Razones y Proporciones

RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es una comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente
a
entre ellas. Se escribe a : b o
, se lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b
b
consecuente.
a
= c  Valor de la razón
El valor de la razón es el cuociente entre las cantidades:
b
EJEMPLOS
1.
15
se aumenta en 6 unidades y su consecuente se
18
disminuye en 4 unidades, se obtiene la razón
Si el antecedente de la razón
19
12
21
B)
14
14
C)
21
11
D)
24
9
E)
22
A)
2.
Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre largo y ancho es,
respectivamente
A)
B)
C)
D)
E)
3 : 1.000
3 : 100
3:1
1:3
0,6 : 2
1
3.
En un colegio mixto de 500 alumnos el número de hombres es 240. ¿Cuál es la razón entre
el número de mujeres y el número de hombres, respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
4.
25
12
13
12
12
13
13
25
12
25
Una encuesta realizada a un grupo de 30 estudiantes que practican solo un deporte, arrojó
los siguientes resultados: 12 practican fútbol, 10 tenis y el resto básquetbol. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
La razón entre los que practican tenis y fútbol, respectivamente, es 6 es a 5.
La razón entre los que practican básquetbol y tenis, respectivamente, es 4 es a
5
La relación entre los que practican fútbol y el total del grupo es,
respectivamente, 2 : 5.
I
II
III
I y II
II y III
Si la densidad poblacional es la razón entre la cantidad de individuos de una población y la
superficie en que habitan, respectivamente, entonces ¿cuál es la densidad poblacional de
una localidad de 40.000 km2 habitada por 600.000 personas?
A)
B)
C)
1
15
2
3
3
2
D) 15
E) 24
6.
Las edades de un padre y su hijo son 27 y 6 años. Respecto de la razón entre ambas
edades, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
La razón entre la edad del hijo y el padre es
9
.
2
El valor de la razón entre la edad del padre y su hijo es 4,5.
En 5 años más, la razón será la misma que hoy.
Solo I
Solo II
Solo III
Solo II y III
I, II y III
PROPORCIÓN
a
c
=
o a : b = c : d y se lee
b
d
“a es a b como c es a d”, donde a y d son los extremos; b y c son los medios.
Es una igualdad formada por dos razones:
TEOREMA FUNDAMENTAL: “En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios”.
a
c
=
 a  d=b  c
b
d
OBSERVACIÓN:
Dada la proporción
a
c
= , existe una constante k, tal que
b
d
a = c · k, b = d · k, k ≠ 0
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones forman una proporción?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
12
4
y
27
9
15
10
y
18
14
20
6
y
30
18
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
El valor de p en la proporción 1
2
1
1
es
:2
=p:1
3
2
4
10
3
8
B)
3
12
C)
10
5
D)
6
8
E)
15
A)
3
3.
Los pesos de dos personas están en la razón 3 : 4. Si el más pesado registró en la
balanza 72 kilos, ¿cuántos kilos pesarán juntos?
A)
9
B) 54
C) 96
D) 126
E) 168
4.
En una fiesta se sabe que la cantidad de hombres y mujeres están, respectivamente,
en la razón 3 : 2. ¿Cuántas mujeres hay, si el total de personas es 60?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
12
20
24
30
36
Si x : y = 1 : 3, entonces ¿cuál(es) de la siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) x es la tercera parte de y.
II) Si x = 3, entonces y = 6.
III) y = x + x + x
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Si u : v = 3 : 10 y u : w = 1 : 2, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es
FALSA, sabiendo que v = 30?
A)
B)
C)
D)
E)
u2 = 81
w – v = -12
w:2=9
2w = 36
u – v = 21
4
SERIE DE RAZONES
Es la igualdad de más de dos razones. La serie de razones
x
y
z
=
= , también se escribe
a
b
c
como x : y : z = a : b : c
PROPIEDAD BÁSICA
Para la serie de razones:
a
c
e
a+c+e
=
=
=
b
d
f
b+d+f
EJEMPLOS
1.
Si a : b = 3 : 5
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3
3
6
6
8
:
:
:
:
:
y
b : c = 10 : 9, entonces a : b : c =
5:9
10 : 9
9 : 10
10 : 9
10 : 9
Las edades de tres hermanos: Francisca, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3,
respectivamente. Si sus edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es
A) 15 años
B) 9 años
C) 6 años
D) 3 años
E)
1 año
3.
Si
x
y
z
x+y+z
=
=
= 6, entonces
=
a+b+c
a
b
c
A) 2
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
4.
Si
a
b
c
=
=
y a + b + c = 36, entonces c – b es
1
2
3
A) 1
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
5
5.
En la figura 1. Si  :  :  = 5 : 9 : 4, entonces 2 –  + 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
D
130º
180º
234º
300º
310º
fig. 1
A
6.
B
15
16
17
18
20
años
años
años
años
años
Las edades de Valentina, Fernanda y Manuel están, respectivamente, en la razón
5 : 3 : 6. ¿Qué edad tiene Manuel, si la suma de las edades de Valentina y Fernanda es
56 años?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
  
O
Alejandra, Marcos y Roberto son hermanos, siendo estos dos últimos mellizos. ¿Qué
edad tiene Marcos si la suma de sus edades es 56 años y la razón entre las edades de
Alejandra y Roberto es, respectivamente, 10 : 9?
A)
B)
C)
D)
E)
7.
C
48
42
36
35
21
años
años
años
años
años
Hernán, Miguel y Osvaldo compraron un número de rifa. Sus aportes fueron: Hernán
$ 800, Miguel $ 500 y Osvaldo $ 700. Si obtuvieron un premio de $ 280.000, ¿cuánto
le correspondió del premio a Miguel al realizarse el reparto en forma proporcional a lo
aportado?
A)
B)
C)
D)
E)
$
$
$
$
$
50.000
60.000
70.000
80.000
98.000
6
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables x e y son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante
x1
x
x
x
= 2 = 3 = ... = n = k (k constante)
y1
y2
y3
yn
Así por ejemplo, la tabla muestra la elaboración de jugo de manzana, de cada 15 kg de
manzana se obtiene 9 litros de jugo.
Peso (kg)
5
10
15
x
Volumen (Lt)
3
6
9
y
Podemos observar que
En una proporción directa, si una
magnitud
aumenta
(o
disminuye)
n veces, la otra aumenta (o disminuye)
el mismo número de veces
Litros de jugo
Aumenta
5
x
=
3
y
9
Dos
magnitudes
son
directamente
proporcionales si al representar los pares
de valores, los puntos se sitúan en una
recta que pasa por el origen (fig. 2).
6
3
0
5
10
15
Aumenta
kg. de
manzanas
fig. 2
EJEMPLOS
1.
A y B son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla
A
5
x
15
B
30
42
y
A) 7
B) 7
C) 6
D) 8
E) 90
y
y
y
y
y
los valores de x e y son, respectivamente,
90
60
72
90
7
7
2.
Se sabe que m y 3n representan números directamente proporcionales, m = 18
cuando n = 5, entonces ¿cuál es el valor de 3n cuando m = 12?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
5
3
10
3
10
40
60
Según el gráfico de la figura 3, x e y son magnitudes directamente proporcionales,
¿cuál es el valor de a?
y
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
4
6
9
12
a
fig. 3
6
2
4.
x
Un vaso de bebida light (200 cc.) aporta 0,4 calorías. ¿Cuántas calorías aporta una
bebida de 2,5 litros, similar a la anterior?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
3
5
10
20
25
50
Si 2x varía directamente con
y e y = 4 cuando x = 3, entonces ¿cuál es el valor de
2x cuando y = 16?
A)
B)
C)
D)
E)
1
12
1
3
3
12
48
8
PROPORCIONALIDAD INVERSA Y COMPUESTA
Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre las
cantidades correspondientes se mantiene constante.
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = … = xn · yn = k (k constante)
Así por ejemplo, la tabla de la figura 4 muestra las medidas posibles de los lados de un
rectángulo de área 24 cm2.
Ancho
12
11
Largo
2
3
4
6
x
Ancho
12
8
6
4
y
10
Disminuye
9
fig. 4
8
7
6
5
4
Podemos observar que x · y = 24
3
2
1
1
2
3
6
4
8
Largo
Aumenta
El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera. (fig. 4)
La proporcionalidad compuesta es la combinación de proporcionalidades directas,
inversas o ambas
EJEMPLOS
1.
Las cantidades ubicadas en las columnas A y B en la tabla de la figura 5, son
inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de M + N?
A) 4,5
B) 5,0
C) 5,5
D) 36,0
E) 38,0
2.
A
B
6
3
4
M
N
18
fig. 5
Las variables x e y son inversamente proporcionales. Cuando x vale 60, y vale 90.
¿Cuánto vale x, cuando y vale 120?
A)
B)
C)
D)
E)
30
40
45
80
90
9
3.
De acuerdo a la información entregada en el gráfico de la figura 6, el cual representa
una hipérbola, ¿cuál es el valor de C – D?
y
D
A) -8
B) -4
C) 4
D) 8
E) 12
fig. 6
4
2
2
4.
8
x
Ocho empleados hacen un trabajo en 20 días. Para hacer el mismo trabajo en 5 días,
¿cuántos empleados más se necesitarán?
A)
B)
C)
D)
E)
5.
C
2
12
16
24
32
Nueve obreros construyen una casa en 10 meses, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos
obreros, en las mismas condiciones de trabajo, se necesitan para construir la misma
casa en 5 meses, trabajando 6 horas diarias?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 18
E) 24
6.
Si 10 vacunos se comen 20 fardos de pasto en 2 días, ¿cuántos fardos se comen dos
vacunos, con características similares a los anteriores, en un día?
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
10
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
B
C
B
E
D
B
3y4
A
D
D
C
D
E
5y6
D
B
C
C
A
D
7y8
A
C
D
A
D
9 y 10
C
C
B
D
E
Págs.
11
A
7
8
B
C