INTRODUCCIÓN A LA COMBINATORIA – Segunda Parte.
I – NÚMEROS COMBINATORIOS.
Definición.
Dados dos números naturales 𝑛 y 𝑘 con 𝑛 ≥ 𝑘, se define número combinatorio, al número total de grupos no
ordenados que se pueden formar con 𝑛 elementos tomados de 𝑘 en 𝑘, de modo que los grupos se diferencien en al
menos un elemento.
Notación. El número combinatorio se simboliza de la siguiente manera:
𝑛
( )
𝑘
y se lee: “el combinatorio de 𝒏 en 𝒌” o bien “el combinatorio de 𝒏 elementos tomados de 𝒌 en 𝒌”.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementos tomados de 2 en 2?
Sea 𝐴 = {𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 , 𝑒 , 𝑓} el conjunto con los 6 elementos, entonces, podemos relacionarlos de la
siguiente manera:
Si queremos agrupar estos elementos de dos en dos, tendremos:
Si utilizamos la notación para números combinatorios tendremos:
6
( ) = 15
2
Por lo tanto, se pueden confeccionar de 15 maneras en grupos de 2 elementos por cada grupo.
Obs: Los problemas como el del ejemplo anterior, son muy frecuentes en combinatoria y la forma clásica de
resolverlos a través de la intuición, es generando diagramas en ramas, esquemas, etc., que nos permiten visibilizar las
posibilidades posibles del problema. Sin embargo, podemos llegar al mismo resultado usando la definición de número
combinatorio. Para hacer esto, se recurre al uso de los factoriales como se ve en la siguiente definición:
Cálculo del combinatorio.
𝑛!
𝑛
( )=
𝑘
(𝑛 − 𝑘)! . 𝑘!
∀ 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ , 𝑛 ≥ 𝑘 , 𝑘 ∈ ℕ ∪ {0}
donde:
𝑛: es el índice superior, el cual nos indica el número total de elementos.
𝑘: es el índice inferior, el cual nos nuestra el número de elementos existentes que tiene cada grupo.
Si aplicamos la fórmula en el ejemplo anterior, se tiene:
6!
6!
6 . 5 . 4! 30
6
( )=
=
=
=
= 15
2
(6 − 2)! . 2!
4! . 2!
4! . 2
2
Ejemplos. Hallar los siguientes números combinatorios.
(𝑎) (4)
2
7
(𝑏) ( )
3
(𝑑) (9)
2
(𝑐) (50)
48
Solución:
4!
4!
4 . 3!
(𝑎) (4) =
=
=
= 3! = 6
2
(4 − 2)! 2!
2! . 2!
4
7!
7!
7. 6 . 5 . 4!
7. 6 . 5
7
(𝑏) ( ) =
=
=
=
= 35
3
(7 − 3)! 3!
4! . 3!
4! . 3!
6
50!
50 . 49 . 48!
50 . 49
(𝑐) (50) =
=
=
= 25 . 49 = 1.225
48
(50 − 48)! 48!
2! . 48!
2
9!
9!
9 . 8 . 7!
(𝑑) (9) =
=
=
= 36
2
(9 − 2)! 2!
7! . 2
7! . 2
Regla Práctica:
En la definición, aplicando la descomposición general se tiene:
𝑘 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
⏞
𝑛!
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2). … . (𝑛 − 𝑘 + 1) (𝑛 − 𝑘)!
𝑛
( )=
=
𝑘
(𝑛 − 𝑘)! . 𝑘!
1 . 2 . 3 . … . 𝑛 . (𝑛 − 𝑘)!
⏟
𝑘 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Por lo tanto:
𝒌 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
⏞
𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐). … . (𝒏 − 𝒌 + 𝟏)
𝒏
( )=
𝒌
𝟏 .𝟐 .𝟑 . … .𝒏
⏟
𝒌 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
Ejemplos:
7 .6 .5
7
(𝑎) ( ) =
= 35
3
3 .2 .1
(𝑏)
4 .3
4
( )=
=6
2
2 .1
7 .6 .5 .4
(𝑐) (7) =
= 35
4
4 .3 .2 .1
Propiedades de los números combinatorios.
𝑛
1- El número combinatorio ( ) es siempre entero y positivo.
𝑘
𝑛
( ) > 0 ∀ 𝑛 ,𝑘 ∈ ℕ , 𝑛 ≥ 𝑘
𝑘
2- Los números combinatorios son complementarios si se cumple que:
𝑛
𝑛
( )=(
) , 𝑛≥𝑘
𝑘
𝑛−𝑘
Ejemplo. Calcular el complementario de los siguientes números combinatorios.
(𝑎) (11)
7
(𝑏) (100)
97
Solución.
(𝑎)
11 . 10 . 9 . 8
11
11
( )=( )=
= 330
7
4
4 .3 .2 .1
(𝑐) (𝑛 + 1)
𝑛−2
(𝑏)
100 . 99 . 98
100
100
(
)=(
)=
= 16.700
97
3
3 .2 .1
(𝑐)
(𝑛 + 1)(𝑛)(𝑛 − 1)
𝑛(𝑛2 − 1)
𝑛+1
𝑛+1
𝑛+1
(
) = ((𝑛
)=(
)=
=
+ 1) − (𝑛 − 2)
𝑛−2
3
3 .2 .1
6
Obs: Para ciertos números combinatorios, esta propiedad, permite reducir sus índices inferiores.
Ejemplos:
50 . 49
(𝑏) (50) = (50) =
= 1.225
48
2
2 .1
𝑥+8
𝑥+8
𝑥+8
(𝑎) (
)=(
)= (
)
(𝑥 + 8) − (𝑥 + 2)
𝑥+2
6
3−
𝑛!
𝑛
(𝑖) ( ) =
= 1 significa: el número de combinaciones con ningún elemento que se pueden
0
(𝑛 − 0)! 0!
hacercon 𝑚 elementos. Solo el conjunto vacío tiene "ningún elemento". Es decir, solo hay una.
𝑛!
𝑛
(𝑖𝑖) ( ) =
= 1 ∶ es el número de combinaciones que se pueden hacer con todos
𝑛
(𝑛 − 𝑛)! 𝑛!
los elementos. Es claro que solo hay una.
Ejemplos:
14
( )=1
0
14
( )=1
14
2𝑚 + 1
(
)=1
2𝑚 + 1
2𝑚 + 1
(
)=1
0
4- Igualdad de números combinatorios.
𝑛
𝑛
( ) = (𝑝 ) ⇒
𝑟
𝑟=𝑝
𝑜 𝑟+𝑝 =𝑛
Nota: Se debe tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son mutuamente excluyentes. Es decir, una de ellas es
independiente de la otra.
Ejemplo:
7
7
Si ( ) = ( ) entonces 𝑥 = 𝑦 o 𝑥 + 𝑦 = 7
𝑦
𝑥
Observar que las ecuaciones obtenidas no forman un sistema ya que son completamente independientes.
5- Recurrencia. Dado 𝑛 ≥ 2 y para cada 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 se cumple:
𝑛
𝑛−1
𝑛−1
( )=(
)+(
)
𝑘
𝑘
𝑘−1
Ejemplo:
4 .3 .2
4 .3
4
4
5
5−1
5−1
( )=(
)+(
)=( )+( )=
+
= 4 + 6 = 10
3
2
3
3
3−1
3 .2 .1
2 .1
Obs: Esta propiedad permite el cálculo de números combinatorios de numerador 𝑛, conocidos los de numerador 𝑛 − 1
Ejemplo: Partiendo de los valores
4
( )=1
0
,
4
( )=4
1
,
4
( )=6
2
,
4
( )=4
3
y
4
( )=1
4
y sumando cada dos consecutivos, obtendremos los de numerador 5 de la siguiente manera:
4
4
5
( )=( )+( ) =4+1=5
1
0
1
4
4
5
( )=( )+( )=6+4=7
2
1
2
4
4
5
( ) = ( ) + ( ) = 4 + 6 = 10
3
2
3
4
4
5
( )=( )+( )=1+4=5
4
3
4
5
5
además, como sabemos que ( ) = ( ) = 1 , quedan calculados todos los valores correspondientes al numerador 5.
0
1
6- Suma de combinatorios.
𝑛
𝑛
𝑛+1
( )+(
)=(
)
𝑘+1
𝑘
𝑘+1
Ejemplo1:
7
(𝑎) ( ) + (7) = (8)
3
4
4
(𝑏) (10) + (10) = (11)
6
7
7
𝑚
𝑚−1
𝑚−1
(𝑑) (
)+(
)=( )
𝑥
𝑥−1
𝑥
𝑛
𝑛
𝑛+1
(𝑒) ( ) + ( ) = (
)
20
21
21
(𝑐)
26
25
25
( )+( )=( )
6
5
6
𝑥 + 16
𝑥 + 17
𝑥 + 16
(𝑓) (
)+(
)=(
)
𝑥+1
𝑥+1
𝑥−2
Ejemplo 2: Calcular la siguiente suma:
4
6
7
8
5
𝑊 =( )+( )+( )+( )+( )
1
3
4
5
2
4
Solución: Si sumamos y restamos el número combinatorio ( ) tenemos:
0
4
4
4
6
7
8
5
𝑊 = ( )−( )+( )+( )+( )+( )+( )
0
0
1
3
4
5
2
4
4
4
6
7
8
5
=( )+( )+( )+( )+( )+( )−( )
⏟0
1
3
4
5
0
2
⏟
(prop. conmutativa)
5
( )
1
⏟
6
( )
2
7
( )
3
⏟
8
( )
4
⏟
9
( )
5
4
9
𝑊 =( )−( )
5
0
⇒
9
𝑊 =( )−1
5
7- Propiedad Degradativa de ambos índices.
𝑛 𝑛−1
𝑛
( )= (
)
𝑘
𝑘 𝑘−1
Ejemplos:
10 10 − 1
9!
9 . 8 . 7 . 6 . 5!
9
(𝑎) (10) =
(
) = 2( ) = 2(
) = 2(
) = 252
5
4
5 5−1
5! . 4!
5! . 24
10 10 − 1
10 9
10
9!
10 9 . 8 . 7!
(𝑏) (10) =
(
)=
( )=
(
)=
(
) = 120
3
3 3−1
3 2
3 7! . 2!
3
7! . 2
(𝑥 + 4)!
𝑥 + 5 (𝑥 + 5) − 1
𝑥+5 𝑥+4
𝑥+5
𝑥+5
(𝑐) (
)=
(
)=
(
)=
[
]
𝑥+2
𝑥 + 2 (𝑥 + 2) − 1
𝑥+2 𝑥+1
𝑥 + 2 [(𝑥 + 4) − (𝑥 + 1)]! . (𝑥 + 1)!
=
(𝑥 + 4)!
𝑥+5
𝑥 + 5 (𝑥 + 4)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)!
[
]=
[
]
𝑥 + 2 3! . (𝑥 + 1)!
𝑥+2
3! . (𝑥 + 1)!
(𝑥 + 4)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 5)!
= (𝑥 + 5) [
]=
6
6
8- Propiedad degradativa de cada índice.
(a) Degradación del índice superior
(b) Degradación del índice inferior.
𝑛
𝑛
𝑛−1
( )=
(
)
𝑘
𝑘
𝑛−𝑘
𝑛−𝑘+1
𝑛
𝑛
( )=
(
)
𝑘
𝑘−1
𝑘
Ejemplos:
(𝑎) Calcular (15) rebajando el índice superior.
7
Solución:
15
15 14
15
15 − 1
( )=
(
)=
( )
7
7
15 − 7
8 7
7
(𝑏) Calcular ( ) rebajando el índice superior.
3
Solución:
7
7
6!
7 720
5.040
7
6
( )=
( )= (
)= (
)=
= 35
3
7−3 3
4 3! . 3!
4 36
144
𝑥+7
(𝑐) Calcular (
) degradando el índice inferior.
𝑥+2
Solución:
(𝑥 + 7) − (𝑥 + 2) + 1
6
𝑥+7
𝑥+7
𝑥+7
(
)=
(
)=
(
)
(𝑥
+
2)
−
1
𝑥+2
𝑥+2
𝑥+2 𝑥+1
=
(𝑥 + 7)!
6
{
}
𝑥 + 2 [(𝑥 + 7) − (𝑥 + 2)]! (𝑥 + 1)!
=
(𝑥 + 7)(𝑥 + 6)(𝑥 + 5)(𝑥 + 4)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)!
6
{
}
𝑥+2
5!
⏟ (𝑥 + 1)!
=120
=
(𝑥 + 7)(𝑥 + 6)(𝑥 + 5)(𝑥 + 4)(𝑥 + 3)
20
II – EJERCICIOS RESUELTOS.
2𝑚
2𝑚
Ejercicio 1: Hallar el valor de 𝑚 + 𝑝 en la ecuación (
)=(
)
10 − 𝑝
𝑝−6
Solución: Aplicamos la propiedad de igualdad de los números combinatorios:
2𝑚
2𝑚
(
)=(
) ⇒
10 − 𝑝
𝑝−6
En la ecuación (1) tenemos:
(1)
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
16 = 2𝑝
⇒
10 − 𝑝 = 𝑝 − 6
10 − 𝑝 = 𝑝 − 6 ⇒
En la ecuación (2) tenemos: (10 − 𝑝) + (𝑝 − 6) = 2𝑚
(10 − 𝑝) + (𝑝 − 6) = 2𝑚
𝑝=8
⇒ 4 = 2𝑚
⇒ 𝑚=2
(2)
Luego, un valor de 𝑚 + 𝑝 es: 𝑚 + 𝑝 = 2 + 8 = 10
Obs: Recordar que las igualdades (1) y (2) no forman un sistema de ecuaciones, ya que son completamente
independientes.
7
7
3( ) + ( )
3
4
Ejercicio 2. Calcular el valor de la expresión: 𝐴 =
7
4( )
3
7
7
7
7
7
Solución: Notemos que ( ) y ( ) son complementarios, entonces se cumple: ( ) y (
)=( )
3
4
4
7−4
3
Entonces, sustituyendo en la expresión 𝐴:
7
7
7
7
7
3( ) +( )
3( ) + ( )
4( )
3
3
3 =
3 = 1
4 =
𝐴=
7
7
7
4( )
4( )
4( )
3
3
3
Ejercicio 3: Hallar el valor de 𝑚 ∈ ℕ en la siguiente ecuación:
𝑚
𝑚−1
20 ( ) = 3𝑚 (
)
5
3
Solución: Comenzamos desdoblando el factor 20 = 4 . 5:
𝑝𝑟𝑜𝑝.
𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑.
𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠
í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠
3𝑚 𝑚 − 1
𝑚
𝑚
(4 . 5) ( ) = 3𝑚 (𝑚 − 1) ⇒ 5 ( ) =
(
) ⇒
5
5
3
3
4
𝑚 𝑚−1
𝑚
5( ) = 3 (
)
5
⏟
3
4
𝑚
( )
4
𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑. 𝑑𝑒𝑙
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑒𝑛 𝑒𝑙 1𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
𝑚
𝑚
⇒ 5( ) = 3( ) ⇒
5
4
Ejercicio 4: Resolver la siguiente ecuación
5(
𝑚−5+1 𝑚
𝑚
)( ) = 3( ) ⇒ 𝑚 − 4 = 3 ⇒ 𝑚 = 7
4
4
5
𝑛+1
𝑛+2
𝑛+3
(
)+(
)
(
)
3
2
4
=
3!
3! + 0!
Solución:
𝑛+1
𝑛+2
𝑛+3
(
)+(
)
(
)
3
2
4
=
3!
⏟
3!
⏟+ 0!
7
6
𝑛+1
𝑛+2
𝑛+3
7 {(
)+(
)} = 6 (
)
2
3
4
𝑛+1
𝑛+2
𝑛+3
7(
) + 7(
) = 6(
)
2
3
4
(𝑛 + 3) (𝑛 + 2) 7(𝑛 + 2) 𝑛 + 1
𝑛+1
7(
) = (6
.
−
)(
)
2
2
4
3
3
7 = (𝑛 + 2) (
𝑛+3 7
− )
2
3
42 = (𝑛 + 2)(3𝑛 − 5)
3𝑛2 + 𝑛 − 52 = 0
Aplicando la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado obtenemos: 𝑛 = 4.
