convolucion y sistemas

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Sistema Invariante en el tiempo
Un sistema es invariante en el tiempo si, ante un desplazamiento de
tiempo en la señal de entrada, se ocasiona un desplazamiento en el
tiempo en la señal de salida.
 En tiempo continuo:
Si 𝕋(𝑓(𝑡)) = 𝑦(𝑡) ⇒ 𝕋[𝑓(𝑡 − 𝑡0 )] = 𝑦(𝑡 − 𝑡0 )(3.10)
 En tiempo discreto:
Si 𝕋 (𝑓[𝑛]) = 𝑦[𝑛] ⇒ 𝕋(𝑓[𝑛 − 𝑛0 ]) = 𝑦[𝑛 − 𝑛0 ] (3.11)
En esta figura, se representa para un sistema continuo, por ejemplo
cuando 𝑓(𝑡) y 𝑓(𝑡 − 𝑡0 ) se pasan a través del sistema LIT. Debido a que el
sistema LIT es invariable en el tiempo, las entradas 𝑓(𝑡) y 𝑓(𝑡 − 𝑡0 ) producen la
misma salida. La única diferencia es que la salida debida a 𝑓(𝑡 − 𝑡0 ) se
desplaza por un tiempo 𝑡0
Definición 3.2.5:
Cuando se tiene sistemas que son invariantes en el tiempo (continuo o
discreto) y lineales, se está en presencia de sistemas linealmente invariantes
en el tiempo. Se abreviara en la forma LIT
La verificación de un sistema LIT se realizara siguiendo el siguiente esquema
Figura:
El esquema de la figura se puede llevar a cabo mediante los siguientes pasos.
Primero, se escribe la ecuación 𝑦1 la salida para una arbitraria entrada 𝑓1 . El
segundo paso se escribe la salida 𝑦2 para la entrada 𝑓2 . El tercer paso se
sustituye la ecuación del segundo paso: 𝑓2 (𝑡) = 𝑓1 (𝑡 − 𝑡0 ). En el cuarto paso la
ecuación del primer paso se reduce a 𝑦1 (𝑡) = 𝑦1 (𝑡 − 𝑡0 ).En el quinto paso se
compara la ecuación del cuarto paso con la ecuación del tercer paso, si hay
igualdad el sistema es invariante en el tiempo, sino el sistema es variante en el
tiempo.
Ejemplo 3.2.7:
Considere el sistema definido por la función continua
𝑦(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛[𝑓(𝑡)] siendo 𝑓(𝑡) = 𝑡 (3.12)
Sea 𝑓1 (𝑡) una entrada arbitraria a este sistema y la salida correspondiente
𝑦1 (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛[𝑓1 (𝑡)] (3.13)
Debemos comprobar que la propiedad de invariante en el tiempo se cumple
para cualquier señal de entrada y cualquier desplazamiento en el tiempo 𝑡0
Consideremos entonces la segunda entrada obtenida al desplazar 𝑓1 (𝑡) en el
tiempo:
𝑓2 (𝑡) = 𝑓1 (𝑡 − 𝑡0 )
La salida 𝑦2 (𝑡) correspondiente a esta entrada según la (3.12) es
𝑦2 (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛[𝑓2 (𝑡)] = 𝑠𝑒𝑛[𝑓1 (𝑡 − 𝑡0 )] (3.14)
De manera similar de la (3.12)
𝑦1 (𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑠𝑒𝑛[𝑓1 (𝑡 − 𝑡0 )] (3.15)
Comparando (Ec.3.14) y (3.15), vemos que
𝑦2 (𝑡) = 𝑦1 (𝑡 − 𝑡0 )
𝑦1 (𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑠𝑒𝑛[𝑓1 (𝑡 − 𝑡0 )]
Y por tanto este sistema es invariante en el tiempo.
Ejemplo 3.2.7:
Considere el sistema que tiene escalamiento en el tiempo.:
𝒚(𝒕) = 𝒇(𝟐𝒕)
El sistema tiene una relación de entrada-salida dada por:
𝒚(𝒕) = 𝕋(𝑓(𝑡)) = 𝒇(𝟐𝒕)
y 𝒕𝟎 es un desplazamiento en el tiempo. Sea 𝒚𝟐 (𝒕) la respuesta a 𝒇𝟐 (𝒕) =
𝒇(𝒕 − 𝒕𝟎 ) entonces:
𝒚𝟐 (𝒕) = 𝕋{𝒇𝟐 (𝒕)} = 𝒇𝟐 (𝟐𝒕) = 𝒇(𝟐𝒕 − 𝒕𝟎 )
Si se desplaza el resultado de la señal de salida sin desplazar se tiene:
𝒚(𝒕 − 𝒕𝟎 ) = 𝒇(𝟐(𝒕 − 𝒕𝟎 )) = 𝒇(𝟐𝒕 − 𝟐𝒕𝟎 ))
𝒚(𝒕 − 𝒕𝟎 ) ≠ 𝒚𝟐 (𝒕)
Al desplazar el resultado de la señal de entrada en su forma original, por 𝒕𝟎 se
obtiene la señal de salida. Claramente los resultados de aplicar un retraso
antes o después del sistema son diferentes. Por ésta razón el sistema no es
invariante en el tiempo
Definición 3.4.6: Dada una señal de entrada 𝑓[𝑛] y su respuesta al impulso
ℎ[𝑛] de un sistema LIT discreto, se define convolución como
∞
𝑦[𝑛] = ∑ 𝑓[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘] = 𝑓[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] (3.31)
𝑘=−∞
Donde la sucesión ℎ[𝑛] es la respuesta a impulso del sistema 𝕋(𝛿[𝑛])
De esta forma la acción de un sistema LIT en tiempo discreto queda totalmente
caracterizada por la respuesta al impulso del mismo
Podríamos haber usado directamente la linealidad de 𝕋
∞
∞
∞
𝑦(𝑡) = 𝕋 [∫ 𝛿(𝑡 − 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦] = ∫ 𝕋[𝛿(𝑡 − 𝑦)]𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ ℎ(𝑡 − 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦
−∞
−∞
−∞
con lo que obtenemos que:
𝑦(𝑡) = 𝕋[𝑓(𝑡)] = 𝑓(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)
Teorema
Sea 𝕋 un sistema LIT de tiempo continuo tal que 𝕋[𝛿(𝑡)] = ℎ(𝑡). La respuesta
𝑦(𝑡) del sistema 𝕋 a cualquier entrada 𝑥(𝑡) de tiempo continuo se escribe
como:
∞
𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) ∫ 𝑓(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
−∞
De esta forma la acción de un sistema LIT en tiempo continuo queda totalmente caracterizada
por la respuesta al impulso del mismo. Para este resultado es el hecho de que la delta de Dirac
nos permite escribir:
∞
𝑓(𝑡) = ∫ 𝛿(𝑡 − 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦
−∞
para cualquier función que sea continua en t