La Realidad Aumentada en la enseñanza de la matemática

La realidad aumentada: un espacio para la comprensión de conceptos
del cálculo en varias variables
P. Esteban, J. Restrepo, H. Trefftz, J. E. Jaramillo, N. Alvarez
Departamento de Ingeniería de Sistemas
Departamento de Ciencias Básicas
Universidad Eafit
AA 3300
Medellín, Colombia
Resumen
Los desarrollos tecnológicos permiten crear nuevos espacios desde los cuales es posible
mirar el mundo que nos rodea desde otras perspectivas, ayudado a cambiar paradigmas
sobre los cuales se fundamentaron, por largos periodos de tiempo, los desarrollos
científicos y la forma de relacionarnos. La educación, en todos sus niveles, es una de las
áreas más beneficiadas con estos cambios. En poco tiempo, se han creado nuevas formas
de acceder al conocimiento que al utilizarlas en el aula de clase con una adecuada
fundamentación pedagógica potencian la comprensión de los conceptos estudiados,
permitiendo que los alumnos los utilicen creativamente en la solución de nuevos
problemas.
En el Laboratorio de Realidad Virtual de la Universidad Eafit, se desarrollo un prototipo de
Realidad Aumentada para la enseñanza del Cálculo en Varias Variables, que permite la
visualización de conceptos matemáticos a partir de la creación de un objeto virtual, que se
puede comparar con objetos reales, potenciando las posibilidades de comprensión de los
conceptos matemáticos estudiados. La instrucción impartida se fundamento en la pedagogía
de la Enseñanza para la Comprensión, que propicia en los alumnos la integración de
conceptos previamente adquiridos con los nuevos que son objeto de estudio y su utilización
en forma creativa para solucionar diversas situaciones de su entorno.
En este artículo, se presentan los primeros resultados obtenidos en la investigación
“Realidad Aumentada en la enseñanza de la Matemática” en la que intervinieron dos grupos
de alumnos, uno experimental, al que se le dio la instrucción con apoyo de la herramienta
de Realidad Aumentada y otro de control, con el que no se utilizó la herramienta.
Palabras y frases clave: Realidad Aumentada, Realidad Virtual, Enseñanza de la
Matemática, Enseñanza para la Comprensión.
Introducción
Los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, poco a poco, se han visto
enfrentados a transformaciones significativas propiciados por los cambios tecnológicos,
que imponen, tanto a profesores como a alumnos, el desarrollo de nuevas competencias
que les permiten nuevas experiencias para la comprensión de los conceptos objeto de
estudio. Debido a estos cambios, el área de matemáticas en todos los niveles escolares
ha comenzado a sufrir transformaciones, entre las cuales se pueden resaltar:
introducción de nuevas materias, fusión entre distintos cursos, eliminación de cursos
que eran considerados como indispensables para muchas carreras y reordenamiento de
cursos dentro de un plan de estudios.
Estos cambios están motivados por la capacidad de los ordenadores, a través de
software especializado, de realizar muchas operaciones en muy poco tiempo, pensando
que lo importante es obtener una respuesta que se requiere para continuar con un
proceso o simplemente para comprobar la solución de un problema o ejercicio. No se
tiene en cuenta que la mente humana requiere de un periodo de adaptación y
maduración [vanHiele1986] de los nuevos conceptos estudiados. En este último
aspecto, la tecnología puede jugar un papel importante en la creación de experiencias
significativas de aprendizaje para que los alumnos adquieran comprensiones más
profundas de los conceptos matemáticos, integrándolos y relacionándolos con objetos
del mundo real.
La nueva tecnología le ha impuesto nuevos retos a la docencia de las ciencias en general
y de la matemática en particular. En la actualidad, además de las competencias propias
del área en que un profesor se desempeña, se requiere que integre en su hacer las
innovaciones tecnológicas específicas y que para presentarlas a sus alumnos lo haga con
una pedagogía apropiada. La tecnología puede ayudar a los alumnos a: promover la
comprensión, construir procesos en los cuales le den nuevos significados a los
conceptos involucrados,
hacer apropiadas representaciones y modelos, usar
simulaciones, promover actividades de descubrimiento, contrastar y reformular
concepciones erróneas, entre otras [Nickerson1995].
Hasta principios de la década de los ochenta se pensaba que la ciencia tenía una
didáctica general, pero a partir de ese momento se comenzaron a desarrollar didácticas
específicas para cada rama de la ciencia, es así como se comienza a construir una
didáctica para la enseñanza de la matemática y a desarrollar modelos pedagógicos
propios, tales como el modelo educativo de van Hiele [vanHiele1986] para la enseñanza
de la geometría que se ha extendido a otras ramas de la matemática o adaptar otros,
como la pedagogía de la Enseñanza para Comprensión [Blythe1999] desarrollado en la
década de los noventa en la Universidad de Harvard.
Es así, como se comienza a instituir una nueva profesión: la de Educador Matemático,
avalada por el gran auge que tienen en la actualidad los congresos internacionales y
nacionales, en los que se tratan temas específicos de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, los grupos de investigación internacionales y nacionales dedicados a este
tema, las publicaciones especializadas que realiza cada año la American Mathematical
Society, para la cual la Educación Matemáticas es una de las áreas en las cuales divide
la matemática.
Por ello, el profesor de matemáticas en la actualidad, debe conocer sobre la didáctica de
las matemáticas, involucrar elementos pedagógicos que le permitan tener un
acercamiento más real y efectivo con sus alumnos, conocer y aplicar las nuevas
tecnologías apropiadas para la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos a impartir.
Todo esto le impone un nuevo reto al profesor de matemáticas: ser agente motivador del
cambio para ayudarle a sus alumnos a desarrollar las nuevas competencias que la
tecnología impone.
La enseñanza para la comprensión
Los aspectos concernientes a la enseñanza, el aprendizaje y la comprensión de los
conceptos propios de una ciencia, una disciplina un arte o un oficio se han visto
influenciados en cada etapa histórica por las corrientes de pensamiento en boga y por
los adelantos tecnológicos propios involucrados en su desarrollo. En la Escuela de
Graduados de la Universidad de Harvard, se desarrolló una amplia investigación que
involucró a docentes y alumnos de todos los niveles educativos. Su objetivo
fundamental era ``llegar a precisar las características de la comprensión -y la ausencia
de ella- con el fin de dilucidar el tipo de acciones pedagógicas que los profesores
debían llevar a cabo para promoverla. A partir de estos estudios, se desarrolló un marco
teórico y un modelo que representan los elementos de la comprensión y las relaciones
entre ellos, que debía ayudar a diseñar y organizar las experiencias en el aula de modo
tal que tuviera sentido para todos'' [Jaramillo1999].
Como resultado de ésta investigación surgió la propuesta pedagógica de la ``Enseñanza
para la Comprensión'', que ayuda a dar respuesta a interrogantes del tipo: ¿Qué
estrategias deben utilizar los docentes para que los estudiantes realmente comprendan?
¿Cómo saber lo que efectivamente han comprendido los alumnos? ¿Cómo manifiestan
los alumnos su comprensión de los tópicos tratados en un curso o en una unidad de
trabajo? ¿Cómo el profesor puede apoyar de un modo coherente el desarrollo de la
comprensión? ¿Qué tipo de tareas son las más adecuadas para que los alumnos
desarrollen la comprensión? Estos y otros interrogantes, que en muchas ocasiones,
pasan inadvertidos al diseñar un currículo, y que sirven para determinar los
conocimientos, las habilidades y la comprensión son las acciones que fundamentan el
proceso educativo [Stone1999].
La Enseñanza para la Comprensión tiene cuatro dimensiones: (1) Los contenidos, que
están directamente relacionados con el currículo, (2) los métodos, que son las formas
con las que se construyen los nuevos conocimientos, (3) la praxis, que es la manera
como se lleva a cabo la práctica, y (4) las formas de comunicación, que se relacionan
con el lenguaje específico del área de conocimiento. Con la ayuda de la tecnología cada
día se desarrollan nuevas formas de comunicación. También, para llevar a la práctica la
enseñanza para la comprensión, es necesario tener en cuenta cuatro componentes: (1)
Las metas de comprensión, ¿qué nivel de comprensión de un concepto alcanzarán los
alumnos al final de un proceso de enseñanza aprendizaje?, (2) los tópicos generadores,
¿qué motiva a los alumnos a aprender el nuevo concepto?, (3) los desempeños de
comprensión, ¿qué actividades lleva a cabo el alumno para incrementar y demostrar su
nivel de comprensión?, (4) la valoración continuada, ¿cómo se evalúan los avances en la
compresión del concepto? [Blythe1999].
La pedagogía de la Enseñanza para la Comprensión permite que en el diseño del
currículo y en el trabajo con los alumnos, el profesor saque ventajas de su experiencia
docente al integrar nuevas tecnologías y recursos para que sus alumnos desarrollen
nuevas habilidades, destrezas y comprensiones que con una clase tradicional no son
posibles. Ayuda a determinar los temas o tópicos que son más importantes en el
desarrollo de un curso, y en cuáles otros los alumnos pueden adquirir, en forma paralela,
sin pérdida de tiempo, de esfuerzos o recursos comprensiones que apoyan el objetivo
general y más abarcador. Ésta pedagogía le ayuda al alumno a sacar mejor provecho de
la inteligencia que tenga mejor desarrollada, a descubrir sus potencialidades latentes y a
desarrollarlas [Gardner2001].
La Enseñanza para la Comprensión, es una pedagogía flexible, que los profesores de
matemáticas pueden aplicar en la preparación de sus cursos y obtener, ellos mismos y
sus alumnos, grandes beneficios, ayudándoles, a unos y a otros a tener nuevas y más
profundas comprensiones del estudio de conceptos particulares o de todo un curso. Para
la aplicación de ésta pedagogía a la enseñanza de la matemática, el profesor puede
trazarse metas a corto, a mediano y largo plazo, permitiendo un escalamiento de los
objetivos personales y de su aplicación en el aula de clase.
La Enseñanza para la Comprensión, integra diversos enfoques metodológicos para
propiciar en el alumno la comprensión de los temas estudiados, y que son
fundamentales para la construcción del conocimiento en el área objeto de estudio
ligando a los intereses y necesidades propias de los estudiantes. Esta pedagogía, no
tiene una única manera de ser aplicada y por lo tanto la invención, la forma como se le
presenta al alumno y la propia comprensión del docente juegan un rol fundamental al
presentar el conocimiento que se quiere impartir a los alumnos.
La pedagogía de la Enseñanza para la Comprensión fue aplicada en un curso de Cálculo
en Varias Variables1 con mediación de una herramienta de Realidad Aumentada, que le
permite a los alumnos visualizar superficies del tipo z = f(x, y) en un espacio 3D. Las
dimensiones y las componentes de la Enseñanza para la Comprensión, desarrolladas
para éste curso, se encuentran ANDES, una herramienta virtual desarrollada en la
Universidad de Harvard para ayudarles a los profesores a aplicar esta pedagogía
[Esteban2004].
La Realidad Aumentada en la enseñanza de la matemática
En un futuro cercano, los investigadores en todo el mundo planean sacar las gráficas
generadas por computadora por fuera de la pantalla e integrarlas a ambientes reales.
Esta nueva tecnología, que se conoce como Realidad Aumentada, modifica lo que
vemos para poner en un mismo nivel lo real y lo sintético.
La Realidad Aumentada ``es una variación de los Ambientes Virtuales (AV), o Realidad
Virtual (RV) como se conoce más comúnmente. La Realidad Virtual sumerge al usuario
dentro de un ambiente sintético (generado por la computadora). Mientras está inmerso,
el usuario no puede ver el mundo real alrededor de él. En contraste, la Realidad
Aumentada le permite al usuario ver el mundo real, con objetos virtuales sobrepuestos
sobre el mundo real, o compuestos con él.'' [Azuma1997].
1
Universidad Eafit, Medellín, Colombia.
La idea esencial de la Realidad Aumentada es sobreponer gráficas, audio y otras
mejoras a los sentidos sobre un ambiente real en tiempo real, y modificar las gráficas
para que se acomoden al movimiento de la cabeza del usuario, de modo que las gráficas
siempre estén en la perspectiva correcta.
La Realidad Aumentada esta todavía en un estado inicial de investigación y desarrollo
en varias universidades y empresas de alta tecnología. Uno de los motores más
poderosos detrás de estos esfuerzos de investigación son las aplicaciones potenciales de
la Realidad Aumentada. Por ejemplo, el Institut Graphische Datenverarbeitung (IGD)
investiga aplicaciones de Realidad Aumentada para entrenamiento industrial, diseño de
interiores, supervisión de plantas, visualización de datos, construcción exterior y
técnicas de ensamble de máquinas.
El proyecto de investigación “Realidad Aumentada en la Enseñanza de la Matemática”,
teniendo como base pedagógica la Enseñanza para Comprensión, se diseño un software
especializado, que le permite al profesor y a un alumno interactuar y visualizar
[Alvarez2003] superficies en 3D generadas por el ordenador, a través de una cámara de
video y de unas gafas de realidad aumentada sobre una superficie real, permitiendo la
comparación del objeto virtual con objetos de la realidad, ver Figura 1.
Figura 1: Interacción entre el profesor y un alumno mediada por la herramienta de
Realidad Aumentada, para el estudio de diversos conceptos del cálculo en varias
variables aplicados a superficies de la forma z = f(x, y).
En el proyecto, la componente tecnológica y la pedagógica trabajaron de manera
integrada en el desarrollo de las experiencias de aprendizaje presentadas a los alumnos.
Algunos de los conceptos para los cuales se diseñaron actividades para promover su
comprensión a partir de la interacción con la herramienta de Realidad Aumentada
fueron los siguientes: reconocimiento de superficies a partir de sus ecuaciones,
intercepción de superficies con planos paralelos a los ejes coordenados para visualizar
los conceptos de traza y curva de nivel, plano tangente y secante a una superficie,
gradiente, derivada direccional, volumen de sólidos acotados por planos y superficies,
integrales dobles y de línea, área de una superficie acotada, coordenadas cilíndricas y
esféricas; conceptos físicos, como el de densidad y centro de masa.
En las siguientes Figuras 2 y 3, se pueden observar algunas de las gráficas de las
superficies con las cuales los alumnos del grupo experimental interactuaban en el
proceso de comprensión de los conceptos propios de curso de cálculo en varias
variables.
Figura 2: Intersección de planos con superficies y visualización de las trazas que se
forman.
Figura 3: Superficies con las cuales se puede interactuar para comprender los
parámetros de las ecuaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Evaluación de la experiencia
Además de la evaluación exigida por la Universidad para la aprobación del curso, tanto
los alumnos del grupo experimental como del grupo de control, realizaron diversos
proyectos en los cuales aplicaban los conceptos del cálculo en varias variables para
mostrar sus desempeños de comprensión de acuerdo con la pedagogía de la Enseñanza
para la comprensión. Se invitó a profesores de la misma materia pertenecientes al
Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Eafit y a expertos en los
contenidos de los proyectos realizados por los alumnos, con el fin de que hicieran una
valoración objetiva sobre los mismos. Es importante anotar que las personas invitadas
no fueron informadas sobre que grupo, dentro de la experiencia de enseñanzaaprendizaje llevada a cabo, formaban parte del grupo experimental o del de control.
Cada evaluador debía asignar una calificación cualitativa (Ingenuo, Novato, aprendiz o
experto) sobre: (1) Presentación oral y uso de los medios, manejo del lenguaje técnico,
manejo de las preguntas, interacción con el público, y desempeños de comprensión o
habilidades. (2) Aplicación de conceptos de la materia en la solución del problema,
dominio de los conceptos utilizados, comprensión de la relación entre los conceptos
aprendidos en la materia y sus posibles usos y dominio en la generalización de los
conceptos del cálculo. (3) Comprensión del problema a resolver, comparación entre el
problema propio y otros existentes, solución del problema y proyección de la solución
del problema al futuro o en otros tipos de problemas, creación de nuevos problemas. Al
hacer el recuento de estas evaluaciones se observo que todos los alumnos del grupo
experimental, con los que se trabajaron los conceptos estudiados con ayuda de la
herramienta de Realidad Aumentada, fueron ubicados entre aprendices y expertos;
mientras que los alumnos de grupo de control, quedaron como novatos y aprendices.
El aspecto que más resaltaron los evaluadores fue el lenguaje técnico y preciso utilizado
por algunos de los estudiantes (pertenecientes al grupo experimental) para referirse a
los conceptos aplicados en la solución de sus proyectos.
Conclusiones
La herramienta de Realidad Aumentada permitió el diseño de experiencias de
aprendizaje significativas para cada uno de los alumnos del grupo experimental y les
ayudo a potenciar la comprensión de los conceptos objeto de estudio. Esto trajo como
resultado que los alumnos estaban repasando, relacionando e integrando los conceptos
vistos en otras tutorías o eran capaces de intuir conceptos a desarrollar en tutorías
posteriores. Las siguientes apreciaciones son transcripciones de tests respondidos por
los alumnos que participaron en la experiencia:



Esta experiencia me ayudó a desarrolla nuevas formas de pensamiento, en
formulación de nuevos problemas, a trabajo en equipo, a construir nuevas cosas
que no pensé que las pudiera lograr.
Exploré cosas que pensé que no pudiera hacer. Aprendí a meterme en algo
grande creado por mí mismo y de lo cual tuve una responsabilidad total.
Una experiencia agradable, pues con los conceptos aprendidos en clase fuimos
capaces de analizar, calcular y construir un proyecto final aplicado a la realidad.
Para muchos alumnos, en el aula de clase quedan solo ideas de los conceptos que se
están estudiando, mientras que con la herramienta se clarifican y comprenden los
conceptos estudiados. Ayuda a aclarar los conceptos en forma dinámica, es decir, con
ejemplos en los cuales el estudiante participa moviendo las figuras, haciendo
observaciones, contestando preguntas al profesor, preguntado sobre las nuevas
situaciones creadas con objetos los reales, y de esta forma el estudiante no tiene que,
además de imaginarse los objetos, pensar en los conceptos:
 Quedaron los conceptos totalmente entendidos, pues en el aula de clase uno
quedaba con la idea.
 La herramienta de Realidad Aumentada ayuda a asimilar con más claridad los
conceptos, ya que no tenemos que imaginar los objetos y podemos interactuar
con ellos.
 Se ven claramente cosas que sería muy difícil ver en 2D y se alcanza a entender
mucho mejor.
 Con la ayuda de la herramienta de Realidad Aumentada adquirimos abstracción
y comenzamos a relacionar todos los conceptos con el mundo de una manera
más sencilla. Esta abstracción, nos da la oportunidad de crear cosas nuevas a
partir de estos conceptos.
Un aspecto a resaltar es que la combinación de la pedagogía de la Enseñanza para la
Comprensión con la herramienta de Realidad Aumentada promueve el insight [van
Hiele1986] y mejora la autoestima de los alumnos frente a sus procesos de aprendizaje
de las matemáticas.
 El tema visto hoy me causo gran impacto, pues cómo en un punto de silla, el
plano tangente tiene la propiedad de estar por encima y por debajo de la función,
creo que viendo esto en clase, nunca lo hubiera entendido.
 Sentí que estaba aclarando muchas dudas, y que eso que estaba viendo no se me
olvidará nunca, porque no sólo aclaré la duda, lo comprendí.
 Es una experiencia diferente. Su metodología hace que vayamos más allá de los
ejercicios y de los libros para interactuar con el cálculo diariamente.
Uno de los aspectos importantes a resaltar en esta experiencia es la integración obtenida
entre pedagogía y tecnología para la enseñanza de conceptos matemáticos que son
abstractos y que los alumnos, por si mismos no relacionan con su entorno.
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