Gráficas en coordenadas polares

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
Complemento para evaluar parte de la Unidad III -Matemática II
Sección F – Ingeniería de Petróleo Lcdo. Eliezer Montoya -
Coordenadas Polares y graficas polares
Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la
ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas
polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un
punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El
rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El
rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver
Figura 1)
Plano Polar o trigonométrico
En trigonometría vimos que :
cateto opuesto
y
1) sin θ =
⇒ sin θ = ∴ y = r.sin θ
hipotenusa
r
cateto adyacente
x
2) cos θ =
⇒ cos θ = ∴ x = r.cos θ
hipotenusa
r
sin θ
cateto opuesto
y
3) tan θ =
=
⇒ tan θ = ∴ x ≠ 0
cos θ cateto adyacente
x
Por el teorema de Pitágoras :
x 2 + y 2 = (r.cos θ ) 2 + (r.sin θ )2
= r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ
= r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ )
1
2
2
x +y =r
Lcdo. Eliezer Montoya
2
Gráficas en Coordenadas Polares
⇒ r = ± x2 + y 2
Por tanto:
Ejemplo 1:
Veamos la grafica de r = 1 +
6
π
θ para 0 ≤ θ ≤ 2π
La tabla de valores seria:
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
r = f (θ )
1
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
π
π
π
6
3
30º
2
La grafica de r = 1 +
6
π
t hecha en el software graphmática es
10
5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5
-10
La grafica anterior de la ecuación polar r = f (θ ) es un una curva en forma de espiral .
I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
Podemos concluir que si a > 0 ( a es una constate positiva) la grafica de
r = aθ para θ ≥ 0
Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de
r = e aθ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
Es llamada espiral logarítmica
Ejemplo 2
Veamos la grafica de r = e(0.3t ) para 0 ≤ θ ≤ 2π
La tabla de valores seria:
0 π
Grados
π
π
2π 5π
radianes
6
3
2
3
6
θ = t (theta )
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
0º 30º
60º
90º
120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º
Grados
sexagesimales
1 1.17 1.37 1.60 1.87 2.19 2.57 3.00 3.51 4.11 4.81 5.63
r = f (θ )
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
II .- EL Cardiode:
Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones
r = a (1 ± cos θ )
r = a (1 ± sin θ )
Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN)
Ejemplo 3
Veamos la grafica de r = 2(1 − cos θ )
La tabla de valores es:
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
2π
360º
6.59
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
2
3
3.73 4
2
1
0.27
0
π
π
π
π
6
4
3
0º 30º
60º
45º
Grados
sexagesimales
0 0.27 0.59 1
r = f (θ )
3.73 3
La grafica polar de r = 2(1 − cos θ ) es
2
0
-4
-2
0
2
-2
Ejemplo 4
Veamos la grafica de r = 4(1 + cos θ ) = 4 + 4 cos θ
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
-2
-4
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
La tabla de valores de r = 4(1 + cos θ ) queda como ejercicio para el estudiante
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
π
π
π
π
6
4
3
30º
45º
60º
r = f (θ )
Ejemplo 5 Veamos la grafica de r = 2(1 + sin θ ) = 2 + 2sin θ
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
La tabla de valores de r = 2(1 + sin θ ) = 2 + 2sin θ
Grados
0 π
π
π
π 2π 5π
radianes
6
4
3
2
3
6
θ = t (theta )
0º 30º
Grados
sexagesimales
2 3
r = f (θ )
45º
60º
90º
3.41 3.73 4
120º
150º
3.73 3
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
2
1
0.26
0
0.26
1
2
Ejemplo 6 Veamos la grafica de r = 3(1 − sin θ ) = 3 − 3sin θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
La tabla de valores de la grafica polar r = 3(1 − sin θ ) queda como ejercicio para el
estudiante:
0 π
Grados
π π π 2π 5π π
7π 4π
3π
5π
11π
radianes
6
4
3
2
3
6
6
3
2
3
6
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
30º
45º
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
r = f (θ )
III. Limaçon
Si a y b son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro
ecuaciones
r = a ± b cos θ
r = a ± b sin θ
Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa
CARACOL).
Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón a .
b
a
1. Si 0 < < 1 es decir, 0 < a < b ⇒ caracol con Lazo (interno) –Figura a
b
a
2. Si = 1 es decir, a = b ⇒ El limaçon es un Cardiode
b
a
a
3. Si 1 < < 2 es decir, 0 < < b < a ⇒ Caracol con hendidura o muesca -Figura b
b
2
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
2π
360º
a
a
es decir, 0 < b < ⇒ Caracol convexo (sin hendidura) –Forma un
b
2
circulo levemente torcido- Figura c
4. Si 2 ≤
Ejemplo 7
( b ) < 1 , entonces se trata de un caracol o
Grafiquemos r = 1 + 2 cos θ vemos que a
limaçon con lazo.
Entonces, la grafica polar de r = 1 + 2 cos θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
1
0
0
1
2
3
4
-1
-2
IV. LEMNISCATE
Si a es una constante positiva, la grafica polar de:
r 2 = a 2 cos 2θ
o
r 2 = a 2 sin 2θ
es llamada LEMNISCATE
Ejemplo 9: Graficar: r 2 = 4sin 2θ ⇒ r = 2 sin(2θ )
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
Viendo la grafica r 2 = 4sin 2θ ⇒ r = 2 sin(2θ ) en el software graphmatica tenemos:
1.5
1
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
-1.5
Ejemplo 10: Graficar r 2 = 9 cos 2θ ⇒ r = 3 cos(2θ )
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
0
r 2 = 9 cos 2θ ⇒ r = 3 cos(2θ )
π
π π π 2π 5π π
6
4
3
2
3
6
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
0º
30º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
Completa la tabla de
Grados
radianes
θ = t (theta )
Grados
Lcdo. Eliezer Montoya
45º
60º
90º
120º
150º
180º
Gráficas en Coordenadas Polares
sexagesimales
r = f (θ )
V. N-PETALOS DE ROSA
Si a es una constante positiva, la grafica polar de:
r = a cos kθ
r = a sin kθ
o
Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde:
k si k es un entero impar
N =
2k si k es un entero par
*Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma r = a cos θ
r = a sin θ las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA
Ejemplo 11: Graficar: r = 3sin 3θ (rosa de 3 pétalos) y r = 5sin 4θ (rosa de ocho
pétalos)
Completa la tabla de r = 3sin 3θ (usa más intervalos para que logres ver mejor la
grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
0
r = f (θ )
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
-3
0
3
0
-3
0
3
0
-3
0
π
π
π
π
6
4
3
30º
45º
60º
3
2.12 0
Si usamos los ángulos opuestos
Grados radianes
0
θ = t (theta )
r = f (θ )
0
−
π
6
-3
−
π
4
-2.12
−
0
π
3
−
π
2
3
La grafica polar de r = 3sin 3θ :
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
La grafica de r = 5sin 4θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
3
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
Su tabla de valores
0
Grados
radianes
θ = t (theta )
π
π
π
π
12
6
4
30º
45º
0º 15º
Grados
sexagesimales
0 4.3
r = f (θ )
4.3 0
2π
3
3π
4
5π
6
11π
12
π
2
7π
12
90º
105
120º
135
150º
165
180º
4.3
4.3
0
-4.3
-4.3
0
π
3
5π
12
60º
75º
4.3 4.33 0
Teorema
Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica r = f (θ ) en el punto
( r ,θ ) entonces:
dr
dy
+ r.cos θ
f ´(θ ) sin θ + f (θ ) .cos θ
dθ
m=
= dθ =
dr
dx
f ´(θ ) cos θ + f (θ ) .( − sin θ )
cos θ
− r.sin θ
dθ
dθ
sin θ
Como r = f (θ ) esta definida en ecuaciones paramétricas x = f (θ ) cos θ y
y = f (θ ) sin θ
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y
CIRCUNFERENCIAS:
Aquí C , a y b Son constantes
Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C radianes con el
eje polar
Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si b > 0 , debajo del
eje polar si b < 0
θ =C
r sin θ = b
r cos θ = a
π
Recta paralela al eje
izquierda del eje
2
, a la derecha del eje
π
2
si a > 0 ; a la
π
si a < 0 .
2
Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades
r =C
r = 2a.cos θ
Circunferencia ; radio a tangente al eje
π
2
, centro en el eje polar o
en su prolongación
r = 2a.sin θ
Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje
π
2
o en su prolongación
Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes
mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
3π
4
5π
6
π
2
2π
3
90º
120º
135º
150º
180º
π
π
π
π
6
4
3
0º 30º 45º 60º
Grados
sexagesimales
r = f (θ )
Grados
radianes
θ = t (theta )
7π
6
210º
Grados
sexagesimales
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
r = f (θ )
Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en
Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina
764
Lcdo. Eliezer Montoya
Gráficas en Coordenadas Polares
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Gráficas en Coordenadas Polares
Referencias Bibliográficas
[1] L LARSON
R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría
Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill
[ 2] LEITHOLD Louis
[3]
(1998) Calculo (VII edición ) Edit Oxford
MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition)
U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.
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