Solución - Colegio Adventista La Serena

COLEGIO ADVENTISTA MARANATA
DEPTO. DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
LA SERENA
DOCENTE: HERNÁN ALEXIS AROS NÚÑEZ
GUIA Nº1 “CINEMATICA DE UNA PARTÍCULA”
2º MEDIOS “ A “ Y “ B “
La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la
tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x1
hasta la posición x2) y el tiempo transcurrido.
v = e/t (1)
siendo:
e: el espacio recorrido y
t: el tiempo transcurrido.
La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece
constante en toda la trayectoria.
Aceleración
Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de
variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la
aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s ², gráficamente se representa con un
vector.
a = v/t
Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)
Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la
velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el
intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la
velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con
t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En
el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.
v = e/t
v = constante
a=0
Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)
Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la
velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado.
En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la
velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:
v = a.t
La distancia recorrida durante ese tiempo será
e = ½.a.t ²
Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t ²). En
el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.
a ≠ 0 = constante
v = variable
1) Acelerado: a > 0
xf = xo + vo.t + ½.a.t ² (Ecuación de posición)
vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad)
vf ² = vo ² + 2.a.Δx
2) Retardado: a < 0
xf = xo + vo.t - ½.a.t ² (Ecuación de posición)
vf = vo - a.t (Ecuación de velocidad)
vf ² = vo ² - 2.a.Δx
3) Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la
superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es
aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una
velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de
19,6 m/s.
En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad
inicial.
a=g
vo = 0
yf = ½.g.t ² (Ecuación de posición)
vf = g.t (Ecuación de velocidad)
vf ² = 2.a.Δy
3) Tiro vertical: movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del
movimiento, puede ser ascendente o descendente.
a=g
vo ≠ 0
yf = yo + vo.t - ½.g.t ² (Ecuación de posición)
vf = vo - g.t (Ecuación de velocidad)
vf ² = vo ² - 2.a.Δy
5) Tiro parabólico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que
se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una
aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al
principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la
componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del
aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza
el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar
por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.
Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como
tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.
En eje x:
v = constante
a=0
En eje y:
a=g
vo ≠ 0
6) Tiro oblicuo: movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los eje x e y, en el eje y se comporta
como caída libre, mientras que en el eje x como M.R.U.
En eje x:
v = constante
a=0
En eje y:
a=g
vo = 0
RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:
Problema n° 1) En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20
m/s. Diez segundos después, una patrulla de la policía pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s.
Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver gráfica y analíticamente:
a) ¿A qué distancia de la esquina, la policía alcanzará al muchacho?
b) ¿En qué instante se produce el encuentro?
Respuesta: a) 600 m
b) 30 s
Problema n° 2) En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme de 20 m/s. Cinco
segundos después, pasa en su persecución, por el mismo punto A,otro cuerpo animado de movimiento
rectilíneo uniforme, de velocidad 30 m/s. ¿Cuándo y dónde lo alcanzará?, resolver gráfica y analíticamente.
Respuesta: a) 200 m
b) 15 s
Problema n° 3) Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo
instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular:
a) ¿A qué distancia de A se encontraran?.
b) ¿En qué instante se encontraran?.
Respuesta: a) 342,8 m
b) 4,285 h
Problema n° 4) Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos después
sale desde el mismo lugar y en su persecución otro móvil a 27,78 m/s. Calcular:
a) ¿A qué distancia de A lo alcanzará?.
b) ¿En qué instante lo alcanzará?.
Respuesta: a) 600 km
b) 7,5 h
Problema n° 5) Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si
3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar
analíticamente y gráficamente:
a) La posición del encuentro.
b) El instante del encuentro.
Respuesta: a) 9 km
b) 10 min
Problema n° 6) Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si
6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido opuesto. Hallar
analíticamente y gráficamente:
a) La posición del encuentro.
b) El instante del encuentro.
Respuesta: a) 2 km
b) 200 s
Problema n° 7) Dos puntos A y B están separados por una distancia de 180 m. En un mismo momento pasan
dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A,con velocidades de 10 m/s y 20 m/s
respectivamente. Hallar analíticamente y gráficamente:
a) ¿A qué distancia de A se encontraran?.
b) El instante del encuentro.
Respuesta: a) 6 s
b) 60 m
Resolver los siguientes problemas:
Problema n° 1) Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 4 m/s y una aceleración constante de -1,5
m/s ², determinar:
a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo a los 2 s?.
b) ¿Cuál es su posición al cabo de 2 s?.
Respuesta: a) 1 m/s
b) 5 m
Problema n° 2) Al aplicar los frenos de un auto que viajaba 54 km/h su velocidad disminuye uniformemente
y en 8 s, se anula. ¿Cuánto vale la aceleración?, graficar V = f(t).
Respuesta: -1,875 m/s ²
Problema n° 3) ¿Puede un cuerpo tener velocidad hacia el norte y al mismo tiempo estar acelerando hacia
el sur?. Ejemplificar.
Respuesta: si
Problema n° 4) Un móvil parte del reposo con aceleración constante, recorre en el primer segundo 80 m,
determinar:
a) ¿Qué aceleración tiene?.
b) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s?.
Respuesta: a) 160 m/s ²
b) 1.600 m/s
Problema n° 5) Un móvil que pasa en línea recta hacia la derecha de un punto A, animado de un M.U.V.,
con una velocidad de 8 m/s y una aceleración de 2 m/s ², pero en sentido contrario. Determinar:
a) Después de cuanto tiempo se detiene.
b) ¿A qué distancia de A lo logra?.
Y si regresa inmediatamente:
c) ¿Cuánto tarda en volver a pasar por A ?.
d) ¿en qué instante pasa por un punto situado a 15 m a la derecha de A ?.
e) ¿en qué instante pasa por un punto situado a 33 m a la izquierda de A ?.
Respuesta: a) 4 s
b) 16 m
c) s
d) 3 s
e) 11 s
Problema n° 6) Un automóvil se desplaza a una velocidad de 10 m/s y frena en 20 m, determinar:
a) ¿Cuál es aceleración de frenado?.
b) ¿Qué tiempo tarda en detenerse?.
Respuesta: a) -2,5 m/s ²
b) 4 s
Problema n° 7) Un motociclista se desplaza por una carretera con una velocidad constante de 36 km/h.
Desde el momento en que aplica los frenos hasta que la moto se detiene tarda 2s,determinar:
a) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?.
b) ¿Qué distancia preciso para el frenado?.
Respuesta: a) -5 m/s ²
b) 10 m
Ejercicios de Cinemática: Caída libre.
Resolver los siguientes problemas:
En todos los casos usar g = 10 m/s ².
Problema n° 1) Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s.
a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.
b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?.
Respuesta: a) 43
b) 50 m/s
Problema n° 2) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar
al suelo. Calcular:
a) A qué altura estaría esa terraza.
b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.
Respuesta: a) 180 m
b) 60 m/s
Problema n° 3) ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo?.
Respuesta: 80 m
Problema n° 4) Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, cuánto demora en
llegar al suelo?.
Respuesta: 19,8 s
Problema n° 5) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo
estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:
a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.
c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B ?.
Respuesta: a) 1,5 s
b) 48,75 m
c) 100 m/s
Problema n° 6) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque contra el fondo, si la
velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del pozo?.
Solución
Para caída libre usamos las siguientes ecuaciones:
(1) vf = g.t
(2) Δh = g.t ²/2
El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer mas el que tarda el sonido en llegar hasta
el punto de partida de la piedra:
t = tp + ts = 10 s Þ ts = 10 s - tp (3)
La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra:
ΔhT = Δhs = Δhp (4)
Para el sonido:
vs = Δhs/ts
Δhs = vs.ts (5)
Para la piedra
Δhp = g.tp ²/2 (6)
Igualando (5) y (6):
vs.ts = g.tp ²/2 (7)
Reemplazando (3) en (7):
Reemplazando por los datos:
Resolvemos la ecuación cuadrática:
tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuación (6) reemplazamos con t p1 y
resolvemos:
Δhp = 383,3 m
Respuesta: 383,3 m
Problema n° 7) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo
estas de 29,42 m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar:
a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.
Respuesta: a) 2 s
b) 78,44 m/s ²
Problema n° 8) ¿Desde qué altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de una turbina con
velocidad de 30 m/s?.
Respuesta: 45 m
Responder el siguiente cuestionario:
Pregunta n° 1) ¿Qué tipo de movimiento es la caída de los cuerpos?.
Pregunta n° 2) Cuando un cuerpo cae libremente, ¿cómo varia su velocidad?.
Pregunta n° 3) Cuando un cuerpo cae libremente, ¿cómo varia su aceleración?.
Pregunta n° 4) ¿Cómo se produce la caída de los cuerpos en el vacio?.
MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORMEMENTE VARIADO
1. Una locomotora necesita 10 s. para alcanzar su velocidad normal que es 60 Km/h. Suponiendo que su
movimiento es uniformemente acelerado ¿Qué aceleración se le ha comunicado y qué espacio ha recorrido
antes de alcanzar la velocidad regular?
2. Un cuerpo posee una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleración de 2 m/s2 ¿Cuánto tiempo tardará en
adquirir una velocidad de 144 Km/h?
3. Un móvil lleva una velocidad de 8 cm/s y recorre una trayectoria rectilínea con movimiento acelerado
cuya aceleración es igual a 2 cm/s2. Calcular el tiempo que ha tardado en recorrer 2,10 m.
4. Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de
90 Km/h. Calcular a) su aceleración media. b) Espacio recorrido en ese tiempo.
5. En ocho segundos, un automóvil que marcha con movimiento acelerado ha conseguido una velocidad de
72 m/s. ¿Qué espacio deberá recorrer para alcanzar una velocidad de 90 m/s?
6. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleración del móvil es de 4
m/s2; calcular a) Tiempo que tarda el móvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el
recorrido inclinado.
7. Dos móviles se dirigen a su encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos
distantes entre sí 180 Km. Si se encuentran a los 9 s de salir y los espacios recorridos por los móviles están
en relación de 4 a 5, calcular sus aceleraciones respectivas.
8. Un avión despega de la pista de un aeropuerto, después de recorrer 1000 m de la misma, con una
velocidad de 120 Km/h. Calcular a) la aceleración durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en
despegar si partió del reposo c) La distancia recorrida en tierra en el último segundo.
9. Un móvil se mueve con movimiento acelerado. En los segundos 2 y 3 los espacios recorridos son 90 y 100
m respectivamente. Calcular la velocidad inicial del móvil y su aceleración.
10. Dos cuerpos A y B situados a 2 Km de distancia salen simultáneamente uno en persecución del otro con
movimiento acelerado ambos, siendo la aceleración del más lento, el B, de 32 cm/s2. Deben encontrarse a
3,025 Km. de distancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrarse, b)
aceleración de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro