Aplicación de las Integrales Dobles para Hallar el Volumen de un Contenedor de Líquidos Cilíndrico

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“Aplicación de las Integrales Dobles para Hallar el Volumen de un
Contenedor de Líquidos Cilíndrico”
Integrantes:
Allca Quispe Yoel Roger
Herhuay Nieves Jack Anderson
Leiva Polanco Yasmine
Palomino Gómez Kevin
Quispe Reynaga Jean Erick
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional José María Arguedas
Materia
Calculo II
Docente
Mg. Olivares Rivera Orlando
Talavera - Apurímac
2024
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Índice
Introducción .................................................................................................................................. 3
Marco Teórico................................................................................................................................ 4
Integrales ..........................................................................Ошибка! Закладка не определена.
Integrales Dobles ......................................................................................................................... 5
Aplicaciones ................................................................................................................................ 6
Capítulo 1....................................................................................................................................... 7
1.1
Planteamiento del Problema ............................................................................................. 7
1.1.1
Formulación .............................................................................................................. 7
1.2 Objetivo ................................................................................................................................. 7
1.2.1 General............................................................................................................................ 7
1.2.2 Especifica........................................................................................................................ 8
Capítulo 2....................................................................................................................................... 8
Almacenamiento de alimentos .............................................. Ошибка! Закладка не определена.
Capítulo 3..................................................................................................................................... 10
Implementación ......................................................................................................................... 10
1) Cilindro con radio 1.5 metros y altura 3 metros .................................................................11
2) Cilindro con radio 2 metros y altura 4.5 metros ................................................................ 12
3) Cilindro con radio 1.2 metros y altura 2.5 metros ............................................................. 13
4) Cilindro con radio 1.8 metros y altura 3.8 metros ............................................................. 15
5) Cilindro con radio 2.5 metros y altura 5 metros ................................................................ 16
Bibliografía .................................................................................................................................. 19
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Introducción
En el estudio de matemáticas aplicadas, las integrales dobles juegan un papel
fundamental en la resolución de problemas relacionados con el cálculo de volúmenes de
sólidos. Un caso práctico de gran relevancia es la determinación del volumen de un
contenedor de líquidos cilíndrico, una forma geométrica común en diversas industrias,
desde la alimentaria hasta la petroquímica. Los cilindros se utilizan ampliamente debido a
su capacidad de almacenamiento eficiente y su estructura simplificada.
La aplicación de las integrales dobles permite no solo un enfoque teórico sólido
sino también una herramienta práctica para ingenieros y científicos. A través de esta
metodología, se puede obtener una representación matemática precisa del volumen del
cilindro, facilitando así el diseño y la optimización de los contenedores para diferentes
aplicaciones.
En este contexto, la presente investigación se enfoca en la utilización de las
integrales dobles para calcular el volumen de un contenedor cilíndrico. Se explorarán los
fundamentos matemáticos que sustentan esta técnica y se presentarán ejemplos prácticos
para ilustrar su aplicación. Con ello, se pretende proporcionar una comprensión clara y
detallada de cómo estas herramientas matemáticas pueden ser utilizadas eficazmente en el
diseño y análisis de sistemas de almacenamiento de líquidos.
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Marco Teórico
Integrales definidas
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por
curvas y rectas. Dado el intervalo (a, b) en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una
función f(x) que es mayor o igual a 0 en (a, b) se llama integral definida de la función entre los
puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX
y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo (a, b) se denota como:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
es el signo de integración.
a es el límite inferior de la integración.
b es el límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es el diferencial de x y nos indica cual es la variable de la función que se integra.
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Integrales Dobles
Las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras
cosas, nos permite calcular el volumen bajo una superficie.
Dada una función de dos variables, f(x,y), puedes encontrar el volumen entre la gráfica y una
región rectangular del plano xy al tomar la integral de una integral esta es la función de y
a esta integral se le conoce como integral doble.
Las cuentas se verán y serán muy diferentes pero el resultado seguirá siendo el mismo.(Hector
Duran, 2019)
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APLICACIONES
Integrales definidas
1. Cálculo de áreas y volúmenes: La integral definida se aplica fundamentalmente para calcular
áreas bajo curvas en el plano y volúmenes de solidos en el espacio tridimensional.
2. Trabajo y energía en física: En física, las integrales definidas se utilizan para calcular el
trabajo realizado por una fuerza y la energía potencial almacenada en un campo de fuerza.
3. Probabilidad y estadística: En estadística, las integrales definidas son esenciales para calcular
probabilidades y áreas bajo curvas de distribuciones de probabilidad.
4. Geometría y trigonometría: En geometría, las integrales definidas se emplean para calcular
longitudes de arco y áreas de regiones delimitadas por curvas.
Integrales dobles
1. Cálculo de áreas y volúmenes en el plano: Las integrales dobles permiten calcular áreas de
regiones no simples en el plano y volúmenes de sólidos de revolución en el espacio
tridimensional.
2. Momento de inercia en física: En física, las integrales dobles se utilizan para calcular
momentos de inercia de objetos con formas irregulares.
3. Flujo de campos vectoriales: En ingeniería y física, las integrales dobles modelan el flujo de
campos vectoriales a través de superficies bidimensionales.
4. Probabilidad conjugada en estadística: En estadística, las integrales dobles se aplican para
calcular probabilidades conjuntas y funciones de distribución conjunta.
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Capítulo 1
1.1 Planteamiento del Problema
En muchas industrias, especialmente en las de procesamiento de alimentos y
productos químicos, es esencial disponer de contenedores que permitan un
almacenamiento eficiente y seguro de líquidos. Los contenedores cilíndricos son una
elección común debido a su estructura simple y capacidad de almacenamiento óptima. Sin
embargo, para maximizar la eficiencia del espacio y garantizar la seguridad en el
almacenamiento y transporte de líquidos, es crucial calcular con precisión el volumen de
estos contenedores.
1.1.1 Formulación
¿Cómo se puede aplicar el cálculo de integrales dobles para determinar con precisión el
volumen de un contenedor de líquidos cilíndrico, y cuáles son las ventajas de esta
metodología en comparación con otros métodos de cálculo de volumen utilizados en la
industria?
1.2 Objetivo
1.2.1 General
Desarrollar y aplicar una metodología basada en el cálculo de integrales dobles para
determinar con precisión el volumen de un contenedor de líquidos cilíndrico, mejorando
así la eficiencia en el diseño, fabricación y gestión de almacenamiento en diversas
industrias.
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1.2.2 Especifica
Utilizar de manera adecuada las integrales dobles para conocer el volumen de un
tanque cilíndrico, que nos ayudara a reducir y optimizar los recursos a disposición como la
cantidad de construcción y cuanto liquido puede almacenar.
Capítulo 2
Tipos de Tanques de Almacenamiento
Por Su forma
En el proceso de producción industrial es necesario tener en resguardo y pronta
disposición distintos elementos de materia prima y productos para llevar a cabo la
producción de productos según sea el giro, motivo por lo que los tanques de
almacenamiento fueron diseñados (Hernández, 2021).
Cilíndricos
Por lo general, se utilizan de forma horizontal o vertical. Pueden incluir accesorios
para aumentar y disminuir la temperatura interior, y sirven sobre todo para almacenar agua
y productos químicos, alimentos líquidos, además de bebidas y combustibles.
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Esféricos
Se trata de los más recomendados para almacenar grandes volúmenes, como gases.
Rectangulares
Se trata de un diseño poco común, pues su fabricación implica un sobrecoste,
debido a los refuerzos adicionales de los que hay que dotar al equipo por su menor
resistencia.
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Capítulo 3
Implementación
Recolección de datos
Para poner en práctica la teoría usaremos los siguientes datos, que están
relacionados al radio y altura de tanques cilíndricos, se buscara encontrar el cilindro más
adecuado en tamaño y cantidad de almacenamiento.
Se usarán solo radios y altura para determinar el volumen, en un ambiente real estos
datos pueden ayudar a prevenir el mal uso de los materiales de construcción y el espacio
tanto del contenido como del lugar donde estará ubicado el tanque.
Tabla 1
Medidas de radio y altura para la construcción de tanques cilíndricos.
Radio
Altura
1
1.5 metros
3 metros
2
2 metros
4.5 metros
3
1.2 metros
2.5 metros
4
1.8 metros
3.8 metros
5
2.5 metros
5 metros
N°
Formulación y Resolución de Ecuaciones

Para hallar el volumen de un cilindro usando integrales dobles.

El volumen del cilindro se puede encontrar integrando sobre su base circular y luego
multiplicando por la altura.
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
La ecuación de la base circular del cilindro (en el plano xy) es x2+y2 ≤ r. La altura del
cilindro es z que va desde 0 hasta h.

Entonces, la integral doble para el área del cilindro sería:
ℎ
𝑟
𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝐴
0

0
En coordenadas polares, donde 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 y
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛, el elemento de área se
transforma como 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃.

La integral se convierte en:
2𝜋
𝐴=∫
𝑟
∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
0
1) Cilindro con radio 1.5 metros y altura 3 metros
La integral doble para el área de la base circular del cilindro en coordenadas polares es:
2𝜋
𝐴=∫
1.5
∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
0
Evaluamos la integral interna en r:
1.5
1.5
𝑟2
1.52 2.25
∫ 𝑟𝑑𝑟 = [ ] =
=
= 1.125
2 0
2
2
0
12
Luego evaluamos la integral en θ:
2𝜋
𝐴 = ∫ 1.125𝑑𝜃 = 1.125[𝜃 ]2𝜋
0 = 1.125 ∗ 2𝜋 = 2.25𝜋
0
Multiplicamos por la altura del cilindro:
𝑉 = 𝐴 ∗ ℎ = 2.25𝜋 ∗ 3 = 6.75𝜋 = 21.205 𝑚3
2) Cilindro con radio 2 metros y altura 4.5 metros
La integral doble para el área de la base circular del cilindro en coordenadas polares es:
2𝜋
𝐴=∫
0
2
∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
Evaluamos la integral interna en r:
1.5
2
𝑟2
22 4
∫ 𝑟𝑑𝑟 = [ ] =
= =2
2 0
2
2
0
13
Luego evaluamos la integral en θ:
2𝜋
𝐴 = ∫ 2𝑑𝜃 = 2[𝜃 ]2𝜋
0 = 2 ∗ 2𝜋 = 4𝜋
0
Multiplicamos por la altura del cilindro:
𝑉 = 𝐴 ∗ ℎ = 4𝜋 ∗ 4.5 = 18𝜋 = 56.5487 𝑚3
3) Cilindro con radio 1.2 metros y altura 2.5 metros
La integral doble para el área de la base circular del cilindro en coordenadas polares es:
2𝜋
𝐴=∫
0
1.2
∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
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Evaluamos la integral interna en r:
1.5
1.2
𝑟2
1.22 1.44
∫ 𝑟𝑑𝑟 = [ ] =
=
= 0.72
2
2
2
0
0
Luego evaluamos la integral en θ:
2𝜋
𝐴 = ∫ 0.72𝑑𝜃 = 0.72[𝜃 ]2𝜋
0 = 0.72 ∗ 2𝜋 = 1.44𝜋
0
Multiplicamos por la altura del cilindro:
𝑉 = 𝐴 ∗ ℎ = 1.44𝜋 ∗ 2.5 = 3.6𝜋 = 11.3097 𝑚3
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4) Cilindro con radio 1.8 metros y altura 3.8 metros
La integral doble para el área de la base circular del cilindro en coordenadas polares es:
2𝜋
𝐴=∫
1.8
∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
0
Evaluamos la integral interna en r:
1.5
1.8
𝑟2
1.82 3.24
∫ 𝑟𝑑𝑟 = [ ] =
=
= 1.62
2
2
2
0
0
Luego evaluamos la integral en θ:
2𝜋
𝐴 = ∫ 1.62𝑑𝜃 = 1.62[𝜃 ]2𝜋
0 = 1.62 ∗ 2𝜋 = 3.24𝜋
0
Multiplicamos por la altura del cilindro:
𝑉 = 𝐴 ∗ ℎ = 3.24𝜋 ∗ 3.8 = 12.312𝜋 = 38.6824 𝑚3
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5) Cilindro con radio 2.5 metros y altura 5 metros
La integral doble para el área de la base circular del cilindro en coordenadas polares es:
2𝜋
𝐴=∫
2.5
∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
0
0
Evaluamos la integral interna en r:
1.5
2.5
𝑟2
2.52 6.25
∫ 𝑟𝑑𝑟 = [ ] =
=
= 3.125
2 0
2
2
0
Luego evaluamos la integral en θ:
2𝜋
𝐴 = ∫ 3.125𝑑𝜃 = 3.125[𝜃 ]2𝜋
0 = 3.125 ∗ 2𝜋 = 6.25𝜋
0
Multiplicamos por la altura del cilindro:
𝑉 = 𝐴 ∗ ℎ = 6.25𝜋 ∗ 5 = 31.25𝜋 = 91748 𝑚3
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Entonces, los volúmenes aproximados de los cilindros son:

Radio: 1.5 metros, Altura: 3 metros → Volumen: 21.205 metros cúbicos

Radio: 2 metros, Altura: 4.5 metros → Volumen: 56.5487 metros cúbicos

Radio: 1.2 metros, Altura: 2.5 metros → Volumen: 11.3097 metros cúbicos

Radio: 1.8 metros, Altura: 3.8 metros → Volumen: 38.6824 metros cúbicos
 Radio: 2.5 metros, Altura: 5 metros → Volumen: 98.1748 metros cúbicos
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Conclusiones

La metodología basada en integrales dobles ha demostrado ser una herramienta eficaz y
precisa para calcular el volumen de contenedores cilíndricos. Este método permite
determinar con exactitud la capacidad de almacenamiento, lo cual es crucial para optimizar
el diseño y la fabricación de estos contenedores.

Aplicar integrales dobles para calcular el volumen de tanques cilíndricos ayuda a optimizar
los recursos de construcción. Al conocer exactamente cuánto material es necesario y cuánta
capacidad de almacenamiento se puede obtener, las industrias pueden reducir costos y
mejorar la eficiencia operativa.

El uso de integrales dobles no solo es aplicable a tanques cilíndricos, sino que también
puede adaptarse a otros tipos de contenedores con diferentes formas geométricas, como
esféricos y rectangulares. Esto amplía las posibilidades de uso de esta metodología en
diversas aplicaciones industriales.
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Bibliografía
Hernández, V. (2021). Tanques de Almacenamiento de Acero. Blog.laminasyaceros.
https://blog.laminasyaceros.com/blog/tanques-de-almacenamiento-de-acero
Herman, E. Strang, G. (2022). Aplicaciones de Integración. LibreText.
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_(OpenStax)/06%3A_Apli
caciones_de_Integraci%C3%B3n
Hiru. (2016). Integral Definida. https://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida
Long Quian (2015). Tanques de Acero Inoxidable. Foodmachinery.es. http://foodmachinery.es/3steel-vessel.html
MrGTS, (2019). Integrales Dobles. Medium.https://medium.com/@MrGTS/integrales-doblesede08e3f71d4
Rodriguez, J. Rivera, E. Altamirano, F. Herrera, C. (2024). Aplicación de integrales dobles y
vectores en el cálculo de la densidad de circulación de fluidos. UNO Sapiens Boletín
Científico de la Escuela Preparatoria No. 1.
https://repository.uaeh.edu.mx/revistas/index.php/prepa1/article/view/12307/11430