OPTIMIZACIÓN DE ALGORITMO

1. Demostración de que el algoritmo original es O(n) = n2.
int fibonacci(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
else if (n == 1)
return 1;
else
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
Paso 1: Definir la función T(n)

Condición de salida (n = 0 o n = 1):
T(n) = T(cond) + T(return) = t + t = 2t
 Parte recursiva (n > 1):
T(n) = T(cond) + T(return) + T(n-1) + T(n-2) = 2t + T(n-1) + T(n-2)
Paso 1.2: Expansión de la parte recursiva de T(n)
Se expande la parte recursiva:
T(n) = 2t + T(n-1) + T(n-2)
= 2t + [2t + T(n-2) + T(n-3)] + T(n-2)
= 4t + 2T(n-2) + T(n-3)
= 4t + [2t + T(n-3) + T(n-4)] + T(n-3)
= 6t + 2T(n-3) + T(n-4)
= ...
= 2^kt + T(n-k)
Paso 1.3: Aplicar la condición de salida
Cuando n = 0 o n = 1:
T(0) = T(1) = 2t
Para obtener T(n):
T(n) = 2^kt + T(n-k)
= 2^nt
Paso 2: Aplicar O(T(n))
O(T(n)) = O(2^nt) = O(2^n)
Por lo tanto, el orden del algoritmo de Fibonacci es exponencial, O(2^n).
2. Algoritmo recursivo equivalente en C++.
int fibonacci_helper(int n, int a, int b) {
if (n == 0)
return a;
else if (n == 1)
return b;
else
return fibonacci_helper(n-1, b, a + b);
}
int fibonacci(int n) {
return fibonacci_helper(n, 0, 1);
}
3. Demostracion que el algoritmo equivalente es O(n)=n.
Paso 1: Definir la Función de Tiempo ( T(n) )
Condición de salida (n = 0 o n = 1):
T(n) = T(cond) + T(return) = t + t = 2t
Parte Recursiva (n > 1):
T(n) = T(cond) + T(return) + T(n-1) = 2t + T(n-1)
Paso 2: Expansión de la Parte Recursiva
Se expande la parte recursiva:
T(n) = 2t + T(n-1)
= 2t + (2t + T(n-2))
= 4t + T(n-2)
= 4t + (2t + T(n-3))
= 6t + T(n-3)
= ...
= 2kt + T(n-k)
Paso 3: Aplicar la Condición de Salida
Cuando n = 0 o n = 1:
T(0) = T(1) = 2t
Para obtener T(n) en términos de k:
T(n) = 2kt + T(n-k)
= 2nt
Paso 4: Aplicar O(T(n))
La complejidad temporal final del algoritmo es:
O(T(n)) = O(2nt) = O(n)