HABLEMOS DE PROBABILIDAD JORGE MARTINEZ COLLANTES PROFESOR PENSIONADO

HABLEMOS DE PROBABILIDAD
JORGE MARTINEZ COLLANTES
PROFESOR PENSIONADO
UNIVERSIDAD NACIONAL
Ganaremos el partido con Bolivia el próximo viernes?
Cree que vamos a ganar el partido con Bolivia el viernes?
Qué tan probable es ganemos el partido con Bolivia el próximo viernes?
Cuál es la probabilidad de que ganemos el partido con Bolivia el próximo viernes?
CONTENIDO
• Aproximaciones al concepto de probabilidad
Enfoque subjetivo
Enfoque frecuentista
Enfoque axiomático
• Definiciones básicas
• Propiedades de una probabilidad
• Cálculo de una probabilidad
DETERMINISTICO - ALEATORIO
OBSERVACION O EXPERIMENTO
Resultado (Suceso)
Determinístico
Aleatorio
ENFOQUE SUBJETIVO
Medida de la incertidumbre de un suceso basada en experiencias previas
• Personal
• Depende de la información disponible
• No generalizable
• No definible en suceso no repetibles
• Es interpretable
ENFOQUE FRECUENTISTA
• Experiento (E)
Resultado (A)
• Se repite 𝑛 veces
• A ocurre 𝑛𝐴 veces (Frecuencia de A)
• 𝑓𝐴 =
•
𝑛𝐴
𝑛
Frecuencia relativa de A
lim 𝑓𝐴 = 𝑝 Probabilidad de A
𝑛→∞
• 𝑃 𝐴 =𝑝
Bernoulli (1713)
ENFOQUE FRECUENTISTA
• Problemas
Si no es posible la repetición infinita del experimento
Sucesos inciertos que solo ocurrirán una vez
Falta de homogeneidad en el sistema observado
Círculo vicioso en las demostraciones formales
ENFOQUE AXIOMATICO
Bohlman (1901) Kolmogorov(1933)
• Espacio muestral 𝑆 conjunto de todos los resultados de un experimento aleatotio
• Evento 𝐴 un subconjunto del espacio muestral 𝑆 (Subconjunto de resultados)
• Se dice que un evento 𝐴 ocurre si al realizar el experimento 𝐸 se obtiene un resultado 𝑎 y
ocurre que este resultado es elemento de 𝐴.
• Si el resultado 𝑎 no es elemento de 𝐴 se dice que no ocurre 𝐴. Lo que ocurre es 𝐴′ el
complemento de 𝐴
• Dos eventos 𝐴 𝑦 𝐵 son mutuamente excluyentes si no tienen resultados del experimento en
común, es decir 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
EJEMPLO
𝑆 = 1,2, … … . , 31
Día del mes
𝐴 = 2,4,6,8, … … , 30
Dia par
20
Un día cualquiera
Ocurre A
𝐴′ = 1,2,3, … … , 31
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento 𝐴, de un espacio muestral 𝑆, es un número 𝑃(𝐴) que cumple las siguientes
condiciones:
• 𝑃 𝐴 ≥0
• 𝑃 𝑆 =1
• Si 𝐴 𝑦 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra 𝐴 𝑜 𝐵 es
• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
•
𝑃 ∅ =0
• Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos eventos tales que 𝐴 está contenido en 𝐵 , 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
• Como ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑆 entonces 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
• Si 𝑃 𝐴 = 0 el evento es “imposible” y si 𝑃 𝐴 = 1 el evento es “seguro”
• 𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃(𝐴)
• Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos eventos cualquiera 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
P(A)
0
0,5
1
GENERALIZACION
Sean 𝐴1 , 𝐴2 , … . , 𝐴𝑘 eventos tales que son mutuamente excluyentes de dos en dos (dos eventos no
pueden ocurrir al mismo tiempo) la probabilidad de ocurra alguno de ellos es
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑘 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑘 )
CALCULO DE UNA PROBABILIDAD
• Espacio muestral finito
• 𝑆 = 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑚
• 𝑆 = 𝑠1 ∪ 𝑠2 ∪ ⋯ ∪ 𝑠𝑚
• 𝑃 𝑆 = 𝑃 𝑠1 + 𝑃 𝑠2 + ⋯ + 𝑃 𝑠𝑚
• 𝑃 𝑠1 + 𝑃 𝑠2 + ⋯ + 𝑃 𝑠𝑚 = 1
• Si todos los resultados tienen igual probabilidad 𝑝, se tiene que 𝑚𝑝 = 1
1
• 𝑝=𝑚
CALCULO DE UNA PROBABILIDAD
• A= 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑘
• 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑠1 + 𝑃 𝑠2 + ⋯ + 𝑃 𝑠𝑘
• 𝑃 𝐴 = 𝑘𝑝
𝑘
• 𝑃 𝐴 =𝑚
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
• 𝑃 𝐴 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑆
CALCULO DE UNA PROBABILIDAD
Si alguien considera que es tres veces más probable que Colombia le gane a Bolivia y dos veces más
probable que queden empatados, cuáles son las probabilidades de cada resultado?
• 𝑆 = 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎, 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎, 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒
•
𝑃 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎 = 𝑝
•
𝑃 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎 = 3
•
𝑃 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒 =
𝑝
𝑝
2
• Entonces 𝑃 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎 + 𝑃 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎 + 𝑃 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒 = 1
𝑝
𝑝
• .𝑝+3+2 =1
11
𝑝
6
=1
6
𝑝 = 11
𝑃 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎 = 0,55 𝑃 𝐵𝑜𝑙𝑖𝑣𝑖𝑎 = 0,18 𝑃 𝐸𝑚𝑝𝑎𝑡𝑒 = 0,27
CALCULO DE UNA PROBABILIDAD
• Cuál es la probabilidad de ganarse el Baloto?
• 𝑚=
1∗2∗3∗⋯∗45
45
= (1∗2∗3∗⋯∗40)(1∗=2∗3∗4∗5) = 1.221,759
5
• 𝑘=1
1
• 𝑃 𝐵𝐴𝐿𝑂𝑇𝑂‼‼! = 1,221,759 = 0,00000082 ??????
CALCULO DE UNA PROBABILIDAD
• Cual es la probabilidad de que al seleccionar un punto en un círculo este quede más cerca del la
circunferencia que del centro?
• Evento C (Más cerca del borde que del centro)
• 𝑃 𝐶 =
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐶)
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑆)
R
CALCULO DE UNA PROBABILIDAD
• 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑆 = 𝜋𝑅2
• 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐶 =
• 𝑃 𝐶 =
𝜋𝑅2
3
𝜋𝑅2
4
3
𝜋𝑅2
4
3
=4
−𝜋
𝑅 2
2
3
= 4 𝜋𝑅2
ESTIMACION DE UNA PROBABILIDAD
• Se repite 𝑛 veces el Experimento
• Se cuenta cuantas veces ocurre A 𝑛𝐴
• 𝑝=
𝑛𝐴
𝑛
• Esta estimación tiene variabilidad
• Esta mide con la desviación estándar
𝑝(1−𝑝)
𝑛
• La estimación con una “confibiliadad” del 95% es aproximadamente 𝑝 ± 2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
ESTIMACION DE UNA PROBABILIDAD
𝑛 = 100
𝑛 = 200
𝑛 = 400
𝑛𝐴 = 60
𝑛𝐴 = 120
𝑛𝐴 = 240
𝑝 = 0,6
𝑝 = 0,6
𝑝 = 0,6
Estimación 0,6 ± 2 0,049 = 0,6 ± 0.098
0,6 ± 0,069
0,6 ± 0,049
ESTIMACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA
•
𝑛=
2 𝑝(1−𝑝)
𝑧
𝑒2
PROBABILIDAD CONDICIONADA
• Sea 𝐵 un evento tal que 𝑃 𝐵 > 0
• 𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 =
𝑃(𝐴 𝑦 𝐵)
𝑃(𝐵)
• 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 𝑃(𝐵)
EVENTOS INDEPENDIETES
• Dos eventos A y B son independientes si
• 𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 = 𝑃 𝐴
• 𝑃 𝐴𝑦𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵
Rural
Urbano
Total
Alto
111
129
240
Bajo
231
123
354
Total
342
252
594
𝑃 𝐴𝐿𝑇𝑂 =
P(ALTO y RURAL)=
𝑃 𝐴𝐿𝑇𝑂 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿 =
CALCULO DE PROBABILIDADES
240
• P(ALTO)=594 = 0,40
111
• 𝑃 𝐴𝐿𝑇𝑂 𝑦 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿 = 594 = 0,187
342
• 𝑃 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿 = 594=0,576
0,187
111
• 𝑃(𝐴𝐿𝑇𝑂 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑅𝑈𝑅𝐴𝐿)=0,576 = 342 = 0,325
• P(ALTO)*P(RURAL)=0,40*0,576=0,23
MUCHAS GRACIAS