Problemas de geometría Analítica-Unidades I-II-III y IV

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad I
Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno
Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Abril 2009
Apreciado estudiante intenta desarrollar los siguientes problemas propuestos, ubicando
debidamente los puntos en el plano cartesiano, resolviendo analíticamente cada
situación, prepare sus dudas para discutirlas en clases, asista a cada una de ellas es
importante su participación
En los problemas 1 al 6: a) Dibujar los puntos en el plano Cartesiano b) Calcular la
distancia entre los puntos c) Hallar la coordenadas del punto medio del segmento que
une los puntos
1) A = (2,1) y B = (4,5)
 2 1
5 
4) A =  , −  y B =  ,1
 3 3
6 
2) A = ( −3, 2) y B = (3, −2)
5) A = 1, 3 y B = ( −1,1)
1 
 3

3) A =  ,1 y B =  − , −5 
2 
 2

6) A = ( −2, 0 ) y B = 0, 2
(
)
(
)
En los problemas 7 al 18 (a) Hallar la distancia entre los dos puntos, (b) Encontrar los
puntos de trisección y el punto medio de cada segmento de recta
7) (7,10) y (1, 2)
8) (−1, 7) y (2,11)
9) ( 7, −1) y ( 7,3)
10) ( −4, 7 ) y ( 0, −8 )
11) ( −6,3) y ( 3, −5 )
15) ( −3, −5 ) y ( −7, −8 )
12) ( 0, 4 ) y ( −4, 0 )
5
 1 3 
16)  − , −  y  −3, − 
2
 2 2 
17) ( 2, −t ) y ( 5, t )
13) ( 0, 0 ) y ( −8, −6 )
14) ( t , 4 ) y ( t ,8 )
18) ( a, b + 1) y ( a + 1, b )
En los problemas 19 y 20 calcular la distancia entre los puntos, usar en la respuesta
tres cifras significativas.
19) ( −2.714, 7.111) y ( 3.135, 4.982 )
211 
 53  
20)  π ,  y  − 17,

5 
 4 
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
1
En los problemas 21 al 27: (a) Use la formula de la distancia entre los puntos y
demuestre usando el teorema de Pitágoras que el triangulo ABC es un triángulo
rectángulo, y (b) Hallar el área y el perímetro del triángulo ABC.
21) A = (1,1) , B = ( 5,1) y C = ( 5, 7 )
22) A = ( −1, −2 ) , B = ( 3, −2 ) y C = ( −1, −7 )
23) A = ( 0,0 ) , B = ( −3,3) y C = ( 2, 2 )
 1
 21 

 2
 2
26) A = ( 2, −1) , B = ( 7, −1) y C = ( 7,3)
25) A = ( −2, −5) , B =  9,  y C =  4,
27) A = (1, −2 ) , B = ( 4, −2 ) y C = ( 4, 2 )
24) A = ( 2, −2) , B = ( −8, 4 ) y C = ( 5,3)
(c) En los problemas anteriores calcule las coordenadas del punto medio de cada
segmento, trace las tres medianas y verifique que las misma se cortan en un punto
denominado
Baricentro o centro de gravedad corresponden a
 1 ( x1 + x2 + x3 ) , 1 ( y1 + y2 + y3 )  .
3
 3

En los problemas 28 al 40: (a) Probar que los puntos son los vértices del polígono
indicado, (b) Calcular el área y el perímetro de cada polígono.
Vértices
28) A = ( −2, −1) , B = ( 2, 2 ) y C = ( 5, −2 )
Polígono
Triángulo Isósceles
29) A = ( −2, −3) , B = ( 3, −1) , C = (1, 4 ) y D = ( −4, 2 )
Cuadrado
30) A = ( −5,1) , B = ( −6,5 ) y C = ( −2, 4 )
Triangulo Isósceles
31) A = ( 0,0 ) , B = (1, 2 ) , C = ( 2,1) y D = ( 3,3)
Rombo
32) A = ( −5,0 ) , B = ( 0, 2 ) y C = ( 0, −2 )
Triángulo Isósceles
33) A = ( 0,0 ) , B = ( 3, 4 ) , C = ( 8, 4 ) y D = ( 5,0 )
Rombo
34) A = ( 0,1) , B = ( 3, 7 ) , C = ( 4, 4 ) y D = (1, −2 )
Paralelogramo
35) A = ( 0,1) , B = ( 3,5) , C = ( 7, 2 ) y D = ( 4, −2 )
Cuadrado
36 ) A = ( −2, −1) , B = ( 2,5) y C = ( 4,1)
Triángulo Isósceles
37) A = ( 0, 2 ) , B = ( 3,1) , C = ( −1, 4 ) y D = ( 2,5)
Paralelogramo
38) A = ( −3, −2 ) , B = ( 0, −1) , C = ( 3, 2 ) y D = ( 0,1)
Paralelogramo
39) A = ( 6,1) , B = ( 5, 6 ) , C = ( −4,3) y D = ( −3, −2 )
Paralelogramo
40) A = (12,9 ) , B = ( 20, −6 ) , C = ( 5, −14 ) y D = ( −3,1) * Cuadrado*
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Geometria Analítica
2
Resumen de fórmulas aplicadas
Distancia entre dos puntos en el plano
cartesiano :
Sean P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2, y2 ) puntos del
d = PP
1 2 =
2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
plano cartesiano la distancia entre ellos
viene dada por :
Coordenadas del punto medio
P x, y
x, y =
del segmento dirigido, PP
1 2 cuyos
extremos dados son los puntos
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2, y2 )
Coordenadas del punto P (x,y) que
divide el segmento rectilíneo dirigido
PP
1 2 con puntos extremos dados
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2, y2 ) , en la razón dada
r = PP
: P2 P = r1 : r2
1
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2
x1 + r.x2 
1 + r  r ≠ −1

y1 + ry2 
y=
1 + r 
o bien
x=
r2 x1 + r1.x2 
r1 + r2 
 si r1 : r2 = 1 ⇒ x, y
r2 y1 + r1 y2 
y=
r1 + r2 
x=
Pendiente m de una (segmento de recta )
recta que pasa por dos puntos dados
diferentes P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2, y2 )
El área formado por tres puntos no
colineales (área del
triángulo) P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2, y2 ) y P3 ( x3, y3 )
m=
y2 − y1
∴ x1 ≠ x2
x2 − x1
m = tan θ
x1 y1 1
1
A = x2 y2 1
2
x3 y3 1
***Si a, b , c son los lados de un triángulo
el área del triangulo viene dada por
(fórmula de Heron):
A = s.( s − a ).( s − b).( s − c)
a+b+c
donde s =
es el semi-perímetro
2
Condición necesaria y suficiente para
que dos rectas L1 y L2
a) Sean paralelas
b) Sean perpendiculares
Lcdo. Eliezer A Montoya
a) L1 L2 ⇔ m1 = m2
b) L1 ⊥ L2 ⇔ m1.m2 = −1
Geometria Analítica
3
2
Referencias Bibliográficas
[1] L LARSON
R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría
Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill
[ 2] LEHMANN, Ch. H
(1989) Geometría Analítica (XXIII reimpresión) México:Edit
LIMUSA
[3]
MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition)
U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
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MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
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Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad II-Parte A
Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno
Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Abril 2009
LA RECTA EN EL PLANO
Ejercicios propuestos:
1) Determínese la ecuación de la recta que pasa por :
(a) (1,5) con pendiente m =3
g) (5,4) y tiene pendiente m =2
(b) (-2,3) con pendiente m = -4
h) (6,1) y tiene pendiente m =-4
(c) (-1,-2) con pendiente m= 0
i) (3,2) y tiene pendiente m =1/4
j) (-5,-2) y tiene pendiente m = 0
(d) (-3,5)con inclinación de 45º
(e) (2.1) y es paralela al eje y
k) (7,-2) y tiene pendiente m = -3
(f) (1,3) con inclinación de 135º
l) (0,2) y tiene pendiente m = -2/3
2) Determínese la ecuación general de la recta que :
j) contiene a (7,2) y es paralela al
(a) pasa por los puntos (3,1) y (-6,6)
(b) pasa por (2,3) y es paralela a 2x-3y =4
1 
segmento AB , donde A =  ,1 y
(c) pasa por (2,3) y es perpendicular a 2x-3y=4
3 
(d) pasa por (-1,3) y tiene intersección -3 con x .
 −2 3 
(e) pasa por (3,-2) y tiene intersección 4 con y
B= ,  .
 3 5
(f) tiene intersecciones 2( con x) y -3 (con y)
k)
contiene
a (-1,2) y es
(g) pasa por los puntos (7,11) y (-1,1)
(h ) pasa por los puntos (3,2) y (4,8)
perpendicular al segmento AB ,
(i) contiene a los puntos (-3,4) y (-4,4)
3 2
 −2 1 
donde A =  ,  y B =  , 
5 3
 5 3
3) Hallar la pendiente y la intersección con y de cada una de las siguientes recta:
(a) y = 2x - 3
(b) 2x + y = 1
(c) 2x - 3y + 5 = 0
x y
(e) 3x+ y =3
(f) 2y = 3(x-2)
(d) + = 1
2 3
4) Determínese la ecuación de la recta que pasa por (5,6) y es paralela a la recta
que une los puntos (-4,0) y (1,-6)
5) Determínese la ecuación de la recta perpendicular bisectriz del segmento
rectilíneo de la recta 3x+4y -12=0 que queda entre los dos ejes.
*6) Dado el triángulo de vértices A= (-3,1) , B=(6,4) y C(1,-1) determínese las
ecuaciones de(a) los lados (b) las medianas (c) las perpendiculares bisectrices de
los lados
7 ) Con los datos del problema 6 determínese una ecuación de la recta que pasa
por A y es paralela a BC .
8) Con los datos del problema 6 determínese una ecuación de la recta trazada por
los puntos medios de AB y BC
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Geometria Analítica
5
9) Con los datos del problema 6 determínese una ecuación de la altura
correspondiente al segmento AB
10) Determínese la ecuación de la recta que pasa por (4,1) y tiene intersecciones
iguales con los ejes.
11) Determínese la pendiente y las intersecciones de 6x -3y +1 = 0.
12) Determínese las intersecciones de la recta que es perpendicular a 6 x-5y -7=0
y pasa por (1,3)
Resumen de fórmulas aplicadas
Pendiente m de una (segmento de recta )
recta que pasa por dos puntos dados
diferentes P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2, y2 )
m=
y2 − y1
∴ x1 ≠ x2
x2 − x1
m = tan θ
Ecuación General de la Recta: Ax + By + C = 0 ∴ A, B, C ∈ I )Si B = 0 ⇒ Ax + C = 0 ⇒ x = − C A ⇒ x = a una recta paralela al eje Y , vertical
II) Si A = 0 ⇒ By + C = 0 ⇒ y = − C B ⇒ y = b ;una recta paralela al eje X ,horizontal
Si A, B, C ∈ , con A, B, C diferente de cero ,entonces la ecuacion
III) toma la forma suiguiente
Ax + By + C = 0 ⇒ y =
− Ax − C  − A 
 −C 
=
x+
 ⇒ y = mx + b
B
B 
B 


m
b
La ecuación y = mx + b es llamada Ecuación Explicita de la Recta, donde m es la
pendiente y b la ordenada en el origen o el corte con el eje Y
Condición necesaria y suficiente para
a) L1 L2 ⇔ m1 = m2 es decir
que
dos rectas A A´
A B
= → = → AB´− A´B = 0
L1 : Ax + By + C y L2 : A´x + B´ y + C´
B B´ A´ B´
a)Sean paralelas
b) L1 ⊥ L2 ⇔ m1.m2 = −1 es decir
b)Sean perpendiculares
A
B
 A   A´ 
    = −1 → = − → AB´+ A´B = 0
A´
B´
 B   B´ 
Ecuación Punto-Pendiente de la Recta: Una ecuación de la recta con pendiente m y
pasa por el punto ( x1 , y1 ) es ( y − y1 ) = m ( x − x1 )
Ecuación Punto-Punto de la Recta: Una ecuación de la recta que pasa por los puntos
y −y 
P1 = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) viene dada por : ( y − y1 ) =  2 1  . ( x − x1 ) ∴ x2 ≠ x1
x2 − x1 

m
x
O bien x1
x2
y 1
y1 1 = 0
y2 1
Ecuación simétrica (o de intersecciones ) de la Recta : La recta cuyas intercepciones
con los ejes X e Y en los puntos ( a, 0 ) y ( 0,b ) respectivamente, tiene por ecuación:
x y
+ = 1 ∴a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
a b
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Geometria Analítica
6
Ángulo formado por dos rectas coincidentes Una ángulo θ formado por dos rectas
m − m1
L1 y L2 esta dado por la formula tan θ = 2
∴ m2 m1 ≠ −1 en donde m1 es la
1 + m2 m1
pendiente inicial y m2 es la pendiente final correspondiente al ángulo θ
Distancia de un punto a una recta dada : Dado un punto exterior P1 ( x1 , y1 ) y la recta
L1 : Ax + By + C = 0 la distancia perpendicular entre el punto y la recta viene dada por:
dP L =
1 1
Ax1 + By1 + C
± A2 + B 2
Rectas y puntos notables formados por un triángulo
Las medianas son rectas que parten del
La intersección de las tres medianas forman
vértice hasta la mitad del lado opuesto
el punto llamado Baricentro o Centro de
gravedad
Las Alturas son rectas que parten desde
La intersección de las tres alturas forman el
los vértices perpendicularmente a los
punto llamado Ortocentro
lados opuesto ( o a su prolongación )
Las mediatrices son rectas perpendiculares La intersección de las tres mediatrices
que parten del punto medio de cada lado
forman el punto llamado Circuncentro (
centro de la circunferencia circunscrita o
exterior al triangulo )
Las bisectrices son rectas que dividen cada La intersección de las tres bisectrices
ángulo en partes iguales
forman el punto llamado Incentro (Centro
de la Circunferencia inscrita o interior al
triangulo )
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Geometria Analítica
7
LA CIRCUNFERENCIA.
A. 1.-Indique la ecuación general de la circunferencia , que satisface las
condiciones siguientes :
(g) Centro (5,-2) y radio 3
(a) Centro (0,0) y radio 3
(b) Centro ( 0,0) y radio 7
(h) Centro (0,3) y radio 6
(i) Centro (-4,0) y radio 4 2
(c) Centro ( 0,0) y radio 5
(j) Centro ( -3,-8) y radio 10
(d) Centro ( 2.5) y radio 7
(k) Centro (a,b) y radio c
(e) Centro (-2,3) y radio 5
(l) Centro (a,-b) y radio c
(f) Centro (-3,-4) y radio 5
2.-Indique la localización del centro y el radio en cada una de las circunferencias
siguientes:
(a) x 2 + y 2 = 1
(g) x 2 + y 2 = 20
(b) x 2 + y 2 = 49
(h) x 2 + y 2 = 17
( c) x 2 + y 2 = 81
(i) x 2 + y 2 = 50
(d) x 2 + ( y − 2) 2 = 25
(j) 2 x 2 + 2 y 2 = 50
(e) ( x + 3) 2 + y 2 = 36
(k) 3 ( x − 2 ) + 3 ( y + 1) = 10
2
2
(f) ( x − 5 ) + ( y + 4 ) = 100
2
2
(l) ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = c 2
B. 3 Hallar la ecuación general de la circunferencia que satisface las siguientes
condiciones:
(a) Centro (0,0) y pasa por el punto (-3,4)
(g)Uno de sus diámetros une los
(b) Centro ( 2,5 ) y pasa por el punto ( 2,8)
puntos ( 6,-8) y (-2,4).
(c) Centro ( -3,-2) y pasa por el punto (-3,8)
(h) uno de sus diámetros une los
(d) Centro ( 0,5) y pasa por el punto (3,-4)
puntos (3,1) y (-5,7)
(e) Centro (-3, 0) y pasa por el punto ( 0,-4)
(i) Centro (3,2) y es tangente a la
(f) Centro (1,6) y pasa contiene el punto (-2,2) recta x-2y = 2
(j) Centro en (-4,1) y es tangente a la
recta 2x+3y-7 = 0
(k) Pasa por el punto (-2,4) y es
tangente a la recta x-2y =2
(l) Pasa por el punto(-2,4) y es
tangente a la recta 3x+2y=5 en el
punto (1,1)
4. Hallar la localización del centro y el radio en cada una de las circunferencias
siguientes:
(g) x 2 + y 2 + 5 x − 3 y + 1 2 = 0
(a) x 2 + y 2 + 6 x − 27 = 0
(b) x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0
(h) 4 x 2 + 4 y 2 + 8 x − 4 y + 1 = 0
(c ) x 2 + y 2 − 10 x − 8 y + 16 = 0
(i) 3 x 2 + 3 y 2 − 6 x + 9 y = 27
(d) x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 3 = 0
(j) 4 x 2 + 4 y 2 + 4 x − 4 y + 1 = 0
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
8
( e) x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 4 = 0
(f) x 2 + y 2 − 10 x − 8 y + 16 = 0
(k) 4 x 2 + 4 y 2 + 12 x + 20 y + 25 = 0
5. Encontrar la ecuación estándar de la circunferencia que pasa por los tres puntos
siguientes:
(a) A = ( −3,1) , B = ( 7,1) y C = ( −7,5)
(b) A = (1, 7 ) , B = ( 8, 6 ) y C = ( 7, −1)
(c) A = ( 5,1) , B = ( 3,3) y C = ( −1, −5 )
(d) A = ( 5,3) , B = ( 7,1) y C = ( 8, 2 )
(e) A = ( 4,9 ) , B = ( 5,8) y C = ( −3, 2 )
(f) A = ( 6, −6 ) , B = ( −1, −5) y C = ( 7, −5)
Resumen de fórmulas aplicadas
Ecuación estándar de la circunferencia
La circunferencia con centro el punto C = ( h, k ) y radio r , viene dada por :
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
(A)
Si su centro es el origen de coordenadas C = ( 0, 0 ) y radio r la ecuación se reduce a :
x2 + y 2 = r 2
( B)
Ecuación General de la Circunferencia : ( Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 donde los
coeficientes A y B son iguales y positivos )
***Si tomamos la ecuación A y desarrollamos los productos notables tenemos
( x − h)2 + ( y − k ) 2 = r 2 → x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 − r 2 = 0
= x2 + y 2 −
2h x −
2k y + (h 2 + k 2 − r 2 ) = x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
D
E
F
Siendo D = -2h , E= -2k y F = h2+k2-r2
Es decir, La ecuación general de la circunferencia x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 tiene como
1
 −D −E 
coordenadas del centro al punto C = 
D2 + E 2 − 4F
,
 y el radio r =
2
 2 2 
Ecuación d el circunferencia que pasa por tres puntos la ecuación de la circunferencia
que pasa por tres puntos no colineales P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2, y2 ) y P3 ( x3, y3 ) viene dad por el
determinante
x2 + y 2
x12 + y12
x
x1
y 1
y1 1
x22 + y22
x32 + y32
x2
x3
y2 1
y3 1
Lcdo. Eliezer A Montoya
=0
Geometria Analítica
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Referencias Bibliográficas
[1] LARSON
R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría
Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill.
[ 2] LEHMANN, Ch. H
(1989) Geometría Analítica (XXIII reimpresión) México:Edit
LIMUSA
[3] VANCE ,E. P.(1968) Introducción
a la matemática Moderna Estados Unidos de
América : Edit. Fondo Educativo Interamericano - Edición Bilingüe
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Geometria Analítica
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad II-B
Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno
Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Junio 2009
La parábola
En los problemas 1al 18 Hallar las coordenadas del vértice y el foco de la parábola.
También encuentra la ecuación de la directriz y la longitud de la cuerda focal o lado
recto (latus rectum). Bosqueje la grafica
1. y 2 = 4 x
2. y 2 = −9 x
3. x 2 − y = 0
4. x 2 − 4 y = 0
5. x 2 + 9 y = 0
6. 3 x 2 − 4 y = 0
7. y = 4 x 2
13. x 2 − 16 y = 0
8. y = −4 x 2
9. x = 4 y 2
14. x 2 + 16 y = 0
15. y 2 − 16 x = 0
10. x = −4 y 2
11. y = (1 4) x 2
16 y 2 + 16 x = 0
17. 4 x 2 − 3 y = 0
12. y = − (1 4) x 2
18. 4 x 2 + 3 y = 0
19.- Hallar el vértice de la parábola y = Ax 2 + Bx + C donde A, B y C son constantes y
A≠0
En los problemas 20 al 30 Hallar las coordenadas del vértice y el foco de la parábola.
También encuentra la ecuación de la directriz y la longitud de la cuerda focal o lado
recto (latus rectum). Bosqueje la gráfica
20. ( y − 2) 2 = 8( x + 3)
21. ( y + 1) 2 = −4( x − 1)
24. y 2 − 8 y − 6 x − 2 = 0
25. 2 x 2 + 8 x − 3 y + 4 = 0
28. y 2 + 2 y − 8 x − 3 = 0
29. x 2 + 2 x + 4 y − 7 = 0
22. ( x − 4) 2 = 12( y + 7)
23. ( x + 1) 2 = −8 y
26. x 2 − 6 x − 8 y + 1 = 0
27. y 2 + 10 y − x + 21 = 0
30. x 2 + 4 x + 19 = 5 y
En los problemas 31 al 35 . Hallar la ecuación de la parábola que satisface las
condiciones dadas:
31(a). Foco en (4,2) y directriz x = 6
31(b). Foco en (3,-1) y directriz y = 5
32. Vértice en (-6,-5) y foco en (2,-5)
33. Vértice en (2,-3) y directriz x = −8
34. Eje paralelo al eje x, vértice (-1/2,-1) y contiene el punto (5/8,2)
35. Eje coincide con el eje y, la parábola contiene los puntos (2,3) y (-1,-2)
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Geometria Analítica
11
En los problemas 36 al 40. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal en cada
parábola en los puntos indicados:
36. y 2 = 8 x para (2,-4)
37. 2 y 2 = 9 x para (2,-3)
38. x 2 = −12 y para (-6,-3)
39. x 2 + 8 y + 4 x − 20 = 0 para (1, 15/8)
40. y 2 − 2 y + 10 x − 44 = 0 para (9/2, 1)
41. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X que pasa por los tres
puntos:
3

(a)  , −1 , ( 0,5) y ( −6, −7 )
2


(b) ( 0,0 ) , ( 8, −4 ) y ( 3,1)
(c ) (1, 2) , ( 5,3) y (11, 4)
Resumen de las formulas
Tipo
Vértice
Verticales
(h,k)
AperturaConcavidad
Hacia arriba
-Upward
Ecuación estándar
( x − h)2 = 4 p ( y − k )
Foco : F ( h, k + p )
⇒ Si el vértice es el origen
V(0,0)
Foco : F (0, p )
x 2 = 4 py 
Directriz: y = - p
Directriz: y = k − p
(h,k)
Hacia abajoDownward
( x − h ) 2 = −4 p ( y − k )
Foco : F ( h, k − p )
Foco : F (0, − p )
x 2 = −4 py 
Directriz: y = p
Directriz: y = k + p
Horizontales
(h,k)
A la derecha
–to the right
( y − k ) 2 = 4 p ( x − h)
Foco : ( h + p, k )
Foco : F ( p, 0)
y 2 = 4 px 
Directriz: x = - p
Directriz : x = h − p
(h,k)
A la
izquierda
– to the left
Lcdo. Eliezer A Montoya
( y − k ) 2 = −4 p ( x − h)
Foco : ( h − p, k )
Foco : F (− p, 0)
y 2 = −4 px 
Directriz: x = p
Directriz : x = h + p
Geometria Analítica
12
Referencias Bibliográficas
[1] LARSON
R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría
Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill.
[ 2] LEHMANN, Ch. H
(1989) Geometría Analítica (XXIII reimpresión) México:Edit
LIMUSA
[3] VANCE ,E. P.(1968) Introducción
a la matemática Moderna Estados Unidos de
América : Edit. Fondo Educativo Interamericano - Edición Bilingüe:
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Geometria Analítica
13
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Geometria Analítica
14
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MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad II-B
Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno
Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Julio 2009
La Elipse y la Hipérbola
A-La elipse
En los problemas 1 al 10, hallar las coordenadas de los vértices y los focos de
cada elipse (con centro el origen), además su excentricidad y bosqueje su gráfica:
6. 16 x 2 + 25 y 2 = 400
x2 y 2
1.
+
=1
16 4
7. 9 x 2 + 36 y 2 = 4
x2
8. x 2 + 4 y 2 = 1
2.
+ y2 = 1
9
x2 y 2
2
2
9.
+
=1
3. 4 x + y = 16
64 100
4. 36 x 2 + 9 y 2 = 144
x2 y 2
10.
+
=1
5. x 2 + 16 y 2 = 16
100 36
En los problemas 11 al 24, hallar las coordenadas del centro, los vértices y los
focos de cada elipse, además su excentricidad luego bosqueje cada gráfica:
17. 2 x 2 + 5 y 2 + 20 x − 30 y + 75 = 0
( x − 1) 2 ( y + 2) 2
11.
+
=1
9
4
18. 9 x 2 + 4 y 2 + 18 x − 16 y − 11 = 0
( x + 2) 2 ( y − 1) 2
19. x 2 + 4 y 2 + 2 x − 8 y + 1 = 0
12.
+
=1
16
4
20. 9 x 2 + y 2 + 18 x + 2 y + 9 = 0
2
2
13. 4( x + 3) + y = 36
21. 6 x 2 + 9 y 2 − 24 x − 54 y + 51 = 0
2
2
14. 25( x + 1) + 16( y − 2) = 400
22. 9 x 2 + 4 y 2 − 18 x + 16 y − 11 = 0
2
2
15. x + 2 y + 6 x + 7 = 0
23. 16 x 2 + 9 y 2 − 192 x + 36 y + 468 = 0
2
2
16. 4 x + y − 8 x + 4 y − 8 = 0
24. 3 x 2 + 4 y 2 − 12 x + 8 y + 4 = 0
En los problemas 25 al 35, encontrar la ecuación general de la elipse que
satisface cada una de las condiciones siguientes:
25. Focos: F´= (-4,0) y F= (4,0); Vértices: B´= (0,-3) y B = (0,3)
26. Vértices: A´= (-5,0) y A= (5,0), (eje mayor horizontal) y c =3 unidades
27. Focos: F´= (0,-12) y F= (0,12); Vértices: A´= (0,-13) y A = (0,13)
28. Focos: F´= (0,-8) y F= (0,8); semi- eje menor b = 6 unidades.
29* Focos: F´= (-4,1) y F= (4,1); Vértices: A´= (-5,1) y A = (5,1)
30 Focos: F´= (1,-2) y F= (1,2); Vértices: A´= (1,-4) y A = (1,4)
31. Vértices (0,-8) y (0,8), contiene el punto (6, 0)
32. Vértices (0,-3) y (0,3), contiene el punto ( 2 , 2 2 )
3
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
15
33. Vértices: ( ±2 3, 0 ) y ( 0, ±4 )
34. Vértices: ( −2, −3) , ( −2,5 ) , (−7,1) y (3,1)
35. Focos F´= (1,3) y F= (5,3); eje mayor 10 unidades de longitud
B_ La Hipérbola
En los problemas 1 al 10, hallar las coordenadas de los vértices y los focos de
cada Hipérbola (con centro el origen), además su excentricidad, las ecuaciones de
las asintotas y bosqueje su gráfica:
6. 49 x 2 − 16 y 2 = 196
x2 y 2
1.
−
=1
9
4
7. 36 y 2 − 10 x 2 = 360
x2 y 2
8. y 2 − 4 x 2 = 1
2.
−
=1
1 9
x2 y 2
2
2
9.
−
=1
y
x
4 12
3.
− =1
16 4
x2 y 2
2
2
10.
−
=1
y
x
20 5
4.
− =1
4 1
5. 4 x 2 − 16 y 2 = 64
En los problemas 11 al 18, hallar las coordenadas del centro, los vértices y los
focos de cada hipérbola, además de su excentricidad, sus asintotas, luego bosqueje
cada gráfica:
14. 4 x 2 − y 2 − 8 x + 2 y + 7 = 0
( x − 1) 2 ( y + 2) 2
11.
−
=1
9
4
15. x 2 − 4 y 2 − 4 x − 8 y − 4 = 0
( x + 3)2 ( y − 1) 2
16. 16 x 2 − 9 y 2 + 180 y − 612 = 0
12.
−
=1
1
9
17. 9 x 2 − 25 y 2 + 72 x − 100 y + 269 = 0
2
2
( y + 1) ( x + 2)
18. 9 x 2 − 16 y 2 − 90 x − 256 y = 223
13.
−
=1
16
25
En los problemas 19 al 25, encontrar la ecuación general de la hipérbola que
satisface cada una de las condiciones siguientes:
19. Vértices (-4,0) y (4,0); focos: (-6,0) y (6,0)
20. Vértices (0, -½) y (0, ½), focos (0,-1) y (0,1)
5
4
21. Vértices (-4,0) y (4,0), las ecuaciones de las asintotas y = ± x
22. Un vértice en (5,0) y un foco en (6,0)
23. Un vértice n (-3,0), excentricidad 1.5
24. Un foco en (-3,0), excentricidad 5/4
25. Eje mayor 10 unidades, excentricidad 2
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Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad III
Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno
Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Julio 2009
Coordenadas Polares y graficas polares
Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la
ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas
polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un
punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El
rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El
rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver
Figura 1)
En trigonometría vimos que :
cateto opuesto
y
1) sin θ =
⇒ sin θ = ∴ y = r.sin θ
hipotenusa
r
cateto adyacente
x
2) cos θ =
⇒ cos θ = ∴ x = r.cos θ
hipotenusa
r
sin θ
cateto opuesto
y
3) tan θ =
=
⇒ tan θ = ∴ x ≠ 0
cos θ cateto adyacente
x
Por el teorema de Pitágoras :
x 2 + y 2 = (r.cos θ ) 2 + (r.sin θ )2
= r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ
= r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ )
1
2
2
x +y =r
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2
Geometria Analítica
17
⇒ r = ± x2 + y 2
Por tanto:
Ejemplo 1:
Veamos la grafica de r = 1 +
6
π
θ para 0 ≤ θ ≤ 2π
La tabla de valores seria:
0
Grados
radianes
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
r = f (θ )
1
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
π
π
π
6
3
30º
2
La grafica de r = 1 +
6
π
t hecha en el software graphmática es
10
5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5
-10
La grafica anterior de la ecuación polar r = f (θ ) es un una curva en forma de espiral .
I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
Podemos concluir que si a > 0 ( a es una constate positiva) la grafica de
r = aθ para θ ≥ 0
Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de
r = e aθ
Es llamada espiral logarítmica
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Geometria Analítica
18
Ejemplo 2
Veamos la grafica de r = e(0.3t ) para 0 ≤ θ ≤ 2π
La tabla de valores seria:
Grados
0 π
π
π
2π 5π
radianes
6
3
2
3
6
θ = t (theta )
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
2π
11π
6
0º 30º
60º
90º
120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º
Grados
sexagesimales
1 1.17 1.37 1.60 1.87 2.19 2.57 3.00 3.51 4.11 4.81 5.63
r = f (θ )
360º
6.59
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
-6
II .- EL Cardiode:
Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones
r = a (1 ± cos θ )
r = a (1 ± sin θ )
Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN)
Ejemplo 3
Veamos la grafica de r = 2(1 − cos θ )
La tabla de valores es:
Grados
radianes
θ = t (theta )
0
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
2
3
3.73 4
2
1
0.27
0
π
π
π
π
6
4
3
0º 30º
60º
45º
Grados
sexagesimales
0 0.27 0.59 1
r = f (θ )
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
3.73 3
19
La grafica polar de r = 2(1 − cos θ ) es
2
0
-4
-2
0
2
-2
Ejemplo 4
Veamos la grafica de r = 4(1 + cos θ ) = 4 + 4 cos θ
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
-2
-4
La tabla de valores de r = 4(1 + cos θ ) queda como ejercicio para el estudiante
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
π
π
π
π
6
4
3
30º
45º
60º
r = f (θ )
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
20
Ejemplo 5 Veamos la grafica de r = 2(1 + sin θ ) = 2 + 2sin θ
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
La tabla de valores de r = 2(1 + sin θ ) = 2 + 2sin θ
Grados
0 π
π
π
π 2π 5π
radianes
6
4
3
2
3
6
θ = t (theta )
0º 30º
Grados
sexagesimales
2 3
r = f (θ )
60º
45º
90º
3.41 3.73 4
120º
150º
3.73 3
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
2
1
0.26
0
0.26
1
2
Ejemplo 6 Veamos la grafica de r = 3(1 − sin θ ) = 3 − 3sin θ
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
21
La tabla de valores de la grafica polar r = 3(1 − sin θ ) queda como ejercicio para el
estudiante:
0 π
Grados
π π π 2π 5π π
7π 4π
3π
5π
11π
radianes
6
4
3
2
3
6
6
3
2
3
6
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
30º
45º
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
r = f (θ )
III. Limaçon
Si a y b son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro
ecuaciones
r = a ± b cos θ
r = a ± b sin θ
Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa
CARACOL).
Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón a .
b
a
1. Si 0 < < 1 es decir, 0 < a < b ⇒ caracol con Lazo (interno) –Figura a
b
a
2. Si = 1 es decir, a = b ⇒ El limaçon es un Cardiode
b
a
a
3. Si 1 < < 2 es decir, 0 < < b < a ⇒ Caracol con hendidura o muesca -Figura b
b
2
a
a
4. Si 2 ≤
es decir, 0 < b < ⇒ Caracol convexo (sin hendidura) –Forma un
b
2
circulo levemente torcido- Figura c
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Geometria Analítica
22
2π
360º
Ejemplo 7
( b ) < 1 , entonces se trata de un caracol o
Grafiquemos r = 1 + 2 cos θ vemos que a
limaçon con lazo.
Entonces, la grafica polar de r = 1 + 2 cos θ
1
0
0
1
2
3
4
-1
-2
IV. LEMNISCATE
Si a es una constante positiva, la grafica polar de:
r 2 = a 2 cos 2θ
o
r 2 = a 2 sin 2θ
es llamada LEMNISCATE
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
23
Ejemplo 9: Graficar: r 2 = 4sin 2θ ⇒ r = 2 sin(2θ )
Viendo la grafica r 2 = 4sin 2θ ⇒ r = 2 sin(2θ ) en el software graphmatica tenemos:
1.5
1
0.5
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
-1.5
Ejemplo 10: Graficar r 2 = 9 cos 2θ ⇒ r = 3 cos(2θ )
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
24
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
r 2 = 9 cos 2θ ⇒ r = 3 cos(2θ )
π
π π π 2π 5π π
6
4
3 2
3
6
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
30º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
Completa la tabla de
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
45º
60º
90º
120º
150º
180º
r = f (θ )
V. N-PETALOS DE ROSA
Si a es una constante positiva, la grafica polar de:
r = a cos kθ
o
r = a sin kθ
Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde:
k si k es un entero impar
N =
2k si k es un entero par
*Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma r = a cos θ
r = a sin θ las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA
Ejemplo 11: Graficar: r = 3sin 3θ (rosa de 3 pétalos) y r = 5sin 4θ (rosa de ocho
pétalos)
Completa la tabla de r = 3sin 3θ (usa más intervalos para que logres ver mejor la
grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
25
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
0º
Grados
sexagesimales
0
r = f (θ )
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
2
2π
3
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
-3
0
3
0
-3
0
3
0
-3
0
π
π
π
π
6
4
3
30º
45º
60º
3
2.12 0
Si usamos los ángulos opuestos
Grados radianes
0
θ = t (theta )
r = f (θ )
0
−
π
6
-3
−
π
4
-2.12
−
π
−
3
0
π
2
3
La grafica polar de r = 3sin 3θ :
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Lcdo. Eliezer A Montoya
Geometria Analítica
26
La grafica de r = 5sin 4θ
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
Su tabla de valores
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
π
π
π
π
12
6
4
30º
45º
0º 15º
Grados
sexagesimales
0 4.3
r = f (θ )
4.3 0
2π
3
3π
4
5π
6
11π
12
π
2
7π
12
90º
105
120º
135
150º
165
180º
4.3
4.3
0
-4.3
-4.3
0
π
3
5π
12
60º
75º
4.3 4.33 0
Teorema
Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica r = f (θ ) en el punto
( r ,θ ) entonces:
dr
dy
+ r.cos θ
f ´(θ ) sin θ + f (θ ) .cos θ
dθ
m=
= dθ =
dr
dx
f ´(θ ) cos θ + f (θ ) .(− sin θ )
cos θ
− r.sin θ
dθ
dθ
sin θ
Como r = f (θ ) esta definida en ecuaciones paramétricas x = f (θ ) cos θ y
y = f (θ ) sin θ
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27
RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y
CIRCUNFERENCIAS:
Aquí C , a y b Son constantes
θ =C
Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C radianes con el
eje polar
Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si b > 0 , debajo del
eje polar si b < 0
r sin θ = b
r cos θ = a
π
Recta paralela al eje
2
, a la derecha del eje
π
2
si a > 0 ; a la
π
si a < 0 .
2
Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades
izquierda del eje
r =C
r = 2a.cos θ
Circunferencia ; radio a tangente al eje
π
2
, centro en el eje polar o
en su prolongación
r = 2a.sin θ
Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje
π
2
o en su prolongación
Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes
mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases
Grados
radianes
0
θ = t (theta )
3π
4
5π
6
π
2
2π
3
90º
120º
135º
150º
180º
π
π
π
π
6
4
3
0º 30º 45º 60º
Grados
sexagesimales
r = f (θ )
Grados
radianes
θ = t (theta )
7π
6
210º
Grados
sexagesimales
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
225º
240º
270º
300º
315º
330º
360º
r = f (θ )
Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en
Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina
764
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28
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29
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS
UNEFA
Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad IV
Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno
Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Julio 2009
El espacio R3 (Geometría Analítica en el espacio-tridimensional)
1.-Ubicar las coordenadas de cada punto, luego halla la distancia entre los puntos y las
coordenadas del punto medio de los siguientes pares de puntos:
(a) A(3,5,7) y B(4,8,10)
La Distancia entre dos puntos en el plano espacio:
Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2, y2 , z2 ) puntos cualquiera del
(b) C(0,0,5) y D(0,12,0)
espacio, entonces la distancia entre ellos viene dada por
:
(c) E(-3,-5,4) y F(5,-7,8)
(d) G(0,9,12) y H(8,9,12)
d = P1 P2 =
2
(e) I(5,5,5) y J(6,7,8)
Las Coordenadas del punto medio
(f) K(3.-5,-4) y L(4,-5,4)
segmento dirigido,
puntos
(g)M(5,0,-3) y N ( 6,-5,4)
(h) Ñ(1/2,3/2,-1/2) y O (-3,5,-6)
2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2
P x, y , z
del
PP
1 2 cuyos extremos dados son los
P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2, y2 , z2 ) viene dada por:
x, y , z =
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
,
,
2
2
2
2(a).Probar que el triangulo formado por los vértices A(2,-1,2) , B(1,2,0) y C (4,0,-1)
son los vértices de un triangulo Isósceles.
2(b) Probar que el triangulo formado por los vértices A(-2,3,2) , B(-2,9,-4) y C (4,3,-4)
son los vértices de un triangulo Equilátero.
3. Calcular los cósenos directores de los segmentos de rectas dirigidos OP sabiendo que
su punto extremo viene dado por los puntos del ejerció anterior
AB, CD, EF , GH , IJ , KL .(Recuerde que las componentes vectoriales de AB = B − A )
Los Cósenos Directores
Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2, y2 , z2 ) puntos cualesquiera del espacio, entonces los cósenos
directores del segmento de recta OP1 y OP2 viene dado por:
x
y
z
cos α1 = 1 , cos β1 = 2 , cos γ 1 = 1 ∴ OP1 = x12 + y12 + z12 y
OP1
OP1
OP1
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30
cos α 2 =
x2
y
z
, cos β 2 = 2 y cos γ 2 = 2 ∴ OP2 = x22 + y22 + z22 respectivamente
OP2
OP2
OP2
De esta manera el ángulo θ (thetha) entre los radios vectores OP1 y OP2 viene dado por:
cos θ = cos α1 cos α 2 + cos β1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2
cos θ =
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
x +y +z . x +y +z
2
2
=
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
OP1 OP2
4. Hallar la ecuación de la esfera cuyo centro y radio son:
(a) C(0,0,0) , r = 5
Ecuación estándar de la Esfera
(b) C(0,3,0) , r = 3
La esfera con centro el punto C = ( h, k , l ) y radio r ,
(c) C(5,1,1) , r = 6
viene dada por : ( x − h)2 + ( y − k )2 + ( z − l ) 2 = r 2
(A)
(d) C(-2,-3,-4), r = 5
Si su centro es el origen de coordenadas C = ( 0, 0, 0 ) y
(e) C(3,3,3), r = 3
(f) C(5-4,2) , r =1
radio r la ecuación se reduce a :
(g) C(-2,0,5) , r = 7
x2 + y 2 + z 2 = r 2
( B)
(h) C(3,-2,4), r= 4
5. Hallar el centro y el radio del las siguientes esferas:
(a) x 2 + y 2 + z 2 = 49
(b) x 2 + y 2 + z 2 = 100
(c) ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 + z 2 = 16
(d) ( x + 3) 2 + ( y − 5) 2 + ( z + 1) 2 = 36
(e) x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 10 y + 4 z + 29 = 0 (Ayuda: use completación de cuadrados)
(f) x 2 + y 2 + z 2 + 12 x + 4 y + 6 z = 0
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31
Ecuaciones del Plano y la recta en el espacio
Planos en R3
La ecuación N i( R − R0 ) = 0 (Producto
Interno o Producto Punto-Producto
escalar de vectores) es fácilmente
convertirla a la forma escalar cartesiana
del plano poniendo
 N = a i + b j + ck

 R = xi + yj + zk
R = x i + y j + z k
0
0
0
 0
Tenemos entonces:
 R − R0 = ( x − x0 )i + ( y − y0 ) j + ( z − z0 )k

 N i( R − R0 ) = [ ai + bj + ck ]i[ ( x − x0 )i + ( y − y0 ) j + ( z − z0 )k ]
⇒
0 = a ( x − x0 )i.i + b( y − y0 ) j.j + c( z − z0 )k.k
0 = a ( x − x ) + b ( y − y ) + c ( z − z )
0
0
0

La ecuación del plano obtenida tiene la forma
0 = a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) (A)
Si desarrollamos tenemos
a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = 0
ax + by + cz − (ax0 + by0 + cz0 ) = 0
ax + by + cz = D
Haciendo D = −(ax0 + by0 + cz0 ) (es un valor constante) para llegar ala ecuación del
plano cartesiana ax + by + cz = D en el espacio, con coeficientes a, b y c no todos ceros
y el vector Normal N = ai + bj + ck
Ahora bien si dividimos todo por D tenemos
ax + by + cz = D
x
y
z
+
+
=1
Da Db Dc
La ecuación anterior se
denomina ecuación
simétrica del plano
x
y
z
+
+
= 1 (B)
Da Db Dc
O intereceptos del plano
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32
**Si conocemos tres puntos del espacio no colineales, A, B y C, Podemos hallar el
vector normal N = AB × AC (a través del producto cruz o vectorial de cada segmento
de recta orientado) y así determinar el plano que los contiene
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos planos
Dados los planos π 0 : Ax + By + Cz + D y π 1 : A´x + B´ y + C´z + D con vectores
normales N 0 = A, B, C y N1 A´, B´, C´ entonces:
A B C
= =
A´ B´ C´
 N 0 i N1 = 0
b.) Dos planos son perpendiculares si y solo si : 
 A. A´+ B.B´+C.C´= 0
c.) El ángulo θ (thetha) formado por dos planos cualquiera viene dado por :
a.) Dos planos son paralelos si y solo si
cos θ =
N 0 i N1
=
N 0 . N1
AA´+ BB´+CC´
A2 + B 2 + C 2 . A´2 + B´2 +C´2
de donde :
 N 0 i N1 

 N 0 . N1 
θ = cos −1 
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33
Ejercicios propuestos sobre el plano en R3
En los problemas 6 al 9, Hallar la ecuación escalar cartesiana del plano que contiene los
puntos P0 y posee como vector Normal N:
6. P0 =(1, -1, 2) y N= i + 2j + 3k
7. P0 =(1, 3, -1) y N= 2i + j – k
8. P0 =(0, 0, 0) y N= 5i -2 j +10 k
9. P0 =(0, 0, 1) y N= j + k
En los problemas 10 al 12, Hallar la ecuación escalar cartesiana del plano que contiene
los puntos A, B y C:
10. A = ( 2, -1, 0) , B= (-3, -4, -5) y C =(0, 8, 0)
11. A = (2, 2, -2) , B= (4, 6, 4) y C =(8, -1, 2)
12. A= (1, 1, -1), B= (3, 3, 2) y C = ( 3,-1,-2)
En los problemas 13 al 18, Hallar (a) El vector Normal unitario del plano ( b) Los
interceptos del plano con cada uno de los ejes (c) Graficar la porción del plano
13. 2 x + 3 y + 6 z = 12
14. x + −4 y − 8 z = 8
15. N i( R − R0 ) = 0 , donde N = 12j -5 k y R0=5j
16. N i( R − R0 ) = 0 , donde N = k y R0=i + j + 3k
17. 5 x = 3 y + 4 z
18. 3 x = 4 z + 12
En los problemas 19 al 22, (a) Determinar si los planos son paralelos (b) Determina la
D1 − D2
distancia d entre dos planos paralelos a través de la formula d =
a 2 + b2 + c 2
(c)En caso de no ser paralelos determine el ángulo que se forman entre ellos
19. 3 x − y + 2 z = 5 y 6 x − 2 y + 4 z = 10
20 − x + y + 3 z = 4 y 5 x + 5 y + 15 z = 21
21 2 x + y − z = 3 y 4 x + y − 3 z = 3
22 x + 2 y − 2 z = 3 y − x − 2 y + 2 z = 3
En los problemas 23 al Hallar la ecuación escalar cartesiana del plano que satisface las
siguientes condiciones:
23. Contiene al punto (-1, 3, 5) y es paralela al plano 6 x − 3 y − 2 z + 9 = 0
24. Contiene al punto (4, -1, 3) y es paralela al plano 2 x − y − 5 z = 4
25. Contiene el origen y es paralelo al plano 3 x − 7 y + z = 4
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34
La recta en R3
Visualiza las figuras adjuntas:
Recordemos que dos vectores son paralelos si y solo si el producto cruz de ellos es
igual al vector cero (vector nulo). Se R es el vector posición de P y R0 es el vector
posición de P0 entonces P0 P = R − R0 , de esta manera la condición para que M (el
vector director de la recta) sea paralela a P0 P la podemos escribir:
M × ( R − R0 ) = 0
Este es un vector de la ecuación no paramétrica de la recta con dirección M y contiene
el punto cuyo vector posición es R0
Para convertir la ecuación vectorial M × ( R − R0 ) = 0 a la forma escalar cartesiana,
vemos que:
 M = ai + bj + ck

 R = xi + yj + zk
R = x i + y j + z k
 0
0
0
0
Entonces: M × ( R − R0 ) = 0 la podemos reescribir:
i
j
k
a
b
c
x − x0
y − y0
z − z0
= 0i + 0 j + 0 k
Esto es:
[b.( z − z0 ) − c.( y − y0 )] i − [ a( z − z0 ) − c.( x − x0 ) ] j + [ a.( y − y0 ) − b( x − x0 )] k = 0
Igualando las tres componentes escalares, obtenemos ecuaciones tres ecuaciones
escalares
[b.( z − z0 ) − c.( y − y0 ) ] = 0
b.( z − z0 ) = c.( y − y0 )
[ a( z − z0 ) − c.( x − x0 )] = 0
[ a.( y − y0 ) − b( x − x0 )] = 0
del mismo modo a ( z − z0 ) = c.( x − x0 )
a.( y − y0 ) = b( x − x0 )
Estas tres ecuaciones simultaneas nos dan la forma de la recta escalar no paramétrica.
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35
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación son diferentes de cero, podemos escribir las
ecuaciones de la forma siguiente
( z − z0 ) ( y − y0 )
=
,
c
b
( z − z0 ) ( x − x0 )
=
,
c
a
( y − y0 ) ( x − x0 )
=
b
a
O
( x − x0 ) ( y − y0 ) ( z − z0 )
=
=
(A)
a
b
c
La ecuación anterior corresponde a la Ecuación Simétrica de la Recta en el espacio.
(Conocidos un punto que lo contiene(X0, Y0, Z0 ) y las componentes escalares del vector
M paralelo a la recta)
Si por un instante a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ⇒ ( x − x0 ) = 0,
( y − y0 ) ( z − z 0 )
=
b
c
Si A= ( x0 , y0 , z0 ) y B = ( x1, y1 , z1 ) son dos puntos distintos en el espacio tridimensional,
entonces existe una recta que contiene a dichos puntos.
 M = A B = ( x1 - x 0 )i + ( y1 - y 0 )j + ( z1 - z 0 )k
 A B × ( R − R0 ) = 0


⇒  x - x0
 R = xi + yj + zk
y - y0
z - z0
R = x i + y j + z k
x -x = y -y = z -z
0
0
0
1
0
1
0
 1 0
 0
En conclusión, la ecuación de la recta (forma simétrica escalar) que pasa por dos puntos
del espacio A= ( x0 , y0 , z0 ) y B = ( x1, y1 , z1 ) es
x - x0
y - y0
z - z0
=
=
x1 - x 0
y1 - y 0
z1 - z 0
(B)
Hemos visto que la ecuación: M × ( R − R0 ) = 0 expresa la condición para que dos rectas
sean paralelas. Esta condición puede expresarse a través de la ecuación:
R-R 0 = tM ⇒ R = R 0 + tM
Donde t es un parámetro (variable escalar), resolviendo obtenemos una ecuación
vectorial paramétrica de la recta
R = R 0 + tM
 x   x 0   a   x = x 0 + at
 y  =  y  + t  b  ⇒  y = y + bt
0
   0   
 z   z 0   c  z = z 0 + ct
 x = x 0 + at

Obtenemos así la ecuación escalar paramétrica de la recta en el espacio  y = y 0 + bt
z = z + ct
0

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36
Problemas propuestos de la recta en R3
En los problemas siguientes hallar la recta que contiene los puntos siguientes:
(26) A(3,5,7) y B(4,8,10)
(30) I(5,5,5) y J(6,7,8)
(27) C(0,0,5) y D(0,12,0)
(31) K(3.-5,-4) y L(4,-5,4)
(28) E(-3,-5,4) y F(5,-7,8)
(32)M(5,0,-3) y N ( 6,-5,4)
(29) G(0,9,12) y H(8,9,12)
(33) Ñ(1/2,3/2,-1/2) y O (-3,5,-6)
( b) Calcular el menor ángulo formado entre las rectas formadas por en los ejercicios
 M iM 
anteriores use : θ = cos −1  0 1  Para evaluar el ángulo entre las rectas:
 M 0 . M1 
AB y CD , EF y GH , IJ y KL
En los problemas 34 al 38 , Hallar una ecuación o ecuaciones de la recta que
satisfacen las siguientes condiciones
Un (a) vector no parametrito (b) su forma simétrica, (d) vector paramétrico ( d) su
forma escalar paramétrica
34.-Contiene al punto (-1, 1, 4) y es paralelo al vector M = i + j-2k
35.- Contiene al punto (5, 7,-1) y es paralelo al vector M = 3i -2j
36.- Contiene al punto (3, 1,-4) y es paralelo al vector M = 2j+5k
37.- Contiene al punto (1,3,-2 )y es perpendicular al plano x − 2 y + 2 z = 5
38.- Contiene al punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano 5 x − y + 3 z = 7
En los problemas Determinar si las rectas son paralelas o perpendiculares:
39.-
( x − 3) ( y + 1) ( z + 7)
( x + 1) ( y − 1) ( z + 1)
=
=
=
=
y
4
−2
3
3
3
−2
40.-
( x + 1) ( y − 1) ( z + 2) ( x − 4) ( y − 2) ( z + 1)
=
=
=
=
y
3
−2
5
6
−4
10
41.
x ( y + 3) ( z − 1)
( x + 7) ( y + 3) ( z + 4)
=
=
=
=
y
2
4
3
−6
−12
9
42
( x + 3) ( y − 3) ( z + 5)
( y − 4) ( z + 3)
=
=
=
y x = 2,
2
1
1
1
−1
Recuerde: Dos rectas en el espacio son perpendiculares si θ = π
2
del mismo modo son
paralelas si θ =0
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