Prueba 15% Math II -Integrales impropias V01

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
INSTRUCCIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Llene todos los datos en letra imprenta.
Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba.
Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.
Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del examen, que tenga relación con
la prueba que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo.
Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las _________ y las _________ horas.
Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45
Numeral 10 del Reglamento Disciplinario de la UNEFA.
Cuide su redacción y ortografía.
APELLIDOS Y NOMBRES:
C.I.:
DEPARTAMENTO: Ingeniería de petróleo
SEMESTRE:
SECCIÓN:
III-
F
NOTA:
FECHA 18/06/2010
PRUEBA: Versión 01
ASIGNATURA:
NOMBRE DEL DOCENTE:
(ponderación 15%)
Matemática II -
Lcdo. Eliezer Montoya
Determine si la integral impropia es convergente o divergente, y si es convergente
evalúela. (4 ptos C/U )
+∞
dx
1.A) ∫ 2
3 ( x + 9)
+∞
2.A)
dx
∫ ( 4 x + 3)
2
1
+∞
3.A)
∫e
−x
cos xdx
0
+∞
e − u du
∫1 u
3
dx
5.A) ∫
1 ( x − 3) 2 / 3
4.A)
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.
Elaborado por: Eliezer Montoya
Solución:
+∞
dx
1) ∫ 2
3 ( x + 9)
Primer método: (1º ) Para resolver esta integral impropia, es bueno
recordar por tablas de recurrencia la integral indefinida de:
du
1
−1  u 
∫ u 2 + a 2 = a . tan  a  + C
(2º) Ahora bien, tenemos que:

t
+∞
t
 1 −1  t  1 −1  3  
dx
dx
 1 −1  x  
=
=
=
lim
lim
tan
lim


∫3 ( x2 + 9) t→+∞∫3 ( x2 + 9) t→+∞  3  3   t→+∞  3 tan  3  − 3 tan  3  



3 

1
 t 
1
 1
 1 π  1 π  π
= lim  tan −1    − lim  tan −1 (1)  =  tan −1 ( +∞)  −  .  =  .  −
→+∞
t →+∞ 3
t
 3 
3
 3
  3 4   3 2  12

π π 2π − π π
= − =
= ua
6 12
12
12
Segundo Método: A través de la técnica de sustitución trigonométrica:
Por razones trigonometricas sabemos que:
x
tan θ = ⇒ x = 3 tan θ
(1)
3
dx
Al diferenciar x con respecto a θ ,
dθ
2
dx = 3sec θ dθ (2)
luego, al sustituir (1) en la expresión:
2
x 2 + 32 = ( 3 tan θ ) + 32 = 32 tan 2 θ + 32
= 32 (tan 2 θ + 1) = 9.sec 2 θ (3)
De esta manera quedaria la inetgral así:
∫
dx
3 sec 2 θ dθ 1
1
=
= ∫ dθ = θ + C
2
2
∫
2
x +3
3
3
9. sec θ
como : tan θ =
x
x
⇒ θ = tan −1  
3
3
dx
1
 x
= tan −1   + C
2
+3
3
3
que corresponde a la forma general de:
∫x
2
du
1
u
= . tan −1   + C
2
+a
a
a
De aquí repetimos el paso 2 del primer método
∫u
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2
Elaborado por: Eliezer Montoya
+∞
dx
∫ ( 4 x + 3)
2)
2
1
Repasemos la unidad 1, calculemos la integral indefinida de
dx
∫ ( 4 x + 3)
2
Usemos el método de integración por sustitución o cambio de variable:


 u = 4 x + 3


dx
1 du 1 −2
1 u −1
1
1
4
=
du
=
dx
⇒
=
u
du
=
+C = −
+C = −
+C

2
∫ ( 4 x + 3)2 
∫
∫
4 u
4
4 −1
4u
4(4 x + 3)
 du

 = dx 
4

Evaluemos ahora la integral impropia indicada.
+∞
dx
∫ ( 4 x + 3)
1
2

t
t

dx
1


= lim  ∫
 = lim  −
2
=
t →+∞ 
t →+∞

 4(4 x + 3) 1 
 1 ( 4 x + 3) 





  1 1
1
1
1
1
= lim  −
= 0+
=
ua
 + tlim

 = −  +
t →+∞
→+∞
28 28
 4(4t + 3) 
 4(4(1) + 3)   ∞  28
+∞
3)
∫e
−x
cos xdx
0
Nuevamente repasemos la unidad 1, al calcular integral indefinida ∫ e − x cos xdx
Usando la técnica de integración por partes, ya que existe el producto de
funciones, una exponencial y otra trigonométrica, y la regla nemotécnica para
considerar quien es u ( I-L-A-T-E)
∫e
−x
cos xdx = u.v − ∫ vdu
u = cos x ⇒ du = − senxdx
dv = e− x dx ⇒ v = −e − x + c
∫e
−x
cos xdx = −e − x cos x − ∫ e − x sin xdx (1)
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Elaborado por: Eliezer Montoya
nuevamente integramos por partes ∫ e − x sin xdx
u = sin x ⇒ du = cos xdx
dv = e− x dx ⇒ v = −e− x + c
∫e
sin xdx = −e − x sin x + ∫ e − x cos xdx + C
−x
(2)
Sustituimos (2) en (1), y transponemos pasando al primer miembro
términos semejantes:
∫ e cos xdx = −e cos x − ( −e sin x + ∫ e cos xdx ) + C
∫ e cos xdx = −e cos x + e sin x − ∫ e cos xdx + C
∫ e cos xdx + ∫ e cos xdx = −e cos x + e sin x + C
2 ∫ e cos xdx = e (sin x − cos x) + C
(sacamos factor común e
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
)
e − x (sin x − cos x) + C e − x (sin x − cos x)
=
+ C (dividiendo por 2)
2
2
e − x (sin x − cos x)
∴ ∫ e− x cos xdx =
+C
2
−x
∫ e cos xdx =
Ahora podemos evaluar la integral impropia,
 −x
+∞
 t −x

 e ( sin x − cos x )
−x
e
cos
xdx
=
lim
e
cos
xdx
=
lim


∫0
t →+∞ ∫
t →+∞ 
2
0



t


0 
 e − t ( sin t − cos t ) 
 e −0 ( sin 0 − cos 0 ) 
= lim 
−
lim
 t →+∞ 

t →+∞
2
2




 e −∞ ( sin(∞) − cos(∞) )   1(0 − 1) 
1 1
=
−
=0+ =
2
2 2

  2 
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Elaborado por: Eliezer Montoya
+∞
e− u du
∫1 u
Retomamos conceptos de la unidad 1, Usaremos sustitución o cambio de
variables.
4)


w = u 


e − u du 
du 
−w
−w
− u
∫ u = dw = 2 u  ⇒ 2∫ e dw = −2e + C = −2e + C


du 

 2dw = u 


De esta manera:

t
+∞ − u
 +∞ e − u du 
e du


− u
−2e
e − t + 2 lim e −

 = tlim
∫1 u = tlim

 = −2 tlim
→+∞  ∫
→+∞
→+∞
t →+∞
u
1



1


−2 2
2
= −2 e − +∞ + 2e −1 =
+ = 0 + ≈ 0.7357
∞ e
e
( ( )) ( ( )) =
((
1
))
dx
( x − 3)2 / 3
1º) Integrando por sustitución, haciendo u = x+3 y du =dx;
dx
du
u1/ 3
1/ 3
−2 / 3
=
=
u
du
=
+ C = 3 ( x − 3) + C
∫ ( x − 3)2 / 3 ∫ u 2 / 3 ∫
1/ 3
2º) Podemos ver que para x= 3 la función a integrar no esta definida, ya que la
división por cero no esta determinada. Nos acercaremos a tres por la izquierda
usando valores muy cercanos a tres (2,9999999…..)
5) ∫
3
1

3−ε
 3−ε
dx
dx 
1/ 3
1/ 3
3
= lim+  ∫
= lim+ 3( x − 3)1/ 3
 = 0 − 3 ( −2 ) = 3 ( 2 ) = 3 2

2
/
3
2
/
3
1 ( x − 3)
1
ε →0
ε →0
1
(
x
−
3)




Otra forma de denotarlo seria:
∫
3
∫
3
1
−


 3−
dx
dx 
1/ 3
1/ 3
1/ 3 3
=
lim
=
lim
3(
x
−
3)
= 0 − 3 ( −2 ) = 3 ( 2 ) = 3 3 2


2/3
2/3 
−  ∫1
−
x →3
( x − 3)
( x − 3)  x→3 
1 

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Elaborado por: Eliezer Montoya
Veamos las graficas de la función y =
∫
3
1
1
( x − 3) 2 / 3
dx
=converge a 3 3 2
2/3
( x − 3)
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Elaborado por: Eliezer Montoya