Ayudantı́a 2 - EDO 1. Considere la ecuación diferencial autónoma dy = y4 − y2 dx a) Demuestre que la ecuación diferencial anterior con condición inicial y(0) = −2 tiene solución única. b) Construya la recta de fases de la ecuación anterior, identificando claramente los puntos crı́ticos y la naturaleza de ellos (estable, inestable o semiestable). c) Sin resolver de forma explı́cita y usando lo anterior, calcule el lı́mite cuando x → +∞ de la solución anterior. 2. Considere la ecuación diferencial y 3 + y 2 − 6y dy = dx ey a) Demuestre que la ecuación diferencial anterior con condición inicial y(0) = −2 tiene solución única. b) Determine las soluciones de equilibrio y confeccione un diagrama de Fase de las soluciones. c) Sea y(x) la única solución de la ecuación diferencial con condición inicial y(0) = −2. A partir de lo hecho anteriormente, determine: lı́m y (x) x→−∞ 1 Soluciones Problema 1 a) Se tiene que f (x, y) = y 4 − y 2 ∂f = 4y 3 − 2y ∂y Donde ambas funciones son continuas en todo R2 Dado que el punto (0, −2) ∈ D por el Teorema de Existencia y Unicidad se puede asegurar que hay una única solución. b) Los puntos crı́ticos se obtienen al resolver la ecuación: dy = 0 ⇐⇒ y 4 −y 2 = 0 ⇐⇒ y 2 (y+1)(y−1) = 0 ⇐⇒ y = 0∨y = 1∨y = −1 dx Su naturaleza, y la recta de fases, la obtenemos determinando los cambios dy de signo de la derivada dx = y ′ . Luego, ] − ∞, −1[ ] − 1, 0[ ]0, 1[ ]1, +∞[ y + + + + y+1 − + + + y−1 − − − + ′ y + − − + 2 Con esta información se puede realizar el gráfico, que quedarı́a de la siguiente manera: 2 Figura 1: Caption De aquı́ se observa que el punto y=1 es inestable, y=0 es semi estbale y el punto y=-1 es estable. c) De acuerdo con lo anterior lı́m y (x) = −1 x→+∞ Problema 2 a) Para este caso tenemos: y 3 + y 2 − 6y f (x, y) = ey ∂f (3y 2 + 2y − 6)ey − (y 3 + y 2 − 6y)ey = ∂y (ey )2 3 Donde ambas funciones son continuas en todo R2 . Dado que el punto (0, −2) ∈ R2 por el Teorema de Existencia y Unicidad se puede asegurar que hay una única solución. b) Los puntos crı́ticos se obtienen al resolver la ecuación: y 3 + y 2 − 6y dy = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ y(y 2 + y − 6) = 0 y dx e Factorizamos: 0 = y(y − 2)(y + 3) Luego, los puntos crı́ticos son y = 0, y = 2, y = −3. Su naturaleza, y la recta de fases, la obtenemos determinando los cambios dy = y′. de signo de la derivada dx ] − ∞, −3[ ] − 3, 0[ ]0, 2[ ]2, +∞[ y − − + + y+3 − + + + y−2 − − − + ′ y − + − + Con esta información se puede realizar el gráfico, que quedarı́a de la siguiente manera: 4 Figura 2: Diagrama de Fase de las soluciones De aquı́ se observa que el punto y = 2 es inestable, y = 0 es estable, y el punto y = −3 es semiestable. c) De acuerdo con lo anterior lı́m y (x) = −3 x→−∞ 5