FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA HIDROLOGIA APLICADA ▪ ROJAS NUÑEZ DEYSI MARILYN ▪ SAAVEDRA SANCHEZ CHRISTIAN JORDAN DR. ARBULÚ RAMOS JOSÉ DEL CARMEN UNPR G HIDROLOGIA APLICADA I. ÍNDICE I. ÍNDICE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 II. INTRODUCCIÓN ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 III. OBJETIVOS------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 IV. CONTENIDO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1. AREA DE ANALISIS: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.1. UBICACIÓN GEOGRAFICA Y LOCALIZACION HIDROGRAFICA: ------------------------------------------------------------ 3 2. OBTENCION DE DATOS: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2.1. INFORMACIÓN HIDROMETRICA: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 3.-Métodos estadísticos para Estimación de Avenidas: --------------------------------------------------------- 10 3.1. TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO DE LA INFORMACIÓN HIDROLÓGICA: -------------------------------------------- 10 3.2 DEFINICIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS: -------------------------------------------------------------------------------- 11 3.3 Distribuciones de Probabilidades de Variables Continuas --------------------------------------------------------------- 15 3.4 Definición de parámetros estadísticos ---------------------------------------------------------------------------------------- 18 3.5 Estimación de Parámetros de Distribuciones Teóricas: ------------------------------------------------------------------ 19 3.6 Ajuste a una Distribución de Probabilidad ----------------------------------------------------------------------------------- 22 4.-Determinación de las Avenidas de Diseño para diferentes períodos de retorno ---------------------- 23 4.1 MODELOS DE DISTRIBUCION. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 4.3 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 2 PARAMETROS. ----------------------------------------------------------------------------- 26 4.4 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 3 PARÁMETROS------------------------------------------------------------------------------ 29 4.5 DISTRIBUCIÓN GAMMA 2 PARÁMETROS ------------------------------------------------------------------------------------- 31 4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA 3 PARÁMETROS: ------------------------------------------------------------------------------------ 34 4.7 DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III ----------------------------------------------------------------------------------------- 37 4.8 DISTRIBUCIÓN GUMBEL ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 39 4.9 DISTRIBUCIÓN LOG GUMBEL ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 42 4.10 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: ------------------------------------------------------------------------------------------- 44 4.11 Determinación de nuevas restricciones ------------------------------------------------------------------------------------- 47 4.12 Análisis de Consistencia u homogeneidad---------------------------------------------------------------------------------- 47 4.13 Caudales de Diseño para diferentes períodos de retorno ------------------------------------------------------------- 53 V.CONCLUSIONES: -----------------------------------------------------------------------------------------------------70 VI. BIBLIOGRAFIA: -----------------------------------------------------------------------------------------------------70 VII LINKOGRAFIA ----------------------------------------------------------------- ¡Error! Marcador no definido. 1 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA II. INTRODUCCIÓN El siguiente proyecto de investigación fomenta el reconocimiento de las cuencas hidrográficas que existen en nuestro país; para el presente proyecto se eligió la Cuenca del Río La Leche, en este trabajo estudiaremos estaciones hidrométricas, para poder determinar los caudales máximos de dicha cuenca. De esta manera se analizó solo la estación de Puchaca, ya que es la única estación perteneciente a la “Cuenca la Leche”, la cual nos brindará información para desarrollar los métodos probabilísticos, como los métodos estadísticos. Siendo importante evaluar el caudal de diseño para distintos períodos de retorno. porque proporcionan índices para realizar estudios de crecidas, para un adecuado diseño y dimensionamiento de proyectos hidráulicos. Para el desarrollo de este proyecto se hará uso del programa de Excel, donde se hará el desarrollo de cada método, con la información hidrométrica, y comparada en el programa HIDROESTA. III. OBJETIVOS ▪ OBJETIVO GENERAL: Análisis y evaluación Hidrométrica de la “Cuenca La leche”, con la finalidad de determinar el caudal de diseño de la cuenca en estudio. ▪ OBJETIVOS ESPECIFICOS: • • • Obtener los registros históricos de las estaciones hidrométricas correspondientes a dicha cuenca Procesar la información hidrométrica, y evaluar por los métodos respectivos. Determinar cuál es el método óptimo para la obtención de caudal de diseño para dicha cuenca. 2 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA IV. CONTENIDO 1. AREA DE ANALISIS: 1.1. UBICACIÓN GEOGRAFICA Y LOCALIZACION HIDROGRAFICA: El río La Leche pertenece a la cuenca hidrológica que lleva su mismo nombre, la cual está ubicada “en la jurisdicción departamental de Lambayeque y Cajamarca, comprendiendo provincias como Lambayeque, Ferreñafe, y Chota; y los distritos de Tocmoche, Pítipo, Incahuasi, Pacora, Miracosta, Mórrope y Túcume. Entre los meridianos de longitud oeste 79°12` y 80°00` y los paralelos de latitud Sur 6°08` y 6°40`30``” (Arriola, 2016, p.6), con registro de coordenadas UTM 639817E y 9288025.64S, y una altitud que promedia los 57 m.s.n.m. UBICACIÓN GEOGRAFICA La cuenca “La leche” Provincias de Lambayeque y Cajamarca Regiones de Lambayeque y Cajamarca 3 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA LOCALIZACION HIDROGRAFICA: Limites Los límites de la cuenca del rio La Leche son: - Norte: cuenca del rio Salas – Motupe Oeste: con el Océano Pacífico. Sur: cuenca del río Chancay – Lambayeque. Este: con la cuenca del río Chotano. CUENCA LA LECHE 4 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2. OBTENCION DE DATOS: 2.1. INFORMACIÓN HIDROMETRICA: MAPA DE ESTACIONES – CUENCA LA LECHE ELABORACION PROPIA La única estación hidrométrica que se tiene en la cuenca de rio la Leche, es la estación de aforo de Puchaca, ESTACIONES LATITUD LONGITUD DISTRITO Puchaca 6° 22' 30” 79° 28' 1” INCAHUASI Se obtuvieron los registros históricos de la estación de aforo Puchaca, información histórica conformada por los máximos promedios de caudales diarios, tomando un rango de 41 años desde el año 1980 hasta el año 2020, según el cuadro, para lo cual después de realizar el análisis de máximos y mínimos del registro de caudales. Estación Puchaca (Codigo: 200801) Caudal Promedio Diario Operador: WGS 84 Geográficas Tipo: Ambito Político Ambito Administrativo Nombre de la Fuente: Servicio Nacional Meteorología E Hidrología Latitud: -6.373167 / Longitud: -79.466972 / Altitud(msnm): 345 Convencional / Hidrométrica Dpto: Lambayeque / Prov: Ferreñafe / Dist.: Incahuasi AAA: Jequetepeque Zarumilla / ALA: Motupe Olmos La Leche Río: La Leche 5 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2.2. REGISTRO HISTORICOS: AÑO ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE PROMEDIO ANUAL MAXIMO 1980 9.90 6.35 31.55 17.75 11.05 2.41 4.40 2.59 0.63 34.35 14.98 13.64 149.6 34.35 1981 2.00 31.00 34.84 47.31 3.69 16.55 7.22 4.35 0.64 12.16 5.33 13.78 178.87 47.31 1982 5.82 5.65 8.64 24.82 6.67 4.79 7.22 4.35 7.58 9.57 7.77 18.98 111.86 24.82 1983 77.29 46.25 122.50 120.94 215.81 13.48 7.69 4.60 5.20 20.77 10.14 8.74 653.41 215.81 1984 2.54 92.22 114.54 11.14 13.13 18.79 5.92 10.33 3.47 27.29 6.50 8.47 314.34 114.54 1985 4.13 20.83 28.94 5.76 15.57 10.73 3.80 6.78 12.99 40.88 0.42 13.47 164.3 40.88 1986 21.75 5.25 20.74 32.00 14.10 1.78 3.33 9.79 1.02 5.56 13.98 10.41 139.71 32 1987 17.65 20.59 49.08 12.63 8.15 0.80 4.96 4.31 1.41 3.10 2.66 6.70 132.04 49.08 1988 9.01 10.71 16.45 27.08 11.35 1.91 0.35 0.38 2.54 9.26 13.86 3.77 106.67 27.08 1989 13.78 58.44 59.03 23.43 6.30 14.08 2.08 1.10 3.00 4.33 1.08 0.40 187.05 59.03 1990 13.85 14.49 22.29 8.53 4.98 20.54 9.35 0.44 1.08 30.91 18.53 9.44 154.43 30.91 1991 10.50 40.49 14.27 15.52 6.98 1.09 0.84 0.23 0.50 0.78 2.99 2.97 97.16 40.49 1992 15.68 21.34 26.95 58.13 4.10 7.59 2.59 3.18 2.73 5.51 5.41 10.10 163.31 58.13 1993 3.30 12.20 53.31 30.00 6.50 2.80 1.50 2.10 3.20 5.00 3.30 5.40 128.61 53.31 1994 6.00 14.00 51.78 17.30 7.80 3.40 3.00 1.90 4.20 2.40 14.50 18.30 144.58 51.78 1995 23.45 23.20 5.70 4.70 6.00 0.80 5.10 0.40 0.70 1.10 3.60 14.70 89.45 23.45 1996 7.60 11.10 21.00 8.90 4.50 4.00 1.50 1.90 0.90 13.10 8.40 3.40 86.3 21 1997 1.20 21.00 15.10 9.70 5.00 1.20 0.90 1.20 0.70 1.10 7.10 18.30 82.50 21 1998 431.30 579.75 400.00 297.50 99.50 14.10 6.50 2.70 15.40 1.00 1.00 1.00 1849.75 579.75 1999 19.60 62.40 54.10 28.90 44.00 9.80 14.90 2.80 5.60 5.30 3.80 19.50 270.70 62.4 6 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 SUMA: PROMEDIO: MAX: MIN: 7.40 20.90 14.80 11.70 20.00 2.30 12.80 5.70 16.70 27.44 7.90 15.61 23.25 22.56 9.13 23.50 9.40 13.38 18.00 9.06 8.13 996.0070 24.2929 431.3000 1.200 26.50 42.80 61.80 42.40 3.70 13.50 15.50 4.80 147.50 26.20 39.70 18.39 47.94 15.04 6.56 15.94 22.00 38.88 14.25 51.50 5.06 1757.216 42.8589 579.75 3.700 155.00 500.00 301.88 31.40 10.70 40.00 93.25 20.81 46.60 63.25 19.10 6.52 56.88 31.38 32.38 93.75 26.50 92.50 14.88 25.13 9.25 2821.964 68.8284 500 5.700 36.95 134.00 50.40 105.25 5.99 8.80 5.89 8.10 39.60 20.30 66.56 34.38 36.19 23.20 9.63 25.13 33.63 50.63 22.63 26.13 23.63 1569.066 38.2699 297.5 4.700 21.80 14.60 29.40 41.30 10.10 2.90 6.20 7.80 19.60 16.10 23.80 15.52 14.44 24.60 15.25 17.63 10.06 30.63 17.06 14.00 14.63 862.596 21.0389 215.81 2.900 13.99 7.99 9.40 10.60 3.50 2.60 3.11 3.50 8.90 7.70 5.50 7.11 8.66 16.20 11.06 7.81 5.50 12.00 12.48 8.25 6.24 322.735 7.8716 20.54 0.800 5.90 1.90 12.90 3.90 12.40 0.60 3.90 2.80 5.00 16.50 3.60 1.63 5.31 7.00 2.58 5.13 4.58 12.00 8.88 28.25 7.50 245.41 5.9856 28.25 0.350 8.50 2.00 4.20 1.70 1.20 0.20 1.80 6.90 16.80 5.30 3.60 8.87 1.00 2.70 8.69 3.88 1.00 10.25 3.76 2.06 0.33 160.165 3.9065 16.8 0.200 5.40 8.70 1.80 1.40 3.90 0.27 3.11 0.88 5.40 16.20 19.60 4.49 0.50 0.70 3.73 0.38 0.16 3.81 0.50 0.41 3.41 158.242 3.8596 19.6 0.160 0.60 85.87 20.10 2.00 3.90 1.14 1.69 5.80 15.70 4.50 14.90 4.53 12.94 9.00 8.81 1.52 0.79 10.38 0.49 5.50 3.52 447.148 10.9060 85.873 0.490 0.82 8.50 19.70 2.20 6.80 3.30 8.71 7.02 8.75 8.90 0.90 10.57 10.28 3.50 25.35 13.13 0.40 4.88 17.00 9.25 0.20 315.508 7.6953 25.35 0.200 90.60 19.40 9.20 2.35 14.10 3.36 5.40 19.09 3.40 19.20 5.60 22.16 11.19 8.00 11.88 11.81 4.31 8.88 16.25 15.25 16.63 519.523 12.6713 90.6 0.400 373.47 846.67 535.58 256.20 96.293 78.972 161.355 93.191 333.95 231.59 210.76 149.762 228.58 163.867 145.05 219.61 118.33 288.22 146.18 194.79 98.53 155 500 301.88 105.25 20 40 93.25 20.81 147.5 63.25 66.56 34.38 56.88 31.375 32.38 93.75 33.63 92.5 22.63 51.5 23.63 Después de Obtener los caudales promedios máximos anuales, se analizó el registro de caudales para constatar que los datos se encuentren dentro de los parámetros permitidos, en la cual se observó que no están en el rango permitido por ende se reemplazaron los datos del año 1998, donde se tenía como registro 579.75 m3 /s y 2001 con un registro de 500 m3 /s, siendo este el segundo valor máximo registrado. Se desarrolló el análisis de datos dudosos, y finalmente la corrección. 7 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2.3. ANALISIS DE DATOS DUDOSOS: N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 AÑO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Qmax Log(qmax) 34.35 1.5359 47.31 1.6750 24.82 1.3948 215.81 2.3341 114.54 2.0590 40.88 1.6115 32.00 1.5051 49.08 1.6909 27.08 1.4326 59.03 1.7711 30.91 1.4901 40.49 1.6073 58.13 1.7644 53.31 1.7268 51.78 1.7142 23.45 1.3701 21.00 1.3222 21.00 1.3222 579.75 2.7632 62.40 1.7952 155.00 2.1903 500.00 2.6990 301.88 2.4798 105.25 2.0222 20.00 1.3010 40.00 1.6021 93.25 1.9696 20.81 1.3183 147.50 2.1688 63.25 1.8011 66.56 1.8232 34.38 1.5363 56.88 1.7550 31.38 1.4966 32.38 1.5103 93.75 1.9720 33.63 1.5267 92.50 1.9661 22.63 1.3547 51.50 1.7118 23.63 1.3735 PARÁMETROS ESTADISTICOS Qmax Log(Qmax) NUMERO DE DATOS SUMA MÁXIMO MÍNIMO PROMEDIO DESVIACIÓN ESTANDAR S COEFICIENTE ASIMETRÍA 41 3573.28 579.75 20.00 87.15 118.401797 3.1394248 41 71.46 2.76 1.30 1.74 0.366752402 1.150424786 n= 41.00 Kn= 2.692 Valor recomendado, varia según el valor de n Kn: (significancia:10%) Umbral de datos dudosos altos (xH: unidad. Logaritmicas) xH= 2.73 PH= 537.435 Precipitacion maxima aceptaba PH= 10xH m3/s EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA Umbral de datos dudosos bajos (xL: unidad. Logaritmicas) xL= 0.76 Precipitacion minima aceptaba PH= 10xL PL= 5.70 m3/s NO EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA 8 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Al existir datos dudosos se procedió hacer la corrección obteniendo los siguientes resultados: N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 AÑO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Qmax Log(qmax) 34.35 1.5359 47.31 1.6750 24.82 1.3948 215.81 2.3341 114.54 2.0590 40.88 1.6115 32.00 1.5051 49.08 1.6909 27.08 1.4326 59.03 1.7711 30.91 1.4901 40.49 1.6073 58.13 1.7644 53.31 1.7268 51.78 1.7142 23.45 1.3701 21.00 1.3222 21.00 1.3222 118.16 2.0725 62.40 1.7952 155.00 2.1903 54.08 1.7330 301.88 2.4798 105.25 2.0222 20.00 1.3010 40.00 1.6021 93.25 1.9696 20.81 1.3183 147.50 2.1688 63.25 1.8011 66.56 1.8232 34.38 1.5363 56.88 1.7550 31.38 1.4966 32.38 1.5103 93.75 1.9720 33.63 1.5267 92.50 1.9661 22.63 1.3547 51.50 1.7118 23.63 1.3735 PARÁMETROS ESTADISTICOS NUMERO DE DATOS SUMA MÁXIMO MÍNIMO PROMEDIO DESVIACIÓN ESTANDAR S COEFICIENTE ASIMETRÍA Qmax 41 2665.76 301.88 20.00 65.02 56.92818368 2.482147829 Log(Qmax) 41 69.81 2.48 1.30 1.70 0.294419325 0.703031397 n= 41.00 Kn= 2.692 Valor recomendado, varia según el valor de n Kn: (significancia:10%) Umbral de datos dudosos altos (xH: unidad. Logaritmicas) xH= 2.50 PH= 312.750 Precipitacion maxima aceptaba PH= 10xH m3/s NO EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA Umbral de datos dudosos bajos (xL: unidad. Logaritmicas) xL= 0.91 Precipitacion minima aceptaba PH= 10xL PL= 8.13 m3/s NO EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA Para la determinación de caudales de diseño se trabajará con los caudales corregidos 9 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 3.-Métodos estadísticos para Estimación de Avenidas: Este método consiste en calcular el caudal máximo en función a la distribución de frecuencias de una serie histórica y al comportamiento teórico de una curva de frecuencias. Entre las funciones de distribución de frecuencias teóricas que más se utilizan en el estudio de máximas avenidas, tenemos a las siguientes: Log normal 2 parámetros, Log normal 3 parámetros, Extrema tipo I y Pearson tipo III. 3.1. TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO DE LA INFORMACIÓN HIDROLÓGICA: Chow. (Hidrología aplicada), una variable aleatoria X es una variable discreta por una distribución de probabilidad. La distribución determina la posibilidad de una observación x de la variable caiga en un rango especificado de X. Si X es la precipitación anual en un lugar especificado, entonces la distribución de probabilidad de que la precipitación anual observada en un año dado caiga en un rango definido, tal como menos de 30 pulg, o 30 pulg – 40 pulg, y así sucesivamente. Un conjunto de observaciones n x, x, ......., x 1 2 de una variable aleatoria se denomina una muestra. Se supone que las muestras son sacadas de una hipotética población infinita que posee propiedades estadísticas constantes, mientras que las propiedades de una muestra puedan variar de una muestra a otra. El conjunto de todas las muestras posibles se puede extraer de una población se conoce como el espacio muestra, y eventos es un subconjunto del espacio muestral. La probabilidad de un evento, P(A), es la probabilidad de que esta ocurra cuando se hace una observación de la variable aleatoria. Las propiedades del evento pueden estimarse. Si una muestra de n observaciones tiene nA valores en el rango de evento A, entonces la frecuencia relativa es n/ nA. A medida que el tamaño de la muestra aumente, la frecuencia relativa se convierte progresivamente en una estimación de la probabilidad del evento, es decir: 𝑃 (𝐴 ) 𝑛𝐴 →∞ 𝑛 lim Tales probabilidades se conocen como probabilidades objetivas o posteriores debido a que dependen concretamente de las observaciones de la variable aleatoria. Las probabilidades de eventos obedecen a ciertos criterios. A.- Probabilidad total. Si el espacio muestral está completamente dividido en m eventos o áreas no traslapadas A1, A2, ….., Am, entonces: P (A1 )+ P (A2 )+….. + P (Am) = P () 10 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA B.- Complementariedad. Se sigue que si 𝐴 es el complemento de A, es decir, 𝐴 = − A , entonces. P(𝐴) =1− P(A) C.- Probabilidad condicional. Supóngase que existen dos eventos A y B. el evento A podría ser el que la precipitación de este año fuera menor a 40 pulg mientras que B podría ser el evento de que la precipitación del próximo año sea menor que 40 pulg. La intersección es A B , el evento de que tanto A como B ocurran, es decir, dos años sucesivos con precipitación anual menor de 40 pulg. Si P(B / A) es la probabilidad condicional de que ocurra B dado que ya ha ocurrido A, entonces la probabilidad conjunta de que A y B ocurran, P(A / B), es el producto de P(B / A) y la probabilidad de que A ocurra, es decir, P(A B) = P(B / A)P(A) , o 𝐵 𝑃( ) 𝐴 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) Si la ocurrencia de B no depende de la ocurrencia de A se dice que los eventos son independientes y P(B/A) = P(B), para eventos independientes de 2.4. P(A B) = P(A)P(B) 3.2 DEFINICIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS: a. Espacio Muestral. - Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y se representa con el símbolo S. Cada resultado de un Espacio Muestral se le llama elemento o miembro del Espacio Muestral o simplemente punto Muestral. b. Eventos. - Un evento es un subconjunto de un Espacio Muestral. Son los resultados posibles que se pueden presentar en la realización de un experimento. c. Probabilidad. - La probabilidad de un evento, P(A) es la posibilidad de que este ocurra cuando se hace una observación de la variable aleatoria. Si una muestra de N observaciones tiene NA valores en el rango del evento A, entonces P(A) = NA/N. Las probabilidades obedecen a ciertos principios: Probabilidad total: si en el Espacio Muestral S, está completamente divididos en “m” eventos o áreas no traslapadas A1, A2, …, Am, entonces: P (A1) + P (A2) +......+ P (Am) = P(S) = 1. 11 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Complementariedad: En un Espacio Muestral S, si A’ es el complemento de A, entonces: P (A’) = 1 – P(A). Probabilidad condicional: En un Espacio Muestral S, si existen en ella dos eventos A y B, la probabilidad de que el evento B ocurra cuando ya ocurrió algún evento A, se denomina probabilidad condicional y se denota por P(BA). Esta probabilidad se define como: 𝑃(𝐵𝐴) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , 𝑆𝑖 𝑃(𝐴) > 0 𝑃(𝐴) Si la ocurrencia de B no depende de la ocurrencia A se dice que los eventos son independientes, entonces P(BA)= P(B) y P(AB)= P(A). d. Variable aleatoria. - Es una función que asocia un número real con cada elemento del Espacio Muestral. A una variable aleatoria se le conoce también como una variable estocástica, porque sus valores son números reales que no pueden predecirse con certeza antes de ocurrir el fenómeno, es decir ocurren al azar. Las clases de variables aleatorias son: Variable aleatoria discreta. - Se dice que una variable aleatoria es discreta si se pueden contar su conjunto de resultados posibles. El Espacio Muestral contiene un número finito de posibilidades. Variable aleatoria continua. - Se dice que una variable aleatoria es continua cuando sus valores se encuentran en un rango continuo y pueden ser representados por cualquier número entero o decimal e. Funciones de frecuencia y probabilidad. - Chow. (Hidrología aplicada), si las observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas (cada valor de la muestra extraído de la misma distribución de probabilidad), estas pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencias. Primero, el rango factible de la variable aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el número de observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el resultado se dibuja como grafica de barras. Esta definición sirve para ver la prueba de bondad de ajuste por el método de Chi cuadrado. Si las observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas (cada valor de la muestra extraído de la misma distribución de probabilidad) estas pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencia. Primero, el rango factible de la variable aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el número de observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el resultado se dibuja como una gráfica de barras. El ancho Δx del intervalo utilizado para construir el histograma de frecuencia se escoge tan pequeño como sea posible y de tal manera que caigan suficientes observaciones dentro de cada uno de los intervalos para que el histograma tenga una variación razonablemente suave en el rango de la información. Si el número de observaciones ni en el intervalo i, que cubre el rango [Xi - Δx, Xi], se divide por el número total de observaciones n, el resultado se conoce como la función de frecuencia relativa fs(x): 12 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 𝑛𝑖 ( ) 𝑛 𝑓𝑆 (𝑋𝑖 ) La cual es una estimación de P (Xi -∆X ≤ X ≤ Xi), la probabilidad de que la variable aleatoria X caiga en el intervalo [ Xi – Δx, Xi]. El subíndice s indica que la función se calcula utilizando información de la muestra. La suma de los valores de las frecuencias relativas hasta un punto dado es la función de frecuencia acumulada FS (x): 𝑖 𝐹𝑆 ( 𝑖 ) ∑ 𝑓𝑠 ( 𝑖 ) 𝑗=1 Es un estimativo de P(X ≤ Xi), la probabilidad acumulada de Xi. Las funciones e frecuencia relativa y de frecuencia acumulada están definidas para una muestra; las funciones correspondientes para la población se aproximan con límites a medida que n → ∞ y ∆x → o. En el límite la función de frecuencia relativa dividida por el intervalo de longitud ∆x se convierte en la función de densidad de probabilidad f(x): 𝑓𝑠 ( ) →∞ ∆ 𝐹 (𝑋 ) lim La función de frecuencia acumulada se convierte en la función de distribución de probabilidad F(x). 𝑓( ) lim 𝑓𝑠 ( ) →∞ Cuya derivada es la función de densidad de probabilidad. 𝑓( ) 𝑑𝐹( ) 𝑑 Para un valor dado de x, F(x) es la probabilidad acumulada P(X ≤ x), y puede expresarse como la integral de la función de densidad de probabilidad sobre el rango X ≤ x: 𝑋 𝑃 (𝑋 ≤ x ) F (x ) ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 ∞ Dónde: u = es una variable de integración auxiliar y. Desde el punto de vista de ajuste de la información de la muestra a una distribución teórica, las cuatro funciones - frecuencia relativa Fs(x) y frecuencia acumulada Fs(x) para la muestra, y distribución de probabilidad F(x) y densidad de probabilidad f(x) para la población pueden ordenarse en un ciclo 13 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA f. Parámetros estadísticos. - El objetivo de la estadística es extraer la información esencial de un conjunto de datos, reduciendo un conjunto grande de números a un conjunto pequeño de números. Las estadísticas son números calculados de una muestra los cuales resumen sus características más importantes. Los parámetros estadísticos son características de una población, tales como μ y σ en una ecuación. Un parámetro estadístico es el valor esperado E de alguna función de una variable aleatoria. Un parámetro simple es la media μ, el valor esperado de la variable aleatoria. Para una variable aleatoria X, la media es E(X), y se calcula como el producto de x y la correspondiente densidad de probabilidad f(x), integrando sobre el rango factible de la variable aleatoria. ∞ 𝐸( ) 𝑢 ∫ 𝑓 ( )𝑑 −∞ E(X) es el primer momento alrededor del origen de la variable aleatoria, una medida del punto medio o “tendencia central” de la distribución. La estimación por la muestra de la media es el promedio x de la información de la muestra: 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 el valor estimado de la muestra de la varianza está dado por: 𝑆2 1 ∑(𝑋𝑖 𝑛 )2 𝑖=1 En la cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar la que la estadística de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. La varianza tiene dimensiones de [X]2 . La desviación estándar σ es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones de X. La cantidad de σ es la raíz cuadrada de la varianza y se estima por s, a medida que la desviación estándar aumenta, aumenta la dispersión de la información. El coeficiente de variación CV = σ/μ, estimado por s/x, es una medida adimensional de la variabilidad. La simetría de una distribución alrededor de la media se mide utilizando la asimetría (oblicuidad) la cual es el tercer momento alrededor de la media: 14 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA La asimetría normalmente se determina con la siguiente ecuación: Un estimativo de la muestra de y está dado por: 3.3 Distribuciones de Probabilidades de Variables Continuas Chow (1994), menciona que las distribuciones de probabilidad de las variables continuas son las siguientes: a. Distribución normal. - La distribución normal surge del teorema del límite central, el cual establece que, si una secuencia de variables aleatorias Xi son independientes y están idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ 2, entonces la distribución de la suma de n de estas variables aleatorias, tiende hacia la distribución normal con media μ y varianza σ2; a medida que n aumenta. El punto importante es que esto es cierto sin importar cuál es la función de distribución de probabilidad de X. Así, por ejemplo, la distribución de probabilidad de la media de la muestra puede aproximarse como una distribución normal con media μ y varianza (1/n) 2 nσ2 = σ2//n sin importar cuál es la distribución de x. Las variables hidrológicas, como la precipitación anual, calculadas como la suma de los efectos de muchos eventos independientes tienden a seguir la distribución normal. Las principales limitaciones de la distribución normal en la descripción de variables hidrológicas son, por un lado, que esta varia a lo largo de un rango continuo [-∞, ∞], mientras que la mayor parte de las variables hidrológicas son positivas, y por otro lado, que es simétrica alrededor de la media, mientras que la información hidrológica tiende a ser asimétrica. b. Distribución Log normal. - Si la variable aleatoria Y= log X esta normalmente distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma log normal. Chow (1954) llego a la conclusión de que esta distribución se aplica a variables hidrológicas formadas como productos de otras variables debido a que si X = X1X2X3...Xn, entonces Y tiende a una distribución normal para valores grandes de n siempre y cuando los Xi sean independientes y estén idénticamente distribuidos. 15 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA La distribución lognormal tiene las ventajas sobre la distribución normal de que está limitada (X>0) y de que la transformación log tiende a reducir la asimetría positiva comúnmente encontrada en información hidrológica, debido a que al tomar logaritmos se reducen en una proporción mayor los números grandes que los números pequeños. Algunas limitaciones de la distribución log normal son, por un lado, que tiene solamente dos parámetros y, por otro lado, que requiere que los logaritmos de los datos sean simétricos alrededor de su media. c. Distribución Gamma. - El tiempo que toma la ocurrencia de un número β de eventos en un proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual es la distribución de una suma de β variables aleatorias independientes e idénticas, distribuidas exponencialmente. La distribución gamma tiene una forma que varía suavemente similar a la función de densidad de probabilidad típica, y es muy útil para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de la transformación log. Se ha aplicado a la descripción de la distribución de profundidades de precipitación en tormentas, por ejemplo. La distribución gamma incluye la función gamma Г (β), para un entero positivo β, y en general por: La distribución gamma de dos parámetros (parámetros β y λ) tiene como límite inferior cero, lo cual es una desventaja para la aplicación a variables hidrológicas que tienen un límite inferior superior a cero. d. Distribución Pearson tipo III.- también llamada la distribución gamma de tres parámetros, introduce en tercer parámetro el límite inferior e, de tal manera que, por el método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres parámetros λ, β y е, de la distribución de probabilidad. El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos: todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la forma. Donde: d es la moda de la distribución (el valor de x para el cual f(x) es un máximo), y Co, C1, y C2: son coeficientes que deben determinarse. Por tanto, la distribución normal es un caso especial de la distribución Pearson tipo III para describir una variable no asimétrica. La distribución Pearson tipo III se aplicó por primera vez en la hidrología por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos de crecientes máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza una transformación log para reducir la asimetría. 16 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA e. Distribución de valor extremo. - Los valores extremos son valores máximos o mínimos seleccionados de conjuntos de datos. Por ejemplo, el caudal máximo anual en un lugar dado es el mayor caudal registrado durante un año y los valores de caudal máximo anual para cada año de registro histórico conforman un conjunto de valores extremos que puede analizarse estadísticamente. Fisher y Tippett han demostrado que las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribución de probabilidad convergen en una de las tres formas de distribuciones de valor extremo, llamadas tipo I, II y III respectivamente, cuando el número de valores extremos seleccionados es grande. Las propiedades de las tres formas limitantes fueron desarrolladas por Gumbel (1941) para la distribución de Valor Extremo tipo I (EVI, por sus siglas en inglés), por Frechet (1927) para la distribución de Valor Extremo tipo II (EVII) y por Weibull (1939) para la distribución de Valor Extremo tipo III (EVIII). Jenkinson (1955) demostró que estas tres formas limitantes eran casos especiales de una distribución única llamada la distribución de Valor Extremo General (GEV, por sus siglas en inglés). La función de distribución de probabilidad para la GEV es Dónde: k, u, y α. Son parámetros CHEREQUE (1989) indica que, dada una variable aleatoria, interesará describir la probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consigue gracias a un modelo matemático de su comportamiento o modelo probabilístico. Esta distribución probabilística permite calcular: Las probabilidades de los distintos estados o valores que pueden tomar la variable aleatoria; La probabilidad de tener valores mayores o menores que un determinado límite y los valores de probabilidad de ocurrencia asociados a cada valor de la variable aleatoria. Según se trate de variables discretas o continuas, se usarán modelos de distribución probabilísticos discretos o continuos. Serán modelos discretos aquellos cuya función densidad de probabilidad y función de probabilidad acumulada se encuentra definidas para determinados valores que puede tomar la variable. 17 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Las principales distribuciones discretas son: Distribución Binomial y Distribución de Poisson Las principales distribuciones continuas son: Distribución Uniforme, Distribución Normal, Distribución Log normal, Distribución Gamma y Distribuciones de Valores Extremos APARICIO (1996), menciona que entre las funciones de distribución de probabilidad usados en hidrología, se estudian las siguientes: Normal, Log Normal, Pearson III y Gumbel Las funciones Normal y Log Normal son generalmente apropiadas para variables aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posibles del experimento bajo análisis, como por ejemplo los volúmenes de escurrimiento mensual en un río. Las funciones Gumbel se desarrollaron para el análisis de los valores extremos o mínimos anuales. La función Pearson Tipo III ocupa un lugar intermedio. LINSLEY; menciona que sobre el análisis probabilístico de crecientes tiene aplicación también para la precipitación. Los valores de la precipitación máxima horaria o diaria generalmente se ajustan bien a distribuciones tales como la de Fisher-Tippett (de Valores Extremos Tipo I), Log Pearson, Log Normal o Gamma. En áreas húmedas donde el valor medio es alto, la precipitación mensual, por estaciones o la precipitación total anual se aproximará a una distribución Normal. En áreas secas una distribución asimétrica tal como LogPearson, Log Normal, Gamma y las transformadas raíz cuadrada y raíz cúbica de la distribución Normal producen ajustes mejores. 3.4 Definición de parámetros estadísticos Chow. (Hidrológica Aplicada). El objetivo de la estadística es extraer la información esencial de un conjunto de datos, reduciendo un conjunto grande de números a un conjunto pequeño de números. Las estadísticas son números calculados de una muestra los cuales resumen sus características más importantes. Los parámetros estadísticos son características de una población, tales como: la media y la desviación estándar. Un parámetro estadístico es el valor esperado E de alguna función de una variable aleatoria. Un parámetro simple es la media, el valor esperado de la variable aleatoria. Para una variable aleatoria X, la media es E(X), y se calcula como el producto de x y la correspondiente densidad de probabilidad f(x), integrado sobre el rango factible de la variable aleatoria. E(X) es el primer momento alrededor del origen de la variable aleatoria, una medida del punto medio o tendencia central de la distribución. La estimación por la muestra de la media es el promedio x de la información de la muestra: 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 18 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA La variabilidad de la información se mide por medio de la varianza 2, la cual es el segundo momento alrededor de la media. El valor estimado de la muestra de la varianza está dado por. En el cual el divisor es (n-1) en lugar de n para asegurar que la estadística de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser el valor mayor o menor que el valor verdadero. Villón. (2005), los parámetros de una distribución teórica, son variables que para cada conjunto de datos tienen un valor definido. Una vez que los parámetros quedan definidos, también queda definida la distribución teórica. Por lo general, una función densidad o una función de distribución acumulada, pueden escribirse como una función de la variable aleatoria y en general como una función de sus parámetros. Definición de parámetros. Dada una función de distribución con parámetros α, β, γ, se llaman estimadores a los valores a, b, c, …, obtenidos a partir de los estadísticos de la muestra, que se supone pertenece a la población que se pretende caracterizar. 3.5 Estimación de Parámetros de Distribuciones Teóricas: Villon, (2005), menciona que, para determinar los valores numéricos de los parámetros de la distribución teórica, a partir de los datos muéstrales, se utilizan varios métodos de estimación, siendo en orden ascendente de menor a mayor eficiencia, los siguientes: Gráfico, Mínimos Cuadrados, Momentos y Máxima Verosimilitud. a. Método gráfico. - Consiste en plotear los valores de la distribución empírica sobre un papel especial, donde la distribución teórica asignada a priori, se puede representar como una línea recta, y de allí estimar los parámetros buscados. Así: • • • El papel de probabilidades normal, representa la distribución normal como una línea recta. El papel de probabilidades log-normal, representa la distribución log-normal como una línea recta. El papel de probabilidades extremas, representa la distribución Gumbel como una línea recta. 19 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA b. Método de mínimos cuadrados. - este método es más aplicable para la estimación de los parámetros de una ecuación de regresión; Por ejemplo, dada la recta de regresión lineal Y=a+bx; donde a y b son los parámetros. El error entre el valor observado i y el teórico es: Ei =yi –a-bxi La suma de los cuadrados de los errores de los valores observados es: Esta suma puede minimizarse para a y b, esto se consigue derivando parcialmente S en función de cada estimado a y b, e igualando a cero, es decir: Estas últimas ecuaciones se denominan ecuaciones normales, las cuales resueltas dan para a y b: c. Método de momentos. - el principio básico de la estimación por el método de los momentos es establecer para cada función de distribución la relación entre los parámetros y los momentos centrales, de tal manera que: α = fi (μi, μi +1, ...) β = f2 (μj, μj + 1, ...) γ = f3 (μk, μk + 1, ...) Dónde: α, β, γ: son los parámetros de la función de distribución. μi, μj μk : son los momentos con respecto a la media, o momentos centrales de la población. Como los momentos son estimados a partir de los momentos de la muestra como estimadores sesgados o insesgados, el resultado que se obtienen será como estimadores sesgados o insesgados de los parámetros. 20 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estiman los parámetros por este método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este es un método muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto sesgadas, como sucede muy a menudo con la mayoría de las variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la estimación. d. Método de máxima verosimilitud. - Dada una función densidad de probabilidad. F (x, α, β, γ, …) Dónde: α, β, γ, …. Son los parámetros que deben ser estimados. Se define la función verosimilitud de la muestra, como la productoria: Siendo N, el tamaño de la muestra. El método de máxima verosimilitud, consiste en estimar α, β, γ, ... a partir de la muestra de tal manera que L sea máxima. Esto se obtiene por la diferenciación parcial de L con respecto a cada parámetro e igualando a cero. Puesto que f(x) es no negativa, un valor máximo de L será, en general positivo. Como el logaritmo natural lnL es una función monotómicamente creciente de L, esta tiene un máximo precisamente en los puntos en que L tiene un máximo. Por lo tanto, se puede usar InL en lugar de L, es decir: Este artificio, permite transformar una productoría a una sumatoria, donde: a, b, c, son estimadores de α, β, γ, ... Entonces el conjunto de ecuaciones de máxima verosimilitud es: 21 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA El mismo que tiene tantas ecuaciones como incógnitas. Las propiedades de los estimadores calculados por el método de máxima verosimilitud, son: Usualmente insesgado; si la eficiencia de estimadores existe para los parámetros α, β, γ, ..., el método puede producirlos y la solución de la ecuación de verosimilitud proporciona un estimador que converge al valor poblacional cuando el tamaño muestral tiende a infinito, por lo que el estimador es consistente. 3.6 Ajuste a una Distribución de Probabilidad Chow. (Hidrología aplicada), una distribución de probabilidad es una función que representa la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria. Mediante el ajuste de una distribución de un conjunto de datos hidrológicos, una cantidad de información probabilística en la muestra puede resumirse en forma compacta es la función y en sus parámetros asociados. El ajuste de distribuciones puede llevarse a cabo por varios métodos: Villón. (2002), las pruebas de Bondad de ajuste, consisten en comprobar gráfica y estadísticamente, si la frecuencia empírica de la serie analizada, se ajusta a una determinada función de probabilidades teórica seleccionada a priori, con los parámetros estimados con base a los valores muéstrales. Las pruebas estadísticas, tienen por objeto la certidumbre que se obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Las pruebas de bondad de ajuste más utilizado son: a. Ajuste gráfico. b. Ajuste estadístico. • • Chi cuadrado. Smirnov Kolmogorov 22 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.-Determinación de las Avenidas de Diseño para diferentes períodos de retorno DETERMINACION DE LAS AVENIDAS DE DISEÑO MEDIANTE LA UTILIZACION DE METODOS PROBABILISTICOS. Se determinó las avenidas de diseño mediante los métodos probabilísticos, siguiendo el siguiente procedimiento: 4.1 MODELOS DE DISTRIBUCION. El análisis de frecuencias tiene la finalidad de estimar precipitaciones, intensidades o caudales máximos, según sea el caso, para diferentes períodos de retorno, mediante la aplicación de modelos probabilísticos, los cuales pueden ser discretos o continuos. En la estadística existen diversas funciones de distribución de probabilidad teóricas; para la determinación de las avenidas de diseño en la cuenca del rio verde se utilizó las siguientes funciones: 4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL La función de densidad de probabilidad normal se define como: 𝑓( ) 1 𝑆√(2𝜋 ) 1 𝑥−𝑢 2 ∗( ) 𝑒2 𝑆 Donde f(x)= función densidad normal de la variable x. X = variable independiente. μ = parámetro de localización, igual a la media aritmética de x. S= parámetro de escala, igual a la desviación estándar de x. 23 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION NORMAL m Qmax (m3/s) P(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 0.02381 0.04762 0.07143 0.09524 0.11905 0.14286 0.16667 0.19048 0.21429 0.23810 0.26190 0.28571 0.30952 0.33333 0.35714 0.38095 0.40476 0.42857 0.45238 0.47619 0.50000 0.52381 0.54762 0.57143 0.59524 0.61905 0.64286 0.66667 0.69048 0.71429 0.73810 0.76190 0.78571 0.80952 0.83333 0.85714 0.88095 0.90476 0.92857 0.95238 0.97619 𝐗 )𝟐 Z= (x-X)/S F(Z) |F(Z)-P(Z)| 2026.658 1954.384 1937.621 1937.621 1796.778 1727.933 1713.001 1615.913 1439.323 1163.384 1131.880 1090.216 1065.266 985.233 940.552 938.713 625.921 601.643 582.663 313.588 254.033 182.748 175.256 137.087 119.758 66.234 47.450 35.861 6.856 3.127 2.376 755.237 797.022 825.504 1618.580 2452.387 2823.507 6803.212 8096.685 22738.101 56103.40947 -0.79079 -0.77656 -0.77323 -0.77323 -0.74459 -0.73019 -0.72703 -0.70613 -0.66643 -0.59915 -0.59098 -0.58000 -0.57333 -0.55137 -0.53872 -0.53819 -0.43947 -0.43087 -0.42402 -0.31107 -0.27997 -0.23746 -0.23255 -0.20567 -0.19223 -0.14296 -0.12100 -0.10519 -0.04600 -0.03106 0.02708 0.48274 0.49592 0.50470 0.70671 0.86990 0.93340 1.44887 1.58062 2.64880 4.16071 0.214532357 0.218707822 0.219693981 0.219693981 0.228258422 0.232636884 0.233604221 0.240055185 0.25256945 0.274537041 0.277266916 0.280956891 0.283211937 0.290690486 0.295039636 0.295221499 0.33015931 0.333282914 0.335777352 0.377875259 0.389748687 0.406148266 0.408057011 0.418524364 0.423780251 0.443161136 0.451844774 0.458111537 0.481657081 0.48760925 0.510801811 0.685360267 0.690023073 0.693114779 0.760125913 0.807821301 0.82469288 0.926313166 0.943017037 0.995961138 0.99998 0.1907 0.1711 0.1483 0.1245 0.1092 0.0898 0.0669 0.0496 0.0383 0.0364 0.0154 0.0048 0.0263 0.0426 0.0621 0.0857 0.0746 0.0953 0.1166 0.0983 0.1103 0.1177 0.1396 0.1529 0.1715 0.1759 0.1910 0.2086 0.2088 0.2267 0.2273 0.0765 0.0957 0.1164 0.0732 0.0493 0.0563 0.0216 0.0144 0.0436 0.0238 (𝐗 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR: 65.018 56.9282 41 N° de datos 24 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = ∆ ∆ 41 por calculo 0.227 del cuadro 4.5 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.227 < 0.212 CONCLUSION: No es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 25 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.3 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 2 PARAMETROS. La función de distribución de probabilidad es: 𝑃( ≤ 𝑖) 1 2√2𝜋 𝑥𝑖 ∗∫ (𝑥−𝑋)2 (− ) 𝑒 2𝑆 2 𝑑 −∞ Donde y son los parámetros de la distribución. X S Si la variable x de la ecuación (2) se reemplaza por una función y=f(x), tal que y=log(x), la función puede normalizarse, Transformándose en una ley de probabilidades denominada log – normal, N(Y, Sy). Los valores originales de la variable aleatoria x, deben ser transformados a y = log x, de tal manera que: Y Donde es la media de los datos de la muestra transformada. Donde Sy es la desviación estándar de los datos de la muestra transformada. Asimismo; se tiene las siguientes relaciones: Donde Cs es el coeficiente de oblicuidad de los datos de la muestra transformada. (Monsalve, 1999). 26 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION LOGNORMAL - 2 PAR. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Qmax (m3/s) 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 P(X) Y=LN(X) 0.02381 0.04762 0.07143 0.09524 0.11905 0.14286 0.16667 0.19048 0.21429 0.23810 0.26190 0.28571 0.30952 0.33333 0.35714 0.38095 0.40476 0.42857 0.45238 0.47619 0.50000 0.52381 0.54762 0.57143 0.59524 0.61905 0.64286 0.66667 0.69048 0.71429 0.73810 0.76190 0.78571 0.80952 0.83333 0.85714 0.88095 0.90476 0.92857 0.95238 0.9762 2.9957 3.0354 3.0445 3.0445 3.1193 3.1549 3.1625 3.2116 3.2988 3.4311 3.4460 3.4657 3.4775 3.5154 3.5366 3.5375 3.6889 3.7011 3.7106 3.8567 3.8935 3.9416 3.9470 3.9761 3.9904 4.0409 4.0627 4.0780 4.1336 4.1471 4.1981 4.5272 4.5353 4.5406 4.6563 4.7409 4.7720 4.9938 5.0434 5.3744 5.7100 Z= (Yµy)/varY 9.57921 9.81050 9.86345 9.86345 10.29896 10.50632 10.55087 10.83711 11.34480 12.11547 12.20246 12.31737 12.38615 12.60681 12.73023 12.73531 13.61737 13.68830 13.74415 14.59519 14.80917 15.08957 15.12116 15.29081 15.37381 15.66844 15.79508 15.88459 16.20804 16.28686 16.58403 18.50134 18.54838 18.57954 19.25363 19.74641 19.92744 21.21979 21.50873 23.43692 25.3923 F(Z) 0.086283 0.095871 0.098172 0.098172 0.118649 0.129393 0.131787 0.147894 0.179581 0.235199 0.242024 0.251203 0.256783 0.275112 0.285637 0.286075 0.366344 0.373123 0.378488 0.462566 0.484130 0.512447 0.515636 0.532739 0.541088 0.570549 0.583103 0.591926 0.623390 0.630944 0.658949 0.814621 0.817788 0.819866 0.861157 0.886919 0.895468 0.943330 0.951192 0.984013 0.9959 |F(Z)P(Z)| 0.0625 0.0483 0.0267 0.0029 0.0004 0.0135 0.0349 0.0426 0.0347 0.0029 0.0199 0.0345 0.0527 0.0582 0.0715 0.0949 0.0384 0.0554 0.0739 0.0136 0.0159 0.0114 0.0320 0.0387 0.0542 0.0485 0.0598 0.0747 0.0671 0.0833 0.0791 0.0527 0.0321 0.0103 0.0278 0.0298 0.0145 0.0386 0.0226 0.0316 0.0197 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR, COEFICIENTE DE VARIACION: N° de datos 3.920 0.6779 41 Cv= 27 0.173 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2. NECESITAMOS HALLAR VARIANZA Y MEDIA DEL LOS NUEVOS TERMINOS: = µ= 0.171649 1.351 nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = ∆ ∆ 41 por calculo del cuadro 4.5 0.095 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.095 < 0.212 CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 28 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.4 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 3 PARÁMETROS La función de densidad de x es: Para x > x0 Dónde: X0: parámetro de posición Uy: parámetro de escala o media Sy²: parámetro de forma o varianza DISTRIBUCION LOGNORMAL - 3 PAR. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Qmax (m3/s) 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 P(x) 0.02381 0.04762 0.07143 0.09524 0.11905 0.14286 0.16667 0.19048 0.21429 0.23810 0.26190 0.28571 0.30952 0.33333 0.35714 0.38095 0.40476 0.42857 0.45238 0.47619 0.50000 0.52381 0.54762 0.57143 0.59524 0.61905 0.64286 0.66667 0.69048 0.71429 Y=LN(X-X0) 1.32971 1.52387 1.56443 1.56443 1.85785 1.97823 2.00282 2.15175 2.38508 2.68716 2.71833 2.75874 2.78253 2.85704 2.89756 2.89922 3.16884 3.18924 3.20518 3.43688 3.49225 3.56331 3.57122 3.61335 3.63376 3.70524 3.73552 3.75677 3.83255 3.85078 29 F(Z) 0.03019 0.04485 0.04854 0.04854 0.08292 0.10143 0.10555 0.13313 0.18559 0.27004 0.27973 0.29254 0.30021 0.32479 0.33849 0.33906 0.43497 0.44247 0.44834 0.53431 0.55477 0.58080 0.58368 0.59893 0.60627 0.63165 0.64224 0.64961 0.67541 0.68150 |F(Z)-P(Z)| 0.0064 0.0028 0.0229 0.0467 0.0361 0.0414 0.0611 0.0573 0.0287 0.0319 0.0178 0.0068 0.0093 0.0085 0.0186 0.0419 0.0302 0.0139 0.0040 0.0581 0.0548 0.0570 0.0361 0.0275 0.0110 0.0126 0.0006 0.0171 0.0151 0.0328 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.8800 0.73810 0.76190 0.78571 0.80952 0.83333 0.85714 0.88095 0.90476 0.92857 0.95238 0.9762 3.91880 4.33441 4.34419 4.35066 4.48897 4.58823 4.62434 4.87733 4.93289 5.29626 5.6548 0.70378 0.82191 0.82428 0.82583 0.85695 0.87682 0.88355 0.92346 0.93063 0.96556 0.9844 0.0343 0.0600 0.0386 0.0163 0.0236 0.0197 0.0026 0.0187 0.0021 0.0132 0.0082 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR, COEFICIENTE DE VARIACION: 65.018 56.9282 41 N° de datos 2. NECESITAMOS MEDIANA Y XO: MEDIADA: 49.080 XO= 16.220 nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = ∆ ∆ 41 por calculo del cuadro 4.5 0.061 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.061 < 0.212 CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición 30 ( ) 3.345 S( ) 1.073 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 4.5 DISTRIBUCIÓN GAMMA 2 PARÁMETROS La función de densidad es: Válido para: 0≤x<∞ 0<γ<∞ 0<β<∞ Donde: γ: parámetro de forma β: parámetro de escala 31 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION GAMMA 2 PAR. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Qmax (m3/s) 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 P(x) LN(X) FG(i) |FG(i)-P(X)| 0.024 0.048 0.071 0.095 0.119 0.143 0.167 0.190 0.214 0.238 0.262 0.286 0.310 0.333 0.357 0.381 0.405 0.429 0.452 0.476 0.500 0.524 0.548 0.571 0.595 0.619 0.643 0.667 0.690 0.714 0.738 0.762 0.786 0.810 0.833 0.857 0.881 0.905 0.929 0.952 0.976 2.996 3.035 3.045 3.045 3.119 3.155 3.163 3.212 3.299 3.431 3.446 3.466 3.478 3.515 3.537 3.537 3.689 3.701 3.711 3.857 3.893 3.942 3.947 3.976 3.990 4.041 4.063 4.078 4.134 4.147 4.198 4.527 4.535 4.541 4.656 4.741 4.772 4.994 5.043 5.374 5.710 0.1171 0.1253 0.1272 0.1272 0.1441 0.1527 0.1547 0.1675 0.1923 0.2353 0.2406 0.2477 0.2521 0.2663 0.2746 0.2749 0.3388 0.3444 0.3487 0.4194 0.4382 0.4634 0.4663 0.4819 0.4895 0.5171 0.5290 0.5375 0.5684 0.5759 0.6044 0.7792 0.7831 0.7856 0.8374 0.8707 0.8819 0.9445 0.9545 0.9914 0.9993 0.0933 0.0777 0.0558 0.0320 0.0250 0.0099 0.0120 0.0230 0.0220 0.0028 0.0213 0.0380 0.0574 0.0670 0.0826 0.1060 0.0659 0.0842 0.1036 0.0568 0.0618 0.0604 0.0813 0.0896 0.1057 0.1020 0.1138 0.1291 0.1221 0.1384 0.1337 0.0173 0.0027 0.0239 0.0041 0.0136 0.0009 0.0398 0.0259 0.0390 0.0231 32 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR: ϒ β= N° de datos 65.018 0.2542 2.1196 30.67 41 nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = 41 ∆ por calculo 0.138 ∆ del cuadro 4.5 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.0.138 < 0.212 CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 33 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA 3 PARÁMETROS: La función de densidad es: 𝑓( ) ( )𝛾−1 𝑒 𝛽 𝛾 (𝛾) (𝑥−𝑥0 ) 𝛽 Válido para: x0 ≤ x < ∞ -∞ < x0 < ∞ 0<β<∞ 0<γ<∞ Donde: x0: origen de la variable x, parámetro de posición γ: parámetro de forma β: parámetro de escala DISTRIBUCION GAMMA 3 PAR. m Qmax (m3/s) P(X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 0.024 0.048 0.071 0.095 0.119 0.143 0.167 0.190 0.214 0.238 (𝐗 𝐗𝐨) 0.85 1.66 1.85 1.85 3.48 4.30 4.48 5.67 7.93 11.76 34 FG(i) |FG(i)P(X)| 0.06 0.10 0.10 0.10 0.15 0.18 0.18 0.21 0.26 0.33 0.04 0.0489 0.0320 0.0082 0.0353 0.0335 0.0142 0.0189 0.0429 0.0872 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 0.262 0.286 0.310 0.333 0.357 0.381 0.405 0.429 0.452 0.476 0.500 0.524 0.548 0.571 0.595 0.619 0.643 0.667 0.690 0.714 0.738 0.762 0.786 0.810 0.833 0.857 0.881 0.905 0.929 0.952 0.9762 12.23 12.85 13.23 14.48 15.20 15.23 20.85 21.34 21.73 28.16 29.93 32.35 32.63 34.16 34.93 37.73 38.98 39.88 43.25 44.10 47.41 73.35 74.10 74.60 86.10 95.39 99.01 128.35 135.85 196.66 282.7317 0.33 0.34 0.35 0.37 0.38 0.38 0.45 0.46 0.46 0.53 0.54 0.56 0.57 0.58 0.59 0.61 0.62 0.62 0.65 0.65 0.67 0.79 0.79 0.80 0.83 0.86 0.87 0.92 0.93 0.97 0.99 0.0709 0.0569 0.0389 0.0337 0.0201 0.0032 0.0449 0.0268 0.0074 0.0502 0.0428 0.0402 0.0187 0.0076 0.0101 0.0123 0.0269 0.0442 0.0450 0.0633 0.0665 0.0304 0.0093 0.0128 0.0005 0.0003 0.0157 0.0118 0.0025 0.0193 0.0163 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR: 65.018 56.928 41 2.482 N° de datos Cs= 2. NECESITAMOS HALLAR α Y ß α= ß= Xo= 0.649 70.652 19.148 35 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = 41 ∆ por calculo 0.087 ∆ del cuadro 4.5 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.087 < 0.212 CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 36 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.7 DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III La función de densidad es: Válido para: x0≤x<∞ -∞ < x0 < ∞ 0<β<∞ 0<γ<∞ Dónde: x0: parámetro de posición γ: parámetro de forma β: parámetro de escala DISTRIBUCION LOGPEARSON III m Qmax (m3/s) P(X) Y=LN(X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 0.02381 0.04762 0.07143 0.09524 0.11905 0.14286 0.16667 0.19048 0.21429 0.23810 0.26190 0.28571 0.30952 0.33333 0.35714 0.38095 0.40476 0.42857 0.45238 0.47619 0.50000 0.52381 2.9957 3.0354 3.0445 3.0445 3.1193 3.1549 3.1625 3.2116 3.2988 3.4311 3.4460 3.4657 3.4775 3.5154 3.5366 3.5375 3.6889 3.7011 3.7106 3.8567 3.8935 3.9416 37 (𝐋𝐧(𝐗) 1.00388 1.04358 1.05267 1.05267 1.12743 1.16302 1.17067 1.21980 1.30695 1.43923 1.45416 1.47389 1.48569 1.52357 1.54475 1.54563 1.69703 1.70921 1.71879 1.86487 1.90160 1.94973 𝐗𝐨 FG(i) |FG(i)P(X)| 0.060270 0.071809 0.074628 0.074628 0.100298 0.114062 0.117146 0.138001 0.179159 0.250237 0.258786 0.270213 0.277119 0.299585 0.312327 0.312854 0.406108 0.413670 0.419622 0.509093 0.530949 0.559020 0.0365 0.0242 0.0032 0.0206 0.0187 0.0288 0.0495 0.0525 0.0351 0.0121 0.0031 0.0155 0.0324 0.0337 0.0448 0.0681 0.0013 0.0149 0.0328 0.0329 0.0309 0.0352 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 0.54762 0.57143 0.59524 0.61905 0.64286 0.66667 0.69048 0.71429 0.73810 0.76190 0.78571 0.80952 0.83333 0.85714 0.88095 0.90476 0.92857 0.95238 0.97619 3.9470 3.9761 3.9904 4.0409 4.0627 4.0780 4.1336 4.1471 4.1981 4.5272 4.5353 4.5406 4.6563 4.7409 4.7720 4.9938 5.0434 5.3744 5.7100 1.95516 1.98428 1.99852 2.04909 2.07083 2.08620 2.14172 2.15525 2.20625 2.53536 2.54344 2.54878 2.66449 2.74908 2.78015 3.00198 3.05158 3.38255 3.71818 0.562138 0.578714 0.586717 0.614516 0.626158 0.634270 0.662750 0.669486 0.694137 0.823839 0.826390 0.828064 0.861271 0.882102 0.889075 0.929460 0.936504 0.969580 0.986331 0.0145 0.0073 0.0085 0.0045 0.0167 0.0324 0.0277 0.0448 0.0440 0.0619 0.0407 0.0185 0.0279 0.0250 0.0081 0.0247 0.0079 0.0172 0.0101 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR: 3.920 0.678 41 0.703 N° de datos Cs= 2. NECESITAMOS HALLAR α Y ß α= ß= Xo= 8.093 0.238 1.992 nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = ∆ ∆ 41 por calculo 0.068 del cuadro 4.5 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.068 < 0.212 38 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 4.8 DISTRIBUCIÓN GUMBEL La distribución de Valores Tipo I conocida como Distribución Gumbel o Doble Exponencial, tiene como función de distribución de probabilidades la siguiente expresión: Utilizando el método de momentos, se obtienen las siguientes relaciones: Dónde: α: Parámetro de concentración. β: Parámetro de localización. Según Chow, la distribución puede expresarse de la siguiente forma: 39 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION GUMBEL m Qmax (m3/s) P(X) (𝐗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 0.02 0.05 0.07 0.10 0.12 0.14 0.17 0.19 0.21 0.24 0.26 0.29 0.31 0.33 0.36 0.38 0.40 0.43 0.45 0.48 0.50 0.52 0.55 0.57 0.60 0.62 0.64 0.67 0.69 0.71 0.74 0.76 0.79 0.81 0.83 0.86 0.88 0.90 0.93 0.95 0.98 2026.66 1954.38 1937.62 1937.62 1796.78 1727.93 1713.00 1615.91 1439.32 1163.38 1131.88 1090.22 1065.27 985.23 940.55 938.71 625.92 601.64 582.66 313.59 254.03 182.75 175.26 137.09 119.76 66.23 47.45 35.86 6.86 3.13 2.38 755.24 797.02 825.50 1618.58 2452.39 2823.51 6803.21 8096.69 22738.10 56103.41 𝐗 )𝟐 Y=(X-µ)/α FG(i) |FG(i)P(X)| -0.437 -0.419 -0.415 -0.415 -0.378 -0.359 -0.355 -0.328 -0.278 -0.191 -0.181 -0.167 -0.158 -0.130 -0.114 -0.113 0.014 0.025 0.033 0.178 0.218 0.273 0.279 0.313 0.331 0.394 0.422 0.442 0.518 0.537 0.612 1.196 1.213 1.224 1.484 1.693 1.774 2.435 2.604 3.974 5.913 0.213 0.219 0.220 0.220 0.232 0.239 0.240 0.249 0.267 0.298 0.302 0.307 0.310 0.320 0.326 0.326 0.373 0.377 0.380 0.433 0.448 0.467 0.469 0.481 0.487 0.509 0.519 0.526 0.551 0.557 0.581 0.739 0.743 0.745 0.797 0.832 0.844 0.916 0.929 0.981 0.997 0.19 0.17 0.15 0.12 0.11 0.10 0.07 0.06 0.05 0.06 0.04 0.02 0.00 0.01 0.03 0.05 0.03 0.05 0.07 0.04 0.05 0.06 0.08 0.09 0.11 0.11 0.12 0.14 0.14 0.16 0.16 0.02 0.04 0.06 0.04 0.03 0.04 0.01 0.00 0.03 0.02 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR: N° de datos 65.018 56.928 41 α= µ= 40 44.387 39.401 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = 41 ∆ por calculo 0.189 ∆ del cuadro 4.5 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.189 < 0.212 CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 41 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.9 DISTRIBUCIÓN LOG GUMBEL La variable aleatoria reducida log gumbel, con lo cual, la función acumulada reducida log gumbel es: DISTRIBUCION LOGGUMBEL m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Qmax (m3/s) 20.00 20.81 21.00 21.00 22.63 23.45 23.63 24.82 27.08 30.91 31.38 32.00 32.38 33.63 34.35 34.38 40.00 40.49 40.88 47.31 49.08 51.50 51.78 53.31 54.08 56.88 58.13 59.03 62.40 63.25 66.56 92.50 93.25 93.75 105.25 114.54 118.16 147.50 155.00 215.81 301.88 P(X) y=LN(X) Y=(y-µ)/α FG(i) 0.02 0.05 0.07 0.10 0.12 0.14 0.17 0.19 0.21 0.24 0.26 0.29 0.31 0.33 0.36 0.38 0.40 0.43 0.45 0.48 0.50 0.52 0.55 0.57 0.60 0.62 0.64 0.67 0.69 0.71 0.74 0.76 0.79 0.81 0.83 0.86 0.88 0.90 0.93 0.95 0.98 2.996 3.035 3.045 3.045 3.119 3.155 3.163 3.212 3.299 3.431 3.446 3.466 3.478 3.515 3.537 3.537 3.689 3.701 3.711 3.857 3.893 3.942 3.947 3.976 3.990 4.041 4.063 4.078 4.134 4.147 4.198 4.527 4.535 4.541 4.656 4.741 4.772 4.994 5.043 5.374 5.710 -1.172 -1.097 -1.080 -1.080 -0.939 -0.871 -0.857 -0.764 -0.599 -0.349 -0.320 -0.283 -0.261 -0.189 -0.149 -0.147 0.139 0.162 0.180 0.457 0.526 0.617 0.627 0.683 0.709 0.805 0.846 0.875 0.980 1.006 1.102 1.725 1.740 1.750 1.969 2.129 2.188 2.608 2.702 3.328 3.963 0.040 0.050 0.053 0.053 0.078 0.092 0.095 0.117 0.162 0.242 0.252 0.265 0.273 0.299 0.313 0.314 0.419 0.427 0.434 0.531 0.554 0.583 0.586 0.603 0.611 0.640 0.651 0.659 0.687 0.694 0.717 0.837 0.839 0.841 0.870 0.888 0.894 0.929 0.935 0.965 0.981 42 |FG(i)P(X)| 0.02 0.00 0.02 0.04 0.04 0.05 0.07 0.07 0.05 0.00 0.01 0.02 0.04 0.03 0.04 0.07 0.01 0.00 0.02 0.05 0.05 0.06 0.04 0.03 0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 0.02 0.02 0.07 0.05 0.03 0.04 0.03 0.01 0.02 0.01 0.01 0.00 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR: N° de datos 3.920 0.678 41 α= µ= 0.529 3.615 nivel de significancia, “α=0.05 PARA N = 41 ∆ por calculo 0.075 ∆ del cuadro 4.5 0.212 Se realizará la comparación entre los 2 valores obtenidos, debiendo cumplir con la condición: ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 0.075 < 0.212 CONCLUSION: Es ajustable porque no cumple la condición PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS: 43 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.10 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: Las pruebas de bondad de ajuste son pruebas de hipótesis que se usan para evaluar si un conjunto de datos es una muestra independiente de la distribución elegida. En la teoría estadística, las pruebas de bondad de ajuste más conocidas son la 2 χ y la Kolmogorov – Smirnov, las cuales se describen a continuación: Prueba Kolmogorov – Smirnov Método por el cual se comprueba la bondad de ajuste de las distribuciones, asimismo permite elegir la más representativa, es decir la de mejor ajuste. Esta prueba consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D entre la función de distribución de probabilidad observada Fo (xm) y la estimada F (xm): D = máx / Fo(xm) – F(xm)/ Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionado, Si D<d, se acepta la hipótesis nula. La función de probabilidad observada se calcula como: Fo(xm) = 1- m / (n+1) Donde m es el número de orden de dato xm en una lista de mayor a menor y n es el número total de datos. SEGÚN LA TABLA OBTENEMOS EL DELTA TABULAR: DISTRIBUCION NORMAL LOGNORMAL 2 PARAMETROS LOGNORMAL 3 PARAMETROS GAMMA 2 PARAMETROS GAMMA 3 PARAMETROS LOGPEARSON III GUMBEL LOGGUMBEL ∆ TEÓRICO DE LAS DISTRIBUCIONES DELTA TEORICO DELTA TUBULAR 0.2273 0.2124 0.0949 0.2124 0.0611 0.2124 0.1384 0.2124 0.0872 0.2124 0.0681 0.2124 0.1888 0.2124 0.0749 0.2124 44 CONDICION ∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜 No se ajusta Se ajusta Se ajusta Se ajusta Se ajusta Se ajusta Se ajusta Se ajusta UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Se obtuvo los siguientes resultados: m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 NORMAL: F(Z) |F(Z)-P(Z)| 0.214532357 0.190722833 0.218707822 0.171088774 0.219693981 0.14826541 0.219693981 0.124455886 0.228258422 0.109210803 0.232636884 0.089779741 0.233604221 0.066937555 0.240055185 0.049578994 0.25256945 0.038283736 0.274537041 0.036441803 0.277266916 0.015362154 0.280956891 0.004757395 0.283211937 0.026311872 0.290690486 0.042642848 0.295039636 0.062103221 0.295221499 0.085730882 0.33015931 0.074602595 0.333282914 0.095288514 0.335777352 0.1166036 0.377875259 0.098315217 0.389748687 0.110251313 0.406148266 0.117661257 0.408057011 0.139562036 0.418524364 0.152904207 0.423780251 0.171457844 0.443161136 0.175886483 0.451844774 0.191012369 0.458111537 0.20855513 0.481657081 0.20881911 0.48760925 0.226676464 0.510801811 0.227293428 0.685360267 0.076544495 0.690023073 0.095691212 0.693114779 0.11640903 0.760125913 0.073207421 0.807821301 0.049321556 0.82469288 0.056259501 0.926313166 0.021551261 0.943017037 0.014445609 0.995961138 0.043580186 0.999984137 0.023793661 LOGNORMAL - 2PAR: F(Z) |F(Z)-P(Z)| 0.086282738 0.062473214 0.095870917 0.048251869 0.098172193 0.026743622 0.098172193 0.002934098 0.118648872 0.000398747 0.1293933 0.013463843 0.131786846 0.034879821 0.14789383 0.04258236 0.179581351 0.034704363 0.235199289 0.002895949 0.242024483 0.019880279 0.251202705 0.034511581 0.256782629 0.052741181 0.275112313 0.05822102 0.285637058 0.071505799 0.286074866 0.094877515 0.366343511 0.038418394 0.373122966 0.055448463 0.378488378 0.073892574 0.462565985 0.013624491 0.484129719 0.015870281 0.512446926 0.011362597 0.515635751 0.031983296 0.53273929 0.038689282 0.541087832 0.054150263 0.570549203 0.048498416 0.583103012 0.059754131 0.591925659 0.074741007 0.623390398 0.067085792 0.630944215 0.083341499 0.658949366 0.079145872 0.81462146 0.052716699 0.817788163 0.032073877 0.819866457 0.010342648 0.8611574 0.027824066 0.886919118 0.029776261 0.895467806 0.014515425 0.94333041 0.038568505 0.95119182 0.022620392 0.98401301 0.031632058 0.995852514 0.019662037 45 LOGNORMAL - 3PAR: F(Z) |F(Z)-P(Z)| 0.030194436 0.006384912 0.044850941 0.002768107 0.048541142 0.022887429 0.048541142 0.046696953 0.082923214 0.036124405 0.101425686 0.041431456 0.105549618 0.061117048 0.133126805 0.057349386 0.185593011 0.028692703 0.270040653 0.031945415 0.279730223 0.017825461 0.292541523 0.006827238 0.300210371 0.009313438 0.324788381 0.008544952 0.338493079 0.018649778 0.339056955 0.041895426 0.434972805 0.0302109 0.442467252 0.013895824 0.448339372 0.00404158 0.534309787 0.058119311 0.554768067 0.054768067 0.580804065 0.056994541 0.583680879 0.036061831 0.598932074 0.027503503 0.606270959 0.011032863 0.631654857 0.012607238 0.64224366 0.000613483 0.649609569 0.017057098 0.675407576 0.015068614 0.681499124 0.03278659 0.703775198 0.03432004 0.821910722 0.06000596 0.824277689 0.038563403 0.825831899 0.016308089 0.856954375 0.023621042 0.876822462 0.019679605 0.883546583 0.002594202 0.923457106 0.018695201 0.930630095 0.002058667 0.965559085 0.013178133 0.984355517 0.008165041 GAMMA 2P F(Z) |F(Z)-P(Z)| 0.117149143 0.093339619 0.125289548 0.077670501 0.127219877 0.055791306 0.127219877 0.031981782 0.144077839 0.02503022 0.152742003 0.00988486 0.15465876 0.012007907 0.16745397 0.02302222 0.192258655 0.022027059 0.235337222 0.002758016 0.240624018 0.021280743 0.247741655 0.037972631 0.252074571 0.057449238 0.266347045 0.066986289 0.274575058 0.082567799 0.274917919 0.106034462 0.338845909 0.065915996 0.344363398 0.084208031 0.348745362 0.103635591 0.419422863 0.056767613 0.438241879 0.061758121 0.463445017 0.060364507 0.466319765 0.081299283 0.481870695 0.089557876 0.489544196 0.105693899 0.517078097 0.101969522 0.529034977 0.113822165 0.537521679 0.129144988 0.568373859 0.122102332 0.575921876 0.138363839 0.604407492 0.133687746 0.77917922 0.017274458 0.7830527 0.002661586 0.785601999 0.023921811 0.837393577 0.004060243 0.870701036 0.013558179 0.881882537 0.000930156 0.944534844 0.03977294 0.954519823 0.025948394 0.991403674 0.039022722 0.999273606 0.02308313 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA GAMMA 3 PAR FG(i) 0.06279248 0.096474042 0.103390245 0.103390245 0.154385097 0.176310494 0.180886853 0.209398138 0.257150725 0.32531231 0.332775399 0.342575662 0.348410765 0.36698954 0.377289993 0.377713159 0.449672852 0.455344091 0.459797519 0.526402462 0.542767893 0.563967461 0.56633775 0.57900331 0.585160249 0.606792331 0.615980801 0.62243357 0.645453972 0.650990674 0.671592529 0.792329545 0.794986713 0.796737356 0.832809422 0.856890788 0.865230826 0.916563369 0.926048708 0.971668469 0.992442705 |FG(i)-P(X)| 0.038982957 0.048854994 0.031961674 0.00815215 0.035337478 0.033453351 0.014220186 0.018921947 0.04286501 0.087217072 0.070870637 0.056861377 0.038886955 0.033656206 0.020147136 0.003239222 0.044910948 0.026772663 0.007416567 0.050211986 0.042767893 0.040157937 0.018718702 0.007574738 0.010077846 0.012255288 0.026876342 0.044233097 0.045022219 0.06329504 0.066502709 0.030424783 0.009272428 0.012786453 0.000523911 0.000252069 0.015721555 0.011801464 0.002522721 0.019287517 0.016252229 LOGPEARSON III FG(i) 0.060269931 0.071809482 0.074627579 0.074627579 0.100297675 0.1140619 0.117145685 0.138000944 0.179158689 0.250236853 0.258786154 0.270212789 0.277119252 0.299584615 0.312326534 0.312854045 0.40610801 0.413670473 0.419621581 0.509092844 0.530949289 0.559020344 0.562137957 0.578713663 0.586716839 0.614515751 0.626158203 0.634270394 0.662749721 0.6694858 0.694137452 0.823838658 0.826390189 0.828063953 0.861271122 0.882102258 0.889074561 0.929460148 0.936504153 0.969580397 0.986330561 |FG(i)-P(X)| 0.036460408 0.024190434 0.003199008 0.020610516 0.018749944 0.028795243 0.049520981 0.052475246 0.035127025 0.012141615 0.003118608 0.015501497 0.032404558 0.033748718 0.044816323 0.068098336 0.001346105 0.014900955 0.032759372 0.032902368 0.030949289 0.03521082 0.014518909 0.007285092 0.008521256 0.004531868 0.01669894 0.032396272 0.02772647 0.044799914 0.043957786 0.061933896 0.040675903 0.018540143 0.027937789 0.024959401 0.00812218 0.024698243 0.007932724 0.017199445 0.010140085 46 GUMBEL FG(i) 0.212633256 0.218670284 0.220094808 0.220094808 0.232441168 0.238732918 0.240120881 0.249355989 0.267154595 0.297955692 0.301739227 0.306836926 0.309942776 0.320190164 0.326111473 0.326358457 0.372846035 0.37690643 0.38013742 0.433101354 0.447503098 0.467008973 0.469250366 0.48143564 0.487486703 0.509414948 0.519046101 0.52592324 0.551222025 0.557484756 0.581391254 0.739105519 0.742858792 0.745336348 0.797052792 0.831937717 0.843997339 0.916161126 0.928718113 0.981384319 0.99730084 LOGGUMBEL |FG(i)-P(X)| 0.188823732 0.171051236 0.148666237 0.124856713 0.113393549 0.095875775 0.073454215 0.058879799 0.05286888 0.059860454 0.039834465 0.02112264 0.000418966 0.013143169 0.031031384 0.054593924 0.03191587 0.051664999 0.072243532 0.043089122 0.052496902 0.05680055 0.078368681 0.089992931 0.107751392 0.109632671 0.123811042 0.140743426 0.139254165 0.156800958 0.156703985 0.022799243 0.042855494 0.064187462 0.036280542 0.02520514 0.036955042 0.011399221 0.000146685 0.029003367 0.021110364 FG(i) 0.03958601 0.05000594 0.05262601 0.05262601 0.07759762 0.09165242 0.09485274 0.1169097 0.16200653 0.2424078 0.25216752 0.26521888 0.27310822 0.29875386 0.31327471 0.31387532 0.41888817 0.42727103 0.4338508 0.53077446 0.55383009 0.58305755 0.58627649 0.60329883 0.61146178 0.63953045 0.6511535 0.65920579 0.68717291 0.69371916 0.71745308 0.83681274 0.83907611 0.84055933 0.86975762 0.8878915 0.89393968 0.92895954 0.9351109 0.96476653 0.98117067 |FG(i)-P(X)| 0.015776485 0.002386889 0.018802557 0.042612081 0.041449995 0.051204726 0.071813927 0.073566486 0.05227918 0.004312565 0.009737246 0.020495407 0.03641559 0.034579475 0.043868146 0.067077063 0.014126266 0.001300401 0.018530152 0.054583982 0.053830087 0.059248024 0.038657447 0.031870256 0.016223686 0.020482828 0.008296356 0.007460872 0.003303282 0.020566554 0.020642158 0.074907976 0.053361827 0.03103552 0.036424283 0.030748641 0.012987298 0.024197639 0.006539474 0.012385581 0.004980189 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.11 Determinación de nuevas restricciones La forma de determinar las restricciones de los métodos estadísticos es considerar los resultados obtenidos, al efectuar el análisis comparativo de métodos de estimación de avenidas de diseño del rio La Leche las restricciones dependerán también de muchos factores, tales como tiempo de precipitación, escorrentía, retención y condiciones de uniformidad de la cuenca, etc. 4.12 Análisis de Consistencia u homogeneidad Consiste en realizar un análisis de la información disponible, mediante criterios físicos y métodos estadísticos que permitan identificar, evaluar y eliminar los posibles errores sistemáticos que ha podido ocurrir, sea por causas naturales u ocasionadas por la intervención de la mano del hombre. Inconsistencia, son los errores sistemáticos que se presentan como saltos y tendencias en las series maestrales. (Cahuana Andia & Yugar Morales, 2009) No homogeneidad, cambios de los datos originales con el tiempo. La No Homogeneidad en los datos de Caudales, se produce por movimiento datos de la Estación, cambios en el medio ambiente que rodea la Estación. Las causas principales de serie de precipitaciones no homogéneas se deben a: • Cambio en la localización del hidrómetro. • Cambio en la forma de exposición o reposición del aparato. • Cambio en el procedimiento de observación o reemplazo del operador. • Construcción de embalses en las cercanías. • Deforestación y reforestación en la zona. • Apertura de nuevas áreas de cultivo en los alrededores. A. PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE HOMOGENEIDAD El test o prueba estadística de homogeneidad presenta una hipótesis nula y una regla para aceptarla para aceptarla o rechazarla en base a su probabilidad de ocurrencia. Si dicha probabilidad es pequeña, se concluye que la serie es no homogénea, si es grande, se dice que la serie es homogénea. (Cahuana Andia & Yugar Morales, 2009) 47 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA TEST DE MANN-KENDALL La prueba de Homogeneidad de Mann-Kendall es un test no paramétrico, tiene una hipótesis nula sencilla y fácil de satisfacer. Este test detecta cualquier forma de tendencia, ya sean lineales o en forma de saltos, siempre que den una tendencia global, este test no es adecuado para series que presentan un componente estacional. estacional. La prueba de Homogeneidad de Mann-Kendall es en realidad un test estadístico que conduce a elegir a conduce a elegir alguna de las siguientes respuestas: (Cahuana Andia & Yugar Morales, 2009) • Hipótesis nula: Todos los valores de la serie son datos aleatorios de una sola población (Es una serie Homogénea). • Hipótesis alternativa: Es una serie no homogénea con tendencia monótona. La prueba consiste en calcular un índice de desviación de la serie, y a partir de este valor calcular el valor de v mediante la relación: 48 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Luego se elige un nivel de significancia α o valor de confiabilidad en función al cual se definirá la condición de homogeneidad de la serie. Este índice se relaciona con un valor de Vcrit a través de la función de distribución normal, que se muestra en la Tabla. Se compara V y Vcrit, Si V es menor que Vcrit se acepta la hipótesis nula, es decir que la serie es homogénea con un nivel de significancia de α %, de lo contrario se asume la h o contrario se asume la hipótesis alternativa PRUEBA ESTADÍSTICA DE HELMERT Esta prueba es sencilla y consiste en analizar el signo de las desviaciones de cada evento 𝑃𝑗𝑖 de la serie j para i=1,2 ,3 …., nj con respecto a su valor medio 𝑃𝑗 . Si una desviación de un cierto signo es seguida de otra del mismo signo, entonces se dice que se forma una frecuencia S, si de lo contrario se considera como un cambio C. La serie se considera homogénea si cumple: Donde: nj: representa el tamaño de muestra LAS PRUEBAS DE CONSISTENCIA Y HOMOGENEIDAD RELATIVA: Una serie de tiempo de datos hidrológicos es relativamente constante si los datos son periódicamente proporcionales a una serie de tiempo apropiado simultáneamente (Chang y Lee 1974). La consistencia relativa significativa que los datos hidrológicos en una observación cierta estación son generados por el mismo mecanismo que genera similares datos de otras estaciones. Es una práctica común para verificar la coherencia en relación con el doble de la masa de análisis. Para determinar la consistencia relativa, se comparan las observaciones a partir de una cierta estación con la media de las observaciones de varias estaciones cercanas. Este medio se llama la base o patrón es difícil decir cuántas estaciones el modelo debe e incluir. 49 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Las estaciones cuanto menor los datos determinados influirá en la consistencia y la valides de la media patrón. Doble masa de análisis, es comprobación requiere eliminar del patrón los datos de una determinada estación y comparándolos con los datos restantes. Si estos datos son consistentes con los totales generales de la zona, que se vuelven a incorporar en el patrón no se puede hacer un análisis de doble masa, sin embargo, se pueden detectar cambios similares que ocurrieron en las estaciones de forma simultánea. Por ejemplo, si al mismo tiempo todas las estaciones en la región comenzaron a registrar los datos que fueron del 50% que es demasiado grande, la doble curva de la masa no muestra un cambio significativo. Análisis de doble masa Doble la masa de análisis supone una relación lineal entre la serie de tiempo de los procesos de datos hidrológicos. Como este supuesto no puede ser válida en todas las tasas de acumulación, que debe ser verificada. Los datos pluviométricos son por lo general proporcionales a los totales en las estaciones cercanas en la misma zona hidrológica. Una relación lineal entre dos variables que incluye el par x=O y y=S se puede expresar como: Y=b*x Donde B= factor de proporcionalidad Y=serie de tiempo para ser probada X=serie de tiempo del modelo La definición la pendiente media como la pendiente de la recta que pasa por los puntos O, S y Y, X, dará una estimación bastante buena de la media real de los factores de proporcionalidad. Los puntos trazados nunca caen exactamente en la línea media. Si hay una tendencia lejos de la línea durante un periodo determinado. El análisis de las tendencias persistentes de distancia de la pendiente media, se ve que los puntos de quiebre entre dos periodos con pendientes aparentemente diferentes indicar el momento en que los cambios de relación lineal entre el medio de dos partes de la serie de tiempo. Doble masa análisis no solo se usa para verificar la consistencia relativa de una serie de un tiempo de serie, sino también para encontrar los factores de corrección de errores y llenar los vacíos. Esta aplicación se limita a los totales mensuales y anuales ya que normalmente no trabaja con los diarios. Además, en el mejor de las casas, de doble masa análisis preserva la media y no el estándar. 50 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Para el proyecto se realizó el análisis de homogeneidad con test de MANNKENDALL y prueba estadística de Helmert, obteniendo los siguientes resultados: TEST DE MANN KENDALL n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 P 12.47 14.91 9.32 54.45 26.20 13.69 11.64 11.00 8.89 15.59 12.87 8.10 13.61 10.72 12.05 7.45 7.19 6.88 115.68 22.56 31.12 33.40 44.63 21.35 8.02 6.58 13.45 7.77 27.83 19.30 17.56 20.20 20.45 20.63 21.00 19.92 19.71 19.91 20.17 20.47 20.84 SI 27 22 32 1 6 23 29 30 33 21 26 34 24 31 28 37 38 39 0 7 4 3 2 8 35 40 25 36 5 19 20 14 13 11 9 16 18 17 15 12 10 TI 13 18 8 39 34 17 11 10 7 19 14 6 16 9 12 3 2 1 40 33 36 37 38 32 5 0 15 4 35 21 20 26 27 29 31 24 22 23 25 28 30 α Vcrit 0.005 2.58 I= T= S= V= Vcrit= α= 0.01 2.33 0.025 1.96 820 820 0 -0.01123194 -1.28 0.1 0.05 1.64 1.28 SE OBTIENE: Vcrit > |𝑽| = Serie Homogénea Los datos son Homogéneos 51 0.1 1.28 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA PRUEBA ESTADÍSTICA DE HELMERT n año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Precip. anual 12.47 14.91 9.32 54.45 26.20 13.69 11.64 11.00 8.89 15.59 12.87 8.10 13.61 10.72 12.05 7.45 7.19 6.88 115.68 22.56 31.12 33.40 44.63 21.35 8.02 6.58 13.45 7.77 27.83 19.30 17.56 20.20 20.45 20.63 21.00 19.92 19.71 19.91 20.17 20.47 20.84 Test de Helmert + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + S S S S S S S S S S S S S S S C S C S S S S S S C C S S S S S S S S S S S S S S 52 Prep. Promedio= S= C= 20.23 36 4 SE OBTIENE: S-C >√𝑵 36-4>√𝟒𝟏 𝟏 = Serie homogénea 𝟏 32>6.3245 …. cumple Los datos son Homogéneos UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 4.13 Caudales de Diseño para diferentes períodos de retorno: 3.METODOS PROBABILISTICOS: PARAMETROS ESTADISTICOS DE LA SERIE: DESCRIPCION QMAX LOG (QMAX) PROMEDIO: DESVIACION ESTANDAR OEFICIENTE DE VARIACION COEFICIENTE ASIMETRIA 65.01841707 56.92818368 0.875570127 2.482147829 1.702619909 0.294419325 0.172921345 0.703031397 DISTRIBUCION NORMAL Fórmulas a usar: 1 2 1 1 1 2 0 02 01 2 0 010 2 2 0 001 0 2 ZT= KT 65.0184 56.9282 𝑋 Q T (AÑOS) P X<=T 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 𝑋 DISTR. NORMAL W 1.17740 1.79410 2.14600 2.53730 2.79710 3.03490 3.25520 3.52550 3.71690 Z 0.00070 0.84060 1.28020 1.74877 2.05130 2.32358 2.57254 2.87439 3.08607 53 Kt 0.00000 0.84100 1.28020 1.75000 2.05130 2.32360 2.57300 2.87440 3.09000 Xt 65.02 112.90 137.90 164.64 181.80 197.30 211.49 228.65 240.93 𝑆 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 65.02 112.90 137.90 164.64 181.80 197.30 211.49 228.65 240.93 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION LOGNORMAL -2 PARAMETROS Fórmulas a usar: 1 2 1 1 1 2 0 02 01 2 0 010 2 2 0 001 0 2 ZT= KT 1.70 0.29 0.17 CV= 𝑋 𝑋 10 𝑋 Q T (AÑOS) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P X<=T 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 W 1.17740 1.79410 2.14600 2.53730 2.79710 3.03490 3.25520 3.52550 3.71690 𝑆 DISTR. LOGNORMAL 2 PARAMETROS KT K 0.00070 0.00000 0.84060 0.84000 1.28020 1.28000 1.74877 1.75000 2.05130 2.05000 2.32358 2.32400 2.57254 2.57300 2.87439 2.87439 3.08607 3.09000 Xt 1.70 1.95 2.08 2.22 2.31 2.39 2.46 2.55 2.61 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 50.4 89.1 120.1 165.1 202.4 243.7 288.5 353.9 409.6 DISTRIBUCION LOGNORMAL - 3 PARAMETROS T (AÑOS) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P X<=T 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 44.6 86.1 128.4 201.7 273.0 360.3 465.9 638.1 797.0 54 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION GAMMA 3 PARAMETROS Fórmulas a usar: 2 1 1 1 2 1 2 02 01 1 1 P X<=T 0.500 0.200 0.100 0.040 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001 W 1.18000 1.79000 2.15000 2.53727 2.79700 3.03000 3.25525 3.50000 3.72000 2 0 010 2 0 001 0 2 2 2 65.02 56.93 2.48 0.414 Cs= k= T (AÑOS) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 0 2 1 1 Q DISTR. GAMMA 3 PARAMETROS Z Kt 0.00400 -0.34000 0.83500 0.51000 1.28500 1.23000 1.75000 2.21900 2.05100 3.00500 2.32000 3.81300 2.57000 4.66000 2.85000 5.70000 3.08915 6.70000 𝑋 𝑆 Xt 45.66283 94.05 135.04 191.34 236.09 282.09 330.30 389.51 446.44 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 45.66 94.05 135.04 191.34 236.09 282.09 330.30 389.51 446.4 DISTRIBUCION LOGPEARSON T (AÑOS) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P X<=T 0.500 0.200 0.100 0.040 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001 W 1.17741 1.79412 2.14597 2.53727 2.79715 3.03485 3.25525 3.52551 3.71692 DISTR. LOGPEARSON Z Kt 0.00000 -0.10000 0.84000 0.80000 1.28000 1.30000 1.75000 2.00000 2.05000 2.40000 2.32000 2.80000 2.57000 3.20000 2.87000 3.70000 3.09000 4.10000 55 Xt 1.67318 1.94000 2.09000 2.29000 2.41000 2.53000 2.64000 2.79000 2.91000 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 47.1 87.1 123.0 195.0 257.0 338.8 436.5 616.6 812.8 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA DISTRIBUCION GUMBEL T (AÑOS) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P X<=T 0.500 0.200 0.100 0.040 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001 W 1.17741 1.79412 2.14597 2.53727 2.79715 3.03485 3.25525 3.52551 3.71692 DISTR. LOGPEARSON Z Kt 0.00071 -0.16427 0.84063 0.71946 1.28016 1.30456 1.74874 2.04384 2.05136 2.59228 2.32353 3.13667 2.57259 3.67908 2.87440 4.39468 3.08609 4.93551 Xt 55.66673 105.97573 139.28466 181.37058 212.59232 243.58353 274.46166 315.19948 345.98816 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 55.67 105.98 139.28 181.37 212.59 243.58 274.46 315.20 345.99 DISTRIBUCION LOGGUMBEL T (AÑOS) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P X<=T 0.500 0.200 0.100 0.040 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001 W 1.17741 1.79412 2.14597 2.53727 2.79715 3.03485 3.25525 3.52551 3.71692 DISTR. LOGPEARSON Z Kt 0.00071 -0.16427 0.84063 0.71946 1.28016 1.30456 1.74874 2.04384 2.05136 2.59228 2.32353 3.13667 2.57259 3.67908 2.87440 4.39468 3.08609 4.93551 Xt 1.65426 1.91444 2.08671 2.30437 2.46584 2.62612 2.78581 2.99650 3.15573 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 45.1 82.1 122.1 201.5 292.3 422.8 610.7 992.0 1431.3 DISTRIBUCION GAMMA 2 PARAMETROS T (AÑOS) P X<=T 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 DISTR. GAMMA 2 PARAMETROS F(Z) 0.5 0.8 0.9 0.96 0.98 0.99 0.995 0.998 0.999 v 4 4 4 4 4 4 4 4 4 56 x^2 3.356694 5.9886167 7.7794403 10.025519 11.667843 13.276704 14.860259 16.923758 18.466827 CAUDAL MAXIMO Qmax m3/s 51.48282 91.849562 119.31607 153.76499 178.9539 203.62957 227.91712 259.56575 283.23235 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA CUADRO RESUMEN CON LOS CAUDALES DE DISEÑO POR LOS DIFERENTES METODOS PROBABILISTICOSCON SU RESPECTIVO PERIODO DE RETORNO METODO TR(AÑ0S) 2 5 10 25 50 100 200 475 1000 NORMAL Qd (m3/s) 65 113 138 165 182 197 211 229 241 LOGNORMAL 2 P. Qd (m3/s) 50 89 120 165 202 244 289 354 410 LOGNORMAL 3 P. Qd(m3/s) 45 86 128 202 273 360 466 638 797 GAMMA 3P. Qd(m3/s) 46 94 135 191 236 282 330 390 446 LOG- PEARSON III Qd(m3/s) 47 87 123 195 257 339 437 617 813 GUMBEL Qd(m3/s) 56 106 139 181 213 244 274 315 346 LOG- GUMBEL Qd(m3/s) 45 82 122 202 292 423 611 992 1431 GAMMA 2P. Qd(m3/s) 51 92 119 154 179 204 228 260 283 COMENTARIO: EL METODO DE PROBABILIDADE S EL QUE MAS DE APROXIMA A LOS DATOS DE REGISTRO HISTORICO ES EL METODO LOGGUMBEL 57 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2.METODOS ESTADISTICOS: METODO GUMBEL: Para calcular el caudal máximo para un período de retorno determinado se usa la ecuación: siendo: donde: Qmáx = caudal máximo para un período de retorno determinado, en m3 /s N = número de años de registro Qi = caudales máximos anuales registrados, en m3 /s , caudal promedio, en m3 /s T = período de retorno. 𝜎𝑁 𝑦 𝑌𝑁 = constantes función de N, tabla 6.13 (variables reducidas) σ Q = desviación estándar de los caudales Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmáx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente: 1. Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula: 2. Si φ > 0.90, el intervalo se calcula como: El caudal máximo de diseño para un cierto período de retorno será igual al caudal máximo más el intervalo de confianza, calculado: 58 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA METODO GUMBEL AÑO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 SUMA: N° de datos Qmax (m3/s) 34.35 47.31 24.82 215.81 114.54 40.88 32.00 49.08 27.08 59.03 30.91 40.49 58.13 53.31 51.78 23.45 21.00 21.00 118.16 62.40 155.00 54.08 301.88 105.25 20.00 40.00 93.25 20.81 147.50 63.25 66.56 34.38 56.88 31.38 32.38 93.75 33.63 92.50 22.63 51.50 23.63 2665.755 41.000 1. PROMEDIO DE CAUDALES: Qm = Σ Qi / N Qm = 65.018 m3/s. 2. DESVIACION ESTANDAR: σQ = 56.92818368 3. CALCULO DE COEFICIENTE SEGÚN TABLA σN = 1.1436 YN = 0.5442 Para N= 41; 4. INTERVALO DE CONFIANZA: Φ = 1-1/T 59 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA T (años) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P (%) 50.00 80.00 90.00 96.00 98.00 99.00 99.50 99.80 99.90 Qmax (m3/s) 72.433 118.046 152.550 198.163 232.668 267.173 301.677 347.290 381.795 Φ 0.500 0.800 0.900 0.960 0.980 0.990 0.995 0.998 0.999 CONDICION DE Φ 1CONDICION 1CONDICION 2CONDICION 2CONDICION 2CONDICION 2CONDICION 2CONDICION 2CONDICION 2CONDICION √(N*α*σm) 1.4427 2.2408 - ∆Q 11.2159815 17.42064972 56.74897639 56.74897639 56.74897639 56.74897639 56.74897639 56.74897639 56.74897639 METODO NASH: Nash considera que el valor del caudal para un determinado período de retorno se puede calcular con la ecuación: donde: a, b = constantes en función del registro de caudales máximos anuales Qmáx = caudal máximo para un período de retorno determinado, en m3 /s T = período de retorno, en años Los parámetros a y b se estiman utilizando el método de mínimos cuadrados, con la ecuación lineal: Q = a + bX, utilizando las siguientes ecuaciones: Donde: N = número de años de registro Qi = caudales máximos anuales registrados, en m3 /s Qm= caudal medio, en m3 /s Xi = constante para cada caudal Q registrado, en función de su período de retorno correspondiente Xm= valor medio de las Xs El intervalo dentro del cual puede variar el Qmáx calculado por la ecuación, se obtiene como: 60 Qd (m3/s) 83.649 135.466 209.299 254.912 289.417 323.922 358.426 404.039 438.544 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA Siendo: El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado período de retorno será igual al caudal máximo obtenido más el intervalo de confianza calculado, es decir: METODO NASH m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Qmax (m3/s) 301.88 215.81 155.00 147.50 118.16 114.54 105.25 93.75 93.25 92.50 66.56 63.25 62.40 59.03 58.13 56.88 54.08 53.31 51.78 51.50 49.08 47.31 40.88 40.49 T T/(T-1) X Q*X Q^2 X^2 42.00 21.00 14.00 10.50 8.40 7.00 6.00 5.25 4.67 4.20 3.82 3.50 3.23 3.00 2.80 2.63 2.47 2.33 2.21 2.10 2.00 1.91 1.83 1.75 1.02 1.05 1.08 1.11 1.14 1.17 1.20 1.24 1.27 1.31 1.35 1.40 1.45 1.50 1.56 1.62 1.68 1.75 1.83 1.91 2.00 2.10 2.21 2.33 -1.98 -1.67 -1.49 -1.36 -1.26 -1.17 -1.10 -1.04 -0.98 -0.93 -0.88 -0.84 -0.79 -0.75 -0.72 -0.68 -0.65 -0.61 -0.58 -0.55 -0.52 -0.49 -0.46 -0.43 -597.80 -361.24 -231.31 -200.87 -148.79 -134.50 -115.92 -97.25 -91.38 -85.82 -58.56 -52.83 -49.52 -44.52 -41.68 -38.76 -35.00 -32.75 -30.16 -28.41 -25.59 -23.27 -18.92 -17.58 91131.53 46573.96 24025.00 21756.25 13960.63 13119.41 11077.56 8789.06 8695.56 8556.25 4430.23 4000.56 3893.76 3484.54 3379.10 3235.33 2924.11 2841.96 2681.17 2652.25 2408.85 2238.24 1671.17 1639.44 3.92 2.80 2.23 1.85 1.59 1.38 1.21 1.08 0.96 0.86 0.77 0.70 0.63 0.57 0.51 0.46 0.42 0.38 0.34 0.30 0.27 0.24 0.21 0.19 61 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Σ N° de datos 40.00 34.38 34.35 33.63 32.38 32.00 31.38 30.91 27.08 24.82 23.63 23.45 22.63 21.00 21.00 20.81 20.00 2665.76 1.68 1.62 1.56 1.50 1.45 1.40 1.35 1.31 1.27 1.24 1.20 1.17 1.14 1.11 1.08 1.05 1.02 2.47 2.63 2.80 3.00 3.23 3.50 3.82 4.20 4.67 5.25 6.00 7.00 8.40 10.50 14.00 21.00 42.00 -0.41 -0.38 -0.35 -0.32 -0.29 -0.26 -0.24 -0.21 -0.17 -0.14 -0.11 -0.07 -0.03 0.01 0.06 0.12 0.21 -24.54 -16.23 1600.00 -12.98 1181.98 -12.01 1179.92 -10.81 1130.98 -9.49 1048.46 -8.46 1024.00 -7.38 984.39 -6.35 955.43 -4.73 733.33 -3.54 616.03 -2.57 558.38 -1.71 549.90 -0.77 512.12 0.19 441.00 1.24 441.00 2.52 433.06 4.21 400.00 -2651.28 302955.90 0.16 0.14 0.12 0.10 0.09 0.07 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 24.80 41.000 1. HALLANDO LOS PROMEDIOS: Qm = Σ Qi / N Qm = 65.018 Xm = ΣXi / N m3/s. Xm = -0.599 2.CÁLCULO DE PARÁMETROS a y b: b= -104.386 a= 2.538 3. CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR Y COVARIANZA: Sxx= 414.640 T (años) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P (%) 50.00 80.00 90.00 96.00 98.00 99.00 99.50 99.80 99.90 Sxq= -43282.455 X -0.52139 -1.01363 -1.33954 -1.75132 -2.05681 -2.36004 -2.66216 -3.06075 -3.36200 Qmax(m3/s) 56.963 108.346 142.366 185.350 217.239 248.891 280.429 322.036 353.482 62 Sqq= 5314941.680 ∆Q 17.814 18.712 20.601 24.044 27.117 30.459 33.994 38.874 42.678 Qd(m3/s) 74.778 127.058 162.967 209.394 244.356 279.351 314.422 360.910 396.160 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA METODO LEBEDIEV: Este método está basado en suponer que los caudales máximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula: Donde: Los términos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado: A = coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40 años, se toma el valor de 0.7. Cs = coeficiente de asimetría, se calcula como: Por otra parte, Lebediev recomienda tomar los siguientes valores: Cs = 2Cv para avenidas producidas por deshielo Cs = 3Cv para avenidas producidas por tormentas Cs = 5Cv para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas Donde: Cv = coeficiente de variación, que se obtiene de la ecuación: Er = coeficiente que depende de los valores de Cv (ecuación 6.42) y de la probabilidad P =1/T, su valor se encuentra de la figura 6.3 K = coeficiente que depende de la probabilidad P = 1/T, expresada en porcentaje de que se repita el caudal de diseño y del coeficiente de asimetría Cs (tabla 6.17) 63 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA METODO LEBEDIEV AÑO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Σ N° de datos Qmax (m3/s) 34.35 47.31 24.82 215.81 114.54 40.88 32.00 49.08 27.08 59.03 30.91 40.49 58.13 53.31 51.78 23.45 21.00 21.00 118.16 62.40 155.00 54.08 301.88 105.25 20.00 40.00 93.25 20.81 147.50 63.25 66.56 34.38 56.88 31.38 32.38 93.75 33.63 92.50 22.63 51.50 23.63 2665.76 41.000 Q/Qm - 1 -0.47 -0.27 -0.62 2.32 0.76 -0.37 -0.51 -0.25 -0.58 -0.09 -0.52 -0.38 -0.11 -0.18 -0.20 -0.64 -0.68 -0.68 0.82 -0.04 1.38 -0.17 3.64 0.62 -0.69 -0.38 0.43 -0.68 1.27 -0.03 0.02 -0.47 -0.13 -0.52 -0.50 0.44 -0.48 0.42 -0.65 -0.21 -0.64 0.00 64 (Q/Qm - 1)^2 0.22 0.07 0.38 5.38 0.58 0.14 0.26 0.06 0.34 0.01 0.28 0.14 0.01 0.03 0.04 0.41 0.46 0.46 0.67 0.00 1.92 0.03 13.27 0.38 0.48 0.15 0.19 0.46 1.61 0.00 0.00 0.22 0.02 0.27 0.25 0.20 0.23 0.18 0.43 0.04 0.41 30.66 (Q/Qm - 1)^3 -0.10 -0.02 -0.24 12.47 0.44 -0.05 -0.13 -0.01 -0.20 0.00 -0.14 -0.05 0.00 -0.01 -0.01 -0.26 -0.31 -0.31 0.55 0.00 2.65 0.00 48.35 0.24 -0.33 -0.06 0.08 -0.31 2.04 0.00 0.00 -0.10 0.00 -0.14 -0.13 0.09 -0.11 0.08 -0.28 -0.01 -0.26 63.39 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 1. HALLANDO LOS PROMEDIOS: Qm = Σ Qi / N Qm = 65.018 m3/s. 2. COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV: Cv= Cv= √((Σ(Qi/Qm - 1)^2 / N)) 0.865 3. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA CS: Cs= Cs= (Σ (Qi/Qm - 1)^3) / (N*Cv^3) 2.390 Escogemos el mayor: =====> Cs= Cs= Cs= 3*Cv 2.594 2.6 3. HACIENDO USO DE LAS TABLA Y FIGURA PARA HALLAR ER Y K: 65 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA T (años) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 P (%) 50.00 20.00 10.00 4.00 2.00 1.00 0.50 0.20 0.10 K 0.48000 0.48000 1.21000 2.31500 3.08000 3.86000 4.71000 6.08250 - Er 0.450 0.980 1.000 1.100 1.200 1.300 1.350 1.390 1.400 ∆Q 4.526 9.857 14.546 23.472 31.249 40.087 48.682 61.852 - Qmax (m3/s) 92.009 92.009 133.056 195.190 238.206 282.065 329.860 407.035 - Qd (m3/s) 96.535 101.866 147.602 218.662 269.455 322.151 378.542 468.887 - METODO LOG-PEARSON III AÑO 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Qmax (m3/s) 34.35 47.31 24.82 215.81 114.54 40.88 32.00 49.08 27.08 59.03 30.91 40.49 58.13 53.31 51.78 23.45 21.00 21.00 118.16 62.40 155.00 54.08 301.88 105.25 20.00 40.00 Descendente 301.88 215.81 155.00 147.50 118.16 114.54 105.25 93.75 93.25 92.50 66.56 63.25 62.40 59.03 58.13 56.88 54.08 53.31 51.78 51.50 49.08 47.31 40.88 40.49 40.00 34.38 log Q log Q 2 log Q 3 2.48 2.33 2.19 2.17 2.07 2.06 2.02 1.97 1.97 1.97 1.82 1.80 1.80 1.77 1.76 1.75 1.73 1.73 1.71 1.71 1.69 1.67 1.61 1.61 1.60 1.54 6.1496 5.4479 4.7976 4.7037 4.2951 4.2393 4.0894 3.8887 3.8795 3.8657 3.3241 3.2438 3.2227 3.1367 3.1131 3.0799 3.0033 2.9819 2.9384 2.9303 2.8592 2.8055 2.5970 2.5836 2.5666 2.3602 15.2499 12.7158 10.5082 10.2013 8.9013 8.7285 8.2696 7.6683 7.6413 7.6005 6.0606 5.8423 5.7853 5.5553 5.4928 5.4051 5.2047 5.1491 5.0368 5.0161 4.8346 4.6990 4.1850 4.1527 4.1118 3.6260 66 (logQlogQp)^2 0.604 0.399 0.238 0.217 0.137 0.127 0.102 0.073 0.071 0.069 0.015 0.010 0.009 0.005 0.004 0.003 0.001 0.001 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.009 0.010 0.028 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 Σ N° de datos 93.25 20.81 147.50 63.25 66.56 34.38 56.88 31.38 32.38 93.75 33.63 92.50 22.63 51.50 23.63 2665.76 34.35 33.63 32.38 32.00 31.38 30.91 27.08 24.82 23.63 23.45 22.63 21.00 21.00 20.81 20.00 2665.76 1.54 1.53 1.51 1.51 1.50 1.49 1.43 1.39 1.37 1.37 1.35 1.32 1.32 1.32 1.30 69.81 2.3591 2.3309 2.2809 2.2655 2.2398 2.2204 2.0525 1.9455 1.8864 1.8773 1.8352 1.7483 1.7483 1.7378 1.6927 122.32 3.6234 3.5586 3.4448 3.4099 3.3520 3.3086 2.9405 2.7135 2.5909 2.5722 2.4861 2.3116 2.3116 2.2909 2.2022 220.76 0.028 0.031 0.037 0.039 0.042 0.045 0.073 0.095 0.108 0.111 0.121 0.145 0.145 0.148 0.161 3.47 41.000 1. HALLANDO LOS PROMEDIO Y DESVIACION ESTANDAR: logQp = Σ logQi / N logQp = S= 0.294 1.703 2. COEFICIENTE DE SESGO: n= Csy = 41.000 0.703 3.CALCULO DE W, Z, C Y K PARA DIFERENTES PERIODOS DE RETORNO: T (años) P W Z C K 2 5 10 25 50 100 200 475 1000 0.500 0.200 0.100 0.040 0.020 0.010 0.005 0.002 0.001 1.177 1.794 2.146 2.537 2.797 3.035 3.255 3.511 3.717 0.000 0.841 1.281 1.751 2.054 2.326 2.576 2.862 3.090 0.117 0.117 0.117 0.117 0.117 0.117 0.117 0.117 0.117 -0.116 0.787 1.330 1.966 2.409 2.830 3.235 3.722 4.128 67 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA T (años) P (% ) K Log Q Q (m3/s) 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 50 80 90 96 98 99 99.5 99.800 99.9 -0.116 0.787 1.330 1.966 2.409 2.830 3.235 3.722 4.128 1.669 1.934 2.094 2.281 2.412 2.536 2.655 2.798 2.918 46.62 85.98 124.25 191.20 258.20 343.49 451.85 628.59 828.13 CUADRO RESUMEN CON LOS CAUDALES DE DISEÑO POR LOS DIFERENTES METODOS ESTADISTICOS CON SU RESPECTIVO PERIODO DE RETORNO METODO GUMBEL LEBEDIEV NASH LOG-PEARSON III 2 Qd (m3/s) 84 Qd (m3/s) 97 Qd(m3/s) 75 Qd(m3/s) 47 5 10 25 50 135 209 255 289 102 148 219 269 127 163 209 244 86 124 191 258 100 200 475 1000 324 358 404 439 322 379 469 - 279 314 361 396 343 452 629 828 TR(AÑ0S) COMENTARIO: EL METODO DE PROBABILIDADES EL QUE MAS DE APROXIMA A LOS DATOS DE REGISTRO HISTORICO ES EL METODO LOG-PEARSON III 68 UNPR G COMPARACION DEL CAUDAL DE DISEÑO SEGÚN LOS METODOS DESARROLADOS: HIDROLOGIA APLICADA METODOS PROBABILISTICOS METODO LOGNORMAL 2 P. LOGNORMAL 3 P. TR(AÑ0S) Qd (m3/s) Qd (m3/s) METODOS ESTADISTICOS GAMMA 3P. LOG- PEARSON III GUMBEL LOG- GUMBEL GAMMA 2P. GUMBEL LEBEDIEV NASH LOG-PEARSON III Qd(m3/s) Qd(m3/s) Qd(m3/s) Qd(m3/s) Qd(m3/s) Qd (m3/s) Qd (m3/s) Qd(m3/s) Qd(m3/s) 2 50 45 46 47 56 45 51 84 97 75 47 5 89 86 94 87 106 82 92 135 102 127 86 10 120 128 135 123 139 122 119 209 148 163 124 25 165 202 191 195 181 202 154 255 219 209 191 50 202 273 236 257 213 292 179 289 269 244 258 100 244 360 282 339 244 423 204 324 322 279 343 200 289 466 330 437 274 611 228 358 379 314 452 475 354 638 390 617 315 992 260 404 469 361 629 1000 410 797 446 813 346 1431 283 439 - 396 828 COMENTARIO: PARA EL CAUDAL DE DISEÑO SE SELECIONARÁ EL METODO QUE MÁS SE APROXIME AL REGISTRO HISTORICO, EN ESTE CASO ENTRE TODOS LOS METODOS ANTES VISTO, SIENDO NUESTRO CAUDAL DE DISEÑO POR EL METODO LOG -GUMBEL 69 UNPR G HIDROLOGIA APLICADA V.CONCLUSIONES: • • Con base al estudio hidrológico se determinó un caudal de diseño por el método de LOG GUMBEL que se aproxima más al registro histórico. Al evaluar los datos de los caudales mediante análisis de datos dudosos no cumplía, por ende se procedió a corregir, con los nuevos valores obtenidos de los caudales máximos anuales se realizo los métodos explicados. VI.RECOMENDACIONES: • Las estaciones de aforo debido a su gran importancia que están representan, se deben realizar con la mayor responsabilidad posible para obtener información confiable. • En el estudio de proyectos es recomendable hacer uso de varios de los métodos presentados, y luego analizar los resultados obtenidos mediante la experiencia del especialista. VII. BIBLIOGRAFIA: • ” Análisis Comparativo de Métodos de Estimación de Avenidas de Diseño del Río Verde-Cabanilla-Puno”. Ángel Darío Canllahui.Universidad Nacional del Altiplano. • ” Análisis Comparativo de los Métodos Racional Modificado Témez.Hidrogramas unitários SCS, CLARK y Snyder en la obtención de Caudales Máximos para las Subcuencas Cañad y Alto Chancay Lambayeque-cuenca Chancay”. Avellaneda Córdova Anavella del Pilar. Montalvo Esquives Kevin. UNPRG.FICSA 70
