Prueba de reparación Math II

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
INSTRUCCIONES
1.
2.
3.
4.
Llene todos los datos en letra imprenta.
Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba.
Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.
Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del examen, que tenga relación con la prueba
que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo.
Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las _________ y las _________ horas.
Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45 Numeral 10
del Reglamento Disciplinario de la UNEFA.
Cuide su redacción y ortografía.
5.
6.
7.
APELLIDOS Y NOMBRES:
C.I.:
DEPARTAMENTO: Ingeniería en Petróleo
PRUEBA Nº: 01 Revisión -
SEMESTRE:
SECCIÓN:
FECHA:
III
F
29/07/2010
ASIGNATURA: Matemática II
NOMBRE DEL DOCENTE:
Reparación
Lcdo. Eliezer Montoya.
1) Encontrar la
a)
∫x
3
NOTA:
2
primitiva de:
2
a − x dx
b)
∫ x .sin 2 xdx
5
(2.5 cada uno)
3x
2) Encuentre el área de la región limitada arriba por y = e , abajo por y = x y
en los lados por las rectas x = 0 y x = 1. (Bosqueje las graficas) (2.5 ptos)
3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los
gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y.
y 2 = 4 x , y = 4 y x = 0 (2.5 ptos)
4) Hallar la longitud de la curva y =
x3 1
+
, Desde x=1 hasta x=3
6 2x
(2.5 ptos)
5) Determinar si la integral impropia converge o no:
a)
∫
π /2
0
cos x
dx
1 − sin x
0
b)
∫ x .e dx
2
x
(2.5 pto C/U)
−∞
2
2
6) Si las dos superficies f(x,y,z) y g(x,y,z) es decir y = x
y y = 16 − z se
interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la recta tangente a la curva
de intersección en el punto (4,16,0) ( -2.5 ptos)
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Elaborado por Licdo. Eliezer Montoya
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Solución:
1.-Encontrar la
1a)
∫x
3
primitiva de:
a 2 − x 2 dx


u = a 2 − x 2 → u − a 2 = − x 2 → x 2 = a 2 − u 


3
2
2

∫ x a − x dx = Por sustitución du = −2 xdx
 du

= xdx
−

 2

1
1
1 2 1/ 2
1 3/ 2
1 2
2
2
2
2 1/ 2
3/ 2
∫ x x a − x dx = − 2 ∫ ( a − u ) udu = − 2 ∫ ( a u − u )du = − 2 a ∫ u du + 2 ∫ u du
1
a 2 u 3/ 2 1 u 5/ 2
a2
=−
+
+ C = − u 3/ 2 + u 5 / 2 + C
3
5
2
2
3
5
2
2
devolvemos la sustitución o cambio de variable hecha
a2 2
1
(a − x 2 )3/ 2 + ( a 2 − x 2 )5 / 2 + C
3
5
2
a
1
= − (a 2 − x 2 ) a 2 − x 2 + (a 2 − x 2 ) 2 a 2 − x 2 + C
3
5
2
 a 1

= (a 2 − x 2 ) a 2 − x 2  − + (a 2 − x 2 )  + C =
 3 5

3
2
2
∫ x a − x dx = −
2
2
 −5a 2 + 3a 2 − 3 x 2 
2
2
2
2  −2 a − 3 x 
= (a 2 − x 2 ) a 2 − x 2 
 + C = (a − x ) a − x 

15
15




 3 x 4 − a 2 x 2 − 2a 4 
= a2 − x2 
+C
15


1.b)
∫ x .sin 2 xdx
5
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u = x5 ⇒ du = 5 x 4 dx



x
.sin
2
xdx
=
uv
−
vdu
⇒
∫
∫
 dv = sin 2 xdx ⇒ v = − 1 cos 2 x 


2
5
Usando el metodo tabular:
x5 cos 2 x
1
v = − cos 2 x
u
.v(+ ) −
2
2
4
11
sin 2 x
5 x sin 2 x

+
v1 = −  sin 2 x  = −
u
1.v1 (− )
22
4
4

u = x5
u1 = 5 x 4
u2 = 20 x3
1 1
 cos 3 x
v2 = −  − cos 2 x  =
8
4 2

u3 = 60 x 2
11
 sin 3 x
v3 =  sin 3 x  =
8 2
16

u4 = 120 x
v4 =
u
) −
3 .v3 ( −
20 x3 cos 2 x
8
60 x 2 sin 2 x
16
u
) −
4 .v4 ( +
120 x cos 2 x
32
1 1
sin 2 x
120 sin 2 x

u
) +
5 .v5 ( −
 sin 3 x  = −
32  2
64
64

v6 __________________________________________ 0
u5 = 120
v5 = −
u6 = 0
S +C = −
S +C = −
1 1
cos 2 x

 − cos 2 x  = −
16  2
32

u
) +
2 .v2 (+
x5 cos 2 x 5 x 4 sin 2 x 20 x 3 cos 2 x 60 x 2 sin 2 x 120 x cos 2 x 120 sin 2 x
+
+
−
−
+
+C
2
4
8
16
32
64
x5 cos 2 x 5 x 4 sin 2 x 5 x 3 cos 2 x 15 x 2 sin 2 x 15 x cos 2 x 15sin 2 x
+
+
−
−
+
+C
2
4
2
4
4
8
La integral buscada usando varias veces la técnica de integración por partes
x 5 cos 2 x 5 x 4 sin 2 x 5 x3 cos 2 x 15 x 2 sin 2 x 15 x cos 2 x 15sin 2 x
5
x
.sin
2
xdx
=
−
+
+
−
−
+
+C
∫
2
4
2
4
4
8
cos 2 x  5
15 x  sin 2 x  5 x 4 15 x 2 15 
3
x
x
=
−
+
−
−
+ +C


+
2 
2 
2  2
2
4
2) Encuentre el área de la región
limitada arriba por y = e 2 x , abajo
por y = x y a lados por las
rectas x = 0 y x = 1. (Bosqueje
las graficas)
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1
1
A = ∫ ( e − x ) dx = ∫ ( e
3x
0
0
1
3x
) dx − ∫ xdx =
0
En el primer término, aplicando cambio de variables:

b = 3(1) = 3 
u = 3 x → 

3
a = 3(0) = 0 

1
3
1
1
e3 − e 0 e3 1
u
u
3x




⇒
e du = e  =
= −
∫0 e dx = du = 3dx
 3 ∫0
3
3
3 3
0
 du = dx

3



En el segundo término, tenemos :
1
x2
xdx
=
∫0
2
1
=
0
1
2
De esta manera:
1
1
1
 e3 1   1  e3 5
A = ∫ ( e3 x − x ) dx = ∫ ( e3 x ) dx − ∫ xdx =  −  −   = − ≈ 5.86ua.
 3 3  2 3 6
0
0
0
3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los
gráficos de las ecuaciones dadas sobre el eje y.
y 2 = 4 x, y = 4 y x = 0
Solución: Tenemos que esta girando sobre el eje y, por tanto:

y2
 g ( y) = x =
4
4
∴
4
2
2
Volumen
=
V
=
π
g
y
dy
−
π
⇒
(
)
[
]
[ f ( y)] dy
∫
∫
 f ( y) = x = 0

0
0
las rectas y = 4 , x = 0 → y = 0
4
2
4
 y2 
 y4 
 y5 
45 1024
64
V = π ∫   dy = π ∫   dy = π   = π
=
π = π unidades cubicas
80
80
5
 80  0
0 4 
0  16 
4
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x3 1
+
, Desde x=1 hasta x=3
6 2x
1º Calculamos la derivada de y , con respecto a
dy 3 x 2
1
x2
1
x4 −1
=
− 2 = − 2 =
dx
6 2x
2 2x
2 x2
4) Hallar la longitud de la curva y =
Sol:14/3
2º Calculamos la longitud de la curva s, a través de:
2
3
 dy 
s = ∫ 1 +   dx =
 dx 
1
Elevando al cuadrado y sumando algebraicamente fracciones
2
3
3
4 x 4 + ( x 4 − 1)
4 x 4 + ( x8 − 2 x 4 + 1)
 x4 −1 
1
s = ∫ 1+ 
dx
=
dx
=
dx =
2 
∫1
4 x4
2 ∫1
x4
 2x 
1
Desarrollando el producto notable y simplificando
2
3
3
1 1
s= ∫ 2
21 x
3
1 1
x + 2 x + 1dx = ∫ 2
21x
8
4
3
3
3
4
( x + 1) dx = 12 ∫ x x+2 1dx = 12 ∫ x2 dx + 12 ∫ x12 dx =
1
1
1
4
2
Calculando ahora la integral definida:
3
3
3
3
 x3 1 
1 2
1 1
1 x3 1  1 
 27 1   1 1 
s = ∫ x dx + ∫ 2 dx =
+ −  =  −  =  − − −  =
21
21x
2 3 2 x
6 2x 
 6 6 6 2
1 
1
s=
13 1 14
+ = unidades
3 3 3
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5) Determinar si la integral impropia converge o no:
5A)
∫
π /2
0
cos x
dx
1 − sin x
Podemos ver que para π / 2 no esta definida la función a integrar, por tanto
a
cos x
lim − ∫
dx
a →π / 2 0
1 − sin x
Usamos sustitución o cambio de variables; haciendo u= 1-sinx y du = -cosxdx
∫
cos x
du
u1/ 2
dx = − ∫
= − ∫ u1/ 2 du = −
+ C = −2u1/ 2 + C
1/ 2
1 − sin x
u
cos x
1/ 2
dx = −2 (1 − sin x ) + C = −2
1 − sin x
De esta manera al evaluar el límite

a
cos x

lim − ∫
dx = lim −  −2 1 − sin x
0
a →π / 2
a →π / 2
1 − sin x

∴∫
1 − sin x + C
a

 −2 1 − sin a + 2 1 − sin 0 
 = a →lim

π / 2− 
0 


π 
=  −2 1 − sin   + 2 1 − sin 0  =  −2 0 + 2 1  = 2
2


0
5B)
∫ x .e dx
2
x
−∞
Apliquemos integración por partes para encontrar la primitiva – recuerde la regla
nemotécnica ILATE
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∫ x .e dx = uv − ∫ vdu
2
x
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx
dv = e x dx ⇒ v = e x + C
∫ x .e dx = x .e
2
x
2
x
− 2 ∫ xe x dx (1)
nuevamente integrando por partes el segundo termino de (1)
u = x ⇒ du = dx
dv = e x dx ⇒ v = e x + C
−2 ∫ xe x dx = −2  xe x − ∫ e x dx  = −2 xe x + 2e x + C (2)


sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (1) ,sacando factor común e x
∫ x .e dx = x .e
2
x
2
x
− 2xe x + 2e x + C = e x ( x 2 − 2 x + 2 ) + C
Calculamos la integral impropia:

0
0 2 x 
 x 2

e ( x − 2x + 2) 
 x .e dx  = alim
∫−∞ x .e dx = alim
→−∞ ∫
→−∞ 
a


a 

0
2
x
(
)
= lim 1.(2) − e a ( a 2 − 2a + 2 ) = lim (2) − lim e a ( a 2 − 2a + 2 ) =
a →−∞
a →−∞
a →−∞
= 2 − (0)(+∞ + 2) = 2 + 0 = 2
2
2
y y = 16 − z se
6) Si las dos superficies f(x,y,z) y g(x,y,z) es decir y = x
interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la recta tangente a la curva
de intersección en el punto (4,16,0) (Problema 15 capitulo 12.7 de Lehithold
2pts
Sean
f ( x, y , z ) = − x 2 + y
y
g ( x, y, z ) = y + z 2 − 16
Entonces
∇f ( x, y , z ) = −2 xi + 1j − 0k
y
∇g ( x, y , z ) = 0i + 1j + 2 zk
Por tanto:
N1 = ∇f (4,16, 0) = −8i + j + 0k
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N 2 = ∇g (4,16, 0) = 0i + 1j + 0k
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Calculemos el Producto Cruz o Externo (Producto Vectorial) de los vectores
Normales, para obtener asi un nuevo vector:
 i j k

 −8 1 
  1 0   −8 0 
N1 × N 2 =  − 8 1 0  = i 
 − j
+k

 0 1
 0 1 0  1 0   0 0 


= i ( 0 − 0 ) − j ( 0 − 0 ) + k ( −8 − 0 ) = 0i − 0 j − 8k
En consecuencia, un conjunto de números directores de la recta tangente es
(4,16,0), Asi la ecuaciones de la rectas buscadas ,en forma escalar paramétrica
 x = x0 − at
 x = 4 − 0t
x = 4



 y = y0 − bt ⇒  y = 16 − 0t ⇒  y = 16

 z = 0 − ( −8)t  z = 8t


 z = z0 − ct
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