortización, nos referimos al sistema de cuotas que definen el pago periódico de un capital y de los intereses que el mismo genera. Veamos como diferentes sistemas de amortización de un préstamo en idénticas condiciones de tasa y de número de cuotas producen resultados financieros equivalentes. Supongamos que se va a amortizar un préstamo de $1.000.000 al 1,2% mensual a 5 meses, bajo tres modalidades: Amortización constante, amortización creciente y amortización total al final. Amortización Constante Cuando se amortiza un préstamo con amortización constante (este sistema es llamado comunmente cuota capital constante en el sistema financiero Colombiano), la amortización al capital es exactamente la misma en cada uno de los períodos y se calcula como el valor del préstamo dividido por el numero de períodos. La cuota o valor a pagar se calcula para cualquier sistema como la suma de la amortización y los intereses. Finalmente, los intereses se hallan para cada período como el producto de la tasa periódica por el saldo de la deuda al comienzo de cada período. Mes Deuda Inicial Intereses Amortización Cuota 1 1.000.000 12.000 200.000 212.000 2 800.000 9.600 200.000 209.600 3 600.000 7.200 200.000 207.200 4 400.000 4.800 200.000 204.800 5 200.000 2.400 200.000 202.400 Gráficamente: 1.000.000 1 212.000 En este punto, 2 3 4 5 209.600 207.200 204.800 202.400 sugerimos como ejercicio para el lector que la tabla de amortización anterior sea construida en Excel, ya que este programa facilita muchísimo la elaboración de la misma. Amortización Creciente Supongamos ahora que vamos a efectuar amortizaciones al capital de manera que vayan creciendo con el tiempo. Sea por ejemplo 100.000 la amortización del mes 1, 150.000 la del mes 2, 200.000 la del mes 3, 250.000 la del mes 4 y los restantes 300.000 en el último mes. Observe que si se suman las cinco amortizaciones, el total es igual al valor del préstamo, un principio que siempre debe cumplirse. Mes Deuda Inicial Intereses Amortización Cuota 1 1.000.000 12.000 100.000 112.000 2 900.000 10.800 150.000 160.800 3 750.000 9.000 200.000 209.000 4 550.000 6.600 250.000 256.600 5 300.000 3.600 300.000 303.600 Gráficamente: 1.000.000 1 112.000 2 3 4 5 160.800 209.000 256.600 303.600 Amortización Total al Final Bajo esta modalidad, en cada período se cancelan simplemente los intereses y en el último mes se cancela la totalidad del capital más los intereses de ese mes. Mes Deuda Inicial Intereses Amortización Cuota 1 1.000.000 12.000 0 12.000 2 1.000.000 12.000 0 12.000 3 1.000.000 12.000 0 12.000 4 1.000.000 12.000 0 12.000 5 1.000.000 12.000 1.000.000 1.012.000 Gráficamente: 1.000.00 0 1 12.000 2 3 12.000 12.000 4 5 12.000 1.012.000 La pregunta ahora es: ¿Cual es la diferencia financiera entre los tres sistemas de amortización? La respuesta es bien simple: Ninguna, los tres sistemas son equivalentes y vamos a ilustrarlo con el valor del dinero en el tiempo. Analicemos el primer sistema. Vamos a calcular el valor presente de cada una de las cuotas. Recordemos que: M = P x (1 + i)n y por lo tanto P = M x (1 + i) –n Sistema Amortización Constante Mes Cuota Cálculo Valor Presente 1 212.000 212.000 x (1+0,012)-1 209.486 2 209.600 209.600 x (1+0,012)-2 204.659 3 207.200 207.200 x (1+0,012)-3 199.916 4 204.800 204.800 x (1+0,012)-4 195.258 5 202.400 202.400 x (1+0,012)-5 190.681 TOTAL 1.000.000 Gráficamente: 1.000.000 1 212.00 2 209.600 3 207.200 4 204.800 5 202.400 0 209.486 204.659 199.916 195.258 190.681 Que relación hay entre el valor futuro de una cuota y su valor presente? Miremos el caso de la cuarta cuota: Su valor futuro es 204.800 y el valor presente 195.258. Esto simplemente quiere decir que si hoy ( mes 0) invierto 195.258 al 1,2% mensual, dentro de 4 meses tendré 204.800. Es decir, hay una relación financiera entre el valor presente de cada cuota y su valor futuro. También es importante observar, que para poder sumar el valor de las cuotas, es absolutamente necesario calcular su valor en el mismo instante de tiempo, para nuestro caso, el mes cero. Una vez acá todos estos valores los sumamos y obtenemos un total de $1.000.000 Miremos ahora la misma situación en el segundo método de amortización. Sistema Amortización Creciente Mes Cuota Cálculo Valor Presente 1 112.000 112.000 x (1+0,012)-1 110.672 2 160.800 160.800 x (1+0,012)-2 157.009 3 209.000 209.000 x (1+0,012)-3 201.653 4 256.600 256.600 x (1+0,012)-4 244.644 5 303.600 303.600 x (1+0,012)-5 286.022 TOTAL 1.000.000 Observemos que si hallamos el valor presente de cada una de las cuotas, es decir traemos cada una de ellas al momento cero y luego sumamos todos estos valores, el valor total pagado entre las cinco cuotas a pesos de hoy, suman $1.000.000 Gráficamente: 1.000.000 1 112.000 157.009 110.672 157.009 201.653 244.644 286.022 2 3 4 160.800 209.000 256.600 5 303.600 303.600 Por último miremos el tercer sistema de amortización propuesto: Sistema Amortización Total al Final Mes Cuota Cálculo Valor Presente 1 12.000 12.000 x (1+0,012)-1 11.858 2 12.000 12.000 x (1+0,012)-2 11.717 3 12.000 12.000 x (1+0,012)-3 11.578 4 12.000 12.000 x (1+0,012)-4 11.441 5 1.012.000 1.012.000 x (1+0,012)-5 953.406 TOTAL 1.000.000 Podemos decir, que la suma de las cinco cuotas descontadas al momento cero, a una tasa del 1.2% mensual, es igual a $1.000.000. Gráficamente: 1.000.000 1 12.000 11.858 11.717 11.578 11.441 953.406 2 12.000 3 12.000 4 12.000 5 1012.000 Conclusión: Para los tres métodos, el valor presente de todos los pagos es igual al valor del préstamo, y por lo tanto los tres métodos de amortización propuestos son Equivalentes. Esto nos permite ir más allá: calculemos el valor de todas las cuotas de los tres métodos de amortización en cualquier instante del tiempo, por ejemplo, en el mes tres: Sistema Amortización Constante Mes Cuota Cálculo Valor en el mes 3 1 212.000 212.000 x (1+0,012)( 3-1 ) 217.119 2 209.600 209.600 x (1+0,012)( 3-2 ) 212.115 3 207.200 207.200 x (1+0,012) ( 3-3 ) 207.200 4 204.800 204.800 x (1+0,012)( 3-4 ) 202.372 5 202.400 202.400 x (1+0,012)( 3-5 ) 197.628 TOTAL 1.036.434 Sistema Amortización Creciente Mes Cuota Cálculo Valor en el mes 3 1 112.000 112.000 x (1+0,012)( 3-1 ) 114.704 2 160.800 108.800 x (1+0,012)( 3-2 ) 162.730 3 209.000 209.000 x (1+0,012) ( 3-3 ) 209.000 4 256.600 256.600 x (1+0,012)( 3-4 ) 253.557 5 303.600 303.600 x (1+0,012)( 3-5 ) 296.443 TOTAL 1.036.434 Sistema Amortización Total al final Mes Cuota Cálculo Valor en el mes 3 1 12.000 12.000 x (1+0,012)( 3-1 ) 12.290 2 12.000 12.000 x (1+0,012)( 3-2 ) 12.144 3 12.000 12.000 x (1+0,012) ( 3-3 ) 12.000 4 12.000 12.000 x (1+0,012)( 3-4 ) 11.858 5 1.012.000 1.012.000 x (1+0,012)( 3-5 ) 988.142 TOTAL 1.036.434 La conclusión anterior puede ser entonces generalizada a cualquier instante del tiempo. Si calculamos el valor de cualquier sistema de amortización, el valor calculado en el mes tres es 1.036.434. Ahora bien, llevemos el valor del préstamo del mes cero al mes 3: M = 1.000.000 x ( 1 + 0.012 )3 = 1.036.434 Observemos como este valor coincide con la sumatoria de las cuotas de todos los sistemas de amortización llevadas al mes tres, principio de equivalencia financiera. cumpliéndose así el