República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Escuela Técnica Robinsoniana P .S. S. S. “Venezuela” Barinas Edo Barinas Guía didáctica Nro 01- Objetivo 1-2009-2010 1) Dadas las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas siguientes determinar las raíces o a) x 2 − 2 x + 4 = 0 b) x 2 − 2 x + 6 = 0 −b ± b 2 − 4.a.c 2.a 2 c) x − 2 x + 7 = 0 d) x 2 − 2 x − 6 = 0 e) 2 x 2 + 8 x + 9 = 0 f) x 2 + 9 = 0 g) x 2 + 7 = 0 h) 5 x 2 + 2 = 2 x i) 0 = 3 x 2 − 2 x + 2 j) a) 7 x 2 − 2 x + 2 = 0 k) 2 x 2 + x + 4 = 0 l) 3 x 2 − 14 x − 5 = 0 soluciones de cada una: *use la ecuación de segundo grado x = Al resolver cada una de las ecuaciones anteriores vemos la necesidad de crear un nuevo conjunto numérico los números complejos C, para darle solución **Realiza las operaciones indicadas, luego haya el valor de x a) x 2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = −1 c) x−2 x−4 = 3x x+2 1 2 − =1 x −1 x − 2 x 2 − 2 x + 1 3x − 1 d) = x2 + 1 x+2 b) 2) Calcular las potencias sucesivas de i sabiendo que: i0 = 1 i1 = i = −1 i2 = ( −1 ) 2 = −1 i 3 = i 2 .i = (−1).i = −i i 3809 2 12069 i 3 7 i1240 125i 72085 −6i1570 + 3 i 631 2i15647 3) Dados los números complejos en forma binómico siguientes represéntalos en el plano complejo o de Argand Z1 = 4 + 5 i Z2 = 3 − 7 i Z 3 = −6 + 3 i Z 4 = −4 − 3 i Z5 = 3 − 3 i Z6 = 6 − i Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza Números Complejos 1 1 ¿Cómo podemos calcular la Adición (suma) o resta (sustracción) de números complejos en forma binómico? Para sumar (restar) dos números complejos Z1 = a + b i y Z 2 = c + d i ; sumamos (restamos) su parte real y su parte imaginaria respectivamente así: Z1 ± Z 2 = ( a + b i ) ± ( c + d i ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) i Re( z ) Im( z ) 4) Con los números complejos dados en el problema 3, realiza ahora las operaciones siguientes: 1) Z1 + Z 2 2) Z3 + Z 2 3) 5) 6) −4( Z1 + Z 2 ) 3 1 .Z1 + Z 2 4 2 5 3 11) .Z1 − Z 2 + Z 4 4 7 15) 15 12 Z 6 − 16 12 Z1 9) 3.Z1 ( Z1 + Z 2 ) + Z 3 13) 2 2 Z1 + 5 2 Z 2 10) ( Z 6 − Z1 ) + ( Z 4 − Z 5 ) 14) 5 3Z3 + 12 3Z 2 7) Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza Z 6 + Z1 4) Z 4 + Z 5 8) 7.Z 4 + (3 8).Z 5 12) −3Z 5 + 6 Z 2 − 7 Z 3 16) 7 300 Z 4 + 8 53.23 Z 5 Números Complejos 2 República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Escuela Técnica Robinsoniana P .S. S. S. “Venezuela” Barinas Edo Barinas Guía didáctica Nro 02- Objetivo 2 -2009-2010 2.1) Escribir el conjugado de cada número complejo dado en forma binomica: Z1 = 4 + 5 i Z2 = 3 − 7 i Z 3 = −6 + 3 i Z 4 = −4 − 3 i Z5 = 3 − 3 i 7 Z6 = 6 − i 2 El conjugado de cada uno de los números complejos anteriores viene a ser: Z1 = 4 − 5 i ¡Es bueno recordar! *Para multiplicar dos números complejos Z1 = a + b i y Z 2 = c + d i recuerda que: Z1.Z 2 = [ a + b i ].[ c + d i ] = a.c + a.di + b.ci + b.di 2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc) i Re( z ) Im( z ) (No es necesario que te aprendas de memoria la forma anterior, solo recuerda la propiedad distributiva de la multiplicación) Para dividir dos números complejos Z1 , multiplica por el conjugado del Z2 denominador como vez a continuación: Z1 Z1 Z 2 = . Z2 Z2 Z2 2.2) Resolver en forma binomica cada uno de los problemas siguientes: 1) Z1.Z 2 2) 5) 6) 9) (3.Z1 ) / Z 2 ( Z1.Z 2 ) .Z3 Z 3 .Z 2 ( Z1 + Z 2 ) / Z 3 ( Z .Z ) 10) 6 1 ( Z 4 .Z 5 ) 3) Z 6 .Z1 4) Z 4 .Z 5 7) Z 6 Z1 11) Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza 8) Z 4 ÷ Z 5 [.Z1 − Z 2 ].[ Z 4 + Z5 ] Z3 Z Z 12) 6 . 2 Z1 Z3 Números Complejos 3 ¿Cómo calcular la norma y el argumento de cada número complejo? Dado un número complejo Z = x + y i = x, y donde x es la parte real, y la parte imaginaria entonces *La norma o modulo, viene dada por: z = x 2 + y 2 θ *El argumento o ángulo viene dado por: tan α = y ⇒ θ θ x θ =α si esta en el I Cuadrante = 180 − α si esta en el II C = 180 + α si esta en el III C = 360 − α si esta en el IV C Por tanto, Todo número complejo en forma binomica Z = x + y i = x, y se puede escribir en su forma polar o trigonométrica de la siguiente manera: Z = z cos θ + z sin θ .i = z Cisθ x y 2.2) Calcular la norma y el argumento de cada número complejo Z1 = 3 + 3 i Z 2 = −1 + 3i Z3 = − 2 − 2 i Z 4 = 2 − 12 i Z5 = 3 3 + i 2 2 1 3 Z6 = − − i 3 3 Quedaría representado asi (copia tus resultados allí): Z1 = 2 3 Cis(30º ) ¿Cómo multiplicar (dividir) números complejos en forma polar o trigonométrica? Para multiplicar (dividir) varios números complejos en forma Polar o trigonométrica 1º Se multiplican (dividen) sus módulos 2º Se suman (restan) sus argumentos Z1.Z 2 = (m1.m2 ).Cis (θ1 + θ 2 ) Z1 = m1.Cisθ1 ⇒ Z Sea 1 Z 2 = m2 .Cisθ 2 Z 2 = ( m1 m2 ) .Cis(θ1 − θ 2 ) Por ejemplo: a ) (3 Cis 20º )(4Cis50º ) = (3.4)Cis (20º +50º ) = 12Cis 70º ( ) b ) (2 Cis30º )(4Cis 20º )( 2Cis100º ) = 2.4. 2 Cis(30º +20º +100º ) = 8 2Cis150º 2 Cis80º 2 1 = Cis(80º −20º ) = Cis 60º 4Cis 20º 4 2 4 Cis 20º 4 d) = Cis (20º −100º ) = 2Cis ( −80º ) Para transformar el ángulo negativo a positivo se 2Cis100º 2 resta a 360º , tenemos -80= 360º - 80 = 280º tendríamos que 2 Cis (280º)= 2Cis (-80º) c) Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza Números Complejos 4 2.3) Con la transformación realizada de los números complejos del ejercicio 2.2 calcula las operaciones siguientes: 1) Z1.Z 2 2) 5) Z1 / Z 2 6) 9) ( Z1.Z 2 ) .Z3 Z 3 .Z 2 3) ( Z1.Z 2 ) / Z 3 ( Z .Z ) 10) 6 1 ( Z 4 .Z 5 ) Z 6 .Z1 7) Z 6 Z1 11) [ Z1.Z 2 .Z 4 .Z5 ] ( Z 3 .Z 3 .Z 3 .Z 3 .Z 3 ) 4) Z 4 .Z 5 8) Z 4 ÷ Z 5 Z Z 12) 6 . 2 Z1 Z3 Potenciación y Radicación de Números Complejos en Forma Polar o Trigonométrica Para potenciar un numero complejo en forma polar o trigonométrica se potencia el modulo y se multiplica el argumento por el exponente r ∀ Z = m.Cisθ ⇒ Z r = ( m.Cisθ ) = m r .Cis(r.θ ) (Conocido como Teorema de Moivre) Ejemplo: a) (4Cis50º )3 = (43 )Cis (3.50º ) = 64Cis150º 6 6 b) 2Cis ( −100 ) = 2Cis ( 260 ) = 26 Cis6.260º = 23.Cis1560º = 8Cis120º Dividiendo 1560º por 360º son cuatro vueltas completas (4x360º) más 120º Para calcular la raíz n-esima de un número complejo en forma Polar o trigonométrica 1º El modulo es el valor aritmético de la raíz. 2º El argumento se calcula mediante la siguiente fórmula: α i = argumento de la raiz α + 2kπ α = argumento del radicando αi = ∴ n k = número entero que vale 0,1,2,3...<n n = indice de la raiz En conclusión α + 2 kπ ∀ Z = m.Cisθ ⇒ Z 1/ n = n m.Cisα = n m . Cis ∴ k = 0,1, 2...., n − 1 n Por ejemplo 3 64 = 3 26 = 26 / 3 = 22 = 4 50º α = = 16, 6 0 3 3 64Cis50º = 50º α + 2kπ 50º +360º.k = + 120º = 136, 6 α1 = α 0 + 120º = α i = n 3 3 α 2 = α1 + 120º = 136, 6 + 120 = 256, 6 w0 = 2Cis16, 6 3 64Cis50º = w1 = 2Cis136, 6 Tiene 3 raices o soluciones respectivamente w2 = 2Cis 256, 6 Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza Números Complejos 5 2.4 Dados los siguientes números complejos en forma polar o trigonométrica: Z1 = 2 3 Cis(30º ) Z 2 = 2 Cis (120º ) Z3 = 2 Cis(225º ) Z 4 = 4 Cis(300º ) Z5 = 3 Cis (30º ) Z 6 = (2 / 3) Cis (120º ) Calcular: 1) Z15 .Z 24 5) 9) 3 4 Z2 Z1 2) 6) ( Z3 .Z 2 ) 6 7 Z4 5 1/ 3 10) ( Z1 ) 3) Z 62 .Z 34 7) 11) 6 Z 5 Lcdo. Eliezer Montoya & Lcdo. Pedro Peraza Z 23 3 Z4 Z 3 4) 6 3 .Z 46 Z2 8) 5 Z3 12) Z 3 Números Complejos 6